Wahyu Hidayat, S.Pd., M.Pd.
FUNGSI Definisi Fungsi
Diketahui 2 buah himpunan A dan B yang tidak kosong. Suatu fungsi dari A ke B, ditulis f : A → B didefinisikan sebagai suatu aturan yang memasangkan setiap anggota A tepat satu dengan anggota B. A disebut daerah asal (domain), B disebut daerah kawan (kodomain). Sedangkan f(x) disebut daerah hasil (Range). A
B Notasi:
f x Daerah Asal
f : A →B
y = f(x) Daerah Kawan
Fungsi f : A → B dapat ditulis sebagai himpunan pasangan berurut (a , f(a)), dengan
a A, f (a) B.
Contoh Misalkan A = {1, 2, 3} dan B = {a, b, c}, maka f = {(1, a), (2, a), (3, c)} adalah fungsi, sedangkan
g = {(1, a), (1, b), (3, c)} bukan merupakan fungsi karena g(1) = {a, b} (tidak memasangkan elemen A tepat satu pada elemen B).
Perhatikan bahwa Range (f) = {a, c}.
3
Ada beberapa penyajian fungsi, diantaranya yaitu :
a. Secara aljabar dengan aturan/rumusan eksplisit b. Secara visual dengan grafik CONTOH SOAL: Biaya pengiriman surat tercatat seberat w ons adalah B(w). Aturan yang
digunakan Kantor Pos adalah sebagai berikut: Biaya pengiriman adalah Rp 1.000,00 untuk berat sampai satu ons, ditambah
Rp 250,00 untuk setiap ons tambahan sampai 5 ons.
4
Penyelesaian a. Secara aljabar dengan aturan/rumusan eksplisit 1.000, 1.250, B ( w) 1.500, 1.750, 2.000,
jika jika jika jika jika
0 w 1 1 w 2 2 w3 3 w 4 4 w5
b. Secara visual dengan grafik B
R u p i a h
2.000
1.500 1.000
w 0
1
2
3
Ons
4
5
5
Macam-Macam Fungsi Berdasarkan Pemetaannya 1. Fungsi Satu-Satu (Injektif) Jika x1 x2 , maka f ( x1 ) f ( x2 ) atau Jika f ( x1 ) f ( x2 ) , maka x1 x2
Contoh : A : {1,2,3,4} , B : {a,b,c,d,e} f : A B dinyatakan dalam pasangan terurut f : {(1,a) ; (2,c) ; (3,b) ; (4,e)}.
1
a
2
b
3
c
4
d e
Tampak bahwa tiap anggota A yang berbeda mempunyai peta yang berbeda di B Fungsi f adalah fungsi injektif atau satu-satu.
A
B Fungsi f
6
Contoh Soal :
Selidiki apakah f(x) = x2 merupakan fungsi satu-satu ?
Penyelesaian : Untuk x = 1,
maka
f(x) = 1
x = –1, maka
f(x) = 1
x = 2,
maka
f(x) = 4
x = –2, maka
f(x) = 4
Sehingga x1 ≠ x2 maka f(x1) = f(x2)
7
2. Fungsi Onto (Surjektif) Jika daerah hasil sama dengan daerah kawan, (Range =
Kodomain).
Contoh : A : {1,2,3,4} , B : {a,b,c} 1
f : A B dinyatakan dalam pasangan terurut f : {(1,a) ; (2,b) ; (3,c) ; (4,b)}. Tampak bahwa daerah hasil fungsi f adalah Rf : {a,b,c} dan Rf = B
a
2 b 3 4
c
A
B
Fungsi f
Maka fungsi f adalah fungsi onto atau fungsi surjektif. 8
3. Fungsi Into Jika daerah hasil merupakan himpunan bagian murni dari daerah kawan, (Range
Kodomain).
Contoh : A : {1,2,3,4} , B : {a,b,c} 1
f : A B dinyatakan dalam pasangan terurut f : {(1,a) ; (2,b) ; (3,a) ; (4,b)}. Tampak bahwa daerah hasil fungsi f adalah Rf : {a,b} dan Rf B
a
2 b 3 4
c
A
B
Fungsi f
Maka fungsi f adalah fungsi into. 9
4. Korespondensi Satu-Satu (Bijektif) Jika fungsi tersebut merupakan fungsi injektif sekaligus juga fungsi surjektif.
(Satu-Satu dan Onto). Contoh : A : {1,2,3,4} , B : {a,b,c,d} f : A B dinyatakan dalam pasangan terurut f : {(1,a) ; (2,b) ; (3,d) ; (4,c)}. Tampak bahwa fungsi f adalah fungsi injektif sekaligus fungsi surjektif.
1
a
2
b
3
c
4
d
A
B
Fungsi
f
Maka fungsi f adalah fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu. 10
SOAL Rudi
Sepak Bola
Asep
Basket
Mahmud
Tenis Meja
Agus
Catur
A
Matematika
Rina
Biologi
Daus
Geografi
Sinta
Fisika
A
B Fungsi
Boy
B Fungsi
f
f
Daus
Sinta
Rosi
Microsoft Excell
Asep
Santi
Dida
Minitab
Mahmud
Yanti
Dadi
SPSS
Nunu
Intan
Ratli
Matlab
Romy
A
B
Fungsi A
B Fungsi
f
f
11
FUNGSI GANJIL & FUNGSI GENAP Definisi: Fungsi ganjil Jika fungsi f memenuhi f(-x)
= - f(x)
untuk setiap x di dalam daerah asalnya, maka f disebut fungsi ganjil. y
y = f(x)
f(x) -x
x
x -f(x)
Catatan: Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik asal. Definisi: Fungsi genap Jika fungsi f memenuhi f(-x) = f(x) untuk setiap x di dalam daerah asalnya, maka f disebut fungsi genap. y f(x) -x
y = f(x) x
x
Catatan: Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu-y.
12
SOAL Selidiki apakah fungsi genap atau fungsi ganjil ?
a.
f x x 3 x
b.
f x x 2 2
c.
f x x 1
13
Komposisi fungsi Definisi: Komposisi fungsi
Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal Df dan Dg. Fungsi komposisi f o g didefinisikan sebagai berikut:
(f o g)(x) = f (g(x)) Dg x
g
Kg
Df
f
Kf
g(x) f(g(x))
(f ° g)(x) dimana Df o g = {x є Dg | g(x) є Df }
14
SOAL Jika diketahui f(x) = 2x2, dan g(x) = x – 3. Tentukan :
a.
(g o f) (x).
b. (f o g) (x). c.
(f o f) (x).
d. (g o g) (x)
15
Invers Suatu Fungsi Jika fungsi f : A → B dinyatakan dengan pasangan berurutan f = {(a,b)l a Є A,b Є B}. Maka invers dari fungsi f adalah : B → A Yang ditentukan dengan pasangan berurutan = {(b,a)l b Є B, a Є A}. Jika f : A → B,
maka f -1(b) = {a | a A, f(a) = b}.
Contoh :
16
Fungsi Invers Invers sebuah fungsi merupakan fungsi invers bila fungsi tersebut merupakan korespondensi satu-satu (bijektif). Contoh :
17
