Stavební statika, 1.ročník bakalářského studia
Rovinné nosníkové soustavy III Příhradový nosník Zjednodušená styčníková metoda •Rovinný kloubový příhradový nosník Skladba rovinného příhradového nosníku Podmínka statické určitosti příhradového nosníku Zjednodušená styčníková metoda Mimostyčníkové zatížení Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava
Eiffelova věž, Paříž
324 m vysoká ocelová věž z r.1889, hloubka základů 14 m, 9 547 t oceli, 2,5 mil. nýtů, půdorys 1,6 ha, 1 792 schodů, 8 výtahů, projekt a stavba inženýr Gustav Eiffel (1832-1923) 2
Rovinný kloubový příhradový nosník Rovinný kloubový příhradový nosník vznikne kloubovým spojením konců přímých prutů. Osy všech prutů, vazby i zatížení (zpravidla jen styčníkové) leží ve svislé souřadnicové rovině xz. V prutech vznikají zpravidla jen normálové (osové) síly. Výjimka: mimostyčníkové zatížení viz. samostatná kapitola v následující přednášce
Rovinný kloubový příhradový nosník 3
Skladba rovinného kloubového příhradového nosníku • Pásy mohou být přímé a lomené • Svislice (příčky) – zde chybí
F2
F1
g
f
e
Rax
Styčníkové zatížení
F3
a
b c
d
Raz
Rbz Dolní pás (tah)
Diagonály
Horní pás (tlak) 4
Skladba rovinného kloubového příhradového nosníku Kyvné pruty (1-11) – vnitřní vazby – jednonásobné, neboť: -kloubové připojení na obou koncích -styčníkové zatížení (prut nezatížen vnějším zatížením)
F2
F1
N4
e
N1
N5
a
N7
N2
N11
N6 c
g
N9
N3 Rax
N8
f
F3
N10 d
Raz Hmotné body – styčníky (a-g)
b
Rbz Vnější vazba (reakce)
5
Stupeň statické neurčitosti příhradového nosníku v rovině
v = ve + vi
vi = p
ve = a1 + 2.a2 nv = 2.ns
v ... celkový počet vazeb soustavy
vi ... počet vnitřních vazeb soustavy nv ... počet stupňů volnosti soustavy p ... počet vnitřních prutů ns ... počet bodů (v každém z nich 1 neznámá osová síla) (styčníků) v soustavě ve ... počet vnějších vazeb soustavy a1 ... počet jednonásobných vazeb a2 ... počet dvojnásobných vazeb nv = v nv < v nv > v
Příhradový nosník: soustava ns bodů (styčníků) vzájemně propojených jednonásobnými vazbami (pruty p)
staticky i kinematicky určitá soustava staticky neurčitá, kinematicky přeurčitá soustava staticky přeurčitá, kinematicky neurčitá soustava
Stupeň statické neurčitosti
s = v − nv
6
Stupeň statické neurčitosti příhradového nosníku F2
F1 N4
e
N1
a
N8
f
N5 N7
N2
N11
N6 c
Raz
g
N9
N3 Rax
F3
v = ve + vi = a1 + 2.a2 + p = 14
N10
b
d
nv = 2.ns = 14
Rbz
s = v − nv = 0 ... s.urč .
ns=7
počet styčníků (v každém z nich 2 podmínky rovnováhy)
p=11
počet vnitřních prutů (v každém z nich 1 neznámá osová síla)
a1=1, a2=1
počet jedno a dvojnásobných vazeb (1 nebo 2 neznámé složky reakcí) 7
Příklad - stupeň statické neurčitosti příhradového nosníku F2
F1 c
d
N5 N3
N1 a
ns=4 N4
a1=1
N2
b
Rax Raz
p=5
a2=1
Rbz
v = ve + vi = a1 + 2.a2 + p = 8 nv = 2.ns = 8 s = v − nv = 0
Staticky i kinematicky určitý rovinný kloubový příhradový nosník 8
Příklad - stupeň statické neurčitosti příhradového nosníku F2
F1 N5
c
Není kloubový styčník
N3
d
ns=4
N6
N1
N4
p=6 a1=1
a
N2
b
Rax Raz
a2=1
Rbz
v = ve + vi = a1 + 2.a2 + p = 9 nv = 2.ns = 8 s = v − nv = 1
1x staticky (vnitřně) neurčitý rovinný kloubový příhradový nosník (kinematicky přeurčitý) 9
Příklad - stupeň statické neurčitosti příhradového nosníku F2
F1 N5
c
Není kloubový styčník
N3
d
ns=4
N6
N1
p=6
N4
a1=0 a
N2
b
Rax
Rbx Raz
v = ve + vi = a1 + 2.a2 + p = 10 nv = 2.ns = 8
s = v − nv = 2
a2=2
Rbz 2x staticky (vnitřně i zevně) neurčitý rovinný kloubový příhradový nosník (kinematicky přeurčitý) 10
Příklad - stupeň statické neurčitosti příhradového nosníku F2
F1 N5
c
Je kloubový styčník
N3
d
N1 a
ns=5
N6 N8
N7
N2
Rbx Raz
v = ve + vi = a1 + 2.a2 + p = 12
s = v − nv = 2
a1=0 b
Rax
nv = 2.ns = 10
p=8
N4
a2=2
Rbz 2x staticky (vnitřně i zevně) neurčitý rovinný kloubový příhradový nosník (kinematicky přeurčitý) 11
Zjednodušená styčníková metoda – postup výpočtu l=3 F1=5kN
Rbx
1) Stupeň statické neurčitosti
F2=12kN c
a
h=1,5 h=1,5
Rax
Raz
l=3
2) Geometrie soustavy tady stačí pouze goniom. funkce úhlu α
e
3) Vnější vazby: výpočet reakcí z podmínek rovnováhy 4) Vnitřní vazby: výpočet normálových sil v prutech
d L = l 2 + h2
α
sin α = h / L
a) Odstranit pruty a nahradit interakcemi v kladném směru → ven ze styčníků
cos α = l / L
b
prut ce
c a
N3
N1 N4
N5 d
N6 b
c
N2
e
c
e
kladná N na prutu ce
e
(platí 3. Newtonův zákon akce a reakce)
N7 b) Podmínky rovnováhy ve styčnících styčník = bod →2 podmínky rovnováhy
∑F
ix
=0
∑F
iz
=0
12
Příklady k zamyšlení Př.1
U daných příhradových nosníků dokažte, že jsou staticky určité, spočítejte reakce a u šikmých prutů proveďte rozbor geometrie (určete goniometrické funkce označených úhlů). Vnitřní síly nepočítejte. P = 10kN
5
2
P = 10kN
2
3
4 3
5
2
2
2
2
2
2 1
Př.3 a
1
b
4
1
a
b
3
3
2
3
Př.2
P=10kN
2 (1)
P1= 10kN
(7)
5 1
2
4 1 P3= 10kN
a
3
Př.4 5
4
3 a
b
2 3
3
2
2
2
b 13
Příklad: důkaz SU, určit vnitřní síly v konstrukci
l=3
l=3
F1=5kN
F2=12kN c
h=1,5 h=1,5
a
e
d
α b
Příklad vyřešen na přednášce 14
Mimostyčníkové zatížení prutu 4 V prutu č. 4 vznikne v důsledku mimostyčníkového zatížení rovněž V a M. q = konst.
e
d
h=3
4 5
1 Rax
3
7
α
a
b
2 Raz
c
6 F1
b=4
Rbz b=4 15
Mimostyčníkové zatížení – uvolnění prutu 4 q = konst. N4
d
Postup řešení: e
N4 Zatížení styčníkové
Rd
Zatížení mimostyčníkové
Re
Rd
1) Reakce celé příhradové konstrukce (obr. na předešlém snímku)
N4
d
Re
N4
e
4
2) Uvolnění prutu 4
1
3) Reakce prutu 4 (jsou to vnitřní vazby (interakce) mezi prutem 4 a zbývající části konstrukce v bodech d a e) 4) Zatížit zbývající část konstrukce interakcemi Rd a Re (zákon akce a reakce) → zatížení mimostyčníkové převedeno na styčníkové
5 3
7 α
Rax a
b
2 Raz
c
6 F1
Rbz
5) Vyřešit vnitřní síly v prutech N1 – N7 (metoda výpočtu libovolná) 6) Vyřešit další vnitřní síly prutu 4 (viz následující snímek)
16
Mimostyčníkové zatížení – uvolnění prutu 4 q = konst. N4
d
Postup řešení: e
N4 Zatížení styčníkové
Rd
Zatížení mimostyčníkové
Re
Rd
1) Reakce celé příhradové konstrukce (obr. na předešlém snímku)
N4
d
Re
N4
e
4
2) Uvolnění prutu 4
N1
3) Reakce prutu 4 (jsou to vnitřní vazby (interakce) mezi prutem 4 a zbývající části konstrukce v bodech d a e) 4) Zatížit zbývající část konstrukce interakcemi Rd a Re (zákon akce a reakce) → zatížení mimostyčníkové převedeno na styčníkové
5 N3
7 α
Rax a
b
2 Raz
c
6 F1
Rbz
5) Vyřešit vnitřní síly v prutech N1 – N7 (metoda výpočtu libovolná) 6) Vyřešit další vnitřní síly prutu 4 (viz následující snímek)
17
Mimostyčníkové zatížení - řešení prutu 4
N4
Reakce
Q = q.l4
q = konst. d
e
N4
l4
Re
-
N
N4
q.l4 2
Q q.l4 = (↑) 2 2
Re =
Q q.l4 = (↑) 2 2
Posouvající síla
x ∈ 0, l4
Rd
Rd =
+
l V( Lx) = Rd − q.x = q. 4 − x 2 q.l4 V( d ) = V( x =0 ) = 2 q.l V(e ) = V( x =l4 ) = − 4 = − Re 2 l l q. 4 − x = 0 → xmax = 4 2 2
p
V
Ohybový moment
q.l − 4 2
0
+
M
0
M
L (x)
M (d ) = M ( x =0 ) = 0 M
l x= 4 2
2º
q.l42 8
(
q.x 2 q = Rd .x − = . l4 .x − x 2 2 2
)
M (b ) = M ( x =l ) = 0
q.l42 = M ( xmax ) = 8 18
Nezatížené pruty – tzv. nulové pruty Působí-li ve styčníku 3 síly, z nichž 2 mají společnou nositelku, třetí síla je vždy nulová. Působí-li ve styčníku 4 síly, z nichž 2 mají společnou nositelku a jedna je nulová, potom čtvrtá síla je vždy nulová. Důkaz: ze silové podmínky rovnováhy: Součet všech sil působících ve styčníku ve směru kolmém ke společné nositelce dvou sil je roven nule.
N8
∑F
iz
N9
∑F
iz ′
=0
N 20, z′ ⇒ N 20 = 0
x´
N20=0 N21=0 z´
=0
N21=0
N 21, z ⇒ N 21 = 0 N10
N11 19 7
Nezatížené pruty – význam tzv. nulových prutů l8 l9
l9 9
10
l10
l11
l10
Význam nulových prutů: „zkracují“ délky prutů a tím zabraňují velkým deformacím a ztrátě stability prutů. Více v předmětu Pružnost a plasticita
20 8
Okruhy problémů k ústní části zkoušky 1. Podmínka statické určitosti rovinného kloubového příhradového nosníku 2. Výpočet osových sil v prutech rovinného kloubového příhradového nosníku zjednodušenou styčníkovou metodou 3. Výpočet vnitřních sil v prutech rovinného kloubového příhradového nosníku namáhaného mimostyčníkovým zatížením
21
