VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství Ústav mechaniky těles, mechatroniky a biomechaniky

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství Ústav mechaniky těles, mechatroniky a biomechaniky

Ing. Luboš Náhlík, Ph.D.

ZOBECNĚNÍ LINEÁRNÍ LOMOVÉ MECHANIKY NA PŘÍPAD TRHLINY ŠÍŘÍCÍ SE PŘES ROZHRANÍ DVOU MATERIÁLŮ GENERALISATION OF THE LINEAR FRACTURE MECHANICS TO CASES OF A CRACK PROPAGATING THROUGH THE INTERFACE BETWEEN TWO MATERIALS

Teze habilitační práce

BRNO 2009

KLÍČOVÁ SLOVA Materiálové rozhraní, kriteria stability, kritické napětí, šíření trhliny, zobecněný součinitel intenzity napětí KEY WORDS Material interface, stability criteria, critical stress, crack propagation, generalized stress intensity factor

MÍSTO ULOŽENÍ HABILITAČNÍ PRÁCE Areálová knihovna Fakulty strojního inženýrství VUT v Brně

© 2009 Luboš Náhlík ISBN 978-80-214-3892-7 ISSN 1213-4198

OBSAH PŘEDSTAVENÍ AUTORA............................................................................................................... 4 1 ÚVOD ........................................................................................................................................... 5 2 ROZDĚLENÍ NAPĚTÍ V OKOLÍ VRCHOLU TRHLINY ......................................................... 6 2.1 2.2

Určení exponentů singularity napětí .................................................................................... 9 Určení zobecněných součinitelů intenzity napětí............................................................... 11

3 FORMULACE KRITERIA STABILITY TRHLINY S VRCHOLEM NA ROZHRANÍ DVOU MATERIÁLŮ ............................................................................................................................. 13 3.1 3.2

Postup při formulaci kriteria stability trhliny..................................................................... 14 Příklad sestavení kriteria stability ...................................................................................... 15

4 VÝSLEDKY - KOMENTÁŘ VLASTNÍCH PRACÍ ................................................................. 18 4.1

4.2 4.3

Kriteria stability trhliny s vrcholem na rozhraní................................................................ 18 4.1.1 Kriterium založené na velikosti plastické zóny před vrcholem trhliny .................. 18 4.1.2 Kriterium založené na zobecněném fakturu hustoty deformační energie .............. 19 4.1.3 Kriterium založené na otevření trhliny .................................................................. 20 Stanovení singularity napětí na povrchu tělesa.................................................................. 21 Aplikace lomových kriterií ................................................................................................ 22 4.3.1 Aplikace na tenké povrchové vrstvy ....................................................................... 22 4.3.2 Aplikace na vícevrstvé materiály ........................................................................... 23 4.3.3 Částicové kompozity............................................................................................... 23

5 SHRNUTÍ DOSAŽENÝCH VÝSLEDKŮ A ZÁVĚR............................................................... 25 POUŽITÁ LITERATURA .............................................................................................................. 27 SEZNAM PRACÍ TVOŘÍCÍ JÁDRO HABILITAČNÍ PRÁCE..................................................... 29 ABSTRACT..................................................................................................................................... 30

3

PŘEDSTAVENÍ AUTORA Jméno: Datum narození: Zaměstnavatel: Telefon: E-mail:

Luboš Náhlík, Ing., Ph.D. 12. září 1975 Ústav fyziky materiálů AV ČR, v. v. i., Žižkova 22, 616 62 Brno a ÚMTMB FSI VUT v Brně, Technická 2, 616 69 Brno 532 290 351, 54114 2885 [email protected], [email protected]

Vzdělání: 1999 – 2002 Interní doktorské studium na Ústavu mechaniky těles FSI VUT v Brně a Ústavu fyziky materiálů Akademie věd ČR. Téma disertační práce: Šíření únavových trhlin v okolí rozhraní dvou elastických materiálů. Udělen titul: Ph.D. 1994 – 1999 Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně, obor: Aplikovaná mechanika, specializace: Inženýrská mechanika. Udělen titul: Ing. 1990 – 1994 Střední průmyslová škola strojnická, Sokolská 1, Brno. Odborná praxe: 2007 – dosud Odborný asistent, ÚMTMB FSI VUT v Brně (50% úvazek) 2003 – dosud Vědecký pracovník, Ústav fyziky materiálů AV ČR, skupina Vysokocyklové únavy. Další funkce: pracovník pro styk s veřejností (od r. 2004), tajemník atestační komise (od r. 2008) 2003 – 2006 Externí vyučující ÚMTMB a ÚMVI FSI VUT v Brně (Mezní stavy, Statika) 2002 – 2003 Roční post-doktorandský pobyt Ecole Centrale de Lille, Equipe Mécanique et Matériaux, Lille, Francie. Zaměření: Numerical modeling of plastic deformation in duplex stainless steels. 1999 – 2002 Spolupráce na řešení grantů GA ČR a GA AV. Vyučující předmětu Pružnost a pevnost II, ÚMT FSI VUT v Brně. 1997 – 1999 Konstruktér, Strejček spol. s r.o. (Energetické stroje a zařízení, spalovací a parní turbíny). Odborné zaměření: Lomová mechanika a únava materiálu, výpočty lomově-mechanických parametrů konstrukcí s koncentrátory napětí a odhad zbytkové životnosti, studium šíření únavových trhlin v blízkosti a přes rozhraní dvou materiálů, lomová mechanika obecných singulárních koncentrátorů napětí, formulace a aplikace kriterií stability obecných singulárních koncentrátorů napětí, numerické výpočty a modelování pomocí MKP. Řešitel nebo spoluřešitel 3 grantových projektů (GAČR a GAAV), člen řešitelského týmu více jak 20ti národních (GAČR, GAAV, MPO) a mezinárodních (DAAD, EURATOM) grantových projektů. Autor nebo spoluautor více jak 120ti odborných publikací. Školitel: 1 doktorand; školitel specialista: 1 doktorand. Vyučované kurzy: Statika, Pružnost a pevnost I, Pružnost a pevnost II, Mezní stavy, Únava a lomová mechanika Ocenění: Čestná cena Inženýrské Akademie ČR (2008), Cena rektora VUT v Brně v kategorii PhD. studentů (2002), 4x oceněn v posterových soutěžích národních a mezinárodních konferencí (2001-2008).

4

1

ÚVOD

U většiny běžných materiálů je třeba počítat s objektivní existencí defektů (např. nečistot, vměstků, technologických vrubů a podobně). Tyto defekty, mající nejrůznější původ, jsou potencionálním zárodkem lomu, který dále může vést ke ztrátě funkční způsobilosti výrobku a tím případně i k ohrožení bezpečnosti a zdraví člověka-uživatele či finančním ztrátám. Hlavním úkolem lomové mechaniky je definovat podmínky chování defektů typu trhlin a vytvořit tak objektivní a důvěryhodné podklady pro zajištění bezpečnosti a spolehlivosti technických zařízení. Životnost a spolehlivost některých materiálových systémů (jako jsou např. kompozitní materiály, součásti s povrchovými vrstvami apod.) může být podstatně ovlivněna existencí a chováním trhliny nacházející se v blízkosti rozhraní jednotlivých materiálových složek. V mnoha případech dochází k porušení funkčnosti celého systému iniciací a šířením trhliny s následným lomem právě v důsledku specifických vlastností rozhraní. Z tohoto hlediska může být rozhodující chování trhliny v okamžiku, kdy se šíří v jednom z vázaných materiálů a přitom její vrchol dosáhne rozhraní s druhým materiálem. Otázka, zda trhlina překročí rozhraní a bude se šířit do druhého materiálu, či zda se bude šířit podél rozhraní nebo případně zda se „odrazí“ zpět do materiálu prvního, je rozhodující v řadě praktických případů. Problematika trhliny, existující v jednom materiálu, která má přitom vrchol na rozhraní s materiálem druhým je tedy pro posouzení stability materiálových systémů v celé řadě případů klíčová [15]. Studium chování trhlin v nehomogenních materiálech je v současné době předmětem širokého zájmu a vzhledem k praktickému významu (např. v oblasti kompozitních materiálů) se stalo cílem jak teoretického výzkumu, tak i praktických aplikací lomové mechaniky. Většina dosud publikovaných prací se zabývala problémem šíření trhlin nacházejících se na rozhraní mezi dvěma materiály, proto se autor zaměřil na méně probádanou oblast, tj. případ trhlin šířících se přes materiálové rozhraní. Praktickým výsledkem práce je návrh postupů umožňujících kvantitativní odhad vlivu rozhraní na životnost těles porušovaných šířením únavových trhlin v oblasti vysokocyklové únavy. V případně porušování křehkých materiálů pak návrh postupů umožňujících odhadnout vliv materiálového rozhraní na kritickou hodnotu pro šíření trhlin přes rozhraní „křehkých“ materiálů (např. keramických kompozitů, částicových kompozitů apod.). Plný text habilitační práce představuje setříděný soubor 27 autorových prací publikovaných v časopisech a na mezinárodních konferencích opatřený komentářem. V těchto tezích je uveden výtah hlavních myšlenek a některých výsledků uvedených v habilitační práci. Odkazy na autorovy práce jež jsou součástí habilitační práce jsou označeny písmenem P a pořadovým číslem publikace. Seznam prací jež tvoří jádro habilitační práce je uveden na konci tezí. Poznamenejme úvodem, že v době vzniku prvních publikací jež jsou součástí předložené habilitační práce existovala celá řada publikací zabývajících se rozdělením napětí v okolí vrcholu trhliny ležícím na rozhraní dvou materiálů a analytické řešení rozdělení napětí bylo tedy dobře známo. V literatuře řídce zastoupenou oblastí avšak byla oblast kriterií stability pro trhlinu jejíž vrchol se nachází na rozhraní dvou materiálů. Proto se autor zaměřil ve svých vědeckých studiích zejména na tuto málo prozkoumanou oblast.

5

2

ROZDĚLENÍ NAPĚTÍ V OKOLÍ VRCHOLU TRHLINY

Pro posouzení chování tělesa s trhlinou je nezbytná znalost rozdělení napětí v okolí vrcholu trhliny. Uveďme zde tedy alespoň základní postup jeho analyticko-numerického určení. Lineární elastická lomová mechanika (LELM) vychází z předpokladů lineární, zpravidla izotropní teorie pružnosti. Předpokládá platnost Hookeova zákona mezi složkami napětía deformacemi. Při aplikaci zjednodušujících předpokladů je schopna LELM popsat napěťové poměry v okolí kořene trhliny i při existenci plastické zóny, za předpokladu, že tato je hodně menší než délka trhliny a zároveň hodně menší než charakteristický rozměr tělesa. Analytické dvoudimenzionální řešení rozdělení napětí v okolí vrcholu trhliny nacházející se v homogenním materiálu jenž je řešením Airyho funkce napětí ∇ 4 Φ ( r , θ ) = 0 , bylo v padesátých letech 20. století nalezeno Williamsem, např. [27]. Airyho funkce napětí má tvar:

Φ = r λ +1[c1 sin ( λ + 1) θ + c2 cos ( λ + 1) θ + + c3 sin ( λ − 1) θ + c4 cos ( λ − 1) θ ] = r λ +1 F (θ , λ ) ,

(1)

kde c1, c2, c3 a c4 jsou konstanty a (r, θ ) jsou polární souřadnice s počátkem ve vrcholu trhliny, viz obr.1. Pro složky napětí v polárním souřadnicovém systému v okolí vrcholu trhliny platí:

σ rr = r λ −1 ⎡⎣ F ′′ (θ ) + ( λ + 1) F (θ ) ⎤⎦ σ θθ = r λ −1 ⎡⎣ λ ( λ + 1) F (θ ) ⎤⎦

(2)

σ rθ = r λ −1 ⎡⎣ −λ F ′ (θ ) ⎤⎦ , kde symbol „ ´ “ značí derivaci podle polárního úhlu θ . Z Williamsova postupu plyne také závěr, že změna velikosti posuvů se vzdáleností od vrcholu trhliny je typu r λ . Z energetického hlediska musí být λ > 0. Uvažujeme-li líce trhliny jako volné, nezatížené, potom veškeré uvedené podmínky splňuje: n λ= , (3) 2 kde n = 1, 2, 3, … .

Existuje tedy nekonečný počet λ , které splňují uvedené okrajové podmínky, tedy obecně lze zapsat řešení Airyho funkce pro těleso s trhlinou ve tvaru polynomu typu, např. [1]: N ⎛ n +1 ⎛ n ⎞ ⎞ Φ = ∑ ⎜ r 2 F ⎜θ , ⎟ ⎟ . ⎝ 2 ⎠⎠ n =1 ⎝

(4)

Ačkoliv Williamsův postup získání rozdělení napětí v okolí vrcholu trhliny není jediný známý (často se v literatuře objevuje také postup pomocí tzv. komplexních napěťových potenciálů, např. [16] pro detaily), stal se základem pro popis napětí v okolí vrcholu trhliny a později byl zobecněn i na další singulární koncentrátory napětí a je pevným jádrem lineární elastické lomové mechaniky.

6

Obr. 1. Polární souřadnicový systém ve vrcholu trhliny a příslušné složky napětí

Protože pro chování trhliny je rozhodující rozdělení napětí v blízkosti jejího vrcholu (tj. pro r → 0) omezuje se LELM nejčastěji pouze na singulární členy v rozvoji pro napětí, tj. na členy kde 0 < λ < 1. Veličina p = 1- λ se nazývá exponent singularity napětí a pro trhlinu v homogenním materiálu je, s využitím vztahu (3), p = λ = ½. Rozdělení napětí má v okolí vrcholu trhliny nacházející se v homogenním materiálu obecný tvar:

σ ij =

KI K II K f ijI (θ ) + f ijII (θ ) + III fijIII (θ ) , 2π r 2π r 2π r

(5)

kde KI , KII a KIII [MPa.m1/2] jsou součinitele intenzity napětí pro tzv. I, II respektive III mód zatěžování. fijI (θ ) , fijII (θ ) a fijIII (θ ) jsou známé funkce polární souřadnice θ . Více detailů je možno nalézt např. v [1].

Obr. 2. Příklady některých singulárních koncentrátorů napětí: a) trhlina s vrcholem na bi-materiálovém rozhraní; b) ostrý V-vrub; c) bi-materiálový V-vrub; d) V-vrub s vrcholem na bi-materiálovém rozhraní; e) spojení dvou materiálů; f) místo spojení tří (a více) materiálů

7

Součinitel intenzity napětí je jednou z nejdůležitějších a současně i nejpoužívanějších lomověmechanických veličin, popisujících stav napjatosti v tělese s trhlinou. Jde o parametr, který v sobě zahrnuje jak velikost a způsob vnějšího zatížení, tak i základní kvalitativní a kvantitativní charakteristiky geometrie tělesa a trhliny. Pokud známe velikost K, je možné určit velikost všech složek tenzoru napětí, přetvoření a posunutí v okolí vrcholu trhliny jako funkci souřadnic r a θ . Tento tzv. jednoparametrový popis představuje základní koncept pro všechny oblasti klasické lomové mechaniky. Poznamenejme, že součinitel intenzity napětí je klíčovým parametrem také při formulaci kriteria stability trhliny.

Obr. 3. Bi-materiálové těleso s trhlinou na rozhraní

Trhlina nacházející se v homogenním materiálu je specielním případem obecného singulárního koncentrátoru napětí. Pro obecný singulární koncentrátor napětí je charakteristické, že napětí v okolí jeho vrcholu lze popsat relací σ ≈ r − p , kde p je exponent singularity napětí. Jiným obecným singulárním koncentrátorem napětí může být např. trhlina s vrcholem na rozhraní dvou materiálů, V-vrub, bi-materiálový V-vrub a podobně (viz obr.2). Zatímco u trhliny je exponent singularity napětí p = ½, u obecného singulárního koncentrátoru p ∈ ( 0;1) . V případě trhliny s vrcholem na rozhraní dvou materiálů hodnota p závisí na elastických vlastnostech obou materiálů a úhlu φ , který svírá trhlina s rozhraním (viz obr.3). Stanovení tohoto exponentu je proto nezbytné pro určení pole napětí v tělese s trhlinou s vrcholem na rozhraní dvou materiálů. Vztah pro rozdělení napětí v okolí vrcholu obecného singulárního koncentrátoru napětí, a tedy i trhliny s vrcholem na rozhraní dvou elastických materiálů, má tvar (uvažovány jsou pouze singulární členy): b

σ ij = ∑ s =1

Hs 2π

⋅ r − ps ⋅ f ijs (θ ,...) ,

(6)

který je zobecněnou formou vztahu (5). Hs [MPa.mp] je zobecněný součinitel intenzity napětí a funkce fij je funkcí nejen polárního úhlu θ , jako tomu bylo ve vztahu (5), ale i dalších veličin, které souvisejí s typem koncentrátoru (např. úhlu, který svírá trhlina s materiálovým rozhraním apod.). V případě existence trhliny s vrcholem na bi-materiálovém rozhraní je fij funkcí také elastických konstant obou materiálů, tzv. Dundursových parametrů α , β (např. [5]) a úhlu natočení trhliny vůči bi-materiálovému rozhraní. Parametr b ve vztahu (6) odpovídá počtu reálných singularit z intervalu (0;1).

8

Zmíněné Dundursovy parametry jsou obvykle definovány následovně [5]:

α=

µ1m2 − µ2 m1 , µ1m2 + µ2 m1

β=

µ1 ( m2 − 2 ) − µ2 ( m1 − 2 ) , µ1m2 + µ2 m1

(7)

kde m1 ,ν 1 , µ1 příslušející materiálu M1 (viz obr. 4) a m2 ,ν 2 , µ2 příslušejí M2 (ν je Poissonovo 4 číslo a µ modul pružnosti ve smyku) a m = 4 (1 − v ) pro případ rovinné deformace nebo m = 1 +ν pro případ rovinné napjatosti. Otázka rozdělní napětí v okolí vrcholu obecného singulárního koncentrátoru napětí musí být řešena ve dvou krocích: a) z analytického řešení je třeba určit velikost a počet exponentů singularity napětí v intervalu (0;1). b) za pomoci numerických metod stanovit hodnotu(y) multiplikativní konstanty H (tzv. zobecněného součinitele intenzity napětí). 2.1

URČENÍ EXPONENTŮ SINGULARITY NAPĚTÍ

Z okrajových podmínek problému (např. líce trhliny musí být volné, nezatížené a spojitosti odpovídajících složek napětí a posunutí přes hranice oblastí, atd.) je nutné sestavit soustavu rovnic pro určení exponentu singularity napětí. Pro trhlinu v homogenním materiálu má tato soustava 4 rovnice (volné líce trhliny vyžadují nulovost tangenciální (v polárním souřadném systému) a smykové složky napětí na lících trhliny, tedy pro úhel θ = π a θ = −π , viz obr.1). Pro trhlinu s vrcholem na bi-materiálovém rozhraní přibudou podmínky spojitosti smykové a tangenciální složky napětí a posuvů na hranicích oblastí 1-2 a 2-3 (viz obr.4), tj. pro úhly θ = φ a θ = −π + φ . Tato soustava bude tedy obsahovat 12 rovnic. Detaily řešení je možno nalézt např. v [10].

Obr. 4. Bi-materiálové těleso je tvořeno dvěma materiály M1 a M2. Oba materiály jsou odděleny rozhraním. Orientace trhliny vůči bi-materiálového rozhraní je dána úhlem φ

9

Pro netriviální řešení takto sestavené soustavy homogenních, lineárních rovnic musí být determinant soustavy D roven nule: Det [ D ] = 0 .

(8)

Poznamenejme, že řešení soustavy rovnic (8) je obecně komplexní, ale předmětem zájmu předkládané práce byly případy, u kterých existují reálná řešení soustavy rovnic (8). Reálná část řešení pro trhlinu různě orientovanou k materiálovému rozhraní je uvedena na obr. 5.

Obr. 5. Ukázka výsledku řešení exponentů singularity napětí pro trhlinu obecně orientovanou k bi-materiálovému rozhraní pro dva různé poměry modulů pružnosti v tahu obou materiálů (E1/E2) a různou orientaci trhliny vůči rozhraní danou úhlem φ [P5]

10

Znalost hodnoty exponentu singularity napětí umožní určit konstanty obsažené ve funkci fij ve vztahu (6) plynoucí z tvaru Williamsova řešení (1) a počet singularit b z intervalu (0;1). Tím je určena také konkrétní podobu vztahu (6). Poznamenejme, že pro rovinnou úlohu a uvedený typ koncentrátoru je b = 1 nebo 2 (v případě, že b = 1, tak nalezená hodnota p je tzv. dvojnásobným kořenem), viz obr. 5. Podrobnosti lze nalézt např. v [2],[4],[6],[8],[17],[19],[20]. 2.2

URČENÍ ZOBECNĚNÝCH SOUČINITELŮ INTENZITY NAPĚTÍ

Hodnoty zobecněných součinitelů intenzity napětí H je třeba určit z pole napětí v okolí vrcholu koncentrátoru za pomoci některé z numerických metod. Klasickou metodou jejich určení je tzv. přímá metoda (např. [3],[9] nebo [18]), kdy ze známého rozdělení napětí zjištěného například pomocí metody konečných prvků, extrapolujeme hodnotu H z lineární části průběhu příslušné složky napětí (pro mód I je to normálová složka napětí) před vrcholem singulárního koncentrátoru, viz obr.6. V případě módu I namáhání můžeme tento postup schematicky zapsat jako: H1 ∼ lim ⎡⎣ r p × σ θθ θ =0 ⎤⎦ .

(9)

r →0

Při existenci dvou singularit napětí p1 a p2 můžeme extrapolaci provést například pro dva různé úhly θ1 a θ 2 : ⎡ r p1 ⎤ ⎡σ θθ θ =θ1 ⎤ ⎡ H1 ⎤ ⎥, ⎢ p2 ⎥ × ⎢ ⎢ H ⎥ ∼ lim r →0 σ r ⎢ ⎣ 2⎦ ⎣ ⎦ ⎣ θθ θ =θ2 ⎥⎦

(10)

kde H1 ⎡⎣ MPa ⋅ m p1 ⎤⎦ a H2 ⎡⎣ MPa ⋅ m p2 ⎤⎦ je zobecněný součinitel intenzity napětí příslušející singularitě p1, respektive p2. Veličiny H1 a H2 v sobě zahrnují jak normálový, tak smykový mód namáhání. Příspěvky jednotlivých módů namáhání obsažené v těchto součinitelích nelze vzájemně odlišit [10].

Obr. 6. Příklad určení zobecněného součinitele intenzity napětí extrapolací přímou metodou

11

Jiným přístupem k určení hodnoty zobecněného součinitele intenzity napětí může být použití integrálního výpočtu [7],[19],[20]. Integrální formulace zobecněného součinitele intenzity napětí vychází z platnosti Bettiho recipročního teorému. Jsou-li dány dvě nezávislé konfigurace splňující stejné okrajové podmínky platí, že práce sil prvního systému na posuvech systému druhého je stejná jako práce sil systému druhého na posuvech systému prvního. Integrální přístup uvažuje uzavřenou integrační cestu obklopující vrchol trhliny, definovanou po částech hladkou křivkou Γ . Za předpokladu absence objemového zatížení lze teorém reciprocity prací podle [7],[20] zapsat jako: * * (11) ∫ Γ (σ ijk uik − σ ijk uik ) n j ds = 0 , * a uik* jsou kde σ ijk a uik jsou složky napětí a posuvů získané numerickým výpočtem, σ ijk

složky napětí a posuvů získané z analytického řešení pomocné úlohy, která musí splňovat stejné okrajové podmínky jako řešený problém, a n j je složka kladné vnější normály integrační cesty.

12

3

FORMULACE KRITERIA STABILITY TRHLINY S VRCHOLEM NA ROZHRANÍ DVOU MATERIÁLŮ

Kriteriem stability zde rozumíme podmínky určující, za kterých se již existující trhlina začne dále šířit v materiálu, respektive podmínky, při kterých dojde k nestabilnímu šíření trhliny. Lomová mechanika vychází při analýze chování těles s trhlinami z předpokladu, podle kterého je pro chování trhliny rozhodující rozdělení napětí v oblasti blízko okolí jejího vrcholu (tedy pro r → 0 ). V rámci lineární elastické lomové mechaniky je v této oblasti napětí obvykle dostatečně přesně popsáno vztahem (5) a pro zadané okrajové podmínky (geometrii, zatížení) je jednoznačně dáno hodnotami součinitelů intenzity napětí KI, KII a KIII. Na základě vztahu (5) lze pak definovat další lomově-mechanické parametry, které určují chování trhliny (např. hnací sílu trhliny G, J-integrál, apod.). Srovnáním těchto parametrů s jejich kritickými hodnotami (které jsou chápány jako materiálové konstanty) lze pak stanovit podmínky stability (lomová kriteria) trhliny. Jako příklad lze uvést KIC kriterium pro křehký lom ve tvaru (omezíme se pouze na normálové namáhání)

K I ( a, Fappl ) < K IC ,

(12)

kde KIC je lomová houževnatost, a délka trhliny a Fappl vnější aplikované zatížení. Trhlina se podle (12) nebude šířit pro hodnotu součinitele intenzity napětí KI menší než je hodnota lomové houževnatosti příslušného materiálu. Analogicky lze pro homogenní těleso formulovat kriteria stability např. pomocí hnací síly trhliny G, případně J-integrálu. V případě, kdy uvažujeme únavové porušování můžeme počátek šíření trhliny popsat podobně jako v předchozím případě nerovností K I ( a, Fappl ) < K th ,

(13)

kde Kth je prahová hodnota součinitele intenzity napětí. K šíření únavové trhliny nedojde pokud bude hodnota rozkmitu součinitele intenzity napětí menší než prahová hodnota příslušného materiálu. Poznamenejme, že pro zpřehlednění budeme v dalším textu, podobně jako ve vztahu (13), uvažovat zjednodušení K I = ∆K I pro případ únavového poškozování. Trhlina s vrcholem na rozhraní dvou různých elastických materiálů představuje tedy obecný singulární koncentrátor napětí. Abychom mohli formulovat kriterium stability pro tento případ, budeme v dalším předpokládat, že trhlina se bude v druhém materiálu M2 (viz obr. 4) šířit stejným mechanizmem jako se v tomto materiálu šíří v případě homogenního prostředí. Tento předpoklad je přijatelný, v obou případech se jedná o singulární koncentrátory napětí a o jejich chování rozhodují veličiny odvozené pomocí středních hodnot složek napětí v určité (malé) oblasti před čelem trhliny. Je tedy i v tomto případě pro šíření trhliny rozhodující hodnota lomové houževnatosti KIC materiálu M2. Je však zřejmé, že v tomto případě nelze přímo použít kriteria typu (12), protože rozměry zobecněného součinitele intenzity napětí H a lomové houževnatosti KIC nejsou stejné. Kriteriem stability (lomovým kritériem) obecného singulárního koncentrátoru napětí (s exponentem singularity různým od ½) rozumíme podmínky, které určují, kdy se z koncentrátoru

13

začne šířit (případně je zde iniciována) trhlina. V našem modelu se jedná o nespojitý proces, exponent singularity se v případě dalšího šíření trhliny z rozhraní do druhého materiálu mění skokem na hodnotu ½, odpovídající homogennímu prostředí. V důsledku této skutečnosti nelze např. definovat hnací sílu trhliny G, která má nulovou hodnotu pro exponent singularity p < ½ a konverguje k nekonečnu pro p > ½, např. [12]. Poznamenejme, že níže uvedený postup, stejně jako postupy uvedené dále v textu, má fenomenologický charakter. 3.1

POSTUP PŘI FORMULACI KRITERIA STABILITY TRHLINY

Předpokládejme pro jednoduchost pouze normálový mód namáhání (pro stručnost a přehlednost nebudeme používat index I, tj. K = KI apod.). Postup při formulaci kriteria stability obecných singulárních koncentrátorů napětí lze založit na porovnání hodnot veličiny s jednoznačným fyzikálním významem, kterou určíme v případě trhliny nacházející se v homogenním materiálu i v případě obecného koncentrátoru (trhliny s vrcholem na materiálovém rozhraní). Označme takovou veličinu L a předpokládejme, že ji můžeme stanovit (výpočtem) jako funkci proměnných, které jsou pro studovaný mechanizmus porušení rozhodující, tj. například materiálových charakteristik, geometrie a zatížení tělesa, lomově-mechanických parametrů trhliny (včetně součinitelů intenzity napětí), apod. V případě trhliny v homogenním materiálu je L zejména funkcí součinitele intenzity napětí K, tj. L = L (K , K ,K) . Obdobně v případě obecného singulárního koncentrátoru napětí bude tatáž

veličina záviset na hodnotě zobecněného součinitele intenzity napětí H, tj. L = L (K , H ,K) .

Předpokládáme-li v obou případech stejný mechanizmus porušení, budou mít v okamžiku porušení stability kritické hodnoty LC veličiny L stejnou velikost jak v případě trhliny v homogenním materiálu, tak i v případě obecného singulárního koncentrátoru napětí, tj. LC (K , K C ,K) = LC (K , H C ,K) ,

(14)

kde HC je kritická hodnota zobecněného součinitele intenzity napětí (zobecněná lomová houževnatost). Z rovnice (14) následně určíme relaci mezi HC a KC, H C = H C (K , K C ,K) , a kriterium stability pro obecný singulární koncentrátor napětí můžeme napsat ve tvaru H (σ appl ) < H C ( K C ) .

(15)

Uvedený postup je obecný a nezávisí na typu koncentrátoru napětí. Volba veličiny L závisí však na předpokládaném mechanizmu šíření trhliny. Např. pro křehký lom předpokládáme, že veličina L představuje střední hodnotu složky napětí σ θθ v určité oblasti před vrcholem koncentrátoru napětí. Uvedený postup je také možno použít pro stanovení počátku šíření únavové trhliny přes rozhraní dvou materiálů v případě, že uvažujeme únavové porušování složených materiálů. V tomto případě je výhodné použít jako veličinu L např. parametry plastické zóny v okolí vrcholu koncentrátoru napětí, případně hustotu deformační energie. Hustota deformační energie, respektive faktor hustoty deformační energie je výhodný i v případě, kdy se jedná o kombinovaný mód namáhání, protože umožňuje stanovit také směr dalšího šíření trhliny.

14

V případě, kdy je mechanizmus šíření trhliny silněji ovlivněn plastickými deformacemi je vhodné použit jako veličinu L takovou veličinu, která je pro větší plastické deformace definována, např. otevření trhliny apod. Uvedený postup je fenomenologický, zobecňuje přístup LELM také na defekty ne-trhlinového charakteru a může být použit pro řešení celé řady praktických problémů. Výhodou tohoto postupu je i skutečnost, že pro jeho aplikaci není nutno experimentálně určovat žádné nové materiálové konstanty. Vzhledem ke komplikovanému rozměru veličiny H, [H] = MPa.mp, je však obvykle nutno kritické hodnoty zobecněného součinitele intenzity napětí H přepočítat na jinou vhodnou veličinu, např. kritické napětí σ crit . Uvedený princip byl použit i při formulaci kriterií stability trhliny s vrcholem na rozhraní dvou elastických materiálů a dalších postupech, jenž jsou popsány v následujících kapitolách. Poznamenejme dále, že při aplikaci uvedeného postupu vystupuje ve výsledných vztazích parametr, který má rozměr délky, a který souvisí s mechanizmem porušení materiálu. Jeho stanovení, případně volba jeho velikosti, může být v některých případech problematická. Vhodná doporučení pro jeho volbu či stanovení jsou proto vždy u jednotlivé aplikace popsána. Další omezení výše uvedeného postupu vycházejí z předpokladů o vlastnostech rozhraní a z aplikace předpokladů lineární elastické teorie pružnosti izotropního prostředí. 3.2

PŘÍKLAD SESTAVENÍ KRITERIA STABILITY

Abychom mohli porovnat kritický stav trhliny v homogenním tělese s trhlinou, jejíž vrchol leží na rozhraní dvou (elastických) materiálů, je třeba použít jiných veličin, které mají v obou případech stejný fyzikální význam a jsou jednoznačnou funkcí součinitele intenzity napětí KI resp. KII (pro homogenní těleso) a zobecněného součinitele intenzity napětí H1 resp. H2 (pro bi-materiálové těleso). Takový postup byl použit pro formulaci kriteria stability trhliny s vrcholem na bi-materiálovém rozhraní a kolmou k tomuto rozhraní v práci [11], ve které je jako srovnávací veličina použita střední hodnota napětí v okolí vrcholu trhliny. Střední hodnota napětí je určována přes určitou oblast d (viz obr. 7) před vrcholem trhliny, která v tomto případě souvisí s velikostí mikrostrukturní charakteristiky materiálu, např. s velikostí zrna materiálu. V práci [11] se předpokládá, že pro nestabilitu trhliny je rozhodující složka napětí σ θθ a trhlina se bude šířit ve směru, ve kterém je tato komponenta maximální. Pro tuto složku napětí a tento směr je rovněž vypočtena hodnota středního napětí nad oblastí délky d, tj. d

σ=

1 (σ θθ )max dr , d ∫0

(16)

kde

σ θθ =

H1 (1 − p )( 2 − p + g R ) ⋅ r − p , 2π

(17)

přičemž gR je známá funkce kompozitních parametrů α a β definovaných v [14] (jedná se o obdobu Dundursových parametrů) a exponentu singularity napětí p.

15

Obr. 7. Střední hodnota napětí v oblasti d před vrcholem trhliny ležícím na bi-materiálovém rozhraní

Takto stanovená hodnota středního napětí je pak porovnávána s odpovídající kritickou hodnotou vyjádřenou pomocí hodnoty lomové houževnatosti KIC prostředí, do kterého se trhlina bude šířit, tj. pro trhlinu nacházející se v homogenním materiálu M2,

σ crit = Kriterium stability má následně tvar

2 K IC . 2π d

(18)

σ < σ crit .

(19)

Po matematických úpravách můžeme toto kriterium také zapsat ve tvaru p−

2 (1 − p ) d H1 < K IC fθθ (θ max )

1 2

.

(20)

Potom výraz pro kritickou hodnotu zobecněného součinitele intenzity napětí H1C bude mít tvar p−

H1C

2 (1 − p ) d = K IC fθθ (θ max )

1 2

.

(21)

Ve shodě s LELM lze následovně psát H1 < H1C .

(22)

Trhlina se nebude šířit do materiálu M2 pokud bude hodnota zobecněného součinitele intenzity napětí H1 menší než jeho kritická hodnota H1C. Pro trhlinu kolmou k materiálovému rozhraní bude fθθ (θ max ) = fθθ (θ = 0 ) = ( 2 − p + g R )(1 − p ) .

16

(23)

Kriterium stability trhliny kolmé k bi-materiálovému rozhraní bude mít výsledný tvar p−

1

2d 2 . H1 < K IC 2 − p + gR

(24)

Takto odvozené kriterium umožňuje odhadnout kritické napětí nutné k dalšímu šíření trhliny z bi-materiálového rozhraní do druhého materiálu (M2) a představuje zobecnění KIC kriteria LELM. Výhodou tohoto postupu je skutečnost, že kritická hodnota H1C (zobecněná kritická hodnota součinitele intenzity napětí) je funkcí kritické hodnoty K1C stanovené pro homogenní materiál, do nějž se trhlina šíří, tj. materiál M2. Pro výše uvedené kriterium může být hodnota H1 určena numericky např. pomocí metody konečných prvků a hodnota H1C z uvedených vztahů analyticky.

17

4

VÝSLEDKY - KOMENTÁŘ VLASTNÍCH PRACÍ

V následující kapitole budou stručně komentovány práce zařazené do habilitační práce a hlavní dosažené výsledky. Publikace lze rozdělit do několika oblastí: - práce formulující kriteria stability trhliny nacházející se na rozhraní dvou materiálů - práce vztahující se ke stanovení chování trhlin šířících se v kompozitních materiálech (jsou uvažovány zejména částicové a vrstevnaté kompozity) - aplikace navržených kriterií na bi-materiálová či kompozitní tělesa - práce věnující se tenkým povrchovým vrstvám - práce věnované numerickému modelování těles s materiálovým rozhraním 4.1

KRITERIA STABILITY TRHLINY S VRCHOLEM NA ROZHRANÍ

V kapitole 3 této práce je uveden obecný postup umožňující sestavit kriterium stability trhliny s vrcholem na rozhraní mezi dvěma materiály a je ukázáno jeho použití. Tento obecný postup byl aplikován i v dále uvedených pracích. 4.1.1

Kriterium založené na velikosti plastické zóny před vrcholem trhliny

V práci P1 je popsáno kriterium stability trhliny šířící se přes rozhraní dvou elastických materiálů. Toto kriterium je vhodné pro posouzení vlivu materiálového rozhraní na šíření únavových trhlin přes toto rozhraní. Na základě znalosti prahové hodnoty součinitele intenzity napětí Kth materiálu M2 (tj. materiálu, do kterého se bude trhlina šířit, viz obr.4) a jeho meze kluzu umožňuje odhadnout velikost prahové hodnoty součinitele intenzity napětí na rozhraní dvou materiálů Hth, potažmo odhadnout velikost vnějšího aplikovaného zatížení nezbytného pro šíření trhliny přes toto rozhraní. Znalost prahové hodnoty pro šíření trhliny přes materiálové rozhraní umožní například odhadnout věrohodněji životnost vrstevnatých materiálů. V práci je také ukázán významný vliv materiálového rozhraní na prahovou hodnotu zobecněného součinitele intenzity napětí. Prahová hodnota zobecněného součinitele intenzity napětí Hth je v práci P1 vyjádřena jako p

⎡ f (ν ) ⎤ 2 H th ( R p ) = K th2 pσ 0(1− 2 p ) ⎢ hom ⎥ , ⎢⎣ f (α , β ,ν ) ⎥⎦

(25)

kde p značí exponent singularity napětí, Kth prahovou hodnotu součinitele intensity napětí určenou pro materiál M2, σ0 je mez kluzu materiálu, kam by se trhlina měla šířit (M2) a výraz v hranatých závorkách představuje poměr mezi velikostí plastické zóny pro případ, kdy se trhlina nachází v tělese tvořeném materiálem M1, a pro bi-materiálový případ. ν je Poissonovo číslo materiálu M2 a α, β jsou tzv. Dundursovy parametry [5]. Použití tohoto kriteria je vhodné uvažujeme-li, že se trhlina šíří za podmínek vysokocyklové únavy, při níž je velikost plastické zóny před vrcholem trhliny rozhodujícím parametrem pro šíření trhliny. Práce P1 byla následně v P2 rozšířena o postup umožňující stanovit vliv reziduálních napětí způsobujících zavíraní trhliny na velikost prahového napětí pro šíření únavové trhliny přes materiálové rozhraní. V práci P3 byl poté stanoven vliv parametru asymetrie cyklu R a různých hladin vnějšího aplikovaného zatížení na velikost prahového napětí.

18

Výsledkem prací P1-P3 je formulace kriteria umožňujícího stanovit počátek šíření únavové trhliny přes rozhraní dvou materiálů. Publikovaný fenomenologický postup umožňuje zahrnout také vliv zavírání trhliny vlivem reziduálních napětí na velikost prahové hodnoty zobecněného součinitele intenzity napětí. Poznamenejme, že publikované kriterium je vhodné zejména pro případ, kdy se únavová trhlina šíří kolmo (nebo téměř kolmo) na materiálové rozhraní. Tento případ šíření únavové trhliny je typický pro trhliny šířící se v povrchové vrstvě (pokud nedojde k delaminaci povrchové vrstvy) či pro únavové trhliny šířící se ve vrstevnatých materiálech. 4.1.2

Kriterium založené na zobecněném fakturu hustoty deformační energie

Faktor hustoty deformační energie S byl původně odvozen Sihem např. [23],[24],[25] pro trhliny nacházející se v homogenních materiálech. V práci [13] a [26] je použito zobecnění faktoru hustoty deformační energie i na případ singulárního koncentrátoru napětí s jinou singularitou napětí než ½ (v obou citovaných pracech se jednalo o ostrý V-vrub). Teorie založená na koncepci faktoru hustoty deformační energie pro trhliny v homogenním materiálu (tj. pro exponent singularity napětí p = 1/2) vychází ze dvou základních hypotéz o šíření trhliny: • •

trhlina se bude šířit ve směru, kde je hodnota faktoru hustoty deformační energie S minimální a kritická hodnota faktoru hustoty deformační energie S = Scr je určující pro její další šíření.

Poznamenejme, že Scr je materiálová charakteristika a ve speciálních případech může být v relaci s KIC , tj. lomovou houževnatostí materiálu. Podobně jako pro trhlinu v homogenním tělese je za pomoci faktoru hustoty deformační energie definován v P4 a P5 zobecněný faktor hustoty deformační energie Σ pro trhlinu s vrcholem na bi-materiálovém rozhraní (tj. pro exponent singularity p ≠ 1/2). Opětovně, z první hypotézy můžeme odhadnout směr šíření trhliny ve druhém materiálu a z druhé počátek jejího šíření. Mimoto, předpokládáme-li, že přítomnost rozhraní ovlivní šíření trhliny do druhého materiálu pouze kvantitativně, a že mechanismus šíření bude stejný, obdržíme Scr = Σ cr ( r ) ,

(26)

kde r je vzdálenost od vrcholu trhliny, ve které kritérium aplikujeme. Podmínku stability potom můžeme zapsat ve formě Σ = Σ cr ( r ) .

(27)

Kritickou hodnotu zobecněného součinitele intensity napětí můžeme vyjádřit jako ⎛ 1- 2ν H IC ( r ) = ⎜ 2 ⎜⎜ (1- p ) 4 (1- 2ν ) + ( g - p )2 R ⎝

(

1

)

⎞2 1 ⎟ r p- 2 K , IC ⎟⎟ ⎠

(28)

kde gR je funkce závisející na Dundursových parametrech α, β a r je vzdálenost od vrcholu trhliny, která musí být zvolena.

19

Navržené kriterium, na rozdíl od kriteria stability trhliny nacházející se v homogenním materiálu, obsahuje závislost na vzdálenosti r od vrcholu trhliny (singulárního koncentrátoru), ve které kriterium aplikujeme. Volba parametru r souvisí s mechanizmem porušování. Pro křehké materiály odpovídá vzdálenost r vzdálenosti od vrcholu trhliny, ve které normálové napětí dosáhne hodnoty lomového napětí materiálu, do kterého se trhlina šíří [22], [26]. Poznamenejme, že postačí znát pouze řád, ve kterém se pohybuje velikost veličiny r, protože kriterium na tomto parametru není příliš závislé. Zobecnění na případ trhliny s vrcholem na rozhraní dvou materiálů bylo podrobně popsáno v práci P4 a P5. V práci P6 byl ukázán vliv volného povrchu na směr šíření trhliny šířící se přes rozhraní mezi dvěmi materiály. Postup umožňující odhadnout změnu směru šíření trhliny k němuž dochází na rozhraní mezi dvěma materiály byl popsán v P5 a P7. Výsledkem prací P4-P7 je tedy kriterium zobecňující kriterium založené na faktoru hustoty deformační energie také na případ trhliny s vrcholem na rozhraní dvou materiálů. Poznamenejme, že toto kriterium je vhodné zejména pro křehké materiály (např. keramické lamináty) a umožňuje odhadnout nejen počátek šíření trhliny z rozhraní, ale i směr jejího dalšího šíření. Tyto znalosti mohou být využity například při návrhu nových vrstevnatých materiálů. 4.1.3

Kriterium založené na otevření trhliny

Otevření trhliny (COD) je jedním ze základních lomových parametrů. Během let vznikly různé modifikace tohoto parametru. Jednou z nich je tzv. otevření na lících trhliny (CMOD). V práci P8 a P9 bylo publikováno kriterium založené na parametru CMOD, které je vhodné pro tenké povrchové vrstvy (např. ochranné povlaky) a ukázán vliv materiálu povrchové vrstvy na kritické napětí nezbytné pro šíření trhliny z povrchové vrstvy do materiálu podkladu. V P9 byla dále provedena studie vlivu hustoty sítě trhlin, nacházejících se v povrchové vrstvě, na velikost kritického napětí nutného pro šíření trhliny.

Obr. 8. Hodnoty kritického napětí nutného pro šíření trhliny přes rozhraní mezi povlakem (uvažovány jsou různé materiály povlaku) a materiálem substrátu (ocel) normalizované hodnotou napětí pro šíření trhliny v homogenním materiálu [P10]

20

Vliv různých materiálů povrchové vrstvy nanesené na ocelovém podkladu na velikosti kritických napětí pro šíření trhliny přes materiálové rozhraní byl studován v práci P10. Výsledky této studie jsou ukázány na obr. 8. V celé řadě praktických aplikací se využívá tvrdého povlaku, zajišťujícího zvýšenou odolnost součásti proti otěru, naneseného na houževnatém materiálu podkladu (např. oceli). Autorem publikované práce ukazují, že z hlediska šíření trhlin z povrchu součásti je tato materiálová konfigurace nevýhodná, protože dochází ke snížení kritického napětí pro šíření trhliny z povrchové vrstvy do materiálu podkladu součásti, viz obr.8. Podcenění tohoto faktu může vést k nekonzervativním závěrům a k neočekávanému selhání součástí s povrchovými vrstvami. Z provedené studie vlivu počtu trhlin v povrchové vrstvě na výsledné napětí nutné pro šíření trhlin z povrchu součásti vyplývá, že z lomového hlediska je méně nebezpečná konfigurace sítě trhlin ve tvrdé povrchové vrstvě (dochází zde k přerozdělení napětí) než existence jedné osamocené trhliny. 4.2

STANOVENÍ SINGULARITY NAPĚTÍ NA POVRCHU TĚLESA

Pro stanovení chování trhliny je nezbytné znát rozdělení napětí v okolí jejího vrcholu. Pro tento krok je nezbytné znát exponent(y) singularity napětí studované trhliny (defektu). Pro rovinné úlohy existují postupy umožňující exponent singularity napětí stanovit analyticky. V případě uvažování prostorových úloh, např. u tenkých těles, je nutné stanovit hodnotu exponentu singularity napětí numericky. Hodnota exponentu singularity napětí má vliv nejen na rozdělení napětí v okolí vrcholu trhliny, ale také na rychlost šíření únavové trhliny.

Obr. 9. Pokles hodnoty exponentu singularity napětí na povrchu bimateriálového tělesa (určeno numericky) v porovnání s analytickým řešením neuvažujícím vliv volného povrchu [P13] pro různé poměry modulů pružnosti v tahu

Práce P11 a P12 se proto zabývají postupem stanovení exponentu singularity napětí v místě, kde čelo trhliny prochází na volný povrch tělesa. Je zde uveden také postup určení rychlosti šíření únavové trhliny v tomto případě. Práce P13 potom obdobným způsobem studuje změnu singularity napětí na povrchu bimateriálového tělesa (viz obr.9).

21

4.3

APLIKACE LOMOVÝCH KRITERIÍ

Navržená lomová kriteria, respektive kriteria umožňující určit počátek šíření únavové trhliny přes materiálové rozhraní, byla využita pro studium lomového chování těles s materiálovým rozhraním a aplikována na různé případy a konfigurace takovýchto těles. 4.3.1

Aplikace na tenké povrchové vrstvy

Chování trhlin šířích se v tenkých vrstvách bylo autorem studováno z několika aspektů. Práce P14 a P15 se zabývaly stanovením podmínek za jakých se budou trhliny šířit v plazmových nástřicích na bázi keramiky ZrO2. Bylo zde stanoveno za jakých podmínek se budou šířit trhliny z povrchu nástřiku směrem k rozhraní mezi materiálem nástřiku a ocelového podkladu, a podmínky jež povedou k dekohezi ochranné vrstvy, a následně k dalšímu šíření trhliny podél rozhraní. Významným praktickým závěrem těchto prací je konstatování faktu, že tenčí (cca 0,2 mm) ochranné vrstvy vykazují za studovaných podmínek lepší lomové chování (vyšší odolnost vůči dekohezi a šíření trhlin podél rozhraní) než vrstvy o větší tloušťce (byly studovány vrstvy o tloušťce až 1 mm). Některé dosažené výsledky jsou zobrazeny na obr.10.

Obr. 10. Vliv tloušťky ochranného povlaku h1 na hodnoty součinitele intenzity napětí KI trhliny délky a nacházející se v povlaku [P15]

V práci P16 byly publikovány závěry studie vlivu různých modulů pružnosti v tahu povrchové vrstvy na hodnotu kritického napětí nezbytného pro šíření trhliny z povlaku do materiálu podkladu. Výsledné hodnoty kritického napětí pro šíření trhliny přes materiálové rozhraní jsou v případě existence tvrdého povlaku na houževnatém podkladu nižší než kritické napětí pro šíření trhliny v samotného materiálu podkladu. Podcenění této skutečnosti by mohlo významně ovlivnit životnost součásti s povrchovou vrstvou. Protože konveční LELM neumožňuje stanovit rychlost šíření trhliny s vrcholem na rozhraní mezi dvěma materiály, byl v práci P17 publikován postup umožňující, na základě porovnání velikostí plastických zón před vrcholem takovéto trhliny a trhliny nacházející se v homogenním materiálu, odhadnout rychlost šíření únavové trhliny jež dosáhla materiálového rozhraní. Díky uvedenému postupu je například možné určit spojitou K-kalibrační křivku (včetně hodnoty Keff na rozhraní) a na jejím základě vypočítat zbytkovou únavovou životnost podkladu s nanesenou povrchovou vrstvou, respektive obecně tělesa s materiálovým rozhraním.

22

4.3.2

Aplikace na vícevrstvé materiály

Kriterium uvedené v kapitole 4.1.1 (založené na porovnání velikosti plastických zón před vrcholem trhliny) bylo použito ke stanovení efektivních hodnot součinitele intenzity napětí na rozhraní vícevrstvého tělesa v práci P18. Byla ukázána role jednotlivých rozhraní v tomto tělese a stanovena rychlost šíření únavové trhliny v jednotlivých vrstvách složeného tělesa i na jednotlivých materiálových rozhraních. Zmíněného postupu lze využít například při návrhu materiálů pro moderní rozvody plynu a vody jež začínají v poslední době býti realizovány za pomoci vícevrstvých polymerních trubek. V práci P19 bylo navrženo zkušební těleso tvaru C pro zkoušení těchto vícevrstvých trubek. Uvedená práce obsahuje proceduru stanovení K-kalibrační křivky tohoto nového zkušebního tělesa. Stejná procedura je použita pro stanovení K-kalibrační křivky reálné vícevrstvé polymerní trubky, a to včetně efektivních hodnot součinitele intenzity napětí na jednotlivých materiálových rozhraních. Vhodnou volbou použitých materiálů jednotlivých vrstev trubky tak jde docílit vyšší odolnosti vůči šíření trhlin skrz stěnu trubky, což v praxi znamená zmenšení nároků na uložení trubky v podloží. Z finančního hlediska pak použití vhodně konstruovaných trubek vede k významné finanční úspoře. Tabulka 1. Hodnoty lomové houževnatosti [ MPa m ] jednotlivých složek keramického laminátu ATZ/AMZ (ATZ - Al2O3/5vol.% tetragonálního ZrO2; AMZ - Al2O3/30vol.% monoklinického ZrO2) a hodnoty určené pro jednotlivá rozhraní autorem v porovnání s referenční hodnotou

ATZ

AMZ

3,2

2,6

Druh rozhraní: ATZ/AMZ [P20] 0,4

Druh rozhraní: AMZ/ATZ [P20] 8,3

Druh rozhraní: AMZ/ATZ [21] 8,1

Kriterium stability trhliny s vrcholem nacházejícím se na rozhraní dvou materiálů založené na zobecnění Sihova faktoru hustoty deformační energie, bylo použito v práci P20 ke stanovení tzv. zdánlivé lomové houževnatosti kompozitního keramického tělesa složeného z vrstev keramiky Al2O3 a ZrO2. Uvedený postup pro odhad zdánlivé lomové houževnatosti podobných vrstevnatých systémů bere do úvahy existenci velkých reziduálních napětí v jednotlivých vrstvách kompozitu. Díky rozdílné tepelné roztažnosti jednotlivých materiálových vrstev dochází ke vzniku výrazných tlakových napětí zavírajících trhlinu, což vede ke zvýšení zdánlivé houževnatosti celého kompozitu, která je ve výsledku několikrát (2-3 krát) vyšší než lomová houževnatost jednotlivých vrstev (viz tabulka 1). Výsledky publikované studie byly porovnány s experimentálními daty nalezenými v literatuře a jsou s nimi v dobré shodě. 4.3.3

Částicové kompozity

V praktických aplikacích jsou velmi často používaným typem kompozitních materiálů částicové kompozity. V práci P21 je ukázáno typické chování šířící se trhliny v matrici modelového částicového kompozitu o různé tuhosti použitých částic. Je ukázáno, že trhlina má snahu šířit se kolem částice (pří šíření se částici vyhnout), která má větší modul pružnosti v tahu než matrice. V případě, že modul pružnosti v tahu částice je menší než modul pružnosti v tahu matrice má trhlina tendenci se stáčet a šířit směrem k částici. Dále je v práci stanoveno kritické napětí potřebné pro šíření trhliny přes částici za pomoci tří kriterií uvedených zde v kapitolách 3.2, 4.1.1 a 4.1.2, a provedeno jejich vzájemné porovnání. Je konstatována kvalitativní i kvantitativní shoda všech porovnávaných kriterií.

23

Příkladem částicového kompozitu může být např. také beton. V pracích P22 a P23 je publikována procedura umožňující stanovení vlivu materiálu kameniva na lomové chování betonu. Jsou provedeny studie vlivu různého druhu a velikosti kameniva na lomové napětí potřebné k šíření trhlin v betonu. Výsledky provedené analýzy vysvětlují značný rozptyl naměřených dat při experimentálním stanovení lomové houževnatosti betonu. Publikovaný postup je možno využít pro návrh typu a velikosti kameniva do betonu s požadovanými vlastnostmi. Dalším velmi častým typem částicového kompozitního materiálu jsou kompozity s polymerní matricí a různými typy minerálního plniva (např. na bázi CaCO3). Tyto kompozity jsou charakteristické tím, že se kolem tuhé částice v polymerní matrici vytváří tzv. mezifáze, která hraje klíčovou roli v mechanickém i lomovém chování uvedeného typu kompozitu. Právě vliv mezifáze na globální mechanické chování (zejména tuhost) částicového kompozitu s polymerní matricí a na jeho lomové chování je studován v pracích P24, P25, P26 a P27. Protože tloušťka mezifáze kolem jednotlivých části je pro různě velké částice téměř konstantní, volbou velikosti částice měníme při zachování stejného objemovém množství částic objemové množství mezifáze v kompozitu, a tím také významně jeho makroskopické materiálové parametry i lomové chování (viz obr. 11). Tohoto faktu lze s výhodou využít při návrhu nového typu částicových polymerních kompozitů s minerálním plnivem.

Obr. 11. Výsledná makroskopická odezva kompozitu s polymerní matricí plněnou částicemi CaCO3 určená pro tři různá objemová množství částic [P25]. Rozpylová pásma ukazují vliv různých vlastností mezifáze na makroskopickou odezvu

24

5

SHRNUTÍ DOSAŽENÝCH VÝSLEDKŮ A ZÁVĚR

V předkládané práci bylo využito zobecnění lineární elastické mechaniky vhodné pro obecné singulární koncentrátory napětí, tj. koncentrátory se singularitou napětí typu σ ≈ r − p , kde exponent singularity napětí 0 < p < 1, na případ trhliny s vrcholem na rozhraní dvou (elastických) materiálů. Byla formulována kriteria stability takovéto trhliny, případně procedury umožňující určit počátek šíření trhliny přes materiálové rozhraní, založené na různých fyzikálních principech: energetickém, velikosti plastické zóny před vrcholem trhliny a otevření na lících trhliny. Pro uvedené procedury byly vyvinuty také numerické postupy pro určení potřebných parametrů. Uvedené postupy rozšiřují použitelnost LELM také na případy, kdy je singularita napětí v okolí vrcholu singulárního koncentrátoru napětí různá od ½. Je tak umožněn jednotný popis chování trhlin šířících se v homogenním i nehomogenním prostředí. Na základě provedených analýz lze formulovat obecné závěry, které byly potvrzeny všemi publikovanými kriterii a postupy: -

-

-

Velikost kritického (prahového v případě únavového poškozování) napětí trhliny šířící se přes rozhraní mezi dvěma materiály je ovlivněna (v některých případech dokonce silně) elastickými vlastnostmi obou materiálů. Pro trhlinu šířící se z méně tuhého materiálu do materiálu s vyšším modulem pružnosti v tahu narůstá hodnota kritického (prahového) napětí nutného pro šíření trhliny přes toto rozhraní. Výsledná hodnota kritického napětí je vyšší než hodnota určená pro kteréhokoliv z obou materiálů. Rozdíl v kritických (prahových) napětích stoupá se zvyšujícím se rozdílem modulů pružnosti v tahu jednotlivých materiálových složek. Šíří-li se trhliny z tuhého materiálu do materiálu s menší hodnotou modulu pružnosti v tahu, kritické (prahové) napětí je nižší než hodnota kritického (prahového) napětí kteréhokoliv z obou materiálů. Kritické (prahové) napětích klesá se zvyšujícím se rozdílem modulů pružnosti v tahu jednotlivých materiálových složek. Vliv velikosti Poissonových čísel obou materiálů na zvýšení, respektive snížení hodnoty kritického (prahového) napětí je zanedbatelný v porovnání s vlivem modulů pružnosti v tahu obou materiálů.

Výhodou uvedených postupů je skutečnost, že k jejich aplikace není zapotřebí měření žádných nových materiálových charakteristik. K odhadu vlivu rozhraní na šíření (únavových) trhlin postačí znalost elastických konstant obou materiálů a lomové charakteristiky materiálu, do kterého se trhlina bude šířit. Publikované postupy byly využity například při studiu lomově-mechanických vlastností tenkých povrchových vrstev. V uvedeném případě byly sledovány podmínky jež vedou k delaminaci povrchové vrstvy, případně podmínky, za kterých se trhlina bude šířit z povrchové vrstvy do materiálu podkladu. Další aplikací bylo určení chování trhlin šířících se ve vícevrstvých kompozitních materiálech, přičemž pozornost byla věnována zejména stanovení kritické nebo prahové hodnoty součinitele intenzity napětí na materiálovém rozhraní a směru šíření trhliny po průchodu rozhraním mezi dvěma materiály. Další oblastí, kde byly uvedené postupy aplikovány byla oblast částicových kompozitů. Zde byla pozornost věnována zejména vlivu materiálu částice, případně mezifáze mezi částicí a matricí, na chování únavové trhliny. Studovány byly zejména podmínky vedoucí k zastavení šířící se únavové trhliny na rozhraní částice-matrice, a také samotný mechanismus šíření únavové trhliny v tomto typu kompozitu.

25

V dalších pracích byly zkoumány možnosti stanovení exponentu singularity napětí za pomoci numerických metod v případech, kdy neexistuje analytické řešení problému. Cílem autorových prací je přispět k lepšímu pochopení způsobu porušování kompozitních materiálů, umožnit stanovení efektivních hodnot součinitele intenzity napětí na materiálových rozhraních, a tím také umožnití věrohodnější odhad zbytkové únavové životnosti konstrukcí vyrobených z kompozitních materiálů. Jako celek pak mohou přispět k bezpečnějšímu návrhu a provozování konstrukcí s materiálovým rozhraním. Získané výsledky by bylo též možno využít při návrhu kompozitních materiálů s požadovanými vlastnostmi. Publikované postupy sjednocují přístupy klasické LELM s popisem obecných singulárních koncentrátorů napětí a rozšiřují tak aplikovatelnost LELM i do oblasti konstrukcí a materiálů obsahující materiálová rozhraní. V uveřejněných pracích je popsáno jakým způsobem lze formulované postupy prakticky využít při posuzování zbytkové únavové životnosti vrstevnatých materiálů, částicových kompozitů či při posuzování lomově-mechanického chování tenkých povrchových vrstev, případně při odhadu zdánlivé lomové houževnatosti vrstevnatých keramických kompozitů. Záměrem autora bylo představit klasickou LELM jako speciální případ zobecněné LELM a ukázat použitelnost známých postupů také v případech, ve kterých je exponent singularity napětí p různý od ½. Zobecněná LELM nepřináší principiálně nové postupy a kriteria pro stanovení chování trhliny, ale rozšiřuje, doplňuje a zobecňuje platnost osvědčených a používaných postupů a kriterií také na oblasti, ve kterých nemohla být dosud využívána. Největší výhodou zobecněné LELM je potom její přímá návaznost a analogie s klasickou LELM. Díky svojí relativně jednoduché pochopitelnosti a aplikovatelnosti postupů, může být s výhodou použita při řešení řady úloh inženýrské praxe.

26

POUŽITÁ LITERATURA [1]

Anderson, T.L.: FRACTURE MECHANICS: Fundamentals and Applications. Second Edition. CRC Press, 1995.

[2]

Bogy, D.B.: On the Plane Elastostatic Problem of a Loaded Crack Terminating at a Material Interface. Journal of Applied Mechanics, pp. 911 – 918, 1971.

[3]

Carpenter, W.C.: Extrapolation techniques for determining stress intensity factors. Engineering Fracture Mechanics, Vol. 18, No. 2, p. 325-332, 1983.

[4]

Cook, T.S., Erdogan, F.: Stresses in bonded materials with a crack perpendicular to the interface. International Journal of Engineering Sciences, Vol. 10, pp. 677-697, 1972.

[5]

Dundurs, J.: Elastic interaction of dislocation with inhomogeneities. Mathematical theory of dislocations, The American Society of Mechanical Engineers, New York, 1969.

[6]

Fenner, D.N.: Stress singularities in composite materials with an arbitrarily oriented crack meeting an interface. International Journal of Fracture, Vol. 12, No. 5, pp. 705-721, 1976.

[7]

Gröger, R.: Characterization of fracture-mechanical behavior of bimaterial V-notches using BEM. Disertační práce. Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně a Ústav fyziky materiálů AV ČR, Brno, 2003.

[8]

Hein, V.L., Erdogan, F.: Stress singularities in a Two-Material Wedge. Int. Journal of Fracture Mechanics, Vol. 7, No. 3, p. 317-330, 1971.

[9]

Hilton, P.D., Sih, G.C.: Applications of the finite element method to the calculations of stress intensity factors. In: G.S.Sih: Mechanics of Fracture – Methods of analysis of crack problems, p. 426-477. Noordhoff International Publishing, Leyden, 1973.

[10] Chen, D.H.: General singular stress field in fracture mechanics. Computational and Experimental Fracture Mechanics, Vol. 16, p. 213-262, 1994. [11] Knésl, Z, Knápek, A., Bednář, K.: Evaluation of the critical stress in bonded materials with a crack perpendicular to the interface. The Institute of Materials, London, 1998. [12] Knésl, Z.: A criterion of V-notch stability. International Journal of Fracture, Vol. 48, R79 – 83, 1991. [13] Knésl, Z.: The application of the strain energy density koncept to the determination of a crack propagation direction initiated at a sharp notch tip. Acta Technica ČSAV 38, pp. 221234, 1993. [14] Lin, K.Y., Mar, J. W.: Finite element analysis of stress intensity factors for cracks at bimaterial interface. International Journal of Fracture, Vol. 12, No. 4, pp. 521-531, August 1976. [15] Menčík, J.: Mechanics of Components with Treated or Coated Surfaces. Kluwer Academic Publisher, Dordrecht, 1996. [16] Muschelišvili, N., I.: Někatoryje osnovnyje zadači matěmatičeskoj teorii uprugosti. Moskva, Izdatělstvo Akademii Nauk SSSR ,1954. [17] Náhlík, L.: Šíření únavových trhlin v okolí rozhraní dvou elastických materiálů. Disertační práce. Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně a Ústav fyziky materiálů AV ČR, Brno, 2002.

27

[18] Owen, D.R.J., Fawkes, A.J.: Engineering Fracture Mechanics: Numerical Methods and Applications, Pineridge Press Ltd., Swansea, U.K., 1983. [19] Qian, Z.Q., Akisanya, A.R.: Wedge corner stress behaviour of bonded dissimilar materials. Theoretical and Applied Fracture Mechanics, Vol. 32, pp. 209 – 222, 1999. [20] Qian, Z.Q.: On the evalution of wedge corner stress intensity factors of bi-material joints with surface tractions. Computers and Structures 79, pp. 53 – 64, 2001. [21] Bermejo, R., Torres, Y., Baudín, C., Sánchez-Herencia, A.J., Pascual, J., Anglada, M., Llanes, L.: Threshold strength evaluation on an Al2O3-ZrO2 multilayered system. Journal of the European Ceramic Society 27, pp. 1443-1448, 2007. [22] Seweryn, A., Lukaszewics, A.: Verification of brittle fracture criteria for elements with Vshaped notches. Engineering Fracture Mechanics 69, pp. 1487-1510, 2002. [23] Sih, G. C.: A special theory of crack propagation, in Mechanics of Fracture. Ed. G.C.Sih, Noordhoff Intern. Publishing, Leyden 1977. [24] Sih, G., C.: Mechanics of fracture I. Methods of analysis and solutions of crack problems. Noordhoff International Publishing, Leyden, 1973. [25] Sih, G.C.: Strain-energy-density factor applied to mixed mode crack problems. International Journal of Fracture, Vol. 10, No. 3, pp. 305 - 321, 1974. [26] Sih, G.C., Ho, J.W.: Sharp notch fracture strength characterized by critical energy density. Theoretical and Applied Fracture Mechanics, Vol. 16, No. 3, pp. 179 – 214, 1991. [27] Williams, M.L.: On the stress distribution at the base of a stationary crack, Journal of Applied Mechanics, Vol. 24, p. 109-114, 1957.

28

SEZNAM PRACÍ TVOŘÍCÍ JÁDRO HABILITAČNÍ PRÁCE P1

Knésl, Z., Náhlík, L., Radon, J.C.: Influence of interface on fatigue threshold values in elastic bimaterials. Computational Materials Science 28, p. 620-627, 2003.

P2

Náhlík, L., Hutař, P., Knésl, Z.: Influence of residual stresses on threshold values for crack propagation through an interface between two materials. Key Engineering Materials, Vol. 325, p. 1153-1156, 2006.

P3

Náhlík, L., Hutař, P., Knésl, Z.: The influence of loading ratio on fatigue crack propagation through a bi-material interface, Key Engineering Materials, Vols. 348-349, 317-320, 2007.

P4

Náhlík, L., Knésl, Z.: Estimation of the critical stress for failure of protective layers. Sborník konference Materials structure & micromechanics of fracture, str. 478 – 485, Brno 2001.

P5

Náhlík, L., Knésl, Z., Klusák, J.: Crack initiation kriteria for singular stress concentrators. Part III: An aplication to a crack touching a bimaterial interface. Engineering Mechanics, Vol. 15, No. 2, pp. 99-114, 2008.

P6

Náhlík, L., Šestáková, L., Hutař, P.: Crack propagation in the vicinity of the interface between two elastic materials. Sborník The first African InterQuadrennial ICF (International conference on Fracture) conference, Alger, Alžírsko, 2008.

P7

Náhlík, L., Šestáková, L., Hutař, P.: Estimation of the crack propagation direction of a crack touching the interface between two elastic materials, Materials Science Forum, Vols. 565568, pp. 225-228, 2007

P8

Knésl, Z., Bareš, P., Náhlík, L.: Evaluation of the fatigue threshold of coated structures. CDrom sborník konference ICCE-12, Tenerife, 2005.

P9

Knésl, Z. Náhlík, L. Bareš, P.: Failure behaviour of coated materials. Numerical methods in continuum mechanics, CD-rom sborník, Žilina, 2005.

P10 Knésl, Z., Náhlík, L.: Resistance of coated structures to failure. Conference Coating science international COSI 2005, Amsterdam, 2005. P11 Hutař, P., Náhlík, L., Knésl, Z.: Numerical investigations of corner singularities in cracked bodies, Key Engineering Materials, Vols. 348-349, 377-380, 2007. P12 Hutař, P., Náhlík, L., Knésl, Z.: The effect of singularity induced by the free surface on fatigue crack growth in thin structures. Key Engineering Materials Vols. 385-387, pp 317320, 2008. P13 Náhlík, L., Šestáková, L., Hutař, P.: Numerical investigation of stress singularities in cracked bimaterial body. Key Engineering Materials Vols. 385-387, pp 125-128, 2008. P14 Kroupa, F., Náhlík, L., Knésl, Z.: Crack growth in thermally sprayed ceramic coatings. Acta Technica CSAV 49, No. 2, pp. 149-168, 2004. P15 Náhlík, L. Knésl, Z., Kroupa, F.: Interaction of a crack in the Plasma-sprayed ceramic coating with the metal substrate. Materials Science Forum, Vol. 482., pp. 223-226, 2005. P16 Knésl, Z., Náhlík, L., Radon, J.: Influence of coating cracking on substrate failure. ICCE 10. International Community for Composites Engineering and College of Engineering, University of New Orleans, p. 347, 2003. P17 Náhlík, L., Knésl, Z., Vrbka, J.: Propagation of a fatigue crack through a protective layer. Proceedings of Conference Surface treatment 2001, pp. 181-190, Sevilla 2001.

29

P18 Náhlík, L., Hutař, P., Knésl, Z.: Transverse cracking of layered structures: evaluation of fatigue crack propagation. Materials Science Forum, Vols. 565-568, pp. 221-224, 2007 P19 Šestáková, L., Náhlík, L., Hutař, P., Knésl, Z.: Fracture mechanics parameters of multilayer pipes. Applied and Computational Mechanics, Vol. 1, 299-306, 2007 P20 Náhlík, L. Šestáková, L., Hutař, P.: Estimation of apparent fracture toughness of ceramic laminates based on generalized strain energy density factor. 17th European Conference on Fracture (ECF-17), p. 1522-1529, Brno, 2008. P21 Náhlík, L.: Crack Trapping in the Interface between Matrix and Inclusion. Engineering Mechanics, Vol. 11, No. 5, p. 371-375, ISSN 1210-2717, 2004. P22 Knésl, Z., Náhlík, L., Keršner Z.: Calculation of the critical stress in two-phase materials. Proceedings of the International Conference on Structural Engineering, Mechanics and Computation, pp. 737-744, Cape Town 2001. P23 Keršner, Z., Náhlík, L., Knésl, Z.: Analýza interakce kamenivo-trhlina z hlediska lomových charakteristik betonu. Časopis BETON: technologie-konstrukce-sanace, č. 5, str. 40 – 43, Beton TKS, Praha, 2002. P24 Knésl, Z., Hutař, P., Náhlík, L.: Effect of the interface on fracture thoughness of particle reinforced composites. Composites/nano-engineering ICCE 15, Haikou, Čína, 2007 P25 Knésl, Z., Hutař, P., Náhlík, L., Nezbedová, E., Vlach, B.: Role of particle size and filler matrix on stress state in thermoplastic composites. Computational modeling and experiment of composite materials, Liptovský Mikuláš, 2007 P26 Majer, Z., Hutař, P., Náhlík, L., Knésl, Z.: Influence of particle-matrix interphase on stress distribution in particulate composite with polymer matrix. Applied and Computational Mechanics, Vol.1, 143-148, 2007. P27 Hutař, P., Knésl, Z., Majer, Z., Prod’homme, G., Náhlík, L., Nezbedová, E., Veselý, P.: Some aspects of particulate polymer composite behaviour. Mechanika kompozitních materiálů a konstrukcí, Praha, str. 60-66, 2008.

ABSTRACT The presented monograph is devoted to the generalisation of linear elastic fracture mechanics to the case of a crack propagating through the interface between two materials. New stability criteria were formulated for that crack.. The criteria are based on different physical priciples: energy, a size of the plastic zone ahead of the crack tip and crack (mouth) opening displacement. Numerical procedures were developed for determination of needed parameters. The procedures generalize the application of linear elastic fracture mechanics (LEFM) to the cases, where the stress singularity exponent is different from ½. The procedures suggested integrate the description of the crack behaviour in homogeneous and nonhomogeneous materials. The most important feature of the suggested procedures is that no new material characteristics are needed to assess the crack behaviour and so the algorithm as a whole use only the material characteristics pertaining to homogeneous body, where the crack propagates to. The proposals and results introduced in this work can be generalized and used to description of fracture-mechanical behaviour of general stress concentrators. These properties broaden a validity and applicability of conventional LEFM of cracks. From practical point of view, the suggested procedures are general and can be used in considerations on the crack stability in composite materials, protective layers, etc. and can be applied for design of such structures.

30