Wat moet je met exorbitant grote oneindigheden?

De geest op oneindig Essay

1 juli 2004

Joop Leo Stud.nr. 0233811

Wat moet je met exorbitant grote oneindigheden? Op de vraag waarom hij de Mount Everest wilde beklimmen, antwoordde George Mallory: “Because it's there". Op de vraag waarom je je met oneindigheden zou bezighouden, zou je ook kunnen antwoorden: “Omdat ze er zijn”, maar een sterk argument lijkt dit niet. Want, waar zijn ze dan? In een platoons rijk? Solomon Feferman [1998, p. 248] vindt dit in ieder geval een duidelijk achterhaalde opvatting: “Platonism is the medieval metaphysics of mathematics”. Sinds Cantor zijn oneindigheden als paddestoelen uit de grond geschoten en nog steeds komen er alsmaar duizelingwekkendere exemplaren bij. De vraag is, als je het objectieve bestaan van grote oneindigheden niet als uitgangspunt neemt, wat voor rechtvaardiging kun je dan hebben om je er toch mee bezig te houden? In dit essay wil ik deze vraag belichten vanuit de volgende niet-realistische posities: Solomon Fefermans antiplatonisme, Hartry Fields fictionalisme en Penelope Maddy’s naturalisme. De opbouw van het essay is als volgt. Ik start met een korte typering van ordinaalgetallen, (grote) kardinaalgetallen, het continuüm probleem, de cumulatieve en de construeerbare hiërarchie. Lezers die bekend zijn met deze zaken kunnen dit eerste stuk overslaan. Vervolgens bespreek ik enkele argumenten die gebruikt worden ter verdediging van axioma’s die het bestaan van grote kardinaalgetallen claimen. In sectie 3 presenteer ik de posities van Feferman, Field en Maddy en in sectie 4 onderwerp ik het drietal aan een bescheiden diepte-onderzoek: is Feferman niet te pessimistisch, Field niet te radicaal en Maddy niet te bescheiden? Tot slot ga ik in op de vraag wie zich zinnig met grote kardinaalgetallen bezig kan houden en op de vraag of filosofie in het grondslagenonderzoek van de wiskunde nog wel een rol kan spelen.

1. Een overvloed aan oneindigheden 1.1 Een lange wandeling Om een beetje op te warmen begin ik met een wandeling door het landschap van de verzamelingen over het pad van de ordinaalgetallen. Helemaal aan het begin van het pad ligt ∅, de lege verzameling, direct gevolgd door {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}. Er staan namen bij deze verzamelingen: 0, 1, 2, 3. Na een flinke wandeling kom ik bij een ordinaalgetal met de naam Googol (10100), en nog veel verder bij Googolplex (10Googol), dat zo groot is dat ons heelal wellicht te klein is om het als decimaal getal in te kunnen uitschrijven. Nu maak ik een megasprong naar het oneindige en kom aan bij ω, het ordinaalgetal dat alle eindige ordinaalgetallen bevat. Ik loop rustig verder en zie ω+1, ω+2, ω+3, … Ik maak weer een sprong en kom bij ω+ω. Met lopen en springen kom ik langs 3ω … ω.ω … ωω … en langs ε0, het eerste ordinaalgetal α waarvoor geldt ωα = α. Het ordinaalgetal ε0 lijkt indrukwekkend groot, maar is toch gewoon aftelbaar. Ik maak nu een hele grote sprong en kom bij het ordinaalgetal dat alle aftelbare ordinaalgetallen bevat. Dit is het eerste overaftelbare ordinaalgetal. -1–


1 juli 2004


Springend kom ik vervolgens langs allerlei ordinaalgetallen die machtiger zijn dan elk van hun voorgangers, in die zin dat geen van hun voorgangers er één-op-één op kunnen worden afgebeeld. Deze ordinaalgetallen zijn de zogenaamde kardinaalgetallen. Na de eindige kardinaalgetallen 0, 1, 2, 3, … komen de alefs: ℵ0, ℵ1, ℵ2, ℵ3, …, ℵω, … en knap grote kardinaalgetallen zoals θ waarvoor geldt: ℵθ = θ. Links en rechts van de kardinaalgetallen zie ik verzamelingen die ermee gelijkmachtig zijn, al zie ik van sommige niet helder waar zij bij horen. Zie ik links van ℵ1 de verzameling van de reële getallen liggen? Of ligt hij bij ℵ2 of bij ℵ3 of bij … In ieder geval ligt hij niet bij ℵω, maar misschien wel verder. Een heel eind verderop wordt het schimmig. Ik zie nu zulke grote kardinaalgetallen, dat ik me afvraag of ik geen spoken zie. Tijd om terug te gaan. Grappig, ik ben zo verschrikkelijk ver gegaan en toch blijk ik alleen maar via eindig veel stappen thuis te kunnen komen … 1.2 Ordinaal- en kardinaalgetallen Ordinaalgetallen zijn generalisaties van de natuurlijke getallen. Ordinaalgetallen en kardinaalgetallen kunnen uitgaande van ZFC als volgt eenvoudig gedefinieerd worden1: Definitie. Een ordinaalgetal is een transitieve verzameling van transitieve verzamelingen. Een ordinaalgetal κ heet een kardinaalgetal als er geen bijectie is van κ met een ordinaalgetal < κ. Een verzameling X heet transitief als elk element van X ook een deelverzameling van X is. (Equivalent hieraan is: a ∈ b & b ∈ X → a ∈ X.) Ordinaal- en kardinaalgetallen zijn om diverse redenen interessant. Mooie eigenschappen zijn onder andere: ordinaalgetallen zijn welgeordend (d.w.z. elke niet lege deelverzameling heeft een kleinste element); elke welordening is isomorf met een ordinaalgetal; op grond van het keuze axioma is elke verzameling wel te ordenen en dus gelijkmachtig met een kardinaalgetal zoals hier ingevoerd. (Als een verzameling X gelijkmachtig is met een kardinaalgetal κ dan zeggen we dat X kardinaliteit κ heeft.) Een kardinaalgetal wordt een groot kardinaalgetal genoemd als het bestaan ervan niet in ZFC bewezen kan worden. Er zijn enkele tientallen soorten grote kardinaalgetallen. Ik bespreek hier alleen de zwak onbereikbare, de sterk onbereikbare en de meetbare. Definitie. Een kardinaalgetal κ is zwak onbereikbaar als κ een regulier limiet kardinaalgetal > ℵ0 is. Een kardinaalgetal κ is regulier als κ niet de vereniging is van minder dan κ ordinaalgetallen < κ.

1

De hier gegeven definitie van ordinaalgetallen is adequaat dankzij het regulariteitsaxioma van ZFC. De hier gegeven definitie van kardinaalgetallen is adequaat dankzij het keuze-axioma. De operaties optelling, vermenigvuldiging en machtsverheffing zijn voor kardinaalgetallen overigens niet hetzelfde als voor ordinaalgetallen.

-2–


1 juli 2004


Een kardinaalgetal κ is een limiet als voor elk kardinaalgetal λ < κ, λ+ < κ. (λ+ is het kleinste kardinaalgetal groter dan λ.) Definitie. Een kardinaalgetal κ is sterk onbereikbaar als κ regulier en een sterke limiet is. Een kardinaalgetal κ is een sterke limiet als voor elke λ < κ, 2λ < κ. Door Stanisław Ulam, die met Edward Teller de uitvinder van de waterstofbom is, zijn de meetbare kardinaalgetallen gedefinieerd, die anders dan hun naam wellicht doet vermoeden zéér groot zijn. Ze zijn via enkele generalisatieslagen voortgekomen uit de Lebesgue maattheorie. Definitie. Een kardinaalgetal κ is meetbaar als κ een κ-compleet ultrafilter is. Een kardinaalgetal κ is een λ-compleet ultrafilter als er een verzameling M ⊂ ℘κ is z.d.d. (i) Alle elementen van M hebben kardinaliteit ≥ λ (ii) Elke doorsnede van minder dan λ elementen van M is een element van M (iii) Voor elke A ⊂ κ is óf A óf het complement van A in M Stelling (Ulam, 1930). Alle meetbare kardinaalgetallen zijn sterk onbereikbaar. Pas in het begin van de 60-er jaren, werd duidelijk hoe groot meetbare kardinalen zijn. Toen bleek dat er veel meer dan onbereikbaar veel onbereikbare kardinalen kleiner zijn dan het eerste meetbare kardinaalgetal. 1.3 Het continuüm probleem David Hilbert’s eerste van zijn 23 beroemde problemen uit 1900 was de vraag of de volgende bewering, die bekend staat als de continuümhypothese (CH), waar is: Jedes System von unendlich vielen reellen Zahlen d. h. jede unendliche Zahlen- (oder Punkt)menge ist entweder der Menge der ganzen natürlichen Zahlen 1, 2, 3, ... oder der Menge sämmtlicher reellen Zahlen und mithin dem Continuum, d.h. etwa den Punkten einer Strecke aequivalent.

Of anders geformuleerd: 2ℵ0 = ℵ1. Hilbert merkte op dat er al tevergeefs een hoop energie in gestoken was. Georg Cantor, die in 1878 CH formuleerde, meende in 1884 een extreem eenvoudig bewijs ervoor te hebben. Ook Hilbert dacht in 1925 dicht bij de oplossing te zijn: “I […] offer a brief intuitive presentation here of the fundamental idea of its proof” [Hilbert, ‘On the infinite’, 1925, p. 384]. In de afgelopen eeuw is het probleem een bron van inspiratie geweest voor veel wiskundig onderzoek, onder andere op het gebied van grote kardinaalgetallen. Ik noem eerst de twee markantste resultaten: Stelling (Gödel, 1938). Als ZFC consistent is, dan is ZFC + CH dat ook. Stelling (Cohen, 1963). Als ZFC consistent is, dan is ZFC + ¬CH dat ook. -3–



1 juli 2004

Uit alleen ZFC is teleurstellend weinig te halen over de grootte van het continuüm 2ℵ0, zoals blijkt uit de volgende stelling. Stelling. Als ZFC + “er zijn zwak onbereikbare kardinaalgetallen” consistent is, dan is ZFC + “2ℵ0 is zwak onbereikbaar” dat ook.2 Maar er zijn grenzen, want 2ℵ0 is kleiner dan elk sterk onbereikbaar kardinaalgetal, zoals direct volgt uit de definitie van sterke onbereikbaarheid. Ook is direct in te zien dat als de Gegeneraliseerde continuümhypothese (GCH), die zegt dat 2ℵα = ℵα+1 voor alle α, waar is, dat dan sterk onbereikbaar en zwak onbereikbaar op hetzelfde neerkomt. 1.4 De cumulatieve en de construeerbare hiërarchie De “iteratieve conceptie van verzamelingen”, zoals door onder andere Boolos [1971] beschreven is, geeft een hiërarchische voorstelling van het universum van verzamelingen, waarmee ZF onderbouwd kan worden.3 Deze voorstelling gaat terug op Zermelo en Russell. Het basisidee is dat elementen van verzamelingen aan de verzamelingen zelf voorafgaan. Definitie. De cumulatieve hiërarchie V van verzamelingen is V0 = ∅ Vα+1 = ℘Vα Vλ = α<λ Vα als λ een limiet ordinaal is

α

Vα, waarbij:

Een fraaie eigenschap van de cumulatieve hiërarchie is dat voor sterk onbereikbare κ de verzameling Vκ groot genoeg is om als model voor ZFC te dienen4: Stelling. Als κ een sterk onbereikbaar kardinaalgetal is, dan Vκ, ∈

ZFC.

Met behulp van deze stelling kun je aantonen dat het bestaan van sterk onbereikbare kardinaalgetallen niet bewijsbaar is in ZFC. Omdat ZFC een eerste-orde theorie is, haal ZFC niet dat Vκ echt groot is. Immers op grond van de stelling van je uit alleen Vκ, ∈ Löwenheim-Skolem heeft ZFC ook een aftelbaar model. Echter de stelling kan aangescherpt worden voor ZFC2, de tweede-orde versie van ZFC: κ is sterk onbereikbaar desda Vκ ZFC2. Voor het bewijs van de relatieve consistentie van de continuümhypothese, construeerde Gödel een submodel L van V, waarvan hij bewees dat die aan de continuümhypothese voldoet.

2

Zie voor een bewijs van deze stelling bijvoorbeeld [Kunen, 1999, p 210]. Boolos [1971, 501] claimt dat de iteratieve conceptie neutraal is ten aanzien van het keuze-axioma. Volgens Shoenfield [1977, 336] volgt het keuze-axioma echter wel uit de iteratieve conceptie. 4 Ik ga er hier vanuit dat V ZFC. 3

-4–


1 juli 2004


Definitie. De construeerbare hiërarchie L van verzamelingen is α Lα, waarbij: L0 = ∅ Lα+1 = def (Lα) = {x ⊆ Lα | x is definieerbaar over Lα, ∈ } Lλ = α<λ Lα als λ een limiet ordinaal is Een verzameling X heet definieerbaar over een structuur M als voor een zekere eerste-orde formule ϕ en a1, …, an uit het domein van M geldt: X = {y| M ϕ[y, a1, …, an]}. Het Axioma van Construeerbaarheid is de bewering dat ∀x∃α (x ∈ Lα). Deze bewering wordt geschreven als V = L. Gödel formuleerde dit axioma, maar hij verwierp het, omdat er de continuümhypothese uit volgde, waarvan hij de juistheid onwaarschijnlijk achtte. Stelling (Gödel, 1938). Als ZF consistent, dan is ZF + V = L dat ook. ZF + V = L |– AC & GCH. Het is omgekeerd niet zo dat uit ZFC + GCH ook V = L volgt. Een andere interessante stelling is die van Dana Scott, waaruit iets van de kracht van meetbare kardinaalgetallen blijkt: Stelling (Scott, 1960). Als er meetbare kardinaalgetallen zijn, dan V ≠ L. Een intrigerend fenomeen is dat als er meetbare kardinaalgetallen zijn, er dan een nietconstrueerbare deelverzameling van ω is, 0# (“zero sharp”), die precies codeert hoe L verschilt van V. Er is even hoop geweest dat de meetbare kardinaalgetallen de sleutel tot de oplossing van de continuümhypothese zou zijn. Maar de continuümhypothese is onafhankelijk gebleken van het axioma dat er meetbare kardinaalgetallen zijn en volgens Feferman [1999, p. 107] van alle andere enigszins plausibele oneindigheidsaxioma’s, die tot dan toe beschouwd waren.

2. Te groot om waar te zijn? Een probleem met grote kardinaalgetallen is de vraag of ze wel bestaan. Hun bestaan is niet zelfevident, in ieder geval nog niet. We moeten het tot nu toe doen met quasiintrinsieke argumenten, die niet meer zijn dan enigszins vage vuistregels, en extrinsieke argumenten, die ook niet helemaal verpletterend zijn. Gödel [1947, p. 477] zegt over de waarde van extrinsieke argumenten onder andere: “There might exist axioms so abundant in their verifiable consequences, shedding so much light upon a whole field, and yielding such powerful methods for solving problems […] that, no matter whether or not they are intrinsically necessary, they would have to be accepted at least in the same sense as any well-established physical theory.” Gödel [1947, p. 476] verdedigt het axioma voor het bestaan van onbereikbare kardinaalgetallen als volgt: “The latter axiom, roughly speaking, means nothing else but that the totality of sets obtainable by use of the procedures of formation of sets -5–


1 juli 2004


totality of sets obtainable by use of the procedures of formation of sets expressible in the other axioms forms again a set.” Maddy [1988, p. 502] noemt dit het onuitputbaarheidsprincipe: Het universum van verzamelingen is te complex om via een handvol operaties (zoals machtsverzamelingsoperatie en ‘replacement’5) helemaal te bevatten. Maddy [1988, p. 501-508] geeft ook verschillende andere vuistregels, waarvan ik er hier nog enkele bespreek. Een vuistregel, die stukken sterker is dan het onuitputbaarheidsprincipe, is het volgende reflectieprincipe: Het universum van verzamelingen is zo complex dat het niet volledig beschreven kan worden; daarom is alles wat waar is voor het hele universum ook waar voor een initieel segment ervan. Met andere woorden, delen van het universum van verzamelingen “reflecteren” de eigenschappen van het universum. Er zijn een hoop reflectieprincipes, waarvan sommige zwakkere vormen zelfs in ZFC bewijsbaar zijn. Specifiek voor ordinaalgetallen is er het volgende reflectieprincipe: De collectie van alle ordinaalgetallen is zo verschrikkelijk groot, dat voor elke redelijke eigenschap P die de collectie van alle ordinaalgetallen heeft, er minstens één ordinaalgetal is die ook eigenschap P heeft. Meetbare kardinaalgetallen zijn zo groot, dat voor het aannemelijk maken van hun bestaan nog zwaarder geschut nodig is, zoals het zogenaamde uniformiteitsprincipe: Als een bepaalde interessante situatie voorkomt op een laag niveau in de hiërarchie van kardinaalgetallen, komt een vergelijkbare situatie ook op hogere niveaus voor. Een groot probleem met het uniformiteitsprincipe is echter dat het niet altijd opgaat. Het leidt soms tot inconsistenties (onder andere bij een generalisatie van de stelling van Ramsey). Volgens Maddy [1988, p. 506] zijn intrinsieke en vuistregel argumenten voor het bestaan van meetbare kardinaalgetallen schaars, maar zijn extrinsieke argumenten wel extreem overtuigend. Een indrukwekkende consequentie van het bestaan van meetbare kardinaalgetallen hebben we in par. 1.4 gezien, namelijk dat V ≠ L. Als je niet gelooft in de ‘echtheid’ van grote kardinaalgetallen of zelfs als alles wat overaftelbaar is je al te veel is, dan is er nog een uitweg: je kunt (in eerste-orde talen) elk axioma over grote kardinalen op grond van de stelling van Löwenheim-Skolem opvatten als een combinatorische uitspraak over de klasse van aftelbare modellen voor verzame-

5

Met ’replacement’ bedoel ik hier de operatie volgens het substitutie (replacement) axioma van ZFC.

-6–


1 juli 2004


lingstheorie.6 Toch zie ik deze benadering een beetje als een zwaktebod, omdat met deze aftelbare non-standaard modellen geen intuïtief helder beeld correspondeert en het probleem van een rechtvaardiging voor zulke axioma’s blijft bestaan. Maar ook zonder je te bekommeren om welk model dan ook, kun je je als zuivere puzzelaar in eerste-orde theorieën uitleven. Deze mogelijkheden onderstrepen dat het niet nodig is om een wiskundig concept helemaal te begrijpen om ermee te kunnen werken. Integendeel, door trial and error methodes zijn in het verleden vaker wiskundige concepten helder geworden.

3. Grote oneindigheden niet-realistisch bekeken 3.1 Anti-platonisme van Feferman Solomon Feferman ziet weinig in grote kardinaalgetallen. Feferman [2000, p. 403] stelt dat 99% van alle wiskunde geformaliseerd worden kan in systemen die veel zwakker zijn dan ZFC. Het wetenschappelijk toepasbaar deel zou zelfs geformaliseerd kunnen worden in systemen die conservatief zijn over systemen die veel zwakker zijn dan PA. Ook is tot nu toe niet bekend dat beroemde problemen zoals het vermoeden van Goldbach, de Riemann Hypothese en het P = NP probleem onafhankelijk zouden zijn van PA. Grote kardinaalgetallen hebben volgens Feferman ook niets bijgedragen aan het oplossen van de continuümhypothese. Feferman ziet overigens überhaupt weinig in de continuümhypothese. Deze vindt hij inherent vaag en ook het continuüm zelf, of equivalent daaraan de machtsverzameling van de natuurlijke getallen, vindt hij geen scherp bepaald wiskundig object. Toch zijn grote kardinaalgetallen voor Feferman niet helemaal waardeloos. Ze kunnen voor gewone wiskunde een zekere heuristische en instrumentele waarde hebben. Bijvoorbeeld voor bewijstheorie bleken analogieën van grote kardinaal begrippen zeer belangrijk te zijn voor onder andere subsystemen van de analyse. 3.2 Fictionalisme van Field Hartry Field stelt dat wiskundige entiteiten niet bestaan. Er bestaan geen abstracte dingen als getallen, functies en verzamelingen. Wiskundige zinnen moeten niet letterlijk geloofd worden. Volgens Field [1989, p. 3] lijkt voor een fictionalist de manier waarop ‘2+2=4’ waar is behoorlijk veel op de manier waarop ‘Oliver Twist leefde in Londen’ waar is. Veel wiskundige claims zijn sterk verbonden met niet-wiskundige claims. Bijvoorbeeld ‘1+1=2’ is sterk verbonden met ‘als er precies één appel op tafel ligt en precies één peer, dan liggen er op tafel precies twee dingen die of een appel of een peer zijn’. Maar er zijn ook uitspraken die niet zo’n verbondenheid met niet-wiskundige claims hebben, zoals de 6 Benedikt Löwe gaf dit als argument waarom hij het niet als een groot probleem ziet voor anti-platonisten om te werken met grote kardinaalgetallen [email van 12 april 2004].

-7–


1 juli 2004


uitspraak ‘er zijn onbereikbare kardinalen’. Field heeft niets tegen zulke claims. Hij beschouwt ze als een natuurlijke extensie van het ‘verhaal’ van ZFC [1989. p. 10]. Dat er geen wiskundige entiteiten zouden zijn, is voor Field geen reden om wiskunde overboord te gooien, want [1989, p. 125]: “mathematics does not need to be true to be good.” Wiskunde is goed als instrument. De juistheid van nominalistische claims, waarin geen verwijzingen voorkomen naar abstracte entiteiten, is volgens Field vaak eenvoudiger in te zien als je gebruik maakt van wiskundige entiteiten. Maar voor goede (nominalistische!) fysische theorieën zouden alle referenties naar wiskundige entiteiten in feite overbodig zijn. Deze opvatting staat haaks op het Quine/Putnam onmisbaarheidsargument, dat stelt dat het postuleren van wiskundige entiteiten even onmisbaar voor een theorie is als het postuleren van niet-waarneembare entiteiten als elektronen. Een centrale claim van het boek Science without Numbers van Field is dat wiskunde conservatief is over fysica, waarbij hij conservativiteit als volgt definieert: Een wiskundige theorie S is conservatief als voor elke nominalistische assertie A en elke verzameling van zulke asserties N geldt dat A geen consequentie van N + S is tenzij A een consequentie van N alleen is.

Een nominalistische assertie is een assertie over onze fysieke wereld waarvan de variabelen allemaal expliciet beperkt zijn tot niet-wiskundige entiteiten. Field geeft het volgende informele argument voor de conservativiteit van de wiskunde: onze wiskundige theorieën worden gewoonlijk beschouwd als ‘waar in alle werelden’ en als ‘a priori waar’ en daarom is het moeilijk voorstelbaar dat deze theorieën resultaten kunnen impliceren over concrete objecten die niet logisch waar zouden zijn. Meer algemeen claimt Field [1980, p. 13] dan ook: “Good mathematics is conservative; a discovery that accepted mathematics isn’t conservative would be a discovery that it isn’t good.” Field schetst in Science without Numbers [1980, p. 16-19] twee bewijzen voor de conservativiteit van eerste-orde ZFC.7 Opmerkelijk is dat hij in zijn eerste bewijs gebruik maakt van het axioma van sterk onbereikbare kardinalen om een geschikt model te maken. Een mooie consequentie van de conservativiteits-these is dat ook iemand die niet gelooft in het bestaan van wiskundige entiteiten vrij is om deze te gebruiken om nominalistischuitdrukbare consequenties af te leiden uit nominalistisch-uitdrukbare premissen. Field onderkent dat we op zo’n manier soms veel kortere gevolgtrekkingen kunnen maken. Wiskunde is voor Field dus niet essentieel voor wetenschap, maar wel degelijk nuttig! Field wijst in dit verband op een opmerkelijk verschil tussen de rol van wiskundige entiteiten en de rol van niet-observeerbare entiteiten: fysische theorieën over nietobserveerbare entiteiten zijn niet conservatief, want zij kunnen echt nieuwe conclusies opleveren over observeerbare entiteiten.

7

Field [1980, p. 40] claimt dat de bewijzen met kleine aanpassingen ook voor tweede-orde ZFC opgaan. De benodigde aanpassingen geeft hij in “note 30” [p. 115], waar hij voor tweede-orde theorieën alleen semantische conservativiteit vaststelt.

-8–


1 juli 2004


Field [1989, p. 280] ziet overigens als een van de voornaamste doelen van verzamelingstheorie dat zoveel mogelijk theorieën erin gemodelleerd kunnen worden. Daarom prefereren volgens hem wiskundigen ook verzamelingstheorieën met krachtige grote kardinalen axioma’s. Dit lijkt aan te sluiten bij de opvattingen van Maddy, die in de volgende sectie besproken wordt. 3.3 Naturalisme van Maddy Penelope Maddy stelt dat het mathematisch realisme geen bevredigende benadering biedt voor methodologische problemen in de grondslagen van de hedendaagse verzamelingstheorie. Meer in het algemeen zijn volgens Maddy veel methodologische debatten, bijvoorbeeld over impredicatieve definities en het keuze-axioma, beslecht op grond van gewone wiskundige gronden en niet op basis van filosofische overwegingen. De benadering die Maddy voorstaat, het mathematisch naturalisme, is grotendeels non-filosofisch: als er een conflict is tussen de filosofie van de wiskunde en de succesvolle wiskundige praktijk, dan moet de filosofie buigen. Haar naturalisme zelf is geen filosofie van de wiskunde, maar een positie over de relatie tussen de filosofie van de wiskunde en de wiskundige praktijk. Het doel van filosofie van de wiskunde moet niet zijn om te hervormen, maar om rekenschap af te leggen over hoe wiskunde bedreven wordt. In haar naturalistische opvatting is wiskunde niet alleen onafhankelijk van eerste filosofie, maar ook van de natuurwetenschappen. Wiskunde is een succesvolle onderneming en pogingen om wiskunde te limiteren zijn een slecht idee. Wiskundigen moeten hun wiskundige neuzen kunnen volgen waarheen die hen ook leiden. Maddy noemt haar positie ook wel ‘philosophical modesty’. Maddy stelt dat de praktijk van de verzamelingstheorie als een belangrijk doel heeft een zo ruim mogelijk fundament te bieden voor de hele wiskunde. Voor het bereiken van dit doel ziet Maddy twee effectieve maximes, die zij MAXIMIZE en UNIFY noemt. MAXIMIZE stelt dat de verzamelingstheoretische axioma’s zo krachtig en vruchtbaar mogelijk moeten zijn en dat verzamelingstheorie de range van isomorfisme types moet maximaliseren. Complementair hieraan is UNIFY, de maxime die stelt dat gestreefd moet worden naar één fundamentele verzamelingstheorie. Of MAXIMIZE en UNIFY altijd beiden vervuld kunnen worden is de vraag. Zo zou volgens Maddy de wiskundige gemeenschap mogelijk ooit meerdere theorieën met elk een verschillende grootte voor het continuüm kunnen omarmen als we geen keuze kunnen maken op grond van wiskundig verdedigbare overwegingen. Voor het accepteren van grote kardinaalgetallen speelt MAZIMIZE bij Maddy een belangrijke rol. Ze beschouwt ZFC + ‘er is een meetbaar kardinaalgetal’ (ZFC+MC) als een duidelijk aantrekkelijkere theorie dan ZFC + V = L, omdat ZFC + MC alle voordelen van ZFC + V = L heeft plus aanwijsbare voordelen van zichzelf. Zo kan ZFC + V = L geïnterpreteerd worden in ZFC + MC en behoren tot de aanwijsbare voordelen van ZFC + MC de oplossingen die de theorie biedt voor bepaalde open vragen in de descriptieve verzamelingsleer. Ook is een plus dat meetbaarheid verder gegeneraliseerd kan worden naar meer grote kardinaalgetallen, zoals Woodin kardinaalgetallen en supercompacte kardinaalgetallen. De vooronderstelling is hier uiteraard wel dat ZFC + MC consistent is, want CONSISTENCY is een maxime die boven MAXIMIZE en UNIFY uitgaat. -9–


1 juli 2004


Maddy betoogt dat behalve ZFC + MC er ook andere theorieën zijn die aantrekkelijker zijn dan ZFC + V = L. Een voorbeeld hiervan is ZFC + “0# bestaat’. Ze laat open of deze theorie al of niet aantrekkelijker is dan de sterkere theorie ZFC + MC. De theorie ZFC + V ≠ L is volgens haar niet aantrekkelijk, omdat deze theorie geen bijzondere open problemen oplost. De theorie levert wel een nieuw isomorfisme type op ten opzichte van ZFC + V = L, maar zegt verder niets over dit type.

4. Feferman, Field en Maddy op de divan 4.1 Is Feferman te pessimistisch? Dat normale wiskunde geen grote kardinaalgetallen nodig heeft, wordt krachtig tegengesproken door Harvey Friedman [2000, p. 434-446]. De door hem ontwikkelde “Boolean Relation Theory”8 (BRT) zou niet zonder Mahlo Kardinaalgetallen kunnen. En Friedman verwacht dat de hele hiërarchie van grote kardinaalgetallen een rol zal gaan spelen in meer expressieve vormen van BRT en dat hierdoor grote kardinalen axioma’s geaccepteerd gaan worden binnen de normale wiskunde. Feferman [2000, p. 407] stelt echter dat Friedman alleen maar heeft aangetoond dat voor de eindige combinatorische statements uit BRT slechts nodig is de 1-consistentie van (ZFC + LCA), waarbij LCA de toepasselijke grote kardinalen axioma’s zijn. Een ander interessant punt dat eerder genoemd is, is dat Feferman de continuümhypothese inherent vaag vindt. Hij beschouwt het continuüm, of equivalent daaraan de machtsverzameling van de natuurlijke getallen, niet als een duidelijk bepaald wiskundig object. Ook het geheel van de cumulatieve hiërarchie is voor hem een uiterst vaag concept. Wellicht de enige manier om Feferman op andere gedachten te brengen, is aantonen dat CH wel degelijk een oplossing heeft. Levy en Solovay hebben in 1964 aangetoond dat de grote kardinalen hypotheses zelf de oplossing niet kunnen bieden. Maar rond de millenniumwisseling zijn er echter hoopgevende resultaten bereikt door W. Hugh Woodin. Zijn resultaten wijzen er sterk op dat de continuümhypothese niet waar is. Zijn technisch moeilijke resultaten laten zich niet - althans hier niet door mij- eenvoudig beschrijven. In zijn aanpak wordt een sleutelrol vervuld door bepaalde grote kardinaalgetallen (Woodin cardinals), een generalisatie van eerste-orde logica (Ω-logic) en een generalisatie van de volledigheidsstelling van Gödel (Ω-conjecture). Woodin [2001, p. 690] zelf zegt over zijn resultaten: So, is the Continuum Hypothesis solvable? Perhaps I am not completely confident the “solution” I have sketched is the solution, but it is for me convincing evidence that there is a solution. Thus, I now believe the Continuum Hypothesis is solvable, which is a fundamental change in my view of set theory.

Met betrekking tot het punt van Feferman dat de wiskunde die in de wetenschap nodig is veel minder is dan ZFC, maakt John Steel [2000, p. 424] nog een mooie opmerking. Op 8 Kort gezegd is Boolean Relation Theory de studie van Boolse relaties tussen eendimensionale verzamelingen en hun beeldverzamelingen onder functies van meerdere variabelen (“multivariate functions”).

- 10 –


1 juli 2004


grond van de onvolledigheidsstelling van Gödel en Con(ZFC) kunnen we voorspellingen doen over de fysische wereld waarvan we niet weten hoe we die uit ZFC zouden moeten halen, bijvoorbeeld de voorspelling dat er de komende 20 jaar geen contradictie bewezen zal worden in ZFC. 4.2 Is Field te radicaal? Field stelt radicaal dat wiskundige entiteiten niet bestaan en dat wiskunde weliswaar nuttig, maar in principe overbodig is voor de wetenschap. Maar misschien is wiskunde toch minder onschuldig dan Field beweert. De kritiek van Stewart Shapiro op de claims van Field wil ik hier kort bespreken. Conservativiteit van een wiskundige theorie kan op twee manieren worden opgevat: semantisch of deductief. Shapiro [1983, p. 525] definieert dit als volgt: S is semantisch conservatief over N desda voor elke nominalisch-uitdrukbare assertie A geldt: als A waar is in alle modellen van N + S, dan is A waar in alle modellen van N. S is deductief conservatief over N desda voor elke nominalisch-uitdrukbare assertie A geldt: als A een stelling is van N + S, dan is A een stelling van N.

Als N en S beide eerste-orde theorieën zijn, dan vallen op grond van de volledigheidsstelling van Gödel de definities samen. Voor tweede-orde theorieën geldt de volledigheidsstelling van Gödel echter niet.9 Shapiro bewijst dat voor de tweede-orde nominalistische gravitatietheorie van Field deductieve conservativiteit niet waar is! Het bewijs, dat gebruik maakt van de onvolledigheidsstelling van Gödel, verloopt globaal als volgt: Als N recursief axiomatiseerbaar is en als de Peano Arithmetiek in N interpreteerbaar is (aan beide veronderstelling wordt voldaan door de nominalistische gravitatietheorie van Field), dan is er een nominalistische (tweede-orde) uitspraak θ in N, die volgens de tweede onvolledigheidsstelling van Gödel niet afleidbaar is in N. Als S een theorie is die de verzamelingstheorie bevat, dan is het volgens Shapiro volkomen redelijk om te veronderstellen dat S voldoende sterk is om van elke nominalistische theorie de consistentie te kunnen bewijzen. Hiermee is te bewijzen dat θ afleidbaar uit N + S. En dus is S niet deductief conservatief over N.

In reactie op de kritiek van Shapiro claimt Field [1985] zeer expliciet dat zijn opvatting van conservativiteit semantisch is, maar hij geeft toe dat hij zich hierover in Science without Numbers op verschillende plaatsen niet voldoende helder of incorrect uitgedrukt heeft. Dat wiskundige theorieën in semantische zin conservatief zijn wordt door Shapiro overigens niet ontkend, maar wel als problematisch beschouwd. Want het is niet duidelijk hoe je het begrip ‘tweede-orde semantische consequentie’ een betekenis kan geven zonder verwijzing naar modellen of interpretaties van theorieën, die niet beschikbaar zijn voor een nominalist [Shapiro, p. 528]. 9

Field heeft er in “note 30” [1980, p.115] overigens zelf ook al op gewezen dat voor tweede orde theorieën steeds semantische begrippen gehanteerd moeten worden, vanwege het falen van de volledigheidsstelling voor tweede-orde theorieën.

- 11 –


1 juli 2004


Voor eerste-orde theorieën geldt deductieve conservativiteit. Toch is volgens Shapiro de situatie voor eerste-orde theorieën nog beroerder dan voor tweede-orde theorieën. Shapiro [1983, p. 529] laat zien dat als N´ een nominalistische eerste-orde theorie is waarin ruimte-tijd gedefinieerd is, er dan in N´ + S geen representerend homomorfisme van de ruimte-tijd punten naar R4 te bewijzen is. (Het maakt hier niet uit of S een eerste- of tweede-orde theorie is.) Dit betekent dat in N´ + S uitspraken over ruimte-tijd punten niet vertaald kunnen worden naar “equivalente” uitspraken over reële getallen. Of wat algemener gesteld: je kunt wiskunde niet op de gewone manier toepassen op eerste-orde nominalistische fysica. Voor Field [1983, p. 134, 144] is dit echter geen knock-down argument tegen een eerste-orde nominalistische benadering, omdat er wel een zwakkere representatie stelling bewezen kan worden, die zegt dat er een structuur bewarende afbeelding is van ruimte-tijd naar F4 waarbij F een nice real-closed field is. 4.3 Is Maddy te bescheiden? Maddy dringt de filosofie van de wiskunde terug naar een tweede plaats. Filosofie van de wiskunde dient er toe om de praktijk te begrijpen, niet om haar te bekritiseren. Betekent dit nu het einde voor formalisten, fictionalisten en realisten? Zover wil Maddy niet gaan. Zij maakt een onderscheid tussen oppervlakkige versies en subtiele versies van formalisme, fictionalisme en overvloedig (‘plentiful’) platonisme [1997, p. 202]. De oppervlakkige versies hebben geen enkele voorkeur voor consistente uitbreidingen van ZFC, maar de subtiele versies erkennen dat hoewel er geen voorkeur is op metafysische gronden, er wel een voorkeur kan zijn op basis van de doelen van wiskunde zelf. Deze subtiele versies zijn verenigbaar met de naturalistische benadering van Maddy. Met realisten die menen dat er slechts één wereld van verzamelingen is, heeft Maddy weinig meer op. Maddy [1997, p. 202] illustreert dit met het volgende voorbeeld. Stel dat de wiskundige praktijk zou verklaren dat CH een vraag zonder antwoord is, omdat het onmogelijk zou blijken te zijn om gelijktijdig aan de maximes MAXIMIZE en UNIFY te voldoen en men MAXIMIZE zwaarder wil laten wegen. Dan conflicteert dit volgens Maddy met vormen van wiskundig realisme, die stellen dat er één enkele wereld van verzamelingen is waarin CH wel of niet waar is. En dus zouden deze vormen van realisme onacceptabel zijn voor een naturalistische filosoof van de wiskunde. Ik begrijp dit standpunt van Maddy niet helemaal. Waarom zou je de standpunten, die op een zeker moment in de wiskundige praktijk gelden, als het laatste woord moeten beschouwen? Waarom zou de wiskundige praktijk niet open laten dat er misschien ooit een goed argument gevonden wordt om CH te beslechten? Als er vanuit de praktijk geen onfeilbaarheidsclaims gedaan worden, hoeft er geen wezenlijk bezwaar gemaakt te worden tegen realisten die slechts één wereld van verzamelingen voor ogen hebben. Integendeel, een open houding hiertegenover lijkt mij ook vanuit een naturalistisch standpunt vanzelfsprekend, omdat op zijn minst niet uit te sluiten is dat vanuit deze filosofische hoek een bijdrage aan de grondslagen van de wiskunde geleverd kan worden. Dat de wiskundige praktijk op dit moment niet zit te wachten op een rechtvaardiging vanuit een filosofische hoek, doet hier geen afbreuk aan.

- 12 –


1 juli 2004


Verwant aan dit punt van kritiek is de opmerking van Feferman [2000, p. 409] dat het naturalisme van Maddy het gevaar loopt al te vluchtig te zijn door zich te binden aan de wiskundige praktijk. Ook ziet hij – en ik ook - als cruciale vraag wat de keuzes bepaalt voor de wiskundige doelen. Maddy [2000, p. 420] erkent dat onze rationele oordelen over welke wiskundige principes en methodes juist zijn zeker zullen veranderen naarmate we meer leren, al denkt ze niet dat dit sterker geldt dan voor andere wetenschappelijke theorieën. Dit lijkt mij voor Maddy een goede reden om een open houding te behouden ten opzichte van diverse filosofische posities. Kortom, mij lijkt dat Maddy teveel ruimte biedt aan de wiskundige praktijk en voor de filosofie van de wiskunde een te bescheiden rol overlaat.

5. De happy few Geen van de hier besproken wiskundigen stellen dat het een verspilling van energie is om je met grote oneindigheden bezig te houden. De redenen die ze ervoor hebben zijn echter zeer verschillend. Feferman ziet in grote kardinaalgetallen een instrumentele en heuristische waarde; Field beschouwt grote kardinaalgetallen als een natuurlijke extensie van het ‘verhaal’ van ZFC; en voor Maddy kunnen grote kardinaalgetallen bijdragen aan het creëren van een zo ruim mogelijk fundament voor de hele wiskunde. En hoe kijk ikzelf er tegenaan? Ik vind de materie fascinerend, maar om een eigen positie te bepalen, kan ik nog wel wat stevige klimpartijen gebruiken. Maar wie kan zich op een zinvolle manier met grote kardinaalgetallen bezig houden? Veel mensen zijn geïntrigeerd door oneindigheid, maar het onderzoek naar grote kardinaalgetallen en algemener het verzamelingstheoretisch onderzoek lijkt op dit moment alleen voor een klein esoterisch clubje toegankelijk. De ontwikkelingen gaan snel en de concepten zijn moeilijk. Alleen al over de definities van sommige kardinaalgetallen kun je aardig struikelen. Zo merkt Akihiro Kanamori [1994, p. 360] op dat de volle betekenis van Woodin kardinaalgetallen pas te appreciëren is na een uitgebreide exegese. Heb je als filosoof in het grondslagenonderzoek van de wiskunde dan nog wel wat te zoeken? Maddy [1997, p. 184] stelt botweg dat wiskunde geen verantwoording schuldig is aan een buiten-wiskundig tribunaal10 en geen behoefte heeft aan enige rechtvaardiging die uitstijgt boven bewijs en de axiomatische methode. Ik denk dat dit te kort door de bocht is en dat elke rechtvaardiging in principe welkom is. Ook een verzamelingtheoreticus als John Steel [2000, p. 433] meent dat filosofie een actievere rol zou kunnen spelen dan Maddy stelt, namelijk in het analyseren van wat het is om een oplossing van het Continuüm Probleem te zijn. Wellicht dat in de toekomst het huidige onderzoek naar verzamelingen voor een groter publiek helder wordt. Maddy [1988, p. 490] lijkt hier in ieder geval optimistisch over. Zij stelt dat de axioma’s die wij nu als zelfevident beschouwen aanvankelijk ook gerechtvaardigd werden door vage vuistregels en extrinsieke argumenten en dat de argumenten die we nu hebben voor de nieuwe axioma’s niet anders zijn. Maar voordat je op een 10 Niet alle externe instellingen, die zich bezig willen houden met het bewaken van de kwaliteit van wiskundig onderzoek, lijken dit te beseffen, helaas.

- 13 –


1 juli 2004


basisschool met grote kardinaalgetallen aan kunt komen, zijn er misschien ook nog enkele evolutionaire stappen nodig. Bronnen Benacerraf, Paul & Putnam, Hilary (eds). 1983. Philosophy of Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press. Boolos, George. 1971. ‘The iterative conception of set,’ in Benacerraf & Putnam [1983], 486-502. Feferman, Solomon, Harvey Friedman, Penelope Maddy, John Steel. 2000. ‘Does Mathematics need new axioms?’ in The Bulletin of Symbolic Logic 6, No. 4, 401-446. Field, Hartry H. 1980. Science without Numbers: a Defence of Nominalism. Oxford: Basil Blackwell. Field, Hartry H. 1985. ‘On conservativeness and incompleteness,’ in Journal of Philosophy 81, 239-260. Field, Hartry H. 1989. Realism, Mathematics and Modality. Oxford: Basil Blackwell. Gödel, Kurt. 1947. ‘What is Cantor’s continuum problem’ in Benacerraf & Putnam [1983], 470-485. Hilbert, David. 1925, ‘On the infinite,’ in Jean van Heijenoort (ed.), 2000, From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931 (Lincoln: toExcel), 367-392. Kanamori, Akihiro. 1994. The Higher Infinite. Berlin: Springer-Verlag. Kunen, Kenneth. 1999. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. (oorspr. uitg. 1980) Maddy, Penelope. 1988. ‘Believing the axioms,’ in The Journal of Symbolic Logic 53, 481-511; 736-764. Maddy, Penelope. 1997. Naturalism in Mathematics. Oxford: Clarendon Press. Shapiro, Stewart. 1983. ‘Conservativeness and incompleteness,’ in Journal of Philosophy 80, 521-31. Shoenfield, J.R. 1977. ‘Axioms of set theory,’ in Jon Barwise (ed.), Handbook of Mathematical Logic (Amsterdam: North Holland Publishing Company), 321-344. Woodin, W. Hugh. 2001. ‘The Continuum Hypothesis, part I & II’ in Notices of the American Mathematical Society 48, 567-576; 681-690.

- 14 –

Wat moet je met exorbitant grote oneindigheden?

Recommend Documents