Wat ik ga studeren? Wiskunde natuurlijk!
Wiskunnend Wiske 5. Goochelende getallen
c
2010, Standaard Uitgeverij, Antwerpen, Belgie¨ voor alle afbeeldingen van “groot” Wiske
Opdracht 5 Vele goochelaars gebruiken wiskunde om hun publiek te verbazen. Opdracht: Bekijk elk van deze 3 filmpjes aandachtig en geef voor elk een redenering die uitlegt wat er fout gaat of wat leidt tot een spectaculair resultaat. 1. http://www.youtube.com/watch?v=-GX3Nn-A9tQ 2. http://www.youtube.com/watch?v=l9JMqQTx490 3. http://www.youtube.com/watch?v=qEJHUlhusIM
Waar wiskundigen vandaag hun hoofd over breken Vele goocheltrucks maken gebruik van speelkaarten. Of je nu goochelt of niet, het is dikwijls van belang dat de kaarten willekeurig en onvoorspelbaar geordend zijn. Dit bekomt men door het schudden van de kaarten. Je kan je afvragen welke nu de beste manier is om kaarten te schudden. Om dit probleem wiskundig te onderzoeken moeten verschillende concepten nauwkeurig gedefinieerd worden. • Wat bedoelen we juist met kaarten schudden? Wij zullen afspreken dat het hier gaat om een handeling of algoritme dat een aantal keer na elkaar herhaald wordt. Een eenvoudige manier om kaarten te schudden zou zijn dat we de bovenste kaart van het stapeltje nemen en die willekeurig ergens tussen de overblijvende kaarten steken. Dit herhalen we dan een aantal keer. • Wat bedoelen we met kaarten in willekeurige volgorde? Onderstel dat er n kaarten zijn (voor een klassiek kaartspel hebben we dus n = 52). Hoeveel manieren zijn er om deze kaarten te ordenen? Dat zijn er n·(n−1) · · · 2·1 = n!. Indien we een goede manier hebben gevonden om de kaarten te schudden, zal elk van deze volgordes evenveel kans maken om als eindresultaat op te treden. Een minder goede manier zal sommige volgordes meer laten voorkomen en andere minder. In het eerste geval spreekt men van een uniforme kansverdeling. Een manier om te beoordelen of een manier om kaarten te schudden goed is, is de kansverdeling te bepalen (of te schatten) en te zien hoeveel die afwijkt van een uniforme kansverdeling. Een kansverdeling kan je bijvoorbeeld achterhalen door zeer vele malen hetzelfde experiment te herhalen: een kaartspel (dat je eerst op volgorde steekt) te schudden (steeds met dezelfde techniek) en telkens op te schrijven welke eindvolgorde je krijgt. Dit is steeds een van de n! mogelijkheden. Als je dan gaat tellen hoeveel keer elke volgorde voor komt in je experiment, krijg je de kansverdeling voor die manier van kaartschudden. P ERCSI D IACONIS, een goochelaar die wiskundige is geworden, heeft bewezen dat bij gebruik van de watervaltechniek voor het schudden, de kaarten na 7 herhalingen zeer dicht bij de uniforme verdeling komen. De eenvoudige methode die we hierboven gaven moet je minstens 205 keer herhalen.
!"#$%&'()*+),--&'./.0#.),.(%//.0) 120(34-5.6&-//.,.)78$0'-8() 9/%:+);<=>)?);@=>)?);==>) )
!"#$%&'()*+),#-(.')/)0&.)) A.),--&'./($8&)#2.)@%:(-0)B2C)<.-)82('%%/()2:)(-&')D./)-05.)%%0#%&'()D%%$#E)F.()2:)2GG.$:)D./) -"H%//.0#)#%()#.)($8&)(./I.0:)-"02.8D)/8I(J)#EDE5E)%/:):(%%$(#./20,J)H.$G.02,H8/#2,20,).0)-"(./:-GE) ))M*)
N)
))3N)
OR)
))PQ) 3PQ)
1&2&)"&3&'&"4'$5)3&)("67)8#'),#-(.'5)$##().9)8..")&:;)3&&:(#:)3#()&&')$&<&&:) %&&"8.63)4-)8#')3&)3&:&"5);:&4'&")3#')<&()(4&'8.63=)F.(),%%()#8:)B2CH--$B../#)--I) H--$)*RS;).0)H--$)*RST)-G#%()*R)(.):&'$2CH.0)2:)%/:)T)I..$);E))
))))U) ))*R)
;)
)3OP)
PN)
))RP) 3RP) ))))U) ))*R)
T)
))3T)
O*)
))R*) 3R*) ))))U) ) ) )
K2C)#.):(%%$(#./20,),%%()@%:(-0)%/:)H-/,()(.)D.$I+)'2C)"%:()#.),.I.0#.)G.('-#.)(-.)H--$) ..0):(%%$(#./20,J)G%%$)B.,20()2E"EHE)G.()'.()&2C6.$)H%0)#.)..0'.#.0)(.)$.I.0.0)G.()'.() &2C6.$)H%0)#.)(2.0(%//.0E)L.0)M)2:)(.)I/.20)-G)#--$)N)(.)#./.0J)#8:)/..0()'2C)..0)O)B2C)#.) H2C6)H%0)#.)..0'.#.0).0)#-.()%/:-6)#%()..0)(2.0(%/)2:E)OM)2:)..0G%%/)#../B%%$)#--$)NJ).0) M*3N)2:)PQ)D%(),.#../#)#--$)NJ)R)-"/.H.$(E))
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
OR) V)N) PQ) ?N)
!-I)G.()#.),.(%//.0)PNV;).0)O*VT)Y82()-0:).2,.0)H--$B../#Z),%%()#.5.) $.#.0.$20,)-")#.5./6#.)G%02.$)-"E)
M*)
PN))))))))))))) O*))))))))))))) )V);)
)V)T)
))RP)
))R*)
?OP)
?)T)
))*R)
))*R)
)
OR) ))OR) ))OR) ))OR) ))OR) ))OR) ?OR) ) ))M*)
F.()%//.$/%%(:(.)D%()@%:(-0)#-.()2:)..0)-"(.//20,E))A2.)2:)20).::.0(2.).V%&()'.(5./6#.)%/:)#.) H.$G.02,H8/#2,20,J)%//..0)D-$#.0)#.)"$-#8&(.0)H-/82(),.:&'$.H.0E)NVR)D-$#() R?R?R?R?R?R?RJ).0)NVO)D-$#()O?O?O?O?O?O?OE)A2()/.H.$()0%(88$/2CI)'.(5./6#.)-")%/:)#.) H.$G.02,H8/#2,20,+)M*E) ) )
`.$I/%$20,+)%/:)'.()#../(%/)..0),.'../)G..$H-8#)2:)H%0)#.)#./.$J)I/.20.$)#%0)'.()(2.0H-8#J)#%0):&'$2C6() @%:(-0)'.().&'(.)\8-(2a0()H%0)#.)#./20,)%/:):-G)H%0)(D..),.(%//.0)D%%$0%)'2C)'.():-G(.I.0)D.,/%%(E) >6'%0I./2CI)H%0)'.(),.H%/)2:)'.()..$:(.)H%0)#.)#.5.)(D..),.(%//.0)..0)O)-6)..0)P)Y52.)'-,.$Z+) b-0&$..(+))
M*SN)c)*)c)O)?)R)c)WORX)
)
*RST)c);)c)O)?)*)c)WO*X)).0)--I)*RS;)c)T)c)P)?)N)c)WPNX)
)
D%%$B2C)#.),.(%//.0)(8::.0)%%0'%/20,:(.I.0:)#.)\8-(2a0(.0)H%0)@%:(-0)52C0E)`.$H-/,.0:)D-$#()'.(),.'../) H.$"%I()%/:)..0):".&2%/.):(%%$(#./20,J)H.$G.02,H8/#2,20,).0)-"(.//20,)D%%$B2C).$),.:"../#)D-$#()G.()#.)) D%%$#.0)H%0)..0'.#.0).0)(2.0(%//.0E) ) ) ) ) ) )
)
!"#$%&'()>+))?#$4-7<&)84&";#'(&') F.()62/G"C.)H%0)@2/2)(--0()-0:)..0)G%,2:&')H2.$I%0(E)F2.$)D.$#)'.(),.(%/)TO),.B$82I(E)A2()'.BB.0)D.)20) ..0).V&./)B.:(%0#),.5.()H--$)#.)#82#./2CI'.2#E)!-I)'.BB.0)D.)%//.),.(%//.0)#2.)'2C)'..6(),.B$82I()-")..0) $2C(C.),.5.()-G)(.)I2CI.0)-6).$)02.(:)-0,.D--0)205%() ) ) ) ) O*3O;3ON3OQ3OT3PU3PO3PP3PM3PR3P*3P;3d3PQ3PT3MU3MO) A--$)#.),.(%//.0)5-)-")..0)$2C(C.)(.)5.((.0)G.$I.0)D.)#%()'2C) ./I)$.a./),.(%/)(8::.0)O*).0)MO),.B$82I()G.()82(5-0#.$20,)H%0) PNE) !G#%()C.)82()ee0)5-X0)62/G"C.)02.().&'()..0)H.$B%0#)I80() '%/.0),20,.0)D.)-")5-.I)0%%$)..0)(D..#.)62/G"C.)H%0)@2/2X:)G%,2:&'.)H2.$I%0(E) ^-)ID%G.0)D.)-")#.)H-/,.0#.)D.B:2(.)D%%$)'2C)'.()G%,2:&'.)H2.$I%0()H8/#.)D%%$B2C)'2C)'.(),.(%/)TM) ,.B$82I(.).0)#%()52.().$)%/:)H-/,()82(E) '(("+SSDDDEf-8(8B.E&-GSD%(&'gHc'GCAhbiT0fRj6.%(8$.c$./%(.#) ) ) ) ) !-I)#.5.),.(%//.0)'.BB.0)D.)20)..0).V&./)B.:(%0#) ,.,-(.0).0)-")..0)$2C(C.),.5.(E)
) O*3O;3ON3OQ3OT3PU3PO3PP3PM3PR3P*3P;3d3MU3MO3MP3MM) F2.$)52.0)D.)D..$)#%()'2C)./I),.(%/)(8::.0)O*).0)P;),.B$82I().0)--I)'2.$)D..$)R)%0#.$.),.(%//.0)#2.) ./I%%$)-"H-/,.0E) >/:)D.)08)#.5.)(D..)G%,2:&'.)H2.$I%0(.0)G.()./I%%$)H.$,./2CI.0)52.0)D.)#%()02.()%//..0)#.)..$:(.)OP) ,.(%//.0)YO*)(E.EGE)P;Z)#.5./6#.0)52C0J)G%%$)#%()5.)--I)-")#.5./6#.)"/.I)20)'.()G%,2:&')H2.$I%0():(%%0E) Y$-#.)&2C6.$:Z)
=.)52.0)5-)#%()#.)H2.$)%0#.$.)-"..0H-/,.0#.),.(%//.0)./I)20)..0)$2C).0)I-/-G):(%%0E)>/:)D.)08)0%%$)#.) H2.$),.(%//.0)20)'.()5D%$()I2CI.0J)52.0)D.)#%().$)--I).02,.)/-,2&%)20)52(E)) >/:)D.)I2CI.0)0%%$)'.(),.(%/)20)#.)..$:(.)I-/-G)52.0)D.)#%()#%(),.(%/)'.()/%%,:(.),.(%/)H%0)#.)H2.$)5D%$(.) ,.(%//.0)2:E)>/:)D.)#%0)(./I.0:)..0)I-/-G)H.$#.$),%%0)52.0)D.)#%().$)--I)%/(2C#)O)B2C)'.(),.(%/)H%0)#.) H-$2,.)I-/-G)D-$#()-",.(./#)YMU?OcMOJ)MO?OcMPJdZE) !-I)52.0)D.)#%()'.()..$:(.),.(%/)B2C)'.()G%,2:&'.)H2.$I%0()H%0)TM)MU)2:).0)B2C)TO)2:)#2()PQE)) F.()H.$:&'2/)(8::.0)TM).0)TO)2:).H.0),$--()%/:)'.()H.$:&'2/)B2C)MU).0)PQE)F2.$#--$),20,.0)D.)82($.I.0.0) D%()#.):-G)2:)H%0)#.)-H.$2,.),.(%//.0)82()#.)..$:(.)I-/-GE)A2()2:);MJ)#2()H.$I/%%$()D%%$-G)@2/2)%/(2C#)G.() '.(),.(%/)B.,20()#%()20)#.)..$:(.)$2C).0)#.)..$:(.)I-/-G)52(E)`%0)5-#$%)'2C)#2(),.(%/)D..(J)G-.()'2C)02.(:) %0#.$:)G..$)82($.I.0.0E) `--$)./I),.(%/)H%0);R)(E.EGE)kTTl) YD%0()5-H.$),%%()@2/2)--IZ)I80)C.) H-/,.0#)G%,2:&')H2.$I%0(),.B$82I.0E) ].()V)./I),.(%/)(8::.0);M).0)OUUE) ) ) ]%%$)%/:)@2/2)%%0)52C0)"8B/2.I)..0),.(%/)H$%%,(J)H$%%,()'2C),..0),.(%/)(8::.0);M).0)OUUJ)G%%$)(8::.0)*U).0) OUUE)F2.$#--$),20,.0)D.)-"5-.I)0%%$)..0)#.$#.)62/G"C.)D%%$)'2C)..0),.(%/),.B$82I()(8::.0)#.)*U).0)#.) ;RE) '(("+SSDDDEf-8(8B.E&-GSD%(&'gHcRHm3b!#>Pnh) !")#2()62/G"C.)52.0)D.)@2/2)#2.)'.()G%,2:&')H2.$I%0()H8/()H--$)'.(),.(%/);UE)!-I)#2()'.BB.0)D.)H--$)#.) #82#./2CI'.2#)20)..0)LV&./)B.:(%0#),.,-(.0E)
) >/:)D.)08)#.5.),.(%//.0)H.$,./2CI.0)G.()..0),.(%//.0$..I:)H%0)#.)H-$2,.)G%,2:&'.)H2.$I%0(.0)#%0)52.0) D.)#%()#.)H%:(.),.(%//.0)82()#.)H-$2,.)(D..)$..I:.0)))))YO*)(E.EGEP;Z)--I)B2C)#.)/%%(:(.)(.)H20#.0)52C0)-") #.5./6#.)"/%%(:J)'.().02,.)H.$:&'2/)2:)#%()5.)(./I.0:)3OU)52C0E))
) )
;)))I-G()H%0)O;) O*)I-G()H%0)P*) 12 komt van 22 F2.$#--$)H.$%0#.$()#.):-G)H%0)#.)M)H%:(.),.(%//.0)82()I-/-G)O)H%0);M)0%%$)MME) [8)I800.0)D.)..0)%/,.G..0)G%,2:&')H2.$I%0():%G.0:(.//.0)H--$)#.),.(%//.0)H%0)*O)(E.EGE);M)YD%0()#2() 52C0)#.),.(%//.0)#2.)@2/2),.B$82I(ZE)
) F2.$-0#.$)H-/,()0-,)..0)-H.$52&'()H%0)#.)(D..):--$(.0)G%,2:&'.)H2.$I%0(.0)G.()#.)%/,.G.0.)D%%$#.:) .0)#.)&-0($-/.)'2.$H%0+) ><@L]LL[+)
V3;Mc>) O;)
P;)
PU)
PO)
))))))) PM) >?M)
))))))) P*) >?O) PP)
ON)
OQ)
ABCD) ) )
)
OT) )
))))))) O*) >?P)
)
PR) )
) ) )
@.'(".:&+) !"#$%"&'(()*+ ) ) )
Verticaal:
V3MMc>) ;)
O;)
OU)
OO)
))))))) OM) >?M)
))))))) O*) >?O) OP)
Q) ))))))) *) >?P)
N)
AECD) )
T) ) OR) )
Diagonaal:
Het middelste vierkant:
De vier hoeken: ! De vierkanten in de vier hoeken:
De middelsten van de bovenste en onderste rij: (blauw)
De middelsten van de linkse en rechtse kolom: (groen)
De twee korte schuine vakken in linksboven en rechtsonder (paarse stippelijn):
De twee korte schuine vakken rechtsboven en linksonder (gele stippelijn):
Fragment 3: Extreme Vegas - Magic Rooms
Regels De presentator vertelt telkens hoeveel stappen we moeten zetten per beurt. Deze stappen mogen enkel horizontaal of verticaal gezet worden. Diagonale stappen zijn niet toegestaan en er mag ook geen blokje worden overgeslagen. Je mag enkel de aangeduide paden volgen. Kies je dus als beginplaats bijvoorbeeld het theater, dan kun je naar de kaartkamer, de bar of de winkels gaan. Bovendien is het verplicht om te starten in één van de vier ‘blauwe’ kamers (Restaurant, Nachtclub, Theater of Casino).
Verklaring goocheltruc
Als we de positie van elke kamer als in een matrix beschouwen, zien we dat de positie van het casino bijvoorbeeld rij 3, kolom 2 is. Als we rij en kolom optellen, wat de rang van dat element in de matrix is, bekomen we 5. Omdat de rang oneven is noemen we deze kamer ‘oneven’. Als we elke kamer dan op dezelfde manier behandelen, bekomen we volgende figuur waarbij de kamers met een nul in ‘even’ kamers zijn en de kamers met een ‘x’ in ‘oneven’ kamers zijn. Op de figuur hierboven zien we de rangschikking van de kamers met een kruisje en de kamers met een bolletje. Als we nu de regels volgen en ons enkel naar rechts/links/boven/onder verplaatsen over de zwarte strepen, dan zien we dat we altijd van een bolletje naar een kruisje gaan, of omgekeerd. Tijdens het verplaatsen komen we dus afwisselend in kamers met een kruisje en kamers met een bolletje terecht. Als we nu bijvoorbeeld in het casino beginnen (kamer met een kruisje) en we zetten vier stappen - een even aantal stappen - dan komen we terug op een kamer met een kruisje. Dit komt door de opeenvolging van bolletjes en kruisjes. Op dat moment kan eigenlijk elke kamer met een bolletje verwijderd worden. De presentator kiest ervoor om de sporthal (een kamer met een bolletje) te laten verdwijnen.
Zetten we dan vanaf die kamer met een kruisje vijf stappen - een oneven aantal stappen - dan komen we door de opeenvolging van bolletjes en kruisjes, op een bolletje. Op dat moment kan elke kamer met een kruisje verwijderd worden. De presentator kiest voor het restaurant. Zo gaat het spel verder, waarbij de kijker wordt gevraagd nu eens een even aantal stappen, dan weer een oneven aantal stappen te zetten. Zo komt de kijker afwisselend in kamers met bolletjes en kruisjes.
Stap nummer
Aantal stappen
Vertrekpunt
Eindpunt
Verwijderde zaal/zalen
1)
4
X
X
Gym (O)
2)
5
X
O
Dining room (X)
3)
2
O
O
Casino (X)
4)
3
O
X
Arcade & Shops (O)
5)
3
X
O
Nightclub (X)
6)
1
O
X
Bar & Cardroom (O)
Als je eindigt in een kamer met een kruisje, dan wordt er een kamer met een bolletje verwijderd en omgekeerd. In bovenstaand schema vinden we een overzicht terug van de verschillende stappen. Het spel gaat door tot op het einde de kijker zich ofwel in de bar ofwel in de cardroom bevindt. Beide zijn kamers met een bolletje. Nu wordt de kijker gevraagd om nog één stap te zetten. Omdat dit een oneven aantal stappen is, komt de kijker in de laatste kamer met een kruisje terecht: het theater. Beide andere kamers worden verwijderd en elke kijker bevindt zich, om het even waar hij het spel is begonnen, in het theater. Het spel drijft de kijker door de verwijdering van de kamers naar het theater. Deze verwijdering gebeurt door de kijker even en oneven aantallen stappen te laten zetten en de kamers (met bolletje of kruisje) waar de kijker zich op dat moment zeker niet bevindt, te laten verdwijnen.
