Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze

Příjmení a jméno

1

2

3

4

5

6

CELKEM

Zápo£tová písemná práce £. 1 z p°edm¥tu 01MAB4 varianta A 18. dubna 2016, 11:2013:20

Ê (1 bod)

Do tabulky vý²e vypl¬te své p°íjmení a jméno a pod kolonku s va²im jménem uve¤te p°íjmení cvi£ícího.

Ë (6 bod·)

Nalezn¥te kritický bod soustavy generujících rovnic e x − 6y − 6z2 + 12z = 13,

2e2x − 6y − z3 = 6.

Uºijte faktu, ºe prom¥nná x se p°i pokusu konstruovat implicitní funkce chápe jako nezávislá.

Ì (11 bod·)

Vy²et°ete lokální extrémy funkce z, jeº je zadána rovnicí 10z2 + 4xy + y2 + u2 − 2xz + 5x2 + z + 2yz = 1.

Í (7 bod·)

Jakou hodnotou je nutno dodenovat funkci      g(x, y) =    

√ (y− 2)2 4−x2 −y2

. . . x2 + y2 , 4,

?

. . . x2 + y2 = 4, √

√

na kruºnici x2 + y2 = 4 tak, aby√ tato √ funkce byla v bod¥ ( 2, 2) spojitá vzhledem k te£n¥ uvedené kruºnice zkonstruované práv¥ v bod¥ ( 2, 2)?

Î (6 bod·)

Nech´ β ∈ N je pevn¥ zvolené liché £íslo. Nalezn¥te kompaktní tvar jacobiánu zobrazení x = 1 + ϱ cosβ (φ); y = 2 + ϱ sinβ (φ); z = 3 + 4µ2

a stanovte p°íslu²nou maximální mnoºinu regularity. Pro£ je výhodné poºadovat lichost £ísla β?

Ï (9 bod·)

Do parciální diferenciální rovnice 3x2 3

2 ∂2 u ∂2 u ∂u 2∂ u − y =0 − 2xy + 2y 2 2 ∂x∂y ∂y ∂x ∂y

zave¤te nové prom¥nné r = yx a s = xy. Výslednou rovnici maximáln¥ zjednodu²te. Nalezn¥te také p°íslu²nou maximální mnoºinu regularity.



1

2

3

4

5

6

CELKEM

Zápo£tová písemná práce £. 1 z p°edm¥tu 01MAB4 varianta B 18. dubna 2016, 11:2013:20

Ê (1 bod)


Ë (9 bod·)

Do parciální diferenciální rovnice x2

2 ∂2 u ∂2 u ∂u 2∂ u − 3y − 2xy + 4x =0 2 2 ∂x∂y ∂x ∂x ∂y

zave¤te nové prom¥nné r = yx a s = yx3 . Výslednou rovnici maximáln¥ zjednodu²te. Nalezn¥te také p°íslu²nou maximální mnoºinu regularity.

Ì (11 bod·)

Vy²et°ete lokální extrémy funkce z, jeº je generována rovnicí z3 + 3z2 + 2z(x + y + 3)2 + 4y2 + 4(x + 3)2 = 0.

Í (7 bod·)

Ozna£me K = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 4} a denujme funkci g(x, y) takto:      g(x, y) =    

√ 2(y− 2)3 4−x2 −y2

. . . (x, y) < K,

0

. . . (x, y) ∈ K. √

√

Vypo£ítejte, pod √ jakým √ úhlem stoupá/klesá její graf v bod¥ ( 2, 2) ve sm¥ru te£ny kruºnice K sestrojené práv¥ v bod¥ ( 2, 2).

Î (6 bod·)

Do obrázku (v kartézských sou°adnicích) vykreslete mnoºinu W, kterou je t°eba vyjmou z R2 , aby na dopl¬ku R2 \ W bylo zobrazení x = 2 + ϱ cos(4φ); y = 5 + ϱ cos(2φ)

regulární.

Ï (6 bod·)

Nalezn¥te kritický bod soustavy generujících rovnic z + x2 − 4x + 6ey = 2,

6z + (x − 1)3 − ey = 1.

Uºijte faktu, ºe prom¥nná y se p°i pokusu konstruovat implicitní funkce chápe jako nezávislá.



1

2

3

4

5

6

CELKEM

Zápo£tová písemná práce £. 1 z p°edm¥tu 01MAB4 varianta N 4. kv¥tna 2016, 9:1011:10

Ê (11 bod·)

Nalezn¥te lokální extrémy funkce u(x, y) zadané implicitn¥ rovnicí u3 + 3u2 + 2u(x + y)2 + 4(x + 2)2 + 4(y − 2)2 = 4.

Ë (6 bod·)

Nalezn¥te rovnici te£né roviny k plo²e

x2 + y2 + z2 + 2xy = 1.

Výsledek upravte do kompaktního tvaru.

Ì (10 bod·)

e²te parciální diferenciální rovnici 2 ∂2 f ∂2 f ∂f 2∂ f + 4y = 4y6 e−6x . + 4y −2 2 2 ∂x∂y ∂x ∂x ∂y

Uºijte transformace do sou°adnic

a = y2 e−2x ,

b = y e−2x .

Na jaké maximální mnoºin¥ je zadaná transformace regulární?

Í (6 bod·)

Nalezn¥te konkrétní podobu k°ivky y − eax + b = 0, vzhledem k níº je funkce      f (x, y) =    

y3 +3x2 y2 +x2 3 10

. . . (x, y) , ⃗0 . . . (x, y) = ⃗0

spojitá v bod¥ (0, 0). Detailn¥ popi²te, o jaké tvrzení se vá² postup opírá.

Î (5 bod·)

Do obrázku (v kartézských sou°adnicích) vykreslete mnoºinu W, kterou je t°eba vyjmou z R2 , aby na dopl¬ku R2 \ W bylo zobrazení x = ϱ cos(4φ) − 3; y = 2 + ϱ sin(2φ)

regulární.

Ï (1 bod)




1

2

3

4

5

6

CELKEM

Zápo£tová písemná práce £. 2 z p°edm¥tu 01MAB4 varianta A 23. kv¥tna 2016, 9:0011:00

Ê (10 bod·)

Vy²et°ete lokální extrémy funkce f (x, y, z) = x2 yz2 na mnoºin¥

{ } M = (x, y, z) ∈ E3 : x, y, z > 0 ∧ 16(x4 + z4 ) + y2 = 48 .

Ë (10 bod·)

Pro parametry a > 0 a b ∈ R vypo£t¥te ur£itý integrál ∫

∞

e−ax

0

2

cos(bx2 ) − 1 dx. x

Uºijte v¥tu o derivaci integrálu s parametrem.

Ì (8 bod·)

Vypo£t¥te integrál

∫ √

(x − 3)2 + y2 dµc (x, y),

B

kde B je kruºnice

{ } B = (x, y) ∈ E2 : x2 + y2 + 9 = 6(x + y) .

Í (6 bod·)

Nech´ A = ⟨0, 3) ∪ (3, 4) × ⟨−1, 1) a B = {3} × ⟨−1, 1). Nech´ φ(x) = 2x + 6 · Θ(x − 3) a ψ(y) = arctg(y) jsou vytvo°ující funkce Lebesgueovy míry. emu se rovná µ(A) a £emu µ(B)? Pozn: Θ(τ) je Heavisideova funkce.

Î (6 bod·)

Do dvou odd¥lených obrázk· co nejpe£liv¥ji vykreslete tvar mnoºin M1 = {(x, y) ∈ R2 : (x2 + y2 )2 6 x2 − y2 }, M2 = {(x, y) ∈ R2 : (x4 + y4 )3/2 6 x4 − y4 }.

Vypomoºte si výpo£tem v polárních, resp. pseudopolárních sou°adnicích. Mnoºiny vy²rafujte, aby bylo z°eteln¥ patrno, o jaký útvar jde a jak se ob¥ mnoºiny li²í. Hodnotí se pouze správnost a kvalita obrázk·!



1

2

3

4

5

6

CELKEM

Zápo£tová písemná práce £. 2 z p°edm¥tu 01MAB4 varianta B 23. kv¥tna 2016, 9:0011:00

Ê (5 bod·)

Do obrázku co nejpe£liv¥ji vykreslete tvar mnoºiny {(x, y) ∈ R2 : (x2 +y2 )2 > y2 − x2 ∧ x2 +y2 6 1}. Vypomoºte si výpo£tem v polárních sou°adnicích. Mnoºinu vy²rafujte, aby bylo z°eteln¥ patrno, o jaký útvar jde. Hodnotí se pouze správnost a kvalita obrázku!

Ë (6 bod·)

Nech´ A = ⟨−1, 1) × ⟨0, 2) ∪ (2, 3) a B = ⟨−1, 1) × {2}. Nech´ φ(x) = π + arctg(x) a ψ(y) = 3y + 5 · Θ(y − 2) jsou vytvo°ující funkce Lebesgueovy míry. emu se rovná µ(A) a £emu µ(B)? Pozn: Θ(τ) je Heavisideova funkce.

Ì (9 bod·)

Nech´ R > 0 je pevn¥ zvolený parametr. Vypo£t¥te integrál ∫

y2 (x + 2)2 dµ s (x, y, z), B

kde B je plá²´ koule

{ } B = (x, y, z) ∈ E3 : x2 + y2 + z2 + 2(2x − z) = R2 − 5 .

Í (10 bod·)

Nech´ a ∈ (0, 8π) je parametr. Vypo£t¥te integrál ∫

∞ 0

ln(a2 + x2 ) − ln(π2 + x2 ) dx. π2 + x 2

Uºijte v¥tu o derivaci integrálu s parametrem.

Î (10 bod·)

Vy²et°ete lokální extrémy funkce f (x, y, z) = 5 + (xy)2 z na mnoºin¥ { } ( z )2 3 4 4 M = (x, y, z) ∈ E : x, y, z > 0 ∧ x + y + =3 . 4

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 varianta A

Recommend Documents