Vztah limity k aritmetickým operacím a uspořádání

Vztah limity k aritmetickým operacím a uspořádání

Limity Úvod Základní úlohy Úloha 01 Úloha 02 Úloha 03 Rozšiřující úlohy Úloha 01 Úloha 02 Úloha 03 Úloha 04 Úloha 05

Vztah limity k aritmetickým operacím a uspořádání Miroslav Hušek UJEP


Úvod


Prohlížení Celý text je nejlépe čitelný v celoobrazovkovém módu. Toho docílíte stiskem kláves CTRL L.

Doprovodný text V textu se užívají definice dle obvyklých zvyklostí. Pokud byste však měli přeci jen nějaké pochybnosti, lze užít doprovodný text.


Zadání úlohy 01


Zadání Ukažte, že jestliže lim xn < p, pak skoro všechny prvky posloupnosti {xn } jsou menší než p. Podobně pro obrácenou nerovnost. návod řešení


Zadání úlohy 02


Zadání Uveďte příklad posloupností {xn } a {yn } takové, že xn < yn pro všechna n a lim xn = lim yn .


Zadání úlohy 03


Zadání Ukažte, že pro {xn } platí každou posloupnost sup inf xn ≤ inf sup xn . k∈N

n≥k

k∈N

n≥k


Zadání úlohy 01


Zadání Najděte příklady posloupností {xn }, {yn } tak, že lim xn = 0, lim yn = +∞ a lim xn · yn je předem dané číslo z R∗ nebo, že lim xn · yn neexistuje.


Zadání úlohy 02


Zadání Najděte příklady posloupností {xn }, {yn } tak, že lim xn = 0, lim yn = 0 a lim xn /yn je předem dané číslo z R∗ nebo, že lim xn /yn neexistuje.


Zadání úlohy 03


Zadání Jestliže lim xn = sup{xn } a xn 6= sup{xn } pro každé n, pak existuje rostoucí posloupnost {yn } konvergující k lim xn a mající stejnou množinu hodnot jako {xn }. Opakováním hodnot posloupnosti {yn } se získá neklesající posloupnost vzniklá přeházením původní posloupnosti {xn }. Jak lze změnit tvrzení, když xn = sup{xn } pro nějaké n? návod řešení


Zadání úlohy 04


Zadání Dokažte, že pro případ nevlastních limit lze větu o policajtech zformulovat jednodušeji: Jestliže xn ≤ yn pro skoro všechna n a lim xn = +∞, pak i lim yn = +∞. Jaká bude obdobná formulace pro −∞? návod řešení


Zadání úlohy 05


Zadání Dokažte: jestliže {xn } je omezená posloupnost čísel větších než nějaké kladné číslo a {yn } konverguje k +∞, pak lim xn yn = +∞. Zformulujte tvrzení pro konvergenci k −∞. Uveďte příklad, že nestačí předpokládat xn > 0 pro skoro všechna n. řešení


Návod

Dodatky Úloha 01 Návod Řešení Rozšířená úloha 03 Návod Řešení Rozšířená úloha 04 Návod Řešení Rozšířená úloha 05 Řešení

Uvažte okolí (−∞, p). zpět


Řešení


Okolí [−∞, p) bodu lim xn (tato limita může být nevlastní) obsahuje skoro všechny prvky posloupnosti {xn }. zpět


Návod


Rozmyslete si, zda podposloupnosti posloupnosti {xn } mají nejmenší nebo největší prvky. zpět


Řešení


Posloupnost {xn } nemá největší prvek, ale každá jeho podposloupnost má nejmenší prvek (proč?). Zvolí se y1 = min{xn } a indukcí yk = min{{xn } \ {y1 , ..., yk−1 }} (poslední množinový rozdíl je rozdíl množin hodnot). Musí se ukázat, že množiny {xn } \ {y1 , ..., yk−1 } jsou stále neprázdné a že uvedený postup vyčerpá všechny hodnoty z {xn }. Pokud se uvedený množinový rozdíl bude brát jako vynechání příslušných yi (právě jednou), dostane se přeházená neklesající posloupnost z {xn }. Jestliže {nn } nabývá svého suprema, nelze dosáhnout toho, aby neklesající posloupnost z hodnot posloupnosti {xn } vyčerpala všechny její hodnoty (pokud není konstantní). zpět


Návod


Přímý důkaz. zpět


Řešení


Jestliže intervalové okolí +∞ obsahuje bod xn , obsahuje i yn . Musí ted se skoro všemi xn obsahovat i skoro všechna yb n. zpět


Řešení


Je-li xn > r > 0 pro skoro všechna n, a p je libovolné reálné číslo, pak pro skoro všechna n bude ryn > p a tedy xn yn > p. Pro odpověď na poslední otázku stačí vzít xn = 1/n, yn = n zpět

Vztah limity k aritmetickým operacím a uspořádání

Recommend Documents