ZADÁNÍ ZKOUŠKOVÉ PÍSEMNÉ PRÁCE Z PŘEDMĚTU LINEÁRNÍ ALGEBRA PRO IT Verze 1.1A Čas na práci: 100 minut Za každý úkol můžete získat maximálně 10 bodů. Řešení každého příkladu zapisujte čitelně a srozumitelně, výpočty a úvahy podrobně zapište. Řešení jednotlivých příkladů od sebe zřetelně oddělte. Při hodnocení nebude přihlíženo k přeškrtnutým zápiskům. 1. Gaussovou eliminační metodou vyřešte soustavu rovnic 2x1 +4x3 −x1 +2x2 +4x3 −2x1 +x2 −x3 −2x1 −4x3
= −4 = 1 = 3 = 3
+3x4 −3x4 −3x4 −2x4
2. Najděte inverzní matici k matici
2 −1 1 3 −2 A = −3 9 −7 5 3. Rozhodněte, zda je vektor v = [0, 4, 3] lineární kombinací vektorů u1 = [2, 1, 0], u2 = [−2, 0, 1], u3 = [−1, 1, 1]. Pokud ano, najděte koeficienty této lineární kombinace. 4. Je dáno lineární zobrazení A : R3 → P3 (P3 = {p(x) = a2 x2 + a1 x + a0 : a2 , a1 , a0 ∈ R}) definované předpisy: A ([2; 1; 0]) = 2x2 + x, A ([2; 0; −1]) = −2x + 1, A ([−1; 1; 1]) = −x2 + x − 1 Určete množinu vzorů 3x2 − x + 1. 5. Vypočtěte determinant matice
1 −1 1 0 0 1 −1 −1 A= 2 1 2 1 3 1 0 0 6. Najděte vlastní čísla a příslušné vlastní vektory matice 5 −2 M= . 4 −4 7. (a) Uveďte definici báze vektorového prostoru V. (b) Určete a zdůvodněte, zda-li matice A=
2 −1 −1 3
je pozitivně definitní, negativně definitní či indefinitní. Zadání této práce bylo vygenerováno programem GeneLAIT, by „
RT 0
M dx”. Varianta 131222.
ZADÁNÍ ZKOUŠKOVÉ PÍSEMNÉ PRÁCE Z PŘEDMĚTU LINEÁRNÍ ALGEBRA PRO IT Verze 1.2A Čas na práci: 100 minut Za každý úkol můžete získat maximálně 10 bodů. Řešení každého příkladu zapisujte čitelně a srozumitelně, výpočty a úvahy podrobně zapište. Řešení jednotlivých příkladů od sebe zřetelně oddělte. Při hodnocení nebude přihlíženo k přeškrtnutým zápiskům. 1. Gaussovou eliminační metodou vyřešte soustavu rovnic −x1 −2x4 −x1 +2x2 +4x4 x2 −2x3 +x4 x3 +x4
= 2 = −4 = 1 = −2
2. Najděte LU rozklad matice
1 1 −2 0 −3 A= 1 −1 −2 2 3. Rozhodněte, zda je vektor v = [8, −7, −1] lineární kombinací vektorů u1 = [0, −2, −1], u2 = [5, −1, 1], u3 = [3, −2, 0]. Pokud ano, najděte koeficienty této lineární kombinace. 4. Je dáno lineární zobrazení A : R3 → R2 definované předpisy: A ([−2; 2; 1]) = [−1; 1] , A ([−1; 1; 1]) = [1; −2] , A ([−3; 2; 0]) = [1; −3] Určete jádro zobrazení A. 5. Buď B : R3 × R3 → R bilineární forma definovaná předpisem B(x, y) = 2x1 y1 − x2 y2 + x3 y3 . Najděte matici této bilineární formy vzhledem k bázi e1 = [−1, 0, 1], e2 = [1, 0, 0], e3 = [0, −1, 0]. 6. Pomocí Geršgorinovy věty určete co nejmenší část komplexní roviny, ve které se nachází vlastní čísla matice −3 1 2 −1 2 −1 −1 2 A= 0 2 2 −1 3 −2 −3 −3 7. (a) Uveďte definici bilineární formy. (b) Určete, zda-li zobrazení A : R3 7→ R3 definované předpisem A (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 , x2 − x3 , x1 + x2 + 1) je lineární. Zadání této práce bylo vygenerováno programem GeneLAIT, by „
RT 0
M dx”. Varianta 311431.
ZADÁNÍ ZKOUŠKOVÉ PÍSEMNÉ PRÁCE Z PŘEDMĚTU LINEÁRNÍ ALGEBRA PRO IT Verze 1.3A Čas na práci: 100 minut Za každý úkol můžete získat maximálně 10 bodů. Řešení každého příkladu zapisujte čitelně a srozumitelně, výpočty a úvahy podrobně zapište. Řešení jednotlivých příkladů od sebe zřetelně oddělte. Při hodnocení nebude přihlíženo k přeškrtnutým zápiskům. 1. Gaussovou eliminační metodou vyřešte soustavu rovnic −4x1 +8x2 +x3 −x1 x1 −4x2 −x3 2x1 −5x2 −x3
+3x4 −2x4 −5x4 −4x4
= −12 = −1 = 5 = 7
2. Najděte inverzní matici k matici
2 2 1 A = −3 −3 −2 9 8 5 3. Rozhodněte, zda je polynom p(x) = 2x2 + 7x + 2 lineární kombinací polynomů q(x) = −2x2 − 1, r(x) = x2 + 3x + 1, s(x) = 3x2 + 4x + 2. Pokud ano, najděte koeficienty této lineární kombinace. 4. Je dáno lineární zobrazení A : R3 → R2 definované předpisy: A ([−2; 1; 0]) = [−1; 1] , A ([0; −2; 1]) = [−1; 2] , A ([−1; −1; 1]) = [−3; 4] Určete jádro zobrazení A. 5. Buď Q matice kvadratické formy v R3 vzhledem ke standardní bázi. Klasifikujte tuto formu. −1 1 −2 3 Q = 1 −5 −2 3 −5 6. Pomocí Geršgorinovy věty určete co nejmenší čísla matice −4 −1 A= 1 0
část komplexní roviny, ve které se nachází vlastní 1 −4 1 −2 −1 2 −3 −1 2 −4 3 2
7. (a) Uveďte definici skalárního součinu. (b) Určete, zda-li zobrazení A : R3 7→ R3 definované předpisem A (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 , x2 − x3 , x1 + x2 + 1) je lineární. Zadání této práce bylo vygenerováno programem GeneLAIT, by „
RT 0
M dx”. Varianta 332451.
ZADÁNÍ ZKOUŠKOVÉ PÍSEMNÉ PRÁCE Z PŘEDMĚTU LINEÁRNÍ ALGEBRA PRO IT Verze 1.4A Čas na práci: 100 minut Za každý úkol můžete získat maximálně 10 bodů. Řešení každého příkladu zapisujte čitelně a srozumitelně, výpočty a úvahy podrobně zapište. Řešení jednotlivých příkladů od sebe zřetelně oddělte. Při hodnocení nebude přihlíženo k přeškrtnutým zápiskům. 1. Gaussovou eliminační metodou vyřešte soustavu rovnic x2 +x3 +x4 −2x1 +x2 −11x3 −9x4 x1 −x2 +5x3 +4x4 x1 −2x2 +4x3 +3x4
= 3 = −19 = 8 = 5
2. Najděte inverzní matici k matici
1 1 1 A = −3 −1 −2 6 1 3 3. Rozhodněte, zda je polynom p(x) = 2x2 − 3x − 2 lineární kombinací polynomů q(x) = −2x − 1, r(x) = x2 − 5x − 3, s(x) = x2 + 4x + 2. Pokud ano, najděte koeficienty této lineární kombinace. 4. Je dáno lineární zobrazení A : R3 → P3 (P3 = {p(x) = a2 x2 + a1 x + a0 : a2 , a1 , a0 ∈ R}) definované předpisy: A ([0; 2; 1]) = −2x2 + x, A ([5; −7; −5]) = 2x2 − 2x − 1, A ([−3; 2; 2]) = x2 − x − 1 Určete množinu vzorů 2x2 − 3x − 3. 5. Buď B : R3 × R3 → R bilineární forma definovaná předpisem B(x, y) = 2x2 y3 + 2x3 y1 + x3 y2 + 2x3 y3 . Najděte matici této bilineární formy vzhledem k bázi e1 = [1, 0, 0], e2 = [0, 1, 0], e3 = [0, 0, 1]. 6. Pomocí Geršgorinovy věty určete co nejmenší část komplexní roviny, ve které se nachází vlastní čísla matice −1 −2 3 −3 3 0 3 0 A= 0 −1 −1 4 −4 −2 −2 2 7. (a) Uveďte větu o LU rozkladu. (b) Určete, zda-li množina V = {[0, 0, 0]} tvoří podprostor vektorového prostoru R3 .
Zadání této práce bylo vygenerováno programem GeneLAIT, by „
RT 0
M dx”. Varianta 432231.
ZADÁNÍ ZKOUŠKOVÉ PÍSEMNÉ PRÁCE Z PŘEDMĚTU LINEÁRNÍ ALGEBRA PRO IT Verze 1.5A Čas na práci: 100 minut Za každý úkol můžete získat maximálně 10 bodů. Řešení každého příkladu zapisujte čitelně a srozumitelně, výpočty a úvahy podrobně zapište. Řešení jednotlivých příkladů od sebe zřetelně oddělte. Při hodnocení nebude přihlíženo k přeškrtnutým zápiskům. 1. Gaussovou eliminační metodou vyřešte soustavu rovnic −x3 −4x4 −2x1 +x2 +2x3 +7x4 −x1 +x3 +3x4 x2 +3x3 +13x4
= 5 = −11 = −5 = −16
2. Najděte LU rozklad matice
−2 −2 1 A = −2 −1 0 −2 −2 2 3. Rozhodněte, zda je vektor v = [−5, 5, −1] lineární kombinací vektorů u1 = [−2, 1, 0], u2 = [0, 2, −1], u3 = [−1, −1, 1]. Pokud ano, najděte koeficienty této lineární kombinace. 4. Je dáno lineární zobrazení A : P3 → R2 (P3 = {p(x) = a2 x2 + a1 x + a0 : a2 , a1 , a0 ∈ R}) definované předpisy: A (2x + 1) = [−1; 1] , A −x2 + x + 1 = [1; −2] , A −5x2 + 2 = [2; −5] Určete množinu vzorů [1; −4]. 5. Buď B : R2 × R2 → R bilineární forma definovaná předpisem B(x, y) = x1 y1 − x1 y2 + 2x2 y2 . Najděte její symetrickou a antisymetrickou část. Najděte matici této bilineární formy vzhledem k bázi e1 = [1, −1], e2 = [1, 1]. 6. Najděte všechna vlastní čísla matice
−1 1 −2 2 4 . M = 4 −1 −1 0 7. (a) Uveďte větu o LU rozkladu. (b) Určete a zdůvodněte, zda-li matice A=
2 −1 −1 3
je pozitivně definitní, negativně definitní či indefinitní. Zadání této práce bylo vygenerováno programem GeneLAIT, by „
RT 0
M dx”. Varianta 311343.
