Wiskunde 1.
2 september 2008
versie 1
-1-
Op hoeveel verschillend e m anieren kun je d rie zw arte pionnen verdelen over d e 32 zw arte veld en van een schaakbord ? (N eem aan d at op elk veld hooguit één pion staat.) 1. 4960 2. 29760 3. 32768 Dit is een greep (com binatie) van 3 uit 32. De volgord e is niet va n belang om d at d e d rie pionnen inw isselbaar zijn. Een com binatie van 3 uit 32 is
2.
De lijn d ie d oor d e punten (0, 1) en (2, 7) gaat, heeft als richtingscoëfficiënt 1. 2. 3 3. een w aard e d ie je op basis van d eze gegevens niet goed kun t bepalen.
Bepaal d e richtingscoëfficiënt m et
3.
De grafiek van
d aalt
1. nooit 2. als x < 0 3. als x < ---1Bereken d e afgeleid e m et d e prod uctregel en bepaal voor w elke w aard en van x d eze negatief is.
De afgeleid e p’ is kleiner d an 0 als ongelijkheid geeft als oplossing x < -1
, w ant
is altijd positief. H et oplossen van d e
4.
1. 2. 3.
Pas d e rekenregels voor logaritm en toe:
Wiskunde
5.
2 september 2008
Gegeven is d e functie
versie 1
. Bij
-2-
is d e richtingscoëfficiënt van d e grafiek van h
gelijk aan 1. 2. 3.
Functie h kun je schrijven als
.
Bereken d e afgeleid e van functie h:
Vul
in in het functievoorschrift van d e afgeleid e functie. Dit
levert:
6.
1. 2. 3. Pas d e rekenregels voor het rekenen m et w ortels toe:
LET OP - H eeft u uw stud entnum m er ingevuld ? - H eeft u alle vragen beantw oord ? (N iet ingevuld e vragen w ord en fout gerekend ).
Wiskunde 2 september 2008 versie 1 -3- U heeft van d it tentam en versie 1 gem aakt. Geef d it aan rechtsond er op het antw oord form ulier.
OP D E VOLGEN D E PAGIN A VIN D T U D E OPEN VRAGEN
Wiskunde
2 september 2008
versie 1
-4-
Open vragen Laat bij elke vraag (indien van toepassing) zien hoe u aan het antwoord komt door alle stappen en berekeningen op te schrijven. Ook voor een correct antwoord kunt u zonder uitleg of berekening geen punten ontvangen. 1. Bepaal de coördinaten van het snijpunt of de snijpunten van de grafieken van onderstaande functies (indien ze bestaan). Laat eventuele wortelvormen staan, maar vereenvoudig wel zoveel mogelijk. a. en (1½ punt) b. en (1½ punt) c. en (3 punten) Stel telkens beide functiewaarden aan elkaar gelijk, bereken de waarde(n) voor x waarvoor ze aan elkaar gelijk zijn, en bereken vervolgens de bijbehorende y-coördinaat (-aten) a.
2 Invullen in f levert Coördinaten van het snijpunt zijn: Oplossen van x: ¾ punt, oplossen y: ½ punt, weergeven als coördinaten: ¼ punt b.
Twee oplossingen: x = 0 of x = 80. Invullen van deze waarden van x in één van de oorspronkelijke functievoorschriften levert respectievelijk en De coördinaten van de twee snijpunten zijn: (0, -2) en (80, 6398) Oplossen van x: ¾ punt, oplossen y: ½ punt, weergeven als coördinaten: ¼ punt c.
Gebruik de abc-formule om de oplossingen te vinden, met a = 1, b = -2, en c = -4
De x-coördinaten zijn dus en Deze waarden van x invullen in één van de twee functievoorschriften om de bijbehorende ycoördinaten te vinden:
De coördinaten van de twee snijpunten zijn: en Oplossen van x: 1½ punt, oplossen y: 1 punt, weergeven als coördinaten: ½ punt
Wiskunde
2 september 2008
versie 1
-5-
2. Onderstaande grafiek geeft aan hoe de investering in technieken voor zonne-energie is toegenomen van 100 miljoen dollar in 2005 tot 1000 miljoen dollar in 2007. Investering in technieken voor zonne-energie 2005 tot 2007
miljoen $
a. Laat met een berekening zien dat op basis van de gegevens voor 2005 en 2007, de groeifactor per jaar kan worden geschat op . (2 punten) De groeifactor tussen 2007 en 2005 is . De groeifactor per jaar is dan
Aangeven wat het verschil is tussen 2007 en 2005: ½ punt. Juiste berekening: 1 ½ punt. b. Veronderstel dat de groeifactor per jaar inderdaad 3,16 is, wat zou dan de investering voor 2006 zijn? Komt deze uitkomst voor 2006 overeen met wat de grafiek aangeeft voor 2006? ( 1 punt) De verwachte uitkomst voor 2006 als de groeifactor gelijk is aan 3,16 komt uit op 100 * 3,16 = 316 miljoen dollar. Dit komt aardig overeen met de grafiek. Investering voor 2006 correct berekend: ½ punt. Juiste antwoord overeenkomst grafiek: ½ punt. Als bij a. de uitkomst een andere groeifactor was, dan moet de berekening correct zijn, en afhankelijk van de afwijking van de grafiek, zal de overeenkomst daar ook anders zijn. Dan toch volledige aantal punten geven. c. Geef met een berekening aan wat de verwachting voor de investering in 2008 zal zijn. ( 1 punt) Voor 2008 verwachten we 1000 * 3,16 = 3160 miljoen dollar. Juiste berekening met de groeifactor die in a. (onafhankelijk van of het antwoord correct is of niet) is gevonden: 1 punt
3.
a. Bepaal de coördinaten van de extreme waarde(n) van de functie en stel vast of het om minimum of maximum gaat. (4 punten) Eerst differentiëren om de afgeleide functie van f te vinden:
½ punt Bepaal wanneer deze gelijk aan 0 is en bepaal vervolgens het tekenverloop om te zien bij welke waarden van x de grafiek van f daalt of stijgt, en te zien waar een maximum of een minimum is.
Bij x = -3 en bij x = 1 is de afgeleide gelijk aan 0, (1 punt voor juiste berekening van de waarden van x) dus de grafiek van f heeft daar een horizontale raaklijn.
Wiskunde
2 september 2008 versie 1 -6Vul enkele getallen voor x in om te zien waar de afgeleide positief is (grafiek stijgt) of negatief is (grafiek daalt): x_________-3 _________1_________ f(x) + + + + 0 - - - - - 0 + + + + ½ punt Hieruit valt af te leiden dat de grafiek van f een maximum heeft bij x = -3 en een minimum heeft bij x = 1 1 punt voor het interpreteren van het tekenverloop en het bepalen van waar het minimum en het maximum ligt. Bereken nu de y-coördinaten bij deze x-waarden door deze in te vullen in het oorspronkelijke functievoorschrift. Dit levert
½ punt voor het bepalen van de y-coördinaten De coördinaten van het maximum zijn (-3, 20) en de coördinaten van het minimum zijn (1, -12) ½ punt voor het weergeven van de coördinaten. b. Bepaal waar de grafiek van f de y-as snijdt. ( ½ punt) De grafiek van f snijdt de y-as als x = 0. Invullen in het functievoorschrift geeft De grafiek van f snijdt de y-as in het punt (0, -7) ½ punt voor berekening en weergeven coördinaten van het punt c. Schets de grafiek van f aan de hand van de punten die je bij a. en b. gevonden hebt. ( 1½ punt)
Wiskunde
2 september 2008
versie 1
-7-
y
x
1 punt voor een grafiek die gebruik maakt van de gegevens die bij a. en b. gevonden zijn. ½ punt voor een assenstelsel met schaalverdeling en labels bij de assen. Punten mc: 0-2 goed: 0 pt; 3 goed: 1 pt; 4 goed: 2 pt; 5 goed: 3 pt; 6 goed: 4 pt. Punten open vragen: maximaal 16
Eindcijfer =
