Sorozatok, sorozatok megadása rekurzív módon. 1. Az (a n )n =1 sorozatot rekurzív módon adtuk meg an+1 = an + 7an-1, a sorozat első két tagja 3 11 3 − x (a1
2.Adott a (nx + y )n =1 sortozat, ahol a 1 = 5, a2 = 8. Határozd meg az x, y értékét. ∞
3. Írd fel a (a n )n =1 sorozat első hat tagját, ha a n = 2n-1. ∞
4. Fejezzétek ki az adott sorozat n-edik tagját! a)
1 2 3 4 5 , , , , ,L 2 3 4 5 6
b) 1,-2,3,-4,5,-6,7,-8,9,… 5. Számítsd ki és ábrázold grafikusan a (a n )n =1 sorozat első hat tagját, ha a) a 1 = 2, an+1 = 3an - 1 b) a 1 = 1, a 2 = -2, an+1 = -2a n + an-1 ∞
6. Hogyan lehet megadni az adott sorozatot rekurzív módon?
(
a) 2 n − n
∞
1 b) n(n + 1) n =1
)
∞ n =1
Számtani és mértani sorozatok. 1.Adott a számtani sorozat, ahol a2 + a6 = -10,
a3 3 = .Számítsátok a d, a6, S20 értékeit. a5 7
2. Egy mértani sorozat első négy tagjának az összege 80. Határozzátok meg a sorozat első négy tagját ha tudjuk, hogy a 4 = 9a2. 3. Határozzátok meg mértani sorozat an-1, a n+3 tagját és kvóciensét, ha a n = 6, an+2 = 4. Bizonyítsátok be, hogy az (a n )n =1 sorozat mértani, ha an = ∞
3 . 2
2 − 3n . Számítsátok ki az an+1, 5
a n+3, d, a 15 értékeket. 5. A számtani sorozat három egymást követő tagjának összege és szorzata megegyezik. 13 Határozzátok meg ezen három tag értékét , ha d = . 3
6. A 3 és 9 számok közé írjatok annyi számot, hogy ezek a két adott számmal együtt egy olyan számtani sorozatot adjanak, melynek összege Sn = -33. Hány tagja lesz a sorozatnak? x.210 . Határozd meg az a n+1, kvócienst q és 7. Adott a mértani sorozat n-edik tagja, a n = (x − 1)n+1 azon x∈R számok halmazát, melyre q< 1.
(
8. Adott a sin n +1 x
)
∞ n =1
mértani sorozat. Határozd meg azon x∈R számok halmazát,
melyre q< 1. 9. Vezesd le a sorozat első n tagjának összegére érvényes összefüggést! a) számtani sorozat esetén. b) mértani sorozat esetén. 10. Bizonyítsd be, hogy a 5 − 2, 3 , 5 + 2 számok egy bizonyos sorozat három egymást követő tagjának tekinthetők! Lehet ez a sorozat számtani vagy mértani? 11. A derékszögű háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat három egymást követő tagjának tekinthetők. Az átfogó hossza 2,4 dm. Határozd meg a befogók hosszát! 12. Határozd meg a számtani sorozat első tíz tagjának összegét ha tudjuk, hogy a 1 + a6 = 16, a3 + a4 = 19. 13. Határozd meg a mértani sorozat a 1, q, s5 értékeit ha tudjuk, hogy a 3 = 8, a6 = 64. 14. Állapítsátok meg, hogy az adott sorozatok közül melyik számtani és melyik mértani sorozat! Határozzátok meg a sorozat első tagját és a differenciát, ill a kvócienst! ∞
n2 − n − 6 a) n + 2 n =1
(
b) 2.3 2−n
)
∞ n =1
∞
n3 − n c) n + 1 n =1
Feladatok megoldása számtani és mértani sorozatok segítségével. 1. A takarékszámlán jelenleg 10 000 korona van, melyre az egy évi kamatláb 6%. Ha a számlán nincs forgalom (betét, kivétel), a) hány korona lesz a takarékszámlán 5 év után? b) hány év után kétszereződik meg a rajta lévő összeg? c) mennyinek kell lennie az évi kamatnak ahoz, hogy az összeg öt év alatt megduplázódjon? 2. Ha a fény az üveglapon halad keresztül, erőssége 8%-al csökken. Hány ilyen üveglapot kell egymásra illeszteni, hogy a fényerősség a felére csökkenjen. 3. Adott a következő sorozat: 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,.......... Határozzátok meg a sorozat ezredik tagját! 4. A dohányzás évi 2000 korona többletkiadást jelent annak, aki dohányzik. Hány koronát takarítana meg a dohányos 10 év alatt, ha az említett összeget évi 4%-os kamatláb mellett a takarékpénztárba tenné.
A sorozatok néhány tulajdonsága. ∞
1 sorozat fogyó. 1. Bizonyítsd be, hogy a n(n + 1) n =1 2. Vizsgáljátok meg a következő sorozatot a monotonság szempontjából!
(n
2
− 19n + 100,25)n =1 ∞
∞
nx 3. Mely x∈R számok esetén lesz a sorozat növekvő és melyre fogyó? n + 1 n =1 4. Vizsgáljátok meg a következő sorozatot a monotonság szempontjából! ∞
b) (n 2 + 2n − 1)n =1
1 a) 1 + n n =1
c) (sin nπ )n =1
∞
∞
5. Állapítsátok meg, hogy a 4. feladatban adott sorozatok közül melyik korlátos? 6. Mondj példát: a) számtani sorozat mely növekvő; fogyó; nem növekvő; nem fogyó. b) mértani sorozat mely korlátos; alulról korlátos de felülről nem korlátos; felülről korlátos de alulról nem korlátos; se alulról se felülről nem korlátos. c) sorozatok melyek számtaniak ill. mértaniak!
A sorozat határértéke. 1.Számítsátok ki!
n 2 − n3 n → +∞ (3n − 2 )(1 + n 2 )
a) lim
(
b) lim n − n 2 + n n → +∞
)
1 + 3 + 5 + L + (2n − 1) n − . c) lim n → +∞ n +1 3
2. Mutassátok meg, hogy érvényes: n lim =1 n→ +∞ n + 1 3. Számítsátok ki azoknak az adott sorozatoknak a határértékét, amelyek konvergensek: ∞
8 − n3 b) 2 n+n
1 − 3n a) n + 2 n =1 ∞
3n 2 + 4 n + 5 c) 3 2 4n − 2n n =1
∞
n =1 ∞
1 + 2 + 3 + L + n d) 2n 2 − 3 n =1
(
)
∞
2 1− n f) 3 n =1
∞
e) 1 − 5 n =1 n
A végtelen sor 3 9 27 81 + − + −L 4 16 64 256 1 1 1 1 1 1 + + + + + +L 2 3 4 9 8 27
1.Számítsátok ki! a) 1 − b) c)
( ) + (3 − 2 ) + L 5 − 2 + ( 5 − 2) + ( 5 − 2) + L 2 − 5 + ( 2 − 5) + ( 2 − 5) + L
3− 2 + 3− 2
d) e)
2
3
2
3
2
3
f) 3. 3.4 3.8 3.L
2.Oldjátok meg R-en az adott egyenletet! a) 3 − b)
4 16 64 2x + 1 + 2 − 3 +L= x x x −1 x
1 − tgx + tg 2 x − tg 3 x + L =
tg 2 x 1 + tg 2 x
3. Döntsétek el, hogy az adott végtelen sorok közül melyek konvergensek! Határozzátok meg a sorok összegét! ∞ ∞ n 2n − 1 a) ∑ b) ∑ 3 − 2 2 n =1 n =1
(
∑( ∞
c)
2+ 3
n =1
)
∞
n
d)
∑3
)
2 −n
n =1
4. Határozzátok meg, mely x∈R esetén lesznek az adott végtelen sorok konvergensek! Határozzátok meg a sorok összegét! ∞
a)
1 ∑ n =1 x
n
∞
b)
∑ (2 − x ) n =1
5. Oldjátok meg R-en az adott egyenletet! ∞
2 a) ∑ n =1 x
n −1
=
4x − 3 3x − 4
b) x. x 3 .4 x 3 .8 x 3 .... = 16 ∞
c)
∑2
nx
=1
n =1
d) log x + log x + log 4 x + L = 2
n −1
A kör kerülete. 1. Adott egy a oldalhosszúságú egyenlő oldalú háromszög.A háromszögbe kör van írva, erre a körre még egy kör és még egy kör stb. (lásd:1.ábra). Számítsátok ki a körök területeinek összegét.
1.ábra
