Matematika 4: Verze ze dne 29. listopadu Jan Chleboun. Úvod Lineární algebra... 4

Matematika 4: Pˇ r´ıruˇ cka pro pˇ reˇ zit´ı Verze ze dne 29. listopadu 2015

Jan Chleboun

Obsah ´ Uvod ................................................................... 1 Komplexn´ı ˇc´ısla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Line´arn´ı algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Vlastn´ı ˇc´ısla, vlastn´ı vektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Gerˇsgorinova vˇeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Normovan´y line´arn´ı prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Normy vektor˚ u a matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Skal´arn´ı souˇcin vektor˚ u ............................................ 2.6 Pozitivnˇe definitn´ı matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ sen´ı soustav line´arn´ıch algebraick´ych rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Reˇ 2.7.1 Gaussova eliminaˇcn´ı metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.2 Iteraˇcn´ı metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ ıslo podm´ınˇenosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 C´ 3 Zpˇet do 1. roˇcn´ıku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ s´ıme soustavy line´arn´ıch algebraick´ych rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Reˇ 3.2 Vypoˇc´ıt´av´ame inverzn´ı matici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Poˇc´ıt´ame determinanty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Hled´ame extr´emy funkce jedn´e promˇenn´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ sitelnost okrajov´ych u 4 Reˇ ´ loh v 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Uˇziteˇcn´e drobnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Diferenci´aln´ı oper´atory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Nˇekter´e pojmy, vztahy a hodnoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 2 4 4 5 6 7 8 10 10 10 12 16 17 17 20 20 21 22 23 23 24 24

´ Uvod C´ıl tˇechto str´anek1 je troj´ı: (a) Zachytit to podstatn´e z pˇredn´aˇsek t´ykaj´ıc´ıch se line´arn´ı algebry. (b) Nˇekter´e ˇc´asti pˇrednesen´e l´atky doplnit o podrobnosti a souvislosti, na nˇeˇz pˇri pˇredn´aˇsce nebyl ˇcas. (c) Pˇripomenout ty partie z pˇredmˇet˚ u Matematika 1, Matematika 2 a Matematika 3 (ˇreˇsitelnost okrajov´ych u ´ loh), bez nichˇz se v Matematice 4 (zejm´ena pˇri ˇreˇsen´ı pˇr´ıklad˚ u) nelze obej´ıt. Nˇekter´e ˇc´asti textu tedy pˇredn´aˇsku pˇresahuj´ı a jsou jen informaˇcn´ı, napˇr´ıklad metoda sdruˇzen´ych gradient˚ u je uvedena pro svou d˚ uleˇzitost, nicm´enˇe u zkouˇsky se neobjevuje. Jin´e u ´ seky jsou naopak pro u ´ spˇeˇsn´e absolvov´an´ı zkouˇsky z´asadn´ı, to se t´yk´a pˇredevˇs´ım odd´ıl˚ u 1, 2.1, 2.2, 2.4, 2.5, 2.7.1, 2.7.2 (zejm´ena Jacobiova metoda) a 2.8, jak je ostatnˇe patrn´e i z pˇr´ıklad˚ u uveden´ych ve sb´ırce [9]. Kapitola 3 je vˇenov´ana praktick´ym uk´azk´am toho, jak se ˇreˇs´ı soustava line´arn´ıch algebraick´ych rovnic a hled´a extr´em funkce jedn´e promˇenn´e, coˇz jsou dovednosti v [9] zhusta vyuˇz´ıvan´e. V listopadu 2014 byly pˇrid´any dvˇe nov´e ˇc´asti. Kapitolu 4 tvoˇr´ı tvrzen´ı a vztahy postaˇcuj´ıc´ı pro zvl´adnut´ı standardn´ıch ˇskoln´ıch probl´em˚ u zamˇeˇren´ych na ˇreˇsitelnost okrajov´ych u ´ loh. Kapitola 5 sest´av´a z u ´ trˇzkovit´ych informac´ı, kter´e se mohou uplatnit pˇri ˇreˇsen´ı u ´ loh zadan´ych u zkouˇsky. Pr´ace se sb´ırkou [9] vˇsak odhal´ı, ˇze n´azev Pˇr´ıruˇcka pro pˇreˇzit´ı je v´ıce reklamn´ı neˇz pravdiv´y. Pˇr´ıklady v [9] totiˇz pokr´yvaj´ı i t´emata, o nichˇz se pˇr´ıruˇcka v˚ ubec nezmiˇ nuje, takˇze nastudov´an´ı pˇr´ıruˇcky ke zvl´adnut´ı zkouˇsky z Matematiky 4 nestaˇc´ı.

1

Komplexn´ı ˇ c´ısla

Komplexn´ı ˇc´ıslo m´a tvar α = a + i b, kde a a b jsou re´aln´a ˇc´ısla a i je imagin´arn´ı jednotka, pro niˇz plat´ı i2 = −1,

i3 = −i,

imagin´arn´ı osa 6

i4 = 1. b

rα = a + i b   r     ϕ re´ a osa  -aln´

Re´aln´e ˇc´ıslo a se naz´yv´a re´aln´a ˇc´ast ˇc´ısla α, re´aln´e ˇc´ıslo b se naz´yv´a imagin´arn´ı ˇc´ast ˇc´ısla α. Je-li a = 0, naz´yv´ame α ryze imagin´arn´ım a ˇc´ıslem. Mnoˇzinu komplexn´ıch ˇc´ısel znaˇc´ıme C, mnoˇzinu re´aln´ych ˇc´ısel znaˇc´ıme R. Sˇc´ıt´an´ı a n´asoben´ı komplexn´ıch ˇc´ısel — dle pravidel pro u ´ pravu algebraick´ych v´yraz˚ u: (a1 + i b1 ) + (a2 + i b2 ) = (a1 + a2 ) + i (b1 + b2 ), (a1 + i b1 )(a2 + i b2 ) = (a1 a2 − b1 b2 ) + i (a1 b2 + a2 b1 ). 1

V ˇza´dn´em pˇr´ıpadˇe nejde o ucelen´ y uˇcebn´ı text podrobn´eho a v´ ykladov´eho typu, jako jsou napˇr´ıklad skripta a uˇcebnice.

2

Napˇr´ıklad −2 + i 4 + 7 − i 5 = 5 − i, (−2 + i 4)(7 − i 5) = −14 + i 28 + i 10 − i2 20 = 6 + i 38.

ˇ ıslu a − i b ˇr´ık´ame ˇc´ıslo komplexnˇe sdruˇzen´e k ˇc´ıslu α = a + i b, komplexn´ı sdruˇzenost C´ oznaˇcujeme α. Pro komplexn´ı ˇc´ısla α, β, γ plat´ı   α α (α + β) = α + β, αβ = α β, = , γ γ

kde γ 6= 0. = a + i b naz´yv´ame re´aln´e ˇc´ıslo |α| = p ıho ˇc´ısla α √ √ Absolutn´ı hodnotou komplexn´ a2 + b2 . Napˇr´ıklad |3 − i 4| = 32 + (−4)2 = 25 = 5. Pˇrevr´acen´a hodnota komplexn´ıho ˇc´ısla a + i b je komplexn´ı ˇc´ıslo 1/(a + i b). Tento tvar ˇc´ısla n´am vˇsak ned´av´a dobrou pˇredstavu o re´aln´e a imagin´arn´ı sloˇzce pˇrevr´acen´e hodnoty, proto je ˇz´adouc´ı vhodn´a u ´ prava. Je zaloˇzena na vyn´asoben´ı hodnotou 1 zapsanou ve tvaru a − ib zlomku . Pak a − ib a −ib 1 a −ib = 2 . a + ib a − ib a + b2 1 3 4 Konkr´etnˇe napˇr´ıklad = −i . 3 + i4 25 25 S pod´ılem dvou komplexn´ıch ˇc´ısel si porad´ıme stejn´ym zp˚ usobem:

Konkr´etnˇe napˇr´ıklad

c + id a − ib (c + i d)(a − i b) c + id = = . a+ ib a + ib a − ib a2 + b2

2 − i3 (2 − i 3)(3 − i 4) 6 − i 8 − i 9 + i2 12 6 17 = = = − − i . 3+ i4 (3 + i 4)(3 − i 4) 32 − (i 4)2 25 25

´ Upravou tedy dost´av´ame komplexn´ı ˇc´ıslo ve tvaru p + i q, kde p a q ovˇsem mohou b´yt re´aln´a ˇc´ısla ve tvaru zlomk˚ u. Nenulov´a komplexn´ı ˇc´ısla lze ps´at v goniometrick´em tvaru α = a + i b = r(cos ϕ + i sin ϕ) = rei ϕ , kde r = |α| a u ´ hel ϕ (viz2 obr´azek) je d´an (aˇz na cel´e n´asobky 2π) vztahy cos ϕ = √

a , a2 + b2

sin ϕ = √

b . a2 + b2

V´yhodou goniometrick´eho vyj´adˇren´ı je snadn´e n´asoben´ı komplexn´ıch ˇc´ısel, nebot’ pro α1 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) a α2 = r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) plat´ı, ˇze α1 α2 = r1 r2 [cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )]. Dalˇs´ı informace napˇr´ıklad v [12, Kapitola 1.6]). 2

Toto m´ısto je mi pˇr´ıleˇzitost´ı k v´ yzvˇe ˇcten´ aˇr˚ um, aby nepodl´ehali hromadn´emu bludu a nepsali za viz teˇcku. V angliˇctinˇe se p´ıˇse viz., ale v´ yznam je zcela odliˇsn´ y. Kdo v ˇcesk´em textu p´ıˇse viz., nedˇel´a si dobrou reklamu.

3

2

Line´ arn´ı algebra

Odkazy na literaturu jsou sp´ıˇse nam´atkov´e — knihy [1, 6] se t´ematu vˇenuj´ı do hloubky. Z´aklady line´arn´ı algebry (vektorov´y prostor, matice, vlastn´ı ˇc´ısla a vlastn´ı vektory, ˇreˇsen´ı soustav line´arn´ıch algebraick´ych rovnic atd.) jsou vyloˇzeny a pˇr´ıklady ilustrov´any v mnoha bˇeˇznˇe dostupn´ych skriptech, napˇr. [4, 5, 8, 11]. Z´akladn´ı informace nab´ız´ı i [12]. Leccos je na internetu, doporuˇcuji odkazy, k nimˇz se dostanete z webov´e str´anky pˇredmˇetu MA 4.

2.1

Vlastn´ı ˇ c´ısla, vlastn´ı vektory

Zpracov´ano pˇredevˇs´ım podle [6]. Necht’ A je ˇctvercov´a(!!!) matice3 s re´aln´ymi nebo komplexn´ımi prvky. Nenulov´y(!!!) vektor x se naz´yv´a vlastn´ı vektor matice A, plat´ı-li Ax = λx pro nˇejak´e ˇc´ıslo4 λ ∈ C. Toto λ se naz´yv´a vlastn´ı ˇc´ıslo 5 matice A odpov´ıdaj´ıc´ı vlastn´ımu vektoru x. Dvojici (λ, x) budeme pro jednoduchost ˇr´ıkat vlastn´ı p´ar. Aby ˇc´ıslo λ bylo vlastn´ım ˇc´ıslem matice A, je nutn´e a postaˇcuj´ıc´ı, aby matice A − λI byla singul´arn´ı, tj. aby det(A − λI) = 0, jin´ymi slovy, aby hodnota λ byla koˇrenem charakteristick´eho polynomu matice A. Pˇripomeˇ nme, ˇze (ˇctvercov´a) matice B je singul´arn´ı pr´avˇe tehdy, kdyˇz existuje nenulov´y vektor x takov´y, ˇze plat´ı6 Bx = 0. Pozn´ amka 2.1 Matice s re´aln´ymi prvky m˚ uˇze m´ıt komplexn´ı vlastn´ı ˇc´ısla a vlastn´ı vektory s komplexn´ımi sloˇzkami, viz [9].  Nˇekter´e vlastnosti [2, 11] (A je ˇctvercov´a matice n-t´eho ˇr´adu): • Matice A = (aij ) m´a pr´avˇe n vlastn´ıch ˇc´ısel (poˇc´ıt´ame je i s jejich n´asobnostmi), oznaˇcme je λ1 , λ2 , . . . , λn . O jejich souˇctu a souˇcinu plat´ı7 n X i=1

λi =

n X

aii ,

λ1 λ2 . . . λn = det A.

i=1

• Vlastn´ı vektory matice A odpov´ıdaj´ıc´ı r˚ uzn´ym vlastn´ım ˇc´ısl˚ um jsou line´arnˇe nez´avisl´e. (Plat´ı i pro komplexn´ı matice.) • Matice A je singul´arn´ı pr´avˇe tehdy, kdyˇz m´a vlastn´ı ˇc´ıslo 0. (Plat´ı i pro komplexn´ı matice.) • Je-li λ vlastn´ı ˇc´ıslo matice A, pak je λ tak´e vlastn´ı ˇc´ıslo matice AT . To je d˚ usledek toho, ˇze determinant matice i k n´ı transponovan´e matice je v obou pˇr´ıpadech stejn´y, i kdyˇz matice nen´ı symetrick´a. Proto

det(A − λI) = det (A − λI)T = det AT − λI ,

3

Pˇripomeˇ nme, ˇze matice je obd´eln´ıkov´a tabulka ˇc´ısel (obecnˇeji i jin´ ych matematick´ ych objekt˚ u — v´ yraz˚ u, funkc´ı aj.), kter´ a m´a m ˇr´adk˚ u a n sloupc˚ u, je tedy typu (m, n) ˇci, jinak ps´ano, m×n. O ˇctvercov´ ych matic´ıch, tj. matic´ıch typu (n, n), ˇr´ık´ ame, ˇze jsou ˇr´adu n. 4 Uˇz v pˇredchoz´ı ˇca´sti bylo zavedeno, ˇze symbol C oznaˇcuje komplexn´ı ˇc´ısla. 5 Zd˚ uraznˇeme, ˇze vlastn´ı ˇc´ıslo m˚ uˇze b´ yt rovno nule, kdeˇzto vlastn´ı vektor je z definice vˇzdy nenulov´ y! 6 Symbol 0 zde znaˇ c ´ ı nulov´ y sloupcov´ y vektor. P 7ˇ C´ıslo ni=1 aii , tj. souˇcet diagon´ aln´ıch prvk˚ u ˇctvercov´e matice, se naz´ yv´a stopa matice a znaˇc´ı se tr A.

4

tedy oba charakteristick´e polynomy jsou stejn´e a maj´ı stejn´e mnoˇziny koˇren˚ u (i s n´asobnostmi). ¯ x • Je-li (λ, x) vlastn´ı p´ar re´aln´e matice A, je tak´e (λ, ¯) vlastn´ı p´ar matice A. To je patrn´e z rovnost´ı ¯ x. ¯x = (Ax) = (λx) = λ¯ A¯ x = A¯ • Je-li (λ, x) vlastn´ı p´ar (re´aln´e nebo komplexn´ı) matice A, je (λk , x) vlastn´ı p´ar matice Ak , kde k je pˇrirozen´e ˇc´ıslo. To je vidˇet z toho, ˇze Ak x = Ak−1 (Ax) = Ak−1 (λx) = λAk−1 x = λAk−2 (Ax) = λAk−2 (λx) = λ2 Ak−2 x = · · · = λk−1 Ax = λk x • Existuje-li A−1 , tj. matice inverzn´ı k matici A, je (λ, x) vlastn´ım p´arem matice A pr´avˇe tehdy, kdyˇz (1/λ, x) je vlastn´ım p´arem matice A−1 (tj. A i A−1 maj´ı stejn´e vlastn´ı vektory, ale pˇrevr´acen´a vlastn´ı ˇc´ısla), nebot’ Ax = λx ⇒ A−1 Ax = A−1 (λx) ⇒ x = λA−1 x ⇒ λ−1 x = A−1 x, ˆ kde (λ, ˆ xˆ) je vlastn´ı p´ar matice a pak stejnou u ´ vahu provedeme pro A−1 xˆ = λx, −1 A . (Plat´ı i pro komplexn´ı matice.) • Je-li A re´aln´a a symetrick´a 8 matice, pak vˇsechna jej´ı vlastn´ı ˇc´ısla jsou re´aln´a a vlastn´ı vektory odpov´ıdaj´ıc´ı r˚ uzn´ym vlastn´ım ˇc´ısl˚ um jsou vz´ajemnˇe kolm´e.9 Mnoˇzina vˇsech vlastn´ıch ˇc´ısel matice se naz´yv´a spektrum matice. Spektrum matice A budeme oznaˇcovat σ(A). Re´aln´emu ˇc´ıslu ̺(A) = max{|λ| : λ ∈ σ(A)} ˇr´ık´ame spektr´aln´ı polomˇer matice A. K v´ypoˇctu vlastn´ıch vektor˚ u se nepˇr´ımo vrac´ı i kapitola 3.1.

2.2

Gerˇ sgorinova vˇ eta

Zpracov´ano dle [6, str. 183]. Necht’ A = (aij ) je komplexn´ı nebo re´aln´a ˇctvercov´a matice n-t´eho ˇr´adu (tj. A leˇz´ı v komplexn´ı rovinˇe P Stypu (n, n)). Potom vˇsechna vlastn´ı ˇc´ısla matice u Ki o stˇredu aii a polomˇeru j6=i |aij |: ve sjednocen´ı ni=1 Ki kruh˚ ( ) n X Ki = z : |aii − z| ≤ |aij | , i = 1, 2, . . . , n. j6=i

V kaˇzd´e komponentˇe tohoto sjednocen´ı leˇz´ı pr´avˇe tolik vlastn´ıch ˇc´ısel matice A, z kolika kruh˚ u tato komponenta vznikla. 8

Pˇripomeˇ nme, ˇze matice transponovan´a k matici A = (aij ) typu (m, n) vznikne prohozen´ım ˇr´adk˚ ua sloupc˚ u matice A, tedy AT = (aji ) je typu (n, m). Plat´ı (A−1 )T = (AT )−1 , det A = det AT a pro souˇcin matic AB plat´ı (AB)T = B T AT . O matici A ˇrekneme, ˇze je symetrick´a, jestliˇze A = AT . 9 Analogick´e tvrzen´ı plat´ı i pro jist´ y typ komplexn´ıch matic (hermitovsk´e matice), ale t´ım se nebudeme zab´ yvat.

5

Speci´alnˇe v izolovan´em kruhu leˇz´ı pr´avˇe jedno vlastn´ı ˇc´ıslo. Kruh Ks je izolovan´y tehdy a jen tehdy, plat´ı-li pro vˇsechny indexy t 6= s, ˇze X X |ass − att | > |asi | + |atj |, i6=s

j6=t

kde se v prvn´ı sumˇe sˇc´ıt´a pˇres index i a v druh´e pˇres index j.

2.3

Normovan´ y line´ arn´ı prostor

Zpracov´ano dle [13, str. 46 a 111]. Re´aln´y vektorov´y prostor 10 je mnoˇzina V (jej´ı prvky se naz´yvaj´ı vektory, i kdyˇz nemusej´ı b´yt tvoˇreny uspoˇr´adan´ymi n-ticemi), na n´ıˇz jsou definov´any dvˇe operace, jimˇz se ˇr´ık´a sˇc´ıt´an´ı (prvk˚ u vektorov´eho prostoru) a n´asoben´ı (prvk˚ u vektorov´eho prostoru) skal´arem. V naˇsem pˇr´ıpadˇe se skal´arem mysl´ı libovoln´e re´aln´e ˇc´ıslo. Pro kaˇzdu dvojici vektor˚ u x, y ∈ V a pro kaˇzdou dvojici α, β ∈ R plat´ı, ˇze v´ysledek line´arn´ı kombinace αx + βy opˇet leˇz´ı v prostoru V . Operace sˇc´ıt´an´ı a n´asoben´ı (skal´arem) d´ale maj´ı n´asleduj´ıc´ı vlastnosti: Kaˇzd´e dvojici vektor˚ u x a y je pˇriˇrazen vektor x + y tak, ˇze x + y = y + x; pro kaˇzdou trojici vektor˚ u x, y a z plat´ı x + (y + z) = (x + y) + z; V obsahuje jedin´y vektor ˜0 (nulov´y vektor neboli poˇc´atek ) takov´y, ˇze x + ˜0 = x pro kaˇzd´e x ∈ V ; koneˇcnˇe kaˇzd´emu x ∈ V je pˇriˇrazen jedin´y vektor −x takov´y, ˇze x + (−x) = ˜0. Kaˇzd´e dvojici α, x, kde x ∈ V a α ∈ R je skal´ar, je pˇriˇrazen vektor αx ∈ V takov´y, ˇze 1x = x, α(βx) = (αβ)x a jsou splnˇeny dva distributivn´ı z´akony α(x + y) = αx + αy, (α + β)x = αx + βx. Zcela obdobnˇe lze zav´est komplexn´ı vektorov´y prostor, pak skal´ar znamen´a komplexn´ı ˇc´ıslo. Re´aln´y (nebo komplexn´ı) vektorov´y prostor X se naz´yv´a normovan´y line´arn´ı prostor, jestliˇze kaˇzd´emu x ∈ X je pˇriˇrazeno re´aln´e ˇc´ıslo kxk, kter´e se naz´yv´a norma x, a jsou splnˇeny tyto podm´ınky: kxk ≥ 0 ∀x ∈ X, kx + yk ≤ kxk + kyk ∀x, y ∈ X, kαxk = |α|kxk ∀x ∈ X, ∀α ∈ R (α ∈ C, je-li X komplexn´ı), ˜ kxk = 0 ⇒ x = 0.

(1) (2) (3) (4)

Povˇsimnˇeme si, ˇze pro u, v, w ∈ X plat´ı ku − vk ≤ ku − wk + kw − vk,

(5)

coˇz plyne z rovnosti ku − vk = ku − w + w − vk, v n´ıˇz poloˇz´ıme x = u − w a y = w − v, a pak uplatn´ıme (2). Nerovnosti (2), ale i (5) se ˇr´ık´a troj´ uheln´ıkov´a nerovnost. Pro ˜0 (nulov´y prvek prostoru X) plat´ı k˜0k = 0 (viz (3)-(4), kde α = 0). 10

T´eˇz se ˇr´ık´ a line´ arn´ı prostor.

6

2.4

Normy vektor˚ u a matic

V´ıce a podrobnˇeji v [6, str. 164 a dalˇs´ı]. Vektorem x nyn´ı rozum´ıme matici typu (n, 1), tj. x = (x1 , x2 , . . . , xn )T ∈ Cn , pˇr´ıpadnˇe x ∈ Rn . Poˇzadavk˚ um (1)-(4) vyhovuje mnoho r˚ uzn´ych definic norem vektor˚ u. V line´arn´ı algebˇre se vˇsak jako nejpraktiˇctˇejˇs´ı osvˇedˇcily tyto: Pro p ≥ 1 je lp -norma definov´ana vztahem n X

kxkp =

i=1

|xi |

p

!1/p

,

jej´ı d˚ uleˇzit´e speci´aln´ı pˇr´ıpady jsou kxk1 = kxk2 =

n X i=1

|xi |

n X i=1

|xi |2

(oktaedrick´a norma), !1/2

(euklidovsk´a norma).

Limitn´ım pˇr´ıpadem lp -normy (pro p → ∞) je max-norma: kxk∞ =

max

i∈{1,2,...,n}

|xi |.

V dalˇs´ım se pro jednoduchost omezme na re´aln´e matice a na re´aln´e vektory. 11 Uvaˇzujme mnoˇzinu vˇsech (re´aln´ych) matic typu (m, n) a povˇsimnˇeme si, ˇze zavedemeli obvykl´e sˇc´ıt´an´ı matic a n´asoben´ı matic skal´arem, tvoˇr´ı tato mnoˇzina vektorov´y prostor; oznaˇcme jej M. Necht’ Xn a Ym jsou (re´aln´e) prostory m-dimenzion´aln´ıch a ndimenzion´aln´ıch vektor˚ u opatˇren´e normou k · kXn a normou k · kYm . Pak vztahem12 kAkYm Xn = sup {kAxkYm : x ∈ Xn , kxkXn = 1}

(6)

ukaz, ˇze kAkYm Xn opravdu m´a definujeme pro kaˇzdou matici A ∈ M normu kAkYm Xn ; d˚ vlastnosti normy, je pod´an napˇr´ıklad v [6]. O normˇe k · kYm Xn ˇr´ık´ame, ˇze je generov´ana normami k · kXn a k · kYm . Z (3) a ze spojitosti zobrazen´ı x 7→ Ax plyne, ˇze (6) lze ekvivalentnˇe definovat takto kAkYm Xn =

kAxkYm . x6=0} kxkXn

max

{x∈Xn :

11

(7)

Pro zv´ıdav´e: N´ıˇze uveden´e definice norem matic by byly platn´e i pro komplexn´ı matice, jen normu k · k2 by bylo nutn´e definovat m´ırnˇe odliˇsnˇe. 12 Pokud nejste obezn´ ameni s pojmem supremum, nahrad’te jej ve vztahu (6) pojmem maximum, tj. kAkYm Xn = max {kAxkYm : x ∈ Xn , kxkXn = 1}.

7

Povˇsimnˇeme si, ˇze jestliˇze plat´ı y = Ax, kde x ∈ Xn a y ∈ Ym , pak z (7) plyne kykYm ≤ kAkYm Xn kxkXn .

(8)

Jsou-li v obou prostorech pouˇzity normy stejn´eho typu — konkr´etnˇe k · kξ , kde ξ odpov´ıd´a 1, 2, p nebo ∞, pak i normu matice A generovanou normami k · kξ budeme znaˇcit kAkξ . V nˇekter´ych pˇr´ıpadech se dokonce m˚ uˇzeme vyhnout nepohodln´emu v´ypoˇctu normy z definice (6) ˇci (7), protoˇze lze uk´azat (viz [6]), ˇze plat´ı kAk1 = kAk∞ =

m X

max

k∈{1,2,...,n}

i=1

max

i∈{1,2,...,m}

kAk2 = (̺(AT A))

n X

k=1 1/2

|aik |, |aik |, (spektr´aln´ı norma),

kde AT znaˇc´ı matici transponovanou k matici A. Jest ̺(AT A) = ̺(AAT ) = λmax (AAT ) = λmax (AT A), kde λmax (AT A) znaˇc´ı nejvˇetˇs´ı vlastn´ı ˇc´ıslo matice AT A (matice AT A je symetrick´a a pozitivnˇe semidefinitn´ı, vˇsechna jej´ı vlastn´ı ˇc´ısla jsou re´aln´a a nez´aporn´a). Je-li matice A re´aln´a a symetrick´a, je kAk2 = (̺(AT A))1/2 = (̺(A2 ))1/2 = ̺(A). ˇ Casto pouˇz´ıvan´a Frobeniova norma !1/2 m X n X 2 |aik | kAkF = i=1 k=1

nen´ı (pro n > 1 nebo m > 1) normou matice generovanou z norem v prostorech Xn √ a Ym . Povˇsimnˇete si, ˇze pro In , jednotkovou matici n-t´eho ˇr´adu, je kIn kF = n, kdeˇzto kIn kξ = 1, kde ξ = 1, 2, p, ∞.

Lze dok´azat [6, Vˇeta 9.2], ˇze je-li A ˇctvercov´a matice a k · k Frobeniova nebo libovoln´a generovan´a norma, pak ̺(A) ≤ kAk. Z pˇredchoz´ıho uˇz v´ıme, ˇze v pˇr´ıpadˇe, ˇze A je symetrick´a matice, plat´ı ̺(A) = kAk2

2.5

Skal´ arn´ı souˇ cin vektor˚ u

I v t´eto ˇc´asti pˇredpokl´ad´ame, ˇze matice a vektory jsou re´aln´e. Pˇripomeˇ nme definici skal´arn´ıho souˇcinu v prostoru n-rozmˇern´ych re´aln´ych vektor˚ u:13 skal´arn´ım souˇcinem vektor˚ u x = (x1 , . . . , xn ) a y = (y1 , . . . , yn ) rozum´ıme ˇc´ıslo (x, y) =

n X

xk yk .

(9)

k=1

13

Pro z´ ajemce. Definice skal´ arn´ıho souˇcinu komplexn´ıch vektor˚ u se liˇs´ı jen v (10) a (12), konkr´etnˇe (y, x) = (x, y), α(x, y) = α(x, y),

(x, αy) = α ¯ (x, y),

v definici se tedy vyskytuj´ı komplexnˇe sdruˇzen´a ˇc´ısla.

8

Pro x, y, z ∈ Rn a α ∈ R plat´ı (y, x) = (x, y), (x + z, y) = (x, y) + (z, y), (αx, y) = α(x, y), (x, αy) = α(x, y), (x, x) ≥ 0, (x, x) = 0 ⇒ x = 0. Ovˇsem tak´e (0, x) = (x, 0) = 0, viz (12) pˇri α = 0. Pomoc´ı skal´arn´ıho souˇcinu definujeme euklidovskou normu vektoru p kxk2 = (x, x).

(10) (11) (12) (13) (14)

(15)

Z definice Pskal´arn´ıho souˇcinu a pˇr´ım´ym v´ypoˇctem dostaneme ([6, Vˇeta 2.3]), ˇze (Ax, y) = (x, AT y) = j,k ajk yj xk .

Pˇripomeˇ nme jeˇstˇe, ˇze o vektorech x, y ∈ Rn , pro nˇeˇz (x, y) = 0, ˇrekneme, ˇze jsou vz´ajemnˇe kolm´e (ortogon´aln´ı). D˚ uleˇzit´a a uˇziteˇcn´a je Cauchyova nerovnost (t´eˇz nˇekdy naz´yvan´a Schwarzova nerovnost) |(x, y)| ≤ kxk2 kyk2, (16)

jej´ıˇz odvozen´ı nen´ı obt´ıˇzn´e: Jestliˇze y je nulov´y vektor, pak (16) plat´ı, nebot’ 0 ≤ 0. Jestliˇze y 6= 0, pak spoˇc´ıtejme kvadr´at normy speci´alnˇe zvolen´eho vektoru (je to samozˇrejmˇe nez´aporn´e ˇc´ıslo)

2 



(x, y) (x, y) (x, y)

0≤

x − kyk2 y = x − kyk2 y, x − kyk2 y 2 2 2 2 2 2 (x, y) (x, y) (x, y)2 2 = kxk22 − 2 + = kxk − . 2 kyk22 kyk22 kyk22

Porovn´an´ım lev´eho a prav´eho konce ˇretˇezce zjist´ıme, ˇze 0 ≤ kxk22 −

(x, y)2 , kyk22

(x, y)2 ≤ kxk22 , 2 kyk2 (x, y)2 ≤ kxk22 kyk22.

Pozn´ amka 2.2 Pozdˇeji se setk´ate se skal´arn´ım souˇcinem funkc´ı definovan´ym napˇr´ıklad pro funkce z line´arn´ıho prostoru C([a, b]) funkc´ı spojit´ych na uzavˇren´em intervalu [a, b], jenˇz je pro u, v ∈ C([a, b]) definov´an takto Z b (u, v) = u(x)v(x) dx. (17) a

Uvˇedomte si, ˇze urˇcit´y integr´al souˇcinu dvou funkc´ı opravdu splˇ nuje poˇzadavky kladen´e na skal´arn´ı souˇcin, viz (10)-(14), a definuje normu na prostoru C([a, b]), viz (15). Z´aroveˇ n 9

plat´ı nerovnost (16) a o funkc´ıch u, v ∈ C([a, b]), pro nˇeˇz plat´ı (u, v) = 0, ˇr´ık´ame, ˇze jsou ortogon´aln´ı. Skal´arn´ı souˇcin (17) je d˚ uleˇzit´y pˇri studiu diferenci´aln´ıch rovnic s okrajov´ymi podm´ınkami. Tak´e se zamyslete nad t´ım, ˇze C([a, b]) s obvykl´ym sˇc´ıt´an´ım dvou funkc´ı a s n´asoben´ım funkce re´aln´ym ˇc´ıslem tvoˇr´ı vektorov´y (line´arn´ı) prostor. 

2.6

Pozitivnˇ e definitn´ı matice

Matice A = (aij ) typu (n, n) se naz´yv´a pozitivnˇe definitn´ı, plat´ı-li pro kaˇzd´y nenulov´y n-rozmˇern´y re´aln´y vektor x (Ax, x) > 0, tj.

n X n X

aij xi xj > 0.

j=1 j=1

Lze uk´azat, ˇze symetrick´a (!) matice A je pozitivnˇe definitn´ı pr´avˇe tehdy, kdyˇz vˇsechna vlastn´ı ˇc´ısla matice A jsou kladn´a. (To je jen jedna z mnoha ekvivalentn´ıch charakterizac´ı, jeˇz uv´ad´ı napˇr. [6, Vˇeta 2.17].) Jestliˇze plat´ı jen neostr´a nerovnost, tj. (Ax, x) ≥ 0, hovoˇr´ıme o matici semidefinitn´ı. Pozn´ amka 2.3 Rozmyslete si, ˇze pro matici A typu (n, n) a sloupcov´e vektory x, y typu (n, 1) plat´ı y T Ax = (Ax, y) = (x, AT y) = (AT y, x) = (y, Ax) = (Ax)T y = xT AT y.

2.7

ˇ sen´ı soustav line´ Reˇ arn´ıch algebraick´ ych rovnic

Uvaˇzovan´e matice jsou ˇctvercov´e typu (n, n) a vˇsecky jejich prvky jsou re´aln´e, vektory jsou n-rozmˇern´e sloupcov´e. Nepˇredpokl´ad´a se, ˇze matice jsou pozitivnˇe definitn´ı. 2.7.1

Gaussova eliminaˇ cn´ı metoda

Metodu zn´ate z prvn´ıho semestru, je vyloˇzena napˇr. ve standarn´ıch skriptech Matematika I. Tˇem, kdo si ji chtˇej´ı pˇripomenout, doporuˇcuji pˇrej´ıt ke kapitole 3.1. N´ıˇze uv´ad´ım jen j´adro metody v podobˇe vztah˚ u pouˇz´ıvan´ych pˇri eliminaci [6, str. 203], viz tak´e napˇr. [14] a mnoh´e jin´e zdroje. Vztahy se mohou hodit tˇem, kdo by si chtˇeli metodu naprogramovat. ˇ sme soustavu Ax = b se ˇctvercovou matic´ı n-t´eho ˇr´adu, kde b ∈ Rn a tak´e vˇsechny Reˇ prvky aij matice A jsou re´aln´e. (0) Oznaˇcme a1i = a1i a definujme vztahy z´avisl´e na k = 1, 2, . . . , n − 1, (k)

(k−1)

(k) bi

(k−1) bi

aij = aij =

(k−1)

(k−1) −1 (k−1) ) akj , (k−1) (k−1) −1 (k−1) , aik (akk ) bk

− aik −

(akk

i, j = k + 1, . . . , n,

(18)

i = k + 1, . . . , n,

(19)

(n−2)

(20)

pˇritom se pˇredpokl´ad´a, ˇze hlavn´ı prvky jsou nenulov´e (1)

(2)

a11 6= 0, a22 6= 0, a33 6= 0, . . . , an−1,n−1 6= 0, 10

aby se v (18)-(19) nedˇelilo nulou. Smyslem (18) je v k-t´em kroku vynulovat tu ˇc´ast kt´eho sloupce matice, kter´a leˇz´ı pod hlavn´ı diagon´alou, a to odeˇcten´ım vhodn´ych n´asobk˚ u k-t´eho ˇr´adku. Vynulovan´e prvky uˇz nejsou vztahem (18) zachyceny. Odpov´ıdaj´ıc´ı u ´ pravy prav´e strany popisuje vztah (19). Zaved’me zjednoduˇsen´e oznaˇcen´ı (k−1)

lik = aik ukj =

(k−1) −1

(akk

(k−1) akj ,

) ,

i = k + 1, . . . , n,

j = k, k + 1, . . . , n,

(21)

k = 1, 2, . . . , n.

Pak soustava Ax = b pˇrejde po eliminaci prvk˚ u pod hlavn´ı diagon´alou na ekvivalentn´ı 14 e soustavu Ux = b, kde U je horn´ı troj´ uheln´ıkov´a matice n-t´eho ˇr´adu s prvky ukj . Definujme doln´ı troj´ uheln´ıkovou matici L = (lij ) n-t´eho ˇr´adu:    viz (21), jestliˇze i > k, lik = 1, jestliˇze i = k,   0, jestliˇze i < k. Lze uk´azat, ˇze A = LU, a tedy Ux = L−1 b, kde L−1 b = eb. Pak x = U −1eb. V praxi se matice U neinvertuje, ale soustava Ux = eb se ˇreˇs´ı “zpˇetn´ym chodem”, pˇriˇcemˇz vektor eb se z rovnice Leb = b tak´e vypoˇc´ıt´a dopˇrednou obdobou zpˇetn´eho chodu. Nen´ı-li splnˇeno (20) nebo potˇrebujeme-li se vyhnout numerick´ym probl´em˚ um,15 po(k−1) m˚ uˇzeme si pivotac´ı, tj. v´ybˇerem hlavn´ıho prvku, v u ´ prav´ach vystupuje v (akk )−1 . Nejjednoduˇsˇs´ı je ˇc´asteˇcn´a pivotace zaloˇzen´a na prohozen´ı ˇr´adk˚ u (vˇcetnˇe odpov´ıdaj´ıc´ıch sloˇzek vektoru na prav´e stranˇe soustavy). Pˇri u ´ pln´e pivotaci se na m´ısto hlavn´ıho prvku pˇresouv´a ten prvek “nedokonˇcen´e”ˇc´asti matice, jenˇz je v absolutn´ı hodnotˇe maxim´aln´ı. Pˇritom se mohou prohodit i sloupce matice, coˇz znamen´a zmˇenu poˇrad´ı sloˇzek vektoru nezn´am´ych. Je-li matice A symetrick´a a pozitivnˇe definitn´ı, je (20) splnˇeno, k pivotaci vˇsak mohou v´est ohledy na pˇresnost v´ysledku z´ıskan´eho v poˇc´ıtaˇcov´e aritmetice.

Je-li matice A symetrick´a a pozitivnˇe definitn´ı, je v´yhodn´y rozklad (Cholesk´eho rozklad, metoda) A = LLT , kde L = (lij ) je doln´ı troj´ uheln´ıkov´a matice s prvky poˇc´ıtan´ymi postupnˇe pro r = 1, 2, . . . , n: lrr = (arr − lir =

r−1 X

2 1/2 lrs ) ,

s=1 r−1 X

1 (air − lrr

lrs lis ),

i = r + 1, . . . , n.

s=1

O matici ˇrekneme, ˇze je ˇr´ıdk´a, pokud nejv´yˇse 5% prvk˚ u matice je nenulov´ych. 14

To je ta soustava, k n´ıˇz dospˇejete postupem, kter´ y zn´ate uˇz z MA 1, cestou pouˇz´ıv´ ate informace, jeˇz zachycuje matice L zm´ınˇen´a d´ ale. (k−1) 15 V´ ypoˇcetn´ı nesn´ aze prov´azen´e ztr´ atou pˇresnosti ˇreˇsen´ı se objevuj´ı, kdyˇz akk je mal´e ˇc´ıslo, tedy (k−1) −1 (akk ) je ˇc´ıslo velk´e.

11

Zaplnˇen´ı matice (anglicky fill-in): Jev pˇri Gaussovˇe eliminaci charakterizovan´y t´ım, ˇze pˇri ekvivalentn´ıch u ´ prav´ach vedouc´ıch k horn´ı troj´ uheln´ıkov´e matici se zvyˇsuje poˇcet nenulov´ych prvk˚ u a rostou n´aroky na pamˇet’ poˇc´ıtaˇce a poˇcet operac´ı. Pˇr´ıkladem m˚ uˇze b´yt matice nulov´a aˇz na hlavn´ı diagon´alu, prvn´ı ˇr´adek a prvn´ı sloupec. Oslabuje se ˇci ztr´ac´ı charakter ˇr´ıdk´e matice. Matice (p, q)-p´asov´a : jej´ı prvky leˇz´ıc´ı mimo p´as kolem hlavn´ı diagon´aly jsou nulov´e. Pˇresnˇeji [6] p = max(p0 , 0), q = max(q0 , 0),

p0 = max{k − i; i, k, aik 6= 0}, q0 = − min{k − i; i, k, aik 6= 0}.

Poˇcet aritmetick´ych operac´ı nutn´ych pro vyˇreˇsen´ı soustavy Ax = b Pˇredpokl´adejme, ˇze nen´ı tˇreba prov´adˇet pivotaci a ˇze n´aroˇcnost jednoho dˇelen´ı odpov´ıd´a n´aroˇcnosti jednoho n´asoben´ı a sˇc´ıt´an´ı. Pak (viz [1, Section 1.4.3]) k vyˇreˇsen´ı soustavy s (a) plnou matic´ı potˇrebujeme zhruba 3 n /3+n2 flops (floating point operations, aritmetick´ych operac´ı s plovouc´ı ˇr´adovou ˇc´arkou), (b) plnou symetrickou matic´ı zhruba n3 /6 + n2 flops, (c) (q, q)-p´asovou matic´ı zhruba (q + 1)2 n + 2qn flops, (d) (q, q)-p´asovou symetrickou matic´ı zhruba (q + 1)2 n/2 + 2qn flops. 2.7.2

Iteraˇ cn´ı metody

Budeme se zab´yvat ˇreˇsen´ım soustavy line´arn´ıch algebraick´ych rovnic s regul´arn´ı (tj. ˇctvercovou) re´alnou matic´ı. U zkouˇsky se m˚ uˇzete setkat s pˇr´ıklady t´ykaj´ıc´ımi se Jacobiovy a Gaussovy-Seidelovy metody. Vˇ eta 2.1 (podrobnˇeji viz [6, Vˇeta 12.1]) Necht’ pro spektr´aln´ı polomˇer ̺(A) matice A plat´ı ̺(A) < 1. Pak pro libovoln´y vektor b a kaˇzd´y poˇc´ateˇcn´ı vektor x(0) posloupnost vektor˚ u {x(k) }k=0,1,2,... urˇcen´a vztahem x(k+1) = Ax(k) + b,

k = 0, 1, 2, . . . ,

konverguje (po souˇradnic´ıch) k vektoru x b, jenˇz je ˇreˇsen´ım soustavy (I − A)x = b.

(22)

(23)

Postaˇcuj´ıc´ı podm´ınkou pro ̺(A) < 1 je, aby pro nˇekterou generovanou normu kAk matice A platilo kAk < 1. Pak tak´e plat´ı odhady kb x − x(k) k ≤ kAkk kx(0) k + kb x − x(k) k ≤

kAkk kbk, 1 − kAk

kAk kx(k) − x(k−1) k. 1 − kAk 12

(24) (25)

D˚ ukaz nerovnosti (25) je velmi jednoduch´y. Protoˇze x b = Ab x + b, plat´ı (s uˇzit´ım (22)) tento ˇretˇezec rovnost´ı x b − x(k) = Ab x + b − (Ax(k−1) + b) = A(b x − x(k−1) ) + b − b

= A(b x − x(k) + x(k) − x(k−1) ) = A(b x − x(k) ) + A(x(k) − x(k−1) ).

Normy lev´e a prav´e strany rovnosti jsou si rovny, ale, po uplatnˇen´ı troj´ uheln´ıkov´e nerov(k) (k) (k−1) nosti, normu ˇclen˚ u A(b x − x ) a A(x − x ) odhadneme shora pomoc´ı (8) kb x − x(k) k ≤ kAkkb x − x(k) k + kAkkx(k) − x(k−1) k, coˇz po algebraick´e u ´ pravˇe d´av´a nerovnost (25). Povˇsimnˇeme si, ˇze nerovnosti (24)-(25) n´am umoˇzn ˇ uj´ı odhadnout chybu (ve v´yznamu nepˇresnost“) iteraˇcn´ıho ˇreˇsen´ı v k-t´em kroku, aniˇz bychom znali pˇresn´e ˇreˇsen´ı x b! ” My se vˇsak v praxi nesetk´av´ame se soustavami ve tvaru (23), n´ybrˇz ve tvaru Cx = y.

(26)

Mus´ıme tedy od (26) pˇrej´ıt k (23), coˇz lze udˇelat napˇr. takto [6, str. 217]: b kde D = diag{c11 , c22 , . . . , cnn } je matice, jej´ıˇz Nap´ıˇseme16 C = (cij ) jako D − C, hlavn´ı diagon´ala je totoˇzn´a s hlavn´ı diagon´alou matice C, ale jej´ıˇz vˇsechny ostatn´ı prvky b = (b jsou nulov´e, a C cij ) je matice s prvky b cii = 0, b cij = −cij pro i 6= j. Jsou-li vˇsechny diagon´aln´ı prvky cii nenulov´e, poloˇz´ıme b A = D −1 C,

b = D −1 y.

(27)

Ovˇeˇrme, ˇze soustavy (I − A)x = b a Cx = y maj´ı stejn´e ˇreˇsen´ı x: b = D −1 y ⇔ (D − C)x b = y ⇔ Cx = y. (I − A)x = b ⇔ (I − D −1 C)x

Iteraˇcn´ı metoda (22), kde matice A a vektor b jsou d´any pˇredpisem (27), se naz´yv´a Jacobiova a lze ji zapsat i takto b (k) + D −1 y, x(k+1) = D −1 Cx

k = 0, 1, . . . ,

(28)

kde poˇc´ateˇcn´ı vektor x(0) ∈ Rn zvol´ıme, a pak postupnˇe vypoˇc´ıt´av´ame vektory x(1) , x(2) , x(3) , . . . 16

Cel´ y postup lze ekvivalentnˇe zapsat s odliˇsnou znam´enkovou konvenc´ı, ta vˇsak m˚ uˇze nˇekomu v´ıce e kde C e = (e vyhovovat. Nap´ıˇseme C = (cij ) jako D + C, cij ) je matice s prvky e cii = 0, e cij = cij pro i 6= j. Jsou-li vˇsechny diagon´ aln´ı prvky cii nenulov´e, poloˇz´ıme (povˇsimnˇete si znam´enka v definici matice A zde a v (27)) e A = −D−1 C, b = D−1 y. Ovˇeˇrme, ˇze soustavy (I − A)x = b a Cx = y maj´ı stejn´e ˇreˇsen´ı x:

e = D−1 y ⇔ (D + C)x e = y ⇔ Cx = y. (I − A)x = b ⇔ (I + D−1 C)x

13

Zaps´ano po sloˇzk´ach (k+1) xi

1 =− cii

i−1 X

(k) cij xj

+

j=1

n X

(k) cij xj

j=i+1

!

+

yi , cii

i = 1, 2, . . . , n,

(29)

(s)

kde xr znaˇc´ı r-tou sloˇzku vektoru x(s) , cij jsou prvky matice C a yi jsou sloˇzky vektoru y. b < 1 zaruˇcuje konvergenci Jacobiovy metody pro Podle vˇety 1 podm´ınka ̺(D −1 C) kaˇzdou pravou stranu y a pˇri libovoln´e volbˇe poˇc´ateˇcn´ıho vektoru x(0) . Tuto podm´ınku vˇsak b´yv´a nesnadn´e ovˇeˇrit, proto se v praxi pouˇz´ıvaj´ı podm´ınky jednoduˇsˇs´ı, uved’me dvˇe. Vˇ eta 2.2 ([6, Vˇeta 12.2]) Necht’ matice C = (cij ) n-t´eho ˇr´adu m´a pˇrevl´adaj´ıc´ı diagon´alu, tj. necht’ existuj´ı kladn´a ˇc´ısla h1 , h2 , . . . , hn tak, ˇze X |cik |hk , i = 1, . . . , n. |cii |hi > k6=i

Pak Jacobiova metoda pro ˇreˇsen´ı soustavy Cx = y konverguje pro kaˇzdou pravou stranu y a kaˇzd´y poˇc´ateˇcn´ı vektor x(0) . (Pozn´amka: V praxi nˇekdy staˇc´ı volit h1 = h2 = · · · = hn = 1.)  Vˇ eta 2.3 ([6, str. 219]) M´a-li re´aln´a symetrick´a matice C vˇsechny prvky na hlavn´ı diagon´ale kladn´e a je-li D diagon´aln´ı ˇc´ast matice C (definici matice D viz v´yˇse), konverguje Jacobiova metoda pro kaˇzd´y poˇc´ateˇcn´ı vektor a kaˇzdou pravou stranu, pr´avˇe kdyˇz C i 2D − C jsou pozitivnˇe definitn´ı matice.  Jin´y rozklad matice C vede na jinou metodu. Piˇsme C = D + L + U,

(30)

kde D je opˇet diagon´aln´ı ˇc´ast matice C, L je doln´ı troj´ uheln´ıkov´a matice, kter´a je pod hlavn´ı diagon´alou identick´a s matic´ı C a jinde nulov´a, U je horn´ı troj´ uheln´ıkov´a matice, kter´a je nad hlavn´ı diagon´alou identick´a s matic´ı C a jinde nulov´a; matice L a U maj´ı nulov´e hlavn´ı diagon´aly. Definujme A = −(D + L)−1 U, b = (D + L)−1 y (31) a ovˇeˇrme, ˇze (I − A)x = b ⇔ (I + (D + L)−1 U)x = (D + L)−1 y ⇔ (D + L + U)x = y ⇔ Cx = y. Iteraˇcn´ı metoda x(k+1) = −(D + L)−1 Ux(k) + (D + L)−1 y, se naz´yv´a Gaussova-Seidelova metoda. 14

k = 0, 1, . . . ,

(32)

Z (32) plyne, ˇze vektor x(k+1) ˇreˇs´ı soustavu (D+L)x(k+1) = −Ux(k) +y. T´eto rovnosti se vyuˇz´ıv´a v implementaci algoritmu Gaussovy-Seidelovy metody, pˇri n´ıˇz se snadno vyhneme v´ypoˇctu inverzn´ıch matic. Protoˇze matice D + L je doln´ı troj´ uheln´ıkov´a, lze prvn´ı sloˇzku vektoru x(k+1) ihned vypoˇc´ıtat. Tuto sloˇzku pak dosad´ıme do rovnice pro druhou sloˇzku vektoru x(k+1) , ˇc´ımˇz poˇcet nezn´am´ych t´eto rovnice redukujeme o jednu (tj. na jednu); vypoˇcteme druhou sloˇzku. Prvn´ı a druhou sloˇzku vektoru x(k+1) dosad´ıme do rovnice pro tˇret´ı sloˇzku vektoru x(k+1) , ˇc´ımˇz poˇcet nezn´am´ych t´eto rovnice opˇet redukujeme na jednu; vypoˇcteme tˇret´ı sloˇzku. Takto postupujeme tak dlouho, aˇz vypoˇcteme cel´y vektor x(k+1) . Pˇredchoz´ı slovn´ı popis m˚ uˇzeme snadno vyj´adˇrit matematick´ym z´apisem (viz [12]): ! i−1 n X X 1 yi (k+1) (k+1) (k) xi =− (33) cij xj + cij xj + , i = 1, 2, . . . , n, cii j=1 cii j=i+1 kde cij jsou prvky matice C a yi sloˇzky vektoru y. Srovnejte (29) a (33). Lze uk´azat [6, Vˇeta 12.4], ˇze m´a-li matice C pˇrevl´adaj´ıc´ı diagon´alu (viz v´yˇse), je ̺((D−L)−1 U) < 1, tj. metoda konverguje pro kaˇzdou volbu poˇc´ateˇcn´ıho vektoru a kaˇzdou pravou stranu. Velmi uˇziteˇcn´e je toto tvrzen´ı:17 Vˇ eta 2.4 ([6, Vˇeta 12.5]) Gaussova-Seidelova metoda konverguje, je-li matice C pozitivnˇe definitn´ı.  Dnes pravdˇepodobnˇe nejpouˇz´ıvanˇejˇs´ı metodou pro iteraˇcn´ı ˇreˇsen´ı soustav se symetrickou a pozitivnˇe definitn´ı matic´ı je metoda sdruˇzen´ych gradient˚ u a jej´ı vylepˇsen´ı. Pro s.p.d. matici A typu (n, n) je metoda definov´ana takto (viz napˇr. [6, str. 212] nebo [10, str. 105]): Necht’ x(0) je poˇc´ateˇcn´ı aproximace ˇreˇsen´ı soustavy Ax = b takov´a, ˇze Ax(0) 6= b. Poloˇzme p(0) = r (0) = b − Ax(0) a poˇc´ıtejme pro k = 0, 1, . . . , n − 1 (r (k) , r (k) ) , (Ap(k) , p(k) ) = x(k) + a(k) p(k) ,

a(k) = x(k+1)

r (k+1) = r (k) − a(k) Ap(k) ,

(r (k+1) , r (k+1) ) , (r (k) , r (k) ) = r (k+1) + b(k) p(k) .

b(k) = p(k+1)

Nen´ı-li pro ˇz´adn´e k < n vektor r (k) nulov´y, je x(n) ˇreˇsen´ı. Nastane-li (poprv´e) pro nˇejak´e k < n, ˇze vektor r (k) je nulov´y, je x(k) ˇreˇsen´ı. Pˇredchoz´ı tvrzen´ı zaruˇcuje, ˇze ˇreˇsen´ı nalezneme v nejv´yˇse n kroc´ıch; jde tedy vlastnˇe o metodu pˇr´ımou. Z´aroveˇ n (a ˇcastˇeji) je vˇsak poˇc´ıt´ana mezi metody iteraˇcn´ı; jednak 17

Numerick´e ˇreˇsen´ı mnoha praktick´ ych u ´loh je zaloˇzeno na vyˇreˇsen´ı soustavy line´arn´ıch algebraick´ ych rovnic. To, ˇze odpov´ıdaj´ıc´ı matice je pozitivnˇe definitn´ı (a ˇcasto i symetrick´a), lze u nˇekter´ ych metod (napˇr´ıklad u metody koneˇcn´ ych prvk˚ u) a u ˇrady d˚ uleˇzit´ ych inˇzen´ yrsk´ ych probl´em˚ u snadno uk´azat pˇr´ımo z vlastnost´ı v´ ychoz´ı u ´lohy, aniˇz by bylo nutn´e analyzovat konkr´etn´ı matici. Pˇredpoklad tvrzen´ı tedy v praxi b´ yv´a splnˇen.

15

kv˚ uli nepˇresn´e poˇc´ıtaˇcov´e aritmetice proces neb´yv´a ukonˇcen nulovost´ı vektoru ri , jednak v mnoha praktick´ych pˇr´ıpadech je uspokojiv´e pˇresnosti ˇreˇsen´ı dosaˇzeno mnohem dˇr´ıve neˇz po n kroc´ıch. O metodˇe pˇr´ıstupn´ym zp˚ usobem pojedn´av´a [10], velmi podrobnˇe [1]. Obdobou nerovnost´ı (24)-(25) je odhad (viz napˇr. [10]) (k)

kb x − x kA ≤ 2

p

κ(A) − 1 p κ(A) + 1

!k

kb x − x(0) kA ,

k = 0, 1, 2, . . . ,

kde κ(A) je ˇc´ıslo podm´ınˇenosti18 definovan´e jako pod´√ ıl nejvˇetˇs´ıho vlastn´ıho ˇc´ısla matice A k nejmenˇs´ımu vlastn´ımu ˇc´ıslu matice A a kxkA = xT Ax je (energetick´a) norma (ˇze jde o normu, to plyne z pozitivn´ı definitnosti matice A).

2.8

ˇ ıslo podm´ınˇ C´ enosti

Necht’ k · k je nˇejak´a generovan´a norma a necht’ A je regul´arn´ı matice (tj. existuje matice A−1 ). Pak ˇc´ıslo κ(A) = kAk kA−1 k se naz´yv´a ˇc´ıslo podm´ınˇenosti matice A vzhledem k normˇe k · k. Pˇripomeˇ nme si, ˇze je-li A re´aln´a a symetrick´a matice a pouˇzijeme-li normu k · k2 , je kAk2 = ̺(A). Pˇredpokl´adejme nav´ıc, ˇze matice A je pozitivnˇe definitn´ı, pak ̺(A) = λmax , kde λmax je nejvˇetˇs´ı vlastn´ı ˇc´ıslo matice A (vˇsechna vlastn´ı ˇc´ısla pozitivnˇe definitn´ı matice jsou kladn´a). Protoˇze vlastn´ı ˇc´ısla matice A−1 jsou pˇrevr´acen´ymi hodnotami vlastn´ıch ˇc´ısel (pozitivnˇe definitn´ı) matice A, je kA−1 k2 = 1/λmin , kde λmin je nejmenˇs´ı vlastn´ı ˇc´ıslo matice A. Pak tedy κ(A) = λmax /λmin (je-li matice A symetrick´a a pozitivnˇe definitn´ı). Je-li matice A jen re´aln´a a symetrick´a, je k v´ypoˇctu norem kAk2 a kA−1 k2 zapotˇreb´ı vz´ıt absolutn´ı hodnoty vlastn´ıch ˇc´ısel, nebot’ pˇr´ısluˇsn´a vlastn´ı ˇc´ısla mohou b´yt i z´aporn´a. ˇ ıslo podm´ınˇenosti ukazuje, jak citliv´e m˚ C´ uˇze b´yt ˇreˇsen´ı soustavy line´arn´ıch algebraick´ych rovnic na mal´e zmˇeny soustavy a prav´e strany. Je-li z ˇreˇsen´ı soustavy Az = b a x ˇreˇsen´ı soustavy s matic´ı A + Γ a s pravou stranou b + β, pˇriˇcemˇz prvky matice Γ a vektoru β jsou mal´e, tj. (A + Γ)x = b + β, pak pro velikost relativn´ıho rozd´ılu mezi z a x plat´ı [1, Theorem A.13′ ]   kx − zk kΓk kβk κ(A) , (34) ≤ + kzk 1 − kA−1 Γk kAk kbk za pˇredpokladu, ˇze kA−1 Γk < 1. Pˇredchoz´ı odstavec popisuje napˇr´ıklad situaci, kdy m´ısto pˇresn´e soustavy Az = b ˇreˇs´ıme soustavu (A + Γ)x = b + β, kter´a odpov´ıd´a nepˇresnˇe spoˇc´ıtan´e matici A a nepˇresnˇe urˇcen´emu vektoru b (nepˇresnosti jsou reprezentovan´e matic´ı Γ a vektorem β). To je v praxi bˇeˇzn´e, pokud prvky matice A a vektoru b poˇc´ıt´ame nˇejakou numerickou, tud´ıˇz pˇribliˇznou metodou. Nerovnost (34) n´am ˇr´ık´a, ˇze souˇcet relativn´ıch nepˇresnost´ı (v´yraz v [ ]) je zes´ılen κ(A) faktorem , jenˇz pˇri velk´em κ(A) m˚ uˇze b´yt velmi velk´y. Pak je horn´ı mez pro 1 − kA−1 Γk 18

Podrobnˇeji v odd´ılu 2.8.

16

relativn´ı chybu na lev´e stranˇe (34) tak´e velk´a. Praxe ukazuje, ˇze skuteˇcn´a chyba opravdu velk´a b´yv´a. Jeˇstˇe srozumitelnˇejˇs´ı je tvrzen´ı [6, Vˇeta 11.1]: Necht’ A je regul´arn´ı matice a x0 ˇreˇsen´ı soustavy Ax = b0 a x1 ˇreˇsen´ı soustavy Ax = b1 , kde b0 6= b1 , pak plat´ı kb1 − b0 k kx1 − x0 k ≤ κ(A) , kx0 k kb0 k

(35)

kde κ(A) je ˇc´ıslo podm´ınˇenosti matice A vzhledem k normˇe k · k. Pˇritom k dan´e matici A existuj´ı vektory b0 6= 0 a b0 6= b1 takov´e, ˇze v (35) nastane rovnost. Jin´ymi slovy, i kdyˇz se od sebe prav´e strany soustavy liˇs´ı m´alo, mohou se pˇr´ısluˇsn´a ˇreˇsen´ı liˇsit velmi mnoho.

3

Zpˇ et do 1. roˇ cn´ıku

Pro oˇziven´ı pozapomenut´e l´atky si pˇripomeˇ nme postupy, bez nichˇz je absolvov´an´ı zkouˇsky z Matematiky 4 stˇeˇz´ı moˇzn´e.

3.1

ˇ s´ıme soustavy line´ Reˇ arn´ıch algebraick´ ych rovnic

Na uk´azku vyˇreˇsme tuto soustavu rovnic (viz [7, Pˇr´ıklad 2.22]) 10x1 x1 x1 −x1

− + + +

5x2 x2 2x2 x2

+ − − +

5x3 x3 x3 x3

+ 10x4 = 5, − x4 = 0, + x4 = 5, − x4 = 4.

Zapiˇsme ji maticovˇe a upravujme: 

10 −5 5 10  1 1 −1 −1   1 2 −1 1 −1 1 1 −1

    2 −1 1 2 1 1 1 −1 −1 5     0 ♠ 1 1 −1 −1 0  ♣  1 2 −1 1 ∼ ∼ 2 −1 1 5   2 −1 1 2 5   1 4 −1 1 1 −1 4 −1 1 1 −1    1 1 −1 −1 0 0 1 1 −1 −1    5 5 0 1 0 2 0 1 0 2 ♥   ∼ ∼   0 −3  3 4 1 0 0 3 10 16 0 2 0 −2 4 0 0 0 −6 −6

 0 5   1  4    

Nejprve jsme prvn´ı ˇr´adek podˇelili ˇc´ıslem 5 (krok ♠), pak jsme prvn´ı ˇr´adek pˇresunuli o dva ˇr´adky dol˚ u (krok ♣), v kroku ♥ jsme od druh´eho ˇr´adku odeˇcetli prvn´ı ˇr´adek, od tˇret´ıho ˇr´adku odeˇcetli dvojn´asobek prvn´ıho ˇr´adku a k posledn´ımu ˇr´adku pˇriˇcetli prvn´ı ˇr´adek. Nakonec (krok ) jsme k tˇret´ımu ˇr´adku pˇriˇcetli trojn´asobek druh´eho ˇr´adku a od posledn´ıho ˇr´adku jsme odeˇcetli dvojn´asobek druh´eho ˇra´dku.

17

ˇ ast matice vlevo od svisl´e ˇc´ary jsme upravili na horn´ı troj´ C´ uheln´ıkov´y tvar. Posledn´ı ˇr´adek m˚ uˇzeme jeˇstˇe vydˇelit ˇc´ıslem −6, upraven´e matici pak odpov´ıd´a soustava x1 + x2 − x3 − x4 = x2 + 2x4 = 3x3 + 10x4 = x4 =

0, 5, 16, 1.

Hodnost matice soustavy i hodnost rozˇs´ıˇren´e matice soustavy jsou stejn´e, existuje tedy ˇreˇsen´ı soustavy. Soustava m´a ˇctyˇri nezn´am´e a hodnost jej´ı matice je 4, soustava m´a tedy pr´avˇe jedno ˇreˇsen´ı. Posledn´ı rovnice upraven´e soustavy uˇz pˇr´ımo urˇcuje, ˇze x4 = 1, coˇz dosad´ıme do tˇret´ı rovnice, tj. 3x3 + 10 = 16, odkud x3 = 2. S vyuˇzit´ım x4 = 1 dostaneme z druh´e rovnice x2 = 3. Dosad´ıme-li z´ıskan´e v´ysledky do prvn´ı rovnice, obdrˇz´ıme x1 = 0. Zkouˇska        

10 −5 5 10 0 5  3   0  1 1 −1 −1    =   1 2 −1 1  2   5  −1 1 1 −1 1 4

potvrzuje spr´avnost v´ ysledku. Pˇripomeˇ nme, ˇze pokud hodnost matice soustavy je menˇs´ı neˇz hodnost rozˇs´ıˇren´e matice soustavy, soustava nem´ a ˇreˇsen´ı. V Matematice 4 se vˇsak ˇcastˇeji setk´ate s pˇr´ıpadem, kdy naopak existuje nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı — napˇr´ıklad pˇri urˇcov´an´ı vlastn´ıch vektor˚ u matic. Tuto situaci ilustrujme Pˇr´ıkladem 2.23 z [7]. Postupujme uˇz struˇcnˇeji. Jist´e soustavˇe rovnic Ax = b, kde b = (−1, 3, −4, 4)T , odpov´ıd´ a rozˇs´ıˇren´ a matice, kterou se snaˇz´ıme d´ ale upravit:       −1 2 1 −1 −1 −1 2 1 −1 −1 −1 2 1 −1 −1  0 −1 −1 3 3 3 3  3  3  ♠  ♣   0 −1 −1  0 −1 −1 ∼ ∼        1 3 2 −4 −4 0 5 3 −5 −5 0 0 −2 10 10  5 2 0 4 0 12 5 −1 −1 0 0 −7 35 35 4   −1 2 1 −1 −1 ♥  0 −1 −1 3 3 . ∼ 0 0 1 −5 −5

K tˇret´ımu ˇra´dku jsme pˇriˇcetli prvn´ı ˇra´dek a k posledn´ımu ˇra´dku jsme pˇriˇcetli pˇetin´ asobek prvn´ıho ˇra´dku (krok ♠). Ke tˇret´ımu ˇra´dku jsme pˇriˇcetli pˇetin´ asobek druh´eho ˇra´dku a ke ˇctvrt´emu ˇra´dku jsme pˇriˇcetli dvan´ actin´ asobek druh´eho ˇra´dku (krok ♣). Tˇret´ı ˇra´dek jsme vydˇelili ˇc´ıslem −2 a ˇctvrt´ y ˇra´dek jsme vydˇelili ˇc´ıslem −7, po t´eto u ´pravˇe se ˇctvrt´ y ˇra´dek shoduje s ˇra´dkem tˇret´ım, nepˇrin´ aˇs´ı tedy ˇz´ adnou novou vazbu mezi promˇenn´ ymi a m˚ uˇze b´ yt z rozˇs´ıˇren´e matice vyˇskrtnut (krok ♥). Pro ˇctyˇri nezn´ am´e m´ ame jen tˇri rovnice, oˇcek´av´ame tedy nekoneˇcn´ y poˇcet ˇreˇsen´ı. Upravenou soustavu −x1 + 2x2 + x3 − x4 = −1, − x2 − x3 + 3x4 = 3, x3 − 5x4 = −5

ˇreˇs´ıme tak, ˇze jednu zvolenou nezn´ amou povaˇzujeme za parametr a ostatn´ı nezn´ am´e vyj´adˇr´ıme pomoc´ı tohoto parametru. Za parametr zvolme x4 a pro pˇrehlednost oznaˇcme symbolem p, tedy

18

x4 = p. Z posledn´ı rovnice dostaneme x3 = 5p − 5, z druh´e rovnice x2 = 2 − 2p a z prvn´ı rovnice ˇ sen´ı x tedy m˚ x1 = 0. Reˇ uˇzeme napsat takto       0 0 0  2 − 2p       = u + pv, kde u =  2  a v =  −2  , x=  −5 + 5p   −5   5  p 1 0

pˇriˇcemˇz p je libovoln´e re´ aln´e ˇc´ıslo. Jak ovˇeˇr´ıme spr´avnost ˇreˇsen´ı? Povˇsimnˇeme si, ˇze pro libovoln´e p ∈ R m´ a platit b = Ax = A(u + pv) = Au + A(pv) = Au + pAv.

(36)

Z (36) dost´ av´ame vztah b − Au = pAv, jenˇz by mˇel platit pro vˇsechna ˇc´ısla p ∈ R, coˇz, pokud by vektor Av byl nenulov´ y, nem˚ uˇze nastat, protoˇze lev´a strana rovnosti na p nez´ avis´ı. Mus´ı tedy T b´ yt Av = o, kde o = (0, 0, 0, 0) . Odtud pak Au = b. Spr´avnost ˇreˇsen´ı x tedy ovˇeˇr´ıme tak, ˇze vektor u vyn´ asob´ıme matic´ı A a v´ ysledek srovn´ame s nenulov´ ym vektorem b. Vektor Av se naopak mus´ı rovnat nulov´emu vektoru. Poznamenejme, ˇze pro jinou soustavu se m˚ uˇze st´ at, ˇze jej´ı ˇreˇsen´ı je z´avisl´e napˇr´ıklad na dvou parametrech, tj. Ax = b, kde, kupˇr´ıkladu, x = u + pv + qw a p, q ∈ R. Pak mus´ı platit, ˇze Au = b a ˇze vektory Av a Aw jsou nulov´e. Ukaˇzme to na ˇreˇsen´ı soustavy s touto rozˇs´ıˇrenou matic´ı       2 −4 6 3 −13 2 −4 6 3 −13 0 −8 8 2 −22  2 −4 6 3 −13  ♠  0 −4 4 1 −11  ♣  0 −4 4 1 −11         6 −4 10 7 −17  ∼  6 −4 10 7 −17  ∼  0 22  8 −8 −2 11 4 −4 8 5 −15 4 −4 8 5 −15 0 4 −4 −1     2 −4 6 3 −13 2 0 2 2 −2 ♥ ∼ ∼ . 0 −4 4 1 −11 0 4 −4 −1 11 Prohodili jsme prvn´ı a druh´ y ˇra´dek, pˇriˇcemˇz jsme cel´ y nov´ y“ druh´ y ˇra´dek dˇelili dvˇema (krok ♠). ” Od tˇret´ıho ˇra´dku jsme odeˇcetli trojn´asobek prvn´ıho ˇra´dku, od ˇctvrt´eho ˇra´dku jsme odeˇcetli dvojn´asobek prvn´ıho ˇra´dku (krok ♣). Po t´eto u ´pravˇe jsou tˇret´ı a ˇctvrt´ y ˇra´dek jen n´ asobkem druh´eho ˇra´dku, nepˇrin´ aˇs´ı tedy ˇz´ adnou novou vazbu mezi promˇenn´ ymi a mohou b´ yt z rozˇs´ıˇren´e matice vyˇskrtnuty (krok ♥). Nakonec druh´ y ˇra´dek jeˇstˇe vyn´ asob´ıme19 ˇc´ıslem −1 a pˇriˇcteme ho k prvn´ımu ˇra´dku, t´ım se soustava d´ ale zjednoduˇs´ı. Pro ˇctyˇri nezn´ am´e m´ ame jen dvˇe nez´ avisl´e rovnice, oˇcek´av´ame tedy nekoneˇcn´ y poˇcet ˇreˇsen´ı z´avisl´ ych na dvou parametrech. Upravenou soustavu (prvn´ı ˇra´dek vydˇel´ıme 2) x1

+ x3 + x4 = −1, 4x2 − 4x3 − x4 = 11

ˇreˇs´ıme tak, ˇze dvˇe zvolen´e nezn´ am´e povaˇzujeme za parametry a ostatn´ı nezn´ am´e vyj´adˇr´ıme pomoc´ı tˇechto parametr˚ u. Za parametr zvolme x4 a pro pˇrehlednost oznaˇcme symbolem p, tedy x4 = p. D´ale oznaˇcme x3 = q. Z druh´e rovnice dostaneme x2 = 11/4 + p/4 + q, z prvn´ı pak ˇ sen´ı x tedy m˚ x1 = −1 − p − q. Reˇ uˇzeme napsat takto         −1 − p − q −1 −1 −1   11/4 + p/4 + q        = u + vp + wq, kde u =  11/4  , v =  1/4  a w =  1  , x=        q 1  0 0 0 p 0 1 19

Nen´ı to nutn´e, jen se t´ım v dalˇs´ım kroku vyhneme z´ aporn´ ym znam´enk˚ um.

19

pˇriˇcemˇz p a q jsou libovoln´ a re´ aln´ a ˇc´ısla. Zkouˇska spr´avnosti v´ ysledku spoˇc´ıv´a ve v´ ypoˇctu vektoru Ax a jeho srovn´an´ı s vektorem b = (−22, −13, −17, −15)T . Mus´ı b´ yt Ax = b. N´asobit matic´ı A pˇr´ımo vektor x je vˇsak nepraktick´e kv˚ uli parametr˚ um p, q a nepˇrehledn´ ym souˇcin˚ um. Proto b´ yv´ a jednoduˇsˇs´ı (a prov´azeno menˇs´ım mnoˇzstv´ım poˇcetn´ıch chyb) ovˇeˇrit, ˇze Au = b, Av = o a Aw = o, kde o = (0, 0, 0, 0)T .

3.2

Vypoˇ c´ıt´ av´ ame inverzn´ı matici

Jestliˇze um´ıme vyˇreˇsit soustavu line´ arn´ıch algebraick´ ych rovnic, pak tak´e um´ıme vypoˇc´ıtat inverzn´ı matici k regul´ arn´ı matici ˇra´du n. Jde vlastnˇe jen o vyˇreˇsen´ı nˇekolika soustav se stejnou matic´ı, ale s n r˚ uzn´ ymi prav´ ymi stranami. Ty jsou d´ any line´ arnˇe nez´ avisl´ ymi jednotkov´ ymi vektory se vˇsemi sloˇzkami nulov´ ymi s v´ yjimkou i-t´e sloˇzky, ta m´ a hodnotu 1, i = 1, 2, . . . , n. Vˇsechny soustavy se ˇreˇs´ı z´ aroveˇ n, nebot’ do rozˇs´ıˇren´e matice m˚ uˇzeme najednou napsat vˇsechny prav´e strany. Levou ˇc´ ast rozˇs´ıˇren´e matice nestaˇc´ı upravit na troj´ uheln´ıkov´ y tvar, n´ ybrˇz je nutn´e uˇz´ıt zpˇetn´ y chod a doj´ıt aˇz k jednotkov´e matici. Pak, za pˇredpokladu ˇze jsme poˇc´ıtali bez chyby (nebo se naˇse chyby vz´ajemnˇe vyruˇsily, na kter´ yˇzto jev ovˇsem nelze spol´ehat), dostaneme v prav´e ˇc´asti rozˇs´ıˇren´e matice hledanou inverzn´ı matici. Postup si ukaˇzme na pˇr´ıkladu s touto rozˇs´ıˇrenou matic´ı       1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 2 −1 1 1 0 0 ♠  4 1 2 0 1 0  ∼  2 −1 1 1 0 0  ∼  0 −1 −1 1 0 −2  1 0 1 0 0 1 4 1 2 0 1 0 0 1 −2 0 1 −4     1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 ♣ ∼  0 −1 −1 1 0 −2  ∼  0 1 1 −1 0 2  0 0 −3 1 1 −6 0 0 1 −1/3 −1/3 2   1 0 0 1/3 1/3 −1 1/3 0 . ∼  0 1 0 −2/3 0 0 1 −1/3 −1/3 2 Pro pohodl´ı jsme nejprve pˇreuspoˇra´dali ˇra´dky rozˇs´ıˇren´e matice (krok ♠). Vlevo od m´ısta ♣ je matice v horn´ım troj´ uhelnikov´em tvaru, vpravo tak´e, ale uˇz po zah´ ajen´ı u ´prav vedouc´ıch k jednotkov´e matici. Ovˇeˇr´ıme, ˇze jsme skuteˇcnˇe urˇcili inverzn´ı matici:      2 −1 1 1/3 1/3 −1 1 0 0  4 1 2   −2/3 1/3 0  =  0 1 0 . 1 0 1 −1/3 −1/3 2 0 0 1

3.3

Poˇ c´ıt´ ame determinanty

Pˇripomeˇ nme, ˇze determinant je jist´ ym pomˇernˇe sloˇzit´ ym zp˚ usobem definovan´e ˇc´ıslo det A pˇriˇrazen´e ˇctvercov´e matici A ˇra´du n. Kdykoli se v dalˇs´ım v´ ykladu objev´ı matice, vˇzdy p˚ ujde bez dalˇs´ıho upˇresˇ nov´an´ı o ˇctvercovou matici s re´ aln´ ymi prvky. Z´ akladn´ı vlastnosti a pojmy [2, 3] • det A = det AT , kde det AT je matice transponovan´ a k matici A. Z toho napˇr´ıklad plyne, ˇze tvrzen´ı o vlivu operac´ı s ˇra´dky matice na determinant jsou platn´ a i pro operace se sloupci matice.

20

• Pˇriˇcteme-li k libovoln´emu ˇra´dku (sloupci) matice A libovolnou line´ arn´ı kombinaci ostatn´ıch ˇra´dk˚ u (sloupc˚ u), determinant matice se nezmˇen´ı. • Jestliˇze z matice A = (aij ) ˇra´du n vynech´ ame i-t´ y ˇra´dek a j-t´ y sloupec, dostaneme matici i+j ˇ ˇra´du n − 1, jej´ıˇz determinant oznaˇc´ıme Mij . C´ıslo Aij = (−1) Mij se naz´ yv´ a algebraick´ y doplnˇek prvku aij (aij je ten prvek, kter´ y leˇzel na kˇr´ıˇzen´ı vynechan´eho ˇra´dku a sloupce). Plat´ı (rozvoj determiantu podle ˇra´dku) det A =

n X

aik Aik .

k=1

• det(AB) = det A · det B.

Prvn´ı tˇri vlastnosti s v´ yhodou pouˇzijeme k v´ ypoˇctu determinant˚ u, jak ukazuje pˇr´ıklad 20 pˇrevzat´ y z [3]: Pˇri v´ ypoˇctu determinantu v´ ychoz´ı matice 2 1 −1 2 −1 0 1 0 0 0 −4 3 2 −1 1 −10 3 5 −7 4 det A = 3 5 −2 1 −2 = −7 5 3 −9 3 2 2 −1 3 −1 −2 2 1 −1 1 −1 2 3 1 3 −5 2 5 −3 5

jsme od prvn´ıho sloupce odeˇcetli dvojn´asobek druh´eho sloupce, k tˇret´ımu sloupci jsme pˇriˇcetli druh´ y sloupec, od ˇctvrt´eho sloupce jsme odeˇcetli dvojn´asobek druh´eho sloupce a k p´ at´emu sloupci jsme pˇriˇcetli druh´ y sloupec. Hodnota determinantu se nezmˇenila, ale prvn´ı ˇra´dek je nulov´ y s v´ yjimkou prvku ve druh´em sloupci (jest i + j = 3), rozvoj determinantu podle prvn´ıho ˇra´dku n´ as vede k v´ ypoˇctu determinantu21 matice ˇra´du 4, kterou d´ ale uprav´ıme pˇriˇc´ıt´an´ım vhodn´ ych n´ asobk˚ u ˇctvrt´eho sloupce k ostatn´ım sloupc˚ um: −10 5 −7 4 −2 1 −3 4 −7 3 −9 3 −1 0 −6 3 . det A = − = − 0 0 0 1 −2 1 −1 1 −5 5 −3 5 5 0 2 5 Rozvojem podle tˇret´ıho ˇra´dku s jedin´ ym nenulov´ ym prvkem (hodnota 1, i + j = 3 + 4 = 7) dost´ av´ame determinant matice tˇret´ıho ˇra´du, ale i ten lze rozv´est podle druh´eho sloupce (i + j = 1 + 2 = 3) (vˇetu o rozvoji uplatn´ıme na druh´ y ˇra´dek transponovan´e matice): −2 1 −3 −1 −6 = −28, det A = −1 0 −6 = − 5 2 5 0 2 k z´avˇereˇcn´emu v´ ypoˇctu jsme uˇzili definici determinantu matice typu 2 × 2.

3.4

Hled´ ame extr´ emy funkce jedn´ e promˇ enn´ e

V Matematice 4 se znaˇcn´ a pozornost vˇenuje oper´ atorov´e formulaci okrajov´ ych u ´loh pro obyˇcejn´e diferenci´ aln´ı rovnice. Pˇri vyˇsetˇrov´an´ı vlastnost´ı tˇechto oper´ ator˚ u je nutn´e naj´ıt minimum funkce jedn´e promˇenn´e na omezen´em intervalu. Pˇripomeˇ nme, jak se takov´e minimum hled´ a. Pˇredpokl´adejme, ˇze funkce f je spojit´a na intervalu [a, b], pak na intervalu [a, b] jistˇe nab´ yv´ a minima i maxima. Body, v nichˇz se nab´ yv´ a extr´emu, mohou patˇrit pouze do tˇechto skupin 20 21

Z´ apisy det(·) a | · | , kde · symbolizuje ˇctvercovou tabulku prvk˚ u matice, jsou ekvivalentn´ı. Povˇsimnˇete si znam´enka minus, vzniklo z (−1)3 .

21

(α) body, v nichˇz se nuluje derivace funkce f ; (β) body, v nichˇz neexistuje derivace funkce f ; (γ) body a a b. Pˇr´ıklad: Najdˇeme extr´emy funkce f (x) = 2x3 − 15x2 + 36x + 10 na intervalu [−1, 5].

ˇ sen´ı: Derivace f ′ (x) = 6x2 − 30x + 36 existuje na cel´em intervalu [−1, 5], pˇr´ıpad (β) tedy Reˇ ˇ sme nenastane. Reˇ 6x2 − 30x + 36 = 0, x2 − 5x + 6 = 0,

(x − 2)(x − 3) = 0,

tj. x1 = 2, x2 = 3 (situace (α)). Nesm´ıme zapomenout na (γ), v´ ypoˇctem funkˇcn´ıch hodnot ve vyˇsetˇrovan´ ych bodech nalezneme extr´emy: f (x1 ) = f (2) = 38,

f (x2 ) = f (3) = 37,

f (a) = f (−1) = −43,

f (b) = f (5) = 65.

Funkce f na intervalu [−1, 5] nab´ yv´ a minima v bodˇe x = −1 a maxima v bodˇe x = 5, hodnota minima je f (−1) = −43, hodnota maxima je f (5) = 65.

4

ˇ sitelnost okrajov´ Reˇ ych u ´ loh v 1D

ˇ sitelnost obyˇcejn´e diferenci´ Reˇ aln´ı rovnice u′′ + λu = f,

(37)

kde f je funkce spojit´a na intervalu [a, b], doplnˇen´e o okrajovou podm´ınku u(a) = 0, u(b) = 0

(38)

u(a) = 0, u′ (b) = 0

(39)

u′ (a) = 0, u(b) = 0

(40)

nebo o okrajovou podm´ınku nebo o okrajovou podm´ınku je pops´ ana takto (viz [15, tvrzen´ı 4.9 a vˇeta 5.15]): • Nen´ı-li λ vlastn´ı ˇc´ıslo okrajov´e u ´lohy dan´e rovnic´ı (37) a okrajovou podm´ınkou, m´ au ´loha pr´ avˇe jedno ˇreˇsen´ı. • Je-li λ vlastn´ı ˇc´ıslo a f je ortogon´ aln´ı k vlastn´ı funkci pˇr´ısluˇsn´e λ, m´ au ´loha nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı. • Je-li λ vlastn´ı ˇc´ıslo a f nen´ı ortogon´ aln´ı k vlastn´ı funkci pˇr´ısluˇsn´e λ, nem´ au ´loha ˇz´adn´e ˇreˇsen´ı.

22

Okrajovou podm´ınkou se mysl´ı podm´ınka (38) nebo (39) nebo (40). Pro aplikaci pˇredchoz´ıch tvrzen´ı je tedy nutn´e zn´ at syst´emy vlastn´ıch ˇc´ısel a vlastn´ıch funkc´ı. Okrajov´ au ´loha (37), (38). kπ(x − a) π2 , vlastn´ı funkce uk (x) = sin , k = 1, 2, . . . Vlastn´ı ˇc´ısla λk = k2 2 (b − a) b−a Okrajov´ au ´loha (37), (39).   (k − 1/2)π(x − a) (k − 1/2)π 2 , vlastn´ı funkce uk (x) = sin , k = 1, 2, . . . Vlastn´ı ˇc´ısla λk = b−a b−a Okrajov´ au ´loha (37), (40).   (k − 1/2)π 2 (k − 1/2)π(x − a) Vlastn´ı ˇc´ısla λk = , k = 1, 2, . . . , vlastn´ı funkce uk (x) = cos b−a b−a Pro vˇsechny tˇri typy okrajov´ ych u ´loh plat´ı, ˇze cuk , kde 0 6= c ∈ R, je opˇet vlastn´ı funkce pˇr´ısluˇsn´ a vlastn´ımu ˇc´ıslu λk a ˇze vlastn´ı funce pˇr´ısluˇsn´e r˚ uzn´ ym vlastn´ım ˇc´ısl˚ um jsou ortogon´ aln´ı na intervalu [a, b].22

5

Uˇ ziteˇ cn´ e drobnosti

Tato kapitola sest´ av´a z velice struˇcn´eho pˇrehledu r˚ uzn´ ych matematick´ ych pojm˚ u a vztah˚ u, jejichˇz znalost by mohla usnadnit ˇreˇsen´ı u ´loh pˇredmˇetu Matematika 4. Pˇrehled pod´ av´a jen j´adro informac´ı, neobsahuje podstatn´e detaily (tj. napˇr´ıklad definiˇcn´ı obory, vymezen´ı platnosti atd.).

5.1

Diferenci´ aln´ı oper´ atory

O diferenci´ aln´ım oper´ atoru A ˇrekneme, ˇze je (na sv´em definiˇcn´ım oboru D(A)) symetrick´ y, jestliˇze pro kaˇzdou dvojici v, w ∈ D(A) plat´ı (Av, w) = (Aw, v). Pˇripomeˇ nme, ˇze skal´arn´ı souˇcin Rb je zde definov´an pro funce η, ξ ∈ C([a, b]) takto: (η, ξ) = a η(x)ξ(x) dx.

O diferenci´ aln´ım oper´ atoru A ˇrekneme, ˇze je (na sv´em definiˇcn´ım oboru D(A)) pozitivnˇe definitn´ı, jestliˇze existuje kladn´ a konstanta c > 0 takov´a,
ˇze pro kaˇzdou funkci v ∈ D(A) plat´ı (Av, v) ≥ c(v, v) (v jin´e variantˇe (Av, v) ≥ c (v, v)+(v ′ , v ′ ) ; zd˚ uraznˇeme, ˇze konstanta c nez´ avis´ı na funkci v.

Friedrichsova nerovnost: Pro kaˇzdou funkci ω ∈ C 1 ([a, b]) takovou, ˇze ω(a) = 0 nebo ω(b) = 0, plat´ı nerovnost Z b Z b 2 ′2 ω 2 (x) dx. ω (x) dx ≥ 2 (b − a) a a 22

U okrajov´ ych u ´loh (37), (39) a (37), (40) se m˚ uˇzete setkat s form´alnˇe odliˇsn´ ym vztahem definuj´ıc´ım vlastn´ı ˇc´ısla a vlastn´ı funkce, a to 2  ˜k = (k + 1/2)π , u˜k (x) = sin (k + 1/2)π(x − a) , k = 0, 1, 2, . . . λ b−a b−a 2  ˜k = (k + 1/2)π , u˜k (x) = cos (k + 1/2)π(x − a) , k = 0, 1, 2, . . . λ b−a b−a Vztahy v hlavn´ım textu se od vztah˚ u v t´eto pozn´amce liˇs´ı znam´enkem pˇred 1/2 a doln´ı mez´ı pro parametr k. Syst´emy vlastn´ıch ˇc´ısel a vlastn´ıch funkc´ı jsou ovˇsem stejn´e, liˇs´ı se jen poˇradov´ ymi ˇc´ısly, ˜ k−1 = λk a u tj. λ ˜k−1 = uk , kde k = 1, 2, . . .

23

Oper´ ator A v divergentn´ım tvaru:
′ def Az = − p(x)z ′ (x) + q(x)z(x),

kde z ∈ D(A), p ∈ C 1 ([a, b]) a q ∈ C([a, b]). Je-li oper´ ator v divergentn´ım tvaru a okrajov´e podm´ınky v jeho definiˇcn´ım oboru D(A) jsou standardn´ıho typu (z(a) = 0 = z(b), z ′ (a) = 0 = z(b), z(a) = 0 = z ′ (b), z ′ (a) = 0 = z ′ (b)), pak je symetrick´ y na sv´em definiˇcn´ım oboru. O pozitivn´ı definitnosti nelze rozhodnout bez znalosti funkc´ı p a q, je vˇsak nutn´e, aby ∀ x ∈ [a, b] p(x) > 0. Integrov´ an´ı po ˇca ´stech funkc´ı r, s ∈ C 1 ([a, b]): Z

5.2

b

′

r (x)s(x) dx = a

[r(x)s(x)]x=b x=a

−

Z

b

r(x)s′ (x) dx.

a

Nˇ ekter´ e pojmy, vztahy a hodnoty

Funkce Lich´ a funkce f : f (−x) = −f (x). Sud´a funkce g: g(−x) = g(x). Goniometrick´e funkce sin x je lich´ a funkce, cos x je sud´a funkce, sin(x + 2π) = sin x, cos(x + 2π) = cos x, sin2 x + cos2 x = 1, sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β, cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β, 2 sin 2α = 2 sinp α cos α, cos 2α = cos2 α − sinp α, |sin(α/2)| = (1 − cos α)/2, |cos(α/2)|√= (1 + cos α)/2, √ sin(π/6) = 1/2 = cos(π/3), sin(π/4) = 2/2 = cos(π/4), sin(π/3) = 3/2 = cos(π/6). Logaritmy log 2 ≈ 0,301, log 13 ≈ 1,11,

log 3 ≈ 0,477, log 17 ≈ 1,23,

log 5 ≈ 0,7, log 7 ≈ 0,845, log 19 ≈ 1,28.

log 11 ≈ 1,04,

Literatura [1] O. Axelsson: Iterative Solution Methods. Cambridge University Press, Cambridge, 1994. [2] R. A. Beezer: A First Course in Linear Algebra. http://linear.ups.edu/download/fcla-electric-2.20.pdf [3] L. Bican: Line´arn´ı algebra. SNTL, Praha, 1979. ˇ [4] F. Buben´ık, O. Zindulka: Matematika 1. FSv CVUT, Praha, 2005. ˇ [5] B. Budinsk´ y, J. Charv´ at: Matematika I (ˇc´ast 1). FSv CVUT, Praha, 2000. [6] M. Fiedler: Speci´ aln´ı matice a jejich pouˇzit´ı v numerick´e matematice. TKI. SNTL, Praha, 1981. ˇ ˇ [7] J. Charv´ at, M. H´ala, Z. Sibrava: Pˇr´ıklady k Matematice I. CVUT, Praha, 1992. ˇ ˇ [8] J. Charv´ at, V. Kelar, Z. Sibrava: Matematika 1. Sb´ırka pˇr´ıklad˚ u. FSv CVUT, Praha, 2005.

24

[9] J. Chleboun: Pˇr´ıklady k pˇredmˇetu Matematika 4. Text na webov´ ych str´ ank´ach pˇredn´aˇsej´ıc´ıho. [10] M. Kˇr´ıˇzek, J. Brandts: Pades´ at let metody sdruˇzen´ ych gradient˚ u aneb Zvl´adnou poˇc´ıtaˇce soustavy milion˚ u rovnic o milionech nezn´ am´ ych? Pokroky matematiky, fyziky a astronomie 47 (2002), 103-113 ˇ [11] J. Neustupa: Matematika I. FS CVUT, Praha, 2005. [12] K. Rektorys a spolupracovn´ıci: Pˇrehled uˇzit´e matematiky I (sedm´e vyd´ an´ı). Prometheus, Praha, 2000. [13] W. Rudin: Anal´ yza v re´ aln´em a komplexn´ım oboru. Academia, Praha, 1977. [14] E. Vit´asek: Numerick´e metody. SNTL, Praha, 1987. ˇ a technika – nakladatelstv´ı CVUT, ˇ [15] O. Zindulka: Matematika 3, Cesk´ Praha, 2007.

25