Základní principy fyziky semestrální projekt. Studium dynamiky kladky, závaží a vozíku

Základní principy fyziky semestrální projekt

Studium dynamiky kladky, závaží a vozíku

Petr Luzar IT1/4 2008/2009

Základní principy fyziky

Semestrální projekt

Projekt zadal:

prof. Ing. František Schauer, DrSc.

Projekt vypracoval:

Petr Luzar, obor Informační technologie 1. ročník bakalářského studia

Akademický rok:

2008/2009

Místo zpracování:

Kroměříž, 28.listopadu 2008

-2-



Obsah 1. Úvod a popis simulačního aplletu ................................................................... 4 2. Teorie dynamiky tuhého tělesa....................................................................... 5 2.1. Druhý Newtonův zákon ...................................................................................................... 5 2.1.1. Důsledky zákona síly ..................................................................................................... 6 2.2. D'Alembertův princip ......................................................................................................... 6 2.3. Energie tuhého tělesa...........................................................................................................7 2.3.1. Kinetická energie ...........................................................................................................7 3. Výpočet........................................................................................................... 8 4. Závěr práce.................................................................................................... 11 5. Použitá literatura ..........................................................................................12

-3-



1. Úvod a popis simulačního aplletu Pro vypracování semestrálního projektu do předmětu Základní principy fyziky jsem si zvolil téma „Studium dynamiky kladky, závaží a vozíku“, které jsem si vybral z nepřeberného množství nabízených námětů. Mým úkolem je zjistit a prostudovat čtyři faktory ze simulačního apletu: •

zrychlení systému

•

síla napínající lano – tahová síla

•

hmotnost kladky

•

moment setrvačnosti kladky

Simulační aplet se nachází na internetové adrese: http://zamestnanci.fai.utb.cz/~schauer/contents/mechanics/rotations/prob10_11.html

Začátek

Konec

Na simulaci vidíme vozík a modré závaží zavěšené přes kladku, které vozík táhne po podložce s nízkým třecím koeficientem.

-4-



2. Teorie dynamiky tuhého tělesa Tuhé těleso můžeme chápat jako speciální případ soustavy hmotných bodů, pro kterou platí, že bez ohledu na pohyb a působící síly se vzdálenosti mezi jednotlivými body nemění. Tuhé těleso lze chápat i jako model reálného tělesa z důvodu, že reálná tělesa jsou deformovatelná. Základními typy pohybů u těchto těles jsou translační pohyby a pohyby rotační kolem stálé osy otáčení. U složitějších pohybů můžeme tyto pohyby rozdělit do jednotlivých složek pohybů. Pohybové rovnice tuhého tělesa lze získat buď podle druhého Newtonova zákona nebo podle d´Alembertova principu.

2.1. Druhý Newtonův zákon Druhý Newtonův zákon je též nazýván zákonem síly. Říká, že „velikost zrychlení hmotného bodu je přímo úměrná velikosti výslednice sil působících na hmotný bod a nepřímo úměrná hmotnosti hmotného bodu“ [ 1 ] . Tento Newtonův poznatek vyplývá ze zákona setrvačnosti, který je formulován: „Jakmile na těleso začne působit síla, změní se jeho pohybový stav“. Jednotkou síly je tedy Newton, značí se N.

r r F a= m

[1]

Pohybovou rovnici lze sestavit i z myšlenky, že zrychlení je derivace rychlosti, nebo-li druhá derivace polohy [ 2 ].

r r d 2r F = m⋅ 2 dt

[2]

Rovnice ovšem platí za předpokladu, že hmotnost tělesa se v čase nemění. To ale nemusí být vždy splněno (startující raketě ubývá palivo anebo se hmotnost mění při relativistických rychlostech). V tom případě je třeba užít obecnější tvar pohybové rovnice [ 3 ], kde p je hybnost tělesa.

r dpr F= dt

-5-

[3]



2.1.1. Důsledky zákona síly •

Koná-li těleso rovnoměrný přímočarý pohyb, je jeho zrychlení nulové a také výslednice sil je rovna nule [ 4 ]. Popsaná situace nastává, právě tehdy jestliže na těleso nepůsobí žádná síla nebo v případě, že se působící síly navzájem ruší.

F = m ⋅ a = 0N •

[4]

Koná-li těleso rovnoměrně zrychlený nebo zpomalený pohyb, je jeho zrychlení konstantní a také výslednice sil je konstantní [ 5 ].

F = m ⋅ a = konst .

[5]

2.2. D'Alembertův princip D´Alembertovům princip je založen na rovnováze působících vnějších sil a sil setrvačných. Při této metodě používáme soustavu spojenou s pohybujícím se tělesem a setrvačné síly jednotlivých elementů tělesa, resp. jejich setrvačné momenty, sloučíme do výsledné setrvačné síly (setrvačného momentu). D'Alembertův princip se vztahuje k zákonům pohybu v klasické mechanice. Prezentuje ekvivalentní vyjádření druhého Newtonova zákona. Tento významný francouzský fyzik a matematik, celým jménem Jean le Rond d'Alembert, díky svému principu položil základy tzv. lagrangeovské mechaniky1. Tento princip říká, že součet rozdílů mezi silami působícími na systém a časovými změnami hybnosti systému při virtuálním posunutí systému je nulový. D'Alembertův princip bývá také vyjadřován tak, že při pohybu mechanické soustavy jsou setrvačné síly v rovnováze s explicitními silami.

1

představuje jiné pojetí k popisu mechaniky než jaké využívají Newtonovy pohybové rovnice. K popisu mechaniky je možné zvolit jiný vztah tohoto pohybu, který je v mnoha případech výhodnější. -6-



2.3. Energie tuhého tělesa Energii lze chápat jako schopnost vykonávat práci. Abychom mohli vykonat práci, potřebujeme k ní energii. Celková mechanická energie je součet energie kinetické a potencionální. Jednotkou je Joule, značný velkým J.

1J = 1kg ⋅ m 2 ⋅ s −2

2.3.1. Kinetická energie Kinetická energie je energie pohybová. Vyjadřuje skutečnost, že pohybující se těleso je schopné konat práci jako důsledek svého pohybu. Kinetickou energii můžeme rozdělit na energii pro tělesa při posuvném pohybu [ 6 ] a pro tělesa při otáčivém pohybu [ 7 ]. V mém případě ovšem budu tyto dvě rovnice energie kombinovat [ 8 ], resp. sčítat, kde m představuje hmotnost, v rychlost posuvného pohybu a ω je rychlost otáčivého pohybu.

Ek =

Ek =

1 ⋅ m ⋅ vT2 2

[6]

Ek =

1 ⋅ J ⋅ω 2 2

[7]

1 1 ⋅ m ⋅ vT2 + ⋅ J ⋅ ω 2 2 2

[8]

-7-



3. Výpočet Systém I

a

Hmotnost m1 = 1,0 kg

m1

Hmotnost m2 = 0,5 kg Třecí koeficient f = 0,2 Poloměr kladky r = 0,05 m a

y

m2

x

Systém II

Jako první jsem se rozhodl řešit zrychlení soustavy. K výpočtu jsem dospěl tak, že jsem si překreslenou situaci z aplletu rozdělil do dvou systémů znázorňující působící síly. Systém I

Systém II

n

T

FT

T Fg1

Fg2

Do diagramů jsem si vynesl jednotlivé složky působící v systémech I a II, kde FT představuje třecí sílu působící proti tahové síle T. Na tíhovou sílu Fg1 resp. Fg2 působí v opačném směru síla n, znázorňující sílu od podložky. Z jednotlivých diagramů působících sil si mohu nyní sestavit soustavu rovnic pro výpočet. SystémI:

Systém II:

∑F ∑F ∑F ∑F

x

= T − FT = m1 ⋅ a

y

= n. ⋅ Fg 1

x

=0

y

= T − Fg 2 = m 2 ⋅ a

-8-



Po vytvoření rovnic pro každý systém si vypočítám celkové zrychlení. Toho docílím tak, že si vyjádřím např. z x-ové složky prvního systému tahovou sílu T, kterou pak následně dosadím do rovnice druhého systému y-ové složky. Třecí koeficient jsem si zvolil 0,2. Potom mně vznikne následující:

T = FT + m1 ⋅ a FT + m1 ⋅ a = Fg 2 − m2 ⋅ a m1 ⋅ a + m2 ⋅ a = Fg 2 − FT

a=

Fg 2 − FT m1 + m2

=

Fg 2 − n ⋅ f m1 + m2

=

m2 ⋅ g − m1 ⋅ g ⋅ f 0,5 ⋅ 9,81 − 1 ⋅ 9,81 ⋅ 0,2 2,943 = = 1,962m ⋅ s −2 = 1 + 0,5 1,5 m1 + m2

Nyní po výpočtu zrychlení lze i vypočítat tahovou sílu T.

T = Fg1 ⋅ f + m1 ⋅ a = 9,81 ⋅1 ⋅ 0, 2 + 1 ⋅ 1,962 = 3,924 N Zrychlení a tahovou silu také rovnou vypočítat z následujících vzorců:

a=

m 2 − f ⋅ m1 ⋅g m1 + m2

T=

a=

0,5 − 0,2 ⋅ 1 ⋅ 9,81 1 + 0,5

T=

(1 + f ) ⋅ m1 ⋅ m 2 ⋅g m1 + m 2

(1 + 0,2) ⋅ 1 ⋅ 0,5 ⋅ 9,81 1 + 0,5 T = 3,924 N

a = 1,962m ⋅ s − 2

Nyní přejdu k výpočtu momentu setrvačnosti a úhlové rychlosti kladky. Poté zjistím i její hmotnost. Moment setrvačnosti zjistím z rovnice [ 9 ], do které dosadím jednotlivé kinetické energie červeného tělesa, zeleného tělesa a kladky.

− Ek 2 = Ek1 + EkKladky −

1 1 1 ⋅ m2 ⋅ v 22 = ⋅ J ⋅ ω 2 + ⋅ m1 ⋅ v12 2 2 2

-9-

[9]



Úhlovou rychlost kladky vypočítám pomocí vzorce [ 11 ]. Poloměr kladky jsem zjistil ze simulačního aplletu. Za rychlost v jsem dosadil hodnotu 2,5 m⋅s-1, kterou jsem také zjistil ze simulačního aplletu. Ovšem jestliže vypočítám rychlost z mého zrychlení, kde jsem zohlednil i třecí koeficient, který jsem si zvolil 0,2 vyšla by rychlost 1,5696 m⋅s-1. Rychlost se vypočítá rovnicí [ 10 ], čas jsem opět zjistil ze simulačního aplletu.

v = a⋅t

ω=

ω=

v r

[ 10 ]

[ 11 ]

v 2,5 = = 50rad ⋅ s −1 r 0,05

1 1 1 − ⋅ m2 ⋅ v 22 = ⋅ J ⋅ ω 2 + ⋅ m1 ⋅ v12 2 2 2 2 2 m ⋅v + m ⋅v J= 1 1 2 2 2 ω 0,5 ⋅ 2,5 2 + 1 ⋅ 2,5 2 J= 50 2 J = 0,00375kg ⋅ m 2 = 4 ⋅ 10 −3 kg ⋅ m 2 Jako poslední krok vypočítám hmotnost kladky a to pomocí vzorce pro moment setrvačnosti válce nebo disku [ 12 ], v mém případě kladky.

J=

1 ⋅m⋅r2 2

1 ⋅m⋅r2 2 2 J 2 ⋅ 0,004 m= 2 = = 3, 2kg r 0,05 2 J=

- 10 -

[ 12 ]



4. Závěr práce Úkolem v tomto projektu bylo zjistil několik faktorů vyskytujících se v ukázkovém aplletu. Pomocí Newtonových zákonů jsem zjistil celkové zrychlení soustavy a = 1,962 m⋅s-2. To ale za předpokladu, když jsem si zvolil třecí koeficient 0,2. V případě, kdy jsem tento koeficient zanedbal, tudíž byl nulový, vyšlo zrychlení jiné a mělo vliv i na okamžitou rychlost v čase 0,8 sekundy. Rychlost v tomto čase s ohledem na třecí koeficient vyšla v = 1,5696 m⋅s-1. Z aplletu jde tedy vidět, že rychlost je odlišná o 1 m⋅s-1. Dále jsem tedy počítal už s hodnotami ze simulace, tzn. s rychlostí 2,5 m⋅s-1. Po výpočtu úhlové rychlosti kladky, která vyšla ω = 50 rad⋅s-1 jsem zjistil z rovnic pro kinetickou energii i její moment setrvačnosti. Ten vyšel J = 4⋅10-3 kg⋅m2. Jako poslední jsem zjišťoval hmotnost kladky, která vyšla m = 3,2 kg. K projektu jsem se snažil přistupovat s co největší pečlivostí a to i za předpokladu, že ve výpočtech mohlo dojít k chybám způsobené lidským faktorem nebo také ze špatné úvahy fyzikálních zákonů. Ovšem i tak považuji tento úkol za velice poučný a zajímavý.

- 11 -



5. Použitá literatura • • • • • •

DOSTÁL J., JANÁČEK Z.: Fyzika, 5. vydání, Vysoké učení technické v Brně nakladatelství VUTIUM, 1997, ISBN: 80-214-0962-2 HALLIDAY D., RESNICK R., WALKER J.: Fyzika, 1. vydání, Vysoké učení technické v Brně nakladatelství VUTIUM, 2001, ISBN: 80-214-1869-9 http://kf.fyz.fce.vutbr.cz/doc/vyuka_schauer/tuhe_teleso.pdf http://cs.wikipedia.org/wiki/Newtonovy_pohybové_zákony http://cs.wikipedia.org/wiki/D'Alembertův_princip http://cs.wikipedia.org/wiki/Potenciální_energie

- 12 -

Základní principy fyziky semestrální projekt. Studium dynamiky kladky, závaží a vozíku

Recommend Documents