ZÁKLADY TEORETICKÉ INFORMATIKY

KATEDRA INFORMATIKY ˇ I´RODOVEˇDECKA ´ FAKULTA PR UNIVERZITA PALACKE´HO

´ KLADY TEORETICKE´ INFORMATIKY ZA PAVEL MARTINEK

Ń VY´VOJ TOHOTO UCˇEBNI´HO TEXTU JE SPOLUFINANCOVA ´ LNI´M FONDEM A STA ´ TNI´M ROZPOCˇTEM CˇESKE´ REPUBLIKY EVROPSKY´M SOCIA

Olomouc 2006

Abstrakt

Tento text distancˇnı´ho vzdeˇla´vańı´ si klade za cı´l prˇedstavit cˇtena´rˇi za´kladnı´ disciplıńy teoreticke´ informatiky, konkre´tneˇ forma´lnı´ jazyky, automaty, vycˇ´ıslitelnost a slozˇitost. Vzhledem k omezene´mu rozsahu textu jsou v neˇm zahrnuty pouze nejza´kladneˇjsˇ´ı informace z dotycˇnyćh disciplıń. Pro pochopenı´ la´tky je nezbytna´ znalost za´kladu˚ teorie mnozˇin, algebry a vy´rokove´ logiky vcˇetneˇ odpovı´dajıćı´ matematicke´ notace.

Cı´lova´ skupina

Text je urcˇen posluchacˇu˚m bakala´rˇske´ho studijnı´ho programu Aplikovana´ informatika, provozovane´mu v kombinovane´ formeˇ na Prˇ´ırodoveˇdecke´ fakulteˇ Univerzity Palacke´ho v Olomouci.

Obsah Forma´lnı´ jazyky a automaty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1

Za´kladnı´ pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Chomske´ho hierarchie gramatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3

Konecˇne´ automaty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.3.1

Nedeterministicke´ konecˇne´ automaty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.3.2

Vza´jemny´ vztah nedeterministickyćh a deterministickyćh konecˇnyćh automatu˚ . . . . . . . .

21

1.3.3

Vztah konecˇnyćh automatu˚ k regula´rnı´m jazyku˚m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.4

Regula´rnı´ vy´razy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

1.5

Za´sobnı´kove´ automaty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Vycˇ´ıslitelnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

2.1

Turingovy stroje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

2.1.1

Nedeterministicke´ Turingovy stroje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

Jazyky a proble´my . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

2.2.1

Prˇ´ıklad jednoduche´ho rekurzivnı´ho jazyka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

2.2.2

Konvence pro popis Turingovyćh stroju˚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

2.2.3

Churchova–Turingova teze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

2.2.4

Rozhodovacı´ proble´my . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

2.2.5

Proble´m zastavenı´ Turingova stroje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

Slozˇitost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

´ vodnı´ pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U

69

3.1.1

Slozˇitost Turingova stroje a nedeterministicke´ho Turingova stroje . . . . . . . . . . . . . . .

71

3.2

Trˇ´ıdy slozˇitostı´ P a NP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

3.3

NP-u´plne´ proble´my . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

3.3.1

Vybrane´ NP-u´plne´ proble´my . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

Vyuzˇitı´ vy´pocˇetneˇ obtı´zˇnyćh u´loh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

Rejstrˇ´ık . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

1

2

2.2

3

3.1

3.4

1

Forma´lnı´ jazyky a automaty

V tomto oddı´lu se cˇtena´rˇ dozvı´ o velmi u´zce souvisejıćıćh pojmech, a sice forma´lnıćh jazycıćh a automatech. Forma´lnı´ jazyk, jak napovı´da´ samotny´ na´zev, prˇedstavuje formalizaci pojmu jazyk, ktery´ je beˇzˇneˇ cha´pań jako prostrˇedek komunikace mezi lidmi. Tato formalizace je natolik obecna´, zˇe zahrnuje rovneˇzˇ popis programovacıćh jazyku˚, stadiı´ ru˚stu rostlin, apod. Automat si lze prˇedstavit jako mechanicky´ cˇi abstraktnı´ stroj, ktery´ na za´kladeˇ vneˇjsˇ´ıho podneˇtu doka´zˇe meˇnit svu˚j vnitrˇnı´ stav. K tomu prˇistupujı´ na´sledujıćı´ omezenı´. Druhu˚ pu˚sobıćıćh podneˇtu˚ je pouze konecˇny´ pocˇet a vnitrˇnıćh stavu˚, v nichzˇ se automat mu˚zˇe nacha´zet, je take´ konecˇneˇ mnoho. Teorie automatu˚ nacha´zı´ pu˚sobive´ uplatneˇnı´ naprˇ. prˇi strojove´m (tj. pocˇ´ıtacˇove´m) prˇekladu ko´du programovacı´ho jazyka do strojove´ho ko´du.

1.1

Za´kladnı´ pojmy

Studijnı´ cı´le: Po prostudovańı´ kapitoly bude studujıćı´ schopen forma´lneˇ popsat jazyk, gramatiku a zpu˚sob, jaky´m gramatika generuje jazyk. Klıćˇova´ slova: Abeceda, jazyk, gramatika. Potrˇebny´ cˇas: 60 minut. Prˇi formalizaci pojmu˚ jazyk cˇi gramatika se pochopitelneˇ vycha´zı´ ze znalostı´ zı´skanyćh studiem prˇirozenyćh jazyku˚ (Toto oznacˇenı´ je uzˇ´ıvańo pro jazyky jako jsou cˇesˇtina, anglicˇtina, arabsˇtina, apod.). V nejobecneˇjsˇ´ı podobeˇ lze kazˇdy´ jazyk ztotozˇnit s (prˇ´ıpadneˇ nekonecˇnou) mnozˇinou veˇt, z nichzˇ kazˇda´ se skla´da´ z konecˇneˇ mnoha nizˇsˇ´ıch jednotek. Souhrn vsˇech teˇchto nizˇsˇ´ıch jednotek bude tvorˇit tzv. abecedu, nad nı´zˇ je dany´ jazyk definovań. (Poznamenejme, zˇe neˇktere´ termıńy zna´me´ z klasicke´ lingvistiky se v teorii forma´lnıćh jazyku˚ va´zˇ´ı k odlisˇny´m objektu˚m.) Definice 1.1. Abecedou nazveme libovolnou konecˇnou nepra´zdnou mnozˇinu. Jejı´ prvky nazy´va´me symboly. Definice 1.2. Rˇeteˇzem (slovem) v nad abecedou X rozumı´me libovolnou konecˇnou posloupnost symbolu˚ z X, tj. v = a1 · · · an , kde a1 , . . . , an ∈ X. Cˇ´ıslo n nazy´va´me de´lkou rˇeteˇzu v a pı´sˇeme |v| = n. Jestlizˇe ai = a ∈ X pro i ∈ {1, 2, . . . , n}, pı´sˇeme obvykle an mı´sto a1 a2 · · · an . Pro rˇeteˇzy zava´dı´me operaci zrˇeteˇzenı´: Jestlizˇe u = a1 · · · am a v = b1 · · · bn jsou rˇeteˇzy nad abecedou X, pak zrˇeteˇzenı´m u a v rozumı´me rˇeteˇz a1 · · · am b1 · · · bn ; ozn. jej u · v nebo strucˇneˇji uv. Jestlizˇe u, v, w, x jsou rˇeteˇzy takove´, zˇe w = uxv, pak x nazy´va´me podrˇeteˇzem rˇeteˇzu w. Pra´zdny´m rˇeteˇzem nazy´va´me rˇeteˇz de´lky 0; znacˇ´ıme jej ε. Prˇ´ıklad 1.3. Nad abecedou X = {a, b} mu˚zˇeme sestavit naprˇ´ıklad rˇeteˇzy u = abab, v = b2 a, w = ε. Vsˇechny podrˇeteˇzy rˇeteˇzu u jsou: ε, a, b, ab, ba, aba, bab, abab. Zrˇejmeˇ je |u| = 4, |v| = 3 a |w| = 0. Uved’me nama´tkou neˇktera´ zrˇeteˇzenı´: uv = abab3 a, wu = abab. Platı´: |uv| = 7 = |u| + |v|, |wu| = 4 = |w| + |u|.

4

Automaty slouzˇ´ı jako ućˇinny´ na´stroj pro praći s forma´lnı´mi jazyky.

Pozna´mka 1.4. Pro libovolnou abecedu X a rˇeteˇzy u, v nad X zrˇejmeˇ platı´ • |uv| = |u| + |v|, • uε = εu = u. Definice 1.5. Mnozˇinu vsˇech rˇeteˇzu˚ nad abecedou X znacˇ´ıme X ∗ a nazy´va´me uza´veˇrem mnozˇiny X. Jestlizˇe z X ∗ odebereme pra´zdny´ rˇeteˇz, dostaneme pozitivnı´ uza´veˇr mnozˇiny X; ozn. jej X + . Prˇ´ıklad 1.6. Uvazˇme abecedu X = {0, 1}. Pak je zrˇejmeˇ X + = {0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, . . .}, X ∗ = {ε, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, . . .}. Definice 1.7. Jazykem L nad abecedou X nazy´va´me libovolnou podmnozˇinu mnozˇiny X ∗ . Rˇ´ıka´me, zˇe jazyk L je – pra´zdny´, jestlizˇe L = ∅, – konecˇny´, jestlizˇe obsahuje konecˇneˇ mnoho slov, – nekonecˇny´, jestlizˇe obsahuje nekonecˇneˇ mnoho slov. Prˇ´ıklad 1.8. Na´sledujıćı´ mnozˇiny jsou jazyky nad abecedou X = {a, b}. a) b) c) d)

L1 L2 L3 L4

= {ε}, = {a, bba, abbaa, baaab}, = {ap ; p je prvocˇ´ıslo}, = {w ∈ {a, b}∗ ; w obsahuje stejny´ pocˇet a jako b}.

Prˇ´ıklad 1.9. Cˇesˇtina zrˇejmeˇ prˇedstavuje jazyk nad abecedou tvorˇenou vsˇemi cˇesky´mi slovnı´mi tvary (tj. Jana, Jany, Janeˇ, pı´sˇe, psala, jarnı´, jarnı´ho, jarnı´mu, ...) a interpunkcˇnı´mi znameńky – nenı´ teˇzˇke´ oveˇrˇit, zˇe jde o abecedu. Tento jazyk obsahuje vsˇechny spra´vneˇ utvorˇene´ cˇeske´ veˇty neboli jiste´ rˇeteˇzy prvku˚ pra´veˇ popsane´ abecedy. V prˇ´ıpadeˇ nekonecˇnyćh jazyku˚ je za´sadnı´ ota´zkou zpu˚sob jejich reprezentace. V prˇedchozıćh prˇ´ıkladech byla prˇ´ıslusˇnost rˇeteˇzu k nekonecˇne´mu jazyku vzˇdy podmıńeˇna splneˇnı´m konkre´tnı´ podmıńky (prvocˇ´ıselnost, pocˇty vy´skytu˚ symbolu˚ abecedy nebo gramaticka´ spra´vnost). Pra´veˇ na prˇ´ıkladu cˇesˇtiny je zrˇetelneˇ videˇt, zˇe neˇktere´ podmıńky se oveˇrˇujı´ obtı´zˇneˇ – jisteˇ si lze prˇedstavit celou rˇadu veˇt, u nichzˇ se budou dva fundovanı´ odbornıći rozcha´zet v na´zoru, zda jde o spra´vne´ cˇeske´ veˇty cˇi nikoliv. Prˇestozˇe do sche´mat forma´lnıćh jazyku˚ zapadajı´ prˇirozene´ jazyky poneˇkud komplikovaneˇ, da´vajı´ na´m metody vyvinute´ pro zkoumańı´ prˇirozenyćh jazyku˚ konkre´tnı´ na´vod, jak nekonecˇne´ jazyky popsat pomocı´ jednoduchyćh pravidel: Sestavit prˇ´ıslusˇnou gramatiku!1 Prˇed vlastnı´ definicı´ forma´lnı´ gramatiky nejdrˇ´ıve zavedeme pojem zrˇeteˇzenı´ mnozˇin. Definice 1.10. Jsou-li A, B mnozˇiny rˇeteˇzu˚ nad abecedou Σ, pak zrˇeteˇzenı´m A a B nazy´va´me mnozˇinu AB = {w ∈ Σ∗ ; ∃u ∈ A, ∃v ∈ B : w = uv}. Pru˚vodce studiem Zrˇeteˇzenı´ mnozˇin (cˇi jazyku˚) A a B obsahuje vsˇechny mozˇne´ rˇeteˇzy vznikle´ vzˇdy zrˇeteˇzenı´m jednoho ˇreteˇzu z A a jednoho rˇeteˇzu z B v tomto porˇadı´.

1

Pozdeˇji si uka´zˇeme i syste´moveˇ odlisˇny´ zpu˚sob popisu nekonecˇne´ho jazyka – pomocı´ automatu.

5

Abeceda a slovo jsou v teorii forma´lnıćh jazyku˚ jine´ pojmy nezˇ v klasicke´ jazykoveˇdeˇ.

Pro konecˇnou reprezentaci nekonecˇnyćh jazyku˚ se pouzˇ´ıvajı´ gramatiky a automaty.

Prˇ´ıklad 1.11. Uvazˇme mnozˇiny A = {Eva, Jan, zajıć} a B = {spı´, beˇzˇ´ı}. Potom AB = {Evaspı´, Janspı´, zajıćspı´, Evabeˇzˇ´ı, Janbeˇzˇ´ı, zajıćbeˇzˇ´ı}. Definice 1.12. Gramatikou nazy´va´me usporˇa´danou cˇtverˇici G = (N, Σ, P, S), kde N je abeceda se symboly zvany´mi netermina´ly, Σ je abeceda se symboly zvany´mi termina´ly, splnˇujıćı´ podmıńku N ∩ Σ = ∅, P ⊆ (N ∪ Σ)∗ N (N ∪ Σ)∗ × (N ∪ Σ)∗ je konecˇna´ mnozˇina pravidel; jejı´ prvky tvaru (α, β) pı´sˇeme obvykle jako α → β (a cˇteme „α se prˇepisuje na β“), S ∈ N je pocˇa´tecˇnı´ symbol (netermina´l). Pru˚vodce studiem Pojem termina´l bude oznacˇovat (v souladu s anglickou terminologiı´) koncovy´ nebo za´veˇrecˇny´ prvek, zatı´mco netermina´l bude znacˇit prvek, ktery´ koncovy´ nenı´ a je zapotrˇebı´ s nı´m urcˇity´m zpu˚sobem pracovat jesˇteˇ da´l. Vsˇe bude jasneˇjsˇ´ı azˇ po definici jazyka generovane´ho gramatikou. Mu˚zˇeme prˇedeslat, zˇe tento jazyk bude obsahovat pouze rˇeteˇzy termina´lnıćh symbolu˚; netermina´ly budou hra´t roli pomocnyćh symbolu˚ (ovsˇem s nezastupitelnou rolı´). Proto je take´ v definici gramatiky pozˇadavek, aby mnozˇiny termina´lu˚ a netermina´lu˚ neobsahovaly zˇa´dny´ spolecˇny´ prvek. Poneˇkud delsˇ´ı popis mnozˇiny pravidel P lze slovneˇ vyja´drˇit tak, zˇe v kazˇde´m pravidle α → β ∈ P jsou α i β rˇeteˇzy, v nichzˇ se mohou vyskytovat jak netermina´ly tak termina´ly. U rˇeteˇzu α je navıć pozˇadavek, zˇe musı´ obsahovat alesponˇ jeden netermina´lnı´ symbol. Odtud vyply´va´, zˇe naprˇ´ıklad ε → S nemu˚zˇe by´t pravidlo v zˇa´dne´ gramatice. Prˇi praći s gramatikami je cˇasto pouzˇ´ıvańa na´sledujıćı´ konvence: • Netermina´ly jsou obvykle oznacˇovańy velky´mi pı´smeny ze zacˇa´tku latinske´ abecedy, tj. A, B, C, . . . • Termina´ly jsou obvykle oznacˇovańy maly´mi pı´smeny ze zacˇa´tku latinske´ abecedy, tj. a, b, c, . . .

Cˇaste´ zpu˚soby oznacˇovańı´ termina´lu˚, netermina´lu˚ a obecnyćh rˇeteˇzu˚

ˇ eteˇzy nad abecedou N ∪ Σ jsou cˇasto oznacˇovańy maly´mi pı´smeny ze zacˇa´tku rˇecke´ • R anebo konce latinske´ abecedy, tj. α, β, γ, z, y, x, apod. • Skupina pravidel

α → β1 α → β2 .. .

α → βn je cˇasto zapisovańa ve zkraćene´ podobeˇ jako α → β1 | β2 | . . . | βn . Pozna´mka 1.13. Na za´kladeˇ pra´veˇ uvedene´ konvence by´va´ cˇasto popis gramatiky redukovań na vyćˇet pravidel, ktera´ obsahuje. Mlcˇky se prˇedpokla´da´, zˇe dana´ gramatika zahrnuje pocˇa´tecˇnı´ netermina´l S, mnozˇina netermina´lu˚ da´le obsahuje vsˇechny symboly, jezˇ jsou v mnozˇineˇ pravidel oznacˇeny velky´mi pı´smeny latinske´ abecedy, podobneˇ se zı´ska´ mnozˇina termina´lu˚. Definice gramatiky by na´m nebyla mnoho platna´ bez dalsˇ´ıho vysveˇtlenı´, jak se pouzˇ´ıva´ pro popis (prˇesneˇji pro generovańı´) jazyka. Tomuto vysveˇtlenı´ veˇnujeme zbytek kapitoly. Definice 1.14. Jestlizˇe (N, Σ, P, S) je gramatika, pak na mnozˇineˇ (N ∪ Σ)∗ definujeme bina´rnı´ relaci prˇ´ıme´ho odvozenı´ (prˇ´ıme´ derivace; ozn. ji ⇒) na´sledovneˇ. Pro libovolne´ α, β ∈ (N ∪Σ)∗ klademe α ⇒ β, pra´veˇ kdyzˇ existujı´ u, v ∈ (N ∪Σ)∗ a y → x ∈ P tak, zˇe α = uyv a β = uxv. Rˇ´ıka´me, zˇe rˇeteˇz β je prˇ´ımo odvozen z rˇeteˇzu α (anebo zˇe z rˇeteˇzu α se prˇ´ımo derivuje rˇeteˇz β).

6

Gramatika by´va´ cˇasto zadańa pouhy´m vyćˇtem pravidel.

Pru˚vodce studiem Prˇ´ıme´ odvozenı´ rˇeteˇzu β z rˇeteˇzu α znamena´ existenci pravidla y → x takove´ho, zˇe nahradı´me-li neˇktery´ podrˇeteˇz rˇeteˇzu α rovny´ y rˇeteˇzem x, dostaneme mı´sto α rˇeteˇz β. Anizˇ bychom cˇtena´rˇe zateˇzˇovali forma´lnı´ definicı´ prˇepisovacı´ho syste´mu, mu˚zˇeme konstatovat, zˇe gramatika spolu se zpu˚sobem odvozovańı´ rˇeteˇzu˚ reprezentuje konkre´tnı´ prˇ´ıpad takove´ho prˇepisovacı´ho syste´mu.

Vzhledem k tomu, zˇe se v textu opakovaneˇ setka´me s beˇzˇny´m algebraicky´m pojmem uza´veˇr bina´rnı´ relace, radeˇji si jej prˇipomenˇme definicı´. Definice 1.15. Necht’ r je bina´rnı´ relace na mnozˇineˇ X.

Prˇipomenutı´ uza´veˇru˚ relacı´

1) Reflexivnı´m uza´veˇrem r nazveme relaci r0 splnˇujıćı´ vlastnosti: a) Pro vsˇechna x ∈ X platı´ (x, x) ∈ r0 , b) Pro vsˇechna x, y ∈ X, x 6= y, platı´ (x, y) ∈ r0 , pra´veˇ kdyzˇ (x, y) ∈ r. 2) Tranzitivnı´m uza´veˇrem r nazveme relaci r00 definovanou induktivneˇ: a) Pro vsˇechna x, y ∈ X, (x, y) ∈ r, platı´ (x, y) ∈ r00 , b) Pro vsˇechna x, y, z ∈ X, (x, y) ∈ r00 , (y, z) ∈ r00 , platı´ (x, z) ∈ r00 . 3) Reflexivnı´m a tranzitivnı´m uza´veˇrem r nazveme relaci r˜ vzniklou sjednocenı´m relacı´ r0 a r00 . Pru˚vodce studiem Bod 2) prˇedesˇle´ definice lze cha´pat tak, zˇe relaci r00 mu˚zˇeme postupneˇ sestavovat zahrnutı´m vsˇech prvku˚ relace r a opakovany´m „prˇida´vańı´m“ prvku˚ (x, z) ∈ X × X, k nimzˇ existujı´ prvky (x, y), (y, z) z doposud zkonstruovane´ (cha´pej nehotove´) relace (cˇili mnozˇiny) r00 . V prˇ´ıpadeˇ nekonecˇne´ mnozˇiny X bychom sice mohli dostat nekonecˇny´ proces, ale da´ se na to nahlı´zˇet take´ obraćeneˇ: r00 obsahuje kromeˇ prvku˚ r pouze prvky, k nimzˇ lze dojı´t konecˇneˇ mnoha kroky pra´veˇ popsane´ho procesu.

Prˇ´ıklad 1.16. Podı´vejme se na bina´rnı´ relaci r = {(a, b), (b, c), (c, d)}. Grafy na obr. 1 zna´zornˇujı´ postupneˇ relaci r, tranzitivnı´ uza´veˇr r a reflexivnı´ a tranzitivnı´ uza´veˇr r. a

d

a

d

a

d

b

c

b

c

b

c

relace r

tranzitivní uzávěr relace r

reflexivní a tranzitivní uzávěr relace r

Obra´zek 1: Uka´zky uza´veˇru˚ relacı´

Definice 1.17. Reflexivnı´ a tranzitivnı´ uza´veˇr relace ⇒ nazy´va´me relacı´ odvozenı´ (relacı´ derivace) a znacˇ´ıme ⇒∗ . Tranzitivnı´ uza´veˇr relace ⇒ oznacˇujeme ⇒+ . 7

Prˇ´ıklad 1.18. V prˇ´ıpadeˇ gramatiky obsahujıćı´ pravidla S → aSS | ab zrˇejmeˇ platı´ S ⇒ aSS ⇒ aSab ⇒ aabab. Lze tedy naprˇ. psa´t

S ⇒∗ S, S ⇒∗ aSab, aSS ⇒+ aabab.

Nynı´ ma´me k dispozici vsˇechny pojmy potrˇebne´ k popisu generovańı´ jazyka gramatikou. Do takove´ho jazyka zahrneme vsˇechny termina´lnı´ rˇeteˇzy odvoditelne´ z pocˇa´tecˇnı´ho symbolu prostrˇednictvı´m pravidel dane´ gramatiky. Forma´lneˇ tuto skutecˇnost popisuje na´sledujıćı´ definice. Definice 1.19. Jazykem generovany´m gramatikou G = (N, Σ, P, S) nazy´va´me mnozˇinu L(G) = {w ∈ Σ∗ ; S ⇒∗ w}. Prˇ´ıklad 1.20. Uvazˇme gramatiku G = (N, Σ, P, S), kde N = {S, C}, Σ = {−, 0, 1, . . . , 9} a P obsahuje pouze pravidla S → −C | C, C → CC | 0 | 1 | . . . | 9. Pak jsou v gramatice G mozˇna´ naprˇ´ıklad na´sledujıćı´ odvozenı´: S ⇒ −C ⇒ −CC ⇒ −CCC ⇒ −3CC ⇒ −32C ⇒ −329, S ⇒ C ⇒∗ CCC ⇒∗ 152. Nenı´ teˇzˇke´ oveˇrˇit, zˇe jazyk generovany´ gramatikou G zahrnuje mnozˇinu vsˇech za´pisu˚ celyćh cˇ´ısel v dekadicke´ cˇ´ıselne´ soustaveˇ (vcˇetneˇ „nadbytecˇnyćh“ nul na zacˇa´tku cˇ´ısel, tj. naprˇ 0025). Prˇ´ıklad 1.21. Meˇjme gramatiku G, jejı´zˇ mnozˇina pravidel P obsahuje pouze pravidla S → ε | ASB, AB → BA, A → a, B → b. (Zby´vajıćı´ slozˇky popisu gramatiky G, tj. N, Σ, S, zı´ska´me na za´kladeˇ pozna´mky 1.13.) Pouzˇ´ıva´me-li opakovaneˇ pravidla 1. skupiny, pak mu˚zˇeme dospeˇt bud’ k derivaci S⇒ε anebo k derivacı´m S ⇒∗ An SB n , S ⇒∗ An B n , kde n ∈ N. Tj. pocˇet netermina´lu˚ A je v odvozovanyćh rˇeteˇzech stejny´ jako pocˇet netermina´lu˚ B. Pravidlo 2. skupiny pouze zameˇnˇuje porˇadı´ netermina´lu˚ A a B v derivovanyćh rˇeteˇzech. Pravidla 3. skupiny pak prˇeva´deˇjı´ netermina´ly A, B na termina´ly a, b. To, zˇe naprˇ. pravidla 1. skupiny mohou by´t pouzˇita i po pravidlech 2. cˇi 3. skupiny, zrˇejmeˇ nic nemeˇnı´ na skutecˇnosti, zˇe gramatika G generuje jazyk obsahujıćı´ vy´hradneˇ rˇeteˇzy se stejny´mi pocˇty symbolu˚ a a symbolu˚ b. Odtud L(G) = {w ∈ {a, b}∗ ; w obsahuje stejny´ pocˇet a jako b}.

8

Shrnutı´ Abeceda znamena´ konecˇnou nepra´zdnou mnozˇinu. Rˇeteˇz (slovo) nad abecedou X je konecˇna´ posloupnost symbolu˚ z X. Podrˇeteˇz rˇeteˇzu sesta´vajıćı´ho z posloupnosti symbolu˚ (ai )ni=1 je tvorˇen libovolnou (i pra´zdnou) podposloupnostı´. Zrˇeteˇzenı´ rˇeteˇzu˚ a1 · · · am a b1 · · · bn da´va´ rˇeteˇz a1 · · · am b1 · · · bn . Pra´zdny´ ˇreteˇz ε je rˇeteˇz nulove´ de´lky, tj. neobsahuje zˇa´dny´ symbol. Uza´veˇr mnozˇiny X obsahuje vsˇechny rˇeteˇzy nad X. Pozitivnı´ uza´veˇr mnozˇiny X obsahuje vsˇechny rˇeteˇzy kladnyćh de´lek nad X. Kazˇda´ podmnozˇina uza´veˇru abecedy X je jazykem nad X. Pra´zdny´ jazyk neobsahuje zˇa´dny´ rˇeteˇz a (ne)konecˇny´ jazyk obsahuje (ne)konecˇneˇ mnoho rˇeteˇzu˚. Zrˇeteˇzenı´ mnozˇin A a B obsahuje vsˇechna existujıćı´ zrˇeteˇzenı´ uv, kde u ∈ A a v ∈ B. Gramatika je tvorˇena abecedou netermina´lu˚ (z nichzˇ jeden je vyznacˇen jako pocˇa´tecˇnı´ – zpravidla jej oznacˇujeme symbolem S), abecedou termina´lu˚ a konecˇnou mnozˇinou prˇepisovacıćh pravidel. Prˇepisovacı´ pravidlo ma´ levou stranu tvorˇenu rˇeteˇzem obsahujıćı´m libovolny´ pocˇet termina´lu˚ a libovolny´ kladny´ pocˇet netermina´lu˚. Prava´ strana kazˇde´ho prˇepisovacı´ho pravidla je tvorˇena rˇeteˇzem obsahujıćı´m libovolne´ pocˇty termina´lu˚ a netermina´lu˚. Prˇ´ımy´m odvozenı´m rˇeteˇzu β z rˇeteˇzu α (pomocı´ pravidel dane´ gramatiky), oznacˇovany´m α ⇒ β, rozumı´me to, zˇe s pomocı´ neˇktere´ho pravidla prˇepı´sˇeme neˇjaky´ podrˇeteˇz rˇeteˇzu α a dostaneme β. Prˇepisem pomocı´ pravidla y → x ma´me na mysli na´hradu y rˇeteˇzem x. Odvozenı´m rˇeteˇzu β z rˇeteˇzu α (znacˇeno α ⇒∗ β) rozumı´me to, zˇe bud’ β = α anebo existuje n > 1 a posloupnost rˇeteˇzu˚ (γi )ni=1 takova´, zˇe γ1 = α, γn = β a γi ⇒ γi+1 pro vsˇechna i ∈ {1, . . . , n − 1}. Jazyk generovany´ gramatikou sesta´va´ ze vsˇech termina´lnıćh rˇeteˇzu˚, jezˇ lze odvodit z pocˇa´tecˇnı´ho symbolu pomocı´ pravidel dane´ gramatiky. Pojmy k zapamatovańı´ • • • • • • • • • • •

Abeceda, rˇeteˇz (pra´zdny´, de´lka, zrˇeteˇzenı´), podrˇeteˇz, jazyk nad abecedou (pra´zdny´, konecˇny´, nekonecˇny´), zrˇeteˇzenı´ jazyku˚, bina´rnı´ relace (prˇ´ıme´ho odvozenı´, odvozenı´, reflexivnı´ a tranzitivnı´ uza´veˇr), gramatika, netermina´l, termina´l, pocˇa´tecˇnı´ symbol, jazyk generovany´ gramatikou.

Kontrolnı´ ota´zky 1. Tvorˇ´ı mnozˇina vsˇech rˇeteˇzu˚ nul a jednicˇek abecedu? 2. Uvazˇme libovolnou abecedu X (tj. konecˇnou a nepra´zdnou mnozˇinu). Je pozitivnı´ uza´veˇr X konecˇna´ nebo nekonecˇna´ mnozˇina? 3. Jaky´ je rozdı´l mezi pra´zdny´m jazykem a jazykem L = {ε}? 4. Je zrˇeteˇzenı´ mnozˇin komutativnı´ operace, tj. platı´ AB = BA pro libovolne´ mnozˇiny A, B?

9

Alternativnı´ popis odvozenı´

Cvicˇenı´ 1. Urcˇete mnozˇiny A, B takove´, zˇe AB = {ba2 b, ba3 b, ba4 b} a kazˇdy´ rˇeteˇz z A i z B ma´ de´lku nejmeńeˇ 2. 2. Najdeˇte gramatiku, ktera´ generuje pra´zdny´ jazyk. 3. Najdeˇte gramatiku, ktera´ generuje jazyk L = {ε}. 4. Najdeˇte gramatiku, ktera´ generuje jazyk L = {b2 , b3 , b2 a, b3 a, ab2 , ab3 }.

´ koly k textu U 1. Jizˇ vı´te, zˇe gramatika je obecneˇ definovańa s ohledem na jazyk, ktery´ ma´ generovat. Rozmyslete si, jake´ du˚sledky pro definici gramatiky G coby usporˇa´dane´ cˇtverˇice (N, Σ, P, S) by meˇlo vynechańı´ pozˇadavku w ∈ Σ∗ obsazˇene´ho v definici jazyka generovane´ho gramatikou G. 2. Gramatiky jsou zava´deˇny pro popis jazyku˚. Objasneˇte du˚vod, procˇ je vyzˇadovańa konecˇnost jednotlivyćh slozˇek gramatiky. 3. Zjisteˇte, jak by vypadaly generativnı´ mozˇnosti gramatiky, kdybychom v jejı´ definici mı´sto pozˇadavku S ∈ N vyzˇadovali S ∈ Σ. 4. Zmeˇnˇte pravidla gramatiky z prˇ´ıkladu 1.20 tak, aby generovany´ jazyk reprezentoval mnozˇinu vsˇech celyćh cˇ´ısel a prˇitom neobsahoval zˇa´dny´ rˇeteˇz s prvnı´m symbolem rovny´m 0 a zˇa´dny´ rˇeteˇz s podrˇeteˇzem −0.

ˇ esˇenı´ R ˇ eteˇz ba2 b vznikl jisteˇ zrˇeteˇzenı´m ba a ab, protozˇe naprˇ. b a a2 b nesplnˇujı´ podmıńku 1. R de´lky nejmeńeˇ 2. Odtud ba ∈ A, ab ∈ B. To spolu se vztahem ba3 b ∈ AB vede k mozˇnostem a) ba2 ∈ A a a2 b 6∈ B, b) ba2 6∈ A a a2 b ∈ B, c) ba2 ∈ A a a2 b ∈ B. Vztah ba4 b ∈ AB da´va´ v prˇ´ıpadeˇ a) vy´sledek A = {ba, ba2 , ba3 } a B = {ab}, b) vy´sledek A = {ba} a B = {ab, a2 b, a3 b}, c) vy´sledek A = {ba, ba2 } a B = {ab, a2 b}. 2. Pozˇadovana´ gramatika nesmı´ mı´t zˇa´dnou mozˇnost odvozenı´ termina´lnı´ho rˇeteˇzu z pocˇa´tecˇnı´ho symbolu. Existuje nekonecˇneˇ mnoho gramatik s touto vlastnostı´. Bud’ ji splnˇujı´ trivia´lneˇ tı´m, zˇe majı´ pra´zdnou mnozˇinu pravidel, anebo netrivia´lneˇ – naprˇ´ıklad a) P obsahuje pouze pravidlo S → aS, b) P obsahuje pouze pravidla S → aA|A, A → aS|S, apod. 3. Stacˇ´ı vzı´t z prˇedchozı´ho prˇ´ıkladu libovolnou gramatiku, ktera´ nema´ na prave´ straneˇ zˇa´dne´ho sve´ho pravidla pocˇa´tecˇnı´ symbol S, a obohatit ji o pravidlo S → ε. 4. I zde existuje nekonecˇneˇ mnoho vyhovujıćıćh gramatik – naprˇ. a) S → b2 | b3 | b2 a | b3 a | ab2 | ab3 | AaA, A → SAS. b) S → A | Aa | aA, A → b2 | b3 . 10

Generativnı´ sı´la gramatiky se nezmeˇnı´, obohatı´me-li ji o pravidla negenerujıćı´ zˇa´dne´ termina´lnı´ rˇeteˇzy.

1.2

Chomske´ho hierarchie gramatik

Studijnı´ cı´le: Po prostudovańı´ kapitoly bude studujıćı´ umeˇt klasifikovat forma´lnı´ jazyky a gramatiky. Klıćˇova´ slova: Regula´rnı´ jazyk, bezkontextovy´ jazyk, kontextovy´ jazyk, jazyk typu 0, regula´rnı´ gramatika, bezkontextova´ gramatika, kontextova´ gramatika, gramatika typu 0. Potrˇebny´ cˇas: 30 minut. Nejzna´meˇjsˇ´ı klasifikaci gramatik prˇedstavuje Chomske´ho2 (cˇti cˇomske´ho) hierarchie. V te´to klasifikaci jsou gramatiky odlisˇovańy na za´kladeˇ omezenı´ stanovenyćh pro tvar pravidel. Na jednom konci te´to hierarchie budou omezenı´ znacˇneˇ volna´, na opacˇne´m konci pak omezenı´ velmi svazujıćı´. Pru˚vodce studiem Je pochopitelne´, zˇe gramatika s mensˇ´ım mnozˇstvı´m pravidel (podle´hajıćı´m prˇ´ısneˇjsˇ´ım pozˇadavku˚m) je schopna vygenerovat meńeˇ rˇeteˇzu˚, a tedy take´ „chudsˇ´ı“ jazyk, nezˇ gramatika s veˇtsˇ´ım mnozˇstvı´m pravidel. Pozdeˇji se vsˇak dozvı´te, zˇe ony „chudsˇ´ı“ jazyky lze zpracova´vat pomocı´ jednodusˇsˇ´ıch automatu˚ nezˇ jazyky „bohatsˇ´ı “. Pokud na´s tedy rˇesˇenı´ neˇjake´ho proble´mu (naprˇ´ıklad proble´mu sestavenı´ prˇekladacˇe pro neˇktery´ programovacı´ jazyk) dovede k teorii forma´lnıćh jazyku˚, nasˇ´ım prvorˇady´m cı´lem je vybrat z klasifikace jazyku˚ „nejblizˇsˇ´ı veˇtsˇ´ı“ typ jazyka – veˇtsˇ´ı proto, aby zahrnoval vsˇechny mozˇne´ prˇ´ıpady rˇesˇene´ho proble´mu, nejblizˇsˇ´ı proto, aby se k rˇesˇenı´ dal pouzˇ´ıt co nejjednodusˇsˇ´ı typ automatu.

∗ pro doveˇtek: „s eventua´lnı´ V na´sledujıćı´ definici i pozna´mce neˇkolikra´t pouzˇijeme symbol vy´jimkou pravidla S → ε, prˇicˇemzˇ pak se S nesmı´ vyskytovat na prave´ straneˇ zˇa´dne´ho pravidla gramatiky G“. Definice 1.22 (Chomske´ho hierarchie). a) Vy´sˇe definovane´ gramatiky nazy´va´me gramatikami typu 0. Necht’G = (N, Σ, P, S) je gramatika. b) Jestlizˇe pro vsˇechna pravidla α → β ∈ P platı´ ∗ kde γ1 , γ2 ∈ (N ∪ Σ)∗ , A ∈ N, δ ∈ (N ∪ Σ)+ , α = γ1 Aγ2 a β = γ1 δγ2 , pak G se nazy´va´ gramatikou typu 1 nebo kontextovou gramatikou. c) Jestlizˇe pro vsˇechna pravidla α → β ∈ P platı´ ∗ α ∈ N a β ∈ (N ∪ Σ)+ , pak G se nazy´va´ gramatikou typu 2 nebo bezkontextovou gramatikou. d) Jestlizˇe pro vsˇechna pravidla α → β ∈ P platı´ ∗ α ∈ N a β ∈ Σ ∪ Σ · N , pak G se nazy´va´ gramatikou typu 3 nebo regula´rnı´ gramatikou. Pru˚vodce studiem Kontextova´ gramatika ma´ svu˚j na´zev podle zpu˚sobu prˇepisovańı´ odvozovanyćh rˇeteˇzu˚ – pokud se netermina´l A vyskytuje obklopeny´ rˇeteˇzy γ1 a γ2 (cˇili v kontextu γ1 , γ2 ), mu˚zˇe by´t prˇepsań na rˇeteˇz δ (samozrˇejmeˇ se zachovańı´m okolnı´ho kontextu γ1 , γ2 ). Vsˇimneˇte si, zˇe kontext mu˚zˇe by´t tvorˇen i pra´zdny´mi rˇeteˇzy ε, tj. kontextova´ gramatika mu˚zˇe obsahovat pravidla umozˇnˇujıćı´ prˇepis netermina´lu bez ohledu na sousednı´ symboly (cˇi rˇeteˇzy). 2

Podle veˇhlasne´ho americke´ho lingvisty Noama Chomske´ho.

11

Bezkontextova´ gramatika obsahuje vy´hradneˇ „bezkontextova´“ pravidla, z nichzˇ kazˇde´ mu˚zˇe by´t pouzˇito k prˇepisu netermina´lu umı´steˇne´ho kdekoliv v prˇepisovane´m rˇeteˇzu. Regula´rnı´ gramatika obsahuje s vy´jimkou prˇ´ıpadne´ho pravidla S → ε pouze pravidla, na jejichzˇ pravyćh stranaćh jsou pouze rˇeteˇzy de´lky 1 (1 termina´l) anebo de´lky 2 (termina´l na´sledovany´ netermina´lem).

Pozna´mka 1.23. Kontextovou gramatiku je mozˇne´ cˇasto najı´t s odlisˇnou definicı´ 3 : Kazˇde´ ∗ Takto definovana´ gramatika je pravidlo α → β ∈ P musı´ splnˇovat podmıńku |α| ≤ |β| . obcˇas prˇile´haveˇ nazy´vańa monotońnı´ gramatikou. Du˚kaz toho, zˇe trˇ´ıdy jazyku˚ generovanyćh kontextovy´mi a monotońnı´mi gramatikami jsou stejne´, lze nale´zt naprˇ´ıklad v [Chy82]. Veˇta 1.24. Necht’ i ∈ {1, 2, 3}. Kazˇda´ gramatika typu i je take´ gramatikou typu i − 1. Du˚kaz. Tvrzenı´ prˇ´ımo vyply´va´ z definic prˇ´ıslusˇnyćh gramatik.

Prˇ´ıklad 1.25. Zjisteˇte, o kterou gramatiku se jedna´: a) G1 obsahuje pouze pravidla S → bSb | a, b) G2 obsahuje pouze pravidla S → aA | ε, A → aB | a, B → aA, c) G3 obsahuje pouze pravidla S → Aa | bA, Aa → bAa | ba, bA → bAa | ba, d) G4 obsahuje pouze pravidla S → aS | b, b → Sa. Rˇesˇenı´: a) G1 nenı´ regula´rnı´ gramatikou, protozˇe pravidlo S → bSb ma´ na prave´ straneˇ rˇeteˇz de´lky 3. G1 je gramatikou bezkontextovou, nebot’ u kazˇde´ho pravidla je leva´ strana tvorˇena pra´veˇ jednı´m netermina´lem a prava´ strana rˇeteˇzem kladne´ de´lky. b) G2 je regula´rnı´ gramatikou, protozˇe u kazˇde´ho pravidla je leva´ strana tvorˇena pra´veˇ jednı´m netermina´lem a prava´ strana je (s vy´jimkou pravidla S → ε; vsˇimneˇte si, zˇe S nefiguruje na prave´ straneˇ zˇa´dne´ho pravidla) tvorˇena bud’ jednı´m termina´lem anebo rˇeteˇzem de´lky 2, kde je termina´l na´sledovań netermina´lem. c) G3 nenı´ ani regula´rnı´ ani bezkontextovou gramatikou, nebot’ neˇktera´ pravidla neobsahujı´ na levyćh stranaćh pouze jeden netermina´l. Jde o gramatiku kontextovou, ktera´ kromeˇ bezkontextovyćh pravidel S → Aa | bA obsahuje rovneˇzˇ kontextova´ pravidla Aa → bAa | ba s kontextem tvorˇeny´m rˇeteˇzy ε, a a kontextova´ pravidla bA → bAa | ba s kontextem tvorˇeny´m rˇeteˇzy b, ε. d) G4 nesplnˇuje definici gramatiky, protozˇe „pravidlo“ b → Sa nema´ na leve´ straneˇ zˇa´dny´ netermina´l.

3

V literaturˇe lze narazit na odlisˇne´ definice u vıće typu˚ gramatik. Obvykle jde o vıćemeńeˇ drobnou modifikaci a neby´va´ obtı´zˇne´ doka´zat, zˇe trˇ´ıda generovanyćh jazyku˚ je stejna´, poprˇ. se lisˇ´ı jenom neprˇ´ıtomnostı´ pra´zdnyćh rˇeteˇzu˚ v teˇchto jazycıćh, cozˇ prˇedstavuje snadno odstranitelny´ rozdı´l.

12

V literaturˇe je kontextova´ gramatika cˇasto definovańa pomocı´ monotońnı´ gramatiky.

ˇ ´ıka´me, zˇe jazyk je typu i, pra´veˇ kdyzˇ existuje gramatika Definice 1.26. Necht’ i ∈ {0, 1, 2, 3}. R typu i, ktera´ jej generuje. Pouzˇ´ıva´me take´ na´zvy: kontextovy´ jazyk (mı´sto jazyka typu 1), bezkontextovy´ jazyk (mı´sto jazyka typu 2), regula´rnı´ jazyk (mı´sto jazyka typu 3). Veˇta 1.27. Necht’ i ∈ {1, 2, 3}. Kazˇdy´ jazyk typu i je take´ jazykem typu i − 1. Du˚kaz. Jde o prˇ´ımy´ du˚sledek veˇty 1.24. Pozna´mka 1.28. Prˇedchozı´ veˇta na´m nic nerˇ´ıka´ o odlisˇitelnosti jazyku˚ typu i od jazyku˚ typu i − 1. Da´ se ovsˇem doka´zat existence jazyka typu i − 1 (pro kazˇde´ i ∈ {1, 2, 3}), ktery´ nenı´ jazykem typu i. Prˇ´ıslusˇne´ du˚kazy by ovsˇem neu´meˇrneˇ zveˇtsˇily rozsah tohoto textu, a proto odka´zˇeme za´jemce na podrobneˇjsˇ´ı literaturu (naprˇ. [Sal73] nebo [Hop69]).

Shrnutı´ Chomske´ho hierarchie prˇedstavuje klasickou klasifikaci gramatik i jazyku˚. Gramatika typu 0 ma´ na leve´ straneˇ kazˇde´ho sve´ho pravidla rˇeteˇz obsahujıćı´ alesponˇ jeden netermina´l, na prave´ straneˇ rˇeteˇz libovolne´ de´lky. Kontextova´ gramatika ma´ na leve´ straneˇ kazˇde´ho sve´ho pravidla netermina´l „obklopeny´“ kontextem tvorˇeny´m rˇeteˇzy libovolnyćh de´lek, na prave´ straneˇ rˇeteˇz kladne´ de´lky „obklopeny´“ tı´mte´zˇ kontextem. Bezkontextova´ gramatika ma´ levou stranu kazˇde´ho sve´ho pravidla tvorˇenu jednı´m netermina´lem, pravou stranu rˇeteˇzem kladne´ de´lky. Regula´rnı´ gramatika ma´ levou stranu kazˇde´ho sve´ho pravidla tvorˇenu jednı´m netermina´lem, pravou stranu jednı´m termina´lem anebo rˇeteˇzem de´lky 2 obsahujıćı´m termina´l a netermina´l v tomto porˇadı´. Kvu˚li tomu, aby zminˇovane´ gramatiky mohly vygenerovat pra´zdny´ rˇeteˇz ε, prˇida´va´me k definicı´m kontextove´, bezkontextove´ a regula´rnı´ gramatiky mozˇnost vy´skytu pravidla S → ε s omezenı´m, zˇe v takove´m prˇ´ıpadeˇ gramatika nesmı´ mı´t pocˇa´tecˇnı´ symbol S na prave´ straneˇ zˇa´dne´ho sve´ho pravidla. Kazˇdy´ jazyk typu 0 je generovań gramatikou typu 0. Podobneˇ je kazˇdy´ kontextovy´ (bezkontextovy´, regula´rnı´) jazyk generovań kontextovou (bezkontextovou, regula´rnı´) gramatikou. Oznacˇ´ıme-li symboly L0 , L1 , L2 a L3 postupneˇ trˇ´ıdu jazyku˚ typu 0, typu 1 (tj. kontextovyćh), typu 2 (tj. bezkontextovyćh) a typu 3 (tj. regula´rnıćh), pak platı´ vztahy: L3 ⊂ L2 ⊂ L1 ⊂ L0 . Pojmy k zapamatovańı´ • • • • • • • •

Regula´rnı´ jazyk, bezkontextovy´ jazyk, kontextovy´ jazyk, jazyk typu 0, regula´rnı´ gramatika, bezkontextova´ gramatika, kontextova´ gramatika, gramatika typu 0.

Kontrolnı´ ota´zky 1. Je kazˇdy´ regula´rnı´ jazyk kontextovy´m jazykem? 2. Existuje bezkontextovy´ jazyk, ktery´ nenı´ regula´rnı´? 13

3. Co mu˚zˇete prohla´sit o jazyku generovane´m gramatikou s pravidly S → aSSb | b, aS → Sb, bS → SSS? Cvicˇenı´ 1. Oveˇrˇte, zˇe jazyk L = {ε} je regula´rnı´. 2. Oveˇˇrte, zˇe jazyk L = {bn abn ; n ∈ N} je bezkontextovy´. 3. Dokazˇte, zˇe kazˇdy´ konecˇny´ jazyk je regula´rnı´.

´ koly k textu U 1. Promyslete podrobneˇ du˚kaz veˇty 1.24 pro jednotliva´ i. ∗ nenı´ prˇipojen k definici gramatiky typu 0. 2. Zjisteˇte, procˇ doveˇtek

ˇ esˇenı´ R 1. Jazyk je generovań regula´rnı´ gramatikou s jediny´m pravidlem: S → ε. 2. Jazyk je generovań naprˇ´ıklad bezkontextovou gramatikou, ktera´ obsahuje pouze pravidla S → bSb | bab. 3. Uvazˇme libovolnou abecedu Σ. Kazˇdy´ rˇeteˇz nad abecedou Σ lze vygenerovat pomocı´ konecˇneˇ mnoha „regula´rnıćh“ pravidel: a) ε lze generovat pomocı´ S → ε, b) a ∈ Σ lze generovat pomocı´ S → a, c) a1 · · · an ∈ Σ+ , kde n > 1, lze generovat pomocı´ ozn.

S = A0 → a1 A1 , .. . An−2 → an−1 An−1 , An−1 → an , kde Ai 6= Aj pro vsˇechna i, j ∈ {0, . . . , n − 1}, i 6= j. Kazˇdy´ konecˇny´ jazyk L ⊂ Σ∗ obsahuje konecˇneˇ mnoho rˇeteˇzu˚. Bez u´jmy na obecnosti lze jisteˇ prˇedpokla´dat, zˇe netermina´ly vyskytujıćı´ se v pravidlech popsanyćh vy´sˇe jsou s vy´jimkou S pro libovolne´ dva ru˚zne´ rˇeteˇzy z L pokazˇde´ jine´. Mnozˇina P vsˇech pravidel sestavenyćh dle bodu˚ a), b), c) pro vsˇechny rˇeteˇzy z L je tedy konecˇna´. Gramatika G = (N, Σ, P, S), kde N je mnozˇina vsˇech netermina´lu˚ vyskytujıćıćh se v P (pokud P = ∅, klademe N = {S}), je podle definice regula´rnı´ gramatikou. Zrˇejmeˇ L = L(G). Jazyk L je proto regula´rnı´.

1.3

Konecˇne´ automaty

Studijnı´ cı´le: Po prostudovańı´ kapitoly bude studujıćı´ schopen forma´lneˇ popsat konecˇny´ automat v deterministicke´ i nedeterministicke´ varianteˇ a zpu˚sob, jaky´m prˇijı´ma´ jazyk. Da´le bude umeˇt doka´zat, zˇe trˇ´ıda deterministickyćh i trˇ´ıda nedeterministickyćh konecˇnyćh automatu˚ ma´ stejnou vy´pocˇetnı´ sı´lu. Rovneˇzˇ by meˇl by´t schopen objasnit vztah mezi konecˇny´mi automaty a regula´rnı´mi gramatikami. Klıćˇova´ slova: Konecˇny´ automat, nedeterministicky´ konecˇny´ automat. Potrˇebny´ cˇas: 120 minut.

14

Pru˚vodce studiem Zatı´mco gramatiky prˇedstavujı´ generativnı´ zarˇ´ızenı´, tj. umozˇnˇujı´ vygenerovat cely´ jazyk, opacˇny´ prˇ´ıstup, tzv. analyticky´, reprezentujı´ automaty: automat „analyzuje“ rˇeteˇz prˇedlozˇeny´ na jeho vstupu – v prˇ´ıpadeˇ prˇ´ıslusˇnosti tohoto rˇeteˇzu k jazyku automat signalizuje tuto skutecˇnost dohodnuty´m zpu˚sobem. Rozdı´lnost teˇchto prˇ´ıstupu˚ vynikne zejmeńa prˇi ˇresˇenı´ u´lohy, zda konkre´tnı´ slovo w patrˇ´ı do zadane´ho jazyka L. Pokud je L zadań naprˇ. gramatikou G typu 0, ktera´ jej generuje, jediny´ obecneˇ pouzˇitelny´ postup spocˇ´ıva´ v postupne´m generovańı´ slov z jazyka L(G) a jejich porovna´vańı´ s w. Pokud je vsˇak L urcˇen automatem A, stacˇ´ı da´t slovo w automatu A na jeho vstup a cˇekat, jestli bude akceptovańo. V cele´m textu si postupneˇ popı´sˇeme trˇi ru˚zne´ typy automatu˚: konecˇne´ automaty, za´sobnı´kove´ automaty a Turingovy stroje. Kazˇdy´ z nich prˇedstavuje jisty´ vy´pocˇetnı´ model, tj. abstraktnı´ zarˇ´ızenı´, ktere´ vsˇak mu˚zˇe by´t s veˇtsˇ´ı cˇi mensˇ´ı u´speˇsˇnostı´ realizovańo konkre´tnı´m vy´pocˇetnı´m syste´mem. Za´kladnı´ rozdı´l mezi jednotlivy´mi typy spocˇ´ıva´ v mozˇnosti vyuzˇ´ıvat neˇjaky´ druh pameˇt’ove´ho zarˇ´ızenı´, prˇ´ıpadneˇ v jeho usporˇa´dańı´ a zpu˚sobu praće s ulozˇeny´mi daty.

Nejjednodusˇsˇ´ım automatem je konecˇny´ automat, ktery´ nenı´ vybaven zˇa´dny´m specia´lnı´m pameˇt’ovy´m zarˇ´ızenı´m. Jde o stroj, ktery´ se mu˚zˇe nacha´zet v neˇktere´m z konecˇneˇ mnoha stavu˚, na za´kladeˇ pu˚sobıćı´ho podneˇtu (jednoho z konecˇneˇ mnoha) bud’ prˇejde do stavu jine´ho anebo setrva´ v aktua´lnı´m stavu, prˇicˇemzˇ dvojici aktua´lnı´ stav a pu˚sobıćı´ podneˇt pokazˇde´ odpovı´da´ tenty´zˇ vy´sledny´ stav. S pra´veˇ popsanou charakteristikou se mu˚zˇeme setkat v beˇzˇne´m zˇivoteˇ na mnoha mı´stech. Uvedene´ tvrzenı´ budeme demonstrovat na velmi jednoduche´m prˇ´ıkladu automaticky ovla´danyćh dverˇ´ı beˇzˇneˇ umı´st’ovanyćh prˇi vstupu do obchodu˚, bank, apod. Tyto dverˇe by´vajı´ vybaveny fotobunˇkou na vnitrˇnı´ i vneˇjsˇ´ı straneˇ. Mohou se nacha´zet v jednom ze stavu˚ OTEVRˇENO, ZAVRˇENO a pu˚sobıćı´mi podneˇty jsou: pohyb signalizovany´ asponˇ jednou fotobunˇkou a zˇa´dny´ pohyb. Jak jizˇ bylo uvedeno, na za´kladeˇ nove´ho podneˇtu prˇecha´zı´ syste´m z aktua´lnı´ho stavu do stavu nove´ho, nebo syste´m setrva´ v aktua´lnı´m stavu. Tak naprˇ. pohyb prˇed dverˇmi, jezˇ jsou ˇ ENO (OTEVR ˇ ENO) vede ke stavu OTEVR ˇ ENO (OTEVR ˇ ENO). U ´ plny´ vyćˇet ve stavu ZAVR vsˇech „prˇechodu˚“ da´va´ tabulka 1, kde v pru˚secˇ´ıku kazˇde´ho rˇa´dku s aktua´lnı´m stavem a sloupce s pu˚sobıćı´m podneˇtem najdete novy´ stav.

Pu˚sobıćı´ podneˇt

Aktua´lnı´ stav

pohyb

zˇa´dny´ pohyb

OTEVRˇENO

ˇ ENO OTEVR

ZAVRˇENO

ˇ ENO ZAVR

ˇ ENO OTEVR

ZAVRˇENO

Tabulka 1: Vyćˇet vsˇech prˇechodu˚ dverˇ´ı ovla´danyćh fotobunˇkou

Poneˇkud komplikovaneˇjsˇ´ımi zarˇ´ızenı´mi, jezˇ lze simulovat pomocı´ konecˇne´ho automatu, jsou naprˇ´ıklad • rychlovarna´ konvice • autıćˇko s jednoduchy´m da´lkovy´m ovla´dańı´m • vy´tah • na´pojovy´ automat

15

Gramatiky generujı´ jazyky, automaty „akceptujı´“ jazyky.

Konecˇny´ automat nema´ zˇa´dnou pameˇt’ovou jednotku.

Prˇi simulaci se vsˇak nemusı´me omezovat pouze na technicka´ zarˇ´ızenı´. Se stejny´m u´speˇchem lze konecˇny´ automat pouzˇ´ıt naprˇ. i na jednoduche´ modely • chovańı´ rostlin – mozˇne´ pu˚sobıćı´ podneˇty: ru˚zne´ kombinace sveˇtla, tepla a vlhkosti, – mozˇne´ stavy: ru˚st, stagnace, uvadańı´, u´hyn, • chovańı´ skupin lidı´ – mozˇne´ pu˚sobıćı´ podneˇty: ru˚zne´ kombinace uspokojovańı´ zˇivotnıćh a socia´lnıćh potrˇeb, – mozˇne´ stavy: spokojenost, lhostejnost, nervozita, panika.

Konecˇny´ automat mu˚zˇe simulovat syste´my studovane´ jak v prˇ´ırodnıćh tak v humanitnıćh veˇdaćh.

Pro konkre´tnı´ prˇedstavu mu˚zˇeme konecˇny´ automat cha´pat jako zarˇ´ızenı´ z obr. 2 skla´dajıćı´ se • z rˇ´ıdicı´ jednotky, ktera´ se mu˚zˇe nacha´zet v neˇktere´m z konecˇneˇ mnoha stavu˚, • ze vstupnı´ pa´sky, na nı´zˇ bude zapsań rˇeteˇz symbolu˚ prˇedstavujıćıćh posloupnost podneˇtu˚, jejichzˇ pu˚sobenı´ (ve stejne´m porˇadı´ jako jsou na pa´sce) bude konecˇny´ automat vystaven, • ze cˇtecı´ho zarˇ´ızenı´, s jehozˇ pomocı´ bude rˇ´ıdicı´ jednotka cˇ´ıst symbol z pa´sky, ktery´ je pra´veˇ „na rˇadeˇ“; vlastnı´ cˇtenı´ bude zprostrˇedkova´vat tzv. cˇtecı´ hlava.

a c c a c a

vstupní páska

čtecí hlava Řídicí jednotka

Obra´zek 2: Ilustrace konecˇne´ho automatu Jak bude probı´hat cˇinnost tohoto zarˇ´ızenı´? Vyćhozı´ prˇedpoklady: 1) Na vstupnı´ pa´sce bude zapsańo tzv. vstupnı´ slovo tvorˇene´ ze symbolu˚ abecedy konecˇne´ho automatu (nazy´vane´ vstupnı´ abecedou). Pa´ska (deˇlena´ na jednotliva´ polıćˇka) bude mı´t na kazˇde´m polıćˇku pra´veˇ jeden symbol a de´lka pa´sky bude stejna´ jako de´lka vstupnı´ho slova, tj. pa´ska je konecˇne´ de´lky a na jejı´m konci nejsou zˇa´dna´ nevyuzˇita´ polıćˇka. 2) Cˇtecı´ hlava je umı´steˇna nad prvnı´m (tj. nejleveˇjsˇ´ım) polıćˇkem pa´sky (a je tedy nachystańa ke cˇtenı´ 1. symbolu). 3) Konecˇny´ automat se nacha´zı´ ve vyznacˇene´m, takzvane´m pocˇa´tecˇnı´m stavu. Pru˚beˇh vy´pocˇtu: Vy´pocˇet probı´ha´ v jednotlivyćh krocıćh, prˇicˇemzˇ v kazˇde´m kroku konecˇny´ automat a) prˇecˇte symbol pod cˇtecı´ hlavou a posune cˇtecı´ hlavu o jedno polıćˇko doprava, b) na za´kladeˇ prˇecˇtene´ho vstupnı´ho symbolu a aktua´lnı´ho stavu prˇejde do stavu nove´ho, nebo setrva´ v aktua´lnı´m stavu. Informace o tom, jak se ma´ konkre´tneˇ zachovat, musı´ by´t soucˇa´stı´ popisu kazˇde´ho konecˇne´ho automatu; jiny´mi slovy, soucˇa´stı´ popisu kazˇde´ho konecˇne´ho automatu bude tzv. prˇechodova´ funkce, ktera´ jednoznacˇneˇ prˇirˇazuje kazˇde´ dvojici (stav, symbol vstupnı´ abecedy) konkre´tnı´ stav. Vyhodnocenı´ vy´pocˇtu: Po prˇecˇtenı´ vstupnı´ho slova zrˇejmeˇ skoncˇil konecˇny´ automat v neˇjake´m stavu – pokud pu˚jde o neˇjaky´ ze stavu˚, jezˇ budeme nazy´vat koncovy´mi, pak budeme tento vy´sledek cha´pat tak, zˇe konecˇny´ automat prˇ´ıslusˇne´ vstupnı´ slovo prˇijal (akceptoval). Pokud konecˇny´ automat skoncˇ´ı svou cˇinnost mimo koncovy´ stav, budeme to cha´pat jako zamı´tnutı´ vstupnı´ho slova.

16

Neforma´lnı´ popis cˇinnosti KA

Prˇejdeˇme nynı´ k forma´lnı´, a tedy exaktnı´ definici konecˇne´ho automatu. Definice 1.29. Konecˇny´m automatem (ozn. KA) nazy´va´me usporˇa´danou peˇtici (Q, Σ, δ, q0 , F ), kde Q je konecˇna´ nepra´zdna´ mnozˇina s prvky zvany´mi stavy, Σ je abeceda; rˇ´ıka´me jı´ vstupnı´ abeceda, δ : Q × Σ → Q je prˇechodova´ funkce, q0 ∈ Q je pocˇa´tecˇnı´ stav, F ⊆ Q je mnozˇina koncovyćh stavu˚. Pru˚vodce studiem V prˇedchozı´ definici byl zaveden pojem koncove´ho stavu. Nezameˇnˇujte jej prosı´m s „konecˇny´m“ stavem – ten jsme si nezavedli a ani tak neucˇinı´me – jeho „doplnˇkem“ by byl zrˇejmeˇ „nekonecˇny´ stav“, tj. stav, ktery´ nema´ konecˇnou velikost(??) anebo ktery´ obsahuje nekonecˇneˇ mnoho ... cˇeho vlastneˇ??? Jinou interpretacı´ konecˇne´ho stavu by byl za´veˇrecˇny´ stav, tj. stav, v neˇmzˇ se KA nacha´zı´ po skoncˇenı´ sve´ praće. Avsˇak pra´veˇ u teˇchto stavu˚ potrˇebujeme rozlisˇenı´ mezi stavy „prˇ´ıznivy´mi“ (v nasˇ´ı terminologii koncovy´mi) a „neprˇ´ıznivy´mi“ (tj. nekoncovy´mi). U prˇechodove´ funkce δ neprˇehle´dneˇte fakt, zˇe jde o zobrazenı´ cele´ mnozˇiny Q×Σ do Q, tj. funkce δ je definovańa pro kazˇdou dvojici stav a symbol. Pozna´mka 1.30. KA by´va´ mı´sto vyćˇtu prvku˚ Q, Σ, F a prˇechodu˚ funkce δ cˇasto zna´zornˇovań pomocı´ takzvane´ho stavove´ho diagramu, ktery´ je prˇedstavovań mı´rneˇ modifikovany´m orientovany´m grafem, kde • kazˇde´mu stavu odpovı´da´ pra´veˇ jeden uzel – oznacˇeny´ na´zvem tohoto stavu, • mezi uzly oznacˇeny´mi stavy p a q vede hrana oznacˇena´ symbolem a, pra´veˇ kdyzˇ δ(p, a) = q, • kazˇdy´ uzel odpovı´dajıćı´ koncove´mu stavu je zna´zorneˇn dvojity´m krouzˇkem, • do uzlu odpovı´dajıćı´ho pocˇa´tecˇnı´mu stavu mı´rˇ´ı sˇipka bez jake´hokoliv oznacˇenı´, tj. q0 ,

• v prˇ´ıpadeˇ δ(p, a) = q a δ(p, b) = q se mı´sto dvojice hran

p

a

q

b

obvykle kreslı´ hrana jedina´:

p

a, b

q

.

Uka´zku stavove´ho diagramu si mu˚zˇete prohle´dnout na obra´zku 3. Podobneˇ jako jsme u gramatik forma´lneˇ popisovali zpu˚sob, jak z pocˇa´tecˇnı´ho symbolu generujı´ vy´sledny´ ˇreteˇz, tak i u KA musı´me by´t schopni formalizovat zpu˚sob praće. Pru˚vodce studiem Leckdo by se mohl domnı´vat, zˇe forma´lnı´ popis ma´ jediny´ cı´l: Zbytecˇneˇ komplikovat studujıćı´m zˇivot. Pochopitelneˇ tomu tak nenı´. Kdybyste chteˇli doka´zat neˇjaka´ tvrzenı´ o syste´mech popsanyćh pouze neforma´lneˇ (slovneˇ), rychle byste zjistili, zˇe Va´m bud’ chybı´ dostatecˇna´ prˇesnost, nebo je du˚kaz neu´meˇrneˇ dlouhy´ a velmi neprˇehledny´. Ma´te-li o tom sebemensˇ´ı pochybnosti, zkuste si sepsat naprˇ. du˚kaz veˇty 1.43 bez pouzˇitı´ jake´hokoliv formalismu.

Vy´pocˇet KA deˇlı´me na jednotlive´ kroky vy´pocˇtu, jak bylo jizˇ popsańo v cˇa´sti prˇedcha´zejıćı´ poslednı´ definici. Kroky vy´pocˇtu postupneˇ meˇnı´ situaci, v nı´zˇ se KA nacha´zı´. Situace bude 17

Zava´dı´me pojem koncove´ho stavu, nikoliv konecˇne´ho stavu.

Stavovy´ diagram popisuje KA nejprˇehledneˇji.

jednoznacˇneˇ charakterizovańa stavem KA a obsahem dosud neprˇecˇtene´ vstupnı´ pa´sky; mı´sto situace budeme pouzˇ´ıvat termıń „konfigurace konecˇne´ho automatu“. Vy´pocˇet tak lze popsat pomocı´ posloupnosti konfiguracı´, kde – prvnı´ konfigurace je charakterizovańa pocˇa´tecˇnı´m stavem KA a dosud necˇteny´m vstupnı´m slovem na vstupnı´ pa´sce automatu, tj. cˇtecı´ hlava je nad 1. symbolem vstupnı´ho slova, – poslednı´ konfigurace je charakterizovańa „prˇecˇtenı´m vstupnı´ho slova“, tj. dosud necˇtena´ cˇa´st vstupnı´ho slova je rovna pra´zdne´mu rˇeteˇzu ε, – prˇechod od kazˇde´ konfigurace ke konfiguraci bezprostrˇedneˇ na´sledujıćı´ je zprostrˇedkovań krokem vy´pocˇtu respektujıćı´m prˇechodovou funkci. Forma´lneˇ popsańo: Definice 1.31. Meˇjme libovolny´ KA A = (Q, Σ, δ, q0 , F ). Kazˇdou usporˇa´danou dvojici (q, w) ∈ Q × Σ∗ nazveme konfiguracı´ konecˇne´ho automatu A. Krok vy´pocˇtu A definujeme jako bina´rnı´ relaci ` (na mnozˇineˇ vsˇech konfiguracı´) takto: Pro vsˇechna p, q ∈ Q, a ∈ Σ, x ∈ Σ∗ je (p, ax) ` (q, x), pra´veˇ kdyzˇ δ(p, a) = q. Symbolem `∗ budeme oznacˇovat reflexivnı´ a tranzitivnı´ uza´veˇr relace `, symbolem `+ tranzitivnı´ uza´veˇr relace `. Vy´pocˇet konecˇne´ho automatu definujeme prostrˇednictvı´m relace `∗ . Pru˚vodce studiem Pozorujete soulad mezi forma´lnı´ definicı´ kroku vy´pocˇtu a jeho neforma´lnı´m popisem? Snad je zrˇetelne´, zˇe z konfigurace (p, ax), kdy je KA ve stavu p, jeho cˇtecı´ hlava cˇte symbol a a prˇechodova´ funkce prˇikazuje prˇechod do stavu q, skutecˇneˇ KA prˇecha´zı´ do stavu q a posouva´ cˇtecı´ hlavu napravo za symbol a neboli prˇecha´zı´ do konfigurace (q, x). Definice 1.32. Rˇekneme, zˇe KA A = (Q, Σ, δ, q0 , F ) prˇijı´ma´ slovo w ∈ Σ∗ , pra´veˇ kdyzˇ (q0 , w) `∗ (qf , ε) a qf ∈ F . Pru˚vodce studiem Vsˇimneˇte si, zˇe slovo w ∈ Σ∗ je prˇijato konecˇny´m automatem A jedineˇ tehdy, kdyzˇ se A po jeho prˇecˇtenı´ nacha´zı´ v neˇktere´m ze svyćh koncovyćh stavu˚. Definice 1.33. Jazyk L prˇijı´many´ (rozpozna´vany´, akceptovany´) konecˇny´m automatem A = (Q, Σ, δ, q0 , F ) znacˇ´ıme L(A) a definujeme na´sledovneˇ: L(A) = {w ∈ Σ∗ ; KA A prˇijı´ma´ w}. Prˇ´ıklad 1.34. Uvazˇme KA A = (Q, Σ, δ, q0 , F ), kde Q = {q0 , q1 , q2 , q3 }, Σ = {0, 1}, F = {q0 } a prˇechodova´ funkce δ je popsańa vztahy: δ(q0 , 0) = q2 δ(q2 , 0) = q0 δ(q0 , 1) = q1 δ(q2 , 1) = q3 δ(q1 , 0) = q3 δ(q3 , 0) = q1 δ(q1 , 1) = q0 δ(q3 , 1) = q2 Stavovy´ diagram automatu A je zna´zorneˇn na obra´zku 3.

18

Vy´pocˇet KA coby posloupnost konfiguracı´

1 q0

0

0

0

Uka´zka stavove´ho diagramu KA

q1

1

0

1 q2

1

q3

Obra´zek 3: Stavovy´ diagram konecˇne´ho automatu z prˇ´ıkladu cˇ. 1.34 Podı´vejme se na vy´pocˇty A pro vstupnı´ slova w1 = 0100 a w2 = 1100. Vy´pocˇet pro vstupnı´ slovo w1 probı´ha´ prostrˇednictvı´m na´sledujıćıćh vy´pocˇetnıćh kroku˚: (q0 , w1 ) = (q0 , 0100) ` (q2 , 100) ` (q3 , 00) ` (q1 , 0) ` (q3 , ε). Pru˚vodce studiem Krok (q0 , 0100) ` (q2 , 100) je umozˇneˇn tı´m, zˇe δ(q0 , 0) = q2 . Na´sledujıćı´ krok odpovı´da´: δ(q2 , 1) = q3 . Da´le je pouzˇito δ(q3 , 0) = q1 a δ(q1 , 0) = q3 . Protozˇe vy´pocˇet skoncˇil mimo koncovy´ stav (q3 6∈ F ), slovo w1 nepatrˇ´ı do jazyka prˇijı´mane´ho konecˇny´m automatem A. Vy´pocˇet A pro vstupnı´ slovo w2 : (q0 , w2 ) = (q0 , 1100) ` (q1 , 100) ` (q0 , 00) ` (q2 , 0) ` (q0 , ε). Tento vy´pocˇet skoncˇil v koncove´m stavu q0 ∈ F , je tedy w2 ∈ L(A). Promyslı´me-li si s pomocı´ stavove´ho diagramu z obra´zku 3 mozˇnosti vy´pocˇtu˚ A, zjistı´me, zˇe pouze pro vstupnı´ slova sudyćh de´lek (vcˇetneˇ nulove´ de´lky), ktera´ obsahujı´ sudy´ pocˇet jednicˇek, vy´pocˇty koncˇ´ı v koncove´m stavu q0 ∈ F . Odtud L(A) = {w ∈ {0, 1}∗ ; w ma´ sudou de´lku a obsahuje sudy´ pocˇet jednicˇek}. 1.3.1

Nedeterministicke´ konecˇne´ automaty

V definici konecˇne´ho automatu jsme pozˇadovali tzv. determinismus. Sˇlo o pozˇadavek, aby byl stavem a cˇteny´m symbolem jednoznacˇneˇ urcˇen stav, do neˇjzˇ ma´ automat prˇejı´t. Zajı´mavy´m a uzˇitecˇny´m zobecneˇnı´m, s nı´mzˇ se setka´me i u dalsˇ´ıch typu˚ automatu˚, je nedeterminismus. U nedeterministicke´ho konecˇne´ho automatu nepozˇadujeme, aby stavem a cˇteny´m symbolem byl urcˇen jediny´ novy´ stav, ale prˇipousˇtı´me existenci cele´ (prˇ´ıpadneˇ i pra´zdne´) mnozˇiny stavu˚, z nichzˇ musı´ automat v prˇ´ıslusˇne´m kroku vy´pocˇtu jeden vybrat. Pru˚vodce studiem Na vy´pocˇet nedeterministicke´ho konecˇne´ho automatu lze nahlı´zˇet neˇkolika zpu˚soby. Jeden z nich spocˇ´ıva´ v prˇedstaveˇ, zˇe kdykoliv ma´ stroj na vy´beˇr z neˇkolika stavu˚, rozdeˇlı´ se na stejny´ pocˇet identickyćh stroju˚, z nichzˇ kazˇdy´ prˇejde do jine´ho z nabı´zenyćh stavu˚. Jakmile ma´ ktera´koli z teˇchto kopiı´ prˇi cˇtenı´ nove´ho symbolu podle prˇechodove´ funkce opeˇt na vy´beˇr z neˇkolika stavu˚, docha´zı´ k nove´mu „deˇlenı´“. Jestlizˇe neˇktere´ z kopiı´ pro jejı´ stav a cˇteny´ novy´ symbol nabı´zı´ prˇechodova´ funkce pra´zdnou mnozˇinu stavu˚, pak tato kopie zanikne. Pokud se neˇktera´ z kopiı´ po prˇecˇtenı´ vstupnı´ho slova ocitne v neˇktere´m

19

Determinismus versus nedeterminismus

z koncovyćh stavu˚, budeme to cha´pat tak, zˇe nedeterministicky´ konecˇny´ automat toto slovo prˇijal. V ra´mci uvedene´ interpretace je patrne´ urychlenı´ vy´pocˇtu˚ nedeterministicky´m strojem vu˚cˇi stroji deterministicke´mu. Zmıńeˇne´ urychlenı´ ma´ zrˇejmeˇ exponencia´lnı´ na´ru˚st zpu˚sobeny´ postupneˇ naru˚stajıćı´ paralelizacı´. Jina´ mozˇna´ interpretace nahlı´zˇ´ı na vy´pocˇet nedeterministicke´ho stroje, jako kdyby tento stroj veˇdeˇl, kterou cestou se vydat, aby dosˇel ke ky´zˇene´mu cı´li – dospeˇt po prˇecˇtenı´ vstupnı´ho slova do neˇktere´ho koncove´ho stavu. Ma´te-li pochybnosti o uzˇitecˇnosti takto abstraktnı´ho stroje, pak veˇzte, zˇe nale´zt k zadane´mu jazyku nedeterministicky´ konecˇny´ automat, ktery´ tento jazyk prˇijı´ma´, je veˇtsˇinou snazsˇ´ı, nezˇ nale´zt odpovı´dajıćı´ deterministicky´ konecˇny´ automat. To, zˇe kazˇdy´ nedeterministicky´ konecˇny´ automat lze prˇeve´st na deterministicky´ konecˇny´ automat prˇijı´majıćı´ tenty´zˇ jazyk, si uka´zˇeme pozdeˇji. Definice 1.35. Nedeterministicky´m konecˇny´m automatem (zkraćeneˇ ozn. NKA) rozumı´me usporˇa´danou peˇtici (Q, Σ, δ, q0 , F ), kde Q je konecˇna´ nepra´zdna´ mnozˇina stavu˚, Σ je vstupnı´ abeceda, δ : Q × Σ → 2Q je prˇechodova´ funkce, q0 ∈ Q je pocˇa´tecˇnı´ stav, F ⊆ Q je mnozˇina koncovyćh stavu˚. Pru˚vodce studiem Prˇipomenˇme si, zˇe 2Q oznacˇuje potencˇnı´ mnozˇinu mnozˇiny Q, tj. 2Q = {M ; M ⊆ Q}.

Navazujıćı´ definice se azˇ na krok vy´pocˇtu forma´lneˇ nelisˇ´ı od definic prˇ´ıslusˇnyćh ke konecˇne´mu automatu. Definice 1.36. Meˇjme libovolny´ NKA A = (Q, Σ, δ, q0 , F ). Kazˇdou usporˇa´danou dvojici (q, w) ∈ Q × Σ∗ nazveme konfiguracı´ nedeterministicke´ho konecˇne´ho automatu A. Krok vy´pocˇtu A definujeme jako bina´rnı´ relaci ` (na mnozˇineˇ vsˇech konfiguracı´) takto: Pro vsˇechna p, q ∈ Q, a ∈ Σ, x ∈ Σ∗ je (p, ax) ` (q, x), pra´veˇ kdyzˇ δ(p, a) obsahuje q. Symbolem `∗ budeme oznacˇovat reflexivnı´ a tranzitivnı´ uza´veˇr relace `, symbolem `+ tranzitivnı´ uza´veˇr relace `. Vy´pocˇet nedeterministicke´ho konecˇne´ho automatu definujeme prostrˇednictvı´m relace `∗ . Pru˚vodce studiem Vsˇimneˇte si, zˇe v prˇ´ıpadeˇ δ(p, a) = {q1 , q2 , q3 } jsou v bina´rnı´ relaci ` na´sledujıćı´ dvojice konfiguracı´: (p, ax) ` (q1 , x), (p, ax) ` (q2 , x), (p, ax) ` (q3 , x). Vy´pocˇet obsahujıćı´ konfiguraci (p, ax) bude tedy zahrnovat trˇi „veˇtve vy´pocˇtu“, z nichzˇ kazˇda´ pokracˇuje po konfiguraci (p, ax) jinou konfiguracı´ z mnozˇiny {(q1 , x), (q2 , x), (q3 , x)}. Definice 1.37. Rˇekneme, zˇe NKA A = (Q, Σ, δ, q0 , F ) prˇijı´ma´ slovo w ∈ Σ∗ , pra´veˇ kdyzˇ (q0 , w) `∗ (qf , ε) a qf ∈ F .

20

Pru˚vodce studiem Volneˇ ˇrecˇeno, slovo je prˇijato nedeterministicky´m konecˇny´m automatem A, pra´veˇ kdyzˇ pro neˇ existuje prˇijı´majıćı´ vy´pocˇet A. Definice 1.38. Jazyk L prˇijı´many´ (rozpozna´vany´, akceptovany´) nedeterministicky´m konecˇny´m automatem A = (Q, Σ, δ, q0 , F ) znacˇ´ıme L(A) a definujeme na´sledovneˇ: L(A) = {w ∈ Σ∗ ; NKA A prˇijı´ma´ w}. Pru˚vodce studiem Nenechte se zma´st mozˇnostı´, zˇe pro slovo z jazyka L(A) mu˚zˇe existovat „neprˇijı´majıćı´ veˇtev“ vy´pocˇtu. Jde-li skutecˇneˇ o slovo z L(A), pak pro neˇ nutneˇ existuje i „prˇijı´majıćı´ veˇtev“ vy´pocˇtu. Prˇ´ıklad 1.39. Najdeˇte NKA, ktery´ prˇijı´ma´ jazyk L = {w ∈ {0, 1}∗ ; w obsahuje podrˇeteˇz 00 anebo podrˇeteˇz 111}. Zadańı´ zrˇejmeˇ vyhovuje NKA, jehozˇ stavovy´ diagram je na obr. 4. q3

1

Uka´zka stavove´ho diagramu NKA

q4 1

1 q0

0

q1

0

0 ,1

q2 0 ,1

00

00

Obra´zek 4: Stavovy´ diagram nedeterministicke´ho konecˇne´ho automatu z prˇ´ıkladu cˇ. 1.39 Vsˇimneˇte si nedeterminismu stroje ve stavu q0 prˇi cˇtenı´ symbolu 0 nebo 1, konkre´tneˇ δ(q0 , 0) = {q0 , q1 } a δ(q0 , 1) = {q0 , q3 }. 1.3.2 Vza´jemny´ vztah nedeterministickyćh a deterministickyćh konecˇnyćh automatu˚ Pozna´mka 1.40. Dosud jsme definovali KA a NKA, pozdeˇji budou na´sledovat nedeterministicky´ za´sobnı´kovy´ automat, deterministicky´ a nedeterministicky´ Turingu˚v stroj; vsˇe budeme oznacˇovat souhrnny´m na´zvem stroj. V tuto chvı´li ma´me definovań jazyk L(A) pouze pro deterministicky´ a nedeterministicky´ konecˇny´ automat, pro ostatnı´ stroje budou definice L(A) do jiste´ mı´ry obdobne´. Definice 1.41. O strojıćh A1 , A2 rˇekneme, zˇe jsou ekvivalentnı´ , pra´veˇ kdyzˇ L(A1 ) = L(A2 ).

Ekvivalence stroju˚

Definice 1.42. Dveˇ trˇ´ıdy stroju˚ nazveme vy´pocˇetneˇ stejneˇ silny´mi, pra´veˇ kdyzˇ ke kazˇde´mu stroji z prvnı´ trˇ´ıdy existuje ekvivalentnı´ stroj z trˇ´ıdy druhe´ a naopak (tj. ke kazˇde´mu stroji z druhe´ trˇ´ıdy existuje ekvivalentnı´ stroj z trˇ´ıdy prvnı´).

Stejna´ vy´pocˇetnı´ sı´la 2 trˇ´ıd stroju˚

Veˇta 1.43. Ke kazˇde´mu NKA existuje ekvivalentnı´ KA. Du˚kaz. Necht’A = (Q, Σ, δ, q0 , F ) je libovolny´ NKA. Sestrojı´me KA A0 takovy´, zˇe L(A0 ) = L(A).

21

Pru˚vodce studiem Za´kladnı´ mysˇlenka prˇ´ıslusˇne´ konstrukce bude zalozˇena na sloucˇenı´ vsˇech stavu˚ z mnozˇiny δ(p, a) do stavu jedine´ho. Tı´m docı´lı´me toho, zˇe at’NKA A prˇejde ze stavu p prˇi cˇtenı´ a do ktere´hokoliv z „prˇ´ıpustnyćh“ stavu˚, zkonstruovany´ KA A0 bude tento krok vy´pocˇtu A simulovat (deterministicky´m!) prˇechodem do prˇ´ıslusˇne´ho jedine´ho stavu. Naznacˇene´ sloucˇenı´ lze prove´st mnozˇinoveˇ, tj. u KA A0 budou roli jednotlivyćh stavu˚ hra´t mnozˇiny obsahujıćı´ stavy automatu A. Stacˇ´ı polozˇit A0 = (Q0 , Σ, δ 0 , q00 , F 0 ), kde Q0 = 2Q ... tzn. prvky Q0 jsou tvorˇeny mnozˇinami prvku˚ z Q, q00 = {q0 }, F 0 = {K ∈ Q0 ; K ∩ F 6= ∅}, e ∈ Q0 a vsˇechna a ∈ Σ klademe δ 0 definujeme na´sledovneˇ: Pro vsˇechna K, K S e pra´veˇ kdyzˇ e δ 0 (K, a) = K, δ(q, a) = K. q∈K

Pru˚vodce studiem Vsˇimneˇte si, zˇe δ 0 (K, a) prˇedstavuje podle definice prˇechodove´ funkce konecˇne´ho automatu konkre´tnı´ jeden stav z mnozˇiny Q0 cˇili dle definice Q0 jde o mnozˇinu stavu˚ z Q. Na druhou stranu je podle definice prˇechodove´ funkce nedeterministicke´ho konecˇne´ho automatu δ(q, a) mnozˇinou stavu˚ z Q. Definice δ 0 je tedy korektnı´. Nynı´ oveˇrˇ´ıme, zˇe L(A0 ) = L(A). 1) ε ∈ L(A0 ), pra´veˇ kdyzˇ q00 ∈ F 0 . To je ekvivalentnı´ se vztahem q0 ∈ F cˇili ε ∈ L(A). 2) Necht’ w ∈ Σ+ , tj. w = a1 · · · ak , kde a1 , . . . , ak ∈ Σ a k ∈ N. Oznacˇ´ıme-li K0 = q00 , pak jsou ekvivalentnı´ na´sledujıćı´ tvrzenı´, prˇicˇemzˇ s vy´jimkou prˇ´ıpadu˚ c) a d) (cozˇ bude rozvedeno nı´zˇe) zmıńeˇne´ ekvivalence plynou prˇ´ımo z prˇ´ıslusˇnyćh definic. a) w ∈ L(A0 ), tj. a1 · · · ak ∈ L(A0 ). b) Existujı´ stavy K1 , . . . , Kk ∈ Q0 tak, zˇe δ 0 (q00 , a1 ) = K1 , δ 0 (K1 , a2 ) = K2 , .. . δ 0 (Kk−1 , ak ) = Kk a Kk ∈ F 0 . c) Existujı´ stavy K1 , . . . , Kk ∈ Q0 tak, zˇe S δ(q, a1 ) = K1 (tj. δ(q0 , a1 ) = K1 ), q∈q00 S δ(q, a2 ) = K2 , q∈K1

S

.. . δ(q, ak ) = Kk a Kk ∈ F 0 .

q∈Kk−1

d) Existujı´ stavy q1 , . . . , qk ∈ Q tak, zˇe q1 ∈ δ(q0 , a1 ), q2 ∈ δ(q1 , a2 ), .. . qk ∈ δ(qk−1 , ak ) a qk ∈ F .

22

Jeden stav z Q0 odpovı´da´ mnozˇineˇ stavu˚ z Q.

e) Existujı´ stavy q1 , . . . , qk ∈ Q tak, zˇe (q0 , w) = (q0 , a1 · · · ak ) ` (q1 , a2 · · · ak ) ` . . . ` (qk , ε) a qk ∈ F . f) w ∈ L(A). Nynı´ k ekvivalenci mezi c) a d). V prˇ´ıpadeˇ k = 1 je oveˇrˇenı´ trivia´lnı´. Uvazˇujme proto nada´le k > 1. • Necht’platı´ tvrzenı´ d). Tvrzenı S ´ c) pak bude splneˇno, poloz S ˇ´ıme-li δ(q, ak ). Potom K1 = δ(q0 , a1 ), K2 = δ(q, a2 ), . . . , Kk = q∈K1

q∈Kk−1

q 1 ∈ K1 , S q2 ∈ K2 , nebot’q2 ∈ δ(q1 , a2 ) a δ(q1 , a2 ) ⊆ δ(q, a2 ) = K2 q∈K1

na za´kladeˇ vztahu q1 ∈ K1 , .. . qk ∈ Kk , nebot’qk ∈ δ(qk−1 , ak ) a δ(qk−1 , ak ) ⊆

S

δ(q, ak ) = Kk

q∈Kk−1

na za´kladeˇ vztahu qk−1 ∈ Kk−1 . Protozˇe je navıć qk ∈ F , dosta´va´me qk ∈ Kk ∩ F , cozˇ znamena´, zˇe Kk ∩ F 6= ∅, a tedy Kk ∈ F 0 . • Necht’ platı´ tvrzenı´ c). Potom ze vztahu Kk ∈ F 0 plyne podle definice mnozˇiny F 0 , zˇe Kk a F majı´ nepra´zdny´ pru˚nik. S Oznacˇme symbolem qk libovolny´ prvek tohoto pru˚niku. Pak qk ∈ F a qk ∈ Kk = δ(q, ak ). Druhy´ vztah znamena´ q∈Kk−1

existenci takove´ho stavu (oznacˇme jej qk−1 ), pro Sneˇjzˇ platı´ δ(qk−1 , ak ) 3 qk a qk−1 ∈ Kk−1 . V prˇ´ıpadeˇ k > 2 je tedy qk−1 ∈ δ(q, ak−1 ). Opakujeme-li q∈Kk−2

uvedeny´ postup, dosta´va´me posloupnost qk ,qk−1 , . . . , q1 vyhovujıćı´ tvrzenı´ d). Du˚sledek 1.44. Trˇ´ıda nedeterministickyćh konecˇnyćh automatu˚ ma´ stejnou vy´pocˇetnı´ sı´lu jako trˇ´ıda konecˇnyćh automatu˚. Du˚kaz. Ke kazˇde´mu NKA existuje ekvivalentnı´ KA podle veˇty 1.43. To, zˇe platı´ i obraćene´ tvrzenı´ (tj. ke kazˇde´mu KA existuje ekvivalentnı´ NKA), plyne z proste´ u´vahy, zˇe kazˇdy´ KA mu˚zˇe by´t cha´pań jako specia´lnı´ prˇ´ıpad NKA, a sice NKA s prˇechodovou funkcı´, jejı´mzˇ vy´sledkem je pro libovolnou dvojici (stav, symbol) jednoprvkova´ mnozˇina. 1.3.3

Vztah konecˇnyćh automatu˚ k regula´rnı´m jazyku˚m

Pru˚vodce studiem Jak jizˇ bylo uvedeno v pasa´zˇi veˇnovane´ Chomske´ho hierarchii, jednodusˇsˇ´ı forma´lnı´ jazyky lze zpracova´vat pomocı´ jednodusˇsˇ´ıch automatu˚ nezˇ jazyky slozˇiteˇjsˇ´ı. Nejjednodusˇsˇ´ımi jazyky z Chomske´ho hierarchie jsou regula´rnı´ jazyky – jejich protipo´lem ve sˇka´le automatu˚ budou pra´veˇ konecˇne´ automaty. Dı´ky du˚sledku 1.44 je dokonce nepodstatne´, zda vza´jemny´ vztah regula´rnıćh jazyku˚ ke konecˇny´m automatu˚m budeme zkoumat prostrˇednictvı´m KA nebo NKA. Veˇta 1.45. Ke kazˇde´ regula´rnı´ gramatice G existuje NKA M takovy´, zˇe L(G) = L(M ). Du˚kaz. Necht’ G = (N, Σ, P, S) je libovolneˇ zvolena´ regula´rnı´ gramatika. Sestrojı´me nynı´ NKA M = (Q, Σ, δ, q0 , F ), ktery´ prˇijı´ma´ jazyk L(G).

23

Nedeterministicke´ konecˇne´ automaty majı´ stejnou vy´pocˇetnı´ sı´lu jako konecˇne´ automaty.

Pru˚vodce studiem Za´kladnı´ idea konstrukce bude spocˇ´ıvat ve ztotozˇneˇnı´ netermina´lu˚ gramatiky G se stavy automatu M . Vygenerovańı´ termina´lnı´ho symbolu v jednom odvozovacı´m kroku G bude u M odpovı´dat prˇecˇtenı´ te´hozˇ (tentokra´t vstupnı´ho) symbolu v jednom vy´pocˇetnı´m kroku. V te´to souvislosti je zrˇejme´, zˇe kdyzˇ G koncˇ´ı sve´ odvozenı´, nenı´ v odvozene´m rˇeteˇzu zˇa´dny´ netermina´l; te´to situaci vsˇak musı´ u automatu M odpovı´dat neˇjaky´ koncovy´ stav – obecneˇ nemu˚zˇe jı´t o zˇa´dny´ stav totozˇny´ s neˇjaky´m netermina´lem, ale jako jediny´ bude zaveden noveˇ. Polozˇ´ıme Q = N ∪ {A}, kde A 6∈ N (tj. A je noveˇ dodany´ symbol), q0 = S, {A, S}, pra´veˇ kdyzˇ S → ε ∈ P F = {A} jinak. Da´le pro vsˇechna B ∈ Q, a ∈ Σ 1) polozˇ´ıme δ(B, a) = ∅ (prˇipomenˇte si, zˇe definice prˇechodove´ funkce NKA prˇipousˇtı´ tuto mozˇnost), 2) pro kazˇde´ pravidlo B → aC ∈ P rozsˇ´ırˇ´ıme mnozˇinu δ(B, a) o stav C, 3) v prˇ´ıpadeˇ B → a ∈ P rozsˇ´ırˇ´ıme mnozˇinu δ(B, a) o stav A. Nynı´ oveˇrˇ´ıme, zˇe L(G) = L(M ). 1) ε ∈ L(G), pra´veˇ kdyzˇ S → ε ∈ P . To je podle definice mnozˇiny F ekvivalentnı´ vztahu S ∈ F cˇili q0 ∈ F , cozˇ nasta´va´, pra´veˇ kdyzˇ ε ∈ L(M ). 2) Necht’ a ∈ Σ. Potom je a ∈ L(G), pra´veˇ kdyzˇ S → a ∈ P . To je podle definice mnozˇiny δ(S, a) ekvivalentnı´ vztahu A ∈ δ(S, a) neboli (q0 , a) = (S, a) ` (A, ε), cozˇ platı´, pra´veˇ kdyzˇ a ∈ L(M ). 3) Necht’ w ∈ Σ+ je de´lky alesponˇ 2, tj. w = a1 · · · ak , kde a1 , . . . , ak ∈ Σ a k ≥ 2. Oznacˇme navıć S = B0 . Pak jsou na za´kladeˇ prˇ´ıslusˇnyćh definic ekvivalentnı´ na´sledujıćı´ tvrzenı´. a) w ∈ L(G). b) S ⇒∗ a1 · · · ak (cˇili B0 ⇒∗ a1 · · · ak ). c) V mnozˇineˇ N existujı´ netermina´ly B1 , . . . , Bk−1 takove´, zˇe S = B0 ⇒ a1 B1 ⇒ . . . ⇒ a1 · · · ak−1 Bk−1 ⇒ a1 · · · ak . d) V mnozˇineˇ P existujı´ pravidla B0 → a1 B1 , . . . , Bk−2 → ak−1 Bk−1 , Bk−1 → ak . e) V mnozˇineˇ Q existujı´ stavy B1 , . . . , Bk−1 takove´, zˇe B1 ∈ δ(B0 , a1 ), . . . , Bk−1 ∈ δ(Bk−2 , ak−1 ), A ∈ δ(Bk−1 , ak ). f) U NKA M existuje posloupnost kroku˚ vy´pocˇtu (S, a1 · · · ak ) = (B0 , a1 · · · ak ) ` (B1 , a2 · · · ak ) ` . . . ` (Bk−1 , ak ) ` (A, ε). g) w ∈ L(M ). Prˇi prˇechodu od KA k regula´rnı´ gramatice budeme vyuzˇ´ıvat na´sledujıćı´ pomocne´ tvrzenı´. Lemma 1.46. Necht’ G = (N, Σ, P, S) je gramatika obsahujıćı´ pouze pravidla a) A → β, kde A ∈ N a β ∈ Σ ∪ ΣN, b) S → ε. Pak existuje regula´rnı´ gramatika G0 takova´, zˇe L(G) = L(G0 ). Pru˚vodce studiem Vsˇimneˇte si, zˇe gramatika G by splnˇovala definici regula´rnı´ gramatiky, pokud by neprˇipousˇteˇla mozˇnost vy´skytu S na pravyćh stranaćh svyćh pravidel.

24

Du˚kaz. Z libovolne´ gramatiky G = (N, Σ, P, S) splnˇujıćı´ prˇedpoklady lemmatu lze vytvorˇit pozˇadovanou regula´rnı´ gramatiku G0 na´sledovneˇ. 1) K mnozˇineˇ netermina´lu˚ prˇida´me novy´ pocˇa´tecˇnı´ netermina´l S 0 a pro kazˇde´ pravidlo S → α ∈ P rozsˇ´ırˇ´ıme mnozˇinu pravidel o S 0 → α. Teˇmito u´pravami budeme mı´t zajisˇteˇnu existenci pravidla S 0 → ε a navıć se novy´ pocˇa´tecˇnı´ symbol S 0 nebude vyskytovat na prave´ straneˇ zˇa´dne´ho pravidla. 2) Z mnozˇiny pravidel odstranı´me S → ε a naopak ke kazˇde´mu pravidlu A → aS prˇida´me pravidlo A → a. Provedene´ u´pravy zarucˇujı´ splneˇnı´ podmıńek pozˇadovanyćh po pravidlech regula´rnı´ gramatiky. Zby´va´ oveˇrˇit, zˇe jazyky generovane´ gramatikami G a G0 jsou stejne´. Toto oveˇrˇenı´ lze prove´st stejny´m zpu˚sobem, jaky´ je pouzˇit v du˚kazu veˇty 1.45. Veˇta 1.47. Ke kazˇde´mu KA M existuje regula´rnı´ gramatika G takova´, zˇe L(M ) = L(G). e ktera´ Du˚kaz. Necht’ M = (Q, Σ, δ, q0 , F ) je KA. V prvnı´ fa´zi sestrojı´me k M gramatiku G, bude generovat jazyk L(M ) a ktera´ nebude z pozˇadavku˚ kladenyćh na regula´rnı´ gramatiku splnˇovat pouze absenci pocˇa´tecˇnıćh netermina´lu˚ S na pravyćh stranaćh pravidel navzdory prˇ´ıtomnosti pravidla S → ε. Prˇevod na pozˇadovanou regula´rnı´ gramatiku na´m zajistı´ lemma 1.46. Pru˚vodce studiem e bude spocˇ´ıvat ve ztotozˇneˇnı´ netermina´lu˚ gramatiky G e se stavy Za´kladnı´ idea konstrukce G automatu M . Prˇecˇtenı´ vstupnı´ho symbolu v jednom kroku vy´pocˇtu automatu M bude e odpovı´dat vygenerovańı´ te´hozˇ (tentokra´t termina´lnı´ho) symbolu v jednom odvozovauG cı´m kroku. Zakoncˇenı´ vy´pocˇtu M , indikovane´mu prˇechodem do neˇktere´ho z koncovyćh stavu˚, musı´ pochopitelneˇ odpovı´dat pouzˇitı´ pravidla bez jake´hokoliv netermina´lu na prave´ straneˇ – tı´m je znemozˇneˇno pokracˇovańı´ derivace, nebot’v odvozovane´m rˇeteˇzu pak chybı´ netermina´l, ktery´ by bylo mozˇno da´le prˇepisovat. e = (N, Σ, P, S), kde Polozˇme G N = Q, S = q0 , P = {B → aC; a ∈ Σ, B, C ∈ Q : δ(B, a) = C} ∪ {B → a; a ∈ Σ, B ∈ Q : δ(B, a) ∈ F } ∪ {S → ε; S ∈ F }. e Oveˇrˇ´ıme, zˇe L(G) = L(G): 1) ε ∈ L(M ), pra´veˇ kdyzˇ q0 ∈ F neboli S ∈ F . To je podle definice mnozˇiny P e ekvivalentnı´ vztahu S → ε ∈ P , cozˇ nasta´va´ (viz pravidla z P ), pra´veˇ kdyzˇ ε ∈ L(G). 2) Necht’ a ∈ Σ. Potom je a ∈ L(M ), pra´veˇ kdyzˇ (q0 , a) = (S, a) ` (X, ε) a X ∈ F neboli δ(S, a) ∈ F . To je podle definice mnozˇiny P ekvivalentnı´ vztahu S → a ∈ P , e cozˇ platı´, pra´veˇ kdyzˇ a ∈ L(G). 3) Necht’ w ∈ Σ+ je de´lky alesponˇ 2, tj. w = a1 · · · ak , kde a1 , . . . , ak ∈ Σ a k ≥ 2. Oznacˇme navıć S = B0 . Pak jsou na za´kladeˇ prˇ´ıslusˇnyćh definic ekvivalentnı´ na´sledujıćı´ tvrzenı´. a) w ∈ L(M ). b) U konecˇne´ho automatu M existuje vy´pocˇet (q0 , a1 · · · ak ) = (B0 , a1 · · · ak ) ` (B1 , a2 · · · ak ) ` . . . ` (Bk , ε) a Bk ∈ F . c) V mnozˇineˇ Q existujı´ stavy B1 , . . . , Bk takove´, zˇe δ(q0 , a1 ) = δ(B0 , a1 ) = B1 , . . . , δ(Bk−1 , ak ) = Bk a Bk ∈ F . d) V mnozˇineˇ P existujı´ pravidla B0 → a1 B1 , . . . , Bk−2 → ak−1 Bk−1 , Bk−1 → ak . 25

e) S = B0 ⇒∗ a1 · · · ak . e f) w ∈ L(G). e mu˚zˇe mı´t pocˇa´tecˇnı´ symbol S (= q0 ) na pravyćh stranaćh Vzhledem k tomu, zˇe gramatika G svyćh pravidel a obsahuje pravidlo S → ε, nemusı´ jı´t obecneˇ o regula´rnı´ gramatiku. Splnˇuje vsˇak prˇedpoklady lemmatu 1.46. Existuje tedy regula´rnı´ gramatika G generujıćı´ stejny´ jazyk. Tı´mto jazykem je L(M ) a du˚kaz je hotov. Du˚sledek 1.48. Trˇ´ıda regula´rnıćh jazyku˚ je rovna trˇ´ıdeˇ jazyku˚ prˇijı´manyćh konecˇny´mi automaty. Du˚kaz. Jde o prˇ´ımy´ du˚sledek veˇt 1.45, 1.47 a du˚sledku 1.44. Shrnutı´ KA je zarˇ´ızenı´ vybavene´ konecˇneˇstavovou ˇr´ıdicı´ jednotkou, cˇtecı´ hlavou a vstupnı´ pa´skou konecˇne´ de´lky. Kazˇdy´ KA je jednoznacˇneˇ urcˇen – mnozˇinou stavu˚ (v nichzˇ se mu˚zˇe nacha´zet rˇ´ıdicı´ jednotka), – vstupnı´ abecedou Σ (slova nad Σ slouzˇ´ı jako jedine´ mozˇne´ vstupy pro dany´ KA), – prˇechodovou funkcı´ δ (ktera´ kazˇde´ dvojici stav a symbol vstupnı´ abecedy prˇirˇazuje stav), – jednı´m vyznacˇeny´m stavem (tzv. pocˇa´tecˇnı´m stavem – v neˇm bude rˇ´ıdicı´ jednotka prˇed zaha´jenı´m praće dane´ho KA, at’je na vstupu jake´koli vstupnı´ slovo), – vyznacˇenou podmnozˇinou mnozˇiny stavu˚ (tzv. mnozˇinou koncovyćh stavu˚ – pokud se KA po „prˇecˇtenı´“ vstupnı´ho slova bude nacha´zet v neˇktere´m z koncovyćh stavu˚, budeme ˇr´ıkat, zˇe dane´ vstupnı´ slovo je automatem prˇijato). Vy´pocˇet kazˇde´ho KA je tvorˇen posloupnostı´ kroku˚ vy´pocˇtu – v kazˇde´m z nich KA prˇecˇte symbol pod cˇtecı´ hlavou, posune cˇtecı´ hlavu o jedno polıćˇko doprava a prˇejde do stavu urcˇene´ho prˇechodovou funkcı´ (ktera´ dvojici vyćhozı´ stav a prˇecˇteny´ symbol prˇirˇazuje „novy´“ stav). V pru˚beˇhu vy´pocˇtu se meˇnı´ tzv. konfigurace KA, tj. situace, v nı´zˇ se KA nacha´zı´ a ktera´ je charakterizovańa aktua´lnı´m stavem a dosud neprˇecˇtenou cˇa´stı´ vstupnı´ho slova. Kazˇdy´ vy´pocˇet zacˇ´ına´ v pocˇa´tecˇnı´ konfiguraci, ktera´ je urcˇena pocˇa´tecˇnı´m stavem a vstupnı´m slovem na pa´sce (se cˇtecı´ hlavou nad 1. symbolem tohoto slova). Vy´pocˇet koncˇ´ı v okamzˇiku, kdy byl proveden poslednı´ mozˇny´ krok vy´pocˇtu, tj. kdyzˇ byl prˇecˇten poslednı´ symbol vstupnı´ho slova. Vy´sledna´ konfigurace je charakterizovańa dvojicı´ stav a pra´zdny´ rˇeteˇz. Pokud je stav KA ve vy´sledne´ konfiguraci jednı´m z koncovyćh stavu˚, rˇ´ıka´me, zˇe KA prˇijal sve´ vstupnı´ slovo. Mnozˇina vsˇech slov, jezˇ jsou prˇijı´mańa, tvorˇ´ı jazyk prˇijı´many´ konecˇny´m automatem. NKA se od KA odlisˇuje v na´sledujıćıćh ohledech: Prˇechodova´ funkce NKA zobrazuje kazˇdou dvojici stav a vstupnı´ symbol na mnozˇinu „prˇ´ıpustnyćh“ stavu˚. Krok vy´pocˇtu NKA pak znamena´ prˇechod z aktua´lnı´ho stavu na za´kladeˇ cˇtene´ho symbolu do neˇktere´ho z „prˇ´ıpustnyćh“ stavu˚, prˇicˇemzˇ mnozˇina „prˇ´ıpustnyćh“ stavu˚ je urcˇena prˇechodovou funkcı´. Vy´pocˇet NKA se tak v neˇkteryćh okamzˇicıćh mu˚zˇe veˇtvit do vıće variant. Pokud pro zadane´ vstupnı´ slovo existuje alesponˇ jedna varianta, kdy skoncˇ´ı NKA svu˚j vy´pocˇet v neˇktere´m z koncovyćh stavu˚, rˇ´ıka´me, zˇe NKA prˇijı´ma´ dane´ slovo. Mnozˇina vsˇech slov nad vstupnı´ abecedou, jezˇ jsou prˇijı´mańa, tvorˇ´ı jazyk prˇijı´many´ nedeterministicky´m konecˇny´m automatem. Trˇ´ıda vsˇech nedeterministickyćh konecˇnyćh automatu˚ ma´ stejnou vy´pocˇetnı´ sı´lu jako trˇ´ıda vsˇech konecˇnyćh automatu˚, tj. ke kazˇde´mu NKA existuje KA prˇijı´majıćı´ tenty´zˇ jazyk a naopak. Trˇ´ıda vsˇech jazyku˚ prˇijı´manyćh konecˇny´mi automaty je rovna trˇ´ıdeˇ regula´rnıćh jazyku˚, tj. trˇ´ıdeˇ vsˇech jazyku˚ generovatelnyćh regula´rnı´mi gramatikami. Pojmy k zapamatovańı´ • • • •

Konecˇny´ automat (KA), nedeterministicky´ konecˇny´ automat (NKA), stav, vstupnı´ abeceda, 26

Kazˇdy´ regula´rnı´ jazyk lze popsat regula´rnı´ gramatikou nebo konecˇny´m automatem.

• • • • • • • • •

prˇechodova´ funkce, pocˇa´tecˇnı´ stav, mnozˇina koncovyćh stavu˚, konfigurace, krok vy´pocˇtu, vy´pocˇet, jazyk prˇijı´many´ KA a NKA, ekvivalence stroju˚, stejna´ vy´pocˇetnı´ sı´la trˇ´ıd stroju˚.

Kontrolnı´ ota´zky 1. Mu˚zˇe by´t pocˇa´tecˇnı´ stav KA (NKA) obsazˇen v mnozˇineˇ koncovyćh stavu˚? 2. Jaky´ je rozdı´l mezi stavem a konfiguracı´ KA (NKA)? 3. Kolik ru˚znyćh jazyku˚ mu˚zˇe nejvy´sˇe prˇijı´mat jediny´ KA (NKA)? Cvicˇenı´ 1. Najdeˇte KA prˇijı´majıćı´ jazyk a) L = ∅, b) L = {ε}, c) L = {w ∈ {1}+ ; |w| nenı´ deˇlitelna´ 3}, d) L = Σ∗ . 2. Najdeˇte KA i NKA prˇijı´majıćı´ jazyk L = {w ∈ {a, b}∗ ; ∃v ∈ {a, b}∗ : w = vbb}. 3. S vyuzˇitı´m du˚kazu veˇty 1.43 sestavte KA prˇijı´majıćı´ tenty´zˇ jazyk jako NKA s na´sledujıćı´m stavovy´m diagramem: a

1 a, b

b 2

´ koly k textu U 1. Zjisteˇte, zda je v souladu s definicı´ NKA to, zˇe ve stavove´m diagramu na obra´zku 4 nenı´ naprˇ. ve stavu q3 vyznacˇen zˇa´dny´ prˇechod pro symbol 0. 2. Dokoncˇete du˚kaz lemmatu 1.46. 3. V neˇkteryćh knihaćh lze nale´zt odlisˇnou definici KA: Nenı´ vyzˇadovańo, aby byla prˇechodova´ funkce definovańa pro libovolnou dvojici stav a vstupnı´ symbol. V prˇ´ıpadeˇ, zˇe takto definovany´ KA A0 prˇi vy´pocˇtu nad neˇjaky´m vstupnı´m slovem nema´ v neˇktere´m okamzˇiku definovań krok vy´pocˇtu, je toto slovo zamı´tnuto, tj. nepatrˇ´ı do jazyka prˇijı´mane´ho KA A0 . Dokazˇte, zˇe vy´pocˇetnı´ sı´la konecˇnyćh automatu˚ podle te´to i nasˇ´ı definice zu˚sta´va´ stejna´.

27

ˇ esˇenı´ R 1. a) Zadańı´ vyhovuje naprˇ. kazˇdy´ KA s pra´zdnou mnozˇinou koncovyćh stavu˚. 1

q0

b) Naprˇ. KA se stavovy´m diagramem

1

q0

c) Naprˇ. KA se stavovy´m diagramem

1

q1 q1

1

1 q2

d) Zadańı´ splnˇuje naprˇ. kazˇdy´ KA s mnozˇinou koncovyćh stavu˚ rovnou cele´ mnozˇineˇ stavu˚. a

2. Uvedeny´ jazyk prˇijı´ma´ naprˇ.

b q0

a) KA se stavovy´m diagramem

q1 ,

a b

a q2 b a, b b

q0

b) NKA se stavovy´m diagramem

q1

b

q2

3. K NKA ze zadańı´ bude ekvivalentnı´ KA A0 = (Q0 , Σ, δ 0 , q00 , F 0 ), kde Q0 = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}, Σ = {a, b}, prˇechodova´ funkce δ 0 je definovańa: δ 0 (∅, a) = ∅, δ 0 (∅, b) = ∅, δ 0 ({1}, a) = {1, 2}, δ 0 ({1}, b) = {2}, δ 0 ({2}, a) = ∅, δ 0 ({2}, b) = {1}, δ 0 ({1, 2}, a) = {1, 2} (nebot’ δ(1, a) ∪ δ(2, a) = {1, 2}), δ 0 ({1, 2}, b) = {1, 2} (nebot’ δ(1, b) ∪ δ(2, b) = {1, 2}), q00 = {1}, F 0 = {{1}, {1, 2}}. Uvedeny´ KA A0 prˇehledneˇ popisuje stavovy´ diagram: a, b a

1

1,2

b

b 2

a, b a

∅

28

.

1.4

Regula´rnı´ vy´razy

Studijnı´ cı´le: Po prostudovańı´ kapitoly bude studujıćı´ umeˇt definovat regula´rnı´ vy´razy i jim prˇ´ıslusˇne´ jazyky. Bude zna´t vztah mezi regula´rnı´mi vy´razy a regula´rnı´mi jazyky. Da´le zı´ska´ ra´mcovou prˇedstavu o vza´jemnyćh prˇevodech mezi regula´rnı´mi vy´razy a konecˇny´mi automaty. Klıćˇova´ slova: Regula´rnı´ vy´raz. Potrˇebny´ cˇas: 60 minut. Dosud jsme si uvedli dva formalismy vedoucı´ k regula´rnı´m jazyku˚m: regula´rnı´ gramatiky a konecˇne´ automaty. Nynı´ si uvedeme formalismus trˇetı´, a sice regula´rnı´ vy´razy. Jeho vy´raznou prˇednostı´ bude velika´ na´zornost, co se tyćˇe tvaru slov popisovane´ho regula´rnı´ho jazyka. Tato vy´hoda vede k cˇaste´mu pouzˇ´ıvańı´ regula´rnıćh vy´razu˚ zejmeńa v pocˇ´ıtacˇove´m zpracova´vańı´ textu˚. ˇ ekneme, zˇe R je Definice 1.49. Necht’ Σ je abeceda neobsahujıćı´ symboly ε, ∅, +, ·, ∗ , (, ). R regula´rnı´ vy´raz nad Σ, jestlizˇe je R rovno neˇktere´mu z na´sledujıćıćh symbolu˚ cˇi vy´razu˚: • • • • • •

∅, ε, a, kde a ∈ Σ, (R1 + R2 ), kde R1 , R2 jsou regula´rnı´ vy´razy, (R1 · R2 ), kde R1 , R2 jsou regula´rnı´ vy´razy, (R1 )∗ , kde R1 je regula´rnı´ vy´raz.

Pru˚vodce studiem Neprˇikla´dejte v tuto chvı´li zˇa´dny´ konkre´tnı´ vy´znam symbolu˚m pouzˇity´m v definici regula´rnıćh vy´razu˚. Tzn. regula´rnı´ vy´raz ε je vy´raz tvorˇeny´ symbolem ε, nikoliv tvorˇeny´ pra´zdny´m rˇeteˇzem. Podobneˇ regula´rnı´ vy´raz ∅. Rozlisˇujte tedy mezi jmeńy objektu˚ a objekty vlastnı´mi. Regula´rnı´ vy´razy jsou tak posloupnosti symbolu˚. Zanedlouho se dozvı´te, jak kazˇdou takovou posloupnost interpretovat cˇili jaky´ jazyk jı´ prˇirˇadit. Prˇ´ıklad 1.50. Necht’ Σ = {a, b}. Uved’me neˇkolik prˇ´ıpadu˚ regula´rnıćh vy´razu˚ nad abecedou Σ: • (a + b)∗ , • ((ε + (b · a))∗ · a). Na´sledujıćı´ posloupnosti nejsou zˇa´dny´mi regula´rnı´mi vy´razy, nebot’nemajı´ pozˇadovanou syntaxi: • +b, • (a + b)). Velke´ mnozˇstvı´ za´vorek v regula´rnıćh vy´razech dle definice 1.49 zpu˚sobuje znacˇnou neprˇehlednost, a proto jsou beˇzˇneˇ vynecha´vańy stejneˇ jako symbol · . Toto vynechańı´ vsˇak musı´ by´t doplneˇno o informaci, jakou prioritu ma´me prˇisuzovat symbolu˚m +, · a ∗ , jezˇ budou odpovı´dat mnozˇinovy´m operacı´m sjednocenı´, zrˇeteˇzenı´ a uza´veˇru. Pouzˇ´ıvana´ priorita bude: ∗ ma´ prˇednost prˇed · a · ma´ prˇednost prˇed +. Naprˇ. a konvencˇneˇ oznacˇuje (a), a∗ + ab konvencˇneˇ oznacˇuje ((a)∗ + (a · b)). V prˇ´ıpadeˇ dvou nebo vıće po sobeˇ jdoucıćh symbolu˚ + (nebo ·) se za´vorky sdruzˇujı´ doleva. Tj. naprˇ. a + b + c zkracuje za´pis ((a + b) + c). Prˇed definicı´ jazyka prˇirˇazene´ho regula´rnı´mu vy´razu si zaved’me pojem uza´veˇru jazyka. 29

Konvence pro zjednodusˇenı´ za´pisu regula´rnıćh vy´razu˚

Definice 1.51. Necht’ Σ je abeceda a L je jazyk nad Σ. Uza´veˇr jazyka znacˇ´ıme L∗ a definujeme na´sledovneˇ: +∞ [ def ∗ L = Li , kde L0 = {ε}, i=0

def

Li = Li−1 · L pro vsˇechna i > 0.

Pru˚vodce studiem Li−1 · L oznacˇuje zrˇeteˇzenı´ jazyku˚ (mnozˇin) Li−1 a L zavedene´ v kapitole 1.1. Prˇ´ıklad 1.52. Uvazˇme jazyk L = {a, b2 }. Potom L0 = {ε}, L1 = L0 · L = {ε} · {a, b2 } = {a, b2 }, L2 = L1 · L = {a, b2 } · {a, b2 } = {a2 , ab2 , b2 a, b4 }, L3 = L2 · L = {a2 , ab2 , b2 a, b4 } · {a, b2 } = {a3 , a2 b2 , ab2 a, ab4 , b2 a2 , b2 ab2 , b4 a, b6 }, atd. Podle definice je L∗ = L0 ∪ L1 ∪ L2 ∪ L3 ∪ . . . V nasˇem prˇ´ıpadeˇ tedy L∗ obsahuje vsˇechny rˇeteˇzy nad abecedou {a, b}, jezˇ mohly vzniknout zrˇeteˇzenı´m jakyćhkoli pocˇtu˚ rˇeteˇzu˚ ε, a a b2 v libovolne´m porˇadı´, a zˇa´dne´ jine´. Definice 1.53. Necht’ Σ je abeceda. Pak kazˇdy´ regula´rnı´ vy´raz R nad abecedou Σ popisuje jazyk L(R) nad Σ definovany´ rekurzivneˇ:  ∅, jestlizˇe R = ∅,     {ε}, jestlizˇe R = ε,    {a}, jestlizˇe R = a, kde a ∈ Σ, L(R) = L(R1 ) ∪ L(R2 ), jestlizˇe R = R1 + R2 , kde R1 , R2 jsou regula´rnı´ vy´razy nad Σ,      L(R1 ) · L(R2 ), jestlizˇe R = R1 · R2 , kde R1 , R2 jsou regula´rnı´ vy´razy nad Σ,   [L(R1 )]∗ , jestlizˇe R = (R1 )∗ , kde R1 je regula´rnı´ vy´raz nad Σ. Prˇ´ıklad 1.54. Necht’ R = ab(a + b)∗ je regula´rnı´ vy´raz nad abecedou {a, b}. Pak je zrˇejmeˇ L(R) = L(R1 ) · L(R2 ) · L(R3 ), kde R1 = a, tj. L(R1 ) = {a}, R2 = b, tj. L(R2 ) = {b}, R3 = (a + b)∗ , tj. L(R3 ) = ({a} ∪ {b})∗ = {a, b}∗ . Odtud L(R) = {w ∈ {a, b}∗ ; ∃v ∈ {a, b}∗ : w = abv}. (Tzn L(R) neobsahuje zˇa´dny´ rˇeteˇz nad abecedou {a, b}, ktery´ nezacˇ´ına´ podrˇeteˇzem ab.) Prˇ´ıklad 1.55. Regula´rnı´ vy´raz (a2 + b)c∗ zrˇejmeˇ popisuje jazyk zahrnujıćı´ vsˇechna slova zacˇ´ınajıćı´ podrˇeteˇzem a2 nebo b na´sledovany´m libovolny´m (i nulovy´m) pocˇtem c. Pru˚vodce studiem Popula´rneˇ rˇecˇeno, prˇi zjisˇt’ovańı´ slov jazyka popsane´ho regula´rnı´m vy´razem si stacˇ´ı uveˇdomit, zˇe symbol + znamena´ vy´beˇr z poskytnutyćh mozˇnostı´ a ∗ znamena´ mozˇnost libovolne´ho (i nulove´ho) pocˇtu opakovańı´.

30

Uza´veˇr jazyka L je roven sjednocenı´ vsˇech neza´pornyćh celyćh mocnin jazyka L.

Veˇta 1.56. Trˇ´ıda regula´rnıćh jazyku˚ je rovna trˇ´ıdeˇ jazyku˚ popsatelnyćh regula´rnı´mi vy´razy. Du˚kaz. Prˇesny´ a u´plny´ du˚kaz je zdlouhavy´ (viz naprˇ. [Sip97] nebo [Chy82]). Proto si uvedeme jen ideje, s jejichzˇ pomocı´ jej lze prove´st. Popis rozdeˇlı´me do dvou cˇa´stı´. Vzhledem k veˇteˇ 1.48, podle nı´zˇ je trˇ´ıda regula´rnıćh jazyku˚ rovna trˇ´ıdeˇ jazyku˚ prˇijı´manyćh konecˇny´mi automaty, stacˇ´ı umeˇt prˇeve´st kazˇdy´ regula´rnı´ vy´raz na NKA reprezentujıćı´ tenty´zˇ jazyk a umeˇt prˇeve´st kazˇdy´ KA na odpovı´dajıćı´ regula´rnı´ vy´raz. I. Prˇevod regula´rnı´ho vy´razu R na odpovı´dajıćı´ NKA: NKA prˇijı´majıćı´ jazyk L(R) bude popsań stavovy´m diagramem sestaveny´m posloupnostı´ na´sledujıćıćh kroku˚. 1) Sestavı´me orientovany´ graf se dveˇma uzly oznacˇeny´mi x a y, z uzlu x vede do uzlu y hrana oznacˇena´ vyćhozı´m regula´rnı´m vy´razem R a uzel y je zna´zorneˇn dvojity´m krouzˇkem. Navıć prˇida´me sˇipku mı´rˇ´ıcı´ do uzlu x: R

x

y

2) Postupneˇ budeme rozkla´dat regula´rnı´ vy´raz R na jednotlive´ slozˇky, z nichzˇ je sestaven. Rozklad doprova´zı´me zmeˇnami grafu podle na´sledujıćıćh pravidel. A⋅B

i

nahradı´me

i

j

nahradı´me

i

A

B

k

j

A

A+B

i

j

j B A

A*

i

j

ε

i

nahradı´me

k

ε

j

3) Odstranı´me hrany oznacˇene´ ∅ a upravı´me vy´sledek tak, aby neobsahoval zˇa´dne´ hrany oznacˇene´ ε. Tj. naprˇ. a

ε

i

j

ε

b

x

y

b

prˇepı´sˇeme na a b

x

y

Demonstrace uvedene´ho postupu pro prˇ´ıpad R = (ab)∗ (aa + bb)(a + b)∗ : a)

x

b)

x

(a⋅b)*(aa+bb)(a+b)*

(a⋅b)*

5

aa+bb

31

y

6

(a+b)*

y

Regula´rnı´ vy´razy popisujı´ trˇ´ıdu regula´rnıćh jazyku˚.

a⋅b

ε

x

c)

a+b aa

ε

4

5

6

ε

ε

7

y

bb 1

3 a

ε

x

d)

a

a

b

ε

4

a

5

6 b

ε

ε

7

b

y

b

2

1 a

b

e)

3 a a

a

x

y b

b

b

2

II. Prˇevod KA A na odpovı´dajıćı´ regula´rnı´ vy´raz: Postupneˇ budeme upravovat stavovy´ diagram konecˇne´ho automatu A, dokud nezı´ska´me R

x

mı´rneˇ modifikovany´ orientovany´ graf tvaru

y

, kde hrana

mezi uzly x a y je oznacˇena regula´rnı´m vy´razem R popisujıćı´m pra´veˇ jazyk L(A). Pru˚vodce studiem Zde se nabı´zı´ obraćeny´ postup k cˇa´sti I. Ne vzˇdy vsˇak budete mı´t zarucˇeno, zˇe ze stavove´ho diagramu KA dospeˇjete k vyćhozı´ situaci cˇa´sti I. Viz naprˇ. a

q0

a

q1

a

q2

Zarucˇenou, i kdyzˇ delsˇ´ı metodu naleznete nı´zˇe. Pouzˇijeme posloupnost na´sledujıćıćh u´prav. 1) Ke stavove´mu diagramu A prˇida´me novy´ pocˇa´tecˇnı´ uzel x, z neˇj vedeme do pu˚vodnı´ho pocˇa´tecˇnı´ho uzlu q0 hranu s oznacˇenı´m ε a do vsˇech ostatnıćh uzlu˚ vedeme hrany s oznacˇenı´m ∅. Da´le prˇida´me novy´ koncovy´ uzel s oznacˇenı´m y, do neˇj vedeme ze vsˇech pu˚vodnıćh koncovyćh uzlu˚ hrany s oznacˇenı´m ε a ze vsˇech ostatnıćh uzlu˚ do neˇj vedeme hrany s oznacˇenı´m ∅. Posle´ze prˇeznacˇ´ıme diagram tak, aby byl x (y) jediny´m pocˇa´tecˇnı´m (koncovy´m) uzlem. Viz naprˇ.

32

a, b a, b q2 q2

a ∅

∅

a

q1

q1 a

b

x

nahradı´me

ε

ε

a

∅ b q0

q0

y

ε b

∅

b

2) S vy´jimkou uzlu˚ x, y doplnı´me prˇ´ıpadne´ chybeˇjıćı´ hrany mezi kazˇdy´mi dveˇma uzly i prˇ´ıpadne´ chybeˇjıćı´ smycˇky. Noveˇ dodane´ hrany oznacˇ´ıme symbolem ∅. Naprˇ. 0,1

0,1

q1

q1

ε

∅ x

ε

q0

ε

∅

0,1

0,1

∅ ∅

y

nahradı´me

x

ε

∅

q0 ∅

∅

∅

3) Oznacˇenı´ kazˇde´ hrany, ktere´ je tvaru a1 , . . . , ak , prˇepı´sˇeme na regula´rnı´ vy´raz a1 + . . . + ak . Tj. naprˇ. a, b, c

a+b+c

nahradı´me

4) Postupneˇ odstranˇujeme vsˇechny uzly s vy´jimkou x, y. Odstraneˇnı´ uzlu qz provedeme na´sledovneˇ. Pro kazˇdou trojici uzlu˚ (qi , qj , qz ), kde ma´me R4

qi R1

qj ,

R3 qz R2

zmeˇnı´me oznacˇenı´ hrany mezi qi a qj na R4 +R1 (R2 )∗ R3 . Tuto u´pravu provedeme i pro kazˇdou trojici uzlu˚ (qi , qi , qz ), tj. zmeˇnı´me oznacˇenı´ smycˇky u uzlu qi .

33

y

x

5) Za´veˇrem ma´me vy´sledek tvaru

R

y

, kde R je hledany´

regula´rnı´ vy´raz. Pru˚vodce studiem Pocˇ´ıtejte s tı´m, zˇe R bude zbytecˇneˇ komplikovany´. Te´meˇrˇ jisteˇ bude obsahovat celou ˇradu nadbytecˇnyćh symbolu˚ ε a ∅. Urcˇiteˇ byste si vsˇak veˇdeˇli rady s tı´m, jak zjednodusˇit podvy´razy tvaru a · ε, a · ∅, a + ∅ nebo ∅∗ . Tı´m je na´sˇ popis ideje du˚kazu u konce. Shrnutı´ Uza´veˇrem jazyka L rozumı´me sjednocenı´ vsˇech neza´pornyćh mocnin L, prˇicˇemzˇ L0 oznacˇuje jazyk obsahujıćı´ pouze pra´zdny´ rˇeteˇz, L1 je L a Ln zı´ska´me zrˇeteˇzenı´m Ln−1 a L. Mnozˇina vsˇech regula´rnıćh vy´razu˚ nad abecedou Σ je zavedena induktivneˇ: Kromeˇ vy´razu˚ ∅, ε a vsˇech symbolu˚ ze Σ zahrnuje kazˇdy´ vy´raz tvaru (R1 + R2 ), (R1 · R2 ) a (R1 )∗ , kde R1 , R2 jsou regula´rnı´ vy´razy. Jazyk popsany´ regula´rnı´m vy´razem R je definovań jako mnozˇina slov L(R), k nı´zˇ se da´ dospeˇt podobny´m induktivnı´m zpu˚sobem jako k regula´rnı´mu vy´razu R, a sice: Jestlizˇe je R = ∅ (ε, a), pak je L(R) = ∅ ({ε}, {a}). V prˇ´ıpadeˇ R = R1∗ (R1 + R2 , resp. R1 · R2 ) je L(R) rovno uza´veˇru jazyka L(R1 ) (sjednocenı´, resp. zrˇeteˇzenı´ jazyku˚ L(R1 ) a L(R2 )). Platı´, zˇe trˇ´ıda vsˇech jazyku˚ popsatelnyćh regula´rnı´mi vy´razy je rovna trˇ´ıdeˇ regula´rnıćh jazyku˚. Regula´rnı´ vy´razy na´m tak vedle regula´rnıćh gramatik a konecˇnyćh automatu˚ nabı´zejı´ dalsˇ´ı zpu˚sob reprezentace regula´rnıćh jazyku˚. Pojmy k zapamatovańı´ • Uza´veˇr jazyka, • regula´rnı´ vy´raz, • jazyk popsany´ regula´rnı´m vy´razem. Kontrolnı´ ota´zky 1. Je jazyk popsany´ regula´rnı´m vy´razem a) (a + ba)(ε + a)∗ b) aba(ab + a)(ε∗ + a) c) (∅ + a)∗ b(a + ε) konecˇny´ nebo nekonecˇny´? 2. Lze kazˇdy´ jazyk popsany´ regula´rnı´m vy´razem generovat pomocı´ bezkontextove´ gramatiky? Cvicˇenı´ 1. Jak vypada´ jazyk popsany´ regula´rnı´m vy´razem R1 = (a + aa)(ba)∗ ba? 2. Najdeˇte alesponˇ jedno slovo nepatrˇ´ıcı´ do jazyka (nad abecedou {a, b}) popsane´ho regula´rnı´m vy´razem R2 = a∗ b∗ . 3. Prˇeved’te regula´rnı´ vy´raz R3 = a(b + (a + ε)∗ )∗ na NKA reprezentujıćı´ tenty´zˇ jazyk.

34

´ koly k textu U 1. Oveˇrˇte, zˇe regula´rnı´ vy´razy b · ε, b · ∅, b + ∅ a ∅∗ po rˇadeˇ popisujı´ tyte´zˇ jazyky jako regula´rnı´ vy´razy b, ∅, b a ε. 2. Promyslete si detailneˇ, zda tote´zˇ oznacˇenı´ symbolem ∗ u uza´veˇru abecedy a u uza´veˇru jazyka ma´ neˇjakou souvislost.

ˇ esˇenı´ R 1. L(R1 ) = {a(ba)n ; n ∈ N} ∪ {a2 (ba)n ; n ∈ N}. 2. Do jazyka L(R2 ) nepatrˇ´ı zˇa´dne´ slovo, v neˇmzˇ se vyskytuje alesponˇ jedno a po symbolu b. 3.

a)

x

b)

x

a(b+(a+ε)*)*

a

y

(b+(a+ε)*)*

y

b+(a+ε)*

c)

x

a

ε

ε

y

b

d)

x

a

ε

ε

y

(a+ε)* b

e)

x

a

ε

ε ε

y

ε

a+ε b

f)

x

a

ε

ε ε

y

ε a

ε

35

b

g)

x

a

y a

1.5

Za´sobnı´kove´ automaty

Studijnı´ cı´le: Po prostudovańı´ kapitoly bude studujıćı´ schopen forma´lneˇ popsat za´sobnı´kovy´ automat a dva ru˚zne´ zpu˚soby, jaky´mi prˇijı´ma´ jazyk. Meˇl by by´t schopen objasnit vztah mezi za´sobnı´kovy´mi automaty a bezkontextovy´mi gramatikami. Klıćˇova´ slova: Za´sobnı´kovy´ automat, nedeterministicky´ za´sobnı´kovy´ automat. Potrˇebny´ cˇas: 120 minut. Dalsˇ´ım automatem, se ktery´m se sezna´mı´me, je za´sobnı´kovy´ automat. Pu˚jde o stroj, ktery´ si mu˚zˇeme prˇedstavit jako NKA rozsˇ´ırˇeny´ o pameˇt’typu za´sobnı´k. Toto rozsˇ´ırˇenı´ povede k jisty´m odlisˇnostem vyply´vajıćı´m z nutnosti efektivneˇ pracovat s uvedeny´m pameˇt’ovy´m zarˇ´ızenı´m. Pru˚vodce studiem Pro u´plnost si prˇipomenˇme, zˇe za´sobnı´k prˇedstavuje takovy´ typ pameˇti, jenzˇ umozˇnˇuje ukla´dat symboly z jiste´ abecedy; prˇi vyjı´mańı´ je vsˇak prˇ´ıstupny´ pouze posledneˇ ulozˇeny´ symbol, nebyl-li mezitı´m ze za´sobnı´ku vynˇat – v takove´m prˇ´ıpadeˇ je prˇ´ıstupny´ bezprostrˇedneˇ prˇedcha´zejıćı´ symbol, atd. Odtud vyply´va´, zˇe prˇ´ıstup k libovolne´mu symbolu v za´sobnı´ku zı´ska´me, odebereme-li ze za´sobnı´ku vsˇechny pozdeˇji ulozˇene´ symboly.

V souladu s beˇzˇneˇ uzˇ´ıvanou konvencı´ budeme nazy´vat poslednı´ obsazenou pameˇt’ovou bunˇku (nebo chcete-li polıćˇko) vrcholem za´sobnı´ku – vycha´zı´me z prˇedstavy svisle´ho usporˇa´dańı´ pameˇt’ovyćh buneˇk, prˇicˇemzˇ je zaplnˇujeme odspodu nahoru. Pru˚vodce studiem Pokud jste pozapomneˇli, z cˇeho sesta´va´ a jak pracuje NKA, radeˇji si prˇed studiem dalsˇ´ıho textu prˇ´ıslusˇne´ partie kapitoly 1.3 zopakujte.

Konkre´tneˇ lze tedy za´sobnı´kovy´ automat cha´pat jako zarˇ´ızenı´ z obr. 5 skla´dajıćı´ se • z rˇ´ıdicı´ jednotky, ktera´ se mu˚zˇe nacha´zet v neˇktere´m z konecˇneˇ mnoha stavu˚, • ze vstupnı´ pa´sky stejne´ de´lky jako vstupnı´ slovo, jezˇ je na nı´ zapsańo, • ze cˇtecı´ho zarˇ´ızenı´ umozˇnˇujıćı´ho rˇ´ıdicı´ jednotce cˇ´ıst symbol z toho polıćˇka vstupnı´ pa´sky, nad nı´mzˇ se nacha´zı´ cˇtecı´ hlava, • ze za´sobnı´ku prˇedstavovane´ho potencia´lneˇ nekonecˇnou pa´skou (deˇlenou na jednotliva´ polıćˇka, prˇicˇemzˇ na kazˇde´m polıćˇku mu˚zˇe by´t nejvy´sˇe jeden symbol z takzvane´ za´sobnı´kove´ abecedy), • ze cˇtecı´ho a zapisovacı´ho zarˇ´ızenı´ umozˇnˇujıćı´ho rˇ´ıdicı´ jednotce cˇ´ıst i odstranˇovat symbol z vrcholu za´sobnı´ku a zapisovat symboly „nad vrchol za´sobnı´ku“.

36

ZA ∼ NKA rozsˇ´ırˇeny´ o za´sobnı´k

a c c a c a

vstupní páska

čtecí hlava

čtecí a zapisovací hlava Řídicí jednotka z x x

zásobník

Obra´zek 5: Ilustrace za´sobnı´kove´ho automatu

Pru˚vodce studiem Potencia´lneˇ nekonecˇnou pa´sku si mu˚zˇete prˇedstavit jako konecˇnou pa´sku, k nı´zˇ lze kdykoli v prˇ´ıpadeˇ potrˇeby prˇidat konecˇneˇ mnoho dalsˇ´ıch polıćˇek. Vzda´lenou analogii by mohla prˇedstavovat situace ukla´dańı´ dat na CD – jakmile jedno zaplnı´te, polozˇ´ıte je na hromadu a do vypalovacı´ mechaniky vlozˇ´ıte dalsˇ´ı CD.

Jak bude probı´hat cˇinnost vy´sˇe uvedene´ho zarˇ´ızenı´? Vyćhozı´ prˇedpoklady: 1) Na vstupnı´ pa´sce bude zapsańo slovo tvorˇene´ ze symbolu˚ vstupnı´ abecedy za´sobnı´kove´ho automatu. Pa´ska (deˇlena´ na jednotliva´ polıćˇka) bude mı´t na kazˇde´m polıćˇku pra´veˇ jeden symbol a de´lka pa´sky bude stejna´ jako de´lka vstupnı´ho slova, tj. pa´ska je konecˇne´ de´lky a na jejı´m konci nejsou zˇa´dna´ nevyuzˇita´ polıćˇka. 2) Cˇtecı´ hlava je umı´steˇna nad prvnı´m (tj. nejleveˇjsˇ´ım) polıćˇkem vstupnı´ pa´sky (a je tedy nachystańa ke cˇtenı´ 1. symbolu). 3) V za´sobnı´ku je ulozˇen jediny´ symbol – takzvany´ pocˇa´tecˇnı´ symbol. 4) Cˇtecı´ a zapisovacı´ hlava je umı´steˇna nad vrcholem za´sobnı´ku. 5) Za´sobnı´kovy´ automat se nacha´zı´ ve vyznacˇene´m, takzvane´m pocˇa´tecˇnı´m stavu. Pru˚beˇh vy´pocˇtu: Vycha´zı´me z prˇedpokladu, zˇe rˇ´ıdicı´ jednotka ma´ (dı´ky cˇtecı´ i cˇtecı´ a zapisovacı´ hlaveˇ) vzˇdy k dispozici informace o vstupnı´m symbolu a vrcholu za´sobnı´ku. Vy´pocˇet probı´ha´ nedeterministicky, prˇicˇemzˇ v kazˇde´m okamzˇiku ma´ za´sobnı´kovy´ automat na vy´beˇr neˇkolik mozˇnostı´ kroku˚ vy´pocˇtu. a) V prvnı´ rˇadeˇ ma´ mozˇnosti plynoucı´ ze znalosti vstupnı´ho symbolu, aktua´lnı´ho stavu a symbolu z vrcholu za´sobnı´ku. Kazˇda´ z teˇchto mozˇnostı´ zahrnuje novy´ stav ˇr´ıdicı´ jednotky a (prˇ´ıpadneˇ pra´zdny´) rˇeteˇz za´sobnı´kovyćh symbolu˚, jimizˇ bude „prˇepsań“ vrchol za´sobnı´ku. V uvedene´m prˇ´ıpadeˇ automat prˇesune cˇtecı´ hlavu nad vstupnı´ pa´skou o jedno polıćˇko doprava, prˇejde do nove´ho stavu, odstranı´ symbol z vrcholu za´sobnı´ku a do za´sobnı´ku zapı´sˇe prˇ´ıslusˇny´ rˇeteˇz, tj. je-li pra´zdny´, nezapisuje nic, je-li de´lky 1, zapı´sˇe jej namı´sto odstraneˇne´ho symbolu, a je-li de´lky alesponˇ 2, jeho 1. symbol zprava zapı´sˇe do za´sobnı´ku nejdrˇ´ıve, pak zapı´sˇe 2. symbol zprava atd. (tzn. po provedenı´ za´pisu se nejleveˇjsˇ´ı symbol ocitne na vrcholu za´sobnı´ku). b) V druhe´ rˇadeˇ ma´ mozˇnosti obdobne´ bodu a), avsˇak lisˇ´ıcı´ se tı´m, zˇe nenı´ vyzˇadovańa zˇa´dna´ znalost vstupnı´ho symbolu. Tzn. automat pro svu˚j vy´pocˇetnı´ krok potrˇebuje zna´t pouze aktua´lnı´ stav a symbol z vrcholu za´sobnı´ku. Vy´sledkem je potom prˇechod do nove´ho stavu a „prˇepsańı´“ vrcholu za´sobnı´ku – jiny´mi slovy, automat „nepokracˇuje ve cˇtenı´ vstupnı´ho slova“, pouze meˇnı´ svu˚j stav a obsah za´sobnı´ku. Informace o tom, jak se ma´ za´sobnı´kovy´ automat konkre´tneˇ zachovat, budou soucˇa´stı´ jeho popisu. Jmenoviteˇ pu˚jde o prˇechodovou funkci, ktera´ bude prˇirˇazovat kazˇde´ trojici (stav, 37

Neforma´lnı´ popis cˇinnosti ZA

Rˇeteˇz by´va´ do za´sobnı´ku ukla´dań „zprava doleva“.

symbol vstupnı´ abecedy nebo pra´zdny´ rˇeteˇz, symbol za´sobnı´kove´ abecedy) mnozˇinu dvojic tvaru (stav, rˇeteˇz za´sobnı´kovyćh symbolu˚). Vyhodnocenı´ vy´pocˇtu: Uvedeme si dva zpu˚soby, jak mu˚zˇe za´sobnı´kovy´ automat prˇijı´mat vstupnı´ slovo. Jeden zpu˚sob je naprosto analogicky´ prˇijetı´ vstupnı´ho slova nedeterministicky´m konecˇny´m automatem, tj. je vyzˇadovańa existence „veˇtve vy´pocˇtu“ koncˇ´ıcı´ „po prˇecˇtenı´ vstupnı´ho slova“ v neˇktere´m z vyznacˇenyćh koncovyćh stavu˚. Druhy´ zpu˚sob vyuzˇ´ıva´ prˇ´ıtomnosti pameˇt’ove´ho zarˇ´ızenı´ a vyzˇaduje existenci „veˇtve vy´pocˇtu“ koncˇ´ıcı´ „po prˇecˇtenı´ vstupnı´ho slova“ vypra´zdneˇnı´m za´sobnı´ku. U kazˇde´ho za´sobnı´kove´ho automatu pochopitelneˇ vy´slovneˇ uvedeme, ktery´ z popsanyćh zpu˚sobu˚ prˇijı´mańı´ vstupnıćh slov budeme pouzˇ´ıvat. Nynı´ prˇejdeme k forma´lnı´ definici za´sobnı´kove´ho automatu. Definice 1.57. Za´sobnı´kovy´m automatem (zkraćeneˇ ozn. ZA)4 nazy´va´me usporˇa´danou sedmici (Q, Σ, Γ, δ, q0 , Z0 , F ), kde Q je konecˇna´ nepra´zdna´ mnozˇina stavu˚, Σ je vstupnı´ abeceda, Γ je za´sobnı´kova´ abeceda, δ je prˇechodova´ funkce; zobrazuje Q × (Σ ∪ {ε}) × Γ do mnozˇiny vsˇech konecˇnyćh podmnozˇin Q × Γ∗ , q0 ∈ Q je pocˇa´tecˇnı´ stav, Z0 ∈ Γ je pocˇa´tecˇnı´ symbol, F ⊆ Q je mnozˇina koncovyćh stavu˚. Pru˚vodce studiem V definici neklademe zˇa´dne´ omezujıćı´ podmıńky na vza´jemny´ vztah vstupnı´ a za´sobnı´kove´ abecedy. To proto, aby bylo mozˇno do za´sobnı´ku ukla´dat jak prˇecˇtene´ vstupnı´ symboly tak pomocne´ symboly, jezˇ se ve vstupnı´ abecedeˇ nevyskytujı´. Dalsˇ´ı komenta´rˇ – ty´kajıćı´ se prˇechodove´ funkce – odlozˇ´ıme azˇ za na´sledujıćı´ definici. Definice 1.58. Meˇjme libovolny´ ZA A = (Q, Σ, Γ, δ, q0 , Z0 , F ). Kazˇdou usporˇa´danou trojici (q, w, α) ∈ Q × Σ∗ × Γ∗ nazveme konfiguracı´ za´sobnı´kove´ho automatu A. Krok vy´pocˇtu A definujeme jako bina´rnı´ relaci ` (na mnozˇineˇ vsˇech konfiguracı´) takto: Pro vsˇechna p, q ∈ Q, a ∈ Σ ∪ {ε}, x ∈ Σ∗ , Z ∈ Γ, α, β ∈ Γ∗ je (p, ax, Zα) ` (q, x, βα), pra´veˇ kdyzˇ δ(p, a, Z) obsahuje (q, β). Symbolem `∗ budeme oznacˇovat reflexivnı´ a tranzitivnı´ uza´veˇr relace `, symbolem `+ tranzitivnı´ uza´veˇr relace `. Vy´pocˇet za´sobnı´kove´ho automatu definujeme prostrˇednictvı´m relace `∗ . Pru˚vodce studiem Podobneˇ, jako tomu bylo u KA a NKA, i v prˇ´ıpadeˇ ZA konfigurace jednoznacˇneˇ popisuje situaci, v nı´zˇ se stroj nacha´zı´ v pru˚beˇhu vy´pocˇtu. Tuto situaci zrˇejmeˇ urcˇuje aktua´lnı´ stav, dosud neprˇecˇtena´ cˇa´st vstupnı´ho slova a aktua´lnı´ obsah za´sobnı´ku. Tj. konfiguraci (q, w, α) odpovı´da´ situace, kdy se dany´ ZA nacha´zı´ ve stavu q, dosud neprˇecˇtena´ cˇa´st vstupnı´ho slova je rovna w a v za´sobnı´ku je zapsań rˇeteˇz α, prˇicˇemzˇ vrchol za´sobnı´ku obsahuje nejleveˇjsˇ´ı symbol ˇreteˇzu α. V definici kroku vy´pocˇtu si vsˇimneˇte pozˇadavku na nepra´zdny´ obsah za´sobnı´ku. Jinak 4

Zatı´mco KA bez jake´hokoliv prˇ´ıvlastku oznacˇoval deterministickou verzi uvedene´ho stroje, ZA bez dalsˇ´ıho prˇ´ıvlastku na´m bude oznacˇovat verzi nedeterministickou – jednak v tomto textu deterministicky´ za´sobnı´kovy´ automat zava´deˇt nebudeme, jednak je v literaturˇe tato „asymetrie“ beˇzˇna´.

38

ˇrecˇeno, dojde-li v pru˚beˇhu vy´pocˇtu k vypra´zdneˇnı´ za´sobnı´ku, nenı´ dalsˇ´ı vy´pocˇetnı´ krok definovań. Co se tyćˇe vy´pocˇetnıćh variant, lze spatrˇit dva ru˚zne´ du˚vody nedeterminismu u ZA. Oba vyply´vajı´ z definice prˇechodove´ funkce. Jednak ma´ ZA na vy´beˇr, zda cˇ´ıst nebo necˇ´ıst vstupnı´ symbol, jednak vy´sledek prˇechodove´ funkce mu˚zˇe nabı´zet ru˚zna´ prˇ´ıpustna´ pokracˇovańı´ vy´pocˇtu. Tak naprˇ´ıklad pro δ(p, a, Z) = {(q1 , a), (q2 , ε)} a δ(p, ε, Z) = {(q3 , Z), (q4 , aZ)} ma´me v bina´rnı´ relaci ` na´sledujıćı´ dvojice konfiguracı´: (p, a, Z) ` (q1 , ε, a), (p, a, Z) ` (q2 , ε, ε), (p, a, Z) ` (q3 , a, Z), (p, a, Z) ` (q4 , a, aZ). Vy´pocˇet obsahujıćı´ konfiguraci (p, a, Z) bude tedy zahrnovat cˇtyrˇi „veˇtve vy´pocˇtu“, z nichzˇ kazˇda´ pokracˇuje po konfiguraci (p, a, Z) jinou z vy´sˇe uvedenyćh konfiguracı´.

Dveˇ ru˚zne´ prˇ´ıcˇiny nedeterminismu u ZA

Jak bylo jizˇ drˇ´ıve prˇedeslańo, pro ZA lze zave´st dva ru˚zne´ zpu˚soby prˇijetı´ vstupnı´ho slova, cozˇ obecneˇ vede ke dveˇma ru˚zny´m jazyku˚m, jezˇ prˇijı´ma´ tenty´zˇ ZA. Definice 1.59. Necht’A = (Q, Σ, Γ, δ, q0 , Z0 , F ) je ZA. a) Mnozˇinu L(A) = {w ∈ Σ∗ ; (q0 , w, Z0 ) `∗ (qf , ε, α) pro neˇjake´ qf ∈ F, α ∈ Γ∗ }, nazveme jazykem prˇijı´many´m (rozpozna´vany´m) za´sobnı´kovy´m automatem A koncovy´m stavem. b) Mnozˇinu N (A) = {w ∈ Σ∗ ; (q0 , w, Z0 ) `∗ (q, ε, ε) pro neˇjake´ q ∈ Q}, nazveme jazykem prˇijı´many´m (rozpozna´vany´m) za´sobnı´kovy´m automatem A pra´zdny´m za´sobnı´kem. Pru˚vodce studiem Jazyk prˇijı´many´ koncovy´m stavem zosobnˇuje stejny´ prˇ´ıstup, ktery´ jste mohli videˇt u NKA, tj. do tohoto jazyka je zarˇazeno kazˇde´ slovo, k neˇmuzˇ existuje vy´pocˇet koncˇ´ıcı´ „po prˇecˇtenı´ dane´ho slova“ v neˇktere´m z koncovyćh stavu˚. V prˇ´ıpadeˇ ZA vsˇak nevnı´mejte vyja´drˇenı´ „prˇecˇtenı´ slova“ jako okamzˇik, kdy byl prˇecˇten poslednı´ symbol vstupnı´ho slova. ZA totizˇ mu˚zˇe jesˇteˇ prova´deˇt vy´pocˇetnı´ kroky, jimizˇ pouze meˇnı´ svu˚j stav a obsah za´sobnı´ku. Analogicky, jazyk prˇijı´many´ pra´zdny´m za´sobnı´kem obsahuje kazˇde´ slovo, k neˇmuzˇ existuje vy´pocˇet, jenzˇ „po prˇecˇtenı´ dane´ho slova“ koncˇ´ı konfiguracı´ s pra´zdny´m za´sobnı´kem. Pozna´mka z prˇedchozı´ho odstavce o mozˇnosti meˇnit na za´veˇr vy´pocˇtu pouze stav a obsah za´sobnı´ku platı´ pochopitelneˇ i zde. Prˇ´ıklad 1.60. Popisˇme si ZA, ktery´ bude prˇijı´mat jazyk L = {an bn ; n ≥ 1} koncovy´m stavem. Nejjednodusˇsˇ´ı zpu˚sob cˇinnosti pozˇadovane´ho ZA bude na´sledujıćı´. Dokud bude cˇ´ıst symboly a, setrva´ v pocˇa´tecˇnı´m stavu q0 a za kazˇdy´ prˇecˇteny´ symbol a ulozˇ´ı do za´sobnı´ku jeden symbol a. Tı´m bude vlastneˇ zajisˇteˇno zkopı´rovańı´ vsˇech symbolu˚ a do za´sobnı´ku. Prˇi prˇecˇtenı´ prvnı´ho symbolu b prˇejde ZA do stavu q1 a ze za´sobnı´ku odebere jeden symbol a. Ve stavu q1 ZA setrva´, dokud bude cˇ´ıst symboly b – prˇitom bude odstranˇovat symboly a ze za´sobnı´ku. Zu˚stane-li mu v za´sobnı´ku pouze symbol Z0 , prˇejde do koncove´ho stavu, nebot’pra´veˇ docˇetl rˇeteˇz tvaru an bn . Prˇ´ıslusˇne´mu popisu nepochybneˇ odpovı´da´ ZA A = (Q, Σ, Γ, δ, q0 , Z0 , F ), kde Q = {q0 , q1 , q2 }, Σ = {a, b}, Γ = {Z0 , a}, F = {q2 } 39

ZA mu˚zˇe jazyk prˇijı´mat koncovy´m stavem nebo pra´zdny´m za´sobnı´kem.

a prˇechodova´ funkce δ je definovańa na´sledovneˇ: δ(q0 , a, Z0 ) = {(q0 , aZ0 )}, δ(q0 , a, a) = {(q0 , aa)}, δ(q0 , b, a) = {(q1 , ε)}, δ(q1 , b, a) = {(q1 , ε)}, δ(q1 , ε, Z0 ) = {(q2 , Z0 )}, ve vsˇech ostatnıćh prˇ´ıpadech je δ(x, y, z) = ∅. Pro veˇtsˇ´ı na´zornost si uved’me prˇ´ıklad vy´pocˇetnı´ veˇtve potvrzujıćı´ prˇ´ıslusˇnost slova a2 b2 k jazyku L a prˇ´ıklad vy´pocˇetnı´ veˇtve pro slovo aab 6∈ L: (q0 , aabb, Z0 ) ` (q0 , abb, aZ0 ) ` (q0 , bb, aaZ0 ) ` (q1 , b, aZ0 ) ` (q1 , ε, Z0 ) ` (q2 , ε, Z0 ) (q0 , aab, Z0 ) ` (q0 , ab, aZ0 ) ` (q0 , b, aaZ0 ) ` (q1 , ε, aZ0 ) . . . a dalsˇ´ı krok vy´pocˇtu jizˇ nenı´ definovań. I kdyzˇ jsme zavedli dva ru˚zne´ zpu˚soby, jak mu˚zˇe ZA prˇijı´mat jazyk, na´sledujıćı´ veˇta potvrdı´, zˇe odpovı´dajıćı´ trˇ´ıdy jazyku˚ jsou stejne´. Veˇta 1.61. Jazyk L ⊆ Σ∗ je prˇijı´many´ neˇjaky´m ZA A1 koncovy´m stavem, pra´veˇ kdyzˇ je prˇijı´many´ neˇjaky´m ZA A2 pra´zdny´m za´sobnı´kem. Du˚kaz. 1) Necht’ je jazyk L prˇijı´mań ZA A1 = (Q, Σ, Γ, δ, q0 , Z0 , F ) koncovy´m stavem. Sestrojı´me ZA A2 , ktery´ bude prˇijı´mat L pra´zdny´m za´sobnı´kem. Pru˚vodce studiem

Trˇ´ıdy jazyku˚ prˇijı´manyćh za´sobnı´kovy´mi automaty koncovy´m stavem a pra´zdny´m za´sobnı´kem jsou stejne´.

Idea konstrukce bude celkem prosta´. Stacˇ´ı, aby automat A2 pracoval stejneˇ jako A1 a aby, kdykoliv se A1 ocitne v koncove´m stavu, mohl (nedeterministicky) prˇejı´t do specia´lnı´ho stavu, v neˇmzˇ vypra´zdnı´ svu˚j za´sobnı´k. Prˇi vlastnı´ realizaci te´to mysˇlenky vsˇak musı´me vyrˇesˇit drobny´ za´drhel spocˇ´ıvajıćı´ v eventualiteˇ, zˇe ZA A1 mu˚zˇe vypra´zdnit svu˚j za´sobnı´k u slova nepatrˇ´ıcı´ho do L – v takove´m prˇ´ıpadeˇ by ZA A2 (pracujıćı´ stejneˇ jako A1 ) ovsˇem dotycˇne´ slovo prˇijal. Uvedeny´ za´drhel rˇesˇ´ı ulozˇenı´ specia´lnı´ho symbolu do za´sobnı´ku stroje A2 jesˇteˇ prˇed tı´m, nezˇ zacˇne simulovat cˇinnost stroje A1 . Prˇi vypra´zdneˇnı´ za´sobnı´ku A1 pak v za´sobnı´ku A2 zu˚stane jesˇteˇ onen specia´lnı´ symbol. Jisteˇ lze bez u´jmy na obecnosti prˇedpokla´dat, zˇe mnozˇina stavu˚ Q neobsahuje stavy q00 , qε a za´sobnı´kova´ abeceda Γ neobsahuje symbol Z00 . Potom stacˇ´ı polozˇit A2 = (Q ∪ {q00 , qε }, Σ, Γ ∪ {Z00 }, δ 0 , q00 , Z00 , ∅), kde prˇechodova´ funkce δ 0 je definovańa na´sledovneˇ: Pru˚vodce studiem Nenechte se prˇekvapit tı´m, zˇe mnozˇina koncovyćh stavu˚ stroje A2 je pra´zdna´. Nenasta´va´ zde zˇa´dny´ rozpor s definicı´, prˇedevsˇ´ım vsˇak tato mnozˇina nehraje zˇa´dnou roli prˇi prˇijı´mańı´ slov pra´zdny´m za´sobnı´kem. a) δ 0 (q00 , ε, Z00 ) = {(q0 , Z0 Z00 )}, b) pro vsˇechna p, q ∈ Q, a ∈ Σ ∪ {ε}, Z ∈ Γ, α ∈ Γ∗ je (q, α) ∈ δ 0 (p, a, Z), pra´veˇ kdyzˇ (q, α) ∈ δ(p, a, Z), c) pro vsˇechna q ∈ F, Z ∈ Γ ∪ {Z00 } je (qε , ε) ∈ δ 0 (q, ε, Z), d) pro vsˇechna Z ∈ Γ ∪ {Z00 } je δ 0 (qε , ε, Z) = {(qε , ε)}, e) ve vsˇech zby´vajıćıćh prˇ´ıpadech je δ 0 (x, y, z) = ∅.

40

U ZA prˇijı´majıćı´ho pra´zdny´m za´sobnı´kem nezrˇ´ıdka volı´me pra´zdnou mnozˇinu koncovyćh stavu˚.

Pru˚vodce studiem Bod a) zarucˇuje prˇevedenı´ A2 do konfigurace stejne´ jako je pocˇa´tecˇnı´ konfigurace A1 azˇ na za´sobnı´k bohatsˇ´ı o symbol Z00 . Bod b) zajisˇt’uje stejne´ vy´pocˇetnı´ mozˇnosti jako ma´ A1 . Bod c) poskytuje stroji A2 mozˇnost prˇejı´t do stavu qε , kdykoliv se A1 nacha´zı´ v neˇktere´m ze svyćh koncovyćh stavu˚. Bod d) umozˇnˇuje stroji A2 ve stavu qε vypra´zdnit za´sobnı´k. Nynı´ oveˇrˇ´ıme, zˇe ZA A2 prˇijı´ma´ pra´zdny´m za´sobnı´kem pra´veˇ jazyk L = L(A1 ). Necht’ w ∈ Σ∗ . Potom jsou na za´kladeˇ definic jazyku˚ prˇijı´manyćh za´sobnı´kovy´mi automaty a definice stroje A2 ekvivalentnı´ na´sledujıćı´ tvrzenı´. • w ∈ L(A1 ), • existujı´ q ∈ F, n ∈ N0 a Z1 , . . . , Zn ∈ Γ takove´, zˇe u ZA A1 je mozˇny´ vy´pocˇet (q0 , w, Z0 ) `∗ (q, ε, Z1 · · · Zn ), • existujı´ q ∈ F, n ∈ N0 a Z1 , . . . , Zn ∈ Γ takove´, zˇe u ZA A2 je mozˇny´ vy´pocˇet (q00 , w, Z00 ) ` (q0 , w, Z0 Z00 ) `∗ (q, ε, Z1 · · · Zn Z00 ) `∗ (qε , ε, ε), • w ∈ N (A2 ). 2) Prˇedpokla´dejme nynı´, zˇe jazyk L je prˇijı´mań ZA A2 = (Q, Σ, Γ, δ, q0 , Z0 , F ) pra´zdny´m za´sobnı´kem. Sestrojı´me ZA A1 , ktery´ bude prˇijı´mat L koncovy´m stavem. Pru˚vodce studiem Idea konstrukce bude do jiste´ mı´ry podobna´ cˇa´sti 1) tohoto du˚kazu. Stacˇ´ı, aby hledany´ automat A1 vzˇdy na zacˇa´tku sve´ praće vlozˇil do za´sobnı´ku Z0 nad svu˚j pocˇa´tecˇnı´ symbol a na´sledneˇ pracoval stejneˇ jako A2 . V okamzˇiku, kdy A2 vypra´zdnı´ svu˚j za´sobnı´k, zu˚stane stroji A1 v za´sobnı´ku jeho pocˇa´tecˇnı´ symbol – jeho nacˇtenı´ prˇevede stroj A1 do koncove´ho stavu. Prˇedpokla´dejme (bez u´jmy na obecnosti), zˇe mnozˇina stavu˚ Q neobsahuje stavy q00 , qf a za´sobnı´kova´ abeceda Γ neobsahuje symbol Z00 . Potom stacˇ´ı polozˇit A1 = (Q ∪ {q00 , qf }, Σ, Γ ∪ {Z00 }, δ 0 , q00 , Z00 , {qf }), kde prˇechodova´ funkce δ 0 je definovańa na´sledovneˇ: a) b) c) d)

δ 0 (q00 , ε, Z00 ) = {(q0 , Z0 Z00 )}, pro vsˇechna q ∈ Q, a ∈ Σ ∪ {ε}, Z ∈ Γ je δ 0 (q, a, Z) = δ(q, a, Z), pro vsˇechna q ∈ Q je δ 0 (q, ε, Z00 ) = {(qf , ε)}, ve vsˇech zby´vajıćıćh prˇ´ıpadech je δ 0 (x, y, z) = ∅.

Pru˚vodce studiem Bod a) zarucˇuje prˇevedenı´ A1 do konfigurace stejne´ jako je pocˇa´tecˇnı´ konfigurace A2 azˇ na za´sobnı´k bohatsˇ´ı o symbol Z00 . Bod b) zajisˇt’uje stejne´ vy´pocˇetnı´ mozˇnosti jako ma´ A2 . Bod c) da´va´ stroji A1 mozˇnost prˇejı´t do koncove´ho stavu qf , kdykoliv A2 vypra´zdnil svu˚j za´sobnı´k. K dokoncˇenı´ du˚kazu zby´va´ oveˇrˇit, zˇe ZA A1 prˇijı´ma´ koncovy´m stavem jazyk L = N (A2 ). Necht’ w ∈ Σ∗ . Potom jsou na za´kladeˇ definic jazyku˚ prˇijı´manyćh za´sobnı´kovy´mi automaty a definice stroje A1 ekvivalentnı´ na´sledujıćı´ tvrzenı´. • w ∈ N (A2 ), • existuje q ∈ Q tak, zˇe u ZA A2 je mozˇny´ vy´pocˇet (q0 , w, Z0 ) `∗ (q, ε, ε), • existuje q ∈ Q tak, zˇe u ZA A1 je mozˇny´ vy´pocˇet (q00 , w, Z00 ) ` (q0 , w, Z0 Z00 ) `∗ (q, ε, Z00 ) ` (qf , ε, ε), • w ∈ L(A1 ). 41

Pojem zavedeny´ v na´sledujıćı´ definici se uplatnı´ v du˚kazu dalsˇ´ı veˇty. Definice 1.62. Levy´m odvozenı´m v bezkontextove´ gramatice rozumı´me takovou derivaci S = α0 ⇒ α1 ⇒ . . . ⇒ αn , kde v kazˇde´m prˇ´ıme´m odvozenı´ αk−1 ⇒ αk (pro k ∈ {1, . . . , n}) je pouzˇito pravidlo prˇepisujıćı´ prvnı´ netermina´l v rˇeteˇzu αk−1 . Prˇ´ıklad 1.63. Uvazˇme bezkontextovou gramatiku obsahujıćı´ pravidla S → AB, A → aAB | a, B → b. Podle prˇedchozı´ definice S ⇒ AB ⇒ aABB ⇒ aaBB ⇒ aabB ⇒ aabb prˇedstavuje leve´ odvozenı´ rˇeteˇzu aabb. Prˇ´ıklad odvozenı´, ktere´ nenı´ leve´: S ⇒ AB ⇒ Ab ⇒ ab Pozna´mka 1.64. Kazˇde´ slovo z jazyka generovane´ho bezkontextovou gramatikou je v du˚sledku bezkontextove´ho pouzˇ´ıvańı´ pravidel odvoditelne´ z pocˇa´tecˇnı´ho symbolu pomocı´ leve´ho odvozenı´. Pru˚vodce studiem Za´veˇr kapitoly veˇnujeme objasneˇnı´ vza´jemne´ho vztahu bezkontextovyćh jazyku˚ a za´sobnı´kovyćh automatu˚. Mu˚zˇeme prˇedeslat, zˇe trˇ´ıda bezkontextovyćh jazyku˚ je rovna trˇ´ıdeˇ jazyku˚ prˇijı´manyćh za´sobnı´kovy´mi automaty (prˇicˇemzˇ podle veˇty 1.61 nenı´ podstatne´, jaky´m zpu˚sobem za´sobnı´kove´ automaty jazyky prˇijı´majı´). Veˇta 1.65. Ke kazˇde´ bezkontextove´ gramatice G existuje ZA M takovy´, zˇe L(G) = N (M ). Du˚kaz. Necht’G = (N, Σ, P, S) je libovolna´ bezkontextova´ gramatika. Pru˚vodce studiem Du˚kaz bude zalozˇen na na´sledujıćı´ mysˇlence. V za´sobnı´ku automatu M budeme nedeterministicky simulovat leva´ odvozenı´ rˇeteˇzu˚ generovatelnyćh gramatikou G – viz take´ pozna´mku 1.64. Pokud se ktery´koliv z teˇchto rˇeteˇzu˚ objevı´ na vstupu ZA M , pak bude existovat „veˇtev vy´pocˇtu“ M , kdy se 1. symbol vstupnı´ho slova bude rovnat symbolu z vrcholu za´sobnı´ku (kde bylo nejdrˇ´ıve nasimulovańo odpovı´dajıćı´ leve´ odvozenı´) a oba symboly mohou by´t „odstraneˇny“. Tote´zˇ mu˚zˇe probeˇhnout se vsˇemi na´sledujıćı´mi symboly, a tak ZA M mu˚zˇe s prˇecˇtenı´m takove´ho vstupnı´ho slova vypra´zdnit svu˚j za´sobnı´k, cozˇ je prˇesneˇ to, co potrˇebujeme. Prˇedved’me si uvedeny´ prˇ´ıstup na leve´m odvozenı´ S ⇒ ABC ⇒ xBC ⇒ xyC ⇒ xyz. ZA M by mohl prove´st pro vstupnı´ slovo xyz na´sledujıćı´ posloupnost kroku˚ vy´pocˇtu: (q0 , xyz, Z0 ) ` (q0 , xyz, S) ` (q0 , xyz, ABC) ` (q0 , xyz, xBC) `∗ (q0 , yz, BC) ` (q0 , yz, yC) `∗ (q0 , z, C) ` (q0 , z, z) `∗ (q0 , ε, ε). Polozˇme M = ({q0 }, Σ, N ∪Σ, δ, q0 , S, ∅), kde prˇechodova´ funkce δ je definovańa na´sledovneˇ: Pru˚vodce studiem Protozˇe v za´sobnı´ku potrˇebujeme simulovat leva´ odvozenı´ gramatiky G, obsahuje za´sobnı´kova´ abeceda stroje M vsˇechny termina´lnı´ i netermina´lnı´ symboly gramatiky G a roli pocˇa´tecˇnı´ho symbolu (v za´sobnı´ku) plnohodnotneˇ zastoupı´ pocˇa´tecˇnı´ netermina´l S. Bezvy´znamnost mnozˇiny koncovyćh stavu˚ pro ZA prˇijı´majıćı´ pra´zdny´m za´sobnı´kem snad jizˇ nenı´ trˇeba komentovat. 42

a) Pro vsˇechna A ∈ N, α ∈ (N ∪ Σ)∗ takova´, zˇe A → α ∈ P, je (q0 , α) ∈ δ(q0 , ε, A). b) Pro vsˇechna a ∈ Σ je δ(q0 , a, a) = {(q0 , ε)}. c) Ve vsˇech zby´vajıćıćh prˇ´ıpadech je δ(x, y, z) = ∅. Pru˚vodce studiem Bod a) zarucˇuje mozˇnost simulovat v za´sobnı´ku leva´ odvozenı´ gramatiky G. Bod b) umozˇnˇuje stroji M odebı´rat z vrcholu za´sobnı´ku stejne´ symboly, jake´ jsou aktua´lneˇ na vstupu. Oveˇrˇenı´, zˇe ZA M prˇijı´ma´ pra´zdny´m za´sobnı´kem jazyk L(G), rozdeˇlı´me na dveˇ cˇa´sti. I. Proka´zˇeme, zˇe kazˇde´ slovo z jazyka L(G) patrˇ´ı do jazyka N (M ). Necht’ w ∈ Σ∗ . Matematickou indukcı´ nejdrˇ´ıve doka´zˇeme tvrzenı´ T : Jestlizˇe A ∈ N , pak pro kazˇde´ neza´porne´ cele´ cˇ´ıslo m ze vztahu A ⇒m w (tzn. w je odvoditelne´ z A v m derivacˇnıćh krocıćh) plyne (q0 , w, A) `∗ (q0 , ε, ε). 1) Necht’ A ⇒ w = w1 · · · wk , kde k ∈ N0 a w1 , . . . , wk ∈ Σ. Potom z definice prˇ´ıme´ho odvozenı´ plyne existence pravidla A → w1 · · · wk v mnozˇineˇ P , cozˇ vzhledem k bodu a) definice prˇechodove´ funkce automatu M znamena´, zˇe (q0 , w1 · · · wk ) ∈ δ(q0 , ε, A). Na za´kladeˇ definic kroku vy´pocˇtu ZA a prˇechodove´ funkce automatu M pak dosta´va´me: (q0 , w1 · · · wk , A) ` (q0 , w1 · · · wk , w1 · · · wk ) `∗ (q0 , ε, ε). 2) Necht’ tvrzenı´ T platı´ pro m ∈ {1, . . . , n}, kde n ∈ N. Oveˇrˇ´ıme jeho platnost pro n + 1: Necht’ A ⇒n+1 w. Tuto derivaci lze vzhledem k pozna´mce 1.64 psa´t jako leve´ odvozenı´ A ⇒ A1 · · · Aj ⇒m1 α1 A2 · · · Aj ⇒m2 . . . ⇒mj α1 α2 · · · αj = w, kde mi ≤ n pro kazˇdy´ index i ∈ {1, . . . , j}. Pru˚vodce studiem V prˇedchozı´m za´pisu je forma´lneˇ popsańa skutecˇnost, zˇe z netermina´lu A lze v jednom derivacˇnı´m kroku (prˇ´ımo) odvodit rˇeteˇz A1 · · · Aj a zˇe kazˇde´ Ai je bud’ rovno termina´lu αi anebo z neˇj lze nejvy´sˇe n derivacˇnı´mi kroky odvodit termina´lnı´ rˇeteˇz αi . Prˇitom zrˇeteˇzenı´ α1 · · · αj je rovno rˇeteˇzu w. Z definice prˇ´ıme´ho odvozenı´ plyne existence pravidla A → A1 · · · Aj v mnozˇineˇ P , cozˇ vzhledem k bodu a) definice prˇechodove´ funkce automatu M znamena´, zˇe (q0 , A1 · · · Aj ) ∈ δ(q0 , ε, A). S vyuzˇitı´m definice kroku vy´pocˇtu ZA a indukcˇnı´ho prˇedpokladu pouzˇite´ho na kazˇde´ odvozenı´ Ai ⇒mi αi pak dosta´va´me: (q0 , w, A) = (q0 , α1 · · · αj , A) ` (q0 , α1 · · · αj , A1 · · · Aj ) `∗ (q0 , α2 · · · αj , A2 · · · Aj ) `∗ . . . `∗ (q0 , ε, ε). Tvrzenı´ T pro A = S da´va´ pozˇadovanou inkluzi L(G) ⊆ N (M ). II. Oveˇrˇenı´, zˇe kazˇde´ slovo z jazyka N (M ) patrˇ´ı do jazyka L(G), plyne prˇ´ımo z tvrzenı´ T 0 : Jestlizˇe w ∈ Σ∗ , A ∈ N, n ∈ N, pak ze vztahu (q0 , w, A) `n (q0 , ε, ε) (tzn. z u´vodnı´ konfigurace je za´veˇrecˇna´ konfigurace dosazˇitelna´ po n vy´pocˇetnıćh krocıćh) plyne A ⇒∗ w. Tvrzenı´ T 0 lze snadno doka´zat matematickou indukcı´ (obdobneˇ jako tvrzenı´ T v cˇa´sti I.).

Ukazˇme si v na´sledujıćı´m prˇ´ıkladu konstrukci i cˇinnost za´sobnı´kove´ho automatu odpovı´dajıćı´ho konkre´tnı´ gramatice.

43

Prˇ´ıklad 1.66. Necht’bezkontextova´ gramatika G obsahuje pouze na´sledujıćı´ pravidla: S → ASB | AB, A → ab, B → b. Oveˇrˇenı´ prˇ´ıslusˇnosti rˇeteˇzu (ab)2 b2 k jazyku L(G) si demonstrujme za pomoci ZA M z veˇty 1.65. Podle konstrukce M popsane´ v du˚kazu uvedene´ veˇty je prˇechodova´ funkce stroje M definovańa na´sledovneˇ: δ(q0 , ε, S) = {(q0 , ASB), (q0 , AB)}, δ(q0 , ε, A) = {(q0 , ab)}, δ(q0 , ε, B) = {(q0 , b)}, δ(q0 , a, a) = {(q0 , ε)}, δ(q0 , b, b) = {(q0 , ε)} a ve vsˇech zby´vajıćıćh prˇ´ıpadech je δ(x, y, z) = ∅. Veˇtev vy´pocˇtu ZA M prˇijı´majıćı´ vstupnı´ slovo (ab)2 b2 pak je (q0 , (ab)2 b2, S) ` (q0 , (ab)2 b2, ASB) ` (q0 , (ab)2 b2, abSB) `∗ (q0 , ab3, SB) ` ` (q0 , ab3, ABB) ` (q0 , ab3, abBB) `∗ (q0 , b2, BB) `∗ (q0 , ε, ε). Veˇta 1.67. Ke kazˇde´mu ZA M existuje bezkontextova´ gramatika G takova´, zˇe N (M ) = L(G). Du˚kaz. Du˚kaz je poneˇkud zdlouhavy´, a proto jej z u´spornyćh du˚vodu˚ vynecha´me. Za´jemce odkazujeme na [Chy82], [Hop69] nebo [Sip97]. Du˚sledek 1.68. Trˇ´ıda bezkontextovyćh jazyku˚ je rovna trˇ´ıdeˇ jazyku˚ prˇijı´manyćh za´sobnı´kovy´mi automaty. Du˚kaz. Jde o prˇ´ımy´ du˚sledek veˇt 1.65 a 1.67. Shrnutı´ ZA je zarˇ´ızenı´ vybavene´ konecˇneˇstavovou rˇ´ıdicı´ jednotkou, vstupnı´ pa´skou konecˇne´ de´lky (vcˇetneˇ cˇtecı´ hlavy) a pameˇtı´ typu za´sobnı´k (vcˇetneˇ cˇtecı´ a zapisovacı´ hlavy). Kazˇdy´ ZA je nedeterministicky´ stroj a je jednoznacˇneˇ urcˇen – mnozˇinou stavu˚ (v nichzˇ se mu˚zˇe nacha´zet rˇ´ıdicı´ jednotka), – vstupnı´ abecedou Σ (vstupnı´ slova ZA jsou tvorˇeny symboly ze Σ), – za´sobnı´kovou abecedou Γ (do za´sobnı´ku jsou ukla´dańy symboly z Γ), – prˇechodovou funkcı´ δ, ktera´ kazˇde´ trojici (stav, symbol vstupnı´ abecedy nebo pra´zdny´ rˇeteˇz, symbol z vrcholu za´sobnı´ku) prˇirˇazuje konecˇnou mnozˇinu usporˇa´danyćh dvojic typu (stav, rˇeteˇz za´sobnı´kovyćh symbolu˚), – jednı´m vyznacˇeny´m stavem (tzv. pocˇa´tecˇnı´m stavem – v neˇm bude rˇ´ıdicı´ jednotka prˇed zaha´jenı´m praće dane´ho ZA, at’je na vstupu jake´koli vstupnı´ slovo), – jednı´m vyznacˇeny´m za´sobnı´kovy´m symbolem (tzv. pocˇa´tecˇnı´m symbolem – ten bude jako jediny´ ulozˇeny´ v za´sobnı´ku prˇed zaha´jenı´m praće dane´ho ZA, at’ je na vstupu jake´koli vstupnı´ slovo), – vyznacˇenou podmnozˇinou mnozˇiny stavu˚ (tzv. mnozˇinou koncovyćh stavu˚ – ta bude hra´t du˚lezˇitou roli prˇi jednom ze dvou mozˇnyćh zpu˚sobu˚ prˇijı´mańı´ vstupnıćh slov). Vy´pocˇet ZA probı´ha´ obecneˇ nedeterministicky. V kazˇde´m kroku vy´pocˇtu mu˚zˇe ZA z aktua´lnı´ho stavu p na za´kladeˇ znalosti symbolu Z z vrcholu za´sobnı´ku a) a cˇtene´ho vstupnı´ho symbolu a prˇejı´t do nove´ho stavu q, posunout cˇtecı´ hlavu za prˇecˇteny´ vstupnı´ symbol a „prˇepsat vrchol za´sobnı´ku novy´m rˇeteˇzem β“, prˇicˇemzˇ dvojice (q, β) je obsazˇena ve vy´sledku prˇechodove´ funkce δ pro argumenty p, a, Z. b) prˇejı´t do nove´ho stavu q a „prˇepsat vrchol za´sobnı´ku novy´m rˇeteˇzem β“, prˇicˇemzˇ dvojice (q, β) je obsazˇena ve vy´sledku prˇechodove´ funkce δ pro argumenty p, ε, Z. 44

Kazˇdy´ bezkontextovy´ jazyk lze popsat bezkontextovou gramatikou nebo za´sobnı´kovy´m automatem.

Z mozˇnosti kroku vy´pocˇtu uvedene´ pod bodem b) vyply´va´, zˇe ZA mu˚zˇe meˇnit svu˚j stav a obsah za´sobnı´ku, anizˇ by jakkoli zohlednˇoval vstupnı´ symbol pod svou cˇtecı´ hlavou. Ve srovnańı´ s NKA je tak nedeterminismus ZA posı´len o „rozhodovańı´“, zda v aktua´lnı´m vy´pocˇetnı´m kroku cˇ´ıst cˇi necˇ´ıst dalsˇ´ı symbol vstupnı´ho slova. Dı´ky nedeterminismu (vyply´vajıćı´mu z definice prˇechodove´ funkce) se vy´pocˇet ZA mu˚zˇe veˇtvit do vıće variant. Kazˇdy´ vy´pocˇet ovsˇem zacˇ´ına´ v pocˇa´tecˇnı´ konfiguraci, ktera´ je urcˇena pocˇa´tecˇnı´m stavem, cely´m vstupnı´m slovem na pa´sce (se cˇtecı´ hlavou nad 1. symbolem tohoto slova) a za´sobnı´kem obsahujıćı´m pouze pocˇa´tecˇnı´ symbol. „Prˇ´ızniva´“ ukoncˇenı´ vy´pocˇtu jsou dveˇ: 1) Pokud pro zadane´ vstupnı´ slovo existuje alesponˇ jedna vy´pocˇetnı´ veˇtev koncˇ´ıcı´ „po prˇecˇtenı´ uvedene´ho slova“ v neˇktere´m z koncovyćh stavu˚, rˇ´ıka´me, zˇe ZA prˇijı´ma´ dane´ slovo koncovy´m stavem. Mnozˇina vsˇech slov nad vstupnı´ abecedou, jezˇ jsou prˇijı´mańa tı´mto zpu˚sobem, tvorˇ´ı jazyk prˇijı´many´ za´sobnı´kovy´m automatem koncovy´m stavem. 2) Pokud pro zadane´ vstupnı´ slovo existuje alesponˇ jedna vy´pocˇetnı´ veˇtev koncˇ´ıcı´ „po prˇecˇtenı´ uvedene´ho slova“ vypra´zdneˇnı´m za´sobnı´ku, rˇ´ıka´me, zˇe ZA prˇijı´ma´ dane´ slovo pra´zdny´m za´sobnı´kem. Mnozˇina vsˇech slov nad vstupnı´ abecedou, jezˇ jsou prˇijı´mańa tı´mto zpu˚sobem, tvorˇ´ı jazyk prˇijı´many´ za´sobnı´kovy´m automatem pra´zdny´m za´sobnı´kem. Trˇ´ıda vsˇech jazyku˚ prˇijı´manyćh za´sobnı´kovy´mi automaty koncovy´m stavem je rovna trˇ´ıdeˇ vsˇech jazyku˚ prˇijı´manyćh za´sobnı´kovy´mi automaty pra´zdny´m za´sobnı´kem. Trˇ´ıda vsˇech jazyku˚ prˇijı´manyćh za´sobnı´kovy´mi automaty (koncovy´m stavem nebo pra´zdny´m za´sobnı´kem) je rovna trˇ´ıdeˇ bezkontextovyćh jazyku˚, tj. trˇ´ıdeˇ vsˇech jazyku˚ generovatelnyćh bezkontextovy´mi gramatikami. Pojmy k zapamatovańı´ • • • • • • • • • • • • • •

Za´sobnı´kovy´ automat (ZA), stav, vstupnı´ abeceda, za´sobnı´kova´ abeceda, prˇechodova´ funkce, pocˇa´tecˇnı´ stav, pocˇa´tecˇnı´ symbol (v za´sobnı´ku), mnozˇina koncovyćh stavu˚, konfigurace, krok vy´pocˇtu, vy´pocˇet, jazyk prˇijı´many´ ZA koncovy´m stavem, jazyk prˇijı´many´ ZA pra´zdny´m za´sobnı´kem, leve´ odvozenı´ v bezkontextove´ gramatice.

Kontrolnı´ ota´zky 1. Mu˚zˇe u ZA nastat situace, zˇe prˇi provedenı´ kroku vy´pocˇtu nedojde k posunu cˇtecı´ hlavy nad vstupnı´ pa´skou? 2. Mu˚zˇe mı´t ZA prˇijı´majıćı´ koncovy´m stavem pra´zdnou mnozˇinu koncovyćh stavu˚? Cvicˇenı´ 1. Modifikujte rˇesˇenı´ prˇ´ıkladu 1.60 alesponˇ dveˇma ru˚zny´mi zpu˚soby tak, aby vy´sledne´ za´sobnı´kove´ automaty prˇijı´maly jazyk L pra´zdny´m za´sobnı´kem. 2. Najdeˇte ZA, ktery´ prˇijı´ma´ jazyk L = {w ∈ {a, b}+ ; prvnı´ a poslednı´ symbol rˇeteˇzu w je stejny´} koncovy´m stavem. 45

´ koly k textu U 1. Popisˇte dveˇ ru˚zne´ situace, kdy ZA nemu˚zˇe pokracˇovat ve sve´m vy´pocˇtu. 2. Dokoncˇete cˇa´st II. du˚kazu veˇty 1.65.

ˇ esˇenı´ R 1. Mı´sto prˇechodu δ(q1 , ε, Z0 ) = {(q2 , Z0 )} stacˇ´ı naprˇ. definovat bud’ δ(q1 , ε, Z0 ) = {(q2 , ε)} nebo δ(q1 , ε, Z0 ) = {(q1 , ε)}. 2. Jazyk L bude prˇijı´mat koncovy´m stavem ZA M , ktery´ po nacˇtenı´ stejne´ho symbolu, jako byl prvnı´ symbol vstupnı´ho slova, prˇecha´zı´ do koncove´ho stavu a po nacˇtenı´ odlisˇne´ho symbolu prˇecha´zı´ do nekoncove´ho stavu. Prˇitom 1. nacˇteny´ symbol byl ulozˇen do za´sobnı´ku a da´le se obsah za´sobnı´ku nemeˇnı´. Konkre´tneˇ M = ({q0 , q1 }, {a, b}, {a, b, Z0 }, δ, q0 , Z0 , {q1 }), kde δ(q0 , a, Z0 ) = {(q1 , aZ0 )} δ(q0 , b, Z0 ) = {(q1 , bZ0 )} δ(q1 , a, a) = {(q1 , a)} δ(q1 , b, b) = {(q1 , b)} δ(q1 , b, a) = {(q0 , a)} δ(q1 , a, b) = {(q0 , b)} δ(q0 , a, a) = {(q1 , a)} δ(q0 , b, b) = {(q1 , b)} δ(q0 , b, a) = {(q0 , a)} δ(q0 , a, b) = {(q0 , b)} Ve vsˇech ostatnıćh prˇ´ıpadech je δ(x, y, z) = ∅.

46

2

Vycˇ´ıslitelnost

Vycˇ´ıslitelnost je oblast teoreticke´ informatiky zaby´vajıćı´ se zkoumańı´m, ktere´ proble´my lze rˇesˇit pomocı´ algoritmu˚ a ktere´ ne. Pru˚vodce studiem V kra´sne´ (i „nekra´sne´“) literaturˇe se lze setkat s celou rˇadou povı´dek, jejichzˇ vy´znacˇnou postavou je obry´leny´ podivıńsky´ mladı´k, ktery´ vesˇkery´ cˇas veˇnuje matematice cˇi fyzice, nejvıće vsˇak pocˇ´ıtacˇu˚m. Tento podivıń ma´ prˇes sve´ mla´dı´ neuveˇrˇitelneˇ hluboke´ znalosti prˇ´ırodnıćh veˇd a je prˇesveˇdcˇen, zˇe na sve´m pocˇ´ıtacˇi vyrˇesˇ´ı kazˇdy´ proble´m. Uvedena´ charakteristika bohuzˇel vypovı´da´ vıć o autorovi nezˇ o litera´rnı´ postaveˇ: Na jedne´ straneˇ mladı´kovy hluboke´ znalosti, na straneˇ druhe´ elementa´rnı´ neznalost vycˇ´ıslitelnosti, ktera´ popisuje celou rˇadu proble´mu˚, jezˇ na pocˇ´ıtacˇi vyrˇesˇit nelze.

2.1

Turingovy stroje

Studijnı´ cı´le: Po prostudovańı´ kapitoly bude studujıćı´ schopen forma´lneˇ popsat Turingu˚v stroj v deterministicke´ i nedeterministicke´ varianteˇ. Da´le bude veˇdeˇt, kdy Turingu˚v stroj prˇijı´ma´ cˇi rozhoduje jazyk a kdy nedeterministicky´ Turingu˚v stroj prˇijı´ma´ jazyk. Klıćˇova´ slova: Turingu˚v stroj. Potrˇebny´ cˇas: 60 minut. Pro vlastnı´ studium algoritmicky rˇesˇitelnyćh (cˇi nerˇesˇitelnyćh) proble´mu˚ je velmi du˚lezˇite´ zave´st vhodny´ vy´pocˇetnı´ prostrˇedek – meˇl by by´t dostatecˇneˇ obecny´, aby umozˇnˇoval zpracova´vat libovolny´ algoritmus, a na druhou stranu dostatecˇneˇ jednoduchy´, aby zkoumańı´ jeho vlastnostı´ nebylo prˇ´ılisˇ komplikovane´. Uvedene´ podmıńky bezezbytku splnˇuje Turingu˚v stroj5 (cˇti Tˇu˚ringu˚v). Pru˚vodce studiem Turingu˚v stroj na´m prˇirozeneˇ rozsˇ´ırˇ´ı a uzavrˇe sadu automatu˚, jimzˇ byly veˇnovańy prˇedchozı´ partie tohoto textu: – Konecˇne´ automaty lze pouzˇ´ıt k vy´pocˇtu˚m, jezˇ bud’ nevyzˇadujı´ pameˇt’zˇa´dnou, anebo vyzˇadujı´ omezenou pameˇt’, kterou u KA mu˚zˇe suplovat konecˇneˇ mnoho stavu˚ jeho rˇ´ıdicı´ jednotky. – Za´sobnı´kove´ automaty vyhovujı´ pro vy´pocˇty, jezˇ sice vyzˇadujı´ neomezenou pameˇt’, avsˇak dostacˇuje pameˇt’typu za´sobnı´k. – Turingu˚v stroj bude disponovat (podobneˇ jako ZA) neomezenou pameˇtı´, bude vsˇak mı´t mozˇnost vracet se k drˇ´ıve ulozˇeny´m datu˚m, anizˇ by prˇitom prˇisˇel o data ulozˇena´ pozdeˇji.

Turingu˚v stroj na´m splnı´ trˇi ru˚zne´ role: 1) Turingu˚v stroj bude (podobneˇ jako KA a ZA) prˇijı´mat jazyk. 2) Turingu˚v stroj se svou sadou instrukcı´ (prˇedstavovanou prˇechodovou funkcı´) bude reprezentovat algoritmus, a to v prˇ´ıpadeˇ, zˇe jeho cˇinnost pro kazˇde´ vstupnı´ slovo skoncˇ´ı po konecˇneˇ mnoha krocıćh (tj. „nezacyklı´ se“). 5

Turingu˚v stroj nenı´ jediny´m obecny´m vy´pocˇetnı´m prostrˇedkem navrzˇeny´m v 1. polovineˇ 20. stoletı´. Je vsˇak doka´zańa vza´jemna´ prˇevoditelnost Turingova stroje a ostatnıćh formalismu˚. Protozˇe Turingu˚v stroj zaujal v knihaćh veˇnovanyćh vycˇ´ıslitelnosti dominantnı´ postavenı´, nebudeme tuto „tradici“ narusˇovat.

47

3 role Turingova stroje

3) Turingu˚v stroj bude mı´t (se sˇikovneˇ nadefinovanou prˇechodovou funkcı´) schopnost pracovat jako obecny´ vy´pocˇetnı´ prostrˇedek, tj. v prˇ´ıpadeˇ, zˇe mu bude dodań na vstup libovolny´ algoritmus vcˇetneˇ vstupnıćh dat, doka´zˇe zpracovat vstupnı´ data prˇesneˇ stejny´m zpu˚sobem jako prˇ´ıslusˇny´ algoritmus. Pru˚vodce studiem Jestlizˇe va´m neˇktera´ z uvedenyćh rolı´ nenı´ v tuto chvı´li prˇ´ılisˇ jasna´, nelamte si s tı´m hlavu a vrat’te se k te´to pasa´zˇi po prostudovańı´ cele´ kapitoly 2.

Za´kladnı´ odlisˇnostı´ Turingova stroje od KA a ZA je vyuzˇ´ıvańı´ vstupnı´ pa´sky coby pameˇt’ove´ho me´dia. Uvedena´ pa´ska bude nekonecˇneˇ dlouha´ a kromeˇ vstupnı´ho slova zapsane´ho prˇed zaha´jenı´m cˇinnosti stroje na konecˇneˇ mnoha polıćˇcıćh budou vsˇechna ostatnı´ polıćˇka pa´sky obsahovat tzv. pra´zdny´ znak. Cˇtecı´ a zapisovacı´ hlava bude moci cˇtene´ symboly prˇepisovat jiny´mi symboly a pote´ se posunout nad sousednı´ polıćˇko bud’ vlevo nebo vpravo – podle prˇ´ıkazu prˇechodove´ funkce. To znamena´, zˇe Turingu˚v stroj beˇhem vy´pocˇtu vu˚bec nemusı´ dojı´t na konec vstupnı´ho slova. Proto (na rozdı´l od KA a ZA) nebudeme pro prˇijetı´ vstupnı´ho slova Turingovy´m strojem pozˇadovat „prˇecˇtenı´ “ cele´ho slova a omezı´me se na pozˇadavek prˇechodu stroje (v libovolne´m okamzˇiku) do koncove´ho stavu oznacˇovane´ho jako prˇijı´majıćı´ stav.

Prˇijetı´ slova bez jeho „prˇecˇtenı´“

Pro veˇtsˇ´ı na´zornost mu˚zˇeme Turingu˚v stroj cha´pat jako zarˇ´ızenı´ z obr. 6 skla´dajıćı´ se • z rˇ´ıdicı´ jednotky, ktera´ se mu˚zˇe nacha´zet v neˇktere´m z konecˇneˇ mnoha stavu˚, • ze vstupnı´ pa´sky zleva ohranicˇene´ a zprava neohranicˇene´ (tj. sesta´vajıćı´ z nekonecˇneˇ mnoha polıćˇek), • ze cˇtecı´ho a zapisovacı´ho zarˇ´ızenı´ umozˇnˇujıćı´ho rˇ´ıdicı´ jednotce cˇ´ıst i zapisovat symbol na polıćˇko vstupnı´ pa´sky, nad nı´mzˇ se nacha´zı´ cˇtecı´ a zapisovacı´ hlava.

a c c a

zprava neohraničená páska

čtecí a zapisovací hlava Řídicí jednotka

Obra´zek 6: Ilustrace Turingova stroje Jak bude probı´hat cˇinnost vy´sˇe uvedene´ho zarˇ´ızenı´? Vyćhozı´ prˇedpoklady: 1) Na vstupnı´ pa´sce bude zapsańo slovo tvorˇene´ ze symbolu˚ vstupnı´ abecedy Turingova stroje. Pa´ska (deˇlena´ na jednotliva´ polıćˇka) bude mı´t na nejleveˇjsˇ´ım polıćˇku 1. symbol vstupnı´ho slova, na na´sledujıćı´m polıćˇku 2. symbol vstupnı´ho slova, atd. Vsˇechna polıćˇka na´sledujıćı´ polıćˇko s poslednı´m symbolem vstupnı´ho slova budou obsahovat specia´lnı´ (tzv. pra´zdny´) znak – pu˚jde o symbol nevyskytujıćı´ se ve vstupnı´ abecedeˇ. Vsˇechny symboly, jezˇ se mohou na pa´sce objevit, budou tvorˇit tzv. pa´skovou abecedu. Z dosavadnı´ho popisu tedy plyne, zˇe pa´skova´ abeceda musı´ obsahovat prˇinejmensˇ´ım pra´zdny´ znak a vsˇechny symboly vstupnı´ abecedy. 2) Cˇtecı´ a zapisovacı´ hlava je umı´steˇna nad prvnı´m (tj. nejleveˇjsˇ´ım) polıćˇkem pa´sky (a je tedy nachystańa ke cˇtenı´ 1. symbolu). 3) Turingu˚v stroj se nacha´zı´ ve vyznacˇene´m, takzvane´m pocˇa´tecˇnı´m stavu. Pru˚beˇh vy´pocˇtu: Vy´pocˇet probı´ha´ v jednotlivyćh krocıćh, prˇicˇemzˇ v kazˇde´m kroku Turingu˚v stroj a) prˇecˇte symbol pod cˇtecı´ a zapisovacı´ hlavou, 48

Neforma´lnı´ popis cˇinnosti TS

b) na za´kladeˇ prˇecˇtene´ho vstupnı´ho symbolu a aktua´lnı´ho stavu – prˇejde do stavu nove´ho, nebo setrva´ v aktua´lnı´m stavu, – prˇepı´sˇe prˇecˇteny´ symbol novy´m nebo tı´mte´zˇ symbolem pa´skove´ abecedy, – posune cˇtecı´ a zapisovacı´ hlavu o 1 polıćˇko doleva nebo doprava. Informace o tom, jak se ma´ Turingu˚v stroj konkre´tneˇ zachovat, budou soucˇa´stı´ jeho popisu. Konkre´tneˇ pu˚jde o prˇechodovou funkci, ktera´ bude kazˇde´ dvojici (stav, symbol pa´skove´ abecedy) prˇirˇazovat trojici tvaru (stav, symbol pa´skove´ abecedy, posun cˇtecı´ a zapisovacı´ hlavy). Vyhodnocenı´ vy´pocˇtu: Pokud se kdykoli v pru˚beˇhu vy´pocˇtu ocitne Turingu˚v stroj – ve vyznacˇene´m prˇijı´majıćı´m stavu, ukoncˇ´ı svou cˇinnost a vy´sledek cha´peme jako prˇijetı´ vstupnı´ho slova, – ve vyznacˇene´m zamı´tajıćı´m stavu, ukoncˇ´ı svou cˇinnost a vy´sledek cha´peme jako zamı´tnutı´ vstupnı´ho slova. Zby´vajıćı´ mozˇnostı´ je, zˇe se Turingu˚v stroj nikdy nedostane ani do prˇijı´majıćı´ho ani do zamı´tajıćı´ho stavu a jeho vy´pocˇet trva´ donekonecˇna – tuto situaci budeme interpretovat jako cyklenı´. Prˇed vlastnı´m prˇechodem k forma´lnı´ definici Turingova stroje se domluvme na tom, zˇe nada´le mı´sto prˇesne´ho termıńu cˇtecı´ a prˇepisovacı´ hlava budeme uva´deˇt zkraćeneˇ: cˇtecı´ hlava.

Cˇtecı´ hlava mı´sto cˇtecı´ a prˇepisovacı´ hlavy

Definice 2.1. Turingovy´m strojem (zkraćeneˇ jej ozn. TS) nazy´va´me usporˇa´danou sedmici (Q, Σ, Γ, δ, q0 , q+ , q− ), kde Q je konecˇna´ nepra´zdna´ mnozˇina stavu˚, Σ je vstupnı´ abeceda, Γ je pa´skova´ abeceda, Σ ⊂ Γ, Γ − Σ obsahuje specia´lnı´ (tzv. pra´zdny´) symbol , δ : Q × Γ → Q × Γ × {L, P } je prˇechodova´ funkce, q0 ∈ Q je pocˇa´tecˇnı´ stav, q+ ∈ Q je prˇijı´majıćı´ stav, q− ∈ Q je zamı´tajıćı´ stav, prˇicˇemzˇ q+ 6= q− .

Pru˚vodce studiem Pra´veˇ uvedena´ definice Turingova stroje nenı´ jedina´, s nı´zˇ se mu˚zˇete v knihaćh nebo na internetu setkat – odlisˇneˇ mu˚zˇe by´t definovańa prˇechodova´ funkce, „mnozˇina koncovyćh stavu˚“, neomezenost pa´sky, apod. S jistou da´vkou nadsa´zky by se mohlo rˇ´ıci: co autor, to jina´ definice TS. Rozhodneˇ to vsˇak neznamena´, zˇe by odlisˇna´ definice TS vedla k odlisˇny´m za´veˇru˚m. Da´ se totizˇ doka´zat vza´jemna´ prˇevoditelnost teˇchto ru˚znyćh variant TS. Kazˇdopa´dneˇ si vsˇak prˇi cˇerpańı´ informacı´ z jake´hokoliv zdroje nejdrˇ´ıve pecˇliveˇ prostudujte nejen za´kladnı´ definici pouzˇite´ho TS, ale take´ zpu˚sob jeho cˇinnosti.

Pro popis vy´pocˇtu TS budeme potrˇebovat na´sledujıćı´ pojem konfigurace. Definice 2.2. Meˇjme libovolny´ TS T = (Q, Σ, Γ, δ, q0 , q+ , q− ). Kazˇdou usporˇa´danou trojici (q, α, i) ∈ Q × Γ∗ × N nazveme konfiguracı´ Turingova stroje T . Konfigurace (q, β, i) a (q, β 0 , i) takove´, zˇe β 0 = β , budeme povazˇovat za stejne´. Pru˚vodce studiem Podobneˇ, jako tomu bylo u KA a ZA, i v prˇ´ıpadeˇ TS konfigurace jednoznacˇneˇ popisuje situaci, v nı´zˇ se stroj nacha´zı´ v pru˚beˇhu vy´pocˇtu. Tuto situaci zrˇejmeˇ urcˇuje aktua´lnı´ stav,

49

„Za´kladnıćh“ definic TS existuje cela´ rˇada.

konecˇny´ u´sek pa´sky (na neˇmzˇ bylo zapsańo vstupnı´ slovo, prˇ´ıpadneˇ kde dosud probı´hal vy´pocˇet) na´sledovany´ pouze polıćˇky obsahujıćı´mi pra´zdne´ znaky a umı´steˇnı´ cˇtecı´ hlavy. Tj. konfiguraci (q, α, 8) odpovı´da´ situace, kdy se dany´ TS nacha´zı´ ve stavu q, na pa´sce je zapsań ˇreteˇz α na´sledovany´ samy´mi pra´zdny´mi znaky a cˇtecı´ hlava je umı´steˇna nad 8. polıćˇkem pa´sky (pocˇ´ıtańo zleva). To, zˇe konfiguracı´ zamy´sˇlı´me jednoznacˇneˇ popsat situaci, v nı´zˇ se TS beˇhem sve´ho vy´pocˇtu nacha´zı´, vysveˇtluje za´veˇrecˇny´ doveˇtek v definici 2.2. Konfigurace (q, β, i) a (q, β , i) se sice zdańliveˇ lisˇ´ı obsahem pa´sky, ale prˇi du˚kladne´m proveˇrˇenı´ je videˇt, zˇe „v obou prˇ´ıpadech“ je na pa´sce rˇeteˇz β na´sledovań nekonecˇneˇ mnoha pra´zdny´mi znaky. Prˇ´ıklad 2.3. Kvu˚li jednoznacˇne´mu pochopenı´ prˇedchozı´ symboliky si pojem konfigurace TS demonstrujme na na´sledujıćıćh prˇ´ıpadech. (q1 , 1011, 3) je konfigurace, kdy se TS nacha´zı´ ve stavu q1 a obsah pa´sky vcˇetneˇ umı´steˇnı´ cˇtecı´ hlavy lze zna´zornit obra´zkem: (q2 ,

1 0 1 1

, 1) je konfigurace, kdy se TS nacha´zı´ ve stavu q2 a obsah pa´sky vcˇetneˇ umı´steˇnı´

cˇtecı´ hlavy lze zna´zornit obra´zkem: (q3 , 10

, 4) je konfigurace, kdy se TS nacha´zı´ ve stavu q3 a obsah pa´sky vcˇetneˇ

umı´steˇnı´ cˇtecı´ hlavy lze zna´zornit obra´zkem: (q3 , 10

1 0

, 4) je konfigurace stejna´ jako ta prˇedesˇla´.

Definice 2.4. Krok vy´pocˇtu Turingova stroje T definujeme jako bina´rnı´ relaci ` (na mnozˇineˇ vsˇech konfiguracı´) takto: Necht’ (q, a1 · · · an , i) je takova´ konfigurace T , kde q 6= q± , n ∈ N, a1 , . . . , an ∈ Γ a i ∈ {1, . . . , n}. a) Je-li 2 ≤ i ≤ n a δ(q, ai ) = (q 0 , b, L), pak (q, a1 · · · an , i) ` (q 0 , a1 · · · ai−1 bai+1 · · · an , i − 1). b) Je-li δ(q, a1 ) = (q 0 , b, L), pak (q, a1 · · · an , 1) ` (q 0 , ba2 · · · an , 1). c) Je-li δ(q, ai ) = (q 0 , b, P ), pak (q, a1 · · · an , i) ` (q 0 , a1 · · · ai−1 bai+1 · · · an , i + 1). Pru˚vodce studiem Prostudujete-li si definici kroku vy´pocˇtu podrobneˇji, zjistı´te, zˇe v prˇ´ıpadu a) vyćhozı´ konfigurace odpovı´da´ situaci, kdy se TS nacha´zı´ ve stavu q, cˇtecı´ hlava je nad i-ty´m polıćˇkem pa´sky a cˇte pa´skovy´ symbol ai . Prˇechodova´ funkce pro takovou situaci „prˇikazuje“ prˇechod do stavu q 0 , prˇepis ai symbolem b a posun cˇtecı´ hlavy o 1 polıćˇko doleva. A skutecˇneˇ, konfigurace po provedene´m kroku vy´pocˇtu odpovı´da´ situaci, kdy se TS nacha´zı´ ve stavu q 0 , na pa´sce je mı´sto ai symbol b a cˇtecı´ hlava je nad (i − 1). polıćˇkem pa´sky. V prˇ´ıpadu b) je ve vyćhozı´ konfiguraci cˇtecı´ hlava nad 1. polıćˇkem pa´sky a nema´ tedy rea´lnou mozˇnost posunu doleva. Definice „rˇesˇ´ı“ tuto zapeklitou situaci „prˇ´ıkazem“, aby cˇtecı´ hlava jednodusˇe setrvala nad 1. polıćˇkem pa´sky a aby ostatnı´ zmeˇny byly provedeny v souladu s prˇechodovou funkcı´. V prˇ´ıpadu c) zˇa´dne´ proble´my nenasta´vajı´, nebot’ u pravostranneˇ neomezene´ pa´sky Turingova stroje ma´ cˇtecı´ hlava kdykoliv mozˇnost posunout se o 1 polıćˇko doprava. Pokud byste prˇemy´sˇleli nad korektnostı´ za´pisu rˇeteˇzu aj · · · ak , kde j > k, pak ucˇinˇme na´sledujıćı´ dohodu. Posloupnost (ai )ki=j (viz definice rˇeteˇzu coby posloupnosti symbolu˚), kde j > k, budeme v souladu s konvencı´ interpretovat jako pra´zdnou posloupnost neboli pra´zdny´ ˇreteˇz. Nakonec si vsˇimneˇte prˇedpokladu q 6= q± podminˇujıćı´ho provedenı´ kroku vy´pocˇtu. Nejde o nic jine´ho, nezˇ zˇe TS mu˚zˇe prove´st krok vy´pocˇtu jedineˇ tehdy, kdyzˇ se nenacha´zı´

50

Ma´-li cˇtecı´ hlava „opustit“ pa´sku, setrva´ nad 1. polıćˇkem pa´sky.

ani v prˇijı´majıćı´m, ani v zamı´tajıćı´m stavu. Jinak rˇecˇeno, prˇechod do prˇijı´majıćı´ho nebo zamı´tajıćı´ho stavu znamena´ ukoncˇenı´ vy´pocˇtu Turingova stroje. Definice 2.5. Vy´pocˇet Turingova stroje definujeme prostrˇednictvı´m relace `∗ (tj. reflexivnı´ho a tranzitivnı´ho uza´veˇru relace `). Kazˇdy´ vy´pocˇet pro vstupnı´ slovo w bude zacˇ´ınat konfiguracı´ (q0 , w, 1) zvanou pocˇa´tecˇnı´ . Definice 2.6. O kazˇde´m TS T = (Q, Σ, Γ, δ, q0 , q+ , q− ) rˇekneme, zˇe • prˇijı´ma´ vstupnı´ slovo w ∈ Σ∗ , pra´veˇ kdyzˇ (q0 , w, 1) `∗ (q+ , w0 , i), kde w0 ∈ Γ∗ a i ∈ N, • zamı´ta´ vstupnı´ slovo w ∈ Σ∗ , pra´veˇ kdyzˇ (q0 , w, 1) `∗ (q− , w0 , i), kde w0 ∈ Γ∗ a i ∈ N, • pro vstupnı´ slovo w ∈ Σ∗ cyklı´ , pra´veˇ kdyzˇ w ani neprˇijı´ma´, ani nezamı´ta´.

TS mu˚zˇe cyklit.

Pru˚vodce studiem Podle uvedene´ definice je vstupnı´ slovo prˇijato, pokud se prˇi vy´pocˇtu nad tı´mto slovem TS ocitne v prˇijı´majıćı´m stavu – u vy´sledne´ konfigurace prˇitom vu˚bec neza´lezˇ´ı na aktua´lnı´m obsahu pa´sky a na umı´steˇnı´ cˇtecı´ hlavy (tj. na rozdı´l od KA a ZA nemusı´ by´t vstupnı´ slovo „prˇecˇteno“). V prˇ´ıpadeˇ rovnosti mezi pocˇa´tecˇnı´m a prˇijı´majıćı´m stavem (oveˇrˇte si v definici TS, zˇe je to mozˇne´) je vstupnı´ slovo dokonce prˇijato, anizˇ TS vykonal byt’jen jediny´ krok vy´pocˇtu! Zamı´tnutı´ vstupnı´ho slova je definovańo podobneˇ – jediny´m pozˇadavkem je prˇechod TS po konecˇneˇ mnoha krocıćh vy´pocˇtu do zamı´tajıćı´ho stavu. Cyklenı´ pro vstupnı´ slovo zrˇejmeˇ nastane tehdy, kdyzˇ TS neukoncˇ´ı po konecˇneˇ mnoha vy´pocˇetnıćh krocıćh svou cˇinnost prˇechodem do prˇijı´majıćı´ho nebo zamı´tajıćı´ho stavu. Definice 2.7. Jazyk L prˇijı´many´ Turingovy´m strojem T = (Q, Σ, Γ, δ, q0 , q+ , q− ) znacˇ´ıme L(T ) a definujeme na´sledovneˇ: L(T ) = {w ∈ Σ∗ ; TS T prˇijı´ma´ w}. V prˇ´ıpadeˇ, zˇe TS T pro zˇa´dne´ vstupnı´ slovo w ∈ Σ∗ necyklı´, rˇ´ıka´me, zˇe T rozhoduje jazyk L(T ). Pru˚vodce studiem Uvedenou definici lze prˇeformulovat na´sledovneˇ: Jazyk L je prˇijı´mań Turingovy´m strojem T , pra´veˇ kdyzˇ TS T prˇijı´ma´ kazˇde´ slovo z L a kazˇde´ slovo nelezˇ´ıcı´ v L bud’ zamı´ta´, anebo pro neˇ cyklı´. Jazyk L je rozhodovań Turingovy´m strojem T , pra´veˇ kdyzˇ TS T prˇijı´ma´ kazˇde´ slovo z L a zamı´ta´ kazˇde´ slovo nelezˇ´ıcı´ v L. (Tj. T pro zˇa´dne´ vstupnı´ slovo necyklı´.) Vsˇimneˇte si okamzˇite´ho du˚sledku definice: Pokud je jazyk L rozhodovań neˇjaky´m Turingovy´m strojem, pak je tı´mto strojem take´ prˇijı´mań. n

Prˇ´ıklad 2.8. Najdeme TS rozhodujıćı´ jazyk L = {02 ; n ≥ 0}. (Tj. L zahrnuje vy´hradneˇ rˇeteˇzy de´lek 2n sesta´vajıćı´ ze samyćh nul.)6 Nejdrˇ´ıve si uved’me strucˇny´ slovnı´ popis toho, jak by mohl hledany´ TS pracovat. ∗ TS T pro vstupnı´ slovo w ∈ {0} : 1) Zamı´ta´ vstupnı´ slovo w, pokud w = ε; v opacˇne´m prˇ´ıpadeˇ prˇejde k bodu 2). 2) Projde zleva doprava pa´sku a „prˇesˇkrtne“ kazˇdy´ druhy´ symbol 0. 3) Pokud v cˇa´sti 2) obsahovala pa´ska jediny´ symbol 0, prˇijme w. Jinak pokracˇuje bodem 4). 6 Jazyk L nenı´ bezkontextovy´, neexistuje tedy ZA, ktery´ by jej prˇijı´mal. Pro du˚kaz tohoto tvrzenı´ vsˇak nema´me o bezkontextovyćh jazycıćh v nasˇem textu dostatek poznatku˚.

51

TS prˇijı´ma´ (prˇ´ıpadneˇ i rozhoduje) jazyk.

4) Pokud v cˇa´sti 2) obsahovala pa´ska vıće nezˇ jeden symbol 0 a celkovy´ pocˇet teˇchto lichy´, zamı´tne w, symbolu˚ byl sudy´, vra´tı´ cˇtecı´ hlavu na levy´ okraj pa´sky a prˇejde k bodu 2). Pru˚vodce studiem Je zrˇejme´, zˇe TS T prˇi kazˇde´m pru˚chodu pa´sky v bodeˇ 2) zmensˇ´ı pocˇet zapsanyćh nul na polovinu, tzn. obsahovala-li pu˚vodneˇ pa´ska 2k nul, po „sˇkrtańı´“ jich bude obsahovat pouze 2k−1 . Opakuje-li se uvedena´ akce dostatecˇneˇ mnohokra´t, pak z kazˇde´ho vstupnı´ho n slova tvaru 02 zu˚stane na pa´sce jedina´ nesˇkrtnuta´ nula a v bodeˇ 3) je vstupnı´ slovo prˇijato. n Jestlizˇe vstupnı´ slovo nebylo tvaru 02 , musı´ cˇasem dojı´t k tomu, zˇe se na pa´sce objevı´ lichy´ pocˇet nul, a slovo je pak v bodeˇ 4) zamı´tnuto. Jak ma´te rozumeˇt termıńu „sˇkrtańı´ “? Celkem jednodusˇe, TS ma´ prˇece mozˇnost prˇepsat cˇteny´ symbol jiny´m symbolem. Mu˚zˇe tedy naprˇ´ıklad prˇepsat symbol 0 pa´skovy´m symbolem X. Prˇed forma´lnı´m popisem TS T si povsˇimneˇte na´sledujıćı´ho technicke´ho za´drhelu: Budeli se cˇtecı´ hlava vracet nad nejleveˇjsˇ´ı polıćˇko pa´sky, bez jeho oznacˇenı´ symbolem odlisˇny´m od 0 a od X nema´ TS mozˇnost zjistit, zˇe je cˇtecı´ hlava uzˇ nad tı´mto polıćˇkem. Pokud by totizˇ na uvedene´m polıćˇku zu˚stala 0 (prˇesˇkrtnuta je vzˇdy suda´ 0), TS by se prˇi na´vratu cˇtecı´ hlavy zrˇejmeˇ zacyklil – jizˇ vı´te, zˇe „prˇ´ıkaz“ posunout cˇtecı´ hlavu mimo levy´ okraj pa´sky vede k vy´pocˇetnı´mu kroku, prˇi neˇmzˇ setrva´ cˇtecı´ hlava nad nejleveˇjsˇ´ım polıćˇkem; tento krok vy´pocˇtu by byl proveden znovu a znovu ... Snad tedy nebudete prˇekvapeni tı´m, zˇe 1. nula bude „oznacˇena“ prˇepsańı´m na symbol – pra´zdny´ znak v pa´skove´ abecedeˇ jizˇ je, a nemusı´me tedy pouzˇ´ıvat dalsˇ´ı pa´skove´ symboly. Pra´zdny´ znak na´m potom na zacˇa´tku pa´sky bude signalizovat: „Zde je 1. nula vstupnı´ho slova!“ Forma´lnı´ popis vy´sˇe uvedene´ho TS: T = (Q, Σ, Γ, δ, q0 , q+ , q− ), kde Q = {q0 , q1 , q2 , q3 , q4 , q+ , q− }, Σ = {0}, Γ = {0, X, } a prˇechodova´ funkce δ je pro veˇtsˇ´ı na´zornost popsańa na obra´zku 7 grafem (analogicky´m stavove´mu diagramu KA), v neˇmzˇ oznacˇenı´ hrany (0, , P ) mezi uzly q0 , q1 znamena´, zˇe δ(q0 , 0) = (q1 , , P ). Podobneˇ u ostatnıćh hran. Pru˚vodce studiem Neznepokojujte se u´vahami na te´ma: Ve stavu q0 prˇece TS T nemu˚zˇe nikdy cˇ´ıst symbol X. Procˇ je tedy na uvedene´m obra´zku popsań prˇechod z takove´ situace do zamı´tajıćı´ho stavu? Odpoveˇd’ je prosta´: Protozˇe prˇechodovou funkci Turingova stroje ma´me definovańu pro kazˇdy´ stav a kazˇdy´ pa´skovy´ symbol. Je tedy prˇirozene´ definovat pro takovou situaci prˇechod (naprˇ´ıklad) do zamı´tajıćı´ho stavu. Pro lepsˇ´ı pochopenı´ cˇinnosti TS T si uvedeme prˇ´ıklady vy´pocˇtu˚ jednak pro slovo nepatrˇ´ıcı´ do L jednak pro slovo z jazyka L. (Pro veˇtsˇ´ı na´zornost u kazˇde´ konfigurace podtrhneme symbol, nad nı´mzˇ je cˇtecı´ hlava.) 1) (q0 , 000, 1) ` (q1 , 00, 2) ` (q2 , X0, 3) ` (q3 , X0 , 4) ` (q− , X0, 3), 2) (q0 , 0000, 1) ` (q1 , 000, 2) ` (q2 , X00, 3) ` (q3 , X00, 4) ` (q2 , X0X , 5) ` (q4 , X0X, 4) `∗ (q4 , X0X, 1) ` (q1 , X0X, 2) ` (q1 , X0X, 3) ` (q2 , XXX, 4) ` (q2 , XXX , 5) ` (q4 , XXX, 4) `∗ (q4 , XXX, 1) ` (q1 , XXX, 2) `∗ (q1 , XXX , 5) ` (q+ , XXX, 4). 52

(X, X,L) (0, 0,L) (

(X, X, P) q0 ( , X,P) (X, X, P)

(0,

q1

,P) (

,

,

,P)

q4

,

,L)

(0,X,P)

(0, 0,P)

q+

(X,X,P)

q2

(0,X,P)

,L)

q−

(

q3 (X,X,P)

(

,

, L)

Obra´zek 7: Sche´ma TS k prˇ´ıkladu 2.8 2.1.1

Nedeterministicke´ Turingovy stroje

Podobneˇ, jako jsme definovali NKA nebo (nedeterministicky´) za´sobnı´kovy´ automat, zavedeme take´ nedeterministicky´ TS. Pu˚jde o takovou modifikaci TS, jehozˇ prˇechodova´ funkce bude prˇirˇazovat kazˇde´ dvojici (stav, pa´skovy´ symbol) mnozˇinu trojic tvaru (stav, pa´skovy´ symbol, pozˇadovany´ posun cˇtecı´ hlavy). Definice 2.9. Nedeterministicky´m Turingovy´m strojem (zkraćeneˇ ozn. NTS) nazy´va´me usporˇa´danou sedmici (Q, Σ, Γ, δ, q0 , q+ , q− ), kde Q je konecˇna´ nepra´zdna´ mnozˇina stavu˚, Σ je vstupnı´ abeceda, Γ je pa´skova´ abeceda, Σ ⊂ Γ, Γ − Σ obsahuje specia´lnı´ (tzv. pra´zdny´) symbol , δ : Q × Γ → 2Q×Γ×{L,P } je prˇechodova´ funkce, q0 ∈ Q je pocˇa´tecˇnı´ stav, q+ ∈ Q je prˇijı´majıćı´ stav, q− ∈ Q je zamı´tajıćı´ stav, prˇicˇemzˇ q+ 6= q− . Pru˚vodce studiem Pojmy konfigurace, krok vy´pocˇtu a vy´pocˇet nedeterministicke´ho Turingova stroje zava´dı´me analogicky pojmu˚m, ktere´ jizˇ zna´te. Definice 2.10. Meˇjme libovolny´ NTS T = (Q, Σ, Γ, δ, q0 , q+ , q− ). Kazˇdou usporˇa´danou trojici (q, α, i) ∈ Q × Γ∗ × N nazveme konfiguracı´ nedeterministicke´ho Turingova stroje T . Krok vy´pocˇtu T definujeme za pomoci prˇechodove´ funkce δ jako bina´rnı´ relaci ` (na mnozˇineˇ vsˇech konfiguracı´) analogicky kroku vy´pocˇtu TS. Symbolem `∗ budeme oznacˇovat reflexivnı´ a tranzitivnı´ uza´veˇr relace `, symbolem `+ tranzitivnı´ uza´veˇr relace `. Vy´pocˇet nedeterministicke´ho Turingova stroje definujeme prostrˇednictvı´m relace `∗ . Definice 2.11. O kazˇde´m NTS T = (Q, Σ, Γ, δ, q0 , q+ , q− ) rˇekneme, zˇe prˇijı´ma´ vstupnı´ slovo w ∈ Σ∗ , pra´veˇ kdyzˇ (q0 , w, 1) `∗ (q+ , w0 , i), kde w0 ∈ Γ∗ a i ∈ N. 53

Pru˚vodce studiem Podle uvedene´ definice je vstupnı´ slovo w prˇijato, pokud pro w existuje „veˇtev vy´pocˇtu“ NTS T koncˇ´ıcı´ konfiguracı´ obsahujıćı´ prˇijı´majıćı´ stav. Neza´lezˇ´ı tedy na tom, jestli pro NTS T a vstupnı´ slovo w – ostatnı´ „veˇtve vy´pocˇtu“ koncˇ´ı konfiguracemi obsahujıćı´mi zamı´tajıćı´ stav, – existuje „nikdy nekoncˇ´ıcı´ veˇtev vy´pocˇtu“ (signalizujıćı´ mozˇnost zacyklenı´). Co se tyćˇe zamı´tańı´ vstupnı´ho slova, nebudeme je definovat! Ne zˇe by definovat nesˇlo, ale v na´sledujıćıćh partiıćh je vu˚bec nebudeme potrˇebovat. Definice 2.12. Jazyk L prˇijı´many´ nedeterministicky´m Turingovy´m strojem T = (Q, Σ, Γ, δ, q0 , q+ , q− ) znacˇ´ıme L(T ) a definujeme na´sledovneˇ: L(T ) = {w ∈ Σ∗ ; NTS T prˇijı´ma´ w}. Pru˚vodce studiem Uvedenou definici lze prˇeformulovat na´sledovneˇ: Jazyk L je prˇijı´mań nedeterministicky´m Turingovy´m strojem T , pra´veˇ kdyzˇ pro kazˇde´ slovo z L existuje „prˇijı´majıćı´ veˇtev vy´pocˇtu“ stroje T a pro zˇa´dne´ slovo nelezˇ´ıcı´ v L takova´ vy´pocˇetnı´ veˇtev T neexistuje. Pozna´mka 2.13. Poznamenejme, zˇe trˇ´ıdy deterministickyćh a nedeterministickyćh Turingovyćh stroju˚ majı´ stejnou vy´pocˇetnı´ sı´lu. Uvedene´ tvrzenı´ bude prˇ´ımy´m du˚sledkem veˇty 3.16. Pru˚vodce studiem Mozˇna´ si kladete ota´zku: Procˇ tedy zava´dı´me pojem NTS, kdyzˇ tı´m nezvy´sˇ´ıme vy´pocˇetnı´ sı´lu deterministickyćh Turingovyćh stroju˚? Odpoveˇd’ tkvı´ v definici trˇ´ıd slozˇitostı´ popisovanyćh v kapitole 3 – jedna (velmi uzˇitecˇna´) trˇ´ıda slozˇitosti je definovańa pra´veˇ s pomocı´ NTS.

Shrnutı´ TS je zarˇ´ızenı´ vybavene´ konecˇneˇstavovou rˇ´ıdicı´ jednotkou, pa´skou nekonecˇne´ de´lky a cˇtecı´ a zapisovacı´ hlavou. Pa´ska je ohranicˇena´ zleva a neohranicˇena´ zprava. Kazˇdy´ TS je jednoznacˇneˇ urcˇen – mnozˇinou stavu˚ (v nichzˇ se mu˚zˇe nacha´zet rˇ´ıdicı´ jednotka), – vstupnı´ abecedou Σ (vstupnı´ slova TS jsou tvorˇena rˇeteˇzy ze Σ∗ ), – pa´skovou abecedou Γ (na kazˇde´m polıćˇku pa´sky mu˚zˇe by´t zapsań vy´hradneˇ symbol z Γ; pa´skova´ abeceda obsahuje vsˇechny vstupnı´ symboly a tzv. pra´zdny´ znak, mu˚zˇe vsˇak zahrnovat jesˇteˇ celou rˇadu dalsˇ´ıch „pomocnyćh“ symbolu˚), – prˇechodovou funkcı´ δ, ktera´ kazˇde´ dvojici (stav, symbol pa´skove´ abecedy) prˇirˇazuje usporˇa´danou trojici typu (stav, pa´skovy´ symbol, oznacˇenı´ posunu cˇtecı´ a zapisovacı´ hlavy), – trˇemi vyznacˇeny´mi stavy: a) pocˇa´tecˇnı´m stavem (v neˇm bude rˇ´ıdicı´ jednotka prˇed zaha´jenı´m praće dane´ho TS, at’je na vstupu jake´koli vstupnı´ slovo), b) prˇijı´majıćı´m stavem (ocitne-li se v neˇm rˇ´ıdicı´ jednotka kdykoli v pru˚beˇhu cˇinnosti, TS okamzˇiteˇ zastavı´ svu˚j vy´pocˇet a prˇijı´ma´ vstupnı´ slovo), c) zamı´tajıćı´m stavem (ocitne-li se v neˇm rˇ´ıdicı´ jednotka kdykoli v pru˚beˇhu cˇinnosti, TS okamzˇiteˇ zastavı´ svu˚j vy´pocˇet a zamı´ta´ vstupnı´ slovo). 54

Stejna´ vy´pocˇetnı´ sı´la deterministickyćh a nedeterministickyćh Turingovyćh stroju˚.

Vy´pocˇet kazˇde´ho TS je tvorˇen posloupnostı´ kroku˚ vy´pocˇtu – v kazˇde´m z nich TS prˇejde z aktua´lnı´ho stavu do stavu nove´ho, prˇepı´sˇe symbol na pa´sce pod cˇtecı´ a zapisovacı´ hlavou novy´m symbolem a posune hlavu o jedno polıćˇko doprava nebo doleva. (Pokud je hlava nad nejleveˇjsˇ´ım polıćˇkem pa´sky, mı´sto posunu doleva setrva´ nad aktua´lnı´m polıćˇkem.) Informace o tom, do jake´ho stavu ma´ stroj prˇejı´t, jaky´m symbolem ma´ by´t prˇepsań symbol pod cˇtecı´ a zapisovacı´ hlavou a kam se ma´ hlava posunout, jsou obsazˇeny ve vy´sledku prˇechodove´ funkce aplikovane´ na dvojici (aktua´lnı´ stav, cˇteny´ symbol). V pru˚beˇhu vy´pocˇtu se meˇnı´ tzv. konfigurace TS, tj. situace, v nı´zˇ se TS nacha´zı´ a ktera´ je charakterizovańa aktua´lnı´m stavem, nepra´zdny´m obsahem pa´sky a umı´steˇnı´m cˇtecı´ a zapisovacı´ hlavy. Kazˇdy´ vy´pocˇet zacˇ´ına´ v pocˇa´tecˇnı´ konfiguraci, ktera´ je urcˇena – pocˇa´tecˇnı´m stavem, – vstupnı´m slovem na pa´sce (na kazˇde´m polıćˇku pa´sky je jeden symbol, pro za´pis vstupnı´ho slova na pa´sku jsou vyuzˇita nejleveˇjsˇ´ı polıćˇka pa´sky, na kazˇde´m dalsˇ´ım polıćˇku je pak zapsań pra´zdny´ symbol – napravo od vstupnı´ho slova je jich tedy nekonecˇneˇ mnoho), – umı´steˇnı´m cˇtecı´ a zapisovacı´ hlavy nad 1. polıćˇkem pa´sky. Vy´pocˇet koncˇ´ı v okamzˇiku, kdy se TS ocitne • v prˇijı´majıćı´m stavu – pak rˇ´ıka´me, zˇe TS prˇijal sve´ vstupnı´ slovo, • v zamı´tajıćı´m stavu – pak rˇ´ıka´me, zˇe TS zamı´tl sve´ vstupnı´ slovo. Pokud se TS nedostane ani do prˇijı´majıćı´ho, ani do zamı´tajıćı´ho stavu, rˇ´ıka´me, zˇe cyklı´. Mnozˇina vsˇech slov, jezˇ jsou prˇijı´mańa, tvorˇ´ı jazyk prˇijı´many´ Turingovy´m strojem. Jestlizˇe TS pro zˇa´dne´ vstupnı´ slovo necyklı´, mı´sto termıńu jazyk prˇijı´many´ Turingovy´m strojem pouzˇ´ıva´me termıń jazyk rozhodovany´ Turingovy´m strojem. NTS se od TS odlisˇuje zejmeńa tvarem prˇechodove´ funkce (k nı´ se pojı´ zna´my´m zpu˚sobem pojmy krok vy´pocˇtu a vy´pocˇet): Prˇechodova´ funkce NTS zobrazuje kazˇdou dvojici stav a pa´skovy´ symbol na mnozˇinu usporˇa´danyćh trojic tvaru (stav, pa´skovy´ symbol, oznacˇenı´ posunu cˇtecı´ a zapisovacı´ hlavy). V kazˇde´m kroku vy´pocˇtu mu˚zˇe NTS z aktua´lnı´ho stavu p na za´kladeˇ znalosti cˇtene´ho pa´skove´ho symbolu a prˇejı´t do nove´ho stavu q, prˇepsat cˇteny´ symbol pa´skovy´m symbolem b a posunout cˇtecı´ a zapisovacı´ hlavu o 1 polıćˇko doleva (resp. doprava) – to vsˇe za podmıńky, zˇe usporˇa´dana´ trojice (q, b, L) (resp. (q, b, P )) je obsazˇena ve vy´sledku prˇechodove´ funkce δ pro argumenty p, a. V prˇ´ıpadeˇ, zˇe by se cˇtecı´ a zapisovacı´ hlava prˇi prova´deˇnı´ kroku vy´pocˇtu meˇla posunout nalevo od nejleveˇjsˇ´ıho polıćˇka pa´sky, zu˚stane hlava nad vyćhozı´m polıćˇkem. Vy´pocˇet NTS se (podobneˇ jako u NKA cˇi ZA) mu˚zˇe veˇtvit do vıće variant. Pokud pro zadane´ vstupnı´ slovo existuje alesponˇ jedna varianta, kdy skoncˇ´ı NTS svu˚j vy´pocˇet v prˇijı´majıćı´m stavu, ˇr´ıka´me, zˇe NTS prˇijı´ma´ dane´ slovo. Mnozˇina vsˇech slov nad vstupnı´ abecedou, jezˇ jsou prˇijı´mańa, tvorˇ´ı jazyk prˇijı´many´ nedeterministicky´m Turingovy´m strojem. Trˇ´ıda vsˇech nedeterministickyćh Turingovyćh stroju˚ ma´ stejnou vy´pocˇetnı´ sı´lu jako trˇ´ıda vsˇech Turingovyćh stroju˚. Pojmy k zapamatovańı´ • • • • • • • • • • •

(Deterministicky´) Turingu˚v stroj (TS), nedeterministicky´ Turingu˚v stroj (NTS), stav, vstupnı´ abeceda, pa´skova´ abeceda, prˇechodova´ funkce, pocˇa´tecˇnı´ stav, prˇijı´majıćı´ stav, zamı´tajıćı´ stav, konfigurace, krok vy´pocˇtu, 55

• • • • • •

vy´pocˇet, prˇijetı´ vstupnı´ho slova u TS i NTS, zamı´tnutı´ vstupnı´ho slova u TS, cyklenı´ pro vstupnı´ slovo u TS, jazyk prˇijı´many´ Turingovy´m strojem deterministicky´m i nedeterministicky´m, jazyk rozhodovany´ Turingovy´m strojem.

Kontrolnı´ ota´zky 1. Mu˚zˇe TS zamı´tnout vstupnı´ slovo, anizˇ by vykonal asponˇ jeden krok vy´pocˇtu? 2. Mu˚zˇe se TS dostat do situace, kdy nedocha´zı´ k posunu jeho cˇtecı´ a zapisovacı´ hlavy a prˇitom cyklı´? 3. Platı´, zˇe jazyk prˇijı´many´ Turingovy´m strojem obsahuje vsˇechna slova nad vstupnı´ abecedou, ktera´ nejsou tı´mto strojem zamı´tańa? 4. Zavedli jsme pojem jazyka rozhodovane´ho nedeterministicky´m Turingovy´m strojem? Cvicˇenı´ 1. Najdeˇte TS, ktery´ pro kazˇde´ vstupnı´ slovo cyklı´. 2. Najdeˇte TS, ktery´ rozhoduje jazyk L = {w ∈ {a, b}+ ; prvnı´m i poslednı´m symbolem rˇeteˇzu w je a}.

´ koly k textu U 1. Upravte pa´skovou abecedu a prˇechodovou funkci TS z prˇ´ıkladu 2.8 pro prˇ´ıpad vstupnı´ abecedy Σ = {0, 1}.

ˇ esˇenı´ R 1. Turingovyćh stroju˚, ktere´ cyklı´ pro vsˇechna vstupnı´ slova je nekonecˇneˇ mnoho. Uvedeme dva jednoduche´ prˇ´ıklady: a) TS T1 = ({q0 , q+ , q− }, {a}, {a, }, δ, q0 , q+ , q− ), kde δ(q0 , a) = δ(q0 , ) = (q0 , , P ). b) TS T2 = ({q0 , q+ , q− }, {a}, {a, }, δ, q0 , q+ , q− ), kde δ(q0 , a) = δ(q0 , ) = (q0 , a, L). 2. Zadany´ jazyk je rozhodovań naprˇ´ıklad Turingovy´m strojem T = ({q0 , q1 , q2 , q+ , q− }, {a, b}, {a, b, }, δ, q0 , q+ , q− ), kde prˇechodova´ funkce δ je schematizovańa nı´zˇe, a to stejny´m zpu˚sobem, jaky´ byl pouzˇit v prˇ´ıkladu 2.8. (a,a,P)

q0 (

(a,a,P)

, ,P) (b, b, P)

q−

(a,a,P)

( ,

( ,

q1

, P)

(b, b, P)

q2

56

(b, b, P)

, P)

q+

2.2

Jazyky a proble´my

Studijnı´ cı´le: Po prostudovańı´ kapitoly bude studujıćı´ zna´t, jake´ jazyky jsou prˇirˇazovańy Turingovy´m stroju˚m, jak lze exaktneˇ definovat algoritmus a jak jsou definovańy rˇesˇitelne´ a cˇa´stecˇneˇ rˇesˇitelne´ proble´my. Da´le bude schopen formulovat proble´m zastavenı´ Turingova stroje a doka´zat jeho nerˇesˇitelnost. Klıćˇova´ slova: Rekurzivnı´ jazyk, cˇa´stecˇneˇ rekurzivnı´ jazyk, rˇesˇitelny´ proble´m, cˇa´stecˇneˇ rˇesˇitelny´ proble´m, proble´m zastavenı´ Turingova stroje. Potrˇebny´ cˇas: 150 minut. Nejdrˇ´ıve si uvedeme terminologii pouzˇ´ıvanou pro jazyky prˇirˇazovane´ k Turingovy´m stroju˚m. Definice 2.14. Necht’L je jazyk nad abecedou Σ. a) Rˇekneme, zˇe L je rekurzivnı´ jazyk7 , pra´veˇ kdyzˇ existuje TS, ktery´ rozhoduje L. b) Rˇekneme, zˇe L je cˇa´stecˇneˇ rekurzivnı´ jazyk8 , pra´veˇ kdyzˇ existuje TS, ktery´ prˇijı´ma´ L. Pru˚vodce studiem Prˇipomenˇme si, co plyne z definice jazyka rozhodovane´ho (resp. prˇijı´mane´ho) Turingovy´m strojem: Pro rekurzivnı´ jazyk L tak musı´ existovat TS T , ktery´ prˇijı´ma´ kazˇde´ slovo z L a zamı´ta´ kazˇde´ slovo nepatrˇ´ıcı´ do L; tzn. T nikdy necyklı´. Pro cˇa´stecˇneˇ rekurzivnı´ jazyk L pak musı´ existovat TS T , ktery´ prˇijı´ma´ kazˇde´ slovo z L a kazˇde´ slovo nepatrˇ´ıcı´ do L bud’ zamı´ta´ anebo pro neˇj cyklı´.

Z definice 2.14 okamzˇiteˇ plyne na´sledujıćı´ du˚sledek. Du˚sledek 2.15. Kazˇdy´ rekurzivnı´ jazyk je take´ cˇa´stecˇneˇ rekurzivnı´. Pozna´mka 2.16. Lze doka´zat, zˇe trˇ´ıda cˇa´stecˇneˇ rekurzivnıćh jazyku˚ je rovna trˇ´ıdeˇ jazyku˚ typu 0. Prˇ´ıslusˇny´ du˚kaz9 je vsˇak dlouhy´, a proto jej vynecha´me. 2.2.1

Jazyky typu 0 jsou prˇijı´mańy Turingovy´mi stroji.

Prˇ´ıklad jednoduche´ho rekurzivnı´ho jazyka

Prˇ´ıklad 2.17. Proka´zˇeme, zˇe jazyk L = {zz; z ∈ {a, e}+ } je rekurzivnı´. Podle definice rekurzivnı´ho jazyka musı´me najı´t TS, ktery´ rozhoduje L. Prˇ´ıkladem takove´ho Turingova stroje je TS T , jehozˇ cˇinnost lze rozdeˇlit na dveˇ cˇa´sti: I. T nalezne „strˇed“ vstupnı´ho slova, a to na´sledujıćı´m zpu˚sobem. Opakovaneˇ oznacˇuje 1. dosud neoznacˇeny´ vstupnı´ symbol tecˇkou a poslednı´ dosud neoznacˇeny´ vstupnı´ symbol dveˇma tecˇkami. V okamzˇiku, kdy jsou vsˇechny symboly vstupnı´ho slova oznacˇeny, je rozdeˇlenı´ slova na poloviny dokoncˇeno. Pokud naposled oznacˇeny´ symbol byl oznacˇen 1 tecˇkou, vstupnı´ slovo ma´ lichou de´lku a T je zamı´tne. V prˇ´ıpadeˇ oznacˇenı´ poslednı´ho symbolu 2 tecˇkami jde o slovo sude´ de´lky a T prˇejde k porovna´vańı´ obou polovin. 7

Terminologie, s nı´zˇ se lze setkat v odborne´ literaturˇe nenı´ jednotna´. Rekurzivnı´ jazyky jsou take´ nazy´vańy jazyky vycˇ´ıslitelny´mi, rozhodnutelny´mi nebo rˇesˇitelny´mi. 8 ˇ Ca´stecˇneˇ rekurzivnı´ jazyky by´vajı´ v odborne´ literaturˇe nazy´vańy take´ jazyky rekurzivneˇ spocˇetny´mi nebo rekurzivneˇ vycˇ´ıslitelny´mi. 9 Za´jemce jej mu˚zˇe nale´zt naprˇ. v [Hop69] nebo v [Chy82].

57

Hledańı´ „strˇedu“ vstupnı´ho slova Turingovy´m strojem

Pru˚vodce studiem Aby bylo mozˇne´ oznacˇovat symboly vstupnı´ abecedy 1 cˇi 2 tecˇkami, pa´skova´ abeceda musı´ pochopitelneˇ obsahovat kromeˇ kazˇde´ho vstupnı´ho symbolu x take´ „oznacˇene´“ symboly x˙ a x ¨. Proces hledańı´ „strˇedu“ vstupnı´ho slova aeeaee tak vede k na´sledujıćı´m obsahu˚m pa´sky: a) aeeaee . . . b) aeeaee ˙ ... c) aeeae¨ ˙ e ... d) a˙ eeae¨ ˙ e ... e) a˙ eea¨ ˙ ee¨ . . . f) a˙ e˙ ea¨ ˙ ee¨ . . . g) a˙ e˙ e¨ ˙ aeë¨ . . . II. T porovna´ 1. polovinu slova s 2. polovinou: Postupneˇ porovna´va´ symboly na prvnıćh pozicıćh, na druhyćh pozicıćh, atd. Pokud jsou vsˇude na odpovı´dajıćıćh si pozicıćh tyte´zˇ symboly, TS T vstupnı´ slovo prˇijme, prˇi nesplneˇnı´ uvedene´ podmıńky vstupnı´ slovo zamı´tne. Pru˚vodce studiem Aby TS T „veˇdeˇl“, ktere´ symboly ma´ pra´veˇ porovna´vat, u´speˇsˇneˇ proveˇrˇene´ symboly pokazˇde´ prˇesˇkrtne, tj. prˇed porovna´vańı´m symbolu˚ na trˇetıćh pozicıćh bude na pa´sce naprˇ´ıklad XX eXX ˙ e¨ . . . Na´sleduje slovnı´ popis uvedene´ho TS. TS T pro vstupnı´ slovo w: 1) Oveˇrˇ´ı, zda jde o slovo de´lky alesponˇ 2; pokud ne, zamı´ta´ w. 2) Oznacˇ´ı nejleveˇjsˇ´ı neoznacˇeny´ symbol 1 tecˇkou. Jestlizˇe je sousednı´ symbol napravo oznacˇen 2 tecˇkami, zamı´ta´ w. 3) Oznacˇ´ı nejpraveˇjsˇ´ı nepra´zdny´ neoznacˇeny´ symbol 2 tecˇkami. Pokud je sousednı´ symbol nalevo oznacˇen 1 tecˇkou, prˇejde k bodu 4); jinak prˇejde k bodu 2). 4) „Zapamatuje si“ nejleveˇjsˇ´ı symbol oznacˇeny´ 1 tecˇkou, „prˇesˇkrtne jej“ a prˇesune cˇtecı´ hlavu nad nejleveˇjsˇ´ı symbol oznacˇeny´ 2 tecˇkami – jde-li o jiny´ symbol, nezˇ je ten „zapamatovany´“, TS T zamı´ta´ w; v opacˇne´m prˇ´ıpadeˇ symbol pod cˇtecı´ hlavou „prˇesˇkrtne“ a posune cˇtecı´ hlavu o 1 polıćˇko doprava. 5) Je-li pod cˇtecı´ hlavou nepra´zdny´ symbol, prˇejde k bodu 4). Jinak TS T prˇijı´ma´ w. Pru˚vodce studiem Jisteˇ va´s napadlo, zˇe TS T nemusı´ pracovat „jednosmeˇrneˇ“, ale zˇe kvu˚li urychlenı´ sve´ praće je pro neˇj vy´hodneˇjsˇ´ı cˇinnost „obousmeˇrna´“, tj. oznacˇovańı´ symbolu˚ 1 a 2 tecˇkami mu˚zˇe by´t prova´deˇno i prˇi na´vratu cˇtecı´ hlavy (od symbolu naposled oznacˇene´ho 2 tecˇkami) nad nejleveˇjsˇ´ı neoznacˇeny´ symbol. Pro vstupnı´ slovo aeeaee by pak oznacˇovańı´ probı´halo v na´sledujıćı´m porˇadı´: a) b) c) d) e) f)

aeeaee ˙ aeeae¨ ˙ e aeea¨ ˙ ee¨ a˙ eea¨ ˙ ee¨ a˙ e˙ ea¨ ˙ ee¨ a˙ e˙ e¨ ˙ aeë¨

... ... ... ... ... ...

58

Porovna´vańı´ rˇeteˇzu˚ Turingovy´m strojem

Podobneˇ lze urychlit i porovna´vańı´ symbolu˚ v bodech 4) a 5). Uvedena´ urychlenı´ vsˇak vedou k trochu na´rocˇneˇjsˇ´ımu slovnı´mu popisu TS T a take´ k mı´rneˇ komplikovaneˇjsˇ´ı prˇechodove´ funkci stroje T . Hlavnı´m du˚vodem, procˇ zde uva´dı´me TS T pracujıćı´ „pouze jednosmeˇrneˇ“, je tedy jednodusˇsˇ´ı popis.

Forma´lneˇ: TS T = (Q, Σ, Γ, δ, q0 , q+ , q− ), kde Q = {q+ , q− , qa , qb , q0 , q1 , . . . , q11 }, Σ = {a, e}, Γ = {a, e, a, ˙ e, ˙ a ¨, e¨, a ¯, e¯, X, } a prˇechodova´ funkce δ je zna´zorneˇna na obra´zku 8 tı´mte´zˇ zpu˚sobem, jaky´ byl pouzˇit v prˇ´ıkladu 2.8. (Pokud na obra´zku z neˇktere´ho stavu nevede da´l hrana pro neˇktery´ pa´skovy´ symbol, je tomu tak z du˚vodu veˇtsˇ´ı prˇehlednosti – kazˇda´ takova´ hrana by koncˇila v zamı´tajıćı´m stavu.) Pru˚vodce studiem Vsˇimneˇte si podobne´ho obratu, jaky´ se vyskytl v prˇ´ıkladu 2.8: Mı´sto oznacˇenı´ symbolu na nejleveˇjsˇ´ım polıćˇku pa´sky jednou tecˇkou je onen symbol oznacˇen pruhem. Odlisˇne´ oznacˇenı´ pak umozˇnı´ stroji T prˇi na´vratu cˇtecı´ hlavy (nejenom) z konce vstupnı´ho slova rozpoznat 1. polıćˇko pa´sky.

2.2.2

Konvence pro popis Turingovyćh stroju˚

Prˇ´ıklad 2.17 ukazuje, jak naru˚sta´ pocˇet stavu˚ a komplikuje se forma´lnı´ popis i u TS zpracova´vajıćı´ho celkem jednoduchou u´lohu. Proto nada´le forma´lnı´ popis u zˇa´dne´ho TS jizˇ uva´deˇt nebudeme a spokojı´me se pouze se strucˇny´m slovnı´m popisem. Detaily typu „jak TS oznacˇuje, porovna´va´ cˇi prˇesouva´ symboly na pa´sce“ ponecha´me laskave´mu cˇtena´rˇi k samostatne´mu promy´sˇlenı´ – nikomu s alesponˇ minima´lnı´ programa´torskou zkusˇenostı´ by to nemeˇlo cˇinit zvla´sˇtnı´ potı´zˇe. Protozˇe se v tomto textu setka´me jesˇteˇ s celou rˇadou Turingovyćh stroju˚, domluvme se na pouzˇ´ıvańı´ na´sledujıćı´ symboliky. Pokud vstupnı´ slovo Turingova stroje oznacˇ´ıme symbolem • w (x, s, apod.), budeme jej vnı´mat jen jako rˇeteˇz vstupnıćh symbolu˚, • hAi, budeme jej cha´pat jako rˇeteˇz vstupnıćh symbolu˚ prˇedstavujıćı´ zako´dovańı´ objektu A, • hA1 , . . . , An i, budeme jej cha´pat jako rˇeteˇz vstupnıćh symbolu˚ prˇedstavujıćı´ zako´dovańı´ objektu˚ A1 , . . . , An . Pru˚vodce studiem Co si ma´te pod „zako´dovańı´m objektu A“ prˇedstavit? Jednodusˇe rˇeteˇz symbolu˚, ktery´ dohodnuty´m zpu˚sobem jednoznacˇneˇ popisuje objekt A. Pokud je tedy A naprˇ´ıklad maticı´, mu˚zˇe jı´t o rˇeteˇz obsahujıćı´ jednotlive´ prvky te´to matice, oddeˇlene´ vzˇdy neˇjaky´m specia´lnı´m znakem (naprˇ. &), prˇicˇemzˇ nejdrˇ´ıve jsou uvedeny prvky 1. ˇra´dku, pak prvky 2. rˇa´dku, atd. Mezi poslednı´m prvkem jednoho rˇa´dku a prvnı´m prvkem rˇa´dku na´sledujıćı´ho je prˇitom neˇjaky´ jiny´ specia´lnı´ oddeˇlovacı´ znak (naprˇ. #).

59

Nada´le jen slovnı´ popis TS

Dohoda pro oznacˇovańı´ vstupnıćh slov TS

(

,

q−

,P)

( , ,P) (ä,ä,P) (ë,ë,P)

q0 (a,ā,P) (e,ē,P)

q1 (a,a,P) (e,e,P)

(a,a,P) (e,e,P)

(a,ȧ,P) (e,ė,P) q6

(a,a,L) (e,e,L)

(ȧ,ȧ,P) (ė,ė,P) (ā,ā,P) (ē,ē,P) q5

(ë,ë,P)

q2 ( , ,L) (ä,ä,L) (ë,ë,L)

(a,a,L) (e,e,L)

q4

(ȧ,ȧ,L) (ė,ė,L)

(ā,X, P)

(ȧ,ȧ,P) (ė,ė,P) (X, X, P)

qa

(a,ä,L) (e,ë,L)

(ā,X, P)

q3

(ē,X, P) (ē,X, P)

q7

qe

(ȧ,ȧ,L) (ė,ė,L) (ë,X, P)

(ä,X, P)

q8 (ä,ä,L) (ë,ë,L)

q9 (X, X, L)

(ȧ,ȧ,L) (ė,ė,L)

( ,

q10

(ȧ,ȧ,L) (ė,ė,L)

(X, X, P)

(ȧ,X,P)

q11

(ė,X,P)

Obra´zek 8: Sche´ma TS k prˇ´ıkladu 2.17

60

,P)

q+

(ä,ä,P) (ȧ,ȧ,P) (ė,ė,P) (X, X, P)

a b a Matice by tak byla reprezentovańa rˇeteˇzem a & b & a # c & a & a. c a a Jestlizˇe je objektu˚ vıće, jejich jednotliva´ zako´dovańı´ mohou by´t od sebe oddeˇlena opeˇt neˇjaky´m specia´lnı´m symbolem. Ostatneˇ, vy´sˇe uvedenou matici mu˚zˇeme vnı´mat jako soubor jejıćh ˇra´dku˚, prˇicˇemzˇ kazˇdy´ je od ostatnıćh oddeˇlen symbolem #.

Da´le se domluvme na zkraćenı´ slovnı´ho popisu TS prostrˇednictvı´m souslovı´ „pro vstupnı´ slovo hAi“. Uvedene´ souslovı´ budeme pouzˇ´ıvat v u´vodu popisu a budeme jı´m zkracovat pokyn, aby dany´ TS nejdrˇ´ıve zkontroloval, zda hAi odpovı´da´ spra´vne´mu zako´dovańı´ objektu A – pokud ne, TS zamı´tne hAi.

TS nejdrˇ´ıve kontroluje spra´vnost zako´dovańı´.

Pru˚vodce studiem Prˇedstavte si naprˇ´ıklad, zˇe popis zaha´jı´me slovy: „TS T pro vstupnı´ slovo hAi, kde A je cˇtvercova´ matice ...“ Pak jsme stroji T jizˇ prˇedepsali, zˇe pro libovolne´ vstupnı´ slovo ma´ nejdrˇ´ıve zkontrolovat, jestli jde o korektnı´ zako´dovańı´ cˇtvercove´ matice, tj. zda je na kazˇde´m ˇra´dku matice stejny´ pocˇet prvku˚ a zda tento pocˇet odpovı´da´ take´ pocˇtu rˇa´dku˚. Nenı´-li kontrola v porˇa´dku, TS prˇ´ıslusˇne´ vstupnı´ slovo ihned zamı´tne. V opacˇne´m prˇ´ıpadeˇ mu˚zˇe TS zacˇ´ıt vykona´vat dalsˇ´ı prˇ´ıkazy uvedene´ na´sledovneˇ (a nemusı´me se tedy jizˇ starat o to, jestli je „zpracova´vana´“ matice cˇtvercova´.)

2.2.3

Churchova–Turingova teze

Drˇ´ıve nezˇ si popı´sˇeme proble´m, ktery´ nelze vyrˇesˇit pomocı´ zˇa´dne´ho algoritmu, musı´me si ujasnit, co prˇesneˇ budeme cha´pat pod pojmem algoritmus. Jde o pojem beˇzˇneˇ uzˇ´ıvany´ a te´meˇrˇ kazˇde´mu srozumitelny´ – vzˇdyt’kdo by neznal ze za´kladnı´ sˇkoly algoritmy pro na´sobenı´ 2 celyćh cˇ´ısel cˇi rˇesˇenı´ 1 linea´rnı´ rovnice o 1 nezna´me´ nebo ze strˇednı´ sˇkoly naprˇ. algoritmus pro nalezenı´ rˇesˇenı´ kvadraticke´ rovnice. Algoritmus by´va´ charakterizovań jako posloupnost elementa´rnıćh kroku˚, ktera´ pro libovolna´ povolena´ vstupnı´ data da´va´ po konecˇneˇ mnoha krocıćh pozˇadovany´ vy´sledek, prˇicˇemzˇ • kazˇdy´ elementa´rnı´ krok je mechanicky proveditelny´ (tj. naprˇ. pomocı´ neˇjake´ho stroje), • pro stejna´ vstupnı´ data je vy´sledek pokazˇde´ tenty´zˇ. Uvedena´ charakteristika je cˇasto nazy´vańa intuitivnı´m pojetı´m algoritmu. Zda´ se by´t formulovańa prˇesneˇ, tak procˇ intuitivnı´? Odpoveˇd’ spocˇ´ıva´ v nejasnosti termıńu „elementa´rnı´ krok“. Pokud jej vzta´hneme ke konkre´tnı´mu vy´pocˇetnı´mu (prˇ´ıpadneˇ abstraktnı´mu) zarˇ´ızenı´, dostaneme konecˇneˇ exaktnı´ definici algoritmu. Vzhledem k prˇedchozı´m kapitola´m zrˇejmeˇ neprˇekvapı´, zˇe za konkre´tnı´ zarˇ´ızenı´ s prˇesneˇ definovany´mi vy´pocˇetnı´mi kroky zvolı´me pra´veˇ TS. Je snadno oveˇrˇitelne´, zˇe TS, ktery´ necyklı´ pro zˇa´dne´ vstupnı´ slovo, splnˇuje vsˇechny podmıńky pozˇadovane´ v intuitivnı´ „definici“ algoritmu. Pru˚vodce studiem Prˇemy´sˇlı´te-li o tom, kde hledat vy´stup Turingova stroje, ktery´ ukoncˇil svu˚j vy´pocˇet prˇechodem do prˇijı´majıćı´ho nebo zamı´tajıćı´ho stavu, podı´vejte se na jeho pa´sku – konecˇny´ vy´stup je prˇedstavovań nepra´zdny´m obsahem pa´sky.

Obraćene´ tvrzenı´, a sice, zˇe ke kazˇde´mu intuitivneˇ cha´pane´mu algoritmu lze nale´zt odpovı´dajıćı´ (nikdy necyklıćı´) TS, obecneˇ doka´zat nelze. Nikdo na cele´m sveˇteˇ vsˇak nenalezl zˇa´dny´ protiprˇ´ıklad. 61

Intuitivnı´ pojetı´ algoritmu

Pru˚vodce studiem Nemozˇnost obecneˇ doka´zat poslednı´ tvrzenı´ je du˚sledkem va´gnosti pojmu elementa´rnı´ krok intuitivneˇ cha´pane´ho algoritmu. Dosta´va´me tak sice nedokazatelnou, ale vsˇeobecneˇ prˇijı´manou tezi: Churchova–Turingova10 teze [cˇti Cˇercˇova–Tˇu˚ringova]: Intuitivneˇ cha´pany´ algoritmus = algoritmus realizovatelny´ na Turingoveˇ stroji. Pru˚vodce studiem Od te´to chvı´le mu˚zˇete vesˇkere´ vy´sledky vztahujıćı´ se k necyklıćı´m Turingovy´m stroju˚m (a tedy take´ k rekurzivnı´m jazyku˚m) interpretovat jako vy´sledky vztahujıćı´ se k algoritmu˚m.

2.2.4

Rozhodovacı´ proble´my

Prˇed vlastnı´m studiem proble´mu˚ bychom meˇli nejdrˇ´ıve popsat, co budeme v nasˇem textu rozumeˇt pod pojmem proble´m. Proble´mem budeme cha´pat u´lohu nale´zt odpoveˇd’ na ota´zku vztahujıćı´ se ke konecˇneˇ mnoha zadany´m parametru˚m. Zadańı´ proble´mu tak musı´ zahrnovat • obecny´ popis vsˇech jeho parametru˚, • vlastnı´ zneˇnı´ u´lohy. Prˇ´ıpadem proble´mu pak budeme nazy´vat proble´m s konkre´tnı´mi hodnotami jeho parametru˚.11 Prˇ´ıklad 2.18. Demonstrujme vy´sˇe uvedene´ pojmy na na´sledujıćıćh prˇ´ıkladech. 1) Proble´m ekvivalence bezkontextovyćh gramatik je dań a) svy´mi parametry12 , jezˇ tvorˇ´ı dveˇ bezkontextove´ gramatiky, b) ota´zkou: „Jsou zadane´ bezkontextove´ gramatiky ekvivalentnı´?“ Prˇ´ıpadem tohoto proble´mu je naprˇ. u´loha zjistit, zda jsou ekvivalentnı´ bezkontextove´ gramatiky G1 a G2 , kde G1 obsahuje pouze pravidla S → aSSb | Ab, A → aSb | a, G2 obsahuje pouze pravidla S → aAb | Ab, A → aSb | SS | a. 2) Proble´m mohutnosti jazyka prˇijı´mane´ho Turingovy´m strojem je dań a) jediny´m parametrem, a sice Turingovy´m strojem, b) ota´zkou: „Jaka´ je mohutnost jazyka prˇijı´mane´ho zadany´m Turingovy´m strojem?“ Prˇ´ıpadem tohoto proble´mu je naprˇ. u´loha zjistit mohutnost jazyka prˇijı´mane´ho Turingovy´m strojem popsany´m v prˇ´ıkladu 2.8. Pokud se ma´me zaby´vat ota´zkou existence algoritmu rˇesˇ´ıcı´ho neˇjaky´ proble´m, bude vy´hodne´ zu´zˇit vy´beˇr zkoumanyćh proble´mu˚ jenom na ty, ktere´ majı´ co nejjednodusˇsˇ´ı mozˇne´ vy´sledky. Jako optima´lnı´ se jevı´ tzv. rozhodovacı´ proble´my. 10

Uvedena´ teze byla nejdrˇ´ıve formulovańa A. Churchem s pouzˇitı´m jine´ho formalismu (konkre´tneˇ λ–kalkulu), A. Turing vsˇak za´hy proka´zal jeho (vza´jemnou) prˇevoditelnost na svu˚j formalismus. 11 Mı´sto prˇ´ıpadu proble´mu se lze v literaturˇe setkat take´ s termıńem instance proble´mu. [Kucˇ89] pouzˇ´ıva´ mı´sto dvojice proble´m a prˇ´ıpad proble´mu pojmy u´loha a vy´skyt u´lohy. 12 Mı´sto parametru˚ budeme cˇasto psa´vat „vstup“ proble´mu.

62

Algoritmus a TS

Definice 2.19. Za rozhodovacı´ proble´m povazˇujeme proble´m, jehozˇ kazˇdy´ prˇ´ıpad ma´ bud’rˇesˇenı´ ANO nebo rˇesˇenı´ NE. Prˇ´ıklad 2.20. Rozhodovacı´mi proble´my jsou naprˇ´ıklad • proble´m ekvivalence dvou zadanyćh gramatik, • proble´m konecˇnosti jazyka prˇijı´mane´ho Turingovy´m strojem. Rozhodovacı´m proble´mem naproti tomu nenı´ proble´m urcˇeny´ ota´zkou: Jaka´ je mohutnost jazyka prˇijı´mane´ho zadany´m Turingovy´m strojem? Pru˚vodce studiem Omezujeme-li se pouze na studium rozhodovacıćh proble´mu˚, neznamena´ to, zˇe bychom rezignovali na vsˇechny ostatnı´. Neˇktere´ z nich je mozˇne´ prˇeva´deˇt na posloupnosti rozhodovacıćh proble´mu˚. Naprˇ´ıklad u´lohu zjistit, kolik ru˚znyćh rea´lnyćh cˇ´ısel tvorˇ´ı rˇesˇenı´ zadane´ kvadraticke´ rovnice lze prˇeve´st na na´sledujı ćı´ posloupnost rozhodovacıćh proble´mu˚: odpoveˇd’ NE znacˇ´ı 0 rea´lnyćh rˇesˇenı´, 1) Proble´m existence rea´lne´ho rˇesˇenı´ ... prˇi odpoveˇdi ANO prˇejdeme k proble´mu 2). 2) Proble´m poc ˇtu ru˚znyćh rea´lnyćh rˇesˇenı´ kvadraticke´ rovnice (s neza´porny´m diskrimiodpoveˇd’ NE mu˚zˇeme prˇirˇadit 1 (dvojna´sobne´mu) rea´lne´mu rˇesˇenı´, nantem) ... odpoveˇd’ ANO mu˚zˇeme prˇirˇadit 2 ru˚zny´m rea´lny´m rˇesˇenı´m. Definice 2.21. Rˇekneme, zˇe rozhodovacı´ proble´m je rˇesˇitelny´13 , pra´veˇ kdyzˇ existuje TS T , ktery´ pro kazˇdy´ prˇ´ıpad dane´ho proble´mu zastavı´ v koncove´m stavu q+ , je-li rˇesˇenı´m tohoto prˇ´ıpadu ANO, q− , je-li rˇesˇenı´m tohoto prˇ´ıpadu NE. Neexistuje-li takovy´ TS, rˇ´ıka´me, zˇe dany´ proble´m je nerˇesˇitelny´. Pru˚vodce studiem Vsˇ´ıma´te si, zˇe byl v definici pouzˇit nikdy necyklıćı´ TS? Tj. rozhodovacı´ proble´m nazy´va´me ˇresˇitelny´, jestlizˇe existuje algoritmus, ktery´ pro kazˇdy´ prˇ´ıpad tohoto proble´mu vyda´ jako svu˚j vy´stup spra´vne´ rˇesˇenı´ (ANO nebo NE). Prˇ´ıklad 2.22. Je rˇesˇitelny´ rozhodovacı´ proble´m prˇijetı´ vstupnı´ho slova konecˇny´m automatem? (Kazˇdy´ prˇ´ıpad tohoto proble´mu je zrˇejmeˇ urcˇen konkre´tnı´m KA a konkre´tnı´m vstupnı´m slovem.) Pro kladne´ zodpoveˇzenı´ polozˇene´ ota´zky musı´me by´t podle definice schopni nale´zt odpovı´dajıćı´ TS. (Ve zkratce ˇrecˇeno, musı´me najı´t TS, ktery´ rˇesˇ´ı dany´ proble´m.) Pozˇadavky kladene´ definicı´ splnˇuje na´sledujıćı´ TS. TS T pro vstupnı´ slovo hB, wi, kde B je KA a w je rˇeteˇz nad jeho vstupnı´ abecedou: 1) Simuluje cˇinnost KA B pro vstupnı´ slovo w. v koncove´m stavu, TS T prˇijı´ma´ hB, wi, 2) Pokud B skoncˇ´ı po prˇecˇtenı´ slova w mimo koncovy´ stav, TS T zamı´ta´ hB, wi. 13 Terminologie pouzˇ´ıvana´ v odborne´ literaturˇe opeˇt nenı´ jednotna´. Rˇesˇitelny´ proble´m by´va´ nazy´vań take´ proble´mem rozhodnutelny´m, rekurzivneˇ rˇesˇitelny´m nebo algoritmicky rˇesˇitelny´m.

63

Pru˚vodce studiem 1) Ve slovnı´m popisu Turingova stroje je jizˇ pouzˇito souslovı´ „pro vstupnı´ slovo hB, wi, kde B je KA a w je ...“, ktere´ podle drˇ´ıveˇjsˇ´ı dohody interpretujeme jako pokyn, aby TS T nejdrˇ´ıve zkontroloval spra´vnost zako´dovańı´ u slova, ktere´ ma´ na sve´m vstupu. Jak to mu˚zˇe prove´st? Prˇedstavte si trˇeba KA B = (Q, Σ, δ, q0 , F ), kde ozn. Q = {q1 , . . . , q6 }, q1 = q0 , Σ = {a1 , . . . , a4 }, a F = {q2 , q3 }. Naprˇ´ıklad prˇechod δ(q5 , a2 ) = q4 mu˚zˇe by´t zako´dovań jako rˇeteˇz 05 102 104 . Cely´ KA B pak mu˚zˇe by´t zako´dovań jako rˇeteˇz 4 2 3 hBi = 106 1104 11 |05 102 10 {z 11 . .}. 1110 10 11.

Prˇ´ıklad zako´dovańı´ KA

zako´dovańı´ δ (Prvnı´ podrˇeteˇz sˇesti nul znamena´ mnozˇinu sˇesti stavu˚, dalsˇ´ı podrˇeteˇz cˇtyrˇ nul znacˇ´ı cˇtyrˇi symboly ve vstupnı´ abecedeˇ, cˇa´st odpovı´dajıćı´ prˇechodove´ funkci δ obsahuje vsˇechny prˇechody ko´dovane´ vy´sˇe popsany´m zpu˚sobem a na za´veˇr, za trojicı´ jednicˇek, podrˇeteˇzy dvou a trˇ´ı nul vyjadrˇujı´, zˇe 2. i 3. stav patrˇ´ı do mnozˇiny koncovyćh stavu˚.) Vstupnı´ slovo w = a2 a2 a3 by mohlo by´t kuprˇ´ıkladu ko´dovańo jako rˇeteˇz hwi = 2 0 102 103 . Kontrola spra´vnosti zako´dovańı´ automatu B by spocˇ´ıvala v oveˇrˇenı´ pozˇadovane´ struktury rˇeteˇzu hBi (tzn. jedna jednicˇka na´sledovańa kladny´m pocˇtem nul, pak dveˇ jednicˇky, kladny´ pocˇet nul, dveˇ jednicˇky, atd.) a da´le v oveˇrˇenı´, zˇe v u´seku popisujıćı´m koncove´ stavy nikde pocˇet nul neprˇevysˇuje pocˇet nul uda´vajıćıćh celkovy´ pocˇet stavu˚ v Q a zˇe v u´seku popisujıćı´m prˇechodovou funkci je zanesen pra´veˇ jeden prˇechod pro kazˇdou dvojici (stav, vstupnı´ symbol). Podobneˇ by probeˇhla kontrola spra´vnosti zako´dovańı´ vstupnı´ho slova w. 2) Jak si ma´te prˇedstavit simulaci KA B Turingovy´m strojem T ? Naprˇ´ıklad na´sledovneˇ: TS T si za vstupnı´ slovo na pa´sku zapı´sˇe oznacˇeny´ pocˇa´tecˇnı´ stav automatu B a v zako´dovańı´ slova w oznacˇ´ı 1. symbol. Potom pro oznacˇeny´ stav a oznacˇeny´ symbol hleda´ v zako´dovańı´ prˇechodove´ funkce automatu B odpovı´dajıćı´ prˇechod. Jakmile jej najde, mı´sto pu˚vodnı´ho stavu oznacˇ´ı prˇechodem urcˇeny´ vy´sledny´ stav, zrusˇ´ı oznacˇenı´ symbolu ve vstupnı´m slovu a oznacˇ´ı na´sledujıćı´ symbol vstupnı´ho slova. Uvedenou cˇinnost opakuje, dokud mu˚zˇe oznacˇovat nove´ symboly vstupnı´ho slova. V okamzˇiku, kdy nema´ k dispozici dalsˇ´ı symbol k oznacˇenı´ (tj. vstupnı´ slovo je prˇecˇteno), zkontroluje, jestli je poslednı´ oznacˇeny´ stav koncovy´m stavem automatu B. Na za´kladeˇ vy´sledku te´to kontroly pak TS T prˇejde bud’ do prˇijı´majıćı´ho anebo do zamı´tajıćı´ho stavu. Pozna´mka 2.23. Je zajı´mave´ podı´vat se na jazyk, ktery´ je rozhodovań Turingovy´m strojem T z prˇ´ıkladu 2.22. Jde o jazyk {hB, wi; B je KA, ktery´ prˇijı´ma´ vstupnı´ slovo w}, ktery´ zahrnuje zako´dovańı´ vsˇech prˇ´ıpadu˚ proble´mu (zkoumane´ho v prˇ´ıkladu 2.22), jezˇ majı´ rˇesˇenı´ ANO. Uvedeny´ poznatek ma´ obecneˇjsˇ´ı platnost, jak sdeˇluje na´sledujıćı´ veˇta. Veˇta 2.24. Proble´m P je rˇesˇitelny´, pra´veˇ kdyzˇ jazyk {hP i; P je prˇ´ıpad proble´mu P s rˇesˇenı´m ANO} je rekurzivnı´. Du˚kaz. Jde o prˇ´ımy´ du˚sledek definic rekurzivnı´ho jazyka a rˇesˇitelne´ho rozhodovacı´ho proble´mu. Pozna´mka 2.25. Veˇta 2.24 poukazuje na vza´jemnou prˇevoditelnost konkre´tnıćh rekurzivnıćh jazyku˚ a ˇresˇitelnyćh proble´mu˚. Vesˇkere´ poznatky zı´skane´ o rekurzivnıćh jazycıćh tak mu˚zˇeme aplikovat na ˇresˇitelne´ proble´my. 64

Rˇesˇitelne´ proble´my ∼ rekurzivnı´ jazyky

Pru˚vodce studiem Kvu˚li velke´ du˚lezˇitosti popisovanyćh vza´jemnyćh prˇevodu˚ (hojneˇ vyuzˇ´ıvanyćh v kapitole 3) si jesˇteˇ jednou uveˇdomme, zˇe jazyk „odpovı´dajıćı´“ rˇesˇitelne´mu proble´mu vzˇdy zahrnuje pouze zako´dovańı´ teˇch prˇ´ıpadu˚ dane´ho proble´mu, jezˇ majı´ rˇesˇenı´ ANO. Naprˇ´ıklad jazyk „odpovı´dajıćı´“ proble´mu prvocˇ´ıselnosti prˇirozenyćh cˇ´ısel by zahrnoval zako´dovańı´ vsˇech prvocˇ´ısel.

Pro u´plnost uvedeme take´ definici cˇa´stecˇneˇ ˇresˇitelnyćh proble´mu˚ a jejich prˇevoditelnost na cˇa´stecˇneˇ rekurzivnı´ jazyky. Definice 2.26. Rˇekneme, zˇe rozhodovacı´ proble´m je cˇa´stecˇneˇ rˇesˇitelny´14 , pra´veˇ kdyzˇ existuje TS T , ktery´ pro kazˇdy´ prˇ´ıpad dane´ho proble´mu zastavı´ v koncove´m stavu q+ , je-li rˇesˇenı´m tohoto prˇ´ıpadu ANO, zastavı´ v koncove´m stavu q− anebo cyklı´, je-li rˇesˇenı´m tohoto prˇ´ıpadu NE. Pru˚vodce studiem Vsˇimneˇte si, zˇe TS pouzˇity´ v definici neprˇedstavuje algoritmus, ny´brzˇ proceduru, protozˇe pro neˇktera´ vstupnı´ slova mu˚zˇe cyklit. Mimochodem, schopnost Turingovyćh stroju˚ zacˇ´ıt cyklit dobrˇe zna´me u jinyćh, rea´lneˇjsˇ´ıch zarˇ´ızenı´, jezˇ veˇtsˇinou okupujı´ nasˇe pracovnı´ stoly, a sice u stolnıćh pocˇ´ıtacˇu˚. Tento rys (stolnıćh) pocˇ´ıtacˇu˚, mnohy´mi povazˇovany´ za za´kladnı´, mozˇna´ leckoho prˇesveˇdcˇ´ı o tom, zˇe TS skutecˇneˇ prˇedstavuje obecny´ vy´pocˇetnı´ prostrˇedek. Veˇta 2.27. Rozhodovacı´ proble´m P je cˇa´stecˇneˇ rˇesˇitelny´, pra´veˇ kdyzˇ jazyk {hP i; P je prˇ´ıpad proble´mu P s rˇesˇenı´m ANO} je cˇa´stecˇneˇ rekurzivnı´. Du˚kaz. Jde o prˇ´ımy´ du˚sledek definic cˇa´stecˇneˇ rekurzivnı´ho jazyka a cˇa´stecˇneˇ rˇesˇitelne´ho rozhodovacı´ho proble´mu. 2.2.5

Cˇa´stecˇna´ rˇesˇitelnost ∼ cˇa´stecˇna´ rekurzivita

Proble´m zastavenı´ Turingova stroje

Definice 2.28. Proble´mem zastavenı´ Turingova stroje nazy´va´me rozhodovacı´ proble´m, v neˇmzˇ se ma´ stanovit, zda zadany´ TS pro dane´ vstupnı´ slovo prˇejde po konecˇne´m pocˇtu vy´pocˇetnıćh kroku˚ do prˇijı´majıćı´ho nebo zamı´tajıćı´ho stavu. Pozna´mka 2.29. Pokud by byl proble´m zastavenı´ TS rˇesˇitelny´, musel by existovat TS T 0 (neboli algoritmus), ktery´ pro kazˇde´ vstupnı´ slovo hT, wi, kde T je TS a w jeho vstupnı´ slovo, q+ , jestlizˇe T prˇijı´ma´ anebo zamı´ta´ w, zastavı´ v koncove´m stavu q− , jestlizˇe T pro vstupnı´ slovo w cyklı´.

V pozna´mce 2.29 se objevuje pozˇadavek existence Turingova stroje, ktery´ doka´zˇe simulovat cˇinnost libovolne´ho TS T . Stroj s touto vlastnostı´ by´va´ nazy´vań univerza´lnı´m Turingovy´m strojem. 14 V odborne´ literaturˇe by´va´ cˇa´stecˇneˇ rˇesˇitelny´ proble´m nazy´vań rovneˇzˇ proble´mem cˇa´stecˇneˇ rozhodnutelny´m nebo cˇa´stecˇneˇ rekurzivneˇ rˇesˇitelny´m.

65

Univerza´lnı´ TS

Pru˚vodce studiem Prˇipomenete-li si zpu˚sob, jaky´m TS simuloval cˇinnost libovolne´ho KA v komenta´rˇi k prˇ´ıkladu 2.22, nenı´ teˇzˇke´ prˇedstavit si cˇinnost univerza´lnı´ho Turingova stroje. Univerza´lnı´ TS svy´mi schopnostmi evidentneˇ splnˇuje pozˇadavky ocˇeka´vane´ od obecne´ho vy´pocˇetnı´ho prostrˇedku, nebot’doka´zˇe zpracova´vat libovolny´ algoritmus (prˇedstavovany´ Turingovy´m strojem) vcˇetneˇ prˇ´ıslusˇnyćh vstupnıćh dat. Tvorˇ´ı tak teoreticky´ prˇedobraz rea´lnyćh pocˇ´ıtacˇu˚ a nalezenı´ jakyćhkoli vy´pocˇetnıćh omezenı´ znamena´ stejna´ omezenı´ pro rea´lne´ pocˇ´ıtacˇe. Veˇta 2.30. Proble´m zastavenı´ Turingova stroje nenı´ rˇesˇitelny´. Pru˚vodce studiem

Nerˇesˇitelnost proble´mu zastavenı´ TS

Uvedene´ tvrzenı´ nenı´ zase tak prˇekvapive´. Vzˇdyt’jaky´m zpu˚sobem bychom meˇli zjistit, zˇe TS (nebo pocˇ´ıtacˇovy´ program) cyklı´ a zˇe nenı´ jenom ve velmi dlouhe´ fa´zi vy´pocˇtu, ktery´ bude po konecˇne´ dobeˇ ukoncˇen? Du˚kaz. Du˚kaz povedeme sporem. Prˇedpokla´dejme, zˇe jde o rˇesˇitelny´ proble´m. Podle definice (a take´ pozna´mky 2.29) pak existuje TS H, ktery´ pro vstupnı´ slovo hT, wi, kde T je TS a w jeho vstupnı´ slovo – prˇijı´ma´ hT, wi, jestlizˇe TS T prˇijı´ma´ anebo zamı´ta´ w, – zamı´ta´ hT, wi, jestlizˇe TS T cyklı´ pro vstupnı´ slovo w. Uvazˇme TS D, ktery´ pro vstupnı´ slovo hT i, kde T je TS: 1) Simuluje cˇinnost TS H pro vstupnı´ slovo hT, hT ii. prˇijı´ma´ hT, hT ii, TS D zacˇne cyklit, 2) Jestlizˇe H zamı´ta´ hT, hT ii, TS D prˇijme hT i. Pru˚vodce studiem Ma´-li TS D simulovat cˇinnost stroje H, musı´ mı´t k dispozici pro tuto simulaci vstupnı´ slovo ko´dujıćı´ 2 objekty: jednak TS, jednak vstupnı´ slovo pro tento TS. Zako´dovańı´ Turingova stroje ma´ D na sve´m vstupu, pouzˇije jej tedy dvakra´t: jednou coby TS, podruhe´ coby rˇeteˇz symbolu˚. Na za´kladeˇ popisu TS D a TS H na´m tedy vycha´zı´: cyklı´ pro vstupnı´ slovo hT i, pra´veˇ kdyzˇ TS T prˇijı´ma´ nebo zamı´ta´ vstupnı´ slovo hT i, TS D prˇijı´ma´ vstupnı´ slovo hT i, pra´veˇ kdyzˇ TS T cyklı´ pro vstupnı´ slovo hT i. Take´ D je TS. Prˇepı´sˇeme-li tedy prˇedchozı´ vztah pro prˇ´ıpad T = D, dostaneme: Pru˚vodce studiem Pokud va´m prˇipada´ ma´lo pochopitelna´ situace, zˇe TS D dostane na svu˚j vstup zako´dovańı´ sebe same´ho a pracuje s nı´m jako s jaky´mkoli jiny´m vstupnı´m slovem, prˇedstavte si analogickou (a tentokra´t jizˇ rea´lnou) situaci: Jisteˇ lze napsat v programovacı´m jazyku Pascal pocˇ´ıtacˇovy´ program, ktery´ kazˇdy´ program zapsany´ v Pascalu prˇevede do strojove´ho ko´du. Spustı´te-li jej sa´m na sebe (jde prˇece o program zapsany´ v Pascalu), prˇevede svu˚j vlastnı´ ko´d do strojove´ho ko´du.

66

TS D dosta´va´ na svu˚j vstup zako´dovańı´ sebe same´ho.

TS D

cyklı´ pro vstupnı´ slovo hDi, pra´veˇ kdyzˇ TS D prˇijı´ma´ anebo zamı´ta´ vstupnı´ slovo hDi, prˇijı´ma´ vstupnı´ slovo hDi, pra´veˇ kdyzˇ TS D cyklı´ pro vstupnı´ slovo hDi.

To je ovsˇem evidentnı´ spor. (Na´sˇ pu˚vodnı´ prˇedpoklad o rˇesˇitelnosti proble´mu zastavenı´ TS se tedy uka´zal by´t nespra´vny´m.) Pru˚vodce studiem Nynı´ ma´me doka´zańu existenci proble´mu, ktery´ nelze rˇesˇit na zˇa´dne´m pocˇ´ıtacˇi. Proble´mu˚ s touto vlastnostı´ pochopitelneˇ existuje cela´ rˇada. Dalsˇ´ı vsˇak hledat nebudeme a spokojı´me se s velmi jednodusˇe formulovany´m a srozumitelny´m proble´mem zastavenı´ TS. Od te´to chvı´le ma´te zarucˇeno, zˇe kazˇdy´ pokus sestavit pocˇ´ıtacˇovy´ program, ktery´ by pro libovolny´ pocˇ´ıtacˇovy´ program (vcˇetneˇ vstupnıćh dat) doka´zal urcˇit, zˇe se nezacyklı´, ma´ stejnou nadeˇji na u´speˇch jako pokus sestrojit perpetuum mobile.

Shrnutı´ Rekurzivnı´ jazyk je jazyk, ktery´ je rozhodovań neˇjaky´m TS. Cˇa´stecˇneˇ rekurzivnı´ jazyk je jazyk, ktery´ je prˇijı´mań neˇjaky´m TS. Trˇ´ıda cˇa´stecˇneˇ rekurzivnıćh jazyku˚ je rovna trˇ´ıdeˇ jazyku˚ typu 0. Aby ktery´koli TS mohl pracovat s neˇjaky´mi objekty, musı´ je dostat na svu˚j vstup v podobeˇ ´ vodnı´ rˇeteˇzu˚ vstupnıćh symbolu˚, jezˇ dohodnuty´m zpu˚sobem jednoznacˇneˇ ko´dujı´ dane´ objekty. U cˇinnostı´ TS v takove´m prˇ´ıpadeˇ bude vzˇdy kontrola, zda prˇedlozˇeny´ rˇeteˇz prˇedstavuje spra´vne´ zako´dovańı´ ocˇeka´vanyćh objektu˚. Churchova–Turingova teze pravı´, zˇe kazˇdy´ intuitivneˇ cha´pany´ algoritmus lze realizovat na TS a zˇe kazˇdy´ algoritmus realizovatelny´ na TS odpovı´da´ intuitivnı´mu cha´pańı´ algoritmu. TS na za´kladeˇ te´to teze slouzˇ´ı jako exaktnı´ model algoritmu. Proble´mem rozumı´me u´lohu zjistit urcˇitou vlastnost cˇi podmıńku platıćı´ pro jiste´ (obecne´) objekty. Prˇ´ıpadem proble´mu pak rozumı´me u´lohu ty´kajıćı´ se konkre´tneˇ zadanyćh objektu˚. Rozhodovacı´ proble´m je proble´m, jehozˇ kazˇdy´ prˇ´ıpad ma´ rˇesˇenı´ typu ANO/NE. Kazˇdy´ rozhodovacı´ proble´m nazveme rˇesˇitelny´m, pokud existuje TS, ktery´ pro kazˇdy´ prˇ´ıpad ANO, zastavı´ ve stavu q+ , dane´ho proble´mu, jenzˇ ma´ rˇesˇenı´ NE, zastavı´ ve stavu q− . Kazˇdy´ rozhodovacı´ proble´m nazveme cˇa´stecˇneˇ rˇesˇitelny´m, pokud existuje TS, ktery´ pro ANO, zastavı´ ve stavu q+ , kazˇdy´ prˇ´ıpad dane´ho proble´mu, jenzˇ ma´ rˇesˇenı´ NE, zastavı´ ve stavu q− anebo cyklı´. Kazˇdy´ (cˇa´stecˇneˇ) rˇesˇitelny´ rozhodovacı´ proble´m lze prˇeve´st na (cˇa´stecˇneˇ) rekurzivnı´ jazyk. Proble´m zastavenı´ TS je typicky´m prˇ´ıkladem nerˇesˇitelne´ho proble´mu. Pojmy k zapamatovańı´ • • • • • • •

Rekurzivnı´ jazyk, cˇa´stecˇneˇ rekurzivnı´ jazyk, ko´dovańı´ objektu˚, rozhodovacı´ proble´m, rˇesˇitelny´ rozhodovacı´ proble´m, cˇa´stecˇneˇ rˇesˇitelny´ rozhodovacı´ proble´m, proble´m zastavenı´ TS.

Kontrolnı´ ota´zky 1. Platı´, zˇe kazˇdy´ rekurzivnı´ jazyk je jazykem typu 0? 2. Mu˚zˇe se zacyklit TS, ktery´ prˇedstavuje algoritmus? 67

Cvicˇenı´ 1. Zjisteˇte, jestli je proble´m zastavenı´ TS cˇa´stecˇneˇ rˇesˇitelny´.

´ koly k textu U 1. Napisˇte posloupnosti konfiguracı´, jezˇ postupneˇ popisujı´ vy´pocˇty TS z prˇ´ıkladu 2.17 pro vstupnı´ slova ε, ae, aaa, aeea, aeaaea. 2. Upravte prˇechodovou funkci TS z prˇ´ıkladu 2.17 tak, aby prˇi hledańı´ „strˇedu“ vstupnı´ho slova pracoval „obousmeˇrneˇ“ (dle komenta´rˇe prˇedcha´zejıćı´ho forma´lnı´ popis T ).

ˇ esˇenı´ R 1. K proka´zańı´ cˇa´stecˇne´ rˇesˇitelnosti proble´mu zastavenı´ TS je zapotrˇebı´ nale´zt TS, ktery´ prˇijı´ma´ jazyk {hT, wi; T je TS, ktery´ zastavı´ pro vstupnı´ slovo w}. Takovy´m strojem je naprˇ´ıklad TS R, ktery´ pro vstupnı´ slovo hT, wi, kde T je TS a w jeho vstupnı´ slovo: 1) Simuluje cˇinnost TS T pro vstupnı´ slovo w. 2) Jestlizˇe TS T prˇijı´ma´ nebo zamı´ta´ w, pak TS R prˇijme hT, wi.

68

3

Slozˇitost

Disciplıńa zvana´ slozˇitost se zaby´va´ algoritmicky rˇesˇitelny´mi proble´my, u nichzˇ zkouma´ vy´pocˇetnı´ obtı´zˇnost jejich rˇesˇenı´.

3.1

´ vodnı´ pojmy U

Studijnı´ cı´le: Po prostudovańı´ kapitoly studujıćı´ porozumı´ du˚vodu˚m vedoucı´m k zjednodusˇujıćı´m principu˚m pouzˇ´ıvany´m prˇi studiu cˇasove´ slozˇitosti. Da´le bude rozumeˇt rˇa´dove´mu porovna´vańı´ funkcı´ a bude veˇdeˇt, jak se zava´dı´ cˇasova´ slozˇitost deterministicke´ho i nedeterministicke´ho Turingova stroje. Klıćˇova´ slova: O-notace, cˇasova´ slozˇitost. Potrˇebny´ cˇas: 60 minut. Poznamenejme, zˇe slozˇitost kazˇde´ho algoritmu mu˚zˇe by´t studovańa bud’ z hlediska pameˇt’ove´ na´rocˇnosti nebo z hlediska cˇasove´ na´rocˇnosti. Pameˇt’ovou na´rocˇnostı´ rozumı´me pozˇadavek na velikost pameˇti pocˇ´ıtacˇe (v prˇ´ıpadeˇ TS na pocˇet polıćˇek pa´sky), jezˇ je zapotrˇebı´ k provedenı´ vy´pocˇtu. Podobneˇ cˇasovou na´rocˇnostı´ rozumı´me cˇas potrˇebny´ pro vy´pocˇet. Tento cˇas vsˇak nebudeme meˇrˇit v cˇasovyćh jednotkaćh, ny´brzˇ pocˇtem provedenyćh elementa´rnıćh kroku˚ algoritmu. Vzhledem k omezene´mu rozsahu nasˇeho textu se nada´le budeme veˇnovat vy´hradneˇ cˇasove´ slozˇitosti. Prˇ´ıklad 3.1. Prozkoumejme cˇasovou na´rocˇnost algoritmu z prˇ´ıkladu 2.17, v neˇmzˇ TS T rozhodoval jazyk L = {zz; z ∈ {a, e}+ }. Tzn. podı´vejme se na pocˇet vy´pocˇetnıćh kroku˚ provedenyćh strojem T pro vstupnı´ slovo w de´lky n. Prˇedpokla´dejme nejdrˇ´ıve, zˇe w ∈ L. Pru˚vodce studiem Na´sledujıćı´ text (azˇ do prˇ´ısˇtı´ho „Pru˚vodce studiem“) berte pouze informativneˇ, tj. pokud jste naprˇ´ıklad „v cˇasove´ tı´sni“, neutrpı´te vu˚bec zˇa´dnou u´jmu, kdyzˇ „neproveˇrˇ´ıte“ spra´vnost nı´zˇe uvedenyćh propocˇtu˚.

V 1. fa´zi, kdy TS T hleda´ „strˇed“ vstupnı´ho slova, nejdrˇ´ıve svy´mi prvnı´mi n kroky prˇesune cˇtecı´ hlavu za vstupnı´ slovo, prˇicˇemzˇ oznacˇ´ı prvnı´ symbol 1 tecˇkou (resp. pruhem) a poslednı´ symbol 2 tecˇkami. Prˇi na´vratu nad 1. symbol vykona´ cˇtecı´ hlava dalsˇ´ıch n kroku˚. Prˇi oznacˇovańı´ dalsˇ´ıho pa´ru symbolu˚ vykona´ cˇtecı´ hlava jizˇ jen (n − 1) + (n − 2) kroku˚, nebot’k jejı´mu obratu dojde nad n-ty´m polıćˇkem pa´sky (a ne azˇ za vstupnı´m slovem) a prˇi na´vratu se nevracı´ azˇ nad vyćhozı´ polıćˇko. Prˇi oznacˇovańı´ na´sledujıćı´ho pa´ru pak vykona´ (n − 3) + (n − 4) kroku˚, atd. 2 TS T tedy v 1. fa´zi vykonal celkem n+n+(n−1)+. . .+3+2 = n+ (n−1)∗(n+2) = n +3n−2 2 2 vy´pocˇetnıćh kroku˚. Ve 2. fa´zi TS T porovna´va´ 1. polovinu slova s 2. polovinou. Prˇed vlastnı´m porovna´vańı´m vsˇak prˇesune cˇtecı´ hlavu n2 − 1 kroky nad 1. symbol. Prˇi porovna´vańı´ symbolu˚ na stejnyćh pozicıćh vzˇdy vykona´: 1) n2 kroku˚ potrˇebnyćh pro prˇesun nad stejnou pozici v 2. polovineˇ slova. 2) 1 krok doprava pro kontrolu, jestli nenı´ porovna´vańı´ hotovo; v kladne´m prˇ´ıpadeˇ provede jesˇteˇ 1 krok, ktery´m prˇejde do prˇijı´majıćı´ho stavu. 3) n2 + 1 kroku˚ pro na´vrat nad poslednı´ porovna´vany´ symbol z 1. poloviny slova. 4) 1 krok doprava nad dalsˇ´ı porovna´vany´ symbol.

69

Cˇasova´ a pameˇt’ova´ slozˇitost

Pocˇty kroku˚ popsane´ pod body 1) – 4) vykona´ TS T pro vstupnı´ slovo patrˇ´ıcı´ do jazyka L celkem ( n2 − 1)-kra´t, prˇi porovna´vańı´ symbolu˚ na poslednıćh pozicıćh totizˇ provede pouze kroky popsane´ pod body 1) a 2), nebot’bod 2) je zakoncˇen u´speˇsˇnou kontrolou. Na 2. fa´zi tak 2 prˇipada´ celkem n2 − 1 + ( n2 − 1) ∗ ( n2 + 1 + n2 + 1 + 1) + n2 + 2 = n +3n−4 vy´pocˇetnıćh kroku˚. 2 Pokud by vstupnı´ slovo nepatrˇilo do jazyka L, bud’ by byl pocˇet vykonanyćh kroku˚ ve 2. fa´zi mensˇ´ı, nebo by se TS T ke 2. fa´zi vu˚bec nedostal. Z toho plyne, zˇe pocˇet kroku˚ vy´pocˇtu stroje T (prˇedstavujıćı´ho zde algoritmus) pro libovolne´ vstupnı´ slovo de´lky n cˇinı´ nejvy´sˇe 2 n2 +3n−2 + n +3n−4 = n2 + 3n − 3. 2 2 Pru˚vodce studiem Prˇipada´ va´m takove´ pocˇ´ıtańı´ dost u´morne´? Neveˇsˇte hlavu, tı´mto zpu˚sobem se pocˇ´ıtańı´ slozˇitosti algoritmu standardneˇ neprova´dı´. Jak vyplyne z dalsˇ´ıch u´vah, budeme ignorovat koeficienty a konstanty, ktere´ by se snad ve vy´razu popisujıćı´m takovou slozˇitost meˇly objevit. Tj. budeme uvazˇovat pouze rˇa´dovou velikost – pro prˇedchozı´ prˇ´ıklad bychom tedy uva´deˇli vy´sledek „rˇa´doveˇ“ n2 . Popula´rneˇ rˇecˇeno, budeme „bezostysˇneˇ“ (a nad obvyklou mı´ru) „zaokrouhlovat“. Prˇesveˇdcˇenı´ o rozumnosti uvedene´ho prˇ´ıstupu snad ve va´s prˇ´ıklad 3.1 posı´lil.

V prˇ´ıkladu 3.1 lze vysledovat neˇktere´ z na´sledujıćıćh rysu˚, jezˇ budeme pouzˇ´ıvat pro popis slozˇitosti algoritmu˚: • Algoritmus budeme reprezentovat pomocı´ Turingova stroje. Hlavnı´m du˚vodem je to, zˇe jsme si jiny´ forma´lnı´ model algoritmu ani nezavedli. Je sice pravda, zˇe s jiny´m modelem algoritmu bychom mohli zı´skat odlisˇne´ vy´sledky, ne vsˇak natolik odlisˇne´, abychom na´sledneˇ obdrzˇeli jine´ trˇ´ıdy slozˇitostı´ nezˇ ke ktery´m v textu smeˇrˇujeme (Konkre´tneˇ ma´me na mysli trˇ´ıdy P a NP.). • Cˇasovou slozˇitost kazˇde´ho algoritmu budeme vztahovat k velikosti vstupnıćh dat, tj. v prˇ´ıpadeˇ TS k velikosti vstupnıćh slov. Dopousˇtı´me se tı´m jiste´ho zjednodusˇenı´, protozˇe tı´m zcela pomı´jı´me skutecˇnost, zˇe stejna´ de´lka dvou vstupnıćh slov (prˇedstavujıćıćh naprˇ. zako´dovańı´ dvou grafu˚, jednak jednoduche´ho s minimem hran, jednak slozˇiteˇjsˇ´ıho s meńeˇ vrcholy a vıće hranami) mu˚zˇe ve´st k naprosto rozdı´lne´ cˇasove´ na´rocˇnosti. U zako´dovańı´ libovolnyćh objektu˚ budeme prˇedpokla´dat, zˇe je provedeno „rozumneˇ“ (naprˇ´ıklad zako´dovańı´ cˇ´ısla 7 v podobeˇ bina´rnı´ho za´pisu 111 povazˇujeme za rozumne´ na rozdı´l od una´rnı´ho za´pisu 1111111). • Algoritmus budeme analyzovat z hlediska chovańı´ v nejhorsˇ´ım prˇ´ıpadeˇ, tj. cˇasovou slozˇitost pro kazˇde´ n ∈ N polozˇ´ıme rovnu de´lce nejdelsˇ´ıho mozˇne´ho vy´pocˇtu ze vsˇech vy´pocˇtu˚ TS pro vstupnı´ slova de´lek n. Tı´m budeme mı´t zarucˇeno, zˇe na´mi dosazˇene´ vy´sledky budou prˇedstavovat hornı´ hranici, neprˇekrocˇitelnou bez ohledu na to, jake´ („sebebizarneˇjsˇ´ı “) slovo bude na vstupu. • U funkcı´ popisujıćıćh cˇasovou slozˇitost budeme uvazˇovat pouze jejich rˇa´dovou velikost, tj. naprˇ´ıklad slozˇitosti lisˇ´ıcı´ se konstantnı´m na´sobkem budeme povazˇovat za stejne´. Pru˚vodce studiem Vidı´te mohutnost zjednodusˇenı´ plynoucı´ho z poslednı´ho bodu? Jeho hlavnı´m cı´lem je podstatneˇ redukovat mnozˇstvı´ funkcı´ pouzˇ´ıvanyćh k popisu˚m slozˇitostı´ algoritmu˚. Jestlizˇe ma´te pocit, zˇe s uvedeny´m zjednodusˇovańı´m nemu˚zˇeme zı´skat zˇa´dne´ rozumne´ vy´sledky, budete prˇekvapeni. (Jen vy´jimecˇneˇ by totizˇ proble´my z beˇzˇne´ praxe vedly k algoritmu˚m se slozˇitostı´ naprˇ. 1010 · n2 .)

70

Charakteristika zkoumańı´ slozˇitosti algoritmu˚

V na´sledujıćı´ definici jednak prˇesneˇ popı´sˇeme, jak budeme funkce rˇa´doveˇ porovna´vat, jednak zavedeme prˇ´ıslusˇna´ znacˇenı´ 15 Definice 3.2. Necht’ f, g jsou dveˇ funkce, ktere´ prˇirˇazujı´ neza´porny´m cely´m cˇ´ıslu˚m rea´lna´ cˇ´ısla. Pak ˇrekneme, zˇe

Rˇa´dove´ porovna´vańı´ funkcı´

• funkce f roste rˇa´doveˇ nejvy´sˇe jako funkce g, a pı´sˇeme f (n) = O(g(n)), pra´veˇ kdyzˇ existujı´ cˇ´ısla K > 0 a n0 ∈ N takova´, zˇe pro kazˇde´ prˇirozene´ cˇ´ıslo n ≥ n0 platı´ f (n) ≤ K · g(n), • funkce f roste rˇa´doveˇ asponˇ jako funkce g, a pı´sˇeme f (n) = Ω(g(n)), pra´veˇ kdyzˇ existujı´ cˇ´ısla k > 0 a n0 ∈ N takova´, zˇe pro kazˇde´ prˇirozene´ cˇ´ıslo n ≥ n0 platı´ f (n) ≥ k · g(n), • funkce f roste rˇa´doveˇ stejneˇ 16 jako funkce g, a pı´sˇeme f (n) = Θ(g(n)), pra´veˇ kdyzˇ f (n) = O(g(n)) a f (n) = Ω(g(n)). Pru˚vodce studiem Uvedena´ rˇa´dova´ srovnańı´ prˇedevsˇ´ım popisujı´ chovańı´ uvedenyćh funkcı´ pro dostatecˇneˇ vysoka´ n (prˇesneˇji, pro vsˇechna prˇirozena´ n od jiste´ho n0 pocˇ´ınaje), prˇitom vsˇak za ućˇelem pozˇadovane´ho vy´sledku „ma´me povoleno“ na´sobit funkci g libovolnou kladnou konstantou. Prˇ´ıklad 3.3. Podı´vejme se na rˇa´dove´ srovnańı´ funkcı´ f (n) = 3n3 − n2 + 2n a g(n) = n3 . Jak uzˇ napovı´da´ na´zev „rˇa´dove´ srovnańı´“, zrˇejmeˇ bychom meˇli porovna´vat nejvysˇsˇ´ı rˇa´dy uvedenyćh polynomickyćh funkcı´. Jak f tak g ma´ nejvysˇsˇ´ı rˇa´d roven 3, meˇlo by tedy jı´t o funkce rˇa´doveˇ stejne´. Oveˇrˇme spra´vnost tohoto za´veˇru za pomoci definice 3.2. Ma´me-li proka´zat, zˇe funkce f roste rˇa´doveˇ nejvy´sˇe jako g, musı´me najı´t prˇirozena´ cˇ´ısla K a n0 takova´, zˇe pro kazˇde´ prˇirozene´ cˇ´ıslo n ≥ n0 platı´ 3n3 − n2 + 2n ≤ K · n3 . ´ pravou uvedene´ nerovnice dostaneme U n3 (K − 3) + n2 − 2n ≥ 0. Pro K = 4 postupneˇ ma´me: n3 + n2 − 2n ≥ 0, n(n2 + n − 2) ≥ 0, n(n + 2)(n − 1) ≥ 0. Jelikozˇ je poslednı´ nerovnice splneˇna pro K = 4 a pro vsˇechna n ≥ n0 = 1, platı´ f (n) = O(g(n)). Du˚kaz toho, zˇe funkce f roste rˇa´doveˇ asponˇ jako g, se provede obdobneˇ. 3.1.1

Slozˇitost Turingova stroje a nedeterministicke´ho Turingova stroje

Chceme-li pouzˇ´ıvat jako forma´lnı´ model algoritmu Turingu˚v stroj, musı´me definovat slozˇitost nikdy necyklıćı´ho Turingova stroje. Definice 3.4. Necht’ T je TS, ktery´ pro kazˇde´ vstupnı´ slovo zastavı´. Cˇasovou slozˇitostı´ T nazveme funkci f (prˇirˇazujıćı´ kazˇde´mu neza´porne´mu cele´mu cˇ´ıslu neza´porne´ cele´ cˇ´ıslo) takovou, zˇe pro kazˇde´ n ∈ N0 je f (n) = max {k ∈ N0 ; TS T pro vstupnı´ slovo w de´lky n zastavı´ po k vy´pocˇetnıćh krocıćh}. 15 16

Uva´deˇne´ znacˇenı´ by´va´ beˇzˇneˇ nazy´vańo „velkou O-notacı´“ nebo „asymptotickou notacı´“. Pouzˇ´ıvajı´ se take´ pojmy rˇa´doveˇ ekvivalentnı´ nebo asymptoticky ekvivalentnı´ funkce.

71

Slozˇitost definujeme jen pro necyklıćı´ TS!

Definice slozˇitosti TS pomocı´ chovańı´ v nejhorsˇ´ım prˇ´ıpadeˇ

Pru˚vodce studiem Vsˇ´ıma´te si, zˇe pra´veˇ uvedena´ slozˇitost algoritmu (prˇedstavovane´ho nikdy necyklıćı´m TS) je skutecˇneˇ definovańa prostrˇednictvı´m „nejhorsˇ´ıho mozˇne´ho prˇ´ıpadu“, ktery´ se mu˚zˇe vyskytnout mezi vsˇemi vstupnı´mi daty o stejne´ velikosti n? Nejhorsˇ´ım mozˇny´m prˇ´ıpadem tady rozumı´me nejdelsˇ´ı mozˇny´ vy´pocˇet.

Kvu˚li definici jedne´ velmi uzˇitecˇne´ trˇ´ıdy slozˇitosti (a sice NP) budeme potrˇebovat zave´st rovneˇzˇ pojem cˇasove´ slozˇitosti nedeterministicke´ho Turingova stroje. Definice 3.5. Necht’ T je NTS, ktery´ ma´ pro kazˇde´ vstupnı´ slovo konecˇne´ vsˇechny vy´pocˇetnı´ veˇtve. Cˇasovou slozˇitostı´ T nazveme funkci f (prˇirˇazujıćı´ kazˇde´mu neza´porne´mu cele´mu cˇ´ıslu neza´porne´ cele´ cˇ´ıslo) takovou, zˇe pro kazˇde´ n ∈ N0 je f (n) = max {k ∈ N0 ; maxima´lnı´ pocˇet kroku˚ vy´pocˇtu T pro vstupnı´ slovo w, jezˇ ma´ de´lku n, sesta´va´ z k kroku˚}. Pru˚vodce studiem Uvedena´ definice si zasluhuje trochu pozornosti prˇi cˇtenı´. Obsahuje totizˇ dveˇ do sebe vnorˇene´ u´rovneˇ. Nizˇsˇ´ı u´rovenˇ je prˇedstavovańa cˇ´ıslem k, jezˇ znamena´ nejdelsˇ´ı veˇtev ze vsˇech vy´pocˇetnıćh veˇtvı´ stroje T pro konkre´tnı´ slovo w. Slovo w musı´ mı´t de´lku n, abychom je vu˚bec mohli zohlednˇovat. Povsˇimneˇte si za´rovenˇ, zˇe po zminˇovane´ nejdelsˇ´ı vy´pocˇetnı´ veˇtvi vu˚bec nepozˇadujeme, aby koncˇila konfiguracı´ s prˇijı´majıćı´m stavem. A vysˇsˇ´ı u´rovenˇ? Vzhledem k tomu, zˇe nad m-prvkovou vstupnı´ abecedou existuje pra´veˇ n m ru˚znyćh vstupnıćh slov de´lky n, je f (n) rovno maximu mn -prvkove´ mnozˇiny zahrnujıćı´ cˇ´ısla k prˇ´ıslusˇna´ oneˇm slovu˚m de´lky n. Definice 3.6. Necht’ T je TS (resp. NTS) s cˇasovou slozˇitostı´ f . O stroji T prohla´sı´me, zˇe ma´ polynomickou cˇasovou slozˇitost, pra´veˇ kdyzˇ existuje polynom p takovy´, zˇe f (n) ≤ p(n) pro vsˇechna n ∈ N0 . Pru˚vodce studiem Jestlizˇe tedy neˇjaky´ deterministicky´ nebo nedeterministicky´ Turingu˚v stroj pracuje s polynomickou cˇasovou slozˇitostı´, ma´te zarucˇenu existenci takove´ho polynomu p, zˇe libovolne´ slovo de´lky n je dany´m strojem „zpracovańo“ v cˇase nejvy´sˇe p(n).

Shrnutı´ Rozlisˇujeme cˇasovou a pameˇt’ovou slozˇitost algoritmu˚. V prˇ´ıpadeˇ cˇasove´ slozˇitosti na´s zajı´ma´ pocˇet elementa´rnıćh kroku˚ algoritmu potrˇebny´ k provedenı´ vy´pocˇtu. Slozˇitost by´va´ standardneˇ popisovańa jako funkce za´visla´ na velikosti vstupnıćh dat algoritmu a u te´to funkce by´va´ uvazˇovańa pouze jejı´ rˇa´dova´ velikost. Prˇi rˇa´dove´m porovna´vańı´ funkcı´, zjednodusˇeneˇ rˇecˇeno, nezohlednˇujeme koeficienty na´sobıćı´ porovna´vane´ funkce a zjisˇt’ujeme vza´jemny´ vztah jejich funkcˇnıćh hodnot pro dostatecˇneˇ vysoke´ argumenty. Cˇasovou slozˇitost nikdy necyklıćı´ho TS (resp. NTS, jehozˇ vy´pocˇetnı´ veˇtve jsou konecˇne´ pro libovolne´ vstupnı´ slovo) T definujeme jako funkci f takovou, zˇe T pro zˇa´dne´ vstupnı´ slovo de´lky n nevykona´ vıće nezˇ f (n) kroku˚ vy´pocˇtu (v prˇ´ıpadeˇ NTS pak nema´ zˇa´dna´ vy´pocˇetnı´ veˇtev de´lku veˇtsˇ´ı nezˇ f (n)). 72

Slozˇitost definovańa jen pro NTS bez „cyklıćıćh veˇtvı´“.

O TS (resp. NTS) rˇ´ıka´me, zˇe pracuje s polynomickou cˇasovou slozˇitostı´, pokud existuje polynom p takovy´, zˇe libovolne´ slovo de´lky n je dany´m strojem „zpracovańo“ v cˇase nejvy´sˇe p(n). Pojmy k zapamatovańı´ • O-notace, • cˇasova´ slozˇitost TS a NTS, • polynomicka´ cˇasova´ slozˇitost. Kontrolnı´ ota´zky 1. Jaka´ je cˇasova´ slozˇitost TS, jehozˇ pocˇa´tecˇnı´ stav je totozˇny´ s prˇijı´majıćı´m stavem? Cvicˇenı´ 1. Zjisteˇte, zda jsou funkce f (n) = 1 a g(n) = 5 rˇa´doveˇ stejne´.

´ koly k textu U 1. Oveˇrˇte platnost vztahu f (n) = Ω(g(n)) v prˇ´ıkladu 3.3.

ˇ esˇenı´ R 1. Jsou ˇra´doveˇ stejne´, nebot’ nerovnosti k · 5 ≤ 1 ≤ K · 5 platı´ pro k = 15 , K = 1 a pro vsˇechna prˇirozena´ cˇ´ısla n ≥ n0 = 1.

3.2

Trˇ´ıdy slozˇitostı´ P a NP

Studijnı´ cı´le: Po prostudovańı´ kapitoly bude studujıćı´ rozumeˇt du˚vodu˚m vedoucı´m k zavedenı´ trˇ´ıd slozˇitostı´ P a NP. Bude umeˇt tyto trˇ´ıdy definovat a bude umeˇt popsat, co je zna´mo o jejich vza´jemne´m vztahu. Klıćˇova´ slova: Trˇ´ıda P, trˇ´ıda NP. Potrˇebny´ cˇas: 45 minut. Existuje neprˇeberne´ mnozˇstvı´ algoritmu˚ s nejru˚zneˇjsˇ´ımi slozˇitostmi. Pozˇadavek kategorizace algoritmu˚ do prˇijatelneˇ male´ho pocˇtu trˇ´ıd slozˇitostı´ se tedy jevı´ rozumneˇ. Nejjednodusˇsˇ´ı mozˇne´ deˇlenı´ by zrˇejmeˇ rozdeˇlilo algoritmy na rychle´ a pomale´. Jenzˇe co si prˇedstavit pod pojmem pomaly´ algoritmus? Je to ten, ktery´ na´m na stolnı´m pocˇ´ıtacˇi pobeˇzˇ´ı 1 hodinu, 1 rok nebo snad 1000 let? Zrˇejmeˇ je nutne´ nale´zt neˇjakou deˇlıćı´ cˇa´ru, ktera´ by oddeˇlila pomale´ algoritmy od rychlyćh a prˇitom meˇla dlouhodobeˇjsˇ´ı platnost, protozˇe neˇktere´ algoritmy, jezˇ na´m z dnesˇnı´ho pohledu prˇipadajı´ pomale´, se mohou jevit s moderneˇjsˇ´ımi a rychlejsˇ´ımi vy´pocˇetnı´mi syste´my jako dostatecˇneˇ rychle´. Za´sadnı´ krok vedoucı´ k neza´vislosti na konkre´tnıćh rea´lnyćh pocˇ´ıtacˇ´ıch jsme jizˇ vykonali tı´m, zˇe jsme si vybrali jako model pro zkoumańı´ slozˇitosti algoritmu˚ Turingu˚v stroj. Nicmeńeˇ ota´zka, co povazˇovat za pomaly´ a co za rychly´ algoritmus, prˇetrva´va´. Podı´vejme se na ni tedy podrobneˇji prostrˇednictvı´m neˇkolika na´zornyćh tabulek. Prˇedstavme si pocˇ´ıtacˇ, u neˇjzˇ trva´ provedenı´ 1 instrukce 1 nanosekundu. Je-li pocˇet instrukcı´ potrˇebnyćh k vy´pocˇtu algoritmu pro vstupnı´ data o velikosti n popsań funkcı´ f (n), pak tabulka 2 uda´va´ celkovy´ vy´pocˇetnı´ cˇas pro ru˚zna´ n a f (n). Na za´kladeˇ tabulky 2 cˇtena´rˇ nejspı´sˇ jako rozumne´ krite´rium dostatecˇne´ rychlosti algoritmu uzna´ pozˇadavek, aby cˇasova´ slozˇitost byla popsańa nejvy´sˇe polynomickou funkcı´.

73

f (n)

20

40

60

n 80

n n2 n3 n5 2n n!

20 ns 0,4 µs 8 µs 3,2 ms 1 ms 77 let

40 ns 1,6 µs 6,4 µs 0,1 s 18 min

60 ns 3,6 µs 0,22 ms 0,8 s 37 let

80 ns 6,4 µs 0,5 ms 3,3 s 14·109 let

100

500

1 000

0,1 µs 10 µs 1 ms 10 s

0,5 µs 0,25 ms 0,125 s 9 hodin

1 µs 1 ms 1s 12 dnı´

Tabulka 2: Porovnańı´ de´lek vy´pocˇtu˚ u algoritmu˚ s ru˚znou cˇasovou na´rocˇnostı´

Pru˚vodce studiem Krite´rium prakticky pouzˇitelny´ algoritmus = algoritmus s nejvy´sˇe polynomickou cˇasovou slozˇitostı´ pochopitelneˇ nelze bra´t jako dogma. U funkcı´ f1 (n) = 2100 · n 0,0001 4 f2 (n) = 2n (= 210 pro n = 1010 ) byste asi dlouho neprˇemy´sˇleli, ktera´ z nich popisuje sˇikovneˇjsˇ´ı algoritmus. Je ovsˇem pravdou, zˇe znacˇna´ cˇa´st zna´myćh algoritmu˚, jezˇ pracujı´ v polynomicke´m cˇase, ma´ slozˇitost popsańu polynomem se stupneˇm nejvy´sˇe 4.

Jesˇteˇ prˇesveˇdcˇiveˇjsˇ´ı je tabulka 3, ktera´ zna´zornˇuje vliv zrychlovańı´ vy´pocˇetnıćh syste´mu˚ na rozsah dat zpracovatelnyćh pomocı´ algoritmu˚ s polynomicky´mi i horsˇ´ımi cˇasovy´mi slozˇitostmi. Funkce f vzˇdy uda´va´ prˇ´ıslusˇnou cˇasovou slozˇitost, na odpovı´dajıćıćh rˇa´dcıćh tabulky je pak velikost dat zpracovatelnyćh algoritmem se slozˇitostı´ f za prˇedem dany´ cˇasovy´ limit.

f (n) n n2 n3 n5 2n n!

zrychlenı´ vy´pocˇtu 1x 100 x 1000 x 100 100 100 100 100 100

10 000 1 000 464 251 106 100

100 000 3 162 1 000 398 109 101

Tabulka 3: Zveˇtsˇenı´ rozsahu zpracovatelnyćh dat prˇi 100kra´t a 1000kra´t rychlejsˇ´ıch pocˇ´ıtacˇ´ıch

Pru˚vodce studiem V tabulce 3 je videˇt, zˇe uzˇ pro exponencia´lnı´ algoritmy je typicka´ existence meznı´ velikosti vstupnıćh dat, nad nı´zˇ je u´loha prakticky nerˇesˇitelna´ i prˇi zvy´sˇenı´ rychlosti pocˇ´ıtacˇe o neˇkolik ˇra´du˚. Nynı´ mu˚zˇeme prˇistoupit k definici trˇ´ıdy zahrnujıćı´ vsˇechny proble´my rˇesˇitelne´ v polynomicke´m cˇase. Definice 3.7. Trˇ´ıdu vsˇech jazyku˚ prˇijı´manyćh (deterministicky´mi!) Turingovy´mi stroji s polynomicky´mi cˇasovy´mi slozˇitostmi nazy´va´me trˇ´ıdou P. 74

Trˇ´ıda P

Pru˚vodce studiem Do trˇ´ıdy P tedy zarˇadı´me kazˇdy´ jazyk, ktery´ je prˇijı´mań neˇjaky´m TS s polynomickou cˇasovou slozˇitostı´, a zˇa´dny´ jiny´. Pokud v tuto chvı´li prˇemy´sˇlı´te nad tı´m, zˇe TS prˇijı´majıćı´ neˇjaky´ jazyk mu˚zˇe pro neˇktera´ vstupnı´ slova cyklit, prˇipomenˇte si definici TS majıćı´ho polynomickou cˇasovou slozˇitost – tuto vlastnost jsme definovali pouze pro nikdy necyklıćı´ TS (viz definice 3.4 a 3.6). Pozna´mka 3.8. Poslednı´ definici mu˚zˇeme pouzˇ´ıt k definici trˇ´ıdy proble´mu˚ P. Veˇta 2.24 totizˇ da´va´ do souvislosti rˇesˇitelne´ proble´my a rekurzivnı´ jazyky. Jestlizˇe tedy jazyk „prˇ´ıslusˇny´“ k neˇjake´mu proble´mu patrˇ´ı do trˇ´ıdy P, zarˇadı´me onen proble´m do trˇ´ıdy proble´mu˚ P. Pru˚vodce studiem Potrˇebujete-li kratsˇ´ı popis trˇ´ıdy proble´mu˚ P, jednodusˇe do nı´ zarˇad’te vsˇechny proble´my rˇesˇitelne´ (deterministicky´mi) Turingovy´mi stroji s polynomicky´mi cˇasovy´mi slozˇitostmi. Vzhledem k tomu, zˇe TS s polynomickou cˇasovou slozˇitostı´ nikdy necyklı´, prˇedstavuje vlastneˇ jisty´ algoritmus pracujıćı´ „v polynomicke´m cˇase“. Jestli va´s napadlo, zda nelze trˇ´ıdu P definovat pomocı´ algoritmu˚ s polynomickou cˇasovou slozˇitostı´, pak va´s jisteˇ poteˇsˇ´ı kladna´ odpoveˇd’ – jen je trˇeba mı´t zavedenu „rozumnou“ definici teˇchto algoritmu˚ vcˇetneˇ polynomicke´ cˇasove´ slozˇitosti.

K definici dalsˇ´ı, bohatsˇ´ı trˇ´ıdy jazyku˚ na´m velice dobrˇe poslouzˇ´ı NTS. Definice 3.9. Trˇ´ıdu vsˇech jazyku˚ prˇijı´manyćh nedeterministicky´mi Turingovy´mi stroji s polynomicky´mi cˇasovy´mi slozˇitostmi nazy´va´me trˇ´ıdou17 NP.

Trˇ´ıda NP

Pru˚vodce studiem Do trˇ´ıdy NP tedy zarˇadı´me kazˇdy´ jazyk, ktery´ je prˇijı´mań neˇjaky´m NTS s polynomickou cˇasovou slozˇitostı´, a zˇa´dny´ jiny´. Pozna´mka 3.10. I v prˇ´ıpadeˇ definice trˇ´ıdy proble´mu˚ NP vyuzˇijeme veˇtu 2.24. Tj., jestlizˇe jazyk „prˇ´ıslusˇny´“ k neˇjake´mu proble´mu patrˇ´ı do trˇ´ıdy NP, zarˇadı´me onen proble´m do trˇ´ıdy proble´mu˚ NP.

Pru˚vodce studiem Typicky´m prˇedstavitelem trˇ´ıdy NP je proble´m, pro jehozˇ vyrˇesˇenı´ je zna´m algoritmus pracujıćı´ tzv. metodou „hrube´ sı´ly“, tj. algoritmus probı´rajıćı´ vsˇechny existujıćı´ varianty vedoucı´ k mozˇne´mu rˇesˇenı´ (naprˇ. 2n existujıćıćh podmnozˇin mnozˇiny s n prvky). Prˇitom vsˇak musı´ by´t splneˇna podmıńka, zˇe oveˇrˇenı´ spra´vnosti kazˇde´ z teˇchto variant vyzˇaduje nejvy´sˇe polynomicky´ cˇas. Popisovanou situaci va´m le´pe osveˇtlı´ prˇ´ıklad po na´sledujıćı´ definici. Definice 3.11. Klikou v neorientovane´m grafu G = (V, E) rozumı´me takovou podmnozˇinu K mnozˇiny vrcholu˚ V , zˇe kazˇde´ dva ru˚zne´ vrcholy z K jsou spojeny hranou (z E). 17 Oznacˇenı´ trˇ´ıd P a NP je zkratkou slov polynomicky´ a nedeterministicky polynomicky´. Vzhledem k tomu, zˇe jde o trˇ´ıdy proble´mu˚ definovanyćh pomocı´ cˇasovyćh slozˇitostı´, jsou pro neˇ uzˇ´ıvańy rovneˇzˇ na´zvy PTIME a NPTIME.

75

Metoda „hrube´ sı´ly“ a trˇ´ıda NP

Pru˚vodce studiem Jinak ˇrecˇeno, klika je takovy´ podgraf grafu G, ktery´ je u´plny´. Prˇ´ıklad 3.12. Oveˇrˇte, zˇe jazyk L = {hG, ki; G je neorientovany´ graf s klikou o k vrcholech} je z trˇ´ıdy NP. Pro oveˇrˇenı´ prˇ´ıslusˇnosti k trˇ´ıdeˇ NP musı´me by´t schopni nale´zt NTS s polynomickou cˇasovou slozˇitostı´, ktery´ prˇijı´ma´ jazyk L. Pozˇadovane´ podmıńky splnˇuje NTS T , ktery´ pro vstupnı´ slovo hG, ki, kde G je neorientovany´ graf a k ∈ N: 1) Nedeterministicky vybere mnozˇinu C obsahujıćı´ k vrcholu˚ z grafu G. 2) Oveˇrˇ´ı, zda jsou v grafu G vsˇechny vrcholy z C navza´jem pospojovańy hranami. Pokud ano, NTS T prˇijı´ma´ vstupnı´ slovo hG, ki; jinak T zamı´ta´ hG, ki. NTS T evidentneˇ prˇijı´ma´ jazyk L. Zby´va´ na´m pouze proka´zat, zˇe NTS T ma´ polynomickou cˇasovou slozˇitost: Provedenı´ bodu 1) si lze prˇedstavit na´sledovneˇ: NTS T si v prvnı´m kroku nedeterministicky vybere, zda oznacˇ´ı nebo neoznacˇ´ı 1. vrchol grafu G, ve druhe´m kroku nedeterministicky vybere, zda oznacˇ´ı nebo neoznacˇ´ı 2. vrchol, atd. V prˇ´ıpadeˇ oznacˇenı´ vrcholu pokazˇde´ zvy´sˇ´ı hodnotu pomocne´ promeˇnne´ o 1 a na´sledneˇ kontroluje, jestli uvedena´ promeˇnna´ nedosa´hla hodnoty k – pokud ano, vybı´rańı´ mnozˇiny C je u konce; v opacˇne´m prˇ´ıpadu pokracˇuje cˇinnost stroje T dalsˇ´ım nedeterministicky´m vy´beˇrem (je-li ovsˇem jesˇteˇ k dispozici neˇjaky´ dosud neuvazˇovany´ vrchol; nenı´-li, prˇ´ıslusˇna´ nedeterministicka´ veˇtev vy´pocˇtu koncˇ´ı bez vy´beˇru mnozˇiny C). Popsany´ postup vyzˇaduje projı´t u´sek vstupnı´ho slova, prˇedstavujıćı´ho zako´dovańı´ mnozˇiny vrcholu˚ grafu G – vsˇe nejle´pe vynikne, kdyzˇ si tento u´sek prˇedstavı´me v podobeˇ ko´du˚ jednotlivyćh vrcholu˚. Zminˇovany´ u´sek tvorˇ´ı pouze cˇa´st cele´ho vstupnı´ho slova (de´lky n), a jeho de´lka je tedy kratsˇ´ı nezˇ n. Samotne´ oznacˇenı´ k vrcholu˚ by proto meˇlo zabrat meńeˇ kroku˚ nezˇ je neˇjaky´ na´sobek cˇ´ısla n, k tomu je ovsˇem nutno prˇipocˇ´ıst k-na´sobnou kontrolu, prˇi nı´zˇ cˇtecı´ hlava musı´ pokazˇde´ absolvovat cestu za vstupnı´ slovo nad cˇa´st pa´sky s pomocnou promeˇnnou, upravit ji a vra´tit se zpa´tky, tj. cestu de´lky zhruba 2n. Celkem tedy vycha´zı´ na kontrolu zhruba k · 2n dalsˇ´ıch kroku˚ cˇili rˇa´doveˇ n2 , nebot’ k = O(n). Dohromady tak dosta´va´me rˇa´doveˇ n kroku˚ (pro oznacˇovańı´ vrcholu˚) + n2 kroku˚ (pro kontrolu pomocne´ promeˇnne´), tj. rˇa´doveˇ n2 . Bod 2) lze realizovat na´sledovneˇ: Pro kazˇdy´ oznacˇeny´ vrchol musı´ NTS prove´st kontrolu, zda je spojen hranou s ostatnı´mi oznacˇeny´mi vrcholy. Prˇesneˇji, pro 1. vrchol musı´ prove´st k−1 kontrol, pro 2. vrchol k−2 kontrol, atd. azˇ pro (k − 1). vrchol 1 kontrolu. Uvedene´ pocˇty tvorˇ´ı aritmetickou rˇadu se soucˇtem k(k−1) . Provedenı´ jedne´ kontroly pro proveˇrˇovany´ vrchol prˇitom znamena´ cestu 2 cˇtecı´ hlavy nad odpovı´dajıćı´ u´sek zako´dovane´ mnozˇiny hran a na´vrat zpeˇt, tj. zhruba 2n kroku˚. Protozˇe k = O(n), dosta´va´me pro celkovou kontrolu (hran) rˇa´doveˇ n3 kroku˚. Pro bod 1) tedy dosta´va´me rˇa´doveˇ kvadraticky´ pocˇet a pro bod 2) kubicky´ pocˇet jistyćh kroku˚ – ty ovsˇem neprˇedstavujı´ konkre´tnı´ kroky vy´pocˇtu Turingova stroje T , nebot’oznacˇenı´ vrcholu zako´dovane´ho ˇreteˇzem de´lky 3 mu˚zˇe by´t provedeno naprˇ´ıklad oznacˇenı´m kazˇde´ho symbolu pouzˇite´ho v zako´dovańı´ (tj. alesponˇ trˇemi vy´pocˇetnı´mi kroky) nebo jesˇteˇ na´zorneˇji: nalezenı´ oznacˇene´ho vrcholu v mnozˇineˇ hran znamena´ nalezenı´ rˇeteˇzu jiste´ho tvaru. TS vsˇak mu˚zˇe hledat pouze konkre´tnı´ pa´skovy´ symbol, tedy naprˇ. 1. symbol hledane´ho rˇeteˇzu. Najde-li jej, musı´ se cˇtecı´ hlava vracet na vyćhozı´ mı´sto pa´sky pro informaci o 2. symbolu rˇeteˇzu, s touto informacı´ se pak zase vracı´ za nalezeny´ 1. symbol kvu˚li proveˇrˇenı´ 2. symbolu, atd. Nalezenı´ konkre´tnı´ho 76

podrˇeteˇzu de´lky k ve sloveˇ de´lky n tak znamena´ provedenı´ nejmeńeˇ 2kn vy´pocˇetnıćh kroku˚ TS. Nenı´ vsˇak teˇzˇke´ oveˇrˇit, zˇe kazˇdy´ krok popisovany´ v bodech 1) a 2) lze prove´st pomocı´ nejvy´sˇe polynomicke´ho pocˇtu kroku˚ vy´pocˇtu Turingova stroje T . TS T ma´ tedy skutecˇneˇ polynomickou cˇasovou slozˇitost. Uvedeny´ prˇ´ıklad celkem dobrˇe demonstruje dveˇ prˇirozene´ fa´ze obvykle´ho zpu˚sobu rˇesˇenı´ proble´mu z trˇ´ıdy NP: 1) nedeterministicky´ vy´beˇr konkre´tnı´ varianty prˇicha´zejıćı´ v u´vahu jako mozˇne´ rˇesˇenı´, 2) deterministicke´ proveˇrˇenı´, jestli ma´ zvolena´ varianta rˇesˇenı´ ANO. Obeˇ fa´ze musı´ by´t pochopitelneˇ proveditelne´ v nejvy´sˇe polynomicke´m cˇase. Pozna´mka 3.13. Pro oveˇrˇenı´ prˇ´ıslusˇnosti konkre´tnı´ho proble´mu k trˇ´ıdeˇ NP dokonce stacˇ´ı nale´zt TS (cˇi algoritmus), ktery´ pro libovolny´ prˇ´ıpad dane´ho proble´mu a libovolny´ „na´vrh rˇesˇenı´“ doka´zˇe v polynomicke´m cˇase proveˇrˇit spra´vnost tohoto rˇesˇenı´. Namı´sto nedeterministicke´ho algoritmu hledajıćı´ho konkre´tnı´ variantu rˇesˇenı´ a na´sledneˇ proveˇrˇujıćı´ho spra´vnost te´to varianty se tak dosta´va´me k deterministicke´mu algoritmu oveˇrˇujıćı´mu (v polynomicke´m cˇase) pouze spra´vnost prˇedlozˇene´ varianty rˇesˇenı´. To, zˇe v obou prˇ´ıpadech dostaneme stejnou trˇ´ıdu proble´mu˚ (a sice NP), je du˚sledkem na´sledujıćıćh u´vah. 1) Existuje-li k dane´mu proble´mu NTS, ktery´ v polynomicke´m cˇase nedeterministicky vybı´ra´ konkre´tnı´ variantu rˇesˇenı´, a pak deterministicky proveˇrˇuje jejı´ spra´vnost, jisteˇ k te´muzˇ proble´mu a konkre´tnı´ varianteˇ rˇesˇenı´ existuje TS, ktery´ v polynomicke´m cˇase proveˇrˇ´ı spra´vnost tohoto rˇesˇenı´. 2) Jestlizˇe k dane´mu proble´mu P existuje TS T s polynomickou cˇasovou slozˇitostı´ p(n), jenzˇ pro kazˇdy´ prˇ´ıpad proble´mu P a pro kazˇdy´ na´vrh rˇesˇenı´ oveˇrˇ´ı jeho spra´vnost, pak pro potvrzenı´ existence NTS T 0 , ktery´ ˇresˇ´ı v polynomicke´m cˇase tenty´zˇ proble´m vcˇetneˇ vycˇerpa´vajıćı´ho vy´beˇru variant, je du˚lezˇite´ zodpoveˇdeˇt ota´zku, jak T 0 doka´zˇe v polynomicke´m cˇase projı´t vsˇechny varianty kazˇde´ho prˇ´ıpadu proble´mu P. Zde je du˚lezˇite´ zjisˇteˇnı´, zˇe relevantnı´ popis zˇa´dne´ho na´vrhu rˇesˇenı´, s nı´mzˇ pracuje TS T v polynomicke´m cˇase(!), nemu˚zˇe mı´t veˇtsˇ´ı de´lku nezˇ p(n). Pocˇet vsˇech existujıćıćh na´vrhu˚ rˇesˇenı´ zapsanyćh v podobeˇ rˇeteˇzu˚ (nad k-prvkovou pa´skovou abecedou stroje T ) je tak shora omezen cˇ´ıslem k p(n) . NTS T 0 tak ma´ za u´kol prˇi vy´beˇru varianty rˇesˇenı´ projı´t nejvy´sˇe k p(n) rˇeteˇzu˚ de´lky nejvy´sˇe p(n) – vzhledem k nedeterministicke´mu vy´beˇru • 1. azˇ k-te´ho znaku v 1. kroku, • 1. azˇ k-te´ho znaku ve 2. kroku, .. . • 1. azˇ k-te´ho znaku v p(n)-te´m kroku ma´me zarucˇeno, zˇe nejpozdeˇji v p(n)-te´m vy´pocˇetnı´m kroku ma´ stroj T 0 kazˇdou variantu rˇesˇenı´ k dispozici. Veˇta 3.14. P ⊆ NP. Du˚kaz. Jde o prˇ´ımy´ du˚sledek definic 3.7 a 3.9, nebot’ kazˇdy´ (deterministicky´) TS lze cha´pat jako specia´lnı´ prˇ´ıpad nedeterministicke´ho Turingova stroje, a sice stroje, jehozˇ prˇechodova´ funkce kazˇde´ dvojici (stav, pa´skovy´ symbol) prˇirˇazuje mnozˇinu s jediny´m prvkem tvorˇeny´m trojicı´ (stav, pa´skovy´ symbol, posun cˇtecı´ hlavy).

77

Trˇ´ıda NP a nejvy´sˇe polynomicky´ cˇas pro oveˇrˇenı´ spra´vnosti rˇesˇenı´

Pozna´mka 3.15. Inkluze z veˇty 3.14 de facto prˇipousˇtı´ dveˇ mozˇnosti vza´jemne´ho vztahu porovna´vanyćh trˇ´ıd: 1) P ⊂ NP, 2) P = NP. Pru˚vodce studiem Zdu˚razneˇme, zˇe prˇ´ıpad P ⊂ NP znacˇ´ı eventualitu, zˇe kazˇdy´ proble´m z trˇ´ıdy P je take´ z trˇ´ıdy NP a zˇe existuje neˇjaky´ proble´m z trˇ´ıdy NP, ktery´ vsˇak nelezˇ´ı v P.

Snaha zprˇesnit tvrzenı´ veˇty 3.14 du˚kazem neˇktere´ho z bodu˚ pozna´mky 3.15 je jen o pa´r let mladsˇ´ı nezˇ definice trˇ´ıd P a NP. Dosud marna´ snaha o takove´ zprˇesneˇnı´, tj. zda P = NP nebo P 6= NP, je zna´ma´ pod pojmem P–NP proble´m. Du˚lezˇitost rozrˇesˇenı´ tohoto proble´mu plyne z toho, zˇe je zna´ma cela´ skupina v praxi se beˇzˇneˇ vyskytujıćıćh u´loh, jezˇ patrˇ´ı do trˇ´ıdy NP a k nimzˇ jsou zna´my pouze algoritmy pracujıćı´ v exponencia´lnı´m cˇase. O teˇchto u´lohaćh je zna´mo, zˇe patrˇ´ı mezi nejslozˇiteˇjsˇ´ı u´lohy trˇ´ıdy NP. (Jde o tzv. NP-u´plne´ proble´my, jimzˇ bude veˇnovańa na´sledujıćı´ kapitola.) Pokud by bylo doka´zańo, zˇe P 6= NP, meˇli bychom jistotu, zˇe k zˇa´dne´ z takovyćh u´loh neexistuje algoritmus rˇesˇ´ıcı´ ji v polynomicke´m cˇase.

P–NP proble´m

Pru˚vodce studiem P–NP proble´m patrˇ´ı mezi nejdu˚lezˇiteˇjsˇ´ı nerozrˇesˇene´ proble´my soucˇasne´ matematiky. Mnozı´ matematikove´ se dokonce domnı´vajı´, zˇe jej v uzˇ´ıvanyćh logickyćh syste´mech rozrˇesˇit ani nelze. Pokud by byla udeˇlovańa Nobelova cena za matematiku, pak si bud’te jisti, zˇe by neminula toho, kdo P–NP proble´m rozrˇesˇ´ı.

Prˇestozˇe nema´me zˇa´dnou jistotu, vsˇeobecneˇ prˇevla´da´ prˇesveˇdcˇenı´, zˇe P 6= NP, a tedy P ⊂ NP. Jizˇ jsme se zmıńili o proble´mech, jezˇ patrˇ´ı do trˇ´ıdy NP a k nimzˇ zna´me (deterministicke´) algoritmy s exponencia´lnı´ cˇasovou slozˇitostı´. To, zˇe exponencia´lnı´ cˇasova´ slozˇitost je pro kazˇdy´ proble´m z NP dosazˇitelnou hranicı´, je prˇ´ımy´m du˚sledkem na´sledujıćı´ veˇty. Veˇta 3.16. Necht’ L je jazyk prˇijı´many´ nedeterministicky´m Turingovy´m strojem s cˇasovou slozˇitostı´ p(n). Potom existuje TS s cˇasovou slozˇitostı´ t(n) = 2O(p(n)) , ktery´ prˇijı´ma´ jazyk L. Du˚kaz. Popı´sˇeme hlavnı´ ideu du˚kazu. Prˇevedenı´ te´to ideje do podoby konkre´tnı´ho TS prˇenecha´me cˇtena´rˇu˚m k rozmysˇlenı´ (i kdyzˇ naznacˇ´ıme mozˇne´ smeˇry takove´ konkretizace). Vy´pocˇet kazˇde´ho NTS T pro dane´ vstupnı´ slovo w lze na´zorneˇ demonstrovat pomocı´ tzv. stromu konfiguracı´ Tw , u neˇjzˇ 1) kazˇdy´ vrchol je oznacˇen konfiguracı´ NTS T , 2) korˇen stromu je oznacˇen pocˇa´tecˇnı´ konfiguracı´ NTS T pro slovo w (tj. konfiguracı´ (q0 , w, 1)), 3) kazˇdy´ vrchol v je oznacˇen konfiguracı´ (q, x, m) a vsˇichni prˇ´ımı´ na´slednıći vrcholu v jsou oznacˇeni konfiguracemi (q1 , x1 , m1 ), . . . , (qj , xj , mj ), pra´veˇ kdyzˇ (q, x, m) ` (qi , xi , mi ) pro vsˇechna i ∈ {1, . . . , j}. Pru˚vodce studiem Nı´zˇe je uveden prˇ´ıklad stromu konfiguracı´ NTS T pro vstupnı´ slovo 010.

78

Strom konfiguracı´ NTS

(q0, 010, 1)

(q1, 110, 2)

(q+, 110, 1)

(q2, 110, 1)

(q−, 100, 3)

(q3, 010, 2)

(q−, 010, 1)

Uvedeny´ strom zohlednˇuje na´sledujıćı´ prˇechody prˇechodove´ funkce stroje T : δ(q0 , 0) = {(q1 , 1, P ), (q2 , 1, L), (q3 , 0, P )}, δ(q1 , 1) = {(q+ , 1, L), (q− , 0, P )}, δ(q2 , 1) = ∅, δ(q3 , 1) = {(q− , 1, L)}. Neprˇehle´dneˇte skutecˇnost, zˇe v obecne´m prˇ´ıpadeˇ mu˚zˇe mı´t strom konfiguracı´ i nekonecˇny´ pocˇet vrcholu˚. Pokud chceme simulovat cˇinnost libovolne´ho NTS T pro vstupnı´ slovo w deterministicky´m Turingovy´m strojem T 0 , pak stacˇ´ı aby T 0 simuloval pru˚chod stromem konfiguracı´ Tw do sˇ´ırˇky. Pru˚vodce studiem Pro prˇipomenutı´, prˇi prohleda´vańı´ grafu (z vyćhozı´ho vrcholu v0 ) do sˇ´ırˇky jsou nejdrˇ´ıve „navsˇtı´veny“ vrcholy dosazˇitelne´ z vyćhozı´ho vrcholu cestou de´lky 1, pak de´lky 2, atd. Porˇadı´ navsˇtı´venyćh vrcholu˚ v nı´zˇe uvedene´m grafu by tedy bylo: A, B, F, C, D, E.

A

B

C

F

D

E

Oznacˇ´ıme-li k = max {pocˇet vsˇech prˇechodu˚ pro stav q a pa´skovy´ symbol x v NTS T }, q,x

potom strom konfiguracı´ Tw zahrnuje rˇa´doveˇ nejvy´sˇe k p vy´pocˇetnıćh veˇtvı´ NTS T de´lky maxima´lneˇ p, tj. veˇtvı´ de´lky 1, . . . , p. Pru˚vodce studiem P ˇ a´dovou hodnotu k p zı´ska´te jako soucˇet konecˇne´ geometricke´ rˇady p k i , poneˇvadzˇ R i=1 2 cest de v uvedene´m stromu konfiguracı ´ je nejvy ´s ˇ e k cest de ´ lky 1, k ´ lky 2, ..., k p cest Pp kp −1 k i p p de´lky p. Konkre´tneˇ ma´me i=1 k = k · k−1 = k−1 · (k − 1) < K · k , kde konstanta k K = k−1 .

79

Jestlizˇe NTS T s cˇasovou slozˇitostı´ p(n) prˇijı´ma´ vstupnı´ slovo w de´lky n, pak podle definice cˇasove´ slozˇitosti NTS ma´ strom konfiguracı´ Tw hloubku maxima´lneˇ p ≤ p(n) a TS T 0 simulujıćı´ stroj T prˇijı´ma´ slovo w nejpozdeˇji v K · k p(n) · O(p(n)) krocıćh vy´pocˇtu. Pru˚vodce studiem Jak zı´ska´te uvedeny´ pocˇet kroku˚? K ·k p(n) uda´va´ maxima´lnı´ pocˇet vsˇech simulovanyćh cest de´lky nejvy´sˇe p(n) v stromu konfiguracı´ a O(p(n)) popisuje rˇa´dovou slozˇitost simulace jedne´ vy´pocˇetnı´ veˇtve de´lky p(n) strojem T 0 . Pro cˇasovou slozˇitost t(n) Turingova stroje T 0 tedy platı´: t(n) = K · k p(n) · O(p(n)) = (2log2 k )p(n) · K · O(p(n)) = 2p(n)·log2 k · O(p(n)) = 2O(p(n)) · 2O(p(n)) = 2O(p(n))+O(p(n)) = 2O(p(n)) . Shrnutı´ Rˇesˇitelne´ proble´my cˇlenı´me do trˇ´ıd slozˇitostı´, tj. proble´my ze stejne´ trˇ´ıdy slozˇitosti se vyznacˇujı´ existencı´ algoritmu˚ rˇesˇ´ıcıćh je nejhu˚ˇre s cˇasovou (cˇi pameˇt’ovou) slozˇitostı´ prˇ´ıslusˇnou dane´ trˇ´ıdeˇ. Ze zna´myćh a studovanyćh trˇ´ıd slozˇitostı´ jsme si popsali dveˇ na´sledujıćı´ trˇ´ıdy. 1) Trˇ´ıda P (neˇkdy oznacˇovana´ jako PTIME) obsahuje kazˇdy´ proble´m, ktery´ lze rˇesˇit Turingovy´m strojem (algoritmem) s polynomickou cˇasovou slozˇitostı´. 2) Trˇ´ıda NP (neˇkdy oznacˇovana´ jako NPTIME) obsahuje kazˇdy´ proble´m, ktery´ lze rˇesˇit nedeterministicky´m Turingovy´m strojem (nedeterministicky´m algoritmem) s polynomickou cˇasovou slozˇitostı´. Zde NTS rˇesˇ´ıcı´ neˇjaky´ proble´m znamena´ stroj s konecˇny´mi vy´pocˇetnı´mi veˇtvemi pro libovolne´ vstupnı´ slovo, ktery´ prˇijı´ma´ vsˇechna vstupnı´ slova prˇedstavujıćı´ zako´dovańı´ teˇch prˇ´ıpadu˚ dane´ho proble´mu, jezˇ majı´ rˇesˇenı´ ANO. Z definic trˇ´ıd P a NP plyne, zˇe P ⊆ NP. Nenı´ vsˇak zna´mo, zda P = NP anebo P 6= NP. Tato nerozrˇesˇena´ u´loha by´va´ nazy´vańa P–NP proble´mem. Pojmy k zapamatovańı´ • Trˇ´ıda P, • trˇ´ıda NP, • P–NP proble´m. Kontrolnı´ ota´zky 1. Je doka´zańo, zˇe P ⊂ NP? 2. Existuje ke kazˇde´mu proble´mu z trˇ´ıdy NP algoritmus, ktery´ jej rˇesˇ´ı nejhu˚rˇe v exponencia´lnı´m cˇase? Cvicˇenı´ 1. Dokazˇte, zˇe proble´m generovańı´ nepra´zdne´ho jazyka zadanou bezkontextovou gramatikou je z trˇ´ıdy P.

´ koly k textu U 1. Zdu˚vodneˇte kazˇdou rovnost ze za´veˇru du˚kazu veˇty 3.16, tj. t(n) = K · k p(n) · O(p(n)) = (2log2 k )p(n) · K · O(p(n)) = 2p(n)·log2 k · O(p(n)) = 2O(p(n)) · 2O(p(n)) = 2O(p(n))+O(p(n)) = 2O(p(n)) .

80

ˇ esˇenı´ R 1. K pozˇadovane´mu du˚kazu stacˇ´ı sestavit TS s polynomickou cˇasovou slozˇitostı´, ktery´ rozhoduje jazyk {hGi; G je bezkontextova´ gramatika generujıćı´ nepra´zdny´ jazyk}. Uvedeny´ pozˇadavek splnˇuje na´sledujıćı´ TS. TS T pro vstupnı´ slovo hGi, kde G je bezkontextova´ gramatika: 1) Oznacˇ´ı ε a kazˇdy´ termina´l gramatiky G. 2) Dokud oznacˇuje nove´ netermina´ly, prova´dı´ na´sledujıćı´ cˇinnost. • Oznacˇ´ı netermina´l z leve´ strany kazˇde´ho pravidla, jehozˇ prava´ strana je tvorˇena rˇeteˇzem oznacˇenyćh symbolu˚. 3) Jestlizˇe je oznacˇen pocˇa´tecˇnı´ symbol gramatiky G, TS T prˇijı´ma´ vstupnı´ slovo hGi; jinak zamı´ta´ hGi. Polynomickou cˇasovou slozˇitost stroje T lze proveˇrˇit stejny´m postupem jako v prˇ´ıkladu 3.12.

3.3

NP-u´plne´ proble´my

Studijnı´ cı´le: Po prostudovańı´ kapitoly bude studujıćı´ umeˇt definovat NP-u´plne´ jazyky i NPu´plne´ proble´my a bude zna´t neˇkolik jejich typickyćh prˇedstavitelu˚. Rovneˇzˇ bude schopen popsat jejich vy´znam pro rˇesˇenı´ P–NP proble´mu. Klıćˇova´ slova: NP-u´plne´ proble´my, proble´m splnitelnosti booleovskyćh formulı´, proble´m kliky, proble´m obarvitelnosti grafu trˇemi barvami. Potrˇebny´ cˇas: 60 minut. Pro ućˇely ˇresˇenı´ P–NP proble´mu by bylo uzˇitecˇne´ popsat nejslozˇiteˇjsˇ´ı proble´my z trˇ´ıdy NP. Pokud by takove´ proble´my lezˇely vsˇechny v trˇ´ıdeˇ P, dalo by se ocˇeka´vat, zˇe v P budou i ostatnı´ (meńeˇ komplikovane´) proble´my z NP. V takove´m prˇ´ıpadeˇ by platila rovnost mezi trˇ´ıdami P a NP. Na druhou stranu, jestlizˇe by byt’jen jediny´ proble´m z NP nelezˇel v trˇ´ıdeˇ P, pochopitelneˇ by P a NP prˇedstavovaly rozdı´lne´ trˇ´ıdy slozˇitostı´. To, zˇe by prˇ´ıslusˇnost nejkomplikovaneˇjsˇ´ıch proble´mu˚ z NP k trˇ´ıdeˇ P meˇla znamenat stejnou vlastnost pro vsˇechny proble´my z NP, je ovsˇem nutno umeˇt doka´zat. Prˇ´ıslusˇny´ du˚kaz bude snadny´, pokud sˇikovny´m zpu˚sobem definujeme prˇevoditelnost jedneˇch proble´mu˚ na proble´my jine´. Pru˚vodce studiem Pro lepsˇ´ı pochopenı´ principu prˇevoditelnosti proble´mu˚ si prˇedstavte naprˇ´ıklad na´sledujıćı´ situaci. Touzˇ´ıte navsˇtı´vit beˇhem jednoho meˇsıće exotickou zemi, se kterou vsˇak na´sˇ sta´t nema´ uzavrˇenou dohodu o bezvı´zove´m styku. Vı´te, zˇe vystavenı´ turisticke´ho vı´za do te´to zemeˇ trva´ sˇest ty´dnu˚ a vystavenı´ „sluzˇebnı´ho vı´za“ urcˇene´ho pro sluzˇebnı´ cesty trva´ pouze ty´den. Na sluzˇebnı´ cestu va´s prˇitom musı´ vyslat dostatecˇneˇ du˚veˇryhodny´ zameˇstnavatel jako je naprˇ. redakce novin nebo cˇasopisu, velky´ strojı´rensky´ podnik, velkoobchod (s exoticky´m ovocem), apod. Stojı´te tedy prˇed proble´mem zı´skańı´ vı´za a tento proble´m mu˚zˇete „prˇeve´st“ na proble´m vyslańı´ na sluzˇebnı´ cestu. Pu˚vodnı´ proble´m tak mu˚zˇete vyrˇesˇit, umı´te-li vyrˇesˇit noveˇ zformulovany´ proble´m (naprˇ. uzavrˇenı´m dohody s redakcı´ novin o napsańı´ reporta´zˇe z navsˇtı´vene´ zemeˇ). Pokud navıć proble´m vyslańı´ na sluzˇebnı´ cestu vyrˇesˇ´ıte v potrˇebne´m cˇase (trˇ´ı ty´dnu˚), doka´zˇete vyrˇesˇit proble´m zı´skańı´ vı´za (do jednoho meˇsıće). Vsˇimneˇte si, zˇe proble´m, na neˇjzˇ se va´m podarˇilo prˇeve´st pu˚vodnı´ proble´m, vu˚bec nemusı´ by´t jednodusˇsˇ´ı – zkuste zı´skat zameˇstnańı´ ve velke´m podniku a dosa´hnout vyslańı´ na sluzˇebnı´ cestu do vysneˇne´ zemeˇ, a to vsˇe do trˇ´ı ty´dnu˚.

81

Pokud hodla´me popsat prˇevod jednoho proble´mu na jiny´ a tento prˇevod by meˇl fungovat obecneˇ, meˇli bychom jej popsat pomocı´ algoritmu (nebo forma´lneˇ pomocı´ necyklıćı´ho Turingova stroje). Jestlizˇe navıć pro rˇesˇitelnost obou proble´mu˚ vyzˇadujeme nejvy´sˇe polynomicky´ cˇas, nemeˇl by mı´t prˇ´ıslusˇny´ algoritmus (cˇili TS) horsˇ´ı cˇasovou slozˇitost. Forma´lneˇ lze takovy´ prˇevod vyja´drˇit take´ pomocı´ jiste´ho typu funkce, a sice funkce zobrazujıćı´ ˇreteˇzy nad urcˇitou abecedou Σ na rˇeteˇzy nad toute´zˇ abecedou. Pokud kazˇdy´ prˇ´ıpad studovane´ho proble´mu zako´dujeme do podoby konkre´tnı´ho rˇeteˇzu nad abecedou Σ, uvedena´ funkce takove´mu rˇeteˇzu prˇirˇadı´ jako vy´sledek jiny´ rˇeteˇz nad Σ, ktery´ bude prˇedstavovat zako´dovańı´ prˇ´ıpadu proble´mu, na neˇjzˇ je ten pu˚vodnı´ prˇeva´deˇn. Uvedene´ ideje objasnˇujı´ du˚vody pro zavedenı´ na´sledujıćıćh pojmu˚. Definice 3.17. Necht’ Σ je libovolna´ abeceda. Funkci f : Σ∗ → Σ∗ nazveme vycˇ´ıslitelnou v polynomicke´m cˇase, pra´veˇ kdyzˇ existuje TS s polynomickou cˇasovou slozˇitostı´, ktery´ pro kazˇdy´ ˇreteˇz w ∈ Σ∗ zastavı´ s tı´m, zˇe na jeho pa´sce zu˚stane zapsań rˇeteˇz f (w).

Algoritmus prˇevodu jednoho proble´mu na jiny´

Vycˇ´ıslitelna´ funkce = funkce vycˇ´ıslovana´ neˇjaky´m TS

ˇ ekneme, zˇe jazyk L1 ⊆ Σ∗ je prˇevoditelny´ 18 na jazyk L2 ⊆ Σ∗ v polynomicDefinice 3.18. R ke´m cˇase, pra´veˇ kdyzˇ existuje funkce f : Σ∗ → Σ∗ vycˇ´ıslitelna´ v polynomicke´m cˇase takova´, zˇe pro kazˇdy´ ˇreteˇz w ∈ Σ∗ platı´: w ∈ L1 , pra´veˇ kdyzˇ f (w) ∈ L2 . Pı´sˇeme pak L1 Cp L2 (nebo L1 ≤p L2 ). O funkci f rˇ´ıka´me, zˇe prˇeva´dı´ jazyk L1 na L2 v polynomicke´m cˇase. Pozna´mka 3.19. Stejneˇ jako v kapitole 3.2 mu˚zˇeme poslednı´ definici prˇeformulovat i pro definici prˇevoditelnosti jednoho proble´mu na jiny´ v polynomicke´m cˇase. Stacˇ´ı opeˇt pouzˇ´ıt veˇtu 2.24 da´vajıćı´ do souvislosti rˇesˇitelne´ proble´my a rekurzivnı´ jazyky. Jestlizˇe je tedy jazyk „prˇ´ıslusˇny´“ k proble´mu P1 prˇevoditelny´ na jazyk „prˇ´ıslusˇny´“ k proble´mu P2 v polynomicke´m cˇase, ˇr´ıka´me, zˇe proble´m P1 je prˇevoditelny´ na proble´m P2 v polynomicke´m cˇase.

Vlastnosti proble´mu˚ ∼ vlastnosti odpovı´dajıćıćh jazyku˚

Pru˚vodce studiem Jestlizˇe si podrobneˇ promyslı´te, kdy je vlastneˇ proble´m P1 prˇevoditelny´ na proble´m P2 , pak zjistı´te, zˇe 1) kazˇdy´ prˇ´ıpad proble´mu P1 s rˇesˇenı´m ANO musı´ by´t prˇeveden na prˇ´ıpad proble´mu P2 s ˇresˇenı´m ANO, 2) kazˇdy´ prˇ´ıpad proble´mu P1 s rˇesˇenı´m NE musı´ by´t prˇeveden na prˇ´ıpad proble´mu P2 s ˇresˇenı´m NE. V nasˇich definicıćh a tvrzenıćh se neusta´le opakuje u prˇevoditelnosti doveˇtek „v polynomicke´m cˇase“. Je to nutne´, nebot’prˇevoditelnost mu˚zˇe by´t (a by´va´) definovańa i v exponencia´lnı´m cˇase, logaritmicke´ pameˇti, polynomicke´ pameˇti, apod. Lemma 3.20. Prˇevoditelnost Cp je tranzitivnı´, tj. ze vztahu˚ L1 Cp L2 a L2 Cp L3 plyne L1 Cp L3 . Du˚kaz. Tvrzenı´ lemmatu plyne prˇ´ımo z definice prˇevoditelnosti jednoho jazyka na druhy´ v polynomicke´m cˇase. Pru˚vodce studiem Tranzitivnost prˇevoditelnosti proble´mu˚ (nebo prˇ´ıslusˇnyćh jazyku˚) si mu˚zˇete snadno prˇedstavit na prˇ´ıkladu z prˇedminule´ho pru˚vodce studiem. V neˇm jsme popisovali prˇevoditelnost 18

V literaturˇe je sice pouzˇ´ıvaneˇjsˇ´ı termıń redukovatelny´, ale v cˇesˇtineˇ tento termıń vzbuzuje nejcˇasteˇji prˇedstavu, zˇe se jedna´ o zjednodusˇenı´ vyćhozı´ho proble´mu. Takova´ prˇedstava je ovsˇem v rozporu se skutecˇnostı´, protozˇe v souladu s definicı´ jsou naprˇ´ıklad prˇevody rˇesˇitelnyćh proble´mu˚ na nerˇesˇitelne´, ale nikdy ne obraćeneˇ.

82

Existujı´ ru˚zne´ typy prˇevoditelnostı´.

proble´mu zı´skańı´ vı´za na proble´m vyslańı´ na sluzˇebnı´ cestu. Proble´m „vyslańı´ ...“ lze zrˇejmeˇ da´le prˇeve´st na proble´m prˇesveˇdcˇit sˇe´fredaktora konkre´tnıćh novin o svyćh litera´rnıćh kvalitaćh. Jisteˇ budete souhlasit s tı´m, zˇe u´speˇsˇne´ prˇesveˇdcˇenı´ sˇe´fredaktora (beˇhem trˇ´ı ty´dnu˚) povede k vyrˇesˇenı´ proble´mu zı´skańı´ vı´za.

Na´sledujıćı´ pomocne´ tvrzenı´ budeme potrˇebovat v du˚kazu veˇty popisujıćı´ rˇesˇenı´ P–NP proble´mu v prˇ´ıpadeˇ splneˇnı´ jiste´ podmıńky ty´kajıćı´ se nejslozˇiteˇjsˇ´ıch proble´mu˚ z trˇ´ıdy NP. Lemma 3.21. Necht’ L1 , L2 ⊆ Σ∗ , L1 Cp L2 . Jestlizˇe L2 ∈ P , pak L1 ∈ P . Du˚kaz. Protozˇe L2 ∈ P, existuje TS T s polynomickou cˇasovou slozˇitostı´, ktery´ rozhoduje jazyk L2 . Necht’ funkce f prˇeva´dı´ jazyk L1 na L2 v polynomicke´m cˇase. Sestavı´me TS S s polynomickou cˇasovou slozˇitostı´, ktery´ rozhoduje jazyk L1 . TS S pro vstupnı´ slovo w: 1) Spocˇ´ıta´ f (w) (simulacı´ Turingova stroje vycˇ´ıslujıćı´ho v polynomicke´m cˇase funkci f ). 2) Simuluje cˇinnost Turingova stroje T pro vstupnı´ slovo f (w). prˇijı´ma´ f (w), pak TS S prˇijme w, 3) Jestlizˇe simulovany´ TS T zamı´ta´ f (w), pak TS S zamı´tne w. Pru˚vodce studiem Kdyby va´s na´hodou tra´pila mysˇlenka, co ucˇinı´ TS S v prˇ´ıpadeˇ, zˇe by TS T zacˇal cyklit, pak si prˇipomenˇte u´vodnı´ zmıńku o TS T , podle nı´zˇ T rozhoduje jazyk L2 (tj. T nikdy necyklı´, kazˇde´ slovo z L2 prˇijme a kazˇde´ slovo nelezˇ´ıcı´ v L2 zamı´tne). Polynomicka´ cˇasova´ slozˇitost Turingova stroje S plyne z polynomickyćh cˇasovyćh slozˇitostı´ bodu˚ 1) a 2). Definice 3.22. O jazyku L rˇekneme, zˇe je NP-u´plny´, pra´veˇ kdyzˇ jsou splneˇny na´sledujıćı´ podmıńky. 1) L ∈ NP. 2) Pro kazˇdy´ jazyk L0 ∈ NP platı´: L0 Cp L. Alternativneˇ pro proble´my: Definice 3.23. O proble´mu P rˇekneme, zˇe je NP-u´plny´, pra´veˇ kdyzˇ jsou splneˇny na´sledujıćı´ podmıńky. 1) P ∈ NP. 2) Pro kazˇdy´ proble´m P 0 ∈ NP platı´: P 0 Cp P . Pru˚vodce studiem Jak vyply´va´ z prˇedchozı´ho textu, kazˇdy´ NP-u´plny´ proble´m se rˇadı´ mezi nejslozˇiteˇjsˇ´ı proble´my z trˇ´ıdy NP. Tato vlastnost je du˚sledkem prˇevoditelnosti libovolne´ho proble´mu z NP na NP-u´plny´ proble´m v polynomicke´m cˇase. Tzn. ma´me-li by´t schopni na NP-u´plny´ proble´m prˇeve´st v polynomicke´m cˇase sebeslozˇiteˇjsˇ´ı proble´m z NP, nemu˚zˇe jı´t o jednoduchy´ proble´m. V jiste´m smyslu tak kazˇdy´ NP-u´plny´ proble´m P reprezentuje celou trˇ´ıdu NP. Naleznemeli pro neˇj totizˇ konkre´tnı´ rˇesˇenı´, mu˚zˇe by´t toto rˇesˇenı´ pouzˇito spolu s algoritmem, prˇeva´deˇjıćı´m v polynomicke´m cˇase libovolny´ proble´m P 0 z NP na P , pro rˇesˇenı´ proble´mu P 0 – tato idea byla ostatneˇ pouzˇita i v du˚kazu lemmatu 3.21.

83

NP neobsahuje slozˇiteˇjsˇ´ı proble´my nezˇ jsou NP-u´plne´.

Du˚kaz NP-u´plnosti neˇjake´ho jazyka (cˇi proble´mu) mu˚zˇe by´t proveden bud’prˇ´ımy´m proveˇrˇenı´m obou podmıńek pozˇadovanyćh v definici anebo pomocı´ na´sledujıćı´ veˇty (uvedeme pouze variantu pro jazyky stejneˇ jako u dalsˇ´ı veˇty – formulace variant pro proble´my by cˇtena´rˇi jizˇ nemeˇly cˇinit potı´zˇe). Veˇta 3.24. Necht’ L1 , L2 ∈ NP, L1 Cp L2 . Jestlizˇe je L1 NP-u´plny´ jazyk, pak je L2 take´ NP-u´plny´ jazyk. Du˚kaz. Tvrzenı´ veˇty plyne prˇ´ımo z definice 3.22 a z tranzitivnosti prˇevoditelnosti Cp (Viz lemma 3.20). Veˇta 3.25. Jestlizˇe existuje NP-u´plny´ jazyk lezˇ´ıcı´ v trˇ´ıdeˇ P, pak platı´ rovnost P = NP. Du˚kaz. Inkluze P ⊆ NP je popsańa jizˇ ve veˇteˇ 3.14. Pro du˚kaz rovnosti na´m stacˇ´ı oveˇrˇit platnost inkluze NP ⊆ P: Necht’ L ∈ P je NP-u´plny´ jazyk. Uva´zˇ´ıme-li libovolny´ jazyk L0 ∈ NP, pak L0 Cp L podle definice NP-u´plnosti jazyka L. Vzhledem k prˇedpokladu L ∈ P a lemmatu 3.21 tak ma´me L0 ∈ P, a tedy NP ⊆ P. Azˇ dosud byl hlavnı´ du˚raz kladen na blizˇsˇ´ı vymezenı´ vza´jemne´ho vztahu trˇ´ıd P a NP. Nemeˇlo by to vsˇak ve´st k prˇedstaveˇ, zˇe NP-u´plne´ proble´my prˇedstavujı´ jen teoreticky´ konstrukt, ktery´ nema´ pro rea´lnou praxi zˇa´dny´ vy´znam. Protozˇe nikdo dosud nedoka´zal rovnost P = NP, nenı´ zna´ma existence zˇa´dne´ho algoritmu rˇesˇ´ıcı´ho ktery´koliv NP-u´plny´ proble´m v polynomicke´m cˇase. Odtud plyne, zˇe kazˇdy´ programa´tor postaveny´ prˇed u´kol nale´zt dostatecˇneˇ rychly´ algoritmus rˇesˇ´ıcı´ konkre´tnı´ NP-u´plny´ proble´m a) ma´ mizivou nadeˇji nale´zt algoritmus rˇesˇ´ıcı´ rychle vsˇechny prˇ´ıpady dane´ho proble´mu, b) mu˚zˇe snadno najı´t algoritmus rˇesˇ´ıcı´ rychle neˇktere´ prˇ´ıpady dane´ho proble´mu a velmi pomalu (konkre´tneˇ v exponencia´lnı´m cˇase) prˇ´ıpady ostatnı´. Neuspokojujı´-li programa´tora vy´sˇe nabı´zene´ varianty, ma´ uzˇ jen na´sledujıćı´ mozˇnosti: 1) pokusit se zmeˇnit zadańı´ u´kolu takovy´m zpu˚sobem, aby neobsahoval pozˇadavky vedoucı´ k tak vysoke´ vy´pocˇetnı´ na´rocˇnosti; jiny´mi slovy modifikovat proble´m tak, aby nepatrˇil mezi NP-u´plne´, ale „pouze“ do trˇ´ıdy P,19 2) rezignovat na rˇesˇenı´ zadane´ho u´kolu. 3.3.1

Vybrane´ NP-u´plne´ proble´my

Jsou zna´my stovky NP-u´plnyćh proble´mu˚ – my si uvedeme jen pa´r z nich. Na´sˇ kra´tky´ vyćˇet zaha´jı´me proble´mem splnitelnosti logickyćh formulı´, jehozˇ NP-u´plnost byla doka´zańa jako prvnı´. Nejdrˇ´ıve si ovsˇem prˇipomenˇme neˇkolik nezbytnyćh pojmu˚. Definice 3.26. Mnozˇinu vsˇech logickyćh formulı´ definujeme rekurzivneˇ: • 0, 1, x1 , x2 , . . . (kde x1 , x2 , . . . jsou logicke´ promeˇnne´, tj. promeˇnne´, jezˇ mohou naby´vat hodnot 0 nebo 1) jsou logicke´ formule, • Jestlizˇe E1 , E2 jsou logicke´ formule, pak take´ ¬E1 , (E1 ∧ E2 ) a (E1 ∨ E2 ) jsou logicke´ formule (symboly ¬, ∧ a ∨ zde prˇedstavujı´ zna´me´ logicke´ operace negace, konjunkce a disjunkce). 19

K takovy´m u´prava´m je velice uzˇitecˇna´ znalost konkre´tnıćh proble´mu˚: jednak teˇch, co prokazatelneˇ patrˇ´ı do trˇ´ıdy P, jednak NP-u´plnyćh – v neˇkteryćh oblastech mezi nimi vede zdańliveˇ tenka´ hranice. Vıće informacı´ lze nale´zt naprˇ´ıklad v [Gar79].

84

NP-u´plnost a P–NP proble´m

Programa´tor a NP-u´plne´ proble´my

Pozna´mka 3.27. Vzhledem k asociativiteˇ logickyćh operacı´ konjunkce a disjunkce vynecha´va´me neˇktere´ pa´ry za´vorek. Naprˇ´ıklad mı´sto ((E1 ∧ E2 ) ∧ E3 ) pı´sˇeme (E1 ∧ E2 ∧ E3 ). Da´le obvykle vynecha´va´me vneˇjsˇ´ı pa´ry za´vorek, tj. mı´sto formule F = (E1 ∧ E2 ) pı´sˇeme F = E1 ∧ E2 . Prˇ´ıklad 3.28. Uved’me dva prˇ´ıklady logickyćh formulı´ 1) F1 = (¬x1 ∧ x2 ) ∨ x1 , 2) F2 = (x1 ∨ x2 ∨ ¬x1 ) ∧ (¬x3 ∨ x2 ).

Definice 3.29. Logickou formuli F nazveme splnitelnou, pra´veˇ kdyzˇ existuje takove´ dosazenı´ 0 a 1 za jejı´ promeˇnne´, prˇi neˇmzˇ je hodnota F rovna 1. Prˇ´ıklad 3.30. F1 = (x1 ∨ x2 ) ∧ ¬x1 je podle definice splnitelna´ logicka´ formule, nebot’stacˇ´ı dosadit x1 = 0 a x2 = 1. Proble´m splnitelnosti logickyćh formulı´ je zadań na´sledovneˇ: Vstup: Logicka´ formule. Ota´zka: Je zadana´ logicka´ formule splnitelna´? Veˇta 3.31. (Cookova20 veˇta) Proble´m splnitelnosti logickyćh formulı´ je NP-u´plny´. Pru˚vodce studiem Ma´loktery´ du˚kaz NP-u´plnosti neˇjake´ho proble´mu je kra´tky´ a jednoduchy´. Nada´le budou proto vsˇechny du˚kazy vynecha´vańy. Zajı´majı´-li va´s prˇesto, naleznete je v knihaćh [Sip97], [Gru97], [Gar79] a veˇtsˇinu take´ v [Kucˇ89].

Definice 3.32. Rˇ´ıka´me, zˇe logicka´ V formule F je v konjunktivnı´m norma´lnı´m tvaru (zkraćeneˇ pı´sˇeme v CNF), pra´veˇ kdyzˇ F = Fi , kde kazˇda´ podformule Fi je disjunkcı´ 1≤i≤m

• logickyćh promeˇnnyćh, • negacı´ logickyćh promeˇnnyćh.

Prˇ´ıklad 3.33. F = (x1 ∨ x2 ∨ ¬x3 ) ∧ x2 ∧ (¬x1 ∨ ¬x2 ) je podle definice logicka´ formule v konjunktivnı´m norma´lnı´m tvaru. Pru˚vodce studiem Nabı´zı´ se mysˇlenka, jestli nebude vy´pocˇetneˇ snazsˇ´ı rˇesˇit proble´m splnitelnosti logickyćh formulı´ v prˇ´ıpadeˇ formulı´ v konjunktivnı´m norma´lnı´m tvaru – oproti obecneˇ zadany´m formulı´m majı´ jisty´ stupenˇ vnitrˇnı´ usporˇa´danosti, ktery´ by mozˇna´ mohl „vymanit na´sˇ proble´m z NP-u´plne´ho sevrˇenı´“. Mysˇlenka je to sice hezka´, ale na´sledujıćı´ veˇta ji vyvracı´. Veˇta 3.34. Proble´m splnitelnosti logickyćh formulı´ v konjunktivnı´m norma´lnı´m tvaru je NPu´plny´. 20

S. A. Cook uvedenou veˇtu doka´zal v roce 1971.

85

Definice 3.35. Pı´sˇeme, zˇe logicka´ formule F je v k-CNF (kde k ∈ N), pra´veˇ kdyzˇ F = V Fi , kde kazˇda´ podformule Fi je disjunkcı´ pra´veˇ k logickyćh promeˇnnyćh nebo jejich 1≤i≤m

negacı´. Prˇ´ıklad 3.36. F = (¬x1 ∨ ¬x2 ∨ x3 ) ∧ (x1 ∨ ¬x2 ∨ x3 ) ∧ (¬x1 ∨ ¬x2 ∨ x4 ) je podle definice logicka´ formule v 3-CNF. Pru˚vodce studiem Mysˇlenka (nastıńeˇna´ v minule´m pru˚vodci studiem) o snadneˇjsˇ´ım rˇesˇenı´ proble´mu splnitelnosti logickyćh formulı´ v k-CNF se vtı´ra´ mnohem neodbytneˇji – „stupenˇ vnitrˇnı´ usporˇa´danosti“ formulı´ v k-CNF je nepochybneˇ jesˇteˇ vysˇsˇ´ı nezˇ u formulı´ v CNF. V prˇ´ıpadeˇ formulı´ v 1-CNF je vy´pocˇetnı´ na´rocˇnost pouze polynomicka´, nebot’u kazˇde´ takove´ formule stacˇ´ı proveˇrˇit, zˇe se v nı´ zˇa´dna´ z jejıćh promeˇnnyćh nevyskytuje bez negace i s negacı´, a tato kontrola zabere rˇa´doveˇ nejvy´sˇe j · n vy´pocˇetnıćh kroku˚, kde n je de´lka zako´dovańı´ formule a j uda´va´ pocˇet jejıćh promeˇnnyćh. Odpoveˇd’na ota´zku, zda je pro neˇjake´ k proble´m splnitelnosti logickyćh formulı´ v k-CNF NP-u´plny´m proble´mem, da´va´ na´sledujıćı´ veˇta. Veˇta 3.37. Proble´m splnitelnosti logickyćh formulı´ v 3-CNF je NP-u´plny´. Pozna´mka 3.38. O proble´mu splnitelnosti logickyćh formulı´ v 2-CNF se da´ doka´zat, zˇe je z trˇ´ıdy P. (Viz naprˇ. [Lew98]) Da´le vybı´ra´me NP-u´plne´ proble´my z oblasti teorie grafu˚. Proble´m kliky je zadań na´sledovneˇ: Vstup: Neorientovany´ graf a cˇ´ıslo k ∈ N. Ota´zka: Obsahuje zadany´ graf kliku o k vrcholech? Veˇta 3.39. Proble´m kliky je NP-u´plny´. Definice 3.40. O neorientovane´m grafu rˇekneme, zˇe je obarvitelny´ k barvami (kde k ∈ N), pra´veˇ kdyzˇ lze kazˇde´mu jeho vrcholu prˇirˇadit jednu z k barev tak, aby zˇa´dna´ hrana grafu nespojovala vrcholy se stejnou barvou. Proble´m obarvitelnosti grafu k barvami je zadań na´sledovneˇ: Vstup: Neorientovany´ graf a cˇ´ıslo k ∈ N. Ota´zka: Je zadany´ graf obarvitelny´ k barvami? Veˇta 3.41. Proble´m obarvitelnosti grafu 3 barvami je NP-u´plny´. Na´sˇ kraticˇky´ vyćˇet uzavrˇeme jednı´m z nejzna´meˇjsˇ´ıch NP-u´plnyćh proble´mu˚. Proble´m obchodnı´ho cestujıćı´ho je zadań na´sledovneˇ: Vstup: Neza´porne´ cele´ cˇ´ıslo K, mnozˇina meˇst a vzda´lenostı´ mezi nimi. Ota´zka: Mu˚zˇe obchodnı´ cestujıćı´ projet vsˇechna meˇsta tak, aby kazˇde´ navsˇtı´vil pra´veˇ jednou, na za´veˇr se vra´til do vyćhozı´ho mı´sta a prˇitom urazil vzda´lenost mensˇ´ı nebo rovnu cˇ´ıslu K?

86

Pru˚vodce studiem V terminologii teorie grafu˚ lze proble´m obchodnı´ho cestujıćı´ho formulovat na´sledovneˇ: Existuje v u´plne´m neorientovane´m grafu s ohodnoceny´mi hranami hamiltonovska´ kruzˇnice, u nı´zˇ je soucˇet ohodnocenı´ jejıćh hran mensˇ´ı nebo roven prˇedem dane´ hodnoteˇ K?

Shrnutı´ Funkcı´ vycˇ´ıslitelnou v polynomicke´m cˇase rozumı´me kazˇdou funkci f splnˇujıćı´ na´sledujıćı´ podmıńky. • f zobrazuje mnozˇinu vsˇech rˇeteˇzu˚ nad neˇjakou abecedou Σ do sebe, tzn. pro kazˇdy´ rˇeteˇz w ∈ Σ∗ je f (w) rovno neˇjake´mu rˇeteˇzu nad Σ. • Existuje TS s polynomickou cˇasovou slozˇitostı´, jehozˇ vy´pocˇet pro kazˇde´ vstupnı´ slovo w ∈ Σ∗ skoncˇ´ı bud’ v prˇijı´majıćı´m anebo v zamı´tajıćı´m stavu, prˇicˇemzˇ po skoncˇenı´ vy´pocˇtu je na pa´sce TS zapsańo slovo f (w) (na´sledovane´ nekonecˇneˇ mnoha pra´zdny´mi znaky). Prˇevoditelnost jazyka L1 na jazyk L2 v polynomicke´m cˇase definujeme pomocı´ funkce f vyf (w) ∈ L2 pro kazˇde´ w ∈ L1 , cˇ´ıslitelne´ v polynomicke´m cˇase, prˇicˇemzˇ pozˇadujeme, aby f (w) 6∈ L2 pro kazˇde´ w 6∈ L1 . NP-u´plny´ jazyk musı´ patrˇit do trˇ´ıdy NP a kazˇdy´ jazyk z NP na neˇj musı´ by´t prˇevoditelny´ v polynomicke´m cˇase. Vlastnosti definovane´ pro jazyky „prˇena´sˇ´ıme“ na proble´my pomocı´ veˇty 2.24. Konkre´tneˇji: Vlastnost X prˇirˇkneme kazˇde´mu proble´mu, jemuzˇ „prˇ´ıslusˇny´“ jazyk ma´ vlastnost X. K zˇa´dne´mu NP-u´plne´mu proble´mu nenı´ zna´m algoritmus rˇesˇ´ıcı´ jej v polynomicke´m cˇase. Pokud by neˇkdo doka´zal prˇ´ıslusˇnost neˇktere´ho NP-u´plne´ho proble´mu k trˇ´ıdeˇ P, doka´zal by rovnost P=NP. Pojmy k zapamatovańı´ • Funkce vycˇ´ıslitelna´ v polynomicke´m cˇase, • prˇevoditelnost jednoho jazyka (proble´mu) na jiny´ v polynomicke´m cˇase, • NP-u´plny´ jazyk (proble´m). Kontrolnı´ ota´zky 1. Je kazˇdy´ NP-u´plny´ proble´m rˇesˇitelny´? 2. Je kazˇdy´ NP-u´plny´ proble´m prˇevoditelny´ v polynomicke´m cˇase na libovolny´ jiny´ NP-u´plny´ proble´m? Cvicˇenı´ 1. Zjisteˇte, jake´ du˚sledky pro rˇesˇenı´ P-NP proble´mu by meˇla existence NP-u´plne´ho proble´mu, ktery´ by byl prˇevoditelny´ v polynomicke´m cˇase na libovolny´ proble´m z trˇ´ıdy P.

´ koly k textu U 1. Dokazˇte detailneˇ lemma 3.20. 2. Promyslete, procˇ je v prˇedpokladech veˇty 3.24 pozˇadavek, aby L2 ∈ NP. 3. Pokud byste se podı´vali do odborne´ literatury, cˇasteˇji byste nalezli proble´m obchodnı´ho cestujıćı´ho ve varianteˇ ta´zajıćı´ se po minima´lnı´ urazˇene´ vzda´lenosti namı´sto porovna´vańı´ se zadanou hodnotou K. Rozmyslete si, jak lze uvedenou variantu prˇeve´st na na´mi formulovany´ proble´m obchodnı´ho cestujıćı´ho a naopak.

87

ˇ esˇenı´ R 1. V prˇ´ıpadeˇ existence takove´ho NP-u´plne´ho proble´mu by platila rovnost P=NP. Zdu˚vodneˇnı´: Pokud L0 ∈ P a L je NP-u´plny´ jazyk, ktery´ je prˇevoditelny´ v polynomicke´m cˇase na L0 , pak podle lemmatu 3.21 lezˇ´ı jazyk L v trˇ´ıdeˇ P. Tı´m je ovsˇem splneˇn prˇedpoklad veˇty 3.25, podle nı´zˇ v takove´m prˇ´ıpadeˇ nasta´va´ rovnost P=NP.

3.4

Vyuzˇitı´ vy´pocˇetneˇ obtı´zˇnyćh u´loh

Studijnı´ cı´le: Po prostudovańı´ kapitoly bude studujıćı´ umeˇt zdu˚vodnit du˚lezˇitost studia vy´pocˇetneˇ obtı´zˇnyćh u´loh pro pouzˇitı´ v praxi. Klıćˇova´ slova: Sˇifrovańı´, metoda RSA. Potrˇebny´ cˇas: 5 minut. Znalost u´loh, ktere´ jsou vy´pocˇetneˇ na´rocˇne´, nepochybneˇ ocenı´ kazˇdy´, kdo hleda´ a programuje rˇesˇenı´ nejru˚zneˇjsˇ´ıch u´loh – v ra´mci mozˇnostı´ se pak mu˚zˇe snazˇit vyhnout zadańı´m, jezˇ vedou ke zna´my´m, vy´pocˇetneˇ obtı´zˇny´m u´loha´m; prˇ´ıpadneˇ mu˚zˇe obra´tit pozornost k algoritmu˚m, ktere´ nevedou pokazˇde´ a bezvy´hradneˇ k pozˇadovane´mu cı´li (mezi neˇ rˇadı´me stochasticke´, heuristicke´, geneticke´ aj. algoritmy). V pra´veˇ uvedene´ oblasti je vy´skyt vy´pocˇetneˇ obtı´zˇne´ u´lohy vnı´mań obvykle jako neprˇ´ıjemnost. Existuje neˇjaka´ oblast, kde je tomu naopak? Ano - jde o sˇifrovańı´. Prˇi utajene´ komunikaci je prvorˇady´ pozˇadavek bezpecˇnosti takove´ komunikace; jiny´mi slovy pozˇadavek „nemozˇnosti“ nebo alesponˇ enormnı´ cˇasove´ na´rocˇnosti odhalenı´ klıćˇe potrˇebne´ho k desˇifrovańı´ zasˇifrovane´ zpra´vy. Jestlizˇe syste´m tvorby klıćˇe propojı´me s neˇktery´m ze zna´myćh obtı´zˇneˇ rˇesˇitelnyćh proble´mu˚, pak u´kol desˇifrovat odeslanou zpra´vu bez znalosti prˇ´ıslusˇne´ho klıćˇe odpovı´da´ u´loze nale´zt konkre´tnı´ rˇesˇenı´ souvisejıćı´ho proble´mu. Vı´me-li, zˇe v soucˇasnosti nikdo takovy´ proble´m efektivneˇ rˇesˇit neumı´ a uvedeny´ proble´m je vy´pocˇetneˇ na´rocˇny´ ve veˇtsˇineˇ svyćh prˇ´ıpadu˚, pak jsme pro utajenı´ zpra´vy ucˇinili maximum. Jen kra´tce k utajene´ komunikaci. V za´sadeˇ lze utajenı´ rozdeˇlit na dveˇ cˇa´sti: jednak utajeny´ prˇenos21 (tj. zpra´va by se nemeˇla dostat nikomu nepovolane´mu do rukou), jednak utajenı´ vlastnı´ho sdeˇlenı´ (tj. nikdo cizı´ by zpra´vu nemeˇl umeˇt prˇecˇ´ıst). Optima´lnı´ je pochopitelneˇ spojenı´ obou technik. Jsou ovsˇem situace, kdy je vy´hodne´ zverˇejnit za´meˇr ve´st utajenou komunikaci a komunikacˇnı´ cestu neskry´vat. Za prˇesveˇdcˇivy´ prˇ´ıklad mu˚zˇe naprˇ´ıklad slouzˇit internetovy´ obchod, ktery´ chce umozˇnit za´kaznı´ku˚m platit kreditnı´ kartou. Bez utajenı´ u´daju˚ sve´ kreditnı´ karty by vsˇak jisteˇ zˇa´dny´ soudny´ za´kaznı´k tı´mto zpu˚sobem za zbozˇ´ı neplatil. Pru˚vodce studiem Take´ va´m prˇipada´ nepochopitelne´, kolik lidı´ uveˇrˇ´ı sve´ sˇt’astne´ hveˇzdeˇ, jezˇ nasmeˇruje pra´veˇ k nim za´vratneˇ bohate´ho africke´ho mecena´sˇe touzˇ´ıcı´ho podeˇlit se s nimi o sve´ miliońy? Poskytnutı´ sve´ho bankovnı´ho ućˇtu takove´mu filantropovi k dispozici je pak jen zanedbatelnou protisluzˇbou, nenı´-lizˇ pravda?

Za typicky´ prˇ´ıklad vyuzˇitı´ vy´pocˇetneˇ obtı´zˇne´ u´lohy v sˇifrovańı´ lze povazˇovat metodu RSA pouzˇ´ıvanou prˇi sˇifrovańı´ s verˇejneˇ prˇ´ıstupny´m klıćˇem. 21

Zajı´mavou soucˇasnou metodou utajene´ho prˇenosu je ukry´vańı´ zpra´v do obsa´hlyćh datovyćh souboru˚, naprˇ. do obrazovyćh souboru˚. Vıć informacı´ se mohou za´jemci dozveˇdeˇt naprˇ. na Internetu pod klıćˇovy´m slovem „steganography“.

88

Idea sˇifrovańı´ s verˇejneˇ prˇ´ıstupny´m klıćˇem je na´sledujıćı´. Jeden ućˇastnı´k utajene´ komunikace (naprˇ. u´strˇedı´ banky) vygeneruje dvojici klıćˇu˚ A1 a A2 , mezi nimizˇ je urcˇita´ matematicka´ za´vislost. Klıćˇ A1 dostacˇuje k zasˇifrova´vańı´ posı´lanyćh zpra´v, klıćˇ A2 je potrˇebny´ k rozsˇifrova´vańı´ prˇijatyćh zpra´v. Klıćˇ A2 utajı´, A1 naproti tomu rozesˇle ostatnı´m ućˇastnı´ku˚m utajene´ komunikace (naprˇ. bankovnı´m pobocˇka´m) prostrˇednictvı´m verˇejneˇ prˇ´ıstupne´ho me´dia, jako je trˇeba pevna´ telefonnı´ linka. S pomocı´ klıćˇe A1 tedy mu˚zˇe kazˇdy´ zasˇifrovat svou zpra´vu, ale jejı´ rozsˇifrovańı´ lze prove´st pouze s vyuzˇitı´m klıćˇe A2 , jenzˇ je zna´my´ vy´hradneˇ inicia´toru cele´ komunikace. Metoda RSA22 je zalozˇena na vyuzˇitı´ soucˇinu velkyćh prvocˇ´ısel. Poznamenejme, zˇe testovańı´ prvocˇ´ıselnosti zadane´ho cˇ´ısla je u´loha zvla´dnutelna´ v rozumne´m cˇase, naproti tomu u´loha nale´zt rozklad zadane´ho prˇirozene´ho cˇ´ısla na soucˇin prvocˇinitelu˚ je vy´pocˇetneˇ velmi na´rocˇna´ (a to ´ kol rozsˇifrovat zası´lanou zpra´vu nebyla doka´zańa ani jejı´ prˇ´ıslusˇnost k NP–u´plny´m u´loha´m). U tak odpovı´da´ u´kolu nale´zt prˇijatelneˇ rychly´ algoritmus pro rozklad na soucˇin prvocˇinitelu˚.

22

Vıće informacı´ o te´to metodeˇ lze nale´zt naprˇ. v [Gru97], [Sip97], nebo na Internetu.

89

Literatura [Gar79]

Garey M. R., Johnson D. S.: Computers and Intractability. A Guide to the Theory of NP-Completeness W. H. Freeman and Company, San Francisco, 1979.

[Gru97]

Gruska J.: Foundations of Computing. Intern. Thomson Computer Press, Boston, 1997.

[Hop69]

Hopcroft J. E., Ullman J. D.: Formal Languages and Their Relation to Automata. Addison-Wesley, Reading (Massachusetts), 1969.

[Chy82]

Chytil M.: Teorie automatu˚ a forma´lnıćh jazyku˚. Skriptum UJEP v Brneˇ, SPN, Praha, 1982.

[Kou98]

Koubkova´ A., Pavelka J.: U´vod do teoreticke´ informatiky. MATFYZPRESS, Praha, 1998.

[Kucˇ89]

Kucˇera L.: Kombinatoricke´ algoritmy. SNTL, Praha, 1989.

[Lew98]

Lewis H. R., Papadimitriou C. H.: Elements of the Theory of Computation. Prentice Hall, Upper Saddle River (NJ), 1998.

[Man81]

Manna Z.: Matematicka´ teorie programu˚. Prˇeklad z anglicˇtiny. SNTL, Praha, 1981.

[Mol87]

Molna´r L’., Cˇesˇka M., Melichar B.: Gramatiky a jazyky. ALFA, Bratislava, 1987.

[Nov88]

Novotny´ M.: S algebrou od jazyka ke gramatice a zpeˇt. Academia, Praha, 1988.

[Rei83]

Reiterman J.: Analy´za algoritmu˚. Skriptum FJFI CˇVUT v Praze, Edicˇnı´ strˇedisko CˇVUT, Praha, 1983.

[Sal73]

Salomaa A.: Formal Languages. Academic Press, New York, 1973.

[Sip97]

Sipser M.: Introduction to the Theory of Computation. PWS Publishing Company, Boston, 1997.

90

Rejstrˇ´ık Abeceda, 4, 6, 17, 20 — pa´skova´, 49, 53 — vstupnı´, 17, 20, 38, 49, 53 — za´sobnı´kova´, 38 Algoritmus — intuitivnı´ pojetı´, 61 — realizovatelny´ na TS, 61 Automat — konecˇny´, 17 — — konfigurace, 18 — — krok vy´pocˇtu, 18 — — vy´pocˇet, 18 — konecˇny´ nedeterministicky´, 20 — — konfigurace, 20 — — krok vy´pocˇtu, 20 — — vy´pocˇet, 20 — za´sobnı´kovy´, 38 — — konfigurace, 38 — — krok vy´pocˇtu, 38 — — vy´pocˇet, 38

— — — — — — — —

NP-u´plny´, 83 popsany´ regula´rnı´m vy´razem, 30 pra´zdny´, 5 prˇijı´many´ konecˇny´m automatem, 18 prˇijı´many´ konecˇny´m nedeterministicky´m automatem, 21 prˇijı´many´ nedeterministicky´m Turingovy´m strojem, 54 prˇijı´many´ Turingovy´m strojem, 51 prˇijı´many´ za´sobnı´kovy´m automatem — koncovy´m stavem, 39 — pra´zdny´m za´sobnı´kem, 39 regula´rnı´, 13, 26, 31 rekurzivnı´, 57 rozhodovany´ Turingovy´m strojem, 51 typu 0, 13, 57 typu 1, 13 typu 2, 13 typu 3, 13 uza´veˇr, 30 cˇa´stecˇneˇ rekurzivnı´, 57

— splnitelnosti logickyćh formulı´, 85 — zastavenı´ Turingova stroje, 65 — cˇa´stecˇneˇ rˇesˇitelny´, 65 — rˇesˇitelny´, 63 Prˇevoditelnost — v polynomicke´m cˇase, 82 Regula´rnı´ vy´raz, 29 Relace — reflexivnı´ a tranzitivnı´ uza´veˇr, 7 — reflexivnı´ uza´veˇr, 7 — tranzitivnı´ uza´veˇr, 7

Slovo, 4, 5 — de´lka, 4 — pro neˇzˇ TS cyklı´, 51 — prˇijı´mane´ konecˇny´m automatem, 18 — prˇijı´mane´ nedeterministicky´m konecˇny´m automatem, 20 — — pr ˇ ijı´mane´ nedeterministicky´m Tu— Derivace, 7 ringovy´m strojem, 53 — — prˇ´ıma´, 6 — pr ˇ ijı´mane´ Turingovy´m strojem, 51 — Determinismus, 19 — zamı´tane´ Turingovy´m strojem, 51 — Formule Stav, 17, 20, 38, 49, 53 — — logicka´, 84 — koncovy´, 17, 20, 38 KA – viz te´zˇ konecˇny´ automat, 17 — — splnitelna´, 85 — pocˇa´tecˇnı´, 17, 20, 38, 49, 53 Klika, 75 — — v k-CNF, 86 — prˇijı´majıćı´, 49, 53 Mnozˇina — — v CNF, 85 — zamı´tajıćı´, 49, 53 — pozitivnı´ uza´veˇr, 5 Funkce Stavovy´ diagram, 17 — uza´veˇr, 5, 30 — prˇechodova´, 17, 20, 38, 49, 53 Stroj, 21 — vycˇ´ıslitelna´ v polynomicke´m cˇase, — zrˇeteˇzenı´, 5 — ekvivalence, 21 82 Nedeterminismus, 19 — nedeterministicky´ Turingu˚v — ˇra´dovy´ ru˚st, 71 Netermina´l, 6 — — konfigurace, 53 — pocˇa´tecˇnı´, 6 — — krok vy´pocˇtu, 53 Graf NKA – viz te ´ z ˇ nedeterministicky ´ ko— — nedeterministicky´, 53 — obarvitelny´ k barvami, 86 nec ˇ ny ´ automat, 20 — — strom konfiguracı´, 78 Gramatika, 6 NTS – viz te´zˇ nedeterministicky´ Tu- — — vy´pocˇet, 53 — bezkontextova´, 11 ringu˚v stroj, 53 — Turingu˚v (deterministicky´), 49 — kontextova´, 11 — — konfigurace, 49 — monotońnı´, 12 Odvozenı´, 7 — — krok vy´pocˇtu, 50 — regula´rnı´, 11 — prˇ´ıme´, 6 — — pocˇa´tecˇnı´ konfigurace, 51 — typu 0, 11 Podrˇeteˇz, 4 — — univerza´lnı´, 65 — typu 1, 11 Pravidlo, 6 — — vy´pocˇet, 51 — typu 2, 11 Proble´m, 62 Symbol, 4 — typu 3, 11 — kliky, 86 — pocˇa´tecˇnı´, 6, 38 — NP-u´plny´, 83 Jazyk, 5 — obarvitelnosti grafu k barvami, 86 Termina´l, 6 — bezkontextovy´, 13, 44 — obchodnı´ho cestujıćı´ho, 86 — generovany´ gramatikou, 8 TS – viz te´zˇ (deterministicky´) Turin— P–NP, 78 — konecˇny´, 5 gu˚v stroj, 49 — prˇ´ıpad, 62 — kontextovy´, 13 Trˇ´ıda jazyku˚ — nekonecˇny´, 5 — rozhodovacı´, 63 — NP, 75 — — — — —

91

— P, 74 Trˇ´ıda proble´mu˚ — NP, 75 — P, 75 Trˇ´ıdy stroju˚ — stejna´ vy´pocˇetnı´ sı´la, 21 ZA – viz te´zˇ za´sobnı´kovy´ automat, 38 Cˇasova´ slozˇitost — NTS, 72 — polynomicka´, 72 — TS, 71 Rˇeteˇz, 4 — de´lka, 4 — pra´zdny´, 4 — zrˇeteˇzenı´, 4

92

ZÁKLADY TEORETICKÉ INFORMATIKY

Recommend Documents