YAYASAN PRAWITAMA SMK WIKRAMA BOGOR

YAYASAN PRAWITAMA SMK WIKRAMA BOGOR Jl. Raya Wangun Kel. Sindangsari Kota Bogor Telp. 0251-8242411, email: [email protected], website : www.smkwikrama.net

FUNGSI KOMPOSISI DAN INVERS Pembahasan : 1. Pengertian fungsi, daerah asal dan daerah hasil  Fungsi merupakan  Daerah Asal : Suatu fungsi 𝑓: 𝐴 → 𝐵, dengan daerah asal A dengan anggota himpunan bilangan Real. Namun, tidak semuanya terdefinisi pada semua bilangan Real. Contoh : a. Daerah asal fungsi dari𝑓(𝑥) = √𝑥 2 − 4 Penyelesaian 𝑓(𝑥)akan terdefinisi jika nilai di dalam akar lebih dari sama dengan nol. 𝑥 2 − 4 ≥ 0 → (𝑥 − 2)(𝑥 + 2) ≥ 0 𝐷engan menggunakan garis bilangan

++

--

++

-2

2

Jadi, 𝐷𝑓 = {𝑥|𝑥 ≤ −2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 ≥ 2} 2

b. Daerah asal fungsi dari𝑔(𝑥) = 𝑥 2 −2𝑥+1 Penyelesaian 𝑔(𝑥) akan terdefinisi jika nilai penyebut tidak sama dengan nol 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 ≠ 0 → (𝑥 − 1)2 ≥ 0 Jadi, 𝐷𝑓 = {𝑥|𝑥 ≠ 1}  Daerah hasil : 2. Sifat-sifat fungsi  Surjektif

 Injektif

 Bijektif


3. Operasi Fungsi pada Aljabar   f  g x  f x   g x   f  g x   f x   g x    fg x   f x .g x   f  f x  x   , g x   0 g x  g

 

Contoh : Diketahui fungsi-fungsi f dan g ditentukan dengan rumus f (x) = 2x – 10 dan g (x) = 2x  1 Tentukan nilai fungsi-fungsi berikut, kemudian tentukan domain alaminya. f  a. (f + g) (x) d.   (x) g b. (f – g) (x) c. (f x g) (x)

e. f3 (x)

Jawab : Domain alami fs f adalah Df : {x | x  R} Domain alami fs g adalah Dg : {x | x  ½ , x  R} a. Jumlah fungsi f (x) dan g (x) adalah (f + g) (x) = f (x) + g (x) = 2x – 10 + 2x  1 Domain alami fs (f + g) (x) adalah Df + g = {x | x  ½ , x  R} b. Selisih fungsi f (x) dan g (x) adalah (f – g) (x) = f (x) – g (x) = 2x – 10 - 2x  1 Domain alami fs (f – g) (x) = Df – g = {x | x  ½ , x  R} c. Perkalian fungsi f (x) dan g (x) adalah (f x g) (x) = f (x) x g (x) = (2x – 10) ( 2x  1 ) = 2x 2x  1 - 10 Domain alami fs (f x g) (x) = Df x g = {x | x  ½ , x  R} d. Pembagian fungsi f (x) dengan g (x) adalah

2x  1

f x  2x  10 f    (x) = = g x  2x  1 g

f  Karena bagian penyebut tidak boleh nol, maka domain alami fungsi   (x) g adalah D f = {x | x > ½ , x  R} g

e. Perpangkatan fungsi f (x) f3 (x) = {f (x)}3 = (2x – 10)3 = 8x3 – 160x2 + 800x – 1000


Dari contoh di atas, terlihat bahwa jika Df adalah domain alami fungsi f, dan Dg adalah domain alami fungsi g maka domain alami dari fungsi-fungsi f + g, f – g, f x g,

f adalah irisan dari Df dan Dg ditulis Df  Dg. g

4. Fungsi komposisi Persyaratan :

f  g : Rg  D f     f  g x  f g x  Persyaratan :

g  f : R f  Dg    g  f x  g  f x  Catatan sifat-sifat fungsi komposisi :   f  g x   g  f x    f  g  hx    f  g   hx    f  I x  I  f x   f x Contoh : a. Jika diketahui fungsi f x   3x  5 dan g x   7  4 x tentukan  f  g x  dan

g  f x  . Jawab : Diketahui f x   3x  5 g x   7  4 x

  f  g x   f g x  .........subtitusikan g x   7  4 x (sesuaikan dengan soal yang diketahui)  f 7  4 x  ........ “fungsi baru” Karena di soal diketahui : f(x)=3x+5 .................. ubah warna merah menjadi “fungsi baru”

f(7-4x)=3(7-4x)+5 =21-12x+5 =26-12x Jadi,  f  g x   26  12 x  g  f x   g  f x  .........subtitusikan g x   7  4 x (sesuaikan dengan soal yang diketahui)  g 3x  5 ........ “fungsi baru” Karena di soal diketahui :


g(x)=7-4x .................. ubah warna merah menjadi “fungsi baru” g(3x+5)=7-4(3x+5) =7-12x-20 =-13-12x Jadi,  f  g x   13  12 x 5. Fungsi invers Persyaratan : f harus bijektif   

f  f 1 x   x

g  f 1 x   f 1  g 1 x  f  g 1 x  g 1  f 1 x

Contoh : Tentukan invers dari fungsi f x   2 x  1 ! Jawab : Misalkan f x   y , maka f x   2 x  1 y  2x  1

y  1  2x y  1 2x  2 2 y 1 x 2

Karena f  y   x , sehingga y 1  f y 2

Ubah variabel y menjadi x, karena f  y   f 1 x  f

1

x  

x 1 2

Sehingga, invers dari fungsi f x   2 x  1 adalah f 1 x   x  1 . 2

Catatan : Untuk fungsi komposisi dan invers, semakin banyak latihan soal semakin handal dalam membuat fungsi komposisi dan invers. Karena fungsi yang diketahui akan berbeda-beda (fungsi linier, fungsi akar, fungsi kuadrat, fungsi polinom dll)


LATIHAN SOAL FUNGSI KOMPOSISI 1. Tentukan  f  g x  , g  f x  , f 1 x  , g 1 x  jika diketahui fungsi-fungsi di bawah ini : a. b. c. d. e. f. g. h. i.

f x   2 x  1 dan g x   5 x f x   x  5 dan g x   3x

f x   3x  4 dan g x   2 x  5 f x   x  2 dan g x   4  3x

f x   x 2 dan g x   5 x

f x   x 2  1 dan g x   x  2

f x   x  4 dan g x   x 2  2 f x   x 2  x dan g x   5 x

f x   3x dan g x   2x 2

j.

f x   x  3 dan g x   x 2  2 x

k.

f x  

l.

f x   2 x dan g x   x 2

x dan g x   x 2

2 m. f x   x  1 dan g x   x

n. o.

f x   x  1 dan g x   x 2  x  2 f x   x 3 dan g x   4 x

2 2 p. f x   x  1 dan g x   2x 2. Jika diketahui f x   2 x  5 dan g x   4  3x , maka tentukanlah nilai dari :

a.  f  g x 

c. g  f x 

b.  f  g 2

d. g  f 2

3. Jika diketahui f x   x  1 dan g x   x 2 , maka tentukanlah nilai dari :

f b.  f

 g x 

f b.  f

 g x 

f b.  f

 g x 

a.

d. g  f 2 4. Jika diketahui f x   x dan g x   x 2 , maka tentukanlah nilai dari : a.

 g 2

c. g  f x 

d. g  f 2 5. Jika diketahui f x   3x  4 dan g x   x  5 , maka tentukanlah nilai dari : a.

 g 2

c. g  f x 

 g 2

c. g  f x 

d. g  f 2 6. Tentukan f 1 x  , g 1 x  ,  f 1  g 1 x  dan g 1  f 1 x  jika diketahui fungsi-fungsi di bawah ini :


a. b. c. d. e. f. g. h.

f x   2 x  1 dan g x   5 x f x   x  5 dan g x   3x

f x   3x  4 dan g x   2 x  5 f x   x  2 dan g x   4  3x

f x   x 2 dan g x   5 x

f x   x 2  1 dan g x   x  2

f x   x  4 dan g x   x 2  2 f x   x 2  x

dan g x   5x

j.

f x   3x dan g x   2x 2 f x   x  3 dan g x   x 2  2 x

k.

f x  

l.

f x   2 x dan g x   x 2

i.

x dan g x   x 2

2 m. f x   x  1 dan g x   x

n.

f x   x  1 dan g x   x 2  x  2 f x   x 3 dan g x   4 x

o. 7. Jika diketahui f x   2 x  5 dan g x   4  3x , maka tentukanlah nilai dari : a. b.

f f

 2

1

 g 1 x 

1

 g 1

c. g 1  f 1 x 

d. g 1  f 1 2

8. Jika diketahui f x   x  3 dan g x   x 2 , maka tentukanlah nilai dari : a. b.

f f

 2

1

 g 1 x 

1

 g 1

c. g 1  f 1 x 

d. g 1  f 1 2

9. Jika diketahui f x   x  4 dan g x   x 2  2 , maka tentukanlah nilai dari : a. b.

f f

 2

1

 g 1 x 

1

 g 1

c. g 1  f 1 x 

d. g 1  f 1 2

10. Jika diketahui f x   4 x  8 dan g x   x 2  1 , maka tentukanlah nilai dari : a. b.

f f

 1

1

 g 1 x 

1

 g 1

c. g 1  f 1 x 

d. g 1  f 1 1

YAYASAN PRAWITAMA SMK WIKRAMA BOGOR

Recommend Documents