VYSOKA S KOLA BA NSKA í TECHNICKA UNIVERZITA OSTRAVA. Fakulta strojnı katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı MECHANIKA TEKUTIN

JANALIK,J. - S TA VA,P.: Mechanika tekutin

1

VYSOKA S KOLA BA NSKA í TECHNICKA UNIVERZITA OSTRAVA Fakulta strojnı katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı

MECHANIKA TEKUTIN

Jaroslav Janalık í Pavel S á ava

Ostrava

VS B-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulicky ch zarızenı

2

1. U vod Mechanika kapalin a plynu je castı obecne mechaniky, stejnš jako mechanika tuhych tšles. Zabyva se rovnovahou sil za klidu a pohybu tekutin. Pri vys etrovanı tohoto pohybu se pouzıva mnoha poznatku a zakonitostı z mechaniky tuhych tšles. Neprihlızı se pri tom k “mikrostruktureú pohybu skutecne tekutiny, tj. k pohybu jejıch molekul, ktery je predmštem kineticke teorie kapalin a plynu. Vlastnı mechanika kapalin a plynu vyuzıva nškterych experimentalnıch a statistickych hodnot vysledku kineticke teorie. Obdobnš jako je v obecne mechanice zaveden pojem hmotneho bodu, vystupuje v ňlohach hydromechaniky pojem “elementarnı objemú nebo plynu rozumıme objem velmi maly proti rozmšrum proudu kapaliny, ale dostatecnš velky vzhledem k delce volne drahy molekuly, ze pro pocet molekul obsazenych v tomto objemu platı statisticke strednı hodnoty kineticke teorie. Pro tento objem se odvozujı tzv. bilancnı rovnice umoznujıcı definovat zakladnı zakony tj. zakon zachovanı hmoty resp. energie. Jestlize objem je tak maly, ze nenı splnšn poslednı predpoklad, je nutno pri res enı jevu probıhajıcıch v tšchto “tenkych vrstvachú vychazet z kineticke teorie kapalin a plynu. Zakladnım rozdılem mezi tekutinou a tuhym tšlesem je pohyblivost molekul kapalin a plynu. Kapaliny a plyny tecou v proudu omezenem pevnymi stšnami nebo tvorı rozhranı tekutin. Tuhe tšleso naproti tomu se pohybuje jako tuhy celek hmotnych bodu, neprihlızıme-li k nepatrnym deformacım. Kapalina podleha znacnš všts ım volnym deformacım. K urcenı zakladnıch rovnic rovnovahy za klidu a pohybu tekutin jsou postacujıcı dvš vlastnosti, a to spojitost a stejnorodost (izotropie). Hydromechanika res ı všts inu svych ňkolu na elementarnıch objemech tekutiny, pro nšz sestavuje rovnice rovnovahy. Tyto zakladnı diferencialnı rovnice integruje a pouzitım okrajovych, prıpadnš pocatecnıch, podmınek zıskava res enı. K urcenı rovnovahy pouzıva vs eobecnš platnych všt z mechaniky. Zıskany matematicky model se pak res ı buť exaktnš ci hlavnš v poslednıch letech numericky. Pokud exaktnı res enı bylo z hlediska slozitosti rovnic nedostupne a tez z potreby verifikace numerickeho res enı se pristupuje k experimentu ze ktereho vyplyva empiricke res enı.

Recenzent: Prof.Ing. Jaroslav Kopacek, CSc.

ci poloempiricke


3

2. Zakladnı pojmy 2.1. Tekutina Pri res enı ňloh v hydromechanice se vychazı z predstavy tekutiny jako spojiteho, stejnorodeho prostredı. Stejnorodostı neboli izotropiı rozumıme stejne vlastnosti vs ech castecek kapaliny nezavisle na jejich poloze a smšru pusobenı sil. Tento predpoklad umoznuje vyhodnš res it ňlohy mechaniky kapalin na zvolenem ,velmi malem objemu kapaliny, a odvozene zakonitosti rozs ırit na cely objem. Pri pohybu kapaliny vnımame jen jejı strednı pohyby. Ve skutecnosti jejı pohyb je slozitšjs ı a porus uje tım izotropii tekutiny, ktera se vs ak neustalymi zmšnami molekularnı struktury znovu obnovuje. V hydromechanice je zaveden pojem idealnı neboli dokonale tekutiny, ktera nema vnitrnı trenı (bez vazkosti) a je nestlacitelna. Tento pojem, ac nevystihuje skutecnost, si vytvoril clovšk, nebo– dovoluje odvodit jednodus eji nšktere zakonitosti. Dokonala tekutina muze byt namahana jen tlakem, zatım co vazka (skutecna) tekutina muze byt vedle toho namahana jistou smykovou silou (za pohybu). Tekutina je latka, ktera se na rozdıl od tuhych tšles vzdy nevratnš deformuje. Nema vlastnı tvar a za pusobenı nepatrny ch tecnych sil se castice tekutiny snadno uvedou do pohybu (vyjimkou jsou nšktere anomalnı Ú nenewtonske kapaliny). Tekutiny se dšlı na 1. nestlacitelne, ktere pusobenım tlaku, normalnych sil, jen nepatrnš mšnı svuj objem Ú sem patrı kapaliny. Male objemy kapalin tvorı kapky. Kapaliny zaujımajı tvar nadoby, vyplnujı jejı spodnı cast a vytvarejı volnou hladinu 2. stlacitelne tedy i rozpınave, ktere vyplnujı vzdy cely objem nadoby. Podle toho zda jejich stav je blızko ci daleko bodu zkapalnšnı jsou to buť pary nebo plyny. Spolecny nazev je vzdus iny. Stav tekutiny nachazejıcı se v rovnovaze muze byt urcen tlakem, hustotou a teplotou. a) Mšrny tlak

p (v praxi zpravidla oznacovan jen tlak) je roven pomšru elementarnı tlakove sıly dF

pusobıcı kolmo na elementarnı plos ku dS (viz obr.2.1):

p=

dF dS

[Pa] y p= dF dS

dF dS x

z

Obr.2.1 Urcenı lokalnı hodnoty tlaku Mens ı hodnoty tlaku lze mšrit pomocı sloupce kapaliny piezometrickou trubicı (obr.2.2)


4

pnp

pb

p pretlak h

h

pa

barometricky tlak

pb

pb

podtlak p a

ρ

pa

pa Obr.2.2 Mšrenı tlaku

Obr. 2a Mšrenı tlaku piezometrickou trubicı, je-li v nadobš tlak všts ı nez je tlak barometricky Obr. 2b Schema mšrenı barometrickeho tlaku pb rtu–ovym barometrem, pnp je tlak nasycenych par Obr. 2c Absolutnı tlak par pa, pretlak a podtlak se odecıtajı od barometrickeho tlaku. Je-li nad hladinou kapaliny v uzavrene nadobš tlak pa všts ı nez barometricky tlak pb, ktery pusobı na hladinu kapaliny v otevrenem konci piezometricke trubice, pak hladina v trubici se ustalı ve vys ce h. Pusobı-li na kapalinu jen gravitacnı zrychlenı, vytvorı se vodorovna hladina, coz je soucasnš geometricke mısto bodu se stejnym tlakem rovnym barometrickemu tlaku. Vs echny vodorovne roviny budou take izobaricke plochy, ale protoze na castice nıze polozene bude pusobit svou tıhou castice kapaliny nadchazejıcı se nad nimi, bude tlak s hloubkou narustat. Na vodorovne rovinš prochazejıcı hladinou v nadobš, obr.2.2a, je vs ude tlak roven pa soucasnš je tento tlak i v piezometricke trubici v hloubce h pod hladinou, tj. v mıstech, kde zmınšna vodorovna rovina protına. Zde je mozno definovat podmınky rovnovahy. Uvolnšme si nynı tento sloupec kapaliny. Z rovnovahy sil pusobıcıch na sloupec kapaliny o vys ce h a o prurezu S nachazejıcı se v trubici:

pb S + gρhS = p a S plyne, ze absolutnı tlak

p a = pb + gρh

( 2.1 )

resp. pretlak

p = p a − p b = gρ h

( 2.2 )

Absolutnı tlak se odecıta od nulove hodnoty tlaku, pretlak a podtlak se odecıtajı od barometrickeho tlaku (obr.2.2c). Na obr.2.2b je naznaceno mšrenı barometrickeho tlaku rtu–ovym barometrem: vzduch pusobı na hladinu rtuti v nadobce manometru tlakem a vytlacı do vakuovane trubice rtu–ovy sloupec do vys e h. Nad hladinou rtuti v trubici je tlak roven jejımu tlaku nasycenych par. b) Hustota ρ (mšrna hmotnost) je rovna pomšru hmotnosti elementarnı castice tekutiny dm k jejımu elementarnımu objemu dV, obklopujıcımu bod, v nšmz hustotu urcujeme

ρ=

dm dV

-3

[kg.m ]

( 2.3 )

Prevratna hodnota hustoty je mšrny objem v

v=

1 dV = ρ dm

3

-1

[m .kg ]


5

Hustota kapalin se mšnı s tlakem a teplotou jen nepatrnš a budeme ji povazovat za konstantnı:

ρ = konst. Hustota plynu je funkcı stavovych velicin tj. tlaku p a teploty T ( K). Pro jejı vypocet se bude pouzıvat jednoducha stavova rovnice idealnıho plynu

pv =

p = r ⋅T ρ

-1

( 2.4 )

-1

kde r (J.kg .K ) je mšrna plynova konstanta, jejız velikost zavisı na druhu plynu. c) Teplota T (°C, K). V nas em prıpadš se proudšnı bude povazovat vzdy za izotermnı T=konst. U daj teploty bude slouzit jen pro presne urcenı parametru tekutiny jako je hustota a viskozita.

2.2. Fyzikalnı vlastnosti tekutin Kvantitativnı vztahy v hydromechanice se vyjadrujı rovnicemi, grafy, diagramy apod. Veliciny a jejich mšrove jednotky jsou urceny Mezinarodnı mšrovou soustavou SI (Systeme International dČ Unites), kterou uvadı C SN 01 1300, C SN 01 1301 a dals ı. Zakladnımi velicinami jsou delka, hmotnost, cas, elektricky proud, termodynamicka teplota, latkove mnozstvı, svıtivost a doplnkove veliciny rovinny ňhel a prostorovy ňhel. Zakladnımi jednotkami jsou (C SN 01 1300) metr, kilogram, sekunda, amper, kelvin, mol, kandela a doplnkove jednotky radian a steradian. V mechanice, a tım i hydromechanice, se vystacı pri formulaci poznatku s tšmito zakladnımi velicinami: delka L [m], hmotnost m [kg], cas t [s]. Ostatnı veliciny jsou odvozene veliciny na zakladš definicnıch rovnic (C SN 01 1310). Zakladnı a odvozene veliciny zalozene na soustavš definicnıch rovnic tvorı soustavu velicin. Veliciny, ktere urcujı fyzikalnı vlastnosti kapalin a s nimiz se v hydromechanice nejcastšji pocıta jsou tyto: Objemova stlacitelnost je vlastnost tekutin a tšles zmens ovat svuj objem pri zvys ovanı tlaku. Stlacitelnost se vyjadruje soucinitelem stlacitelnosti , kdy ňbytek objemu vyvolany stlacenım splnuje rovnici

δ =

∆V 1 V ∆p

kde ∆V je ňbytek objemu V zpusobeny tlakem ∆p. Prevracena hodnota objemove stlacitelnosti κ je modul objemove pruznosti kapaliny

K=

dp 1 = −V δ dV

( 2.5 )

Z predchazejıcıch rovnic vyplyva vztah pro objem kapaliny po stlacenı

 ∆p  V0 = V 1 −  K  

( 2.6 )

Pri stlacovanı kapaliny se jejı hmotnost nemšnı, proto lze psat m = ρ V = konst. Diferencovanım se dostane ρ.dV + V.dρ = 0, z cehoz pro mšrnou objemovou zmšnu vyplyva vztah

dV dρ =− . Modul objemove pruznosti kapaliny lze tedy vyjadrit takto V ρ


6

K=ρ

dp dρ

Rozmšr modulu objemove pruznosti kapalin pripomına modul pruznosti v tahu tuhych latek, tj. tlak, ktery za predpokladu, ze stlacitelnost je konstantnı, nezavisı na tlaku a platı neomezenš, zmens ı puvodnı objem kapaliny na polovinu (analogie Hookeova zakona). Pro vodu je modul objemove pruznosti K ≅ 2,1⋅10 Pa 9

Stlacitelnost lze rovnšz charakterizovat rychlostı zvuku a, to je z rychlostı, kterou se ve stlacitelnem prostredı s ırı male zmšny tlaku. Za predpokladu izoentropicke (adiabaticke) stavove zmšny pro rychlost zvuku platı

K = ρ

a=

dp p = κ = κrT dρ ρ

( 2.7 )

κ je izotermicky exponent 1,4 Teplotnı roztaznost tekutin charakterizuje zmšnu objemu a hustoty tekutin. Soucinitel objemove roztaznosti je

β =

1  ∆V  , kde ∆V je Vo-V   V  ∆t  p = konst

( 2.8 )

Z teto rovnice vyplyva vztah pro objem po zahratı

V0 = V (1 + β∆t )

( 2.9 )

Viskozita tekutin se projevuje za pohybu skutecnych kapalin. Pohybujı-li se sousednı vrstvy kapaliny ruznymi rychlostmi, vznika na jejich rozhranı smykove trenı, ktere branı pohybu. Pomalejs ı vrstva je zrychlovana a naopak zase rychlejs ı zbrzťovana. Zmens enı rychlosti je zpusobeno tecnou silou, ktera je vyvolana vnitrnım trenım nebo viskozitou ci vazkostı kapaliny. Poznamka: vazkost lze vysvštlit pomocı kineticke teorie kapalin. Molekuly, kterou se pohybujı postupnou rychlostı, konajı vedle hlavnıho pohybu vlastnı pohyby velmi rychle a v ruznych smšrech. Drahy, ktere probšhnou molekuly sekundarnım pohybem jsou velmi male, ale postacujı k tomu, aby pronikly mys lenou dšlıcı rovinou mezi vrstvami kapaliny. Dals ı sıly, ktere se pri tšchto pohybech uplatnujı jsou mezimolekularnı. Tyto sıly brzdı popsany pohyb. U plynu, jejichz tepelny pohyb molekul prevlada nad silami mezimolekularnımi, vzrusta zvys enım teploty rychlost tepelneho pohybu molekul a tım vzroste i viskozita plynu. Tento poznatek je ve shodš se skutecnostı. U kapalin je tomu obracenš. U nich jsou jes tš dosti vyrazne mezimolekularnı sıly proti tepelnemu pohybu molekul. Zvys enım teploty dochazı k intenzivnšjs ı vymšnš hybnostı castic v pohybujıcıch se vrstvach kapalin a tecne napštı se zmens uje. U kapalin klesa vazkost s rostoucı teplotou. Smykove napštı (tecne) od vazkosti nebo zkracenš vazke napštı je urceno klasickou formulı podle Newtona

τ =η

dv dy

( 2.10 )


7

kde η je dynamicka vazkost

dv je gradient rychlosti ve smšru kolmem na smšr pohybu dy V soustavš SI je rozmšr koeficientu dynamicke vazkosti

[η ] = N ⋅2s = m

dy

−τ

( 2.11 )

kg = Pa ⋅ s m⋅s v+dv

τ v

Ve vy poctech se velmi casto vyskytuje vy raz

η , ktery je oznacovan ρ

jako kinematickavazkost. Obr.2.3 Smykove napštı od gradientu rychlosti

v=

η ρ

( 2.12 )

Rozmšr kinematicke viskozity vyplyva z definice

[υ ] =

kg m 3 = m 2 ⋅ s −1 m ⋅ s kg

( 2.13 )

Rozmšr kinematicke viskozity neobsahuje jednotky hmotnosti ani sıly. Rozmšr dynamicke vazkosti obsahuje jednotku sıly, proto byla tato vazkost oznacena jako dynamicka, nebo–v dynamice se vys etrujı prıciny pohybu, tj. sıly. Dynamicka a kinematicka vazkost zavisı na druhu tekutiny. Jejich hodnoty jsou pro všts inu tekutin tabelovany. Vazkost kazde tekutiny zavisı na teplotš a tlaku, tedy na stavovy ch velicinach. Tyto zavislosti jsou dany poloempirickymi rovnicemi, tyto jsou uvadšny v odborne literature. Vazkost kapalin se mšrı viskozimetry, z nichz nejbšznšjs ı jsou kapilarnı, vytokove,prutokove, rotacnı, tšlıskove a jine. Jako vytokovy viskozimetr se v Evropš nejcastšji pouzıva viskozimetr Engleruv. Mšrıtkem vazkosti jsou Englerovy stupnš E se urcı jako pomšr vytoku τ zkoumane kapaliny o objemu 200 cm pri urcite teplotš t k vytokove dobš τv vody pri 20 °C z tehoz viskozimetru Ú neboli

E=

3

τ . Vytokova τv

doba musı byt v rozmezı (50 az 52)s, velikost a tvar Englerova viskozimetru jsou dany normou. Pro prepocet Englerovych stupnu slouzı empiricke vzorce, napr.

m2 6.31   −6 ν =  7.31 E −  ⋅ 10 ; [ν ] = s E  

( 2.14 )


8

Povrchove napů tı.

Kapalina na rozhranı se vyznacuje odlis nymi

vlastnostmi, prıznacnymi pro ostatnı objem kapaliny. Rozhranı kapaliny se jevı jako potazene velmi tenkou a napjatou vrstvou. Prıcinou povrchoveho napštı jsou sıly pusobıcı mezi molekulami kapaliny. Uvnitr R ≠0

R=0

kapaliny je kazda molekula obklopena ostatnımi ze vs ech stran, takze

Obr. 2.4 Sıly uvnitr kapaliny se jejich pritazlive sıly vyrovnavajı. U rozhranı jsou molekuly obklopeny jen z jedne strany, jejich sıly se nevyrovnavajı z druhe strany, a proto a poblız rozhranı na molekulu pusobı sıla R smšrujıcı dovnitr kapaliny. Ponšvadz pusobenı jednotlivych molekul je omezeno na velmi malou oblast, projevuje se tato nerovnovaha mezimolekularnıch sil jen v nepatrne vrstvš kapaliny na hladinš. Pri premıstšnı castecky kapaliny na rozhranı, se vykona silou R prace. Molekuly na rozhranı majı vys s ı potencialnı energie proti molekulam uvnitr kapaliny. Povrchove napštı je pomšr povrchove energie k plos e rozhranı

σ =

Ea . S

Povrchove napštı se definuje tez jako sıla, ktera pusobı na jednotku delky rozhranı , a to kolmo k teto delce, a v rovinš povrchu. Sıla, kterou je napr. mydlinkova blana roztahovana v ramecku s posuvnymi tyckami AB a CD (kazda delky l), je dana vy razem F = σ ⋅ l , neboé de lka namahane ho povrchu je l a povrchove napštı je σ. Zvšts ı-li se povrch blany roztazenım o delku dx, vykona se prace dA = F dx = σ l dx. Touto pracı se zvšts ı povrchova energie kapaliny. Na jednotku delky rozhranı pripada tedy sıla

F dA σ ldx = = =σ l l dx l dx

.

( 2.15 )

-1

[N m ]

Povrchove napštı urcite kapaliny zavisı na druhu latek,

F D

C

ktere tvorı rozhranı. Kapalina se muze stykat s pevnou latkou, kapalinou nebo plynem. Vznik povrchoveho napštı byl vysvštlen nerovnovahou molekularnıch sil za predpokladu, ze kapalina

B` dx

A` A

B

F l

s nicım nesousedı. Ve skutecnosti je vzdy obklopena jinou latkou,

a–

pevnou,

kapalnou,

ci

plynnou,

a

proto

mezimolekularnı sıly od vlastnı kapaliny se budou vyrovnavat s kvalitativnš stejnymi silami sousednıho prostredı. Vysledne povrchove napštı bude dano vektorovym souctem obou slozek. Kapilarita se vyskytuje u trubicek velmi maleho prumšru Ú

obr. 2.5 K definici povrchoveho napštı

kapilar, nebo v poreznım prostredı. Kdyz adheznı sıly jsou všts ı

nez koheznı, vystupuje kapalina v kapilare do vys ky h. V opacnem prıpadš, kdy koheznı sıly jsou všts ı nez adheznı, zustava kapalina v kapilare o vys ku h nıze nez je hladina okolnı kapaliny. Prıslus ne vys ky h se dajı spocıtat z podmınky rovnovahy mezi gravitacnımi silami a povrchovymi silami:

πdσ =

π 2 d hρ g 4

z cehoz

h=

4σ ρgd

( 2.16 )


Fa > Fk

Fa < Fk

d

9 Poslednı vztah se da pouzıt tez k urcenı povrchoveho napštı σ .

d

Povrchove napštı vody je σ = 0,072 Nm = 0,072 kg s . -1

-2

h

Tlak nasycenych par je hodnota tlaku par nad hladinou h

kapaliny, pricemz nastava rovnovaha mezi poctem molekul Hg

H2O

Obr. 2.6 Kapilarnı elevace a deprese

opous tšjıcıch kapalinu a vracejıcıch se zpšt. U jednoslozkovych kapalin zavisı pouze na teplotš a roste s teplotou. C ım je tlak nasycenych par kapaliny pri dane teplotš vys s ı, tım je kapalina tškavšjs ı. Tlak nad hladinou kapaliny musı byt vys s ı, nez je tlak nasycenych par, jinak by mohlo dojıt k prudkemu odparenı

(varu). Klesne-li tlak uvnitr kapaliny pod hodnotu tlaku nasycenych par, dochazı ke vzniku kavitace. Tlak nasycenych par pro vodu se da odecıst z parnych tabulek.


10

3. Tlakove pomů ry v kapalinů za klidu 3.1. Tlak a jeho pu sobenı Hydrostatika se zabyva rovnovahou sil pusobıcıch na kapalinu za klidu. Rovnovaha kapaliny za klidu nastane tehdy, kdyz jejı castice se vuci sobš nepohybujı, to znamena, ze tvar objemu kapaliny se nemšnı. V tom prıpadš je u skutecne kapaliny smykove napštı od vazkosti nulove a vs echny rovnice platı i pro skutecnou kapalinu. Do hydrostatiky patrı i prıpady relativnıho klidu, kdy kapalina vuci stšnam je v klidu, ale cela soustava (nadrz + kapalina) konajı pohyb. Sıly, ktere mohou pusobit na kapalinu lze rozdšlit obecnš do dvou skupin, a to sıly plos ne a hmotnostnı (neboli objemove). Plos ne sıly (tez povrchove) pusobı na povrch uvazovaneho objemu kapaliny, proto jejich velikost zavisı na velikosti plochy Fp =p. S. Plos ne sıly jsou napr. tlak kapaliny, trenı od vazkosti pohybujıcı se kapaliny, apod. Hmotnostnı sıly jsou ňmšrny hmotnosti, (ktera je ňmšrna objemu kapaliny), Fm =a. m=aρ V. Jsou to napr. tıha kapaliny, setrvacna sıla, odstrediva sıla apod. Tlak kapaliny je tlakova sıla, pusobıcı na jednotku plochy. Je-li tlak rovnomšrnš rozlozen, je dan pomšrem

p=

F S

Pri nerovnomšrnem rozlozenı tlaku je dan obecnš

p=

dF . dS

Tlak pusobı vzdy kolmo na plochu a v urcitem mıstš je ve vs ech smšrech stejny, nezavisı tedy na sklonu plos ky, na kterou pusobı. Toto tvrzenı si nynı dokazeme. Kdyby pusobila na plos ku sıla dF nikoliv ve smšru normaly, dala by se rozlozit na slozku normalnou a tecnou. Tecna slozka tlaku by si vynutila pohyb castecek kapaliny, ktere nekladou vzajemnemu posunutı odpor. Protoze tekutina je v klidu, musı tlak pusobit kolmo na plochu. Z toho

dF n

ze

na

tekutinu

nachazejıcı se

rovnovaznem mohou pusobit jen sıly normalne,

ve

stavu

resp. napštı.

V technicke praxi se bude jednat vzdy o tlak, nebo–jen dokonale ciste a

dF dS dF t

plyne,

odvzdus nšne kapaliny mohou odolavat tahu. Pevnost v tahu specialnš neupravenych kapalin je pribliznš rovna nule a ve vypoctech predpokladame, ze k porus enı kontinuity kapaliny dojde v mıstech, kde tlak klesne pod hodnotu tlaku nasycenych par a dojde zde k varu Ú

Obr.3.1 Pusobenı tlakovych zmšnš faze. Velikost tlaku v urcitem mıstš uvnitr kapaliny, tj. hydrostaticky sil na stšnu nadoby tlak ph, nezavisı na smšru a je tedy skalarnı velicinou. Pri odvozovanı tohoto tvrzenı se predpoklada, ze tlak na stšnach ctyrstšnu ( obr. 3.2) je ruzny

(px , py , pz). Na s ikmou stšnu pusobı tlak p a tudız tlakova sıla dF = p dS. Tento tlak pusobı ve smšru


11

normaly plochy dS , jez svıra s osami x, y, z ňhly α, β, γ . Ponšvadz tekutina je v klidu, musı byt splnšny staticke podmınky rovnovahy sil:

∑F

x

=0 ;

∑F

y

=0 ;

∑F

z

=0 ;

∑M

x

∑M

=0 ;

y

=0 ;

∑M

z

=0

Ponšvadz tlaky na plochu ctyrstšnu jsou konstantnı, pusobı vysledne tlakove sıly v tšzis tıch trojňhelnıku. Plochy trojňhelnıku dSx , dSy a dSz jsou prumšty plochy dS , coz platı i o jejıch tšzis tıch. Take vysledne tlakove sıly se protınajı v jednom bodš a momentove podmınky rovnovahy jsou splnšny. Stacı tedy uvazovat jen zbyvajıcı podmınky rovnovahy sil. Ve smšru osy x pusobı tlakova sıla

dFx a slozka tlakove sıly dF do smšru osy x, tj. dF cosα . Ostatnı sıly jsou kolme na osu x , a proto jejich slozky jsou nulove. Prvnı podmınka staticke rovnovahy sil je dana v nas em prıpadš rovnicı

dFx − dF cos α = 0 y

( 3.1) Po dosazenı drıve uvedenych vyrazu dostaneme

dS z p z

p x dS x − p dS cos α = 0

dF α, β, γ

dF z

O plochach dS a dSx bylo uvedeno, ze dSx je

dSx px dFx

dS p

prumštem plochy dS , pro ktery platı dSx = dS cosα .

x

Podmınka rovnovahy sil se upravı pomocı poslednı rovnice

dFy

a dostane se pro smšr osy

z

p = px

dSy py

( 3.2 )

Podobnš druhe dvš podmınky rovnovahy sil jsou dany

Obr.3.2 K odvozenı zakona o s ırenı

rovnicemi

tlaku

dFy − dF cos β = 0 ; cili

p y dS y − p dS cos β

; dS y = dS cos β

p = py

dFz − dF cos γ = 0 ;

p z dS z − p dS cos γ

; dS z = dS cos γ cili

p = pz

Vyplyva tedy z podmınek staticke rovnovahy sil rovnost tlaku na plochach ctyrstšnu

p = px = p y = pz

( 3.3 )

S ikma plocha dS byla zvolena libovolnš. Vysledek lze zevs eobecnit: Tlak pusobı v danem mıstš kapaliny vs emi smšry stejnš a nezavisı na sklonu plochy, tzn., ze tlak je skalarnı velicina. Tento zakon platı obecnš. Je treba poznamenati, ze v jinem mıstš kapaliny bude hodnota tlaku obecnš jina, matematicky vyjadreno

p = p(x, y, z)


12

3.2. Eulerova rovnice hydrostatiky Obecnym

ňkolem

hydrostatiky

je

urcenı tlaku v libovolnem mıstš tekutiny, ktera

dF z

2

dFy2

y

p = p(x, y, z). Ukol rozlozıme do etap.

dFx2 dFx1

ax

dz

σz σx

dx

dx

p

dFx2 p+dpx

dFy1

dF

z1

x, y, z

dy

σy

dFx1

dy

je v rovnovaze, tj. stanovenı skalarnıho pole

Pomocı Eulerovy rovnice hydrostatiky urcıme prırustek tlaku v nekonecnš blızkem bodš a integracı tšchto rovnic podel krivkoveho integralu stanovıme pak konecny rozdıl tlaku

0

x

mezi pocatecnım a konecnym bodem krivky. Eulerova rovnice hydrostatiky je obecna

z

Obr.3.3 K odvozenı Eulerovy rovnice hydrostatiky

podmınka

rovnovahy

sil

pusobıcıch

na

kapalinu v klidu. Na kapalinu nech– pusobı obecnš hmotnostnı sıla Fo a vyslednice tlakovych sil Fp. Rovnovaha sil je vyjadrena rovnicı

F + F p = 0 . Na jednotku hmotnosti kapaliny pusobı z vnšjs ku sıla da rozepsat pomocı slozek

Fo = a , coz je zrychlenı, ktere se m

a = ia x + ja y + ka z . Zvolı se elementarnı objem kapaliny ve tvaru

hranolku o stranach dx, dy a dz rovnobšznych se zvolenymi osami x, y, z. Tlakove sıly zpusobene Fo pusobı na povrchu hranolku, a to ve trech kolmych smšrech. Protoze plos ky jsou nekonecnš male, je mozne povazovat tlak za konstantnı. Na plos ku dydz pusobı tlakova sıla ve smšru osy x, a proto je oznacena dFx. Podobnš v ostatnıch smšrech pusobı tlakove sılu dFy na plos ku dxdy a tlakova sıla dFz na plos ku dxdz. Podmınka rovnovahy vyplyva opšt z obecnych podmınek staticke rovnovahy sil. Protoze vs echny sıly pusobıcı na hranolek prochazejı jednım bodem (tšzis tšm hranolku), jsou splnšny momentove podmınky. Ve smšru osy x pusobı na zvoleny hranolek plos ne sıly dFx1 a dFx2 na dvš plos ky dydz, jejıchz normaly jsou rovnobšzne s osou x. Tlakova sıla na levou plos ku dSx1 je urcena velikostı plos ky dSx1 a tlakem p, cili platı vztah dFx1 = p dy dz. Na pravou plos ku dydz, ktera je vzdalena od leve plos ky o delku dx, pusobı tlak p + dpx, nebo–obecnš je tlak kapaliny funkcı polohy p

= p(x, y, z), a tlakova sıla je urcena vztahem dFx2 = (p + dpx) dy dz. Tlak dFx2 pusobı opacnym smyslem nez je kladny smysl osy x, proto vyslednice uvedenych tlaku je dFpx = dFx1 ř dFx2. Ostatnı plos ne sıly majı smšr kolmy na osu x, proto jejich slozky jsou nulove a vypocıtana sıla dFpx je vyslednicı vs ech vodorovnych slozek tlakovych sil. Kromš plos nych sil (tlakovych) pusobı na zvoleny hranolek kapaliny hmotnostnı sıla. Jejı slozka ve smšru osy x bude dana vztahem dFox = dm ax, kde

dm je hmotnost hranolku kapaliny a ax je slozka zrychlenı (hmotnostnı sıla na jednotku hmoty) ve smšru osy x. Hmotnost dm se da vyjadrit pomocı objemu hranolku dm = ρ dV = ρ dx dy dz, takze objemova sıla dFox = ρ ax dx dy dz. Pro rovnovahu sil ve smšru osy x musı tedy platit

dF px + dFox = 0 , dFx1 − dFx 2 + dFox = 0 p dy dz − ( p + dp x ) dy dz + ρ a x dx dy dz = 0 a po ňpravš

( 3.4 )


13

ρ a x dx − dp x = 0

( 3.5 )

Protoze tlak kapaliny je obecnš funkcı polohy, platı p = p(x, y, z) a prırustek tlaku je

dp =

∂p ∂p ∂p dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z

( 3.6 )

Kazdy clen prave strany poslednı rovnice udava zmšnu tlaku pri diferencialnı zmšnš prıslus nych souradnic. Jejich fyzikalnı vy znam je tedy prırustek tlaku pri posunutı ve smšru naprıklad osy x, takze

dp x =

∂p ∂p ∂p dx . Podobnš v ostatnıch smšrech platı dp y = dy a dp z = dz . Pomocı poslednıch ∂x ∂y ∂z

vztahu se upravı odvozena rovnice rovnovahy sil dosazenım za dpx takto:

ρ a x dx − ax −

∂p dx = 0 ∂x

1 ∂p =0 ρ ∂x

( 3.7 )

coz je hledana obecna podmınka rovnovahy sil ve smšru osy x. Pro slozky ve smšru os y a z lze psat zcela analogicky rovnice

ay −

1 ∂p =0 ρ ∂y

( 3.8 )

az −

1 ∂p =0 ρ ∂z

( 3.9 )

Poslednı tri rovnice vyjadrujıcı podmınky rovnovahy kapalin za klidu jsou Eulerovy rovnice hydrostatiky. Jestlize poslednı rovnice napıs eme vektorovš a secteme, dostaneme jednu rovnici

a− kde

1 gradp = 0 ρ

( 3.10 )

a je vysledne zrychlenı vnšjs ıho siloveho pole a = ia x + ja y + ka z

( 3.11 )

a gradient tlaku urceny vztahem

gradp = i

∂p ∂p ∂p + j +k ∂x ∂y ∂z

( 3.12 )

Eulerova rovnice hydrostatiky je zakladnı rovnicı k urcenı tlaku v poli tlakovych sil. Z Eulerovy rovnice vyplyva, ze tlak v kapalinš zavisı na hmotnostnıch silach. Obecnš lze psati pro zmšnu tlaku drıve uvedenou rovnici

dp =

∂p ∂p ∂p dz dx + dy + ∂x ∂y ∂z

Ponšvadz gradienty tlaku ve vs ech smšrech se dajı vyjadrit hmotnostnımi silami z Eulerovych rovnic

∂p ∂p ∂p = ρa x , = ρa y , = ρa z , je hledana obecna diferencialnı rovnice pro tlak dana vztahem ∂x ∂y ∂z


14

dp = ρ (a x dx + a y dy + a z dz )

( 3.13 )

Toto je obecna diferencialnı rovnice tlakove funkce p(x, y, z). C leny v zavorce jsou souciny hmotnostnıch sil a prıslus nych posunutı ve stejnem smšru, takze jejich fyzikalnı vyznam je prace pripadajıcı na jednotku hmotnosti. Integracı poslednı diferencialnı rovnice se urcı tlakove funkce

∫

p = ρ (a x dx + a y dy + a z dz ) = p ( x, y, z )

( 3.14 )

3.3. Hladinove plochy Hladinove plochy jsou mısta s konstantnı hodnotou skalarnı veliciny, poprıpadš s tlakem

p = konst.. Prırustek tlaku mezi dvšma body lezıcımi na stejne hladinš musı byt roven nule, coz platı i pro soumezne body, dp = 0. Dosazenım do (rov.3.13) dostaneme obecnou rovnici hladinovych ploch v diferencialnım tvaru

a x dx + a y dy + a z dz = 0

( 3.15 )

Hladinove plochy jsou vzdy kolme k vektoru intenzity hmotnostnıch sil

a . Platı zde dp=0

Dosazenım do (3.13) dp = 0 = ρ a cosψ dr plyne, ze cosψ = 0, a tedy ψ =

π ,S a dr jsou od nuly 2

rozdılne. Tım je dokazano, ze tlakove plochy jsou kolme na vysledne zrychlenı, tedy na vyslednou hmotnostnı sılu. Ve smšru vektoru

a , ktery je shodny se smšrem normaly k hladinove roste tlak nejrychleji, nebo–

a

a

λ = 90 o λ

λ

as

ds

p = konst

s

Obr.3.4 Rez soumeznymi hladinovymi plochami

dp dp 〉 . dn drb Hladinove plochy majı v ňlohach hydrostatiky velky vy znam, predevs ım vs ak

( 3.16 )

hladinova

plocha rozhranı mezi okolnım ovzdus ım a kapalinou.

3.4. Rozlozenı tlaku v kapalinů Na kapalinu v nadobš pusobı z hmotnostnıch sil jen tıze zemska. V libovolnem mıstš kapaliny bude tlak p(x, y, z) urcen diferencialnı rovnicı (3.13) odvozenou v predchozıch odstavcıch

dp = ρ (a x dx + a y dy + a z dz ) .


15

Za pusobenı jen tıze zemske je ay = -g , ax = az = 0. Zrychlenı tıze zemske je nutno dosadit se zapornym znamenkem, ponšvadz tıze pusobı opacnym smyslem nez je zvoleny smysl osy y. Diferencialnı rovnice se tedy zjednodus ı

dp = − ρgdy a integral je

p = − ρgy + konst.

( 3.17 )

Integracnı konstanta se urcı z okrajove podmınky. Na rozhranı kapaliny je tlak ovzdus ı. Pro tuto hladinu platı y = h0 , p = p0. Dosazenım do poslednı rovnice se vypocte integracnı konstanta:

p0 = − ρgh0 + konst z cehoz

konst = p 0 + ρgh0 a hledana zavislost tlaku je

p = − ρgy + p 0 + ρgh0 = p 0 + ρg (h0 − y ) a dosazenım h = y0 ř y se dostane

p = p 0 + ρgh

( 3.18 )

kde h je svisla vzdalenost uvazovaneho mısta v kapalinš od hladiny tlaku ovzdus ı. Jestlize uvazovany bod lezı pod hladinou, je h > 0 (kladne); kdyz je bod vys e nez hladina tlaku ovzdus ı je h < 0 (zaporne). Uvedeny vztah platı pro kapaliny, na nšz pusobı tıze zemska, a to nestlacitelne, nebo–pri integraci byla mšrna hmotnost povazovana za konstantu. y 0

p0 h

p

p0

Tlakove

h

pusobenı

h0 p0

g

ρ gh

y

tıze

hladiny zemske

v kapalinš jsou

za

vodorovne

roviny. Pri odvozenı rovnic tlakovych hladin se predpoklada, ze nadoba s tekutinou nenı rozlehla

tak,

aby

bylo

nutne

prihlızet

k zakrivenı povrchu zemskeho. Pro nadoby 0

x

h

Obr.3.5 Kapalina pri pusobenı sıly tıze zemske

s malymi plochami vzhledem k zemskemu povrchu se tedy predpoklada, ze gravitace pusobı svisle dolu, a to ve vs ech mıstech

nadoby. Za tohoto predpokladu je rovnice tlakovych hladin

− g dy = O ,

( 3.19 )

coz vyplyva z obecne diferencialnı rovnice pro tlakove hladiny po dosazenı hmotnostnıch sil uvazovaneho prıpadu ay = -g , ax = az = 0. Integracı se dostane rovnice tlakovych hladin gy = konst, coz jsou rovnice vodorovnych ploch: y = konst. Tlak se da vyjadrit absolutnı nebo relativnı hodnotou. Absolutnı tlak je vztazen k absolutnı nule, tj. k vakuu, zatımco relativnı tlak je vztazen od smluvene hodnoty tlaku, kterym je tlak ovzdus ı. Platı tedy


16

pa = p0 + pr , kde pa je absolutnı tlak, pr je relativnı tlak, p0 je tlak ovzdus ı. Porovnanım s odvozenym vy razem p = p0 + ρgh, vyplyva, ze je to absolutnı tlak. Relativnı tlak vyvolany ňcinkem sloupce kapaliny je dan vyrazem p = ρgh. K oznacenı absolutnı a relativnı hodnoty .

5

tlaku se nepouzıva indexu a a r, avs ak je treba ňdaj doplnit, o ktery tlak jde. Napr. p = 8 10 Pa abs.;

p = 7,1. 104 Pa pr. Ponšvadz tlak kapaliny zavisı na vys ce sloupce kapaliny a jejı mšrne hmotnosti: p = ρgh, lze tlak vyjadrit vys kou kapalinoveho sloupce, tj. stanovit tlakovou vys ku. h =

p ρg

3.5. Pascalu v zakon Beztızny stav je charakterizovan hodnotou a = 0 . Z rovnice ( 3.13 ) dp = 0 a po integraci p =

konst. tj. tlak uvnitr kapaliny je vs ude stejny. U kapalin Ú kapicek Ú to neplatı presnš, nebo–se uplatnı povrchove napštı. F2

Obr.3.6 Princip hydraulickeho lisu.

Zvys ımeÚli v urcitem mıstš tlak, treba na

d2

rozhranı kapaliny s jinou fazı zvys ı se i v celem objemu kapaliny, coz je obsahem Pascalova d1

p g << ρ h p = konst

F1

zakona: tlak v kapalinš se s ırı rovnomšrnš vs emi smšry. Toho se vyuzıva napr. u hydraulickych zvedaku a lisu. Pusobıme-li na maly pıst silou F1, vyvolame na velkem pıstu sılu F2 > F1. Tlak

v celem objevu kapalin je konstantnı. obecnš vs ak

F F F d  F1 = p1 p.S 2 = Fv = 1 = 2 = 1 =  1  S1 S 2 F2  d 2  S1

2

p = p ( x, y , z )


17

4. Tlakove sıly 4.1. Vodorovne rovinne plochy Tlak v kazdem bodš vodorovneho dna nadoby je stejny p = ρ g h. Je tedy rovnomšrnš rozlozen po cele plos e a vysledna tlakova sıla je rovna F = p S = ρ g h S. Tlakova sıla pusobı kolmo na plochu. Soucin h S v poslednı rovnici predstavuje objem kapaliny vyznaceny

p0 h

v

v obrazku s rafovanš, protoze h⊥S . Lze tedy psat tez rovnici F = ρ g V = Fg. Vyraz ρ g V predstavuje tıhu objemu V naplnšneho

F

kapalinou o mšrne hmotnosti ρ. Zatšzuje tedy tıhova sıla Fg = ρ g V plochu S.

S Obr.4.1 Sıla na dno vodorovne nadoby

TΔleso o objemu V predstavuje tedy zatšzovacı obrazec, ktery je omezen tšmito plochami:

1) plochou S, na nız pocıtame tlakovou sılu F 2) tlakovou hladinou tlaku ovzdus ı p0= konst 3) plas tšm (valce nebo hranolu) vzniklym opsanım prımky rovnobšzne s vyslednicı tlaku F okolo obrysu plochy S. Jestlize nadoba ma bocnı stšny jine nez svisle, je vysledna tlakova sıla na dno dana stejnym vyrazem,

p0

p0

p0 V

h

V S

p0 V

V

S

S

S

Obr.4.2 Hydrostaticke paradoxon a zatšzovacı obrazec

vzdalenost h

nebo– svisla

plochy od

hladiny je

konstantnı,

a

tudız tlak

na

dnš

je

p = ρgh =& konst. Podobnš objem zatšzovacıho obrazce uvedene definice bude ve vs ech prıpadech stejny, takze vysledna tlakova sıla je rovnšz stejna. Nezavisı na tvaru bocnıch stšn nadoby, coz je hydrostaticke paradoxon.

4.2. S ikme rovinne plochy Na rozdıl od vodorovnych ploch je na s ikme rovinne stšnš nadoby tlak promšny. Vy slednice tlakovych sil se urcı integracı elementarnı tlakove sıly na plos ce dS . Na zvolenou plos ku dS pusobı tlakova sıla dF = ρ g h dS . Vyslednice je pak dana integralem

F = ρ g ∫ h dS S

( 4.1 )


18

p0

y

α ht

(y

xt p x

F T

)

y

S

x

p

y

T P S

x

dS Obr.4.3 Sıla na s ikmou rovinnou plochu

Pro ňsecky h a x platı na cele plos e S vztah

h = sin α a po dosazenı do rovnice pro tlakovou x

sılu je

F = ρ g sin α ∫ x dS = ρ g sin α M y , nebo– M y = ∫ x dS je staticky moment plochy S k ose S

S

y. Osa y je urcena prusecnicı hladiny

p0 = konst a bocnı stšny nadoby. Staticky moment plochy S k ose y je tedy urcen vztahem My = S xt takze vyraz pro tlakovou sılu se upravı

F = ρ g sinα S xt ; nebo–xt sinα = ht , vysledna tlakova sıla na s ikmou rovinnou plochu dana vztahem

F = ρ ght S = p t S

( 4.2 )

p0

0

V poslednı rovnici je ht svisla vzdalenost tšzis tš plochy S od tlakove

( p0 )

h

h

hladiny tlaku ovzdus ı ; podobnš pt je tlak

F 90 o

v tšzis ti plochy. Tlak pt predstavuje strednı

dS

V

hodnotu tlaku na plos e S. Smšr vyslednice

P

tlakove sıly F je kolmy na plochu S, to znamena,

S

ze

je

totozny

se

smšrem

normaly k plos e S. Pusobis tš tlakove sıly na s ikmou plochu je vys etrovano pozdšji.

Obr.4.4 Definice zatšzovacıho obrazce

Drıve se odvodı vyraz pro tlakovou sılu na rovinnou s ikmou plochu pomocı objemu

zatšzovacıho obrazce. Tlakova sıla na element s ikme roviny je dF = ρ g h dS, jak bylo uvedeno drıve. Aby soucin h dS predstavoval elementarnı objem dV, musı byt h kolme na dS. Sklopenım vys ky h do smšru normaly plochy S se dostane hranolek o zakladnš dS a vys ce h, jehoz objem je dV. Soucet vs ech

objemovych

elementu

nad

celou

plochou

S urcuje

objem

V,

nebo–

F = ρg ∫ h dS = ρg ∫ dV = ρgV Sklopene vys ky h urcujı sklopenou hladinu (p0), ktera je rovinna. K jejımu urcenı stacı sklopit vy s ku h v libovolnem bodš pod hladinou do smšru normaly k plos e. Spojnice


19

tohoto bodu s prusecıkem hladiny a s ikme roviny urcuje sklopenou hladinu x. Plas – zatšzovacıho objemu tšlesa. V je vytvoren prımkami rovnobšznymi s normalou k plos e S, jenz opıs ı obrys plochy S. Pro tlakovou sılu na s ikmou rovinnou plochu je tedy mozno psat F = ρgV . Objem zatšzovacıho obrazce V se vypocte jako objem skoseneho valce nebo hranolu a je urcen tšmito plochami: 1) plochou S 2) hladinovou plochou (p0 = konst) sklopenou (sestrojı se sklopenım vys ky h libovolneho bodu plochy

S po hladinou do smšru normaly, tj. do smšru vyslednice tlaku, a spojenım jejıho konce s prusecıkem 0) 3) plas tšm vytvorenym prımkami rovnobšznymi s tlakovou sılou F nad obrysem plochy S Objem V skoseneho hranolu se urcı jako soucin zakladny S a vys ky ht v tšzis ti plochy S, neboli V = S ht. Pusobis tš P tlakove sıly se da urcit pocetnš. Moment elementarnıch tlakovych sil k ose y je dan rovnicı dMy = x dF. Vysledny moment tšchto elementarnıch tlakovych sil musı byt stejny jako moment vyslednice tlakove sıly. Platı tedy

M y = Fx p = ∫ dM y = ∫ xdF = ρg sin α ∫ x 2 dS = ρg sin αJ y , S

S

S

z cehoz

xp =

ρgJ y sin α F

=

ρgJ y sin α ρgS y sin α

=

( 4.3 )

Jy My

Jy moment setrvacnosti plochy S k ose y My staticky moment plochy S k ose y 2

Podle Steinerovy všty je Jy = Jyt + Sxt , takze

xp =

J yt + Sxt2 My

=

J yt Sy

+

J yt Sxt2 = xt + My Sxt

Vzdalenost pusobis tš P tlakove sıly od tšzis tš plochy je

∆x = x p − xt =

( 4.4 )

J yt My

Protoze prava strana rovnice je vzdy kladna, je

x p 〉 0 . To znamena, ze pusobis tš P tlakove sıly na

s ikmou rovinnou plochu je vzdy pod tšzis tšm T. Podobnš se urcı druha souradnice pusobis tš tlakovych sil z momentu k ose x:

M x = Fy p = ∫ dM x = ∫ ydF = ρg sin α ∫ xydS = ρg sin αJ xy S

yp =

ρgJ xy sin α F

S

=

ρgJ xy sin α ρgS y sin α

S

=

J xy Sy

Jxy je deviacnı moment plochy S k osam x, y, My staticky moment plochy S k ose y.

( 4.5 )


20

Nškdy je treba urcit slozky tlakove sıly na s ikmou rovinnou plochu, a to ve vodorovnem a svislem smšru. Tyto slozky se mohou urcit rozkladem vyslednice Fx = Fsinα a podobnš Fy = Fcosα nebo se urcı prımo, aniz se pocıta vyslednice. Pro elementarnı svislou slozku dFy platı

dFy = ρghdS cos α = ρghdS y = ρgdV y

( 4.6 )

Integracı se dostane Fy = ρgVy, kde objem Vy zatšzovacıho obrazce je podle obrazku urcen: 1) plochou S 2) hladinovou plochou p0 = konst 3) plas tšm vytvorenym svislymi prımkami (= rovnobšznymi se slozkou tlakove sıly Fy) nad obrysem plochy Zatšzovacı obrazec Vy je zkosene tšleso. Pusobis tš svisle slozky tlakove sıly Fy je dano tšzis tšm objemu Vy zatšzovacıho obrazce. Podobnš pro elementarnı vodorovnou slozku tlakove sıly dFx platı

dFx = ρghdS sin α = ρghdS x = ρgdV x

( 4.7 )

Aby soucin hdSx predstavoval elementarnı objem dVx, musı byt vys ka h a plos ka dSx na sobš kolme. Proto se vys ky sklapšjı do vodorovneho smšru (tj. do smšru uvazovane slozky Fx).

α

p0 Vy S

dVy

αp

p0

0

dSx

dS α dSy

dVx

dVx

β

(p ) 0

Vx

(p ) S

0

Vx

Sx

Obr.4.5 Zatšzovacı obrazec pro slozky tlakove sıly

4.3. Tlakova sıla na krive plochy Na krive plos e je tlak kapaliny v libovolnem mıstš urcen vyrazem p = ρgh. Na zvoleny plos ny prvek pusobı tlakova sıla dF = ρghdS ve smšru kolmem na dS. Vektorovym souctem tšchto elementarnıch tlakovych sil po cele krive plos e se dostane vyslednice tlakove sıly na krivou plochu. K integraci je zapotrebı analytickeho vyjadrenı ploch a rovnšz zavislost pro vys ku, coz vede zpravidla ke zdlouhavym vypoctum.

p0

p0 Vy

dVy

dVx

dVx

(p ) S

p0

0

Vx

S

(p ) 0

Vx

Sx

Obr. 4.6 Slozkova metoda urcenı zatšzovacıho obrazce


21

Pri vypoctu tlakovych sil na krive plochy se pouzıvajı dvš metody, a to slozkova a metoda nahradnıch ploch. Slozkova metoda spocıva v tom, ze se urcı nejdrıve slozky ve zvolenych smšrech, zpravidla svisla a vodorovna. Na zvoleny plos ny prvek dS pusobı elementarnı svisla slozka tlakove sıly dFy = dFcosβ =

ρghdScosβ = ρghdSy = ρgdVy. Vysledna svisla slozka tlakove sıly Fy se dostane integracı

Fy = ρg ∫ hdS y = ρg ∫ dV y = ρgV y S

( 4.8 )

S

Svisla slozka Fy je urcena tıhou zatšzovacıho obrazce Vy. Jak je patrne z obrazku, objem Vy je urcen stejnym zpusobem jako u s ikme roviny s tım rozdılem, ze mısto nı je kriva plocha. Objem Vy je tedy omezen tšmito plochami: 1) krivou plochou S 2) tlakovou hladinou tlaku ovzdus ı p0 = konst 3) plas tšm vytvorenym svislymi prımkami (= rovnobšznymi se slozkou tlakove sıly Fy) nad obrysem plochy Pusobis tš svisle slozky tlakove sıly na krivou plochu je v tšzis ti objemu Vy zatšzovacıho obrazce. Podobnš lze urcit vodorovnou slozku tlakove sıly Fx

Fx = ∫ dFx =ρg ∫ hdS cos α = ρg ∫ hdS x = ρg ∫ dV x = ρgV x S

S

S

( 4.9 )

S

Soucin hdSx predstavuje objem dVx, jestlize vys ka h je kolma na prumšt plochy dSx. Proto se v kazdem bodš krive plochy sklopı svisla vys ky h (= svisla vzdalenost od tlakove hladiny tlaku ovzdus ı) do vodorovneho smšru, cımz je

h⊥dS x . Aby vypocet objemu Vx byl snadnšjs ı, posunou se elementarnı

objemy dVx do libovolnš zvolene svisle roviny. Ponšvadz posunutım se objemy nemšnily co do velikosti, je takto upraveny objem Vx stejnš velky jako puvodnı. Zatšzovacı obrazec tvorı skoseny valec nebo hranol. Jejich zakladnou je prumšt krive plochy do svisle roviny. Tım se dospšlo k velmi dulezitemu poznatku o tlakove sıle na krive plochy: Vysledna vodorovna slozka tlakove sıly na s ikmou rovinnou plochu je dana integracı, cili

∫

Fx = ρg hdS x = ρgVx , kde objem Vx zatšzovacıho obrazce je dan tšlesem skosenym dvšma s

nerovnobšznymi rovinami. Posunutım elementarnıch objemu do libovolnš zvolene svisle roviny premšnı se tvar tšlesa, aniz by se zmšnila jeho velikost. Je to skosene tšleso, jehoz zakladnou je prumšt Sx s ikme roviny do roviny kolme na smšr vyslednice. Objem skoseneho tšlesa se urcı jako soucin zakladny a vys ky v jejım tšzis ti. Vodorovna slozka tlakove sıly na s ikmou rovinu se rovna tlakove sıle na jejı prumšt do roviny kolme na uvazovanou slozku. Pusobis tš vodorovne slozky tlaku je v tšzis ti zatšzovacıho obrazce o objemu Vx. Vyslednice tlakove sıly na krivou plochu se dostane vektorovym souctem vodorovne a svisle slozky. Ponšvadz jsou slozky na sobš kolme, platı v prostoru


22

F = Fx2 + Fy2 + Fz2 prıpadnš pro rovinnou ňlohu F = Fx2 + Fy2 . tgα =

Smšr vyslednice tlakovych sil je dan vztahem

Fy Fx

( 4.10 )

. Vyslednice tlakove sıly F prochazı

prusecıkem jejıch slozek Fx, Fy. p0

F

Fn

Fn

F

Sn

Fn1

-G Fn2 -G'

S Gá Sn2 G

Sn1

p

0

Fn

Fn F

Sn S

F

G

G

Obr. 4.7 Metoda nahradnıch ploch Metoda nahradnıch ploch spocıva v tom, ze se kriva plocha nahradı jednou nebo vıce rovinnymi plochami, a to tak, aby s krivou plochou uzavıraly objem V. Vypocıta se tlakova sıla na nahradnı plochu Fn. Nahrazenım krive plochy rovinnymi plochami se pridal objem kapaliny V, takze tıhovy ňcinek tohoto objemu kapaliny je zahrnut v tlakove sıle na nahradnı plochu. Ve skutecnosti tıha kapaliny G = ρgV nepusobı na krivou plochu, a proto je treba ji odecıst od vysledne tlakove sıly na nahradnı plochu Fh. V opacnem prıpadš, kdy se nahradnı plochou ubral od zatšzujıcıho obrazce objem kapaliny V, jehoz tıha pusobı na krivou plochu, je nutno k vyslednici tlakove sıly na nahradnı plochu Fh pricıst tıhovy ňcinek kapaliny G. Vyslednice tlakove sıly je dana vektorovym souctem tlakove sıly na nahradnı plochu Fn a tıhy G:

F = Fn + G . Aby objem V (pridany nebo ubrany) a tım tıha kapaliny G byla jednoznacnš urcena, je treba spravnš volit nahradnı plochu, aby s krivou plochou uzavıraly obrazec o objemu V. Nahradnı plochy je mozno volit libovolne, jednu nebo vıce. Volı se tak, aby vypocet slozek nahradnıch tlakovych sil byl co nejjednodus s ı.

4.4. Sıly na tů lesa ponorena do kapaliny Na tšleso ponorene do kapaliny pusobı obecnš sıly ve trech na sobš kolmych smšrech, tj. napr. ve svislem smšru a ve dvou smšrech vodorovnych na sebe kolmych. Ponšvadz vodorovne slozky tlakove sıly na tšleso se vypoctou stejnš jako vodorovne slozky tlakove sıly na krivou plochu, urcı se nejdrıve prumšty povrchu ponoreneho tšlesa. Protoze se dostane dvojnasobny prumšt z obou


23

stran tšlesa, bude vyslednice vodorovnych tlakovych sil na tšleso z obou stran stejnš velka, stejneho smšru, ale opacneho smyslu, takze se tuhostı tšlesa rus ı. To platı o obou vodorovnych slozkach tlakovych sil. Ve svislem smšru bude pusobit na zvoleny objem dV tšlesa, jez je valecek, svisla slozka tlakove sıly, jejız velikost je dana souctem tlakovych sil na plos ky dSy (zakladny valecku dV). Na hornı cast valecku pusobı tlakova sıla dF1 = ρgh1dSy, podobnš na spodnı cast dF2 = ρgh2dSy, takze vyslednice svisle tlakove sıly je dFy = dF2 ř dF1 = ρg(h2 ř h1)dSy = ρghdSy = ρgdV = dGk, z cehoz je patrno, ze tlakova sıla kapaliny ve svislem smšru na prvek tšlesa o objemu dV se rovna tıze kapaliny, ktera je tımto elementem vytlacena. Vysledna tlakova sıla na cele tšleso se dostane integracı, coz je soucet elementarnıch tlakovych sil, neboli Fv = ρgV = Gk. Vysledek je znamy Archimeduv zakon: Na tšleso ponorene do kapaliny pusobı vztlakova sıla rovna tıze kapaliny tšlesem vytlacene.

h1

p0 Na tšleso ponorene do kapaliny pusobı dvš sıly, a to

dF1

vztlakova sıla Fv v tšzis ti objemu vytlacene kapaliny, a vlastnı

V

h

h2

dV

tıha tšlesa G, pusobıcı v tšzis ti tšlesa. Podle vyslednice F = Fv ř G, ktera pusobı na tšleso ponorene v kapalinš, mohou nastat obecnš tri prıpady: G > Fv Ú tıha tšlesa je všts ı nez vztlakova sıla, takze

dF2 Obr. 4.8 Vztlak tšlesa

vyslednice pusobı ve smšru svislem dolu a tšleso klesa ke dnu. G = Fv Ú tıha tšlesa je v rovnovaze se vztlakovou silou,

vyslednice je nulova a tšleso setrvava v libovolne poloze Ú vznas ı se v kapalinš. G < Fv Ú vlastnı tıha tšlesa je mens ı nez vztlakova sıla, takze vyslednice pusobı svisle nahoru a tšleso vznas ı k hladinš. Vynorenım tšlesa se zmens ı vztlakova sıla az nastane rovnovaha s vlastnı tıhou tšlesa, ktere plave.


24

5. Relativnı pohyb kapaliny Pri pohybu nadoby s kapalinou mohou nastat prıpady, kdy kapalina je vuci stšnam nadoby v klidu. Na kapalinu pusobı dals ı hmotnostnı sıly, a to setrvacna od vlastnıho pohybu nadoby s kapalinou, ktere je nutno zahrnovat do podmınek hydrostaticke rovnovahy. V dals ım jsou probrany dva jednoduche prıklady relativnıho klidu kapaliny.

λ = 90 o

y

V = konst

α'

λ

h'

p0

h α

h'' -a

h0 y

p0 a

V g -x

0

0,5 l

x

l Obr.5.1 Kapalina v relativnım klidu, prımocary, rovnomšrnš zrychleny pohyb

5.1. Pohyb prımocary, rovnomů rnů zrychleny Nadoba se s kapalinou pohybuje prımocare rovnomšrnš zrychlenš ve vodorovne rovinš. Na kazdou castecku kapaliny v nadobš pusobı ve svislem smšru tıze zemska ay = - g a ve vodorovnem smšru setrvacne zrychlenı ax = - a. Diferencialnı rovnice hladinovych ploch je v tomto prıpadš

− adx − gdy = 0

( 5.1 )

a jejı integral

ax + gy = konst ⇒ y = konst −

a .x = konst − xtgα g

( 5.2 )

Hladinove plochy jsou roviny sklonšne, svırajıcı s vodorovnou rovinou (kladna poloosa) ňhel

α. Z rovnice hladinovych ploch je

tgα ' = −

a a = −tg (180° − α ') = −tgα neboli tgα = , (α + α ' = 180°) g g

( 5.3 )

Z poslednıho vyrazu vyplyva rovnšz, ze hladinove plochy jsou kolme na vyslednici hmotnostnıch sil pusobıcıch na kapalinu. Pro stanovenı tlaku v kapalinš je treba znat aspon v jednom mıstš (tj. alespon na jedne hladinove plos e) velikost tlaku. Zpravidla jım byva rozhranı kapaliny s ovzdus ım (p0 = konst), jehoz poloha je zavisla na objemu kapaliny v nadobš. Nenı-li nadoba zcela naplnšna a nevytece-li kapalina bšhem pohybu ani castecnš, musı byt jejı objem Vk v nadobš za pohybu stejny jako pred pohybem(Vk = konst). Sklonšnım hladiny v jedne casti (prave) nadoby ubude


25

kapalina, ve druhe (leve) zase pribude. Celkova zmšna objemu kapaliny musı byt nulova, proto ňbytek a prırustek objemu musı byt stejnš velky. V prıpadech, kdy nadoba je valcova nebo ma tvar hranolu se zakladnou symetrickou k ose kolme na smšr pohybu, protına se rozhranı kapaliny s ovzdus ım v polovinš delky nadoby. Poloha hladinove plochy tlaku ovzdus ı se tedy urcı z podmınky Vk = konst.

V = konst

α

V prıpadš, kdy zrychlenı je velke, vystoupı

α

rozhranı kapaliny s ovzdus ım (p0 = konst) nad okraj

p0

a nadoby a cast kapaliny vytece z nadoby. To vyvola klesanı hladiny. Pokles hladiny ustane az hladina bude prochazet hranou, pres nız kapalina zacala vytekat. Hladinova plocha tlaku ovzdus ı prochazı tedy v tomto prıpadš mıstem, pres ktere kapalina zacala vytekat (Vk

≠ konst). Tlak kapaliny v libovolnem mıstš se vypocte

Obr. 5.2 Hladinova plocha a jejı poloha

z diferencialnı rovnice tlakova funkce, do nız se dosadı drıve uvedene podmınky ax = -a ; ay = -g

dp = ρ (− adx − gdy ) ; p = ρ (− ax − gy ) + konst

( 5.4 )

Pro zvoleny pocatek souradnic (uprostred dna nadoby) je integracnı konstanta dana touto okrajovou podmınkou: v mıstš y = h0 ; x

≠ 0, je relativnı tlak p = 0; je tedy konst = ρgh0 a tlak

v libovolnem mıstš nadoby je urcen tlakovou funkcı

 a  p = ρg h0 − y − x  g  

( 5.5 )

Protoze

h ′ = − xtgα = −

a x ; h ′′ = h0 − y g

je

p = ρg (h ′′ + h ′) = ρgh

( 5.6 )

Tento vyraz je formalnš shodny s tlakem v kapalinš, na niz pusobı jen tıze zemska. Avs ak velicina h je svisla vzdalenost uvazovaneho bodu od hladiny tlaku ovzdus ı, coz je sklonšna rovina. Tento poznatek se da zobecnit. Vys etrenım hladiny tlaku ovzdus ı (rozhranı kapaliny a ovzdus ı) stava se relativnı klid kapaliny prıpadem hydrostatickym, a lze proto pouzıt vs echny drıve odvozene poznatky o vypoctu tlaku, tlakove sıle na plochy apod.

5.2. Pohyb rovnomů rny, otacivy Valcova nadoba naplnšna zcasti kapalinou se otacı rovnomšrnš kolem svisle osy. Predpoklada se, ze vs echny castecky kapaliny se pohybujı unas ivou rychlostı odpovıdajıcı polomšru, na kterem se nachazı. Pri otacivem pohybu pusobı na kazdou castecku kromš tıze zemske odstredive zrychlenı(u = rω). I kdyz jde o prostorovy pohyb, lze res it tento relativnı klid kapaliny v rovinš, protoze


26

je stejny ve vs ech rovinach, ktere prochazejı osou rotace. Odstredive zrychlenı pusobıcı na castecku kapaliny na polomšru r je ac = r ω . Jeho velikost se mšnı s polomšrem, a proto vyslednice zrychlenı 2

bude na ruznych valcovych plochach ruzna jak co do velikosti, tak i smšru. Je snadne odhadnout, ze v tomto prıpadš hladinove plochy nebudou rovinami. Protoze zrychlenı jsou

y

a r = rω 2 , ay = -g

H 2

je diferencialnı rovnice hladinovych ploch

H p0

hr h

H0

h' ho

y g

rω

( 5.7 )

rω2dr ř gdy = 0. Jejı integral je

H 2

r 2ω 2 − gy = konst ; 2

2

( 5.8 )

K urcenı integracnı konstanty je okrajova

ar

podmınka

r

r = 0 , y = h0 , cili konst = - gh0 a rovnice

r

D = 2R

hladinovych ploch pro zvoleny

Obr. 5.3 Relativnı klid, rovnomšrne otacenı kol

pocatek

souradnic je

osy nadoby

r 2ω 2 − g ( y − h0 ) = 0 2

( 5.9 )

coz je rovnice paraboly. Hladinove plochy jsou rotacnı paraboloidy. Vys ka paraboloidu H mšrena na plas ti valcove nadoby, tj. na polomšru r = R se urcı z poslednı rovnice

R 2ω 2 u R2 H = y R − h0 = = 2g 2g

(5.10)

Vk

Vp H

- H 2

Vp

H 2

Z teze rovnice se dostane vys ka paraboloidu hr na libovolnem polomšru r

Vk

Obr. 5.4 K urcenı polohy hladinove plochy

r 2ω 2 u r2 h = y r − h0 = = 2g 2g

( 5.11)

Vys ka rotacnıho paraboloidu na urcitem polomšru je rovna rychlostnı vys ce na tomtez polomšru. Hladinova plocha tlaku ovzdus ı se urcı stejnš jako v predchazejıcım prıpadš. Jestlize z nadoby nemuze kapalina vytekat, musı byt objem kapaliny pred pohybem a za pohybu stejny. Pred pohybem je v nadobš objem kapaliny Vk = SH0 . Za pohybu je objem Vk = S(h0+H) ř Vp , kde Vp znacı


27

objem rotacnıho paraboloidu, ktery se rovna polovicnımu objemu opsaneho valce, cili Vp =

1 SH . 2

Z poslednıch rovnic vyplyva pri rovnosti objemu

SH 0 = S (h0 + H ) − H 0 − h0 =

1 SH 2 ( 5.12 )

1 H 2

To znamena, ze puvodnı hladina tlaku ovzdus ı za klidu pulı vys ku paraboloidu H, predstavujıcıho novou hladinu tlaku ovzdus ı. Tlak v kapalinš se urcı z diferencialnı rovnice tlakove funkce

dp = ρ (rω2dr ř gdy) Po integraci je tlakova funkce

  r 2ω 2 p = ρg  − y + konst    2g

( 5.13 )

Okrajova podmınka, ktera se stanovı po urcenı nove hladinove plochy tlaku ovzdus ı, pro r =

0, y = h0 je p = 0, cili integracnı konstanta je konst = h0. Tlakova funkce je tedy

 r 2ω 2 p = ρg  h0 − y + 2g 

  

Protoze vys ka paraboloidu na polomšru r je hr =

( 5.14 )

r 2ω 2 a hč = h0 ř y , upravı se tlak rovnice pro tlak 2g

kapaliny

p = ρg (hr + h ′) = ρgh

( 5.15 )

kde h je opšt svisla vzdalenost daneho mısta od hladinove plochy tlaku ovzdus ı za rotace. Tento vysledek je shodny jako v predchazejıcım prıpadš pohybu. Rovnici p = ρgh je mozno povazovat za obecny integral diferencialnı rovnice pro tlak funkci. Pro velicinu h platı drıve uvedena definice. K jejımu spravnemu urcenı je nutno vys etrit hladinove plochy (odpovıdajıcı relativnımu klidu) hlavnš hladinovou plochu tvorıcı rozhranı kapaliny s ovzdus ım (p0 = konst). Z toho vyplyva prakticky vyznam hladinovych ploch. Je treba pripomenout, ze pri vypoctu tlakovych sil omezuje tataz hladinova plocha zatšzovacı obrazec. Muze-li kapalina bšhem pohybu zcasti vyteci z nadoby, nalezne se poloha hladinove plochy tlaku ovzdus ı stejnš jak bylo urceno drıve: musı prochazet mıstem, kde kapalina zacala pretekat, tj. hornım okrajem nadoby.

5.3. Potencial intenzity objemovych sil Chceme-li stanovit tlak v bodš B, pri znamem tlaku v bodš A, pak integrujeme Eulerovu rovnici hydrostatiky podle krivky spojujıcı body A a B:


28

∫ dp = p B − p A = ρ ∫ (a x dx + a y dy + a z dz ) B

B

A

A

Z teorie vıme, ze vysledek integrace nezavisı na draze, je-li vyraz v zavorce ňplnym diferencialem skalarnı funkce U(x,y,z)

dU = a x dx + a y dy + a z dz =

dp ρ

dU =

∂U ∂U ∂U dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z

( 5.16 )

Tuto funkci nazyvame potencialem intenzity objemovych sil (resp. potencialem relativnıho zrychlenı). a) Je-li dana potencialnı funkce U = U(x,y,z), pak lze prırustek stanovit snadno jako prırustek potencialu nasobeny hustotou, aniz bychom museli res it krivkovy integral, nebo– pB

UB

pA

UA

∫ dp = p B − p A = ρ ∫ dU = ρ (U B − U A )

( 5.17 )

Pricemz se predpoklada, ze objemove sıly se nahradı potencial fci U, pro niz platı

ax =

∂U ∂U ∂U ; ay = ; az = neboli a = gradU ∂x ∂y ∂z

( 5.18 )

nebo–platı

dU =

dp = axdx + aydy + azdz ρ

Rovnice ( 5.18 ) dostaneme porovnanım obou poslednıch rovnic. b) Jsou-li dany slozky vektoru intenzity hmotovych sil

ax = ax(x,y,z), ay = ay(x,y,z), az = az(x,y,z) ptame se, zda v tomto prıpadš existuje potencial U(x,y,z). Je-li dU ňplnym diferencialem, pak pro smıs ene derivace platı rovnice

∂ 2U ∂ 2U = ; ∂x∂y ∂y∂x

∂ 2U ∂ 2U = ; ∂y∂z ∂z∂y

∂ 2U ∂ 2U = ∂z∂x ∂x∂z

( 5.19 )

Vezmeme-li v ňvahu rov. ( 5.18 ) dostavame pro existenci potencialu i relativnı rovnovahy tyto tri podmınky:

∂a x ∂a y = ; ∂y ∂x

∂a y ∂z

=

∂a z ; ∂y

∂a z ∂a x = ∂x ∂z

( 5.20 )


29

Hydrodynamika Hydrodynamika se zabyva pohybem kapalin neboli proudšnım. Hydrodynamika v uzs ım smyslu slova res ı teoreticky proudšnı kapalin matematickymi metodami. Aplikovana hydrodynamika prihlızı vıce na skutecne pomšry, opıra se o vysledky experimentalnıch pracı a vyuzıva teoreticke poznatky a je nazyvana tez hydraulikou.

6. Klasifikace proudů nı a zakladnı pojmy 6.1. Zakladnı pojmy Proudšnı se vys etruje v prostoru, rovinš nebo po krivce buť sledovanım pohybu urcite castice kapaliny jako hmotneho bodu, nebo se sleduje cely proud v urcitem casovem okamziku. Draha neboli trajektorie je obecnš carou, kterou probıha castice tekutiny. Za ustaleneho proudšnı se drahy castic nemšnı s casem, zatım co u neustaleneho proudšnı mohou byt v kazdem casovem okamziku odlis ne Ú obr.6.1. y S3

vn = 0

S2

Proudnice

dx dy

p

S1

neustalenem proudšnı

vy

v

t

Obr.6.1 Draha castice pri

dy vy = dx vx vx

x

0

Obr.6.2 Proudnice

p

Obr. 6.3 Proudnice a slozky rychlosti

p obr. 6.2 jsou obalkou vektoru rychlostı a jejich tecny udavajı smšr vektoru

rychlosti. U neustaleneho prudšnı vytvarejı proudnice ruzne castice a nejsou totozne s drahami castic. U ustaleneho proudšnı se nemšnı rychlosti s casem, a proto majı proudnice stale stejny tvar a jsou totozne s drahami castic. Matematicke vys etrenı proudnice je mozne res enım diferencialnı rovnice,

dx : dy : dz = v x : y y : v z

( 6.1)

ktera vyplyva z podobnosti trojňhelnıku slozek rychlosti a elementarnıch drah ve smšru prıslus nych os obr.6.3. Proudova trubice je tvorena svazkem proudnic, ktere prochazejı zvolenou uzavrenou krivkou k. Plas –proudove trubice ma stejne vlastnosti jako proudnice Úobr. 6.4. Protoze smšr rychlosti je dan tecnami k proudnicım, je v kazdem bodš plas tš proudove trubice normalova slozka rychlosti nulova vn=0. Nemuze tedy zadna castice projıt proudovou trubici. Proudova trubice rozdšluje prostorove proudove pole na dvš casti.


30

Jednu

Qv0 S2 p

Qv0

S1 S

Qv

Qv

C astice

vnitrek tekutiny

proudove nemohou

pretekat z jedne casti proudoveho pole do

Qv0 druheho, a proto platı, ze vs echny castice

k2

protekajıcı prurezem S proudove trubice, musı protekat libovolnymi prurezy S1, S2,

k1

k

trubice.

tvorı

teze proudove trubice. Jestlize prurez

p

Qv0

proudove

trubice

proudove

vlakno.

S→0,

dostane

Proudova

se

trubice

predstavuje pomyslne potrubı.

Obr.6.4 Proudova trubice

6.2. Rozdů lenı proudů nı Proudšnı kapalin je mozno rozdšlit podle nškolika hledisek: A) Podle fyzikalnıch vlastnostı kapalin 1. proudšnı idealnı (dokonale) kapaliny: a)

potencialnı proudšnı (nevırive) Ú obr. 6.5 Ú castice se pohybujı prımocare nebo krivocare po drahach tak, ze vuci pozorovateli se neotacejı kolem vlastnı osy. Natocenı castice na krive draze je kompenzovano stejnš velkym natocenem castice kolem vlastnı osy, ale v opacnem smyslu. Mezi potencialnı proudšnı patrı rovnšz potencialnı vır, u nšhoz castice krouzı kolem vıroveho vlakna potencialnš s vyjimkou castice, ktera tvorı vlakno.obr- 6.6.

b) vırive proudšnı Ú castice se vuci pozorovateli natacejı kolem vlastnıch os Ú obr 6.7

s

s

Obr.6.5 Potencialnı proudšnı

2.

Obr. 6.6 Potencialnı vır

Obr.6.7 Vırive proudšnı

proudšnı skutecnych (vazkych) kapalin: a) laminarnı proudšnı Ú castice se pohybujı ve vrstvach (deskach), aniz se premıs–ujı po prurezu Ú obr. 6.8 b) turbulentnı proudšnı, kde castice majı kromš postupne rychlosti turbulentnı (fluktuacnı) rychlost, jız se premıs–ujı po prurezu.- obr. 6.9


31

Obr.6.8 Laminarnı proudšnı

v1

v1'

v2

v2'

S2 S1

Obr.6.9 Turbulentnı proudšnı

B) Podle kinematickych hledisek: 1.

podle usporadanı proudšnı v prostoru: a) proudšnı trırozmšrne neboli prostorove Ú 3D- veliciny, napr. rychlost, jsou urceny polohou v prostoru v=v(x,y,z) b) proudšnı dvourozmšrne neboli rovinne Ú 2 D - v=v(x,y) c) proudšnı jednorozmšrne Ú 1D - v=v(s) Ú proudšnı po krivce s

2.

podle zavislosti na case: a) proudšnı ustalene (stacionarnı) , ktere je nezavisle na case v ≠ v (t);

∂ =0 ∂t

b) neustalene proudšnı (nestacionarnı ), u nšhoz veliciny jsou zavisle na case Ú v= (x,y,z,t); v = v(s,t); v = v(t).

6.3. Druhy proudů nı skutecnych tekutin Jak jiz bylo uvedeno drıve, skutecna tekutina muze proudit buť laminarnš nebo turbulentnš. Existenci obou proudšnı nazornš ukazuje Reynoldsuv pokus Ú obr. 6.10. Do proudıcı tekutiny v kruhovem potrubı se privadı tenkou trubickou obarvena tekutina. Pri malych rychlostech proudu zustane barevne vlakno neporus eno, z cehoz vyplyva, ze pohyb se dšje ve vrstvach a castice tekutiny se nepromıchavajı.

Barvivo

Barvivo Re < Rek = 2320

Re > Re k = 2320

laminarnı

turbulentnı

Obr. 6.10. Reynoldsuv pokus Zvšts ı-li se rychlost nad jejı kritickou hodnotu, dochazı k intenzivnımu mıs enı castic nasledkem jejich podruznych (turbulentnıch) pohybu ve vs ech smšrech. C astice tekutiny neustale prechazejı z jedne vrstvy do druhe, pricemz dochazı k vymšnš kineticke energie a jejich rychlosti po prurezu se znacnš vyrovnavajı. Takove proudšnı je turbulentnı. Protoze pri premıstšnı castic


32

dochazı tez ke zmšnš hybnosti, coz se projevuje brzdıcım ňcinkem, bude vysledny odpor proti pohybu všts ı nez odpovıda smykovemu napštı od vazkosti pri laminarnım proudšnı. Oba druhy proudšnı se lis ı jak rychlostnım profilem tak i velikostı hydraulickych ztrat. U laminarnıho proudšnı v potrubı je rychlostnı profil rotacnı paraboloid. U turbulentnıho proudšnı se rychlosti castic vyrovnavajı intenzivnım premıs–ovanım spojenym s vymšnou kineticke energie. Rychlostnı profil turbulentnıho proudu v potrubı se proto vıce podoba obdelnıku, a to tım vıce, cım všts ı je turbulence, tj. cım všts ı je Re cıslo Ú obr. 6.11.

laminarnı

turbulentnı

pz t

v

v

~v

2

~v l v

0 Obr. 6.11 Rychlostnı profil v potrubı

Obr. 6.12 Zavislost pz = f (v)

U laminarnıho proudšnı je hydraulicky odpor proti pohybu linearnš zavisly na rychlosti, u turbulentnıho prudšnı je zavisly na druhe mocninš rychlosti Ú obr. 6.12. Pomšry, pri nız dochazı ke kvalitativnım zmšnam rychlostnıho profilu a zavislosti odporu, tj. pri prechodu laminarnıho proudšnı v turbulentnı, jsou pro urcite potrubı a tekutiny dany kritickou rychlostı. Z pokusu i teorie podobnosti vyplyva, ze prechod laminarnıho proudšnı v turbulentnı je urceno Reynoldsovym kritickym cıslem. Reynoldsovo cıslo jak bude odvozeno v kap. 18 je definovano vztahem

Re =

vd , kde v je strednı rychlost tekutiny, d je charakteristicky rozmšr (napr. υ

pri proudšnı v potrubı jeho prumšr) υ je kinematicka vazkost proudıcı tekutiny. Pro proudšnı v kruhovem potrubı kriticka hodnota Reynoldsova cısla je Re = 2320. Pri proudšnı skutecne tekutiny mezi dvšma rovinnymi deskami (obr. 6.13) z nichz jedna se pohybuje rychlostı u a druha stojı, majı castice lpıcı na povrchu desek jejich rychlosti. To znamena, ze na pohybujıcı se desce ma castice kapaliny rychlost u, zatımco na stojıcı je rychlost castice nulova. Pro ostatnı castice kapaliny, ktere proudı v mezere mezi deskami, jsou rychlosti rozlozeny linearnš. Pohybujıcı se castice strhava sousednı castice do pohybu v dusledku vazkeho trenı. Rychlost castice ve vzdalenosti y od stojıcı desky bude

v=u

y . Smykove napštı od vazkosti je h

podle Newtona vyjadreno vztahem

τ =η

dv u =η dy h

( 6.2)


33

y

u dy y

h

v

tg ϕ = ( dv ) y=0 dy

u v

ϕ τs

dv

v 0

Obr. 6.13 Rozlozenı rychlosti pri laminarnım

Obr. 6.14 Rychlostnı profil a tecne napštı

proudšnı mezi dvšmi deskami Trecı sıla Ft, kterou pusobı vazka kapalina desku o plos e St, a kterou je nutno pri pohybu desky prekonat, je urcena vztahem Ft=Stτ . V obecnem prıpadš je rychlost tekutiny urcena funkcı v = v(y), a smykove napštı v libovolne vzdalenosti od stšny Newtonovym vyrazem. Graficke znazornšnı prubšhu rychlosti v = v(y) je rychlostnım profilem - obr. 6.13. U cinek vazke kapaliny na obtekane plochy je zavisly na tekutiny

smykovem napštı od vazkosti

 dv   dv  τ s = η   . Derivace   je smšrnicı tecny k rychlostnımu profilu na obtekanem  dy  y = 0  dy  y =0

povrchu. Pri tomto proudšnı se predpoklada, ze nekonecnš tenke vrstvy kapaliny klouzajı jedna po druhe, takze se pohybujı ve vrstvach Ú laminarnš (lamina-vrstva).

τp

τp 0

h 1 in g n = k a -B <1 t ic an s k c la 1 sti ip n< pla a ln a e a id ck cn sti =1 u te p la sk an o k d 1 s eu on ın > ps wt n e t a nt n a dil idealnı tekutina dv dy

pruzna latka

τ

s am

ka

Zavislost smykoveho napštı od vazkosti

τ v zavislosti na

gradientu rychlosti v kolmem smšru na pohyb je vyjadrena v grafu vazkost

 dv  τ = f   -obr.6.15. Sklon udava dynamickou  dy  kapaliny.

Newtonovu

zakonu

Vs echny viskozity,

kapaliny, se

ktere

nazyvajı

vyhovujı

newtonske.

V technicke praxi se dosti casto vyskytujı latky, jejichz zavislost smykoveho napštı na gradientu rychlosti se neda vyjadrit Newtonovym vztahem. Rıka se jim nenewtonske

Obr.6.15. Reologicke vlastnosti kapalin kapaliny ci anomalnı a jejich reologicke vlastnosti jsou vyjadreny krivkami v diagramu a popsany matematickymi modely. Pro idealnš plastickou latku je znam Binghamuv vztah

τ = τ p + µB

dv dy

( 6.3)

Pro prubšhy nelinearnı se pouzıvajı mocninove vztahy n

 dv   dv  τ = τ p + K   ; τ = K    dy   dy  kde K - soucinitel konzistence n Ú index toku

n

( 6.4)


34

7. Proudů nı idealnı tekutiny 7.1. Rovnice kontinuity í spojitosti Rovnice kontinuity, casto nazy vana take

S2 v2

ρ2 S S1

v1

v

rovnice spojitosti,

vyjadruje obecny

fyzikalnı

zakon o zachovanı hmotnosti. Pro kontrolnı objem, kterym proudı kapalina, musı byt hmotnost tekutiny konstantnı, a tedy jejı celkova zmšna nulova. U kontrolnıho objemu mohou vzniknout

ρ

dvš zmšny hmotnosti, a to lokalnı v kontrolnım

ρ1

objemu

ds

rozpına)

samem a

(tekutina

konvektivnı

se

stlacuje

zmšna

nebo

hmotnosti,

zpusobena rozdılem v pritekle a vytekle hmotnosti Obr. 7.1 Prutocny prurez a rychlost

z kontrolnıho objemu. Obš zmšny musı davat

nulovou zmšnu hmotnosti, coz je mozne jen tehdy, kdyz jsou obš dılcı zmšny stejnš velke, ale opacneho znamenka, tj. jedna znamena zvšts enı a druha zmens enı hmotnosti. Rovnici kontinuity je mozne definovat take tak, ze rozdıl vstupujıcı hmotnosti do kontrolnıho objemu a vystupujıcı hmotnosti z kontrolnıho objemu je roven hmotnosti, ktera se v tomto kontrolnım objemu akumuluje. V technicke praxi se nejcastšji vyskytujı prıpady jednorozmšrneho proudšnı, menš caste je pak proudšnı rovinne ci prostorove. Rovnice kontinuity pro jednorozme rnč proude nı Uvazuje se jednorozmšrne neustalene proudšnı stlacitelne tekutiny proudovou trubicı s promšnnym prurezem - obr.7.1. Z nı se vytkne elementarnı cast ohranicena vstupnım prurezem S a elementarnı delkou ds. Elementarnı kontrolnı objem tvorı valecek, jehoz zakladnami proteka tekutina. Plas – kontrolnıho objemu je tvoren proudnicemi, a proto tok touto castı kontrolnı plochy je nulovy, nebo– platı vn = 0 na celem plas ti. Rozlozenı rychlosti po prurezu proudove trubice uvazujeme rovnomšrne. Pri nerovnomšrnem rozlozenı rychlosti po prurezu uvazujeme jejı strednı rychlost. Na draze ds se puvodnı rychlost v zmšnila na velikost

hustota

(ρ +

(v +

∂v ds ) , podobnš se zmšnila i ∂s

∂ρ ∂S ds ) a prurez proudove trubice ( S + ds ) . ∂s ∂s

Hmotnost kapaliny, ktera pritece do kontrolnıho objemu za cas dt, je urcena vztahem

dms1 = ρSvdt Hmotnost kapaliny, ktera vytece z kontrolnıho objemu za cas dt druhou zakladnou valecku, tj. ve vzdalenosti ds, je

dm s 2 = ( ρ +

∂ρ ∂S ∂v ∂ ds )( S + ds )(v + ds )dt = ρSvdt + ( ρSvdt )ds ∂s ∂s ∂s ∂s


35

Rozdıl pritekle a odtekle hmotnosti z elementarnıho objemu je konvektivnı zmšna hmotnosti v case

dt, ktera je urcena vztahem

∆ (dms ) = dm s 2 − dms1 =

∂ ( ρSvdt )ds ∂s

Na pocatku sledovanych zmšn hmotnosti je v kontrolnım valecku hmotnost tekutiny

dmt1 = ρSds . Tato hmotnost tekutiny v kontrolnım objemu za cas dt se zmšnı. Protoze se jedna o lokalnı zmšnu, pro jejı velikost platı vztah

∆ (dmt ) =

∂ (ρSv )dt ∂t

Pro splnšnı zakona o zachovanı hmotnosti (m = konst) musı byt celkova zmšna hmotnosti dm nulova, proto platı

∆ (dm ) = ∆ (dm s ) + ∆ (dmt ) =

∂ (ρSvdt )ds + ∂ (ρSds )dt = 0 ∂s ∂t

V obecnem prıpadš jednorozmšrneho proudšnı tekutiny se predpoklada stlacitelna tekutina

ρ = ρ(s, t), promšnny prurez proudove trubice S = S(s, t) (napr. pruzna trubice, proudšnı v kanalech apod.) a neustalene proudšnı v = v(s, t). Protoze casova zmšna dt a posunutı ds nejsou na sobš zavisle (s, t jsou nezavisle promšnne), upravı se poslednı rovnice takto

∂ (ρSv ) + ∂ (ρS ) = 0 . ∂s ∂t

( 7.1 )

Toto je obecna rovnice kontinuity pro jednorozmšrne proudšnı. Pro tuhe potrubı platı S = S(s) a rovnice (7.1) se dale upravı

∂ (ρSv ) + S ∂ρ = 0 ∂s ∂t Dals ı zjednodus enı rovnice je pro ustalene proudšnı, kdy platı

( 7.2 )

∂ = 0 . V tomto prıpadš je ∂t

hustota, prurez a rychlost jen funkcı souradnice s: ρ = ρ(s); S = S(s); v = v(s) a rovnice kontinuity se zjednodus ı

∂ (ρSv ) = d (ρSv ) = 0 ∂s ds Po integraci platı pro jednu a tutez proudovou trubici

Qm = ρSv = konst .

( 7.3 ) -1

Velicina Qm je hmotnostnı prutok. Udava hmotnost tekutiny protekle za jednotku casu Ú kgs . Protoze rovnice ( 7.3 ) musı platit pro vs echny body proudove trubice, pro rovnici kontinuity proto platı

ρ1S1v1 = ρ2S2v2 = ρSv = konst

( 7.4 )

Pro nestlacitelne kapaliny je hustota konstantnı (ρ = konst), takze rovnice se zjednodus ı na znamy tvar


36

Qv = Sv = konst. 3

Velicina Qv je objemovy prutok a udava objem kapaliny protekly za jednotku casu Ú m /s. Pri nerovnomšrnem rozlozenı rychlosti po prurezu se dosazujı do rovnice kontinuity strednı rychlosti podle prutoku, urcene vztahem

vs =

1 vdS S ∫S

Rovnice kontinuity pro prostorovč proude nı Pri odvozenı rovnice kontinuity pro prostorove

vy+dvy

y

proudšnı se vytkne v proudovem poli tekutiny kontrolnı

vz dSy dSx vx+dvx dSz dy

vx x, y, z

dx vy

vz+dvz

oblast ve tvaru hranolku o stranach dx, dy, dz, jehoz objem je dV = dx dy dz obr.7.2. Tımto hranolem proteka tekutina rychlostı, jez ma slozky ve smšru trı

dz x+dx, y, z

souradnych os x, y, z, ktere jsou kolme na elementarnı plos ky zvoleneho hranolu. Kontrolnı objem se zvolil

x

0

velmi maly - diferencialnıch rozmšru, aby se rychlosti prutoku

z

elementarnımi

plos kami

mohly

uvazovat

konstantnı. Obr.7.2 Elementarnı kontrolnı objem

Zmšny hmotnosti pri pruchodu elementarnım

kontrolnım objemem se vys etrı postupnš ve smšrech os x, y, z. Plochy hranolku jimiz proteka kapalina ve smšru osy x, jsou stejne, a to dSx = dy dz. Tekutina o hustotš ρ vteka do hranolku z leve strany rychlostı vx a vyteka z nšho na prave stranš o hustotš

∂v ∂p   dx  rychlostı (v x + x dx) . Pritece ρ + ∂x ∂x  

tedy do hranolku za cas dt ve smšru osy x hmotnost tekutiny

dm sx1 = ρv x dS x dt a vytece

∂v ∂   ∂p  dm x 2 =  ρ dx  v x + x dx dS x dt = ρv x dS x dt + ( ρv x dS x dt )dx ∂x  ∂x  ∂x  Rozdıl pritekle a vytekle hmotnosti kapaliny z hranolu ve smšru osy x je

∆ (dmsx ) = dm sx 2 − dmsx1 =

∂ ( ρv x ) ∂ ( ρv x dS x dt )dx = dVdt , ∂x ∂x

coz platı za predpokladu, ze prurez dSx nezavisı na souradnici x. Obdobne vyrazy se dostanou pro prutok tekutiny ve smšru os y, z:

∆ (dm sy ) =

∂ (ρv y ) ∂y

dVdt ; ∆ (dm sz ) =

∂ ( ρv z ) dVdt , ∂z

takze rozdıl pritekle a vytekle hmotnosti tekutiny plochami kontrolnıho hranolku je dan souctem

∆ (dms ) = ∆ (dm sx ) + ∆ (dmsy ) + ∆ (dm sz ) =

∂ (ρv y ) ∂ ( ρv x ) ∂ ( ρv z ) dVdt + dVdt + dVdt ∂x ∂y ∂z


37

Je-li hmotnost tekutiny v elementarnım objemu (hranolu) dmt1 = ρdV , potom za cas dt se tato hmotnost zmšnı a tato zmšna je

∆ (dmt ) =

∂ (dm ) ∂(ρ ) dt = dVdt ∂t ∂t

Jak jiz bylo receno, musı byt celkova zmšna hmotnosti v kontrolnım objemu rovna nule

∆ (dm ) = ∆ (dm s ) + ∆ (dmt ) =

∂ (ρv y ) ∂ ( ρv x ) ∂ ( ρv z ) ∂(ρ ) dVdt + dVdt + dVdt + dVdt ∂y ∂z ∂t ∂x

Po kracenı vyrazem dVdt se dostane rovnice

∂ ( ρv x ) ∂ (ρv y ) ∂ ( ρv z ) ∂ ( ρ ) + + + =0 ∂x ∂y ∂z ∂t

( 7.5 )

To je obecna rovnice kontinuity pro neustalene prostorove proudšnı stlacitelne tekutiny. Protoze platı

div( ρv ) =

∂ ( ρv x ) ∂ (ρv y ) ∂ ( ρv z ) ∂( ρvi ) , + + = ∂x ∂y ∂z ∂xi

da se prepsat rovnice kontinuity na tvar

∂ρ + div( ρv ) = 0 ∂t

( 7.6 )

Stejna rovnice v tenzorovem zapisu ma tvar

∂ρ ∂ ( ρvi ) =0 + ∂xi ∂t

( 7.7 )

Takto vyjadrena rovnice kontinuity platı v pevnem kontrolnım objemu, ktery se vzhledem ke zvolenemu pravoňhlemu souradnemu systemu x, y, z nepohybuje. Rovnice kontinuity se upravuje i do jineho tvaru. Za tım ňcelem rozepıs eme derivace ve vyrazu pro divergenci a dostaneme

div( ρv ) =

∂v y ∂ρ ∂v ∂v ∂ρ ∂ρ vz + ρ z vy + ρ vx + ρ x + + ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z

Dale napıs eme substancialnı derivaci hustoty podle casu

Dρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ = + vx + vy + vz Dt ∂t ∂x ∂y ∂z pomocı nız se rovnice kontinuity upravit takto:

∂v y  ∂v ∂v Dρ + ρ  x + ρ +ρ z Dt ∂y ∂z  ∂x

 Dρ  = + ρ divv = 0  Dt

( 7.8 )

Toto je druhy tvar rovnice pro neustalene prostorove proudšnı stlacitelne tekutiny, tedy prıpad, kdy se kontrolnı objem vzhledem ke zvolenemu souradnemu systemu x, y, z pohybuje. Pro ustalene proudšnı se uvedene rovnice zjednodus ı. Pri ustalenem proudšnı se nemšnı veliciny v case, proto musı byt

∂ρ = 0 a rovnice kontinuity ( 7.6 ) ma tvar ∂t


38

div( ρv) = 0.

( 7.9 )

Tato rovnice platı pro proudšnı stlacitelne i nestlacitelne tekutiny v prostoru. Dals ı zjednodus enı se dostane u nestlacitelnych kapalin (ρ = konst). Rovnice kontinuity je pak vyjadrena vztahem

divv =

∂v x ∂v y ∂v z + + =0 ∂x ∂y ∂z

( 7.10 )

Stejna rovnice zapsana v tenzorovem zapisu ma tvar

∂vi =0 ∂xi

( 7.11 )

7.2. Eulerova rovnice hydrodynamiky Eulerova rovnice hydrodynamiky vyjadruje rovnovahu sil hmotnostnıch (objemovych), ktere pusobı na tekutinu z vnšjs ku, tlakovych (pusobıcıch v tekutinš) a setrvacnych od vlastnıho pohybu castic dokonale tekutiny. V proudıcı skutecne tekutinš

y

vznikajı vedle normalovych napštı, tj. tlaku, i tecna napštı,

dy

vx

ax

p

a to vs ude tam, kde se tekutina nepohybuje jako tuhe

p+dpx tšleso a dochazı tedy k deformaci castic tekutiny, tj. castice se vuci sobš posouvajı. Zanedbame-li tato tecna

dx

napštı vzhledem k tlakum, hovorıme pak o proudšnı dokonale (idealnı) tekutiny (tj. model tekutiny s nulovou

0

x

viskozitou). V proudu dokonale tekutiny zvolıme elementarnı

Obr. 7.3 Elementarnı hranolek

objem dV ve tvaru hranolku Ú obr.7.3 o stranach dx, dy,

dz. Na tento objem tekutiny pusobı stejnš jako v hydrostatice tlakova dıla dFp a vnšjs ı tlakova sıla dFm. Podle Newtonova zakona vyslednice tšchto sil se rovna setrvacne sıle

Fm + F p = FS V kapitole 3 pro sılu tlakovou a hmotnostnı pro 1 kg hmotnosti byly odvozeny tyto vyrazy:

Fp = −

1 grad p ρ

Fm = a 0 Setrvacna sıla pohybujıcı se castice tekutiny je

Fs = m

Dv Dt

Pri proudšnı 1 kg tekutiny se tato rovnice zjednodus ı

Fs =

Dv Dt

Dosadıme-li vyrazy pro sıly do rovnice ( 7.12 ), bude rovnovaha sil

( 7.12 )


Dv 1 = a 0 − grad p Dt ρ

39

( 7.13 )

Substancialnı derivaci Dv/Dt je mozne upravit takto: Rychlost v je obecnš funkcı polohy castice a casu, tedy v = v (x, y, z, t) . Jejı diferencial je

dv =

∂v ∂v ∂v ∂v dx + dy + dz + dt ∂x ∂y ∂z ∂t

a zrychlenı castice tekutiny se vyjadrı rovnicı

Dv ∂v dx ∂v dy ∂v dz ∂v dt ∂v ∂v ∂v ∂v = + + + = vx + v y + vz + Dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt ∂t dt ∂x ∂y ∂z ∂t Prvnı tri cleny predstavujı konvektivnı zrychlenı a je mozno je vyjadrit pomocı gradientu jako skalarnı soucin rychlosti

v a jejıho gradientu, nebo–

 ∂v ∂v ∂v ∂v ∂v  ∂v vgrad v = (iv x + jv y + kv z ). i + j + k  = v x + v y + v z ∂y ∂z ∂y ∂z  ∂x  ∂x C len

∂v predstavuje lokalnı (mıstnı) zrychlenı. ∂t

Eulerova rovnice hydrodynamiky ma pak tvar

Dv ∂v 1 = + v grad v = a 0 − grad p Dt ∂t ρ

( 7.14 )

Stejna rovnice uvedena v tenzorovem zapisu ma tvar

∂v ∂vi 1 ∂p + v j i = ai − ∂x j ∂t ρ ∂xi

( 7.15 )

Tuto pohybovou rovnici dokonalych tekutin odvodil poprve Leonard Euler v r. 1755. Rozepsanım poslednı rovnice pro slozky ve smšru os x, y a z se dostanou tyto rovnice

∂v x ∂v x ∂v ∂v 1 ∂p + vx + x v y + x vz = ax − ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂x ∂v y ∂v y ∂v y ∂v y 1 ∂p vy + vz = a y − vx + + ρ ∂y ∂y ∂z ∂x ∂t ∂v z ∂v z ∂v ∂v 1 ∂p vx + z v y + z vz = az − + ρ ∂z ∂t ∂x ∂y ∂z V rozepsanych Eulerovych rovnicıch hydrodynamiky je celkem pšt neznamych, a to slozky rychlosti vx, vy, vz, hustota ρ a tlak p. K urcenı pšti neznamych je treba pšti rovnic, z nichz tri jsou Eulerovy rovnice (pro tri smšry os) a dals ımi rovnicemi jsou rovnice kontinuity a stavova rovnice ρ =

f(p) u stlacitelne tekutiny, poprıpadš u nestlacitelne tekutiny je ρ = konst. Vs ech pšt uvedenych velicin zavisı na poloze proudıcı castecky tekutiny a na case. Pro urcenı soustavy rovnic je treba zadat okrajove a pocatecnı podmınky. Eulerova rovnice hydrodynamiky je nelinearnı parcialnı diferencialnı rovnice, jejı integrace je obtızna i casovš narocna, v soucasne dobš se res ı numericky. Eulerova rovnice hydrodynamiky slouzı k odvozenı Bernoulliho rovnice.


40

7.3. Bernoulliho rovnice pro dokonalou tekutinu Pri proudšnı dokonale tekutiny pusobı na jejı castecky sıly,

1

y s

ktere pri posunutı po elementarnı draze ds konajı elementarnı praci

a

p

2

v

(obr.7.4). Sectenım tšchto elementarnıch pracı na konecne delce po proudnici, tj. integracı, zıska se vztah pracı neboli energiı proudıcı

p+dps ds

tekutiny. Aby bylo mozno provest integraci, predpoklada se, ze vnšjs ı

U=0

hmotnostnı sıla na jednotku hmotnosti (neboli vnšjs ı zrychlenı), ktere

0

x

pusobı na proudıcı tekutinu, je potencialnı. Pak se da vyjadrit

Obr. 7.4 Elementarnı prace pri potencialem U a platı

a 0 = gradU

proudšnı dokonale tekutiny

a 0 = grad U = i

∂U ∂U ∂U +j +k ∂x ∂y ∂z

( 7.16 )

Protoze a0 = (iax + jay + kaz), potom z predchazejıcı rovnice jsou slozky zrychlenı urceny vztahy

ax =

∂U ∂U ∂U , ay = , az = ∂x ∂y ∂z

kde potencial vnšjs ıch sil (na jednotku hmotnosti) neboli zrychlenı je funkcı polohy. Dosadı-li se tento vyraz do Eulerovy rovnice hydrodynamiky a urcı se elementarnı prace skalarnım soucinem sil a posunutı ds, dostane se

∂v 1 ds + vgradv ds = grad U ds − grad p ds ∂t ρ

( 7.17 )

Pro dals ı ňpravu teto rovnice odvoťme velikost skalarnıho soucinu gradientu a diferencialu drahy ds =idx +jdy +kdz.

 ∂U ∂U ∂U  .(idx + jdy + kdz ) = +j +k grad U ds =  i ∂y ∂z   ∂x ∂U ∂U ∂U = dx + dy + dz = dU ∂x ∂y ∂z

( 7.18 )

Podobnš pro ostatnı veliciny platı

1 dp gradp ds = ; vgradv ds = v dv ρ ρ Integral upravene rovnice ( 7.17 )

∂v dp ∫1 ∂t ds + ∫1 vdv = ∫1 dU − ∫1 ρ 2

2

2

2

( 7.19 )

pro libovolny prurez proudove trubice je

v2 2

2

+ P −U + ∫ 1

∂v ds = konst ∂t

( 7.20 )

Tato rovnice platı pro neustalene proudšnı, a to pro urcity casovy okamzik. Konstanta ma obecnš v kazdem case jinou hodnotu.


41

Pro ustalene proudšnı se poslednı rovnice zjednodus ı, protoze

∂v = 0 . Integral Eulerovy ∂t

rovnice hydrodynamiky po draze ma v tomto prıpadš tvar

v2 2

( 7.21 )

+ P − U = konst

coz je zakladnı Bernoulliho rovnice pro dokonalou tekutinu. Velicina P je tlakova funkce, jiz urcıme integracı vyrazu

∫

dp , kdyz zname stavovou zmšnu a ρ

jejı rovnici ρ = f(p). Pro nestlacitelnou kapalinu je ρ =konst a tlakova funkce

P=

p + konst . Pusobı-li ρ

na tekutinu jen tıhove zrychlenı, je vnšjs ı zrychlenı ay = -g. Znamenko zaporne je uvedeno proto, ze kladny smysl zvolene osy je opacny nez smysl pusobenı tıhoveho zrychlenı. Prıslus ny potencial siloveho pole (pro tıhove zrychlenı) je tedy

promšnne U = U(y), pak platı

ay =

∂U = − g . Potencial tıhove sıly je funkcı jen jedne ∂y

∂U dU = , neboli dU = -g dy. Integracı se urcı potencialnı funkce U = ∂y dy

- gy + konst = - gh + konst. Pro nestlacitelnou kapalinu za pusobenı tıhoveho zrychlenı a pro ustalene proudšnı je Bernoulliho rovnice vyjadrena vztahem ( 7.22 )

v2 p + + gh = konst 2 ρ Tato rovnice predstavuje zakon zachovanı energie. Prvnı clen

v2 p je kineticka energie , druhy clen 2 ρ

odpovıda tlakove energii, tretı clen gh je roven polohove energii hmotnostnı jednotky kapaliny. Soucet kineticke, tlakove, a polohove energie prestavuje celkovou mechanickou energii kapaliny. Energie vztazene na jednotku hmotnosti se nazyvajı mšrne energie

e=

E . m

Jestlize se rovnice dšlı tıhovym zrychlenım g, dostane se

v2 p + + h = konst 2 g ρg

( 7.23 )

Tuto rovnici uvedl poprve v roce 1738 Daniel Bernoulli. Kazdy clen rovnice ( 7.23 ) predstavuje energii vztazenou na tıhovou jednotku kapaliny a formalnš ma rozmšr vys ky. Prvnı clen je znam jako rychlostnı vys ka, druhy clen je tlakova vys ka a tretı urcuje polohovou (potencialnı) vys ku. Vynasobı-li se rovnice ( 7.23 ) soucinem ρg, dostane se

ρ

v2 + p + ρgh = konst 2

Kazdy clen rovnice prestavuje tlak (kineticky, staticky, polohovy).

( 7.24 )


42

Soucet vs ech energiı, tj. kineticke, tlakove a polohove je celkova mechanicka energie kapaliny, ktera podle Bernoulliho rovnice je v kazdem prurezu jedne a teze trubice konstantnı. Bernoulliho rovnice vyjadruje zakon o zachovanı energie pri proudšnı dokonale tekutiny za pusobenı tıhoveho zrychlenı.-obr 7.5 Jednotlive cleny rovnice je mozno znazornit jako ňsecky. Soucet vys ek od libovolnš zvolene vodorovne roviny urcuje v diagramu caru mechanicke energie a je roven konstantš v Bernoulliho rovnici ( 7.17 ).

cara energie 2 v1

2

v22 2

p1

2

v3 2

ρ 1

gH p2

ρ

gh1 gh 2

2

p3

ρ

gh 3

3 U

0

Obr. 7.5 Graficke znazornšnı Bernoulliho rovnice

v2 p v12 p1 v2 p + + gh1 = 2 + 2 + gh2 = ... = + + gh = gH = Y = konst 2 ρ 2 ρ 2 ρ

( 7.25 )

Bernoulliho rovnice platı pro proudovou trubici, v jejıchz prurezech je rychlost rovnomšrnš rozlozena. Pri nerovnomšrnem rozlozenı rychlosti je nutno volit proudovou trubici velmi malych prurezu, aby rozdıl rychlostı po prurezu proudove trubice byl zanedbatelny. Jinak je nutno prihlızet k nerovnomšrnemu prubšhu rychlosti, coz vyjadruje strednı rychlost podle kineticke energie. Do Bernoulliho rovnic je mozno dosadit absolutnı tlaky nebo relativnı tlaky, avs ak na obš strany rovnice shodnš. Budiz znovu zduraznšno, ze rovnice ( 7.23 ) az ( 7.25 ) platı pro dokonalou kapalinu, tedy bez vnitrnıho trenı a nestlacitelnou. Bernoulliho rovnice pro dokonalou kapalinu psana pro dva prurezy jedne a teze proudove trubice obsahuje s est velicin: p1, v1, h1, p2, v2, h2. Hustota kapaliny ρ se povazuje za znamou. Aby se pomocı Bernoulliho rovnice urcily parametry proudšnı, musı byt pocet neznamych a pocet rovnic stejny. Pri res enı nejjednodus s ıho prıpadu lze tedy z Bernoulliho rovnice vypocıst jednu neznamou. Ostatnı veliciny musı byt zname. To je dulezite pro prakticke pouzitı Bernoulliho rovnice, nebo– v proudove trubici se musı nalezt jeden prurez, v nšmz jsou vs echny veliciny (p1, v1, h1) zname. Druhy prurez je nutno volit v teze proudove trubici tam, kde je hledana velicina (napr. rychlost v2) a ostatnı veliciny (p2, h2) jsou zname. Pri teto volbš prurezu proudove trubice lze vypocıst neznamou velicinu. Bude-li vıce neznamych velicin, je nutno pouzıt rovnici kontinuity, poprıpadš dals ı Bernoulliho rovnici pro jiny ňsek proudove trubice.


43

Polohova (potencialnı) energie proudu kapaliny se urcuje k libovolnš zvolene vodorovne rovinš. Zpravidla se volı ekvipotencialnı plocha nuloveho potencialu (U = 0) tak, aby prochazela nıze polozenym prurezem. Jeho vys ka je pak nulova. Pro body nad rovinou U = 0 je polohova vys ka kladna (pro body pod rovinou U = 0 je zaporna). Pro prakticke pouzitı Bernoulliho rovnice pro dokonalou kapalinu je mozno shrnout postup do tšchto pravidel: 1. V proudove trubici se zvolı dva prurezy. V jednom prurezu je nutno znat vs echny veliciny (p1, v1,

h1). Druhy prurez se volı v proudove trubici v mıstš, kde je hledana velicina, pricemz ostatnı dvš veliciny jsou zname. 2. Rozhodne se o zpusobu dosazovanı tlaku, a to jejich absolutnı nebo relativnı hodnoty, avs ak do jedne a teze rovnice se dosazujı oba tlaky shodnš. 3. Zvolı se libovolna vodorovna rovina, ktera se povazuje za ekvipotencialnı plochu nuloveho potencialu. Zpravidla se volı tak, aby prochazela jednım z vybranych prurezu, a to nejcastšji nıze polozenym. Polohove vys ky se urcı ke zvolene vodorovne rovinš. Nynı se napıs e Bernoulliho rovnice a vypocte neznama velicina. Pro plyny, ktere majı v porovnanı s kapalinami malou hustotu, prevlada tlakova a kineticka energie, polohova energie se da vuci nim zanedbat. U plynu je nutno urcit tlakovou energii s prihlednutım ke stlacitelnosti tekutiny. Pro rychle dšje je nejblizs ı adiabaticka zmšna, pri nız nedochazı k vymšnš tepla tekutiny s okolım. Stavova rovnice adiabaticke zmšny ( 7.26)

p κ = konst = C; p = Cρ κ ρ se diferencuje

dp = κ .Cρ κ −1 dρ a dosadı do tlakove funkce ρ

2

2 dp κ κ p P=∫ = κC ∫ ρ κ −1 dρ = Cρ κ −1 = ρ κ −1 κ −1 ρ 1 1 1 ρ1

2

2

Bernoulliho rovnice pro adiabaticke proudšnı dokonaleho plynu pak je

v12 κ p1 v 22 κ p2 + = + = konst. 2 κ − 1 ρ1 2 κ −1 ρ2 Pomocı stavove rovnice

( 7.27)

p = rT se Bernoulliho rovnice na tvar ρ

v12 v2 κ κ + rT1 = 2 + rT2 = konst. 2 κ −1 2 κ −1 Zavede-li se dale rychlost zvuku

a 2 = κrT potom Bernoulliho rovnice nabyva dals ı tvar

( 7.28)


44

( 7.29)

v12 v2 a2 a2 + = 2 + 2 = konst. 2 κ −1 2 κ −1 7.4. Mů renı mıstnı rychlosti

Uvazujeme proudšnı kapaliny ve vodorovnem potrubı podle

Trubice piezometricka Pitotova

obr.7.6. Je-li v potrubı staticky tlak

v piezometricke trubici pripojene k otvoru, navrtanemu kolmo ke stšnš

∆h ps

ρg

p s , pak kapalina vystoupı

pc ρg

ps

ps . Hladina v Pitotovš trubici (trubice ρg

zahnuta proti smšru proudšnı potrubı) bude vys e a jejı poloha bude

v 1= 0

1

a bez otrepu, do vys ky

p s , tak i na rychlosti proudıcı

zavisla jak na pretlaku v potrubı

v

pc

kapaliny Obr. 7.6 Princip mšrenı mıstnı tlak rychlosti Pitotovou trubici

v . V ňstı Pitotovy trubice je mıstnı rychlost v1 = 0 , a tedy

p1 bude roven tlaku celkovemu p c . Rozdıl tšchto tlaku

p c − p s = p d .Je roven tlaku dynamickemu pd, popr. u kapalin

p d = q tlaku kinetickemu q =

1 2 ρv , 2

Z Bernoulliho rovnice psanı pro mısta 0 a 1

p s v 2 p1 v12 p p + = + = 1 = c; ρ ρ ρ ρ 2 2

(v1 = 0)

Pro rychlost kapaliny v mıstš 0 odvodıme rovnici

v= 2

pc − p s p = 2 d = 2 g∆h ρ ρ

( 7.30)

pc

d 0.3d

v ps 3d

(8-10)d

ρ

0.1d p

ps

d

pc

h0

p c

p s

0

x

1

p1L

p1P

∆h 1

ρm ρ Obr. 7.7 Prandtlova trubice

Obr. 7.8 Mšrenı tlakove diference

Pitotova trubice mšrı celkovy tlak a je nutno staticky tlak mšrit piezometrickou trubicı. Prandtl navrhl trubici, jez mšrı celkovy i staticky tlak (obr.7.7). Prandtlova trubice je tvorena valcovym tšlesem


45

s pulkulovym ukoncenım. V ose trubice je otvor pro odbšr celkoveho tlaku trubicı. Staticky tlak trubicı. Aby tlak

p c , ktery je vyveden vnitrnı

p s se snıma v drazce nebo otvoru na plas ti vnšjs ı trubice a je vyveden druhou

p s byl roven tlaku nerozrus eneho proudu, je odbšr statickeho tlaku umıstšn ve

vzdalenosti rovnajıcı se trem prumšrum trubice od jejıho ňstı. Pro Prandtlovu trubici pro rychlost platı stejna rovnice jako pro Pitotovu trubici. Ú (7.31). Pri mšrenı rychlosti v potrubı s všts ım pretlakem se pouzije diferencnı tlakomšr, napr. Utrubice, ktera je naplnšna mšricı kapalinou o hustotš

ρ m 〉 ρ . Dynamicky tlak p d = p c − p s se urcı

z mšrenı na U-trubici, tj. tlakovou vys kou ∆h (obr. 7.8). Pro rovinu 1-1 platı, ze tlaky v levem i pravem ramenu U-trubice jsou stejne

p1L = p1P , takze platı

p s + ρgho + ρ m g∆h = p c + ρg (ho + ∆h ) z cehoz pro rozdıl tlaku platı

pc − p s = g∆h( ρ m − ρ ) Rychlost tekutiny je pak urcena vztahem

v= 2

Jestlize

pc − p s ρ −ρ = 2 g∆h m ρ ρ

( 7.30)

ρm 〉〉1, (napr. pri proudšnı plynu) pak se rychlost tekutiny vypocte ze zjednodus eneho vztahu ρ

v = 2 g∆h

ρm ρ

( 7.31) o

Odklon Pitotovy trubice od smšru proudšnı do + 6 nema na vysledek mšrenı v podstatš vliv. o

Prandtlova trubice umoznuje odklon od spravneho smšru do + 15 . Pri spravnem natocenı osy trubice do smšru vektoru mšrene rychlosti je z rovnice vypoctena rychlost s presnostı všts ı nez 1%.

d

4 3 2

1 v

3

2

1 5

Obr.7.9 Schema valcove sondy Obr. 7.10 Schema kulove sondy


46

Pri mšrenı rychlosti u dvourozmšrneho proudšnı se pouzıva valcova sonda Ú obr. 7.9, ktera ma tri otvory umıstšne symetricky v jedne rovinš. Rovina otvoru musı byt totozna s rovinou proudšne. Otacenım sondy se nalezne poloha, pri nız je v otvorech 2 a 3 stejny tlak

( p2

= p 3 ) . Na stupnici ňhlu

se odecte otocenı sondy z vychozı polohy a urcı smšr rychlosti vzhledem ke zvolene souradne soustavš. Z tlaku

p1 , ktery je roven celkovemu tlaku p c , se urcı rychlost tekutiny. Sonda musı byt o

cejchovana, nebo– otvory 2 a 3 nemšrı presnš staticky tlak. Jsou zpravidla odklonšny o 45 od osy hlavnıho otvoru1. Kulova sonda obr. 7.10 slouzı k mšrenı rychlosti proudu. Ma pšt otvoru symetricky umıstšnych v kulovitem tšlese. Vzdy dva pary otvoru jsou umıstšny soumšrnš vzhledem ke strednımu otvoru, a to ve dvou kolmych rovinach. Natacenım sondy kolem jejı osy (1-4-5) se nalezne poloha, pri nız je ve dvou symetricky umıstšnych otvorech 2 a 3 stejny tlak. Z hodnoty tlaku ve strednım otvoru a rozdılu tlaku v otvorech 4 a 5 se z cejchovnı krivky odecte velikost rychlosti a jejı ňhel s rovinou 2-1-3. Pro mšrenı mıstnı rychlosti slouzı rada dals ıch sond. Pro mšrenı okamzitych hodnot rychlosti je treba pouzıt metod s malou setrvacnosti, nejrozs ırenšjs ı je metoda zhaveho dratku, nebo opticky anemometr take nazyvany Laser Doplerovsky anemometr (LDA). Pri jednorozmšrnem proudšnı napr. v uzavrenych kanalech nebo potrubıch, pri obtekanı tšles skutecna tekutina na stšnš lpı a nasledkem viskozity je rychlost na stšnš nulova. V ostatnım prurezu je rychlost nerovnomšrnš rozlozena po prutocnem prurezu. Pitotovou, popr. Prandtlovou trubicı se urcuje rychlost v mıstš, v nšmz je celo trubice. Posouvanım trubice se zmšrı rychlosti, ktere jsou zavisle na souradnici. Graficke znazornšnı prubšhu rychlostı po prutocnem prurezu se nazyva rychlostnı profil.

1

1 2 3 4

vs

4

vs

2

3

vs

ρ

p1

d2

d1

v1 1

v2

v1

p2

2 3 4

1 1

1

2

a b c d

vs vs

v1a v1b v1c v1d vs

ρ

∆h ρ ρ m

Obr. 7.11 Urcenı strednı rychlosti z rychlostnıho

Obr. 7.12 Princip Venturiho trubice

profilu Ma-li se z namšreneho rychlostnıho profilu vypocıtat strednı rychlost, zvolı se v prutocnem prurezu vhodny pocet bodu Ú obr. 7.11, ve kterych se zmšrı rychlost. Strednı rychlost se pak stanovı integracı pres cely prutocny prurez

vs =

1 vdS S ∫S

( 7.32)


47

Volba poctu bodu nebo rovin je zavisla na konkretnıch podmınkach a nenı mozno proto dat univerzalnı navod. Je-li rychlostnı profil nesymetricky, prıpadnš vznika zpštne proudšnı, volı se pocet bodu obvykle všts ı.

7.5. Mů renı strednı rychlosti a pru toku (pru rezova mů ridla) Velmi casto se mšrenı prutoku nebo strednı rychlosti prevadı na mšrenı tlakoveho rozdılu mezi dvšma prurezy, z nichz jeden je zňzen. Klasickym predstavitelem tšchto mšridel je Venturiho trubice -obr. 7.12 skladajıcı se ze vstupnıho konfuzoru, kratke valcove casti se zňzenym prurezem a z dels ıho difuzoru. Zňzenı prutocneho prurezu zpusobuje zvšts enı rychlosti a tım se vyvola pokles statickeho tlaku. Tlakovy rozdıl je zavisly na prutokove rychlosti (nebo prutoku) a da se jednodus e mšrit. Napis me Bernoulliho rovnici mezi prurezy 1 a 2 Venturiho trubice s vodorovnou osou pri prutoku dokonale kapaliny.

p1 v12 p 2 v 22 + = + ρ 2 ρ 2 Dale napıs eme rovnici spojitosti

v1 S1 = v 2 S 2 ; v1 d12 = v 2 d 22 Pro diferencialnı manometr platı, ze rozdıl dvou tlaku ∆p=p1-p2 je urcen vztahem

∆p = p1 − p 2 = g∆h( ρ m − ρ ) Res enım tšchto trı rovnic pro strednı rychlost

v1 =

v1 dostaneme vyraz

ρm − ρ = K v ∆h  ρ − 1 

( 7.33 )

2 g∆h  d  4  1   d 2 

Pro prutok platı rovnice

p1

v2

p2

Obr. 7.13 Schema clony

v1

p1

v2

d2

 d  4  1   d 2 

d1

v1

ρm − ρ = K Q ∆h  ρ − 1 

2 g∆h

d1 d2

πd12 πd12 Q = v1 S1 = v1 = 4 4

p2

Obr. 7.14 Schema dyzy

( 7.34 )


48

Pri prutoku skutecne tekutiny bude nasledkem hydraulickych odporu skutecna rychlost mens ı. Tento vliv se zahrne v soucinitelıch

K v , K Q . Prakticke provedenı Venturiho trubice se provadı podle

C SN ISO 5167-1, kde jsou uvedeny hodnoty soucinitelu

K v , K Q v zavislosti na zňzenı m = S1 / S 2 a

velikosti Reynoldsova cısla Re. Vedle Venturiho trubice se castšji pro mšrenı strednı rychlosti nebo prutoku pouzıva clona Ú obr.7.13 nebo dyza Ú obr- 7.14, jejichz podrobny vypocet uvadı C SN ISO 5167-1

7.6. Stacionarnı proudů nı idealnı tekutiny potrubım Pri vytoku kapaliny z uzavrene nadrze potrubım

p1

konstantnıho

rychlost. Tato se urcı z Bernoulliho rovnice. Kineticka

p1 v1

h1

prurezu je treba vypocıtat vytokovou

1

energie na hladinš v tlakove nadobš je nulova, coz muze

0

byti splnšno za dvou predpokladu. Buť do nadoby priteka

2 v2

U=0

stejne mnozstvı jako odteka, nebo je nadoba tak rozlehla, ze

Obr.7.15 Vytok tekutiny u uzavrene nadrze

vytekle

mnozstvı

kapaliny

zanedbatelny pokles hladiny.

zpusobı

Potencialnı

prakticky

energie

se

vztahuje vuci vodorovne rovinš, prochazejıcı tšzis tšm

vytokoveho otvoru. To ma vyhodu, ze pro tento prurez je potencialnı vys ka nulova. (jinak je mozno volit libovolnou vodorovnou rovinu za hladinu nuloveho potencialu). Na hladinš v nadrzi je tlak p1 rychlost v1=0. Ve vytokovem prurezu je rychlost

v 2 , tlak ovzdus ı

p 2 a polohova vys ka h2 = 0 . Pro prurez 1 a 2 napıs eme Bernoulliho rovnici p1 p 2 v 22 + gh1 = + ρ ρ 2 Z poslednı rovnice je mozno vypocıst vytokovou rychlost

 p − p2   v = v 2 = 2 g  h + 1 ρg  

( 7.35)

Za tlak p1 a p2 se dosadı pretlak nebo absolutnı tlak. Kdyz tlakovy rozdıl

p1 − p 2 bude roven nule, je vytokova rychlost dana vyrazem

v = 2 gh

( 7.36)

coz je Torricelliho vzorec, ktery je zvlas tnım prıpadem Bernoulliho rovnice a byl odvozen drıve nez obecnšjs ı rovnice Bernoulliho. Z rovnice kontinuity se ucı objemovy nebo hmotnostnı prutok kapaliny potrubım

Qv = vS ;

Qm = ρvS = ρQv

( 7.37)

Poznamka: v uvedenem prıpadš je uvazovana dokonala kapalina (bez vnitrnıho trenı Ú vazkost). U skutecne kapaliny se v dusledku vazkosti spotrebuje cast energie kapaliny na trecı praci. Skutecna vytokova rychlost bude proto mens ı. Blıze je o tom pojednano v dals ı stati o vytoku skutecnych kapalin z nadob.


49

8. Proudů nı vazke tekutiny 8.1. Navierova-Stokesova rovnice Rovnovaha sil pri proudšnı skutecne tekutiny je vyjadrena Navierovymi-Stokesovymi rovnicemi. Kromš sil vnšjs ıch, tlakovych a setrvacnych spojenych s vlastnım pohybem castic tekutiny, pristupujı u skutecne tekutiny trecı sıly, ktere jsou zpusobeny viskozitou tekutiny. Pro matematicke vyjadrenı trecıch sil se pouzije Newtonuv vztah

τ =η

dv . dy

Rovnovaha sil pri proudšnı skutecne tekutiny lze zapsat ve tvaru

Fs = F0 + F p + Ft Pri vzajemnem pohybu castic vznikajı ve skutecne tekutinš tecna napštı, ktera zpusobujı ňhlovou deformaci castic. Na elementarnı objem skutecne tekutiny v podobnš hranolku o stranach dx, dy, dz pusobı na jeho plochach smykova i normalova napštı Ú obr. 8.1

y

τyz+ τyz d y

σy+ σy d y y τyx d y τ +

yx

z

dy τxy+

τxz

τzy τzy+

σx

τzy d z

τ xy d x x

σx + σx d x x

z

τzx+ τzx d z z

τ σz+ σz d z yx z

z

σ

τzx

y

τxy

y

σy

τyz

τxz+ τxxz d x

x

dz

dx Obr. 8.1 Napštı na elementarnım objemu tekutiny

Stanovı-li se rovnovaha vs ech sil pusobıcıch na elementarnı objem, dostane se NavierovaStokesova rovnice, ktera ve vektorovem zapise pro nestlacitelnou tekutinu v pravoňhlem souradnem systemu ma tvar

∂v 1 + v.gradv = a 0 − gradp + υ∆v ∂t ρ

( 8.1)

Tato rovnice se od Eulerovy rovnice hydrodynamiky lis ı poslednım clenem na prave stranš. Tento clen predstavuje sılu potrebnou k prekonanı viskoznıho trenı tekutiny. Pri res enı proudoveho pole se zpravidla urcuje rozlozenı rychlostı a tlaku. Vedle pohybove rovnice (8.1) se uplatnı i rovnice spojitosti.


50

V systemu diferencialnıch Navierovych-Stokesovych rovnic a rovnice spojitosti jsou ctyri nezname veliciny, tj. slozky rychlosti vx,vy,,vz a tlak p. Pro res enı tšchto rovnic musı byt zname vnšjs ı zrychlenı ao, hustota tekutiny ρ a okrajove podmınky. Navierovy-Stokesovy rovnice patrı mezi parcialnı diferencialnı rovnice nelinearnı a nejsou obecnš res itelne. Analyticke res enı je dostupne pro jednodus s ı prıpady laminarnıho proudšnı. V soucasne dobš i slozite prıpady laminarnıho proudšnı jsou res itelne numerickymi metodami napr. metodou konecnych objemu (metoda sıtı).

8.2. Bernoulliho rovnice pro skutecnou kapalinu energeticky horizont h z12 v12 2g

h z13 v22 2g

p1 ρg 1 v1

cara energie

2

v3 2g

p2 ρg

p3

2

h1

H0

v2 h2

ρg

3 v3

h3

U

0

Obr. 8.2 Bernoulliho rovnice pro skutecnou tekutinu Rovnovaha sil pri proudšnı skutecnych kapalin je vyjadrena Navierovou-Stokesovou rovnicı

∂v 1 + v grad v = a 0 − grad p + υ∆v ∂t ρ

( 8.2)

Vynasobıme-li tuto rovnici skalarnš vektorem drahy

ds = idx + jdy + kdz a za predpokladu ze

a o = gradU , rovnice energie ma tvar ∂v 1 ds + v grad v.ds = a 0 .ds − grad p.ds + υ∆v.ds ∂t ρ Jejı integracı obdrzıme pro ustalene proudšnı, kdy

∂v = 0 Bernoulliho rovnici pro skutecnou tekutinu ∂t

2

v2 p + + U + ∫ν∆v.ds = konst. 2 ρ 1 Vyraz 2

∫ν .∆v.ds =e z

( 8.3)

1

predstavuje praci trecıch sil na jednotku hmotnosti proudıcı tekutiny, coz je rozptylena (disipovana mšrna energie, nebo tez mšrna ztratova energie spotrebovana na prekonanı hydraulickych odporu na


51

ňseku 1 Ú 2 proudove trubice. Tato mšrna ztratova energie

zmens uje mechanickou energii

(tlakovou+kinetickou+polohovou) kapaliny a mšnı se v teplo. Bernoulliho rovnice pro proudšnı skutecne kapaliny, na kterou pusobı pouze tıhove zrychlenı U=-g.h ma tedy tvar

p1 v12 p v2 + + gh1 = 2 + 2 + gh2 + e z ρ 2 ρ 2 v2 Mšrna ztratova energie e z se muze vyjadrit jako nasobek kineticke energie e z = ζ nebo tlakove 2 energii

ez =

pz , poprıpadš ztratovou vys kou e z = gh z . Srovnanım uvedenych vztahu se dostane ρ

p z = ρghz = ζ

v2 ρ 2

( 8.4)

Poslednı rovnice vyjadruje hydraulicky odpor tlakovym rozdılem pz, kteremu se tradicnš rıka tlakova ztrata. Podobnš velicina

hz , je oznacena jako ztratova vys ka i kdyz nejde o ztratu, ale

nezadanou premšnu mechanicke energie v tepelnou. Obš veliciny (ztratove) energie. Soucinitel

hz a p z jsou mırou rozptylene

ζ je ztratovy soucinitel a zavisı na druhu hydraulickeho odporu ci ztraty.

Bernoulliho rovnice pro skutecnou kapalinu psana pro prurezy 1,2 proudove trubice (obr. 9.1) pomocı mšrne ztratove energie

e z = gh z je ( 8.5)

p1 v12 p 2 v 22 + + gh1 = + + gh2 + ghz ρ 2 ρ 2 Kapalina proudı od prurezu 1 k prurezu 2. Ztratova vys ka

hz zahrnuje vs echny hydraulicke

ztraty na ňseku mezi prurezy 1-2. Podobnš jako pri proudšnı dokonale tekutiny (obr. 6.5) je mozne znazornit

graficky take

Bernoulliho rovnici pro skutecnou tekutinu. Odectenım ztratove energie pro jednotlive prurezy od konstanty Bernoulliho rovnice

Yo (= gH 0 ) se urcı mechanicka energie kapaliny, tj.soucet tlakove,

kineticke a polohove energie v uvazovanych prurezech, ktera je znazornšna v diagramu (obr.8.2) prıslus nou carou. Rozdıl mezi carou celkove energie a carou mechanicke energie predstavuje rozptylenou (ztratovou) energii. V tepelnš izolovane proudove trubici se ves kera rozptylena energie jako tepelna predava tekutinš, cımz vzrusta jejı vnitrnı energie a stoupa teplota tekutiny. C len se ztratovou vys kou v rovnici ( 8.5) narus uje symetrii rovnice. Pro spravne napsanı Bernoulliho rovnice pro skutecnou kapalinu je treba se rıdit rovnšz tremi pravidly (odst. 6.3), k nimz pribyva dals ı: 4. mšrna ztratova energie

e z = gh z zahrnuje soucet vs ech hydraulickych ztrat na ňseku mezi

prurezy 1-2, pro nšz se pıs e Bernoulliho rovnice, a pricte se na te stranš rovnice, ktera platı pro prurez proudove trubice ve smšru proudšnı vzdalenšjs ı.


52

9. Laminarnı proudů nı Laminarnı proudšnı je podstatnš jednodus s ı nez turbulentnı, v technicke praxi se vyskytuje tam, kde jsou male prutocne kanaly, všts ı viskozita kapaliny a mens ı prutokove rychlosti. Laminarnı proudšnı lze res it integracı Navierovych-Stokesovych rovnic, slozitšjs ı prıpady proudšnı se res ı numerickymi metodami. Jednodus s ı prıpady proudšnı se dajı res it exaktnš a jsou probrany v dals ıch kapitolach. Pri res enı laminarnıho proudšnı se uplatnuje Newtonuv vztah

τ =η

dv , ktery odpovıda dy

skutecnosti, a proto se dosahuje dobra shoda s experimentalnımi vysledky.

9.1. Laminarnı prudů nı v kruhovem potrubı Ve

vmax r

τ = f2 (r) p

R

r

kruhovem

potrubı

elementarnı

objem

zvolıme ve

tvaru

souoseho valecku, viz obr. 9.1.

(p+dp)

Na takto zvoleny objem kapaliny

d

x

v = f1 (r)

vodorovnem

pusobı sıly plos ne a to trecı a

0

tlakove.

v dx

τmax

neuplatnı,

vs

Obr.9.1 Laminarnı proudšnı v potrubı

vodorovne ustalene.

Objemove

sıly

se

protoze

potrubı

je

a Na

proudšnı celnı

je

plochu

zvoleneho valecku pusobı tlak p , ktery na draze dx se zmšnı na (p+dp). Tšmto tlakum odpovıda tlakova sıla

F p1 = p.π .r 2 a F p 2 = ( p + dp )π .r 2 . Na plas ti valecku pusobı trecı sıla

Ft = τ .2π .r.dx . Vs echny uvedene sıly musı byt za ustaleneho

proudšnı v rovnovaze, nebo–setrvacna sıla je nulova. Pro rovnovahu sil platı

F p1 − F p 2 − Ft = 0 Dosazenım vyrazu za jednotlive sıly dostaneme

p.π .r 2 − ( p + dp )πr 2 − 2πτ .rdx = 0 Z cehoz

τ =−

1 dp 1 pz r=− r 2 dx 2 L

Predpoklada se ,ze platı

( 9.1 )

dp p z = dx L

Z poslednı rovnice je zrejme, ze smykove napštı je u laminarnıho proudšnı rozlozeno linearnš viz obr. 9.1.


53

Dosazenım Newtonova vztahu pro smykove napštı

τ =η

dv do predchazejıcı rovnice odvodıme dr

diferencialnı rovnici rychlostnıho profilu

p z r.dr L 2η

dv =

a po integracı obdrzıme rovnici pro rychlost

v=−

1 pz 2 r +K 4η L

Integracnı konstanta se urcı z okrajovych podmınek na stšnš trubice, kde rychlost castic kapaliny je

r=

nulova. Pro

d 1 pz 2 je v=0, z cehoz integracnı konstanta K = d 2 16η L

Po dosazenı do obecneho res enı je rychlostnı profil laminarnıho proudšnı v kruhove trubici vyjadren vztahem 2  1 p z  d  2 v=   − r  4η L  2  

( 9.2 )

Maximalnı rychlost je v ose potrubı (r = 0), a to

v max =

( 9.3 )

1 pz 2 d 16η L

Graficke znazornšnı rovnice rychlostnıho profilu v rovinš rezu prochazejıcıho osou trubice je kvadraticka parabola. V prostotu predstavuje rychlostnı profil rotacnı paraboloid. Ú obr. 9.1 Prutok trubicı se urcı integracı elementarnıho prutoku kapaliny

dQv = 2πrvdr , ktery proteka

elementarnım mezikruzım na polomšru r o s ırce dr tlakovym rozdılem pz na delce trubice L d 2

d

2  π p 2 2  d  π pz d 4 2 Qv = ∫ v.dS = ∫ 2πr.v.dr = r r . dr − =     2η L ∫0  2  128 ηL S 0 

( 9.4 )

Tuto rovnici odvodil v roce 1840-1841 Poiseuille, francouzsky lekar, ktery studoval proudšnı krve v zılach. Uvedeny vyraz platı presnš pro laminarnı proudšnı. Experimentalnš ovšril tento zakon proudšnım vody ve sklenšny ch kaplilarach. Nezavisle na nšm odvodil uvedeny vyraz tez Nšmec Hagen v roce 1839. Proto se oznacuje tato rovnice dosti casto jako Hagen-Poiseuilleova. Strednı rychlost podle prutoku se vypocıta ze vztahu

d2 π pz d 4 , QV = π . .v s = 4 128 ηL z cehoz

vs =

pz d 2 32ηL

Porovnanım strednı rychlosti (9.5) a maximalnı (9.3) vyplyva vztah

vs 1 = v max 2

( 9.5 )


54

Je

v

v

d

v

v

treba

pripomenout,

ze

laminarnı proudšnı v potrubı nastane pri

Re〈 Re k = 2320 ,

coz

je

soucasnš

podmınkou platnosti Hagen-Poiseuillova

xr

zakona. Zakon Poiseuilleuv platı jen pro

Obr.9.2 Rozbšhova draha laminarnıho profilu ustalenı

laminarnı

proudšnı,

kdy

rychlostnı profil v jednotlivych prurezech je stejny, coz nastava po urcite draze od pocatku trubiceobr.9.2.Tekutina po vstupu do trubice ma rychlostnı profil odpovıdajıcı dokonale tekutinš. V prvem okamziku majı castecky kapaliny u stšny rychlost stejnou jako v ostatnım proudu kapaliny. Teprve stykem kapaliny se stšnou jsou castecky zbrzdšny, cımz vznikajı rozdıly v rychlostech castic a vznikajı tecna napštı od vazkosti mezi jednotlivymi vrstvami proudu. Tak jsou postupnš zbrzťovany dals ı castice, v jadru proudu jsou castice naopak urychlovany. Draha na nız se vyvıjı rychlostnı profil, se nazyva rozbšhovou drahou laminarnıho proudu. Pro rozbšhovou drahu uvadı Boussinesq vyraz

xr x ≥ 0,065 Re , Schiller r ≥ 0,025 Re. d d Je zrejme, ze k ustalenı rychlostnıho profilu dojde dosti daleko od vstupnıho prurezu, takze v kratkych trubkach se laminarnı rychlostnı profil nevyvine, a proto u nich zakon Hagen-Poiseuilleuv neplatı.

9.2. Laminarnı proudů nı mezi rovnobů znymi deskami vmax

τ = f2 (y) dy p

h

y 0

τ

spadem

∆p = p1 − p 2

vyvolano

laminarnı

proudšnı ve vodorovnem smšru (obr. 9.3). (p+dp) τ+d τ dx

x

R

y

v = f1 (y)

Mezi rovnobšznymi stšnami je tlakovym

v

Predpoklada se izotermicke proudšnı (t= konst), a tedy i izoviskoznı

vzdalenost desek je h. Rovnovaha sil je

v L

(η = konst.). Vertikalnı

τmax

vs

vyjadrena

obdobnš

jako

v predchazejıcım

prıpadš tlakovymi a trecımi silami. Na hranolek Obr.9.3 Laminarnı proudšnı mezi deskami

o jednotkove s ırce b=1 a rozmšrech dx, dy pusobı elementarnı tlakova sıla.

dF p = pb.dy − ( p + dp )bdy a elementarnı trecı sıly

dFt = τ .bdx − (τ + dτ )bdx Rovnovaha sil je vyjadrena rovnicı

− b dp dy + b dτ dx = 0 a po ňpravš je

dF p + dFt = 0 , takze po dosazenı za sıly se dostane


55

dτ dp = =i dy dx Z Newtonova vztahu

τ =η

dv se urcı derivovanım (η = konst.) dy

dτ d 2v =η 2 = i dy dy Porovnanım poslednıch dvou vyrazu obdrzıme diferencialnı rovnici pro rychlostnı profil

η

( 9.6 )

d 2 v dp = dy 2 dx

Tlakovy ňbytek bude prımo ňmšrny delce L, proto platı

p − p2 p dp p 2 − p1 = =− 1 = z =i dx L L L Po dvojı integraci rovnice( 9.6) se dostane

v=−

( 9.7 )

pz 2 y + K1 y + K 2 2ηL

Integracnı konstanty se urcı z okrajovych podmınek. Na stšnach desek castice kapaliny lpı, a proto majı nulovou rychlost. Pro y=0 a y=h je v=0, z toho K2 = 0 Po dosazenı za K2 =0 do rovnice (9.7) dostaneme

pz h z − + K1h = 0 2ηL odkud pro K1 platı

K1 =

pz h 2ηL

Po dosazenı do obecneho res enı se pro rychlost dostane

v=

( 9.8 )

pz (h − y ) y 2ηL

Rychlostnı profil je kvadraticka parabola. Maximalnı rychlost se urcı z podmınky pro maximum, tj.

dv h = 0. Maximalnı rychlost je uprostred vzdalenosti desek h, cili y = 2 dy v max =

( 9.9 )

h2 pz 8η L

Prutok se urcı integracı elementarnıho prutoku plos kou b.dy h

Qv = b ∫ v dy = 0

b pz 2η L

b ∫ (hy − y )dy = 12η h

2

0

Strednı rychlost podle prutoku je

pz 3 h L

dQv = v b dy

, ktery proteka elementarnı


56

vs =

( 9.10)

Qv Qv h2 pz = = S bh 12η L

Pomšr strednı a maximalnı rychlostı je

vs 2 = v max 3 Proudšnı v mezere muze byt ovlivnšno kromš tlakoveho spadu tez pohybem jedne ze stšn rychlostı ±u (obr. 9.4). Pro tento prıpad se odvodı rychlostnı profil z rovnice (9.7) pro okrajove podmınky

y = 0, v = 0, y = h, v = ±u . Pak integracnı konstanty jsou

p u u K 1 = ± , K 2 = ± + 2 h 2 a po dosazenı do rovnice (9.7) je rychlostnı profil urcen vztahem h 2 8ηL 2 pz 2 1  y    y 1  v= h  −    ± u +  2ηL  4  h    h 2 

( 9.11 )

Rychlostnı profily jsou znazornšny pro oba smysly unas ive rychlosti u na obr. 9.4.

y

(+) u

(-) u

Jestlize

y

je

proudšnı

unas enım, pak

v

v

vyvolano

jen

pz = 0 a rychlostnı L

profil je linearnı

x

x

Obr.9.4 Rychlostnı profily slozeneho proudšnı

 y 1 v = ±u  +   h 2

( 9.12 )

Rychlostnı profil slozeneho proudšnı (vyvolaneho tlakovym spadem a unas enım stšny) urceny rovnicı (9.11) je sectenım rychlostnıch profilu pro dılcı proudšnı.- rov (9.8) a (9.12) Prutok pri slozenem proudšnı, jehoz rychlostnı profil je urcen rovnicı (9.9), se urcı integracı

 p  p 1  1  Qv = b ∫ v dy =  z h 3 ± uh b =  z h 2 ± u bh 2  2   12ηL  12ηL −h / 2 h/2

( 9.13 )

Strednı rychlost slozeneho proudšnı v mezere je

vs =

Qv p 1 = z h2 ± u bh 12ηL 2

( 9.14 )

9.3. Laminarnı proudů nı ve valcove mezere-mezikruzı V hydraulickych strojıch a zarızenıch se casto setkavame s prıpady, kdy kapalina proudı valcovou mezerou (prutocny prurez je mezikruzı)-obr.9.5. Tak je tomu u cerpadel, turbin, s oupatek, ventilu, kluznych lozisek apod. Proudšnı ve valcove rovinš lze res it pro male hodnoty

s / d 1 jako

rozvinutou valcovou mezeru do roviny, cımz se prıpad privede na proudšnı mezi dvšma rovnobšznymi.- viz kap. 9.2. Valcove mezery slouzı k tšsnšnı nejruznšjs ıch castı hydraulickych stroju


57

a zarızenı, z nichz jedna kona vuci druhe relativnı pohyb. Nejjednodus s ı prıpad nastane, kdyz obš casti jsou v relativnım klidu. Vzajemna poloha obou castı muze byt buť souosa nebo vystrednı. Prutok valcovou mezerou lze urcit jako prutok mezi dvšma deskami. S ırka mezery v tomto prıpadš se rovna obvodu kruznice, tedy b = πd a vzdalenost desek h odpovıda tlous –ka valcove mezery, cili h = s . Po dosazenı se dostane prutok:

L

1

Qv =

p

2

h

p

d

v

π pz d .h 3 12η L

( 9.15 )

d d1

a strednı rychlost

d1

( 9.16 )

Qv h 2 p z vs = = , S 12ηL

kde prutocna plocha valcove mezery je S = πds . Protekle mnozstvı valcovou mezerou

Obr.9.5 Valcova mezera

zavisı na tretı mocninš jejı tlous –ky, proto je snahou konstrukteru docılit co nejmens ı vule, aby objemove ztraty byly minimalnı. Podobny vliv ma vystrednost. Na prutok ma tez vliv vystrednost mezery, ktera nastane, jestlize osy obou valcovych ploch o prumšrech

emax =

d a d 1 nebudou totozne. Maximalnı vystrednost je

d1 − d . Prutok mezerou s maximalnı vystrednostı je 2,5x všts ı nez u souose valcove mezery. 2

9.4. Stekanı po svisle stů nů Viskoznı kapalina, ktera ulpıva na svisle stšnš, steka po nı vlivem tıhoveho zrychlenı (obr. 9.6). Predpoklada se izotermicke proudšnı (t = konst), ktere je take izoviskoznı (η = konst). Na elementarnı casticı kapaliny o s ırce b a rozmšrech dx, dy pusobı tıhove a trecı sıly ve smšru osy y. Predpoklada se ustalene rovnomšrne proudšnı. Vyslednice sil ve smšrech os rozhranı stekajıcı vrstvy kapaliny o tlous –ce h s ovzdus ım je tlak ovzdus ı

x , z jsou nulove. Na

p o . Tlak ve stekajıcı vrstvš

je konstantnı. Rovnovaha sil na zvoleny elementarnı hranolek je vyjadrena rovnicı

− ρgb dx dy + τb dy − (τ + dτ )b dy = 0 a po ňpravš se dostane diferencialnı rovnice

dτ = − ρg dx jejız res enı je

τ = − ρgx + K o


58

x

0

Tecne napštı na rozhranı kapaliny s ovzdus ım je temšr nulove, tedy pro

x = h je τ = 0 , cili K o = ρgh . Prubšh smykoveho napštı ve stekajıcı

y dy

vrstvš je dan rovnicı

τ = ρg (h − x )

dx

τ τ+d τ

Tecne napštı se vyjadrı Newtonovym vztahem

y

v = f(y) h

( 9.17 )

τ =η

dv a integracı se urcı dx

rychlostnı profil

v=

Obr. 9.6 Stekanı po svisle stšnš

g x  h −  x + K1 v 2

Na stšnš je rychlost nulova, pak pro x = 0 je v = 0 a integracnı konstanta

K1 = 0 . Rychlostnı profil stekajıcı vrstvy kapaliny po stšnš je urcen rovnicı

v=

g x  h − x 2 v

( 9.18 )

Prubšh rychlosti ve vrstvš je parabolicky (9.6). Maximalnı rychlost je na rozhranı vrstvy s ovzdus ım a vypocte se z podmınky pro x = h je

v max =

v = v max , cili ( 9.19 )

gh 2 2ν

Prutok vrstvou kapaliny o s ırce b se urcı integracı elementarnıho prutoku plos kou dS = bdx rychlostı

v dle rovnice (9.16) gb  Qv = b ∫ vdx = h − v ∫0  0 h

h

x gbh 3  xdx = 2 3v

( 9.20 )

Pro dany prutok Qv se urcı tlous –ka vrstvy

h=3

3Qv v gb

( 9.21 )

Strednı rychlost ve vrstvš je

vs =

Qv gh 2 = bh 3v

( 9.22 )

Porovnanım strednı rychlosti s maximalnı rychlostı vyplyva vztah

vs =

2 v max 3

( 9.23 )


59

10. Turbulentnı proudů nı 10.1. Vznik turbulence Jiz v polovinš minuleho stoletı Reynolds zjistil a formuloval, ze se tekutina muze pohybovat dvšma kvalitativnš zcela odlis nymi typy proudšnı, ktere pak byly nazvany laminarnı a turbulentnı. Rozhranı mezi obšma druhy proudšnı nam udava Reynoldsovo kriticke cıslo. Jeho hodnota je zavisla na radš parametru napr. na geometrii proudu, tlakovem spadu, atd. Pro potrubı kruhoveho prurezu je spodnı mez asi 2 000. Pro ustalene laminarnı proudšnı je charakteristicke, ze se castice tekutiny pohybujı po paralelnıch drahach, jednotlive vrstvy se navzajem nemısı (neuvazujeme molekularnı difuzi). Laminarnı proud vytekajıcı z vodovodu ma hladky povrch jako sklenšna tyc. Pro turbulentnı proudšnı jsou typicke pulsace vs ech velicin napr. rychlostı. Trajektorie castic tekutiny jsou nepravidelne, dochazı k intenzivnımu promıchavanı celeho objemu proudıcı tekutiny. Povrch turbulentnıho proudu vody vytekajıcıho z vodovodu je proto nepravidelny, "drsny" a proud je nepruhledny. Okamzite hodnoty vs ech velicin neustale kolısajı kolem strednı hodnoty. Pro technicke vypocty v praxi jsou všts inou dulezite strednı hodnoty zjis tšne za dostatecnš dlouhy casovy interval jako napr. rychlostnı profil - tj. zavislost strednı rychlosti na vzdalenosti od stšny potrubı - pro vypocet prutoku. Odchylky okamzitych hodnot od strednıch muzeme rozdšlit na periodicke a nahodile, ktere nazyvame fluktuace. Napr. fluktuace rychlosti pri vyvinutem turbulentnım proudšnı v potrubı dosahuje asi 10 % strednı rychlosti. Prechod laminarniho proudšnı do turbulentnıho je jes tš stale studovany, neuzavreny problem. Za prıcinu vzniku turbulentnıho proudšnı se povazuje nestabilita laminarnıho proudšnı pri vys s ıch Reynoldsovych cıslech. Je-li Reynoldsovo cıslo proudu Re všts ı nez Re, kriticke neznamena to vs ak jes tš, ze by laminarnı proudšnı nemohlo existovat, ale je nestabilnı a i male poruchy proudšnı, vznikajıcı napr. ve vstupnım prurezu temšr neustale, mohou byt prıcinou zhroucenı laminarnıho proudu (analogicky jev je s tıhla tyc namahana na vzpšr), nebo– tyto odchylky od strednı hodnoty exponencialnš narustajı. Je-li Reynoldsovo cıslo mens ı nez Re kriticke, jsou tyto poruchy viskozitou tekutiny utlumeny. Pri postupnem zvys ovanı Reynoldsova cısla, napr. zvys ovanım rychlosti proudšnı v potrubı, nedochazı zpravidla ke zmšnš proudšnı nahle Ú skokem, nybrz v urcitem, i kdyz relativnš malem intervalu Reynoldsovych cısel - v potrubı kruhoveho prurezu asi od 2 000 do 4 000. Pri urcitych hodnotach Reynoldsova cısla se v potrubı objevujı zprvu kratke ňseky turbulentnıho proudu vystrıdane dels ımi ňseky laminarnıho proudšnı (turbulentnı zatky).Tento typ proudšnı se nazyva intermitentnı proudšnı. S rostoucım Re jsou ňseky turbulentnıho proudu stale dels ı a laminarnıho krats ı az postupnš laminarnı ňseky zcela zmizı. Pri prutoku potrubım se celo turbulentnı zatky pohybuje rychleji nez jejı tyl a zatka se s rostoucı vzdalenostı od vstupnıho prurezu stale vıce prodluzuje, az se v dostatecne vzdalenosti od vstupu do potrubı objevuje jen turbulentnı proudšnı, i kdyz se Reynoldsovo cıslo proudšnı nemšnı. Pri turbulentnım proudšnı je pak propustnost potrubı mens ı nez by mohla teoreticky byt pri laminarnım rezimu. Avs ak turbulentnı proudšnı je stabilnšjs ı.


60

S laminarnım a turbulentnım proudšnım se setkame nejen pri prutoku tekutin potrubım, tj. pri vnitrnıch ňlohach mechaniky tekutin, nybrz i pri obtekanı tšles, tj. pri vnšjs ıch ňlohach mechaniky tekutin.

10.2. Charakteristiky turbulentnıho proudů nı Slovo turbulence znamena zmatek, nepokoj, neukaznšnost, nepravidelnost, nahodilost, divokost, bourlivost. Zatım nenı jednotna definice turbulentnıho proudšnı, v jednotlivych definicıch se zduraznujı zpravidla jen nšktere znaky. Turbulentnı proudšnı je trojrozmšrny, casovš promšnny pohyb tekutiny, pn nšmz kazda velicina napr. rychlost, tlak, hustota, teplota ap. (pokud nenı z nškterych duvodu konstantnı) se mšnı vıce menš nahodile. Nahodne (chaoticke, stochasticke) rysy turbulentnıho proudšnı jsou dominantnı. Nelze vs ak asi definovat turbulentnı proudšnı za "zcela nahodile", jednak i turbulentnı proudšnı je popisovano zakladnımi rovnicemi pro prostorove proudšnı, viz kap. 19, jednak turbulentnı proudšnı obsahuje usporadane skupiny vıru zvane "koherentnı struktury". K tšmto poznatkum se dospšlo bšhem poslednıch nškolika desıtek let, dıky stale se zdokonalujıcım experimentalnım metodam. Vyvstava nynı otazka, zda je nahodilost fluktuacı postacujıcı k tomu, aby turbulentnı proudšnı bylo popisovano statistickymi metodami, nebo zda Ize najıt, jine vhodnšjs ı metody. V praxi se mohou vyskytnout proudšnı, u kterych budeme na rozpacıch, zda je zaradit do kategorie turbulentnıho nebo neturbulentnıho proudšnı. Periodicka proudšnı (napr. vlny na vodnı hladinš) se nepovazujı za turbulentnı proudšnı. Pro turbulentnı proudšnı jsou, strucnš shrnuto, charakteristicke: 1) Fluktuace rychlosti, tlaku a prıpadnš dals ıch velicin. 2) Vıry o ruznych velikostech, od nejvšts ıch s rozmšry srovnatelnymi s velikostı proudu tekutiny jako napr. polomšrem potrubı, jez se deformujı, promıchavajı a rozpadajı az po nejmens ı o prumšru setin mm, jez jsou silnš tlumeny viskozitou tekutiny a jejichz kineticka energie se premšnuje ve vnitrnı tepelnou energiı. 3) Nahodilost (stochasticnost, chaoticnost) zmšn je dominantnı, i kdyz i ve vyvinutem turbulentnım proudšnı bylo prokazano, ze existujı usporadane skupiny vırovych struktur, vyznacujıcı se nahodnymi fluktuacemi fazoveho posunu. 4) Samobuzenı. Jednou vznikle turbulentnı proudšnı se dale udrzuje samo tım, ze vytvarı nove vıry, ktere nahrazujı vıry, jez jsou vlivem viskozity disipovany. 5) Promıchavanı (difuzivita) je mnohem intensivnšjs ı nez pri laminarnım proudšnı (smšs ovanı zpusobene pohybem molekul), nebot' turbulentnı smšs ovanı je zpusobeno velkymi vıry, pohybujıcımi se ve vs ech trech smšrech na mnohem všts ı vzdalenosti, nez je strednı volna draha molekul. Pro mšrenı casovš promšnnych velicin bylo treba vyvinout specialnı prıstroje s malou setrvacnostı, nebo–spektrum fluktuacı se pohybuje od 1 Hz do 100 kHz. Napr. pro mšrenı okamzitych rychlostı, resp. slozek, nelze pouzıt Prandtlovu trubici (mšrı strednı hodnotu), nybrz termoanemometr se zhavenym dratkem, nebo laserovy anemometr. Tyto prıstroje prevadšjı rychlost na elektricky mšritelne veliciny. Na oscilografu pak zıskame napr. zaznam okamzitych hodnot slozek rychlostı ve smšru x a y v urcitem mıstš jako funkci casu. Prubšh vx a vy povazujeme za nahodny Ú obr. 10.1 a muzeme ho charakterizovat tšmito velicinami:


61

Strednı hodnotou vx resp. vy za cas T napr.

v

vxá

vx

strednı

v x a fluktuacnı v ′x (nynı povazujeme periodickou

slozku rovnu nule)

t

T

1 v x dt T ∫0

Okamzitou hodnotu vx lze pak vyjadrit jako soucet hodnoty

vx

vy

(10.1)

T

vx =

v x = v x + v ′x .

Obr.10.1 C asovy prubšh rychlosti rovna strednı hodnotš

( 10.2 )

Z rovnice (10.1) plyne, ze strednı hodnota strednı hodnoty je

v x = v x a pak strednı hodnota fluktuacı je rovna nule ( 10.3 )

T

1 v x′ = ∫ v ′x dt = 0 T 0

Intenzita turbulence charakterizuje relativnı velikost amplitud fluktuacı rychlosti vzhledem ke strednı hodnotš rychlosti napr. pro smšr x

εx =

v x′ 2 vx

( 10.4 ) .

Intenzita turbulence pri vyvinutem proudšnı v potrubı kruhoveho prurezu je zavisla na smšru - podelne fluktuace jsou všts ı nez prıcne, v ose majı minimum, maximum je v tšsne blızkosti stšny a na stšnš jsou rovny nule. Intenzita turbulence je definovana stejnš jako variacnı koeficienty v matematicke statistice Ú obr. 10.2. U stochastickych jevu nenı jednoznacna zavislost mezi

ε [ %]

dvšma

εx

10 8

εy

4 2

stena

6

vıce

velicinami,

jako

je

tomu

u

deterministickych zavislostı, coz se projevuje jako v

osa potrubı

12

nebo

detailech odlis ne vysledky opakovanych experimentu. Existuje vs ak urcita pravdšpodobnost, ze hodnotš jedne veliciny odpovıda urcita hodnota druhe veliciny. Tato zavislost muze byt tšsna nebo volna, prıpadnš zadna. Stupen zavislosti udava korelacnı soucinitel. Z prubšhu korelacnıch

r

soucinitelu

lze

pak

urcit

ruzna

mšrıtka

turbulence. Napr. delkove makromšrıtko charakterizuje

Obr.10.2 Rozlozenı turbulence v potrubı, efektivnı rozmšr vıru, atd. x-ova slozka je podelna Ú axialnı, y-ova je radialnı

10.3. Matematicky popis turbulentnıho proudů nı Prıme modelovanı s vyuzitım Navier-Stokesovych rovnic, viz kap. 19, bude jes tš dlouho kabinetnı zalezitost. Pro prakticke pouzitı se vyuzıvajı 1) Statisticke teorie. Prenosove jevy v turbulentnım proudu majı dominantnı nahodny charakter a bylo prirozene pouzıt k jejich popisu nastroje matematicke statistiky. Jiz v minulem stoletı


62

Reynolds upravil Navierovy - Stokesovy rovnice pro turbulentnı proudšnı tak, ze nahradil okamzite hodnoty velicin jejich strednımi hodnotami a fluktuacemi. Dostal tak tri nove rovnice, nazyvane po nšm Reynoldsovy rovnice, se s esti novymi neznamymi typu

τ ij = ρ vi′v ′j

( 10.5 )

kde indexy i a j postupnš nahradıme symboly pro souradne osy x, y, zŽVyraz

(v′v′ ) je strednı i

j

hodnota soucinu fluktuacnıch slozek rychlostı. Prave strany rovnice ( 10.5 ) majı rozmšr napštı a nazyvajı se Reynoldsova (zdanliva) turbulentnı napštı. Protoze nynı pocet neznamych prevys uje pocet rovnic, nenı soustava rovnic uzavrena, a hledajı se stale nove moznosti uzavrenı soustavy. Tımto smšrem se zde nebudeme vıce zabyvat. 2) Semiempiricke modelovanı strednıch turbulentnıch velicin. Tento smšr se soustreťuje na stanovenı velicin jez majı vy znam pro inzenyrskou praxi, jako napr. pole strednıch rychlostı, tecna napštı, ap. Prvnı pokus res enı turbulentnıho proudšnı predlozil Boussinesq (1877), ktery zavedl zdanlivou (vırovou) viskozitu A , jez je analogiı dynamicke viskozity tekutiny. Na rozdıl od nı nenı zdanliva viskozita latkovou vlastnostı, nybrz je funkcı souradnic a je zavisla na geometrii a dals ıch charakteristikach proudoveho pole. Pro rovinne turbulentnı proudšnı lze pak zdanlive tecne napštı vyjadrit rovnicı

τt = A

( 10.6 )

dv x dy

a vysledne tecne napšti v turbulentnım proudu bude rovno souctu

τ = (η + A)

dv x . dy

Ve sve dobš mšl velky vy znam model prenosu hybnosti (Prandtl, 1925), vychazejıcı z analogie s kinetickou teoriı plynu. Analogiı strednı volne drahy molekul byla tzv. smšs ovacı delka, kterou bylo nutno urcit experimentalnš. I tato velicina byla funkcı souradnic, resp. geometrie proudoveho pole. Fluktuace rychlostı, resp. zdanlive tecne napštı, bylo ňmšrne soucinu smšs ovacı delky a mıstnıho gradientu strednı rychlosti. I pres velmi hrube predpoklady byl zıskan vy znamny a dodnes uznavany vysledek - logaritmicky rychlostnı profil, obr. 10.3.

vz = kde

v* ln y + K 1 , κ

( 10.7 )

v* = τ 0 ρ = konst pro dany prıpad proudšnı. τ0 je tecne napštı na stšnš, ρ je hustota tekutiny.

Druha odmocnina z podılu tšchto dvou velicin ma rozmšr rychlosti a nazyva se trecı rychlost v* , y je odlehlost od stšny potrubı, κ je tzv. Karmanova konstanta, jejız hodnota se pohybuje kolem 0,4 a K1 je integracnı konstanta. Tento tzv. logaritmicky zakon neplatı v blızkosti stšny, nebo– na stšnš, pro

y = 0, dava nekonecnš velikou rychlost. Ani integracnı konstantu nemuzeme jako obvykle stanovit z podmınky, ze na stšnš tekutina lpı a rychlost je nulova. Prandtl a Karman proto pozdšji rozdšlili turbulentnı proud v blızkosti stšny na tri oblasti, t.j.- obr. 3.10. a) vazkou podvrstvu, v tšsne blızkosti hladke stšny, kde prevazuje viskoznı tecne napštı nad zdanlivym turbulentnım napštım, nebot' prıcne slozky fluktuacnıch rychlostı jsou stšnou tlumeny.


63

Tato vrstva byla puvodnš nazyvana laminarnı podvrstvou, ale experimenty bylo prokazano, ze se v nı vyskytujı fluktuace. Tato vrstva je velmi tenka, zlomky milimetru, ale ma velky vy znam pri prestupu tepla. Rychlostnı profil je prımkovy. b) turbulentnı jadro proudu, v urcite vzdalenosti od stšny uz tecne napštı zpusobene viskozitou tekutiny je zanedbatelnš male ve srovnanı se zdanlivym turbulentnım napštım. V teto oblasti platı logaritmicky zakon, v teto formš zvany zakon stšny. c) prechodova vrstva je ta cast proudu, kde obš tecna napštı zpusobena viskozitou nebo turbulentnım smšs ovacım pohybem jsou radovš stejnš velika a rychlost plynule prechazı z prımkoveho na logaritmicky zakon. Na zakladš experimentu provedenych v hladkych trubicıch byly stanoveny i nezname konstanty v logaritmickem zakonš: ( 10.8 )

vx v y = 5,75 log * + 5,5 . v* ν V literature zabyvajıcı se turbulencı se zavadı bezrozmšrna rychlost

( 10.9 )

vx v*

v+ =

a bezrozmšrna odlehlost od stšny

y+ =

( 10.10 )

v* y . v

Logaritmicky zakon ma pak tvar

v + = 5,75 log y + + 5,5 vx v = * v v*y + y =

laminarnıpodvrstva

v

+

prechodova vrstva

+

turbulentnıjadro

20

+

+

v = f(y )

15

+

ν τ0 v* = ρ

v += 5.75 log y + 5.5

10

a

je

znazornšn

1

5

10

30

100 log y +

Obr.10.3 Turbulentnı rychlostnı profil

semilogaritmickych

souradnicıch na obr.10.3. Jestlize integracnı konstantu K1 v rovnici ( 10.7 ) urcıme z podmınky pro osu trubice, pro nız je odlehlost od stšny rovna polomšru trubice y = r0 a rychlost je zde rovna maximalnı rychlosti

5 0

v

v x = v max , dostaneme po

ňpravš rovnici pro tzv. deficit rychlosti (take defekt rychlosti)

v max − v x coz je ňbytek

rychlosti vzhledem k rychlosti v ose:

v max − v x r = 5,75 log 0 . v* y

( 10.11 )

Z rovnice vidıme, ze deficit rychlosti nezavisı na drsnosti, coz bylo potvrzeno i experimentalnš. Zname-li rovnice rychlostnıho profilu strednıch rychlostı

v (r ) a dokazeme-li integracı po

prurezu stanovit objemovy prutok Qv, strednı objemovou rychlost po prurezu

v = Qv S a pomšr

maximalnı rychlosti na ose prurezu ku strednı objemove rychlosti v, tj. rychlost, kterou jsme dosazovali do rovnice kontinuity a do Bernoulliovy rovnice a stejnš jako drıve ji budeme oznacovat prostym


64

pısmenem v, pak muzeme teoreticky odvodit i soucinitele trecıch ztrat pri turbulentnım proudšnı. Z podmınky rovnovahy psane pro elementarnı castici tekutiny ve tvaru valecku o prumšru rovnem prumšru potrubı d a delce dx.

πd 4 τ 0πddx = dp 4

( 10.12 )

(odkud muzeme vypocıtat i trecı rychlost jako funkci tlakoveho spadu dp/dx) a z upraveneho Weisbachova vzorce ( 10.13 )

dp v2 = λρ , dx 2d

kde v je strednı objemova rychlost po prurezu, obdrzıme vyraz udavajıcı zavislost soucinitele trecıch ztrat na velicinach jez zavisı na tvaru rychlostnıho profilu

τ0 2 ρ  v*  λ = 2 = 8  v v

( 10.14 )

8

Poznamka: Mısto logaritmickeho zakona se v turbulentnım proudšnı pouzıva take stars ıho empirickeho mocninoveho zakona, obr.10.4 ( 10.15 )

1n

 y vx =   , v max  r0  kde

v max je maximalnı rychlost tj. rychlost v ose potrubı, jehoz polomšr je ro. Exponent n nenı

konstanta, ale mšnı se s Reynoldsovym cıslem od 7 do 10 a s drsnostı potrubı. osa

y [m] vx

r0

Vys e

uvedene

dva

modely

turbulence

mohou

poskytnout pouze strednı hodnoty slozek rychlostı, prıpadnš soucinitel turbulentnıch trecıch ztrat. Nedokazı stanovit dals ı

0

vstr = 0.8 vmax vmax

dulezite veliciny, jez charakterizujı turbulenci jako jsou napr. v [m/s] Reynoldsova napštı, kineticka energie turbulentnıch fluktuacı stena

(

)

k = 1 / 2 vx′ 2 + vy′ 2 + vz′ 2 atd. Tyto veliciny vs ak spıs e spadajı

Obr.10.4 Turbulentnı rychlostnı profil do problematiky statistickych modelu a bude o nich pojednano v obycejnych souradnicıch. v kap. 19.


65

11. Hydraulicky vypocet potrubı Hydraulicky vypocet potrubı je zalozen na aplikaci rovnice kontinuity, Bernoulliho rovnice pro skutecnou kapalinu na urcenı hydraulickych odporu, neboli hydraulickych ztrat.

11.1. Hydraulicke odpory (ztraty) Pri proudšnı skutecnych tekutin vznikajı nasledkem viskozity hydraulicke odpory, tj. sıly, ktere pusobı proti pohybu castic tekutiny. Mechanismus hydraulickych odporu je slozity jev, ktery se dosud nepodarilo exaktnš vyres it az na jednodus s ı prıpady laminarnıho proudšnı. Proto se v hydraulickych vypoctech uplatnuje rada poloempirickych metod. Prace trecıch sil (tecnych napštı

p p 1

dp = k dx

p z = p1 - p2

od viskozity) pri proudšnı skutecnych

p1

p2 tekutin

p2

1

2

p1

2 d p2

l

(disipaci)

proudıcı tekutiny. Rozptylena energie se mšnı v teplo (zvšts ı se vnitrnı energie

hz

τ0 τ0

rozptyl

energie, coz snizuje mechanickou energii

1

x

zpusobuje

tekutiny,

poprıpadš

okolı),

coz

je

nezvratna zmšna. Tradicnš se proto rozptylena energie nazyva ztratova, i kdyz nazev neodpovıda zakonu o zachovanı

Obr.11.1 Tlakovy spad a tecne napštı

energie. Rozptylenou (ztratovou) energii

vztahujeme obvykle na jednotku hmotnosti, tıhy nebo objemu a platı vztah

e z = Yz =

pz v2 = ghz = ζ ρ 2

(11.1 )

Pod pojem hydraulicke odpory zahrnujeme pri proudšnı skutecne tekutiny vs echny ňcinky, ktere zpusobujı rozptyl energie. Rozptylena (ztratova) energie na hydraulickych odporech se projevı buť jako tlakovy ňbytek (vynucene proudšnı v potrubı apod.), nebo ňbytkem kineticke energie (vytok z nadob otvory apod., anebo snızenım polohove energie (proudšnı v korytech, gravitacnı potrubı apod.) Ú obr. 11.1. Hydraulicke odpory se dšlı na odpory trecı a mıstnı. Trecı odpory jsou charakteristicke tım, ze zavisı na delce potrubı, kanalu, apod. Ztratovy soucinitel trecıho odporu je prımo ňmšrny delce potrubı L. Mıstnı odpory vznikajı v mıstech, kde se mšnı velikost rychlosti (zmšna prutocneho prurezu), smšr rychlosti (zakrivene potrubı), poprıpadš velikost i smšr rychlosti (armatury) a dochazı pritom k odtrzenı proudu a vzniku vırive oblasti. Ztratovy soucinitel

ζ mıstnıho odporu zavisı na geometrii uvazovaneho mısta (zmšny

prurezu, zakrivenı apod.) a na proudšnı (druh kapaliny, rychlost). Tlakova ztrata

p z je rozdıl tlaku na

delce potrubı l (u trecıho odporu) nebo rozdıl pred mıstnım odporem a za nım. Fyzikalnš predstavuje rozptylenou energii objemove jednotky proudıcı tekutiny. Ztratova vys ka energii vztazenou na tıhovou jednotku proudıcı tekutiny.

hz predstavuje rozptylenou


66

11.2. Trecı ztraty v potrubı Laminarnı proudů nı. U laminarnıho proudšnı pro Re<2320 se velikost tlakove ztraty ci ztratove vys ky da odvodit analyticky. Pri res enı vyjdeme z rovnice (9.2) pro strednı rychlost

vs =

pz d 2 32.ηL

Z rovnice vypocıtame tlakovou ztratu a provedeme ňpravu

32ηLv 64 L v 2 64 L v 2 pz= = ρ= ρ vd d 2 Re d 2 d2 ν kde

Re =

vd ; ν

η = ρν

Potom tlakovy spad je urcen rovnicı

pz = λ

( 11.2 )

L v2 ρ d 2

kde trecı soucinitel je urcen vztahem

λ=

( 11.3 )

64 Re

Pro ztratovou vys ku platı

hz =

( 11.4 )

pz L v2 =λ ρg d 2g

Vys e uvedene rovnice platı pro newtonske tekutiny a s dostatecnou presnostı i pro potrubı s pomšrnou drsnostı do

ε ≤ 0,05 . Jak dokazaly experimenty je odchylka od vypoctenych hodnot

mens ı nez 1%. To ovs em predpoklada vyvinuty rovnomšrny rychlostnı profil. Pri nerovnomšrnem rychlostnım profilu, ktery je zpusoben napr. mıstnım odporem, jsou trecı ztraty všts ı, a to o 10 az 30%, pro trecı soucinitel platı modifikovana rovnice

λ=

( 11.5 )

A Re

kde A = 70 az 85. V tšchto prıpadech je Rek = 1600. Turbulentnı proudů nı. U turbulentnıho proudšnı je tecne napštı všts ı a proto jsou ztraty trenım všts ı nez u laminarnıho proudšnı. Vyjadruji se stejnym zpusobem, tj. ztratovou vys kou hz nebo tlakovou ztratou pz jako u laminarnıho proudšnı ( tzv. Darcy-Weisbachova rovnice)

pz = λ

( 11.6 )

L v2 ρ d 2

( 11.7 )

pz L v2 hz = =λ ρg d 2g Soucinitel trenı λ je zavisly na velikosti Reynoldsova cısla Re a relativnı drsnosti

ε=

k d


67

λ = f (Re, ε ) kde

Re = ε=

( 11.8 )

vd - Reynoldsovo cıslo v

k - relativnı drsnost stšny d

k Ú je absolutnı drsnost stšny potrubı Rovnice pro trecı soucinitel se neda res it analyticky, proto musela byt stanovena experimentalnš. Pro hladke potrubı k = 0 , v roce 1913 odvodil Blasius empiricky vztah

λ=

0,3164 4

Re

( 11.9 )

≤ Re ≤ 8.10 4 )

( Re k

Nikuradse pro hladke potrubı udava podle vysledku pokusu vzorec

λ=

1

[2 log(Re λ ) − 0,8]

2

(Re〉 6.10 )

( 11.10 )

4

Vliv Nikuradse

drsnosti v letech

V experimentech

potrubı 1930

pouzil

vys etroval az

1933.

bronzove

potrubı

kruhoveho prurezu o ruznych prumšrech. Nejprve provedl mšrenı v hladkem potrubı. Potom

mšnil

drsnost

potrubı

nalepenım

trıdšnych pıskovych zrn. Vysledky mšrenı jsou uvedeny v diagramu na obr. 11.2. Krivky pro ruzne pomšrne drsnosti kr se odpoutavajı od prımky Blasiovy, ktera predstavuje prubšh Obr.11.2 Nikuradseho diagram λ =(Re,ε)

soucinitele

trenı

pro

hladke

potrubı.

S rostoucım Reynoldsovym cıslem prechazejı

v soustavu car rovnobšznych s vodorovnou osou. Z obr. je patrne, ze od urciteho Reynoldsova cısla, ktere zavisı na pomšrne drsnosti, ma soucinitel trenı hodnotu stalou a nezalezı na Re. V teto oblasti Ú zvane vyvinute turbulentnı proudšnı Ú vyjadril Nikuradse soucinitel trenı vztahem

λ=

1 d    2 log + 1,138  k  

2

k   Re λ 〉191,2  d 

( 11.11 )

Mezi oblastı hydraulickych hladkych potrubı a oblasti vyvinuteho turbulentnıho proudšnı je oblast prechodova, v nız soucinitel trenı λ zavisı jak na Reynoldsovš cısle, tak na pomšrne drsnosti. Pro tuto oblast bylo ruznymi autory odvozeno nškolik desıtek rovnic, nejcastšji se vs ak pouzıva vzorec, ktery odvodil Colebrook


68

λ=

1   2,51 2 log  Re λ 

 k  + 0,27  d 

2

  2,51 = 2 log λ   Re λ

1

;

 k  + 0,27  d 

2

( 11.12 )

Tato rovnice je implicitnı a λ se musı res it iteracı. Proto byly v poslednıch letech mnoha autory odvozeny pro λ explicitnı vzorce. Jako prıklad je uvedena rovnice odvozena Churchillem ( 11.13 )

1

 12  8 12 1 λ = 8  +  (a + b )1,5   Re     7  0,9  a = − 2,457 ln   + 0,27ε    Re     

16

 37530  b=   Re 

16

Absolutnı drsnost potrubı k zavisı na druhu materialu, zpracovanı a provoznıch podmınkach (koroze, eroze). Podle zkus enostı ruznych autoru jsou v tab 1.11 uvedeny drsnosti vybranych materialu. Tabulka 1.11 Absolutnı drsnost materialu potrubı Absolutnı drsnost potrubı k Material potrubı

Puvodnı stav (mm)

Korodovany stav (mm)

Tazene trubky mosazne, mšdšne, hlinıkove

0,0015 az 0,003

0,003 az 0,1

Bezes ve trubky ocelove

0,04 az 0,1

0,1 az 0,9

Tazene trubky ocelove

0,03 az 0,12

0,12 az 0,9

Svarovane trubky ocelove

0,05 az 0,1

0,1 az 0,9

Pozinkovane trubky ocelove

0,15 az 0,5

0,5 az 3,5

Vodovodnı potrubı po 20-ti a vıce letech v provozu

0,6 az 3,0

Sklenšne trubky, trubky z plastu

0,001 5 az 0,01

Pryzove hadice

0,01 az 0,03

Betonove potrubı

0,3 az 6,0

Zdrsnšnı vnitrnıch stšn potrubı vytvarel Nikuradse umšle trıdšnym pıskem. Tato umšla drsnost, ktera je temšr rovnomšrna, se vs ak lis ı od skutecne drsnosti, ktera je nerovnomšrna. Proto prubšh soucinitele trenı v prechodove oblasti se u prirozene drsnosti odlis uje od prubšhu pro umšlou drsnost, jak to potvrdily Colebrookovy experimenty. Ú obr. 11.3.


ε = log λ

69

k = konst d

v

v

prirozena drsnost

hladkč potrubı

umela

ostra drsnost

vlnit a drsnost

log Re Obr. 11.3 Trecı odpor v potrubı s prirozenou a

Obr. 11.4 Druhy drsnostı

umšlou drsnostı Kromš absolutnı velikosti vy stupku nerovnosti k ma velikost soucinitele trenı podstatny vliv tez tvar tšchto vystupku. Rozlis ujı se dvš drsnosti, a to drsnost, ktera je zpusobena ostrymi a kratkymi vystupky a druha vlnita drsnost, ktera je zpusobena zaoblenymi nerovnostmi tvaru dlouhych vln Ú obr. 11.4. U drsnosti prvnıho druhu zavisı soucinitel trenı vıce na pomšrne drsnosti a menš na Re-cısle. U vlnite drsnosti zavisı soucinitel vıce na Re-cısle a menš na pomšrne drsnosti. Vysledky mšrenı trecıho soucinitele λ ruznymi autory, predevs ım Colebrooka, jsou na obr 11.5.

Obr.11.5 Moody-Colebrook diagram λ= f(Re, kr) Z diagramu

λ = f (Re, k r ) je patrne, ze pro turbulentnı proudšnı se krivky pro ruzne drsnosti

primykajı pri nizs ıch cıslech Re k Blasiovš prımce. Od urcite hodnoty Re se odpoutavajı a priblizujı se vodorovne prımce. V turbulentnım proudšnı se u stšny potrubı vytvorı vazka podvrstva , ktera prikryva nerovnosti povrchu Ú obr. 11.6.


70

y

v = f (y)

Z hlediska vlivu drsnosti na soucinitel trenı λ se rozdšluje turbulentnı proudšnı na tri oblasti 3. Hydrodynamicky hladka stšna Ú v tomto prıpadš vazka podvrstva zakryje nerovnosti povrchu, tyto nemajı

δp>k

0

k

vliv na ztratu trenım a v potrubı jsou hydraulicke odpory

Obr. 11.6 Hydrodynamicky hladky povrch

trenı jako v hladkem potrubı. Takovy obtekany povrch se

k 〈δ p .

nazyva hydrodynamicky hladky (obr. 11.6) -

2. Oblast prechodova Ú v nı nerovnosti povrchu zacınajı vycnıvat

z vazke

podvrstvy.

Tato

charakterizovana tım, ze soucinitel trenı je zavisly na Re a pomšrne drsnosti - (λ

oblast

je

= f (Re, ε )) .Tato

oblast podle obr. 11.5 lezı mezi Blasiovou prımkou a vodorovnymi prımkami pro ruzne drsnosti. 3. Oblast vyvinuteho turbulentnıho prudšnı Ú v tomto prıpadš je tlous –ka laminarnı podvrstvy mala, takze nezakryje nerovnosti obtekaneho povrchu. Trecı soucinitel λ je zavisly na pomšrne drsnosti ε. V obr. 11.5 je tato oblast charakterizovana vodorovnymi prımkami pro ruznou pomšrnou drsnost. Nekruhove pru tocne pru rezy. Laminarnı proudšnı (vzhledem k platnosti Newtonova zakona pro tecne napštı od viskozity) v nekruhovych potrubıch se da res it matematicky. U laminarnıho proudšnı se trenım o stšny potrubı zbrzdı castice v celem prutocnem prurezu. “Meznı vrstvaú vyplnuje cely prutocny prurez a jeho tvar ma vliv na rozlozenı rychlosti neboli rychlostnı profil. Proto je nutno pro kazdy prurez odvodit vztah pro trecı ztraty a nelze je prepocıtat z jednoho prurezu na druhy. U turbulentnıho proudšnı v potrubı se vliv trecıch sil na obtekanych stšnach omezı na podstatnš mens ı vrstvu, ktera ve srovnanı s charakteristickymi rozmšry prutocneho prurezu je velmi mala. Tlous –ka meznı vrstvy u turbulentnıho proudu zavisı predevs ım na Re cısle. Jestlize tvar prutokoveho prurezu potrubı nema v podstatš vliv na soucinitel trenı, jsou ztraty trenım turbulentnıho proudšnı v potrubı nekruhoveho prurezu urceny stejnymi vzorci jako pro kruhove potrubı. Mısto prumšru d kruhoveho potrubı je vs ak treba dosadit ekvivalent pro nekruhove prurezy, pomocı nšhoz se vypocte Re-cıslo, soucinitel trenı a ztratova vys ka. Tento ekvivalent se nazyva hydraulicky prumšr Ú dh a je urcen vztahem

d h = konst

S O

Konstantu ňmšrnosti je mozno zvolit. Vyhodnš se stanovı z podmınky, aby hydraulicky prumšr kruhoveho potrubı dh byl roven jeho prumšru d cili dh=d. Protoze

prutocny prurez

S=

π 2 d a omoceny obvod 4

dh = k

S a u kruhoveho potrubı je O

O = πd je

π 2 d d dh = k 4 =k πd 4 Z rovnosti

d h 0 = d vyplyva konstanta k = 4 . Je tedy hydraulicky prumšr definovan vztahem


dh = 4

71

( 11.14 )

S O

Ve vyrazu je S prutocna plocha a O je omoceny obvod prurezu. Hydraulicky prumšr tedy ekvivalent nekruhoveho prurezu a predstavuje kruhove potrubı o svštlosti

d h je

d = d h , v nšmz jsou

stejne hydraulicke ztraty jako v nekruhovem prurezu. Hydraulicky prumšr se muze dosadit do vyrazu pro pomšrnou drsnost, do Reynoldsova cısla a do vyrazu pro ztratovou vys ku

hz = λ

( 11.15 )

vd 1 v2 k ; λ = f (Re, k r ); Re = h ; k r = d h 2g v dh

Z toho je patrne, ze vypocet ztraty trenım v nekruhovem potrubı (turbulentnı proudšnı) je shodny s vypoctem teze ztraty v kruhovem potrubı. Pro prechod laminarnıho proudšnı v turbulentnı v nekruhovych prurezech se uvazuje

Re k stejne jako u kruhoveho potrubı.

11.3. Mıstnı odpory (ztraty) V kazdem potrubı byvajı vedle

rovnych ňseku i ruzna kolena, odbocky, armatury, mšrıcı

zarızenı, cistice, chladice apod., kromš toho se muze mšnit prurez potrubı. V tšchto castech potrubı dochazı ke zmšnš velikosti i smšru rychlosti proudšnı, coz vyvola vırenı, poprıpadš odtrzenı proudu kapaliny spojene s rozptylem energie. Energie proudıcı kapaliny se rozptyluje v mıstš potrubı, kde dochazı ke zmšnš vektoru rychlosti, proto je rozptyl nazvan mıstnımi ztratami. Velikost mıstnıch ztrat se vyjadruje obdobnš jako ztrata trenım rychlostnı vys kou a ztratovym soucinitelem

hzm

( 11.16 )

v2 =ζm 2g

nebo jako mšrnou ztratovou energiı

e z = gh z = ζ m

( 11.17 )

v2 2

Ztratovy soucinitel

ζ m zavisı na druhu mıstnı ztraty, konstrukcnıch parametrech, drsnosti

stšn, tvaru rychlostnıho profilu a na rezimu proudšnı. Vliv Re-cısla se projevuje Ú obdobnš jako u trecıch odporu Ú predevs ım pri malych hodnotach Re-cısla. Pri velkych Re-cıslech je ztratovy soucinitel odporu konstantnı. Slozitost jevu spojenych s vırenım v mıstnıch odporech zpusobuje to, ze teoreticke stanovenı ztratoveho soucinitele mıstnıch odporu je nedostupne (kromš jednoduchych prıpadu). Proto se ztratovy soucinitel

ζ urcuje

experimentalnš. Takto urcena zavislost ztratoveho soucinitele platı jen ve stejnych podmınkach, za nichz byl mšren, nebo ve fyzikalnš podobnych prıpadech. Mıstnı odpory v potrubı se mohou vyjadrit ekvivalentnı delkou trenım stejna jako mıstnı ztrata. Z rovnosti ztratovych vys ek

ζ

l v2 v2 =λ e 2g d 2g

l e potrubı, v nšmz je ztrata


72

se urcı ekvivalentnı delka potrubı

le =

ζ d λ

( 11.18 )

Za soucinitel trenı a prumšr se dosadı hodnoty platne pro rovny ňsek potrubı. Pri zmšnach prurezu se mšnı prutocna rychlost a mıstnı ztraty se mohou vyjadrit v zavislosti na prıtokove

v 2 - obr. 11.7.

odtokove rychlosti

hz = ζ 1

v1 nebo

( 11.19 )

v12 v2 =ζ2 2 2g 2g

Z teto rovnice vyplyva vztah pro prepocet ztratovych soucinitelu 2

S  v  ζ 1 = ζ 2  2  = ζ 2  1   S2   v1 

( 11.20 )

2

S1v1 = S 2 v 2 . Pro kruhove prurezy platı

Upraveny pomocı rovnice kontinuity 4

( 11.21 )

4

d  d  ζ 1 =  1  ζ 2 ; ζ 2 =  2  ζ 1  d2   d1  Ztrata nahlym rozsırenım pru rezu.

Pri nahlem rozs ırenı prurezu se odtrhne

1

2

Na delce rozs ıreneho potrubı se proud kapaliny

S2

p

p1 v1

S1

proud kapaliny od stšn a vytvorı se vıry obr. 11.7.

2

rozs ırı znovu po celem prurezu. Se zmšnou

v2

rychlostı je pojena zmšna tlaku. Pri rozs ırenı prurezu klesa strednı rychlost, a proto musı

1

2

stoupnout tlak. Pro dokonalou tekutinu, ktera by

Obr.11.7 Nahle rozs ırenı prurezu

nemšla ztraty trenım ani vırenım, je dan tlakovy rozdıl Bernoulliho rovnicı

p 2t − p1 =

ρ 2 v1 − v 22 2

(

)

Teoreticky tlak v prurezu 2 je oznacen

p 2t a je mens ı o tlakovou ztratu spojenou s rozs ırenım

prurezu. Pri proudšnı skutecne tekutiny v potrubı a kanalech nenı rozlozenı po prurezu rovnomšrne, a proto kineticka energie takoveho proudu je všts ı, nez odpovıda hodnotš vypocıtane ze strednı rychlosti podle prutoku, jak bylo odvozeno drıve. Pri nerovnomšrnem rozdšlenı rychlostı jsou ztraty pri nahlem rozs ırenı prurezu všts ı nez pri rovnomšrnem. Nasledujıcı vypocet se provede pro rovnomšrny rychlostnı profil. K vypoctu hybnosti je treba spravnš volit kontrolnı objem, ktery musı zahrnovat celou oblast, v nız se mšnı rychlost proudu. V uvazovanem prıpadš tvorı kontrolnı objem valec omezeny prurezy 1 a 2. Brzdicı sıla ve smšru proudu je dana rozdılem tlakovych sil v prurezech 1 a 2. Protoze tlak v prurezu je konstantnı, je brzdicı sıla, ktera vyvola zmšnu hybnosti, dana vyrazem

(

)

F = p2 − p 1 S 2


73

Tlak v prurezu 1 tšsnš za rozs ırenım je stejny jako tšsnš pred rozs ırenım, protoze proud kapaliny se nerozs ıril, a tım i tlak se tedy nezmšnil. Brzdicı sıla

F se rovna zmšnš hybnosti kapaliny

protekle v jednotce casu. Hybnost v prurezu 1 je dana vyrazem

H 1 = ρv12 S1 , podobnš v prurezu 2 je

H 2 = ρv 22 S 2 . Prutok kapaliny prurezy 1 a 2 je stejny. Hybnostnı všta F = Qm ∆v ma tvar

( p 2 − p1 )S 2

= ρS 2 v 2 (v1 − v 2 )

Tlakovy rozdıl je urcen Bernoulliho rovnicı pro skutecnou kapalinu,

p 2 − p1 =

ρ 2 v1 − v 22 − ρghz 2

(

)

Odectenım poslednıch dvou rovnic se dostane po ňpravš vyraz pro ztratou vys ku nahlym rozs ırenım prurezu pri uzitı rovnice spojitosti

v1 S1 = v 2 S 2

 S  2 v12 − v 22  v 22 2     hz =   − 1 − 2 v 22  2 g  S1   Dals ı pravou dostaneme 2  S2  v 22  S1  v12 (v1 − v 2 ) hz =  − 1 = 1 −  = 2g  S1  2g  S 2  2g

( 11.22 )

2

2

Tento vzorec byva nazyvan Borduv (1766) nebo Carnotuv. Ztratovy soucinitel pro nahle rozs ırenı je urcen pro prutokovou rychlost

v1 (oznacen ξ1 ) a odtokovou rychlost v 2 (oznacen ξ 2 ) tšmito vyrazy:

2   d 2   S1  ζ 1 = 1 −  = 1 −  1     d 2    S2 

2

2  d  2   S2  − 1 =  2  − 1 ζ 2 =   d 1    S1 

2

( 11.23 )

Ztrata nahlym rozs ırenım prurezu je zpusobena vıry v oblasti mezi odtrzenou proudnicı a stšnami. Pri velkem pomšru prurezu

S2 je ztrata všts ı nez vypoctena hodnota, nebo– se muze S1

rozptylit cela rychlostnı vys ka. Vteka-li kapalina rychlostı

v1 z potrubı do velke nadrze, v nız je rychlost

v 2 zanedbatelna, rozptylı se cela kineticka energie kapaliny. Ztrata nahlym zňzenım pru rezu. K teto ztratš dochazı v mıstš nahleho zňzenı prurezu, kde se zňzenım vyvola zrychlenı kapaliny. Proud kapaliny nemuze nasledkem setrvacnosti sledovat tvar stšn potrubı. Matematicke res enı ztraty zňzenım vychazı ze zmšny hybnosti kapaliny. Postup odvozenı je obdobny jako pro nahle rozs ırenı. Pro ztratovou vys ku se odvodı rovnice


74

A S1

p' S2m

v1 p1

B v2 p2

S2

C

B C

A

Obr.11.8 Nahle zňzenı prurezu

hz =

 S v2  S  v2 p1 − p 2 v12 − v 22  S1 v2 v2 + =  − 1 1 1 = 1 − 2  2 = ζ 1 1 = ζ 2 2 ρg 2g S1  2 g 2g 2g  S2 2g   S2

Ztratovy soucinitel

ζ

vztazeny na prıtokovou rychlost

S S ζ 1 =  1 − 1 1  S2  S2

( 11.24 )

v1 nebo odtokovou rychlost v2 je

 S  ζ 2 = 1 − 2  S1  

Ztraty v difuzorech. Pri ztratš nahlym rozs ırenım bylo dokazano, ze dochazı ke znacnym ztratam zpusobenym odtrzenım proudu a vırenım. Ztraty mohou byt podstatnš zmens eny, jestlize prechod z mens ıho prurezu na všts ı bude pozvolny, jak je tomu u difuzoru. Difuzor se pouzıva hlavnš tam, kde je treba premšnit kinetickou energii proudu na tlakovou (u podzvukovych rychlostı) s nejmens ımi ztratami. Je znamo, ze velmi malym rozs ırenım prurezu se mšnı znatelnš proudšnı, a to zejmena rychlostnı profil, ktery je tım vıce protazen ve smšru proudšnı, cım je ňhel rozs ırenı všts ı (obr. 11.9). Do ňhlu rozs ırenı

α = 6 o az 8o zustava protazeny rychlostnı profil symetricky k ose difuzoru. Pri

dals ım zvšts enı ňhlu se proud ňcinkem tlakoveho gradientu odtrhne od stšny a symetrie proudu se porus ı. Pri ňhlech rozs ırenı α = 10 az 50 o

o

nastava odtrzenı proudu zpravidla od jedne stšny, na nız je rychlost mens ı. Proto

S2

S1

α

v1

nemuze dojıt k odtrzenı proudu na protšjs ı

v2

stšnš.

lk

ld

Rychlostnı

profil

se

stane

nesymetrickym. Nesoumšrnost proudu je casto doprovazena nestabilnım odtrhavanım,

Obr.11.9 Kuzelove potrubı (difuzor)

coz vyvola kmitanı proudu (pulsace) a tvorenı vıru. o

o

V difuzorech s všts ımi ňhly rozs ırenı nez 50 az 60 nemuze proud sledovat stšny difuzoru a odtrhava se po celem prurezu. Odtrhavanı od stšny je doprovazeno mens ımi pulsacemi proudu. V rozs irujıcı se troubš nebo kanale vzrusta smykove napštı nasledkem zvys enı turbulence, coz zpusobuje zvys enı ztrat. Rovnšz pulsace prispıvajı ke zvys enı ztrat. Nastava-li odtrzenı proudu v difuzoru, jsou ztraty zpusobeny prevaznš vzniklymi vıry. Vs echny ztraty mohou doprovazet ztratu trenım v difuzoru. Celkove ztraty v difuzoru je mozno rozepsat na ztratu trenım a ztratu spojenou se zmšnou prurezu, takze

hzd = hzt + hzr .

Skutecny tlakovy rozdıl na difuzoru je dan rozdılem tlaku v rozs ırenem a pocatecnım prurezu a musı splnovat Bernoulliho rovnici pro skutecnou tekutinu cili


v12 p1 v 22 p 2 + = + + gh z 2 ρ 2 ρ

75

p 2 − p1 = ρ

v12 − v 22 − ρghzd 2

Protoze ztratova vys ka se da vyjadrit rychlostnı vys kou v prurezu 1, je ztratovy soucinitel difuzoru dan vyrazem 2

ζ d1

v v  h = zd2 = 1 −  2  = 1 −  2 v1  v1  v1  2g

2

2

 S  p −p p −p  − 2 2 1 = 1 −  1  − 2 2 2 1 v ρv1   S2  ρ 1 2

Podobnš se urcı ztratovy soucinitel difuzoru vztazeny na odtokovou rychlost 2

ζ d2

v2 :

2

v  h p − p S  p −p = zd2 =  1  = 1 − 2 2 2 1 =  2  − 1 − 2 2 2 1 v2  v2  ρv 2 ρv 2  S1  2g

Pro dokonalou tekutinu (bez ztrat) je tlakovy rozdıl mezi prurezy 1 a 2 všts ı,

p ′2 − p1 = ρ

v12 − v 22 2

U cinnost difuzoru, s nız se mšnı kineticka energie na tlakovou, je dana pomšrem skutecneho rozdılu tlaku k teoretickemu, to je

p 2 − p1 p 2 − p1 p 2 − p1 p −p 2 2 = = 2 2 12 = 2 2 2 p 2′ − p1 v − v2 ρv1 ρv 22  S1   S2  ρ 1   − 1 1 −   2  S2   S1 

ηd =

( 11.25 )

Hydraulicke ztraty v difuzoru jsou spojeny se zmšnou prurezu, a proto je lze vyjadrit v pomšru ke ztratš nahlym rozs ırenım Ú rov. 11.22.

ζr =

Soucinitel

hzd hzd = hzn (v1 − v 2 )2 2g ζ r se nazyva stupen razu. Pri rostoucım ňhlu rozevrenı difuzoru, kdy zmšna prurezu

prechazı v nahlou zmšnu, se stupen razu blızı hodnotš jedna. Hydraulicke ztraty v difuzorech se dajı vyjadrit tremi zpusoby:

hzd = ζ d 1

(v − v2 ) v12 v2 = ζ d2 2 = ζ r 1 2g 2g 2g

Ztratove soucinitele

ζ d1,ζ d 2 , ζ r

ζ d 1 , ζ d 2 a stupen razu ζ r se urcı mšrenım. Pro vzajemny prepocet soucinitelu

slouzı rovnice 2

ζ d1 nebo

( 11.26 )

2

2

2

S  S   S  = 2 −  1  −  2  + ζ d 2 = 1 − 1  ζ r  S 2   S1   S2 

( 11.27 )


76

2

2

( 11.28 )

2

S  S  S  ζ 2 =  1  +  2  − 2 + ζ d 1 =  2  ζ r  S1   S 2   S1 

Kuzelove potrubı. Pri zuzovanı prurezu je hydraulicka ztrata zpusobena rovnšz trenım a lze ji urcit integracı na elementarnı delce kuzeloveho potrubı. Ú obr. 11.10. Ztrata trenım na elementarnım ňseku

dx urcena vztahem

dx v 2 dhz = λ d 2g Celkova ztrata se urcı integracı diferencialnı rovnice, pricemz je nutno uvazovat zmšnu prumšru a rychlosti po delce kuzeloveho potrubı. Rovnšz soucinitel trenı λ se mšnı s Re-cıslem, avs ak v malem rozmezı, takze se uvazuje strednı hodnota

x podle vztahu

souradnicı

d=

λ s jako konstanta. Prumšr d se mšnı se

d2 d x = 1 x; l2 l1

l2 d 2 l d2 = ; 2 = l1 d1 l d1 − d 2

ktery vyplyva z podobnosti trojňhelnıku (obr. 11.10). Z rovnice kontinuity vyplyva pro rychlost 2

d  l  v = v2  2  = v2  2   d  x Dosazenım do vyrazu pro

2

dhz se dostane l

l 5 v 2 1 dx dh z = λ s 2 2 ∫ 5 d 2 2 g l2 x

v1

2 v2

v

α

d2

d1

1

a po integraci je ztratova vys ka v kuzelovem potrubı

x

dx l

l2 l1

Obr.11.10 Kuzelove potrubı (konfuzor)

l 2 v 22  l 24  1 1 l 1 − 4  = λ s hz = λ s 4 d 2 2 g  l1  4 d1 − d 2

 d 24  v 22 v 22 1 − 4  =ζ2 2g  d1  2 g

( 11.29 )

Z poslednı rovnice vyplyva vyraz pro ztratovy soucinitel ztraty v kuzelovem potrubı

1 l ζ2 = λ 4 d1 − d 2

 d 24  λs   d 2 1 − 4  = 1 −  α d d 1   8tg   1 2

  

4

  

( 11.30 )

Zmů na smů ru proudů nı. V kazdem potrubnım systemu se zpravidla vyskytuje prvek, v nšmz se mšnı smšr rychlosti tekutiny. Tento prvek tvorı zakrivene potrubı, oblouky, kolena a take kombinace oblouku. V tšchto prvcıch dochazı k rozptylu energie, ktera se vyjadruje mıstnı ztratou zmšnou smšru proudšnı.


77

p + dp c

dF

ds

v dr

v

p ds

r 1

1

r

R

ϕ

d

dϕ

dr

dFp

1

v Obr.11.11 Sıly na elementarnı casti proudu v zakrivenem potrubı K vytvorenı predstavy proudšnı v zakrivenem potrubı je uzitecne si povs imnout proudšnı dokonale kapaliny v kruhovem oblouku. Predpoklada se, ze kapalina priteka ke kolenu konstantnı rychlostı rozlozenou po celem prurezu 1 Ú1 rovnomšrnš (obr. 11.11). Nasledkem zakrivenı drah pusobı na castice kapaliny odstrediva sıla, ktera musı byt v rovnovaze s tlakovou silou. Aby vznikla tlakova sıla pusobıcı do stredu krivosti, musı na všts ım polomšru

r pusobit všts ı tlak. Toto lze dosahnout v souladu s Bernoulliho rovnicı tım, ze se rychlost

castice snızı. Pro elementarnı casticı kapaliny o rozmšrech

ds, dr , ktera se pohybuje ve vodorovne

rovinš na polomšru r a ma jednotkovou s ırku, je rovnovaha tlakove a odstredive sıly

dF p = dFc

vyjadrena rovnicı

v2 dpds = dm r Hmotnost elementarnı castice je

dm = ρ ds dr . Pro vs echna vlakna na ruznych polomšrech

r , ktera vychazejı z prurezu 1-1, kde rychlosti a tlaky jsou rovnomšrnš rozlozeny, platı Bernoulliho rovnice

p v2 + = konst ρ 2

dp + v dv = 0 ρ

dp = − ρv dv .

z cehoz

Dosazenım vyrazu pro diferencialy

dp a dm do rovnice vyjadrujıcı rovnovahu sil se po ňpravš

dostane

dv dr + =0 v r Integracı se dostane ln v + ln r = ln k neboli vr = konst . To je zakon potencialnıho vıru. Zavislost rychlosti

v a polomšru r je graficky znazornšna

rovnoosou hyperbolou. Ú obr. 11.12. V provedene ňvaze a vypoctech nejsou zahrnuty trecı sıly od viskozity, ktere se budou uplatnovat pri prutoku skutecne kapaliny. Z hyperbolickeho rozlozenı rychlostı je patrne, ze mezi casticemi kapaliny jsou relativnı rychlosti, ktere u skutecnych kapalin vyvolavajı tecne napštı ňmšrne rozdılum rychlostı. Skutecna tekutina nemuze tedy protekat kolenem jako dokonala kapalina, pro niz byly odvozeny uvedene vyrazy. C astice pomalejs ı budou brzdit castice


78

rychlejs ı, pricemz u skutecne kapaliny se castice premis–ujı na všts ı nebo mens ı polomšr. Vznika slozity

v

r

(spiralovy) prostorovy pohyb. Soucastı tohoto proudšnı je vırive proudšnı v prıcnem rezu, charakteristicke dvšma vıry opacneho smyslu. Proud na vnitrnı hranš kanalu se muze odtrhnout, takze vznikajı vıry i u stšn (obr. 11.13). Prubšh tlaku na vnitrnı a vnšjs ı stšnš kolena je vyznacen na obr. 11.13. C arkovana prımka znazornuje prubšh

Obr. 11.12 Rychlostnı profil v oblouku

tlaku v prımem potrubı. V diagramu je vyznacena tlakova ztrata

vırenı (

p z a jejı slozky odpovıdajıcı trecım ztratam ( p zt ) a

p zv ). dč lka kolena A-A

2

vnejsı stena

p 2

A R 1

1

pzt

vnitrnı stena

ϕ

pz

pzv

v d 2 l

1 Obr.11.13 Proudšnı v zakrivenem potrubı Obecnš je tedy zavislost ztratoveho soucinitele vyjadrena funkcı

R  ζ o = f  , ε , Re, geom.t var  d  SOUPA TKO

KOHOUT

VENTIL

KLAPKY

d

δ d

d d

z

z

d

δ

δ

Obr.11.14 Schema armatur C etne vysledky mšrenı ztratoveho soucinitele jsou uvedeny v literature. Jejich vysledky se dosti rozchazejı, protoze v zakrivenem potrubı ma vliv mnoho parametru, ktere nejsou stejnš dodrzeny ve vs ech experimentech. Odpory v armaturach. Armatury (ventily, s oupatka, kohouty a klapky) slouzı k uzavrenı potrubı nebo k regulaci prutoku ci tlaku (obr. 11.14). Pri zcela otevreny ch uzavšrkach majı byt ztraty co nejmens ı. Pri plnem otevrenı majı nejmens ı odpor s oupatka a kohouty. U ventilu jsou ztraty všts ı (az 25 krat) a zavisı na zakrivenı proudnic ve ventilovem tšlese. Hydraulicky odpor je zpusoben jednak trenım, ale


79

hlavnš vırenım. Deskou s oupatka, ventilu, klapky nebo tšlesem kohoutu se zuzuje prutocny prurez. Proud kapaliny nesleduje okrajovymi proudnicemi presnš zmšny prurezu a dochazı k odtrzenı proudnic a vniku vırivych oblastı. Tyto jevy vyvolavajı hydraulicky odpor spojeny s rozptylem energie. Ztratovy soucinitel se zjis –uje mšrenım. Obecnš zavisı na konstrukcnım provedenı armatury, na jejım pomšrnem otevrenı a na Re-cısle. Charakteristicky prubšh ztratoveho soucinitele je znazornšn v diagramu na obr. 11.15. pro s oupatko.

ξ

Protoze armatury predstavujı promšnny odpor Ú obr. 11.15,

24

pouzıvajı se velmi casto v technicke praxi pro regulaci prutoku 20 S

z

16

11.4. Gravitacnı potrubı

12

obdč lnıkovy

8

Gravitacnı potrubı obr. 11.16 spojuje dvš nadrze A,B

kruhovy prurez

4 0 0

tekutin.

d

v

se spadem h. Potrubı se predpoklada dlouhe, a proto prevladajı hydraulicke ztraty trenım,

ztraty mıstnı se

zanedbajı. Uvazuje se potrubı jednoduche s konstantnım 0.2 0.4 0.6

0.8

1.0 1.2 prumšrem d a delky l. Nadrze jsou rozlehle, rychlosti na z d

hladinach jsou velmi male, spad h je tedy konstantnı. Obš

nadrze a gravitacnı potrubı tvorı proudovou trubici, pro kterou

Obr.11.15 Ztratovy soucinitel s oupatka

muzeme napsat Bernoulliho rovnici, ktera napsana pro

p0 1 A

prurezy 1 a 2 ma tvar d

h v

B

l α L

p0 p + gh = o + ghz ρ ρ

p0

2

neboli

p

h = hz

Toto je rovnice pro gravitacnı potrubı, u ktereho se potencialnı energie spotrebuje na prekonanı hydraulickych

Obr.11.16 Gravitacnı potrubı

ztrat. Protoze prevladajı hydraulicke ztraty trenım, s vyuzitım Darcy-Weisbachovy rovnice se predchazejıcı rovnice upravı

l v2 hz = λ =h d 2g Pomšrny spad je urcen pomšrem ( 11.31)

h λ v2 λ Q 8λ Qv2 i= = =   = 2 l d 2 g 2 gd  S  π g d5 2

Protoze pomšrny spad je maly, proto platı

i=

h h =& , nebo–pro male ňhly α je tgα =& sin α =& α . L l

Pokud nenı vliv mıstnıch ztrat zanedbatelny, potom Bernoulliho rovnice mezi prurezy 1 a 2 se zapıs e ve tvaru 2 (l + ∑ le ) v 2  l v h = hz =  λ + ∑ ζ  =λ d 2g  d  2g

Zde le je ekvivalentnı delka potrubı nahrazujıcı mıstnı ztraty (viz kap. 11.3)


80

11.5. Jednoduche potrubı s nadrzı Pro jednoduche potrubı Ú (obr. 11. 17) delky l,

p0

1

prumšru d, pro prurez 1 a 2 za predpokladu , ze nadrz

d

je rozmšrna Ú v1→0 platı Bernoulliho rovnice

h 2

l

v p0 Obr. 11.17Jednoduche potrubı

gh =

v2 v2 + ghz = 2 2

2 l   v λ ζ = 1 + +  ∑  2 (1 + ζ c ) d 

V rovnici jsou uvazovany ztraty trenım i ztraty mıstnı -

ζc = λ

( 11.32)

∑ ζ . Celkovy ztratovy soucinitel

l + ∑ le l + ∑ζ = λ d d

zahrnuje ztraty trenım a vs echny ztraty mıstnı (vtok do potrubı, oblouky, armatury apod). Mıstnı ztraty je mozne vyjadrit take pomocı ekvivalentnı delky Ú lek. Jednoduche potrubı je urceno pro hydraulicky vypocet ctyrmi velicinami: delkou potrubı l, prumšrem potrubı d , spadem h a rychlostı v nebo prutokem vlastnosti tekutiny,

Q . Soucasnš jsou zname fyzikalnı

absolutnı drsnost stšny potrubı, trecı soucinitel λ a ztratovy soucinitel vs ech

mıstnıch ztrat. Jedna ze ctyr velicin l − d − h − v nebo

Q muze byt urcena res enım rovnice (11.33)

pri cemz pro trecı soucinitel je vhodne volit explicitnı rovnici, aby nebylo nutne λ pocıtat iteracı. Pri navrhu potrubı je nutne vzhledem ke spolehlive cinnosti potrubı dodrzet dulezitou podmınku a sice, ze osa potrubı vzdy lezı pod carou tlaku. Pro definovanı cary tlaku predpokladejme vodorovne potrubı s nadrzı Ú obr. 11.18. p0 h

Odecteme-li od hladiny v nadrzi

2

v 2g cara tlaku

cara energie 2 cara tlaku v 2g

rychlostnı vys ku

v2 a spojıme-li takto 2g

vznikly bod s koncem potrubı dostaneme Obr. 11.18 C ara tlaku pro jednoduche potrubı

caru tlaku. Protoze u potrubı obvykle

v2 〈〈 h pak caru tlaku dostaneme, jako 2g

spojnici hladiny v nadrzi s koncem potrubı Ú obr. 11.19. Obr. 11.18 uvadı caru tlaku u potrubı s mıstnı ztratou napr. armaturou situovanou v obecnem mıstš potrubı.


81

11.6. Slozene potrubı V technickych aplikacıch se uzıva velmi casto i potrubnı slozenı Ú tzv. potrubnı sı– - obr.

p0 h

11.20. Slozenı potrubı mohou byt vštvena nebo

v2 2g

cara tlaku

ζ

okruznı. v

Okruznı potrubı vznikne tak, ze ve

vštvene sıti se dva uzly spojı tzv. diagonalou. U potrubnı sıtš se predpoklada, ze odbšry budou

Obr. 11.19 C ara tlaku potrubı s armaturou

pouze v uzlech sıtš. p0

4

Pro kazdy uzel slozeneho potrubı musı

C A

platit rovnice spojitosti -

5

1

2

F 8 Diagonala 6 G

B 3

D

i

= 0 . pro kazdy

ňsek (vštev) je mozne napsat rovnici pro tlakovy spad (pro jednoduchost se uvazujı vs echny ňseky vodorovnš)

7 H

Obr. 11.20 Schema potrubnı sıtš Pro kazdy okruh platı

∑Q

∆p = ζ c

v v12  Li =  λ + ∑ ζ  i 2 g  d1  2g

∑ ∆p = 0 . Ma-li potrubnı sı–i ňseku, j uzlu a k okruhu, potom celkovy

pocet rovnic popisujıcıch potrubı je

n=i+ j+k

( 11.33 )

Jedna se o soustavu linearnıch a kvadratickych rovnic. Jejich res enı je nutne provest numericky s vyuzitım pocıtace. Je vhodne pripomenout, ze pro numericke res enı se hledajı vhodne algoritmy, ktere zarucujı rychlou konvergenci res enı.

11.7. Charakteristika potrubı U jednoduchych prıpadu vypoctu potrubı je vyhodne pouzıt graficke res enı pomocı charakteristik,-

H = f (Qv ) , ktere pro rozvinute turbulentnı proudšnı jsou vyjadreny kvadratickou parabolou. U slozitych potrubnıch sıtı bude naopak vyhodne uzitı numerickych metod pomocı pocıtace.

p1

v1 1

d L

Uvazujeme vodorovne potrubı staleho prurezu obr. 11.21. Pro

v2 2

p2 pocatecnı prurez 1 a konecny prurez 2 napıs eme Bernoulliho rovnici

Obr. 11.21 Schema vodorovneho potrubnıho ňseku

p1 v12 p 2 v 22 + = + + gh2 ρ 2 ρ 2 protoze predpokladame potrubı konstantnıho prurezu, potom z rovnice spojitosti platı

v1 = v 2 a rovnice se zjednodus ı. Po ňpravš dostaneme.

p1 − p 2 v2 ζ c  4  2 2 =ζc =  2  Qv = k Q Qv = k Q Qv Qv 2 g 2 g  πd  ρg 2

H=

( 11.34 )


82

kde

ζc = λ

L + ∑ζ d

Tlakova vys ka

H udava rozdıl tlakovych vys ek na pocatku a na konci potrubı, ktery je potrebny pro

prutok Q. Zavislost

H = f (Qv ) je kvadraticka parabola a jejı graficke znazornšnı je charakteristika

potrubı Ú obr. 11.22 H H1

H Qv

0

-Q v

Q v1 Q v

Je-li na zacatku potrubı zpštna klapka,

H

2

2

H Qv Qv

zpetna klapka

-H

ktera branı prutoku v opacnem smyslu, potom charakteristika potrubı ve tretım kvadrantu splyne se zapornou osou H. Pro potrubı se stoupanım (se spadem)-

-H

Obr. 11.22 Charakteristiky vodorovneho

obr.

11.23

obdobnym

zpusobem

odvodıme rovnici pro tlakovou vys ku.

potrubı

H=

p1 − p 2 = ± h + k Q Qv2 = ± h + k Q Qv Qv ρg

( 11.35)

2 v 1

1 h

h

v 2

Schema potrubnıho ňseku se stoupanım

Schema potrubnıho ňseku se spadem Obr. 11.23

Charakteristika potrubı se stoupanım (klesanım) je rovnšz kvadraticka parabola, ktera ma vrchol paraboly posunut nahoru (dolu) o vys ku h.-obr. 11.24. H

H

H

H

-h -Qv

0 -H

h Qv

h 0

v

Qv

-H zpetna klapka

0 -H

Charakteristiky potrubı se stoupanım

Qv

-h 0

Qv

zpetna -H klapka

Charakteristiky potrubı se spadem Obr. 11.24

U seky potrubı mohou byt razeny seriovš (za sebou) nebo paralelnš (vedle sebe). Pri seriovem razenı potrubnıch ňseku je prutok kazdeho ňseku stejny, tlakove vys ky vs ech ňseku se scıtajı. Pri paralelnım razenı potrubnıch ňseku jsou tlakove vys ky pro vs echny ňseky stejne a prutoky ve vs ech ňsecıch se scıtajı.


83

12. Vytok kapaliny z nadob, prepady 12.1. Vytok malym otvorem Uvazujeme vytok kapaliny otvorem ve dnš podle obr.12.1

Sn

Protoze polohova vys ka je pro cely otvor konstantnı, potom rychlost v otvoru je rovnomšrnš rozlozena. Vytokova rychlost v tomto prıpadš se

p

vypocıta z Bernoulliho rovnice. V obecnem prıpadš se uvazuje v nadrzi

h

v0 S0 p0

tlak

p , ktery je odlis ny od tlaku ovzdus ı p 0 , do nšhoz vyteka kapalina

otvorem o prurezu

S

S 0 . Nadoba ma konstantnı prurez S n (valec, hranol)

a je naplnšna do vys ky h (obr. 12.1). Pro skutecnou kapalinu platı

v

Bernoulliho rovnice psana pro hladinu v nadrzi a pro vytokovy prurez

otvorem ve dnš

Predpokladame, ze prurez vytokoveho otvoru prurezem nadrze

( 12.1)

p p v02 v2 + + gh = + ghz + 0 ρ 2 2 ρ

Obr.12.1 Vytok z nadoby

S 0 je ve srovnanı a

S n velmi maly potom rychlost poklesu hladiny vo → 0

Pro ztratovou vys ku platı znama rovnice

v2 hz = ζ . 2g Potom z rovnice (12.1) pro vytokovou rychlost platı

v=

1 1+ζ

 p − p0   p − p0   = ϕ 2 gh +  2 gh + ρ  ρ   

Pro teoretickou vytokovou rychlost

(ζ

( 12.2)

= 0 ) dostaneme

p − p0    vt = 2 gh + ρ   Pomšr skutecne a teoreticke rychlosti je rychlostnı soucinitel

ϕ=

v 1 = 〈1 vt 1+ζ

( 12.3)

Pri stejnem tlaku v nadrzi a ve vytokovem otvoru je vytokova rychlost urcena rovnicı

v = ϕ 2 gh Pro

( 12.4)

ϕ = 1 je teoreticka rychlost vt = 2 gh

coz je znamy Torricelliho vyraz.

( 12.5)


84

Pri vytoku z nadoby nevyplnuje proud kapaliny zpravidla cely vytokovy otvor, nebo–proudnice se nemohou nahle zakrivit podle hran otvoru. Setrvacnosti castic kapaliny je zpusobeno zňzenı nebo kontrakce paprsku. Vyjadruje se soucinitelem kontrakce ( 12.6)

S 〈1 S0

ε=

Soucinitel zňzenı zavisı obecnš na tvaru vytokoveho otvoru, jeho umıstšnı vuci bocnım stšnam a na Re-cısle. Skutecny vytok kapaliny otvorem po dosazenı rovnice (12.4) a (12.6) je

Qv = v.S = ε .ϕ .S 0 2 gh = µS o 2 gh

( 12.7)

kde

µ=

Qv = ε .ϕ 〈 1 Qv t

je vytokovy soucinitel, ktery rovnšz zavisı na tvaru otvoru ci natrubku a Re-cısle. Zavislost

ϕ , ε , µ = f (Re ) pro ostrohranny otvor podle vysledku mšrenı je uveden na obr. 12.2.

12.2. Vytok velkym otvorem v bocnı stů nů

h1

h

b dS

dh

h2

p0

S

Obr.12.2 Rychlostnı, kontrakcnı a vytokovy soucinitel

Obr.12.3 Vytok velkym otvorem obecneho

maleho otvoru

tvaru

Pri relativnš velkem otvoru ve svisle stšnš je nutno respektovat zavislost vytokove rychlosti kapaliny na hloubce uvazovaneho mısta pod hladinou tlaku ovzdus ı. Skutecna vytokova rychlost kapaliny je urcena vztahem (12.2) nebo (12.4). Vytok kapaliny z nadoby se urcı integracı. Elementem vytokoveho otvoru dS = bdh (obr. 12.3) vyteka elementarnı skutecny prutok kapaliny

dQv = µ .v.dS = µ .b 2 gh .dh Vytok rozmšrnym otvorem je urcen obecnš integralem h2

Qv = ∫ dQ = µ ∫ b 2 gh dh S

h1

( 12.8)


85

Ma-li otvor obdelnıkovy prurez Ú b = konst . , potom vytok urcıme integracı rovnice (12.8)

Qv =

(

3 3 2 µ .b 2 g h2 2 − h1 2 3

)

( 12.9)

12.3. Vytok ponorenym otvorem Kapalina vyteka otvorem do prostredı vyplnšneho rovnšz

S

h

p0

kapalinou (obr.12.4). Jde v podstatš o prutok otvorem mezi dvšma p0

v

nadobami. Otvor je pod obšma hladinami v nadrzıch, proto je oznacovan jako ponoreny. Vytokova rychlost otvorem zavisı na rozdılu hladin v nadobach. K odvozenı vztahu pro vytokovou rychlost se pomyslnš

h

otvor zakryje deskou. Tlak kapaliny pusobıcı na desku z obou stran Obr.12.4 Vytok ponorenym

je prımo ňmšrny hloubce uvazovaneho mısta do hladiny tlaku

otvorem

ovzdus ı. Jejich prubšh je vyznacen v obrazku prımkami. Tlaky

pusobı proti sobš, proto vysledny tlak je dan jejich rozdılem, ktery je po cele stšnš smocene z obou stran konstantnı

∆p = ρgh .

Po odkrytı otvoru zacne kapalina pretekat teoretickou vy tokovou rychlostı

vt = 2 gh Tento vyraz je formalnš totozny s Torricelliho vyrazem. Protoze tlakovy rozdıl je po celem prurezu ponoreneho otvoru stejny, je vytokova rychlost ve vs ech mıstech stejna a nezavisla na tvaru otvoru

S. Pro objemovy prutok proto platı rovnice

Qv = µ .S 2 gh

( 12.10)

12.4. Vytok pri soucasnem prıtoku Z otevrene nadoby vyteka kapalina pricemz

(Qv )

otvorem

S 0 (obr. 12.5) a soucasnš priteka Qvp ,

Qvp ≠ Qv . Vytok pri libovolne vys ce h hladiny je urcen vztahem

Qv = µS 0 2 gh Kdyz

Qvp ≠ Qv ., pak se poloha hladiny v nadobš bude mšnit. Pri Qvp 〉Qv hladina stoupa, pri

Qvp 〈Qv hladina klesa. Stoupanı, poprıpadš klesanı hladiny trva tak dlouho, az se dosahne rovnovahy Tomuto ustalenemu stavu odpovıda vys ka hk, pro nız platı

Qvp = Qv .


86

Qvp = Qv = µS 0 2 ghk

Q vp

p0

Vys etrıme zmšnu polohy hladiny v zavislosti na case

t = 0 je hladina ve vys ce h0 . Skokem se zmšnı prıtok

h h0

hk

Sn S0

kapaliny na hodnotu

Qvp = konst. , napr. se Qvp zvšts ı.

V libovolnem casovem okamziku

Qv v

t zpusobı rozdıl pritekle a

vytekle kapaliny za elementarnı cas dt zvys enı dh hladiny

Obr.12.5 Vytok pri soucasnem prıtoku

p0 v nadobš o prurezu S n .

S n dh S n dh = Qvp − Qv µS 0 2 g hk − h

dt =

t . Predpoklada se, ze v rovnovaznem stavu v case

(

( 12.11)

)

Integracı teto rovnice se stanovı cas za ktery hladina stoupne nebo klesne z puvodnı hodnoty

h0 na

hodnotu h . V obecnem prıpadš je treba take uvazit, ze

S n = f (h ) a Qvp = f (t ) 12.5. Vyprazdnovanı nadob Jestlize do nadoby nepriteka kapalina a tedy

(h = 0) . C as potrebny dosadı

k vyprazdnšnı nadoby se vypocte z diferencialnı rovnice (12.11) do nız se

Qvp = 0 neboli hk = 0 . Pak platı

dt = −

( 12.12)

S n dh µS o 2 gh

Z otevrene nadoby s konstantnım prurezem hladiny

Qvp = 0 , hladina klesa, az se nadoba vyprazdnı

S n se dostane integracı doba t potrebna ke snızenı

p0 z vys ky h0 na h

t=−

Sn µS 0

h

∫h 2g

− 12

h0

dh =

2S n µS 0 2 g

(

h0 − h

)

Pri ňplnem vyprazdnšnı nadoby je konecna vys ka hladiny rovna h = 0 a potrebna doba vyprazdnšnı nadoby se vypocte ze vzorce

tv = kde

2 Sh0 µS 0 2 gh0

=2

Sh0 V =2 0 Qvo Qvo

( 12.13)

V0 Ú objem nadrze Qv 0 = µS 0 2gh 0 je vytok na zacatku vyprazdnovanı Vypocıtana doba ňplneho vyprazdnšnı nadoby pri mens ıch vys kach hladiny h0 se muze lis it od

skutecne doby vyprazdnšnı. To je zpusobeno kvalitativnımi zmšnami ve vytoku kapaliny otvorem, nebo–pri urcite vys ce hladiny nad otvorem vznikne nalevkovity vır.


87

12.6. Prepady Prepad je vytok nezaplnšnym otvorem nebo otvorem s neuzavrenym obrysem. (obr. 12.6) Nejnizs ı mısto vytokoveho otvoru je korunou prepadu. Vys ka hornı hladiny

p 0 (pred prepadem) nad

korunou prepadu je prepadova vys ka h . S prepadem se setkavame na prehradach, kde zajis –ujı propus tšnı pri maximalnıch prutocıch a udrzenı hladiny v nadrzi pod maximalnı ňrovnı. Prepady majı vy znam rovnšz pro mšrenı velkych prutoku, napr. v laboratorıch. Podle polohy spodnı hladiny se rozlis ujı prepady dokonale a nedokonale. Dokonaly prepad je takovy, pri nšmz spodnı hladina neovlivnuje prutok prepadem. U dokonaleho prepadu je spodnı hladina pod korunou prepadu (obr. 12.6.) Nedokonaly prepad ma ovlivnšn prutok spodnı hladinou, ktera je vys e nez koruna prepadu (obr. 12.6). Prepadova stšna muze byt pomšrnš tenka nebo tlusta, poprıpadš se zaoblenım. Prutok dokonalym prepadem s volnym proudem se stanovı jako vytok velkym otvorem ve stšnš nadoby Úrov. (12.8). (3-10)h p0

p0 h

Qv = µ 2 g ∫ b h dh S

p0

h

p0

Tato rovnice je rovnice Dubuatova pro obecny tvar prepadu. Soucinitel prepadu souciniteli. Je zavisly

Dokonaly prepad

Nedokonaly prepad vlastnostech prepadu -

Obr.12.6 Dokonaly a nedokonaly prepad

µ je obdobny vytokovemu

na prepadove vys ce

h

a

µ = (Re, geom.t var)

Pro obdelnıkovy prepad (obr. 12.6) se s ırkou

koruny prepadu b je prutok urcen vzorcem pro rozmšrny otvor ve svisle stšnš (obr. 12.9). Jestlize se dosadı

h1 = 0 a h2 = h , pak

Qv =

( 12.14)

2 µbh 2 gh 3

Pro prepad s ostrou hranou a pro volny proud, ktery je dobre zavzdus nšn (vzduch ma prıstup pod prepadajıcı proud), je strednı hodnota soucinitele prepadu s ırce celeho kanalu

µ = 0,65 , pokud s ırka prepadu b je rovna

b0 . Pro prepady jinych prurezu vztahy pro prutok je mozne najıt v odborne

literature. Pro mšrenı prutoku se velmi casto pouzıva prepad trojňhelnıkovy.


88

13. Proudů nı v rotujıcım kanale 13.1. Bernoulliho rovnice pro rotujıcı kanal Pri prutoku kapaliny kanalem, ktery se

p0

pohybuje, se zmšnı energie kapaliny, nebo– na ni pusobı sıly od pohybu kanalu. (obr. 13.1) Napr. pri rovnomšrne rotaci

(ω = konst.) pusobı

na kapalinu odstrediva sıla. Prace, kterou tato

1

sıla vykona pri proudšnı kapaliny, ma vliv na jejı

rω

2

ω

energii.

v2

r1 r2

U

zahrnuje

0 u

rovnice

jak

byla

drıve

p v2 + − U = konst ρ 2

h2

r

Bernoulliho

odvozena v obecnem tvaru

2

g a

h

h1

v1

objemovych

c

U

v potencialu sil,

ktere

pusobı

praci na

vs ech proudıcı

kapalinu, tedy i odstredive sıly pri rotaci kanalu.

v

Na castici kapaliny v rotujıcı proudove trubici

Obr.13.1 Rotujıcı kanal

pusobı slozky zrychlenı

a r = rω 2 ; a y = − g ; a z = 0 Uvazıme-li, ze platı drıve odvozena rovnice, lze zapsat

a 0 = gradU ⇒ a x =

∂U ∂U ∂U ;ay = ;a z = ∂x ∂y ∂z

pri cemz platı

dU = (a x dx + a y dy + a z dy )

Potom pro svislou osu rotace s vyuzitım vys e uvedenych rovnic se urcı potencial integracı

ω 2r 2 U = ∫ dU = ∫ (a x dx + a y dy ) = − g ∫ dy + ω ∫ rdr = − gh + + konst 2 2

Dosazenım do obecne Bernoulliho rovnice dostane se pro rotujıcı kanal tato rovnice

p v2 u2 + + gh − = konst ρ 2 2 Rychlost

( 13.1)

v je relativnı rychlost kapaliny, jız proudı v rotujıcım kanale, rychlost u je obvodova neboli

unas iva rychlost v uvazovanem mıstš rotujıcıho kanalu. Ostatnı veliciny jsou stejne jako v zakladnı Bernoulliho rovnici.


89

Pri odstredivem prutoku rotujıcım kanalem se unas iva rychlost

u zvšts uje a energie kapaliny

se zvys uje. Tak je tomu napr. v odstredivych cerpadlech. Obdobnš pri dostredivem prutoku unas iva rychlost se zmens uje a energie kapaliny se snizuje. To je prıpad vodnıch turbin (napr. Francisovych). Prihlızı-li se k hydraulickym odporum pri ustalenem proudšnı skutecnı kapaliny rotujıcım kanalem, platı pro dva prurezy jedne a tez proudove trubice Bernoulliho rovnice

p1 v12 u2 p v2 u2 + + gh1 − 1 = 2 + 2 + gh2 − 2 + ghz ρ ρ 2 2 2 2 13.2. Odstredive cerpadlo C erpadlo dodava kapalinš energii, ktera je obecnš vyuzıvana na: a) zvedanı kapaliny (zvys ovanı polohove energie), b) zvys ovanı tlakove energie (premıstšnı kapaliny do prostoru s vys s ım tlakem) c) dopravu kapaliny (premıstšnı kapaliny z jednoho mısta do druheho). pv c1

α

c3

VP

β1

hs

β

SN 0

p0

c2

α2

2

v2

β2

c 2u

Obr.13.2 Schema cerpacıho zarızenı

u1

ω

c1

SP

β1

α2

hg

1

C

c1u1

hv

3 2

VN

v1

u2

Obr.13.3 Odstredive cerpadlo

Na cerpadlo C ř obr.13.2. je napojeno sacı SP a vytlacne potrubı VP, ktera propojujı sacı SN a vytlacnou nadrz VN. Podle obr. 13.3 celou drahu kapaliny je mozno rozdšlit na ctyri casti : 1. sacı nadrz a potrubı Ú kapalina proudı ve stojıcım potrubı z nadrze k cerpadlu, zpravidla vys e polozenemu, 2. obšzne kolo Ú kapalina proudı v rotujıcım kanale 3. difuzor nebo spirala Ú kapalina proudı ve stojıcım kanale, 4. vytlacne potrubı a nadrz Ú kapalina proudı z cerpadla do nadrze vytlacnym potrubım, pro ktere platı Bernoulliho rovnice pro stojıcı kanal. Bernoulliho rovnice pro sacı potrubı Ú ňsek 0,1, psana pro hladinu ve spodnı nadrzi a vstup do obšzneho kola je

p0 p c2 = 1 + ghs + 1 + ghzs ρ ρ 2


90

V rovnici jsou tyto veliciny: cerpadla,

hs je geodeticka sacı vys ka, hzs jsou hydraulicke odpory v sacım potrubı

p0 je tlak na hladinu v sacı nadrzi. Veliciny oznacene indexem l se vztahujı na vstup do

obšzneho kola cerpadla. Pro obšzne kolo platı Bernoulliho rovnice pro rotujıcı kanal Ú ňsek 1,2, ktera je pro vstupnı a vystupnı prurez

p1 v12 u12 p 2 v 22 u 22 + − = + − + gh zo ρ 2 2 ρ 2 2 Rychlosti

v1 , v 2 jsou relativnı. Rychlosti u1 ,u 2 jsou unas ive, index 1 znacı vstup do obšzneho kola,

index 2 vystup z obšzneho kola. Ztratova vys ka

h z 0 zahrnuje ztraty spojene s prutokem kapaliny

obšznym kolem (hydraulicke). Mezi rychlostmi absolutnı, relativnı a unas ivou platı pro vstup i vystup z obšzneho kola vztah

c = v + u . Absolutnı rychlostı c 2 vystupuje kapalina z obšzneho kola a vstupuje

do difuzoru, kde se kineticka energie mšnı v tlakovou. Pro difuzor (nebo spiralu) jako stojıcı kanal platı Bernoulliho rovnice psana pro vstupnı a vystupnı prurez Ú ňsek 2,3.

p 2 c22 p3 c32 + = + + ghzd ρ 2 ρ 2 Ztraty trenım v difuzoru vcetnš vstupnıch a vystupnıch mıstnıch ztrat jsou zahrnuty ztratovou vys kou v difuzoru

hzd . Rychlost c3 a tlak p3 jsou shodne s tlakem a rychlostnı ve vytlacnem hrdle cerpadla,

na ktere je pripojeno vytlacne potrubı nadrze Bernoulliho rovnice pro vytlacne potrubı Ú ňsek 3-VN

p 3 c32 p v + = + ghv + ghzv ρ 2 ρ Celkove ztraty ve vytlacnem potrubı jsou vyjadreny ztratovou vys kou

hzv . Veliciny oznacene indexem

v se vztahujı na vytlacnou nadrz. Sectenım vs ech ctyr rovnic se dostane

Yt = g (hs + hv ) +

pv − po 1 + g (hzs + h zv + h zo + h zd ) = u 22 − u12 − v 22 + v12 + c 22 − c12 ρ 2

(

Toto je vyraz pro teoretickou mšrnou energii cerpadla cerpadla

)

( 13.2)

Yt , prıpadnš teoretickou dopravnı vys ku

H t . Mšrna energie Yt predstavuje energii, ktera je predana v cerpadle kazdemu kg

hmotnosti kapaliny. C ast teto energie se spotrebuje v cerpadle, a to

g (hzo + h zd ) = gh zc, coz

predstavuje hydraulicke odpory v obšznem kole a difuzoru cerpadla. Skutecna mšrna energie cerpadla

Yd je

Yd = Yt − ghzc = g (hs + hv ) +

pv − p 0 + g (h zs + hzv ) = gH d ; H d = H t − hzc ρ

( 13.3)


91

V rovnici pro skutecnou mšrnou energii cerpadla

g (hs + hv ) , zvys enı tlakove energie

Yd je zahrnuta energie potrebna na zvedanı kapaliny

pv − p0 a dopravu kapalin, ktera je spojena s prekonanım ρ

hydraulickych odporu v sacım a vytlacnem potrubı

g (hzs + hzv ) .

Pomšr skutecne a teoreticke mšrne energie cerpadla je hydraulicka ňcinnost cerpadla, ve ktere jsou zahrnuty hydraulicke ztraty spojene s prutokem kapaliny pracovnımi prostory cerpadla. Dals ı ztraty v cerpadle jsou zpusobeny zpštnym prutokem kapaliny z vytlaku do sanı, netšsnostmi mezi rotujıcımi a stojıcımi castmi cerpadla (objemova ňcinnost cerpadla ucpavkach (mechanicka ňcinnost cerpadla

η 0 ) a ztratami v loziskach a

η m ). Celkova ňcinnost cerpadla je

η c = η h .η 0 .η m

( 13.4)

Uzitecny vykon cerpadla je

P = Qm .Yd = ρgQv .H d

( 13.5)

Prıkon cerpadla se urcı pomocı celkove ňcinnosti

Pp =

η c ze vztahu

p Q ρ .Yd Qv P ρgQv .H d = = d v = ηc ηc ηc ηc Hd,Yd

( 13.6)

char. potrubı provoznı bod

char. cerpadla

h s+ hv 0 P, η, ∆h

Qv P

η

∆h

0

Qv

Obr.13.4 Charakteristika odstrediveho cerpadla Skutecne pomšry na cerpadle se zjis –ujı experimentalnš na zkus ebnš a z vy sledku se sestavuje charakteristika cerpadla, tj. zavislost mšrne energie

Yd na prutoku Qv . Charakteristika

cerpadla byva doplnšna tez krivkami prıkonu, celkove ňcinnosti, prıpadnš kavitacnı deprese ∆h - obr. 13.4. Teoreticka mšrna energie

Yt , jak vyplyva z odvozenych rovnic, je dana rychlostnımi pomšry

na vstupu a vystupu z obšzneho kola, tj. rychlostmi

v1 , v 2 , c1 , c 2 , u1, u 2 v1 v1. ktere urcujı rychlostnı

trojňhelnıky na vstupu a vystupu z obšzneho kola Ú obr. 13.3. Kapalina se pohybuje v obšznem kole


92

relativnı rychlostı

v , ktera svıra s unas ivou rychlostı u ňhel β . Aby nedochazelo k razu, musı lopatky

obšzneho kola mıt smšr relativnı rychlosti. Urcuje tedy ňhel

β 1 a β 2 sklon lopatek na vstupu a

vystupu cerpadla. Podobnš ňhly lopatek v difuzoru jsou dany smšrem absolutnıch rychlostı

c 2 a c3 ,

jimiz proudı kapalina stojıcım difuzorem. Podle kosinove všty platı pro vstupnı rychlostnı trojňhelnık Ú obr. 13.3.

v12 = u12 + c12 − 2u1c1 cos α 1 a podobnš pro vystupnı rychlostnı trojňhelnık Ú obr. 13.3.

v 22 = u 22 + c 22 − 2u 2 c 2 cos α 2 Dosazenım do vyrazu pro teoretickou mšrnou energii cerpadla

Yt , se dostane po ňpravš

gH t = Yt = (u 2 c 2 cos α 2 − u1c1 cos α 1 ) = u 2 c 2u − u1c1u kde

( 13.7)

c1u a c 2u jsou slozky absolutnı rychlosti do smšru unas ive rychlosti u . Pro skutecnou mšrnou

energii

Yd platı vyrazy

Yd = gH d = η h gH t = η h (u 2 c 2 u − u1c1u ) Je-li ňhel

α 1 = 90 o tzv. kolmy vstup, potom predchazejıcı rovnice se zjednodus ı Yd = η h .u 2 .c 2 u

( 13.8)


93

14. Neustalene proudů nı 14.1. Bernoulliho rovnice pro neustalene proudů nı Integracı Eulerovy rovnice hydrodynamiky byla zıskana pro dokonalou kapalinu (nestlacitelnou a bez vnitrnıho trenı) rovnice Bernoulliho

v2 p ∂v + + gh + ∫ ds = konst , 2 ρ ∂t l

8

E

v0

a, v

h

p0 1 ρ = konst

0

s

l

2

Obr.14.1 Neustaleny proud v potrubı ktera platı obecnš pro neustalene proudšnı. Pro nejjednodus s ı prıpad neustaleneho proudšnı, kdy kapalina je nestlacitelna (ρ = konst, K

→ ∞ ) a potrubı je tuhe (E → ∞ ) a staleho prurezu, je rychlost

proudšnı jen funkcı casu v = v(t) a integral v poslednı rovnici se da vycıslit

∂v

dv

∫ ∂t ds = ∫ dt ds = a ∫ ds = al l

l

l

Bernoulliho rovnice pro neustalene proudšnı nestlacitelne kapaliny v tuhem potrubı je ( 14.1 )

p v2 + + gh + al = konst , ρ 2

kde a je zrychlenı sloupce kapaliny v potrubı o delce l. Ostatnı veliciny majı stejny vy znam jako drıve. Pro prurezy 1 v nadrzi a 2 na konci potrubı, jımz proteka skutecna kapalina nestacionarnš, platı Bernoulliho rovnice

p0 v02 p v2 + + gh = 2 + + al + ghz . ρ 2 ρ 2 Kdyz se prurez potrubı mšnı, je v kazdem ňseku potrubı jina rychlost a zrychlenı proudu kapaliny. Pro kazdy casovy okamzik platı rovnice kontinuity pro libovolne prurezy S1v1 = S2v2 = Sv = konst. Po uplynutı doby dt se zmšnı rychlosti na v1 + dv1, v2 + dv2, v + dv, pro ktere platı obdobnš rovnice kontinuity S1(v1 + dv1) = S2(v2 + dv2) = S1(v + dv). Z obou rovnic spojitosti se dostane odectenım

S1dv1 = S2dv2 = Sdv a po dšlenı dt je (

dv1 dv dv = a1 ; 2 = a 2 ; = a) dt dt dt

S1 a1 = S 2 a 2 = Sa = konst , coz je druha rovnice kontinuity pro neustalene proudšnı nestlacitelne kapaliny v tuhem potrubı.

( 14.2 )


94

14.2. Hydraulicky raz Odvozenı se provede opšt na nejjednodus s ım prıpadš, kdy potrubı je napojeno na velkou nadrz, v nız je hladina kapaliny v konstantnı vys i a na konci potrubı je uzavıracı ci regulacnı armatura. Predpokladejme nahle uzavrenı armatury, cımz se okamzitš zastavı vytok kapaliny. C astice kapaliny tšsnš u armatury se zastavı. Jejich kineticka energie se spotrebuje na stlacenı. Tım se vytvorı prostor, do ktereho dals ı castice vtekajı. Pri narazu na zastavenou kapalinu dochazı k premšnš kineticke energie na deformacnı praci spojenou se stlacenım zastaveneho sloupce kapaliny. Rozhranı mezi zastavenou (a stlacenou) kapalinou a pohybujıcı se kapalinou se s ırı od mısta vzniku razu, tj. armatury, rychlostı zvuku a (= rychlost s ırenı tlakovych vln). Zastavena kapalina ma všts ı tlak o hodnotu ∆p. Tlakova (razova) vlna, ktere se rıka prıma, se pohybuje rovnomšrnš, takze za cas

t=

l a

probšhne cely ňsek potrubı az k nadrzi a sloupec kapaliny v potrubı je stlacen Ú ma vys s ı tlak o ∆p. Razova vlna se nemuze s ırit dale do nadrze, kde je volna hladina. Na pocatku potrubı je v tomto okamziku rozhranı stlacene a nestlacene kapaliny, coz je nerovnovazny stav. Proto stlacena kapalina zacne expandovat do nadrze, deformacnı energie se premšnı opšt v kinetickou (kapalina “odpruzıú) a rozbšhne se v opacnem smyslu (od uzavšru do nadrze). Stoupnutı tlaku ∆p se tım zrus ı a celo teto vlny, zvane odrazena vlna, se s ırı rychlostı zvuku zpšt ke konci potrubı (k armature). Pri expanzi poslednıch castic na konci potrubı vznikne snızenı tlaku o hodnotu ∆p (castice kapaliny majı snahu se odtrhnou od zavreneho uzavšru). Tato tlakova vlna (snızenı tlaku o ∆p) se opšt s ırı od uzavšru k nadrzi, kde se odrazı. Pritom se snızenı tlaku ∆p zrus ı a kapalina se rozbšhne od uzavšru k nadrzi. Tato odrazena vlna dobšhne k uzavšru, na ktery kapalina narazı, takze dojde opšt k zastavenı a zvys enı tlaku. Ale to se jiz cely proces s ırenı tlakove vlny opakuje. U kapaliny bez vnitrnıho trenı nedochazı k ňtlumu a razove vlny by se neustale opakovaly. Ve skutecnych kapalinach se vnitrnım trenım razove vlny utlumı az prakticky zaniknou. Doba, ve ktere razova vlna se vratı do mısta vzniku, tj. k uzavšru, se nazyva doba bšhu vlny T a vypocıta se ze vztahu

T=

( 14.3 )

2l a

kde l je delka potrubı

a je rychlost zvuku. V kapalinach je rychlost s ırenı tlakovych vln (zvuku) urcena vyrazem

at =

K ρ

(14.4 )

Je to teoreticka rychlost zvuku, ktera by se dosahla v dokonale tuhem potrubı. Vzhledem k pruznosti potrubı je skutecna rychlost mens ı

a = κat , kde pro tenkostšnne potrubı je

(14.5 )


95

h0

p0

∆x x l v

t=0

a

h0 v=0

v

∆h

l T 0
∆h

h0

l T t= = 2 a

v=0

v

v

t=T 3 T 2

h0 h0

h0 v=0

v

∆h

T
∆h

v=0

∆h

a 2l T
a v=0

h0 v

v=0

∆h

3 T < t < 2T 2

h0

∆h

3 t= T 2

a t = 2T (t = 0)

v

Obr.14.7 Pohyb prıme a odrazene vlny a jemu odpovıdajıcı tlakove pomšry v potrubı

κ =

1+ kde

K E

(14.6 )

1 Kd Es je modul stlacitelnosti kapaliny je modul pruznosti materialu potrubı

Pro tlustostšnne potrubı je

κ =

1 K D2 + d 2 1+ 2 E D2 − d 2

,

kde d je vnitrnı polomšr potrubı

D je vnšjs ı polomšr potrubı.

d

je prumšr potrubı

s

je tlous –ka stšn potrubı


96

Stoupnutı tlaku pri hydraulickem razu se dostane z rovnosti kineticke energie a deformacnı prace pri stlacenı kapaliny v potrubı. Za urcity cas po uzavrenı armatury se dostane razova vlna do

x od uzavšru.- obr. 14.8 Sloupec kapaliny o delce x se zastavı a jeho kineticka energie

vzdalenosti

Ek =

se premšnı na deformacnı praci potrebnou ke stlacenı sloupce

Ed = Z rovnosti

( 14.7 )

1 2 1 1 mv = ρSxv 2 = ρVv 2 2 2 2 x o ∆x

( 14.8 )

1 1 F∆x = ∆pS∆V 2 2

E k = E d se dostane

1 1 ∆V ρv 2 2 ρVv = ∆p∆V neboli = 2 2 V ∆p Pomšrne objemove stlacenı je dano modulem stlacitelnosti kapaliny

∆V ∆p 1 ∆V 1 = neboli = K V ∆p V K Z porovnanı obou pomšrnych objemovych zmšn dostane

∆p ρv 2 = K ∆p

( 14.9 )

a stoupnutı tlaku pri hydraulickem razu je

∆p = ρKv 2 = ρ

( 14.10 )

K v = ρa t v ρ

Tento vyraz odvodil poprve N.E. Zukovskij (1897 Ú 1898). Skutecne zvys enı tlaku pri hydraulickem razu se vypocte se skutecnou rychlostı zvuku

∆p = ρav = κρat v

a , takze platı ( 14.11 )

V tomto prıpadš se ves kera kineticka energie premšnila v deformacnı praci. Takovemu hydraulickemu razu se rıka ňplny nebo totalnı. Nastane v tšch prıpadech, kdy doba uzavıranı dobš bšhu vlny

t x je krats ı nebo rovna

T , cili

tz ≤ T

( 14.12 )

Hydraulicky raz predstavuje znacne zvys enı tlaku. Napr. pri zmšnš rychlosti vody

∆v = 1 m s je pri

totalnım hydraulicke razu stoupnutı tlaku

∆p = ρa∆v = ρK ∆v = 10 3 ⋅ 2 ⋅ 10 9 ⋅ 1 =& 1,4 ⋅ 10 6 = 1,4 MPa Pruznostı potrubı je hydraulicky raz snızen. Bude-li cas uzavıranı

t 2 〈T jedna se o castecny hydraulicky raz, jehoz res enı vede na

parcialnı diferencialnı rovnice druheho radu, tzv. vlnove rovnice.


15.

97

Vů ta o zmů nů hybnosti Vedle bilance hmotnosti, to je rovnice kontinuity a bilance energie pro 1 kg proudıcı kapaliny Ú

Bernouliho rovnice, lze urcit jes tš impulzovou vštu Ú vštu o zmšnš hybnosti. V inzenyrske praxi se s vyhodou pouzıva vs ude tam, kde se sleduje jen vysledny silovy ňcinek tekutiny na stšnu pevneho tšlesa. Jejı aplikace na celou radu prıpadu bude uvedena dale. Odvozenı impulzove všty je nasledujıcı. Zmšna hybnosti t

v2

0

v1

v1

t1

v2

t2

∫ mdv je rovna impulsu sıly ∫ Fdt , coz je znamo z mechaniky ( 15.1 )

∫ Fdt = ∫ mdv Pro konstantnı sılu (F = konst) a hmotnost (m = konst) se dostane po integraci

Ft = m(v 2 − v1 ) = m∆v

( 15.2 )

U pravou teto rovnice (dšlenım t ) se zıska rovnice

F=

( 15.3 )

m v = Qm v = Qm ( v 2 − v 1 ) = H 2 − H 1 = H t

ktera slouzı k vypoctu sil (reakce), kterymi pusobı obtekane plochy na proud kapaliny. Soucin

H = Q m .v je prutokova hybnost. Sıla F vyvolana proudıcı kapalinou (akce) je rovna zmšnš prutokove hybnosti

H 2 − H1 .

Kapalina, ktera vteka do kontrolnıho objemu V rychlostı vyvola pri prutoku

v 1 a vyteka z nšho rychlostı v 2

Qv sılu F (obr.15.1). V

∆v v2 v1 Qv

v1

v2

Fs

V v2

v2s

Qv

F

v1

s v1

v1s v2

Qv

Qv

Obr.15.1 Všta o zmšnš hybnosti pri interakci

Obr.15.2 Urcenı sıly ve smšru

s

proudu kapaliny s tšlesem Pro vypocet slozky sıly ve smšru

s platı hybnostnı všta

F = Qm ∆v s = Qm (v 1s − v 2s ) = ∆H s kde

( 15.4 )

v1 , v 2 jsou slozky rychlostı v1 , v 2 do smšru s . Hybnostnı všta v hydromechanice slouzı k vypoctu sil, ktere by bylo nutno urcit integracı

z Eulerovych rovnic hydrodynamiky. Prıkladem aplikace hybnostı v hydrodynamice je vypocet silovych ňcinku paprsku kapalin na desky a tšlesa.


98

Paprsek kapaliny dopadajıcı kolmo na rovinnou desku zmšnı smšr proudšnı (obr.15.3). Zmšnou hybnosti se vyvola sıla

F . Kontrolnı objem V se volı tak, aby ve vstupnım prurezu proudu

kapaliny byla nenarus ena rychlost

v1 , podobnš ve vystupnım prurezu musı proud mıt smšr odtokove

rychlosti shodny s povrchem desky. Protoze paprsek kapaliny proudı v ovzdus ı, je tlakova energie konstantnı. Rovnšz polohova energie vodorovneho paprsku se nemšnı. Neuvazujı-li se hydraulicke

v 2 stejna jako prıtokova v1

odpory (po dopadu na desku), musı byt odtokova rychlost ( v1

= v 2 = v vyplyva z Bernoulliho rovnice). v2

Qv

V

F

v1

S

S

α

v2 = ϕ v 1

v2 v1

F

v2 α v2

Obr.15.3 U cinek paprsku na kolmou desku

Obr.15.4 U cinek paprsku na obecnou rotacnı plochu

Zmšna rychlosti ve smšru sıly

F je ∆v F = v1 − 0 , nebo–slozka v 2 F = 0(v 2 − F ) . Hmotnostnı prutok

Qm je Qm = ρQm , takze F = ρQv v = ρSv 2

( 15.5 )

Aby odtokova rychlost byla rovnobšzna s povrchem desky, musı byt deska rozmšrna. Pri male desce se proud kapaliny castecnš odklonı. Paprsek kapaliny dopadajıcı na rotacnı plochu ve smšru jejı osy vyvolava sılu (obr.15.4)

F = Qm ∆v , kde

∆v = v1 − v 2 cos α = v1 − ϕv1 cos α = v1 (1 − ϕ cos α ) Qm = ρSv1 F = ρSv12 (1 − ϕ cos α )

( 15.6 )

Soucinitel ϕ (rychlostnı) vyjadruje vliv hydraulickych odporu (trenı) pri obtekanı rotacnı plochy na rychlost, ktera se snizuje. Na unas enou desku pri kolmem dopadu paprsku kapaliny pusobı sıla (obr.15.5)

F = Qm ∆v kde zmšna rychlosti je urcena relativnı rychlostı dopadu

F nulovou slozku. Je tedy

( 15.7)

(v − u ) . Odtokova rychlost ma ve smšru sıly


99

∆v = (v − u ) − 0 = v − u

u

Hmotnostnı prutok kapaliny, ktera dopadne na desku je

v>u V

Qv

v

Qm = ρS (v − u ). Silovy ňcinek je tedy F

v

S

( 15.8)

F = ρS (v − u )

2

(u〈v )

( 15.9)

2

v

Poznamka: Rozdıl mezi hmotnostnım prutokem

Obr.15.5 U cinek paprsku na pohybujıcı se desku

Qm1 = ρSv ,

ktery vyteka z trysky a hmotnostnım prutokem

Qm = ρS (v − a ) , ktery dopada na desku je

roven Q m 2

= Q m1 − Q m = ρSu a spotrebuje se na prodlouzenı

paprsku. Pohybujıcı se deska muze konat silovym ňcinkem praci. Jejı vykon je urcen vyrazem

P = Fu = ρS (v − u ) u

(u〈v )

2

Z rovnice vyplyva, ze pro u = 0 a pro rychlost v intervalu

( 15.10)

u = v je vykon P nulovy. Musı tedy existovat aspon jeden extrem

0〈 v〈u. Z derivace

[

]

dP 2 = ρS − 2(v − u )u + (v − u ) = ρS (v − u )(v − 3u ) = 0 du

u 1 d 2P u 2 = 2 ρS (3u − 2v ) , je pro 〈 zaporne, jde o maximum. Maximalnı vyplyva = . Protoze 2 v 3 v 3 du vykon desky je (15.11)

2

Pmax

v v 4  = ρSv 3 = ρS  v −  3  3 27 

Podobnym zpusobem lze urcit silovy ňcinek na Peltonovo kolo (obr.15.6), ktere sestava z korecku, na nšz dopada paprsek vody. Na korecku mšnı proud kapaliny smšr proudšnı a tım vyvolava silovy ňcinek. Voda dopada na korecek (pohybujıcı se unas ivou rychlostı

u ) relativnı rychlostı (v − u ) .

o

V idealnım prıpadš se zmšnı smšr proudšnı o 180 takze z korecku odteka relativnı rychlostı

− (v − u ) . Neuvazujı se hydraulicke ztraty. Zmšna rychlosti ∆v po prutoku koreckem je ve smšru sıly F (totozny s unas ivou rychlostı u ) urcena vztahem ∆v = (v − u ) − [− (v − u )] = 2(v − u )

( 15.12)

Na vs echny korecky Peltonova kola dopadne ves kera voda vytekajıcı z trysky, jejız hmotnostnı prutok je

Qm = ρSv . Silovy ňcinek na Peltonovo kolo je

F = Qm ∆v = 2 ρSv(v − u )

( 15.13)

a vykon

P = Fu = 2 ρSv(v − u )u I tato funkce ma extrem

( 15.14)


100

vv 1  Pmax = 2 ρSv v −  = ρSv 3 2 2 2 

(15.15)

Silove ňcinky proudu kapaliny na potrubı (obr.15.7) se skladajı z nškolika sil. Na ňsek potrubı (mezi prurezy 1 a

ω

2) pusobı sıla vyvolana zmšnou prutokove hybnosti kapaliny, a to jak smšrem, tak i velikostı rychlosti

v

Fh = H 1 − H 2 = Qm (v 1 − v 2 ) = Fh1 − Fh2

u

( 15.16)

-(v-u) (v-u)

v

kde

F

u

Fh1 = Qm v 1

-(v-u)

Fh2 = Qm v 2

Obr. 15.6 Pomšry u Peltonovy turbıny

( 15.17)

Dale pusobı na zvoleny ňsek potrubı tlakove sıly.

U cinek kapaliny v pomyslnš odstranšnem potrubı v prurezu 1 vyjadruje tlakova sıla

Fh1

2

S2 p

v2

2

Fh

Fp1 = p1 S1 -Fh2 Fp1

Fhp Fp -Fp2 Fg

h1

v1

h2

p1

Fg U=0

F

Fp 2 .

Podobnš v prurezu 2 pusobı sıla

K urcenı vyslednice sil na zvoleny ňsek

1 S1

( 15.18)

Fk

Fhp

potrubı se pricte tıha kapaliny

Fk , ktera

zaplnuje ňsek potrubı a vlastnı tıha potrubı

Fg .

Vektorovy

soucet

sil

Fh , F p , Fk , Fg dava vyslednici sil, ktere

Fk

pusobı na ňsek potrubı 1-2:

F

F = Fh + Fp + Fk + Fg

Obr. 15.7 U cinek proudu kapaliny na potrubı

Vyslednici sil

(15.19)

F musı prenest uchycenı

nebo zakotvenı potrubı. Poznamka: Vliv hydraulickych odporu pri proudšnı skutecne kapaliny je zahrnout v tlakove sıle neboŠt jejı slozka F p 2 zavisı na tlaku

Fp ,

p 2 v prurezu 2, ktery je ovlivnšn hydraulickymi odpory, jak

vyplyva z Bernoulliho rovnice:

p1 v1 p v2 + + gh1 = 2 + 2 + gh2 + ghz ρ 2 ρ 2


101

16. Obtekanı tů les Pri obtekanı tšles ci pohybu tšlesa v tekutinš vznikajı sıly a momenty. Vyslednou sılu a moment lze rozlozit obecnš na tri slozky: odpor klonivy

Fx , vztlak Fy a bocnı sılu Fz a moment klopivy Mz,

M x a zatacivy M y , obr.16.1 y My Fy Fx

Fz

v Mx

z

x

Mz

Obr.16.1 Sıly a momenty pusobıcı na obtekane tšleso Pri symetrickem obtekanı tšles pak budou nšktere z tšchto slozek rovny nule (bocnı sıla a klonivy a zatacivy moment). Nachazı-li se tšleso v rozlehlem proudu tekutiny, nelze jiz tak snadno urcit rychlostnı a tlakove pole kolem tšlesa a teoreticke stanovenı napr. odporu a vztlaku je velmi obtızna ňloha. Jestlize provadıme vypocet s modelem nevazke tekutiny, dostavame nulovy odpor, coz je v rozporu s nas ı zkus enostı (D'Alembertuv paradox), nebo–i pri obtekanı tšles vzduchem, ktery ma velmi malou viskozitu, vznika vzdy odpor, tj. slozka paralelnı s vektorem rychlosti. Experimentalnš bylo zjis tšno, ze pri velkych Reynoldsovych cıslech saha vliv viskozity jen do male vzdalenosti od povrchu tšlesa a tato cast proudu se nazyva meznı vrstva; ňplav je odplavovana meznı vrstva, obr.16.2.

16.1. Meznı vrstva Uvazujme nejjednodus s ı prıpad - meznı vrstvu na tenke desce paralelnı s proudem tekutiny. Tlak je v celem objemu tekutiny konstantnı. Tekutina na stšnš lpı

v0 = 0 . Vlivem viskozity se zabrzdı

nejblizs ı vrstvy tekutiny u povrchu desky. Rychlost s odlehlostı od stšny narusta az na hodnotu rychlosti nenarus eneho proudu

v∞ . Tato tlous –ka "zabrzdšne" tekutiny δ x je u nabšzne hrany nulova

a na odtokove hranš je maximalnı. V meznı vrstvš a oblasti kolem desky nejsou proudnice paralelnı prımky, ale tvorı mırnš se rozbıhajıcı svazek. Slozka rychlosti kolma k desce vy ± v∞ a lze ji zanedbat. Hranice meznı vrstvy nenı shodna s proudnicemi. Mimo meznı vrstvu je vs ude rychlost temšr konstantnı, tedy δv / δy = 0 a proto i tecne napštı je zde rovno nule, bez ohledu na viskozitu tekutiny. Mimo meznı vrstvu muzeme tedy pocıtat s Bernoulliovou rovnicı pro idealnı tekutiny. V meznı vrstvš vs ak musıme viskozitu uvazovat a proudšnı zde muze byt buť laminarnı nebo turbulentnı. Odvoťme pomocı všty o zmšnš hybnosti vztah udavajıcı rust tlous –ky meznı vrstvy vzdalenostı od nabšzne hrany

x,

δ x se


102

Zvolme kontrolnı oblast OAB, ohranicenou deskou, hranicı meznı vrstvy a ňseckou AB. Uvazujme jednotkovou s ırku desky b. Pro zjednodus enı se volı rychlostnı profil jako prımka, jez da pro

v

b=1 8

v

v

y

8

p = konst. A v 8

8

v

8

y

8

laminarnı meznı vrstvu vcelku vyhovujıcı vysledek:

0

x

δx

B dx

x

u plav

m.v.

x

L Obr.16.2 Meznı vrstva Ú m.v. na tenke desce.

dv =0 dy

τ=0

Obr.16.3 Idealizovana meznı vrstva na desce. Uplav je odplavena meznı vrstva.

v = v∞

( 16.1 )

y . δx

Ve smšru proudšni pusobı na tekutinu v uvazovane oblasti pouze trenı o stšnu: ( 16.2 )

x

Fx = ∫ τ 0 dx , 0

kde

τ 0 je tecne napštı na stšnš  dv  v τ 0 = η   = η ∞ . δx  dy  y =0

( 16.3 )

Z kontrolnı oblasti vyteka prurezem AB δx

QM = ρ ∫ vdy = ρ 0

v∞δ x . 2

( 16.4 )

Toto mnozstvı tekutiny priteka do kontrolnı oblasti plochou OA konstantnı rychlostı

v∞ , takze hybnost

pritekajıcı tekutiny je

H1 = QM v∞ =

( 16.5 )

1 2 ρv∞δ x . 2

Hybnost tekutiny vytekajıcı prurezem AB z kontrolnı oblasti δx

δx

0

0

H 2 = ∫ vdQM = ρ ∫ v 2 dy =

1 2 ρv ∞ δ x . 3

( 16.6 )

Dosadıme-li rov. ( 16.2 ), ( 16.3 ), ( 16.5 ), ( 16.6 ) do všty o zmšnš hybnosti napsane pro elementarnı cast meznı vrstvy o delce dx :

dF = d (H 1 − H 2 ) = τ 0 dx = η

δ (H 1 − H 2 )dx , δx

∂δ x v∞ 1 dx = ρv∞2 dx . δx 6 ∂x


103 Protoze

∂δ x 6η dx = dδ x ,upravı se diferencialnı rovnice separacı promšnnych na tvar δ x dδ x = ∂x ρv ∞

a po integraci

δ x2 = 12

ν x+K, v∞

( 16.7 )

coz je parabola druheho stupnš, kde K = 0 nebo– pro x = 0 je

δ x = 0 . Zavedeme-li do rovnice

( 16.7 ) Reynoldsovo cıslo, v nšmz charakteristickou delkou bude vzdalenost od nabšzne hrany

Re x =

x: ( 16.8 )

v∞ x , ν

bude

δx =

3,46 x

( 16.9 ) .

Re x

Pomocı presnšjs ıch vypoctu potvrzenych experimenty dostaneme stejny vyraz, jen konstanta je vys s ı: 5,8. Chceme-li vypocıtat odpor, dosadıme z rov. ( 16.3 ) za pouzitı rov. ( 16.7 ) L

Fx = b ∫ τ 0 dx = 0

1,15 Re L

bLρ

v ∞2 , 2

( 16.10 )

tj. odpor jedne strany desky, jejız plocha S = b.L . Prvy zlomek se zpravidla oznacuje soucinitel odporu

c x a presnšjs ım vypoctem dostaneme opšt stejny vztah s vys s ı konstantou ( 16.11 )

1,33

cx =

.

Re L

Odpor desky se pak pocıta z rovnice

Fx = c x Sρ kde

v∞2 , 2

( 16.12 )

ρv∞2 / 2 = p d ,tj. dynamicky (resp. kineticky) tlak. Jestlize nabıhajıcı proud tekutiny je turbulentnı, nebo jestlize je proud laminarnı, ale pred

desku umıstıme turbulizator, napr. sıto, drat, pak tlous –ka meznı vrstvy bude narustat rychleji a odpor bude vys s ı:

cx = δx =

0,074 5

Re L

0,37 x 5

( 16.13 )

( 16.14 )

Re L

(tj. strednı hodnota tlous –ky, nebo– δx kolısa s casem), viz obr. 16.4 Ale i kdyz je proud laminarnı a nepouzijeme turbulizator, pak laminarnı meznı vrstva po dosazenı urcite tlous –ky se stane nestabilnı a v urcite vzdalenosti od nabšzne hrany se zmšnı v turbulentnı a dostane se tzv. smıs ena meznı vrstva, obr.16.4.


104

3

10 cx 8

v

10 6 4

turb.

lam.

L

2

S

1 5 6 10 10 Rek

Obr.16.4 Smıs ena meznı vrstva na desce.

drsnost

T

10

7

10

8

10

9

Re

Obr.16.5 Zavislost soucinitele odporu tenke desky na Reynoldsovš cısle:

L - laminarnı meznı vrstva, S -

smıs ena meznı vrstva,

T - turbulentnı meznı vrstva.

V prednı casti je meznı vrstva laminarnı, v zadnı turbulentnı, mezi nimi prechodova oblast. Okamzita hranice turbulentnı meznı vrstva Ú plna nepravidelna krivka - se s casem mšnı. Strednı tlous –ka turbulentnı meznı vrstvy je zakreslena carkovanš. Kriterium pro stanovenı tohoto prechodu je opšt kriticke Reynoldsovo cıslo, jehoz hodnota se mšnı se stupnšm turbulence proudu. Zpravidla se udava

Re k =

v∞ x k = 5 ⋅ 10 5 , υ 6

ale muze byt všts ı (az 2.10 ) i mens ı. Soucinitel odporu pro smıs enou meznı vrstvu lze vyjadrit

cx = kde pro

0,074 5

Re L

−

( 16.15 )

A , Re L

Re L = 5.10 5 je A = 1700 . Zavislost soucinitele odporu

c x tenke desky na Reynoldsovš cısle je na obr.16.5. Protoze je

diagram vynesen v logaritmickych souradnicıch, je zavislost soucinitele odporu laminarnı meznı vrstvy,rov. ( 16.11 ) , znazornšna prımkou

L stejnš jako soucinitele odporu turbulentnı meznı vrstvy

pro hladkou desku, rov. (14.13) carkovanou prımkou

T s mens ım sklonem. Skutecne hodnoty 7

soucinitele odporu v turbulentnı meznı vrstvš budou pri vys s ıch hodnotach Re (nad 10 ) vys s ı a jsou v znazornšny plnou krivkou. V turbulentnı oblasti je odpor zavisly i na drsnosti desky a s rostoucı drsnostı roste i soucinitel odporu. Krivky pro smıs enou vrstvu S (je jich vıce podle velikosti Rek) se asymptoticky blızı krivkam soucinitele odporu turbulentnı meznı vrstvy, nebo– pri rostoucıch Reynoldsovych cıslech je cast plochy desky s laminarnı meznı vrstvou stale mens ı.

16.2. Odpor tů les Fx Pri obtekanı realnych tšles konecne tlous –ky, symetrickych k vektoru rychlosti

v∞ , jsou

vs echny slozky sil kromš odporu nulove:

v∞2 Fx = c x Sρ . 2

( 16.16 )


105 Pri obtekanı tšles mens ımi rychlostmi (aby se neuplatnil vliv stlacitelnosti), si celkovy odpor rozkladame na odpor trecı (vliv viskozity) dany integralem tecnych sil po povrchu a tlakovy, zpusobeny nesymetrickym rozlozenım tlaku po povrchu tšlesa. Podle toho, ktera slozka odporu prevlada, coz zavisı na tvaru, muzeme tšlesa rozdšlit do trı skupin: deskovita a paralelnı s proudem, deskovita a kolma k proudu a spojitš zakrivena s relativnš velikou tlous –kou nebo dobre a s patnš obtekana: a) ocasnı plochy letadel a.p. jsou typickymi prıklady profilovanych desek, u nichz prevlada trecı odpor. Do rov. ( 16.16 ) se vs ak obycejnš nedosazuje smocena plocha, jako u tenke desky, nybrz plocha pudorysu, nebo–se urcı snadnšji. Soucinitel odporu zavisı na tvaru profilu desky, Reynoldsovš cısle, drsnosti povrchu a turbulenci proudu. Prubšh soucinitele odporu v zavislosti na Reynoldsovš cısle je podobny jako pro tenkou desku, jen o nšco všts ı vlivem maleho tlakoveho odporu. U plav je maly. Protoze prechod laminarnıho proudšnı v turbulentnı je silnš zavisly na tlakovem spadu, lze vhodnym tvarovanım snızit odpor v urcite oblasti Re. Jedna se o tzv. laminarnı profily, u nichz je maximalnı tlous –ka posunuta do vzdalenosti 40 az 60% od nabšzne hrany, zatımco u klasickych profilu byla asi 30%, obr.16.7

3

10 cx

8

v

pmin

c

pmin

2 1 5 10

Obr. 16.6 Obtekanı desky kolme k proudu

b

10 6 4

a

10

6

10

7

Re

p = konst.

Obr.16.7 Srovnanı hodnot soucinitele odporu pri ruznych Re pro: a) tenkou desku (soucinitel odporu vztazen na plochu pudorysu desky), b) klasicky profil c) laminarnı profil.

b) U deskovitych tšles postavenych kolmo k proudu, obr.16.7, nebo u tšles s ostrymi hranami na zadnı casti, dochazı k odtrzenı proudu na hranach. Proto bod odtrzenı nemšnı svou polohu. Pred tšlesem je pretlak, za tšlesem podtlak (nevhodne rozlozenı tlaku). U plav je veliky Soucinitel odporu zavisı hlavnš na tvaru tšlesa, jen pro mala Reynoldsova cısla Re < 103 je zavisly i na Re, nebot' roste vliv viskozity, obr.16.8.

10

8

koule deska

a b

8

cx v alec l d

1

1 0.1 1

5

koule,

valec,

elipsoid,

deska.

elipsoid

Obr.16.8 Zavislost soucinitele odporu ruznych 2

3

10 10 10 10

4

5

6

10 10 Re 3

Hodnoty soucinitelu pri Re > 10 jsou

tšles na Reynoldsovš cısle:


106

zavisle hlavnš na tvaru, napr. kruhova a ctvercova deska majı cx = 1,1 ; obdelnıkova deska (s teoreticky nekonecnym rozpštım) cx= 2. Jako charakteristickou plochu A dosazujeme v tomto prıpadš do rov. ( 16.12 ) plochu prumštu do roviny kolme k rychlosti

v∞ - celnı prumšt.

c) pro tšlesa spojitš zakrivena (koule, elipsoidy, valce a p.) je charakteristicke, ze pri urcitych hodnotach Reynoldsovych cısel dochazı k pronikavym zmšnam soucinitele odporu cx napr. na obr.16.8, pri Re

≈ 105. Prıcinou je posunutı bodu odtrzenı meznı vrstvy smšrem dozadu pri prechodu

proudšnı v meznı vrstvš z laminarnıho na turbulentnı. To ma za nasledek zmens enı ňplavu i odporu. K odtrzenı meznı vrstvy dochazı zpravidla tehdy, kdyz tekutina proudı do mıst s vys s ım tlakem napr. na zadnı casti koule, valce, ale i v difuzoru a podobnš. Tlakove a trecı sıly pusobıcı proti pohybu castice jsou prekonavany setrvacnostı castice tekutiny, jejı rychlost proto klesa, az v urcitem mıstš na povrchu tšlesa ma rychlost nulovou, obr.16.9. Rychlostnı profil v tomto mıstš ma inflexnı bod. Za tımto mıstem majı rychlosti u stšny opacny smysl, nez je tomu u hlavnıho proudu. U stšny vznika zpštnš proudšnı .

inflexnı bod Obr.16.9 Proudšnı v okolı bodu odtrzenı V turbulentnı meznı vrstvš majı castice u stšny všts ı kinetickou energii, protoze rychlostnı profil je plnšjs ı nez pri laminarnım proudšnı. To je prıcina posunu bodu odtrzenı dozadu a zmens enı ňplavu pri prechodu laminarnıho proudšnı v meznı vrstvš v proudšnı turbulentnı. Proto pri Reynoldsovš kritickem cısle dojde k poklesu soucinitele odporu, jak jsme drıve uvedli. (obr.16.8). Pri velmi malych Reynoldsovych cıslech, mens ıch nez 1, prevlada vliv vazkych sil nad tlakovymi. U koule a valce je bod odtrzenı posunut daleko dozadu - nedochazı temšr k odtrzenı. Soucinitel odporu je silnš zavisly na Re. Pro kouli odvodil Stokes vztah Fx rov. ( 16.12 ) pri dosazenı

= 3πνv∞ d . Srovnanım s

S = πd 2 4 dostaneme c x = 24 Re . Pri tšchto obtekanıch (tzv. plızive

proudšnı) nelze hovorit o meznı vrstvš, nebo–vliv viskozity saha velmi daleko od tšlesa. U valcu dochazı v oblasti 40 < Re < 500 k pravidelnemu, strıdavemu odtrhavanı vıru a za valcem vznika tzv. Karmanova vırova stezka. Tento jev je nutno respektovat u ruzny ch stavebnıch konstrukcı, a dbat na to, aby nedos lo k rezonanci frekvence odtrhavanı vıru a vlastnı frekvence konstrukce. Tento jev je take prıcinou "zpıvanı" telefonnıch dratu - tzv. Strouhalovych trecıch tonu. Do Reynoldsova kritickeho cısla, jez pro kouli nabyva hodnot

Re k =

v∞ d = (1,5 az 4) ⋅ 10 5 ν

je proudšnı v meznı vrstvš laminarnı - podkriticke, bod odtrzenı meznı vrstvy je jes tš pred maximalnım prurezem, obr.16.10a. Pri nadkritickem obtekanı je bod odtrzenı za maximalnım prurezem, obr.16.10b.


107

Lam.

82

a,

Turb.

120

b,

Obr.16.10 Odtrzenı proudu pri obtekanı koule podkriticke obtekanı - laminarnı meznı vrstva, nadkriticke obtekanı - turbulentnı meznı vrstva.

17. Proudů nı v korytech 17.1. Rovnomů rny pru tok Pri prutoku koryty je kapalina vedena stšnami, ktere neohranicujı cely prutocny prurez, jen cast, takze vznika volna hladina. Na teto hladinš se styka proud kapaliny s ovzdus ım. Muze jıt o prutok neplnym potrubım, stokami, umšlymi otevrenymi kanaly nebo prirozenymi koryty potoku a rek. Zpravidla jde v tšchto prıpadech o turbulentnı proudšnı. Pri ustalenem prutoku mohou nastat dva prıpady, a to pohyb rovnomšrny, pri nšmz se rychlost proudu nemšnı po delce koryta a pohyb nerovnomšrny pri nšmz se rychlost proudu a tım i prutocny prurez (hloubka proudu) po delce koryta, tj. v zavislosti na vzdalenosti mšnı, avs ak nemšnı se s casem t . Rovnomšrny prutok nastane v korytš staleho prurezu, jestlize spad dna v rovnovaze se ztratovou vys kou

z na delce l je

hz = z , coz vyplyva z Bernoulliho rovnice

o

s

ϕ

hz

vody

je

v tomto

prıpadš

rovnobšzna se dnem koryta. Pro ztraty trenım platı vzorec

v 2= v

H

S

hz=h

z

y

v

2

l

Obr.17.1 Rovnomšrny proud v korytš

i=

Hladina

v2 2g

1 h

H

v2 2g

p0 v 2 p v2 + + g (h + z ) = 0 + + gh + ghz ρ 2 ρ 2

hz = λ

l v2 =z d 2g

Pomšrny spad koryta je

z λ v2 = l d 2g

Prurez korytem je zpravidla nekruhovy, proto se zavadı mısto prumšru d hydraulicky polomšr

rh =

S . (je treba upozornit na rozdıl s drıve uvedenym hydraulickym prumšrem d h , ktery je o


108

definovan jako 4-nasobek hydraulickeho polomšru

rh a nikoliv 2- nasobek). Dosazenım

d = d h = 4rh se upravı rovnice pro rovnomšrny prutok korytem takto: i=

λ v2 8 g rh

( 17.1 )

Rychlost rovnomšrneho prutoku v korytš je

v=

( 17.2 )

8g irh = C irh λ

coz je Chezyho rovnice. Rychlostnı soucinitel C pro strednı rychlost rovnomšrneho proudu v korytech je vazan se soucinitelem trenı vztahem ( 17.3 )

8g C= λ z cehoz plyne, ze

C = f (Re, ε )

Odborna literatura uvadı celou radu empirickych vztahu pro stanovenı rychlostnıho soucinitele

C , ktere byly stanoveny na zakladš mšrenı. U prirozenych toku byva pomšrny spad i velmi maly. U horskych rek je napr. 0,002, u velkych rek v nızinach jen 0,0002. Pri navrhu koryt, stok pod. byva obvykle zadan prutok

Qv a volı se rychlost, z cehoz se

vypocıta prurez S a pomšrny spad i . Aby pomšrny spad i , ktery je ňmšrny ztratam, byl co nejmens ı, je treba volit profil nejmens ıho odporu, tj. s co nejvšts ım hydraulickym polomšrem.

17.2. Nerovnomů rny pru tok V mıstech, kde se spad koryta mšnı, takze promšnnem spadu se prutocna rychlost

z ≠ hz , vznika pohyb nerovnomšrny. Pri

v a tım i hloubka h mšnı po delce koryta, nikoliv vs ak

l

v 22 h2 2g

v2

o

S

z2

z1

b

2

h

hz

v1

dh

1

z1 -z2

h1

v 12 2g

v zavislosti na case Ú obr. 17.2.

Obr.17.2 Nerovnomšrny proud v korytš

Obr.17.3 Prutocny prurez koryta

Pro zmšnu vys ky hladiny je mozne odvodit diferencialnı rovnici ve tvaru, oznacenı velicin je patrne z obr. 17.3.

Qv2 S 2 C 2 rh dh = dx bQv2 1− gS 3 i−

(17.4 )


109 K integraci poslednı rovnice je treba znat tvar koryta a stanovit funkce:

S = S (h ),

rh =

S = f (h ); o

C = C (h );

b = b(h ) .

Res enı

se

da

provest

jen

v jednoduchych prıpadech exaktnš, u slozitšjs ıch profilu koryt se s vy hodou pouzije numericke metody.

ϕ1> ϕ2 v1 > v2

ϕ1

v1

ϕ2

v2

Obr.17.4 Vodnı skok Pri zvšts enı pomšrneho spadu koryta se proud zrychluje a jeho hloubka klesa. V opacnem prıpadš pri zmens enı pomšrneho spadu se proud zpomaluje a jeho hloubka stoupa. V druhem prıpadš muze dojıt k nahle zmšnš rychlosti a tım hloubky, cemuz se rıka vodnı skok.-obr. 17.4.


110

18. Fyzikalnı podobnost a teorie modelovanı 18.1. Hydrodynamicka podobnost pri proudů nı tekutin Experimentalnı prace v hydraulicke laboratori je velmi vy znamnou slozkou vyzkumne prace. Zkoumajı se modely nejruznšjs ıch stroju a zarızenı, aby se poznaly jejich zakladnı vlastnosti nebo zjistily a opravily vady, ovšrujı se teoreticke predpoklady navrhu ci projektu a velmi casto se pokusnš zjis –ujı vzajemne zavislosti zňcastnšnych velicin. Vysledky zıskane na modelu se pak prepocıtavajı na skutecne zarızenı, tzv. dılo. Prozkoumanı jevu na modelu umoznuje take zavest opravne soucinitele do teoreticky odvozenych rovnic, jejichz res enı bylo zalozene na zjednodus ujıcıch predpokladech (aby se matematicke res enı usnadnilo nebo zjednodus ilo), ktere se vs ak od skutecnych pomšru castecnš odchylujı. V nškterych slozitych prıpadech, ktere nejsou dosud teoreticky res itelne, se experimentem zıskavajı pro praxi potrebne vztahy velicin. Model se zhotovuje temšr vzdy mens ı nez dılo, proto je levnšjs ı, lehcı, manipulace s nimi je snadnšjs ı, vyroba modelu krats ı a lze s nım experimentovat v laboratorıch. Mens ı naklady umoznujı vys etrovat na modelu nškolik alternativ a provadšt ňpravy bšhem experimentovanı. Vysledky mšrenı na modelu, majı-li splnit svuj ňkol, je nutno prepocıtat na skutecne provedenı Ú dılo, coz se provadı na zakladš poznatku teorie fyzikalnı podobnosti. Fyzikalnı podobnost stanovı podmınky, za kterych je zkoumany jev na modelu fyzikalnš podobny jevu ve skutecnem provedenı Ú dıle. U plna fyzikalnı podobnost je splnšna tehdy, kdyz jsou soucasnš splnšny nasledujıcı tri podmınky: 1. geometricka podobnost. Tato vyzaduje, aby pomšr odpovıdajıcıch delek na modelu a na dıle byl konstantnı a ňhly stejne

 L1  L    =  1  = konst  L2  Model  L2  Dıle

( 18.1)

2. kinematicka podobnost. Tato podobnost vyzaduje, aby pomšr odpovıdajıcıch rychlostı a zrychlenı na modelu a dıle byl konstantnı

 v1  v    =  1  = konst  v2  M  v2  D

( 18.2)

3. dynamicka podobnost. Proudšnı tekutin je pohyb hmotnych castic. Podle klasicke Newtonovy mechaniky jsou prıcinou pohybu sıly. Proto dynamicka podobnost vyzaduje, aby pomšr odpovıdajıcıch sil na modelu a na dıle byl konstantnı

 F1  F    =  1  = konst  F2  M  F2  D

( 18.3)

Splnšnı podmınek geometricke a kinematicke podobnosti je obvykle snadne, slozitšjs ı byva splnšnı dynamicke podobnosti. V mechanice tekutin se vyskytuje mnoho sil, vyberme ze vs ech pouze ty, ktere se nejcastšji vyskytujı a tyto nech–jsou: Sıla tlakova

F p = p.S ≈ pl 2


111 Sıla trecı

Ft = τ .S ≈ ηlv

Sıla setrvacna

FS = m.a ≈ ρ l 2 v 2

Tıhova sıla

FS = mg ≈ ρ gl 3

Pro n sil je mozno sestavit

 n   kriteriı fyzikalnı podobnosti (pomšr dvou sil), z cehoz polovina je na  2

sobš nezavisla. Kriterium fyzikalnı podobnosti proudšnı, ve kterem budou hlavnı (dominantnı) sıly setrvacne Ú

Fs a trecı Ú Ft je podle rovnice (16.3) pomšr  FS   Ft

FSM F = tM = konst , odkud FSD FtD

 F   =  S   M  Ft  D

Po dosazenı za jednotlive sıly je-li

η = ν dostaneme ρ

 ρ l 2v 2   ρ l 2v 2    =    ηlv  M  ηlv  D

 vl   vl    =   ν M  ν D

Re M = Re D

( 18.4 )

Vyraz na leve stranš je Reynoldsovo cıslo na modelu a na prave stranš pak Reynoldsovo cıslo na dıle. Podobnost je v tomto prıpadš splnšna tehdy, jsou-li stejna Reynoldsova cısla na modelu a na dıle.

Re M = Re D

Podobnš lze odvodit i dals ı kriteria podobnosti: Pro hlavnı sıly Ú tlakova

 Fp   FS

 F  =  p  M  FS

F p a setrvacna Fs se dostane

  D

Po dosazenı za jednotlive sıly a po ňpravš

 pl 2   p.l 2   2 2  =  2 2   ρ l v M  ρ l v D Zlomek

Eu =

 p   p    =  2  2   ρ v  M  ρv  D

Eu M = Eu D

p je Eulerovo cıslo ρ v2

Podobnost v tomto prıpadš je splnšna, jsou-li stejna Eulerova cısla na modelu a na dıle Jsou-li hlavnı sıly

 FS  F  g

(18.5)

Fs sıla setrvacna a Fg sıla tıhova se dostane

    =  FS      M  Fg  D

Po dosazenı za jednotlive sıly a ňpravš

Eu M = Eu D .


112

 ρ l 2v 2   ρ l 2v 2      = 3  3  gl gl ρ ρ D M  

Zlomek

Fr =

 v2   v2    =    gl  M  gl  D

FrM = FrD

( 18.6 )

v2 je Froudovo cıslo gl

Podobnost v tomto prıpadš je splnšna, jsou-li stejna Froudova cısla na modelu a na dıle

FrM = FrD .

18.2. Dimenzionalnı analyza (π-teorem) Aplikace π-teoremu bude nazornšjs ı vysvštlena na nasledujıcım prıkladš. Pro soucinitel trenı λ v potrubı muzeme na zakladš zkus enostı psat, ze je funkcı ctyr fyzikalnıch velicin

λ = f (v, D,ν , k ) .Tzn. ze pocet promšnnych velicin n=4. Tyto ctyri veliciny se dajı vyjadrit pomocı dvou zakladnıch rozmšru a sice delka M a cas t. Pocet zakladnıch rozmšru tedy je r = 2. Pocet bezrozmšrnych velicin je

π = n−r = 4−2 = 2 Mohou to byt tato bezrozmšrna podobnostnı cısla:

π 1 = Re = π2 =ε =

vD - cıslo Reynoldsovo ν

k - relativnı drsnost D

Zavislost trecıho soucinitele se zapıs e ve tvaru

λ = f (Re, ε ) Pomocı π-teovemu, se tedy snızil pocet nezavisle promšnnych z puvodnıch 4 pouze na 2, coz predstavuje vy znamne zjednodus enı problemu.


113

19. Rovinne potencialnı proudů nı 19.1. U vodnı poznamky Od 18. stoletı je snaha najıt matematicke modely pro predevs ım rovinne ňlohy elektrickeho pole, z nichz se vyvinula teorie elektrickeho potencialu, ktera s vyuzitım teorie funkce komplexnı promšnne umoznila res it pole pro elektricky proud a napštı v dosti slozitych rovinnych ňtvarech. Vysledky byly prevzaty pro analogickou ňlohu, tj. pro stacionarnı rovinne prıpady proudšnı nevazke kapaliny. S vyuzitım konformnıho zobrazenı byly res eny slozite ňlohy obtekanı rovinnych ňtvaru jako leteckych profilu, lopatkovych mrızı ci prıpadu proudšnı u slozitš tvarovanych kanalu v hydraulickych strojıch. Analy zou matematickych modelu a vysledku se ukazalo, ze model nevazke tekutiny neodpovıda vzdy skutecnosti. Jeden ze zavaznych dopadu je v tom, ze obtekane objekty nevykazujı odpor. To je dusledek toho, ze zakladnı velicina proudoveho pole, tj. rychlostnı potencial

Φ a s nım

spojene proudove funkce jsou rızeny Laplaceovou rovnicı a platı tudız, ze rotace rychlosti je u takto definovaneho pole nulova

r r rot v ∇x v = 0

( 19.1 )

Znamena to take, ze matematicky model, z nšhoz byl v pohybove rovnici vypus tšn vazky clen, nemuze vytvorit v proudovem poli vır, takze v tom se odchyluje od fyzikalnı reality. Nicmenš u s tıhlych, dobre obtekanych tšles se vysledky zıskane z potencialnıho proudšnı prılis neodchylujı skutecnosti a byly dobre pouzitelne pro prakticke ňvahy.

19.2. Zakladnı rovnice Pro ustalene proudšnı nestlacitelne kapaliny platı rovnice kontinuity

r ∂v divv = i = 0 ∂xi

( 19.2 )

Pro rovinne proudšnı platı

dv x dv y + =0 dx dy

( 19.3 )

K ňplnemu modelu proudšnı je treba pridat jes tš dals ı rovnici. Je to pohybova rovnice, Eulerova rovnice hydrodynamiky, ktera se zıska vypus tšnım clenu s vazkostı z rovnice Navier Stokesovy, tedy

∂vi ∂v 1 ∂p + v j i = ai − ∂t ∂x j ρ ∂xi

( 19.4 )

Jak plyne z dals ıho, v teorii potencialoveho proudšnı se k urcenı rychlostnıho pole pracuje pouze s rovnicı kontinuity a rovnice Eulerova slouzı k urcenı tlaku. Dals ı dulezitou velicinou je cirkulace rychlosti. Vyjde se z kinematickych vztahu dle obr.19.1


114

vx+

vx dy y 2

vy+

vx

vx+

dy vy-

vy dx x 2

vx-

vy dy y

dx vx dy y 2

vy+

=

vx dx x

v cos α ds

α

vy dx x 2

ds

v

c

vy

Obr.19.1 Kinematika elementu proudıcı kapaliny

Obr. 19.2 Definice cirkulace

a definuje se cirkulace rychlosti Γ jako krivkovy integral na uzavrene krivce viz obr.19.2 Rychlost otacenı elementarnıho objemu dle obr.19.1 lze charakterizovat cirkulacı

Γ definovanou

r Γ = ∫ v cos αds

( 19.5 )

Kladny smysl obıhanı je takovy, aby plocha uzavrena krivkou c byla po leve ruce. Cirkulace pro elementarnı objem dle obr.19.2 je

∂v y dx   ∂v dy  ∂v dy    dy −  v x + x dx − dx +  v y + dΓ =  v x − x ∂y 2  ∂y 2  ∂x 2     ∂v y dx   ∂v  ∂v  dy =  y − x dxdy = 2ωdS −  v y − ∂y  ∂x 2   ∂x 

(19.6 )

Poslednı vyraz v rovnici ( 19.5 ) je dan Stokesovou vštou Γ = 2ωS V literature se odvozuje, ze cirkulace podel uzavrene krivky v proudovem poli je nulova

Γ ∫ vd s = 0 .

Proto je nulovy i vyraz

 ∂v y ∂v x  − ∂y  ∂x

  = 2ϖ = 0 

( 19.7 )

Tento vyraz charakterizuje otacenı castice kol sve osy, cili jejı vırivost. Potencialovč funkce V analogii k teorii elektrickeho pole zavadı se funkce rychlostnıho potencialu, ktery splnuje tyto podmınky

vx =

∂Φ ∂x

vy =

∂Φ ∂y

( 19.8 )

Dosadı-li se tyto vztahy do rovnice kontinuity ( 19.2 ) dostane se Laplaceova rovnice pro funkci Φ

∂ 2Φ ∂ 2Φ + 2 =0 ∂x 2 ∂y Pozn.: Pokud se vyuzije cylindrickych souradnic (r,ϑ), definuje se

( 19.9 )


115

vr =

∂Φ ∂r

vϑ =

∂Φ ∂ϑ

( 19.10 )

C ary Φ = konst. se nazyvajı ekvipotencialami. Proudovč funkce Definuje-li se analogicky k predchozımu odstavci proudova funkce Ψ jako

vx =

∂Ψ ∂y

vy = −

∂Ψ , ∂x

( 19.11 )

pak rovnšz i proudova funkce splnuje Laplaceovu rovnici

∂ 2Ψ ∂ 2Ψ + 2 =0 ∂x 2 ∂y

( 19.12 )

Diferencial proudove funkce

dΨ =

∂Ψ ∂Ψ dx + dy = −v y dx + v x dy ∂x ∂y

( 19.13 )

umoznı definovat caru Ψ = konst. z podmınky dΨ = 0. Tım se definuje proudnice, neboli obalka vektoru rychlosti

− v y dx ≠ v x dy = Φ

( 19.14 )

z podmınky tecny k proudnici ( 19.15 )

dy v y = . dx v x Je mozno analogicky definovat pro caru konstantnıho potencialu

( 19.16 )

v dy =− x . dx vy

Z toho plyne, ze cary stejneho potencialu a proudnice jsou vzajemnš kolme. Dosazenım vztahu pro Φ a Ψ do rovnice ( 19.15 ) a ( 19.16 ) dostanou se Cauchy-Riemannovy podmınky pro Φ a Ψ.

vx =

∂Φ ∂Ψ = ∂x ∂y

; vy =

∂Φ ∂Ψ =− ∂y ∂x

( 19.17 )

Jsou tedy Φ a Ψ vzajemnš zavisle a z jedne funkce lze zıskat druhou. Pro technickou praxi je dulezitšjs ı funkce proudova Ψ, ktere se vyuzıva i u skutecnych kapalin.

19.3. Vyuzitı teorie potencialoveho proudů nı, skladanı proudu . Uvedenou teorii je mozno rozvıjet dvojım zpusobem. Je to predevs ım res enı proudoveho pole v zadane oblasti res enım Laplaceovy rovnice buť pro proudovou nebo nškdy tez pro potencialovou funkci. 0bš tyto funkce umoznujı definovat slozky rychlosti a naslednš tlakove pole v oblasti, pomocı Eulerovy rovnice hydrodynamiky. V dnes nı dobš se res ı tyto ňlohy numericky. Integracnı oblast je obvykle zadavana tak, ze je omezena 2-mi pevnymi hranicemi a dvšmi protekanymi. Pro tyto hranice


116

je nutno zadat okrajove podmınky Ú na stšnš v = 0, na protekane hranici se zadava buť rychlostnı profil nebo podmınka pro tlak. V soucasnosti

se

ňlohy

tyto

res ı

numericky

vhodnymi softwarovymi programy. V minulosti byly tyto ňlohy

predevs ım

vzhledem

k tvaru

hranice

res eny

v y stup analogovymi metodami pomocı analogie s odporovymi

vstup

papıry respektive v elektrolyticke vanš. Druha metoda je metoda skladanı proudšnı. Spocıva

pevna stena

v tom,

ze

se

definujı

matematicky

jednoduche proudove ňtvary. Vychazı se pak z teze, ze pro

Obr.19.3 Oblast pro res enı

ustaleny stav platı

potencialoveho proudšnı.

( 19.18 )

n

Ψ = ∑ Ψi

resp.

i =1 n

Φ = ∑Φi i =1

Scıtanım proudovych funkcı v dane oblasti je mozne urcit caru Ψ = 0, ktera vytvarı za jistych podmınek obrys potencialovš obtekaneho objektu a z okolnıch vnšjs ı proudovych car je mozne ucinit ňsudek o proudovem poli takovehoto tšlesa. Zakladnı prıpady potencialnıho proudšnı jsou: a) paralelnı proud b) zdroj a propad c) potencialnı vır a) Paralelnı proud, obr.20.4, je charakterizovan rychlostı

a stejnou co do velikosti a smšru ve vs ech

bodech proudoveho pole.

y 2 Proudnice

a1 0 -1 -2 -1

0

1

2

Ekvipotencialnı cary

ψ x

Obr.19.4 Paralelnı proud rovnobšzny s osou x. (a= 1)

-2

o Proudova funkce

Ψ1 = ay , a potencial rychlosti Φ 1 = ax . Rychlost je tedy rovnobšzna s osu x, protoze platı

(19.19 )


117

∂Φ ∂Ψ = = a = konst. , ∂x ∂y

vx = Tedy

vy = 0 .

r v = vx Pote i proudnice Ψ= konst. jsou prımky paralelnı s osou x , ekvipotencialnı cary

jsou prımky paralelnı s osou

Φ = konst.

y.

Kterakoli proudnice muze predstavovat tuhou stšnu (normalna slozka rychlosti je rovna nule). b) Rovinny pramen (zdroj, zrıdlo), obr. 19.5, predstavuje radialnı proudšnı tekutiny z bodu do roviny. Pramen je charakterizovan vydatnostı (mohutnostı) Q, coz je objem

y

ψ

tekutiny vytekly za jednotku casu

o r

ϕ

x

odkud plyne pro rozlozeni rychlosti

vr r = Obr.19.5 Rovinny pramen.

Φ=

Q ln r , 2π

( 19.20 )

Q = 2πvrr = konst.,

vr

Rychlostnı potencial

Ψ=

( 19.21 )

Q = konst. , 2π Φ a proudova funkce Ψ pramenu:

( 19.22 )

Q ϕ. 2π

Proudnice jsou radialnı prımky ϕ = konst., ekvipotencialnı cary jsou soustredne kruznice. Tangencialnı slozka vt = 0 a radialnı slozka rychlosti

vr =

Q ∂Φ 1 ∂Ψ = = , ∂r r ∂ϕ 2πr

( 19.23 )

Poznamka: Centralnı bod pramene je singularnı bod, rychlost je tu nekonecnš velika. Rovinny propad (nor) se od pramene lis ı opacnym smšrem proudšnı tekutiny. c) Potencialnı vır, obr.19.6 (vırove vlakno). C astice tekutiny se posouvajı po kruhovych drahach (soustrednych kruznicıch), aniz by se otacely kolem sve osy. C astice konajı translacnı pohyb, pri kterem se deformujı. C astice tekutiny se po kruhovych drahach posouvajı (translace a deformace), y o

aniz by se otacely kolem sve osy (s vyjimkou jadra).

ψ

vt

Rychlost otacenı je charakterizovana cirkulacı Γ, definovanou rovnicı ϕ

r

x

(198.5), ktera je u potencialnıho vıru rovna

Γ = 2πrvt = konst.

( 19.24 )

odtud dostaneme vztah vr ro

r

vt r =

Γ = konst. 2π

( 19.25 )

V ose vıru vychazı opšt rychlost nekonecnš velika (singularnı bod). Obr.19.6 Potencialnı vır

Zavadıme proto jadro vıru o polomšru r0, v nšmz se tekutina otacı jako tuhe


118

tšleso, obr.19.6. Rychlostnı potencial Φ a proudova funkce potencialnıho viru Ψ:

Φ=

−Γ ϕ, 2π

Ψ=−

Γ ln r . 2π

( 19.26 )

Proudnice, jak jsme jiz rekli, jsou soustredne kruznice, ekvipotencialnı cary jsou radialnı prımky. Tangencialnı slozka rychlosti, v oblasti mimo jadro vıru, ubyva s polomšrem

vt =

1 ∂Φ ∂Ψ Γ =− = r ∂ϕ ∂r 2πr

Ψ=0

Us (max) = 1.26a

( 19.27 )

a radialnı slozka rychlosti vr = 0. Rychlostnı potencial Φ a proudovou funkci Ψ lze u rovinneho potencialnıho proudšnı navzajem zamšnit (jak o tom svšdcı poslednı dva prıpady), nebo–obš musı vyhovovat Laplaceovš

y a

A Q

rovnici.

x Skladanıproude nı Rovinne potencialnı proudšnı je popsano diferencialnı Laplaceovou rovnicı. Zname-li dvš res enı teto diferencialnı rovnice

Obr.19.7 Rovinne polotšleso, rozprostırajıcı se do nekonecna. Na obrazku je nakresleno obtekanı male casti tšlesa

Φ 1 a Φ 2 , bude i jejich soucet Φ 1 + Φ 2 novym

res enım. Tımto zpusobem lze nalezt res enı slozitšjs ıch prıpadu proudšnı. a) Rovinne

polotšleso

(deska.).

Slozenım

paralelnıho

proudu a pramene dostaneme obtekanı desky rozprostırajıcı

se az do nekonecna, obr.19.7. Proudova funkce je v zakladnım tvaru dana jako

Ψ = Ψ1 + Ψ2 = ay +

Q ⋅ϕ . 2π

(19.28 )

Prechodem do kartezskeho systemu dostaneme vztahy pro vx a vy. Proudova cara Ψ= 0 udava obrys obtekaneho polotšlesa. b) Rovinny, dipol, obr.19.8, dostaneme tak, ze slozıme pramen a propad stejne mohutnosti Q, jestlize se vzdalenost mezi nimi 2l blızı nule a mohutnost k nekonecnu tak, aby moment dipolu mšl konecnou hodnotu

M = 2Ql .

Proudnice jsou kruznice se stredy na ose y a dotykajı se pocatku. Proudova funkce dipolu

Ψ=−

M y M sin ϕ =− . 2 2 2π x + y 2π r

( 19.29 )


119

y

+Q

-Q x -l

+l

Obr.19.8 Zmens ovanım vzdalenosti 2l mezi pramenem a propadem jez jsou symetricky umıstšny vzhledem k pocatku dostaneme dipol jehoz proudnice jsou na obrazku zakresleny. c) Valec kruhoveho prurezu. Slozenım paralelnıho proudu a rovinneho dipolu dostavame prakticky velmi dulezity prıpad obtekanı valce kruhoveho prurezu. Proudova funkce je rovna

R 2 = M / 2πa

 R2   sin ϕ . Ψ = a r − r  

( 19.30 )

Polozıme-li Ψ= 0 dostavame ϕ = 0 tj. osa x a rovnici kruznice r = R obr.19.9. .Slozky rychlosti

y vr B a

r

C

8

P

D

R

vt v

θ

A

x

 R2  v r = a cos ϕ 1 − 2  , r  

( 19.31 )

 R2  v r = − a cos ϕ 1 + 2  . r  

( 19.32 )

Na povrchu valce

r = R je radialnı slozka nulova a tangencialnı

vt = −2a sin ϕ Obr.19.9 Potencialnı obtekanı valce kruhoveho prurezu

( 19.33 )

pro ϕ = 0 a π je vt = 0 (stagnacnı body A a C) maximalnı rychlosti

vt = ± 2 jsou v bodech ϕ = Γ π/2 tj. body B a D.

Stanovme rozlozenı tlaku na povrchu valce (v nevazke tekutinš jsou trecı sıly rovny nule). Napis me Bernoulliovu rovnici mezi bodem v nekonecnu a bodem na povrchu valce

p∞ + ρ

( 19.34 )

v2 a2 = p+ρ t . 2 2

Rozlozenı tlakoveho soucinitele

c p (bezrozmšrneho tlaku) dostaneme dosazenım za vt z rov (19.33)

p − p∞ v  cp = = 1 −  t  = 1 − 4 sin 2 ϕ 2 a a ρ 2 2

( 19.35 )


120

Ve stagnacnıch bodech A a C je tlak nejvšts ı tlak c p

c p = 1 . V bodech B a D je nejmens ı

= −3 . Rozlozenı tlaku je symetricke vzhledem k osam x a y . Integracı tlakovych sil po

povrchu valce dostaneme

Fx = Fy = 0 a vysledna sıla je rovna nule (D'Alembertuv paradox).

Obtekanı valce realnou tekutinou souhlası s potencialnım obtekanım pouze na prednı stranš valce. d) Rotujıcı valec. Slozenım paralelnıho proudu, dipolu a potencialnıho vıru dostavame rovnšz prakticky dulezity prıpad obtekanı rotujıcıho valce, obr.19.10 Potencialnı vır ma zde opacny smysl otacenı nez na obr.19.6 a proto se u proudove funkce vıru mšnı znamenko Ú na +.

Fy

Proudova funkce

B C

D

 R2  Γ  sin ϕ + Ψ = a r − ln r r 2 π  

x A

( 19.36 )

Analogicky jako v predchazejıcım prıpadš urcıme slozky rychlostı Obr.19.10 Obtekanı rotujıcıho valce.Vznik vztlaku.

 R2  v r = a cos ϕ 1 − 2  , r  

( 19.37 )

 R2  Γ . v r = − a cos ϕ 1 + 2  − r  2πr  Na povrchu valce

( 19.38 )

r = R je radialnı slozka vr = 0 a tangencialnı slozka

vt = v = −2a sin ϕ −

Γ . 2πR

( 19.39 )

Body nulove rychlosti (stagnacnı body A, C) lezı nynı pod osou Cirkulace

x , viz obr.19.10 (pro Γ〈 4πRa ).

Γ narus uje symetrii proudšnı vzhledem k ose x nad osou x , kde jsou vysledne rychlosti

dane vektorovym souctem rychlosti paralelnıho proudu a potencialnıho vıru všts ı nez v symetricky lezıcıch bodech pod osou

x , budou vzhledem k Bernoulliovš rovnici tlaky mens ı. Tım vznika tlakova

sıla, jez pusobı na rotujıcı valec ve smšru kolmem k rychlosti a tj. vztlak

Fy . Abychom mohli vypocıtat

jeho velikost stanovme nejprve pomocı Bernoulliovy rovnice rozlozenı tlaku na povrchu valce:

a2 ρ  Γ  −  − 2a sin ϕ −  . 2 2 2πR  2

p = p∞ + ρ

( 19.40 )


121 Na povrchu valce o jednotkove delce vytkneme elementarnı plos ku,

y

dFx ϕ

obr.19.11

dFy a vyslednou tlakovou sılu na ni pusobıcı dF = − pdA rozlozıme na slozky

dϕ

dF R

dA = Rdϕ

ϕ

dFx = dF cos ϕ = − pR cos ϕdϕ x

(19.41)

dFy = dF sin ϕ = − pR sin ϕdϕ Integracı po povrchu valce dostaneme po dosazenı za p z rov. (19.41)

Obr.19.11 Elementarnı tlakova sıla pusobıcı na povrch valce. 2π

( 19.42 )

Fx = ∫∫ Fx = − R ∫ p cos ϕdϕ = 0 , 0

tj. nulovy odpor, nebo–proudšnı je symetricke vzhledem k ose y a vztlak 2π

( 19.43 )

Fy = ∫∫ Fy = − R ∫ p sin ϕdϕ = 0 . 0

Po dosazenı za p z rov. ( 19.401 ) 2π 2π  a2  ρR  Γ  Fy = − R p ∞ + ρ  ∫ sin ϕdϕ +  − 2a sin ϕ −  sin ϕdϕ , ∫ 2 2 2 R π    0 0 2

protoze 2π

∫ sin ϕdϕ = 0 0

2π

;

∫ sin

3

ϕdϕ = 0 ;

0

2π

∫ sin ϕ

2

dϕ = π

0

dostavame pro vztlak tzv. Kutta-Zukovskeho vzorec

Fy = ρaΓ , ktery tvorı zaklad teoreticke aerodynamiky.

( 19.44 )


122

20.

Prehled pouzitych oznacenı

Oznacenı

Mšrıcı jednotka

Vy znam

A A C E E F F0 Fp Fs Ft G H H Jx Jxy Jy K M My P Q Qm Qv R S T T U V W Y Yd Yt a a c cx d dh e ez g h hz i i,j,k k l l le m n p pc pd

J Pa.s 1/2 Ú1 m .s Ú2 N.m J Ú2 N = kg . m . s N N N N N Ú1 kg . m . s m 4 m 4 m 4 m Ú2 N.m 4 Ú1 m .s 3 m W J Ú1 kg . s 3 Ú1 m .s m 2 m K s Ú1 J . kg 3 m J=N.m Ú1 J . kg Ú1 J . kg Ú1 J . kg Ú2 m.s Ú1 m.s Ú1 m.s 1 m m Ú1 J . kg Ú1 J . kg Ú2 m.s m m -1 Pa.m 1 m m m m kg 1 Ú2 Pa = N . m Pa Pa

prace vırova, zdanliva viskozita Chezyho soucinitel modul objemove pruznosti v tahu energie sıla objemova sıla ( = Fm ) tlakova sıla Ú plos na sıla setrvacna sıla tecna sıla, trecı sıla tıha ( = Fg ) hybnost tlakova vys ka moment setrvacnosti prurezu k ose x deviacnı moment prurezu moment setrvacnosti prurezu k ose y modul objemove pruznosti tekutiny moment dipolu staticky moment plochy k ose y vykon teplo hmotnostnı prutok objemovy prutok polomšr plocha absolutnı teplota doba bšhu vlny potencial vnšjs ıch sil objem prace mšrna energie skutecna mšrna energie cerpadla teoreticka mšrna energie cerpadla zrychlenı rychlost zvuku rychlost soucinitel odporu prumšr hydraulicky prumšr mšrna energie ztratova mšrna energie ( = er = Yz ) tıhove zrychlenı vys ka, svisla vzdalenost, hloubka ztratova vys ka spad tlaku jednotkove vektory absolutnı drsnost stšny smšs ovacı delka delka, vzdalenost ekvivalentnı delka potrubı hmotnost index toku tlak, hydrostaticky tlak celkovy tlak dynamicky tlak


123 ps pz q r r rh s t t tz u v v vmax vs v* w x y z

Pa Pa Ú1 J . kg Ú1 Ú1 J . kg . K m m m o C s s Ú1 m.s Ú1 m.s 3 Ú1 m . kg Ú1 m.s Ú1 m.s -1 m. s Ú1 m.s m m m

Φ Ψ β α δ δ γ γ ε ε ζ ζ ε ε η λ λc λh λm λv κ κ μ µ v π ρ σ φ φ τ τp ω ω Ý

m .s 2 Ú1 m .s 2 Ú1 m .s rad rad Ú1 K rad Ú3 N.m m 2 Ú1 m .N Ú1 rad . s 1 1 1 1 Pa . s 1 1 1 1 1 1 1 1 2 Ú1 m .s 1 1 Ú3 kg . m Pa Ú1 N.m Ú2 Pa, N . m Ú2 Pa, N . m rad 1 Ú1 s

2

Bezrozmšrna cısla: Eu - Eulerovo Fr - Froudovo Gu - Gumbelovo

Ú1

staticky tlak tlakova ztrata mšrne teplo mšrna plynova konstanta polomšr hydraulicky polomšr draha teplota cas doba uzavıranı armatury unas iva, obvodova rychlost rychlost, relativnı rychlost mšrny objem maximalnı rychlost strednı rychlost z prutoku trecı rychlost rychlost souradnice souradnice souradnice cirkulace rychlosti rychlostnı potencial proudova funkce ňhel, smšrovy ňhel ňhel, smšrovy ňhel soucinitel teplotnı objemove roztaznosti ňhel, smšrovy ňhel mšrna tıha tlous –ka meznı vrstvy soucinitel stlacitelnosti ňhlova deformace soucinitel kontrakce proud relativnı drsnost stšny trubky intenzita turbulence ztratovy soucinitel dynamicka viskozita celkova ňcinnost cerpadla hydraulicka ňcinnost cerpadla mechanicka ňcinnost cerpadla objemova ňcinnost cerpadla soucinitel ( vliv pruznosti potrubı ) izoentropicky exponent soucinitel trenı vytokovy soucinitel kinematicka viskozita stupen razu bezrozmšrovy parametr hustota ( mšrna hmotnost ) normalove napštı povrchove napštı tecne ( smykove napštı ) pocatecnı smykove napštı ňhel rychlostnı soucinitel ňhlova rychlost


124

Ma Ne Re Sh We

- Machovo - Newtonovo - Reynoldsovo - Strouhalovo - Weberovo

Poznamka: - strednı hodnoty znaceny pruhem - fluktuacnı hodnoty znaceny carkou - vektory znaceny tucnš

21.

LITERATURA

BIRD,B.R, STEWART,W.E, LIGHTFOOT,E.N.:Prenosove jevy. Academia 1968 JEZEK,J.,VA RADIOVA ,B.: Mechanika tekutin pro pí tilete obory. C VUT Praha,1983, 1991 JEZEK,J.: Hydromechanika v prıkladech. C VUT Praha, 1975, 1988 KOZUBKOVA ,M.,DRA BKOVA , S.: Cvic enı s Mechaniky tekutin. Sb. prıkladu. VS B-TU Ostrava 2001 MAS TOVSKY ,O.: Hydromechanika. SNTL Praha 1956, 1963 NOSKIEVIC ,J. A KOL.: Mechanika tekutin. SNTL/ALFA Praha 1990 NOSKIEVIC ,J.: Hydromechanika. Skriptum. ES VS B Ostrava, 1980 NOZIC KA,J.: Mechanika a termodynamika. C VUT, Praha 1991 NOZIS KA,J.: Analogove metody v proudí nı. Praha, Academia 1967 SMETANA,J.: Hydraulika, 1. a 2. dıl. N C SAV Praha, 1957 TESAR,V.: Meznı vrstvy a turbulence. C VUT, Praha 1984 v nšmcinš ALBRING,W.: Angewandte Stro mungslehre, Steinkopf. Dresden 1961, 1966, 1970 PRANDTL,L., OSWATITSCH,K, WIEGHARDT,K.: Fuhrer durch die Stro mungslehre Vieweg. Braunschweig, 1969 SPURK,J.H.: Stro mungslehre, Springer, Berlin 1989 v anglictinš FOX,R.W.,MC DONALD,A.T.: Introduction to Fluid Mechanics, J. Wiley & sons, New York, 1994 SCHLICHTING,H.: Grenzschittheorie. Krlsruhe, Verlag A. Braun 1965 STREETER, V.L.: Fluid Mechanics, Mc Graw-Hill, New York, 1971 WHITE, F.M.: Fluid Mechanics, Mc Graw-Hill, New York, 1986 v rus tinš HINZE,J.O.: Turbulentnosž (preklad z anglictiny). Moskva, 1963 KOC IN,N.E., KIBEL,I.A, ROZE,N.V.: Teoretic eskaja gidromechanika. Izd. tech.-teor. lit. Moskva, 1948 LOJCJANSKIJ, L.G.: Mechanika zidkosti i gaza. Moskva, Nauka 1987 LOJCJANSKIJ,J.G.: Laminarnyj pogranic nyj sloj. Moskva, 1962 v pols tinš GRYBOS, R.: Postavy mechaniky plynow. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1998


125

22.

OBSAH:

1. U vod..................................................................................................................................................... 2 2. Zakladnı pojmy..................................................................................................................................... 3 2.1. Tekutina......................................................................................................................................... 3 2.2. Fyzikalnı vlastnosti tekutin............................................................................................................. 5 3. Tlakove pomšry v kapalinš za klidu................................................................................................... 10 3.1. Tlak a jeho pusobenı ................................................................................................................... 10 3.2. Eulerova rovnice hydrostatiky ..................................................................................................... 12 3.3. Hladinove plochy .........................................................................................................................14 3.4. Rozlozenı tlaku v kapalinš........................................................................................................... 14 3.5. Pascaluv zakon ...........................................................................................................................16 4. Tlakove sıly ........................................................................................................................................ 17 4.1. Vodorovne rovinne plochy........................................................................................................... 17 4.2. S ikme rovinne plochy .................................................................................................................. 17 4.3. Tlakova sıla na krive plochy ........................................................................................................ 20 4.4. Sıly na tšlesa ponorena do kapaliny ...........................................................................................22 5. Relativnı pohyb kapaliny.................................................................................................................... 24 5.1. Pohyb prımocary, rovnomšrnš zrychleny .................................................................................... 24 5.2. Pohyb rovnomšrny, otacivy ......................................................................................................... 25 5.3. Potencial intenzity objemovych sil...............................................................................................27 Hydrodynamika ...................................................................................................................................... 29 6. Klasifikace proudšnı a zakladnı pojmy ..............................................................................................29 6.1. Zakladnı pojmy ............................................................................................................................29 6.2. Rozdšlenı proudšnı ..................................................................................................................... 30 6.3. Druhy proudšnı skutecnych tekutin.............................................................................................31 7. Proudšnı idealnı tekutiny ................................................................................................................... 34 7.1. Rovnice kontinuity Ú spojitosti ..................................................................................................... 34 7.2. Eulerova rovnice hydrodynamiky ................................................................................................38 7.3. Bernoulliho rovnice pro dokonalou tekutinu ................................................................................ 40 7.4. Mšrenı mıstnı rychlosti ................................................................................................................ 44 7.5. Mšrenı strednı rychlosti a prutoku (prurezova mšridla) ..............................................................47 7.6. Stacionarnı proudšnı idealnı tekutiny potrubım .......................................................................... 48 8. Proudšnı vazke tekutiny..................................................................................................................... 49 8.1. Navierova-Stokesova rovnice ..................................................................................................... 49 8.2. Bernoulliho rovnice pro skutecnou kapalinu................................................................................ 50 9. Laminarnı proudšnı............................................................................................................................52 9.1. Laminarnı prudšnı v kruhovem potrubı .......................................................................................52 9.2. Laminarnı proudšnı mezi rovnobšznymi deskami ...................................................................... 54 9.3. Laminarnı proudšnı ve valcove mezere-mezikruzı ..................................................................... 56 9.4. Stekanı po svisle stšnš ............................................................................................................... 57 10. Turbulentnı proudšnı........................................................................................................................59

126


10.1. Vznik turbulence ........................................................................................................................59 10.2. Charakteristiky turbulentnıho proudšnı .....................................................................................60 10.3. Matematicky popis turbulentnıho proudšnı ...............................................................................61 11. Hydraulicky vypocet potrubı .............................................................................................................65 11.1. Hydraulicke odpory (ztraty)........................................................................................................65 11.2. Trecı ztraty v potrubı..................................................................................................................66 11.3. Mıstnı odpory (ztraty).................................................................................................................71 11.4. Gravitacnı potrubı ......................................................................................................................79 11.5. Jednoduche potrubı s nadrzı .....................................................................................................80 11.6. Slozene potrubı..........................................................................................................................81 11.7. Charakteristika potrubı ..............................................................................................................81 12. Vytok kapaliny z nadob, prepady .....................................................................................................83 12.1. Vytok malym otvorem ................................................................................................................83 12.2. Vytok velkym otvorem v bocnı stšnš .........................................................................................84 12.3. Vytok ponorenym otvorem.........................................................................................................85 12.4. Vytok pri soucasnem prıtoku .....................................................................................................85 12.5. Vyprazdnovanı nadob................................................................................................................86 12.6. Prepady .....................................................................................................................................87 13. Proudšnı v rotujıcım kanale .............................................................................................................88 13.1. Bernoulliho rovnice pro rotujıcı kanal ........................................................................................88 13.2. Odstredive cerpadlo ..................................................................................................................89 14. Neustalene proudšnı........................................................................................................................93 14.1. Bernoulliho rovnice pro neustalene proudšnı............................................................................93 14.2. Hydraulicky raz ..........................................................................................................................94 15.

Všta o zmšnš hybnosti................................................................................................................97

16. Obtekanı tšles ................................................................................................................................101 16.1. Meznı vrstva ............................................................................................................................101 16.2. Odpor tšles Fx ..........................................................................................................................104 17. Proudšnı v korytech .......................................................................................................................107 17.1. Rovnomšrny prutok .................................................................................................................107 17.2. Nerovnomšrny prutok ..............................................................................................................108 18. Fyzikalnı podobnost a teorie modelovanı ......................................................................................110 18.1. Hydrodynamicka podobnost pri proudšnı tekutin ....................................................................110 18.2. Dimenzionalnı analy za (π-teorem) ..........................................................................................112 19. Rovinne potencialnı proudšnı ........................................................................................................113 19.1. U vodnı poznamky....................................................................................................................113 19.2. Zakladnı rovnice ......................................................................................................................113 19.3. Vyuzitı teorie potencialoveho proudšnı, skladanı proudu. ......................................................115 20.

Prehled pouzitych oznacenı ......................................................................................................122

21.

LITERATURA ............................................................................................................................124

22.

OBSAH: .....................................................................................................................................125

VYSOKA S KOLA BA NSKA í TECHNICKA UNIVERZITA OSTRAVA. Fakulta strojnı katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı MECHANIKA TEKUTIN

Recommend Documents