Využití metod operačního výzkumu v logistice

Mendelova univerzita v Brně Provozně ekonomická fakulta

Využití metod operačního výzkumu v logistice Diplomová práce

Vedoucí práce: doc. Ing. Josef Holoubek, CSc.

Bc. Jana Dubová

Brno 2013

Ráda bych poděkovala vedoucímu diplomové práce doc. Ing. Josefu Holoubkovi, CSc. za odborné vedení, cenné rady a připomínky, které mi byly poskytnuty při zpracování této práce. Dále děkuji vedení a zaměstnancům podniku ABC za poskytnutí všech potřebných podkladů a nezbytných informací.

Prohlašuji, že jsem tuto diplomovou práci na výše uvedené téma vypracovala a vyřešila samostatně, a to za použití pramenů, které uvádím v přiloženém seznamu literatury. V Brně dne 22. května 2013

_______________________

Abstract Dubová, J. The use of operations research methods in logistics. Master thesis. Brno: Mendel University, 2013. The thesis deals with the possibilities of using methods of the operations research in the creation of distribution networks. The work is based on an analysis of the creation structure and the partition of the existing distribution lines. The aim is to suggest a new distribution solution. The different methods aimed at optimizing the tasks of that type are used for the creation of distribution networks. The results achieved by these methods are explained and compared. Final proposal of that solution is made by using Mayer’s method and available software. Keywords operations research, multiple-tours circural problem, Mayer’s method, STORM

Abstrakt Dubová, J. Využití metod operačního výzkumu v logistice. Diplomová práce. Brno: Mendelova univerzita, 2013. Diplomová práce se zabývá možnostmi využití metod operačního výzkumu při tvorbě distribučních sítí. Práce vychází z analýzy struktury tvorby a rozdělení distribučních tras dosavadního stavu řešení distribuce. Cílem je návrh nového řešení distribuce. Pro tvorbu distribučních sítí je využito různých metod zaměřených na optimalizaci úloh daného typu. Výsledky dosahované prostřednictvím těchto metod jsou vysvětleny a porovnány. Návrh konečného řešení je proveden za pomocí Mayerovy metody a dostupného programového vybavení. Klíčová slova operační výzkum, víceokruhový okružní problém, Mayerova metoda, STORM

Obsah

5

Obsah 1

Úvod

10

2

Cíl a metodika práce

12

3

2.1

Cíl práce .......................................................................................................... 12

2.2

Metodika práce............................................................................................... 12

Literární rešerše 3.1

14

Logistika.......................................................................................................... 14

3.1.1

Dopravní logistika................................................................................. 14

3.1.2

Vývojové trendy v logistice ................................................................. 16

3.2

Operační výzkum .......................................................................................... 17

3.3

Lineární programování................................................................................. 18

3.4

Distribuční úlohy ........................................................................................... 20

3.4.1

Dopravní problém................................................................................. 20

3.4.2

Okružní dopravní úlohy ...................................................................... 22

3.5

Metody řešení okružního dopravního problému ..................................... 24

3.5.1

Mayerova metoda ................................................................................. 24

3.5.2

Habrova metoda.................................................................................... 25

3.5.3

Metoda nejbližšího souseda................................................................. 27

3.5.4

Littlův algoritmus ................................................................................. 28

3.6

Počítačové zpracování okružního problému............................................. 30

3.6.1

STORM.................................................................................................... 30

3.6.2

LINGO .................................................................................................... 32

3.6.3

Zmenšení čtvercové matice pomocí Excelu....................................... 32

Obsah

4

5

6

Charakteristika zkoumaného objektu a řešeného problému

34

4.1

Charakteristika objektu................................................................................. 34

4.2

Analýza současného způsobu řešení distribuce ....................................... 35

4.2.1

Charakter vstupních dat....................................................................... 35

4.2.2

Rozdělení distribuční sítě..................................................................... 36

4.2.3

Využívaný vozový park....................................................................... 43

Návrh řešení 5.1

45

Využití metod pro řešení okružního problému ........................................ 45

5.1.1

Littlův algoritmus ................................................................................. 45

5.1.2

Programové nástroje............................................................................. 48

5.1.3

Metoda nejbližšího souseda................................................................. 51

5.2

Optimalizace distribuční sítě D1 ................................................................. 56

5.2.1

Výběr míst pro okružní trasu jednotlivých vozidel ......................... 57

5.2.2

Optimalizace jednotlivých tras............................................................ 60

5.3

Komparace současného a optimalizovaného řešení................................. 64

6

Diskuse

68

7

Závěr

71

8

Použitá literatura

72

Seznam obrázků

7

Seznam obrázků Obr. 1

Rozdělení celkové distribuční sítě

37

Obr. 2

Výběr modulu

50

Obr. 3

Specifikace a zadávání vstupních údajů

50

Obr. 4

Výsledek řešení okružního problému

51

Obr. 5

Výřez výchozí matice s tlačítkem pro spuštění makra

61

Obr. 6

Výřez výsledné submatice rozvozové skupiny X1

61

Obr. 7

Struktura distribučních skupin stávajícího a nového řešení

64

Seznam tabulek

8

Seznam tabulek Tab. 1a–h Rozvozové skupiny dílčí distribuční sítě D1

39

Tab. 2a–i Rozvozové skupiny dílčí distribuční sítě D2

41

Tab. 3

Přehled nákladních vozidel využívaných k rozvážce pro D1

43

Tab. 4


44

Tab. 5

Zadání příkladu

46

Tab. 6

První krok Littlovy metody

46

Tab. 7

Druhý krok Littlovy metody

47

Tab. 8

Třetí krok Littlovy metody

47

Tab. 9

Čtvrtý krok Littlovy metody

48

Tab. 10

První krok metody nejbližšího souseda

51

Tab. 11

Druhý krok metody nejbližšího souseda

52

Tab. 12

Třetí krok metody nejbližšího souseda

52

Tab. 13

Čtvrtý krok metody nejbližšího souseda

53

Tab. 14

Okružní trasa X8 s různými výchozími místy

53

Tab. 15

Okružní trasy získané pomocí modifikované MNS

55

Tab. 16

Část symetrické matice vzdáleností v km

58

Tab. 17

Návrh skupin odběrních míst pro dílčí distribuční síť D1

59

Tab. 18

Výsledné okružní linky dílčí distribuční sítě D1

62

Seznam tabulek

9

Tab. 19

Vyčíslení nákladů na distribuci v rámci současného řešení

65

Tab. 20

Vyčíslení nákladu na distribuci v rámci navrhovaného řešení

66

Tab. 21

Srovnání současného a navrženého řešení distribuce

66

Úvod

10

1 Úvod Každý podnikatelský subjekt, ať už stávající či začínající, chce být na trhu úspěšný. Přičemž tento úspěch velmi často závisí na rozhodnutích, které podnik činí ve vztahu k vnějšímu i vlastnímu vnitřnímu prostředí. Rozhodování je možné chápat jako určitý proces, kdy podnik volí mezi několika variantami, proces pro který existuje mnoho postupů a metod, jak se dobrat konečného výsledku. Pokud si podniky chtějí udržet své postavení na trhu a obstát před konkurencí, musí být schopny uspokojit neustále se měnící potřeby zákazníků. Tak jsou kladeny stále větší požadavky na flexibilitu podniku, tedy schopnost podnikatelského subjektu pružně reagovat na změny vnějšího prostředí. Tlak na podnikatele není vyvíjen jen ze strany konkurence, ale i ze strany obchodních partnerů. Tento fakt je dán zejména skutečnostmi, které se vyskytují v současném tržním hospodářství, kdy se trh prodávajícího mění na trh kupujícího. Ústředním bodem zájmu pro všechny podnikatelské subjekty jsou jejich zákazníci, kteří velmi často požadují, aby byla dodávka zboží splněna v požadovaném čase a stanoveném místě, v odpovídající kvalitě, potřebném množství a za přijatelnou cenu. Úspěch či neúspěch organizace je velmi často determinován zejména rozhodnutím top managementu podniku. Strategické rozhodovací procesy probíhající na vrcholové úrovni řízení pak zásadním způsobem ovlivňují efektivnost fungování a budoucí vývoj organizace. Strategické rozhodování je vždy doprovázeno procesy na taktické a operativní úrovni, jejichž úkolem je stanovit a řídit postupy resp. prostředky, které vedou k nejefektivnější realizaci podnikové strategie. Pro každou úroveň rozhodování jsou potřebné rozdílné informace a je nutné si uvědomit, že tato rozhodnutí se liší i v dopadech na fungování firmy. Je tedy zřejmé, že rozhodování probíhá ve všech ekonomických subjektech na různých úrovních řízení a týká se různých aspektů jejich činnosti. Výsledné rozhodnutí bylo mělo být tedy rozhodnutím komplexním a systémovým. Systémový přístup se objevuje v mnoha oblastech rozhodování. Jednou z nich je i logistika.

Úvod

11

V období doznívající ekonomické krize nabývá na významu i rozhodování v oblasti úspory nákladů. Oblast, která může přispět ke snížení nákladů podniku, je dopravní logistika. Ta umožňuje s pomocí systémového přístupu využít modelového přístupu k získání optimálního řešení a tak podpořit rozhodování. Tvorba logistických distribučních systémů by podnikatelskému subjektu určitě neměla být lhostejná. Vhodně zvolené rozhodnutí spojené s optimalizací toku zboží je mnohdy schopno zajistit úsporu nákladů. Tato skutečnost může pro podnik znamenat značnou konkurenční výhodu a přinášet mu tak vyšší zisky. V současné době jsou úspěšné právě ty podniky, které se dokáží vypořádat s nezdary v podnikání, jsou otevřeny novým možnostem, udržují si náskok před ostatními, mění hranice svých oborů, vytváří nové trhy, razí nové cesty, tvořivě mění pravidla konkurence a zpochybňují tzv. status quo neboli stávající stav.


12

2 Cíl a metodika práce 2.1

Cíl práce

Tato práce se zabývá komplexní restrukturalizací dosavadního řešení distribučních cest podniku1 za pomocí vhodných metod použitelných pro řešení atypického problému obchodního cestujícího. Hlavním cílem diplomové práce je návrh nového řešení distribučních sítí podniku zabývajícím se exportem plastových výrobků do Německa za využití vhodných metod operačního výzkumu. V rámci práce budou zhodnoceny i ekonomické dopady navrhované restrukturalizace na hospodaření tohoto subjektu. Naplnění hlavního cíle je podmíněno splněním dílčích cílů, mezi které patří: • formulace a analýza existujícího problému, včetně zhodnocení kladů a nedostatků dosavadního způsobu řešení distribuce, • srovnání výhod, nevýhod a výsledků získaných s pomocí různých metod při řešení vybraného problému, • volba vhodné optimalizační metody, pomocí níž bude proveden výběr míst pro okružní trasu jednotlivých vozidel s přihlédnutím k přepravním požadavkům odběratelů a přepravní kapacitě vozidel, • vlastní řazení těchto míst v jednotlivých trasách a to s ohledem na finanční úsporu během rozvozu za využití odpovídajících programových nástrojů, • porovnání získaných výsledků s dosavadním stavem, návrhy na řešení.

2.2

Metodika práce

Pro zpracování diplomové práce je použita zejména metoda modelování, která umožňuje získat nové poznatky využitelné při rozhodování o způsobu řešení zkoumaného problému.

1

Vedení podniku si nepřeje zveřejnění názvu, proto bude v dalším textu označován jako ABC.


13

Teoretická část (kapitola 3) shrnuje využitelné poznatky o možnostech logistiky a jejich vlivu na rozhodování ekonomických subjektů. Dále se zabývá problematikou operačního výzkumu a jeho samostatné disciplíny lineárního programování. Řeší také problematiku vybraných distribučních úloh a okružního problému jako celku. Součástí 3. kapitoly práce jsou i metody, kterými tuto problematiku lze řešit. Praktická část v kapitole 4 využívá analýzy, která je zaměřena na charakteristiku podniku, řešeného problému a charakter vstupních dat, jež byly získány z archivních materiálů podniku a zpracovány do požadované podoby. Zároveň je kladen i důraz na odůvodnění zjednodušení, kterými se modelová situace liší od reálného problému. V kapitole 5 je provedena komparace výhod, nevýhod a výsledků získaných s pomocí různých metod při řešení vybraného dopravního problému. Následně je zvolena vhodná metoda, která bude použita pro řešení daného problému. Závěrem této kapitoly je na základě všech dostupných informací a odpovídajících ekonomicko-matematických metod a speciálních programových nástrojů provedena vlastní optimalizace, včetně srovnání získaných výsledků s dosavadním stavem řešení distribuce. Návrh konečného řešení vychází z kapitol 3–5, tj. získaných teoretických poznatků, analýzy dosavadního stavu řešení distribuce a aplikace vybraných optimalizačních metod. Závěrečná část práce (kapitola 6) se zabývá případnými možnými úpravami řešeného problému a dává doporučení podniku pro implementaci řešení v praxi.

Literární rešerše

14

3 Literární rešerše 3.1

Logistika

Logistika je nový směr myšlení zaměřený na uspokojení potřeb zákazníka a to s co největší pružností a hospodárností. Tato vědní disciplína reaguje na současné tržní hospodářství, kdy se trh prodávajícího stává trhem kupujícího. Právě z tohoto důvodu je cílem většiny metod operační analýzy aplikovaných v logistice snížení nákladů ve všech článcích logistického řetězce s ohledem na dostatečně pohotové uspokojení potřeb zákazníků. Logistický řetězec představuje soubor dílčích hmotných a nehmotných toků, které probíhají mezi různými subsystémy. (Získal a Havlíček, 2010) Logistika se tedy zabývá nejen výše uvedenými hmotnými toky, které jsou představovány pohybem zboží a materiálu z místa jejich vzniku do místa spotřeby. Řeší také toky informací neboli toky nehmotné. „Jejím úkolem je zajistit správné materiály na správném místě, ve správném čase, v požadované kvalitě, s příslušnými informacemi a s odpovídajícím finančním dopadem.“ (Kubíčková, 2006, s. 4) Jak uvádí Získal a Havlíček (2010), logistiku lze členit dle jednotlivých oblastí působení na: • makrologistiku, která se zabývá logistickými řetězci na úrovni rozsáhlejšího celku, např. státu, • mikrologistiku, jež řeší logistické řetězce pouze v rámci jednotlivých podniků, • obchodní logistika se zaměřuje na logistické řetězce, které jsou důležité pro podnik z hlediska obchodní činnosti, • dopravní a zasílatelská logistika je jednou z nejrozšířenějších a bude o ní pojednáno v následující subkapitole. 3.1.1

Dopravní logistika

Dopravní logistika patří mezi nejčetnější aplikace hospodářské logistiky. Kubíčková (2006, s. 48) tento pojem blíže specifikuje a uvádí, že „dopravní logistika


15

koordinuje, synchronizuje a optimalizuje pohyby zásilek po dopravní síti od místa a okamžiku jejich vstupu do sítě až po místo a okamžik jejich výstupu“. Dopravní logistika tedy nezajišťuje pouze koordinaci a synchronizaci pohybu zásilek v rámci dopravní sítě, ale také zabezpečuje optimalizaci prostorového rozmístění a kapacit. Tato skutečnost je dána tím, že při pohybu každé zásilky dochází k pohybu všech příslušných zařízení a dopravních, přepravních a manipulačních prostředků. Dopravní logistika se tedy zabývá celkovou optimalizací všech procesů při pohybu zásilek v dopravní síti. Cílem dopravní logistiky je takové pojetí sledu těchto dílčích aktivit, které vede k minimalizaci nákladů na dopravní řetězce při dosažené požadované výkonnosti. (Získal a Havlíček, 2010) Vzhledem k tomu, že doprava je rostoucím odvětvím ekonomiky a poptávka po přepravních službách neustále vzrůstá, představuje přeprava dle Kubíčkové (2010) stále jedny z největších nákladů logistiky. Tato skutečnost se může u některých výrobků výrazně promítnout i do jejich prodejní ceny. Z toho důvodu je nutné věnovat takovéto položce logistických nákladů zvýšenou pozornost a usilovat o její optimalizaci, neboť v současném tržním hospodářství nestačí pouze vyrobit kvalitní zboží, ale je třeba i zajistit, aby toto zboží bylo ve správné kvantitě na správném místě a to s vynaložením přiměřených nákladů. Podnik musí fungovat hospodárně, aby ceny jeho produktů byly srovnatelné s cenami konkurentů. Náklady na dopravu jsou mnohdy skutečně velmi vysoké, často překračují i výrobní náklady. V tomto případě se Gros (2003, s. 116) shoduje s Kubíčkovou: „pro úspěšný prodej výrobků finálním zákazníkům je třeba mimo jiné vyrobené výrobky i efektivně dopravit do místa spotřeby.“ Zvýšená poptávka po přepravních službách je dána zejména, jak uvádí Získal a Havlíček (2010), změnou ve struktuře zpracovatelského průmyslu a metodách výroby, zmenšováním velikosti dodávek a zvyšováním jejich frekvence, nárůstem podílu odvětví služeb a demografickými změnami. Rozvoj dopravní logistiky je určován i úrovní dopravní infrastruktury daného státu.


3.1.2

16

Vývojové trendy v logistice

Ve svých počátcích byla logistika v praxi využívána jako nástroj podnikového řízení a to v rámci tradičního organizačního uspořádání podniku. Během poslední let se uplatňuje poznatek, že logistika má pro podnik význam jen tehdy, pokud spolupracuje s ostatními podnikovými složkami a je součástí podnikové strategie. (Kubíčková, 2006) V současné době celková úspěšnost podniku závisí na schopnosti, s jakou řeší zvyšování kvality, snižování nákladů a zvyšování pružnosti. Jak uvádí Kubíčková (2006), podniky ve vyspělém tržním hospodářství jsou součástí tzv. magického trojúhelníku, který se v poslední době přeměňuje na tzv. magický čtyřúhelník. Tzn., že úspěch podniku nezávisí pouze na tom, jak zvládá dodávat nebo vyrábět lépe, rychleji a levněji ve vztahu ke konkurenci, ale i na jeho schopnosti „dělat věci jinak“. Tím se rozumí snaha se pokud možno co nejvíce odlišit

od

konkurence.

Tento

odlišný

přístup

se

nejvíce

projevuje

v individuálním vztahu k zákazníkovi. Pernica (2008) dodává, že na tuto situaci musí reagovat jak distribuce různými formami, technologiemi a cestami, tak i výroba, která se musí charakteru distribuce flexibilně přizpůsobovat. Další podstatnou záležitostí je uplatnění poznatků Supply Chain Managementu neboli tzv. řízení dodavatelského řetězce a to zejména z oboru spotřebního zboží, elektronického průmyslu a automobilového průmyslu. Supply Chain Management může být pro podnik významným zdrojem konkurenční výhody, který umožňuje poskytovat zákazníkům co možná největší hodnotu s pokud možno co nejnižšími náklady. Pro firmy, které představují jednotlivé články tohoto dodavatelského řetězce, je z hlediska stabilizovaných smluvních vztahů strategicky nejdůležitější logistická výkonnost a kvalita. Typický pro tuto činnost je také Lean Production, tzv. štíhlé řízení a agilní logistika. V prvním případě se jedná o koncept zvyšující výkonnost ve výrobě, analogicky i v distribuci či logistickém systému a to prostřednictvím eliminace plýtvání ve formě nadprodukce, čekání, nevhodných procesů atd. Agilní logistika se orientuje na optimalizaci a to formou co nejrychlejší odezvy na objednávku zákazníka. Iniciátorem nových způsobů spolupráce bývá zpravidla silnější z partnerů. (Pernica, 2008)


17

V souvislosti s požadavkem co nejpružnější reakce na přání zákazníků se tu otvírá prostor pro další trend využívaný v logistice, a tím je outsourcing. Dalším důvodem, který uvádí Pernica (2008), pro uplatnění tohoto trendu, může být i snaha podniku udržet se na světové úrovni či ta skutečnost, že činnost prováděná specializovaným poskytovatelem pro více odběratelů může být levnější a to hlavně kvůli fixním nákladům. Pernica (2008, s. 171) chápe outsourcing jako „smluvní vztah s externí organizací, na jehož základě je na ni odsunuta interní činnost spojená s obhospodařováním daného zdroje“. Outsourcing se týká oblastí, které bezprostředně nesouvisí s hlavním předmětem činnosti organizace a podnik je doposud prováděl sám. Tyto činnosti je vhodné odsunout a organizačně zeštíhlet. Neboť není vhodné, aby se management podniku zabýval všemi problémy, tak jedině ztrácí cenný čas nutný k rozhodování o hlavní činnosti.

3.2

Operační výzkum

Operační výzkum lze dle Jablonského (1998) charakterizovat jako soubor relativně samostatných disciplín, jež se zaměřují na analýzu nejrůznějších typů rozhodovacích problémů. Operační výzkum nachází uplatnění všude tam, kde se jedná o analýzu a koordinaci prováděných operací v rámci systému, přičemž hlavním cílem je stanovit na základě určitého kritéria takovou úroveň provádění těchto operací, aby bylo zajištěno co nejlepší možné fungování celého systému. Tyto operace v systému mohou být závislé na omezených zdrojích, provádění jiných operací či na vnějších činitelích ovlivňujících chod systému. Základním nástrojem operačního výzkumu je modelování. Je tedy zřejmé, že při analýze reálného systému se pracuje s jeho modelem, který představuje určité zjednodušení řešeného problému. V rámci aplikace operačního výzkumu při řešení reálného rozhodovacího problému je prvním krokem rozpoznání tohoto problému a jeho definice. Tato část je zejména úkolem vedoucích pracovníků podniku nacházejících se na různých úrovních řízení. Tito pracovníci by měli disponovat potřebnými znalostmi a schopnostmi, aby mohli posoudit jakými prostředky je daný problém řešitelný. V dalším kroku se jedná o formulaci ekonomického modelu, který, jak již


18

bylo uvedeno, představuje zjednodušení daného problému. Samozřejmě základním předpokladem je znalost cílového stavu modelovaného systému (např. maximalizace zisku, minimalizace nákladů apod.), procesů, které v systému probíhají, včetně znalosti činitelů, jež mohou realizaci těchto procesů ovlivňovat. Aby bylo možné daný problém řešit, je nutné tento ekonomický model převést na model matematický nebo grafický, tedy ho nějakým způsobem formalizovat. Pro řešení matematického modelu lze použít metody a postupy navržené v jednotlivých odvětvích operačního výzkumu. Nezbytnou součástí posledního kroku je interpretace získaných výsledků a jejich následná verifikace. V případě úspěšného ověření výsledků lze poznatky získané pomocí modelu v rámci reálného systému implementovat. (Jablonský, 1998) Modely operačního výzkumu jsou různorodé a zabývají se rozdílnými oblastmi ekonomického života. Plevný a Žižka (2005) uvádí, že jednotlivé modely a tím i disciplíny operačního výzkumu je možné členit na modely deterministické a pravděpodobnostní. Přičemž u deterministických modelů jsou všechna vstupující data známá a jistá, naopak u pravděpodobnostního modelu je některý z jeho prvků dán jako náhodná veličina. Mezi samostatné disciplíny operačního výzkumu lze dle Jablonského (1998) zařadit následující: matematické programování, vícekriteriální rozhodování, teorii grafů, teorii zásob, teorii hromadné obsluhy, markovské rozhodovací procesy a simulace. Součástí

matematického

programování

jsou

úlohy

lineárního

a nelineárního programování. Jelikož aplikace úloh lineárního programování budou používané v této zpracované práci, je o nich pojednáno v následující kapitole.

3.3

Lineární programování

Lineární programování je relativně samostatná disciplína operačního výzkumu. Jak uvádí Jablonský (1998), je to prostředek pro plánování realizace určitých činností (procesů), který zajišťuje dosažení optimálního výsledku vzhledem ke stanovenému cíli.


19

Každý řešený problém neboli modelovaný systém je nutné mít dobře definovaný a verbálně popsaný. Tedy mít formulovaný ekonomický model daného problému, který je nutný pro sestavení matematického modelu dané úlohy. (Plevný a Žižka, 2005) Jablonský (1998) vysvětluje, že struktura matematického modelu úloh lineárního programování je stejná jako u modelu ekonomického a zahrnuje: 1.

Cíl analýzy, který je v matematickém modelu vyjádřen jako lineární funkce z = f(x), jejíž extrém je nutno nalézt. Jedná se tedy o účelovou neboli kriteriální funkci (vztah 3.1).

2.

Procesy, kdy každému procesu je přiřazena jedna proměnná neboli strukturní proměnná modelu. Hodnoty proměnných představují úrovně jednotlivých procesů.

3.

Vliv činitelů ovlivňujících možnosti řešení problému je vyjádřen jednak soustavou lineárních rovnic či nerovnic (vztahy 3.2 označujeme jako vlastní omezující podmínky) a dále soustavou lineárních nerovnic (vztah 3.3), které zajišťují logický požadavek nezápornosti proměnných (podmínky nezápornosti).

Hlavním úkolem úloh lineárního programování je stanovit takové hodnoty strukturních proměnných x1, ..., xn, pro které dosáhne účelová funkce extrémní hodnoty. V případě, že účelová funkce dosahuje nejvyšší hodnoty, pak lze úlohu označit jako maximalizační, v opačném případě jako minimalizační. Samozřejmě předpokladem je, že budou respektovány vlastní omezující podmínky a podmínky nezápornosti. Obecný tvar lineárního matematického modelu dle Grose (2003,s. 124) má následující podobu: n

max⋅ (min) z = ∑ c j x j j =1

n

∑a j =1

ij

x j ≤ bi pro i = 1,2,..., k

(3.1)


20

n

∑a

ij

x j = bi pro i = k + 1, k + 2,..., k + p

j =1

n

∑a

ij

x j ≥ bi pro i = k + p + 1, k + p + 2,..., k + p + s

(3.2)

j =1

x j ≥ 0 pro j = 1,2,..., n

(3.3)

Plevný a Žižka (2005) označují jednotlivé symboly použité v modelu následovně: • cj – koeficienty účelové funkce, kde j = 1, 2, ..., n, které vyjadřují hodnotu výnosu nebo nákladu jednotkového procesu, • aij – koeficienty podmínek, které vyjadřují vztah mezi j-tou proměnnou a itým omezujícím faktorem, kde i = 1, 2, ..., s a j = 1, 2, ..., n, • bi – hodnoty vystupující na pravých stranách podmínek, které představují omezení ve formě disponibilních zdrojů či výši požadavků.

3.4

Distribuční úlohy

Distribuční úlohy patří mezi nejtypičtější úlohy lineárního programování. Tyto úlohy zahrnují dopravní a přiřazovací problém, dále obecný distribuční problém a také okružní dopravní úlohy. V rámci problematiky distribučních úloh se Jablonský (1998) shoduje s Grosem (2003), který taktéž uvádí, že specifickou skupinu rozhodovacích situací, jejichž řešení vede k formulaci modelů lineárního programování, tvoří nejen klasické dopravní úlohy a rozšířené formulace těchto úloh, ale také okružní dopravní úlohy. 3.4.1

Dopravní problém

Gros (2003) vysvětluje dopravní problém jako úlohu, kde je třeba najít nejlepší způsob přepravy zboží nebo služeb a to mezi dodavateli, kteří tyto produkty poskytují a jejich jednotlivými odběrateli. Přičemž Jablonský (1998,) dodává, že toto rozvržení rozvozu musí být realizováno tak, aby byly minimalizovány celkové náklady související právě s tímto rozvozem.


21

V dopravním problému je tedy definováno m-zdrojů neboli dodavatelů D1, D2, ..., Dm s omezenými kapacitami a1, a2, ..., am a n-cílových míst neboli odběratelů O1, O2, ..., On se stanovenými požadavky b1, b2, ..., bn. Vztah každé dvojice dodavatel-odběratel je nějakým způsobem oceněn (např.: kilometrová vzdálenost mezi zdrojem a cílovým místem). Toto ocenění lze označit jako cij, kde i = 1, 2, ..., m a j = 1, 2, ..., n. Jablonský dále uvádí (1998), že cílem řešení těchto úloh je nalezení hodnot jednotlivých proměnných xi,j, tzn. stanovení objemu přepravy mezi každou dvojicí tak, aby kapacity dodavatelů nebyly překročeny a požadavky odběratelů byly plně uspokojeny. Účelová funkce dopravního problému pak vypadá následovně: m

z min =

n

∑∑c i =1

ij

x ij

(3.4)

j =1

Pokud budou kapacity dodavatelů rovny požadavkům odběratelů dle vztahu 3.5, jedná se o vyváženou dopravní úlohu. Pak je tedy nutné zvolit takové množství xij, které zajistí splnění vztahu 3.6 a 3.7, kdy kapacity výrobců budou plně využity a požadavky zákazníků naplněny bezezbytku, jak vysvětluje Gros (2003,s. 117). m

n

∑ a = ∑b i

i =1

j

(3.5)

j =1

n

∑x

ij

= ai pro i = 1,2,..., m

(3.6)

ij

= b j pro j = 1,2,..., n

(3.7)

j =1

m

∑x i =1

Laščiak (1983) upozorňuje, že podmínka 3.5 nebývá v praxi často splněna. V tomto případě lze pak označit takovou úlohu za nevyváženou a mohou v podstatě nastat dva případy. Za předpokladu, že by docházelo k převisu na straně nabídky, kdy by zůstala část kapacity nevyužita, k modelu lze doplnit tzv. fiktivní cílové místo neboli fiktivního n+1 odběratele OF s nulovými pře-


22

pravními náklady, jehož požadavek bude roven rozdílu mezi celkovými kapacitami a požadavky. Obdobně lze postupovat i v opačném případě, kdy by nebyly uspokojeny všechny požadavky a docházelo by tak k převisu poptávky. Avšak ve skutečnosti může být tento druhý způsob nevyhovující, neboť minimální náklady přepravy nemusí být prvořadé, ale spíše se budou uspokojovat požadavky, které jsou nejvíce preferované. 3.4.2

Okružní dopravní úlohy

Cílem okružních dopravních úloh je organizace dodávky tak, aby zboží bylo rozvezeno všem odběratelům v rámci jedné jízdy. Typickým příkladem těchto úloh je problém obchodního cestujícího, který usiluje v rámci cesty navštívit všechny klienty tak, aby ujel co nejmenší vzdálenost. Dle Gutina a Punnena (2007) je nutné tedy najít takovou cestu, která začíná a končí ve stejném místě, přičemž obchodní cestující v průběhu této cesty navštíví předepsaná místa právě jednou a délka okruhu z pohledu celkové ujeté vzdálenosti bude minimální. Stanovená trasa tak musí tvořit uzavřený okruh. Při formulaci matematického modelu lze použít proměnné xij, které budou nabývat dvou hodnot (Gros, 2003, s. 118–119): • „ xij = 1 v případě, že vozidlo pojede z i-tého místa do j-tého,“ • „ xij = 0 v případě, kdy z i-tého místa do j-tého nepojede.“ Jablonský zároveň doplňuje (1998), že v matematickém modelu okružního dopravního problému se zavádí tzv. bivalentní proměnné, které nabývají dvou výše uvedených hodnot. Účelová funkce okružního dopravního problému je vyjádřena vztahem 3.8. m

z min =

n

∑∑c i =1

ij

x ij

(3.8)

j =1

Následující soustava omezení má zajistit, že z každého místa bude zvolena jen jedna z možných cest a naopak, tedy do konkrétního místa bude použita také jen jedna trasa, jak opět vysvětluje Gros (2003, s. 119):


23

n

∑x

ij

= 1 pro j = 1,2,..., n

(3.9)

= 1 pro i = 1,2,..., n

(3.10)

i =1

n

∑x

ij

j =1

• vztah 3.9 – „do j-tého místa přijede vozidlo jen z jednoho vybraného i-tého místa,“ • vztah 3.10 – „z i-tého místa zvolíme jen jednu trasu.“ Tento model má v praxi jen omezené použití. Obvykle je nutné počítat i s dalšími skutečnostmi jako jsou například striktní požadavky zákazníků na časové intervaly příjezdu vozidel nebo omezená pracovní doba u odběratelů či dodavatele. Okružní dopravní problém se vyskytuje v několika variantách a modifikacích. Nejjednodušší případ okružního problému řeší optimalizaci distribuční sítě pouze s přihlédnutím ke vzdálenostem mezi jednotlivými místy. Zatímco složitější případ okružního problému se vyznačuje určitými limitujícími faktory, např. omezenou kapacitou dopravního prostředku. V tomto případě lze hovořit o víceokruhovém okružním dopravním problému, který je v podstatě vícenásobnou variantou distribuční úlohy. (Antošová a Holoubek, 2010) Cílem víceokruhové okružní dopravní úlohy je nalézt takový počet tras, tzv. Hamiltonových kružnic, jejichž celková hodnota je minimální. Přičemž každé místo dané trasy je navštíveno právě jednou, s výjimkou logistického distribučního centra, které je zároveň počátečním a koncovým uzlem (tzv. centrální vrchol všech kružnic). Tento typ úlohy předpokládá využití více vozidel a pro každé z těchto vozidel tedy hledá přepravní trasu s cílem minimální dopravní náročnosti. Nutné je při řešení přihlédnout i k požadavkům odběratelů a maximální přípustné hmotnosti naloženého vozidla, která nesmí být překročena. (Antošová, 2011) Většina optimalizační úloh, včetně okružního dopravního problému patří do skupiny takových úloh (NP-úplných), pro které není známá žádná exaktní metoda, jenž by byla schopna najít v případě úloh velkých rozměrů optimální řešení v přijatelném čase. Proto se využívají aproximační metody schopné najít vhodné řešení v krátkém čase. (Devlin, 2005)


3.5

24

Metody řešení okružního dopravního problému

Okružní dopravní problém je možné řešit pomocí více postupů a metod, které jsou založeny na zpracování posloupnosti sledovaných míst. Přičemž každé místo, jak již bylo výše uvedeno, se musí objevovat právě jednou. Další podmínkou je vyloučení všech tras, které by předčasně uzavřely okruh, v praxi tzn.: • vyloučit v matici sazeb symetrické prvky dle hlavní diagonály, čímž je v modelu zakázáno zařazení jednoho úseku oběma směry, • vyloučit prvky na hlavní diagonále původní neredukované matice, což zamezuje zpětné vazbě každého uzlu, • vyloučit takové spojení dvou míst, které by vedlo k předčasnému uzavření okruhu. Nejrozsáhlejší skupinu metod používaných pro řešení okružního dopravního problému představují heuristické metody. Antošová (2011) vysvětluje, že se v podstatě jedná o takové metody, které nemohou většinou zaručit nalezení optimálního řešení, ale jsou schopny najít vhodné řešení v poměrně krátkém čase. Jelikož tyto metody nejsou formulovány přesně, směrují tak uživatele k jejich potřebné modifikaci pro různé varianty úkolů. Díky těmto vlastnostem jsou některé základní typy heuristických metod použitelné pro modifikované varianty okružní dopravní úlohy, tedy i víceokruhového okružního dopravního problému. Jedná se například o Mayerovu metodu, která je pro řešení víceokruhových okružních dopravních úloh přímo navržena a nebo o metodu nejbližšího souseda, jenž je nutné k řešení víceokruhových úloh upravit. 3.5.1

Mayerova metoda

Mayerova metoda nebo také metoda sestavení okružních jízd výběrem minimálních prvků je vhodná pro víceokruhové úlohy s omezenou kapacitou a úplnou sítí cest. Při řešení se vychází ze symetrické matice vzdáleností mezi jednotlivými místy, která jsou v matici sestavena v posloupnosti dle vzdálenosti od místa centrálního svozu. Přičemž nejvzdálenější místo je v matici uvedeno jako první,


25

centrální místo jako poslední. Řešení se dle Získala a Havlíčka (2010) realizuje ve dvou krocích: • v prvním kroku se provede výběr míst pro okružní trasy jednotlivých vozidel, • v druhém kroku probíhá vlastní řazení míst v jednotlivých trasách pro každé vozidlo zvlášť. Výběr míst pro jednotlivé okružní trasy začíná tedy od nejvýše položeného místa v matici vzdáleností se zadaným přepravovaným množstvím. K tomuto vybranému místu se přiřazuje další, které má k němu nejmenší vzdálenost. Po přiřazení každého dalšího místa do okružní trasy je nutné provést propočet přepravních požadavků míst a porovnat jej s kapacitou konkrétního vozidla. V případě, že kapacita vozidla není plně vytížena, přiřadí se další místo dle nejmenší vzdálenosti a provede se opět porovnání. Výběr míst pro další okružní trasu začíná opět nejvzdálenějším přepravním požadavkem, který nebyl doposud přiřazen. Postup je pak stejný jako v předchozím případě. Ve druhém kroku probíhá vlastní řazení míst v jednotlivých trasách a to podle minimální délky jednotlivých spojení. Antošová a Holoubek (2010) řadí Mayerovu metodu mezi klasické metody řešení víceokruhového okružního dopravního problému. Tato metoda se obvykle využívá v kombinaci s metodami používanými pro řešení jednookruhového dopravního problému a to z toho důvodu, že Mayerova metoda rozděluje místa distribuční sítě pouze do dílčích celků. Avšak touto metodou nelze řešit distribuční úlohy v případě asymetrické matice vzdáleností. Tyto problémy je možné podle Antošové a Holoubka (2010) odstranit pomocí Habrových frekvencí. 3.5.2

Habrova metoda

Habrova metoda vytváří okruh tak, že ze všech možných spojení mezi jednotlivými místy vybere a do okruhu zařadí právě takové spoje, které jsou nejvýhodnější z hlediska celé uvažované dopravní sítě. Tzn., že do okruhu se zařadí nejprve takové spojení dvou míst, které odpovídá nejvýhodnější frekvenci. Pak se


26

vyhledá nejvýhodnější frekvence pro navazující spojení a tento úsek se zařadí do okruhu. Tímto způsobem se pokračuje, dokud se okruh neuzavře. (Získal a Havlíček, 2010) V uvedené publikaci na str. 71 (2010) autoři dále vysvětlují, že Habrova frekvenční metoda pracuje s tzv. „rozloženými frekvencemi, kdy se elementární frekvence vyjadřuje vždy pro čtveřici sazeb a to jak rozdíl křížového součtu sazeb:“

f ij = ( c ij + c kl ) − ( c il + c kj )

(3.11)

Křížový rozdíl sazeb lze také vyjádřit i dle vztahu 3.12.

( c ij − c kj ) − ( c il − c kl )

(3.12)

Výše uvedená dvojice představuje řádkové rozdíly sazeb. Pomocí tohoto vztahu lze zjistit informaci o výhodnosti určité dvojice spojení v porovnání s jinou dvojicí spojení v dopravní síti. Přičemž za výhodná lze pokládat taková spojení, kdy jsou rozložené frekvence záporné. Algoritmus Habrovy metody je dle Získala a Havlíčka následující (2010): 1.

Ze základní matice vzdáleností se sestaví dílčí analytické tabulky řádkových rozdílů sazeb.

2.

V těchto dílčích tabulkách se zjistí řádková minima, které je nutné zakroužkovat.

3.

Pro tvorbu okruhu se vyberou pouze spojení odpovídající řádkovým minimům zařazených do některého sloupce dílčích tabulek.

4.

V případě, že v dopravní síti neexistují absolutně výhodná spojení, zjistí se spojení absolutně nevýhodná. Tomu odpovídá spojení s maximálním počtem minim ve sloupci.

5.

Z absolutně výhodných spojení se vytváří první úseky okružních cest.

6.

Zařazením určitého spojení dochází k redukci původní dílčí tabulky, protože veškeré hodnoty odpovídající těmto vybraným spojením se vypustí. Tzn. v tabulce se příslušná řada vyškrtne. Dále se vypustí ta spojení, která by mohla způsobit předčasné uzavření okruhu.


27

Ve zbývajících dílčích tabulkách se opět vyhledávají spojení absolutně výhodná, popř. nevýhodná. Postup se opakuje tak dlouho, dokud není okruh uzavřen. 3.5.3

Metoda nejbližšího souseda

Princip metody nejbližšího souseda je založen na volbě výchozího místa, z něhož se hledá nejvýhodnější spojení do místa následujícího, odtud pak do dalšího z těch míst, které nebylo doposud vybráno a má opět nejvýhodnější spojení z místa, ve němž se právě nacházíme. Po projetí všech míst v matici se vrací zpět do výchozího. Šubrt (2001) aplikaci tohoto postupu v matici sazeb uvádí následovně. Nejdříve se vyškrtne sloupec, který odpovídá zvolenému výchozímu místu. Následně v řádku odpovídajícímu vybranému výchozímu místu je nutno nalézt buňku s minimální hodnotou, tedy nejvýhodnější sazbou. Tato hodnota bude odpovídat spojení dvou míst z příslušného řádku do konkrétního sloupce. Toto spojení, které bude součástí dané okružní trasy, odkazuje do místa, jemuž odpovídá sloupec, v němž se tato buňka nachází. Tento sloupec je nutno opět vyškrtnout, neboť do tohoto místa se již víckrát vracet nebude. V řádku odpovídajícímu tomuto místu se opět vybere z buněk v dosud nevyškrtaných sloupcích ta s nejvýhodnější sazbou a celý postup se opakuje, dokud nejsou všechna místa matice navštívena (nejsou vyškrtány všechny sloupce). Postupně se tak všechna místa matice zvolí jako výchozí a pro každé z nich se najde výše uvedeným postupem okružní trasa. V případě nesymetrické matice je nutné také provést pro každé místo hledání trasy pozpátku. Tzn., že se buď vyškrtají řádky a minimální sazby se hledají ve sloupcích a nebo se původní postup aplikuje na transponovanou matici. Ze všech takto nalezených okružních tras se vybere ta, která je nejvýhodnější, tj. má nejmenší součet sazeb. (Šubrt, 2001) Antošová (2011) připomíná, že metoda nejbližšího souseda patří mezi základní metody řešení okružního dopravního problému. V případě řešení víceokruhových okružních dopravních úloh je tuto metodu nutné modifikovat a to z důvodu určitých omezení.


28

Výsledkem řešení víceokruhové okružní úlohy je vždy několik okružních tras a každá tato trasa musí obsahovat distribuční centrum. Proto musí být distribuční centrum vždy vybráno v prvním kroku a je součástí matice vzdáleností. Algoritmus pak pokračuje stejným způsobem jako u původní metody, dokud není zaplněna kapacita vozidla. Další trasa je tvořena opět centrem a zbývajícími místy, která nebyla doposud vybrána. Každá z výše uvedených metod pracuje na základě různých algoritmů. Zatímco metoda nejbližšího souseda umožňuje vybrat vždy místo s minimální vzdáleností vzhledem k danému uvažovanému místu, Mayerova metoda naopak nabízí možnost vybrat další místo na základě minimální vzdálenosti ze všech, již do okruhu zařazených míst. 3.5.4

Littlův algoritmus

Tento algoritmus vychází z metody větvení a mezí, která je založena na systematickém dělení množiny všech přípustných řešení na stále se zmenšující podmnožiny až do okamžiku nalezení optimálního řešení. (Získal a Havlíček, 2010) Okružní dopravní úlohu řešenou tímto algoritmem je možné zapsat do čtvercové matice sazeb, kdy hodnoty (např. délka trasy mezi jednotlivými odběrateli) v jednotlivých políčcích představují koeficienty účelové funkce. Tato matice může být symetrická či asymetrická v závislosti na tom, zda hodnota koeficientu účelové funkce mezi místem i a j je v obou směrech shodná či nikoliv. (Holoubek, 2006) Holoubek (2006) zároveň dodává, že v matici je nutné vyloučit dva druhy cest. V první řadě trasu z místa i zpět přímo do místa i (možno označit „ × “) a dále trasy, které by předčasně uzavřely okruh (označíme „∞“). Algoritmus Littlovy metody dle Rašovského a Šišlákové (1999, s. 154–155) je možné shrnout do několika kroků: 1.

Ve čtvercové matici s proškrtanými políčky na hlavní diagonále je nutné provést redukci koeficientů účelové funkce a to pomocí „transformačních konstant“ α a β tak, aby v každé řadě matice byla alespoň jedna nulová sazba (ci , j = 0 ) .


2.

29

Dále je potřebné vypočítat hodnotu Z0, o níž klesne hodnota účelové funkce po redukci matice a to podle vztahu 3.13, n

n

Z 0 = ∑α i + ∑ β j i =1

(3.13)

j =1

kde α i a β j jsou transformační konstanty pro i-tý řádek a j-tý sloupec čtvercové matice koeficientů účelové funkce ( i = 1,2,..., n ) 3.

V dalším kroku se pro všechna políčka s nulovou redukovanou sazbou určí (políčka, kde ci , j = 0 ) hodnota Φ i, j dle vztahu 3.14,

Φ i , j = min ci* + min c *j

(3.14)

kde min ci* a min c *j jsou nejmenší redukované sazby v i-tém řádku a j-tém sloupci. 4.

Ze všech vypočtených Φ se vybere ta, která má maximální hodnotu. Pokud bude platit níže uvedený vztah, Φ max = Φ i, j

(3.15)

pak první etapa hledaného optimálního okruhu povede po trase z i-tého do j-tého místa. Jestliže se v matici vyskytuje maximálních hodnot Φ více, pak je možné si pro zařazení do okruhu vybrat kteroukoliv z těchto cest. 5.

Nutno vypočítat hodnotu účelové funkce při nezařazení etapy z i-tého do jtého místa do okruhu dle následujícího vztahu 3.16. Z i , j* = Z 0 + Φ max

6.

(3.16)

V dalším kroku se vynechá i-tý řádek a j-tý sloupec redukované matice sazeb.

7.

Je potřeba vyloučit průjezd mezi j-tým a i-tým místem, tzn. zakázat protisměrnou jízdu mezi místy, které určují první etapu. Políčko odpovídající ve zmenšené matici této „zakázané“ cestě se označí znakem „∞“.


8.

30

Zmenšená a redukovaná matice získaná v předcházejícím kroku musí obsahovat v každé řadě alespoň jednu nulovou sazbu. V případě, že v některé řadě se nevyskytuje žádná nulová sazba, pak lze tento požadavek opět zajistit pomocí transformačních konstant stejně jako v bodu 1.

9.

Ověřit správnost zařazení etapy z i-tého do j-tého místa a to pomocí vztahu 3.17, (3.17)

Z i , j ≤ Z i , j*

v němž Zi,j představuje hodnotu předcházející účelové funkce zvětšenou o hodnotu uvedenou ve vztahu 3.18. n

n

∑α + ∑ β i

i =1

j

(3.18)

j =1

Transformační konstanty α i i β j jsou převzaty z bodu 8. Pokud by uvedený vztah neplatil, znamenalo by to, že stanovený algoritmus nebyl důsledně dodržen. V tomto případě je pak potřebné řešení začít znovu. 10.

Výše uvedený postup počínaje bodem 3 se opakuje a to až do okamžiku, kdy redukovaná čtvercová matice sazeb bude mít rozměry 2 × 2. Přičemž dvě ze čtyř cest jsou v matici zakázané, dvě zbývající cesty tedy uzavřou celý okruh.

Problematikou obchodního cestujícího se zabýval i Stevenson a Ozgur (2007) a to zejména situací, kdy u okružního dopravního problému existuje velký počet proměnných a vlastních omezujících podmínek. V případě symetrické matice o rozměrech n × n vzniká (n − 1) ! možných řešení, která s přidáním každé další lokality neúměrně rostou. Proto je v některých případech vhodné provést výpočet pomocí speciálních programů pro optimalizaci.

3.6 3.6.1

Počítačové zpracování okružního problému STORM

STORM představuje programový prostředek využívaný k řešení a analýze úloh z operačního výzkumu a statistiky. Jedná se o modulový systém, jehož jednotli-


31

vé částí umožňují řešit vždy konkrétní typ problému včetně úloh lineárního programování. (Jablonský, 1998) Jablonský (1998) člení práci s tímto systémem do několika kroků: 1.

V nabídce hlavního menu se provede výběr příslušného modulu dle řešeného typu úlohy.

2.

Ve vstupním režimu se nabízí dva způsoby, jak zadat vstupní data. V rámci první možnosti je použit existující datový soubor, který stačí pouze načíst nebo v případě volby druhého způsobu je nutné soubor s vlastními údaji vytvořit.

3.

Editační režim umožňuje specifikaci základních parametrů dané úlohy, kterými zejména je v případě problému obchodního cestujícího počet uzlů grafu a charakter příslušné matice vzdáleností. Při použití symetrické matice je povolen pouze vstup prvků horní trojúhelníkové části, jak vysvětluje Lauber a Jablonský (1997a). Přičemž u asymetrické matice musí být zadány všechny prvky tohoto objektu, s výjimkou prvků na hlavní diagonále. Po zadání všech nutných parametrů úlohy se vygeneruje tabulka, přes kterou je možné vkládat data. Jednotlivé buňky této editační tabulky jsou schopny ukládat údaje různého charakteru. Může se jedna o textové údaje, čísla či matematické symboly. V každém případě zvlášť je ale nutné sledovat informační část řádku pro vstup dat.

4.

Režim zpracování nabízí možnost editace datového souboru pro případnou úpravu vložených údajů, dále uložení, tisk a zpracování aktuální datového souboru. Stačí tedy už jen zadat vzdálenosti a v tomto režimu zvolit typ úlohy, který se má řešit.

5.

Prohlížení a interpretace získaných výsledků, jež představuje optimální řešení znázorňující minimální vzdálenost a pořadí, ve kterém mají být jednotlivé uzly sítě navštíveny.

6.

Ukončení práce se systémem STORM.


3.6.2

32

LINGO

LINGO, produkt firmy Lindo System Inc., představuje další nástroj pro řešení nejen lineárních, ale také nelineárních optimalizačních úloh a soustavy simultánních rovnic. Jednou ze základních výhod tohoto systému je používání speciálního jazyka, který se podobá běžnému matematickému zápisu. Konkrétní algoritmus určité úlohy tedy vzniká spojením obecné části modelu obsažené v programu LINGO s příslušným datovým souborem. Tuto obecnou část představuje textový soubor, obsahující typicky model nějaké úlohy, tedy i algoritmus pro řešení problému obchodního cestujícího. Uživatel má pak možnost takovýto zápis modelu použít opakovaně s různými daty. (Lauber a Jablonský, 1997b) Jedinou nutnou modifikací v takto předpřipraveném souboru je zadání počtu míst v matici vzdáleností, uvedení názvu souboru, ze kterého se mají data čerpat a také pojmenování vybrané oblasti dat. V průběhu samotného řešení lze sledovat základní informace o modelu. Mezi tyto údaje patří zejména celkový počet proměnných a omezujících podmínek daného modelu. Dále současná využívaná kapacita paměti, aktuální doba výpočtu a status řešitele, který obsahuje aktuální hodnotu účelové funkce. (Lauber a Jablonský, 2007b) 3.6.3

Zmenšení čtvercové matice pomocí Excelu

Metodám řešení okružního problému je v odborné literatuře věnována dostatečná pozornost. Avšak způsob získávání, zaznamenávání a dalšího zpracování vstupních údajů je už opomíjen. Pro všechny metody a programy, které umožňují řešit okružní problém je východiskem znalost vstupních údajů. Tyto údaje se ve většině případů zapisují do čtvercové matice m × m , která může být symetrická či asymetrická. Při opakujícím se plánování optimálního uspořádání rozvozové trasy dochází často k situaci, kdy ne všechna místa, s nimiž se v původní matici m × m uvažuje, je v konkrétním případě nutné navštívit. Pak je potřeba ze všech m míst vybrat jen ty, které jsou v danou chvíli aktuální (např. jen i míst).


33

Problematikou redukce původní matice se zabýval i Holoubek a Zach (2012), kteří navrhli několik způsobů zmenšení čtvercové matice m × m na čtvercovou submatici i × i (kde i < m ) bez toho, aniž by bylo nutné údaje z matice opisovat či dokonce vynechávat příslušné řádky a sloupce. Pro pořízení číselných hodnot uspořádaných do matice m × m je možno využít různé programy. Nejběžněji dostupný je tabulkový procesor Excel. V tomto programu se nabízí dvě možnosti, jak zmenšit původní matici. První z nich je využití kontingenčních tabulek, které však nebyly původně pro tyto účely vytvořeny a slouží především k vizualizaci vztahu dvou statistických znaků. Druhý způsob redukce velikosti výchozí matice na požadovanou submatici lze provést za použití vytvořeného makra „submatice“. Holoubek a Zach (2012) vysvětlují, že pro správnou funkci tohoto makra musí být před jeho samotným spuštěním splněny dvě podmínky. V první řadě musí být vybrána podmnožina měst pro novou submatici a to tak, že tato města jsou vyznačena tučně. A dále musí být označena buňka označující první prvek množiny měst bez ohledu na to, zda byla vyznačena tučně či nikoliv. Makro „submatice“ je možné spustit buď pomocí systémové nabídky a nebo pomocí stejnojmenného tlačítka umístěného v pracovním listu Excelu. V obou případech je výstupem nově vytvořená čtvercová submatice, která se nachází v novém listu a obsahuje pouze ta z měst, jež byly před spuštěním makra v prvním sloupci výchozí matice označena tučně. (Holoubek a Zach, 2012)


34

4 Charakteristika zkoumaného objektu a řešeného problému 4.1

Charakteristika objektu

Předkládaná diplomová práce navrhuje optimální uspořádání distribučních sítí nejmenovaného podniku ABC, který se zabývá exportem plastových výrobků do Německa. ABC byl založen r. 1995 jediným společníkem holandské národnosti, který ve stejném roce zahájil výrobu v pronajatých prostorách s počtem 20 zaměstnanců a výrobní kapacitou 20 t. Postupně docházelo k nárůstu výroby a r. 2006 byl zakoupen z důvodu nedostatku místa nový objekt, který byl zrekonstruován a rozšířen o novou výrobní halu. Od dva roky později koupil ABC nový vlastník německé národnosti. V r. 2012 převzala kompletní výrobní program i německá společnost, kterou vlastní stejný majitel. V současné době má ABC 60 zaměstnanců s měsíčním obratem devět miliónů. Pracuje se v dvousměnném provozu, 95 % produkce je vyváženo do Německa, 5 % tvoří český trh. Společnost ABC úzce spolupracuje s německou mateřskou společností. Tato německá společnost rovněž ovládá několik dalších dceřiných společností v západní a východní Evropě, z toho dvě v České republice. Jednou z nich je i společnost ABC. Tyto různé lokality s evropskou působností mají být schopné uspokojit narůstající poptávku na evropském trhu, zajistit poskytnutí komplexních služeb příslušným obchodním partnerům a dodat zákazníkům v co nejkratším čase odpovídající výrobky tak, aby bylo co nejlépe vyhověno jejich specifickým požadavkům. Tato jednotlivá výrobní a prodejní místa v Evropě umožňují tak mateřské společnosti prostřednictvím společností dceřiných docílit kratších tras k zákazníkům a lépe řídit vztahy s nimi, poskytovat kvalitnější servis a podporovat flexibilitu a spolehlivost. V široké paletě nabídky plastových výrobků ABC je možné nalézt zejména fólie a fóliové produkty. Podnik ABC se tedy zabývá výrobou a potiskem re-


35

klamních tašek a různých průmyslových obalů z LDPE, HDPE2 fólií a prodejem dalších obalových materiálů. Produktovou řadu představují zejména rolovací fólie (ať už smršťovací, řezané, děrované či stretch filmy), dále UV stabilní zemědělské fólie (filmy), ochranné kryty a potahy na nábytek, pytle, sáčky a další fólie a plachty na nejrůznější použití. Výroba, distribuce a řízení kvality ve všech evropských lokalitách jsou koordinovány z německé centrály a musí splňovat požadavky ISO 90013. Složení těchto plastových výrobků je ekologické, klade důraz na kvalitu a životní prostředí. I likvidace ve všech lokalitách probíhá dle nejnovějších směrnic EU.

4.2

Analýza současného způsobu řešení distribuce

4.2.1

Charakter vstupních dat

Celá problematika dosavadní tvorby distribučních sítí podniku ABC v Německu byla konzultována s vedením a příslušnými zaměstnanci této společnosti. Ze získaných materiálů je již patrná určitá snaha ekonomického úseku o částečnou optimalizaci rozvážených produktů, a to jak s ohledem na kapacitu vozidel, tak i požadavky odběratelů. Toto úsilí se primárně zaměřuje na úsporu v najetých kilometrech a lepší využití kapacity vozidel. Jedním z hlavních důvodů těchto snah je skutečnost, že rozvoz se v ABC uskutečňuje prostřednictvím externího dodavatele, je tedy outsourcován a tím pádem i veškeré náklady spojené s distribucí jsou hrazeny právě společností ABC příslušnému autodopravci. Financování externího poskytovatele logistických služeb jde tak k tíži ABC, nikoliv centrály v Německu. Logistické distribuční centrum se nachází ve Zbraslavi, kde je uskutečňována nakládka výrobků, které je následně distribuováno k jednotlivým odběratelům v Německu. ABC využívá k rozvozu těchto výrobků služeb dvou autodopravců, kteří disponují rozsáhlým vozovým parkem, jež je tvořen vozidly s rozdílnou maximální přípustnou hmotností naloženého vozidla. To umožňuje

2

LDPE je polyetylen s nízkou hustotou, HDPE je polyetylen s vysokou hustotou. Oba jsou ne-

toxické, bez zápachu a chuti a tudíž vhodné všude tam, kde dochází ke kontaktu s jídlem. 3

Norma, která stanovuje požadavky na systémy řízení kvality.


36

podniku ABC vybírat a kombinovat vozy dle aktuálních potřeb a díky tomu reagovat pružně na požadavky zákazníků. Současný způsob organizace distribuce v ABC je následující. Příslušný autodopravce, poskytovatel distribučních služeb, obdrží od ABC objednávku s uvedením celkové hmotnosti nákladu a požadavkem na vozidlo o určité maximální přípustné hmotnosti. Na základě tohoto je podniku přistaveno vozidlo s odpovídající nosností. Autodopravce tak v podstatě od společnosti ABC dostane k dispozici vždy pouze seznam míst s celkovou hrubou hmotností nákladu, jež je nutné obsloužit. Pořadí odběratelů poskytnuté podnikem ABC k trase každého vozidla, které odpovídá nakládce a vykládce hotových výrobků, musí autodopravce dodržet. Důležité je podotknout, že kapacita požadovaných nákladních automobilů není ze strany podniku nikdy plně využita. Z pohledu dodávaného sortimentu není distribuce časově omezena. Další důležitou charakteristikou, která má vliv na distribuci a tvorbu rozvozových linek je absence skladovacích prostor podniku ABC. Výrobky tak zůstávají na výrobní hale vyskládané na paletách. Z tohoto důvodu je nutné zajistit expedici v krátkých časových intervalech. Tak společnost vyexpeduje za týden až sedmnáct vozidel a to v závislosti na výrobní kapacitě a aktuálních potřebách zákazníků. Celá distribuční síť je tak rozdělena do menších celků dle jednotlivých dní v týdnu a vzdálenosti obsluhovaných míst. Mezi hlavní dopravní omezení patří maximální přípustná hmotnost naloženého vozidla či vzájemná vzdálenost cílových míst. 4.2.2

Rozdělení distribuční sítě

Základem tvorby rozvozových linek podniku ABC je rozdělení celé distribuční sítě do sítí dílčích D1 a D2. Toto rozdělení je zejména ovlivněno dny v týdnu odpovídající nakládce výrobků a vzájemnou vzdáleností obsluhovaných míst. Struktura tvorby a rozdělení distribučních sítí dosavadního stavu řešení distribuce je uvedena na obrázku č. 1.


37

Distribuční síť 149 míst

D1 distribuční síť 74 míst

D2 distribuční síť 75 míst

8 rozvozových skupin

9 rozvozových skupin

výsledné okružní linky

výsledné okružní linky

Obr. 1 Rozdělení celkové distribuční sítě Zdroj: ABC

Dílčí distribuční síť D1 je tvořena 74 odběrními místy, přičemž nakládka se pro odběratele této sítě uskutečňuje pouze v pondělí. Dílčí distribuční síť D2 je tvořena 75 místy a výrobky směřující zákazníkům v této síti jsou naloženy vždy v úterý. Produkty jsou tak z podniku vždy expedovány pouze ve dvou pracovní dnech z celého týdne, tj. v pondělí a úterý. Toto rozdělení celkové distribuční sítě na dvě dílčí je ve firmě zejména dáno časovou náročností rozvozu, který může trvat i několik dnů. Tak může být příslušný zákazník obsloužen ještě tentýž den, kdy byly hotové výrobky na dopravní prostředek naloženy nebo až některý následující den v závislosti na vzdálenosti místa od centra. Nicméně jak je uvedeno výše, časové požadavky zákazníků zde nepředstavují omezení. Důležité je, aby všechny vozy byly nejpozději do pátku zpět v České republice. Z jednotlivých míst na trase jsou zpět sváženy vratné obaly a palety. Úplný přehled 149 distribučních míst je uveden v příloze práce č. 1. Údaje uvedené v příloze č. 1 a tabulkách 1a–h a 2a–i představují pravidelně se opakující seznam míst, včetně průměrných požadavků odběratelů. Jelikož podnik ABC není schopný plně uspokojovat veškeré požadavky obchodních partnerů v Německu a to v důsledku omezených výrobních kapacit, dodává


38

jednotlivým zákazníkům již ustálené (průměrné) množství výrobků, které je výsledkem objednávkových statistik. Zbývající část požadavků je uspokojena prostřednictvím některých jiných dceřiných společností mateřské firmy. Výjimku by tvořila situace, kdy by určitý odběratel zadal požadavek v hodnotě nižší než odpovídá hodnotě průměrné. V tomto případě by tu pak byla možnost buď pro uspokojení zvýšených požadavků jiných stávajících odběratelů a nebo pro obsloužení úplně nového zákazníka. Pokud by tedy mělo ABC přibýt další odběrní místo, musí ekonomický úsek podniku v první řadě posoudit, zda kapacita výroby je k uspokojení takového požadavku dostačující. Za předpokladu, že by nový požadavek byl v kapacitních možnostech podniku ABC, pak je otázkou, zda by tímto dodatečným požadavkem šlo zaplnit i zbývající kapacitu některého využívaného vozidla nebo spíše naopak bylo nutné vyexpedovat vozidlo další. V případě nedostatečných kapacit ABC se požadavek přesměruje do jiné sesterské společnosti. Tímto členěním na dvě dílčí distribuční sítě celkové rozdělení zdaleka nekončí. Kvůli omezené přepravní kapacitě vozidel je v každé dílčí distribuční síti vytvořeno několik rozvozových skupin po několika distribučních místech, viz tabulky č. 1a až 1h a 2a–i. Distribuce každé rozvozové skupiny je realizována jedním vozidlem a následně jsou upravovány do výsledných linek, které tvoří okruhy. Veškeré okružní trasy začínají a končí ve stejném místě, tj. místě nakládky. Tvorba konkrétního okruhu je tedy závislá na objemu přepravovaného množství, které je dáno požadavky odběratelů a možností přepravních prostředků. Na tomto místě je nutno zmínit, že jednotlivé požadavky odběratelů jsou již uvedeny v brutto hodnotách (namísto hodnot netto), které samozřejmě vychází z materiálů poskytnutých společností ABC. Každá dodávka zákazníkovi je totiž tvořena nejen hotovými výrobky, ale i paletami, na nichž jsou produkty umístěny a které se započítávají i do celkové hodnoty nákladu. Od této celkové velikosti nákladu se tedy odvíjí nejen volba vozidla s maximální přípustnou hmotností, ale také i cena autodopravy.


39

Tab. 1a–h Rozvozové skupiny dílčí distribuční sítě D1

Rozvozová skupina č. 2

Rozvozová skupina č. 1 Pořadí

Místo

Požadavky odběr. (kg)

Pořadí

Místo


1

Queis

4 260

1

Lauf

2

Reinbek0000

2 217

2

Nümberg

6 477

3

Weissenburg

345

6,5

4

Schnelldorf II

1 784

5

Tauberbischofs. I

1 367

Celkem (kg) Kapacita vozidla (t)

114 2 462



Místo


01

Hengersber

834

02

Dingolfing

180

03

Wolnzach

460

04

München

281

05

Pfronten

192

06

Kirchheim

893

07

Krumbach

231

08

Dillingen

705

09

Nellingen

344

10

Allmendingen

322

11

Laupheim

629

12

Altshausen

434

13

Bermatingen

497


6 072

6 002 6,5

6,5


Místo


01

Bamberg

02

Hünfeld

03

Ruppach-Gold. I

299

04

Nickenich

442

05

Übach-Palenberg

640

06

Grevenbroich

479

07

Kaarst

227

08

Kalkar

127

09

Mühlheim I

227

10

Recklinghausen I

891

11

Wetter I

420

12

Lüdenscheid I

523

13

Unna

286


545 1 091

6 197 6,5


40



Místo


Pořadí

Místo


1

Hersbruck

213

01

Wendelstein

341

2

Veitsbronn

129

02

Schnelldorf I

281

3

Ebern

645

03

Crailsheim

4

Tauberbischofs. II

468

04

Neckarsteinach

942

5

Eppertshausen

645

05

Bruchsal

438

6

Bensheim

645

06

Speyer

541

2 745

07

Mannheim

881

3

08

Bad Dürkheim

502

09

Uchtelfangen

130

10

Überherrn

765


Celkem (kg)

Rozvozová skupina č. 7 Pořadí 01

Místo Essingen

1 387


Kapacita vozidla (t)

6,5


121

Pořadí

Místo


02

Heubach

03

Mühlacker

1 415

01

Freudenberg00

333

04

Pforzheim

645

02

Obertshausen

416

05

Hatzenbühl00000

390

03

Birstein

731

06

Karlsruhe

546

04

Ruppach-G. II

396

07

Arnbach

204

05

Mudersbach

581

08

Waldachtal

666

06

Wenden-Ger.

716

09

Mühlheim II

673

07

Kölnn-Porz-L.

703

10

Tuttlingen

191

08

Remscheid

160

11

Lahr

873

09

Wetter II

476

12

Endingen

137

10

Lüdenscheid II

453

6 410

11

Bönen

608

6,5

12

Reckling. II

229

13

Kevelaer

414


549

6 208


6 216 6,5


41

Tab. 2a–i Rozvozové skupiny dílčí distribuční sítě D2



Místo


Pořadí

Místo


1

Erbach

513

1

Thalheim

915

2

Heddesheim

173

2

Chemnitz

214

3

Schwetzingen

650

3

Wildau

903

4

Lambrecht

213

4

Berlin I

445

5

Westheim

1 790

5

Berlin II

330

6

Bad Dürkheim

149

6

Zehlendorf

185

Celkem (kg)

3 488


3,5



Místo


01

Gudensberg

414

02

Alfeld

829

03

Hannover I

620

04

Langenhagen I00

781

05

Hamburg

1 215

06

Tornesch

268

07

Hankensbüttel

767

08

Breitenfelde

273

09

Reinbek

401

10

Ammersbeck

443

11

Mölln

342


6 353 6,5

2 992 3

Rozvozová skupina č. 4 Místo


01

Tauberbis.

523

02

Maintal/Drn.

111

03

Ruppach-Gold.

326

04

Bad Laasphe

282

05

Wenden-Ger.

464

06

Drolshagen

142

07

Reckling.

205

08

Velbert

133

09

Solingen

562

10

Kaarst/Holz.

166

Pořadí


2 914 3



Místo

42



Pořadí

Místo


1

Nittenau

237

01

Essingen

216

2

Ebermannsdorf

200

02

Nellingen I

448

3

Dietfurt

59

03

Kornwestheim

456

4

Schwanstetten

332

04

Mühlacker I

1 212

5

Röthenbach

163

05

Balingen

1 500

6

Lauf

143

06

Mühlheim I

351

7

Veitsbronn

586

07

Stockach

190

8

Ebern

830

08

Radolfzell

143

9

Seebach

396

09

Donaueschingen

191

2 946

10

Villingen-Sch. I

255

3

11

Lahr I

1 009

12

Lahr II

443




Místo

6 414



1

Langenhagen II

244

2

Vloho

112

3

Bad Oyenhaus.

148

1

Hannover II

4

Osnabrück I

407

2

Osnabrück II

5

Vechta

269

Celkem (kg)

6

Oldenburg

273


7

Oyten

554


2 007 3

6,5

Pořadí

Místo

Požadavky odběr. (kg) 1 134 853 1 987 2


7

Mühlacker II

299

Požadavky odběratelů (kg)

8

Pforzheim

363

9

Arnbach

384


Místo

43

1

Oberrot

423

10

Lichtenstein

1 587

2

Murrhardt

193

11

Mühlheim II

437

3

Plüderhausen

712

12

Villingen-Sch. II

266

4

Nellingen II

939

13

Unterkirnach

299

5

Waiblingen

140

Celkem (kg)

6

Ditzingen

351


6 393 6,5 Zdroj: ABC

4.2.3

Využívaný vozový park

Přepravní logistické služby jsou realizovány prostřednictvím smluvních vozidel. Jak již bylo zmíněno, podnik využívá k rozvozu hotových výrobků do Německa služeb dvou stálých autodopravců, kteří disponují rozsáhlým vozovým parkem. Díky outsourcingu může ABC tedy využívat různých vozidel, která jsou limitovaná pouze největší přípustnou hmotnostní naloženého vozidla, jež ale nemusí být vždy plně využita. Tab. 3


Rozvozová Nosnost Sazba Autodopravce skupina (t) (Kč/km) 1

D.Trans

6,5

18

2

Z. Sára

6,5

19

3

D.Trans

6,5

18

4

Z. Sára

6,5

18

5

D.Trans

3,0

13

6

Z. Sára

6,5

19

7

Z. Sára

6,5

18

8

Z. Sára

6,5

18 Zdroj: ABC


44

V případě první dílčí distribuční sítě D1 využívá společnost ABC převážně k přepravě vozidla o maximální přípustné hmotnosti 6,5 t a dále o nosnosti 3 t. V rámci druhé dílčí distribuční sítě D2 je využívání vozového parku různorodější. Převažují vozidla s maximální přípustnou hmotností ve výši 3 t, dále vozidla o nosnosti 6,5 t, 2 t a 3,5 t. Ceny autodopravy jsou v obou případech smluvní, vychází především z požadované tonáže a vzdálenosti. Bližší informace o využívaném vozovém parku a ceně autodopravy pro jednotlivé dílčí distribuční sítě přináší tabulka č. 3 a 4. Tab. 4


Rozvozová Nosnost Sazba Autodopravce skupina (t) (Kč/km) 1

Z. Sára

3,5

14,5

2

D.Trans

3,0

13

3

Z. Sára

6,5

18

4

Z. Sára

3,0

13

5

D.Trans

3,0

13

6

Z. Sára

6,5

18

7

D.Trans

3,0

13

8

Z. Sára

2,0

11

9

D.Trans

6,5

18 Zdroj: ABC

Rozdělení distribuční sítě na první úrovni do dvou dílčích sítí D1 a D2 je výsledkem jednání mezi ABC, německou centrálou a odběrateli. Naproti tomu dosavadní zařazení míst v rámci nižší úrovně do jednotlivých rozvozových skupin už vychází z pokusů o určitou optimalizaci ze strany podniku ABC. Tzn., že navrhované nové řešení distribuce musí vycházet z rozdělení distribuční sítě na nejvyšší úrovni, jak lze vypozorovat i z obrázku č. 1., a to v důsledku rozdílných dní expedice. Zatímco druhou úroveň rozdělení je možné do jednotlivých rozvozových skupin měnit bez omezení.

Návrh řešení

45

5 Návrh řešení Návrh optimálního uspořádání dopravních tras podniku je možné provést za využití různých metod. Některé z nich jsou uvedené v teoretické části práce. V podkapitole 5.1 jsou aplikovány vybrané způsoby řešení okružního dopravního problému včetně srovnání výhod, nevýhod a výsledků získaných za použití těchto metod. Další část této kapitoly (5.2) se pak na základě 5.1 zabývá konkrétním rozdělením distribuční sítě do rozvozových skupin a řazením odběratelů v rámci jednotlivých rozvozových skupin. Závěrem kapitoly je porovnán dosavadní stav řešení distribučních sítí se získaným novým řešením distribuce.

5.1

Využití metod pro řešení okružního problému

Tato část práce vychází zejména z výsledků dosažených prostřednictvím níže použitých metod4, využitých ve zpracované závěrečné práci na téma Optimalizace dopravních tras pekárenského podniku (Dubová, 2011), jež byly aplikovány na nejjednodušší variantu řešení okružního dopravního problému. 5.1.1

Littlův algoritmus

Řešení okružního dopravního problému prostřednictvím Littlova algoritmu je popsáno v subkapitole 3.5.4. Tato metoda je vhodná zejména pro úlohy s nižším počtem míst v matici vzdáleností a to zejména kvůli časové náročnosti a také obtížností při řešení úloh velkých rozměrů, kdy existuje velká pravděpodobnost vzniku chyb v průběhu výpočtu. Postup optimalizace řešení s využitím Littlovy metody je uveden na příkladě. Jedná se o případ rozvozové skupiny X8 dílčí distribuční sítě D1 navrhované v rámci nového řešení distribuce. Řešení vychází z matice vzdáleností mezi konkrétními odběrními místy a distribučním centrem (viz tabulka 5).

4

Konkrétně Littlova algoritmu a programových nástrojů STORM a LINGO.

Návrh řešení

Zbraslav

Freuden.

Ebern

Dillingen

Zadání příkladu Crailsheim

Tab. 5

46

084 150 561 584 084 × 202 587 554 150 202 × 428 573

Crailsheim

×

Dillingen Ebern

Freudenberg 561 587 428 Zbraslav

542

×

584 554 573 542

×

Zdroj: Práce autora

Crailsheim

×

Dillingen

84 0 118

Ebern

150 202 0 52 52

×

150 78 66

561 477

202 118

587 503

×

561 Freudenberg 133

587 159

428 0 31

584 42

554 12

573 31

-

-

-

Zbraslav βj

Zbraslav

Freudeberg

Dillingen 84 0

Ebern

První krok Littlovy metody Crailsheim

Tab. 6

584 500 386 554 470 356 573 423 309 542 114 0 309

428 278

× 542 0 290 -

×

αi

084 084

150

428 542

1288 114 Zdroj: Práce autora 114

Na základě prvního kroku Littlovy metody (viz tabulka 6), kdy maximální hodnota Φ 5 činí 309 a nachází se ve 4. řádku a 5. sloupci, je do okruhu zařazeno spojení míst Freudenberg → Zbraslav. Vynechám bude 4. řádek a 5. sloupec

5

Maximální hodnota

Φ je v příkladech vždy označena červeně a podtržena, ostatní Φ hodno-

ty jsou vyznačeny tučně.

Návrh řešení

47

matice. Opačná cesta musí být v dalším kroku výpočtu zakázaná. Hodnoty ověřující správnost: Z 0 = 1288 + 114 = 1402 a Z F , Z * = 1402 + 309 = 1711 .

× 0

Dillingen

99

0

Ebern

31 0 19 0 -

αi

477 199 503 225 278 0 199

×

12 0 -

βj

47 66 47 118 × 99

0 52

42 30

Zbraslav

Ebern

Dillingen 0

Crailsheim

Freudeberg

Druhý krok Littlovy metody Crailsheim

Tab. 7

12

∞ 47 19

12 297 Zdroj: Práce autora 278

Nyní bude do okruhu zařazena trasa Ebern → Freudenberg (tab. 7). Zároveň je nutné v dalším kroku výpočtu v redukované matici zakázat jízdu Zbraslav → Ebern, aby nedošlo k předčasnému uzavření okruh a také vyloučit 3. řádek a 4. sloupec matice. Hodnoty ověřující správnost

Z F ,Z = 1402 + 309 = 1711

a Z E , F * = 1711 + 199 = 1910 . Správnost řešení ověřena na základě platnosti: Z F ,Z ≤ Z F , Z * , tj. 1711 = 1711 . Třetí krok Littlovy metody

Zbraslav βj

Ebern

αi

0

Crailsheim Dillingen

Dillingen

Crailsheim

Tab. 8

× 0 30 -

0 47 0 82 99 × 52 0 30

∞

-

47

-

52

0 47

Návrh řešení

48

Z tabulky č. 8 je zřejmé, že další část okruhu povede směrem Dillingen → Crailsheim, ve čtvrtém kroku výpočtu je tedy nutné opět zakázat nejen cestu v opačném směru Crailsheim → Dillingen, ale i spojení Zbraslav → Ebern. Z matice se opět vyloučí příslušné řady. Hodnoty, které ověřují správnost Z E , F = 1711 + 47 = 1758 a Z D ,C * = 1758 + 82 = 1840 . Správnost řešení ověřena na

základě platnosti: Z E ,F ≤ Z E , F * , tj. 1758 ≤ 1910 . Čtvrtý krok Littlovy metody

Crailsheim Zbraslav βj

0

∞ 0

0 -

αi

Ebern

Dillingen

Tab. 9

0 ∞

-

0 0 Zdroj: Práce autora -

Z poslední matice o rozměrech 2 × 2 je patrné, které cesty jsou zakázané. Zbývající dvě políčka určují jednoznačně poslední dvě etapy hledaného okruhu. Jedná se o spojení míst Crailsheim → Ebern a Zbraslav → Dillingen. Hodnota ověřující správnost Z D ,C = 1758 + 0 = 1758 . Správnost řešení ověřena na základě platnosti: Z D ,C ≤ Z D ,C* , tj. 1758 ≤ 1840 . Výsledná okružní trasa tedy vypadá následovně: Zbraslav → Dillingen → Crailsheim → Ebern → Freudenberg → Zbraslav. A optimalizovaná délka okruhu je za využití Littlova algoritmu rovna 1 758 km. 5.1.2

Programové nástroje

Využití programových nástrojů pro optimalizaci je vhodné zejména v případě matic velkých rozměrů. V této subkapitole budou rozebrány výhody i nedostatky dvou dosažitelných programů používaných pro matematické modelování, STORMU a LINGA. S přihlédnutím k závěrům dosaženým v závěrečné práci Optimalizace dopravních tras pekárenského podniku (Dubová, 2011), jež v jedné ze svých části

Návrh řešení

49

byla zaměřena i na srovnání průběhu výpočtu a výsledků získaných prostřednictvím těchto dvou softwarových nástrojů a to u matic různých rozměrů, lze shrnout následující skutečnosti. Programy STORM A LINGO mohou dosahovat stejných či velmi málo odlišných výsledků z hlediska hodnot účelové funkce. Na druhé straně se tato řešení mohou odlišovat pořadím míst v konkrétních trasách. V případě stejných hodnot účelové funkce a rozdílném pořadí míst získaném za využití těchto dvou programových nástrojů může pro danou trasu existovat i více optimálních řešení. Délka výpočtu u jednotlivých softwarových nástrojů je už podstatně různá. Zatímco STORM je schopný poskytnout výsledek do několika vteřin, programový nástroj LINGO hledá optimální řešení i několik hodin či dnů. Tato skutečnost je dána zejména tím, že program STORM nemusí dosahovat extrémních hodnot, čímž není softwarem garantováno optimální řešení v matematicky exaktním smyslu, zatímco LINGO má snahu dojít vždy přímo k exaktnímu optimálnímu řešení. Jelikož výsledky obou softwarových nástrojů jsou převážně shodné co do hodnoty účelové funkce, jak u matice velkých rozměrů, tak i menších rozměrů, je pro další optimalizaci používán programový systém STORM. Příliš dlouhá doba výpočtu v rámci softwaru LINGO by mohla být neakceptovatelná vedením podniku ABC, které požaduje získat co nejlepší výsledek v krátkém čase. K řešení okružního problému v programu STORM je využito stejné zadání příkladu jako v předcházející subkapitole. Postup práce s uvedeným programem koresponduje s teoretickou částí práce týkající se tohoto softwaru a demonstruje jej níže uvedená soustava obrázků. Po spuštění softwaru, výběru modulu Distance Network (viz obr. 2), je nutné načíst vstupní data. Jelikož jsou údaje v tomto případě zadávány poprvé, nabízí se jediná možnost, a to vytvořit nový datový soubor. V editačním režimu po zadání rozměru a typu matice následuje vkládání kilometrových vzdáleností mezi jednotlivými místy. Veškeré matice v této práci jsou symetrické, neboť vzdálenost z místa A do místa B je stejná jako vzdálenost

Návrh řešení

50

z místa B do místa A. Na základě toho je povolen vstup pouze horních prvků trojúhelníkové matice, jak je patrné i z obrázku č. 3

Obr. 2

Výběr modulu

Obr. 3

Specifikace a zadávání vstupních údajů

Po zadání vstupních údajů stačí zvolit už jen typ úlohy, který se má řešit. V tomto případě se jedná o problém obchodního cestujícího. Do několika vteřin je k dispozici výsledek řešení příslušného okružního dopravního problému.

Návrh řešení

51

Na čtvrtém obrázku je možné vidět výstup programového nástroje STORM, který je shodný s výsledkem získaným na základě Littlovy metody. Odběrní místa v rámci okružní trasy jsou i stejně seřazena, čemuž odpovídá i stejná hodnota celkové ujeté vzdálenosti a to je 1 758 km.

Obr. 4

Výsledek řešení okružního problému

5.1.3

Metoda nejbližšího souseda

Princip metody nejbližšího souseda je vysvětlen v teoretické části práce 3.5.3. Zadání příkladu je stejné jako v subkapitole 5.1.1. Jedná se opět o rozvozovou skupinu X8 navrhovanou v rámci nového řešení distribuce.

Crailsheim Dillingen Ebern

Zbraslav

084 150 561 584 084 × 202 587 554 150 202 × 428 573

×


Freuden.

Ebern

Dillingen

Crailsheim

Tab. 10 První krok metody nejbližšího souseda

×

584 554 573 542

542

×


Návrh řešení

52

První krok této metody začíná volbou výchozího místa. V tomto případě bude nejdříve vybráno např. město Crailsheim, proto bude vyškrtnut první sloupec tabulky č. 10. V prvním řádku této tabulky odpovídá minimální sazbě hodnota 84, tudíž je k dispozici první část spojení okružní trasy a to Crailsheim → Dillingen. V dalším kroku se tedy 2. sloupec vyškrtne.


Zbraslav

084 150 561 584 084 × 202 587 554 150 202 × 428 573

×


Freuden.

Ebern

Dillingen

Crailsheim

Tab. 11 Druhý krok metody nejbližšího souseda

×

584 554 573 542

542

×


V druhém kroku (tab. 11) je nutné se zaměřit na hledání nejvýhodnější sazby v 2. řádku, tomu odpovídá spojení míst Dillingen → Ebern, což odpovídá hodnotě 202. V dalším kroku je potřeba vyškrtnout 3. sloupec.


Zbraslav

084 150 561 584 084 × 202 587 554 150 202 × 428 573

×


Freuden.

Ebern

Dillingen

Crailsheim

Tab. 12 Třetí krok metody nejbližšího souseda

×

584 554 573 542

542

×


V této chvíli se hledání nejmenší sazby přesouvá do 3. řádku, viz tabulka č. 12. Minimální hodnota 428 odpovídá spojení Ebern → Freudenberg. 4. sloupec bude opět vyškrtnut.

Návrh řešení

53


Zbraslav

084 150 561 584 084 × 202 587 554 150 202 × 428 573

×


Freuden.

Ebern

Dillingen

Crailsheim

Tab. 13 Čtvrtý krok metody nejbližšího souseda

×

584 554 573 542

542

×


Z tabulky č. 13 je už patrné, že další část okruhu povede z Freudenberg → Zbraslav a Zbraslav → Crailsheim. Výsledná trasa při zvolení Crailsheim jako výchozího místa je dlouhá 1 840 km a vypadá následovně: Crailsheim → Dillingen → Ebern → Freudenberg → Zbraslav → Crailsheim. Tímto způsobem se postupně vyberou jako výchozí místa všechny města a pro každé z nich se hledá okružní trasa. Výsledkem je pět okružních tras, které jsou přehledně uvedeny v tabulce 14. Tab. 14 Okružní trasa X8 s různými výchozími místy

Výchozí místo

Okružní trasa

Celkem km

Crailsheim

Crailsheim → Dillingen → Ebern → Freudenberg → Zbraslav → Crailsheim

1 840

Dillingen

Dillingen → Crailsheim → Ebern → Freudenberg → Zbraslav → Dillingen

1 758

Ebern

Ebern → Crailsheim → Dillingen → Zbraslav → Freudenberg → Ebern

1 758

Freudenberg

Freudenberg → Ebern → Crailsheim → Dillingen → Zbraslav → Freudenberg

1 758

Zbraslav

Zbraslav → Freudenberg → Ebern → Crailsheim → Dillingen → Zbraslav

1 758


Návrh řešení

54

Z výše uvedených tras se vybere ta nejkratší. Jak je možné vidět z tabulky 14, tři poslední okružní trasy jsou naprosto shodné, liší se jen pouze volbou výchozího místa: Ebern, Freudenberg a Zbraslav. Trasa s počátečním místem Dillingen je oproti těmto třem projeta opačným směrem, ale má stejnou hodnotu účelové funkce. Nejméně výhodná je první trasa. Modifikace této metody pro víceokruhové okružní dopravní úlohy spočívá v tom, že v matici vzdáleností se za výchozí místo nezvolí postupně všechny uzly této matice, ale pouze distribuční centrum. A to z toho důvodu, že výsledkem řešení víceokruhových okružních dopravních úloh je vždy několik okružních tras a každá tato trasa musí dané centrum vždy obsahovat. Proto musí být distribuční centrum vždy vybráno v prvním kroku. Algoritmus pak pokračuje stejným způsobem jako u původní nemodifikované metody a to tak dlouho, dokud není zaplněna kapacita příslušného vozidla. Hledání okružní trasy pro další vozidlo začíná opět v distribučním centru a pokračuje výběrem takových míst, která jsou od posledně zařazeného místa nejméně vzdálená a zároveň netvoří součást jiné okružní trasy. Řešení získané s pomocí modifikované metody nejbližšího souseda (MNS) pro víceokruhové okružní dopravní úlohy, aplikované na matici vzdáleností uvedenou v příloze 3, je k dispozici v tabulce č. 15. Výsledkem je osm rozvozových skupin A1–A8. Každá tato skupina obsahuje různý počet seřazených odběrních míst a vždy jedno přiřazené vozidlo. Celkový počet ujetých kilometrů v rámci těchto uspořádaných tras je roven 14 582. Metoda nejbližšího souseda je koncipována v podstatě tak, že výběrem minimálních prvků vždy k danému uvažovanému místu dochází nejen k tvorbě rozvozových skupin, které jsou tvořeny vybranými místy a konkrétním vozidlem, ale i zároveň k výslednému řazení míst v každé trase. Avšak zda-li je řešení získané tímto postupem optimální, tvrdit nelze.

Návrh řešení

55

Tab. 15 Okružní trasy získané pomocí modifikované MNS

Odběrní místo

Celkem km

Max příp. hm. (t)

A1

Zbraslav → Mudersbach → Wenden-Gerlingen → Recklinghausen I → Kevelaer → Kalkar → Übach Palenberg → Zbraslav

2 092

3,5

A2

Zbraslav → Ruppach-Goldhausen II → RuppachGoldhausen I → Nickenich → Köln-Porz-Lind → Grevenbroich → Kaarst → Remscheid → Lüdenscheid II → Lüdenscheid I → Wetter II → Wetter I → Unna → Bönen → Recklinghausen II → Zbraslav

2 038

6,0

A3

Zbraslav → Crailsheim → Bruchsal → Waldachtal → Lahr → Endingen → Tuttlingen → Mühlheim am Donau → Altshausen → Bermatingen → Pfronten → Uchtelfangen → Überherrn → Zbraslav

2 521

6,5

A4

Zbraslav → Freudenberg → Hünfeld → Birstein → Mühlheim am Main → Obertshausen → Eppertshausen → Bensheim → Neckarsteinach → Mannheim → Bad Dürkheim → Zbraslav

1 990

6,5

A5

Zbraslav → Reinbek → Queis → Zbraslav

1 585

6,5

A6

Zbraslav → Weissenburg → Schnelldorf II → Schnelldorf I → Mühlacker → Pforzheim → Karlsruhe → Hatzenbühl → Speyer → Zbraslav

1 514

6,5

A7

Zbraslav → Hersbruck → Lauf → Nürnberg → Wendelstein → Veitsbronn → Bamberg → Ebern → Tauberbischofsheim II → Tauberbischofsheim I → Zbraslav

1 364

6,5

A8

Zbraslav → Hengersberg → Dingolfing → Wolnzach → Arnbach → München → Dillingen → Krumbach → Laupheim → Allmendingen → Nellingen → Kircheim unter Teck → Essingen → Heubach → Zbraslav

1 478

6,5

Označení skupiny


Návrh řešení

5.2

56

Optimalizace distribuční sítě D1

Za předpokladu opomenutí určitých omezení by řešením problému byla pouhá optimalizace jednotlivých tras. Avšak řešení okružního dopravního problému v praxi předurčuje řada limitujících faktorů. Za tyto omezující faktory, které je nutné zohlednit, lze považovat množství převáženého zboží tvořeného požadavky odběratelů a přepravní kapacity využívaných vozidel. V tomto případě je možné hovořit o víceokruhovém okružním dopravním problému, který je v podstatě vícenásobnou variantou okružní úlohy. Tato omezení tedy směrují k řešení víceokruhové okružní dopravní úlohy, kterou lze vhodně řešit pomocí Mayerovy metody, která je pro tento typ úloh přímo předurčena. Tato část práce se zabývá návrhem nového řešení distribuce. Řeší rozdělení dílčích distribučních sítí D1 a D2 do jednotlivých rozvozových skupin a následnou tvorbu výsledných okružních linek. Stávající způsob rozdělení celé distribuční sítě je popsán v subkapitole 4.2.2. Dosavadní řešení tvorby distribučních sítí v Německu vychází z rozdělení celkové distribuční sítě do dílčích distribučních sítí D1 a D2. Základem tohoto rozdělení jsou odlišné dny distribuce, které nelze měnit. Praktická část diplomové práce je vzhledem k počtu obsluhovaných míst zaměřena pouze na optimalizaci distribučních tras sítě D1. Optimalizace dílčí distribuční sítě D2 by probíhala obdobným způsobem. Zda je tento současný stav rozdělení dílčí distribuční sítě D1 do rozvozových skupin optimální, je ověřeno s využitím Mayerovy metody. Základním předpokladem pro realizaci prvního kroku Mayerovy metody je tedy znalost přepravní kapacity vozidel, požadavků odběratelů a vzájemné vzdálenosti obsluhovaných míst. Tento krok vyúsťuje pouze ve vytvoření rozvozových skupin, tzn., že každému vozidlu je v rámci možností přiřazen vždy určitý počet odběratelů, jejichž požadavky vytíží dopravní prostředek. Přepravní kapacity vozidel využívaných pro distribuci jsou uvedeny v podkapitole 4.2. Stejně tak požadavky odběratelů, které jsou uspokojovány dle možností a kapacity výroby. Jedná se v podstatě o průměrné hodnoty požadavků, které vychází z celopodnikových statistik.

Návrh řešení

57

Druhý krok Mayerovy metody se následně zaměřuje na optimalizaci jednotlivých skupin, které tvoří vybraná distribuční místa přiřazená konkrétním vozidlům z prvního kroku a to s cílem minimální dopravní náročnosti. Výsledkem je návrh pořadí míst v konkrétní rozvozové skupině. Dopravní náročnost je v tomto případě určena minimálním počtem celkových ujetých kilometrů. 5.2.1

Výběr míst pro okružní trasu jednotlivých vozidel

Řešení problému pomocí Mayerovy metody (viz subkapitola 3.5.1) vychází ze symetrické matice vzdáleností o rozměrech 75 × 75, v níž jsou jednotlivá odběrní místa dílčí distribuční sítě D1 seřazena v posloupnosti dle vzdálenosti od centrálního místa. Matice vzdáleností pro výpočet je uvedena v příloze práce č. 3. Vzdálenosti mezi jednotlivými místy byly získány pomocí plánovače tras dostupného na webových stránkách www.mapy.cz. Vzhledem k rozměrům matice je zřejmé, že její tvorba představuje časově náročnou a obsahově podstatnou část práce. Tab. 16 obsahuje pouze část symetrické matice vzdáleností výchozí distribuční sítě D1 z přílohy 3, na níž je vysvětlen postup výběru prvků matice do jednotlivých rozvozových skupin. Nutno podotknout, že Mayerova metoda narozdíl od metody nejbližšího souseda umožňuje v případě řešení víceokruhových okružních dopravních úloh vybírat další místo na základě minimální vzdálenosti ze všech, již do okruhu zařazených míst. Místa A-M6 jsou v tabulce č. 16 uspořádaná sestupně dle vzdálenosti k distribučnímu centru (DC). Nejdříve je vybráno nejvzdálenější místo od distribučního centra se zadaným přepravovaným množstvím, tj. A, které je vzdálené 957 km. K místu A se následně vyhledá takové, které je tomuto uvažovanému místu nejblíže. Tzn., že se hledá minimální vzdálenost od místa A v jeho sloupci. Minimální hodnota v tomto sloupci je 49, což odpovídá místu D. V dalším kroku se opět hledá místo nejméně vzdálené od míst A i D, které není doposud zařazeno ve skupině, tj. minimální hodnota ze sloupců A a D. Nej-

6

Názvy prodejních míst, které jsou v tabulce 16 označeny písmeny, jsou uvedeny v příloze prá-

ce č. 3.

Návrh řešení

58

menší hodnota se nachází ve sloupci D a to sice 21. Tím se do skupiny řadí místo E. Následně se opět vybírá nejmenší hodnota v těchto třech sloupcích. Ta se nachází ve sloupci E a je to opět 21. Místo D je však ve skupině již zařazeno, proto je vybrána druhá minimální hodnota, kterou je 32 a řadí do skupiny místo F. Tak získáme postupně skupinu odběrních míst DC, A, D, E, F. Obdobným způsobem se pokračuje ve výběru dalších prvků. Na tomto místě je nezbytné připomenout, že při každém přiřazení dalšího odběratele do příslušné rozvozové skupiny je vždy nutné provést porovnání přepravních požadavků jednotlivých míst do okruhu již zařazených s kapacitou konkrétního vozidla. Tab. 16 Část symetrické matice vzdáleností v km

A A

B

C

D

E

K

DC

67 100 124 124 242 119 125 121 K

957

0 020 087 070 111 104 076 078 342 102 132 105 K

939

0 108 087 049 058

B

108

C

087 020

D

049 087 067

E

058 070 052 021

G

H

I

J

K

L

M

94 096 076 079 319 098 127 101 K

934

32 056 081 082 254 074 087 076 K

921

0

43 049 069 069 273 067 080 069 K

913

F

067 111 094 032 043

0 039 091 090 234 068 060 070 K

890

G

100 104 096 056 049

39

H

124 076 076 081 069

91 057

0

3,2 327 033 068 036 K

863

I

124 078 079 082 069

90 056

3,2

0 326 032 066 034 K

861

J

242 342 319 254 273 234 271 327 326

K

119 102 098 074 067

68 033 033 032 305

L

125 132 127 087 080

60 031 068 066 292 035

M

121 105 101 076 069

70 035 036 034 307 003 032

K

K

K

K

0 067 052

F

K

0 021

K

K

0 057 056 271 033 031 035 K

K

K

K

0 305 292 307 K

K

0 035 003 K

K

0 032 K

K

0 K K

880

861 849 848 847

K

K

DC 957 939 934 921 913 890 880 863 861 861 849 848 847 K

K


Výsledkem prvního kroku Mayerovy metody je osm distribučních skupin, které jsou tvořeny přiřazenými odběrními místy a jedním vozidlem. Tento návrh nového rozdělení dílčí distribuční sítě D1 do osmi rozvozových skupin X1 až X8,

Návrh řešení

59

které jsou tvořeny zcela odlišně rozmístěnými odběrními místy oproti dosavadnímu způsobu řešení distribuce, znázorňuje tabulka č. 17. Na základě žádosti ABC byla přednostně přiřazovaná vozidla o maximální přípustné hmotnosti 6,5 t a to z důvodu možné finanční úspory. Další podmínkou ze strany podniku je od sebe neoddělovat místa Queis a Reinbek. Tab. 17 Návrh skupin odběrních míst pro dílčí distribuční síť D1

Označení skupiny

Odběrní místa

Max příp. hm. (t)

X1

Zbraslav, Übach-Palenberg, Grevenbroich, Kaarst, Köln-Porz-Lind, Remscheid, Lüdenscheid II, Lüdenscheid I, Wetter II, Wetter I, Unna, Bönen, Recklinghausen II, Recklinghausen I

6,5

X2

Zbraslav, Kalkar, Kevelaer, Wenden-Gerlingen, Mudersbach, RuppachGoldhausen II, Ruppach-Goldhausen I, Nickenich, Mühlheim am Main, Obertshausen, Eppertshausen, Bensheim, Mannheim, Speyer

6,5

X3

Zbraslav, Überherrn, Uchtelfangen, Bad Dürkheim, Hatzenbühl, Karlsruhe, Bruchsal, Pforzheim, Mühlacker, Neckarsteinach, Waldachtal

6,5

X4

Zbraslav, Endingen, Lahr, Tuttlingen, Mühlheim am Donau, Bermatingen, Altshausen, Laupheim, Allmendingen, Nellingen, Kirchheim unter Teck, Heubach, Essingen, Krumbach

6,0

X5

Zbraslav, Reinbek, Queis

6,5

X6

Zbraslav, Birstein, Hünfeld, Tauberbischofsheim II, Tauberbischofsheim I, Schnelldorf I, Schnelldorf II

6,0

X7

Zbraslav, Pfronten, München, Arnbach, Wolnzach, Dingolfing, Hengersberg, Weissenburg, Wendelstein, Nürnberg, Veitsbronn, Lauf, Hersbruck, Bamberg

6,5

X8

Zbraslav, Crailsheim, Dillingen, Ebern, Freudenberg

3,5 Zdroj: Práce autora

Na základě výše uvedených skutečností je patrné, že v rámci prvního kroku Mayerovy metody se ve většině případů podařilo k jednotlivým rozvozovým skupinám přiřadit vozidla o maximální přípustné hmotnosti 6,5 t. Avšak vý-

Návrh řešení

60

jimku představuje rozvozová skupina X8, které může být přiřazeno i vozidlo o nosnosti nižší než je ta požadovaná. Tímto se podniku otvírá možnost uspokojit i příležitostně zvýšené požadavky odběratelů či do této skupiny zařadit odběratele nové a to vše pouze za předpokladu, že tato skutečnost bude ve výrobně kapacitních možnostech podniku ABC. Obdobná situace je i u skupiny X4 a X6. Řešení problému rozdělení dílčí distribuční sítě D1 do nových rozvozových skupin X1–X8 s sebou přináší i několik možností, v jakém pořadí je možné tato jednotlivá místa do příslušných skupin vybírat. Tato možnost plyne z většího počtu minimálních hodnot nalezených ve sloupcích matice. Tak lze pak možno provádět další dílčí záměny. Nutno upozornit, že v prvním kroku Mayerovy metody nedochází k optimálnímu uspořádání míst v příslušné trase, ale pouze k tvorbě rozvozových skupin. Samotné řazení odběratelů v konkrétním linkách je již úkolem druhého kroku této metody. 5.2.2

Optimalizace jednotlivých tras

Optimalizace i tvorba výsledných okružních linek vychází z prvního kroku Mayerovy metody, na základě kterého byla vybrána jednotlivá místa do příslušných rozvozových skupin. Ve druhém kroku Mayerovy metody jsou jednotlivá odběrní místa nově vytvořených skupin X1–X8 dílčí distribuční sítě D1 uspořádány do výsledných okružních linek, které jsou tvořeny s cílem co nejnižšího počtu ujetých kilometrů, čímž jsou minimalizovány i náklady na přepravu. Optimalizace jednotlivých tras je řešena s využitím programového nástroje STORM. K získání požadované podoby vstupních údajů, které jsou vkládány do tohoto programového nástroje, bylo využito vlastností maker v Excelu. To umožňuje získat z původní matice o rozměru 75 × 75 konkrétní požadované submatice bez toho, aniž by bylo nutné údaje z výchozí matice opisovat či dokonce vynechávat příslušné řádky a sloupce. Způsob použití maker v Excelu je popsán v subkapitole 3.6.3.

Návrh řešení

61

Obr. 5 Výřez výchozí matice s tlačítkem pro spuštění makra Zdroj: Práce autora

Obr. 6 Výřez výsledné submatice rozvozové skupiny X1 Zdroj: Práce autora

Ve výchozí matici rozměru 75 × 75 je v první řadě nutné vždy vybrat podmnožinu měst pro novou submatici. Tento seznam měst, která budou vstupovat do konkrétních submatic, je uveden v tabulce 17. Výstupem bude tedy osm dílčích matic, které jsou přehledně uvedeny v příloze práce č. 4. Dále musí být v původní matici označena buňka reprezentující první prvek množiny měst. Postup výběru prvků z výchozí matice do požadované submatice demonstruje obrázek č. 5. Jedná se o výřez původní matice s ukázkou tlačítka pro spuštění makra. Výsledkem je submatice rozvozové skupiny X1 o požadovaném obsahu a velikosti. Na obrázku 6 je uvedena opět jen část z celé submatice

Návrh řešení

62

Výsledkem optimalizace programu STORM jsou místa seřazená dle minimální délky mezi jednotlivými spojeními v rámci odpovídajících rozvozových tras. Toto optimální uspořádání míst v rozvozových skupinách je k dispozici v tabulce č. 18. Celkový počet ujetých kilometrů v nově rozdělené a zoptimalizované distribuční síti D1 je roven 14 135. Tab. 18 Výsledné okružní linky dílčí distribuční sítě D1

Označení skupiny

Seřazená odběrní místa

Celkem km

X1

Zbraslav → Lüdenscheid I → Lüdenscheid II → Remscheid → KölnPorz-Lind → Übach-Palenberg → Grevenbroich → Kaarst → Recklinghausen I → Recklinghausen II → Wetter I →Wetter II → Unna → Bönen → Zbraslav

2 020,7

X2

Zbraslav → Mudersbach → Wenden-Gerlingen → Kalkar → Kevelaer → Nickenich → Ruppach-Goldhausen I → Ruppach-Goldhausen II → Obertshausen → Mühlheim am Main → Eppertshausen → Bensheim → Mannheim → Speyer → Zbraslav

2 149,7

X3

Zbraslav → Neckarsteinach → Bad Dürkheim → Uchtelfangen → Überherrn → Hatzenbühl → Karlsruhe → Bruchsal → Mühlacker Pforzheim → Waldachtal → Zbraslav

1 891,0

X4

Zbraslav → Krumbach → Laupheim → Allmendingen → Altshausen → Bermatingen → Mühlheim am Donau → Tuttlingen → Endingen → Lahr → Kirchheim unter Teck → Nellingen → Heubach → Essingen → Zbraslav

1 756,0

X5

Zbraslav → Queis → Reinbek → Zbraslav

1 585,0

X6

Zbraslav → Hünfeld → Birstein → Tauberbischofsheim II → Tauberbischofsheim I → Schnelldorf I → Schnelldorf II → Zbraslav

1 459,6

X7

Zbraslav → Hersbruck → Lauf → Bamberg → Veitsbronn → Nürnberg → Wendelstein → Weissenburg → Pfronten → München → Arnbach → Wolnzach → Dingolfing → Hengersberg → Zbraslav

1 515,0

X8

Zbraslav → Dillingen → Crailsheim → Ebern → Freudenberg → Zbraslav

1 758,0


Návrh řešení

63

Z údajů uvedených v tabulce 18 je zřejmé, že jednotlivé linky nedokáží obsloužit veškerá odběrní místa v rámci jedné trasy v tentýž samý den. S přihlédnutím k počtu

ujetých

kilometrů

v těchto trasách

a k podmínkám

uvedeným

v nařízení č. 561 Evropského parlamentu dostupného na stránkách eurlex.europa.eu je jasné, že daný okruh může být obsloužen nejdříve ve dvou dnech. Avšak dodržování těchto podmínek je zcela vždy v kompetenci příslušného autodopravce a jeho řidičů. Z obsahu nařízení pro práci řidičů jsou podstatné tyto základní skutečnosti. Maximální doba řízení v jednom dni činí devět hodin, ale tuto dobu je možné prodloužit dvakrát týdně na deset hodin. Přestávky v řízení je nutné provádět vždy nejpozději po 4,5 h jízdy v délce 45 minut. Avšak mohou být čerpány i rozděleně. Denní doba odpočinku musí být čerpána každých 24 hodin a trvá 11 hodin. Tuto dobu odpočinku lze rozdělit na dva kratší úseky, z nichž jeden musí být alespoň v délce tří hodin a druhý devět hodin. Týdenní doba odpočinku trvá 45 hodin, může být i zkrácena na nejméně 24 hodin, ale nejpozději ve třetím týdnu od tohoto zkrácení nahrazena o počet hodin, o který bylo toto zkrácení provedeno. V nařízení je sledována i týdenní doba řízení, která v rámci jednoho týdne, tj. od pondělí do nedělní půlnoci, může být nejvíce 56 hodin. Za předpokladu, že průměrná rychlost nákladního vozidla je rovna 66 km/h7, zabere rozvoz výrobků po Německu za celý týden dohromady 214 h. Nutno podotknout, že tento údaj odpovídá pouze čisté době jízdy. Důležité je taky počítat i s časem nakládky a vykládky a zohlednit dobu odpočinku řidičů. Na základě realizace prvního i druhého kroku Mayerovy metody došlo tedy k novému přiřazení jednotlivých míst do rozvozových skupin i jinému pořadí vybraných spojení v rámci výsledných okružních tras. Toto nové řešení distribuce se podstatně odlišuje od dosavadního způsobu řešení distribuce podniku ABC. Výjimkou je pouze spojení míst Queis a Reinbek, které na základě žádosti podniku zůstalo nezměněno.

7

Údaje jsou dostupné z plánovače tras, který bere v úvahu i rychlostní omezení na příslušných

komunikacích dle právních předpisů.

Návrh řešení

5.3

64

Komparace současného a optimalizovaného řešení

Tato kapitola porovnává dosavadní způsob řešení distribuce užívaný podnikem ABC s nově navrženým řešením uvedeným v předcházející kapitole (5.2). Navrhované řešení víceokruhového okružního dopravního problému vychází z rozdělení celkové distribuční sítě na dílčí distribuční sítě D1 a D2. Toto rozdělení je dáno odlišnými dny v týdnu, v nichž probíhá nakládka hotových výrobků a v tomto případě zůstává současný a nově navržený stav řešení distribuce nezměněn. Naproti tomu struktura distribučních skupin stávajícího a navrhovaného řešení v rámci uvažované dílčí distribuční sítě je už podstatně odlišná a to jak z hlediska počtu, tak i obsahu obsluhovaných odběrních míst (viz obr. 7). Tato skutečnost naznačuje tomu, že nové řešení může být s použitím optimalizačních metod vhodnější.

Srovnání struktury distribučních skupin 14 12 Stávající řešení

10 Počet míst ve skupině

Nové řešení

8 6 4 2 0 1

2

3

4

5

6

7

8

Rozvozová skupina Obr. 7 Struktura distribučních skupin stávajícího a nového řešení Zdroj: Práce autora

Výsledky dosavadního způsobu řešení distribuce jednotlivých okružních linek v rámci dílčí distribuční sítě D1 jsou k dispozici v příloze práce č. 2. Celkový počet ujetých kilometrů v rámci současného stavu řešení distribuce dílčí sítě D1

Návrh řešení

65

činí v rámci jednoho týdne celkem 15 714 a předpokládá využití osmi vozidel od dvou autodopravců. Ceny autodopravy jsou v obou případech smluvní, odvíjí se především od požadované tonáže a vzdálenosti a jsou stanoveny sazbou za km. Bližší informace o využívaném vozovém parku přináší pak subkapitola 4.2.3. Celkové náklady spojené s přepravou výrobků hrazené podnikem příslušným autodopravcům v rámci současného řešení distribuce vychází z údajů uvedených v tabulce 19 a činí 278 125 Kč za týden. Tab. 19 Vyčíslení nákladů na distribuci v rámci současného řešení

Rozvozová Nosnost Počet ujetých Sazba Autodopravce Celkové náklady skupina č. (t) km (Kč/km) 1

D.Trans

06,5

01 585

18

028 530

2

Z. Sára

06,5

01 325

19

025 175

3

D.Trans

06,5

01 808

18

032 544

4

Z. Sára

06,5

02 643

18

047 574

5

D.Trans

03,0

01 573

13

020 449

6

Z. Sára

06,5

01 813

19

034 447

7

Z. Sára

06,5

02 325

18

041 850

8

Z. Sára

06,5

02 642

18

047 556

-

48,5

15 714

-

278 125

Celkem


Výsledky optimalizace nově navržených okružních linek jsou uvedeny v subkapitole 5.2.2. Podrobnější přehled vzdáleností mezi jednotlivými optimálně seřazenými místy je pak blíže rozepsán v příloze práce č. 5. Shrnutí tabulky 20 uvádí, že celkový počet ujetých kilometrů činí za týden 14 135 a to opět za využití osmi vozidel. Avšak všechna tato přiřazená vozidla už nedisponují kapacitou 6,5 t, čímž podniku u některých rozvozových skupin poklesne i cena placená příslušnému autodopravci. Celkové náklady na přepravu hrazené podnikem pak činí 249 102 Kč za týden.

Návrh řešení

66

Tab. 20 Vyčíslení nákladu na distribuci v rámci navrhovaného řešení

Rozvozová Nosnost Počet ujetých Sazba Autodopravce Celkové náklady skupina č. (t) km (Kč/km) X1

D.Trans

06,5

02 020,7

18

036 372,6

X2

Z. Sára

06,5

02 149,7

19

040 844,3

X3

Z. Sára

06,5

01 891,0

19

035 929,0

X4

Z. Sára

06,0

01 756,0

17

029 852,0

X5

D.Trans

06,5

01 585,0

18

028 530,0

X6

Z. Sára

06,0

01 459,6

17

024 813,2

X7

Z. Sára

06,5

01 515,0

18

027 270,0

X8

D.Trans

03,5

01 758,0

14,5

025 491,0

-

48,0

14 135,0

-

249 102,0

Celkem


Navrhované řešení tvorby okružních linek přináší oproti současnému stavu jisté úspory. Celkový počet ujetých kilometrů se za využití optimalizačních metod snížil o 1 579 za týden, což v přepočtu za rok činí 82 108 km. Na základě této skutečnosti se podniku otvírá možnost vzniku velké finanční úspory ve formě snížení nákladů na přepravu výrobků o 10,4 % ročně a tak i placení nižších finančních částek příslušným autodopravcům. Tato úspora nákladů by tedy ročně dosahovala částky 1 509 196 Kč. Srovnání současného a nově navrženého řešení přináší tabulka 21. Tab. 21 Srovnání současného a navrženého řešení distribuce

Počet vozidel

Celková kapacita vozidel (t)

Celková vzdálenost (km)

Náklady na přepravu (Kč)

Současné řešení

8

48,5

15 714

278 125

Nové řešení

8

48,0

14 135

249 102

Dílčí síť D1


Návrh řešení

67

Veškeré smluvní ceny autodopravy jsou uvedeny včetně sazeb DPH a dalších poplatků, které jsou spojeny s přepravou výrobků do jiného členského státu Evropské unie. Sazba dále také zahrnuje mzdu řidiče, spotřebu paliva, opotřebení vozidla a veškeré náklady spjaté s údržbou vozidla. Výsledky optimalizace nepředstavují pouze úsporu pro společnost ABC, ale také pro autodopravce. S nižším počtem ujetých kilometrů úzce souvisí i snížení nákladů příslušného autodopravce na pohonné hmoty a zkrácení čisté8 doby jízdy řidičů. V obecné rovině řešení, kdy je známá celková týdenní ujetá vzdálenost současného a nově navrženého řešení dílčí distribuční sítě D1 na straně jedné a také průměrná rychlost jednoho vozidla na straně druhé, se tato celková týdenní čistá doba jízdy zkrátí z 238 hodin na 214 hodin, tj o 10,1 %. Jak bude využit tento ušetřený čas řidičů je již plně v kompetenci jejich zaměstnavatelů. Další otázkou, která tu vyvstává je problematika menšího opotřebení automobilů, které však řeší vlastník vozidla, tedy příslušný autodopravce.

8

Není uvažován čas nakládky a vykládky výrobků a doba odpočinku řidičů.

Diskuse

68

6 Diskuse Dosavadní způsob tvorby distribučních sítí ABC vychází z rozdělení celkové sítě na dvě dílčí distribuční sítě, které jsou rozděleny do několika rozvozových skupin, jež jsou tvořeny vždy konkrétními odběrními místy a jedním vozidlem. Každá skupina je upravována do výsledných linek, které tvoří okruh. Tvorba těchto okružních tras je spíše výsledkem subjektivních znalostí a zkušeností vedení podniku ABC, než-li exaktních metod či optimalizačního softwaru. Avšak toto logické rozdělení distribuční sítě na dílčí celky svědčí o tom, že tu existuje ze strany podniku určitá snaha o úsporu nákladů, i když dosavadní řešení nemusí být optimální. Tyto snahy směřující k úspoře jsou důsledkem outsourcování rozvozu v ABC, kdy veškeré náklady spojené s distribucí jsou hrazeny právě tímto podnikem příslušnému autodopravci. Předpokládaný návrh konečného řešení vychází jednak z analýzy struktury tvorby a rozdělení dosavadních distribučních sítí podniku, která shrnuje základní charakteristiky distribuce. A dále z aplikace a srovnání výsledků několika použitých optimalizačních metod. Získané informace jsou podstatné pro určení omezujících faktorů a zároveň možností pro tvorbu optimalizovaných distribučních sítí. Výsledný návrh řešení tedy koresponduje s řešením víceokruhového okružního dopravního problému. Vzhledem k počtu obsluhovaných míst se práce zaměřuje pouze na optimalizaci jedné dílčí distribuční sítě. Optimalizace druhé by totiž probíhala obdobným způsobem. Zda je tento současný stav rozdělení dílčí distribuční sítě do rozvozových skupin optimální, bylo ověřeno s využitím Mayerovy metody. Mayerova metoda je pro řešení víceokruhových okružních dopravních úloh přímo předurčena. Avšak jelikož tato metoda umožňuje pouze rozdělit jednotlivá místa dílčí distribuční sítě do dílčích distribučních skupin, je zpravidla využívána v kombinaci s některou další metodou určenou k řešení jednookruhové okružní dopravní úlohy. Za využití optimalizačních metod je navrženo nové řešení distribuce, které se z pohledu ušetřených nákladů ve výši 29 023 Kč za týden, resp. 1 509 196 Kč za rok, budeme-li uvažovat 52 týdnů, jeví pro podnik jako výhodnější. Tento

Diskuse

69

fakt je podepřen zejména skutečností, že s využitím Mayerovy metody je dílčí distribuční síť D1 rozdělena do osmi rozvozových skupin a distribuční místa zařazená v původní rozvozových skupinách a nově vytvořených rozvozových skupinách se značně liší jak do počtu, tak i obsahu. Odběrní místa v nově vytvořených skupinách jsou následně pomocí programového nástroje STORM optimálně seřazena a to s cílem minimální dopravní náročnosti. Pokud by nastala situace, kdy by nebylo nutné v daný den distribuovat výrobky do některých odběrních míst, je pak nezbytné z konkrétní rozvozové skupiny vybrat pouze taková místa, která mají být v daný den obsloužena. Tento problém lze vhodně řešit s využitím maker v Excelu, která umožňují získat z výchozí matice jednotlivé submatice o požadované velikosti a obsahu. Naproti tomu při každém případném rozšíření distribuční skupiny o nové odběratelé není možné pouze jen nová odběrní místa do již vytvořených dílčích distribučních celků přiřazovat. Naopak je třeba vytvořit nové dílčí celky, přičemž tvorba by měla vycházet z celé rozšířené distribuční sítě. Tento problém lze řešit i tak, že by k rozdělení distribuční sítě do dílčích sítí nedocházelo a odběrní místa, která by daný okruh tvořila, by byla vybírána z celé distribuční sítě. Výše uvedený postup by byl možný pouze za předpokladu, že by optimalizace distribuce v podniku byla řešena s pomocí specializovaného softwaru. Vzhledem k požadavku vedení získat přijatelné řešení v krátkém čase, by pro ABC byl vhodný program STORM. Omezená verze tohoto programu je volně dostupná na internetu. Avšak společnost Storm Software, Inc. nabízí na svých webových stránkách www.storm-inc.com i novější a rozšířenější verze programu, které jsou už ovšem zpoplatněné. Cena za použití tohoto softwaru činí 19,97 GBP měsíčně, tedy v přepočtu při aktuálním kurzu na devizovém trhu k 19. 5. 2013 dle ČNB (www.cnb.cz) to činí 614,357 Kč. Přičemž pokud se některý měsíc STORM nevyužívá, tak se tato částka neplatí. Na základě získaných výsledků by pro podnik tato investice nebyla určitě ztrátová. Dosažené výsledky ukazují, že optimalizační metody lze využívat jako významnou metodickou podporou rozhodování o problémech nejen v oblasti dopravy, ale i dalších oblastech logistického systému na všech úrovních řízení.

Diskuse

70

Avšak je nutné zdůraznit, že rozhodování ABC i jiných ekonomických subjektů se řídí podle určitých kritérií a optimalizace podle určitého kritéria nepovede nutně k optimalizovanému stavu dle kritérií jiných.

Závěr

71

7 Závěr Tématem prezentované diplomové práce je problematika možností využití metod operačního výzkumu při tvorbě distribučních sítí. Hlavním cílem práce je návrh nového řešení distribučních tras podniku ABC za využití vhodných metod operačního výzkumu, jež jsou zaměřeny na optimalizaci úloh daného typu. Východiskem pro zpracování praktické části práce jsou teoretické poznatky získané studiem odborné literatury a informace získané rozborem dosavadního způsobu struktury tvorby a rozdělení distribučních tras. Na základě získaných poznatků jsou shrnuty základní charakteristiky distribuce, které jsou podstatné pro určení omezujících faktorů a možností pro tvorbu distribučních sítí. Samotný návrh konečného řešení vychází ze srovnání výsledků několika optimalizačních metod a koresponduje s řešením víceokruhového okružního problému. Modelovaný problém zpracovaný v diplomové práci je tedy vícenásobnou variantou okružní úlohy s jedním centrální místem, 74 odběrními místy a osmi vozidly. Distribuční síť podniku je rozdělena na sítě dílčí, v rámci nichž jsou tvořeny rozvozové skupiny. Tvorba těchto skupin je založena na Mayerově metodě. Rozvozové skupiny jsou následně upravovány do výsledných okružních linek s cílem minimální dopravní náročnosti. Optimální seřazení míst v jednotlivých trasách je realizováno prostřednictvím programu STORM. Využití optimalizačních metod při řešení okružního dopravního problému prokazuje, že tvorba distribučních tras založených pouze na zkušenosti a intuici, není zpravidla optimální. Navrhované rozdělení distribuční sítě do nových rozvozových skupin vede oproti stávajícímu řešení k odlišné skladbě míst v distribučních skupinách a tedy i k odlišnému řazení míst na příslušné trase. Díky těmto skutečnostem tu vzniká prostor ke snížení počtu najetých kilometrů, nižší spotřebě času, ale hlavně k podstatnému snížení finančních částek placený společností ABC příslušným autodopravcům. Využití optimalizačních metod je vhodné nejenom díky tomu, že přináší většinou lepší finální výsledky řešení distribučních úloh, ale je schopné odhalit chyby a stát se významnou metodickou podporou rozhodování o optimalizačních problémech dopravy a logistiky.


72

8 Použitá literatura [1] ANTOŠOVÁ, R. The Various Types of Heuristics Used for the Multiple Traveling Salesman Problem. [CD-ROM]. In PEFnet 2011: European Scientific Conference of Ph.D. Students. ISBN 978-80-7157-743-0. [2] ANTOŠOVÁ, R., HOLOUBEK, J. Využití Mayerovy metody při řešení víceokruhového

okružního

dopravního

problému.

In

Sborník

příspěvků

z mezinárodního vědeckého semináře "Kvantitativní metody v ekonomii 2010". 1. vyd. Brno: Mendelova univerzita v Brně, 2010. 104 s. ISBN 978-80-7375438-9. [3] DEVLIN, K. Problémy pro třetí tisíciletí: sedm největších nevyřešených otázek matematiky. 1. vyd. Praha: Dokořán, 2005. 269 s. ISBN 80-7363-016-8. [4] DUBOVÁ, J. Optimalizace dopravních tras pekárenského podniku. Bakalářská práce. Brno: Mendelova univerzita, 2011. [5] GUTIN, G., PUNNEN, A. P. The traveling salesman problem and its variations. New York: Springer, 2007. 830 s. ISBN 978-0-387-44459-8. [6] GROS, I. Kvantitativní metody v manažerském rozhodování. 1. vyd. Praha: Grada, 2003. 432 s. ISBN 80-247-0421-8. [7] HOLOUBEK, J. Ekonomicko-matematické metody. 1. vyd. Brno: Mendelova zemědělská a lesnická univerzita, 2006. 153 s. ISBN 978-80-7157-970-0. [8] HOLOUBEK, J., ZACH, P. Using Excel to reduce a Square Matrix. Acta Universitatis Agriculturae et Silviculturae Mendelianae Brunesis. 2012. Sv. 60, č. 4, s. 109–114. ISSN 1211-8516. [9] JABLONSKÝ, J. Operační výzkum. 2. vyd. Praha: Vysoká škola ekonomická, 1998. 297 s. ISBN 80-7079-597-2. [10] KUBÍČKOVÁ, L. Obchodní logistika. 1. vydání. Brno: Mendelova zemědělská a lesnická univerzita, 2006. 93 s. ISBN 80-7157-952-1. [11] LAŠČIAK, A. Optimálne programovanie. 1. vydání. Bratislava: Alfa, 1983. 597 s. [12] LAUBER, J., JABLONSKÝ, J. Programy pro matematické modelování I. 1. vyd. Praha: VŠE, 1997a. 233 s. ISBN 80-7079-296-5.


73

[13] LAUBER, J., JABLONSKÝ, J. Programy pro matematické modelování II. 1. vyd. Praha: VŠE, 1997b. 251 s. ISBN 80-7079-213-2. [14] PERNICA, P a kol. Arts Logistics. 1. vydání. Praha: Oeconomica, 2008. 426 s. ISBN 978-80-245-1412-3. [15] PLEVNÝ, M., ŽIŽKA, M. Modelování a optimalizace v manažerském rozhodování. 1. vyd. Plzeň: Západočeská univerzita, 2005. 298 s. ISBN 80-7043-435-2. [16] RAŠOVSKÝ, M., ŠIŠLÁKOVÁ, H. Ekonomicko-matematické metody. 1. vyd. Brno: Mendelova lesnická a zemědělská univerzita v Brně, 1999. 195 s. ISBN 807157-412-0. [17] STEVENSON, W. J., OZGUR, C. Introduction to management science with spreadsheets. Boston: McGrow-Hill/Irwin, 2007. 812 s. ISBN 978-0-07-299066-9. [18] ŠUBRT, T. Ekonomicko matematické metody II: aplikace a cvičení. 2. vyd. Praha: Česká zemědělská univerzita. 2001. 148 s. ISBN 80-213-1721-8. [19] ZÍSKAL, J., HAVLÍČEK, J. Ekonomicko matematické metody II. 2. vyd. Praha: PEF Česká zemědělská univerzita v Praze, 2010. 204 s. ISBN 80-213-0664-6.

[20] Česká národní banka [online]. 2013 [cit. 2013-05-19]. Kurzy devizového trhu. Dostupné na http://www.cnb.cz/cs/financni_trhy/devizovy_trh/kurzy_devi zoveho_trhu/denni_kurz.jsp. [21] EUR-Lex. europa. eu [online]. 2013 [cit. 2013-04-04]. Nařízení Evropského parlamentu

a rady

(ES)

č. 561/2006.

Dostupné

na http://eur-

lex.europa.eu/LexUriServ/LexUriServ.do?uri=OJ:L:2006:102:0001:0013:CS:P DF. [22] Mapy.cz [online]. 2005 [cit. 2013-03-01]. Plánovač tras. Dostupné na http://www.mapy.cz/. [23] Storm Software, Inc. [online]. 2010 [cit. 2013-05-01]. STORM Overview. Dostupné na http://www.storm-inc.com/.

Využití metod operačního výzkumu v logistice

Recommend Documents