Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze
Příjmení a jméno
1
2
3
Zkou²ková písemná práce £.
1
4
BONUS
5
z p°edm¥tu
CELKEM
01MAB4
25/05/2016, 9:00–11:00
Ê (11 bod·)
Vypo£ítejte abstraktní plo²nou míru mnoºiny
{ } M = (x, y) ∈ R2 : (x4 + y4 )3/2 6 x4 − y4 .
P°íslu²ná Lebesgueova míra je generována vytvo°ující funkcí φ(τ) = τ3 v obou dimenzích.
Ë (8 bod·)
Rozhodn¥te, zda pro funkci
f (x, y) =
x3 +8y3 x2 +2y2
. . . (x, y) , ⃗0; . . . (x, y) = ⃗0;
0
existuje totální diferenciál v bod¥ (0, 0). Detailn¥ od·vodn¥te!
Ì (9 bod·)
Nech´ je implicitní funkce u(x, y) zadána generující rovnicí H(x, y, u) = 0. Nech´ (x0 , y0 , u0 ) je generujícím bodem, který není kritický. Nech´ dále (x0 , y0 ) je stacionárním bodem funkce u(x, y). Stanovte vztah mezi Hessovou maticí H(x0 ,y0 ,u0 ) funkce H(x, y, u) a Hessovou maticí U(x0 ,y0 ) funkce u(x, y). Získaný vztah p°eformulujte do vlastní (elegantn¥ formulované) v¥ty.
Í (12 bod·)
Vy²et°ete lokální extrémy funkce g(x, y, z) = 4 + y(xz)2 na mnoºin¥
{ } M = (x, y, z) ∈ E3 : x, y, z > 0 ∧ 16(x4 + z4 ) + y2 = 48 .
Î (10 bod·) fyzikální úloha
2
Hustota ϱ(x, y, z) t¥lesa tvaru poloelipsoidu x2 + y2 + cz2 6 1; z > 0 je p°ímo úm¥rná kvadrátu vzdálenosti od roviny z = 0. Vypo£ítejte z−tovou sou°adnici t¥ºi²t¥ tohoto t¥lesa.
Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze
Příjmení a jméno
1
2
3
2
Zkou²ková písemná práce £.
4
BONUS
5
z p°edm¥tu
CELKEM
01MAB4
31/05/2016, 9:00–11:00
Ê (9 bod·)
Vypo£t¥te integrál
∫ B
(−b2 z; acy; b2 x) dµc (x, y, z), kde B je kvazipoledník } { x2 y2 z2 3 B = (x, y, z) ∈ E : 2 + 2 + 2 = 1 ∧ bx = ay ∧ x, y > 0 . a b c
Ë (8 bod·)
Nech´ je dána funkce f (⃗x) : Er 7→ R a bod ⃗a, ve kterém je znám gradient. Jakým sm¥rem mí°í tento gradient? Co o funkci f (⃗x) tento sm¥r vypovídá? Hodnota jakého úhlu je zakódována v hodnot¥ ∥grad f (⃗a)∥? A jaký (zde nezmín¥ný) p°edpoklad o funkci f (⃗x) je t°eba ve va²ich úvahách poºadovat? V²echna va²e tvrzení podpo°te pomocnými výpo£ty, aby bylo z°ejmé, na jakých poznatcích va²e úvahy zakládáte!
Ì (13 bod·)
Nalezn¥te vlastní £ísla Hessovy matice (vy£íslené v bod¥ ⃗a = (x0 , y0 ) = (−3, 0)) implicitn¥ zadané funkce
z(x, y), která je generována rovnicí
z3 + 3z2 + 2z(x + y + 3)2 + 4y2 + 4(x + 3)2 = 0.
Jaký záv¥r o bodu ⃗a lze ze získaného výsledku ud¥lat?
Í (8 bod·) Na soustav¥
{ } H = ∅; {, ♣}; {△}; {, ♣, △}; {⃝, ⋆}; {, ♣, △, ⃝, ⋆} ,
je zadána míra F(X) tak, ºe • F({, ♣}) = 9, • F({△}) = 4, • F(X) není na H úplná.
Nech´ D je minimální okruh generovaný soustavou H a m(X) je roz²í°ení míry F(X) z H na D. Jakou míru má prezident v D? Které mnoºiny leºí v D, ale neleºí v H ? Jakou mají míru? Na záv¥r vypo£ítejte vnit°ní a vn¥j²í míru mnoºiny {△, ⃝} odvozenou od míry m(X) : D 7→ R~ . Jaké vlastnosti má soustava H ? Vyberte ty nejzajímav¥j²í.
Î (12 bod·) fyzikální úloha Uvaºujeme t¥leso konstantní hustoty ϱ tvaru elipsoidu
{ } z2 E = (x, y, z) ∈ E3 : x2 + y2 + 2 6 R2 . c
Vypo£ítejte hmotnost t¥lesa a poté jeho moment setrva£nosti vzhledem k rotaci kolem osy z. Výsledek upravte do tvaru nevyuºívajícího hodnotu hustoty, tj. do tvaru, kde vystupují pouze parametry c, R a hmotnost elipsoidu. Nápov¥da: moment setrva£nosti t¥lesa T se vypo£ítá podle vzorce ∫
J=
∫
υ2 (x, y, z) dm(x, y, z) ≡ T
υ2 (x, y, z) ϱ(x, y, z) d(x, y, z), T
kde υ(x, y, z) je vzdálenost bodu (x, y, z) od osy rotace a ϱ(x, y, z) je hustota.
Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze
Příjmení a jméno
1
2
3
3
Zkou²ková písemná práce £.
4
BONUS
5
z p°edm¥tu
CELKEM
01MAB4
06/06/2016, 9:00–11:00
Ê (12 bod·)
Vypo£ítejte integrál
∫ A
(x2 y3 ; 2x3 y2 ) dµc (x, y), kde A je k°ivka z obrázku. Oblá £ást k°ivky je popsána rovnicí ( 4 )11 x y4 y20 + = . a4 b4 b20
Zvaºte moºné postupy a volte jednodu²²í variantu výpo£tu. 3
2.5
osa y
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
osa x
Ë (11 bod·)
Na mnoºin¥ M = {(x, y, z) ∈ E3 : x, y, z > 0} vy²et°ete v²echny lokální extrémy funkce √ f (x, y, z) = xy2 z 9 − x − 4y − 2z.
Ì (11 bod·)
Nech´ c > 0 je pevn¥ zvolený parametr. Transformujte Laplace·v operátor z kartézských sou°adnic (x, y, z) do pseudocylindrických sou°adnic (ϱ, φ, h) zadaných rovnicemi x = ϱ2 cos(φ),
y = ϱ2 sin(φ),
z = ch2 .
Uºijte p°edpo£ítané výsledky vloºené do zadání.
Í (6 bod·)
Na základ¥ rovnosti
∫
∞
e−αx cos(βx) dx =
0
vypo£t¥te aplikací vhodné v¥ty integrál
∫∞ 0
α2
α + β2
xe−αx sin(βx) dx. V²echny p°edpoklady explicitn¥ dokaºte!
Î (10 bod·) fyzikální úloha
Uvaºujeme t¥leso konstantní hustoty ϱ tvaru eliptického válce
{ } x2 y2 3 V = (x, y, z) ∈ E : 2 + 2 6 1 ∧ 0 6 z 6 c . a b
Vypo£ítejte hmotnost t¥lesa a poté jeho moment setrva£nosti vzhledem k rotaci kolem osy z. Výsledek upravte do tvaru nevyuºívajícího hodnotu hustoty, tj. do tvaru, kde vystupují pouze parametry a, b, c a hmotnost válce. Nápov¥da: moment setrva£nosti t¥lesa T se vypo£ítá podle vzorce ∫
J=
∫
υ (x, y, z) dm(x, y, z) ≡
υ2 (x, y, z) ϱ(x, y, z) d(x, y, z),
2
T
T
kde υ(x, y, z) je vzdálenost bodu (x, y, z) od osy rotace a ϱ(x, y, z) je hustota.
Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze
Příjmení a jméno
1
2
3
Zkou²ková písemná práce £.
4
4
5
z p°edm¥tu
BONUS
CELKEM
01MAB4
14/06/2016, 9:00–11:00
Ê (9 bod·)
Vy²et°ete globální extrémy funkce g(x, y) = 9x + 6y na p·lelipse { } (x − 2)2 y2 2 Z = (x, y) ∈ E : + 61 ∧ y>0 4 9
Ë (12 bod·)
Vypo£ítejte integrál
∫ ( ) yz, x2 , e x + y2 z dµ s (x, y, z), kde S { } S = (x, y, z) ∈ E3 : (1 + x + 2z)2 + y2 + (2 + z + 3x)2 = 1 .
Zvaºte moºné postupy a volte jednodu²²í variantu výpo£tu.
Ì (13 bod·)
Která z implicitních funkcí zadaných rovnicemi xy + y2 + zy − u − yw = 0;
x2 y + y3 + zy + u − yw2 = 0;
x3 y2 (x + 2y) + u2 − z2 w2 = 0
stoupá v bod¥ ⃗a = (x0 , y0 ) = (1, 1) nejstrm¥ji? Uºijte nápov¥dy, ºe w(⃗a) = 2. Numerické chyby v tomto p°íklad¥ se netolerují.
Í (7 bod·)
Nalezn¥te mnoºinu M, vzhledem k níº je funkce g(x, y) =
12y6 (x−1)2 +y4 2 5
·
1 x−1
. . . (x, y) , (1, 0); . . . (x, y) = (1, 0);
spojitá v bod¥ nespojitosti.
Î (9 bod·) fyzikální úloha T¥leso tvaru eliptického paraboloidu } { x2 y2 z 3 P = (x, y, z) ∈ E : 2 + 2 6 ∧ 0 6 z 6 c c a b
je vypln¥no kapalinou, jejíº hustota je p°ímo úm¥rná vzdálenosti od roviny z = 0. Vypo£ítejte polohu t¥ºi²t¥ takového t¥lesa.
Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze
Příjmení a jméno
1
2
3
5
Zkou²ková písemná práce £.
4
BONUS
5
z p°edm¥tu
CELKEM
01MAB4
21/06/2016, 9:00–11:00
Ê (7 bod·)
Vypo£ítejte obsah plochy grafu funkce f (x, y) = x2 + y2 leºícího mezi rovinami z = 1 a z = 4.
Ë (6 bod·)
Zam¥¬te integra£ní po°adí v integrálu √
∫
√ 2 3 ∫ 6 1− x4
0
g(x, y) dydx.
√ 3x
Ì (12 bod·)
Vy²et°ete lokální extrémy funkce f (x, y, z, u) = xyz + x + y + z + u na mnoºin¥
{ } M = (x, y, z, u) ∈ E4 : x, y, z, u > 0 ∧ x2 + y2 + z2 = 12 ∧ x + y + z + u = 11 .
Í (9 bod·)
Transformujte parciální diferenciální rovnici ∂2 f ∂2 f ∂2 f + − 2 =0 ∂x∂y ∂y2 ∂x2
pro neznámou funkci f (x, y) vztahy
y v= , x
u = x + y,
je-li funkce g = g(u, v) de novaná p°edpisem g=
f . x
Neopome¬te stanovit maximální mnoºinu regularity zadaného zobrazení! 6x Î (7 bod·) Nech´ jsou funkce φ(x) = 2+|x| , resp. φ(y) = y2 sgn(y) vytvo°ujícími funkcemi Lebesgueových m¥r
v osách x, resp. y. Stanovte hodnotu p°íslu²ného Lebesgueova integrálu ∫
⌊x⌋ + ⌊y⌋ dµ(x, y),
(L ) E
kde E = ⟨−1; 2) × ⟨−1; 3). Symbol ⌊·⌋ reprezentuje dolní celou £ást £ísla. Pozn. d·raz se klade (krom¥ jiného) také na numerickou správnost!
Ï (9 bod·) fyzikální úloha
Uvaºujeme t¥leso konstantní hustoty ϱ tvaru paraboloidu {
} x2 y2 z P = (x, y, z) ∈ E : 2 + 2 6 ∧ 0 6 z 6 c . c a b 3
Vypo£ítejte hmotnost t¥lesa a poté jeho moment setrva£nosti vzhledem k rotaci kolem osy z. Výsledek upravte do tvaru nevyuºívajícího hodnotu hustoty, tj. do tvaru, kde vystupují pouze parametry a, b, c a hmotnost t¥lesa. Nápov¥da: moment setrva£nosti t¥lesa T se vypo£ítá podle vzorce ∫
J=
∫
υ2 (x, y, z) dm(x, y, z) ≡ T
υ2 (x, y, z) ϱ(x, y, z) d(x, y, z), T
kde υ(x, y, z) je vzdálenost bodu (x, y, z) od osy rotace a ϱ(x, y, z) je hustota.
Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze
Příjmení a jméno
1
2
3
Zkou²ková písemná práce £.
6
4
BONUS
5
z p°edm¥tu
CELKEM
01MAB4
27/06/2016, 9:00–11:00
Ê (10 bod·)
Transformujte parciální diferenciální rovnici
( ) 2 ∂2 f ∂2 f ∂f ∂f 2∂ f x y 2 − xy(y + x) + xy −y =0 + (y − x) x ∂x∂y ∂x ∂y ∂x ∂y2 2
pro neznámou funkci f (x, y) na diferenciální rovnici pro funkci g = g(u, v). Transformace je zadána vztahy u = xy, v = x + y a g=
f . xy
Neopome¬te stanovit maximální mnoºinu regularity zadaného zobrazení!
Ë (10 bod·)
Vy²et°ete lokální extrémy funkce zadané na mnoºin¥
f (x, y, z) = yz + 2x(y + z)
{ } M = (x, y, z) ∈ E3 : x, y, z > 0 ∧ 4x2 + y2 + z2 = 12 .
Ì (8 bod·)
Pro funkci u = (x, y), jeº je zadána rovnicí u3 − 3xu2 + 9yu − x + 2y = 0,
vypo£t¥te sm¥rovou parciální derivaci ve sm¥ru ⃗s = (4, 3) v bod¥ ⃗a = (2, 1). Nepodce¬te teoretické pozadí problému!
Í (3 body) Integrál
∫ 0
∞
e−ax
sin2 (bx) dx x
lze °e²it derivací podle parametru a, pop°. podle parametru b. Který z výsledk· bude mít ²ir²í platnost a pro£? Konkrétní tvar výsledku nehledejte! Odpov¥¤ lze nalézt pouze na základ¥ analýzy p°edpoklad· uºité v¥ty.
Î (10 bod·) fyzikální úloha
T¥leso tvaru pseudoeliptického paraboloidu
{ } x4 y4 z2 3 P = (x, y, z) ∈ E : 4 + 4 6 2 ∧ 0 6 z 6 c a b c
je vypln¥no kapalinou, jejíº hustota je p°ímo úm¥rná vzdálenosti od roviny z = 0. Vypo£ítejte polohu t¥ºi²t¥ takového t¥lesa.
Ï (9 bod·)
Sestavte Maclaurinovu °adu funkce
1 f (x, y) = √ 3 1 − x4 − 16y4
a ur£ete její obor konvergence. Výsledek upravte do tvaru dvojné sumy s vícenásobnými faktoriály. Obor konvergence detailn¥ na£rtn¥te!
