VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií. doc. Ing. Lubomír Brančík, CSc

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií

doc. Ing. Lubomír Brančík, CSc. ANALÝZA CITLIVOSTÍ V SOUSTAVÁCH S ROZPROSTŘENÝMI PARAMETRY SENSITIVITY ANALYSIS IN DISTRIBUTED PARAMETER SYSTEMS

TEZE PŘEDNÁŠKY K PROFESORSKÉMU JMENOVACÍMU ŘÍZENÍ V OBORU TEORETICKÁ ELEKTROTECHNIKA

BRNO 2008

KLÍČOVÁ SLOVA Analýza citlivostí, soustava s rozprostřenými parametry, vícevodičové přenosové vedení, operátorová oblast, časová oblast, Laplaceova transformace, integrita signálu KEY WORDS Sensitivity analysis, distributed parameter system, multiconductor transmission line, Laplace domain, time domain, Laplace transform, signal integrity

© Lubomír Brančík, 2008 ISBN 978-80-214-3800-2 ISSN 1213-418X

OBSAH PŘEDSTAVENÍ AUTORA ............................................................................................................... 4 1 ÚVOD ........................................................................................................................................... 5 2 FORMULACE ŘEŠENÍ U SOUSTAVY S VÍCEVODIČOVÝMI PŘENOSOVÝMI VEDENÍMI ................................................................................................................................... 6 3 CITLIVOSTI PODLE SOUSTŘEDĚNÝCH PARAMETRŮ SOUSTAVY................................ 7 4 CITLIVOSTI ODVOZENÉ ZE SPOJITÝCH MODELŮ VPV ................................................... 8 4.1

4.2 4.3

METODA KONVERZE ŘETĚZOVÉ A ADMITANČNÍ MATICE VEDENÍ ................. 8 4.1.1 Obecné řešení pro případ nehomogenního vedení .................................................. 8 4.1.2 Citlivost na změny primárních parametrů vedení .................................................. 10 4.1.3 Citlivost na změnu délky vedení ............................................................................. 11 4.1.4 Citlivost na změny fyzikálních parametrů .............................................................. 12 4.1.5 Zjednodušené řešení pro případ homogenního vedení .......................................... 12 4.1.6 Citlivosti napětí a proudu na vodičích vedení ....................................................... 14 METODA ZALOŽENÁ NA MODÁLNÍ ANALÝZE ...................................................... 15 4.2.1 Citlivost na změny primárních parametrů vedení .................................................. 16 4.2.2 Citlivost na změnu délky vedení ............................................................................. 17 PŘÍKLADY ANALÝZY CITLIVOSTÍ ............................................................................ 18 4.3.1 Stanovení citlivostí v časové oblasti....................................................................... 18 4.3.2 Citlivosti v lineární hybridní soustavě ................................................................... 19 4.3.3 Citlivosti napětí a proudu na vodičích vedení ....................................................... 21

5 CITLIVOSTI ODVOZENÉ ZE SEMIDISKRÉTNÍCH MODELŮ VPV .................................. 23 5.1 5.2

5.3

VYUŽITÍ ŘETĚZOVÉ MATICE MODELU ................................................................... 24 APLIKACE METODY STAVOVÝCH PROMĚNNÝCH ............................................... 25 5.2.1 Formulace stavové rovnice modelu a její řešení ................................................... 26 5.2.2 Citlivost podle rozprostřených parametrů ............................................................. 27 5.2.3 Citlivost podle soustředěných parametrů .............................................................. 28 PŘÍKLADY ANALÝZY CITLIVOSTÍ ............................................................................ 29

6 ZÁVĚR........................................................................................................................................ 31 LITERATURA................................................................................................................................. 32 ABSTRACT ..................................................................................................................................... 35

3

PŘEDSTAVENÍ AUTORA Lubomír Brančík se narodil v roce 1961 v Kyjově. Vystudoval Střední průmyslovou školu elektrotechnickou v Brně, obor Radioelektronická a sdělovací zařízení (1976−1980). Vysokoškolské vzdělání získal na Fakultě elektrotechnické Vysokého učení technického v Brně v oboru Mikroelektronika (1980−1985). Diplomovou práci obhájil na téma Využití měření šumu k diagnostice tlustovrstvých hybridních integrovaných obvodů. Absolvoval vědeckou aspiranturu pracovníků školicích pracovišť na Ústavu nedestruktivní diagnostiky FE VUT v Brně ve vědním oboru Měřicí technika (1989−1992). Kandidátskou disertační práci obhájil na téma Aplikace víceparametrových metod nedestruktivního zkoušení pro rozlišování strukturního stavu feromagnetických materiálů (1993). Habilitoval se v oboru Teoretická elektrotechnika, habilitační práci obhájil na téma Techniques of time-domain simulation of transmission lines based on Laplace transformation methods na FEKT VUT (2000). V roce 1985, do nástupu na základní vojenskou službu, pracoval v TESLE Lanškroun, k. p. jako technik, koncem roku 1986 pak krátce na OVC VŠ ČVUT v Praze jako odborný pracovník a v PIKAZ Praha, i. p., pobočka Brno, jako asistent. Od roku 1987 je zaměstnán na Vysokém učení technickém v Brně, Fakultě elektrotechniky a komunikačních technologií (dříve FEI, FE). Do roku 1989 pracoval na Katedře teoretické a experimentální elektrotechniky jako odborný pracovník ve skupině diagnostiky feromagnetických materiálů, v letech 1989−1992 na Ústavu nedestruktivní diagnostiky. V letech 1993−2005 působil na Ústavu teoretické a experimentální elektrotechniky postupně jako technický pracovník (do roku 1994), jako pedagogicko-vědecký pracovník a odborný asistent (do roku 2000), po habilitaci v roce 2000 pak jako docent. Od roku 2005 pracuje na pozici docenta na Ústavu radioelektroniky FEKT VUT v Brně. V pedagogické oblasti byl postupně zapojen do výuky předmětů Teoreticko-elektrotechnické praktikum, Elektrická měření a Teorie elektromagnetického pole (laboratorní cvičení, do roku 1994), Teoretická elektrotechnika I a II (laboratorní a numerická cvičení, 1994−2002). Byl garantem předmětu Elektrotechnika 1 bakalářského studijního programu EEKR na FEKT, výuku vedl v předmětech Elektrotechnika 1 a 2 (přednášky, laboratorní a počítačová cvičení, 2002−2005). Od roku 2005 je garantem předmětu Analogové elektronické obvody bakalářského studijního oboru EST, programu EEKR na FEKT, ve kterém přednáší a vede laboratorní, numerická i počítačová cvičení. Je zapojen do výuky předmětu Elektronické praktikum téhož studijního oboru a programu. Od roku 2006 se rovněž podílí na výuce doktorského předmětu Návrh moderních elektronických obvodů. V roce 2005 byl předsedou oborové rady doktorského studijního oboru Teoretická elektrotechnika na FEKT, od roku 2006 pak jejím členem. Dosud byl vedoucím 12 bakalářských, 3 diplomových a 1 doktorské disertační práce, které byly na FEKT úspěšně obhájeny. Je autorem a spoluautorem 12 titulů skript, včetně 1 titulu cizojazyčného. V odborné oblasti byl dříve zapojen do výzkumu nedestruktivního zkoušení feromagnetických materiálů, především v oblasti zpracování naměřených dat (do roku 1994). Přibližně od roku 1995 se zabývá výzkumem numerických metod v teorii obvodů, počítačovou simulací elektrických soustav s rozprostřenými parametry, především soustav s vícevodičovými přenosovými vedeními, aplikací Laplaceovy transformace a numerického řešení inverzní LT v elektrotechnice. Byl zodpovědným řešitelem projektu GA ČR Simulace a optimalizace smíšených elektronických systémů s ohledem na integritu signálů (2003−2005) a členem týmu řešitelů projektu GA ČR Elektrická impedanční tomografie ve ztrátovém prostředí (2003−2004). Dále byl zapojen do výzkumných záměrů FEKT Elektronické komunikační systémy a technologie (1999−2004) a Mikroelektronické systémy a technologie (2002−2004), aktuálně pak v záměru Nové trendy v mikroelektronických systémech a nanotechnologiích (od 2005). Je autorem a spoluautorem 14 článků v časopisech (7 zahraničních), 80 příspěvků na konferencích (45 zahraničních) a 6 výzkumných zpráv (1 mezinárodní). Dosud byly jeho práce citovány ve 40 časopiseckých či konferenčních článcích (35 v zahraničí), na své práce má rovněž dalších 19 doložitelných odezev (18 ze zahraničí), jako jsou vyžádání kopií prací či programových kódů pro numerickou inverzi Laplaceových obrazů. Je členem dvou mezinárodních profesních organizací: IEEE (U.S.A) a IEICE (Japonsko). Aktuálně zastává funkci předsedy Československé sekce IEEE pro rok 2008.

4

1 ÚVOD Hlavní motivace pro studium citlivostí v soustavách s rozprostřenými parametry úzce souvisí s problematikou řešení tzv. integrity signálů ve smíšených (analogově-digitálních) elektronických obvodech. V takovýchto systémech pracujících v současné době na velmi vysokých hodinových frekvencích jsou reálné propojovací struktury – vodivé cesty desek plošných spojů, drátové spoje, přívody pouzder, vývodní kolíky, konektory a kabeláž – hlavními faktory, které způsobují poruchy integrity signálu a mohou být příčinou špatné funkce zařízení. Tyto poruchy vznikají v důsledku nehomogenit přenosové cesty, náhodnými změnami fyzikálních parametrů a také interakcemi s některými prvky systému i s jeho okolím. V rámci současné mikroelektronické technologie se otázky integrity signálu řeší i při návrzích propojovacích cest na substrátech čipů. Všechny aspekty problematiky integrity signálu mohou být zahrnuty do dvou základních kategorií, totiž časového seřízení a kvality signálu. V této souvislosti musí být zajištěny dva požadavky: první, aby signál dorazil do cíle v době, kdy je očekáván, druhý, aby signál dorazil v přijatelné kvalitě a mohl tak být korektně vyhodnocen a zpracován. Základní přehled řešené problematiky lze nalézt např. v knihách [1]–[6]. V současných vysokorychlostních systémech může fyzikální a mechanický návrh podstatně ovlivnit integritu signálu a tedy spolehlivý přenos dat. Identifikace a řešení problematiky integrity signálů se stává naléhavější spolu se zvyšováním hodinové frekvence. Při návrhu desek plošných spojů, modulů multičipů i pouzder integrovaných obvodů musí být proto požadavky na integritu signálů a elektrické parametry skloubeny s tradičními návrhovými disciplinami, CAD, logickým návrhem, mechanickým návrhem i analýzou spolehlivosti. Přibližně před čtvrt stoletím mohly být ještě propojovací struktury považovány za ideální vodiče, s nulovou impedancí i zpožděním. Pro přenášené signály byly proto uvažovány jako ideálně propustné. U většiny elektronických zařízení, které pracují s hodinovými frekvencemi nad 100 MHz nebo náběžnými hranami kratšími něž 1 ns, již nelze propojovací struktury za ideálně propustné uvažovat. Vlivem jejich reálných fyzikálních vlastností se začínají projevovat vlivy zpoždění signálu, jeho zkreslení, odrazy i přeslechy mezi signálovými vodiči. U rozsáhlých systémů se stávají vztahy mezi obvodovými parametry a kritérii návrhu velmi komplikované. Objevuje se proto potřeba optimalizace návrhu, při které jsou parametry propojovacích struktur použity v celém jeho průběhu. Metodami optimalizace přenosových struktur se zabývá celá řada prací, např. [7]–[15]. Aplikace výkonných optimalizačních technik založených zpravidla na gradientních metodách je podmíněna znalostí citlivostí výstupních odezev daného systému. Při výpočtu citlivostí se všeobecně užívá metody adjungovaného obvodu [16], [17]. S rostoucí frekvencí přenášených signálů se elektrická délka propojovacích struktur stává podstatnou částí jejich vlnové délky, kdy konvenční modely propojovacích struktur založené na jednoduchých článcích se soustředěnými parametry již adekvátně nepopisují jejich skutečné vlastnosti. Týká se to ale např. i velmi dlouhých silových vedení v energetice, kde i při nízkých frekvencích je podmínka srovnatelné vlnové délky a geometrických rozměrů splněna. Toto vede k potřebě použití modelů vázaných přenosových vedení s rozprostřenými parametry. Vícevodičová přenosová vedení (VPV) jsou charakterizována maticemi primárních parametrů na jednotku délky, které mohou být konstantní (případ homogenních VPV), nebo proměnné po délce vedení (případ nehomogenních VPV), frekvenčně nezávislé i závislé [18]. Právě pro stanovení citlivostí podle parametrů VPV byla vypracována celá řada specializovaných metod. Literatura [19]–[35] mapuje některé tyto práce za zhruba poslední čtvrt století, další práce a nové přístupy k řešení se stále objevují. Předkládané teze se zaměřují především na ty metody, ve kterých má jejich autor svůj vlastní přínos [36]–[60]. Výjimku tvoří metoda modální analýzy [20], která je uvedena jako jedna z nejrozšířenějších metod pro homogenní VPV, a ovšem také výpočetní rámec pro řešení celé soustavy, modifikovaná metoda uzlových napětí (MMUN) [61], která byla v řadě citovaných prací rovněž použita. Kromě spojitých modelů VPV, které vedou na řešení maticových telegrafních rovnic, jsou zde uvedeny i základní semidiskrétní modely VPV vedoucí na řešení rozsáhlých soustav obyčejných diferenciálních rovnic, v závislosti na zvolené diskretizaci modelu.

5

2 FORMULACE ŘEŠENÍ U SOUSTAVY S VÍCEVODIČOVÝMI PŘENOSOVÝMI VEDENÍMI Budeme uvažovat lineární soustavu, která sestává z části s prvky se soustředěnými parametry a P podsystémů, které jsou tvořeny vícevodičovými přenosovými vedeními (VPV), tedy prvky s parametry rozprostřenými, viz obr. 1. i 1(1)

i 1( 2 )

i (21)

u1(2)

u (2) 2

u (1) 2

i (P2 )

i (P1)

VPV2

VPV1 u1(1)

i (22 )

VPVP

u (1) P

u(2) P

Část soustavy s prvky se soustředěnými parametry

Obr. 1 Soustava s vícevodičovými přenosovými vedeními V další části práce budou odvozeny rovnice pro stanovení citlivostí na oba druhy parametrů. V prvním případě to budou citlivosti na změnu odporu rezistorů, kapacity kapacitorů a indukčnosti induktorů, ve druhém případě pak citlivosti na změnu primárních parametrů vícevodičových přenosových vedení, vč. jejich délky. Pro naše účely budou uvažovány pouze VPV s nulovými počátečními napětími a proudy podél všech vodičů. Rovnice popisující hybridní soustavu v časové oblasti může být velmi obecně formulována pomocí modifikované metody uzlových napětí (MMUN) [61] ve tvaru HA

P d v (t ) + H R v (t ) + ∑ Dk i k (t ) = j(t ) , dt k =1

(1)

kde HA je matice tvořená parametry akumulačních prvků, HR pak matice tvořená parametry prvků rezistivních, obě řádu N × N, v(t) je N × 1 sloupcový vektor uzlových napětí, která jsou doplněna proudy nezávislými napěťovými zdroji a induktory, j(t) je N × 1 sloupcový vektor parametrů nezávislých budicích zdrojů. Vektor ik(t), řádu nk × 1, obsahuje proudy vstupující do k-tého VPV, Dk je pak transformační matice řádu N × nk, s prvky di,j ∈ {0,1}, která zobrazuje vektor ik(t) do prostoru uzlových napětí soustavy. Aplikací Laplaceovy transformace na (1) dostáváme rovnici MMUN v operátorovém tvaru P

( H R + sH A ) V ( s) + ∑ Dk I k ( s) = J ( s) + H A v(0) .

(2)

k =1

Příslušné k-té VPV sestává z mk = nk 2 aktivních vodičů a může být proto považováno za 2mk-bran. Vektor I k ( s ) v rovnici (2) je proto složen ze dvou dílčích vektorů definujících proudy vstupní (2) T a výstupní brány, I k ( s ) = [I (1) k ( s ), I k ( s )] . Budeme-li uvažovat pouze nulové počáteční podmínky, lze admitanční rovnici k-tého VPV zapsat ve tvaru

I k ( s ) = Yk ( s ) U k ( s ) ,

(3)

(2) T kde vektor U k ( s) = [U (1) k ( s ), U k ( s )] je složen ze dvou dílčích vektorů definujících napětí vstupní a výstupní brány daného VPV. Po dosazení (3) do (2) dostáváme výslednou rovnici MMUN jako

V ( s ) = H -1 ( s ) ( J ( s ) + H A v (0) ) ,

6

(4)

kde pro matici soustavy platí P

H ( s ) = H R + sH A + ∑ Dk Yk ( s )DTk .

(5)

k =1

Způsob nalezení admitanční matice Yk ( s ) vícevodičových přenosových vedení bude podrobněji osvětlen v dalších částech. V první řadě bude prezentována metoda založená na konverzi řetězové na admitanční matice [37], dále pak metoda vyplývající z aplikace modální analýzy [20]. První z obou metod bude rozpracována rovněž pro vedení nehomogenní. Uvažujme nyní parametr γ, vzhledem k němuž bude citlivost počítána. Dále uvažujme rovnici (4) v upraveném tvaru (6) H( s)V ( s) = J ( s) + H A v(0) . Derivací (6) podle parametru γ dostáváme ∂H ( s ) ∂V ( s ) ∂H A V (s) + H(s) = v (0) , ∂γ ∂γ ∂γ

(7)

kde byly uváženy nulové derivace ∂J ( s ) ∂γ = 0 i ∂v (0) ∂γ = 0 , neboť citlivosti podle vnitřních proudů/napětí nezávislých budicích zdrojů i citlivosti podle počátečních podmínek akumulačních prvků nejsou uvažovány. Z rovnice (7) konečně dostáváme ⎛ ∂H A ⎞ ∂V ( s ) ∂H ( s ) = H -1 ( s ) ⎜ v (0) − V ( s) ⎟ . ∂γ ∂γ ⎝ ∂γ ⎠

(8)

Rovnice je obecně platná, další řešení pak bude rozděleno podle typu uvažovaného parametru γ.

3 CITLIVOSTI PODLE SOUSTŘEDĚNÝCH PARAMETRŮ SOUSTAVY Nechť γ je soustředěný parametr některého prvku obvodu. Je proto jistě obsažen buď v matici HA nebo HR. Uvážíme-li dále vztah pro matici soustavy (5), dostáváme

⎛ ∂H A ⎞ ∂H ∂V ( s) = H -1 ( s) ⎜ ( v(0) − sV( s) ) − R V (s) ⎟ . ∂γ ∂γ ⎝ ∂γ ⎠

(9)

V případě, že γ ≡ hA je parametr akumulačního prvku, pak ∂V ( s ) ∂H A = H −1 ( s ) ( v(0) − sV ( s) ) , ∂hA ∂hA

(10)

zatímco je-li γ ≡ hR parametr prvku rezistivního, pak ∂V ( s ) ∂H R V (s) . = − H −1 ( s ) ∂hR ∂hR

(11)

Jak lze snadno ukázat, viz např. [20], je-li prvek zapojen mezi i-tým a j-tým uzlem, derivace matic v rovnicích (10) nebo (11) lze zapsat jako (ei - e j )(ei - e j )T , kde ei je sloupcový vektor řádu N × 1, s jednotkou na i-té pozici a s nulami na pozicích ostatních. Pokud je j-tý uzel uzlem referenčním, potom je příslušná matice rovna ei eTi .

7

4 CITLIVOSTI ODVOZENÉ ZE SPOJITÝCH MODELŮ VPV Uvažujme γ jako parametr k-tého VPV. Může to být jeho délka, prvek obsažený v jeho matici primárních parametrů či libovolný fyzikální parametr, který tuto matici ovlivňuje. Parametr γ je proto obsažen i v admitanční matici Yk ( s) v (5). Vyjdeme-li z (8) a uvážíme-li (5), dostáváme ∂Y ( s ) T ∂V ( s ) Dk V ( s ) , = − H −1 ( s )Dk k ∂γ ∂γ

(12)

neboť pro všechna j ≠ k je ∂Y j ( s ) ∂γ = 0 . Abychom stanovili citlivosti (12), je třeba nejdříve stanovit derivaci admitanční matice VPV ∂Yk ( s ) ∂γ . Forma admitanční matice VPV a její derivace závisí především na modelu, kterým je vedení v soustavě reprezentováno. V principu lze užít modely spojité (VPV je popsáno telegrafní rovnicí v maticovém tvaru), semidiskrétní (VPV je diskretizováno v prostorové souřadnici – typicky kaskádní spojení zobecněných Π (T) článků se soustředěnými parametry) či plně diskrétní (diskretizace je provedena jak v časové, tak prostorové oblasti – typicky aplikace FDTD metody). Vedle uvedeného dělení lze použít i různé přístupy v rámci dané kategorie. Zde prezentované řešení patří do kategorie modelů spojitých, přičemž je použito nového postupu ve srovnání s postupy běžně užívanými. Speciálně v případě homogenních VPV je nejčastěji užíváno metody modální analýzy [20]. Metoda vyžaduje řešení soustavy lineárních rovnic pro nalezení citlivostí vlastních vektorů a vlastních čísel jako jeden z kroků, přičemž zobecnění pro vedení nehomogenní je poměrně problematické. Popisovaná metoda je založena na konverzi řetězové a admitanční matice VPV, která umožňuje bez větších obtíží pracovat i s vedeními nehomogenními [39]. 4.1 METODA KONVERZE ŘETĚZOVÉ A ADMITANČNÍ MATICE VEDENÍ 4.1.1 Obecné řešení pro případ nehomogenního vedení Uvažujme obecně nehomogenní VPV délky l, s maticemi primárních parametrů R0(x), L0(x), G0(x) a C0(x). V časové oblasti můžeme psát telegrafní rovnice v maticovém tvaru [18] -R 0 ( x ) ⎤ ⎡ u ( x, t ) ⎤ ⎡ 0 L 0 ( x ) ⎤ ∂ ⎡ u ( x, t ) ⎤ ∂ ⎡u ( x, t ) ⎤ ⎡ 0 . =⎢ ⋅⎢ −⎢ ⋅ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ 0 ⎦ ⎣ i ( x, t ) ⎦ ⎣ C 0 ( x ) 0 ⎥⎦ ∂t ⎢⎣ i ( x, t ) ⎥⎦ ∂x ⎣ i ( x, t ) ⎦ ⎣-G 0 ( x)

(13)

Po uvážení nulových počátečních podmínek (tj. nulových napětí a proudů rozložených podél všech vodičů VPV), můžeme psát rovnici (13) v operátorovém tvaru jako -Z 0 (x,s ) ⎤ ⎡ U ( x, s ) ⎤ d ⎡ U ( x, s ) ⎤ ⎡ 0 , = ⋅ ⎢ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ I ( x, s ) ⎥⎦ dx ⎢⎣ I ( x, s ) ⎥⎦ ⎣ -Y0 ( x, s )

(14)

kde U ( x, s ) = L {u( x, t )} a I ( x, s ) = L {i ( x, t )} jsou sloupcové vektory Laplaceových obrazů napětí a proudů v geometrické souřadnici x, 0 je nulová matice. V předchozí rovnici se rovněž objevují podélná měrná impedance (15) a příčná měrná admitance (16) v operátorových tvarech Z 0 ( x , s ) = R 0 ( x ) + sL 0 ( x ) , Y0 ( x, s ) = G 0 ( x) + sC0 ( x) .

(15) (16)

Formálně lze rovnici (14) psát ve tvaru dW( x, s ) = M ( x, s ) W ( x, s ) , dx

8

(17)

kde -Z 0 (x,s ) ⎤ ⎡ 0 . M ( x, s ) = ⎢ 0 ⎥⎦ ⎣-Y0 ( x, s )

(18)

Rovnice (17) má známý tvar řešení

W ( x, s ) = Φxx0 ( s) W ( x0 , s ) ,

(19)

kde čtvercová matice Φxx0 ( s ) je tzv. integrální matice (matrizant), kterou lze vyjádřit pomocí Volterova součinového integrálu [62]

Φxx0 ( s ) = ∫

x x0

[E + M(ξ , s)dξ ] .

(20)

Budeme-li nyní uvažovat vstup VPV pro x0 = 0 a jeho výstup pro x = l, pak integrální matice Φ0l ( s) představuje v terminologii teorie vícebranů řetězovou matici Φ ( s) , tedy ⎡ Φ ( s ) Φ12 ( s ) ⎤ = Φ0l ( s ) , Φ ( s ) = ⎢ 11 ⎥ ⎣ Φ21 ( s ) Φ22 ( s ) ⎦

(21)

přičemž det Φ( s ) = 1 , neboť VPV je reciprocitním 2n-branem. Označíme-li proto W (0, s ) = W (1) ( s ) = [ U (1) ( s ), I (1) ( s )]T ,

(22)

T

W (l , s ) = W ( s ) = [ U ( s ), −I ( s )] ,

(23)

⎡ U (2) ( s ) ⎤ ⎡ Φ11 ( s ) Φ12 ( s ) ⎤ ⎡ U (1) ( s ) ⎤ ⎢ (2) ⎥ = ⎢ ⎥ ⋅ ⎢ (1) ⎥ . ⎣ −I ( s ) ⎦ ⎣ Φ21 ( s ) Φ22 ( s ) ⎦ ⎣ I ( s ) ⎦

(24)

(2)

(2)

(2)

rovnice (19) má tvar

Po úpravě (24) dostáváme admitanční rovnice VPV odpovídající rovnici (3) jako

⎡ I (1) ( s ) ⎤ ⎡ Y11 ( s) Y12 ( s) ⎤ ⎡ U (1) ( s) ⎤ ⎢ (2) ⎥ = ⎢ T ⎥ ⋅ ⎢ (2) ⎥ , ⎣I ( s ) ⎦ ⎣ Y12 ( s ) Y22 ( s) ⎦ ⎣ U ( s ) ⎦

(25)

⎡ −Φ12−1 ( s )Φ11 ( s ) ⎤ Φ12−1 ( s ) ⎥ , Y( s) = ⎢ T ⎢⎣ ( Φ12−1 ( s ) ) −Φ22 ( s )Φ12−1 ( s ) ⎥⎦

(26)

kde admitanční matice má tvar

přičemž rovnost Y21 ( s ) = Y12T ( s ) je dána reciprocitou VPV. Admitanční matice (26) stanovené pro všechny VPV v soustavě jsou potřebné v rovnici (5), tedy pro výpočet matice soustavy u MMUN. Abychom určili derivaci ∂Y ( s ) ∂γ pro rovnici (12), je dostatečné určit derivace submatic admitanční matice (26). Dostáváme ∂Y11 ( s ) ∂Φ12−1 ( s ) ∂Φ ( s ) , =− Φ11 ( s ) − Φ12−1 ( s ) 11 ∂γ ∂γ ∂γ ∂Y12 ( s ) ∂Φ12−1 ( s ) , = ∂γ ∂γ ∂Y22 ( s ) ∂Φ ( s ) ∂Φ −1 ( s ) , = − 22 Φ12−1 ( s ) − Φ22 ( s ) 12 ∂γ ∂γ ∂γ

(27) (28) (29)

9

T

∂Y21 ( s) ⎛ ∂Y12 ( s ) ⎞ =⎜ ⎟ , ∂γ ⎝ ∂γ ⎠

(30)

kde ∂Φ12−1 ( s ) ∂Φ ( s) = −Φ12−1 ( s ) 12 Φ12−1 ( s ) . ∂γ ∂γ

(31)

Pro nalezení derivace admitanční matice je tedy třeba nalézt derivaci řetězové matice (21), tedy ⎡ ∂Φ11 ( s ) ∂Φ ( s ) ⎢⎢ ∂γ = ∂γ ⎢ ∂Φ21 ( s ) ⎢ ∂γ ⎣

∂Φ12 ( s ) ⎤ ∂γ ⎥ ∂Φ0l ( s ) ⎥= . ∂Φ22 ( s ) ⎥ ∂γ ∂γ ⎥⎦

(32)

Další řešení bude rozděleno podle typu parametru γ. 4.1.2 Citlivost na změny primárních parametrů vedení Primární parametry vícevodičového přenosového vedení jsou reprezentovány čtvercovými maticemi R0(x), L0(x), G0(x) a C0(x), které rovněž určují matici M(x,s) podle (18). Proto je parametr γ obsažen i v této matici, což determinuje metodu derivace integrální matice (20). Je známo, že integrální matice vyhovuje vztahu [62] Φxx0m ( s ) = Φxxmm−1 ( s )Φxxmm−−21 ( s ) L Φxxkk−1 ( s )Φxxkk−−21 ( s ) L Φxx12 ( s )Φxx01 ( s ) ,

(33)

kde m značí počet intervalů. Zvolíme-li x0 = 0 a xm = l, lze rovnici (33) použít pro určení přibližné matice Φ0l ( s) , neboť obecně nelze přesné řešení nalézt. Využijeme toho, že pro M(x,s) ≡ M(s), tj. kdy matice M není funkcí souřadnice x, vede integrální matice (20) na exponenciální funkci maticového argumentu. Rozdělíme-li rozsah integrace na dostatečně malé intervaly Δxk = xk - xk-1, k = 1,2,...,m, vede rovnice (33) na m

Φxx0m ( s) ≈ ∏ eM (ξk , s ) Δxk ,

(34)

k =1

kde pro ξ k ∈ ( xk −1 , xk ) jsou matice M (ξ k , s ) uvažovány konstantní a pořadí násobení odpovídá (33). Zároveň bude vlastnosti (33) využito i pro stanovení derivace řetězové matice (32). Vyjdemeli z (33), můžeme psát rovnici Φxx0k ( s ) = Φxxkk−1 ( s )Φxx0k −1 ( s ) , (35) a její derivací rekurentní vztah ∂Φxx0k ( s ) ∂γ

=

∂Φxxkk−1 ( s ) ∂γ

xk −1 x0

Φ

xk xk −1

( s) + Φ ( s)

∂Φxx0k −1 ( s ) ∂γ

,

(36)

vycházeje z k = 2. Výsledky jsou pouze přibližné, neboť při výpočtu je užito exponenciální funkce matice pro přibližný výpočet matice integrální dle vztahu (34). Vedle toho závisí přesnost na metodě výpočtu samotné exponenciální funkce matice a její derivace. Použít lze např. jejího rozvoje do Taylorovy řady, kdy pro derivaci dílčí integrální matice dostáváme

∂Φxxkk−1 ( s ) ∂γ

≈

∞ (Δxk ) r ∂M r (ξ k , s ) ∂eM (ξk , s ) Δxk =∑ , ∂γ ∂γ r! r =0

pro derivaci r-té mocniny matice M lze pak užít dalšího rekurentního vztahu

10

(37)

∂M r (ξ k ,s ) ∂M (ξ k ,s ) r −1 ∂M r −1 (ξ k ,s ) , = M (ξ k ,s )+M (ξ k ,s ) ∂γ ∂γ ∂γ

(38)

vycházeje z r = 2. Důležitým faktem pro praktický výpočet je to, že se zvyšujícím se počtem členů v rovnici (34), tj. se zmenšujícími se intervaly Δxk, se požadavek na počet členů v nekonečné řadě (37) velmi rychle snižuje. Jak je zřejmé, při známých derivacích ∂M(x, s) ∂γ je problém vyřešen. V závislosti na parametru γ lze dále udat čtyři varianty derivace podle tab. 1.

Parametr

γ ∈ R 0 ( x)

γ ∈ L0 ( x)

∂M (x, s ) ∂γ

∂R 0 ( x) ⎤ ⎡ ⎢0 − ∂γ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎢⎣0 ⎥⎦

∂L 0 ( x) ⎤ ⎡ ⎢0 − s ∂γ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎢⎣0 ⎥⎦

γ ∈G 0 ( x) 0 ⎡ ⎢ ∂G ( x) 0 ⎢− ∂γ ⎢⎣

γ ∈ C0 ( x ) 0⎤ ⎥ 0⎥ ⎥⎦

0 ⎡ ⎢ ∂C ( x) ⎢−s 0 ∂γ ⎢⎣

0⎤ ⎥ 0⎥ ⎥⎦

Tab. 1 Derivace matice M podle různých parametrů γ Další metody pro výpočet derivace exponenciální funkce matice viz např. práce [53]–[56]. Derivaci admitanční matice VPV potřebné při výpočtu citlivosti (12) pak nalezneme pomocí vztahů (27)–(31). Předpokládejme dále, že všechny prvky matic primárních parametrů lze vyjádřit jako jisté parametrické funkce, tedy

R 0 ( x) = ⎡⎣ Rij (rij , x) ⎤⎦ , L 0 ( x) = ⎡⎣ Lij (l ij , x) ⎤⎦ , G 0 ( x) = ⎡⎣Gij (g ij , x) ⎤⎦ , C0 ( x) = ⎡⎣Cij (cij , x) ⎤⎦ ,

(39)

i,j = 1,2,...,n, kde rij, lij, gij a cij jsou vektory s počtem nr, nl, ng a nc parametrů. Označme obecně výše uvedené matice zápisem P0 ( x) = Pij (pij , x) , (40) kde pij je vektor s np parametry. Dále definujme n × 1 sloupcový vektor ei obsahující jedničku na i-té pozici a nuly na pozicích ostatních. Pak můžeme derivaci ∂P0 ( x) ∂γ vyjádřit následovně. Pro k-tý parametr diagonálního prvku, tedy γ ≡ piik ∈pii , jako ∂P0 ( x) ∂Pii (p ii , x ) = ⋅ ei eTi , ∂piik ∂piik

(41)

i = 1,2,...,n, zatímco pro k-tý parametr prvku na nediagonální pozici, tedy γ ≡ pijk ∈ p ij , jako ∂P0 ( x ) ∂Pij (p ij , x) = ⋅ ( ei eTj + e j eTi ) , k k ∂pij ∂pij

(42)

i,j = 1,2,...,n, i ≠ j , a to z důvodu symetrie matic primárních parametrů, kde platí rovnosti Pij = Pji. Výše uvedené vztahy vedou na matice s jediným (rovnice (41)) či se dvěma (rovnice (42)) nenulovými prvky. V případě, že budeme uvažovat parametr pk, který je společný pro více či pro všechny vektory pij, dostaneme matici s příslušným počtem nenulových prvků. Tato je v principu rovna součtu výše uvedených matic počítaných přes příslušné indexy. 4.1.3 Citlivost na změnu délky vedení Předpokládejme parametr γ ≡ l. Protože se délka vedení nevyskytuje v maticích primárních parametrů, pak uvážíme-li vlastnosti integrální matice (20), rovnice (32) má jednoduchý tvar ∂Φ( s) = M (l , s )Φ ( s ) . ∂l

(43)

11

Při uvážení (18) pro M(l,s) a (21) pro Φ(s) dostáváme po roznásobení

⎡ Ζ (l , s )Φ21 ( s ) Z 0 (l , s )Φ22 ( s ) ⎤ ∂Φ ( s ) = −⎢ 0 ⎥ . ∂l ⎣ Y0 (l , s )Φ11 ( s ) Y0 (l , s )Φ12 ( s ) ⎦

(44)

Srovnání (44) a (32) dává derivace potřebné v rovnicích (27)–(31). Dokončením substitucí, další úpravou při uvážení (25) a (26) lze derivaci admitanční matice vyjádřit i ve tvaru ⎡ Y ( s )Z 0 (l , s)Y12T ( s) ⎤ Y12 ( s )Z 0 (l , s )Y22 ( s) ∂Y( s) =− ⎢ 12 ⎥ . T ∂l ( s ) ( l , s ) ( s ) ( s ) ( l , s ) ( s ) ( l , s ) Y Z Y Y Z Y − Y 0 12 22 0 22 0 ⎣ 22 ⎦

(45)

Výsledek bude použit v rovnici (12) pro výpočet citlivosti ∂V ( s ) ∂l . 4.1.4 Citlivost na změny fyzikálních parametrů Konečně uvažujme γ jako obecný fyzikální parametr VPV, např. parametr související s jeho geometrickým uspořádáním, jako je šířka, tloušťka či vzdálenost mezi vodiči, dále parametr související s vlastnostmi materiálu vodičů či dielektrika apod. Takovýto parametr může ovlivnit obecně všechny matice primárních parametrů (39). Proto také všechny parametry pijk , k = 1,2,...,np, které definující nehomogenitu matice (40), budou parametrem γ ovlivněny. Derivaci admitanční matice potřebné pro výpočet citlivosti dle (12) pak určíme aplikací řetězového pravidla. Použijeme-li značení z předchozího odstavce, můžeme psát ∂Y( s ) = ∂γ

k

∂Y( s ) ∂pij , ∑ ∑∑∑ k ∂γ p ={r ,l , g ,c} i =1 j = i k =1 ∂pij n

n

np

(46)

kde n značí řád matice primárních parametrů VPV. 4.1.5 Zjednodušené řešení pro případ homogenního vedení Z praktického hlediska je velmi důležité nalézt rovnice pro vícevodičová přenosová vedení homogenní. Mohou být odvozeny přímo z výše uvedené teorie, přičemž dochází k podstatnému zjednodušení. Především vztah (12) pro citlivosti zůstává v platnosti. Všechna zjednodušení pak vyplývají z metody stanovení admitanční matice Y(s) a její derivace ∂Y ( s ) ∂γ . V tomto případě v důsledku konstantních matic primárních parametrů R0, L0, G0 a C0 jsou i podélná měrná impedance Z0(s) dle (15), příčná měrná admitance Y0(s) dle (16) a proto i matice M(s) dle (18) nezávislé na geometrické souřadnici x. Následkem toho přechází Volterův součinový integrál (20) v exponenciální funkci matice Φxx0 ( s )

M ( x ,s )=M ( s )

=e

M ( s )( x − x0 )

.

(47)

Řetězová matice (21) má pak tvar ⎡ Φ ( s ) Φ12 ( s ) ⎤ M ( s ) l , Φ ( s ) = ⎢ 11 ⎥=e Τ ⎣ Φ21 ( s ) Φ11 ( s ) ⎦

(48)

kde identita Φ22 ( s ) = Φ11Τ ( s ) vyplývá z podélné souměrnosti VPV. Admitanční matice (26) se pak zjednoduší do tvaru ⎡ −Φ12−1 ( s )Φ11 ( s ) ⎤ Φ12−1 ( s ) (49) Y( s) = ⎢ ⎥ , Φ12−1 ( s ) −Φ12−1 ( s )Φ11 ( s ) ⎦ ⎣

12

kde byly užity identity Y12T ( s ) = Y12 ( s) a Y22 ( s) = Y11 ( s) . Pro nalezení derivace admitanční matice ∂Y( s ) ∂γ proto stačí použít rovnice (27), (28) a (31). Derivace řetězové matice (32) přitom přechází na problém výpočtu derivace exponenciální funkce maticového argumentu ⎡ ∂Φ11 ( s) ⎢ ∂Φ( s) ⎢ ∂γ = ⎢ ∂Φ21 ( s ) ∂γ ⎢ ⎣ ∂γ

∂Φ12 ( s ) ⎤ ∂γ ⎥ ∂eM ( s )l ⎥= . Τ ∂γ ∂Φ11 ( s) ⎥ ⎥ ∂γ ⎦

(50)

Citlivost na změny primárních parametrů vedení

Abychom nalezli derivaci (50) podle parametru γ, který je prvkem matice M(s), použijeme některou z metod pro derivaci exponenciální funkce maticového argumentu [55]. Zde se omezíme pouze na jednu z možností, na rozvoj do Taylorovy řady ∞ lr eM ( s )l = ∑ M r ( s) . r =0 r !

(51)

∂Φ (s) ∞ l r ∂M r ( s ) =∑ , ∂γ ∂γ r =0 r !

(52)

Pak můžeme psát

podobně jako tomu bylo ve vztahu (37) pro k-tý element Δxk v případě nehomogenního vedení. Rekurentní vztah pro derivaci r-té mocniny matice M(s) vyplývající z (38) je pak tvaru ∂M r (s) ∂M (s) r -1 ∂M r -1 (s) , = M (s)+M (s) ∂γ ∂γ ∂γ

(53)

vycházeje z r = 2. Derivace matice ∂M ( s ) ∂γ jsou dány tab. 1, kde uvažujeme konstantní matice primárních parametrů. Uvážíme-li dále formální označení P0 pro matice primárních parametrů VPV zavedené v rovnicích (41) a (42), dostáváme ∂P0 (54) = ei eTi , ∂Pii pro γ ≡ Pii ∈ P0 , a podobně ∂P0 (55) = ei eTj + e j eTi , ∂Pij pro γ ≡ Pij ∈ P0 , i ≠ j . Protože jsou u matic C0 a G0 prvky mimo hlavní diagonálu záporné, lze zde také uvažovat derivace podle parametru γ ≡ |Pij|, což by vedlo ke změně znaménka derivace (55). Citlivost na změnu délky vedení

V případě homogenního vedení přechází derivace (50) na standardní derivaci exponenciální funkce, neboť matice M(s) je zde nyní konstantou. Rovnici (43) lze pak psát jako ∂Φ( s) = M ( s ) Φ ( s ) = Φ ( s )M ( s ) , ∂l

(56)

neboť součin matic je v tomto případě komutativní. Pak má také (44) dva ekvivalentní tvary

13

⎡ Z 0 ( s )Φ21 (s) Z 0 ( s )Φ11T (s) ⎤ ⎡Φ12 (s)Y0 ( s ) Φ11 (s)Z 0 ( s ) ⎤ ∂Φ (s) = −⎢ ⎥ = −⎢ T ⎥ , ∂l ⎣ Φ11 (s)Y0 ( s ) Φ21 (s)Z 0 ( s ) ⎦ ⎣ Y0 ( s )Φ11 (s) Y0 ( s )Φ12 (s) ⎦

(57)

což vede i ke zjednodušení derivace admitanční matice (45) do tvaru

⎡ Y ( s)Z0 ( s)Y12 ( s) Y11 (s)Z0 ( s)Y12 ( s) ⎤ ∂Y( s) = − ⎢ 12 ⎥ . ∂l ⎣ Y11 ( s)Z0 ( s)Y12 ( s) Y12 ( s)Z0 ( s)Y12 ( s) ⎦

(58)

Citlivost na změny fyzikálních parametrů

Konečně budeme uvažovat parametr γ jako obecný fyzikální parametr, který může ovlivnit hodnoty všech matic primárních parametrů R0, L0, G0 a C0. K výpočtu derivace admitanční matice potřebné ve vztahu (12) ke stanovení citlivostí užijeme opět řetězového pravidla. Rovnice (46) přechází do tvaru ∂Y( s ) n n ⎛ ∂Y( s ) ∂Rij ∂Y( s ) ∂Lij ∂Y( s ) ∂Gij ∂Y ( s ) ∂Cij = ∑∑ ⎜ + + + ⎜ ∂γ ∂γ ∂Lij ∂γ ∂Gij ∂γ ∂Cij ∂γ i =1 j = i ⎝ ∂Rij

⎞ ⎟⎟ , ⎠

(59)

kde Rij ∈ R 0 , Lij ∈ L 0 , Gij ∈G 0 a Cij ∈C0 jsou konstantní prvky příslušných matic primárních parametrů (v předchozím odstavci značené jako Pij). 4.1.6 Citlivosti napětí a proudu na vodičích vedení Výše uvedené postupy umožňují nalézt nejen citlivosti veličin ve vektoru modifikované metody uzlových napětí, tj. napětí v uzlech a proudů ve větvích dané soustavy, ale také vyřešit rozložení napětí a proudů podél jednotlivých vodičů VPV a jejich citlivosti na změny všech dříve uvažovaných parametrů. Dále budou uvedeny dva možné přístupy. Aplikace řetězové matice VPV

Uvedené řešení vychází přímo z metody konverze řetězové matice VPV na matici admitanční, jak bylo popsáno v předešlých částech práce. Metoda bude formulována obecně pro nehomogenní vedení, pro vedení homogenní platí opět jistá zjednodušení. Vyjdeme z rovnice (19), kdy její derivací podle parametru γ při uvážení x0 = 0 dostáváme ∂W ( x, s ) ∂Φ0x ( s ) ∂W (0, s ) , = W (0, s ) + Φ0x ( s ) ∂γ ∂γ ∂γ

(60)

kde W (0, s) a ∂W (0, s ) ∂γ závisí na hraničních podmínkách VPV, tj. na vlastnostech a řešení celé hybridní soustavy na obr. 1, zatímco Φ0x ( s) a ∂Φ0x ( s ) ∂γ vyjadřují vlastnosti příslušného VPV, viz rovnice (20) a (36). Hraniční podmínka (22), tj. T

W(0, s) = [ U(0, s), I(0, s)] = ⎡⎣ U(1) ( s), I (1) ( s) ⎤⎦ , T

(61)

je tvořena prvními subvektory vektorů T

U ( s ) = ⎡⎣ U (1) ( s ), U (2) ( s) ⎤⎦ = DT V ( s ) , T

I ( s ) = ⎡⎣I (1) ( s ), I (2) ( s ) ⎤⎦ = Y( s)U( s) ,

(62) (63)

kde V ( s ) je řešení hybridní soustavy (4) a Y( s ) je admitanční matice VPV (26). Matice DT je transponovaná transformační matice zavedená rovnicí (1). Druhou podmínku, matici

14

∂W (0, s ) ∂ ⎡ U(0, s ) ⎤ ∂ ⎡ U (1) ( s ) ⎤ = ⎢ = ⎢ ⎥ , ∂γ ∂γ ⎣ I (0, s ) ⎥⎦ ∂γ ⎣ I (1) ( s ) ⎦

(64)

nyní můžeme nalézt jako první subvektory derivací výše uvedených vektorů (62) a (63), tedy ∂U( s ) ∂ ⎡ U (1) ( s ) ⎤ ∂V ( s ) , = ⎢ (2) ⎥ = DT ∂γ ∂γ ⎣ U ( s ) ⎦ ∂γ

(65)

∂I ( s ) ∂ ⎡ I (1) ( s ) ⎤ ∂Y( s ) ∂U ( s ) = ⎢ (2) ⎥ = U( s) + Y( s ) , ∂γ ∂γ ⎣I ( s ) ⎦ ∂γ ∂γ

(66)

kde derivace řešení soustavy ∂V ( s ) ∂γ je dána rovnicí (8) a derivace admitanční matice VPV ∂Y( s ) ∂γ pak rovnicemi (27)–(30). V řešení (60) jsou tedy obsaženy absolutní citlivosti napětí i proudů rozložených podél vodičů příslušného VPV, v subvektorech ∂U( x, s ) ∂γ a ∂I ( x, s ) ∂γ . Aplikace dvojrozměrné Laplaceovy transformace

Metoda zde uvedená je použitelná pouze pro VPV homogenní. Je totiž založena na Laplaceově transformaci v proměnné souřadnice x aplikované na řešení v operátorové oblasti (19). Pro homogenní VPV lze (19) psát ve tvaru W ( x, s) = Φ( x, s) W(0, s ) = eM ( s ) x W(0, s) ,

(67)

kdy řetězová matice VPV přešla v exponenciální funkci maticového argumentu, M(s) je dána (18), při uvažování parametrů homogenního vedení, tedy Z0(s) = R0 + sL0 a Y0(s) = G0 + sC0. Aplikací Laplaceovy transformace podle x dostáváme

W (q, s ) = L x {W( x, s )} = L x {eM ( s ) x } W(0, s ) = ( qI - M ( s) ) W(0, s) , −1

(68)

kde I značí jednotkovou matici. Dostali jsme tak řešení v (q,s) oblasti, které odpovídá aplikaci dvojrozměrné Laplaceovy transformace na původní maticovou parciální diferenciální rovnici (13) formulovanou ovšem pro případ homogenního VPV. Hlavním přínosem je především mnohem snazší nalezení derivace (68) podle parametru γ, který je prvkem matic primárních parametrů, ve srovnání s derivací (67), kdy bylo třeba hledat derivaci exponenciální funkce matice. Pro absolutní citlivosti v (q,s) oblasti pak můžeme psát [47]

∂W(q, s) ∂W(0, s) ⎞ −1 ⎛ ∂M(s) −1 = ( qI - M(s)) ⎜ ( qI - M(s)) W(0, s) + ⎟ , ∂γ ∂γ ⎠ ⎝ ∂γ

(69)

kde hraniční podmínky W (0, s ) a ∂W (0, s ) ∂γ jsou dány rovnicemi (61)–(66) výše, derivace ∂M ( s ) ∂γ závisí na parametru γ dle tab. 1, při uvážení homogenity VPV. 4.2 METODA ZALOŽENÁ NA MODÁLNÍ ANALÝZE Uvažujme maticovou rovnici (14) pro případ homogenního VPV, a to v rozepsaném tvaru −

dU ( x , s ) = Z 0 ( s ) I ( x, s ) , dx

(70)

dI ( x , s ) = Y0 ( s )U( x, s ) , dx

(71)

−

kde Z0(s) = R0 + sL0 koresponduje s rovnicí (15), Y0(s) = G0 + sC0 pak s rovnicí (16).

15

Derivacemi (70) a (71) podle x při substituci vždy druhé z rovnic obdržíme samostatné rovnice pro vektory napětí a proudu d 2 U ( x, s ) = Z 0 ( s )Y0 ( s )U( x, s ) , (72) dx 2 d 2 I ( x, s ) = Y0 ( s )Z 0 ( s)I ( x, s) . dx 2

(73)

Vázané diferenciální rovnice (72) i (73) lze pomocí lineární podobnostní transformace převést do separovaného tvaru, viz např. [20]. Označme vlastní čísla součinu matic Z0(s)Y0(s) z rovnice (72) jako λi2 ( s ) a jim přidružené vlastní vektory jako xi(s), i = 1,2,...,n. Z množiny druhých odmocnin vlastních čísel vytvoříme diagonální matici Λ ( s ) = diag ( λ1 ( s ), λ2 ( s ), K, λn ( s ) ) , (74) a dále matici, ve které budou vlastní vektory tvořit příslušné sloupce, tedy SU ( s ) = [ x1 ( s ), x 2 ( s ), L, x n ( s ) ] .

(75)

Pak může být admitanční matice vyjádřena ve tvaru [20] ⎡ Y ( s ) Y12 ( s ) ⎤ ⎡ S I ( s )E1 ( s )SU−1 ( s ) S I ( s )E 2 ( s )SU−1 ( s ) ⎤ Y( s ) = ⎢ 11 ⎥ , ⎥=⎢ −1 −1 ⎣ Y12 ( s ) Y11 ( s ) ⎦ ⎣S I ( s )E2 ( s )SU ( s ) S I ( s )E1 ( s )SU ( s ) ⎦

(76)

S I ( s ) = Z 0−1 ( s )SU ( s )Λ ( s) ,

(77)

přičemž matice E1 ( s ) = diag ( coth λ1 ( s )l , coth λ2 ( s )l , K , coth λn ( s )l ) ,

(78)

E2 ( s ) = diag ( −1 sinh λ1 ( s )l , −1 sinh λ2 ( s )l , K , −1 sinh λn ( s )l ) ,

(79)

kde l značí délku vedení. 4.2.1 Citlivost na změny primárních parametrů vedení Jak je z rovnice (76) zřejmé, admitanční matice vedení Y(s) obsahuje pouze dva různé prvky jako důsledek jeho reciprocity a homogenity. Pro nalezení její derivace proto stačí nalézt derivace ∂S ( s ) ⎞ −1 ∂Y11 ( s ) ⎛ ∂S I ( s ) ∂E ( s ) =⎜ E1 ( s ) + S I ( s ) 1 − Y11 ( s) U ⎟ SU ( s ) , ∂γ ∂γ ∂γ ⎠ ⎝ ∂γ

(80)

∂S ( s ) ⎞ −1 ∂Y12 ( s ) ⎛ ∂S I ( s ) ∂E ( s ) =⎜ E2 ( s ) + S I ( s ) 2 − Y12 ( s ) U ⎟ SU ( s ) , ∂γ ∂γ ∂γ ⎠ ⎝ ∂γ

(81)

⎛ ∂S ( s ) ⎞ ∂S I ( s ) ∂Λ ( s ) ∂Z 0 ( s ) Λ ( s ) + SU ( s ) S I (s) ⎟ . = Z 0−1 ( s ) ⎜ U − ∂γ ∂γ ∂γ ⎝ ∂γ ⎠

(82)

kde dále platí

Derivace ∂Λ ( s ) ∂γ , ∂E1 ( s ) ∂γ a ∂E2 ( s ) ∂γ závisí na citlivostech vlastních čísel, kdežto derivace ∂SU ( s ) ∂γ na citlivostech vlastních vektorů. Abychom je nalezli, vyjdeme ze základní identity

(λ

2 i

( s )I − Z 0 ( s )Y0 ( s ) ) xi ( s ) = 0 ,

(83)

i = 1,2,...,n, kde I značí jednotkovou matici a 0 nulový vektor. Derivací (83) podle γ dostáváme

16

∂ Z ( s)Y ( s) ∂xi ( s ) ∂λi2 ( s ) ( λ (s)I − Z0 (s)Y0 (s) ) ∂γ + ∂γ xi (s) = ( 0 ∂γ 0 ) xi (s) , 2 i

(84)

i = 1,2,...,n. Maticová rovnice (84) má být řešena vzhledem k derivaci příslušného vlastního čísla a derivacím prvků vlastního vektoru. Máme tedy n+1 neznámých, ale pouze n rovnic daných (84). Soustava je proto doplněna rovnicí, která vychází z normalizační podmínky vlastního vektoru [20] xTi ( s)xi ( s) = 1 .

(85)

Derivace (85) totiž vede na vztah xTi ( s )

∂xi ( s ) =0 , ∂γ

(86)

který bude poslední rovnicí v soustavě. Sloučíme-li tedy (84) a (86), hledané řešení má tvar

⎡ ∂xi ( s ) ⎤ ⎢ ∂γ ⎥ ⎡λ 2 ( s )I − Z ( s )Y ( s ) x ( s ) ⎤ −1 ⎡ ∂ ( Z 0 ( s )Y0 ( s) ) x ( s ) ⎤ ⎢ ⎥ , i i 0 0 ⎢ ⎥=⎢ i ∂γ ⎥ ⎢ T ⎥ ⎢ ∂λi2 ( s ) ⎥ ⎣ 0 ⎦ xi ( s ) ⎢⎣ ⎥⎦ 0 ⎢ ⎥ ∂ γ ⎣ ⎦

(87)

kde výraz na pravé straně ∂ ( Z 0 ( s ) Y0 ( s ) ) ∂Z 0 ( s ) ∂Y ( s ) Y0 ( s ) + Z 0 ( s ) 0 = ∂γ ∂γ ∂γ

(88)

lze již snadno nalézt ze známých matic primárních parametrů. Soustavu (87) je třeba vyřešit pro všechny i = 1,2,...,n. Ve vektoru každého i-tého řešení pak představuje prvních n prvků derivaci ∂xi ∂γ , která je i-tým sloupcem matice ∂SU ∂γ , viz vztahy (80)–(82), poslední prvek je vždy derivace ∂λi2 ( s ) ∂γ , ze které se určí ∂λi ( s ) 1 ∂λi2 ( s) = . ∂γ 2λi ( s ) ∂γ

(89)

Vztah (89) pak slouží k sestavení matice

⎛ ∂λ ( s ) ∂λ ( s ) ∂λ ( s ) ⎞ ∂Λ ( s ) = diag ⎜ 1 , 2 ,K, n ⎟ , ∂γ ∂γ ∂γ ⎠ ⎝ ∂γ

(90)

a také matic n

⎧ ⎛ ∂λi ( s ) ∂E1 ( s ) −1 ∂l ⎞ ⎫ = diag ⎨ l + λi ( s ) ⎟ ⎬ , ⎜ 2 ∂γ ∂γ ⎠ ⎭i =1 ⎩ sinh λi ( s)l ⎝ ∂γ

(91)

n

⎧ cosh λi ( s )l ⎛ ∂λi ( s ) ∂E2 ( s ) ∂l ⎞ ⎫ = diag ⎨ + λ ( ) l s ⎜ ⎟⎬ , i 2 ∂γ ∂γ ⎠ ⎭i =1 ⎩ sinh λi ( s )l ⎝ ∂γ

(92)

užitých v rovnicích (80)–(82). Z uvedených vztahů je zřejmé, že při výpočtu citlivostí na změny primárních parametrů vedení dojde ke zjednodušení, totiž ve vztazích (91) a (92) je ∂l ∂γ = 0 . 4.2.2 Citlivost na změnu délky vedení Protože je v tomto případě γ ≡ l, je v rovnicích (91) a (92) derivace ∂l ∂l = 1 . Kromě toho dochází k dalšímu podstatnému zjednodušení, neboť vlastní čísla ani vlastní vektory nejsou funkcí délky vedení. Proto jsou zde nulové i derivace ∂λi ( s ) ∂l = 0 a v rovnicích (80)–(82) odvozené

17

derivace ∂Λ ( s ) ∂l = 0 , ∂SU ( s ) ∂l = 0 i ∂S I ( s ) ∂l = 0 . Derivaci admitanční matice lze proto nalézt pomocí zjednodušených vztahů (80) a (81), totiž

přičemž

∂Y11 ( s ) ∂E ( s ) = S I ( s ) 1 SU−1 ( s) , ∂l ∂l

(93)

∂Y12 ( s ) ∂E ( s ) = S I ( s ) 2 SU−1 ( s ) , ∂l ∂l

(94)

⎛ −λ1 ( s ) −λn ( s ) ⎞ ∂E1 ( s ) −λ2 ( s ) , ,K, = diag ⎜ ⎟, 2 2 sinh 2 λn ( s )l ⎠ ∂l ⎝ sinh λ1 ( s )l sinh λ2 ( s )l ⎛ cosh λ1 ( s )l ⎞ cosh λn ( s )l cosh λ2 ( s )l ∂E2 ( s ) λ1 ( s ), λ2 ( s ),K , λn ( s ) ⎟ . = diag ⎜ 2 2 2 sinh λ2 ( s)l sinh λn ( s)l ∂l ⎝ sinh λ1 ( s )l ⎠

(95)

(96)

Není tedy nutno opakovaně řešit systém lineárních rovnic dle (87), neboť jeho řešení je nulové. 4.3 PŘÍKLADY ANALÝZY CITLIVOSTÍ 4.3.1 Stanovení citlivostí v časové oblasti Citlivosti v časové oblasti jsou počítány na základě vztahů pro citlivosti v operátorové oblasti, aplikací vhodné metody pro numerickou inverzní Laplaceovu transformaci (NILT), totiž

⎧ ∂V ( s ) ⎫ ∂v(t ) = L-−1 ⎨ ⎬. ∂γ ⎩ ∂γ ⎭

(97)

Počítány jsou přitom semirelativní citlivosti S γ ( v (t ),γ ) = γ

∂v(t ) , ∂γ

(98)

které zachovávají fyzikální rozměr příslušné veličiny, zde tedy napětí či proudu. Pro případ citlivostí napětí a proudů rozložených podél vodičů VPV se pak počítá dle vztahu ⎧ ∂W( x, s ) ⎫ ∂w ( x, t ) = L−1 ⎨ ⎬, ∂γ ⎩ ∂γ ⎭

(99)

je-li pro řešení použita metoda založená na řetězové matici VPV v operátorové oblasti, nebo je užito vhodné metody pro numerickou inverzní Laplaceovu transformaci dvou proměnných, tedy ⎧ ∂W(q, s) ⎫ ∂w ( x, t ) = L−xt1 ⎨ ⎬ , ∂γ ⎩ ∂γ ⎭

(100)

bylo-li pro řešení užito metody založené na dvojrozměrné Laplaceově transformaci. Prakticky pak bude opět vyhodnocena semirelativní citlivost S γ ( w ( x, t ),γ ) = γ

∂w ( x, t ) . ∂γ

(101)

V dále uvedených příkladech je užita NILT založená na FFT a „quotient-difference“ algoritmu, která je algoritmicky přizpůsobena pro rychlou inverzi Laplaceových obrazů ve vektorovém a maticovém tvaru [57], [58]. Pro případ dvojrozměrné NILT je použita metoda založená na témže principu [59], [60].

18

4.3.2 Citlivosti v lineární hybridní soustavě Uvažujme lineární hybridní soustavu na obr. 2, která obsahuje tři (2+1) vodičová přenosová vedení délek l1 = 0.05m, l2 = 0.04m a l3 = 0.03m [36].

25Ω

C2=2pF VPV2

i1

vout

R1=50Ω 100Ω

50Ω

vcross

1pF

VPV1 vin

25Ω 75Ω

50Ω

100Ω

VPV3

10nH

100Ω

100Ω

i2

1pF

Obr. 2 Lineární hybridní soustava se třemi VPV V následující části budou uvedeny výsledky výpočtů citlivostí na změny některých parametrů přenosových vedení i soustředěných parametrů soustavy. Matice primárních parametrů VPV2 jsou ⎡ R er11 x R 0 ( x) = ⎢ 11 r x 12 ⎣ R12 e

⎡ L11el11 x R12 er12 x ⎤ x L = , ( ) ⎥ ⎢ 0 l12 x R22 er22 x ⎦ ⎣ L12 e

⎡ G11e g11 x L12 el12 x ⎤ x G = , ( ) ⎥ ⎢ 0 g12 x L22 el22 x ⎦ ⎣G12 e

⎡ C11ec11 x G12 e g12 x ⎤ x C = , ( ) ⎥ ⎢ 0 c12 x G22 e g22 x ⎦ ⎣C12 e

C12 ec12 x ⎤ ⎥ , (102) C22 ec22 x ⎦

při R11 = R22 = 75Ω/m, R12 = 15Ω/m, L11 = L22 = 496.6nH/m, L12 = 63.3nH/m, G11 = G22 = 0.1S/m, G12 = -0.01S/m, C11 = C22 = 62.8pF/m, C12 = -4.9pF/m. Jsou zde tedy zavedeny nehomogenity exponenciálního typu, pomocí koeficientů rij = lij = 10.14 a gij = cij = -10.14, ∀i, j což vede na 1.5 násobně větší či menší hodnoty ve srovnání s počátkem vedení. Zbývající dvě vedení, VPV1 a VPV3, jsou uvažována jako homogenní s maticemi primárních parametrů (102), ovšem při rij = lij = gij = cij = 0, ∀i, j . V obrázcích jsou srovnány případy, kdy je VPV2 uvažováno jako nehomogenní i homogenní, viz popisy výše. Budicím napětím vin(t) je impulz výšky 1 V, s náběžnou a sestupnou hranou 1.5 ns a šířkou 7.5 ns (obr. 3), kde je uvedena i napěťová odezva obvodu vout(t). Na obr. 4–6 jsou pak uvedeny semirelativní citlivosti na změnu délky l2 (obr. 4) a prvků matic primárních parametrů R11 a C11 (obr. 5), vše pro vedení VPV2, a dále na změny soustředěných parametrů obvodu R1 a C2 (obr. 6).

1

in

0.8 v

out

(nonuniform)

0.6 v

out

0.4

(uniform)

0.2 0 -0.2 0

0.1

0.05

nonuniform uniform

l

Input/output voltages (volts)

v

Semirelative sensitivity SMTL2 (volts)

1.2

0.2

0.4

0.6

0.8

Time (seconds)

1

1.2 x 10

Obr. 3 Napěťová odezva obvodu vout

-8

0

-0.05

-0.1

-0.15

-0.2 0

0.2

0.4

0.6

0.8

Time (seconds)

1

1.2 x 10

-8

Obr. 4 Semirelativní citlivost podle délky S(vout,l2)

19

Semirelative sensitivity SMTL2 (volts)

x 10

nonuniform uniform

2

0.06

nonuniform uniform

0.04

L11

R11

Semirelative sensitivity SMTL2 (volts)

-3

4

0 -2 -4 -6 -8 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time (seconds)

1.2 x 10

0.02

0

-0.02

-0.04

-0.06 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time (seconds)

-8

1.2 x 10

-8

nonuniform uniform

0

-0.05

-0.1

-0.15

-0.2

-0.25

-0.3 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time (seconds)

0.04

0.02

0

-0.02

-0.04

-0.06

-0.08 0

1.2 x 10

nonuniform uniform

0.06

C2

0.05

0.08

(volts)

0.1

Semirelative sensitivity S

Semirelative sensitivity S

R1

(volts)

a) b) Obr. 5 Semirelativní citlivosti podle rozprostřených parametrů: a) S(vout,R11), b) S(vout,L11)

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time (seconds)

-8

1.2 x 10

-8

a) b) Obr. 6 Semirelativní citlivosti podle soustředěných parametrů: a) S(vout,R1), b) S(vout,C2) Ukážeme rovněž, jak lze počítat citlivosti podle fyzikálních parametrů VPV. Uvažujme opět soustavu na obr. 2, ovšem s bezeztrátovými VPV dle obr. 7, s parametry danými (103)–(105). w

ploché vodiče

l

laminát, εr h

zemnicí deska

d

Obr. 7 Dvojvodičové páskové vedení nad zemnicí deskou

ε rε 0 ⎛ w ⎞ ⎡ ⎛ 2h ⎞ K L1 K C1 ⎜ ⎟ ln ⎢1 + ⎜ ⎟ 4π ⎝ h ⎠ ⎢⎣ ⎝ d ⎠ 2

C12 = C21 ≈ −

2

⎤ ⎛ w⎞ ⎥ , C11 = C22 ≈ ε r ε 0 K C1 ⎜ ⎟ − C12 , ⎝h⎠ ⎥⎦

2 μ r μ 0 ⎡ ⎛ 2h ⎞ ⎤ μ μ ⎛h⎞ L12 = L21 ≈ ln ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ , L11 = L22 ≈ r 0 ⎜ ⎟ − L12 , 4π K L1 ⎝ w ⎠ ⎣⎢ ⎝ d ⎠ ⎦⎥

20

(103)

kde K L1 =

ε r ( eff ) 120π ⎛ h ⎞ ⎛ 8h w ⎞ , Z 0(ε r =1) ≈ 60 ln ⎜ + ⎟ pro ⎜ ⎟ , K C1 = K L1 Z 0(ε r =1) ⎝ w ⎠ εr ⎝ w 4h ⎠

w ≤1 , h

(104)

ε r je relativní permitivita, ε 0 =& 8.854188 ⋅10−12 Fm-1 , ε r ( eff ) je funkcí výšky h a šířky w, podrobněji viz [63], μ r je relativní permeabilita a μ0 = 4π ⋅10−7 Hm -1 . Výpočet byl proveden pro geometrické rozměry w = 0.58mm , h = 1.17mm a d = 2.49mm . Z těchto hodnot pak vyplývají matice primárních parametrů na jednotku délky ⎡69.62 −7.09⎤ pF ⎡493.11 63.04 ⎤ nH L0 =& ⎢ , C0 =& ⎢ . ⎥ ⎥ ⎣ 63.04 493.11⎦ m ⎣−7.09 69.62⎦ m

(105)

0.015 0.01

w/d

Semirelative sensitivity SMTL2 (volts)

Délky jednotlivých VPV jsou stejné jako v předešlém případě. Na obr. 8 je semirelativní citlivost přeslechového napětí vcross podle poměru w d , při konstantním h w , u vedení VPV2.

0.005 0 -0.005 -0.01 -0.015 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time (seconds)

1.2 x 10

-8

Obr. 8 Semirelativní citlivost S(vcross,w/d)

4.3.3 Citlivosti napětí a proudu na vodičích vedení Na obr. 9 jsou příklady vypočtených citlivostí napětí rozložených na prvním vodiči druhého vedení MTL2 počítané na základě částečné řetězové matice v operátorové oblasti a následnou aplikací NILT [58], dle (99) a (101). Je zde uvažována soustava na obr. 2 s původně zavedenými nehomogenitami všech VPV v souladu s maticemi (102). Voltage semirelative sensitivity on the 1st wire of MTL2

Voltage semirelative sensitivity on the 1st wire of MTL2 x 10

-3

0.1 SMTL2 (volts) L11

SMTL2 (volts) R11

5 0 -5

0.05 0

-0.05 -0.1 0.04

-10 0.04

1

1 0.02 Distance (meters)

0.5 0

0

Time (seconds)

x 10

0.02 -8

Distance (meters)

0.5 0

0

x 10

-8

Time (seconds)

a) b) Obr. 9 Semirelativní citlivosti: a) S(v1(x,t),R11), b) S(v1(x,t),L11)

21

Na dalších obrázcích jsou příklady citlivostí pro případ homogenních VPV, s maticemi primárních parametrů (102), ovšem při rij = lij = gij = cij = 0, ∀i, j , tedy ⎡75 15 ⎤ Ω ⎡ 494.6 63.3 ⎤ nH ⎡ 0.1 −0.01⎤ S ⎡ 62.8 −4.9⎤ pF R0 = ⎢ , L0 = ⎢ , G0 = ⎢ , C0 = ⎢ . (106) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎣15 75⎦ m ⎣ 63.3 494.6⎦ m ⎣ −0.01 0.1 ⎦ m ⎣ −4.9 62.8 ⎦ m

Výpočet byl proveden použitím metody 2D Laplaceovy transformace a aplikací 2D NILT [59] dle (100), obr. 10, a použitím metody řetězové matice a aplikací NILT [58] dle (99), obr. 11. Voltage sensitivity on the 1st wire of MTL2

Voltage sensitivity on the 1st wire of MTL2 x 10

-3

0.05

SMTL2 (volts) L11

MTL2

SR11 (volts)

5

0

0

-0.05 0.04

-5 0.04

0.03

1 0.02

0.5 0

Distance (meters)

0

1 0.02

x 10

-8

0.5

0.01 0

Distance (meters)

Time (seconds)

a)

-8

Time (seconds)

Voltage sensitivity on the 1st wire of MTL2

Voltage sensitivity on the 1 wire of MTL2

0.1 SC11 (volts)

0.05 0

0.05

MTL2

MTL2

x 10

b) st

SG11 (volts)

0

-0.05 -0.1

0

-0.05

-0.15 0.04

-0.1 0.04 0.03

1 0.02

0.5

0.01 Distance (meters)

0

0

0.03

1 0.02

x 10

-8

0.5

0.01 Distance (meters)

Time (seconds)

0

0

x 10

-8

Time (seconds)

c) d) Obr. 10 Semirelativní citlivosti: a) S(v1(x,t),R11), b) S(v1(x,t),L11), c) S(v1(x,t),G11), d) S(v1(x,t),C11) Voltage semirelative sensitivity on the 1st wire of MTL

Current semirelative sensitivity on the 1st wire of MTL

2

x 10 0.1

1 (amperes)

-0.1

R1

R1

(volts)

0

-0.2

0 -1

S

S

2

-3

-0.3 0.04

-2 0.04 1 0.02

Distance (meters)

0.5 0

0

Time (seconds)

1 0.02

0.5

-8

x 10

Distance (meters)

0

0

Time (seconds)

a) b) Obr. 11 Semirelativní citlivosti napětí a proudu: a) S(v1(x,t),R1), b) S(i1(x,t),R1)

22

-8

x 10

5 CITLIVOSTI ODVOZENÉ ZE SEMIDISKRÉTNÍCH MODELŮ VPV Semidiskrétní model vícevodičového přenosového vedení bude tvořen kaskádním spojením článků se soustředěnými parametry, tj. dochází zde k diskretizaci geometrické souřadnice x, čas zůstává spojitou veličinou. Původní soustavy parciálních diferenciálních rovnic přechází v časové oblasti na soustavy obyčejných diferenciálních rovnic, v operátorové oblasti pak na soustavy rovnic algebraických [64]. Počty článků se v praxi volí s ohledem na nejvyšší kmitočtové složky, které jsou v přenášeném signálu obsaženy, příp. podle trvání nejkratších náběžných či sestupných hran přenášených impulzů [2]. Základem modelu je zobecněný Π nebo T článek jakožto obvod se soustředěnými parametry, viz schematická znázornění na obr. 12. ik

uk

Rk Gk 2

Ck 2

ik+1

Lk ik+1

Ck 2

a) zobecněný Π článek

Gk 2

uk+1

b) zobecněný T článek

Obr. 12 Stavební bloky semidiskrétního modelu vícevodičového přenosového vedení V obrázku jsou vyznačeny vektory napětí uk a proudů ik, nehomogenní VPV je popsáno maticemi Rk = R0(ξk)Δxk, Lk = L0(ξk)Δxk, Gk = G0(ξk)Δxk a Ck = C0(ξk)Δxk, kde Δxk = xk – xk-1, k = 1,2,...,m, přičemž x0 = 0 a xm = l, kde l značí délku vedení a m počet článků jeho modelu. Konečně R0(x), L0(x), G0(x) a C0(x) jsou matice primárních parametrů vyjádřené v souřadnicích ξ k ∈ ( xk −1 , xk ) . Zpravidla se volí ekvidistantní dělení Δxk = Δx = l/m, ∀k , a dále ξk = (xk-1 + xk)/2 na středu intervalu. Na obr. 13 je kaskádní spojení zobecněných Π článků v rozkreslené podobě, pro dva aktivní vodiče (i a j) nad společným vodičem zpětným, vč. vyznačených vazeb a možného buzení z externích zdrojů. Uvedená značení odpovídají segmentu homogenního vedení.

vodič i

vazby

vodič j

Obr. 13 Segment modelu homogenního vícevodičového přenosového vedení

23

5.1 VYUŽITÍ ŘETĚZOVÉ MATICE MODELU Oba výše uvedené modely jsou pro dostatečně vysoký počet článků prakticky rovnocenné. Jsou přímo použitelné pro výpočet citlivostí dle rovnice (12), konverzí přibližné řetězové matice % ( s ) . V operátorové oblasti na základě teorie vícebranů dostáváme % ( s ) na admitanční matici Y Φ pro řetězovou matici k tého zobecněného Π článku VPV (viz obr. 12a) Z ( s)Yk (s) ⎡ ⎤ In + k −Z k ( s ) ⎢ ⎥ 2 % (s) = ⎢ ⎥ , Φ k ⎢ − ⎛ I + Yk ( s)Zk ( s) ⎞ Y (s) I + Yk ( s)Zk (s) ⎥ n ⎟ k ⎢⎣ ⎜⎝ n ⎥⎦ 4 2 ⎠

(107)

k = 1,2,...,m, kde Zk(s) = Rk + sLk a Yk(s) = Gk + sCk jsou impedance podélné a admitance příčné větve článku, In je jednotková matice řádu n, uvažujeme-li vedení s n aktivními vodiči. Celková řetězová matice modelu je pak dána součinem dílčích řetězových matic jednotlivých článků m

% (s) = Φ % ( m ) ( s) = ∏ Φ % ( s) . Φ k 1

(108)

k =1

% ( k ) ( s) = Φ % ( s )Φ % ( s) K Φ % ( s )Φ % ( s ) jako kumulativní součin prvOznačíme-li v souladu se (108) Φ 1 k k −1 2 1 ních k dílčích řetězových matic, pak na základě rovnosti % ( k ) (s) = Φ % ( s )Φ % ( k −1) ( s ) Φ 1 k 1

(109)

můžeme psát rekurentní vztah pro výpočet derivace řetězové matice dle parametru VPV jako % ( s ) ( k −1) % ( k ) ( s ) ∂Φ % ( k −1) ∂Φ 1 % % ( s ) ∂Φ1 ( s ) , Φ = k Φ ( s ) + 1 k ∂γ ∂γ ∂γ

(110)

% (1) ( s ) = Φ % ( s ) . Pro odlišení řetězové matice semidiskrétního modelu VPV k = 2,3,...,m, přičemž Φ 1 1 od řetězové matice modelu spojitého byla zvolena vlnovka nad znakem matice. Je zřejmé, že je zde jistá výpočtová podobnost s případem nehomogenního vedení, které jsme popsali spojitým modelem s integrální maticí Φ0l ( s ) , viz (34). Zásadní rozdíl je však v tom, jakým způsobem tyto modely popisují homogenní VPV. Rovnice (34) u spojitého modelu vedla k přesnému řešení danému exponenciální funkcí matice, zatímco rovnice (108) je vždy přibližná a závisí na jemnosti dělení, tedy počtu článků modelu m. Zde se pouze zjednoduší vyhodnocení vztahů (108) a (110), neboť jak dílčí řetězovou matici (107), tak i její derivaci (viz dále), stačí stanovit pouze jednou. Výsledná řetězová matice homogenního vedení je pak rovna mocnině matice % (s) = Φ % m ( s) , Φ d

(111)

% ( s ) je dílčí řetězová matice (107), konstantní ∀k . Rovnice (110) pak přejde do tvaru kde Φ d % k ( s ) ∂Φ % ( s ) k −1 % k −1 ∂Φ d % (s) + Φ % ( s ) ∂Φd ( s ) , = d Φ d d ∂γ ∂γ ∂γ

(112)

k = 2,3,...,m, odkud je výše zmíněné výpočtové zjednodušení zřejmé. Pro vyhodnocení (110) či (112) již tedy stačí stanovit derivaci dílčí řetězové matice (107) podle příslušného parametru γ. Je zřejmé, že výsledek lze snadno nalézt derivacemi jednotlivých % ( s ) , i,j = 1,2. Můžeme proto psát submatic matice Φ k ( ij )

24

% ( s ) 1 ⎛ ∂Z ( s ) ∂Φ ∂Y ( s ) ⎞ k 11 = ⎜ k Yk ( s ) + Z k ( s ) k ⎟ , 2 ⎝ ∂γ ∂γ ∂γ ⎠ % (s) ∂Φ ∂Z ( s ) k 12 =- k , ∂γ ∂γ

(113) (114)

% ( s) ∂Φ ∂Z ( s ) ⎞ Y ( s )Z k ( s ) ⎞ ∂Yk ( s ) 1 ⎛ ∂Y ( s ) ⎛ k 21 =- ⎜ k Z k ( s ) + Yk ( s) k ⎟ Yk ( s ) − ⎜ I n + k , ⎟ 4 ⎝ ∂γ 4 ∂γ ∂γ ⎠ ⎝ ⎠ ∂γ % ( s ) 1 ⎛ ∂Y ( s ) ∂Φ ∂Z ( s ) ⎞ k 22 = ⎜ k Z k ( s ) + Yk ( s ) k ⎟ . 2 ⎝ ∂γ ∂γ ∂γ ⎠

(115) (116)

Potřebné derivace ∂Zk(s)/∂γ a ∂Yk(s)/∂γ ve vztazích (113)–(116) lze nalézt dle tab. 2 v závislosti na typu parametru γ. Zde je uváženo ekvidistantní dělení VPV s délkou úseků Δx = l/m. γ ∈ R 0 ( x)

Parametr ∂Z k ( s ) ∂γ ∂Yk ( s ) ∂γ

∂R 0 ( x) l ∂γ m

γ ∈ L0 ( x)

γ ∈ G 0 ( x)

γ ∈ C0 ( x )

∂L 0 ( x) l ∂γ m

0

0

s

0

∂G 0 ( x) l ∂γ m

0

s

γ≡l Z 0 ( x, s ) m Y0 ( x, s ) m

∂C0 ( x) l ∂γ m

Tab. 2 Derivace matic Zk(s) a Yk(s) podle parametru γ Pro derivace matic primárních parametrů již platí vše, co bylo uvedeno v souvislosti se spojitým modelem v kap. 4.1.2, viz rovnice (39)–(42). Měrná podélná impedance a příčná admitance byly zavedeny rovnicemi (15) a (16). Rovněž příslušná zjednodušení pro homogenní vedení vyplývají z kap. 4.1.5, viz rovněž [51].

5.2 APLIKACE METODY STAVOVÝCH PROMĚNNÝCH Dále prezentovaný způsob výpočtu vychází z popisu modelu metodou stavových proměnných. Odvození zde bude opět ukázáno pro model tvořený kaskádou zobecněných Π článků dle obr. 12a. V tomto případě však nejsou brány v úvahu branové proudy, ale proud induktorem jakožto stavové veličiny, v obrázku vyznačen čárkovaně. Vedle toho jsou zde stavovými veličinami i dvě napětí na kapacitorech. Podobně by i pro případ T článku dle obr. 12b bylo bráno v úvahu stavové napětí na kapacitoru vyznačeno čárkovaně namísto napětí branových. Pro lepší osvětlení metody vyjdeme z modelu jednoduchého přenosového vedení, který je zde redukován na kaskádní spojení pouhých dvou Π článků [49], [50], viz obr. 14. RZ1 uZ1

u1

iZ1 Cd 2

1

Rd Gd 2

Ld u2

i12

2

Cd

iZ2 RZ2

Rd Gd

Ld u3

i23

Cd 2

3

iZ3

Gd 2

RZ3 uZ3

0

uZ2

Obr. 14 Redukovaný model jednoduchého přenosového vedení – kaskáda dvou Π článků

25

Každý uzel v obvodu může být napájen z externího zdroje, u něhož budeme předpokládat existenci Théveninova náhradního modelu s nenulovým vnitřním odporem. Tento předpoklad je plně oprávněný, má-li model vyjadřovat vlastnosti reálného elektrického obvodu. Případná počáteční napětí kapacitorů a počáteční proudy induktorů představují počáteční rozložení napětí a proudů podél aktivního vodiče. Je zřejmé, že v daném obvodu existuje pravý strom, aplikací smyčkových proudů a řezů proto snadno odvodíme stavové rovnice (117). ⎡ Cd 2 0 ⎢ 0 Cd ⎢ 0 ⎢ 0 0 ⎢ 0 ⎢ 0 0 ⎣

0 0

0 0 Cd 2 0 0 Ld 0 0

⎛ ⎡Gd 2 0 0⎤ 0 1 0 ⎤ ⎡GZ 1 0 ⎡ u1 (t ) ⎤ ⎜⎢ 0 ⎢u (t ) ⎥ −1 1 ⎥ ⎢ 0 GZ 2 0⎥ Gd 0 ⎜⎢ ⎥ d ⎢ 2 ⎥ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⋅ ⎢ u3 (t ) ⎥ = − ⎜ ⎢ 0 0 Gd 2 0 −1⎥ + ⎢ 0 0 ⎜ ⎢ −1 0 ⎥ dt ⎢ i12 (t ) ⎥ 1 0 Rd 0 ⎥ ⎢ 0 0 ⎜⎢ 0 ⎢ i (t ) ⎥ 1 0 Rd ⎥⎦ ⎢⎣ 0 −1 Ld ⎥⎦ 0 ⎣ 23 ⎦ ⎝⎣

0 0 GZ 3 0 0

0 0 0 0 0

0 ⎤ ⎞ ⎡ u1 (t ) ⎤ ⎡GZ 1 0 0 ⎥ ⎟ ⎢u2 (t ) ⎥ ⎢ 0 GZ 2 ⎥ ⎢ ⎥⎟ ⎢ 0 ⎥ ⎟ ⋅ ⎢ u3 (t ) ⎥ + ⎢ 0 0 0 ⎥ ⎟ ⎢ i12 (t ) ⎥ ⎢ 0 0 0 ⎥⎦ ⎠⎟ ⎢⎣i23 (t ) ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0

0 0 GZ 3 0 0

0 0 0 0 0

0 ⎤ ⎡ uZ 1 (t ) ⎤ 0 ⎥ ⎢uZ 2 (t ) ⎥ ⎥⎢ ⎥ 0 ⎥ ⎢ uZ 3 (t ) ⎥ 0⎥ ⎢ 0 ⎥ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦

. (117)

Hraniční podmínky původního vedení jsou respektovány maticemi s vnitřními vodivostmi GZi a vektorem s vnitřními napětími uZi(t), i = 1,2,3, náhradních modelů externích budicích zdrojů (obvodů). V našem příkladě tedy 2 Π články modelu vedly na 5 stavových proměnných, 3 napětí kapacitorů a 2 proudy induktorů. Obecně povede m článků na 2m+1 stavových proměnných, m+1 napětí na kapacitorech a m proudů induktory. Proudy náhradními modely zdrojů se pak určí ze vztahu iZk = (uZk – uk)/RZk. Stavová rovnice redukovaného modelu (107) bude nyní zobecněna pro m článkový model vícevodičového přenosového vedení, viz obr. 12a a také obr. 13.

5.2.1 Formulace stavové rovnice modelu a její řešení Vzhledem k tomu, že vícevodičové přenosové vedení (VPV) je charakterizováno maticemi primárních parametrů pro vedení homogenní L0, R0, C0 a G0, řádu n × n pro n aktivních vodičů, přechází skalární prvky stavové rovnice (117) v matice, v příp. napětí a proudů pak ve sloupcové vektory. Formálně proto můžeme psát stavovou rovnici [50]

M

dx(t ) = − ( H + P ) x(t ) + Pu(t ) , dt

(118)

kde byla zavedena následující označení. Vektor x(t ) = [uC (t ) , i L (t ) ]

T

(119)

je vektorem neznámých stavových proměnných. Obecně pro m článkový model obsahuje tento vektor n(2m+1) prvků, které jsou seskupeny do subvektorů řádu n×1, totiž uC(t) obsahuje m+1 vektorů napětí na kapacitorech a iL(t) pak m vektorů proudů induktory. Akumulační matici

⎡C 0 ⎤ M=⎢ ⎣ 0 L ⎥⎦

(120)

lze pro případ homogenního VPV sestavit pomocí submatic

C = I m +1 ⊗ Cd

L = I m ⊗ Ld ,

a

(121)

kde Im+1 a Im jsou jednotkové matice (řádu daného příslušným indexem), symbol ⊗ značí tzv. Kroneckerův tenzorový součin matic, Cd = C0l/m a Ld = L0l/m. Rezistivní matice

⎡G H=⎢ T ⎣-E

E⎤ R ⎥⎦

(122)

může být vytvořena obdobně pomocí submatic

G = I m +1 ⊗ G d

a

R = Im ⊗ Rd ,

(123)

kde Gd = G0l/m a Rd = R0l/m. Submatice E má strukturu odpovídající rovnici (117), kdy prvky ±1 a 0 jsou zaměněny maticemi ±In (jednotkovou) a 0 (nulovou).

26

Vztahy (121) a (123) platí pouze pro homogenní vedení, pro vedení nehomogenní je třeba užít obecnější postup, totiž sestavit blokově diagonální matice respektujíce přitom proměnné matice primárních parametrů podél vedení. Zdrojová matice

⎡Y P=⎢ Z ⎣0

0⎤ 0 ⎥⎦

(124)

obsahuje čtvercovou submatici YZ, která závisí na parametrech externích budicích zdrojů. Zvolený popis obvodu předpokládá existenci regulárních zobecněných Théveninových náhradních modelů, tj. existenci inverzní matice k vnitřní odporové matici modelu RZk. Proudové vektory zdrojů jsou pak dány rovnicí i Zk = R −Zk1 (u Zk − u k ) , k = 1,2,...,m+1, přičemž množina matic R −Zk1 tvoří blokovou diagonálu submatice YZ. Zde je třeba poznamenat, že případné nenulové nediagonální prvky v odporové matici RZk vyjadřují externí rezistivní vazby mezi příslušnými uzly daného článku modelu VPV. V modelu na obr. 13 by tomu odpovídaly odpory RijZk (mezi uzly ki a kj), které zde již z důvodu přehlednosti nejsou zakresleny. Z obr. 13 je také zřejmé, že daný model je vhodný i pro účely, kdy je třeba analyzovat odezvy na buzení v libovolných uzlech (na různých místech původního VPV), což je v modelu vyznačeno čárkovaně. Konečně vektor

u(t ) = [u Z (t ) , 0] , T

(125)

kde uZ(t) obsahuje vektory vnitřních napětí zobecněných Théveninových ekvivalentů. Aplikací Laplaceovy transformace na (118) a úpravou dostáváme řešení v operátorovém tvaru

x ( s ) = ( H + P + sM )

−1

( Mx0 + Pu( s) )

,

(126)

kde x( s ) = L {x(t )} a u( s ) = L {u(t )} značí Laplaceovy obrazy časově závislých proměnných a x 0 = x(t ) t =0 je vektor počátečních podmínek. Z operátorového řešení je zřejmé, že toto může být rozšířeno i na VPV napájené či zatížené obvody s akumulačními prvky, sice prostřednictvím matice P ≡ P(s). Podobně lze respektovat i frekvenční závislosti matic primárních parametrů, zde skrze matice M ≡ M(s) a H ≡ H(s). Na základě řešení (126) lze nyní formulovat absolutní citlivosti v operátorové oblasti, totiž derivací podle parametru γ a úpravou dostáváme

⎞ ∂x( s ) ∂M ∂P −1 ⎛ ∂H x( s ) + = − ( H + P + sM ) ⎜ ( sx ( s ) − x 0 ) + ( x ( s ) − u ( s ) ) ⎟ . ∂γ ∂γ ∂γ ⎝ ∂γ ⎠

(127)

Další řešení bude rozděleno podle typu parametru γ.

5.2.2 Citlivost podle rozprostřených parametrů Je-li parametr γ prvkem některé matice primárních parametrů L0, R0, C0, G0 nebo délkou vedení l, je derivace ∂P/∂γ = 0 a z rovnice (127) vyplývá ⎞ ∂x( s ) ∂M −1 ⎛ ∂H = − ( H + P + sM ) ⎜ x( s ) + ( sx ( s ) − x 0 ) ⎟ , ∂γ ∂γ ⎝ ∂γ ⎠

(128)

kde derivace v souladu s rovnicemi (120) a (122) jsou dány vztahy ∂M ⎡∂C ∂γ 0 ⎤ =⎢ ∂L ∂γ ⎥⎦ ∂γ ⎣ 0

a

∂H ⎡ ∂G ∂γ 0 ⎤ =⎢ , ∂R ∂γ ⎥⎦ ∂γ ⎣ 0

(129)

podrobněji pak v závislosti podle parametru γ v tab. 3.

27

∂M ∂γ

Parametr

∂H ∂γ

γ ∈ C0

⎡ ∂C ⎢ ∂C ⎢ ij ⎣⎢ 0

⎤ 0⎥ ⎥ 0 ⎦⎥

⎡0 0⎤ ⎢⎣ 0 0 ⎥⎦

γ ∈ L0

⎡0 0 ⎤ ⎢ ∂L ⎥ ⎢0 ⎥ ∂Lij ⎥⎦ ⎢⎣

⎡0 0⎤ ⎢⎣ 0 0 ⎥⎦

γ ∈G 0

⎡0 0⎤ ⎢⎣ 0 0 ⎥⎦

γ ∈ R0

⎡0 0⎤ ⎢⎣ 0 0 ⎥⎦

γ≡l

⎡ ∂C ⎢ ∂l ⎢ ⎢ 0 ⎣

⎤ 0 ⎥ ∂L ⎥ ⎥ ∂l ⎦

⎡ ∂G ⎤ ⎢ ∂G 0 ⎥ ⎢ ij ⎥ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎡0 0 ⎤ ⎢ ∂R ⎥ ⎢0 ⎥ ∂Rij ⎦⎥ ⎣⎢

⎡ ∂G ⎢ ∂l ⎢ ⎢ 0 ⎣

⎤ 0 ⎥ ∂R ⎥ ⎥ ∂l ⎦

∂A ∂γ

∂A l ∂A =I⊗ 0 ∂Aij ∂Aij m

A ∂A =I⊗ 0 ∂l m

Tab. 3 Derivace matic M a H podle parametru γ Označíme-li A0 libovolnou z matic primárních parametrů a A odpovídající matici podle (121) nebo (123), jsou příslušné derivace určeny pravým sloupcem tabulky 3, kde I ≡ Im+1 nebo I ≡ Im jsou odpovídající jednotkové matice.

5.2.3 Citlivost podle soustředěných parametrů V tomto případě je parametr γ prvkem matice YZ definující strukturu externích obvodů, je tedy i prvkem matice P. V důsledku toho jsou derivace ∂M/∂γ = ∂H/∂γ = 0 a ze (127) dostáváme

∂x( s ) −1 ∂P = − ( H + P + sM ) ( x( s ) − u( s ) ) , ∂γ ∂γ

(130)

kde v souladu se (124) je derivace

∂P ⎡∂YZ ∂γ 0 ⎤ = . 0 ⎥⎦ ∂γ ⎢⎣ 0

(131)

Je-li γ ≡ RZ odpor obsažený ve vnitřní matici RZ zobecněného Théveninova modelu, pak

∂R -1Z ∂R Z -1 RZ = −R -1Z ∂RZ ∂RZ

(132)

je submaticí na odpovídající diagonální pozici matice ∂YZ/∂RZ, s nulami všude jinde. S rozvojem výpočetní techniky ve směru zvyšující se rychlosti i velikosti operační paměti lze v současnosti řešit problémy, které vedou na soustavy řádů tisíců rovnic i na běžném osobním počítači. Postupy analýzy semidiskrétních modelů vícevodičových přenosových vedení, které jsou založeny na metodě stavových proměnných, vedou právě na takto rozsáhlé soustavy. Vhodným programátorským přístupem, zde využitím řídkých matic, lze řešení provést i bez nutnosti použití technik redukce řádu soustavy [2].

28

5.3 PŘÍKLADY ANALÝZY CITLIVOSTÍ Budeme uvažovat jednoduchou lineární soustavu s přenosovým vedením se dvěma aktivními vodiči a jedním vodičem zpětným, (2+1) vodičové vedení [52], viz obr. 15. R10

uZ(t)

0

x

u1(x,0)

l

R1l

Rl/2 R20

Rl/2

uZ(t)

R2l

Obr. 15 Soustava s VPV se dvěma aktivními vodiči Vedení má délku l = 0.3m a matice primárních parametrů 494.6 63.3 ⎤ nH 0.1 −0.01⎤ S 62.8 −4.9 ⎤ pF ⎡ 0.1 0.02 ⎤ Ω , L 0 = ⎡⎢ , G 0 = ⎡⎢ , C0 = ⎡⎢ , (133) R0 = ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ − 0.02 0.1 63.3 494.6 0.01 0.1 − ⎣ ⎦m ⎣ ⎦m ⎣ ⎦ m ⎣ 4.9 62.8 ⎥⎦ m

externí prvky jsou R10 = R2l = 50Ω, R1l = R20 = 100Ω a Rl/2 = 75Ω. Odporové matice zobecněných Théveninových náhradních modelů jsou pak ⎡75 0 ⎤ ⎡50 0 ⎤ , ⎡100 0 ⎤ , Ω . RZ0 = ⎢ Ω R Zl = ⎢ Ω R Z (l / 2) = ⎢ ⎥ ⎥ 0 100 0 50 ⎣ 0 75⎥⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(134)

Externí budicí napětí má tvar impulzu uZ (t ) = sin 2 (π t 2 ⋅10−9 ) pro 0 ≤ t ≤ 2 ⋅10−9 s , jinak uZ (t ) = 0 . Na obr. 16 a 17 jsou oba případy buzení z externího zdroje při nulových počátečních podmínkách.

Obr. 16 Rozložení napětí a proudu při buzení prvního vodiče zleva (x = 0)

Obr. 17 Rozložení napětí a proudu při buzení prvního vodiče uprostřed (x = l/2)

29

Na obr. 18 je znázorněna odezva na počáteční rozložení napětí na prvním vodiči, ve tvaru impulzu u1 ( x,0) = sin 2 (π (4 x l − 3 2) ) pro 3l 8 ≤ x ≤ 5l 8 , jinak u1 ( x, 0) = 0 , při nulovém externím buzení.

Obr. 18 Rozložení napětí a proudu – odezva na počáteční napětí prvního vodiče Na obr. 19 jsou příklady semirelativních citlivostí napětí a proudů při buzení vedení dle obr. 16.

Obr. 19 Semirelativní citlivosti napětí a proudů podle parametru L12, délky l a odporu R20

30

6 ZÁVĚR V předložených tezích byly popsány metody výpočtu citlivostí v hybridních soustavách, které obsahují vícevodičová přenosová vedení (VPV) jako části s rozprostřenými parametry. Výpočet citlivostí podle parametrů VPV má svá specifika daná typem modelu, který je pro popis VPV použit. U spojitých modelů, které jsou reprezentovány telegrafními rovnicemi v maticovém tvaru, jsou uvedeny dvě metody, obě založené na řešení v operátorové oblasti. Metoda derivace řetězové matice VPV a její konverze na matici admitanční vychází z původních prací autora tezí [36]–[42]. Umožňuje stanovit citlivosti podle parametrů VPV, vč. jeho délky, a podle obecných fyzikálních parametrů, které parametry vlastního VPV ovlivňují. Předností navržené metody je především její obecná použitelnost i pro výpočet citlivostí v soustavách s nehomogenními VPV. Metodu lze rovněž snadno aplikovat pro stanovení rozložení citlivostí podél vodičů vedení [44]–[46]. Speciálně pro případ vedení homogenních je pak v práci prezentována metoda založená na aplikaci dvojrozměrné Laplaceovy transformace [47]. Související problematika výpočtu derivací exponenciální funkce matice byla autorem tezí řešena v pracech [53]–[56]. Z důvodu srovnání je rovněž uvedena standardní metoda modální analýzy tvořící základ řady postupů pro výpočet citlivostí, např. [7]– [13], [19]–[25]. Na některé jiné v poslední době vypracované metody, např. metody založené na kongruentní transformaci [29], Padého aproximaci [26], [30]–[33] či diferenciální kvadratuře [34], [35], jsou uvedeny pouze základní literární odkazy. Ve druhé části práce jsou prezentovány metody výpočtu citlivostí založené na modelech VPV se soustředěnými parametry, které vycházejí z příspěvků autora tezí [49]–[52]. Uvedené metody lze snadno modifikovat i pro výpočet citlivostí na lokální změny parametrů VPV, v modelu je rovněž možné respektovat libovolné typy nehomogenit. Ačkoli metody založené na diskretizaci prostorové souřadnice VPV lze považovat za klasické, s rozvojem výpočetní techniky, kdy lze řešit stále rozsáhlejší soustavy stavových rovnic i na běžném stolním počítači, nabývají opět na větším významu a jsou nadále z různých hledisek studovány. Zmiňme např. jen problematiku výběru neekvidistantní diskretizační sítě [14] či způsoby redukce řádu soustavy [2]. V práci uvedené metody i většina metod odkazovaných byly popsány v operátorové oblasti, kdy pro nalezení citlivostí v oblasti časové je užita některá z metod numerické inverze Laplaceových obrazů (NILT). Zde prezentované výsledky simulací byly počítány metodami NILT [57]–[60], vypracované autorem tezí, které jsou založeny na FFT a tzv. „quotientdifference“ algoritmu. Další použitelné algoritmy NILT viz např. v souhrnné práci [36], [16]. Jak již bylo řečeno v úvodu práce, znalost citlivostí v soustavách s rozprostřenými parametry hraje významnou úlohu v procesu optimalizace parametrů přenosových struktur, např. u smíšených analogově-digitálních elektronických soustav. Umožňuje navrhovat přenosové struktury s ohledem na minimalizaci zpoždění, přeslechů, deformace signálů způsobené ztrátami či odrazy apod. Svůj význam však mohou nalézt i při návrhu a optimalizaci parametrů dálkových silových vedení v energetice. Vzhledem k tomu, že se metodami výpočtu citlivostí v soustavách s rozprostřenými parametry nezabývá prakticky žádná česky psaná literatura, mohly by předkládané teze posloužit i jako jakýsi odrazový můstek pro zájemce o hlubší studium této problematiky.

_______________________________________________________________________________

Práce v tezích prezentovaná byla finančně podporována MŠMT v rámci výzkumného záměru MSM 0021630503 MIKROSIN.

31

LITERATURA [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16] [17]

[18] [19] [20] [21]

32

HALL, S. H. – HALL, G. W. – McCALL, J. A.: High-Speed Digital System Design: A Handbook of Interconnect Theory and Design Practices. New York: Wiley-IEEE Press, 2000. CHENG, C. K. – LILLIS, J. – LIN, S. – CHANG, N.: Interconnect Analysis and Synthesis. New York: John Wiley & Sons, 2000. YOUNG, B.: Digital Signal Integrity. Modelling and Simulation with Interconnects and Packages. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2001. SINGH, R.: Signal Integrity Effects in Custom IC and ASIC Designs. Piscataway: Wiley-IEEE Press, 2002. BOGATIN, E.: Signal Integrity - Simplified. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2004. THIERAUF, S. C.: High-Speed Circuit Board Signal Integrity. Boston: Artech House, 2004, 243 p. GRIFFITH, R. – CHIPROUT, E. – ZHANG, Q. J. – NAKHLA, M.: A CAD Framework for Simulation and Optimization of High-speed VLSI Interconnections. IEEE Transactions on Circuits and Systems-I: Fundamental Theory and Applications, Vol. 39. No. 11, November 1992, p. 893–906. LIU, R. – ZHANG, Q. J. – NAKHLA, M. S.: A Frequency Domain Approach to Performance Optimization of High-Speed VLSI Interconnects. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, Vol. 40, No. 12, December 1992, p. 2403–2411. NAKHLA, M. – ZHANG, Q. J.: Simulation and Optimization of Interconnect Delay and Crosstalk in Multi-Chip Module. In Proceedings of 1992 IEEE Multi-Chip Module Conference, MCMC’92, March 1992, Santa Cruz, CA, USA, p. 56–59. RAHAL-ARABI, T. – SUAREZ-GAMER, R.: A Frequency-Domain Technique for the Optimization of the Electrical Performance of High-Speed Multiconductor Transmission-Line Networks in VLSI Regimes. IEEE Transactions on Circuits and Systems-I: Fundamental Theory and Applications, Vol. 40, No. 4, April 1993, p. 262–269. SUGIUCHI, Y. – KATZ, B. – ROHRER, R. A.: Interconnect Optimization using Asymptotic Waveform Evaluation (AWE). In Proceedings of 1994 IEEE Multi-Chip Module Conference, MCMC’94, March 1994, Santa Cruz, CA, USA, p. 120–125. WEI, Y. – ZHANG, Q. J. – NAKHLA, M.: Multilevel Optimization of High Speed VLSI Interconnect Networks by Decomposition. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, Vol. 42, No. 9, September 1994, p. 1638–1650. RAHAL-ARABI, T. – SUAREZ-GAMER, R. – POMERLEAU, R.: Optimization and Sensitivity Analysis of Multiconductor Transmission Line Networks. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, Vol. 42, No. 9, September 1994, p. 1827–1836. JIAO, C. – CANGELLARIS, A. C. – YAGHMOUR, A. – PRINCE, J. L.: Sensitivity Analysis of Multiconductor Transmission Lines and Optimization for High-speed Interconnect Circuit Design. In Proceedings of 1999 Electronic Components and Technology Conference, June 1999, San Diego, CA, USA, p. 480–487. LEI, D. – ZHIQUAN, W.: Sensitivity Analysis and Optimization for High-Speed Circuit Systems. In Proceedings of IEEE 2007 International Symposium on Microwave, Antenna, Propagation, and EMC Technologies For Wireless Communications, August 2007, Hangzhou, China, p. 1437–1441. VLACH, J. – SINGHAL, K.: Computer Methods for Circuit Analysis and Design. Van Nostrand Reinhold Company, 1983. NIKOLOVA, N. K. – BANDLER, J. W. – BAKR, M. H.: Adjoint Techniques for Sensitivity Analysis in HighFrequency Structure CAD. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, Vol. 52, No. 1, January 2004, p. 403–419. PAUL, C. R.: Analysis of Multiconductor Transmission Lines, John Wiley & Sons, New York, 1994. INDULKAR, C. S. – KUMAR, P. – KOTHARI, D. P.: Sensitivity Analysis of a Multiconductor Transmission Line. In Proceedings of the IEEE, Vol. 70, No. 3, March 1982, p. 299–300. LUM, S. – NAKHLA, M. S. – ZHANG, Q. J.: Sensitivity Analysis of Lossy Coupled Transmission Lines. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, Vol. 39, No. 12, December 1991, p. 2089–2099. RAHAL-ARABI, T. – SUAREZ-GAMER, R. – RAUSCH, M. – LAPE, K. M.: A Frequency Domain Sensitivity Analysis of Closed-Loop Multiconductor Transmission Lines. In Proceedings of Electrical Performance of Electronic Packaging, October 1993, Monterey, CA, USA, p. 193–195.

[22] LUM, S. – NAKHLA, M. – ZHANG, Q. J.: Sensitivity Analysis of Lossy Coupled Transmission Lines with Nonlinear Terminations. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, Vol. 42, No. 4, April 1994, p. 607–615. [23] MAO, J. F. – WANG, J. M. – KUH, E. S.: Simulation and Sensitivity Analysis of Transmission Line Circuits by the Characteristics Method. In Proceedings of the 1996 IEEE/ACM International Conference on ComputerAided Design, San Jose, CA, USA, November 1996, p. 556–562. [24] MAO, J. F. – KUH, E. S. – Fast Simulation and Sensitivity Analysis of Lossy Transmission Lines by the Method of Characteristics. IEEE Transactions on Circuits and Systems-I: Fundamental Theory and Applications, Vol. 44, No. 5, May 1997, p. 391–401. [25] KHAZAKA, R. – GUNUPUDI, P. K. – NAKHLA, M. S.: Efficient Sensitivity Analysis of Transmission-Line Networks using Model-Reduction Techniques. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, Vol. 48, No. 12, December 2000, p. 2345–2351. [26] DOUNAVIS, A. – ACHAR, R. – NAKHLA, M. S.: Efficient Sensitivity Analysis of Lossy Multiconductor Transmission Lines with Nonlinear Terminations. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, Vol. 49, No. 12, December 2001, p. 2292–2299. [27] BRENNER, A. – NOWACKI, H. F.: A Sensitivity – Analysis on Design Parameters and Tolerances of Signal Integrity of High Speed Data Transfer Connectors. In Proceedings of IEEE Holm Conference on Electrical Contacts, October 2002, Orlando, FL, USA, p. 231–238. [28] PEREZ, E. – HERRERA, J. – TORRES, H.: Sensitivity Analysis of Induced Voltages on Distribution Lines. In Proceedings of 2003 IEEE Bologna PowerTech Conference, June 2003, Bologna, Italy, Vol. 1, 7 pages. [29] GAD, E. – NAKHLA, M.: Simulation and Sensitivity Computation of Nonuniform Transmission Lines via Integrated Congruence Transform. Proceedings of Electrical Performance of Electronic Packaging, October 2003, USA, p. 259–262. [30] NAKHLA, N. – DOUNAVIS, A. – ACHAR, R. – NAKHLA, M.: Fast Sensitivity Analysis of Transmission Line Networks. In Proceedings of the 2004 International Symposium on Circuits and Systems, ISCAS’04, May 2004, Vancouver, Canada, Vol. 5, p. V-121–V-124. [31] NAKHLA, N. – DOUNAVIS, A. – ACHAR, R. – NAKHLA, M.: Passive Macromodeling and Sensitivity Analysis of Multiconductor Transmission Lines. In Proceedings of the 2nd Annual IEEE Workshop on Circuits and systems, NEWCAS‘04, June 2004, Montreal, Canada, p. 33–36. [32] GAD, E. – NAKHLA, M.: An Efficient Algorithm for Sensitivity Analysis of Nonuniform Transmission Lines. IEEE Transactions on Advanced Packaging, Vol. 28, No. 2, May 2005, p. 197–208. [33] NAKHLA, N. M. – DOUNAVIS, A. – NAKHLA, M. S. – ACHAR, R.: Delay-Extraction-Based Sensitivity Analysis of Multiconductor Transmission Lines with Nonlinear Terminations. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, Vol. 53, No. 11, November 2005, p. 3520–3530. [34] GUISHU, L. – HUAYING, D. – YONG, W. – ZHONGYUAN, Z. – FANGCHENG, L.: Sensitivity Analysis of Uniform and Nonuniform Transmission Lines. In Proceedings of IEEE Asia Pacific Conference on Circuits and Systems, APCCAS 2006, December 2006, Singapore, p. 1615–1618. [35] JI, X. – GE, L. – WANG, Z.: Sensitivity Analysis of Interconnect Lines Based on Differential Quadrature Method. In Proceedings of 7th International Conference on ASIC, ASICON’07, Oct. 2007, Guilin, China, p. 1221–1224. [36] BRANČÍK, L.: Techniques of Time-Domain Simulation of Transmission Lines Based on Laplace Transformation Methods. Vědecké spisy Vysokého učení technického v Brně. Edice Habilitační a inaugurační spisy. 2000, sv. 38, 35 s. [37] BRANČÍK, L.: Novel Techniques for Sensitivity Evaluation in Multiconductor Transmission Line Systems. WSEAS Transactions on Communications. 2005, vol. 4, No. 5, p. 216–223. [38] BRANČÍK, L.: Innovative Approach for Sensitivities Computation in Hybrid Circuits. In Proceedings of 2005 International Conference on Scientific Computing CSC´05. Las Vegas (Nevada, USA): CSREA Press, 2005, p. 82–88. [39] BRANČÍK, L.: Novel Method of Sensitivity Evaluation in Hybrid Circuits with Nonuniform Distributed Parts. In Proceedings of 2005 European Conference on Circuit Theory and Design ECCTD´2005. Cork (Ireland): University College Cork, 2005, p. 293–296. [40] BRANČÍK, L.: Time-Domain Sensitivity Calculation in Multiconductor Transmission Line Circuits. In Proceedings of XIII. International Symposium on Theoretical Electrical Engineering. Lviv (Ukraine): Lviv Polytechnic National University, 2005, p. 127–130.

33

[41] BRANČÍK, L.: Sensitivity Analysis in Multiconductor Transmission Line Networks. In Proceedings of the 4th WSEAS International Conference Applications of Electrical Engineering AEE’05. Prague (Czech Republic): WSEAS, 2005, p. 170–175. [42] BRANČÍK, L.: Evaluation of Sensitivities with Respect to Physical Parameters of MTL Structures. In Proceedings of 15th International Scientific Conference Radioelektronika´2005. Brno (Czech Republic): Brno University of Technology, 2005, p. 41–44. [43] BRANČÍK, L.: Comparative Study of Methods for Sensitivity Determination in MTL Systems. In Proceedings of 7th International Conference on Advanced Methods in the Theory of Electrical Engineering AMTEE'05. Pilsen (Czech Republic): University of West Bohemia, 2005, vol. 1, p. B1–B6. [44] BRANČÍK, L.: Determination of Voltage/Current Wave Sensitivities on Multiconductor Transmission Lines. In Proceedings of Electronic Devices and Systems IMAPS CS International Conference 2005. Brno (Czech Republic): Brno University of Technology, 2005, p. 117–122. [45] BRANČÍK, L.: Voltage/Current Waves Sensitivity in Hybrid Circuits with Nonuniform MTLs. In Proceedings of 10th IEEE Workshop on Signal Propagation on Interconnects. Berlin (Germany): Laboratorium für Informationstechnologie, Hannover, 2006, p. 177–180. [46] BRANČÍK, L.: Improved MTL Voltage/current Wave Sensitivity Computation in Matlab Language. In Proceedings of International Conference SIMULATION-2006. Kyiv (Ukraine): Pukhov Institute of Modelling Problems in Energetics NASc of Ukraine, 2006, p. 131–135. [47] BRANČÍK, L.: Multiconductor Transmission Lines Sensitivity via Two-dimensional Laplace Transform. In Proceedings of 13th IEEE International Conference on Electronics, Circuits and Systems. Nice (France): University of Nice, 2006, p. 17–20. [48] BRANČÍK, L.: Accelerated Sensitivity Calculation by Efficient Matrix Exponential Function Derivative. In Proceedings of 16th International Scientific Conference Radioelektronika´2006. Bratislava (Slovakia): Slovak University of Technology, 2006, p. 34–37. [49] BRANČÍK, L.: Solution of Voltage/Current Waves and their Sensitivities in MTL Structures by using StateVariable Method. In Proceedings of 18th International Conference Radioelektronika´2008. Prague (Czech Republic): Czech Technical University in Prague, 2008, p. 215–218. [50] BRANČÍK, L.: Sensitivity in Multiconductor Transmission Line Lumped-Parameter Models. In Proceedings of 31st International Conference on Telecommunications and Signal Processing – TSP‘2008 [CD]. Parádfürdő (Hungary): Asszisztencia Szervezo Kft., Budapest, 2008, 4 pages. [51] BRANČÍK, L.: Sensitivity Analysis at MTL Continuous and Semi-Discrete Models. In Proceedings of International Workshop Digital Technologies 2008 [CD], Žilina (Slovakia): University of Žilina, 2008, 4 pages. [52] BRANČÍK, L.: Transient and Sensitivity Analysis at Semi-Discrete Multiconductor Transmission Line Models. ElectroScope [online], Special issue on the EDS 2008 conference. (Akceptováno k publikaci.) Dostupné na www: http://electroscope.zcu.cz . [53] BRANČÍK, L.: Techniques of Matrix Exponential Function Derivative for Electrical Engineering Simulations. In Proceedings of IEEE International Conference on Industrial Technology. Mumbai (India): Indian Institute of Technology Bombay, 2006, p. 2608–2613. [54] BRANČÍK, L.: Chain Matrix Derivative via Laplace Transform Method with Applications to Distributed Circuits Simulation. In Proceedings of Electronic Devices and Systems IMAPS CS International Conference 2006. Brno (Czech Republic): Brno University of Technology, 2006, p. 58–63. [55] BRANČÍK, L.: Procedures for Matrix Exponential Function Derivative in Matlab. Przeglad Elektrotechniczny Konferencje. 2007, vol. 5, No. 2, p. 7–10. [56] BRANČÍK, L.: Matlab Programs for Matrix Exponential Function Derivative Evaluation. In Proceedings of Technical Computing Prague 2008 [CD]. Prague (Czech Republic): Humusoft, 2008, p. 17–24. [57] BRANČÍK, L.: Improved Numerical Inversion of Laplace Transforms Applied to Simulation of Distributed Circuits. In Proceedings of XI. International Symposium on Theoretical Electrical Engineering ISTET'01. Linz (Austria): Johannes Kepler University Linz, 2001, p. 51–54. [58] BRANČÍK, L.: Matlab Oriented Matrix Laplace Transforms Inversion for Distributed Systems Simulation. In Proceedings of 12th International Scientific Conference Radioelektronika´2002. Bratislava (Slovakia): Slovak University of Technology, 2002, p. 114–117. [59] BRANČÍK, L.: Elaboration of FFT-based 2D-NILT Methods in Terms of Accuracy and Numerical Stability. Przeglad Elektrotechniczny. 2005, vol. 81, No. 2, p. 84–89. [60] BRANČÍK, L.: Modified Technique of FFT-Based Numerical Inversion of Laplace Transforms with Applications. Przeglad Elektrotechniczny. 2007, vol. 83, No. 11, p. 53–56.

34

[61] HO, C. W. – RUEHLI, A. E. – BRENNAN, P. A.: The Modified Nodal Approach to Network Analysis. IEEE Transactions on Circuit Theory, Vol. CT-16, No. 6, June 1975, p. 504–509. [62] GANTMACHER, F. R.: The Theory of Matrices. Chelsea, New York 1977. [63] WALKER, C. S.: Capacitance, Inductance and Crosstalk Analysis. Norwood, MA. Artech House, 1990. [64] BRANČÍK, L. – DĚDKOVÁ, J.: Continuous and Discrete Models in MTL Simulation: Basic Concepts Description, in Proceedings of the International Workshop TIEF’08 [CD], Paris (France): BUT, 2008, 4 pages.

ABSTRACT The presented thesis describes the methods for sensitivities determination in hybrid systems containing multiconductor transmission lines (MTL) as their distributed parts. First an usefulness of sensitivity calculation in such the systems has been set into the frame of signal integrity issues being solved in high-speed electronic systems, namely as a keystone for powerful gradient based optimization techniques. Then a few methods of sensitivities calculation are presented, based on both continuous and semi-discrete models of the MTL. The MTL continuous models are based on telegrapher equations in the Laplace domain, while two methods are shown. First of all the method based on a chain-to-admittance matrix conversion is developed. This method is applicable to state sensitivities both at uniform and nonuniform MTLs in general, with respect to parameters of the MTL per-unit-length matrices, the MTL length as well as any physical parameter influencing the above MTL parameters. Besides, especially in case of uniform MTLs, the method based on a twodimensional Laplace transform is presented. To compare the above stated techniques a standard method of the MTL sensitivity computation based on a modal analysis technique is discussed. As a second part of the thesis the MTL semi-discrete models based on the cascade connection of generalized lumped-parameter sections are discussed. Here two methods, one based on a partial chain matrix processing, second based on the state-variable method, are presented. In all the discussed methods the time domain sensitivities have been obtained by using the method of numerical inversion of Laplace transform, and some examples of their practical computation are shown. In the thesis a survey of references to some other methods for sensitivity calculation in MTL systems is given to enable interested persons studying referred-to problems in more details.

35