Wilcoxon Signed-Rank Test Single-Sample (Ade Heryana, SST, MKM)
April 16, 2017
BINOMIAL SIGN TEST FOR A SINGLE-SAMPLE (Uji Tanda Binomial untuk Satu Sampel) Oleh: Ade Heryana, SST, MKM Prodi Kesehatan Masyarakat, FIKES Univ. Esa Unggul
PENDAHULUAN Uji Binomial Sign Single-sample atau uji βTanda Binomial Satu Sampelβ adalah salah satu uji statistik non-parametrik yang digunakan untuk menguji hipotesis pada populasi yang terdiri dari dua kategori data, yaitu menguji apakah proporsi sampel pada satu dari dua kategori sama dengan nilai yang ditentukan. Karakteristik dari uji tanda-binomial satu sampel adalah: 1.
Berdasarkan distribusi binomial merupakan salah satu distribusi probilitas pada data yang bersifat diskret yaitu distribusi yang nilai-nilai variabelnya terbatas. Dalam distribusi normal, setiap n observasi yang bersifat independen dilakukan secara acak pada sebuah populasi, dan setiap obervasi tersebut dikelompokkan ke dalam satu dan dua kategori yang bersifat mutually exclusive (yakni hasil dari observasi yang satu tidak dipengaruhi oleh observasi yang lain). Dalam populasi yang berdistribusi binomial, kemungkinan sebuah observasi akan masuk dalam kategori 1 sama dengan π1 dan kemungkinan sebuah observasi akan masuk dalam kategori 2 sama dengan π2 . Sehingga π1 + π2 = 1 atau π2 = 1 β π1 . Rata-rata (ο) dan standar deviasi (ο³) variabel yang terdistribusi normal adalah: π = ππ1
Persamaan (1)
π = βππ1 π2
Persamaan (2)
Ada tiga kemungkinan bentuk dari distribusi binomial yaitu: a. Simetris, jika π1 = π2 = 0,5 b. Menceng positif ke arah mendekati nol, jika π1 < 0,5 c. Menceng negatif ke arah mendekati satu, jika π1 > 0,5 2.
Menggunakan distribusi binomial untuk menentukan kemungkinan bahwa x atau lebih (atau x atau kurang) dari n observasi memiliki sampel yang masuk dalam satu dari dua kategori. 1
Wilcoxon Signed-Rank Test Single-Sample (Ade Heryana, SST, MKM) 3.
April 16, 2017
Uji hipotesisnya dapat dinyatakan sebagai berikut: berdasarkan populasi yang direpresentasikan oleh sampel, apakah terdapat perbedaan antara frekuensi observasi pada dua kategori dengan frekuensi yang diharapkan?
4.
Umumnya dipakai pada sampel dalam jumlah kecil. Bila sampel yang dipakai berjumlah besar, maka perhitungan memerlukan bantuan aplikasi pengolah data komputer.
CONTOH SOAL-11 Sebuah eksperimen dilakukan untuk menentukan apakah sebuah koin (yang memiliki sisi βkepalaβ dan βekorβ) tidak simetris sehingga memiliki kesalahan hitung atau tidak. Koin diputar sebanyak sepuluh kali dan menghasilkan 8 kepala dan 2 ekor. Apakah hasil eksperimen tersebut menunjukkan bahwa koin memiliki kesalahan pengukuran?
CONTOH SOAL-22 Sepuluh wanita dikumpulkan untuk mencoba apakah dua merk obat gosok salisil yang akan diluncurkan memiliki rasa panas atau tidak. Delapan wanita menunjukkan obat gosok salisil merk A panas, sedangkan dua wanita menyatakan yang panas adalah merk B. Apakah terhadap perbedaan yang signifikan terhadap jawaban sepuluh wanita tersebut? JAWABAN Pada prinsipnya kedua soalnya tersebut memiliki data yang sama, sehingga jawaban keduanya adalah sebagai berikut Hipotesis Hipotesis nol π»0 : π1 = 0,5 Hipotesis alternatif π»1 β 0,5 (two-tailed)
1 2
Sumber: Sheskin (2004, hal. 269) Sumber: Sheskin (2004, hal. 269)
2
Wilcoxon Signed-Rank Test Single-Sample (Ade Heryana, SST, MKM)
April 16, 2017
Perhitungan statistik Sesuai dengan contoh-1 maka hipotesis nol dan hipotesis alternatif menggambarkan bahwa bila koin tersebut dalam keadaan baik (simetris) maka probabilitas untuk menghasilkan βkepalaβ adalah 0,5 atau π1 = 0,5. Begitu pula probabilitas untuk memunculkan sisi βekorβ adalah 0,5 atau π2 = 0,5. Sementara itu sesuai contoh-2 diasumsikan bahwa bila tidak ada perbedaan dalam pemilihan kedua merk obat gosok salisil, maka probabilitas seorang wanita memilih merk A adalah 0,5 atau π1 = 0,5 dan probabilitas seorang wanita memilih merk B adalah 0,5 atau π2 = 0,5. Dari kedua contoh di atas, pertanyaan yang harus dijawab adalah bila n = 10 dan π1 = π2 = 0,5 berapakah probabilitas bahwa 8 atau lebih observasi berada dalam 1 dari 2 kategori? Dari kedua contoh soal di atas maka frekuensi munculnya sisi βkepalaβ dari koin atau wanita memilih merk A adalah 8 atau x = 8. Sedangkan frekuensi munculnya sisi βekorβ dari koin atau wanita memilih merk B adalah 2 atau n - x = 8, dimana n = 10. 8
Maka proporsi observasi untuk kategori 1 (sisi βkepalaβ atau merk A) adalah π1 = 10 = 0,8. Sedangkan proporsi observasi untuk kategori 2 (sisi βekorβ atau merk B) adalah 2
π2 = 10 = 0,2. Perhitungan untuk menyimpulkan hasil uji hipotesa bisa menggunakan cara probabilistik (dengan rumus dan aplikasi komputer) dan cara klasik (dengan tabel).
a. Cara probalistik (dengan rumus distribusi binomial) Formula yang dipakai untuk menghitung probabilitas bahwa x tepat berada dalam satu dari dua kategori dari n observasi adalah: π π(π₯) = ( ) (π1 )π₯ (π2 )(πβπ₯) π₯
Persamaan (3)
dimana: π ( ) = koefisien binomial atau secara umum menjelaskan jumlah kombinasi dari n π₯ terhadap x pada waktu tertentu, dan dihitung dengan persamaan berikut:
3
Wilcoxon Signed-Rank Test Single-Sample (Ade Heryana, SST, MKM)
April 16, 2017 Persamaan (4)
π! π ( )= π₯ π₯! (π β π₯)!
10 Pada contoh soal-1 dan contoh soal-2 di atas, koefisien binomialnya adalah ( ) 8 yaitu kombinasi 10 terhadap 8. Bila nilai koefisien ini dikalikan dengan (0,5)8 dan (0,5)2 menghasilkan probabilitas terjadinya tepat 8 sisi βkepalaβ/merk A dari 10 8
8
observasi yang diberi notasi π(10). Nilai π(10) dihitung dengan persamaan (3) di atas menghasilkan: π(8/10) = (
10 (0,5)8 (0,5)(10β2) (45)(0,5)8 (0,5)2 ) = = 0,0439 8
Untuk menjawab permasalahan contoh soal-1 dan soal-2 di atas, tidak cukup hanya mendapatkan probabilitas terjadinya tepat 8 kejadian saja, namun juga perlu dihitung probalilitas kumulatif jika x = 8, 9 dan 10, sehingga dengan persamaan (3): 10 π(9/10) = ( ) (0,5)9 (0,5)(10β1) = (45)(0,5)9 (0,5)1 = 0,0098 9 10 π(10/10) = ( ) (0,5)10 (0,5)(10β10) = (45)(0,5)10 (0,5)0 = 0,0010 10 Sehingga
probabilitas
kumulatif
π(8,9, ππ‘ππ’ 10β10) = 0,0439 + 0,0098 +
0,0010 = 0,547. b. Cara tabel Cara lain menghitung probabilitas kumulatif x = 8,9, dan 10 adalah dengan tabel Distribusi Binomial Probabilitas Kumulatif (Lihat lampiran). Dengan n = 10, x = 8 dan ο‘ = 0,5 maka probabilitas kumulatifnya adalah 0,9453. Sehingga probabilitas tepat x = 8,9, dan 10 adalah 1 β 0,9453 = 0,0547. Interpretasi hasil perhitungan Berdasarkan hasil perhitungan dengan rumus atau tabel didapat p value = 0,0547 atau lebih besar dari ο‘ = 0,05 sehingga hipotesis ditolak atau terdapat perbedaan antara nilai observasi dengan nilai harapan atau tidak cukup bukti untuk menyatakan bahwa koin memiliki bias (contoh-1) atau wanita memilih merk A dibanding merk B (contoh soal-2).
4
Wilcoxon Signed-Rank Test Single-Sample (Ade Heryana, SST, MKM)
April 16, 2017
REFERENSI Viterel, V (NA). Tables of Binomial Cumulative Distribution. Diunduh tanggal 16 April 2017 dari https://mat.iitm.ac.in/home/vetri/public_html/statistics/binomial.pdf Sheskin, David J. (2004). Handbook of Parametric and Nonparametric Statistical Procedures,
edisi 3. DC: Chapman & Hall/CRC
LATIHAN SOAL 1.
Sebuah studi berminat melakukan uji fluorescent antibody guna meneliti adanya reaksi serum setelah pengobatan pada penderita malaria falcifarum. Dari 25 subjek yang telah disembuhkan, 15 subjek ditemukan bereaksi positif. Jika sampel itu memenuhi semua asumsi yang mendasari uji binomial, dapatkah kita menyimpulkan dari data itu bahwa proporsi reaksi positif dalam populasi yang bersangkutan adalah lebih besar dari 0,5? Misalkan Ξ± = 0,053
2.
Dari 15 mobil ambulans yang beroperasional di sebuah Rumah Sakit, 10 diantaranya rutin masuk bengkel. Berapa probabilitas bahwa ambulans yang rutin masuk bengkel lebih besar dari yang tidak rutin masuk bengkel, dengan ο‘ = 5%, atau dengan kata lain apakah proporsi ambulans rutin masuk bengkel lebih besar daripada tidak masuk bengkel?
3.
Dari 36 mobil ambulans yang beroperasional di sebuah Rumah Sakit, 11 diantaranya rutin masuk bengkel. Berapa probabilitas bahwa ambulans yang rutin masuk bengkel lebih besar dari yang tidak rutin masuk bengkel, dengan ο‘ = 5%, atau dengan kata lain apakah proporsi ambulans rutin tidak masuk bengkel lebih besar daripada rutin masuk bengkel?
4.
Dari 20 dokter yang bekerja di sebuah Rumah Sakit, 8 diantaranya tidak setuju dengan kebijakan baru. Berapa probabilitas bahwa dokter yang tidak setuju lebih besar dari yang setuju kebijakan baru, dengan ο‘ = 5%, atau dengan kata lain
3
Sumber: Wayne W.Daniel, 2003, hal 67
5
Wilcoxon Signed-Rank Test Single-Sample (Ade Heryana, SST, MKM)
April 16, 2017
apakah proporsi dokter yang tidak setuju lebih kecil daripada setuju kebijakan baru?
6
Wilcoxon Signed-Rank Test Single-Sample (Ade Heryana, SST, MKM)
April 16, 2017
Lampiran: Tabel Distribusi Binomial Kumulatif (Sumber: Vetrivel, Indian Institute of Technology, Madras) 4
Tabel berikut menyajikan probabilitas terjadinya paling sedikit x kejadian pada n percobaan yang independen atau probabilitas sukses (p of success). Bila X adalah jumlah sukses, maka probabilitasnya adalah π(π β€ π₯) = βπ₯π=0 πΆππ ππ (1 β π)πβπ
4
Diunduh dari https://mat.iitm.ac.in/home/vetri/public_html/statistics/binomial.pdf pada tanggal 16 April 2017
7
Wilcoxon Signed-Rank Test Single-Sample (Ade Heryana, SST, MKM)
April 16, 2017
8
Wilcoxon Signed-Rank Test Single-Sample (Ade Heryana, SST, MKM)
April 16, 2017
9
Wilcoxon Signed-Rank Test Single-Sample (Ade Heryana, SST, MKM)
April 16, 2017
10
Wilcoxon Signed-Rank Test Single-Sample (Ade Heryana, SST, MKM)
April 16, 2017
11
