ˇ MA04 Pˇredmet: Vyuˇcuj´ıc´ı: Jan Chleboun, m´ıstnost B-305, linka 3866 (
[email protected]) Konzultace: cˇ tvrtek 13:00-14:40 nebo dle dohody ´ ach ´ vyuˇcuj´ıc´ıho Sledovat informace na webov´ych strank ´ studijn´ıch material ´ u˚ aj.): (o zkouˇsce, cˇ ast ˇ ´ stranka FSv CVUT → katedra matematiky → Chleboun nebo http://mat.fsv.cvut.cz/chleboun/ Hlavn´ı literatura ◮
´ ´ sej´ıc´ıho zdroje na webove´ strance pˇrednaˇ
◮
skripta O. Zindulka: MA 3
◮
skripta K. Rektorys: MA 43 (knihovna)
ˇ Seminaˇ ´ r k Matematice 4 (101XSM4) Voliteln´y pˇredmet: V´ıce informac´ı na webu. Kdy a kde: stˇreda 14:00 – 15:40, B-368. Jacobiova metoda
0
0
Gaussova−Seidelova metoda
10
max−norma
max−norma
10
−5
10
norma rezidua norma chyby
−10
10
0
500
−5
10
−10
10
norma rezidua norma chyby
−15
1000
10
1500
0
Cislo iterace 10
Superrelaxacni metoda (SOR)
600
0
Metoda sdruzenych gradientu
10
max−norma
max−norma
400
Cislo iterace
10
0
10
−10
10
norma rezidua norma chyby
−20
10
200
0
20
40
Cislo iterace
−10
10
norma rezidua norma chyby
−20
60
80
10
0
5
10
Cislo iterace
15
´ cn ˇ ej ˇ s´ ˇ ı urove Magisterske´ studium — naro ´ nˇ neˇz bak. studium ´ r – jak? Inˇzen´yr – jak a proˇc? Bakalaˇ ˇ ı pˇr´ıkladu˚ Matematika 6= rˇ esen´ ˇ C´ıl pˇredmetu: ◮
Trocha matematicke´ teorie stoj´ıc´ı za ˇreˇsen´ım uloh, ´ s nimiˇz ˇ ´ i v jin´ych pˇredmetech (NAK). se setkate
◮
Pˇripomenut´ı matematick´ych souvislost´ı. ˇ asteˇ ´ cne´ opakovan´ ´ ı. C
◮ ◮ ◮ ◮
Procviˇcen´ı mozku; abstraktn´ı myˇslen´ı. Rozˇs´ırˇen´ı obzor˚u. ´ ˇ ı pˇri spolupraci ´ s odborn´ıky, Zaklady mostu dorozumen´ ´ cnejˇ ˇ s´ım matematick´ym jazykem kteˇr´ı hovoˇr´ı naroˇ ˇ (absolventi FJFI CVUT, MFF UK aj.).
Ma´ to smysl? ◮
◮
◮
◮
ˇ V zˇ ivoteˇ nekdy rozhoduj´ı maliˇckosti. Drobna´ znalostn´ı pˇrevaha muˇ ˚ ze zpusobit, ˚ zˇ e najdete m´ısto nebo si ho udrˇz´ıte. ˇ Moˇzna´ ponesete odpovednost za projekty s duleˇ ˚ zit´ym pod´ılem v´ypoˇctu. ˚ I kdyˇz na v´ypoˇcty budete m´ıt odborn´ıky, ˇ projektu a vaˇse postaven´ı ve firmeˇ bude zaviset ´ usp ´ ech na tom, zda s nimi budete schopni odborneˇ spolupracovat. ˇ pˇrehrady Orl´ık.) (Pˇr´ıbeh ˇ ´ ˇ zovat teori´ı nebo zaklady ´ Casta´ namitka: Proˇc se zateˇ ´ ıch numerick´ych metod, kdyˇz technicke´ ulohy elementarn´ ´ ´ ˇ ym komerˇcn´ım programem? stejneˇ poˇc´ıtame skvel´ ˇ jsou nebezpeˇcne. ´ Sleipner, 1991) (Protoˇze cˇ erne´ skˇr´ınky ˇ b´yt urˇcitou zarukou ´ Diplom by mel schopnost´ı absolventa.
ˇ Orl´ık: Jak rychle betonovat? Umele ˇ chladit? Pˇr´ıbeh
www.czechcarp.cz/images/orlik.jpg
The University of Texas at Austin
´ ı (1953-1956): Matematicke´ modelovan´ ˇ skupinu vedl Ivo Babuˇska (∗ 1926, stavebn´ı inˇzen´yr – CVUT ˇ ˇ ´ CSAV, ´ CVUT 1949, MU od 1968 v USA, cˇ estn´y doktorat 2007); snad aˇz 3 000 000 aritmetick´ych operac´ı na ruˇcn´ıch ´ kalkulaˇckach. ´ ˇ spoluprace ´ s (prof. dr.) ing. Ladislavem Zasadn´ ı v´yznam mela ˇ ST ˇ v Brne). ˇ Mejzl´ıkem (DrSc.) (1922-2002, absolvent CV ´ ˇ Obeˇ strany si navzajem rozumely!!!
ˇ Sleipner: kolaps vrtne´ ploˇsiny pro teˇ ˇ zbu ropy z Pˇr´ıbeh ´ moˇrskeho dna, 1991, sˇ koda USD 700 000 000. https://www.ima.umn.edu/ ˜arnold/disasters/sleipner.html
´ S chut´ı do prace.
Imaginární osa
ˇ ısla (mnoˇzinu vˇsech komplexn´ıch cˇ ´ısel znaˇc´ıme Komplexn´ı c´ C)
z=a+ib
b
r
α a
z = a + ib z = r (cos α + i sin α) = r eiα √ r = |z| = a2 + b 2 a cos α = √ 2 a + b2 b sin α = √ 2 a + b2
Reálná osa
ˇ ıslo z = a − ib je komplexneˇ sdruˇzene´ k cˇ ´ıslu z = a + ib, C´ w + z = w + z a wz = w z. ´ ı s komplexn´ımi cˇ ´ısly dle obvykl´ych pravidel algebry a s Poˇc´ıtan´ vyuˇzit´ım vztahu i2 = −1.
ˇ ısla a vlastn´ı vektory matic Vlastn´ı c´ ˇ Necht A je cˇ tvercova´ matice. Nenulov´y sloupcov´y vektor x se ˇ e´ cˇ ´ıslo naz´yva´ vlastn´ı vektor matice A, plat´ı-li Ax = λx pro nejak λ ∈ C. Toto λ se naz´yva´ vlastn´ı cˇ ´ıslo matice A odpov´ıdaj´ıc´ı vlastn´ımu vektoru x. ´ eˇ tehdy, kdyˇz) λ je vlastn´ı cˇ ´ıslo matice A ⇐⇒ (prav ´ polynomu matice A, tj. λ je koˇrenem charakteristickeho ´ ˇ vl. c´ ˇ ısel male´ matice! det(A − λI) = 0. Navod pro vypo ´ cet ´ Koˇreny mohou b´yt nasobn e´ i komplexn´ı (ˇc´ısla). ´ Vl. vektor(y) odpov´ıdaj´ıc´ı vl. cˇ . λ z´ıskame vyˇreˇsen´ım soustavy lin. alg. rovnic (A − λI)x = 0. ´ eˇ nezavisl´ ´ Poˇcet linearn ych vl. vektoru˚ muˇ ˚ ze b´yt menˇs´ı neˇz ˇ ´ poˇcet vl. c´ısel (bran´ych s nasobnost´ı). Vyuˇzit´ı: vlastnosti metod NLA, rˇeˇsen´ı soustav LODR X˙ = AX + b, ˇ napet´ ˇ ı a hlavn´ı napet´ ˇ ı, vlastn´ı frekvence a vlastn´ı tvary hlavn´ı smery ´ ı, Google . . . kmitan´
´ a´ nebo komplexn´ı). Nechˇt A je cˇ tvercova´ matice (realn ◮ Matice A je singularn´ ´ ı (tj. neexistuje A−1 , regularn´ ´ ı: −1 ´ eˇ tehdy, kdyˇz ma´ vlastn´ı cˇ ´ıslo 0. existuje A ) prav ◮ (λ, x) vlastn´ı par ´ matice A =⇒ (λ2 , x) vlastn´ı par ´ matice A2 . ◮
◮
´ ´ eˇ Existuje-li A−1 , je (λ, x) vlastn´ım parem matice A prav ´ tehdy, kdyˇz (1/λ, x) je vlastn´ım parem matice A−1 (tj. A i A−1 maj´ı stejne´ vlastn´ı vektory). ¯ x¯ ) je ´ realn ´ e´ matice A, pak take´ (λ, Je-li (λ, x) vlastn´ı par ´ ´ a´ nesymetricka´ matice muˇ vlastn´ım parem matice A. Realn ˚ ze m´ıt komplexn´ı vl. cˇ ´ısla a vektory!
◮
◮
´ a´ a symetricka, ´ pak vˇsechna jej´ı vlastn´ı cˇ ´ısla Je-li A realn ´ a´ a vlastn´ı vektory odpov´ıdaj´ıc´ı ruzn´ ˚ ym vlastn´ım jsou realn ´ ´ cˇ ´ıslum ˚ jsou navzajem kolme. Pn Pn Qn i=1 aii , i=1 λi = tr A, kde tr A = i=1 λi = det A
Definice Mnoˇzina vˇsech vlastn´ıch cˇ ´ısel matice se naz´yva´ spektrum matice. Spektrum matice A budeme oznaˇcovat σ(A). Definice ´ ´ emu ´ ´ ı Realn cˇ ´ıslu ̺(A) = max{|λ| : λ ∈ σ(A)} ˇr´ıkame spektraln´ ˇ matice A. polomer
ˇ Gerˇsgorinova veta ˇ ´ a´ cˇ tvercova´ matice Necht A = (aij ) je komplexn´ı nebo realn ´ ˇradu, ´ ˇ n-teho tj. typu (n, n). Potom vˇsechna S vlastn´ı c´ısla matice A leˇz´ı v komplexn´ı rovinP eˇ ve sjednocen´ı ni=1 Ki kruhu˚ Ki n ˇ o stˇredu aii a polomeru j=1, j6=i |aij |: Ki =
z ∈ C : |aii − z| ≤
n X
j=1, j6=i
|aij | ,
i = 1, 2, . . . , n.
´ eˇ tolik V kaˇzde´ komponenteˇ tohoto sjednocen´ı leˇz´ı prav vlastn´ıch cˇ ´ısel matice A, z kolika kruhu˚ tato komponenta ´ eˇ – v izolovanem ´ kruhu leˇz´ı prav ´ eˇ jedno vznikla. Specialn vlastn´ı cˇ ´ıslo.
Pˇr´ıklad ´ Je dana matice
1 0 5 A = 0 2 0 . −2 0 3
ˇ zjistete, ˇ Pomoc´ı Gerˇsgorinovy vety ´ ı; a) zda je zaruˇceno, zˇ e matice A je regularn´ b) zda by cˇ ´ıslo −4 + 2i mohlo b´yt vlastn´ım cˇ ´ıslem matice A; c) zda by cˇ ´ıslo 4 + 2i mohlo b´yt vlastn´ım cˇ ´ıslem matice A. ˇ spektraln´ ´ ı polomer. ˇ Odhadnete ˇ vlastn´ı cˇ ´ısla, spektraln´ ´ ı polomer, ˇ pˇr´ıpadneˇ vlastn´ı Vypoˇctete vektory.
ˇ sen´ı: Spoˇcteme ˇ vlastn´ı cˇ ´ısla a porovnejme s odhady dan´ymi Reˇ Gerˇsgorinov´ymi kruˇznicemi. 1−λ 0 5 det(A − λI) = det 0 2−λ 0 −2 0 3−λ = (1 − λ)(2 − λ)(3 − λ) + 10(2 − λ)
= (2 − λ)(3 − 4λ + λ2 + 10) = (2 − λ)(λ2 − 4λ + 13) Koˇreny, tj. vlastn´ı cˇ ´ısla det(A − λI) = 0
⇒
λ1 = 2 + 3i, λ2 = 2 − 3i, λ3 = 2
G. kruznice, vl. císla λ, spektr. polomer, jeho h. odhad 6
Imaginární osa
4
λ1
2 S
S
1
0
2
S
3
λ3
−2
λ
2
−4 −6 −6
−4
−2
0
2
4
6
Reálná osa
ˇ regularnost ´ a) G. veta nezaruˇc´ı (vypoˇctena´ vl. cˇ ´ısla ano). ˇ b) Ne (staˇc´ı G. veta). ˇ pˇripouˇst´ı, zˇ e mohlo. c) G. veta √ ˇ ´ ı polomer ˇ pˇresn´y ̺(A) = 13, odhadnut´y dle G. vety Spektraln´ ̺Gerˇsgorin (A) = 6,
Vlastn´ı vektory: ˇreˇs´ıme (A − λI)v = (0, 0, 0)T −1 − 3i 0 5 −10 0 5 − 15i −3i 0 ∼ 0 −3i 0 λ1 = 2 + 3i ⇒ 0 −2 0 1 − 3i 10 0 −5 + 15i 1 − 3i −2 0 1 − 3i 0 ⇒ v1 = 0 r , r ∈ C \ {0} ∼ 0 −3i 2 0 0 0 Zkouˇska: 1 0 0 2 −2 0
Av1 = λ1 v1 5 1 − 3i 11 − 3i 1 − 3i 11 − 3i 0 0 = 0 a (2+3i) 0 = 0 3 2 4 + 6i 2 4 + 6i
0 −1 0 5 λ1 = 2 ⇒ 0 0 0 ⇒ v1 = 1 p, p ∈ C \ {0} Zk. 0 −2 0 1 10 0 5 3i 0 ∼ 0 −10 0 1 + 3i −1 − 3i 0 0 1 + 3i ⇒ v2 = 0 q, q ∈ C \ {0} 2
−1 + 3i 0 λ2 = 2 − 3i ⇒ −2 2 0 ∼ 0 3i 0 0
0 −5 − 15i 3i 0 0 5 + 15i
Zk.
Pˇr´ıklad ´ Je dana matice
1 + 3i 1+i 2/(1 + i) A = 1/2 3 − 2i (1 + i)/i . −2i (1 + i)/2 −3i ˇ zjistete, ˇ Pomoc´ı Gerˇsgorinovy vety ´ ı; a) zda je zaruˇceno, zˇ e matice A je regularn´ b) zda by cˇ ´ıslo 2 + 3i mohlo b´yt vlastn´ım cˇ ´ıslem matice A; c) zda by cˇ ´ıslo −3 − 2i mohlo b´yt vlastn´ım cˇ ´ıslem matice A; d) zda by cˇ ´ıslo −2/5 − i/5 mohlo b´yt vlastn´ım cˇ ´ıslem matice A−1 . ˇ spektraln´ ´ ı polomer. ˇ Odhadnete Gerˇsgorinovy kruhy √ Kruh K1 : S1 = [1, 3], r1 = 2 2 <√3 Kruh K2 : S2 = [3, −2], r2 = 12 + √ 2 < 2 Kruh K3 : S3 = [0, −3], r3 = 2 +
2 2
<3
G. kruznice, vl. cisla λ, spektr. polomer, jeho h. odhad 6
4
Imaginární osa
λ
S1
1
2
0 S
−2
λ3
S3
λ
2
2
−4
−6
−4
−2
0
2
4
6
Reálná osa
a) ano b) ano √ c) ne, protoˇze | − 3 − 2i − (−3i)| = | − 3 + i| = 10 > 3 1 d) ne, neboˇt = −2 + i nemu˚ zˇ e b´yt vl. cˇ . matice A. −2/5 − i/5
