Využití informačních technologií ve výuce matematiky

Využití informačních technologií ve výuce matematiky

PaedDr. Jiří Vaníček, Ph.D.

22. 02. 2011

Tento materiál obsahuje stěžejní kapitoly kurzu. Komplet všech kapitol včetně rozšiřujícího učiva a včetně souborů s geometrickými konstrukcemi a příklady je k dispozici v e-learningovém prostředí kurzu nebo na CD s materiály kurzu.

Strana 1

Úvodní slovo pro studenta:

Vážená paní kolegyně, vážený pane kolego, vítám Vás v kurzu dalšího vzdělávání, který by měl ukázat, jak lze používat technologie ve výuce matematiky na 2. a 3. stupni. Podíváme se, jak se učí pomocí počítače ve světě, jaké počítačové programy jsou vhodné pro výuku, naučíme se jeden z nich ovládat, tak abyste mohli po skončení kurzu vyzkoušet vlastní výuku se svými svěřenci. K dispozici jsou pro Vás připraveny učební texty a cvičení, ve kterých budete zkoušet v roli žáků u počítače vyřešit úlohy. Budeme ukazovat, jaké faktory mohou ovlivnit Vaši výuku na základě jakých pedagogických teorií a zkušeností si můžeme dovolit tvrdit, že výuka pomocí počítače je často nejen zábavnější, ekonomičtější, ale že dokáže naučit matematiku. Dozvíte se o zdrojích výukových materiálů na Internetu, které si budete moci stáhnout a upravit k vlastnímu použití. Na závěr kurzu budete mít za úkol připravit výukovou pomůcku pro výuku některého matematického tématu nebo poznatku tak, aby žáci pracovali s počítačem a učili se přitom matematiku. Tyto práce budete na konci kurzu prezentovat ostatním účastníkům. Přejeme Vám hodně radosti při objevování, jak počítače dokážou učiteli pomoci učit matematiku, vést vyučování a motivovat své žáky pro studium matematiky. Držíme Vám palce, aby Vaše počítače sloužily a používaný software nezlobil. Přejeme Vám pěkné zážitky z objevování, ale i překonávání sebe sama v problémových situacích, ke kterým možná dojde. Věříme, že si z kurzu odnesete chuť do další práce, že získaná odbornost se promítne do spokojených tváří Vašich žáků, kteří si učitele používajícího počítač jistě budou cenit.

Jiří Vaníček

Cíle: Cílem vzdělávacího programu je orientovat učitele v problematice, vybavit jej přehledem v typech software využívaného ve výuce v Evropě. Vybavit jej kompetencemi v ovládání alespoň jednoho základního typu programu na úrovni umožňující tvorbu vlastních materiálů, u dalších typů na úrovni porozumění jejich přínosu a využitelnosti se schopností posoudit jejich přínos pro výuku, pro učení žáků, tvorbu nových pojmů. Program seznamuje s možnostmi nasazení počítače jako učební pomůcky v matematice na druhém stupni základní školy a na střední škole, s organizačním uspořádáním a metodickými postupy výuky. Jádrem kurzu jsou bloky praktického seznámení a práce s reprezentanty jednotlivých tříd matematického výukového software: s prostředím dynamické geometrie, na úrovni seznámení s počítačovými algebraickými systémy, mikrosvěty želví grafiky, tabulkovými procesory, uzavřenými výukovými prostředími (matematickými hrami). Těžištěm modulu bude individuální vlastní tvůrčí a konstrukční práce v software Geogebra, doplněná objevováním, prohlížením hotových prací, v některých dalších typech software formou řešení krátkých úkolů.

Strana 2

1 Úvod do kurzu V této kapitole se seznámíme s prací v tomto e-learningovém prostředí, prohlížení a čtení článků, spouštění externích odkazů. Nainstalujete si software, který budete během kurzu používat, a ve kterém na konci kurzu vytvoříte závěrečnou práci. Tento software si vyberete tak, aby Vás nestál ani korunu a přitom jste jej mohli používat ve své výuce. V cvičení si prohlédnete některé matematické hry pro zpestření výuky (a pro účely kurzu se tím zdokonalíte v jeho ovládání).

Cíle: Cílem pro účastníka je: - získat představu o tom, jakým způsobem se učí matematika pomocí počítače - nainstalovat a vyzkoušet si software pro výuku geometrie

Obsah kurzu Pokyny ke studiu článků: K řadě studijních článků jsou přidány obrázky, které najdete ve zvláštním rámu - je to vlastnost prostředí, ve kterém je tento kurz vytvořen. Obrázky i s popisky jsou v textu číslovány shodně s čísly na ikonách v levém rámu. Obrázky je občas nutno si lupou zvětšit do skutečné velikosti, aby byla jemná grafika dobře viditelná. Kromě obrázků jsou v textu také originální soubory k prohlížení přímo v prostředí konkrétní počítačové aplikace. Je-li aplikace správně nainstalována, stačí klepnout na odkaz a soubor se správně zobrazí.

Cíle: vytvoření úvodního přehledu o kurzu, jeho struktuře a časovém rozložení.

Vítejte Vítáme Vás v kurzu, zaměřeném na trénink učitelských dovedností v používání počítače při výuce matematiky. Držím Vám palce, abyste kurz zvládli, ale především aby Vás dokázal natolik naladit, abyste si našli svoji parketu a abyste byli po jeho skončení ochotni používat počítač ve výuce a dál se s počítačem na výuku připravovat

Strana 3

Časový harmonogram kurzu: 4 h úvodní setkání 12 h e-learning 4 h synchronizační setkání (uprostřed kurzu) 12 h e-learning 4 h vypracování závěrečné práce (doma) 4 h závěrečné soustředění

Obrázek 1.1-1 Pojmová mapa kurzu

2 Prostředí dynamické geometrie Základy práce s geometrickými konstrukčními nástroji V této kapitole se naučíte základní práci v dynamickém geometrickém prostředí, v Geogebře. Abyste mohli porozumět dalším kapitolám (např. o odlišnosti práce s počítačem od geometrie tužky a papíru, o dynamice v geometrii nebo didaktickým

Strana 4

kapitolám o formách práce, potřebujete umět v prostředí pracovat. Nyní se naučíte rýsovat jednoduché figury, vesměs takové, jejichž postup již znáte.

Cíle: Orientovat se v prostředí počítačové aplikace. Zvládnout základní konstrukce. Porozumět filozofii práce v aplikaci dynamické geometrie.

2.1 Základy rýsování v Geogebře Zde je úvodní stručný kurz rýsování v Geogebře. Po něm bude následovat sada rýsovacích cvičení.

Cíle: Naučit se ovládat prostředí programu a rýsovat jednoduché figury. Podrobnou nápovědu pro program Geogebra najdete na webu: http://www.geogebra.org/help/docucz/

Zde následuje pouze stručný výklad, který může sloužit jako vysvětlivky pro Vaše vlastní rýsování v následujících cvičeních.

Prostředí GeoGebra Interaktivní geometrický náčrtník má v horní části lištu s geometrickými nástroji.

Obrázek 2.1-1 Rozbalená nabídka rýsovacích nástrojů v Geogebře Vlevo je algebraické okno, vlevo nahoře je nástroj Ukazovátko.

Strana 5

Okno vlevo s popisem objektů je možno vypnout (nabídka Zobrazit/Algebraické okno), stejně tak je možno vypnout příkazový řádek dole (nabídka Zobrazit/Vstupní pole). Pokud necháte okno algebraické okno zobrazené, automaticky se vytváří popis všeh nových objektů, při vypnutém okně se popis nevytváří. Klepnutím na malý trojúhelníček na ikoně nástroje (trojúhelníček zčervená) se rozbalí nabídka dalších rýsovacích nástrojů. Všimněte si, že konstrukční nástroje (Kolmice, Střed úsečky, Rovnoběžka ...) najdete pohromadě, pod jednou ikonou. Stejně tak zobrazení (osová souměrnost, posunutí, otočení) najdete pohromadě. Formátovací nástroje (barva objektů, jejich velikost, viditelnost apod.) najdete v kontextovém menu (klepnout pravým tlačítkem na objekt, položka Vlastnosti).

Nový objekt Většinou se pracuje tak, že se vybere rýsovací nástroj a pak klepne myší do plochy (jednou nebo několikrát, podle typu nástroje). Dobrou pomůckou je nápověda, která v části 3.2 poradí, jak zacházet s vybraným rýsovacím nástrojem. Nápověda se zapíná z nabídky Nápověda nebo klávesou F1. Vytvořeným objektem můžete pohybovat po nákresně při zapnutém nástroji Ukazovátko (úplně vlevo). Začátečníkům dělá problém přepínání do režimu Ukazovátka - režimu hýbání s objekty. Často chtějí pohnout s objektem, ale protože mají zapnutý jiný nástroj, místo toho např. vytvoří nový bod apod.

Obrázek 2.1-2 Znázorně ěné uchopení a táhnutí objektu rozfázovaný pohyb přímky, tažené myší za bod B po nákresně

Strana 6

Závislost objektů Některé objekty jsou závislé na předchozích. Stále zachovávají svůj vztah k tzv. objektu, kterým jsou určeny (např. kolmý, leží na objektu, rovnoběžný, je středem úsečky apod.), a také přestávají existovat, když přestane existovat objekt, na němž jsou závislé. Např. vytvoříme-li přímku b jako kolmici na jinou přímku a, bude tato přímka b stále kolmá na přímku a i po manipulaci. Když ovšem smažeme přímku a, smaže se automaticky i přímka b, protože je přímkou a definovaná. Přiblíží-li se myš k objektu, objekt vytvoří stín (obr. 3). Vystínování usnadňuje orientaci na nákresně při rýsování nových objektů: pomáhá určit, zda opravdu ukazujeme na objekt, který potřebujeme označit.

Mazání objektů Objekt na nákresně můžete označit (klepnutím myší nebo zatržením oblasti). Označené objekty se mohou smazat klávesou Delete.

Obrázek 2.1-3 Označení více objektů zatržením obdélníkem (bod B, úsečka) v blízkosti kurzoru myši se objekt vystínuje

Skrytí objektů Objekty na nákresně lze zneviditelnit, skrýt. Režim Ukázat/Skrýt objekt najdete vpravo na liště nástrojů. Přepnete-li do tohoto režimu, neviditelné objekty jsou vystínován. Klepnutím na objekt jej nastavíte jako neviditelný, klepnutím na "neviditelný" vystínovaný objekt jej opět zviditelníte. Režim Ukázat/Skrýt objekt ukončíte např. volbou nástroje Ukazovátko.(obr. 4)

Strana 7

Obrázek 2.1-4 Režim Ukázat/Skrýt objekt vystínovaný bod B a úsečka budou skryty

Rozdíl mezi smazaným a skrytým objektem je následující: Smazaný objekt přestal existovat, zrušily se všechny vazby mezi tímto objektem a dalšími objekty. Skrytý objekt však stále udržuje vazby s ostatními, objekty na něm závislé stále existují. Např. představme si, že máme sestrojenu kružnici trojúhelníku opsanou, zkonstruovanou pomocí dvou os stran. Jestliže smažeme jednu osu strany, zanikne i kružnice. Když osu strany skryjeme, osa vidět nebude, ale kružnice se bude chovat správně.

Ukládání figury Stejně jako jiné programy, Geogebra umožňuje uložit práci do souboru. Nový obrázek je vhodné začít příkazem Soubor/Nový.

Posouvání nákresny a zoom Nákresna se posouvá nástrojem Posunout nákresnu (pravý sloupec nástrojů). Zoom lze realizovat nástroji Zvětšit a Zmenšit (tamtéž).

.

Strana 8

2.2 Terminologie Občas se v textu vyskytnou nová slova, která by mohla být nesrozumitelná. V našem slovníčku jsou objasněna, je vysvětleno, v jakém významu se používají.

Cíle: Prostudovat slovníček termínů používaných v kurzu.

Obrázek 2.2-1 Geometrická figura Na obrázku je geometrická figura vzniklá geometrickou konstrukcí

Slovníček některých pojmů figura - v kurzu rozlišujeme pojmy obrázek a figura. Počítačová geometrická figura je množina objektů, zobrazovaných na nákresně (geometrických obrazců, čísel, textových polí apod.), obrázek je statický grafický objekt umístěný v textu knihy. Můžeme říci, že obrázek zobrazuje geometrickou figuru, dva různé obrázky mohou znázorňovat tutéž figuru v různých situacích (z různého úhlu pohledu nebo před a po manipulaci). Odlišením termínů obrázek a figura chceme zdůraznit dynamiku figury. Figura může být vnímána jako určitá situace na nákresně, ovšem s tím drobným rozdílem, že situaci lze chápat jako vztahující se k nákresně, zatímco figura je svébytná. Např. v 3D prostředí lze situaci (mající vliv např. na řešení úlohy) změnit pouhou změnou pozorovacího úhlu, zatímco figura se nezměnila.

Strana 9

konstrukce - proces vzniku figury; figura je vnímána jako výsledek geometrické konstrukce. Zavedení pojmu figura zabraňuje terminologickým nepřesnostem, kdy by termín konstrukce mohl být užíván pro proces i jeho výsledek (např. „na obrázku je hotová geometrická konstrukce čtverce“).

manipulace - pohybování s figurou s cílem změnit její polohu a tvar. Manipulace se provádí buď přímo, uchopením a táhnutím některého z objektů myší, nebo nepřímo, např. změnou číselných parametrů figury nebo použitím nástrojů animace.

2.3 První konstrukce V tomto a dalších cvičením rýsujte podle postupu, který je popsán v zadání.

Cíle: Prakticky vyzkoušet poznatky z minulého článku. Porozumět filozofii práce při rýsování v počítači.

První konstrukce V tomto a dalších cvičeních rýsujte podle postupu, který je popsán v zadání. Otevřete si prostředí programu a začněte na čistý list. Vždy vyberte vhodný nástroj z nabídky a pak označujte na nákresně.

Konstrukce podle postupu 1. Sestrojte dvě kružnice s pevným poloměrem (nápověda: viz Tipy pro řešení). 2. Vyberte nástroj Ukazovátko (první ikona zleva nebo klávesa [Esc]). Posuňte jednu z kružnic tak, aby se protínaly. 3. Sestrojte průsečíky kružnic a těmito průsečíky veďte přímku. 4. Sestrojte volný bod někde na nákresně a tímto bodem veďte kolmici na přímku.

Strana 10

Obrázek 2.3-1 První konstrukce příklad figury po bodu konstrukce č. 4

Manipulace s figurou Uchopte jednu z kružnic a pohybujte s ní. Zjistíte, že: a) jestliže se kružnice neprotínají, přestávají existovat průsečíky, přímka i kolmice. b) jakmile se kružnice protnou, přímky se opět objeví. c) (pohybujte jednou kružnicí tak, aby kroužila kolem druhé a přitom ji protínala) jestliže se spojnice průsečíků vlivem manipulace naklání, kolmice zůstává stále kolmá a stále prochází volným bodem.

Skrytí objektu 1. Skryjte přímku - spojnici průsečíků (vyberte odpovídající nástroj). 2. Vyberte nástroj Ukazovátko, uchopte jednu z kružnic a tahejte s ní. Zjistíte, že: a) ačkoliv přímka není vidět, kolmice se pohybuje, takže vztahy mezi objekty zůstaly zachovány. 3. Zobrazte skrytou přímku - v režimu skrytí objektů na ni klepněte myší.

Strana 11

Smazání objektu Označte myší jeden z průsečíků a klávesou Delete jej smažte. Zjistíte, že: a) smazal se tento průsečík b) smazaly se i objekty na něm závislé (obě přímky). c) volný bod zůstal zachován, protože není na průsečíku závislý.

Kružnice daná středem a poloměrem: nástroj Kružnice daná středem a poloměrem nabízí okno, do něhož napíšete velikost poloměru.

Manipulace s figurou Na rozfázovaném obrázku je patrné táhnutí kružnice kolem druhé. Je vidět, že přímky jsou stále na sebe kolmé. Chcete-li také vidět "rozfázovaný" pohyb, pravým tlačítkem myši kleněte na objekt a volte položku Stopa vypnuta. Stejným způsobem ji potom zase odstraníte.

Obrázek 2.3-2 Táhnutí za jednu z kružnic kolem druhé je vidět, že přímky jsou stále na sebe kolmé

Strana 12

2.4 Kružnice opsaná Další cvičení seznamující s prací v prostředí.

Cíle: Rozlišení překrývajících se objektů

Zadání:

Sestrojte kružnici trojúhelníku opsanou Použijte standardní postup: 1. sestrojte libovolný trojúhelník 2. poté tři jeho osy stran 3. průsečík těchto os je středem kružnice 4. kružnici se středem v průsečíku a procházející jedním vrcholem.

Obrázek 2.4-1 Kružnice trojúhelníku opsaná

Strana 13

5. Táhnutím vyzkoušejte, zda je kružnice opsaná pořád. 6. Táhněte jeden vrchol trojúhelníka tak, aby prošel mezi zbývajícími dvěma. Poloměr kružnice přejde "přes nekonečno" (žáci jedné třídy tímto způsobem "zkoumali", co je "za nekonečnem").

Problém průsečíku více objektů Při konstrukci jste patrně narazili na problém, že počítač neuměl označit průsečík všech tří os. Počítač pracoval správně, nemůže totiž vybrat průsečík současně tří objektů. Jak víme, průsečík je množinově průnik, a ten je definován jako průnik DVOU množin. Z geometrického pohledu, počítač "neví", že tři osy, které se protínají v jednom bodě, se tak budou protínat vždy, i po manipulaci. Je nutno označit jen dvě ze tří os. Geogebra nás nechá vybrat jednu z os a na tu bod umístí (tedy nepůjde o průsečík). Průsečík z více překrývajících se objektů sestrojíme nástrojem Průsečíky dvou objektů (pod nástrojem Bod)

Obrázek 2.4-2 Průsečík více objektů v Geogebře Objeví se nabídka objektů, vytvoří se bod na vybraném objektu

Strana 14

Tipy pro řešení: Osy Nejprve sestrojte pouze DVĚ osy místo všech tří. Ke konstrukci stačí a vyhnete se potížím naznačeným v zadání.

Trojúhelník v Geogebře Použijte nástroj Mnohoúhelník. Ten ukončíte klepnutím na první sestrojený vrchol.

2.5 Osová souměrnost Na lehké úloze si vyzkoušejte vytvářet obrazy v osové souměrnosti.

Cíle: Zvládnout používání nástroje Osová souměrnost

Zadání:

Housenka Rýsujte podle postupu 1. Sestrojte čtyřúhelník (nástrojem Mnohoúhelník, poslední vrchol klepněte do prvního). 2. Sestrojte obraz mnohoúhelníka podle některé jeho strany (nástroj Osová souměrnost, klepněte na mnohoúhelník, pak na jeho stranu). 3. Opakujte několikrát, vytvářejte další obrazy tak, abyste dostali řadu čtyřúhelníků. 4. Pohybujte vrcholy vzoru a pozorujte. Nastavte nějaký zajímavý tvar a uložte.

Obrázek 2.5-1 Housenka několikanásobná osová souměrnost

Tipy pro řešení: V Geogebře se mnohoúhelník označuje klepnutím dovnitř útvaru.

Strana 15

2.6 Posunutí Až sestrojíte vzor i obraz, vyzkoušejte pohybovat jak krajními body vektoru, tak celým vektorem posunutí. Možná uvidíte rozdíl mezi vektorem a jeho umístěním.

Zadání: Až sestrojíte vzor i obraz v této úloze, vyzkoušejte pohybovat jak krajními body vektoru, tak celým vektorem posunutí. Možná uvidíte rozdíl mezi vektorem a jeho umístěním.

Parta krokodýlů Rýsujte podle postupu: 1. Sestrojte mnohoúhelník tvaru krokodýla (ježka, myši, jiného zvířete). 2. Mimo tento útvar sestrojte vektor (nástroj Vektor). 3. Sestrojte obraz mnohoúhelníka v posunutí o vektor; nástroj Posun ve směru vektoru, označte mnohoúhelník a pak vektor). 4. Sestrojte obraz obrazu podle stejného vektoru. 5. Opakujte vytváření dalších obrazů podle stejného vektoru. Vyzkoušejte svůj dynamický model: 1. Měňte tvar mnohoúhelníku - vzoru. Ostatní krokodýli by se měli také měnit. 2. Hýbejte krajními body vektoru. 3. Uchopte vektor a přemístěte jej. Proč se teď nic nepohybuje

Obrázek 2.6-1 Řetě ězené posunutí jeden vzor a více obrazů posunutých podle stejného vektoru

Strana 16

Vysvětlení Figura obsahuje dva vzájemně nezávislé objekty: vektor a mnohoúhelník. Dále obsahuje obrazy mnohoúhelníka v posunutí o tento vektor. Figura slouží k předvedení rozdílu mezi vektorem a jeho umístěním: Při uchopení vektoru myší mimo jeho krajní body a táhnutí se obraz mnohoúhelníka nepohybuje, zatímco při táhnutí za krajní bod vektoru se obraz přemísťuje. V prvním případě se mění pouze umístění vektoru, nikoliv vektor jako takový (posunutí je dáno vektorem a jestliže se poloha obrazu nemění, nemůže se měnit posunutí a tudíž ani vektor posunutí). Uchopením za krajní bod vektoru se již poloha obrazu mění, mění se tedy i vektor.

2.7 Další cvičení Chcete-li dále trénovat, nabízíme několik námětů na nesložité úlohy (dobrovolné).

Cíle: Dobrovolné procvičení dovedností při práci s tímto software pro ty, kteří se opravdu chtějí zlepšovat a mají trochu času ...

Zadání: 1. Sestrojte kružnici trojúhelníku vepsanou 2. Je dána úsečka. Sestrojte čtverec, jehož jednou stranou (úhlopříčkou) je daná úsečka. 3. Je dána kružnice a bod. Sestrojte tečny z tohoto bodu ke kružnici. 4. Je dána úsečka. Sestrojte rovnostranný trojúhelník, jehož jednou stranou (výškou) je daná úsečka.

Obrázek 3.1-1 Prostředí dynamické geometrie Cabri II (ke kap. 3)

Strana 17

3 Přehled typů výukových programů pro výuku matematiky Zde bychom rádi ukázali "v akci" různé výukové materiály a prostředí, která se používají v různých oblastech výuky matematiky. To ovšem s sebou nese problém: řada produktů není zdarma a prakticky všechny je třeba zase na počítač nainstalovat. Toho se chceme vyvarovat, proto uděláme kompromis a většinou ukážeme náhledy takových prostředí a stručně popíšeme. K některým z nich se v průběhu kurzu vrátíme.

Cíle: Seznámit se s pestrou nabídkou software různého typu, umět rozlišit jednotlivé typy a jejich použitelnost.

3.1 Matematický software a jeho třídění V tomto textu zavedeme pojem matematický software, vysvětlíme jeho aspekty a především uvedeme různé druhy matematického software, tak jak se používají ve světě. Ke každému druhu je připraven obrázek a stručný popis spolu se seznamem typických reprezentantů (produktů), které může škola zakoupit. V tomto kurzu se nebudeme moci seznámit s ovládáním všech těchto druhů mj. proto, že řada z těchto programů není zadarmo. V dalších kapitolách se naučíme ovládat jeden z nich a na něm ukázat didaktické možnosti počítače.

Cíle: Zde by si posluchač měl udělat představu o šíři a pestrosti matematického software, aby se orientoval v odborných termínech pojmenovávajících jednotlivé druhy tohoto software.

Třídění matematického software Mezi technologie používané ve výuce matematiky jsou zahrnovány následující typy aplikací:

1 Počítačové algebraické systémy (CAS, computer algebra systems), aplikace, které provádějí numerické i symbolické výpočty, např. upravují výrazy a řeší rovnice a matice, kreslí grafy funkcí, číselné výsledky zobrazují přesně (nikoliv aproximovaně v desetinných číslech jako kalkulačky) a zvládají opravdu vysokou matematiku. Jsou představované např. produkty Mathematica, Maple, Derive, Matlab, Maxima.

2 Prostředí dynamické geometrie (DGE, dynamic geometry environment), aplikace sloužící k rychlému a přesnému rýsování geometrických figur podle zásad konstrukční geometrie. Obsahují nástroje pro pohyb, umožňují manipulaci s hotovou figurou, měří a výsledky výpočtů opět v konstrukcích používají. Lze je dělit na rovinná (Cabri, Sketchpad, Cinderella, Geonext, Geogebra, Euklides), provádějící konstrukce v

Strana 18

rovinné nákresně shodné s obrazovkou monitoru, a prostorová prostředí (Cabri 3D, Euler 3D), konstruující ve virtuálním prostoru, promítaném na obrazovku monitoru.

Obrázek 3.1-2 Počítačový algebraický systém Derive

3 Mikrosvěty (microworlds), prostředí podporující výuku algoritmizace a alternativní přístup ke geometrii. Grafika zde vzniká nikoliv aplikací konstrukčních kroků, ale zadáváním posloupnosti příkazů ke kreslení grafickým objektem. Tzv. „želví grafika“ poskytuje alternativní souřadnicový systém „z pozice středu světa“, blízkou vnímání dětí. Představiteli jsou různé implementace jazyka Logo, např. Imagine nebo Scratch.

Obrázek 3.1-3 mikrosvě ět Imagine Logo

Strana 19

4 Tabulkové procesory (spreadsheets) jsou kancelářské aplikace k hromadnému zpracování dat; pomocí vzorců přepočítávají data v tabulce a mohou je vizualizovat do grafů. Jsou vyučovány v rámci výuky informačních technologií a s výhodou se využívají při výuce některých matematických disciplín (posloupnosti, statistika, pravděpodobnost, finanční matematika). Je zde ovšem riziko, že učitel nerozezná hranici mezi výukou matematiky a IT a zaměří se na technologický místo matematického obsahu výuky. Představiteli jsou Microsoft Excel a OpenOffice Calc.

Obrázek 3.1-4 Tabulkový procesor MS Excel

5 Počítačové laboratoře a stavebnice (computer labs) Prostředí spojující počítač s dalšími externími prvky, zprostředkujícími spojení s reálným světem - stavebnicovými díly, čidly, motory a dalšími součástkami, které slouží jako vstupní a výstupní zařízení tohoto prostředí a která přijímají podněty a vykonávají příkazy. V takovýchto robotických prostředích člověk není prostředníkem mezi počítačem a okolím.

Typickými činnostmi je provádění skutečných fyzikálních pokusů nebo tvorba fungujících reálných modelů ovládaných počítačem. Tato prostředí jsou v kontextu našeho školského systému vnímána jako hraniční mezi matematikou, informatikou a technickou výchovou. Příkladem je LEGO Mindstorms, LEGO WeDo nebo ISES.

Strana 20

Obrázek 3.1-5 stavebnice Robolab

6 Grafické kalkulačky (graphing calculators), aplikace provádějící numerické výpočty a zobrazující grafy funkcí s odpovídajícími výpočty (např. průběhu funkcí, derivací ...). Jsou realizovány v kalkulátorech stejně jako v programech běžících na počítači (např. Graphmatica). Poznámka: Program Graphmatica můžete zdarma stáhnout a nainstalovat ze stránek http://www.download3000.com/download-graphmatica-count-reg-2777.html .

Obrázek 3.1-6 Grafická kalkulačka TI

Obrázek 3.1-7 Graphmatica software pro jednoduchou tvorbu grafů

Strana 21

7 Uzavřená výuková prostředí, výukové programy vytvořené tak, aby řídily činnost žáka a vedly jej od aktivity k aktivitě. Jde o tzv. klasické výukové programy. Často jde o aplikace zaměřené na výuku (výklad, procvičování) konkrétních témat nebo trénování konkrétních kompetencí. Tyto programy do jisté míry zastupují řídící roli učitele ve třídě.

Pro svoji malou flexibilitu, úzký záběr obsahu a převažující behavioristický přístup ve stylu řízení výuky nejsou již v současnosti v centru pozornosti, mají však jednu výhodu: mohou výrazně pomoci učiteli - začátečníkovi se vstupem na pole počítačem podporované výuky, neboť poskytují zabezpečení běhu výuky a učitel získá sebevědomí pro další, již náročnější řízení výuky s pomocí otevřených výukových prostředí. Do této kategorie spadají i didaktické matematické počítačové hry (strategické a logické hry nebo výukový software s motivací provedenou v podobě hry).

Obrázek 3.1-8 Uzavřené výukové prostředí, standardní výukový program

8 Interaktivní tabule (interactive blackboard) není pouze software, ale komplexní pomůcka zahrnující dotykovou desku, připojenou k počítači, umožňující ovládání pohybem prstů po tabuli a nahrazující polohovací zařízení typu myši. Tato tabule je doplněna dataprojektorem, edukačním softwarem a nástroji pro tvorbu takových výukových materiálů. Výhodou je větší interaktivita (žák, který na tabuli ukazuje, je přímou součástí edukační situace), obecnost využití pro všechny vyučovací předměty a intuitivnost ovládání i pro malé děti. Jsou připravovány učebnice matematiky, které převedeny do elektronické podoby umožňují promítání na interaktivních tabulích s animacemi a interaktivitou obrázků. Pro matematické vzdělávání je do systému implementován i software DGE Geonext.

Strana 22

Na druhou stranu je třeba říci, že od určitého věku, kdy žák dokáže dobře ovládat počítač pomocí myši, se výhoda přímé interaktivity ztrácí; pokud se místo tabule použije prosté ovládání myší a zachová se projekce, je celý systém mobilnější. Na druhém stupni základní školy je pro běžného žáka přirozené používat myš, žáci ve třídě jsou schopni sledovat kurzor myši na projekčním plátně i bez přítomnosti osoby, která ukazuje. Na interaktivní tabuli je technicky složitější provádět jinak běžné úkony (použití obou rukou k manipulaci s objekty, psaní na klávesnici, použití pravého tlačítka myši) a je nutno být ostražitý na neopatrný dotyk; také atraktivnost pomůcky s věkem žáka klesá. Typickým představitelem je SmartBoard a ActiveBoard. Rozhoduje-li se v současné době učitel 2. stupně (ředitel školy) pořídit do učebny interaktivní tabuli, měl by zvážit, zda opravdu využije přímé interaktivity (žáci budou pracovat s dotykem na tabuli), zda nebude výhodnější za cenu tabule koupit dva projektory a vybavit tak dvě třídy projekcí.

Obrázek 3.1-9 Interaktivní tabule s bě ěžící aplikací Cabri 3D

3.2 Algebraické systémy Počítačové algebraické systémy jsou výpočetní programy, které dokážou "vypočítat cokoliv".Jsou to spíše matematické programy, některé z nich vytvářejí prostředí vodná i pro školy. Algebraický program: · počítá nejen numerické, ale i symbolické výpočty · upravuje výrazy, řeší rovnice a matice · dovede derivovat a integrovat · kreslí grafy funkcí Protože algebraické systémy jsou drahé a všechny "zdarma" verze jsou buď velmi slabé, nebo velice obtížně uživatelsky ovladatelné, soustředíme se na ukázky, ze kterých by bylo možno pochopit, o jakou práci se jedná. Obecně platí, že takovéto programy nachází uplatnění na vysokých školách.

Prohlédněte si

Strana 23

1. Videa, ukazující možnosti algebraických programů, konkrétně Mathematica Jde o videa z YouTube. http://www.youtube.com/watch?v=pIE9wcrQ0Ps&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=dQfI1D5PeaA&feature=related Je potřeba vědět, že se jedná o výběrové motivační ukázky, že kvalitní práce s těmito programy není jen pěkné klikání myší, ale také řada znalostí a matematického umu.

3.3 Mikrosvěty Program Logo dává intenzívní prostředí pro trénink geometrické představivosti, poskytuje alternativní soustavu souřadnou "z pozice želvy jako středu světa", blízké vnímání dětí . Typickým reprezentantem je Imagine, bohaté prostředí pro výuku algoritmizace. Řadí se ke skupině programů zvaných Mikrosvěty · Obsahuje želví grafiku, která umožňuje rozvoj chápání geometrie. · Ovládáním želvičky pomocí příkazů lze vytvářet geometrické obrazce. · Používáním parametrů v příkazech umožňuje vybudovat pojem proměnné ve výrazu. · Podporuje tvůrčí aktivitu dítěte.

Cíle: Porozumět, k čemu je daný typ software vhodný a jak vypadá typický reprezentant a typické úlohy.

Princip práce v Logu Při práci v Logo na základní úrovni uživatel pomocí příkazů ovládá grafický kreslící objekt, takzvanou želvu. Příkazy dopředu, vlevo, vpravo, opakuj, smaž, když a dalšími ovládá tohoto virtuálního robota, který podle příkazů leze po obrazovce a kreslí za sebou čáru, obtiskuje obrázky nebo sám může převzít podobu jiného obrázku, který tak běhá po obrazovce.

Želví grafika Na rozdíl od standardní kartézské souřadnicové soustavy s pevnými osami x a y, které jsou na sebe kolmé, je želví grafika umístěna do tzv. „želví“ soustavy, která více odpovídá vnímání menších dětí. Ty chápou svět více sebestředně, vidí samy sebe ve středu světa - mohou se tedy s želvou identifikovat a její pohyb řídit „ze svého pohledu“.

Želví souřadnicová soustava je v podstatě relativní polární soustava se středem v místě, kde se právě želva nachází, a s hlavním směrem ve směru momentálního natočení želvy. Příkazy pro změnu pozice v takové soustavě jsou příkazy dopředu (posunutí želvy o daný počet pixel) a vlevo (otočení želvy o daný počet stupňů).

Příklady příkazů: opakuj 4 [dopředu 60 vpravo 90]

- nakreslí menší čtverec

opakuj 3 [dopředu 100 vpravo 120]

- nakreslí rovnostranný trojúhelník

dopředu 100 vlevo 90 dopředu 20 vpravo 180 dopředu 40

- nakreslí velké písmeno T

Strana 24

puntík 30 vpravo 90 dopředu 90 puntík 30 vpravo 180 dopředu 45 vlevo 90 dopředu 6 vpravo 180 - želva nakreslí činku a zvedá ji opakuj 360 [dopředu 3 vpravo 1]

- nakreslí kružnici

Tyto a další příkazy si můžete vyzkoušet v tréninkovém prostředí, které si spustíte zde:

Obrázek 3.3-6 Želví trénink, prostředí pro tento úkol do žlutého pole se píší příkazy pro želvu, vpravo se vykreslují

4 Prostorová dynamická geometrie Kromě programů, umožňujících rýsování v rovině, existují a jsou hojně využívány grafické programy pro konstruování v prostoru. Prohlédněme si, jak takový software vypadá, jak se používá, jak se v něm pracuje. Vzhledem k finanční náročnosti tohoto produktu půjde o předvedení jeho funkcí lektorem při kontaktní výuce.

Obr. 4–1. Krychlová tělesa v Cabri 3D jako názorná pomůcka pro diskuse ve třídě nad počtem stěn, hran a krychliček. Kolik krychliček figura obsahuje? Kolik jich může být skryto?

Cabri 3D - prostředí pro prostorové rýsování Studiem této kapitoly doplníte znalosti získané při předvedení programu. Článek je k dispozici v elektronické verzi na CD nebo v e-learningovém kurzu.

Strana 25

Obr. 4 -2 Řez kužele rovinou v Cabri 3D v náhledu z různých směrů

5 Tabulkové výpočty a grafy Tabulkové procesory, hojně používané v informatice pro hromadné zpracování dat, jsou použitelné i pro výuku matematiky. Podívejme se na některé možnosti.

Cíle: Získat představu o možnostech a rizicích tohoto sw pro výuku matematiky Kapitola předpokládá základní znalost ovládání tabulkového procesoru, který je běžně dostupný na školách. Cílem není zvládnout ovládání tohoto software. Tabulkové procesory jsou běžné nástroje hromadného zpracování dat.

Strana 26

Obrázek 5-1 Grafy simulující hod hrací kostkou Na obrázcích vidíte některé z těchto aktivit v souborech, které si otevřete. Výhoda souboru proti obrázkům je v interaktivitě: - můžete některá čísla přepsat a podívat se, jak se změnil graf, čísla, řešení. - můžete pouze nechat přepočítat všechny buňky tabulky (klávesou F9) - má význam při použití generátoru náhodných čísel. Otevřete si soubor, procházejte jednotlivé listy s tabulkami a prohlížejte vzorce, čtěte zadání úloh.

Obrázek 5-2 Výpočet Pí podle Leibnizova vzorce postupnými iteracemi součtu číselné řady

Obrázek 5-3 Netradiční metoda výpočtu tradiční úlohy

Strana 27

generování číselných řad a hledání výsledku v pravém sloupci

Obrázek 5-4 Pomůcka učitele pro přípravu na výuku automatické generování zadání úloh s pěknými výsledky

6 Počítačové algebraické systémy V této kapitole se naučíte základní práci v algebraickém systému wxMaxima. Abyste mohli porozumět tomu, jaké výhody i nevýhody pro výuku matematiky nasazení takového software přináší, potřebujete umět v prostředí pracovat. Nyní se naučíte ovládat prostředí programu tak, abyste byli schopni řešit vesměs takové úlohy, jejichž postup řešení znáte. Algebraické systémy pochopitelně umí daleko více, zde půjde jen o rámcové seznámení.

Zdroje pro práci s algebraickými systémy Pro práci se systémy CAS (kurz najdete v e-learningovém prostředí) můžete: - stáhnout si manuál k wxMaxima Maxima online manuál - koupit na školu pořádný (ale hodně drahý) CAS systém Mathematica, Maple. Ovšem pokud ho využijete… Mathematica - stránky programu program Mathematica Mathematica - český prodejce Mathematica Maple - stránky programu Program Maple

Strana 28

7 Dynamika v geometrii V této kapitole si vyzkoušíte poněkud pokročilejší nástroje, které umožní rýsovat objekty přesných rozměrů a používat čísla v geometrické konstrukci. Počítač např. umí změřit vzdálenost a nanést ji na jiné místo, na jiný objekt. To se využívá nejen k nanášení délky, ale i pro otočení a vytváření úhlů. Teprve použitím nástrojů dynamiky (z nichž jste zatím používali manipulaci, tedy tahání za body a jiné objekty) se dynamická geometrie začíná významně odlišovat od geometrie tužky a papíru. Důležité je nejen pochopit, jak nástroje fungují, ale porozumět, jaké odlišnosti má dynamická geometrie od statické.

Cíle: zvládnout využívání čísel v konstrukci rýsovat objekty přesných rozměrů (daných číslem na nákresně) porozumět dynamice v geometrii, naučit se ovládat nástroje dynamiky

7.1 Používání čísel v konstrukci V Geogebře je možno změřit délky, úhly, obsahy a použít je v další konstrukci.

Cíle: Zvládnout nástroje měření, udělat si představu, jak se potom s naměřenými údaji dá v nákresně pracovat.

Použití čísel v konstrukci v Geogebře V Geogebře je možno změřit délky, úhly, obsahy a použít je v další konstrukci. Je také možno na nákresně vytvořit objekt Posuvník, který lze dodatečně editovat a použít v další konstrukci např. jako parametr.

Podrobněji o číslech v konstrukci - viz nápověda ke Geogebře, pod záložkou Index hledejte Posuvník http://www.geogebra.org/help/docucz/

Získání čísel 1. Změřením (nástroje Vzdálenost, Obsah, Úhel). Délka strany se měří označením úsečky nebo označením dvou bodů. Velikost úhlu se měří označením přímek, svírajících úhel, nebo označením mnohoúhelníka

2. Vytvořením číselného objektu na nákresně (nástroj Posuvník)

Strana 29

Tento objekt se edituje pravým klepnutím myší a nastavením mezních hodnot. Vyzkoušejte: Narýsujte trojúhelník. Změřte jeho délky stran, velikosti úhlů, obsah.

Nanášení čísel do konstrukce (obr. 1) Některé nástroje (Kružnice daná středem a poloměrem, Úsečka dané délky z bodu) předpokládají vložení čísla, číselného parametru. Objeví se okno (obr. 1), do něhož lze zapsat konkrétní číslo nebo písmeno, které odpovídá názvu některého objektu na nákresně (strany trojúhelníka a, úsečky f, úhlu α atd.) Není tedy nutno změřit daný parametr.

Obrázek 7.1-1 Použití posuvníku v konstrukci vytvořená kružnice mění poloměr podle hodnoty na posuvníku

Vytvoření úhlu určité velikosti Nástroj Úhel dané velikosti 1. posuvníkem, nanést hodnotu z posuvníku do okna (napsat název posuvníku) nebo 2. přenést některý úhel z již hotové figury (viz obr. 2, 3)

Strana 30

Obrázek 7.1-2 Přenesení úhlu - 1. obrázek přenáší se úhel u vrcholu B na úsečku DE

Obrázek 7.1-3 Přenesení úhlu - 2. obrázek vlastně se bod E otočil kolem bodu D o úhel beta

Nástroj Kružítko Slouží k témuž účelu jako kružítko skutečné: "nabere" nějakou vzdálenost, "zabodne" do nějakého bodu a vykreslí kružnici. Neboli: jde o rýsování kružnice, jejíž poloměr je někde na nákresně a není dán číslem. Kružítko usnadňuje rýsování tím, že nemusíme měřit a pak vynášet toto číslo na nákresnu.

Strana 31 Použijete ho všude tam, kde byste použili normální kružítko.

7.2 Nástroje dynamiky v geometrických programech V tomto textu budete seznámeni s nástroji dynamiky, kterými jsou kromě manipulace, kterou již znáte, stopa, množina a animace. V následných cvičeních si tyto nástroje procvičíte.

Cíle: - zvládnout nástroje dynamiky - pochopit rozdíl mezi stopou a množinou z hlediska technického i pedagogického

Obrázek 7.2-1 Figura nakreslená pomocí množiny přímek parabola jako obálka os úseček s krajním bodem na dané přímce

Využívání programů dynamické geometrie (DGE) bez nástrojů dynamiky nenabízí významně vyšší přidanou hodnotu oproti používání nepočítačových rýsovacích nástrojů. Výhody přesnosti a rychlosti rýsování jsou totiž částečně snižovány ztrátou bezprostřednosti a manuální činnosti uživatele. Většina prostředí dynamické geometrie používá následující nástroje dynamiky, tedy nástroje pro zachycení změny tvaru figury v čase:

Manipulace - lze uchopit některý z volných objektů nebo bodů na objektu a táhnout s ním myší, přitom pozorovat změny tvaru. Tento pohyb lze do jisté míry automatizovat nástrojem animace, kdy se vybraný bod (nebo více bodů) plynule pohybuje po objektu, na němž leží. Animace jsou základem pohyblivých obrázků ve webových apletech. V Geogebře jde pouštět animace nástrojem Posuvník, kterým lze ovládat číselné parametry.

Strana 32

Stopa - vybraný objekt (bod, přímka, kružnice atd.) při pohybu zanechává své otisky do nákresny. Nástroj je velice didaktický, ukazuje tvar různých množin nebo křivek tak, jak postupně vznikají. Výsledná stopa ovšem není objektem, nelze s ní dále pracovat. V Geogebře stopu zapínáme v místní nabídce každého objektu (pravým tlačítkem myši, položka Stopa vypnuta).

Množina - objekt vzniklý vypočítáním velkého množství poloh vybraného objektu při pohybu. Množina vzniká naráz, na rozdíl od stopy je dynamická, v měnící se figuře mění také svůj tvar. S množinou lze též pracovat jako s geometrickým objektem (použít ji v další konstrukci). Nástroj Množina výrazně rozšiřuje možnosti software DGE v názornosti a při experimentování. Právě nástroje dynamiky činí z prostředí DGE tak kvalitní výukovou pomůcku, která je tradičními pomůckami nenahraditelná. Kvalita dynamických nástrojů, jemnost a preciznost nastavení pohybu, možnosti v řízení animace, vytváření stopy a množiny, to jsou faktory, které odlišují špičkový software dynamické geometrie. V Geogebře nejprve označíme bod, který řídí pohyb, poté bod, který vykresluje množinu. Nástroj pro tvorbu množiny v Geogebře se nazývá Množina bodů.

7.3 Parabola jako stopa pohybu V tomto cvičení budete používat stopu bodu a budete rýsovat podle daného postupu.

Cíle: - schopnost rýsovat podle daného postupu - použít stopu pohybu

Zadání: V tomto cvičení budete používat stopu bodu a budete rýsovat podle daného postupu. Zadání: Konstruujte podle postupu: (1) Zobrazte souřadné osy ( nabídka Zobrazit/Osy).. (2) Sestrojte bod A tak, aby jeho souřadnice byly [0; -1] . (3) Na ose x sestrojte libovolně bod X. (4) Sestrojte úsečku AX. (5) Bodem X veďte přímku a kolmou na úsečku AX. (6) Průsečík přímky a s osou y nazvěte Y. (7) Sestrojte rovnoběžku s osou y, procházející bodem X. (8) Sestrojte rovnoběžku s osou x, procházející bodem Y. (9) Průsečík těchto dvou rovnoběžek pojmenujte S. (10) Zapněte stopu pro bod S (Stopa je vypnuta v místní nabídce bodu S).

Strana 33

Obrázek 7.3-1 Parabola vykreslená stopou Uchopte myší bod X, pohybujte s ním. Pokud jste správně rýsovali, bod S by měl vykreslit křivku, která vypadá jako parabola. Poznámka: Body v konstrukci nemusíte popisovat, pokud se v ní vyznáte. A TEĎ TO HLAVNÍ: Ano, narýsovali jste parabolu, ovšem JE TO OPRAVDU PARABOLA? Geogebra má nástroje, které nám ukážou, že je to opravdu parabola. Ovšem tím neposkytly matematický důkaz. Neměli bychom zapomínat, že cílem se nyní nestává pouhé rýsování, že podstatné (a náročnější) je DOKÁZAT, že vykreslená křivka je parabola.

Tipy pro řešení: Rada pro rýsování: Jestliže se Vám nechce protnout přímka a s osou y, můžete posunout bod A po ose x tak, aby se obě přímky protnuly. Je to lepší než hýbat celou nákresnou. Tip pro důkaz: Zkuste dokázat, že bod S má stále souřadnice [x;x2].

Strana 34

Obrázek 7.3-2 K důkazu, že se jedná o parabolu Vpravo pomocné trojúhelníky pro důkaz pomocí podobnosti Poznámka k důkazu: Důkaz na úrovni znalostí absolventů základní školy spočívá v dokázání, že bod S, který parabolu vykresluje, má souřadnice S [x; x2]. Základ důkazu spočívá v odhalení podobnosti trojúhelníků AXO a XYO. Jestliže žáci dokážou jejich podobnost např. podle věty UU - viz obrázek vpravo, pak platí |OA| : |OX| = |OX| : |OY| . Nazveme-li souřadnice bodu S [x; y] a odhalíme-li délku |OA| = 1, platí vztah 1:x=x:y Z něj vyplývá y = x2 jak pro souřadnice bodu S, tak pro rovnici křivky, která je jím při pohybu bodu X po ose x vykreslována.

Metodická poznámka: Používání počítače by nemělo vést k tomu, aby se pouze rýsovalo a slepě spoléhalo na to, co počítač vykreslí nebo tvrdí. Řekněme, že tato úloha, použitá ve výuce, má dvě části: 1. úvodní rýsování (i slabí žáci stíhají a něco vytvoří) a 2. dokazování, tedy vyvrcholení aktivity, kde hrají prim bystří žáci.

Strana 35

8 Formy a metody práce s počítači ve školní matematice K této kapitole přistupte teprve tehdy, jestliže zvládnete ovládat software Geogebra alespoň tak, že jste schopni sestrojit nějaké konstrukce a využívat dynamiku v obrázcích (manipulovat s obrázkem tažením myší, použitím stopy nebo množiny).

Cíle: Kapitola, která ukazuje, jakými způsoby lze obohatit výuku s počítačem, jak pestré a rozmanité mohou být činnosti s matematickým programem. Cílem je udělat si představu o možnostech použití počítače jako výukového nástroje.

8.1 Formy práce učitele se software dynamické geometrie V následujících článcích jsou rozděleny typy úloh a aktivit podle toho, jak aktivně pracuje žák u počítače. Vedle textu jsou umístěny soubory s dynamickými konstrukcemi. Nemáte-li nainstalováno Cabri II Plus, budete k jejich prohlížení muset nainstalovat Cabri demo, protože v některých případech Geogebra nemá takové nástroje, aby se v ní mohly podobné soubory vytvořit. Návod na instalaci najdete v úvodní kapitole.

Cíle: Získat představu o rozmanitosti přístupů k výuce, umožněné počítačem.

Současně půjde o nácvik manipulace s geometrickými figurami (taháním myší) a další ovládání hotových figur.

Typy úloh a žákovských aktivit v prostředí dynamické geometrie Naše zkušenosti ukazují, že většina učitelů, která se setká s prostředím dynamické geometrie na počítači a která projeví o tento software zájem, vidí využití počítače nejčastěji jako pomůcku pro rychlejší a přesnější rýsování či pro prohlížení hotových obrázků, promítaných před třídou. Prostředí dynamické geometrie však poskytuje řadu jiných druhů aktivit, se kterými učitel není seznámen, protože se takové typy úloh v běžných učebnicích nevyskytují. Právě na takové řekněme netradiční typy úloh je tato kapitola zaměřena. Snažíme se v ní na konkrétních příkladech ukázat, jak lze modifikovat výuku geometrie, aby žák zkoumáním geometrických jevů sám přicházel k poznatkům a objevům, dokázal vytvářet a ověřovat své domněnky a hypotézy, lépe porozuměl geometrickým pojmům. Tato kapitola představuje přehled druhů aktivit, při kterých lze použít software dynamické geometrie při výuce v různých tématech geometrie a její aplikace. Aktivity jsou řazeny podle míry využití počítače jako nástroje konstruktivistického přístupu k učení. Seřazení je provedeno od nejvíce tradičních, tedy takových, které dle našich zkušeností z přípravy učitelů a studentů učitelství jsou objevovány nejčastěji a kvůli jejichž použití učitelé nepotřebují příliš měnit svůj styl a organizaci výuky, po ty méně

Strana 36

tradiční, které více využijí dynamiku prostředí, vlastní aktivitu a kreativitu žáků. Poslední typ úloh představují projekty - jim je vyhrazen článek Žákovské geometrické projekty.

Podle míry aktivity a zapojení žáka lze úlohy, použitelné při nasazení prostředí DGE do výuky, typizovat následovně: 1. sledování prezentace hotové figury nebo její konstrukce; 2. rýsování podle návodu; 3. manipulace s hotovou figurou; 4. ověřování žákovských hypotéz; 5. experimentování; 6. modelování, komplexnější úlohy, projekty. Každá z forem použití je dokumentována několika příklady žákovských úloh, reprezentujícími daný typ aktivity. Tyto úlohy jsou ilustrovány obrázky a komentovány metodickými poznámkami, které shrnují zkušenosti s výukou a jsou výsledkem zúčastněného pozorování nebo analýzy žákovských prací. Z příkladů si učitel může učinit konkrétnější představu, jak rozmanité typy geometrických úloh lze řešit pomocí počítače a jak pestrý přístup k výuce lze zvolit.

Na vyzkoušení

Obrázek 8.1-1 Obrazy trojúhelníka Nastavte trojúhelník ABC do takové pozice, aby dva jeho obrazy měly společnou jednu stranu (obr. 1 uprostřed). Jakou vlastnost má nyní trojúhelník? Nastavte situaci, aby vzor se všemi svými obrazy dohromady tvořil trojúhelník (obrázek vpravo). Jakou vlastnost má nyní šedý trojúhelník? Jaká podmínka musí platit pro vzor, aby se žádné dva jeho obrazy nepřekrývaly? Vymyslete a ověřte.

Strana 37

8.2 Počítač jako demonstrační pomůcka učitele Kapitola se věnuje tradičnímu přístupu: učitel promítá před třídou pomocí dataprojektoru

Cíle: Porozumět této formě výuky na příkladech.

Demonstrační pomůcka učitele Tradiční přístup, který může být velice „levný“ a nenáročný. Žáky není třeba seznamovat s prací v počítačovém prostředí, a také učitel, využívá-li hotové materiály, nemusí být detailně seznámen s prací v daném počítačovém prostředí. Didaktický přínos však přes svoji efektnost není velký, protože nevyužívá aktivní žákovu tvorbu a individuální přístup. Společné debaty nad promítanými figurami umožňují žákům zkvalitnit vyjadřování a učiteli předvést žákům pokročilé techniky tvorby figury. Výhoda projekce jako podpory frontální výuky by však neměla vytlačit žáky od počítačů a tedy aktivního přístupu k získávání poznatků. Učitel používá projekci těmito způsoby: - použije hotové soubory s figurami jako názornou pomůcku např. při výkladu před třídou; - postupné vytváří figuru před zraky žáků (i podle jejich pokynů); - kombinace předchozích způsobů - v souboru připraveném k projekci je uložena pouze část konstrukce, zbylou část dotvoří učitel před třídou pomocí nástrojů počítače. Má-li učitel k dispozici projektor, je výuka efektivnější v porovnání s vytvářením obrázku na tabuli (je přesnější a rychlejší) a také bohatší v porovnání s prohlížením obrázku vytištěném na papíře (lze měnit zadání, skrývat a odkrývat části konstrukce, nacházet speciální polohy). Učitel může plně vést výuku a přitom využívat výhod interaktivity; nepotřebuje měnit zažitý styl výuky, pouze tabuli nahradí projekční plochou. Promítání figury pro celou třídu nevyžaduje od učitele schopnost řídit individuální činnost žáka, což je výhodné pro učitele, kteří s výukou pomocí počítače začínají.

Obrázek 8.2-1 Otáčivý hranol Otáčivý model hranolu s proměnlivým počtem stěn

Strana 38

Příklad: Pravidelný n-boký hranol - otáčivý model Figura slouží k vytvoření žákovy představy o tvaru hranolu, o jeho charakteristických vlastnostech a jeho odlišení od kvádru. Ve figuře lze táhnutím za ovladač měnit počet hran podstavy. Při demonstraci lze začít případem pro n = 4 a pak měnit parametr počtu hran.

Poznámka: Toto je příklad názorné počítačové učební pomůcky pro model, který vlastně nelze jako reálný vyrobit.

Příklad: Nepřímá úměrnost Učitel předvádí figuru, která obsahuje obdélník s proměnlivými stranami, který při manipulaci zachovává svůj obsah a vykresluje stopu vrcholu C. Obrázek je geometrizací nepřímé úměrnosti mezi délkami sousedních stran obdélníka.

Obrázek 8.2-2 Nepřímá úmě ěrnost. Nepřímá úměrnost. Proměnlivý obdélník s konstantním obsahem, stopa vrcholu C jako část hyperboly. Jak lze postupovat při výuce s použitím projekce této dynamické figury:

1. Při manipulaci s vrcholem B žáci vidí, že při prodlužování strany AB se sousední strana zkracuje. Žáci si všimnou, že vrchol D se nepohybuje stejnou rychlostí jako bod B. 2. Ještě před manipulací s figurou se učitel dotáže, jak se má podle žáků obdélník chovat (zda a jak se bude měnit poloha vrcholu D), má-li být obsah obdélníka zachován.

Strana 39

3. Učitel položí další otázku: Po jaké křivce se pohybuje vrchol C

obdélníka? Pro její zodpovězení lze označit vrchol C stopou, pak táhnout za vrchol B a stopa pohybu vrcholu C vykresluje graf závislosti nepřímé úměrnosti. 4. Lze položit dotaz: Jakou rovnici má křivka, po které se pohybuje vrchol C? Použitím nástroje Množina se zobrazí množina vrcholů C jako objekt a nástrojem Souřadnice a rovnice lze zjistit její rovnici (v našem příkladu na obr. 2 Cabri ukáže rovnici xy - 12 = 0, tedy y = 12 / x, kde 12 je daný obsah obdélníka). 5. Žáky lze dovést i k důkazu této rovnice. Z podobnosti trojúhelníků AB1,

ASD platí,

že |DA| : |1A| = |SA| : |BA|, a označíme-li délky stran obdélníka a, b a jeho obsah S, vyplývá z ní vztah b : 1 = S : a . Z tohoto vztahu dostaneme předpis pro nepřímou úměrnost b = S / a , což je zároveň rovnice množiny vrcholů C obdélníka. 6. Zdatným žákům může učitel zadat úlohu, aby takový model obdélníka s neměnným obsahem narýsovali. Konstrukce je zobrazena v elektronické verzi obrázku v příloze na CD.

Příklad: Sinus a kosinus vnitřního úhlu trojúhelníka. Demonstrační figura (obr. 4), na níž může učitel předvést definici sinu a kosinu jako poměru stran trojúhelníka (s výpočtem v jednotkové kružnici). Je možno plynule měnit velikost vnitřního úhlu trojúhelníka taháním za bod A a ovladačem přepínat mezi funkcemi sinus a kosinus. Počítač automaticky přepočítává naměřené hodnoty.

Obrázek 8.2-4 Sinus a kosinus úhlu, interaktivní model Podle polohy bodu A na oblouku jednotkové kružnice se zobrazuje úhel, délky odvěsen a vypočítá se sinus nebo kosinus nastaveného úhlu.

Strana 40

Příklad: Rozklad sítě krychle Krychle se táhnutím za ovladač rozloží do své sítě (obr.5). Použitelné při zavedení vzorce pro výpočet jejího povrchu.

Obrázek 8.2-5 Rozklad sítě ě krychle - model

8.3 Prostředí pro rychlé a přesné rýsování Kapitola se věnuje poměrně očekávané činnosti: rýsování v počítači místo pomocí kružítka a pravítka.

Cíle: Porozumět této formě výuky na příkladech.

Pomůcka pro rychlé a přesné rýsování Mezi programy interaktivní geometrie se objevilo toto použití jako historicky první a patrně bylo základní motivací prvních tvůrců geometrického software na konci 80. let 20. stol. Pro žáky je tato forma zpočátku nejpřirozenější a nejsrozumitelnější. Žáci se nemusí zdržovat technikou rýsování (jak sestrojit kolmici, rovnoběžku), zajímají se především o vymyšlení správného postupu konstrukce a o sdělení tohoto postupu počítači. Rýsovací aktivity jsou vhodné i pro seznámení s prostředím programu na takových konstrukčních úlohách, které již uživatel zvládl bez počítače a u nichž zná postup. Tyto úlohy přivedou žáky k poznání, že to podstatné na geometrii, řečeno lapidárně, není vlastní rýsování, ale přemýšlení nad rýsováním. Nutno podotknout, že využití tohoto typu software jako rýsovací pomůcky je jeho základní, nikoliv však nejpodnětnější formou využití.

Polohové úlohy Konstrukční úlohy rozdělíme na úlohy polohové a nepolohové. V polohových úlohách nezáleží na číselných hodnotách zadání, neboť to je dáno umístěním objektů zadání v nákresně. Vzhledem k tomu, že zadáním lze následně pohybovat a měnit tak tvar

Strana 41

výsledného zkonstruovaného útvaru, vytváří žák v jednom konkrétním postupu konstrukce postup obecný. Tento postup je ověřitelný manipulací s výslednou figurou, při níž se chyby stanou zjevnými. Zadání polohových úloh je velice podobné konstrukčním úlohám na papíře. Žáci mohou začít pracovat se zcela prázdnou nákresnou a zadání si narýsovat sami, přičemž trénují matematickou gramotnost snahou o porozumění textu zadání úlohy. Časově efektivnější je poskytnout žákům soubory se zadáním předem vytvořeným, neboť začátečníci dělají chyby i v rýsování zadání.

Příklad: Tečna z bodu ke kružnici Zadání: Je dána kružnice k a bod A. Sestrojte tečnu z bodu A ke kružnici k. Ukazuje se, že postup konstrukce pomocí Thaletovy kružnice, vyučovaný na základní škole, který definuje hledanou tečnu jako spojnici bodu A s průsečíkem kružnice k a Thaletovy kružnice, s sebou v dynamické konstrukci nese úskalí. Pokud ve výsledné figuře přemístíme bod A na kružnici k, počítačový program jako řešení nezobrazí dvě totožné tečny, jak by uživatel očekával, ale nezobrazí řešení žádné (obr. 6 vpravo). Příčinou je, že oba tečné body splynou s bodem A, tečny jsou v daný okamžik definovány dvěma totožnými body a nejsou tak definovány jednoznačně. Je zřejmé, že použitý postup konstrukce není obecný - proto také se v zadáních úloh v učebnicích objevuje žákům někdy nesrozumitelná podmínka „Je dána kružnice k a mimo ni bod A“. Správným postupem je definovat tečnu bodem a směrem, např. jako kolmici na průměr kružnice k procházející tečným bodem. Na tomto příkladu je dobře patrné, jak dynamika konstrukce umožňuje tříbit matematické uvažování.

Obrázek 8.3-1 Tečna z bodu A ke kružnici chybná dynamická konstrukce

Metodická poznámka: Žáci sami vesměs neodhalí, že leží-li A na kružnici k a tečny se přitom nezobrazí, že jde o chybu konstrukce. Pokud jsou navedeni učitelem, často pak vidí chybu nikoliv v nesprávné konstrukci, ale v počítačovém programu a jeho nedokonalosti. Ve většině případů je však ani nenapadne pátrat po příčině této chyby, jakoby je nijak neoslovila. Splnili přece úkol, tečny narýsovali... Zde je možno žáky přivést na cestu kritického uvažování.

Strana 42

Typické polohové úlohy: - Je dána úsečka AB. Sestrojte čtverec ABCD, je-li úsečka AB jeho stranou (zde je zadáním úsečka AB, se kterou lze libovolně manipulovat). - Je dán trojúhelník ABC. Sestrojte jeho kružnici opsanou, vepsanou (zde je zadán libovolný trojúhelník).

Nepolohové úlohy V zadáních úloh jsou dány přesné hodnoty. Ty jsou na nákresně programu realizovány vlastnostmi sestrojených pomocných objektů, např. délkami úseček, velikostmi úhlů atd. nebo číselnými objekty. Ve správném řešení úlohy musí změna parametrů zadání (manipulací s úsečkami zadání, editací čísel) způsobit změnu figury tak, aby stále vyhovovala zadání.

Obrázek 8.3-2 Zadání nepolohových konstrukčních úloh pomocí ovladačů (vlevo) a pomocí číselných objektů (vpravo) Ke zjednodušení práce pro zadání tohoto typu úloh se používají tzv. ovladače, což jsou předem připravené objekty, přizpůsobené pro následnou manipulaci [Leischner, 2005]. Výhodou použití ovladačů je kromě vlastní vizualizace zadání rychlá a plynulá změna tvaru figury, výhodou použití čísel je možnost přesného nastavení speciální polohy nebo tvaru figury. Řešitel úlohy přenese parametry zadání do své konstrukce pomocí nástrojů nebo vlastní konstrukcí, např. pomocí rovnoběžek nebo shodných zobrazení. Velikost úhlu lze přenést konstrukcí rovnoběžek nebo posunutím ramen úhlu o vhodně zvolený vektor.

Příklad: Trojúhelník podle věty SSS Zadání: Sestroj trojúhelník ABC, jsou-li dány délky jeho stran a, b, c. Délky stran jsou dány úsečkami sestrojenými v rohu nákresny (obr. 3).

Strana 43

Vzorový postup: (1) Sestrojte polopřímku s počátečním bodem B (2) Sestrojte kružnici k se středem v B, poloměrem a (nástroj Kružítko) (3) Sestrojte bod C jako průsečík polopřímky s kružnicí k (4) Sestrojte kružnici l (B; c) - podobně jako v bodě 2 (5) Sestrojte kružnici m (C; b) - podobně jako v bodě 2 (6) Sestrojte bod A jako průsečík kružnic l, m

Metodická poznámka: Je zřejmé, že konstrukce je prakticky totožná s klasickou konstrukcí na papíře, pouze s uplatněním technik přenesení vzdáleností do vznikající figury pomocí nástrojů počítače. Žákům vesměs nečiní potíže, ti naopak ocení, že program přímo rýsuje celé kružnice a sám upozorní, že existují dva průsečíky kružnic a tedy dvě řešení úlohy.

Po sestrojení lze hledat a nastavit takovou velikost úseček zadání, aby vznikl trojúhelník rovnostranný, rovnoramenný s vodorovnou nebo šikmo umístěnou základnou nebo zkoumat otázku existence trojúhelníka.

Obrázek 8.3-3 Konstrukce trojúhelníka podle vě ěty SSS se zadáním daným délkami úseček

Typické úlohy - Sestrojte obdélník ABCD, je-li dána délka jeho úhlopříčky a úhel, který úhlopříčky svírají. Zadáním je délka úsečky a velikost úhlu, umístěno v rohu nákresny (obr.7 vlevo). - Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dána velikost jeho strany a, těžnice ta a výšky va. Velikosti jsou dány čísly, napsanými na nákresně.

Strana 44

Konstrukce podle předem daného postupu V těchto úlohách žák konstruuje podle postupu, který je předem dán, stanoven. Úlohy mohou sloužit k získání zručnosti v ovládání programu, v naučení postupu nápodobou nebo jako motivační k sestrojení figury, která bude použita v následných aktivitách, jimiž mohou být výklad nové látky, důkaz nebo diskuse, objev nového poznatku, ověření hypotézy. Vděčné jsou takové úlohy, v nichž konstrukce vede k překvapení nebo k neočekávanému výsledku. Konstrukce podle předem daného postupu uvítají slabší žáci, pro které je obtížné vlastní postup vymyslet. Variantou je úloha s neúplným postupem nebo s postupem, obsahujícím záměrnou chybu.

Příklad: Geometrické počítadlo druhé odmocniny Žáci zkonstruují „počítačové odmocnítko“, vyzkouší jej a poté se pokusí dokázat, proč „počítá druhou odmocninu“ (obr. 5). Zadání: Konstruujte podle postupu: (1) Zobrazte souřadnicové osy, počátek pojmenujte O. (2) Sestrojte bod A na ose x tak, aby jeho vzdálenost od bodu O byla 1 cm (3) Sestrojte polopřímku ležící na ose x s krajním bodem O, která nebude procházet bodem A. (4) Na této polopřímce vytvořte bod X tak, aby byl volně pohyblivý. (5) Sestrojte kružnici k, jejímž průměrem bude úsečka AX. (6) Sestrojte bod Y jako průsečík kružnice k s osou y. 2 (7) Změřte vzdálenosti bodů X, Y od bodu O. Zjistíte, že |XO| = |YO| . Pohybujte bodem X a měňte jeho vzdálenost od počátku. Ověřte, že program automaticky „změří" hodnotu druhé odmocniny z nastavené vzdálenosti bodu X od počátku. Uměli byste dokázat, proč konstrukce vede k druhé odmocnině z daného čísla?

Obrázek 8.3-5 Figura grafické konstrukce druhé odmocniny Metodická poznámka: Žáci mají dokázat, proč |OX| = |OY|2 . Tím také ověří, jak vlastně geometrické odmocnítko pracuje. Pokud neznají Eukleidovu větu o výšce, mohou dokázat platnost vztahu |OA| : |OY| = |OY| : |OX| přes důkaz podobnosti trojúhelníků AYO a YXO. Protože |OA| = 1, po úpravě platí |OX| = |OY|2 . Technická poznámka: Pokud by zobrazené hodnoty druhé odmocniny nebyly na nákresně zobrazovány přesně, jedná se o nepřesnost danou zaokrouhlováním měřených hodnot v počítačové aplikaci. To lze zpřesnit nastavením větší přesnosti

Strana 45

měření označením měřeného čísla a stiskem klávesy [+] , „problém“ to však neodstraní. Důsledkem porovnání důkazu a skutečnosti, zobrazované na nákresně, je pro žáky zajímavé zjištění, že délka narýsované úsečky OY je přesně druhou odmocninou z délky úsečky OX. Počítač ani jiná pomůcka však její délku až na výjimky nedokáže změřit úplně přesně. Zajímavou navazující úlohou pro žáky je hledat úsečky takové délky, jejíž druhá odmocnina je přesně narýsovatelná. Žáci objeví, že takovými délkami jsou druhé mocniny racionálních čísel (v Cabri nejčastěji přirozených čísel). Experimentálním prostředím pro hledání takových úseček je nákresna se zobrazenými mřížovými body a měřením délky úsečky.

8.4 Manipulace s hotovou figurou Kapitola popisuje opravdu nový způsob výuky geometrie: toto bez počítače provádět nelze

Cíle: Porozumět této formě výuky na příkladech.

Manipulace s hotovou figurou Figurou se zde rozumí sestrojená konstrukce, geometrický obrázek, uchovaný v souboru (viz Terminologie). Princip manipulace, tedy „ručního nakládání“ s geometrickou figurou spočívá v tom, že uživatel v již vytvořené figuře uchopí bod nebo jiný objekt myší a táhnutím mění situaci na nákresně, mění tvar, umístění a vzájemnou polohu objektů. Figuru si nejčastěji otevře ze souboru a nesestrojuje v ní žádné nové objekty. Výhodou manipulace jako metody řešení úloh je její dostupnost a finanční nenáročnost. Manipulaci s hotovými figurami si mohou dovolit i žáci školy nebo uživatelé, kteří nevlastní licenci na příslušný geometrický software. Většina těchto prostředí totiž umí hotové figury exportovat do apletů webových stránek. Nelze očekávat, že žáci, zvyklí po léta na pamětné učení se matematickým vzorcům a poučkám, budou ihned schopni při manipulaci přemýšlet. Je potřeba jim dát čas a vést je, aby překonali etapu pouhého mechanického „hraní si“ s obrázkem a „zapojili přemýšlení“. Aktivity spojené s manipulací vycházejí z pedagogického přesvědčení, že žákům nestačí nový poznatek sdělit; cennější je, když jej objeví sami. Tzv. „objevení pro sebe“, kdy žák učiní objev, který je ovšem již dávno znám, ale pro žáka samotného je nový, mu poskytuje velké množství kladných emocí a vede k hlubšímu zapamatování jak objevu, tak cesty, která k němu vedla. Cílem těchto aktivit je mj. žákům takový zážitek poskytnout, dát jim příležitost být objeviteli. Na rozdíl od objevu nového poznatku jsou při řešení úlohy pomocí manipulace vyžadovány znalosti. Při řešení úlohy je žák více samostatný než při objevování nového poznatku, aktivita klade na učitele nižší nároky.

Strana 46

Příklad: Závislost obsahu trojúhelníka na jeho výšce Ve figuře je trojúhelník, jehož vrchol C se může pohybovat po dané přímce p. Při pohybu bodu C se mění změřený obsah trojúhelníka (obr. 1). Žáci mají vyzkoumat, na čem závisí velikost obsahu trojúhelníka, mají sami objevit, že obsah závisí na výšce. Vhodným postupem je nechat žáky manipulovat s figurou, nechat je objevovat a nové poznatky sdělovat učiteli a ostatním spolužákům. Úloha je vhodná pro skupinovou výuku v počítačové učebně nebo pro použití interaktivní tabule.

Obrázek 8.4-1 Manipulace s vrcholem C a přímkou p vede k odhalení závislosti obsahu trojúhelníka na jeho výšce

Metodická poznámka: Žáci při manipulaci s bodem C objeví, že obsah trojúhelníka se u strmější přímky p mění výrazněji. Někdy sami, jindy na dotaz učitele objeví, že obsah trojúhelníka se nemění, pokud se bude bod C pohybovat po rovnoběžce s AB. Následný dotaz „co ještě se v trojúhelníku nemění, je-li p rovnoběžná s AB“ směřuje k nalezení výšky jako prvku, na němž závisí neměnnost obsahu pro tuto polohu p.

Po prvním zkoumání s vodorovnou stranou AB trojúhelníka je potřeba nastavit i jinou polohu této strany než vodorovnou. Žáci pak sice nenastaví p jako přesnou rovnoběžku s AB, to jim však nemusí bránit závislost odhalit nebo potvrdit. Pokud nastavíme stranu AB jako šikmou hned zpočátku, je to pro žáky daleko obtížnější problém.

Tuto úlohu lze zadat žákům i v době, kdy již znají vzorec pro výpočet obsahu trojúhelníka. Úloha pak indikuje skutečnou úroveň porozumění žáků, totiž zda jim předchozí znalost vzorce pomohla v řešení úlohy, zda žáci vzorci rozumí.

Příklad: Thaletova kružnice Změřením úhlu a následnou manipulací žáci odhalí vlastnost Thaletovy kružnice.

Zadání: Na obr. 2 je trojúhelník ABC vepsaný do kružnice k tak, že jeho strana AB prochází středem kružnice. Je změřena velikost vnitřního úhlu při vrcholu C. (1) Pohybujte body A, C a přesvědčte se, že velikost úhlu se nemění.

Strana 47

(2) Předefinujte bod C tak, aby se mohl volně pohybovat po nákresně. Co se na obrázku změnilo? (3) Kdy bude měřený úhel ostrý a kdy tupý? (4) Vraťte bod C zpátky na kružnici. Bude opět změřený úhel pravý? (5) Pohněte bodem A nebo B, aby strana AB trojúhelníka již neprocházela středem kružnice. Pohybujte nyní bodem C. Jak se chová měřený úhel? Porovnejte to, co pozorujete, s ostatními.

Metodická poznámka: Žáky často neoslovilo, že v situaci na levém obrázku je měřený úhel stále pravý. Teprve po „procházce“ bodu C po nákresně a poté, co se v důsledku toho změřená velikost úhlu měnila, je začalo zajímat, kdy je měřený úhel větší a kdy menší než pravý. Zdá se, že ruční nastavování bodu C na kružnici je pro žáky akceptovatelnější, i když není tak přesné jako u prvního kroku zadání, kdy bod C ležel na kružnici.

V 5. kroku zadání je pro učitele zajímavé pozorovat, jak žáci zjišťují, že každý z nich naměří jinou velikost úhlu, ale že při pohybu C po kružnici se úhel chová stejně (nemění velikost). Učitel může pobídnout žáky, aby objevili vztah mezi naměřenými hodnotami úhlu při přechodu bodu C do opačné poloroviny dané úsečkou AB.

Obrázek 8.4-2 Objev poznatku o Thaletově ě vě ětě ě manipulací

Příklad: Směrnicový tvar rovnice přímky Žákům často chybí konkrétní představa o roli, kterou mají parametry k, q směrnicového tvaru přímky, většinou se tyto role učí pamětně. Předložená figura, se kterou mohou manipulovat, jim pomůže lépe problematiku uchopit, nastavit si speciální situace (např. q = 0, k = 0, k > 0, k < 0), „uvidět“ geometrickou souvislost mezi hodnotou parametru a vzdálenostmi na obrázku. Na nákresně je sestrojena přímka, jejíž poloha závisí na koeficientech k, q, které lze pomocí ovladačů k, q plynule měnit. Žáci manipulují s těmito ovladači se snahou zodpovědět na otázky učitele, později odpovídají bez nutnosti manuálního ovládání figury.

Strana 48

Obrázek 8.4-3 Smě ěrnicový tvar rovnice přímky budování představy o roli, kterou mají parametry k, q

Žáci by na fakt, že průsečík přímky s osou y má y-ovou souřadnici rovnu q a hodnota k znamená změnu y-ové souřadnice bodu přímky při zvětšení x-ové souřadnice o 1, měli přijít sami, nebo se o to alespoň pokusit - bude cennější, když jejich formulace bude nepřesná, než když ji sami nezformulují a bude jim sdělena. Pouhé ověření učitelova sdělení má slabší didaktický efekt.

Otázky kladené učitelem: 1.

Pro jaké k bude přímka rostoucí?

2.

Kdy bude přímka klesající?

3.

Jaký vliv má koeficient q na umístění přímky?

4.

Který z koeficientů k, q musí být stejný u přímek navzájem rovnoběžných?

5.

Co mají společného přímky se stejným koeficientem q?

Metodická poznámka: I když je vztah mezi změřenými hodnotami parametrů k, q a jejich „rolí“ v sklonu a umístění grafu lineární funkce znázorněn názorně geometricky i barevně, žáci často nevidí souvislost mezi změřenými čísly a koeficienty rovnice přímky nebo mezi shodnými trojúhelníky, a to i tehdy, když jsou kvůli názornosti stejně zformátovány. Budí to dojem, že žáci takové vztahy mezi čísly a geometrickými vztahy neočekávají.

Příklad: Obraz trojúhelníka v osové souměrnosti Na obrázku je sestrojen obraz trojúhelníka v osové souměrnosti. Najděte takovou polohu osy o, aby vzor a obraz společně vytvořily čtyřúhelník. Pohybujte s osou souměrnosti a napište, v jaké poloze se osa musí nacházet, aby byl požadavek splněn (obrázek 8.4-4).

Strana 49

Metodická poznámka: Úloha má nekonečně mnoho řešení, žáci nejčastěji objeví tři, kdy osa prochází stranami trojúhelníka (viz obrázek). Další řešení jim jsou chvíli skryta, než někdo překoná „podmínku navíc“, že trojúhelníky se nesmí překrývat, kterou si žáci nevědomky často stanoví.

Obrázek 8.4-4 Obraz trojúhelníka v osové soumě ěrnosti úloha řešená pomocí manipulace s hotovu figurou

Odhalení chyby v konstrukci pomocí manipulace Manipulací s hotovou figurou lze odhalit záměrnou chybu v konstrukci a opravit ji. Úlohy přispívají k tréninku v odhalování chyb a ke správným návykům při kontrole hotové konstrukce.

Příklad: Množina ortocenter trojúhelníka V této úloze žáci trénují schopnost „dobře“ manipulovat s figurou. I při manipulaci je potřeba uvažovat, jak a kterým bodem hýbat, aby se figura dostala do polohy kvalitativně odlišné. V této úloze figura poskytne nečekané řešení. Zadání: Zjistěte, jakou křivku tvoří množina průsečíků výšek všech trojúhelníků ABC, jejichž vrchol C leží na dané přímce p. Návod: Označte bod O stopou (nebo lépe použijte nástroj Množina) a pohybujte vrcholem C po přímce.

Obrázek 8.4-5 „Parabola“ se při manipulaci s bodem A ukáže být hyperbolou

Strana 50

Metodické poznámky: Křivka, kterou má žák vyšetřit (obr. 5 vlevo), na první pohled a velmi často i po manipulaci vypadá jako parabola. Teprve až se vrcholy A, B ocitnou např. v opačných polorovinách daných přímkou p, bude zřejmé, že křivkou je hyperbola, která původně pouze parabolu připomínala. Zkušenosti s touto úlohou ukazují, že žáci hyperbolu při manipulaci často neodhalí. Žáci se často „bojí“ pohnout s objekty příliš, a to buď z toho důvodu, že je nenapadne „přetáhnout“ bod na druhou stranu poloroviny, nebo si nedokážou představit, kam mají táhnout myší, aby mohlo dojít k podstatné změně figury. Někdy to vypadá, že se dokonce obávají, aby se při razantní změně polohy zadání figura nerozpadla nebo již neodpovídala původnímu zadání. Ne každá manipulace vede k odhalení chyby; ukazuje se, že správné manipulaci pomáhá vhled do situace, že správné manipulaci je třeba se též učit. Zajímavou je pak debata s žáky nad tímto problémem: když v původní poloze množina ortocenter vypadala jako parabola, zda to opravdu byla parabola, nebo zda šlo stále o hyperbolu, která parabolu pouze připomínala. Pokud již žáci mají znalosti o kuželosečkách, lze je navést úvahou, že pohlédneme-li na parabolu jako na řez kuželové plochy rovinou, je parabola hraniční případ mezi řezy tvaru hyperboly a elipsy. Další pomocnou aktivitou v danou chvíli je hledání takové polohy figury, kdy by množina dostala tvar elipsy. Ta je založena na úvaze, že pokud množina ortocenter byla v některé poloze parabolou a v jiné hyperbolou, měla by asi existovat i poloha, kdy má množina tvar elipsy. Cílem aktivity pochopitelně není samotný poznatek o tvaru množiny ortocenter; podstatný je trénink argumentace (při ověřování, zda mohlo jít o parabolu) a správné manipulace s figurou. Technická poznámka: V Cabri lze využít nástroje, které ověří, o jaký typ kuželosečky se jedná, podle následujícího postupu: Na množinu ortocenter umístíme pět bodů. Těmito body proložíme kuželosečku (nástrojem Kuželosečka). Jestliže poté na množinu najedeme myší, Cabri vypíše, o jaký typ kuželosečky se jedná. Typ kuželosečky lze ověřit zobrazením její rovnice, to ovšem vzhledem k obecné poloze křivky nemusí být pro studenty průkazné.

Manipulace při diskusi řešení úlohy Nad hotovou figurou (nebo po jejím sestrojení v rámci konstrukční úlohy) žáci diskutují počet řešení úlohy. Pro případné přesné závěry je praktické používat v zadání číselné objekty, které lze editovat a u nichž lze nastavit přesné hodnoty parametrů pro nastavení speciálních poloh figury.

Příklad: Diskuse polohové úlohy Přenastavováním poloh objektů a poloměrů kružnic zadání úlohy lze diskutovat počet řešení. Žáci se pokouší odhalit některé z dílčích podmínek pro určitý zadaný počet řešení.

Zadání: Na nákresně je vyřešena úloha o zadání „Sestrojte kružnici daného poloměru, která se dotýká dvou daných kružnic“. Řešením úlohy jsou tučně vytažené kružnice na obr. 6. Pohybujte kružnicemi a jejich středy, měňte velikost poloměru hledané kružnice. Pozorujte počty černých kružnic.

Strana 51

Obrázek 8.4-6 Diskuse řešení úlohy Sestrojte kružnici daného poloměru, která se dotýká dvou kružnic Návodné otázky: 1. Nastavte obrázek do polohy, v níž bude počet řešení největší. Kolik řešení vidíte? 2. Kolik řešení má úloha, pokud se kružnice k1, k2 neprotínají? 3. Jaký je nejmenší počet řešení, pokud se kružnice protínají? Může mít úloha „žádné“ řešení? 4. Pro jaký největší poloměr hledané kružnice má ještě úloha řešení? 5. Kolik řešení bude mít úloha, jestliže budou všechny změřené údaje na obrázku stejné? 6. Pro jakou podmínku úloha nemá řešení? 7. Jaká podmínka musí být splněna, aby úloha měla lichý počet řešení?

Metodická poznámka: U tohoto typu úlohy není podstatné, zda žáci dokáží úlohu zkonstruovat či nikoliv. Podstatné je, zda dokáží ve figuře odhalovat zákonitosti vztahů mezi parametry konstrukce a počtem řešení. Nicméně žáci lépe reagují, pokud se s mechanismem figury podrobněji seznámí třeba konstruováním podle návodu učitele. Objevování maximálního počtu možných řešení úlohy v kolektivu třídy patří k nejhezčím aktivitám s programy dynamické geometrie vůbec.

Strana 52

8.5 Ověřování žákovských hypotéz Dynamika umožňuje plynule měnit sestrojenou figuru a ukáže (diskrétně a individuálně každému žákovi zvlášť), zda jeho domněnka o chování figury je či není správná.

Cíle: Porozumět této formě výuky na příkladech.

Tato forma práce rozhodně není tradiční a učitel si na ni musí zvyknout. Odměnou mu je fakt, že opravdu využívá možností počítače naplno, že použití počítače přispělo ke změně jeho výukového stylu.

U vhodně zvolených úloh lze trénovat žákův odhad, vhled do problematiky, matematický talent. Prostředí v počítači ověří, zda si žák správně „tipnul“, zda je jeho hypotéza správná. Tyto typy úloh tříbí mysl, trénují vynalézavost i odvahu jít do nejistého výsledku. Typově lze úlohy pro vytváření žákovských hypotéz najít v úlohách o množinách bodů dané vlastnosti. Předpovídání, jak se bude bod pohybovat a co bude výslednou trajektorií jeho pohybu, připadá žákům zábavné a může motivovat i ty, kteří o matematiku zájem ztratili. Jestliže žák manipuluje s figurou s cílem hledat a objevovat nové, zažívá příjemné pocity z toho, jak jej geometrické prostředí modelu „poslouchá“ a jak vytváří nové, někdy chtěné, jindy nechtěné situace. Pokud žák objeví nový poznatek, novou skutečnost, zažívá neobyčejný emocionální zážitek z objevu, je motivován dále takovým způsobem pracovat, a pokud se podaří důkaz objeveného tvrzení, následuje další úžasný zážitek. Vytváření a ověřování žákovských hypotéz vyžaduje odlišnou formu vedení hromadné výuky. Žáci potřebují časový prostor pro vytvoření figury a především pro manipulaci, pro „hraní si s obrázkem“. Tato aktivita často ústí v diskusi ve třídě, spojenou s tříbením a ujednocováním názorů, přijetím společného postupu a individuálním dořešením úlohy každým žákem na svém počítači.

Příklad: Těžiště trojúhelníka Zadání: Je dán trojúhelník ABC, jehož vrchol C se pohybuje a) po dané přímce (obr. 1) b) po dané kružnici c) po daném čtverci Zjistěte, po jaké křivce se bude pohybovat těžiště tohoto trojúhelníka.

Metodická poznámka: Na tomto příkladu je v následujících odstavcích představen možný vzorový postup řízení výuky při tvorbě a ověřování hypotéz. (1)

Nejprve je žák učitelem vyzván k vytvoření vlastní hypotézy.

(2) Poté zkonstruuje figuru a ještě před manipulací je znovu vyzván, aby zkorigoval svoji hypotézu.

Strana 53

(3) Poté následuje výzva k manipulaci a ověření hypotézy. Žáci ověřují své domněnky a případně je korigují. (4) V závěru aktivity je správná hypotéza vysvětlena a u jedinců, kteří sestavili chybnou hypotézu, vysvětlena příčina jejich omylu. (5) Následuje tentýž postup se změněným zadáním. Nejprve přijde změna polohy některých objektů tak, aby situace stále vyhovovala původnímu zadání, později přechod k novému analogickému zadání.

Obrázek 8.5-1 Ově ěřování žákovské hypotézy pro pohyb tě ěžiště ě trojúhelníka

V následujících bodech je popsán sled otázek a pokynů učitele pro vzorové řízení aktivity: 1.

Tipněte si, po jaké křivce se bude těžiště pohybovat.

2. Sestrojte trojúhelník ABC, jehož vrchol C bude ležet na předem vytvořené přímce p a bude se po ní moci pohybovat. Sestrojte těžiště tohoto trojúhelníka. 3.

Znovu si zkuste tipnout, jak se bude těžiště pohybovat.

4. Označte těžiště stopou a pohybujte vrcholem C. Odpovídá skutečnost vaší předpovědi? 5. Dokážete popsat, jak by se taková čára dala zkonstruovat, znáte-li polohu trojúhelníka a přímky p? 6. Stopu smažte. Změňte polohu přímky p nebo vrcholů A, B a pokus opakujte. Zajímá mě, jestli křivka, po které se těžiště pohybuje, i nyní odpovídá vaší předpovědi. Museli jste popis stopy změnit? 7.

Jak nejlépe popsat stopu pohybu těžiště? Poraďte se s ostatními.

8. Zkuste podle postupu, který jste společně vymysleli, tuto křivku sestrojit. Vyzkoušejte pak, zda se kryje se stopou.

Příklad: Splynutí os a těžnic Žáci manipulují s vrcholy a hledají správný tvar trojúhelníka, který bude splňovat zadání, poté popisují jeho tvar a vlastnosti. Úloha pro žáky, kteří ještě nejsou schopni úlohu vyřešit prostou úvahu. Žáci mohou výsledek „tipovat“.

Strana 54

Zadání: Jaký tvar musí mít trojúhelník, aby všechny jeho osy stran splynuly s těžnicemi? Jaký tvar musí mít trojúhelník, aby alespoň jedna osa strany splynula s těžnicí?

Obrázek 8.5-2 Splynutí os stran trojúhelníka s tě ěžnicemi model pro experimentální hledání podmínky pro splynutí

Příklad: Množina čtverců Zadání: Vyšetřete množinu vrcholů C všech čtverců ABCD, které mají společný vrchol A a vrchol B leží na dané kružnici k.

Obrázek 8.5-3 Množina vrcholů C čtverců s vrcholem B na dané kružnici Analogické zadání pohybem: Je dán čtverec ABCD, jehož vrchol A je pevný a vrchol B se pohybuje po dané kružnici k. Jaký tvar má stopa pohybu vrcholu C?

Strana 55

Řešení: Bod C se pohybuje po kružnici o větším poloměru než kružnice k, poměr poloměrů kružnic vytvářených body C a B je roven . Důkaz vychází ze stejnolehlosti a z vlastností úhlopříčky ve čtverci ABCD. Bod D se pohybuje po kružnici stejného poloměru jako k. Tato úloha je vhodná i pro žáky ZŠ.

8.6 Žákovský experiment Dělání pokusů, experimentování, je ve školní matematice netradiční metoda práce. Jde o aktivitu s otevřeným koncem, která nemusí vyústit v nějaký výsledek.

Cíle: Porozumět této formě výuky na příkladech.

V následujících úlohách máme na mysli opravdové žákovské pokusy, experimentování, nikoliv „vzpomínání si“ na probranou látku, opakování učitelova postupu nebo řešení úlohy pomocí dedukce či analogie. Experimenty jsou většinou zařaditelné jako úvodní aktivita k nějakému tématu, jako propedeutika pojmu, případně jako problém, který má být vyřešen a který se jeví natolik složitý, že může pomoci vytvoření modelu nebo nějakého náčrtku. Geometrie má významný vliv na formování světového názoru. Podle Hejného „Rozhodující úlohu při neformálním poznávání geometrie hrají osobní zkušenosti žáka, které mohou získat pouze experimentováním.“ Experiment je často aktivitou s otevřeným koncem, většinou zcela individuální, a to jak co do tempa, tak co do míry potřebnosti řízení výuky učitelem. Je téměř nemožné řídit jej hromadně, frontálně. Je třeba, aby s tím učitel počítal, aby se na výuku formou experimentu připravil.

Příklad: Souřadnice bodu Zkoumání vztahu mezi polohou bodu a jeho souřadnicemi. Žák pohybuje bodem a pozoruje jeho souřadnice, pokouší se odpovědět na otázky (obr. 1). Žák řeší úlohy „ručním“ nastavením požadované situace na nákresně, později uvažováním.

Sada otázek a pokynů, řídících experiment: (1) Pohybujte bodem A po ploše a pozorujte jeho souřadnice. (2) Ve které části roviny má bod A obě souřadnice záporné? (3) Kde má bod A první souřadnici kladnou? (4) Kde má bod A druhou souřadnici rovnou nule? (5) Pohybujte postupně body B, C, D. U každého bodu zjistěte, po jaké přímce (křivce) se tento bod pohybuje. Jakou vlastnost mají jeho souřadnice? (6) Na nákresně je čtyřúhelník. Umístěte jeho vrcholy tak, aby měly souřadnice [1; 3], [3; -1], [-1; -3], [-3; 1]. Jaký útvar jste dostali? (7) Umístěte vrcholy tohoto čtyřúhelníka do souřadnic [3; 2], [5; 1], [3; -3], [1; 1]. Jaký útvar jste dostali? (8) Jaký útvar vznikne ze souřadnic [2; 2], [7; -1], [6; -5], [1; -2]? (9) Jaký útvar vznikne ze souřadnic [-1; 2], [2; 5], [3; 6], [-3; 0]?

Strana 56

Správné odpovědi k náročnějším otázkám: (6) čtverec (7) drak, deltoid (8) rovnoběžník (9) úsečka - body leží v přímce

Obrázek 8.6-1 Experiment Souřadnice bodu v rovině ě

Metodické poznámky: Tuto figuru je lépe využít v podobě apletu webové stránky, na němž k bodům na nákresně nelze přidávat jejich souřadnice, což je z hlediska didaktického výhodnější. Bodem A lze libovolně pohybovat po nákresně, zatímco body B, C, D leží na skrytých přímkách, jejich pohyb je omezen a tím také jejich souřadnice mají speciální vlastnosti, např. jedna ze souřadnic se nemění, souřadnice jsou opačná čísla apod. U řady úloh si žák může pomoci bodem A, protože ten vypisuje souřadnice. Pokud by se měly tvary vzniklých čtyřúhelníků ověřit, musely by se použít některé další nástroje (kolmice, kružnice, měření délek, úhlů).

Příklad: Složení dvou osových souměrností V úloze mají žáci poznat vzor, první a druhý obraz. V 2. úloze žáci hledají podmínku pro to, aby složením dvou osových souměrností byla identita. Zadání: V souboru jsou na nákresně tři shodné trojúhelníky, kterým chybí popis (obr. 2). Víme, že trojúhelník ABC má být vzor, DEF je jeho obraz podle osy o a GHI je obrazem obrazu DEF podle osy p. (1) Pohybujte osami o, p a poznejte, který trojúhelník je který. Vybarvěte vzor ABC růžovou, obraz DEF červenou a obraz obrazu GHI tmavě červenou barvou. Můžete také popsat vrcholy trojúhelníků.

Strana 57

(2) Pohybujte osami o, p tak, aby vzor ABC a druhý obraz GHI splynuly (tedy aby váš nejsvětlejší trojúhelník splynul s nejtmavším). Vysvětlete, v jaké vzájemné poloze osy leží.

Nápověda: Pokud se nedaří, aby trojúhelníky splynuly, je možné, že jste je špatně vybarvili.

Obrázek 8.6-2 Skládání zobrazení Hledání polohy dvou os, tak aby druhý obraz, vzniklý složením obou osových souměrností, splynul se vzorem. Úloha vede k některým zobecněným vlastnostem skládání zobrazení.

Metodická poznámka: V 2. úloze žáci hledají podmínku pro to, aby složením dvou osových souměrností byla identita. Správná odpověď je, že osy musí splynout. Manipulace dá některým žákům značnou práci, protože mají potíže s koordinací otáčení os (přímky, dané bodem a směrem, lze v Cabri buď otáčet kolem jejich tzv. hlavního bodu, nebo je přemísťovat táhnutím za tento hlavní bod). Jakmile třeba i náhodou dostanou vzor a druhý obraz do polohy, v níž by byly jejich odpovídající si strany rovnoběžné, rychle již dosáhnou hledané polohy.

Příklad: Mřížové trojúhelníky V originále na čtverečkovaném papíře, v „počítačové verzi“ na nákresně opatřené mřížovými body (v Cabri nástroje Zobrazit osy a poté Mřížové body) žáci hledají všechny tvary a polohy trojúhelníků s vrcholy v mřížových bodech a s obsahem 0,5. Nástroj měření obsahu Velikost obsahu může slabšímu žákovi od začátku, vyspělejšímu u neelementárních tvarů, pomoci velikost obsahu kontrolovat. Žáci experimentují tak, že přesouvají vrcholy po mřížce a hledají další tvary téhož trojúhelníka, případně vytvářejí další a další tvary, které splňují podmínku.

Strana 58

Učitel může očekávat, že žáci budou vytvářet hypotézy typu Čím je obdélník delší, tím je užší; Uvnitř trojúhelníka nesmí ležet žádný mřížový bod; Ke dvěma zvoleným vrcholům mohu najít třetí na přímce „o jednu výše“. Pro ověření třetí uvedené hypotézy lze použít umístění třetího vrcholu na přímku, procházející mřížovými body a rovnoběžnou se spojnicí dvou zbývajících vrcholů. Toto ověření má význam především u vrcholů umístěných šikmo v mřížce (na obr. vpravo body A, B).

Obrázek 8.6-3 Trojúhelníky v mřížce Hledání všech tvarů mřížových trojúhelníků s obsahem 0,5. Základní tvary (vlevo nahoře), pokročilé tvary získané experimentováním (vlevo dole), ověření žákovské hypotézy konstrukcí rovnoběžky, procházející mřížovým bodem, nejbližším k přímce AB.

Příklad: Délka tětivy Zadání: Jsou dány dvě protínající se kružnice. Z bodu A, ležícího na jedné z kružnic, veďte polopřímky, procházející průsečíky obou kružnic. Tyto polopřímky protínají druhou kružnici v bodech B, C. Ověřte, zda platí, že délka úsečky BC nezávisí na poloze bodu A (obr. 4). Odpověď: platí pouze tehdy, pokud bod A neleží uvnitř druhé kružnice - pouhé ověření bez řádného experimentování tuto podmínku nenajde.

Obrázek 8.6-4 Délka tě ětivy obr. 4 - Experimentální ověření nezávislosti délky úsečky BC na poloze bodu A (pohybujícího se po kružnici), nalezení podmínky této nezávislosti. Čárkovaná část figury představuje situaci pro jinou polohu bodu A.

Strana 59

8.7 Náměty na konkrétní projektovou činnost Nabízíme burzu námětů na geometrické projekty, realizovatelné s počítačem. Prohlédněte si obrázky a přiloženými soubory, ze kterých bude zřejmé, že se děti stále učí matematiku, i když používají počítač a neřeší tradiční úlohy z učebnice. Vybrali jsme opravdu netradiční náměty, jejichž těžištěm je ovšem matematika, nikoliv její aplikace v jiné oblasti. Trochu nás může uklidnit, že zde děti pracují podobným způsobem, jako s velkou pravděpodobností budou v budoucnu pracovat ve svém zaměstnání (což o tradiční výuce matematiky říci tak zcela nelze).

Cíle: - udělat si představu o možnostech projektové práce u počítače - porozumět pojmu jednoduchý geometrický mechanismus a jeho modelování Výběr projektů je uveden v e-learningovém prostředí. K projektům jsou k dispozici obrázky nebo u některých soubory Geogebry, které si lze prohlédnout. V jednom případě (pes) je k dispozici odkaz na web, v němž jsou studentské práce, vytvořené v programu Cabri a umístěné do apletů. Měly by se zobrazovat a půjde s nimi manipulovat.

Teoretické pojednání o projektech v matematice Matematika se zprvu jeví jako školní předmět, který není pro projektovou výuku vhodný. Hlavní náplní tradiční výuky je řešení úloh, a i ty složité a komplexní úlohy stále nemají povahu projektů, v nichž by se žák mohl mj. podílet na zadání. Interdisciplinární projekty, v nichž část určeného času žák počítá či rýsuje, jsou z pohledu výuky matematiky vnímány jako projekty aplikační. Jejich nasazování ovšem naráží na vcelku pochopitelný odpor učitelů, kterým připadá, že projekty nejsou dostatečně intenzívní, že v nich dochází k rozředění matematického obsahu a cílů výuky. Učitel může mít pocit, že pouze část projektu se opravdu věnuje matematice a tím že mu projekt ubírá prostor pro výuku matematických kompetencí. Z hlediska celkové výchovy člověka je to postoj falešný, protože práce na projektech a v týmu je velice cenná, ovšem to nevyvrátí učitelovy obavy, že takovéto aplikační projekty zvláště u starších žáků matematiku odsouvají do pozadí. K těmto obavám někdy přispívá počáteční pedagogický nezdar (učitel neumí projekty vést a připravovat, žáci neumí projektově pracovat, protože se to v jiném předmětu také nenaučili). Možností, jak najít vhodné aplikační prostředí pro projekty, a přitom neztrácet těžiště výuky mimo oblast matematiky, je použít výpočetní techniku jako nástroj pro aplikaci matematických dovedností. Kromě zvýšené motivace, která přes počítače může přitáhnout k matematice nové žáky, je kladem i fakt, že je možné téměř celý projekt realizovat jako matematickou záležitost. Tato kapitola přináší sadu aktivit projektové povahy, které vedou žáky ke kreativitě, k použití geometrických kompetencí, k trénování projektového způsobu práce. Vybrané projekty jsou zaměřeny na matematický obsah, nejde tedy jen o pouhou aplikaci matematiky v „situacích ze života“ nebo interdisciplinarity. Přehlídka projektů chce ukázat jiný způsob, jak zhodnotit žákovu geometrickou zdatnost, než je použití počítače jako interaktivního geometrického náčrtníku.

Strana 60

9 Využití videa Video je méně interaktivní než počítač, ovšem jeho přístupnost (stačí říci pouze slovo YouTube) z něho dělá dostupný materiál k využití. V kapitole si pustíme několik matematických videí, od nevhodných po vysoce profesionální, a ukážeme si jejich přínos.

Cíle: Posoudit vhodnost toho kterého výukového videa pro vlastní výuku aneb Ne všechno počítačové je přínosné a neškodné

9.1 Výukové video Úvod s trochou teorie a historie a pak komentované videoukázky, které je ovšem předem nutno shlédnout, případně stáhnout.

Cíle: Technicky zvládnout spustit video na počítači.

Výukové video Úloha videa ve výuce se v průběhu let vyvíjela. Po pokusech použít film (např. v 80. letech filmové smyčky KP-8) se videopořady do školní matematiky dostávaly sporadicky. Přes náročnost svojí výroby přinášely nový přístup k výuce matematiky, kdy učitele nahradilo uzavřené výukové prostředí, které pasivního posluchače vedlo s předem připravenou didaktikou k danému výukovému cíli. S nástupem počítačů do škol s jejich interaktivitou, možnostmi bleskové zpětné vazby a modelování zatlačily video do pozadí a zdálo se, že tato forma výukového nástroje je v matematice na rozdíl od jiných školních předmětů, přinášejících např. záběry ze života nebo hrané situace a příběhy, překonána. Grafické možnosti superpočítačů simulovat složité jevy vrátily alespoň v této chvíli výukové video do vzdělávání matematice. Ne každý počítač dokáže takové simulace v reálném čase zvládnout, navíc možnost více ovlivnit samotný obsah výuky, tedy to, co a jakým způsobem se žákovi sdělí, je pro tvůrce videa i pro učitele zajímavá. Pokud tedy v takovém kvalitně zpracovaném pořadu je učitel na určitou chvíli vyřazen z pozice hlavního manažera výuky, je kompenzována nedostatečná zpětná vazba, jednosměrnost výuky apod. zážitkem z asistence při objevování nových poznatků i matematického krásna, zprostředkovaného kvalitní grafikou. V této kapitole si prohlédneme několik videí s matematicko-vzdělávacím obsahem.

Video Komiks: základní geometrické konstrukce Doporučujeme nejprve si video prohlédnout, teprve poté číst komentáře, které by mohly předem ovlivnit Váš postoj k sledovanému videu. Spusťte a prohlédněte si video na webu http://www.youtube.com/watch?v=S-atfsonr8w

Strana 61

Obrázek 9.1-1 Geometrický komiks Základní geometrické konstrukce Komentář: Ne každému se bude líbit způsob provedení videa jako komiksu s naivní grafikou a expresívně se vyjadřujícími dívkami. Zatímco žáci mohou být tímto pojetím zaujati, část učitelů jistě bude považovat takový projev minimálně za nevkusný. Pro nás je ale zajímavá didaktická složka videa. Videopořad předkládá geometrii jako hotové návody, postupy, vzorce. Není zde žádné objevování, vysvětlování, geometrie je zde chápána jako sbírka sdělených a naučených znalostí. Je otázkou, zda právě takto pojaté výstupy jsou cílem vzdělávání. Doufejme, že video je dílem nějakých studentek, které se realizovaly v grafické podobě a motivaci a které nepřemýšlely nad tím, jakým způsobem geometrickou látku divákovi předat. Pokud by toto měl být koncept výuky geometrie, daný nějakou didaktickou autoritou, můžeme říci, že přínos technologií tímto způsobem je pro rozvoj geometrického myšlení žáků minimální.

Video: Chinese counting Doporučujeme nejprve si video prohlédnout, teprve poté číst komentáře, které by mohly předem ovlivnit Váš postoj k sledovanému videu. Spusťte a prohlédněte si video na webu http://video.google.com/videoplay?docid=4962924503647164146#

Strana 62

Obrázek 9.1-2 video Čínské počty Komentář: Toto video má silně motivační účinek, vyvolává dojem kouzla, může žáky podnítit k hledání, jak je možné, že výsledek vychází, a zda jde o nový algoritmus pro násobení dvou čísel, nebo již takový postup znají. Po analýze postupu zjistíme že jde o grafické znázornění normálního algoritmu výpočtu součinu dvou čísel, jak jej žáci znají ze školy. V tomto algoritmu je nová pouze zajímavá geometrizace, kdy počet průsečíků dvou různoběžných svazků rovnoběžných přímek je roven součinu počtu přímek v obou svazcích, tedy: když jeden svazek má např. 4 přímky a druhý 3, počet průsečíků je 12 (snadno si nakreslíme). Vlastnosti poziční soustavy (které v školním algoritmu provádíme posunem 2. řádku výpočtů o 1 místo doleva atd.) jsou zde řešeny kreslením čar zleva doprava (odleva jsou kresleny tzv. „desítkové“ čáry, tedy odpovídající počtu desítek) a natočením obrázku o 45°, aby se daly s čítat průsečíky mezi tzv. „desítkovými“ a „jednotkovými“ čarami ve svislém směru. Zdánlivá snadnost tzv. „čínského počítání“, jak se video jmenuje, končí tehdy, použijeme-li větší čísla, kdy počet průsečíků v jednom sloupci přesáhne 10 - pak nestačí pouhé sestavení výsledných čísel, zapsaných pod obrázkem. Podívejte se na obrázek 9.1-3. Při sčítání větších čísel nastává problém, jak ze spočtených průsečíků zkonstruovat správný výsledek příkladu (a hlavně jak ten postup zdůvodnit). Již při použití čísel 514 a 123 nastávají značné komplikace, ze kterých vyplývá, že nemůže jít o obecně použitelný algoritmus, který by se dal vyučovat.

Strana 63

Obrázek 9.1-3 Čínské počty algoritmus výpočtu součinu dvou čísel Nicméně toto video je na rozdíl od předchozího pro výuku matematiky velice přínosné. Žák může kontrolovat na vlastním příkladu, zda algoritmus je obecný, objevovat, jak vlastně vypočítává výsledek, odhalit jeho podobnost s algoritmem, který se učil ve škole on, a nakonec i bádat, jak vlastně funguje algoritmus, který se ve škole patrně mechanicky naučil.

Video: Dimensions Zde chceme představit profesionálně připravené video pro výuku matematiky, které můžete použít při výuce. Toto video bude promítáno na prezenční části kurzu.

Obrázek 9.1-4 výukové video Dimensions

Strana 64

Jednotlivé kapitoly (jednotlivá videa) si lze stáhnout ze stránky http://www.dimensions-math.org/Download_Lyon.htm V tabulce na této stránce jsou ve sloupcích jednotlivé díly a v řádcích jazyk dabingu. Klepněte na vybraný obrázek pravým tlačítkem myši a zvolte uložit. Videa jsou kvalitní a tedy velká ( v záhlaví tabulky je uvedena velikost videa), stažení potrvá déle. Přehrávání videa: videa půjdou přehrát na různých prohlížečích, pokud ale chcete české titulky, použijte prohlížeč VLC player (zdarma ke stažení na http://www.videolan.org/vlc) Titulky: jsou k dispozici v rámci kurzu v souboru titulky.zip. Titulky jsou připraveny k anglické verzi videí (English, nikoliv American English). Archiv obsahuje 9 souborů, ke každému dílu jeden. Soubor s titulky musí být ve stejné složce jako soubor s videem, oba soubory musí mít stejný název, např. Chap2_english.mov a Chap2_english.srt (není-li splněno, stačí zkopírovat, přejmenovat apod.). Licence: Videopořady Dimensions vytvořili autoři Jos Leys, Étienne Ghys a Aurélien Alvarez z francouzského Lyonu. Videa jsou vytvořena pod licencí Creative Commons, což znamená, že je možné je volně šířit nekomerční formou, je možné měnit obsah s podmínkou uvedení autorů. Pro učitele to znamená, že může ve výuce zcela volně používat videa nebo jejich části.

Obrázek 9.1-5 Dimensions - nadkrychle modelování 4D těles ve 4. dílu videosérie Obsah a metodické poznámky Pod názvem Dimensions najdete sadu devíti volně navazujících dílů geometrických videosouborů. Délka jednoho dílu je cca 13 minut, videa jsou namluvena anglicky a opatřena českými titulky. Každé z videí obsahuje převážně sérii počítačových simulací geometrických objektů s vysokou kvalitou zpracování a logicky a didakticky vystavěný scénář. Modely tří- a čtyřrozměrných těles, souřadných soustav a geometrických transformací dávají nahlédnout, jak byly v minulosti objevovány cesty k pochopení čtvrté dimenze, komplexní roviny a objektů, které se v ní nacházejí.

Strana 65

Doporučujeme prohlédnutí čtyř úvodních kapitol Dimensions, v nichž je divák postupně veden od dvourozměrného po čtyřrozměrný prostor. V prvním dílu se seznámí s podstatou stereografické projekce na modelu zemského globusu a mapy Země. V druhém dílu je připraven základ pro analogii mezi 3D a 4D prostorem variací na příběh „Flatland“ od Edwina Abbota o dvourozměrných bytostech, žijících v rovině, a jejich možnostech proniknout svojí představivostí do třetího rozměru. Nejprve metodou pozorování měnících se řezů pravidelných těles rovinou pozorovatele, poté metodou stereografické projekce pravidelného tělesa na rovinu pozorovatele trénuje divákovu představivost.Tato pasáž 2. sílu představuje asi nejpodnětnější látku pro žáky ZŠ, protože je ještě plně představitelná v 3D. Třetí díl videa nejprve vysvětluje princip čtvrtého rozměru analogicky k zavedení 3D v předcházejících dílech, poté nechává diváka nahlížet na „řezy“ čtyřrozměrných pravidelných těles naším trojrozměrným prostorem a přidává základní informace o počtech vrcholů, hran, stěn trojrozměrných stěn, tzv. „buněk“ těchto nadtěles. Čtvrtý díl zprostředkovává seznámení s těmito tělesy pomocí jejich stereografické projekce do našeho světa. Divák je fascinován nejen grafickou dokonalostí videí a složitostí takových nadtěles, ale i jejich názvy (analogicky dvanáctistěnu existuje „stodvacetibuněk“ se svými 720 hranami, 120 vrcholy a 120 buňkami), sdělovanými počty prvků těchto těles a dalšími informacemi.

Obrázek 9.1-7 Dimensions obsah Kapitoly 5-9 stále vycházejí z látky vysvětlené v prvních kapitolách, ovšem velmi rychle se dostávají k náročným matematickým pasážím. Témata dalších dílů jsou komplexní čísla a komplexní transformace, fraktály, Hopfovy kružnice, fibrace.

Strana 66

Stručný obsah jednotlivých dílů lze v anglickém jazyce nalézt na webu videa Dimensions http://www.dimensions-math.org/Dim_tour_E.htm. Lze říci, že 1. a 2. díl jsou uchopitelné žáky ZŠ a 1. až 6. díl žáky SŠ. Videa neodpovídají nějakému standardnímu českému kurikulu výuky geometrie, nicméně sledování tohoto videa přináší oproti standardní výuce výhodu, že i žák, který vůbec neporozumí podstatě probíraného učiva, si odnese zážitek z matematického krásna a povědomí o složitosti světů, které jsou blízko nás a o nichž velicí matematikové historie dokázali přemýšlet, i když takové možnosti modelování jako my neměli. Každý díl videa je jakoby vyprávěn jedním z objevitelů na poli matematiky, jehož práce se týkaly objevu, který je v dílu popisován: Hipparchos, Escher, Schläfli, Douady, Hopf atd.

10 Využití Internetu Učitel nemusí své výukové materiály vytvářet, pokud si dokáže vybrat z toho, co nabízí Internet. Řada materiálů na Internetu je hotova a nabízena, učiteli stačí se v nich zorientovat a dokázat stáhnout si a upravit pro sebe takový objekt (obrázek, konstrukci, výpočet, graf, metodický list, projekt apod.). V této kapitole se naučíte vyhledat a stáhnout si hotovou geometrickou konstrukci do svého počítače (do programu, který používáte k rýsování) tak, abyste jej mohli ještě upravit a uložit.

Cíle: seznámit se se zdroji na Internetu (DŮM RVP, Intergeo) umět vyhledat vhodný výukový objekt stáhnout, uložit a otevřít stažený vzdělávací obsah ve svém počítači

Obr. 10-1 DUM RVP – úložiště výukových materiálů vytvořených učiteli a nabízených zdarma ke stažení.

Strana 67

11 Tvorba nového kurikula pro výuku s technologiemi Projděte si tyto materiály a soubory a vyzkoušejte si je. Aktivita je dobrovolná.

Cíle: Udělat si představu, jak lze vést výuku geometrie s vydatnou pomocí počítače.

Osová souměrnost s Geogebrou V tomto článku si projděte výukový materiál, který zakomponoval běžné a pravidelné využití počítače do výuky standardního geometrického tématu na ZŠ. Jsou zde představeny nové úlohy, které umožňují nový přístup k výuce, kdy děti objevují nové poznatky (místo aby jim byly pouze sdělovány), manipulují s objekty, ověřují své domněnky a hypotézy, experimentují, pracují projektově.

Obrázek 11-1 Neshodné zobrazení Soubor pro žákovu manipulaci, ukázka z materiálů připravených v Geogebře. Žák mění tvar a polohu trojúhelníka a vidí, jak se před očima mění jeho obraz, který je evidentně neshodný se vzorem. Přitom žák může pohybovat bodem X po vzoru a pozoruje, jak se jeho obraz X´pohybuje po obrazu – jde tedy o zobrazení. Úloha slouží k vytvoření žákovy představy o chování neshodných zobrazení.

Materiál obsahuje především sady úloh (doplněné obrázky a názvy odpovídajících souborů, vytvořených v Geogebře - tyto soubory si stáhnete zvlášť).

Strana 68

U každé úlohy nebo aktivity najdete metodické poznámky, jak úlohu učit, na co si případně dát pozor. Kapitola odpovídá většině současných učebnic matematiky pro 6. ročník a víceletá gymnázia. Kapitola je zakončena nabídkou projektů, kterými lze výuku zakončit.

Jak na to Pod následujícím odkazem si stáhnete externí zdroj - metodickou příručku, jak učit téma osové souměrnosti s podporou počítače. Jsou k dispozici i soubory pro žákovské úlohy a aktivity, soubory jsou vytvořeny v Geogebře.

Soubor s metodickými texty http://home.pf.jcu.cz/~vanicek/GGebra/soumernost_s_Geogebrou.pdf Sada souborů s geometrickými figurami Stáhněte si soubor se soubory Geogebry. Soubory jsou "zazipované", proto si je "rozbalte" do nějaké složky. Názvy souborů odpovídají popiskám v textu hlavního textu (např. obr. 1.1 neshodné zobrazení z textu bude mít svůj soubor 1_01_neshodné zobrazení.ggb) http://home.pf.jcu.cz/~vanicek/GGebra/soumernost_s_Geogebrou.zip

13 Závěrem – Rozloučení aneb Na co nezbyl čas Jsme na konci kurzu, a patrně cítíte, že byste potřebovali další čas, abyste mohli opravdu bravurně zvládnout tuto vzdělávací pomůcku zvanou počítač. Je to podobné jako v autoškole: nechají Vás chvilku jezdit pod dohledem, poskytnou řadu rad a informací, na závěr Vás vyzkoušejí, ale to neznamená, že z Vás udělali dobrého řidiče. Tím se člověk stane teprve praxí, ježděním, účastí v normálním provozu. I v případě tohoto kurzu splněním závěrečných úkolů sice získáte certifikát (který podle nás má slušnou cenu, protože při poctivém průchodu kurzem znamenal značnou časovou i intelektuální zátěž, o nervovém vypětí nemluvě). Nyní je ovšem na Vás, zda počítač opravdu začnete při své výuce používat, protože to bude aspoň zpočátku znamenat vydání jisté energie a času. Na druhou stranu si pak budete moci říci: Ano, já JSEM moderní učitelka, moderní učitel.

Co dál V tomto kurzu jsme se stihli trochu dopodrobna zabývat jedním z několika druhů výukového software. Dalších jsme se jen dotkli, abyste získali nějaký přehled. Třeba ovšem právě v jiné oblasti byste se chtěli více rozvíjet nebo v něm vidíte více možností. Můžete tedy např. 1. Dále prohlubovat znalosti a používání geomerického software

Strana 69

- žádat po žácích nainstalovat si doma Geogebru a rýsovat v ní - koupit ostrou verzi kvalitnějšího programu Cabri II Plus pro školu - zabývat se prostorovou geometrií s programem Cabri 3D 2. Zabývat se počítačovou algebrou - koupit programy Mathematica, Derive - nebo zdarma používat např. program wxMaxima - těšit se na implementaci algebry do nové verze Geogebra 5 - využívat výukové materiály, které jsou k dispozici

3. Propojit matematiku s informatikou pomocí mikrosvětů - pokud současně učíte počítače, je výhodné využít prostředí Logo pro výuku želví geometrie i základů programování pro děti - koupit program Imagine Logo s výukovými materiály nebo zdarma program Scratch (http://scratch.mit.edu) - používat robotické stavebnice LEGO Mindstorms, LEGO WeDo apod.

4. Navštěvovat učitelské konference, na nichž se setkáte s počítačem podporovanou výukou - konference Užití počítače ve výuce matematiky (České Budějovice, lichý rok, listopad) - konference Jak učit matematiku žáky ve věku 11-15 let (Litomyšl, lichý rok, říjen) - konferenci Dva dny s didaktikou matematiky (Praha, PedF UK, každoročně, únor) - konference Tři dny s matematikou (pro SOŠ, Ústí nad Orlicí, sudý rok, říjen) - konference Počítač ve škole (Nové Město na Moravě, každoročně, duben) O všech těchto (a dalších) vzdělávacích akcích informuje internetový portál SUMA (Společnost učitelů matematiky) Jednoty českých matematiků a fyziků http:// suma.jcmf.cz (odkaz Akce)

5. Podívat se čas od času na Internet - např. na metodický portál RVP (http://www.rvp.cz) - především do jeho Digitálního úložiště materiálů DUM, kde se objevují výukové materiály vytvořené jinými učiteli, - nebo sáhnout do evropského úložiště geometrických výukových objektů Intergeo (http://www.i2geo.net)

Strana 70