m_1_vyrok_priklady
26.5.2011
1/9
Výroková logika (5) 1. Základní pojmy Ke každé větě dopište do závorky, zda věta je pravda, či nepravda. A: Číslo 6 je dělitelné 5-ti. (nepravda) B: Kolik je hodin? (nic) C: 1 + 1 - 22 - (-3)2 + | 4| - |-5| = -12 (pravda) D: Ježíšek se narodil v Betlémě. (pravda-nepravda = hypotéza) E: 3x - 1 ≥ 0 (nic, protože co je x? Kapr? Sluničko? Úrok v bance?) F: 3♥ - 1 ≥ 2 (--//--) G: Pro každé přirozené číslo ♥ platí: 3♥ - 1 ≥ 2. (pravda) H: Odevřete okna. (nic) Def:
Výrok je věta o které můžeme tvrdit, že je nebo není pravda. Výroky označujeme velkými písmeny, např.:
K: Číslo 211211312112 je dělitelné třemi. (pravda) L: Existuje přirozené číslo, které má právě dva dělitele. (pravda) M: Dne 6.6.1906 ve 12:00 pršelo na jihlavskou bránu. (nepravda) Použití:
Jednoznačné formulování zákonů, vyhlášek, nařízení a pokynů. Krom toho matematika je věda jednoznačná a stručná, která je postavena právě na takovýchto větách. Např. U: Jestliže student nedoloží důvod své absence do 7-mi dnů po nastoupení do školy, pak jsou zameškané hodiny posuzovány jako neomluvené. V: Student, který propadne ze dvou a více předmětů nemůže dělat reparát. W: Pojistná smlouva nabývá platnosti dnem podpisu. 1) Napišme 4 věty z nichž: - pravdivý výrok ze života (Kdo maže, ten jede), (Krteček byl akční hrdina). - nepravdivý -//- (Velorex nemá zpátečku) - není výrok (Jáchyme hoď ho do stroje). - výrok, který je hypotéza (Karel IV měl 3 syny). 2) Napišme 4 věty, ale matematická tvrzení - pravda ((♪ + ☼)2 = ♪2 + 2♪☼ + ☼2). - nepravda (Je-li n liché číslo, pak n2 je sudé číslo). - není výrok (2∆ - 2□ = 5○) - výrok, který je hypotéze (Jára Cimrman byl nejen dramatik, vynálezce, … , ale i autor matematické teorie rozpočítávání "Ententiky… , Pluje mýdlo, … Čáp ztratil … ) Sb-MM: 12/2.1 a) 5 . 3 + 12 > 26 (pravda) b) Obsah kruhu o poloměru r je 2πr. (nepravda) c) Řešte tuto rovnici. (nic) d) Jak je dnes venku? (nic) e) 2x + 3 < 0 (nic) f) Pro každé reálné číslo x platí, že 2x + 3 < 0. (nepravda) g) Na Marsu existují živé organismy. (pravda-nepravda)
m_1_vyrok_priklady
26.5.2011
2. Negace výroků Def: Pro daný výrok B formulujeme opak: není pravda, že …. Označení je v různých knihách různé: ¬B, B´, non B, B my budeme používat to první. Př: C: Číslo 266 je dělitelné 5-ti. (nepravda) ¬C: Číslo 266 není dělitelné 5-ti. (pravda) D: Včera v noci pršelo. ¬D: Včera v noci nepršelo. E: 1 + 1 = 3 ¬E: 1 + 1 ≠ 3 1) Napište 2 výroky mat, a nemat s příslušnou negací: F: Číslo 49 je prvočíslo. (neprada) ¬F: Číslo 49 je číslo složené. (pravda) G: Cestující v MHD je povinen se prokázat neplatným občanským průkazem. (neprada) ¬G: -//- není -//-. (pravda) Aspoň - nejvýše Př: " Tati dej mi apoň 200" tzn. 200 a více (požaduji částku x ≥ 200) H: Na svatbě bylo takových no, aspoň 200 lidí. ¬H: Na svatbě bylo nejvýše 199 lidí K: Daná rovnice má aspoň 14 kořenů. ¬K: Daná rovnice má nejvýše 13 kořenů. L: Karel, ten sní nejvýše 8 rohlíků. ¬L: Karel sní aspoň 9 rohlíků. J: Číslo složené má nejvýše 2 různé dělitele (nepravda) ¬J: Číslo složené má aspoň 3 různé dělitele. (pravda) 2) Napište 2 výroky s negacemi: mat, a nemat s použitím aspoň - nejvýše. Věta: M: Množina A má aspoň k prvků. ¬M: Množina A má nejvýše (k-1) prvků. N: Množina B má nejvýše n prvků. ¬ N: Množina B má aspoň (n+1). Právě Př: R: Na stromě je právě 325 jablek. ¬R: Na stromě je nejvýše 324 nebo aspoň 326 jablek. S: Daná nerovnice má právě 3 řešení. ¬S: Daná nerovnice má 1 nebo 2 nebo 4 a více řešení. Sb-MM: 12/2.2 - opsat a napsat negaci. => 10 vět. a) B: Na dnešek se učili aspoň čtyři žáci. ¬B: Na dnešek se učili nejvýše tři žáci. b) A: Daná rovnici má aspoň jeden kořen. ¬A: Daná rovnici nemá kořen. c) F: Nejvýše jeden z kořenů dané rovnice je záporný. ¬F: Aspoň dva z kořenů dané rovnice jsou záporné. d) D: Žádný z vyučovacích předmětů mě nebaví. ¬D: Aspoň jeden vyučovací předmět mě baví. e) C: Tato úloha má právě dvě řešení. ¬C: Úloha má jedno nebo tři a více řešení.
2/9
m_1_vyrok_priklady
Př:
Př:
Př:
26.5.2011
3/9
A: Pepík má nejvýše 3 pětky. ¬A: Pepík má aspoň 4 pětky. B: Z vylosovaných čísel bylo aspoň jedno sudé. ¬B: Z vylosovaných čísel nebylo žádné sudé. C: Aspoň 2 žáci ze třídy umí francouzsky. ¬C: Nejvýše 1 žák ze třídy umí francouzky. D: Ve třídě jsou samí chlapci. ¬D: Ve třídě je aspoň jedna dívka. E: Jsou právě 4 jednociferná prvočísla. (pravda) ¬E: Jednociferné prvočíslo je 1, 2, 3 nebo více jak 5. F: Číslo 60 je dělitelné aspoň 4-mi prvočísly. (nepravda) ¬F: Číslo 60 je dělitelné nejvýše 3-mi prvočísly
Všechno nebo nic Př: G: Všichni žáci 8.B jsou chytří. ¬G: Existuje (aspoň jeden) žák 8.B, který je hloupý (Horáček, Pažout) H: Každé desetinné číslo se dá napsat ve tvaru zlomku. (pravda) ¬H: Existuje desetinné číslo, které se nedá napsat ve tvaru zlomku. 1) Napište 2 výroky a jejich negace I: Všechna sudá čísla jsou dělitelná dvěma. ¬I: Existuje sudé číslo, které není dělitelné dvěma. J: Každý čech je muzikant. ¬J: Existuje čech, který není muzikant. Př: K: Ve třídě 5.B existuje student, který je chytrý. (debil, blbeček, debil, blbeček..) ¬K: Každý student 5.B je hloupý. L: Existuje sudé prvočíslo. ¬L: Každé prvočíslo je liché. Kvantifikátory jsou matematické zkratky ∀, ∃ Př: M: Pro všechna reálná čísla x platí: x 2 ≥ x (nepravda) ∀x ∈ R : x 2 ≥ x ¬M: Existuje reálné číslo x, pro které platí: x 2 < x (pravda) ∃x ∈ R : x 2 < x ∃n ∈ N : n ≤ 0 (pravda) (Existuje přirozené číslo n, pro které platí, že jeho ab..) Negace: Shrnutí: Daná vlastnost platí pro všechny prvky, aby to nebyla pravda, stačí najít aspoň jeden (existuje) negativní. Tyto výroky se zapisují stručným zápisem pomocí kvantifikátorů. Sb-MM: 12/2.3 a) Druhá mocnina každého reálného čísla je nezáporná ( ∀x ∈ R : x 2 ≥ 0 ) b) Existuje přirozené číslo, které je kořenem rovnice x 2 − 9 = 0 ( ∃x ∈ R : x 2 − 9 = 0 ) Sb-MM: 12/2.4 a) ∀x ∈ R : x 2 = x (Pro všechna reálná čísla x platí, že druhá odmocnina z.. je abs.) b) ∃x ∈ R : ( x + 1) < 1 (Existuje reálné číslo, pro než platí….) Sb-MM: 12/2.5 Negace předchozích výroků. 2
m_1_vyrok_priklady
Př:
Př:
26.5.2011
4/9
A: Pro všechna přirozená čísla n platí: n na druhou minus jedna je rovno v závorce n plus jedna konec závorky krát v závorce n mínus jedna uzavřít závorku. (pravda) ∀n ∈ N : n 2 − 1 = (n + 1)(n − 1) ¬A: ……. ∃x ∈ N : n 2 − 1 ≠ (n + 1)(n − 1) B: Existuje reálné číslo y, pro které platí, že jeho druhá mocnina se nerovná jedné (pr) ∃y ∈ R : y 2 ≠ 1 ¬B: ……. ∀y ∈ R : y 2 = 1
Složené výroky Jednoduchý výrok:
C: Číslo 17 není prvočíslo. (nepravda) D: Číslo 17 je liché. (pravda) G: Číslo 17 není dělitelné dvěma. (pravda) E: Šebestová má samé jedničky (pravda) F: Šebestová nebude mít vyznamenání. (nepravda) Složený vznikne z více výroků pomocí těchto spojek: a) Číslo 17 je liché a zároveň číslo 17 není prvočíslo. (nepravda) C∧D (konjunkce) značí se stříškou - a zároveň Pozn. Jak formulovat složený výrok tak, aby to byla pravda? C∧(¬D) b) Číslo 17 je liché nebo číslo 17 není prvočíslo. (pravda) C∨D (disjunkce) značí se obracenou stříškou - nebo Pozn. Formulujte jinak, aby bylo pravda či nepravda. c) Jestliže Šebestová má samé jedničky, pak bude mít vyznamenání. (pravda) E=>F (implikace) značí se šipkou - z toho vyplývá, jestliže …, pak …. Pozn. Platí F=>E (nepravda) d) Číslo 17 není dělitelné dvěma právě tehdy, když číslo 17 je liché. (pravda) G<=>D (ekvivalence) značí se oboustrannou šipkou Zapište pomocí symbolů: 1) Přirozené číslo n je dělitelné 6 právě tehdy, když jeho ciferný součet je dělitelný 6-ti. (n) A<=>B 2) Jestliže je číslo sudé, pak je dělitelné 2-ma. (pravda) C=>D 3) Číslo je dělitelné 2-ma a zároveň 3-mi, pak je dělitelné 6-ti. (pravda) E∧F=>G 4) Číslo končí 0 nebo 5, pak je dělitelné 5-ti. (pravda) H∨I=>J 5) Trojúhelník je rovnostranný právě tehdy, když všechny jeho úhly jsou pravé. (nepravda) K<=>L 6) Existuje přirozené číslo n, které je kladné a zároveň menší nebo rovno než 3. (pravda) ∃n ∈ N : (n > 0 ) ∧ (n ≤ 3) Shrnutí: - z dané věty rozeznat co je a není výrok a matematických rozhodnout o pravdivosti. - umět negovat výroky typu aspoň - nejvýše - negace výroků pro všechny prvky množiny a existence prvku s danou vlastností - zápis pomocí kvantifikátorů, též vyjádřit slovy - negace výroků s vlastností pro přesně daný počet. - složený výrok umět zapsat pomocí symbolů: a zároveň, nebo, jestliže.., pak …, právě tehdy, když…
m_1_vyrok_priklady
26.5.2011
3. Nejvýše A: V učebně je nejvýše 15 žáků. B: Rovnice má nejvýše 2 řešení. C: Na zítřek se bude učit nejvýše 5 žáků. D: Na dvou kostkách padne součet nejvýše 10. 4. Aspoň A: Rovnice má aspoň 2 řešení. B: Učivo chápe aspoň 20 žáků. C: Na dvou kostkách padne součet aspoň 4. D: V učebně je aspoň 15 studentů. 5. Aspoň jeden A: Daná rovnice má aspoň jeden kořen. B: Šestka padne aspoň jednou. C: Ve třídě je aspoň jeden žák je chytrý. D: Aspoň jeden řešitel byl úspěšný. 6. Právě A: Daná rovnice má právě dva kořeny. B: Při hodech kostkou padla šestka právě dvakrát. C: Jednociferná prvočísla jsou právě čtyři. D: Číslo 24 má právě tři různé dělitele. 7. Pro všechna A: Všechna celá čísla jsou lichá. B: Všechna prvočísla jsou lichá. C: Všechna desetinná čísla lze napsat ve tvaru zlomku. D: Všechna dvojciferná prvočísla jsou lichá 8. Existuje A: Existuje prvočíslo, které je sudé. B: Existuje přirozené číslo, které je záporné. C: Existuje prvočíslo, které je liché. D: Existuje přirozené číslo, které je dělitelné číslem 8. 9. 1) 2) 3) 4)
Výroky Napište pravdivý matematický výrok (jiný než je zde uvedený): Napište nepravdivý matematický výrok (jiný než je zde uvedený): Napište nematematický výrok (jiný než je zde uvedený): Napište větu, která není výrokem.
10. Kvantifikátor slovy - obecný 1) Vyjádřete slovy a určete pravdivost:
∀x ∈ R : x 2 = x ∀x ∈ R : x 2 ≥ x ∀x ∈ R : x 2 ≥ 0
5/9
m_1_vyrok_priklady
26.5.2011
6/9
∀n ∈ N : n 2 − 1 = (n + 1)(n − 1) ∀y ∈ R : y 2 = 1
∀n ∈ N : n > 0 ∀x ∈ R : x > 0 11. Kvantifikátor slovy - existenční 2) Vyjádřete slovy a určete pravdivost:
∃x ∈ R : x 2 ≠ x ∃x ∈ R : x 2 < x ∃x ∈ R : x 2 < 0 ∃x ∈ N : n 2 − 1 ≠ (n + 1)(n − 1) ∃y ∈ R : y 2 ≠ 1 ∃x ∈ R : x 2 − 9 = 0 2 ∃x ∈ R : ( x + 1) < 1
∃x ∈ R : x = 4 ∃x ∈ N : n 2 = 4 ∃x ∈ R : x = 0
∃x ∈ R : x = 0 ∃x ∈ R : x = −1 12. Kvantifikátor symboly- obecný 1) Zapište pomocí proměnné a kvantifikátorů: … Pro všechna reálná čísla x platí, že druhá odmocnina z x na druhou je rovna absolutní hodnotě. Pro všechna reálná čísla x platí, že x na druhou je větší nebo rovno x. Pro všechna reálná čísla x platí, že x na druhou je větší nebo rovno nule. Pro všechna přirozená čísla n platí, že n na druhou mínus jedna se rovná v závorce n plus jedna, uzavřít závorku krát závorka n mínus jedna konec závorky. Pro všechna reálná čísla y platí, že y na druhou se rovná jedné. 13. Kvantifikátor symboly- existenční 2) Zapište pomocí proměnné a kvantifikátorů: … Existuje reálné číslo x pro které platí, že druhá odmocnina z x na druhou není rovna absolutní hodnotě. Existuje reálné číslo x, které je řešením nerovnice: x na druhou je menší než x. Existuje reálné číslo x pro které platí, že x na druhou je menší než nula. Existuje přirozené číslo n pro které platí, že n na druhou mínus jedna se nerovná v závorce n plus jedna, uzavřít závorku krát závorka n mínus jedna konec závorky. Existuje reálné číslo y pro které platí: y na druhou se nerovná jedna. Existuje přirozené číslo, které je kořenem rovnice x na druhou mínus devět je rovno nule. Existuje reálné číslo x, které je řešením nerovnice: závorka x plus jedna konec závorky na druhou je menší než jedna.
m_1_vyrok_priklady
14. Složené výroky A: Číslo x je dělitelné dvěma. B: Číslo x je dělitelné třemi. C: Číslo x je dělitelné pěti. D: Číslo x je dělitelné šesti. E: Číslo x je dělitelné deseti. F: Číslo x je kladné. G: Číslo x je celé. O: Číslo x je přirozené číslo.
26.5.2011
H: Číslo x končí nulou. I: Číslo x končí pětkou. J: Číslo x je sudé. K: Číslo x má ciferný součet dělitelný třemi. L: Číslo x má ciferný součet dělitelný devíti. M: Číslo x je prvočíslo. N: Číslo x je liché. P: Číslo x je 2.
1) Rozhodněte, zda dané složené výroky jsou pravdivé. … a) ( A ∧ B ) ⇒ D b) M ⇒ N c) H ⇔ E d) C ⇒ ( H ∨ I ) VH: a) ( A ∧ B ) ⇒ D p, b) M ⇒ N n, c) H ⇔ E p, d) C ⇒ ( H ∨ I ) p. 2) Rozhodněte, zda dané složené výroky jsou pravdivé. … a) ( J ∧ K ) ⇒ D b) I ⇒ N c) A ⇔ J d) I ⇒ (C ∨ E ) VH: a) ( J ∧ K ) ⇒ D p, b) I ⇒ N p, c) A ⇔ J p, d) I ⇒ (C ∨ E ) p. 3) Rozhodněte, zda dané složené výroky jsou pravdivé. … a) (C ∧ N ) ⇒ E b) G ⇒ O c) N ⇔ P d) M ⇒ ( N ∨ P ) VH: a) (C ∧ N ) ⇒ E n, b) G ⇒ O n, c) N ⇔ P n, d) M ⇒ ( N ∨ P ) p. 4) Rozhodněte, zda dané složené výroky jsou pravdivé. … a) (C ∧ J ) ⇒ H b) M ⇒ G c) B ⇔ K d) G ⇒ ( N ∨ J ) VH: a) (C ∧ J ) ⇒ H p, b) M ⇒ G p, c) B ⇔ K p, d) G ⇒ ( N ∨ J ) p.
7/9
m_1_vyrok_priklady
26.5.2011
8/9
15. Test logického myšlení Doporučujeme napsat si na papír čísla 1,2, ... 10 a k nim přiřazovat odpovědi ANO - NE. Následující test, který vypracoval psycholog Allan Gintel, by měl ukázat vaši schopnost vyvodit správné řešení, které vyplývá z určitých výroků a zároveň by měl prověřit rychlost vašeho uvažování. Následující výroky jsou ve skutečnosti nesmyslné, avšak je třeba vycházet z toho, že první dva výroky z každé úlohy jsou správné. Závěr z nich však může, anebo též nemusí být správný. Pokud se vám zdá závěr třetího výroku správný, označte ho slovem ANO, v opačném případě NE. Na vypracování každé z úloh máte k dispozici jen 20 sekund.
1. Všechny žáby jsou modré. Tento kůň je modrý. Proto tento kůň je žába.
2. Všichni žáci jsou ryby. Někteří žáci jsou mloci. Proto někteří mloci jsou ryby. 3. Některé mraky mají černé body. Černé body mají všechny domy. Proto některé mraky jsou domy.
4. Všechny myši jsou hranaté. Všechno hranaté je modré. Proto všechny myši jsou modré. 5. Všechny ovce jsou sloni. Někteří sloni jsou čápi. Proto všechny ovce jsou čápi.
6. Někteří lidé, kteří mají rádi Alici, nemají rádi Roberta. Proto lidé, kteří mají rádi Roberta, nemají rádi Alici.
7. Někteří psi rádi recitují básně. Všichni psi jsou laviny. Proto některé laviny rády recitují básně. 8. Nikdo s červeným nosem nemůže být premiérem. Všichni muži mají červené nosy. Proto žádný muž nemůže být premiérem.
9. Všichni jezevci jsou sběratelé umění. Někteří sběratelé umění žijí v norách. Proto někteří jezevci žijí v norách.
10. Nikdo s fialovými vlasy není mladý. Někteří lidé, kteří mají fialové vlasy, pijí mléko. Proto někteří lidé, kteří pijí mléko, nejsou mladí.
m_1_vyrok_priklady
26.5.2011
9/9
Výsledky jsou níže.
Vyhodnocení: Za každou odpověď ANO při otázkách 2, 4, 7, 8, 9, 10 máte 1 bod. Za každou odpověď NE při otázkách 1, 3, 5, 6 si též připočtěte 1 bod.
7-10 bodů: Vynikající. Těžko může být někdo lepší než vy. Vaše logika je přímo železná. 5-6 bodů: Logické uvažování patří k vašim silným stránkám. 3-4 body: Zlatá střední cesta, žádný génius, ale hlupák rovněž ne. 2-0 body: Vaše silné stránky se neprojevují právě v logice.
Pokud jste neuspěli, nezoufejte. Manažer banky se zahraniční účastí, jeden fotoreportér a redaktorka získali jen 4 body. Zástupkyně šéfredaktora, ředitel Matematického ústavu SAV a jeho syn dosáhli plného počtu bodů.
