YBL - SGYMMAT2012XA – Matematika II. Tantárgyfelelős: Dr. Joós Antal Tárgyelőadó: Dr. Joós Antal Tantárgyi leírás Oktatási cél: Azoknak a matematikai alapoknak a megszerzése, melyek a szaktárgyak elsajátításához nélkülözhetetlenek, valamint matematikai ismeretek bővítése a szakirodalom tanulmányozásához. Tartalom: Határozatlan integrál alkalmazásai (ívhossz, felszín, súlypont, inercia, … számítására). Kétváltozós függvények szélsőértékhelyének meghatározása. Improprius integrál. Közelítő integrálás. Lineáris algebra elemei: függetlenség, bázis. Lineáris egyenletrendszer megoldása: Gauss elimináció. Determináns, Cramer szabály a lineáris egyenletrendszer megoldására. Mátrix sajátvektora, sajátértéke. Valószínűségszámítás: Véletlen esemény, eseménytér, műveletek eseményekkel. Klasszikus eseménytér, kombinatorika. Valószínűségi változó és jellemzői (eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény, várható érték szórás, medián, …). Nevezetes eloszlások. Numerikus módszerek: Nemlineáris egyenlet megoldása (felező módszer, húrmódszer, Newton módszer). Lagrange interpoláció. Lineáris regresszió. Irodalom: Kovács J. – Takács G. – Takács M.: Analízis, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2004; Páldi V., Hajdu A., Dr Reimann I., B. Tóth F.: Matematika III., Nemzeti Tankönyvkiadó, 1993; Csernyák L.: Valószínűségszámítás, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2007; Bognár-Mogyoródi-Prékopa-Rényi: Valószínűségszámítás példatár, Typotex Kiadó, 2009; Faragó I. – Horváth R.: Numerikus módszerek, Typotex Kiadó, 2013. Ajánlott irodalom: Giordano – Hass – Thomas – Weir: Thomas-féle kalkulus 1., Typotex Kiadó, 2011. Hass – Thomas – Weir: Thomas-féle kalkulus 2., Typotex Kiadó, 2008. Követelmények: Nappali:
1. zh a 2. alkalommal (15 pont), 2. zh a 4. alkalommal (15 pont), 3. zh a 6. alkalommal (15 pont), 4. zh a 8. alkalommal (15 pont), 5. zh a 11. alkalommal (20 pont), 6. zh a 12. alkalommal (20 pont).
Levelező:
1. zh a 2. alkalommal (15 pont), 2. zh a 3. alkalommal (15 pont), 3. zh a 4. alkalommal (15 pont), 4. zh a 5. alkalommal (15 pont), 5. zh a 6. alkalommal (20 pont), 6. zh a 7. alkalommal (20 pont).
Félévi jegy kiszámítása: A nappali hallgatók a 2. héten írnak egy 15 pontos, a 4. héten írnak egy 15 pontos, a 6. héten írnak egy 15 pontos, a 8. héten írnak egy 15 pontos, a 11. héten írnak egy 20 pontos, a 12. héten írnak egy 20 pontos dolgozatot. A levelező hallgatók a 2. alkalommal írnak egy 15 pontos, a 3. alkalommal írnak egy 15 pontos, a 4. alkalommal írnak egy 15 pontos, a 5. alkalommal írnak egy 15 pontos, a 6. alkalommal írnak egy 20 pontos, a 7. alkalommal írnak egy 20 pontos dolgozatot. Mindegyik dolgozat 20 perces, és a gyakorlati órákon írják a hallgatók. Javító dolgozat az utolsó héten, a gyakorlati órákon, ahol minden zh külön javítható. Ha egy hallgató legfeljebb 3-3-3 alkalommal hiányzik az előadásokról, ill. a gyakorlatokról, összesen legalább 30 pontot elér a gyakorlatokon megírt dolgozatokból úgy, hogy mindegyik dolgozatból szerzett legalább 3 pontot, akkor a hallgató megkapja az aláírást. Megajánlott jegy a következők szerint szerezhető: Az elért összpontszámot tekintve (a maximálisan szerezhető 100 pontból) ajánlott jegy a következőképp szerezhető az aláírás feltételeinek teljesítése esetén: 56-65 pont: elégséges (2) , 66 ponttól: közepes (3) , 76 ponttól: jó (4) , 86 ponttól: jeles (5). Aki nem szerezte meg a javító dolgozatokkal sem a megajánlott jegyet, vagy pedig nem fogadja el a megajánlott jegyet, az vizsgázhat az aláírás feltételeinek teljesítése esetén az egész félév anyagából. A vizsga 60 perces. A vizsgán megszerzett eredmény alapján az érdemjegy a következő. 56-65 pont: elégséges (2), 66-75 pont: közepes (3), 76-85 pont: jó (4), 86-100 pont: jeles (5).
Tematika, ütemezés:
ELŐADÁS
hét
A (65perc)
B (70perc)
1
A: Függvények érintkezése, simulókör, Taylor polinom.
B: Mátrixok (speciális, inverz mátrix), determináns, adjungált mátrix, inverz mátrix, mátrix sajátértéke, sajátvektora.
A: Térbeli koordinátageometria, egyenes és sík egyenlete, másodrendű felületek.
B: Lineáris algebra, vektorok, lineáris tér, lineáris kombináció, függetlenség, rang, bázis, dimenzió.
A: Kétváltozós függvények: iránymenti derivált, totális differenciálhatóság, érintősík.
B: Véletlen események, műveletek eseményekkel, Ω eseménytér, kombinatorika, valószínűség fogalma.
A: Integrálszámítás: improprius integrál.
B: Valószínűség, valószínűségi axiómák, tulajdonságok, feltételes valószínűség, függetlenség, teljes valószínűség tétele, Bayes-tétel.
A: Közelítő integrálás.
B: Valószínűségi változók, eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény.
A: Integrálszámítás alkalmazása: ívhossz.
B: Valószínűségi változók számjellemzői, várható érték, szórás, medián, kvantilis.
A: Integrálszámítás alkalmazása: felszín.
B: Csebisev egyenlőtlenség Nevezetes eloszlások (egyenletes, binomiális, hipergeometrikus, Poisson).
A: Integrálszámítás alkalmazása: súlypont, inercia.
B: Nevezetes eloszlások (egyenletes , exponenciális, normális).
A: Differenciálegyenletek, szétválasztható, erre visszavezethető.
B: Numerikus bevezető; függvényközelítés: Lagrange interpoláció.
febr. 08.
2 febr. 15.
3 febr. 22.
4 febr. 29. 5 márc. 07. 6 márc. 14. 7 márc. 28. 8 ápr. 04. 9 ápr. 11.
10 ápr. 18. 11 ápr. 25. 12 máj. 02. 13 máj. 09.
A: Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek.
B: Függvényillesztés: lineáris regresszió.
A: Másodrendű lineáris differenciálegyenletek.
B: Nemlineáris egyenletek megoldása (felező, húr).
A: Hiányos másodrendű differenciálegyenletek.
B: Nemlineáris egyenletek megoldása (iteráció, Newton).
A: Csúszás, félévi összefoglaló, vizsgafelkészülés.
B: Csúszás, félévi összefoglaló, vizsgafelkészülés.
GYAKORLAT
hét
1 febr. 08.
2 febr. 15.
3 febr. 22.
4 febr. 29.
5 márc. 07.
A (90perc)
B (90perc)
Differenciálszámítás (logaritmikus deriválás, paraméteres és implicit függvények magasabb rendű deriváltjai).
Mátrixok, mátrixműveletek, determináns, inverz mátrix.
1. ZH (20 perc, 15 pont, 1. hét az A témakör anyagából) Lineáris algebra: vektorműveletek, lineáris függetlenség, bázis, Függvények érintkezése, Taylor koordináták. polinom, simulókör. Koordináta geometria, sík és egyenes megadása, egyenlete; másodrendű felületek. Kétváltozós függvények: parciális. derivált, gradiens, iránymenti derivált. Integrálszámítás: improprius integrál.
Lineáris egyenletrendszer alakjai, megoldása, sajátérték, sajátvektor. 2. ZH (20 perc, 15 pont, 1-3. hét a B témakör anyagából) Műveletek véletlen eseményekkel, kombinatorika. Valószínűségi tulajdonságok, klasszikus valószínűség számítása.
6 márc. 14.
7 márc. 28. 8 ápr. 04.
9 ápr. 11.
10 ápr. 18.
11 ápr. 25.
12 máj. 02.
3. ZH (20 perc, 15 pont, 2-5. hét az A témakör anyagából) Közelítő integrálás. Integrálszámítás alkalmazása: ívhossz, felszín Integrálszámítás alkalmazása: súlypont, inercia, Pappus-Guldin tételek.
Feltételes valószínűség, teljes. valószínűség tétele, Bayes tétel, függetlenség, valószínűségi változók bevezetése. Valószínűségi változók (eloszlás, eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény) valószínűség kiszámítása. 4. ZH (20 perc, 15 pont, 4-7. hét a B témakör anyagából) Valószínűségi változó várható értéke.
Differenciálegyenletek bevezetése (általános, partikuláris megoldás), Szétválasztható változójú differenciálegyenletek.
Valószínűségi változó szórása.
Differenciálegyenletek, szétválasztható, erre visszavezethető differenciálegyenletek.
Nevezetes diszkrét eloszlások.
5. ZH (20 perc, 20 pont, 6-10. hét az A témakör anyagából) Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek.
Másodrendű lineáris differenciálegyenletek.
Nevezetes folytonos eloszlások Csebisev egyenlőtlenség.
6. ZH (20 perc, 20 pont, 8-11. hét a B témakör anyagából) Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása (felező módszer).
Javító zh (1., 3. és 5. ZH) 13 máj. 09.
Lagrange interpoláció (Hermite csak említeni), lineáris regresszió (az előadás képletének alkalmazása).
Javító zh (2., 4. és 6. ZH) Nemlineáris egyenletek megoldása (húr módszer, Newton módszer).
Javító ZH: az utolsó gyakorlatokon, minden zh külön javítható. (1db zh ideje 20 perc, 2db zh ideje 2x20=40 perc, 3db zh ideje 2x20=40 perc) Dolgozatokon grafikus számológépet nem lehet használni, és olyat sem, amely tud szimbolikus műveletekkel (x-et tartalmazó kifejezésekkel) számolni határértéket, deriváltat, határozatlan integrált vagy határozott integrált.
Ütemezés levelezőknek: Előadás és gyakorlat 1.
Lineáris algebra elemei 1. Lineáris egyenletrendszerek megoldása (Gauss elimináció), n komponensű vektorok, műveletek vektorokkal, lineáris tér, az Rn tér, vektorok lineáris kombinációja, vektorok lineáris függetlensége, összefüggő vektorok. Vektorrendszer rangja, lineáris tér dimenziója. Bázis. Bázisra vonatkozó koordináták. Mátrixok. Műveletek mátrixokkal. Speciális mátrixok. Inverz mátrix. Determináns. Cramer - szabály. Mátrix sajátértéke, sajátvektora
2.
1. ZH (20 perc, 15 pont, 1. foglalkozás anyaga) A tér analitikus geometriája. Az egyenes és sík egyenletei. Kétváltozós függvények 2. A totális derivált és geometriai jelentése. P0-ban totálisan deriválható függvények tulajdonságai, érintősík felírása. Iránymenti derivált, gradiens vektor és jelentése, szélsőérték számítás.
3.
2. ZH (20 perc, 15 pont, 2. foglalkozás anyaga) Differenciálszámítás alkalmazásai: síkgörbék érintkezése. Taylor - polinom, Taylor - formula. A Taylor – formula felhasználása függvények közelítő értékeinek meghatározására. Simulókör. Görbület. Határozatlan integrál. Határozott integrál. Improprius integrál. A határozott integrál alkalmazásai: ívhossz, felszín.
4.
3. ZH (20 perc, 15 pont, 3. foglalkozás anyaga) Valószínűségszámítás 1. Kombinatorika. Véletlen esemény, eseményalgebra, valószínűség fogalma, axiómái, tulajdonságai. Klasszikus valószínűségszámítási feladatok. Feltételes valószínűség, teljes valószínűség tétele, Bayes-tétel. Események függetlensége. Valószínűségi változók, eloszlás, eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény. Várható érték, szórás.
5.
4. ZH (20 perc, 15 pont, 4. foglalkozás anyaga) Valószínűség-számítás 3. Nevezetes eloszlások: binomiális, egyenletes, exponenciális, normális eloszlás. Csebisev egyenlőtlenség.
6.
5. ZH (20 perc, 20 pont, 5. foglalkozás anyaga) Integrálszámítás alkalmazása: Homogén síklemez súlypontja és inercia-nyomaték számítása. Forgástestek térfogatának számítása Pappus-Guldin tételek segítségével. Közelítő integrálás: Trapéz-formula, Simpson- formula.
Differenciálegyenletek fogalma, típusai. Általános és partikuláris megoldás. Kezdeti érték feladat. Szétválasztható változójú és arra visszavezethető differenciálegyenletek. Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek. 7.
6. ZH (20 perc, 20 pont, 6. foglalkozás anyaga) 1., 2., 3., 4,. 5. zh-k javítása. Másodrendű lineáris differenciálegyenletek megoldása. Numerikus módszerek. Alapfogalmak, a numerikus módszerek típusai, alkalmazásának szükségessége. Függvényközelítés interpolációval: Lagrangeinterpoláció. Regresszió-számítás. Nem lineáris egyenletek megoldása: felezőmódszer, húrmódszer, érintőmódszer. Mintafeladatok.
Dolgozatokon grafikus számológépet nem lehet használni, és olyat sem, amely tud szimbolikus műveletekkel (x-et tartalmazó kifejezésekkel) számolni határértéket, deriváltat, határozatlan integrált vagy határozott integrált.
Budapest, 2016. január 23.
Dr. Joós Antal tárgyfelelős
