Integrace racion´ aln´ıch lomen´ ych funkc´ı Jan Kot˚ ulek (kombinovan´e studium, prvn´ı soustˇredˇen´ı) verze 3 ze dne 25. u ´nora 2011 Abstrakt Tento ˇcl´ anek je koncipov´ an jako rozˇs´ıˇren´ y z´apis pr˚ ubˇehu prvn´ıho soustˇredˇen´ı z pˇredmˇetu Maˇ tematika II pro studenty 1. roˇcn´ıku kombinovan´eho studia na Fakultˇe strojn´ı, VSB-TU v Ostravˇe. Rozeb´ır´ame zde praktick´ y postup integrace tzv. racion´aln´ıch lomen´ ych funkc´ı (RLF), tedy v´ ypoˇctu Z P (x) dx, Q(x) kde P (x) a Q(x) jsou libovoln´e polynomy. Text je urˇcen k pˇr´ıpravˇe na zkouˇsku z pˇredmˇetu Matematika II.
Motivace. Polynomy jsou asi nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı element´arn´ı funkce v tom smyslu, ˇze na z´akladˇe Taylorovy vˇety lze libovolnˇe komplikovanou (element´arn´ı) funkci pˇrinejmenˇs´ım na nˇejak´em okol´ı libovoln´eho bodu s libovolnou pˇresnost´ı aproximovat (tzv. Taylorov´ ym) polynomem. Toho se ˇcasto vyuˇz´ıv´a v praxi, kdy se nˇejak´a re´aln´a data nahrad´ı vhodn´ ym polynomem. Odtud pramen´ı potˇreba znalosti pr´ace s polynomy (souˇcet, souˇcin, pod´ıl a jejich derivace a integr´al). RLF nav´ıc ˇcasto vystupuj´ı pˇri ˇreˇsen´ı komplikovan´ ych integr´al˚ u substituˇcn´ı metodou. Totiˇz, zejm´ena pˇri substituc´ıch 2. druhu (iracion´aln´ı substituce, goniometrick´e substituce, aj.) se sloˇzit´ y integrand pomoc´ı vhodn´e substituce pˇrev´ad´ı pr´avˇe na RLF a u ´loha se tak redukuje na probl´em integrace nˇejak´e racion´aln´ı lomen´e funkce. Definice. Polynomem neboli mnohoˇclenem v promˇenn´e x rozum´ıme libovolnou funkci tvaru P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 . ˇ ısla a0 , . . . , an ∈ R naz´ C´ yv´ame koeficienty polynomu P (x) a ˇc´ıslo deg P (x) = n, tedy nejvyˇsˇs´ı mocninu, naz´ yv´ame stupnˇem polynomu P (x). Pro polynom stupnˇe n pouˇz´ıv´ame tak´e oznaˇcen´ı Pn (x), zejm´ena chceme-li zd˚ uraznit o polynom jak´eho stupnˇe se jedn´a. Letm´ e sezn´ amen´ı. Pro nˇekter´e velmi jednoduch´e polynomy um´ıme RLF zintegrovat pomoc´ı z´ akladn´ıch integraˇcn´ıch vzor˚ u, napˇr´ıklad Z 3 Z Z Z 1 1 2 1 x − 2x + 1 1 dx = x dx − 2 dx + x − 2 ln(x) − + c 2 2 dx = 2 x x x x Z 2x dx = ln(x2 + 1) + c 2 x +1 Z 2 dx = 2 arctan(x) + c 2 x +1 To je kupodivu vˇse co m˚ uˇze vyj´ıt pˇri integraci RLF. Tedy ˇreˇsen´ım je obecnˇe souˇcet – polynomu, – lomen´e funkce, – pˇrirozen´eho logaritmu a – funkce arkus tangens. 1
Algoritmus ˇ reˇ sen´ı. Naˇs´ım c´ılem tedy bude pˇrepsat RLF na souˇcet jednoduch´ ych (tzv. parci´aln´ıch) zlomk˚ u, kter´e pak snadno zintegrujeme. D˚ uleˇzit´e je, ˇze to lze prov´est pro libovoln´ e polynomy P (x) a Q(x). Nauˇc´ıme se univerz´aln´ı recept, jakousi kuchaˇrku uvaˇrit integr´al z jak´ekoliv RLF, a nav´ıc jen ve ˇctyˇrech kroc´ıch: 1. pˇrevod na polynom + ryze lomen´a funkce (dˇelen´ı) 2. rozklad jmenovatele na souˇcin koˇrenov´ ych ˇcinitel˚ u 3. rozklad RLF na souˇcet parci´aln´ıch zlomk˚ u 4. integrace parci´aln´ıch zlomk˚ u Pro pochopen´ı strategie rozkladu na parci´aln´ı zlomky prozkoumejme vyˇreˇsenou u ´lohu 1.–3.: x6 − 2x5 + 11x4 − 13x3 + 67x2 − 71x + 67 3x + 4 4 6 = x2 − 2x + 7 + + . 2 2 2 + 2 (x − 1) (x + 2x + 7) x − 1 (x − 1) x + 2x + 7 Funkce na lev´e stranˇe vznikla pˇrevodem funkce z prav´e strany na spoleˇcn´eho jmenovatele (pˇresvˇedˇcte se o tom!). Staˇc´ı tedy vˇedˇet, ˇze naˇse u ´loha je obr´ acen´ au ´ loha k pˇ revodu funkce na spoleˇ cn´ eho jmenovatele. Snaˇz´ıme se tedy naj´ıt funkci, kter´a (kdyˇz pˇrevedeme na spoleˇcn´eho jmenovatele a rozn´asob´ıme) je rovna naˇsemu zad´an´ı. Integr´al funkce na lev´e stranˇe je tedy souˇctem integr´al˚ u funkc´ı na prav´e stranˇe, kter´e jsou stejn´eho typu jako uk´azkov´e pˇr´ıklady z pˇredchoz´ıho odstavce. Pojd’me jednotliv´e kroky bl´ıˇze rozebrat.
1. Pˇ revod na ryze lomenou funkci (dˇ elen´ı polynom˚ u): Racion´aln´ı funkci naz´ yv´ame ryze lomenou je-li deg P (x) < deg Q(x). Pokud je stupeˇ n polynomu (nejvyˇsˇs´ı mocnina) v ˇcitateli vˇetˇs´ı nebo roven stupni polynomu ve jmenovateli, tedy deg P (x) ≥ deg Q(x) vydˇel´ım je. Dˇelen´ı polynom˚ u prob´ıh´a u ´plnˇe stejnˇe jako dˇelen´ı mnohocifern´ ych ˇc´ısel se zbytkem (zkuste si dosadit x = 10 a uvid´ıte): (x3 − 2x2 + 3x + 2) : (x2 + 1) = x − 2 +
4 − 2x x2 + 1
−(x3 + x) − 2x2 − 2x + 2 −(−2x2 − 2) − 2x + 4 Vˇsimnˇete si, ˇze P (x) S(x) = R(x) + , Q(x) Q(x) kde deg S < deg Q, takˇze jsme si RLF rozloˇzili na souˇ cet polynomu, kter´ y jiˇz um´ıme zintegrovat, a ryze lomen´ e funkce, kterou se nauˇc´ıme integrovat v dalˇs´ıch bodech kuchaˇrky. Pˇ r´ıklady Z
x3 − 2x2 + 3x + 2 dx = x2 + 1
Z x−2+
4 − 2x 1 dx = x2 − 2x + 4 arctan x − ln(x2 + 1) + C, 2 2 x +1
4x4 − 6x3 + 3x − 5 1 2 1 dx = x4 − x3 − x2 + x − 2 ln |2x − 1| + C, 2 3 2 2x − 1 Z Z 2x4 − 6x3 − 2x + 14 2x2 − 8x + 14 dx = 2x + dx x3 − 3x2 − x + 3 x3 − 3x2 − x + 3 Z
2
2. Rozklad jmenovatele na souˇ cin koˇ renov´ ych ˇ cinitel˚ u: A) Koˇ ren a souˇ cin koˇ renov´ ych ˇ cinitel˚ u ˇ ısla z v nichˇz nab´ C´ yv´a polynom hodnoty nula se naz´ yvaj´ı koˇreny polynomu Q(x). Tento pojem jiˇz jistˇe zn´ate (srov. koˇren kvadratick´e funkce = ˇreˇsen´ı kvadratick´e rovnice). Vˇ eta 1. (Z´ akladn´ı vˇ eta algebry) Kaˇzd´y polynom Q(x) stupnˇe n m´ a pr´ avˇe n komplexn´ıch koˇren˚ u. I s touto vˇetou jste se jiˇz setkali, alespoˇ n pro kvadratick´e polynomy. Polynom x − z naz´ yv´ame koˇrenov´ym ˇcinitelem polynomu Q(x). Pozor, zde je x promˇenn´a a z ˇc´ıslo, tedy pˇr´ıklady koˇrenov´ ych ˇcinitel˚ u jsou x − 1 nebo x − 2 + 3i. D˚ usledek 2. Kaˇzd´y polynom Q(x) stupnˇe n se d´ a zapsat ve tvaru tzv. souˇcinu koˇrenov´ych ˇcinitel˚ u Q(x) = k(x − x0 ) · (x − x1 ) · · · (x − xn ),
(2.1)
kde x0 , x1 , . . . , xn jsou (komplexn´ı) koˇreny polynomu Q(x). V rozkladu nerozliˇsujeme zda jsou koˇreny r˚ uzn´e nebo stejn´e. N´ asobnost´ı koˇrene xi rozum´ıme to, kolikr´at vystupuje koˇrenov´ y ˇcinitel v rozkladu (2.1). Je-li komplexn´ı ˇc´ıslo z = a + bi koˇrenem polynomu Q(x), pak je tak´e komplexnˇe sdruˇzen´e ˇc´ıslo z¯ = a − bi jeho koˇrenem. Souˇcin koˇrenov´ ych ˇcinitel˚ u (x − z) · (x − z¯) = x2 + px + q je polynom druh´eho stupnˇe (kvadratick´ y polynom s re´aln´ ymi koeficienty a se z´aporn´ ym diskriminantem). D˚ usledek 3. Kaˇzd´y polynom Q(x) stupnˇe n se d´ a v mnoˇ zinˇ e re´ aln´ ych funkc´ı zapsat ve tvaru Q(x) = (x − x0 ) · (x − x1 ) · · · (x − xi ) · (x2 + p1 x + q1 ) · · · (x2 + pj x + qj ) kde x0 , x1 , . . . , xi jsou re´ aln´ e koˇreny polynomu Q(x) a x2 + px + q jsou souˇciny koˇrenov´ych ˇcinitel˚ u 2 pˇr´ısluˇsn´ych ke komplexnˇ e sdruˇ zen´ ym koˇren˚ um, tedy x + px + q = (x − z) · (x − z¯). Nejl´epe vˇse pochop´ıte na pˇr´ıkladech polynom˚ u druh´eho stupnˇe: 2 (a) x − 1 = (x − 1)(x + 1): dva jednoduch´e re´aln´e koˇreny x1,2 = ±1 (b) x2 − 2x + 1 = (x − 1)2 : jeden dvoj-n´asobn´ y re´aln´ y koˇren x0 = 1 2 (c) x + 1: nelze rozloˇzit, nem´a re´aln´e koˇreny, komplexn´ı koˇreny jsou z1,2 = ±i; pˇr´ısluˇsn´ y rozklad v C by byl Q(x) = (x − i)(x + i). (d) x2 − 2x + 2: nelze rozloˇzit, nem´a re´aln´e koˇreny, komplexn´ı koˇreny jsou z1,2 = 1 ± i a tˇret´ıho stupnˇe: (a) x3 − 3x2 + 3x − 1 = (x − 1)3 : jeden troj-n´asobn´ y re´aln´ y koˇren x0 = 1 3 2 2 (b) x − x − x + 1 = (x − 1) (x + 1): jeden dvoj-n´asobn´ y re´aln´ y koˇren x0 = 1 a jeden jednoduch´ y re´aln´ y koˇren x0 = −1 (c) x3 − 2x2 − x + 2 = (x − 1)(x + 1)(x − 2): tˇri jednoduch´e re´aln´e koˇreny x1 = 1, x2 = 2, x3 = −1 (d) x3 − x2 + x − 1 = (x − 1)(x2 + 1): jeden jednoduch´ y re´aln´ y koˇren x0 = 1 a dva komplexn´ı koˇreny x1,2 = ±i Dodejme, ˇze jin´e moˇznosti (krom konkr´etn´ıch hodnot koˇren˚ u) u polynom˚ u druh´eho a tˇret´ıho stupnˇe nemohou nastat.
B) Hled´ an´ı koˇ ren˚ u polynomu To je v praxi nejtˇeˇzˇs´ı probl´em. Naˇstˇest´ı se v testech objevuj´ı (takˇrka v´ yhradnˇe) polynomy, jejichˇz koeficienty jsou cel´a ˇc´ısla.(1) (1) Jsou-li mezi koeficienty tak´e racion´ aln´ı ˇc´ısla, lze polynom pˇrev´est na polynom s celoˇc´ıseln´ ymi koeficienty, a to tak, ˇze jej vyn´ asob´ıme spoleˇcn´ ym jmenovatelem koeficient˚ u, coˇz pochopitelnˇe nemˇen´ı nezmˇen´ı koˇreny.
3
Hornerovo schema viz napˇr. [VUT]. Pouˇz´ıv´a se k: (a) ovˇeˇren´ı zda je ˇc´ıslo x0 koˇren, (b) dˇelen´ı Pn (x)/(x − a) = Pn−1 (x), kde a je koˇren. T´ım dos´ahneme sn´ıˇzen´ı stupnˇe polynomu, jak tvrd´ı Bezoutova vˇeta Pn (x) = (x − a)Pn−1 (x). N´asleduj´ıc´ı vˇeta velmi omezuje mnoˇzinu ze kter´e m´a smysl vyb´ırat moˇzn´e koˇreny: Vˇ eta 4. Bud’ Q(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 polynom s koeficienty ai ∈ Z. Je-li jeho koˇrenem ˇc´ıslo x0 ∈ Z, pak x0 |a0 (koˇren je dˇelitelem absolutn´ıho ˇclenu). Kdybychom ji nemˇeli, museli bychom vyzkouˇset vˇsechna (cel´a) ˇc´ısla. Takto je alespoˇ n jasn´e, ˇze pokud ˇz´ adn´ y z dˇelitel˚ u ˇc´ısla a0 nen´ı koˇrenem, pak Q(x) prostˇe nem´a celoˇ c´ıseln´ y koˇren. Pˇ r´ıklady x3 − x2 + 5x − 14 = (x − 2)(x2 + x + 7), x4 + 2x3 − 16x2 − 2x + 15 = (x + 1)(x − 1)(x − 3)(x + 5), x3 + 2x2 − 5x − 6 x3 + 5x2 + 11x + 15
3. Rozklad na parci´ aln´ı zlomky: Jde o opaˇcn´ y proces k d´av´an´ı zlomk˚ u na spoleˇcn´eho jmenovatele: (a) Z´apis jmenovatele jako souˇcin koˇrenov´ ych ˇcinitel˚ u (viz v´ yˇse) (b) Z´apis rozkladu jako souˇcet parci´aln´ıch zlomk˚ u typu Typ I. Typ II.
A (x − x0 )k Mx + N (x2 + px + q)k
(pro re´aln´ y koˇren x0 ) (pro komplexnˇe sdruˇzen´e koˇreny)
kde k je n´asobnost koˇrene a kaˇzd´emu k-n´asobn´emu koˇreni odpov´ıd´a pr´avˇe k parci´aln´ıch zlomk˚ u. Poˇcet nezn´am´ ych konstant (A, B, C, . . . , M, N, . . .) tedy odpov´ıd´a stupni jmenovatele Q(x), tedy kaˇzd´emu re´aln´emu nebo komplexn´ımu koˇrenu odpov´ıd´a pr´avˇe jedna nezn´am´a (konstanta). (c) Urˇcen´ı koeficient˚ u v ˇcitatel´ıch: Po vyn´asoben´ı jmenovatelem dost´av´ame rovnost dvou polynom˚ u, kterou lze ˇreˇsit dvˇema zp˚ usoby: • pˇrevod na n + 1 rovnic o n + 1 nezn´am´ ych, pro deg Q = n (porovn´an´ı koeficient˚ u dvou polynom˚ u) • metoda nulov´ ych bod˚ u: dosazen´ı libovoln´eho koˇrene do nez´avisl´e promˇenn´e zjednoduˇsuje situaci. Ukaˇzme si rozklad na vzorov´em pˇr´ıkladu 2x2 A B Cx + D = + 2 2 2 + (x − 1) (x + 1) x − 1 (x − 1) x2 + 1 2x2 = A(x − 1)(x2 + 1) + B(x2 + 1) + (Cx + D)(x − 1)2 0x3 + 2x2 + 0x + 0 = x3 (A + C) + x2 (−A + B − 2C + D) + x(A + C − 2D) − A + B + D Porovn´an´ım koeficient˚ u obou polynom˚ u dost´av´ame soustavu rovnic x3 :
0=A+C
2
2 = −A + B − 2C + D
x:
0 = A + C − 2D
1:
0 = −A + B + D
x :
4
kterou um´ıme ˇreˇsit metodami prob´ıran´ ymi v Matematice I (Gaussova eliminaˇcn´ı metoda, dosazovac´ı ˇ sen´ım je ˇctveˇrice A = 1, B = 1, C = −1, D = 0, a tedy metoda, . . . ). Reˇ Z Z x 2x2 1 1 dx = + dx 2 2 2 − 2 (x − 1) (x + 1) x − 1 (x − 1) x +1 Pˇ r´ıklady: Z
5x2 − 17x + 12 dx = x3 − 4x2 + 4x
Z
2 1 3 + − dx, x x − 2 (x − 2)2
jednoduch´ y koˇren x0 = 0 a dvojn´asobn´ y koˇren x1 = 2. Z Z 2x3 − x2 + x − 2 1 2 x+1 dx = − 2+ 2 dx, 4 2 x x x +x x +1 dvojn´asobn´ y koˇren x0 = 0 a dva komplexn´ı koˇreny x1,2 = ±i. Z Z 3 2x + 5 x2 − 3x + 8 dx = − 2 dx, 3 2 x−1 x +1 x −x +x−1 jednoduch´ y koˇren x0 = 1 a dva komplexn´ı koˇreny x1,2 = ±i. Z Z x2 + 2x + 1 1 2x dx = + 2 dx, 4 2 2 x + 2x + 1 x + 1 (x + 1)2 dva dvojn´asobn´e komplexn´ı koˇreny x1,2 = ±i.
4. Integrace parci´ aln´ıch zlomk˚ u: Je jich celkem 6 typ˚ u, vˇetˇsinu uˇz um´ıme zintegrovat: 1.
Zlomek pˇr´ısluˇsn´ y jednoduch´emu re´aln´emu koˇreni: Z 1 dx = ln |x − a|, x−a
2.
Zlomek pˇr´ısluˇsn´ y n´asobn´emu re´aln´emu koˇreni: Z 1 1 , n dx = (x − a) (1 − n)(x − a)n−1
3.–4.
5.
Zlomek pˇr´ısluˇsn´ y jednoduch´ ym komplexnˇe sdruˇzen´ ym koˇren˚ um: Z 2x + p dx = ln |x2 + px + q| 2 x + px + q Z Z Z 1 1 1 dx = dx = dx 2 2 x + px + q p 2 p (x + p/2)2 x+ − +q +1 2 4 q − p2 /4 p r x+ 2 p 2 r = q− arctan 4 p2 q− 4
Zlomek pˇr´ısluˇsn´ y n´asobn´ ym komplexnˇe sdruˇzen´ ym koˇren˚ um: Z 2x + p −1 1 · 2 2 n dx = (x + px + q) n − 1 (x + px + q)n−1 5
Pˇ r´ıklady (integr´ aly pˇ r´ıklad˚ u z pˇ redchoz´ıho kroku) Z 3 2 1 1 + − + c, 2 dx = 3 ln |x| + 2 ln |x − 2| + x x − 2 (x − 2) x−2 Z 1 x+1 2 2 1 + dx = + ln |x| + ln(x2 + 1) + arctan(x) + c, − 2 x x2 x2 + 1 x Z 2x + 5 3 − dx = 3 ln |x − 1| − ln(x2 + 1) − 5 arctan(x) + c, x − 1 x2 + 1 Z 2x 1 1 + dx = − 2 + arctan(x) + c x2 + 1 (x2 + 1)2 x +1 ´ Ulohy k procviˇ cen´ı: Z 4 x + 2x3 + 2x2 + 5 dx, x3 + 1 Z 1 dz z2 − 1 Z Z 2x2 − 5 x dx, dx 4 2 4 x − 5x + 6 x − 3x2 + 2 Z 5 x + x4 − 8 dx x3 − 4x Jen pro u ´ plnost (viz napˇr. [MS, lekce 9]) Posledn´ı parci´aln´ı zlomek Z 1 6. dx (x2 + px + q)n rozloˇz´ıme pˇriˇcten´ım a odeˇcten´ım x2 : u jednoho se sn´ıˇz´ı stupeˇ n jmenovatele, druh´ y se spoˇc´ıt´a metodou per partes. Z Z Z 2 t2 + 1 t2 dt = 2 dt − 2 dt (t2 + 1)2 (t2 + 1)2 (t2 + 1)2 Z t 1 0 =2 dt − u = t, v = 2 2 2 (t + 1) t +1 = 2 arctan(t) +
t − arctan(t) t +1 2
Reference [VB]
ˇ H. Vrbensk´a – J. Bˇelohl´avkov´a, Z´aklady matematiky pro bakal´aˇre II. 2. vyd (Skriptum VSBTU Ostrava, Ostrava, 2006).
[VUT]
´ Matematika online, http://mathonline.fme.vutbr.cz/download.aspx?id_file=747 (UM FSI VUT, Brno, 2006)
[MS]
Moje ˇskola, e-learningov´ y kurz Matika krokem 2. Limita, derivace, integr´al, http://www.mojeskola.cz/Vyuka/Php/Learning/matika_krokem.php
6
