VÝPOČET RIZIKA V POJIŠTĚNÍ OSOB Calculation of risk in life insurance

Masa rykova un iverz it a Ekonomicko-správní fakulta Studijní obor: Finanční podnikání

VÝPOČET RIZIKA V POJIŠTĚNÍ OSOB Calculation of risk in life insurance Diplomová práce

Vedoucí diplomové práce: Mgr. Petr ČERVINEK

Autor: Beáta STEINOVÁ

Brno, květen 2009

J mé n o a p ř í j me ní a ut or a: Ná z e v d i pl o mové p r á c e : Ná z e v p r ác e v a nglič t i ně: Ka t e d r a: Ve do u c í di p l o mové p r á c e: Ro k ob h a j ob y :

Beáta Steinová Výpočet rizika v pojištění osob Calculation of risk in life insurance Financí Mgr. Petr Červinek 2009

Anotace Předmětem diplomové práce „Výpočet rizika v pojištění osob“ je odvození vzorců pro výpočet rizika pojistných produktů v životním pojištění. V první části je popsáno zařazení pojistné matematiky do ekonomického systému, druhá část se zabývá úmrtnostními tabulkami a třetí část obsahuje odvozování vzorců pro výpočet pojistného a rizika pojištění.

Annotation The topic of the dissertation “Calculation of risk in life insurance” is derivation of formulas for calculation of the risk of insurance products in life insurance. The first part describes the inclusion of actuarial mathematics into the economic system; the second part deals with mortality tables; and the third part contains the derivation of formulas for calculations of the premium and the insurance risk.

Klíčová slova Pojištění, pojistný trh, pojistná matematika, životní pojištění, kalkulace pojistného, pojistnětechnické riziko

Keywords Insurance, insurance market, actuarial mathematics, life insurance, calculation of premium, insurance - technical risk

Prohlášení Prohlašuji, že jsem diplomovou práci Výpočet rizika v pojištění osob vypracovala samostatně pod vedením Mgr. Petra Červinka a uvedla v ní všechny použité literární a jiné odborné zdroje v souladu s právními předpisy, vnitřními předpisy Masarykovy univerzity a vnitřními akty řízení Masarykovy univerzity a Ekonomicko-správní fakulty MU.

V Brně dne 4. května 2009 vlastnoruční podpis autora

Poděkování Na tomto místě bych ráda poděkovala Mgr. Petru Červinkovi za cenné připomínky a odborné rady, kterými přispěl k vypracování této diplomové práce.

OBSAH ÚVOD .........................................................................................................................................6 1

RIZIKO POJISTNÉHO V EKONOMICKÉM SYSTÉMU .........................................8 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

2

ÚMRTNOSTNÍ TABULKY ..........................................................................................23 2.1 2.2 2.3 2.4

3

EKONOMICKÝ SYSTÉM .....................................................................................................8 FINANČNÍ TRHY .............................................................................................................10 POJISTNÝ TRH ................................................................................................................12 POJISTNÁ MATEMATIKA .................................................................................................15 RIZIKO POJIŠTĚNÍ ...........................................................................................................17

ÚMRTNOSTNÍ TABULKY V POJIŠŤOVNICTVÍ ....................................................................24 POPIS ÚMRTNOSTNÍ TABULKY ........................................................................................25 SOUVISLOSTI VE VZORCÍCH............................................................................................27 KOMUTAČNÍ ČÍSLA.........................................................................................................28

ODVOZENÍ VZORCŮ PRO VÝPOČET RIZIKA .....................................................31 3.1 POJIŠTĚNÍ PRO PŘÍPAD DOŽITÍ ........................................................................................31 3.2 POJIŠTĚNÍ PRO PŘÍPAD SMRTI .........................................................................................36 3.2.1 Pojištění pro případ smrti trvalé ..........................................................................36 3.2.2 Pojištění pro případ smrti dočasné .......................................................................38 3.2.3 Pojištění pro případ smrti odložené......................................................................41 3.2.4 Pojištění pro případ smrti odložené dočasné .......................................................43 3.3 SMÍŠENÉ POJIŠTĚNÍ ........................................................................................................49 3.4 POJIŠTĚNÍ DŮCHODU ......................................................................................................53 3.4.1 Doživotní bezprostřední důchod předlhůtní .........................................................53 3.4.2 Doživotní bezprostřední důchod polhůtní .............................................................56 3.4.3 Dočasný bezprostřední předlhůtní důchod ...........................................................58 3.4.4 Dočasný polhůtní důchod .....................................................................................61 3.4.5 Odložený předlhůtní doživotní důchod .................................................................64 3.4.6 Odložený polhůtní doživotní důchod.....................................................................67 3.4.7 Odložený předlhůtní dočasný důchod ...................................................................69 3.4.8 Odložený dočasný důchod polhůtní ......................................................................73

ZÁVĚR: ...................................................................................................................................80 LITERATURA: ......................................................................................................................82 SEZAM PŘÍLOH: ..................................................................................................................83 SEZNAM OBRÁZKŮ: ...........................................................................................................84 SEZNAM TABULEK: ...........................................................................................................84

Úvod Mezi základní potřeby lidstva patří nejen potrava, oblečení a bydlení, ale i mnoho dalších statků usnadňujících a obohacujících život jednotlivce i celého lidstva. Materiální statky a jejich výroba je tak rozhodující a hlavní podmínkou dnešního života. Tento vývoj však nelze považovat za plynulý a bez poruch. Za rušivé elementy považujeme především ničivé síly samotné přírody, ale také nedokonalosti jednotlivců či celé společnosti. Základním rysem těchto událostí je jejich neočekávanost a nahodilost jak v čase, tak i v rozsahu. Nahodilé události škodlivého charakteru jsou pro existenci lidské společnosti naprosto přirozeným rysem, vyskytujícím se v historicky různých formách i v různém rozsahu v každém stupni vývoje lidské společnosti. Rozpoznání škodlivosti mnohých nahodilých událostí vedlo k hledání nejvhodnějšího způsobu ochrany. Tak vzniká a vyvíjí se zábranná činnost – prevence, předcházení nahodilým událostem, anebo zmírňování jejich rozsahu (represe). Ukázalo se však, že i sebedokonalejší opatření nebezpečí zcela neodstraní. Byly hledány další způsoby ochrany. Jako nejúčinnější obrana proti škodlivým následkům nahodilých škodlivých událostí je nahromadění dostatku prostředků sloužících k náhradě poškozeného nebo zničeného majetku, nebo k zajištění nezbytných prostředků nutných pro život lidí postižených nahodilou událostí. Většinou však jednotlivec není schopen nahromadit takové množství rezerv pro případ náhodné události, a ani nemůže v tomto případě spoléhat na společnost. Dochází tak ke sdružování lidí, kteří jsou vystaveni stejným rizikům. V tomto sdružování nalézáme základ rozvíjejícího se pojištění. Ekonomickou podstatu pojištění vidíme ve sdružování jednotlivců ohrožených stejným nebezpečím. Pojišťovnictví patří ve vyspělých státech světa k základním ukazatelům ekonomické úrovně země a po nástupu tržní ekonomiky se stále více dostává do popředí zájmu. Teoretickým základem pojišťovnictví je pojistná matematika, jejíž zvládnutí je nezbytné pro zkvalitnění služeb pojišťovnictví. Technickou stránku pojištění zajišťuje i statistika. Pojištěním se zabezpečuje občanům právo výplaty pojistné sumy v předem dohodnuté výši v případě pojistné události, která nastala v průběhu trvání pojištění. Z výše uvedeného plyne důležitost pojmů nahodilá událost a pojistná událost. Nahodilých událostí, tj. událostí, které nemůžeme s jistotou očekávat, je mnoho, a ne všechny mohou být považovány za zdroj pojištění. To se zabývá jen takovými situacemi, jež mají za následek škodu na majetku nebo zdraví, případně událostí, která je spojena s určitým zájmem, z něhož plyne potřeba finančních prostředků (např. dožití se určitého věku, sňatek, počátek studia,…).

6

Pojistná událost je tak spojována s nahodilou událostí, ze které vyplývá povinnost pojišťovny poskytnout pojistné plnění. Aby mohla pojišťovna spolehlivě určit hodnotu převzatých závazků a stanovit tak výši pojistného nebezpečí, musí zhodnotit pojistnou událost. Toto nebezpečí nebo také pojistné riziko slouží k hodnotovému vyjádření četnosti a rozsahu pojistných událostí, četnost a rozsah pojistných závazků, které pojišťovna převzala prostřednictvím sjednaných pojištění. Pojistné nebezpečí, určené jako hodnota pojistných událostí, je v čase variabilní, neustále se mění. Životní pojištění se vyznačuje poměrně dlouhou tradicí spojenou se vznikem pojištění. V minulosti se v popředí vyskytovalo riziko smrti, zabezpečení pohřbu nebo podpory pozůstalých. V současné době pojištění představuje soubor různých skupin pojištění, který seskupuje dvě základní rizika: riziko smrti a riziko dožití. Pojistná matematika životního pojištění využívá dvou modelů životního pojištění – diskrétního a spojitého. Oba modely je možno vytvářet deterministicky nebo stochasticky. Nejjednodušším modelem používaným v dnešní pojistné praxi je model diskrétní deterministický, který je pro výpočty výšky pojistného a rezerv naprosto postačující. Při tvorbě nových produktů a současně i vývoji pojištění v dnešní době však již nestačí počítat jen rezervy, ale i to, jak je pojištění rizikové. Pro tento případ je potřebný již model stochastický. Stochastický model má tu výhodu, že díky němu můžeme počítat i další charakteristické veličiny dané náhodné proměnné. Pomocí směrodatné odchylky můžeme upřesnit stanovení současné hodnoty. Právě směrodatná odchylka udává riziko pojistného, u kterého platí, že čím je vyšší, tím je pojištění riskantnější. Cílem práce je odvození vzorců pro výpočet rizika pojistných produktů v životním pojištění. Konkrétně pak budeme odvozovat vzorce pro jednorázové netto pojistné jednotlivých druhů pojištění v oblasti životního pojištění osob pomocí stochastického diskrétního modelu. Důvodem počítání rizika je, že v případě bezrizikového pojištění se toto riziko bere v úvahu, připočítává se ke střední hodnotě. Pojišťovny by se o takovéto bezrizikové pojištění měly snažit.

7

1

Riziko pojistného v ekonomickém systému 1.1 Ekonomický systém

Před začátkem popisu finančního systému, který zahrnuje pojistný trh a tudíž i oblast pojistné matematiky, je nutno se seznámit se systémem ekonomickým, jehož součástí je systém finanční, kterým se dále budeme zabývat. Ekonomický systém můžeme popsat jako uspořádání subjektů, objektů a různých toků plateb, výstupů a výrobních faktorů. Zjednodušeně ho můžeme popsat takto: ekonomika zahrnuje dva subjekty – domácnosti a podniky, kde domácnostmi chápeme vlastníky zdrojů, které tyto zdroje (práce, majetek) dodávají podnikům a naopak od nich přijímají zboží a služby podnikovým sektorem vyprodukované. V tomto dvousektorovém systému ekonomiky rozeznáváme dva toky – reálný tok představující reálnou ekonomiku (jde o vnitřní smyčku obrázku 1) a peněžní tok finančního systému (vnější smyčka obrázku 1). Obrázek 1: Ekonomický systém

Příjem (mzdy, nájem, úroky, zisky) Vstupy zdrojů (práce, komodity, půda) Podnikový sektor

Sektor domácností Spotřeba vstupů (zboží a služby) Platby za výstupy

Zdroj: Fuchs FUCHS D., Finanční trhy, Brno: MU Brno., 2004, str. 14

Výše uvedené schéma znázorňuje pouze zjednodušenou formu fungování ekonomického systému. Je nutno si uvědomit, že ekonomika nemůže existovat bez trhů.

8

Obrázek 2: Ekonomický a finanční systém

Trh zboží a služeb Finanční systém Podnikový sektor

Sektor domácností

Finanční trh

Trh výrobních faktorů


V grafu dvousektorové ekonomiky je vyčleněn trh finanční, trh výrobních faktorů a trh výrobků a služeb. V obrázku 2 máme vyznačeny směry toku produkce a výrobních činitelů probíhající ve směru vnějších šipek a tok plateb probíhající opačným směrem. Centrem finančního systému je finanční trh. Základní funkcí ekonomik je alokace materiálních zdrojů za účelem výroby zboží a poskytování služeb, kterých si společnost žádá. Za komplexní alokaci zdrojů poskytování výrobků a služeb zodpovídají ve většině ekonomik trhy. Jedná se především o trhy zboží a služeb, trh výrobních faktorů a finanční trh. Dělení ekonomického systému je možno provést podle následujícího schématu. Tato práce se dále bude zabývat pouze finančními trhy. Obrázek 3: Ekonomický systém

Ekonomický systém

Trh zboží a služeb

Trh výrobních faktorů

Domácnosti

Firmy

Finanční trhy

Zdroj: REJNUŠ O., Peněžní ekonomie (Finanční trhy), Brno: Akademické nakladatelství CERM s. r. o., 2006, str. 26

9

1.2 Finanční trhy Finanční trhy jsou nedílnou součástí každé ekonomiky. Finanční systém je možno chápat jako mechanismus, jehož prostřednictvím se prostředky k zapůjčení dostávají k těm, kteří si je chtějí vypůjčit. Je souhrnem všech dílčích segmentů finančního trhu, tak i všech na nich obchodovaných finančních nástrojů (instrumentů) a rovněž všech ekonomických subjektů, které při respektování legislativou stanovených zákonů a dalších souvisejících předpisů tyto finanční nástroje s využitím svých odborných znalostí a technik obchodují, nebo poskytováním celé řady různých odborných finančních služeb fungování finančního systému napomáhají.1 Finanční trh je místem, kde se střetává nabídka a poptávka po finančních instrumentech, neboli platebních prostředcích, cenných papírech, devizách, drahých kovech či pojistné ochraně. Finanční trh má podobu trhu peněžního nebo kapitálového. Peněžní trh se zabývá krátkodobým poskytováním půjček a obchodováním s krátkodobými cennými papíry, zatímco kapitálový trh je určen pro financování dlouhodobých investic. Na finančních trzích se střetávají deficitní a přebytkové subjekty. Finanční trh jim umožňuje přemisťování finančních prostředků mezi sebou. Existují tři způsoby přerozdělování: •

přímé

Obrázek 4: Přímé financování

Emise primárních cenných papírů Deficitní subjekt

Přebytkový subjekt Peněžní prostředky za nákup cenných papírů


1

REJNUŠ O., Peněžní ekonomie (Finanční trhy), Brno: Akademické nakladatelství CERM s. r. o., 2006, str. 18

10

•

polopřímé

Obrázek 5: Polopřímé financování

Primární cenné papíry Deficitní subjekt

Primární cenné papíry Finanční zprostředkovatel

Peněžní prostředky

Přebytkový subjekt Peněžní prostředky


•

nepřímé

Obrázek 6: Nepřímé financování

Sekundární cenné papíry

Primární cenné papíry Deficitní subjekt

Finanční zprostředkovatel Peněžní prostředky

Přebytkový subjekt Peněžní prostředky

Zdroj: Fuchs FUCHS D., Finanční trhy, Brno: MU Brno., 2004,str. 19

Úkolem finančních zprostředkovatelů je ulehčování realizace peněžních transakcí, snižování finančních nákladů. Jejich kvalifikace pro odhad rizika je vyšší. Díky nim je umožněn vzájemný kontakt, spojení a propojení všech ekonomických subjektů vystupujících na finančním trhu. Cena zprostředkování může být úrok, marže, pojistné, zajistné atd. Finanční trhy plní mnoho funkcí, avšak nejdůležitější z nich jsou:2 • • • •

2

funkce akumulační – soustřeďování volných finančních prostředků z různých zdrojů funkce alokační – umisťování finančních prostředků funkce přerozdělovací – přerozdělování mezi přebytkovými a deficitními subjekty funkce selekční – přerozdělování prostředků subjektům, které je dokážou nejefektivněji využít

ČEJKOVÁ V., NEČAS S., Pojistný trh, Brno: MU Brno, 2005, str. 15

11

Členění finančních trhů: •

z hlediska času krátkodobý – do 1 roku střednědobý – 1 až 4 roky dlouhodobý – nad 4 roky • podle charakteru aktivace finančních prostředků3 primární trhy sekundární trhy • podle obsahu4 dluhové trhy akciové trhy komoditní trhy měnové trhy • z hlediska jeho jednotlivých segmentů peněžní trh kapitálový trh devizový trh komoditní trh pojistný trh

1.3 Pojistný trh Také u pojistného trhu jde o fungování na principu shromažďování a rozdělování finančních prostředků, jako u rozdělování hrubého domácího produktu. Mluvíme zde o rezervách, které se vytvářejí pro případ úhrady pojistného plnění. Jedná se o náhodu předem neurčitelnou. Je pro ně typický nárok na čerpání při splnění podmínek stanovených zákonem, vyhláškami, pojistnými podmínkami, pojistnou smlouvou atd. Pojišťovnictví je považováno za jednu z klíčových oblastí národního hospodářství a plní úlohy jako je pojistná ochrana fyzických i právnických osob, bezporuchový chod ekonomiky státu. Považujeme je za konkurenta i partnera bankovního sektoru na finančním trhu. Pojištění lze definovat jako vztah tvorby a rozdělování rezerv v závislosti na riziku a používání těchto rezerv k úhradě potřeb, které jsou v jednotlivých případech výskytu náhodné, vcelku však odhadnutelné. Pojištění tedy funguje na principu a teorii tvorby rezerv pro předpokládané pojistné plnění, respektive pojistné náhrady v budoucnosti.5

3

FUCHS D., Finanční trhy, Brno: MU Brno., 2004, str. 28 FUCHS D., Finanční trhy, Brno: MU Brno., 2004, str. 28 5 ČEJKOVÁ V., NEČAS S., Pojistný trh, Brno: MU Brno, 2005, str. 16 4

12

Pojistný trh je typický tím, že se na něm střetává nabídka a poptávka po pojistné ochraně. Obchody tohoto trhu se týkají pojištění a zajištění. Jsou to služby mající fiktivní charakter. Tyto služby mají riziko spočívající v získání protihodnoty až po realizaci pojištěného rizika. Na pojistném trhu se uplatňují principy solidárnosti, neekvivalentnosti a podmíněné návratnosti. Na poptávkové straně pojistného trhu nalezneme různorodou skupinu fyzických osob, právnických osob a sdružení. Stranu nabídky pojistného trhu představují pojistitelé, zajistitelé a zprostředkovatelé. Pojišťovací instituce Jedná se o důležité subjekty finančních trhů s celosvětově se zvyšujícím významem. Jejich důležitou vlastností je zabezpečování řady specifických funkcí nutných pro efektivní fungování ekonomiky a jejího vývoje. Důvody: • • •

Možnost pojištění a tím taky zvýšení finanční bezpečnosti pro případ vzniku nepředvídatelných událostí Jsou vlastníkem velkého finančního potenciálu pro investování do dlouhodobých finančních aktiv (výrazné propojení s kapitálovými trhy) Napomáhání udržování stability nejen finančního, ale i celého ekonomického systému

Dělení pojišťovacích institucí:6 • •

Pojišťovny Zajišťovny

Pojišťovny Finanční instituce charakteristické činností spočívající v poskytování ochrany klientům pro případ finanční ztráty vzniklé v důsledku tzv. pojistných událostí. Pojišťovny na sebe přebírají rizika, která vyplývají z uzavřených pojistných smluv. Podstatou pojištění je přenos rizika mezi velké množství pojištěných, rozložené na agregaci nezávislých pojistných událostí.

6

REJNUŠ O., Peněžní ekonomie (Finanční trhy), Brno: Akademické nakladatelství CERM s. r. o., 2006, str. 88

13

Rozdělení pojišťoven z hlediska předmětného zaměření jejich činnosti Pojišťovny působící v oblasti životního pojištění • Pojištění pro případ dožití Pojišťovny vyplácejí pojistnou částku v případě, že osoba pojištěná ve věku x se dožije konce sjednané pojistné doby n (zemře-li pojištěný před koncem pojistné doby, pojištění zanikne bez náhrady). • Pojištění pro případ smrti Pojišťovna vyplácí sjednanou pojistnou částku na konci pojistného roku, v němž pojištěná osoba ve věku x zemře. • Smíšené pojištění Pojišťovna vyplatí sjednanou pojistnou částku na konci pojistného roku, v němž osoba pojištěná ve věku x zemře, nejpozději ale při dožití doby n. Toto pojištění je kombinací dočasného pojištění pro případ smrti a pojištění pro případ dožití. • Pojištění důchodu Jedná se o speciální pojištění pro případ dožití s pojistným plněním ve formě výplaty důchodu pravidelně se opakujícím. Pojišťovny působící v oblasti neživotního pojištění • Úrazová pojištění Pojištěný obdrží pojistná plnění v případě, kdy v důsledku úrazu dochází k tělesnému poškození, ať už trvalému nebo dočasnému, nebo smrti pojištěného. • Komerční zdravotní pojištění Jedná se o doplněk všeobecného zdravotního pojištění pro případy, které nejsou z běžného pojištění kryty. • Majetková pojištění Kryjí se zde rizika související s poškozením pojištěného majetku. • Pojištění odpovědnosti Pojištění pro případ, že by pojištěný mohl způsobit třetí osobě svou činností škodu a to na zdraví, životě, majetku, … U neživotního pojištění je společné to, že pojišťovna vyplatí pojistné plnění pouze v případě, kdy nastane pojistná událost. Není však jisté, jestli se tato událost po dobu pojištění vyskytne, a pokud ano, tak kolikrát.

14

1.4 Pojistná matematika Pojištění je založeno po stránce technické na stanovení budoucích závazků i ostatních nákladů pojišťovny. K tomu je potřeba využívání pojistné techniky (především pojistné matematiky a statistiky) pojišťovnou. Pojistná matematika je vedle ekonomicko-finanční agendy a pojistného práva velmi důležitou složkou dnešního pojišťovnictví. Pojednává o matematických modelech a metodách, které popisují probíhající pojistné skutečnosti a objasňují vznikající problémy pojišťovnictví. Rozlišujeme oblasti pojistné matematiky pojištění osob, pojistné matematiky pojištění majetku a finanční matematiky. Můžeme na ni pohlížet jako na část stochastické matematiky, která se skládá z teorie pravděpodobnosti a statistiky. V rámci pojistné matematiky můžeme rozlišovat dva směry. První, teoretický směr, se zabývá tzv. teorií rizika. Jde o součást teoretické matematiky využívající obecné teorie pravděpodobnosti, náhodné procesy atd. Druhý směr, používaný v pojišťovnách a jiných státních institucích zabývajících se problematikou pojišťovnictví, je zaměřen na pojistnou matematiku denní praxe. Používání pojistných výpočtů je přímo vyžadováno legislativou. Hlavní úkol pojistné matematiky spočívá v připravenosti propočtů a jejich použití pojistitelem v kompenzaci rizik s pojištěným. K tomu patří matematický popis pojištěných rizik, tarifikace a kalkulace provizí, pojistně-technická analýza, dělení rizika mezi pojistitele, pojištěného a zajistitele, propočet rezerv pro škodní průběh, popis úrokového rizika a řízení uložení kapitálových investic. Základní principy pojištění osob •

7

Princip fiktivního souboru – spočívá v předpokladu, že počet osob, které uzavřou ve věku x stejný typ pojištění (pojistné smouvy), se rovná lx z použité úmrtnostní tabulky. Jinými slovy, stejný typ pojištění uzavřou všechny osoby, které jsou ve věku x naživu.7 I když tento předpoklad odporuje skutečnosti, zjednodušuje všechny naše úvahy a vede nakonec k výsledkům, které budou dostatečně přesné v praktickém použití. Dále pojišťovna předpokládá, že všechny osoby v daném modelovém souboru, které se dožily daného věku, nebo které se narodily v daném roce, se narodily 1.1. a všechny osoby, které v daném roce zemřely, zemřely 31.12.

ČERVINEK P., Pojistná matematika I., Brno: MU Brno, 2008, str. 11

15

•

Princip ekvivalence – vychází z předpokladu rovnosti příjmů a výdajů pojišťovny v případě diskontace k témuž datu při uzavírání homogenního souboru pojistných smluv. Jde o základní princip, na kterém jsou založeny všechny pojistně-matematické výpočty v životním i neživotním pojištění. Při těchto výpočtech, které se provádějí v rámci principu ekvivalence, musí pojišťovna odhadnout, jaké budou její budoucí příjmy i výdaje, a přitom zohlednit aspekty časového rozložení příjmů a výdajů i náhodný charakter finančních toků. Všeobecná rovnice ekvivalence:

Očekávaná počáteční hodnota pojistného = očekávaná počáteční hodnota pojistného plnění Předpoklady výpočtů, jejichž hodnoty ovlivní výsledky veškerých výpočtů v pojistné matematice, tvoří aktuárskou bázi. Jejími základními prvky jsou: • Úroková míra • Úmrtnostní tabulky (řešeny v samostané kapitole) • Náklady pojišťovny Úrokem se rozumí finanční náhrada, kterou dostaneme za dané období v případě, že se zřekneme finančních prostředků a vložíme jej například do nějaké finanční instituce. Vyjadřuje se v procentech z vložených finančních prostředků. Pro výpočty je však vhodnější použití tvaru desetinného čísla, jež nazýváme úroková míra a značíme ji písmenem i. Úročení peněz pojišťovnou je závazkem promítajícím se do příspěvku pojištění snížením (např. v případě pojištění na dožití, smrti) nebo zvýšením (např. pojištění důchodu) pojistného právě o daný úrok. Pokud budeme chtít zjistit, jakou částku z vložených prostředků (K) budeme mít za jedno úrokovací období, použijeme vztah: K ′ K · 1 i Výraz 1 i se nazývá úročitel, určuje jednotkovou hodnotu získanou po jednom roce. V případě, že potřebujeme určit, s jakou finanční částkou získáme po uplynutí jednoho úrokovacího období předem určený kapitál, použijeme postup, který nazýváme diskontování. Diskontním faktorem, nebo také odúročitelem, nazýváme vztah: v

1 1i

Počáteční hodnotu kapitálu pak určíme vztahem: K

K′ K′ · v 1i 16

Dále je důležité si uvědomit, jak úroková míra ovlivňuje výši pojistného, případně hodnotu rizika. V těchto vztazích existuje nepřímá úměra – v případě, že se bude úroková míra zvyšovat, kalkulované pojistné i počítané riziko se budou snižovat. Netto a brutto pojistné Pro pojišťovnu je důležité získat z vybraného pojistného prostředky k výplatě pojistných plnění, ale také prostředky k zajištění vlastního chodu. Z tohoto důvodu rozlišujeme nettopojistné, jež je stanoveno takovým způsobem, aby pokrylo ve velkém souboru pojistných smluv právě takové náklady pojišťovny, které vznikají na základě potřeb pojistného plnění. V případě, že do pojistného jsou započítány i náklady vlastního provozu pojišťovny zajišťující bezproblémový chod, hovoříme o bruttopojistném. Právě bruttopojistné je uváděno v sazebnících pojišťovny, které slouží k uzavírání pojistných smluv v praxi. Nejedná se však o nic jiného než o přirážku k netto pojistnému, kterou si pojišťovna sama stanoví, proto se v následujícím textu touto přirážkou nebudu zabývat a všechny výpočty budou prováděny v netto hodnotách. Jednorázové a běžné pojistné Další hledisko ovlivňující výpočty pojistné matematiky spočívá v tom, jestli je pojistné placeno najednou – mluvíme o jednorázovém pojistném, nebo je rozloženo do více splátek (roční nebo področní pojistné), zde se používá pojem běžné (lhůtní) pojistné. V tomto případě jsem se rozhodla pro jednorázové pojistné, na kterém se dá nejlépe ukázat výpočet rizika pojištění a to z toho důvodu, že vzorce pro tyto výpočty jsou výchozí a z nich jsou potom dále odvozovány vzorce pro roční, případně področní pojistné. Jednorázové nettopojistné Rovná se přímo hodnotě nároků pojištěného vůči pojišťovně.8 Tato hodnota se vztahuje k okamžiku uzavření pojištění, kdy je také pojistné zaplaceno. Počáteční hodnota pojištění Tímto termínem se rozumí očekávaná počáteční hodnota příslušného pojistného plnění (pravá strana rovnice ekvivalence). Můžeme ji počítat jako střední hodnotu náhodné veličiny Z, nebo k ní můžeme přistupovat pomocí komutačních čísel.

1.5 Riziko pojištění Pojem rizika s přesně vymezeným významem se v dnešní době užívá v řadě pravděpodobnostních disciplín. Významné postavení zaujímá tento pojem i v oblasti pojišťovnictví, protože každé pojištění je přirozeně svým způsobem spojeno s rizikem nastoupení pojistné události. Teorie rizika používaná v rámci pojišťovnictví umožňuje 8

CIPRA T., Matematické metody demografie a pojištění, Praha: NTL - Nakladatelství technické literatury, 1990, str. 378

17

ohodnotit náhodné odchylky od očekávané hodnoty, se kterými je každé pojištění spojováno. Pro odvrácení negativních důsledků těchto odchylek pojišťovny vytvářejí bezpečnostní fondy z bezpečnostních přirážek započítávaných do pojistného. Význam rizika pojištění Výpočty rizika pojištění se používají ve všech pojišťovnách pro výpočty možných ztrát z pojištění. Kalkulují se tak nejoptimálnější podmínky pro pojišťovnu, aby i v případě, že nastanou neočekávané události, byla schopna i nadále fungovat a vyplácet svým klientům pojistná plnění. Kdyby pojišťovna brala v úvahu i riziko a chtěla mít bezrizikové pojistné, připočítala by ke střední hodnotě právě riziko. Další možností je, že pojišťovna vytvoří několik variant daného pojištění, určí si maximální poměr pojistného a rizika, který je ochotna akceptovat, a podle toho se rozhodne, kterou variantu použije. Není však jisté, že vše bude probíhat tak, jak pojišťovna předpokládá. Může se např. změnit některá ze složek aktuárské báze. V takovém případě je důležité i zajištění pojišťovny, aby redukovalo nepříznivé dopady na finanční situaci dané instituce. Pojistné riziko – možnosti pohledu na riziko pojištění Rizikem v dnešním světě rozumíme nejistotu a nahodilosti. Pojištění má význam jako nástroj eliminace negativních důsledků nejistoty a nahodilostí. Pojištění se zabývá jevy náhodného charakteru, jejichž důsledkem může být vznik škody. Na pojištění lze také nahlížet jako na ochranu proti pojistným rizikům. Pojištěný přenáší pro něj neúnosná rizika na pojistitele. Z hlediska pojistitele mluvíme o rizicích převzatých od klientů v rámci pojistného kmene transformujících se do tzv. pojistně-technického rizika spočívající v potenciálním nebezpečí, že ve skutečnosti nedosáhne vyrovnání přijatého pojistného a vyplacených pojistných plnění. Takovéto riziko měříme výší variability mezi očekávaným stavem, jenž je východiskem výpočtu pojistného, a stavem skutečným, odrážejícím se ve vyplaceném pojistném plnění. Jedná se však o náhodnou veličinu mající náhodný charakter. Podstata činnosti pojišťovacích institucí je založena na tom, že s růstem velikosti pojistného kmene klesá pojistně-technické riziko. Příklad9: Nechť v určitém pojištění nastává během jednoho roku pojistná událost s pravděpodobností 0,01 (tj. v jednom případu ze sta), přičemž pojistná událost je vždy spojena se škodou ve výši 1 000 000 Kč. Z individuálního hlediska potenciálních klientů se zjevně jedná o značně rizikovou záležitost vyžadující pojistnou ochranu. Proveďte rozbor z hlediska pojistně-technického rizika. 9

CIPRA T., Pojistná matematika - teorie a praxe, Praha: EKOPRESS s. r. o., 1999, str.17, Příklad 2.1.1.

18

Řešení: Nechť náhodná veličina Xi označuje výši škody v i-té pojistné smlouvě (i = 1, …, N). Tyto náhodné veličiny jsou navzájem nezávislé a mají pravděpodobnostní rozdělení tvaru 1000000 s pravděpodobností 0,01 X 0 s pravděpodobností 0,99

Z pohledu pojistitele hraje důležitou roli výše škody připadající v průměru na jednu pojistnou smlouvu E

X

N

X!

#

EX

N

EX!

10000

N

10000

10000Kč

neboť diskrétní náhodná veličina Xi má zřejmě střední hodnotu tvaru E(Xi) = 1 000 000 · 0,01 + 0 · 0,99 = 10 000. Pojistitel proto jako cenu za poskytnutí této pojistné ochrany předepíše roční pojistné právě ve výši 10 000 Kč (střední hodnota výše škody na jednu pojistnou událost). Takové pojistné inkasované za jeden rok např. v N = 100 pojistných smlouvách, tj. celkem 100 · 10 000 = 1 000 000 Kč, pokryje právě jednu pojistnou událost, která by vzhledem k uvedené pravděpodobnosti měla během roku nastat. Pojistně-technické riziko pojistitele, že pojistné 10 000 Kč v rámci pojistného kmene s N pojistnými smlouvami nebude stačit, je přirozené měřit směrodatnou odchylku výše škody na jednu pojistnou smlouvu, což je v pravděpodobnostním počtu obvyklá míra pro ocenění chyby vzniklé použitím směrodatné odchylky (tj. v našem případě použitím hodnoty 10 000 Kč) σ

X

N

X!

#

&varX varX! &9,9 · 10' 9,9 · 10' 99500 ( Kč N N √N

neboť diskrétní náhodná veličina Xi má rozptyl10:

var X EX+ , -EX . 0,01 · 1000000+ 0,99 · 0+ , 100000+ 9,9 · 10' . +

Pro kmen o velikosti N = 100 je pojistně-technické riziko ještě poměrně velké (pojistné 10 000 Kč podléhá chybě ve výši 99 500/1001/2 = 9 950 Kč), s rostoucím N ale klesá, takže např. pro kmen o velikosti N = 10000 se již redukuje na přijatelnou úroveň (pojistné 10 000 Kč pak podléhá chybě ve výši 99 500/10 0001/2 = 995 Kč). Pro ocenění tohoto rizika se vedle výpočtu střední hodnoty příslušných náhodných veličin zkoumá i jejich pravděpodobnostní rozdělení = pravděpodobnostní rozdělení náhodné veličiny, která představuje počáteční hodnotu pojistného plnění a pravděpodobnostní rozdělení náhodné veličiny, která představuje počáteční hodnotu pojistného včetně jejich sdruženého pravděpodobnostního rozdělení. Numerické ocenění pojistně-technického rizika

10

Odvození vzorce pro výpočet rozptylu na straně 20.

19

pojistitele se často redukuje na výpočet směrodatné odchylky náhodné veličiny a často se jednoduše nazývá riziko pojištění. Střední hodnota je jednou z charakteristik náhodné veličiny, která má využití v pojistné matematice. Udává výši pojistného. Je definovaná vztahem: EX / x · px 1

x – konkrétní realizace náhodné veličiny p(x) – pravděpodobnost výskytu Jde tedy v podstatě o jakýsi průměr možných hodnot veličiny X, v němž jsou jednotlivé hodnoty váženy odpovídajícími pravděpodobnostmi.11 Základní vlastnosti střední hodnoty:12 • Střední hodnota konstanty je rovna konstantě, tj. E(c) = c • Střední hodnota součinu konstanty a náhodné veličiny je rovna součinu této konstanty a střední hodnoty dané veličiny, tj. E(cX) = c E(X) • Střední hodnota součtu náhodných veličin je rovna součtu jejich středních hodnot, tj. E(X1+X2+…+Xs) = E(X1) + E(X2) + … + E(Xs) • Střední hodnota součinu s nezávislých náhodných veličin je rovna součinu jejich středních hodnot, tj. E(X1 X2 … Xs) = E(X1) E(X2) … E(Xs) Směrodatná odchylka je druhou odmocninou rozptylu, udává se ve stejných jednotkách jako střední hodnota (v tomto případě výše pojistného). Rozptyl je definován jako průměr čtverců odchylek jednotlivých hodnot od aritmetického průměru.13 Rozptyl udává míru variability náhodné veličiny, obecné vyjádření má podobu: DX 345 , 367+

EX + / x + · px 1

DX /4x , EX7+ · px / x + · px , / 2 · x · EX · px /4EX7+ · px

EX + , 2 · EX · EX 4EX7+ · 1 DX EX + , 4EX7+ X – náhodná veličina 11

HINDLS R., HRONOVÁ S., SEGER J., Statistika pro ekonomy, Praha: Professional Publishing, 2004, str. 72 HINDLS R., HRONOVÁ S., SEGER J., Statistika pro ekonomy, Praha: Professional Publishing, 2004, str. 72 13 HINDLS R., HRONOVÁ S., SEGER J., Statistika pro ekonomy, Praha: Professional Publishing, 2004, str. 36

12

20

Rozptyl je tedy mírou variability náhodné veličiny X. Základní vlastnosti rozptylu náhodné veličiny: • Rozptyl konstanty je roven nule, D(c) = 0 • D(cX) = c2 D(X) • D(c+X) = D(X) • Rozptyl součtu s nezávislých náhodných veličin se rovná součtu rozptylů těchto náhodných veličin, D(X1+X2+…+Xs) = D(X1) + D(X2) + … + D(Xs) Směrodatná odchylka je vyjádřena tvarem: σ &DX &EX + , 4EX7+ Směrodatná odchylka, jako odmocnina z rozptylu, může nabývat kladné i záporné hodnoty. Většinou se využívá jen kladná hodnota – u nás to bude znamenat možnost ztráty. V případě, že bychom však uvažovali zápornou hodnotu, realizovala by pojišťovna zisk. Příkladem může být dočasné pojištění na úmrtí – pojištěná osoba může zemřít dříve, potom pojišťovna vykazuje ztrátu. Nebo zemře později, přičemž pojišťovna nebude muset vyplácet pojistné plnění a dosahuje tak zisku. Pokud bychom posuzovali riziko, vyjde nám číslo, které můžeme porovnávat s ostatními vypočtenými hodnotami, nebo spočítáme podíl směrodatné odchylky k střední hodnotě. V druhém případě nám vyjde poměr, který porovnáváme s mírou rizika určenou danou pojišťovnou, zda je ochotna toto riziko akceptovat či ne. Tento poměr nazýváme variační koeficient. U životního pojištění pojistná matematika využívá diskrétního a spojitého modelu životního pojištění. Vytváření obou modelů je možno pomocí deterministického nebo stochastického přístupu. Diskrétní deterministický model je nejjednodušším modelem, který se používá v dnešní pojistné praxi, který je pro výpočty výšky pojistného a rezerv naprosto dostačující. Pro výpočty rizikovosti pojištění se využívá modelu stochastického. Výhodou modelu je počítání dalších potřebných charakteristických veličin náhodné proměnné. Pomocí směrodatné odchylky nebo rozptylu náhodné veličiny můžeme upřesnit stanovení současné hodnoty pojištění. Zde platí, že čím je hodnota směrodatné odchylky větší, tím větší je i riziko.

21

Stochastický model Jak již bylo řečeno, výpočet rizika se provádí pomocí stochastického modelu, který vychází z následujících předpokladů: 1. Doba trvání smlouvy je omezena. I v případě uzavírání smlouvy doživotního pojištění na úmrtí předpokládáme, že smrt pojištěné osoby nastane do nějakého věku. 2. Interval délky pojištění x-leté osoby je (0; ω-x), ω – horní věková hranice (ω=103, dle v přílohách uvedených úmrtnostních tabulek) Platí: t0 =0 < t1 <…< tn= ω-x; tj - tj-1 = t1 – t0= 1 rok. 3. Pojistné události jsou splatné jen v časech t1, t2, …, tn. Pokud pojištěná osoba zemře v čase t, přičemž t náleží do intervalu (tj-1 ; tj), pojistná suma bude splatná v čase tj. 4. Pravděpodobnost úmrtí je konstantní v průběhu celého intervalu (tj-1 ; tj). 5. Úročení a pravděpodobnost úmrtí jsou na výšce pojistných plnění nezávislá.

22

2

Úmrtnostní tabulky

Úmrtnostními tabulkami se zabývá demografie. Úmrtnostní tabulky poskytují základní informace o úmrtnosti uzavřené stacionární populace. Předpokládá se tedy, že nedochází k migraci obyvatelstva a v čase se nemění ani velikost populace a její složení.14 V úmrtnostních tabulkách se jedná o odhady pravděpodobností úmrtí pro muže a ženy jednotlivých věků a další charakteristiky. Pro Českou republiku jsou úmrtnostní tabulky každoročně vydávány Českým statistickým úřadem. Můžeme je považovat za nejstarší demografické modely. Mezi problémy, kterými se lidstvo již dávno zabývalo, patří například počet let života, kterých se může jedinec ještě dočkat, nebo celkově popsání řádu vymírání dané populace. Úmrtnostní tabulky jsou prostředkem pro sdělení informací získaných pozorováním příslušné populace s následnými výpočty, aby zmíněné hodnoty bylo odtud možno ihned podle jednotlivých věkových kategorií vyčíst. Pro úmrtnostní tabulky se často také používá název dekrementní tabulky, nebo také tabulky dekrementních řádů. Tyto pojmy se však častěji používají pro širší třídu demografických tabulek obsahujících například i tabulky zániku manželství nebo úmrtnostní tabulky s příčinou smrti. Někdy můžeme také mluvit o LT tabulkách, název vznikl z anglického „life table“ (tabulky života). Použití těchto tabulek je široké, zejména v demografických výzkumech. Mimo demografickou oblast lze uvést právě oblast životního pojištění, pro kterou tyto tabulky hrají důležitou roli. Patří k základním nástrojům matematiky životního pojištění. Úmrtnostní tabulku je možno klasifikovat z různých hledisek. Základní dělení je na: • Generační úmrtnostní tabulky – záznam průběhu života konkrétní populace současně narozených jedinců počínaje okamžikem narození všech jedinců této populace a konče smrtí posledního z nich.15 Sleduje se zde statická populace po dlouhou dobu – kromě technické obtížnosti spojeno i s možností zastaralosti a nepřesnosti výsledků. • Průřezové úmrtnostní tabulky – vychází z dekrementních zkušeností dané populace během krátkého období (většinou jednoho roku). Na základě úmrtnostních měr podle jednotlivých věků v daném období se pak konstruuje snímek života hypotetické populace současně narozených jedinců tak, aby byl konzistentní s naměřenými úmrtnostními mírami.16 Rozsah l0 nazýváme kořenem dané průřezové tabulky. Někdy se pro průřezové tabulky používá název běžné úmrtnostní tabulky.

14

ČERVINEK P., Pojistná matematika I., Brno: MU Brno, 2008, str. 6 CIPRA T., Matematické metody demografie a pojištění, Praha: NTL - Nakladatelství technické literatury, 1990, str. 144 16 CIPRA T., Matematické metody demografie a pojištění, Praha: NTL - Nakladatelství technické literatury, 1990, str. 144 15

23

Jiný typ klasifikace: • Úplné úmrtnostní tabulky – používají věkové intervaly dlouhé jeden rok • Zkrácené úmrtnostní tabulky – věkové intervaly jsou delší než jeden rok Pro pojistnou matematiku se používají průřezové úmrtnostní tabulky úplné, proto v dalším textu budeme úmrtnostními tabulkami rozumět právě tento typ. Na danou úmrtnostní tabulku můžeme pohlížet třemi způsoby dokreslujícími její význam: 1. Poskytování základních údajů ve formě pravděpodobností úmrtí nebo střední délky dalšího života. Popisují dekrementní chování průměrného jedince dané věkové kategorie. 2. Záznam vymírání hypotetické generace současně narozených jedinců s počátečním rozsahem l0. 3. Záznam chování stacionární populace (populace uzavřená – nedochází k migracím, nemění se úmrtnost v čase pro jednotlivé věky, i počet narozených zůstává stejný a roven počtu zemřelých). Pojem stacionární populace je pouze hypotetickým pojmem, skutečná populace se vyvíjí jinak (mládne nebo stárne). Úpravy úmrtnostních tabulek Odhadnuté hodnoty lx jsou zatíženy náhodnou odchylkou vzhledem k nepravidelnostem v chování populace, křivka lx tak může mít značně rozkolísaný průběh. Proto se provádí v pojišťovací praxi vyrovnání této křivky, a to buď tak, že se odhadnutá křivka aproximuje hladkou matematickou křivkou, nebo se vyhladí za použití metody klouzavých průměrů.

2.1 Úmrtnostní tabulky v pojišťovnictví Volba konkrétních úmrtnostních tabulek je spojena s rizikem pro každou pojišťovnu. Ta totiž musí počítat s tím, že jakmile použije úmrtnostní tabulku sestavenou na základě sčítání obyvatelstva, vývoj úmrtnosti v souboru pojištěnců se může vyvíjet jinak, než očekává, a to i v neprospěch pojišťovny. Z tohoto důvodu se tabulky, které sestavují demografové, nepoužívají pro určování sazeb bez úprav. Velmi častým opatřením bývá posunování hodnot úmrtnostní tabulky ve prospěch pojišťovny (pro pojištění smrti se použijí tabulky, které obyvatelstvo zestarší, naopak tomu je u pojištění důchodu). Ve vyspělých zemích žijí ženy v průměru déle než muži, proto pojišťovny, aby zohlednily tuto skutečnost, používají zvláštní úmrtnostní tabulky pro muže a jiné pro ženy, nebo počítají se zvlášť upravenými vlastními tabulkami počítajícími s průměrným pojištěncem. Třetí možnost - oproti mužské populaci se úmrtnostní tabulka pro ženy získává posunutím o pět let ve prospěch žen.

24

Následující graf zobrazuje rozdíl v počtu žijících osob mezi mužskou a ženskou populací v roce 2007 v ČR. Obrázek 7: Počet žijících – rozdíl mezi muži a ženami v roce 2007 pro ČR

Počet žijících - muži, ženy, rozdíl lx - počet žijících osob ve věku x, rozdíl muži-ženy

100000 80000 muži ženy

60000

muži-ženy 40000 20000 0 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-20000 -40000

Věk (x)

Zdroj: vlastní konstrukce

Dlouholeté zkušenosti s úmrtím, kterým se zabývají statistické úřady, však ukazují, že pravděpodobnost úmrtí je závislá i na jiných faktorech, než je věk nebo pohlaví osoby. Pravděpodobnost úmrtí se odvíjí také od zaměstnání pojištěnce, aktivnosti občanů daného věku, životního stylu atd. Proto si často pojišťovny sestavují zvláštní úmrtnostní tabulky pro stejnorodé skupiny lidí.

2.2 Popis úmrtnostní tabulky Věkový interval – vymezuje věkové rozpětí, ke kterému se pak přiřazují hodnoty v odpovídající řádce tabulky. Pokud je věkový interval = 1, hodnoty v řádku x se týkají právě x-letých jedinců. Počet dožívajících se věku x (lx) – -hodnota l0 je kořenem úmrtnostní tabulky – je to velikost fiktivní tabulkové populace. Obvykle se volí hodnota l0 = 100 000. Další čísla l1, l2, l3, ... lx představují počet jedinců z kořenu l0, kteří se dožijí věku 1, 2, 3, … x. Počet zemřelých ve věku x (dx) – jde o počet jedinců kořene l0 zemřelých ve věku x. Pravděpodobnost dožití věku x (px) - pravděpodobnost, že x-letá osoba žijící ve věku x se dožije věku x+1.

25

Pravděpodobnost úmrtí ve věku x (q1 ) – pravděpodobnost, že x-letá osoba žijící ve věku x zemře před dosažením věku x+1. Počet let prožitých osobami ve věku x (Lx) – každý z lx+1 dožívajících přispěje do hodnoty Lx jedním rokem, zatímco každý z dx přispěje v průměru délkou části posledního roku života zemřelých ve věku x. Hodnotu Lx lze zároveň považovat za střední stav jedinců ve věkovém intervalu (x, x+1) v rámci stacionární populace. Počet zbylých let života osob ve věku x (Tx) – střední stav jedinců ve věku x a více ve stacionární populaci Střední věk života ve věku x (e1 ) – jde o průměrný počet let, které prožije jedinec ve věku x Dále úmrtnostní tabulky obsahují komutační čísla. Jejich význam bude popsán v následujícím článku 2.4. Na obrázcích 8 a 9 jsou graficky vyjádřeny veličiny lx a dx. Obrázek 8: Průběh funkce lx – muži a ženy v roce 2007 pro ČR

2007 lx - počet žijících osob ve věku x

100000 80000 muži 60000

ženy

40000 20000 0 0

10

20

30

40

50

Věk (x) Zdroj: Vlastní konstrukce

26

60

70

80

90

100

Obrázek 9: Průběh funkce dx – muži a ženy v roce 2007 pro ČR

dx - počet osob zemřelých ve věku x

2007 5,000 4,500 4,000 3,500

muži

3,000

ženy

2,500 2,000 1,500 1,000 500 0 0

10

20

30

40

50

60

70

Věk (x) Zdroj: vlastní konstrukce

2.3 Souvislosti ve vzorcích lx – počet žijících osob ve věku x dx – počet osob, které zemřely ve věku x

d1 l1 , l1<

qx – pravděpodobnost, že osoba ve věku x se nedožije dalšího roku q1 d1 ⁄l1

px – pravděpodobnost, že osoba ve věku x se dožije dalšího roku p1 l1< ⁄l1

npx

– pravděpodobnost, že se x-letá osoba dožije dalších n let >p1

nqx

l1<> ⁄l1

– pravděpodobnost, že x-letá osoba se nedožije dalších n let >q 1

l1 , l1<> ⁄l1 27

80

90

100

n|qx

– pravděpodobnost, že x-letá osoba zemře právě ve věku x+n >|q 1

l1<> , l1<>< ⁄l1

Lx – počet let prožitých osobami ve věku x 1 1 L1 l1< d1 l1 l1< 2 2 Tx – počet zbylých let života osob ve věku x CD1

e1 - střední věk života x-leté osoby

e1

T1 / L1
l1 l1< l1

lC

,

1 2

2.4 Komutační čísla Vzhledem k tomu, že se ve vzorcích často opakují některé součiny a součty, byly vytvořeny pomocné hodnoty umožňující rychlý výpočet všech pojistných hodnot. Jsou to tabelované hodnoty, které nazýváme komutační čísla. Jsou součástí úmrtnostních tabulek používaných pro pojistnou matematiku. Tato komutační čísla jsou závislá na dvou faktorech: • Na úmrtnostní tabulce (hodnotách lx a dx) •

Na výšce úrokové míry (odúročitel v

<

28

)

Základní komutační čísla: Dx – diskontovaný počet osob dožívajících se věku x Každá z lx osob ve věku x zaplatí pojišťovně jednu pojistnou jednotku. Abychom mohli porovnávat celkovou sumu lx, kterou jsme vybrali za daný rok, například se sumou lx+1 z roku následujícího, je vhodné tyto sumy uvažovat ve společném časovém okamžiku (např. v okamžiku narození x-letých osob). Potom je možno porovnávat hodnoty Dx, Dx+1. D1 l1 · v 1

v 1⁄1 i i – pojistně technická úroková míra Cx – diskontovaný počet zemřelých ve věku x Analogicky, jako u předchozího, můžeme hodnotu dx považovat za celkovou sumu vyplacenou pojišťovnou pozůstalým ve výši jedné pojistné jednotky za každou z dx osob zemřelých v daném roce, přičemž počet zemřelých odpovídá stavu na koci roku (z tohoto důvodu se používá pro dx odúročitel vx+1). C1 d1 · v 1<

C1 D1 · v , D1< Komutační čísla počtu žijících D1 l1 · v 1 - znamená počet žijících ve věku x odúročených k datu narození Nx - součet Dx až do konce tabulky CD1

CD1

N1 / D1
BEF

Sx – součet Nx až do konce tabulky CD1

S1 / N1
29

Komutační čísla počtu zemřelých C1 d1 · v 1< - znamená počet zemřelých ve věku x odúročených k datu narození Mx - součet Cx až do konce tabulky CD1

M1 / C1
M1 N1 · v , N1< Rx - součet Mx až do konce tabulky CD1

R 1 / M1
R 1 S1 · v , S1<

30

3

Odvození vzorců pro výpočet rizika

Všechna pojištění v následujících vzorcích jsou počítána jako jednotková. V případě potřeby konkrétních kalkulací je nutno jednotkové pojištění vynásobit pojistnou částkou (PČ).

3.1 Pojištění pro případ dožití (Pure Endowment, Erlebensfallversicherung) Pojistnou událostí je dožití sjednaného věku pojištěným. Pojišťovna je povinna vyplatit pojistnou částku v případě, že osoba, která si sjednala pojištění ve věku x, se dožije konce sjednané doby (věku x+n). Tento produkt není samostatně prodejný. Bývá upravován, často např. na pojištění dožití s výhradou. V případě, že pojištěná osoba zemře, vyplatí se oprávněným osobám dosud zaplacené splátky pojistného jako jistá kompenzace, jinak by pojištění zaniklo bez náhrady. To se však projeví ve vyšším pojistném, než by bylo požadováno za tentýž produkt bez výhrady vrácení pojistného.

výpočet pomocí komutačních čísel

výpočet pomocí náhodné veličiny

l1<> > l1<> · v > l1<> · v 1<> D1<> ·v >E1 l1 l1 l1 · v 1 D1

Z > v ,

0, K 1 0,1, … , n , 1 K 1 n, n 1, n 2, … , ω , x

31

Pravděpodobnostní rozdělení náhodné veličiny Z: Tabulka 1: Rozdělení náhodné veličiny Z pojištění pro případ dožití

Hodnota Kx 0 1 2 . . . n-1 n n+1 . . . ω-x

Hodnota Z 0 0 0 . . . 0 vn vn . . . vn

Pravděpodobnost 0|qx 1|qx 2|qx . . . n-1|qx n|qx n+1|qx . . . ω-x|qx


Náhodná veličina je očekávaná počáteční hodnota pojistného plnění určená v případě úmrtí v každém roce od věku x do věku ω. Pravděpodobnost úmrtí se stanovuje z úmrtnostních tabulek. Pokud dojede k úmrtí ve věku x, x+1, … , x+n-1 je hodnota náhodné veličiny rovna 0. Pokud dojde k úmrtí ve věku x+n, x+n+1, … , ω vyplatí pojišťovna pojistné plnění ve výši vn . Pravděpodobnostní tabulka je sestavena kumulativně. Tzn., že hodnota Z je to, co pojišťovna maximálně vyplatí klientovi v daném roce při dané pravděpodobnosti v případě pojistné události. Použité pravděpodobnosti vyjadřují pravděpodobnost úmrtí x-leté osoby ve věku x+Kx. Součet všech pravděpodobností musí být roven jedné, protože je jisté, že nejpozději ve 103 letech pojištěná osoba zemře (úmrtnostní tabulky končí v tomto věku, pro pojišťovnu jsou všechny osoby v tomto věku mrtvé). >E1

EZ / B|q1 · v > ωD1

BE>

Vzorce pro výpočet pravděpodobností byly uvedeny v kapitole 2.3. Pokud bychom chtěli vypočítat jednorázové netto pojistné pro jinou částku než jednu pojistnou jednotku, stačí daný vzorec vynásobit pojistnou částkou.

32

π- >E1 .

D1<> · PČ D1

riziko

σZ O >+E1 , - >E1 . P +

Q +

kde >+E1 je střední hodnota kvadrátu náhodné veličiny. + >E1

/ B|q1 · v > + ωD1

BE>

+

Q +

σZ R/ B|q1 · v > + , S/ B|q1 · v > T U ωD1

ωD1

BE>

BE>

Následující vzorec vyjadřuje výpočet rizika pomocí komutačních čísel. σZ + >E1

O >+E1

, - >E1 . P +

Q +

D1<> > D1<> + + > V W >E1 · v , - >E1 . ·v , # D1 D1

l1<> l1<> +> l1<> ><> l1<> > > D1<> > · v > + ·v ·v ·v ·v ·v l1 l1 l1 l1 D1

PŘÍKLAD 3.1.1: Muž ve věku 30 let se pojistí tak, že v případě, že se dožije svých 63 let, obdrží od pojišťovny 100 000 p.j. Jak vysoké bude jednorázové netto pojistné pro tento případ, pokud bude pojistné zaplaceno při uzavření smlouvy? Jaká je hodnota rizika pojištění? ŘEŠENÍ17: x = 30 n = 33 PČ = 100 000 p.j. lXF<XX XX lYX · v XX lYX · v YX π- XXEXF . · v · 100000 · 100000 · 100000 lXF lXF lXF · v XF DYX · 100000 DXF = 37440,17 p.j. 17

Všechny výpočty jsou prováděny v tabulkovém kalkulátoru Excel, použity jsou úmrtnostní tabulky za rok 2007 pro ČR uvedené v příloze 3 a 4.

33

ZX

π- XXEXF . 100000 · /

BEXX

= 37440,17 p.j.

ZX

σ 100000 · R / = 17606,23 p.j.

BEXX

B|q XF

B|q XF

· v XX ZX

· v XX + , S /

BEXX

B|q XF

+

Q +

· v XX T U

PŘÍKLAD 3.1.2: 20 – ti letý muž se pojistí na dožití se 53 let. Zaplatí jednorázové netto pojistné ve výši 37 440,17 p.j. Jakou pojistnou sumu dostane v případě dožití? Jaké bude riziko pojištění? ŘEŠENÍ: x = 20 n = 33 π- XXE+F . = 37440,17 p.j. PČ

π- XXE+F . ZX ∑BEXX B|q+F ·

= 88299,88 p.j.

v XX

ZX

σ 88299,88 · R / = 10473,92 p.j.

BEXX

B|q +F

ZX

· v XX + , S /

BEXX

B|q +F

+

· v XX T U

Q +

Při stejném pojistném dostane 20-ti letý muž vyplacenu nižší pojistnou částku než 30-ti letý muž. Je to dáno tím, že pravděpodobnost úmrtí v letech 20 až 53 je nižší než v letech 30 až 63. Z tohoto důvodu by při stejné pojistné částce zaplatil 20-ti letý muž vyšší pojistné. Riziko (směrodatná odchylka) při pojištění 20-ti letého muže je menší než u 30-ti letého. Pro pojištění s n=33 roste riziko s věkem. To je způsobeno nárůstem úmrtnosti podle úmrtnostní tabulky a tím větším rozptylem náhodné veličiny. Vlivem rychlejšího poklesu střední hodnoty pojistného narůstá variační koeficient. Variační koeficient je u 20-ti letého muže 27,98%, u 30-ti letého muže má hodnotu 47,02%. Pro pojišťovnu u tohoto typu pojištění roste riziko s věkem pojištěnce. Pojišťovna si určuje, jaký maximální poměr bude akceptovat. Pokud si stanoví maximální hodnotu např. 50%, je obojí pojištění přijatelné. 34

Změna aktuárské báze: Tabulka 2: Porovnání pojištění pro případ dožití – změna aktuárské báze

Název pojištění

Pojistné

Pojištění pro případ dožití 37440,17 - výchozí Pojištění pro případ dožití 16367,77 i=5% Pojištění pro případ dožití úmrtnostní tabulky pro 41945,88 ženy (2007 ČR)

Riziko

Poměr riziko/pojistné

v%

17606,23

0,4702

47,02

7696,94

0,4702

47,02

12611,53

0,3008

30,08


Při změně úrokové míry se snižuje výše pojistného i rizika ve stejném poměru, variační koeficient tudíž zůstává nezměněn. Pokles hodnoty pojistného je způsoben lepším zhodnocením vloženého pojistného. Lepší možnosti zhodnocení vložených peněz ovlivní i snížení rizika. Změna úmrtnostních tabulek způsobí navýšení pojistného a zároveň i snížení hodnoty rizika. Je to dáno vyšší pravděpodobností, že se pojištěný dožije konce sjednané doby pojištění, pojišťovna tedy pravděpodobně vyplatí více pojistných plnění než v případě, že by se lidé dožívali nižšího věku. Variační koeficient se díky zvýšení pojistného a snížení rizika zmenší na 30,08%.

35

3.2 Pojištění pro případ smrti (Life Insurance, Todesfallversicherung) Pojistnou událostí je smrt pojištěného. Pojišťovna vyplatí pojistnou částku na konci pojistného roku, ve kterém osoba pojištěná ve věku x zemře. 3.2.1

Pojištění pro případ smrti trvalé

(Life Insurance, Todesfallversicherung) Výplata pojistného plnění proběhne v roce, ve kterém pojištěná osoba zemře.


d1 d1< + dω ωD1< ·v ·v ·v l1 l1 l1 d1 · v d1< · v + dω · v ωD1< l1 d1 · v 1< d1< · v 1<+ dω · v ω< l1 · v 1 C1 C1< Cω M1 D1 D1

A1

výpočet pomocí náhodné veličiny Z v B^< , K 1 0,1, …, ω-x

Pravděpodobnostní rozdělení náhodné veličiny Z: Tabulka 3: Rozdělení náhodné veličiny Z pojištění pro případ smrti trvalé

Hodnota Kx 0 1 2 . . . ω-x

Hodnota Z v1 v2 v3 . . . ω-x+1 v

Pravděpodobnost 0|qx 1|qx 2|qx . . . ω-x|qx

Zdroj: Zdroj: vlastní konstrukce

36

A1 EZ F|q1 · v |q1 · v +

ωD1|q1 · v ωD1<

Fp1 · q1 · v p1 · q1< · v + / B|q1 · v ωD1

BEF

B<

/ Bp1 · q1
BEF

platí: _|q 1

_p1 · q1<_

potom: A1 EZ

ωD1p1 · qC · v ωD1<

l1<_ d1<_ d1<_ l1<_ d1<_ · · l1 l1<_ l1 l1<_ l1

d1 d1< + ·v ·v l1 l1

dω ωD1< ·v l1

riziko Q +

σZ ` +A1 , A1 + a A1

+

d1 + d1< b ·v ·v l1 l1

q1 · v + |q1 · v b

dω +ωD1< ·v l1

ωD1|q1 · v +CD1<

Fp1 · q1 · v + p1 · q1< · v b / B|q1 · v ωD1

BEF

+B<

/ Bp1 · q1
BEF

σZ R/ Bp1 · q1
BEF

ωD1p1 · qC · v +ωD1<

+B<

+B<

+

Q +

, S/ Bp1 · q1
BEF

PŘÍKLAD 3.2.1: Jaké je jednorázové netto pojistné pro pojištění 30 - ti letého muže pro případ smrti na 100 000 p.j. Jaké je riziko tohoto pojištění?

37

ŘEŠENÍ: x = 30 PČ = 100 000 p.j ZX18

AXF 100000 · / BpXF · qXF
= 35928,04 p.j.

ZX

σ 100000 · R/ BpXF · qXF
BEF

+B<

ZX

+

Q +

, S/ BpXF · qXF
Pojištěný zaplatí na pojistném 35928,04 p.j., oprávněné osoby by v případě smrti pojištěného dostaly pojistné plnění ve výši 100000 p.j. Pokud by pojištěná osoba zemřela hned v prvním roce pojištění, muselo by být dědicům vyplaceno celé pojistné plnění. Pojišťovna by v případě, že by měla pojištěnu jen tuto osobu, tratila. A to částku 64071,96 p.j. V pojišťovně však není pojištěna jen jedna osoba, a tak pokud se osoby v průměru dožijí střední délky života, riziko je právě rovno směrodatné odchylce. 3.2.2

Pojištění pro případ smrti dočasné

(Term Insurance, temporäre Todesfallversicherung) Omezuje trvání pojištění pouze na sjednanou pojistnou dobu v délce n let. Pokud by pojištěná osoba přežila sjednaný věk x+n, dědicové by nic nedostali a pojištění zaniká. V běžné praxi se využívá jako tzv. úvěrové pojištění vyžadované bankou při poskytování úvěru jako způsob jeho zajištění.

18

ω-x = 103-30 = 73

38


d1 d1< + d1<>D > ·v ·v ·v l1 l1 l1 d1 · v d1< · v + d1<>D · v > l1 d1 · v 1< d1< · v 1<+ d1<>D · v 1<> l1 · v 1 C1 C1< C1<>D M1 , M1<> D1 D1

A1>c|

výpočet pomocí náhodné veličiny v B^< , K 1 0,1, … , n , 1 Z 0, K 1 n, n 1, … , ω , x

Pravděpodobnostní rozdělení náhodné veličiny Z: Tabulka 4: Rozdělení náhodné veličiny Z pojištění pro případ smrti dočasné

Hodnota Kx 0 1 2 . . . n-1 n . . . ω-x

Hodnota Z v1 v2 v3 . . . vn 0 . . . 0

Pravděpodobnost 0|qx 1|qx 2|qx . . . n-1|qx n|qx . . . ω-x|qx


A1>c| EZ q1 · v |q1 · v +

>D|q1 · v >

Fp1 · q1 · v p1 · q1< · v + … >Dp1 · q1<>D · v > >D

/ B|q1 · v BEF

B<

>D

/ Bp1 · q1
39

riziko σZ O +A1>c| , -A1>c| . P +

+ A1>c|

Q +

q1 · v + |q1 · v b

>D|q1 · v +>

Fp1 · q1 · v + p1 · q1< · v b … >Dp1 · q1<>D · v +> >D

/ B|q1 · v BEF

+B<

>D

>D

/ Bp1 · q1
σZ R/ Bp1 · q1
+B<

+B<

+

>D

Q +

, S/ Bp1 · q1
PŘÍKLAD 3.2.2: 30 – ti letý muž uzavře pojištění pro případ smrti na dobu 33 let. Pojistná částka je rovna 100 000 p.j. Kolik zaplatí pojistník na pojistném a jaké je riziko pojištění? ŘEŠENÍ: x = 30 n = 33 PČ = 100 000 p.j AXFXX dddd|

X+

100000 · / BpXF · qXF
= 10293,82 p.j.

BEF X+

σZ 100000 · R/ BpXF · qXF
BEF

+B<

X+

+

Q +

, S/ BpXF · qXF
Tím, že trvání pojištění bylo omezeno na dobu 33 let, výrazně se snížilo předepsané pojistné. Zkrácení doby platnosti pojištění sníží pravděpodobnost, že pojištěná osoba zemře právě v tomto intervalu. Zároveň se snížením pojistného však došlo také k nárůstu rizika, počet zemřelých je v těchto letech, na které je pojištění uzavřeno, vyšší než u ostatních. Hodnota variačního koeficientu dosáhla 217,55%. Jedná se o více jak šestinásobné zvýšení oproti trvalému pojištění pro případ smrti. Na takovéto riziko by neměla žádná z pojišťoven přistoupit. Aby tento produkt nebyl tak rizikový, měla by pojišťovna buď zvýšit pojistné 40

paušálně, nebo přičtením variačního koeficientu. Další možností by bylo omezit skupinu lidí, pro kterou je určen. 3.2.3

Pojištění pro případ smrti odložené

(Deferred Life Insurance, verzögerte Todesfallversicherung) Povinnost pojistného plnění se odkládá o k let (karenční doba).


d1<_ _< d1<_< _<+ dC CD1< ·v ·v ·v l1 l1 l1 d1<_ · v _< d1<_< · v _<+ dC · v CD1< l1 d1<_ · v 1<_< d1<_< · v 1<_<+ dC · v C< l1 · v 1 C1<_ C1<_< Cω M1<_ D1 D1 _|A 1

výpočet pomocí náhodné veličiny 0, Z B^< v ,

K 1 0,1, … , k , 1 K 1 k, k 1, … , ω , x

Pravděpodobnostní rozdělení náhodné veličiny Z: Tabulka 5: Rozdělení náhodné veličiny Z pojištění pro případ smrti odložené

Hodnota Kx 0 1 2 . . . k k+1 . . . ω-x

Hodnota Z 0 0 0 . . . k+1 v vk+2 . . . ω-x+1 v

Pravděpodobnost 0|qx 1|qx 2|qx . . . k|qx k+1|qx . . . ω-x|qx


41

_|A 1

EZ

_|q 1 _<

_p1 · q1<_ · v

· v _< _<|q1 · v _<+

_<p1 · q1<_< · v _<+

/ B|q1 · v B< / Bp1 · q1
BE_

ωD1

CD1|q1 · v CD1<

ωD1p1 · qω · v CD1<

BE_

riziko +

σZ O _|+A1 , - _|A1 . P + _|A 1

Q +

_|q 1 · v +_< _<|q1 · v

+_<+

ωD1|q1 · v

_p1 · q1<_ · v +_< _<p1 · q1<_< · v +_<+ / B|q1 · v ωD1

BE_

+B<

/ Bp1 · q1
BE_

σZ R/ Bp1 · q1
BE_

+B<

+B<

+CD1<

ωD1p1 · qω · v +ωD1<

+

Q +

, S/ Bp1 · q1
BE_

PŘÍKLAD 3.2.3: 30 – ti letý muž uzavře pojištění pro případ smrti s karenční dobou 20 let. Jak vysoké jednorázové netto pojistné zaplatí, pokud dědicové v případě jeho smrti obdrží 100 000 p.j.? Jaké je riziko? ŘEŠENÍ: x = 30 n = 33 k = 20 PČ = 100 000 p.j +F|A XF

ZX

100000 · /

BE+F

= 32657,80 p.j.

ZX

σ 100000 · R / = 11484,25 p.j.

BE+F

BpXF

BpXF

· qXF
· qXF
+B<

ZX

,S/

BE+F

42

BpXF

+

· qXF
Q +

Hodnota pojistného ani rizika se oproti trvalému bezprostřednímu pojištění pro případ smrti příliš nezmění. Je to dáno velmi malou pravděpodobností úmrtí v letech, na které je pojištění odloženo. 3.2.4

Pojištění pro případ smrti odložené dočasné

(Term Deferred Life Insurance, temporäre verzögerte Todesfallversicherung) Pojištění je omezeno na sjednanou pojistnou dobu n let a zároveň povinnost pojistného plnění pojišťovnou se odkládá o k let.


d1<_ _< d1<_< _<+ d1<_<>D _<> ·v ·v ·v l1 l1 l1 d1<_ · v _< d1<_< · v _<+ d1<_<> · v _<> l1 d1<_ · v 1<_< d1<_< · v 1<_<+ d1<_<>D · v 1<_<> l1 · v 1 C1<_ C1<_< C1<_<>D M1<_ , M1<_<> D1 D1 c| _|A 1>

výpočet pomocí náhodné veličiny ZR v 0,

B^ <

0, K 1 0,1, … , k , 1 , K 1 k, k 1, … , k n , 1 K 1 k n, k n 1, … , ω , x

43

Pravděpodobnostní rozdělení náhodné veličiny Z: Tabulka 6: Rozdělení náhodné veličiny Z pojištění pro případ smrti odložené dočasné

Hodnota Kx 0 1 2 . . . k-1 k k+1 . . . k+n-1 k+n k+n+1 . . . ω-x

Hodnota Z 0 0 0 . . . 0 k+1 v vk+2 . . . vn 0 0 . . . 0

Pravděpodobnost 0|qx 1|qx 2|qx . . . k-1|qx k|qx k+1|qx . . . k+n-1|qx k+n|qx k+n-1|qx . . . ω-x|qx

Zdroj: vlastní konstrukce c| _|A 1>

EZ _|q1 · v _< _<|q1 · v _<+

_p1 · q1<_ · v _< _<p1 · q1<_< · v _<+ _<>D

/

BE_

B|q 1

·v

_<>D

B<

/

Bp1

,

- _|A1>c|

+

BE_

· q1
_<>D|q1 · v _<>

_<>Dp1 · q1<_<>D · v _<>

riziko σZ + c| _|A 1>

O _|+A1>c|

_<|q 1

·v

+_<

_p1 · q1<_ · v +_< _<>D

/

BE_

B|q 1

·v

+B<

. P

Q +

_<>D|q1 · v

+_<>

_<>Dp1 · q1<_<>D · v +_<>

_<>D

/

BE_

Bp1

· q1
44

+B<

_<>D

σZ f /

BE_

Bp1

· q1
+B<

_<>D

,g /

BE_

Bp1

+

Q +

· q1
PŘÍKLAD 3.2.4: Pojistnou smlouvu na pojištění pro případ smrti na dobu do 63 let věku pojištěné osoby s karenční dobou 20 let uzavře 30 – ti letý muž. Úkolem je určit pojistné a riziko pojištění, pokud v případě smrti bude dědicům vyplaceno 100 000 p.j. ŘEŠENÍ: x = 30 n = 13 k = 20 PČ = 100 000 p.j dddd| +F|A XFXX

X+

100000 · /

BE+F

= 7023,57p.j.

X+

σ 100000 · R / = 17738,00 p.j.

BE+F

BpXF

BpXF

· qXF
· qXF
+B<

X+

,S/

BE+F

BpXF

+

Q +

· qXF
Dočasnost odloženého pojištění pro případ smrti výrazně sníží pojistné, riziko se však zvýší. Pravděpodobnost, že člověk v těchto letech, kdy je pojištěn, zemře, je vyšší. I variační koeficient se tak díky poklesu pojistného za současného růstu rizika zvýší.

45

Srovnání hodnot pojištění pro případ smrti Tabulka 7: Porovnání pojištění pro případ smrti

Název pojištění Pojištění pro případ smrti trvalé Pojištění pro případ smrti dočasné Pojištění pro případ smrti odložené Pojištění pro případ smrti odložené dočasné

Pojistné

Riziko


v%

35928,04

12328,83

0,3432

34,32

10293,82

22414,48

2,1775

217,75

32657,80

11484,25

0,3517

35,17

7023,57

17738,00

2,5255

252,55


Výchozí podmínky jsou stejné pro všechna pojištění, tj. 30 – ti letá osoba uzavře pojištění pro případ smrti. Mění se zde hodnoty délky pojištění – na dožití nebo do 63 let, nebo při kalkulaci odloženého pojištění používáme karenční dobu 20 let. V případě smrti bude pozůstalým vyplacena částka 100 000 p.j. Podmínky byly stanoveny tak, abychom mohli jednotlivá pojištění mezi sebou porovnávat. Při stejných parametrech jsou rozdíly viditelné na první pohled. U trvalého pojištění pro případ smrti pojištěný zaplatí na pojistném 35928,04 p.j., oprávněné osoby by v případě smrti pojištěného dostaly pojistné plnění ve výši 100000 p.j. Omezením trvání pojištění na dobu 33 let u dočasného pojištění pro případ smrti se výrazně snížilo předepsané pojistné. Zkrácení doby platnosti pojištění sníží pravděpodobnost úmrtí pojištěné osoby právě v tomto intervalu. Zároveň se snížením pojistného v tomto případu však dochází k nárůstu rizika, počet zemřelých je v těchto letech, na které je pojištění uzavřeno, vyšší než u ostatních. Hodnota variačního koeficientu 217,55% je více jak šestinásobné zvýšení oproti trvalému pojištění pro případ smrti. Pro snížení rizikovosti by měla pojišťovna buď zvýšit pojistné paušálně, nebo přičtením variačního koeficientu. Další z možností je omezení cílové skupiny lidí, pro kterou je pojištění určeno. U odloženého pojištění pro případ smrti se hodnota pojistného ani rizika oproti trvalému bezprostřednímu pojištění pro případ smrti příliš nezmění. Pravděpodobnost úmrtí je pro tento příklad velmi malá v letech, na které je odloženo. Dočasnost odloženého pojištění pro případ smrti výrazně sníží pojistné, riziko se ale zvýší. Pravděpodobnost úmrtí v letech, kdy je pojištěn, je vyšší. Variační koeficient se tak díky poklesu pojistného za současného růstu rizika zvýší.

46

Dále si ukážeme tabulky porovnání jednotlivých pojištění pro případ smrti v případě, že se změní aktuárská báze, která byla vysvětlena v kapitole 1.4. Dopady změny úrokové míry z 0,024, (dána jako výchozí pro rok 2007, stejně jako použité úmrtnostní tabulky) na 0,05. Tabulka 8: Porovnání pojištění pro případ smrti pro i = 0,05


Pojistné

Riziko


v%

13745,57

11492,31

0,8361

83,61

5911,10

14088,47

2,3834

238,34

11340,58

7207,21

0,6355

63,55

3506,11

8981,76

2,5617

256,17


Pojistné i riziko se s vyšší úrokovou mírou snižuje. Existuje tedy mezi nimi nepřímá úměra. Je to dáno tím, že finanční prostředky vložené do pojišťovny prostřednictvím pojistného jsou při vyšších úrokových sazbách lépe zhodnocovány na finančním trhu. Úroková míra má také vliv na variační koeficient. U trvalého pojištění pro případ smrti a odloženého pojištění pro případ smrti se jeho hodnota výrazně zvýší, zatímco u dočasného pojištění pro případ smrti a dočasného odloženého pojištění pro případ smrti zůstává přibližně stejné. Riziko u trvalých pojištění poklesne jen mírně, zatímco pojistné se sníží velmi výrazně. Můžeme to vysvětlit tím, že na čím kratší období pojištění uzavřeme, tím menší vliv na něj bude úroková míra mít. U dočasného pojištění je dána kratší doba pro zhodnocení finančních prostředků vyšší úrokovou mírou, pojistné se tudíž nesníží tolik, jako u trvalých pojištění.

47

Další změnu aktuárské báze pomocí úmrtnostních tabulek si ukážeme v následující tabulce. Změna nastala záměnou mužských úmrtnostních tabulek za úmrtnostní tabulky pro ženy (jsou uvedeny v příloze 4), které se dožívají vyššího věku. Tabulka 9: Porovnání pojištění pro případ smrti pro úmrtnostní tabulky pro ženy v roce 2007


Pojistné

Riziko


v%

31083,41

9924,86

0,3193

31,93

4701,73

15946,27

3,3916

339,16

29580,27

8875,43

0,3000

30,00

3198,24

12459,63

3,8958

389,58


V tabulce vidíme, že ženy, které se dožívají vyššího věku, by měly platit nižší pojistné. Pro pojišťovnu představují v případě pojištění pro případ smrti menší riziko. Kdyby se obyvatelstvo dožívalo vyššího věku, nebo kdyby se zvyšovala úroková míra, platilo by se v případě pojištění pro případ smrti nižší pojistné a i riziko by se snižovalo. Změny úmrtnostních tabulek pro případ, že se obyvatelstvo dožívá vyššího věku, ovlivňují i variační koeficient. Dochází k výraznému zvýšení koeficientu u dočasných pojištění. Je to dáno výrazným snížením pojistného, pravděpodobnost, že osoba zemře právě v tomto věku, se sníží. U trvalých pojištění musí do konce pojistného období zemřít všechny osoby, smrt je tedy u trvalých pojištění pro případ smrti jistá.

48

3.3 Smíšené pojištění (Endowment, gemischte Versicherung) Pojistnou událostí je smrt pojištěného nebo dožití sjednaného věku pojištěným. K výplatě pojistné částky dojde na konci pojistného roku, ve kterém osoba pojištěná ve věku x zemře, nejpozději však při konci dožití sjednané doby n let.


d1 d1< + d1<>D > l1<> > ·v ·v ·v ·v l1 l1 l1 l1 d1 · v 1< d1< · v 1<+ d1<>D · v 1<> l1<> · v 1<> l1 · v 1 C1 C1< C1<>D D1<> M1 , M1<> D1<> D1 D1

A1>c|E

výpočet pomocí náhodné veličiny v B^< ,

ZR v> ,

K 1 0,1, … , n , 1 v , K1 n K 1 n 1, n 2, … , ω , x B^

Pravděpodobnostní rozdělení náhodné veličiny Z pro smíšené pojištění: Tabulka 10: Rozdělení náhodné veličiny Z pojištění pro případ dožití nebo smrti

Hodnota Kx 0 1 2 . . . n-1 n n+1 . . . ω-x

Hodnota Z v1 v2 v3 . . . vn vn vn . . . vn

Pravděpodobnost 0|qx 1|qx 2|qx . . . n-1|qx n|qx n+1|qx . . . ω-x|qx


49

A1>c| F|q1 · v |q1 · v +

>D|q1 · v > >|q1 · v >

Fp1 · q1 · v p1 · q1< · v + >D

BEF

· v>

>Dp1 · q1<>D · v > >p1 · q1<> · v >

CD1

CD1p1 · qC · v > / B|q1 · v B< / B|q1 · v > >D

CD1|q 1

BE>

CD1

/ Bp1 · q1 BEF

BE>

riziko σZ O +A1>c| , -A1>c| . P +

Q +

A1>c| F|q1 · v + |q1 · v b

>D|q1 · v +> >|q1 · v +>

+

Fp1 · q1 · v + p1 · q1< · v b CD1p1 · qC · v >D

+>

>D

/ B|q1 · v BEF

CD1

CD1|q 1

· v +>

>Dp1 · q1<>D · v +> >p1 · q1<> · v +>

+B<

CD1

/ B|q1 · v +> BE>

/ Bp1 · q1 BEF

>D

σZ R/ Bp1 · q1D

BEF

BE>

+B< CD1

CD1

/ Bp1 · q1 BE>

+

Q +

, S/ Bp1 · q1 T U BEF

BE>

PŘÍKLAD 3.3.1: 30 – ti letá osoba si sjedná smíšené pojištění na 33 let. Kolik musí zaplatit na pojistném, pokud pojistné plnění, jak v případě smrti, tak v případě dožití, bude vyplaceno ve výši 100 000 p.j. Zjistěte i velikost rizika.

50

ŘEŠENÍ: x = 30 n = 33 PČ = 100 000 p.j X+

AXFXX dddd 100000 · S/ BpXF · q XF
= 47733,99 p.j.

X+

σ 100000 · R/ BpXF · qXF
BEF

ZX

, S/ BpXF · qXF
BEXX

B<

+B<

BpXF

ZX

/

BEXX

ZX

/

BEXX

BpXF

BpXF

· qXF
· qXF
+

Q +

· qXF
= 6448,52 p.j. Na tomto místě se nám nabízí porovnání smíšeného pojištění s pojištěním na dožití (příklad 1 pojištění na dožití), zjistíme, jak výši pojistného i hodnotu rizika ovlivní dočasné pojištění pro případ smrti. Tabulka 11: Porovnání pojištění na dožití a smíšeného pojištění

Název pojištění

Pojistné

Riziko


v%

Pojištění pro případ dožití

37440,17

17606,23

0,4702

47,02

Smíšené pojištění

47733,99

6448,52

0,1351

13,51


Z výše uvedené tabulky vidíme nárůst hodnoty pojistného, který způsobí sečtení s pojistným dočasného pojištění pro případ smrti. Zároveň se riziko sníží. Je to dáno tím, že pravděpodobnost úmrtí je pro tento příklad v prvních letech pojištění velice nízká.

51

Změna aktuárské báze: Tabulka 12: Porovnání pojištění pro případ dožití – změna aktuárské báze

Pojistné

Riziko

Poměr pojistné/riziko

v%

Smíšené pojištění - výchozí

47733,99

6448,52

0,1351

13,51

Smíšené pojištění i=5% Smíšené pojištění úmrtnostní tabulky pro ženy (2007 ČR)

22278,87

8014,04

0,3597

35,97

46627,25

4372,17

0,0938

9,38

Název pojištění


Změna úrokové míry – zvýšení na 5% se projeví snížením pojistného a zvýšením rizika. Zdůvodněním je lepší možnost zhodnocení zaplaceného pojistného pojišťovnou na finančním trhu, jež sníží placené pojistné. Zvýšení hodnoty rizika je zdůvodnitelné výrazným snížením pojistného – střední hodnoty, což má za následek větší rozptýlení náhodné veličiny okolo této hodnoty. Variační koeficient tak s poklesem pojistného a nárůstem rizika výrazně vzroste. Další změnou aktuárské báze je změna úmrtnostních tabulek ve prospěch zvýšení věku dožití. Tato změna způsobí pokles hodnoty rizika, hodnota pojistného se příliš nezmění. S vyšší hodnotou pravděpodobnosti dožití se snižuje i riziko. Hodnota variačního koeficientu se sníží díky poklesu rizika.

52

3.4 Pojištění důchodu (Life Anuity, Liebrente) V podstatě se jedná o speciální případ pojištění pro případ dožití s pravidelně se opakujícími výplatami pojistného plnění v podobě důchodu. Je vázán na život pojištěného, končí v případě jeho smrti. 3.4.1

Doživotní bezprostřední důchod předlhůtní

(Whole Life Annuity, vorfristig lebenslängliche Leibrente) Pojišťovna vyplácí pojištěnému důchod ve sjednané výši na počátku každého pojistného roku, ve kterém osoba pojištěná ve věku x žije.


l1< l1<+ + lC ·v · v · v CD1 l1 l1 l1 + l1 l1< · v l1<+ · v lC · v CD1 l1 l1 · v 1 l1< · v 1< l1<+ · v 1<+ lC · v C l1 · v 1 D1 D1< DC N1 D1 D1

ä1 1

výpočet pomocí náhodné veličiny Z al Bm<| c , K 1 0,1, …, ω-x

Pravděpodobnostní rozdělení náhodné veličiny Z: Tabulka 13: Rozdělení náhodné veličiny Z pojištění doživotního důchodu předlhůtního

Hodnota Kx 0 1 2 . . . ω-x Zdroj: vlastní konstrukce

Hodnota Z al | c

Pravděpodobnost

al +| c

0|qx

al X| c . . .

1|qx 2|qx

. . .

al ωD1<| c

ω-x|qx

53

F al | c v

F al +| c v v

… F al CD1<| c v v

v CD1

al 1 EZ F|q1 · al | c |q 1 · al +| c

CD1

CD1|q1 · al CD1<| c / B|q 1 · al B<| c BEF

Jedná se o geometrickou řadu, kde její součet vyjádříme podle vzorce al B<| c po dosazení

1 , v B< 1,v CD1

CD1

1 , v B< 1 al 1 EZ / B|q1 · / B|q1 · 1 , v B< 1,v 1,v BEF

BEF

riziko al 1 F|q1 · al | c |q 1 · al +| c

+

+

CD1

/ B|q1 · n BEF

CD1

+

CD1

+ CD1|q1 · al CD1<| c / B|q 1 · al B<| c CD1

+

BEF

1,v 1 o / B|q1 · 1 , v B< + 1 , v+ 1,v B< +

CD1

BEF

+

σZ R/ B|q1 · +al B<| c , S/ B|q 1 · al B<| cT U

Q +

R

BEF

CD1

BEF

CD1

+

1 1 / B|q1 · 1 , v B< + , S / B|q1 · 1 , v B< T U + 1 , v 1,v

Q +

BEF

CD1

CD1

BEF

+

1 R / B|q1 · 1 , v B< + , S / B|q1 · 1 , v B< T U 1,v

Q +

BEF

BEF

Zde můžeme také ukázat souvislost al 1 s jednotkovou počáteční hodnotou pojištění pro případ smrti Ax, protože platí:

54

CD1

CD1

kde

CD1

1 1 al 1 / B|q1 · 1 , v B< S / B|q1 , / B|q1 · v B< T 1,v 1,v BEF

BEF

BEF

CD1

/ B|q1 1

BEF

CD1

/ B|q1 · v B< A1

BEF

al 1

1 1 , A1 1 , A1 1,v 1,v CD1

CD1

Q +

CD1

1 p/ B|q1 , 2 / B|q1 · v B< / B|q1 · v +B< , 1 , A1 + q σZ 1,v BEF

BEF

BEF

Q 1 1 + Q+ O1 , 2A1 +A1 , 1 2A1 , -A1 . P · ` +A1 , A1 + a + 1,v 1,v

PŘÍKLAD 3.4.1:

Muž ve věku 30 let uzavře smlouvu na doživotní důchod předlhůtní. Kolik bude muset zaplatit na jednorázovém netto pojistném, pokud jeho každoroční důchod má být ve výši 10 000 p.j.? Jaké je riziko tohoto pojištění? ŘEŠENÍ: x = 30 PČ = 10 000 p.j al XF

ZX

1 / B|qXF · 1 , v B< 10000 · 1,v

= 273373,68p.j.

σZ 10000 · = 52602,99 p.j.

BEF

ZX

ZX

+

Q +

1 R / B|qXF · 1 , v B< + , S / B|qXF · 1 , v B< T U 1,v BEF

BEF

30 - letý muž si sjedná pojištění důchodu s pravidelnou výplatou 10000 p.j. na počátku každého roku až do konce života. Na jednorázovém pojistném zaplatí 273373,68 p.j., riziko

55

bylo vypočítáno ve výši 52602,99 p.j. Variační koeficient pro doživotní pojištění důchodu je 19,2%. Riziko je v tomto případě poměrně malé, oproti předchozím výpočtům. Pokud by osoba zemřela hned v prvním roce, pojišťovna by na něm vydělala. Vyplatila by totiž pouze první splátku 10000 p.j., ale celé pojistné by jí zůstalo.

3.4.2

Doživotní bezprostřední důchod polhůtní

(After Date Whole Life Annuity, lebenslängliche Leibrente ) Pojišťovna vyplatí pojištěnému důchod ve sjednané výši na konci každého pojistného roku, ve kterém osoba pojištěná ve věku x žije.


l1< l1<+ + lC ·v · v · v CD1 l1 l1 l1 + l1< · v l1<+ · v lC · v CD1 l1 l1< · v 1< l1<+ · v 1<+ lC · v C l1 · v 1 D1< DC N1< D1 D1 a1

a1

N1< al 1 , 1 D1

výpočet pomocí náhodné veličiny Z addddd B^ | , K 1 1,2, …, ω-x

56

Pravděpodobnostní rozdělení náhodné veličiny Z: Tabulka 14: Rozdělení náhodné veličiny Z pojištění doživotního důchodu polhůtního

Hodnota Z a| c

Hodnota Kx

Pravděpodobnost

a+| c

1

1|qx

aX| c . . .

2 3 . . .

2|qx 3|qx

. . .

aCD1| c

ω-x Zdroj: vlastní konstrukce

ω-x|qx

CD1

a1 EZ |q1 · a| c +|q 1 · a +| c

CD1|q1 · aCD1| c / B|q 1 · a B| ddd BE

kde addd B| po dosazení

1 , vB i CD1

CD1

1 , vB 1 a1 EZ / B|q1 · / B|q1 · 1 , v B i i BE

BE

riziko a1 |q1 · a| c +|q 1 · a +| c

+

+

CD1

/ B|q1 · n BE

+

CD1

CD1

+ CD1|q1 · aCD1| c / B|q 1 · a B| ddd +

BE

1,v 1 o + / B|q1 · 1 , v B + i i

CD1

B +

BE

+

CD1

Q +

1 1 σZ R + / B|q1 · 1 , v B + , S / B|q1 · 1 , v B T U i i

CD1

BE

CD1

BE

+

1 · R / B|q1 · 1 , v B + , S / B|q1 · 1 , v B T U i

Q +

BE

BE

57

PŘÍKLAD 3.4.2: Muž ve věku 30 let uzavře smlouvu na doživotní důchod polhůtní. Kolik bude muset zaplatit na jednorázovém netto pojistném, pokud jeho každoroční důchod má být ve výši 10 000 p.j.? Jaké je riziko tohoto pojištění? ŘEŠENÍ: x = 30 PČ = 10 000 p.j aXF

ZX

1 10000 · / B|qXF · 1 , v B i

= 263373,67 p.j.

BE

ZX

ZX

+

Q +

1 σZ 10000 · · R / B|qXF · 1 , v B + , S / B|qXF · 1 , v B T U i = 52602,99 p.j.

BE

BE

Porovnání výpočtů s předchozím příkladem nám ukazuje, jak se změní pojistné i riziko, pokud se výplata 10000 p.j. vyplácí na konci roku, místo na počátku. Pojistné se mírně sníží, riziko zůstává stejné. V případě, že by úroková míra byla vyšší, pojistné by se snížilo ještě výrazněji. Variační koeficient (20%) se příliš nezmění, riziko zůstává stejné a pojistné mírně klesne díky tomu, že pojistné plnění se vyplácí na konci roku, tudíž o rok zvyšuje úročení zaplaceného pojistného. 3.4.3

Dočasný bezprostřední předlhůtní důchod

(Temporary Anuity, vorfristig temporäre Leibrente) Výplata pojistného plnění je omezena na dobu n let, výplata probíhá vždy na počátku roku, pokud osoba pojištěná ve věku x žije.

58


l1< l1<+ + l1<>D >D ·v ·v ·v l1 l1 l1 l1 l1< · v l1<+ · v + l1<>D · v >D l1 l1 v 1 l1< · v 1< l1<+ · v 1<+ l1<>D · v 1<>D l1 · v 1 D1 D1< D1<>D N1 , N1<> D1 D1 výpočet pomocí náhodné veličiny

al 1>c| 1

al B <| K 1 0, 1, … , n , 1 c, Zr ^ al >| K 1 n, n 1, … , ω , x c,

Pravděpodobnostní rozdělení náhodné veličiny Z pro pojištění dočasného předlhůtního důchodu: Tabulka 15: Rozdělení náhodné veličiny Z pojištění dočasného předlhůtního důchodu

Hodnota Kx 0 1

Hodnota Z al | c al +| c

1|qx 2|qx

. . .

al >| c

n-1

n-1|qx

al >| c . . . al >| c

n n+1 . . . ω-x Zdroj: vlastní konstrukce

F|q1 · al | c |q 1 · al +| c >D

0|qx

al X| c . . . al >| c

2 . . .

al 1>c| EZ

Pravděpodobnost

CD1

n|qx n+1|qx

. . . ω-x|qx

>D|q1 · al >| c >|q 1 · al >| c … CD1|q 1 · al >| c

/ B|q1 · al B<| c / B|q 1 · al >| c BEF

BE>

59

kde al B<| c al >| c

1 , v B< 1,v

1 , v> 1,v

po dosazení

CD1

>D

1 , v B< 1 , v> / B|q1 · / B|q1 · 1,v 1,v

al 1>c|

BEF >D

BE>

CD1

1 1 / B|q1 · 1 , v B< / B|q1 · 1 , v > 1,v 1,v BEF

BE>

riziko

al 1>c|

+

+ F|q1 · +al | c |q 1 · al +| c >D

CD1

+ + >D|q1 · +al >| c >|q 1 · al >| c … CD1|q 1 · al >| c

+ / B|q1 · al B<| c / B|q 1 · al >| c +

BEF >D

BE> B< +

CD1

1 , v> + 1,v o / B|q1 · / B|q1 · n # 1,v 1,v BEF

>D

BE>

CD1

1 1 / B|q1 · 1 , v B< + / B|q1 · 1 , v > + + 1 , v 1 , v+ BEF

BE>

>D

CD1

1 1 B< + 1 / q · , v / B|q1 · 1 , v > + σZ R 1 B| 1 , v+ 1 , v+

,S

>D

BEF

BE>

CD1

+

1 1 / B|q1 · 1 , v B< / B|q1 · 1 , v > T U 1,v 1,v

Q +

BEF

CD1

>D

BE>

1 R/ B|q1 · 1 , v B< + / B|q1 · 1 , v > + 1,v >D

BEF

CD1

BE>

+

Q +

, S/ B|q1 · 1 , v B< / B|q1 · 1 , v > T U BEF

BE>

60

PŘÍKLAD 3.4.3: Muž ve věku 30 let uzavře smlouvu na dočasný důchod předlhůtní trvající 33 let. Kolik bude muset zaplatit na jednorázovém netto pojistném, pokud jeho každoroční důchod má být ve výši 10 000 p.j.? Jaké je riziko tohoto pojištění? ŘEŠENÍ: x = 30 n = 33 PČ = 10 000 p.j al XF dddd XX|

X+

X+

1 1 10000 · / B|qXF · 1 , v B< / 1,v 1,v

= 223001,63 p.j.

BEF

BEXX

X+

ZX

1 σZ 10000 · R/ B|qXF · 1 , v B< + / 1,v BEF

X+

ZX

, S/ B|qXF · 1 , v B< / BEF

BEXX

B|q XF

BEXX +

B|q XF

B|q XF

Q +

· 1 , v XX

· 1 , v XX +

· 1 , v XX T U

= 27513,71 p.j. V porovnání s trvalým pojištěním důchodu se sníží pojistné i riziko. Zkrácení doby platnosti pojištění nám sníží pojistné, ale v porovnání s pojistným u trvalého pojištění důchodu se průměr na jeden rok zvýší. Pravděpodobnost, že osoba v období, kdy je pojištěna, zemře, je mnohem nižší (u trvalého pojištění musí zemřít všichni). Pojišťovna tak musí vybrat pojistné vyšší, výpočet výše výplat na pojistném plnění je přesnější. Tím se snižuje riziko. 3.4.4

Dočasný polhůtní důchod

(After Date Temporary Anuity, temporäre Leibrente) Pojistné plnění je vypláceno na konci každého roku, ve kterém osoba, která si ve věku x sjednala pojištění, žije, po dobu n let.

61


l1< l1<+ + l1<> > ·v ·v ·v l1 l1 l1 l1< · v l1<+ · v + l1<> · v > l1 l1< · v 1< l1<+ · v 1<+ l1<> · v 1<> l1 · v 1 D1< D1<> N1< , N1<>< D1 D1 výpočet pomocí náhodné veličiny

a1>c|

Z a>c| ,

addddd K 1 1, 2, … , n B^ | , K 1 n 1, n 2, … , ω , x

Pravděpodobnostní rozdělení náhodné veličiny Z pro pojištění dočasného polhůtního důchodu: Tabulka 16: Rozdělení náhodné veličiny Z pojištění dočasného polhůtního důchodu

Hodnota Kx 1 2

Hodnota Z a| c a+| c

3|qx

. . . n-1|qx

a>| c . . . a>| c

n n+1 . . . ω-x Zdroj: vlastní konstrukce

|q1 · a| c +|q 1 · a +| c CD1

/ B|q1 · aB| ddd / BE

2|qx

a>| c

n-1

>

1|qx

aX| c . . . a>D| c

3 . . .

a1>c| EZ

Pravděpodobnost

BE><

B|q 1

n|qx n+1|qx

. . . ω-x|qx

>|q1 · a>| c ><|q 1 · a >| c … CD1|q 1 · a >| c · a>| c

62

kde 1 , vB i

aB| ddd al >| c

1 , v> i

po dosazení

1 , vB / B|q1 · / i

a1>c|

CD1

>

BE

>

BE>< CD1

1 1 / B|q1 · 1 , v B / i i BE

B|q 1 ·

BE><

B|q 1

1 , v> i

· 1 , v >

riziko

al 1>c|

+

+ |q1 · +a| c +|q 1 · a +| c >

CD1

/ B|q1 · aB| ddd / +

BE >

B|q 1

BE>< CD1 B +

1,v o / / B|q1 · n i

BE >

+ + >|q1 · +a>| c ><|q 1 · a >| c … CD1|q 1 · a >| c

· +a>| c

1 , v> + # B|q 1 · i

BE>< CD1

1 1 / B|q1 · 1 , v B + + / + i i BE

>

BE><

B|q 1

CD1

1 1 σZ R + / B|q1 · 1 , v B + + / i i >

BE

CD1

1 1 , S / B|q1 · 1 , v B / i i BE >

BE

>

BE><

CD1

, S/ B|q1 · 1 , v B / BE

BE><

BE>< CD1

1 R/ B|q1 · 1 , v B + / i BE><

· 1 , v > +

B|q 1

B|q 1

B|q 1

B|q 1

· 1 , v > + +

· 1 , v > T q

· 1 , v > + +

Q +

· 1 , v > T q

63

Q +

PŘÍKLAD 3.4.4: Muž ve věku 30 let uzavře smlouvu na dočasný důchod polhůtní trvající 33 let. Kolik bude muset zaplatit na jednorázovém netto pojistném, pokud jeho každoroční důchod má být ve výši 10 000 p.j.? Jaké je riziko tohoto pojištění?

ŘEŠENÍ: x = 30 n = 33 PČ = 10 000 p.j aXF dddd XX|

CD1

>

1 1 10000 · / B|q1 · 1 , v B / i i

= 216745,64 p.j.

BE

BE>< CD1

>

1 σZ 10000 · R/ B|q1 · 1 , v B + / i BE

>

CD1

, S/ B|q1 · 1 , v B / BE

BE><

B|q 1

BE><

· 1 , v XX

B|q 1

B|q 1 +

· 1 , v XX +

Q +

· 1 , v XX T q

= 28713,50 p.j. V porovnání s předlhůtním dočasným pojištěním důchodu se pojistné sníží. Je dáno delším úročením díky výplatám na konci roku. Zároveň nepatrně vzroste riziko, pravděpodobnosti úmrtí a přežití se nemění, tudíž ani riziko se příliš nezmění. Navýšení je možno vysvětlit o jeden rok delší dobou trvání pojištění. 3.4.5

Odložený předlhůtní doživotní důchod

(Deferred Whole Life Annuity, vorfristig aufgeschobene lebenslängliche Leibrente) Odkládá první výplatu pojistného plnění o k let. Pojistné plnění je vypláceno na počátku každého roku, ve kterém osoba, jež si ve věku x sjednala pojištění, žije.

64


l1<_ _ l1<_< _< lC ·v ·v · v CD1 l1 l1 l1 _ _< l1<_ · v l1<_< · v lC · v CD1 l1 l1<_ · v 1<_ l1<_< · v 1<_< lC · v C l1 · v 1 D1<_ D1<_< DC N1<_ D1 D1 _|al 1


0, K 1 0,1,2, … k , 1 Z r _ v · al B^D_<| c , K 1 k, k 1, … , ω , x

Pravděpodobnostní rozdělení náhodné veličiny Z pro pojištění odloženého předlhůtního doživotního důchodu: Tabulka 17: Rozdělení náhodné veličiny Z pojištění odloženého předlhůtního důchodu

Hodnota Kx 0 1 2 . . . k-1 k k+1 . . . ω-x Zdroj: vlastní konstrukce _|al 1 CD1

Hodnota Z 0 0 0 . . . 0 _ v · al | c

Pravděpodobnost 0|qx 1|qx 2|qx . . . k-1|qx

v · al +| c . . . _ v · al CD1D_<| c

k|qx

_

k+1|qx

. . . ω-x|qx

_ EZ _|q1 · v _ · al | c _<|q 1 · v · al +| c

/ B|q1 · v _ · al BD_<| c BE_

65

CD1|q1 · v _ · al CD1D_<| c

kde al BD_<| c po dosazení

1 , v BD_< 1,v CD1

CD1

1 , v BD_< v_ _ al EZ / q · v · / B|q1 · 1 , v BD_< B| 1 _| 1 1,v 1,v BE_

BE_

riziko + _|al 1 _|q 1 CD1

_ · -v _ · al | c . _<|q 1 · -v · al +| c. +

+

CD1

CD1|q1 · -v _ · al CD1D_<| c. +

1 , v BD_< _ _ / B|q1 · -v · al BD_<| o c . / B|q 1 · nv · 1,v

BE_

CD1 BE_

+

BE_

v +_ + / B|q1 · -1 , v BD_< . + 1 , v CD1

+

CD1

Q +

v v BD_< + / q · -1 , v . , / B|q1 · 1 , v BD_< T U S 1 B| 1 , v+ 1,v

σZ R

+

+_

CD1

BE_

_

CD1

BE_

+

Q +

v + R/ B|q1 · -1 , v BD_< . , S / B|q1 · 1 , v BD_< T U 1,v _

BE_

BE_

PŘÍKLAD 3.4.5: Muž ve věku 30 let uzavře smlouvu na doživotní důchod předlhůtní odložený o 10 let. Kolik bude muset zaplatit na jednorázovém netto pojistném, pokud jeho každoroční důchod má být ve výši 10 000 p.j.? Jaké je riziko tohoto pojištění? ŘEŠENÍ: x = 30 k = 10 PČ = 10 000 p.j F|al XF

ZX

vF / 10000 · 1,v

= 183712,93 p.j.

BEF

B|q XF

· 1 , v BDF<

66

σZ 10000 · = 50881,88 p.j.

ZX

v R/ 1,v F

BEF

B|q XF

ZX

· 1 , v BDF< + , S /

BEF

B|q XF

+

Q +

· 1 , v BDF< T U

Odložení doživotního důchodu se projeví ve výrazném snížení kalkulovaného pojistného pojišťovnou. Prvních k let se pojistná částka úročí celá, aniž by se vyplácelo pojistné plnění, navíc se zvyšuje o připsané úroky. Riziko však zůstává přibližně stejné, protože během prvních let pojištění není pravděpodobnost úmrtí vysoká. 3.4.6

Odložený polhůtní doživotní důchod

(Afetr Date Deferred Whole Life Annuity, aufgeschobene lebenslängliche Leibrente) Výplata pojistného plnění probíhá na konci každého roku, ve kterém pojištěná osoba žije, první výplata důchodu se odkládá o k let.


lC l1<_< _< l1<_<+ _<+ ·v ·v · v CD1 l1 l1 l1 _< _<+ l1<_< · v l1<_<+ · v lC · v CD1 l1 l1<_< · v 1<_< l1<_<+ · v 1<_<+ lC · v C l1 · v 1 D1<_< D1<_<+ DC N1<_< D1 D1 _|a 1


0, K 1 1,2,3, … , k Z r _ v · aB^D_| c , K 1 k 1, k 2 … , ω , x

67

Pravděpodobnostní rozdělení náhodné veličiny Z pro pojištění odloženého polhůtního doživotního důchodu: Tabulka 18: Rozdělení náhodné veličiny Z pojištění odloženého polhůtního důchodu

Hodnota Kx 1 2 . . . k

Hodnota Z 0 0 . . . 0 _ v · a| c

v · a+| c . . . _ v · aCD_D1| c

k+1

ω-x Zdroj: vlastní konstrukce

EZ

t

/

k+1|qx

_

k+2 . . .

_|a 1

Pravděpodobnost 1|qx 2|qx . . . k|qx

BE_<

B|q 1

_<|q 1

k+2|qx

. . . ω-x|qx

_ · v _ · a| c _<+|q 1 · v · a +| c

· v _ · aBD_| c

CD1|q1 · v _ · aCD1D_| c

kde aBD_| c po dosazení

1 , v BD_ i CD1

CD1

v _ · -1 , v BD_ . v _ · / a EZ / q · B| 1 _| 1 i i BE_<

BE_<

B|q 1

· -1 , v BD_ .

riziko + _|a 1 _<|q 1 CD1

_ · -v _ · a| c . _<+|q 1 · -v · a +| c. +

+

CD1

CD1|q1 · -v _ · aCD1D_| c.

1 , v BD_ / B|q1 · -v · aBD_| o c . / B|q 1 · nv · i

BE_< CD1 +_

v i+

/

BE_<

B|q 1

_

+

· -1 , v BD_ .

_

BE_<

+

68

+

+

v σZ R + i

+_

CD1

v · R / i _

CD1

/

B|q 1

B|q 1

· -1 , v BD_ . , S /

BE_<

BE_<

· -1 , v BD_ . , S +

+

CD1

CD1

v · / i

BE_<

_

BE_<

B|q 1

B|q 1

Q +

+

· -1 , v BD_ .T U +

Q +

· -1 , v BD_ .T U

PŘÍKLAD 3.4.6: Muž ve věku 30 let uzavře smlouvu na doživotní důchod polhůtní odložený o 10 let. Kolik bude muset zaplatit na jednorázovém netto pojistném, pokud jeho každoroční důchod má být ve výši 10 000 p.j.? Jaké je riziko tohoto pojištění? ŘEŠENÍ: x = 30 k = 10 PČ = 10 000 p.j F|a XF

ZX

vF · / 10000 · i

BE

= 175928,09 p.j. σZ 10000 · = 50513,83p.j.

v

F

i

·

ZX

R/

BE

B|q XF

B|q XF

· 1 , v BDF ZX

· 1 , v BDF + , S /

BE

B|q XF

+

Q +

· 1 , v BDF T U

Oproti předlhůtnímu důchodu odloženému dochází ke snížení pojistného. Snížení pojistného vysvětluje delší doba úročení při polhůtních výplatách důchodu. Pravděpodobnosti úmrtí i dožití se nemění, riziko proto zůstává téměř stejné. 3.4.7

Odložený předlhůtní dočasný důchod

(Deferred Temporary Whole Life Annuity, vorfristig aufgeschobene temporäre Leibrente ) Výplata pojistného plnění se odkládá o k let a je placena na počátku roku, v němž osoba pojištěná žije, maximálně však po dobu n let.

69


l1<_ _ l1<_< _< l1<_<>D _<>D ·v ·v ·v l1 l1 l1 l1<_ · v _ l1<_< · v _< l1<_<>D · v _<>D l1 l1<_ · v 1<_ l1<_< · v 1<_< l1<_<>D · v 1<_<>D l1 · v 1 D1<_ D1<_< D1<_<>D N1<_ , N1<_<> D1 D1 c| _|al 1>

výpočet pomocí náhodné veličiny 0,

K 1 0, 1, 2 … , k , 1 K 1 k, k 1, … , k n , 1

c, Z R v · al B^D_<| v _ · al >| K 1 k n, k n 1, … , ω , x c, _

Pravděpodobnostní rozdělení náhodné veličiny Z u pojištění odloženého předlhůtního dočasného důchodu: Tabulka 19: Rozdělení náhodné veličiny Z pojištění odloženého předlhůtního dočasného důchodu

Hodnota Kx 0 1 2 . . . k-1 k k+1 . . . k+n-1 k+n k+n+1 . . . ω-x Zdroj: vlastní konstrukce

Hodnota Z 0 0 0 . . . 0 _ v · al | c

Pravděpodobnost 0|qx 1|qx 2|qx . . . k-1|qx

v · al +| c . . . _ v · al >| c

k|qx

_

k+1|qx

. . .

v · al >| c

k+n-1|qx

_

v · al >| c . . . v _ · al >| c

k+n|qx

_

k+n+1|qx

. . . ω-x|qx

70

c| _|al 1>

EZ

_ _|q1 · v _ · al | c _<|q 1 · v · al +| c _<>D

CD1|q1 · v _ · al >| c /

BE_

B|q 1

_ _<>D|q1 · v _ · al >| c _<>|q 1 · v · al >| c … CD1

· v _ · al BD_<| c /

B|q 1

BE_<>

· v _ · al >| c

kde al BD_<| c al >| c

1 , v BD_< 1,v

1 , v> 1,v

po dosazení c| _|al 1>

_<>D

CD1

1 , v BD_< / EZ / B|q1 · v · 1,v _<>D

v_ / 1,v

BE_

_

BE_

BD_< . B|q 1 · -1 , v

BE_<> CD1

v_ / 1,v

BE_<>

B|q 1

_ B|q 1 · v ·

1 , v> 1,v

· 1 , v >

riziko + _|al 1

_ _|q1 · -v _ · al | c . _<|q 1 · -v · al +| c. +

+

_ _<>D|q1 · -v _ · al >| c . _<>|q 1 · -v · al >| c. … +

_<>D

CD1|q1 · -v _ · al >| c. / +

_<>D

BE_

1,v / B|q1 · nv · 1,v BE_

_<>D

v / 1 , v+ +_

BE_

_

B|q 1

B|q 1

CD1

· -v _ · al BD_<| c. / CD1

+

BE_<>

B|q 1

· -v _ · al >| c.

1 , v> + o / B|q1 · v · # 1,v

BD_< +

· -1 , v

+

BE_<>

_

CD1

v +_ . / 1 , v+

BD_< +

BE_<>

71

B|q 1

· 1 , v > +

+

_<>D

v +_ σZ f / 1 , v+ ,g

_<>D

v_ / 1,v

BE_

_<>D

v_ f / 1,v _<>D

,g /

BE_

BE_

B|q 1

BE_

B|q 1

· -1 , v

BD_< . B|q 1 · -1 , v B|q 1

· -1 , v

CD1

v +_ . / 1 , v+

BD_< +

CD1

v_ / 1,v CD1

. /

BD_< +

BE_<>

BE_<>

CD1

· -1 , v BD_< . /

B|q 1

BE_<>

B|q 1

B|q 1

BE_<>

B|q 1

+

· 1 , v > + Q +

· 1 , v > h U

· 1 , v > + +

Q +

· 1 , v > h U

PŘÍKLAD 3.4.7: Muž ve věku 30 let uzavře smlouvu na dočasný důchod předlhůtní odložený o 10 let na dobu 33 roků. Kolik bude muset zaplatit na jednorázovém netto pojistném, pokud jeho každoroční důchod má být ve výši 10 000 p.j.? Jaké je riziko tohoto pojištění?

ŘEŠENÍ: x = 30 n = 33 k = 10 PČ = 10 000 p.j. XX| F|al XF dddd

b+

vF 10000 · / 1,v

= 163668,59 p.j.

BEF

b+

vF σZ 10000 · R/ 1,v b+

,S/

BEF

B|q XF

BEF

B|q XF

B|q XF

· 1 , v

· 1 , v

ZX

· 1 , v BDF< /

BEbX

BDF<

BDF< +

B|q XF

ZX

vF / 1,v

BEbX

ZX

/

BEbX +

Q +

· 1 , v XX T U

= 37283,70 p.j.

72

B|q XF

B|q XF

· 1 , v XX

· 1 , v XX +

Výrazné snížení pojistného oproti trvalému pojištění důchodu je dáno výrazným zkrácením doby, ve kterém budou vpláceny pravidelné platby důchodu. Snížení rizika je dáno především dočasností pojištění důchodu. Pravděpodobnost úmrtí ve vyšším věku roste, roste tak i riziko pojištění. 3.4.8

Odložený dočasný důchod polhůtní

(After Data Deferred Temporary Whole Life Annuity, aufgeschobene temporäre Leibrente) Výplata pojistného plnění probíhá na konci roku, ve kterém pojištěná osoba žije, je však odložena o k roků a je placena maximálně n let.


l1<_< _< l1<_<+ _<+ l1<_<> _<> ·v ·v ·v l1 l1 l1 l1<_< · v _< l1<_<+ · v _<+ l1<_<> · v _<> l1 l1<_< · v 1<_< l1<_<+ · v 1<_<+ l1<_<> · v 1<_<> l1 · v 1 D1<_< D1<_<+ D1<_<> N1<_< , N1<_<>< D1 D1 c| _|a 1>

výpočet pomocí náhodné veličiny 0, c, Z Rv · aB^D_| _ v · a>| c, _

K 1 1, 2 … , k , 1, k K 1 k 1, … , k n , 1, k n K 1 k n 1, … , ω , x

73

Pravděpodobnostní rozdělení náhodné veličiny Z u pojištění odloženého dočasného důchodu polhůtního: Tabulka 20: Rozdělení náhodné veličiny Z pojištění odloženého dočasného důchodu polhůtního

Hodnota Kx 1 2 3 . . . k

Hodnota Z 0 0 0 . . . 0 _ v · a| c v · a+| c . . . _ v · a>D| c

k+1

k+2|qx

. . .

v · a>| c

k+n-1

k+n-1|qx

_

v · a>| c . . . v _ · a>| c

k+n

k+n|qx

_

k+n+1 . . . ω-x Zdroj: vlastní konstrukce

k+1|qx

_

k+2 . . .

c| _|a 1>

Pravděpodobnost 0|qx 1|qx 2|qx . . . k|qx

k+n+1|qx

. . . ω-x|qx

EZ

_<|q 1

_ · v _ · a| c _<+|q 1 · v · a +| c

_ _<>|q1 · v _ · a>| c _<><|q 1 · v · a >| c … _<>

CD1|q1 · v · a>| c / _

BE_<

B|q 1

· v · aBD_| c _

kde aBD_| c

a>| c

1 , v BD_ i

1 , v> i

74

CD1

/

BE_<><

B|q 1

· v _ · a>| c

po dosazení c| _|a 1>

_<>

1 , v BD_ EZ / B|q1 · v · i _<>

v_ / i

BE_<

B|q 1

BE_<

· -1 , v

_

BD_

v_ . i

CD1

/

CD1

/

BE_<><

B|q 1

BE_<><

1 , v> B|q 1 · v · i _

· 1 , v >

riziko + _|a 1

_<|q 1

_ · -v _ · a| c . _<+|q 1 · -v · a +| c. +

+

_ _<>|q1 · -v _ · a>| c . _<><|q 1 · -v · a >| c. … +

_<>

CD1|q1 · -v · a>| c. / +

_

_<>

BE_<

1,v / B|q1 · nv · i

BE_< _<> +_

v i+

/

BE_<

_

B|q 1

_<>

v +_ σZ f + / i ,g

v i

_

_<>

/

BE_< _<>

v_ f / i

BE_<

_<>

,g /

BE_<

B|q 1

BD_ +

o

· -1 , v BD_ .

BE_<

B|q 1

+

· -1 , v

· -1 , v BD_ .

B|q 1

· -1 , v

B|q 1

CD1

/

/

v i

_

BE_<><

v +_ . + i CD1

/

BE_<>< CD1

/

BE_<><

CD1

/

BE_<><

75

B|q 1

CD1

/

/

BE_<><

_

B|q 1

· -v _ · a>| c. +

· 1 , v > +

BE_<>< B|q 1

B|q 1

B|q 1

CD1

+

1 , v> + # B|q 1 · v · i

BE_<>< CD1 +_

v i+

.

· -1 , v BD_ .

· -v · aBD_| c. _

BD_ +

B|q 1

BD_ +

+

· 1 , v > +

B|q 1

+

· 1 , v > h U

· 1 , v > + +

· 1 , v > h U

Q +

Q +

PŘÍKLAD 3.4.8: Muž ve věku 30 let uzavře smlouvu na dočasný důchod polhůtní odložený o 10 let na dobu 33 roků. Kolik bude muset zaplatit na jednorázovém netto pojistném, pokud jeho každoroční důchod má být ve výši 10 000 p.j.? Jaké je riziko tohoto pojištění? ŘEŠENÍ: x = 30 n = 33 k = 10 PČ = 10 000 p.j XX| F|a XF dddd

bX

vF 10000 · / i

= 158074,77 p.j.

BE

bX

vF σZ 10000 · R/ i bX

,S/

BE

B|q XF

BE

B|q XF

B|q XF

· 1 , v

· 1 , v

ZX

· 1 , v BDF /

BEbb

BDF

BDF +

B|q XF

ZX

vF / i

BEbb

ZX

/

BEbb

B|q XF

+

Q +

B|q XF

· 1 , v XX

· 1 , v XX +

· 1 , v XX T U

=37986,17 p.j. Odložení výplaty důchodů opět sníží pojistné o o rok delší úročení pojistného. Riziko znovu, oproti předlhůtnímu důchodu, díky stejným úmrtnostem, zůstává téměř neměnné. Srovnání výsledků pojištění důchodů předlhůtních Výchozí podmínky jsou pro všechna pojištění stejná, tj. 30 – ti letá osoba uzavře pojištění důchodu. Mění se zde hodnoty délky pojištění – na dožití nebo do 63 let, nebo při kalkulaci odloženého pojištění používáme karenční dobu 10 let. Ročně vyplácené pojistné je 10 000 p.j. Při stejných výchozích podmínkách je porovnání zřetelnější.

76

Tabulka 21: Porovnání předlhůtních důchodů

Název pojištění Doživotní bezprostřední důchod předlhůtní Dočasný předlhůtní důchod Odložený předlhůtní doživotní důchod Odložený předlhůtní dočasný důchod


v%

273373,68 52602,99

0,1924

19,24

223001,63 27513,71

0,1234

12,34

183712,93 50881,88

0,2770

27,70

163668,59 37283,70

0,2278

22,78

Pojistné

Riziko


V porovnání pojištění dočasného důchodu s trvalým pojištěním důchodu se sníží pojistné i riziko. Zkrácením doby platnosti pojištění se sníží pojistné, porovnání s pojistným u trvalého pojištění důchodu se průměr na jeden rok zvýší. Pravděpodobnost úmrtí osoby v období, ve kterém je pojištěna, je mnohem nižší (u trvalého pojištění musí zemřít všichni). Pojišťovna tak musí vybrat pojistné vyšší, výpočet výše výplat na pojistném plnění je přesnější. Tím se snižuje riziko. Odložení doživotního důchodu sníží kalkulované pojistné pojišťovnou. Prvních k let se pojistná částka úročí celá, bez vyplácení pojistného plnění, navíc se zvyšuje o připsané úroky. Riziko však zůstává přibližně stejné, během prvních let pojištění není pravděpodobnost úmrtí vysoká. Výrazné snížení pojistného odloženého dočasného důchodu oproti trvalému pojištění důchodu je dáno výrazným zkrácením doby vyplácení pravidelné výplaty důchodu. Snížení rizika je ovlivněno dočasností pojištění důchodu. Pravděpodobnost úmrtí ve vyšším věku roste, roste tak i riziko pojištění. Porovnání výpočtů nám ukazuje, jak se změní pojistné i riziko, pokud se pojistné plnění vyplácí na konci roku, místo na počátku. Pojistné se mírně sníží, riziko zůstává stejné. Je dáno delším úročením díky výplatám na konci roku.

77

V případě, že by se změnila aktuárská báze, výsledky by byly takovéto: Dopady změny úrokové míry z 0,024, (dána jako výchozí pro rok 2007, stejně jako použité úmrtnostní tabulky) na 0,05. Tabulka 22: Porovnání pojištění předlhůtních důchodů pro i = 0,05



v%

181134,31 24133,85

0,1332

13,32

215272,54 37196,34

0,1728

17,28

100418,55 22211,51

0,2212

22,12

142821,52 51970,30

0,3639

36,39

Pojistné

Riziko


Pojistné se pro všechny případy sníží. Platí nepřímá úměra mezi úrokovou mírou a pojistným. Zvýšením úrokové míry stačí menší počáteční částka, aby bylo dosaženo cílové hodnoty. Vložené finance se zvýšením úrokové míry lépe zhodnocují. U doživotních důchodů se riziko sníží, u dočasných se zvýší. Pojistné z doživotních důchodů investované na finančních trzích se při vyšších úrokových mírách lépe zhodnocuje. Tato dlouhodobost zajišťuje vyšší zisky díky tomu, že pokud osoba zemře dříve, pojišťovně zůstanou finanční prostředky, které ona pak lépe zhodnotí. Omezením platnosti pojištění se zvyšuje pravděpodobnost, že se pojištěné osoby dožijí všech splátek. Variační koeficienty v případě doživotních důchodů klesají, u dočasných naopak rostou. Je to dáno jednak výraznějším snížením pojistného doživotních důchodů a ještě výraznějším snížením hodnoty rizika. U dočasných důchodů nevidíme výraznější snížení pojistného a zároveň se zvýší riziko.

78

Další změnou aktuárské báze je změna úmrtnostních tabulek. Použijeme srovnání mužské a ženské populace. Využijeme k tomu úmrtnostní tabulky z roku 2007. Tabulka 23: Porovnání pojištění předlhůtních důchodů pro úmrtnostní tabulky pro ženy v roce 2007



v%

294044,13 42346,08

0,1440

14,40

227723,73 18654,62

0,0819

8,19

204111,35 41505,47

0,2033

20,33

173731,29 26861,09

0,1546

15,46

Pojistné

Riziko


Tím, že se ženy dožívají vyššího věku, pojistné se zvýší. Bude jim v průměru vyplaceno vyšší pojistné plnění, proto musí zaplatit i vyšší pojistné. Při dožití se vyššího věku bude vyplaceno více splátek. Riziko se naopak snižuje. Variační koeficienty se oproti výpočtům před změnou úmrtnostních tabulek ve všech případech sníží. Je to důsledek rostoucího pojistného, doprovázený snížením rizika.

79

Závěr Přesně vymezený význam pojmu rizika se dnes užívá v řadě pravděpodobnostních disciplín. Důležité postavení zaujímá tento pojem i v oblasti pojišťovnictví. Každé pojištění je přirozeně svým způsobem spojeno s rizikem, že nastane pojistná událost. Teorie rizika, která se používá v rámci pojišťovnictví, umožňuje hodnotit náhodné odchylky od očekávané hodnoty, se kterými je každé pojištění spojováno. Výpočty rizika pojištění se používají ve všech pojišťovnách pro výpočty možných ztrát z pojištění u nově zaváděných produktů. Počítají se nejvhodnější podmínky pro pojišťovnu, aby i v případě, že nastanou neočekávané události, byla schopna i nadále vyplácet klientům pojistná plnění. Z hlediska pojistitele mluvíme o rizicích převzatých od klientů v rámci pojistného kmene transformujících se do tzv. pojistně-technického rizika spočívajícího v potenciálním nebezpečí, že ve skutečnosti nedosáhne vyrovnání přijatého pojistného a vyplacených pojistných plnění. Výši rizika nám udává hodnota směrodatné odchylky náhodné veličiny. Směrodatná odchylka vypočtená jako odmocnina z rozptylu může nabývat kladné i záporné hodnoty. Většinou se využívá jen kladná hodnota – znamená to možnost ztráty. V případě, že bychom však uvažovali zápornou hodnotu, realizovala by pojišťovna zisk. Čím je hodnota směrodatné odchylky větší, tím větší je i riziko. Výpočty rizika jsou výrazně ovlivňovány úrokovou mírou a úmrtnostními tabulkami. V pojištění pro případ dožití má zvýšení úrokových sazeb za následek snížení hodnoty pojistného i rizika díky lepším možnostem zhodnocování zaplaceného pojistného na finančních trzích. Zvýšení úrokových sazeb se do pojištění pro případ smrti promítne snížením rizika. Pojišťovny jsou totiž schopny lépe zhodnotit finanční prostředky, které dostaly od svých klientů ve formě pojistného. Investují do takových produktů finančních trhů, které mají větší výnosnost. Proto i pojistné se při zvýšení úrokové míry snižuje. V případě smíšeného pojištění má zvýšení úrokové míry za následek snížení pojistného se současným zvýšením hodnoty rizika. Důvodem je lepší možnost zhodnocení zaplaceného pojistného pojišťovnou na finančním trhu, jež sníží placené pojistné. Zvýšení hodnoty rizika je možno zdůvodnit výrazným snížením pojistného – střední hodnoty, což má za následek větší rozptýlení náhodné veličiny okolo této hodnoty. U pojištění doživotních důchodů zvýšení úrokové míry způsobí pokles hodnoty rizika, naopak jeho růst se projeví u dočasných pojištění důchodů. Dočasnost pojištění zvyšuje pravděpodobnost, že budou vyplaceny všechny splátky důchodu. Pravděpodobnost, že 80

pojištěná osoba zemře, s rostoucím věkem stoupá. Doživotní důchody tak v případě dřívějšího úmrtí pojištěné osoby umožňují prostředky nevyplacené na pojistném plnění investovat na finančních trzích za vyšší úrokovou míru. V případě změn úmrtnostních tabulek ve prospěch prodloužení délky života dochází opět k poklesu rizika. U pojištění pro případ dožití dojde zároveň ke zvýšení pojistného díky vyšší pravděpodobnosti dožití se konce sjednané pojistné doby. Také v pojištění důchodu dochází i k současnému zvýšení pojistného. Je to dáno tím, že lidem dožívajícím se vyššího věku bude muset pojišťovna vyplatit více splátek důchodu. U pojištění pro případ smrti, stejně jako u smíšeného pojištění, se pojistné snižuje. Pravděpodobnost úmrtí v daném věku se snižuje. Při zvyšujícím se riziku, musí pojišťovna stanovit vyšší pojistné, aby eliminovala riziko ztráty. Děje se to buď paušální přirážkou k pojistnému, nebo přičtením variačního koeficientu. Tyto dražší produkty jsou potom hůře prodejné. Zisk pojišťovny se tím však může i zvýšit, a to v případě, že škodní průběh bude pro pojišťovnu příznivější, než očekávala. Oproti tomu, pokud odhadne riziko špatně a bude muset vyplácet více pojistných plnění, může se dostat do ztráty. Další možností eliminace rizika je, že produkt se zavede pouze pro takovou skupinu obyvatel, pro kterou není tolik rizikový. Některé osoby tak budou nepojistitelné.

81

Literatura [1] CIPRA T., Finanční a pojistné vzorce, 1. vydání Praha: GRADA Publishing, a.s., 2006, 376 s., ISBN 80-247-1633-X [2] CIPRA T., Matematické metody demografie a pojištění, 1. vydání Praha: NTL Nakladatelství technické literatury, 1990, 464 s., ISBN 80-03-00222-2 [3] CIPRA T., Pojistná matematika - teorie a praxe, 1. vydání Praha: EKOPRESS s. r. o., 1999, 400 s., ISBN 80-86119-17-3 [4] CIPRA T., Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou, 2. vydání Praha: EKOPRESS s. r. o., 2005, 308 s., ISBN 80-86119-91-2 [5] ČÁMSKÝ F., Pojistná matematika I., 1. vydání Brno: MU Brno, 2005, 120 s., ISBN 80-210-3651-6 [6] ČEJKOVÁ V., MARTINOVIČOVÁ D., Pojišťovnictví, 1. vydání Brno: MU Brno, 2004, 164 s., ISBN 80-210-3525-0 [7] ČEJKOVÁ V., NEČAS S., Pojistný trh, 1. vydání Brno: MU Brno, 2005, 82 s., ISBN 80-210-3661-3 [8] ČERVINEK P., Pojistná matematika I., 1. vydání Brno: MU Brno, 2008, 73 s., ISBN 978-80-210-4532-3 [9] FUCHS D., Finanční trhy, 1. vydání Brno: MU Brno., 2004, 118 s., ISBN 80-210-3526-9 [10] HINDLS R., HRONOVÁ S., SEGER J., Statistika pro ekonomy, 5. vydání Praha: Professional Publishing, 2004, 418 s., ISBN 80-86419-59-2 [11] MILDBROT H, HELBIG M., Matematische Methoden der Personenversicherung Berlin: Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, 1999, 654 s., ISBN 3-11-014226-0 [12] REJNUŠ O., Peněžní ekonomie (Finanční trhy), 2. vydání Brno: Akademické nakladatelství CERM s. r. o., 2006, 258 s., ISBN 80-214-3235-7 [13] SEKEROVÁ V., BILÍKOVÁ M., Poistná matematika, 2. vydání Bratislava: EKONÓM, 2005, 180 s., ISBN 80-255-2001-2 [14] ŠEVČÍK A., FUCHS D., GABRIEL M., Finanční trhy, 1. vydání Brno: MU Brno, 2001, 149 s., ISBN 80-210-2696-0 [15] ZELINKA J., Pojistná matematika I., Praha: Česká státní pojišťovna, generální ředistelství, 1969, 180 s.

Internetové zdroje http://www.czso.cz/csu/2008edicniplan.nsf/p/4002-08

82

Český statistický úřad

Sezam příloh Příloha 1: Příloha 2: Příloha 3: Příloha 4:

Použité značení........................................................................................................85 Pojišťovnictví - pojmy pro pojistnou matematiku ..................................................86 Úmrtnostní tabulky - muži ......................................................................................87 Úmrtnostní tabulky - ženy .......................................................................................92

83

Seznam obrázků Obrázek 1: Ekonomický systém ................................................................................................. 8 Obrázek 2: Ekonomický a finanční systém ................................................................................ 9 Obrázek 3: Ekonomický systém ................................................................................................. 9 Obrázek 4: Přímé financování .................................................................................................. 10 Obrázek 5: Polopřímé financování ........................................................................................... 11 Obrázek 6: Nepřímé financování .............................................................................................. 11 Obrázek 7: Počet žijících – rozdíl mezi muži a ženami v roce 2007 pro ČR ........................... 25 Obrázek 8: Průběh funkce lx – muži a ženy v roce 2007 pro ČR ............................................. 26 Obrázek 9: Průběh funkce dx – muži a ženy v roce 2007 pro ČR ............................................ 27

Seznam tabulek Tabulka 1: Rozdělení náhodné veličiny Z pojištění pro případ dožití...................................... 32 Tabulka 2: Porovnání pojištění pro případ dožití – změna aktuárské báze .............................. 35 Tabulka 3: Rozdělení náhodné veličiny Z pojištění pro případ smrti trvalé ............................ 36 Tabulka 4: Rozdělení náhodné veličiny Z pojištění pro případ smrti dočasné......................... 39 Tabulka 5: Rozdělení náhodné veličiny Z pojištění pro případ smrti odložené ....................... 41 Tabulka 6: Rozdělení náhodné veličiny Z pojištění pro případ smrti odložené dočasné ......... 44 Tabulka 7: Porovnání pojištění pro případ smrti ...................................................................... 46 Tabulka 8: Porovnání pojištění pro případ smrti pro i = 0,05 .................................................. 47 Tabulka 9: Porovnání pojištění pro případ smrti pro úmrtnostní tabulky pro ženy v roce 2007 .................................................................................................................................................. 48 Tabulka 10: Rozdělení náhodné veličiny Z pojištění pro případ dožití nebo smrti.................. 49 Tabulka 11: Porovnání pojištění na dožití a smíšeného pojištění............................................. 51 Tabulka 12: Porovnání pojištění pro případ dožití – změna aktuárské báze ............................ 52 Tabulka 13: Rozdělení náhodné veličiny Z pojištění doživotního důchodu předlhůtního ....... 53 Tabulka 14: Rozdělení náhodné veličiny Z pojištění doživotního důchodu polhůtního .......... 57 Tabulka 15: Rozdělení náhodné veličiny Z pojištění dočasného předlhůtního důchodu ......... 59 Tabulka 16: Rozdělení náhodné veličiny Z pojištění dočasného polhůtního důchodu ............ 62 Tabulka 17: Rozdělení náhodné veličiny Z pojištění odloženého předlhůtního důchodu........ 65 Tabulka 18: Rozdělení náhodné veličiny Z pojištění odloženého polhůtního důchodu ........... 68 Tabulka 19: Rozdělení náhodné veličiny Z pojištění odloženého předlhůtního dočasného důchodu..................................................................................................................................... 70 Tabulka 20: Rozdělení náhodné veličiny Z pojištění odloženého dočasného důchodu polhůtního ................................................................................................................................. 74 Tabulka 21: Porovnání předlhůtních důchodů .......................................................................... 77 Tabulka 22: Porovnání pojištění předlhůtních důchodů pro i = 0,05 ....................................... 78 Tabulka 23: Porovnání pojištění předlhůtních důchodů pro úmrtnostní tabulky pro ženy v roce 2007 .......................................................................................................................................... 79

84

Příloha 1:

Použité značení

p.j. – pojistná jednotka E – jednotkové netto pojistné pro případ dožití A - jednotkové netto pojistné pro případ smrti a - jednotkové netto pojištění důchodu 1,2

m1,m2

n,k|

x, n d

ve čtverečku: E, A, a x – věk klienta nd - doba dočasná n – doba dožití k| - kadenční doba (odložené pojistné) 1,2 – diskontní platba je umocněn na 1 nebo 2 (v nebo v2) m1 - področní pojistné m2 - področní výplata

Příloha 2:

Pojišťovnictví - pojmy pro pojistnou matematiku

Pojišťění – vytváření rezerv z příspěvků zájemců o pojištění, jež slouží k nahrazení škod nebo úhradě potřeb pojištěným v případě pojistné události. Pojištěný – fyzická nebo právnická osoba, jehož rizika jsou pojišťována. Pojistitel – právnická osoba, která má v předmětu podnikání právo k provozování pojišťovací činnosti. Pojistník – fyzická nebo právnická osoba, která pojistnou smlouvu uzavřela s pojistitelem a platí pojistné. Pojistné plnění – peněžní nebo naturální platba pojišťovny v případě vzniku pojistné události specifikované v pojistné smlouvě. Pojistná částka – maximální plnění pojišťovny, které bylo dohodnuto v pojistné smlouvě nebo bylo určeno právním předpisem. Pojistné – cena placená za poskytnutou pojistnou ochranu. Pojistná doba – časové vymezení trvání pojištění. Pojistná náhrada – škoda vyjádřená v penězích v případě pojistné události uhrazená pojišťovnou. Předepsané pojistné – pojistné určené na dohodnuté pojistné období. Oprávněná osoba (obmyšlený) – fyzická či právnická osoba, která má nárok na vyplacení pojistného plnění v případě smrti pojištěného.

Příloha 3:

Úmrtnostní tabulky - muži

Podrobné úmrtnostní tabulky pro Českou republiku v roce 2007 – Muži úroková míra i = 2,40% u

=> u 0,9765625000

zdroj: vlastní konstrukce pomocí dat ze stránek Českého statistického úřadu (http://www.czso.cz/csu/2008edicniplan.nsf/p/4002-08) x lx dx px qx Dx Cx Nx Mx Sx Rx Lx 0 100000 373 0,9962719111 0,0037280889 100000,00 364,07 3474106,43 18575,63 95036790,74 1246681,65 99667 28 0,9997201414 0,0002798586 97292,18 26,59 3374106,43 18211,56 91562684,31 1228106,02 99613 1 99627 31 0,9996895495 0,0003104505 94985,30 28,80 3276814,25 18184,97 88188577,88 1209894,46 99584 2 99599 22 0,9997771452 0,0002228548 92730,29 20,18 3181828,95 18156,17 84911763,63 1191709,49 99557 3 99568 17 0,9998272582 0,0001727418 90536,74 15,27 3089098,66 18135,99 81729934,68 1173553,32 99538 4 99546 11 0,9998888457 0,0001111543 88399,51 9,60 2998561,92 18120,72 78640836,02 1155417,32 99523 5 99529 9 0,9999057896 0,0000942104 86318,05 7,94 2910162,40 18111,12 75642274,10 1137296,61 99513 6 99518 9 0,9999100295 0,0000899705 84287,03 7,41 2823844,35 18103,18 72732111,70 1119185,48 99504 7 99509 12 0,9998783114 0,0001216886 82304,15 9,78 2739557,32 18095,78 69908267,35 1101082,30 99494 8 99500 15 0,9998472478 0,0001527522 80365,37 11,99 2657253,17 18085,99 67168710,03 1082986,53 99480 9 99488 15 0,9998520984 0,0001479016 78469,81 11,33 2576887,80 18074,01 64511456,86 1064900,53 99465 10 99472 14 0,9998589771 0,0001410229 76619,34 10,55 2498417,99 18062,67 61934569,06 1046826,52 99451 11 99458 16 0,9998435958 0,0001564042 74813,03 11,43 2421798,64 18052,12 59436151,07 1028763,85 99436 12 99444 14 0,9998614083 0,0001385917 73048,17 9,89 2346985,62 18040,69 57014352,43 1010711,73 99421 13 99428 20 0,9998005276 0,0001994724 71326,22 13,89 2273937,45 18030,81 54667366,81 992671,04 99404 14 99414 25 0,9997527078 0,0002472922 69640,61 16,82 2202611,23 18016,91 52393429,37 974640,23 99382 15 99394 37 0,9996241643 0,0003758357 67991,59 24,95 2132970,62 18000,10 50190818,14 956623,32 99351 16 99370 51 0,9994825026 0,0005174974 66373,09 33,54 2064979,02 17975,14 48057847,52 938623,22 99307 17 99332

Tx ex 7366630 74 7266964 73 7167351 72 7067767 71 6968210 70 6868672 69 6769148 68 6669635 67 6570131 66 6470638 65 6371158 64 6271693 63 6172242 62 6072806 61 5973385 60 5873981 59 5774599 58 5675248 57

x lx dx px qx Dx Cx 75 0,9992440823 0,0007559177 64783,92 47,82 18 99281 89 0,9991003452 0,0008996548 63217,73 55,54 19 99206 97 0,9990201845 0,0009798155 61680,52 59,02 20 99117 93 0,9990629850 0,0009370150 60175,86 55,06 21 99020 94 0,9990507354 0,0009492646 58710,43 54,43 22 98927 94 0,9990482007 0,0009517993 57279,98 53,24 23 98833 99 0,9989974132 0,0010025868 55884,24 54,72 24 98739 99 0,9989938049 0,0010061951 54519,73 53,57 25 98640 97 0,9990159245 0,0009840755 53188,36 51,11 26 98541 94 0,9990456587 0,0009543413 51890,64 48,36 27 98444 96 0,9990253932 0,0009746068 50626,09 48,18 28 98350 99 0,9989938700 0,0010061300 49391,36 48,53 29 98254 91 0,9990721906 0,0009278094 48185,22 43,66 30 98155 89 0,9990920341 0,0009079659 47012,22 41,69 31 98064 95 0,9990337421 0,0009662579 45868,69 43,28 32 97975 33 97880 110 0,9988791257 0,0011208743 44750,36 48,98 34 97771 119 0,9987782639 0,0012217361 43652,54 52,08 35 97651 130 0,9986646471 0,0013353529 42577,35 55,52 36 97521 137 0,9985934158 0,0014065842 41523,92 57,04 37 97384 155 0,9984079355 0,0015920645 40493,66 62,96 38 97228 175 0,9981953236 0,0018046764 39481,64 69,58 39 97053 189 0,9980515772 0,0019484228 38486,70 73,23 40 96864 191 0,9980297725 0,0019702275 37511,44 72,17 41 96673 203 0,9978990290 0,0021009710 36560,09 75,01 42 96470 217 0,9977490877 0,0022509123 35628,20 78,32

Nx 1998605,93 1933822,01 1870604,28 1808923,76 1748747,90 1690037,47 1632757,49 1576873,25 1522353,52 1469165,16 1417274,52 1366648,43 1317257,07 1269071,85 1222059,63 1176190,95 1131440,59 1087788,06 1045210,71 1003686,79 963193,13 923711,49 885224,79 847713,35 811153,26

Mx 17941,60 17893,77 17838,23 17779,21 17724,15 17669,72 17616,48 17561,77 17508,20 17457,08 17408,72 17360,54 17312,01 17268,35 17226,66 17183,38 17134,40 17082,31 17026,79 16969,75 16906,80 16837,21 16763,98 16691,81 16616,80

Sx Rx 45992868,50 920648,08 43994262,57 902706,48 42060440,56 884812,71 40189836,27 866974,47 38380912,51 849195,26 36632164,61 831471,11 34942127,14 813801,39 33309369,65 796184,90 31732496,40 778623,14 30210142,88 761114,94 28740977,72 743657,86 27323703,19 726249,14 25957054,76 708888,60 24639797,69 691576,59 23370725,84 674308,25 22148666,20 657081,58 20972475,25 639898,20 19841034,66 622763,81 18753246,61 605681,49 17708035,90 588654,70 16704349,11 571684,95 15741155,98 554778,15 14817444,48 537940,94 13932219,69 521176,95 13084506,34 504485,14

Lx 99244 99161 99068 98973 98880 98786 98689 98590 98492 98397 98302 98204 98109 98019 97928 97825 97711 97586 97452 97306 97141 96958 96768 96572 96361

Tx ex 5575941 56 5476697 55 5377536 54 5278468 53 5179494 52 5080614 51 4981829 50 4883139 50 4784549 49 4686057 48 4587660 47 4489358 46 4391154 45 4293044 44 4195025 43 4097097 42 3999272 41 3901561 40 3803975 39 3706523 38 3609217 37 3512076 36 3415118 35 3318349 34 3221778 33

x lx 43 96253 44 96007 45 95729 46 95425 47 95087 48 94708 49 94277 50 93783 51 93231 52 92610 53 91923 54 91181 55 90353 56 89434 57 88421 58 87307 59 86118 60 84854 61 83477 62 81980 63 80380 64 78674 65 76927 66 75113 67 73226

dx 246 278 304 338 379 431 494 552 621 687 742 828 920 1013 1114 1189 1264 1377 1497 1599 1706 1747 1814 1886 1966

px 0,9974461961 0,9971090994 0,9968197941 0,9964586195 0,9960152841 0,9954445604 0,9947653176 0,9941157905 0,9933361858 0,9925787422 0,9919290030 0,9909244528 0,9898207724 0,9886762954 0,9873977249 0,9863836180 0,9853252288 0,9837682321 0,9820652313 0,9804895431 0,9787788352 0,9777889791 0,9764131280 0,9748899516 0,9731462966

qx Dx 0,0025538039 34714,85 0,0028909006 33814,64 0,0031802059 32926,65 0,0035413805 32052,67 0,0039847159 31190,59 0,0045554396 30338,19 0,0052346824 29492,17 0,0058842095 28650,18 0,0066638142 27814,06 0,0074212578 26981,17 0,0080709970 26153,25 0,0090755472 25334,15 0,0101792276 24515,85 0,0113237046 23697,56 0,0126022751 22880,09 0,0136163820 22062,25 0,0146747712 21251,80 0,0162317679 20449,16 0,0179347687 19645,73 0,0195104569 18841,20 0,0212211648 18040,63 0,0222110209 17243,93 0,0235868720 16465,75 0,0251100484 15700,56 0,0268537034 14947,57

Cx Nx 86,58 775525,06 95,46 740810,21 102,26 706995,56 110,85 674068,91 121,37 642016,24 134,96 610825,65 150,76 580487,47 164,63 550995,30 181,00 522345,11 195,54 494531,05 206,14 467549,89 224,53 441396,63 243,70 416062,48 262,05 391546,63 281,58 367849,08 293,37 344968,99 304,56 322906,73 324,15 301654,93 344,08 281205,77 358,98 261560,04 373,87 242718,83 374,03 224678,21 379,27 207434,28 385,00 190968,53 391,99 175267,97

Mx 16538,48 16451,90 16356,44 16254,18 16143,33 16021,96 15886,99 15736,23 15571,60 15390,59 15195,05 14988,92 14764,39 14520,68 14258,63 13977,04 13683,68 13379,12 13054,97 12710,89 12351,91 11978,04 11604,01 11224,73 10839,73

Sx Rx 12273353,08 487868,34 11497828,03 471329,86 10757017,82 454877,96 10050022,26 438521,52 9375953,35 422267,33 8733937,11 406124,00 8123111,46 390102,04 7542623,99 374215,05 6991628,69 358478,82 6469283,58 342907,22 5974752,52 327516,62 5507202,64 312321,57 5065806,00 297332,65 4649743,52 282568,27 4258196,89 268047,59 3890347,81 253788,96 3545378,82 239811,92 3222472,09 226128,24 2920817,16 212749,12 2639611,39 199694,15 2378051,35 186983,26 2135332,52 174631,35 1910654,31 162653,32 1703220,04 151049,31 1512251,51 139824,58

Lx 96130 95868 95577 95256 94898 94492 94030 93507 92921 92266 91552 90767 89894 88927 87864 86712 85486 84165 82728 81180 79527 77801 76020 74169 72243

Tx ex 3125416 32 3029287 32 2933418 31 2837841 30 2742585 29 2647687 28 2553195 27 2459165 26 2365658 25 2272737 25 2180470 24 2088918 23 1998151 22 1908258 21 1819330 21 1731467 20 1644754 19 1559268 18 1475103 18 1392375 17 1311195 16 1231668 16 1153867 15 1077847 14 1003678 14

x lx dx px 68 71260 2036 0,9714275580 69 69224 2181 0,9684883453 70 67043 2300 0,9656935414 71 64743 2471 0,9618348094 72 62272 2643 0,9575642088 73 59629 2695 0,9547999597 74 56934 2767 0,9513911408 75 54166 2892 0,9466096552 76 51274 3013 0,9412282819 77 48261 3119 0,9353707813 78 45142 3197 0,9291862208 79 41945 3241 0,9227388154 80 38704 3295 0,9148793235 81 35410 3328 0,9060256507 82 32082 3318 0,8965904002 83 28765 3274 0,8861819643 84 25491 3194 0,8747146274 85 22297 3075 0,8620986559 86 19222 2917 0,8482410430 87 16305 2722 0,8330465545 88 13583 2494 0,8164191362 89 11089 2237 0,7982637482 8852 1961 0,7784886941 90 6891 1675 0,7570085106 91 5217 1389 0,7337474802 92

qx Dx Cx Nx Mx Sx Rx Lx Tx ex 0,0285724420 14205,25 396,37 160320,40 10447,74 1336983,54 128984,84 70242 931434 13 0,0315116547 13475,95 414,70 146115,14 10051,38 1176663,14 118537,10 68133 861192 12 0,0343064586 12745,41 427,00 132639,19 9636,68 1030548,00 108485,73 65893 793059 12 0,0381651906 12019,69 447,98 119893,78 9209,68 897908,80 98849,05 63507 727167 11 0,0424357912 11289,99 467,87 107874,10 8761,70 778015,02 89639,37 60950 663659 11 0,0452000403 10557,51 466,02 96584,10 8293,82 670140,92 80877,67 58282 602709 10 0,0486088592 9844,06 467,29 86026,59 7827,81 573556,82 72583,85 55550 544427 10 0,0533903448 9146,04 476,87 76182,53 7360,52 487530,23 64756,04 52720 488877 9 0,0587717181 8454,82 485,26 67036,49 6883,65 411347,70 57395,53 49768 436157 9 0,0646292187 7771,40 490,49 58581,67 6398,39 344311,21 50511,88 46701 386389 8 0,0708137792 7098,77 490,91 50810,27 5907,90 285729,54 44113,48 43544 339688 8 0,0772611846 6441,48 486,01 43711,50 5417,00 234919,27 38205,58 40325 296144 7 0,0851206765 5804,50 482,50 37270,02 4930,98 191207,77 32788,59 37057 255819 7 0,0939743493 5185,95 475,92 31465,52 4448,48 153937,75 27857,60 33746 218762 6 0,1034095998 4588,48 463,37 26279,57 3972,56 122472,23 23409,12 30423 185016 6 0,1138180357 4017,57 446,55 21691,08 3509,18 96192,67 19436,57 27128 154593 5 0,1252853726 3476,85 425,39 17673,52 3062,63 74501,58 15927,38 23894 127465 5 0,1379013441 2969,97 399,96 14196,66 2637,24 56828,07 12864,76 20760 103571 5 0,1517589570 2500,40 370,56 11226,69 2237,28 42631,41 10227,52 17764 82811 4 0,1669534455 2071,23 337,69 8726,29 1866,71 31404,72 7990,24 14944 65047 4 0,1835808638 1684,99 302,08 6655,06 1529,02 22678,43 6123,53 12336 50103 4 0,2017362518 1343,42 264,66 4970,06 1226,93 16023,37 4594,51 9971 37767 3 0,2215113059 1047,27 226,54 3626,64 962,27 11053,31 3367,58 7872 27796 3 0,2429914894 796,18 188,93 2579,37 735,72 7426,67 2405,31 6054 19925 3 0,2662525198 588,59 153,04 1783,20 546,79 4847,29 1669,59 4522 13870 3

x 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103

lx 3828 2713 1849 1207 751 442 246 127 61 27 11

dx 1115 864 642 456 308 197 118 66 34 16 11

px 0,7086438102 0,6816545015 0,6527608897 0,6219747876 0,5893450836 0,5549645554 0,5189765411 0,4815809735 0,4430391403 0,4036763869 0,0000000000

qx Dx Cx Nx Mx Sx Rx Lx Tx ex 0,2913561898 421,75 120,00 1194,61 393,75 3064,09 1122,79 3270 9348 2 0,3183454985 291,87 90,74 772,86 273,75 1869,49 729,04 2281 6078 2 0,3472391103 194,29 65,88 480,99 183,02 1096,63 455,29 1528 3797 2 0,3780252124 123,85 45,72 286,70 117,13 615,64 272,27 979 2269 2 0,4106549164 75,23 30,17 162,85 71,41 328,94 155,14 597 1290 2 0,4450354446 43,30 18,82 87,62 41,24 166,09 83,73 344 694 2 0,4810234589 23,46 11,02 44,32 22,43 78,48 42,48 186 350 1 0,5184190265 11,89 6,02 20,86 11,40 34,15 20,06 94 163 1 0,5569608597 5,59 3,04 8,97 5,38 13,29 8,65 44 69 1 0,5963236131 2,42 1,41 3,37 2,34 4,33 3,27 19 25 1 1,0000000000 0,95 0,93 0,95 0,93 0,95 0,93 5 5 1

Příloha 4:

Úmrtnostní tabulky - ženy

Podrobné úmrtnostní tabulky pro Českou republiku v roce 2007 – Ženy úroková míra i = 2,40% u

=> u 0,9765625000

zdroj: vlastní konstrukce pomocí dat ze stránek Českého statistického úřadu (http://www.czso.cz/csu/2008edicniplan.nsf/p/4002-08) lx dx px qx Dx Cx Nx Mx Sx Rx Lx x 0 100000 253 0,9974713749 0,0025286251 100000,00 246,94 3595611,42 15727,86 103138907,40 1178293,28 99783 28 0,9997235278 0,0002764722 97409,31 26,30 3495611,42 15480,92 99543295,98 1162565,42 99733 1 99747 20 0,9997951198 0,0002048802 95099,98 19,03 3398202,10 15454,62 96047684,57 1147084,50 99709 2 99720 9 0,9999142955 0,0000857045 92852,05 7,77 3303102,12 15435,59 92649482,46 1131629,87 99695 3 99699 12 0,9998786212 0,0001213788 90668,06 10,75 3210250,07 15427,82 89346380,34 1116194,28 99685 4 99691 11 0,9998849217 0,0001150783 88532,28 9,95 3119582,01 15417,08 86136130,27 1100766,46 99673 5 99678 11 0,9998912887 0,0001087113 86447,35 9,18 3031049,73 15407,13 83016548,26 1085349,38 99662 6 99667 7 0,9999301359 0,0000698641 84412,07 5,76 2944602,38 15397,95 79985498,53 1069942,26 99653 7 99656 8 0,9999222276 0,0000777724 82427,90 6,26 2860190,31 15392,19 77040896,15 1054544,31 99645 8 99649 8 0,9999158244 0,0000841756 80489,74 6,62 2777762,41 15385,93 74180705,84 1039152,12 99637 9 99641 11 0,9998861068 0,0001138932 78596,64 8,74 2697272,68 15379,31 71402943,43 1023766,19 99627 10 99633 10 0,9998953359 0,0001046641 76745,79 7,84 2618676,03 15370,57 68705670,75 1008386,88 99617 11 99622 9 0,9999092643 0,0000907357 74939,22 6,64 2541930,24 15362,73 66086994,72 993016,31 99607 12 99611 8 0,9999195349 0,0000804651 73176,19 5,75 2466991,03 15356,09 63545064,48 977653,58 99598 13 99602 11 0,9998847921 0,0001152079 71455,37 8,04 2393814,84 15350,34 61078073,45 962297,49 99589 14 99594 16 0,9998436471 0,0001563529 69772,60 10,65 2322359,47 15342,30 58684258,61 946947,16 99575 15 99583 20 0,9997977947 0,0002022053 68126,65 13,45 2252586,87 15331,64 56361899,14 931604,86 99557 16 99567 24 0,9997604881 0,0002395119 66516,48 15,56 2184460,22 15318,19 54109312,27 916273,22 99535 17 99547

Tx ex 7990074 80 7890292 79 7790558 78 7690849 77 7591154 76 7491470 75 7391797 74 7292135 73 7192483 72 7092837 71 6993200 70 6893573 69 6793956 68 6694349 67 6594751 66 6495163 65 6395588 64 6296030 63

x lx dx px qx Dx Cx 26 0,9997417234 0,0002582766 64941,94 16,38 18 99523 28 0,9997210073 0,0002789927 63403,48 17,27 19 99498 25 0,9997462848 0,0002537152 61900,19 15,34 20 99470 22 0,9997746356 0,0002253644 60434,07 13,30 21 99445 18 0,9998173667 0,0001826333 59004,34 10,52 22 99422 21 0,9997877320 0,0002122680 57610,90 11,94 23 99404 23 0,9997682601 0,0002317399 56248,71 12,73 24 99383 23 0,9997643493 0,0002356507 54917,65 12,64 25 99360 20 0,9997980135 0,0002019865 53617,88 10,58 26 99336 21 0,9997841204 0,0002158796 52350,63 11,04 27 99316 24 0,9997571248 0,0002428752 51112,63 12,12 28 99295 32 0,9996752372 0,0003247628 49902,55 15,83 29 99271 37 0,9996290513 0,0003709487 48717,13 17,65 30 99239 37 0,9996311418 0,0003688582 47557,68 17,13 31 99202 30 0,9996925161 0,0003074839 46425,91 13,94 32 99165 33 0,9996669459 0,0003330541 45323,87 14,74 33 99135 37 0,9996309269 0,0003690731 44246,85 15,95 34 99102 44 0,9995554115 0,0004445885 43193,86 18,75 35 99065 56 0,9994297652 0,0005702348 42162,75 23,48 36 99021 66 0,9993373720 0,0006626280 41151,09 26,63 37 98965 78 0,9992068110 0,0007931890 40159,98 31,11 38 98899 92 0,9990727808 0,0009272192 39187,62 35,48 39 98821 40 98729 101 0,9989724420 0,0010275580 38233,68 38,37 41 98627 112 0,9988665687 0,0011334313 37299,21 41,29 42 98516 125 0,9987350783 0,0012649217 36383,72 44,94

Nx 2117943,75 2053001,81 1989598,32 1927698,13 1867264,07 1808259,73 1750648,82 1694400,11 1639482,47 1585864,59 1533513,96 1482401,33 1432498,78 1383781,64 1336223,96 1289798,05 1244474,18 1200227,33 1157033,47 1114870,71 1073719,63 1033559,65 994372,03 956138,35 918839,14

Mx Sx Rx 15302,63 51924852,05 900955,03 15286,25 49806908,30 885652,39 15268,98 47753906,50 870366,14 15253,64 45764308,17 855097,16 15240,34 43836610,04 839843,52 15229,82 41969345,97 824603,18 15217,87 40161086,24 809373,36 15205,15 38410437,42 794155,49 15192,51 36716037,31 778950,34 15181,93 35076554,84 763757,84 15170,89 33490690,25 748575,90 15158,77 31957176,29 733405,01 15142,94 30474774,97 718246,24 15125,30 29042276,19 703103,29 15108,17 27658494,55 687978,00 15094,23 26322270,58 672869,83 15079,48 25032472,54 657775,61 15063,54 23787998,36 642696,12 15044,78 22587771,02 627632,59 15021,30 21430737,55 612587,80 14994,67 20315866,84 597566,50 14963,57 19242147,21 582571,82 14928,08 18208587,56 567608,26 14889,72 17214215,53 552680,17 14848,43 16258077,18 537790,46

Lx 99510 99484 99457 99433 99413 99393 99371 99348 99326 99306 99283 99255 99220 99183 99150 99118 99083 99043 98993 98932 98860 98775 98678 98572 98453

Tx ex 6196495 62 6096985 61 5997501 60 5898044 59 5798611 58 5699198 57 5599804 56 5500433 55 5401085 54 5301758 53 5202453 52 5103170 51 5003915 50 4904695 49 4805512 48 4706362 47 4607244 46 4508160 46 4409117 45 4310124 44 4211193 43 4112333 42 4013558 41 3914880 40 3816308 39

x lx dx 43 98391 134 44 98257 151 45 98107 153 46 97954 164 47 97790 176 48 97614 202 49 97413 227 50 97185 255 51 96931 284 52 96647 316 53 96330 343 54 95988 381 55 95607 407 56 95200 421 57 94779 482 58 94297 539 59 93758 609 60 93149 666 61 92483 721 62 91763 758 63 91004 817 64 90187 863 65 89324 942 66 88382 1020 67 87362 1104

px 0,9986412306 0,9984669287 0,9984431797 0,9983291275 0,9982002295 0,9979335860 0,9976659501 0,9973803080 0,9970688146 0,9967281199 0,9964442496 0,9960297357 0,9957417292 0,9955786095 0,9949194390 0,9942790536 0,9935094330 0,9928526832 0,9922059417 0,9917352759 0,9910181863 0,9904336813 0,9894594966 0,9884545497 0,9873591101

qx Dx 0,0013587694 35486,04 0,0015330713 34607,24 0,0015568203 33744,33 0,0016708725 32902,14 0,0017997705 32077,31 0,0020664140 31269,12 0,0023340499 30473,15 0,0026196920 29689,48 0,0029311854 28917,67 0,0032718801 28157,14 0,0035557504 27407,24 0,0039702643 26669,71 0,0042582708 25941,24 0,0044213905 25225,36 0,0050805610 24525,23 0,0057209464 23828,74 0,0064905670 23137,12 0,0071473168 22448,19 0,0077940583 21765,38 0,0082647241 21089,59 0,0089818137 20425,09 0,0095663187 19767,22 0,0105405034 19119,26 0,0115454503 18474,35 0,0126408899 17833,06

Cx Nx 47,09 882455,42 51,81 846969,38 51,30 812362,14 53,69 778617,81 56,38 745715,67 63,10 713638,36 69,46 682369,24 75,95 651896,09 82,78 622206,62 89,97 593288,94 95,17 565131,80 103,40 537724,57 107,88 511054,85 108,92 485113,62 121,68 459888,25 133,13 435363,03 146,65 411534,29 156,68 388397,17 165,66 365948,98 170,21 344183,60 179,15 323094,01 184,67 302668,92 196,80 282901,71 208,30 263782,45 220,14 245308,10

Mx Sx Rx 14803,49 15339238,04 522942,03 14756,40 14456782,62 508138,54 14704,59 13609813,24 493382,14 14653,29 12797451,10 478677,55 14599,60 12018833,29 464024,27 14543,22 11273117,62 449424,67 14480,12 10559479,25 434881,45 14410,66 9877110,01 420401,33 14334,71 9225213,92 405990,67 14251,93 8603007,30 391655,96 14161,96 8009718,36 377404,03 14066,79 7444586,55 363242,07 13963,39 6906861,99 349175,28 13855,51 6395807,13 335211,89 13746,60 5910693,52 321356,37 13624,91 5450805,27 307609,78 13491,79 5015442,24 293984,86 13345,13 4603907,95 280493,08 13188,45 4215510,78 267147,94 13022,78 3849561,81 253959,49 12852,57 3505378,21 240936,71 12673,42 3182284,20 228084,14 12488,75 2879615,27 215410,72 12291,94 2596713,57 202921,97 12083,65 2332931,12 190630,03

Lx 98324 98182 98030 97872 97702 97513 97299 97058 96789 96488 96159 95797 95403 94989 94538 94027 93453 92816 92123 91383 90595 89755 88853 87872 86810

Tx ex 3717855 38 3619531 37 3521349 36 3423318 35 3325446 34 3227744 33 3130230 32 3032932 31 2935874 30 2839085 29 2742597 28 2646437 28 2550640 27 2455237 26 2360248 25 2265710 24 2171683 23 2078229 22 1985413 21 1893290 21 1801907 20 1711311 19 1621556 18 1532703 17 1444830 17

x lx 68 86258 69 85004 70 83611 71 82103 72 80481 73 78755 74 76886 75 74748 76 72349 77 69692 78 66815 79 63727 80 60392 81 56796 82 52931 83 48831 84 44523 85 40049 86 35467 87 30851 88 26285 89 21867 90 17697 91 13876 92 10489

dx 1254 1393 1508 1621 1727 1869 2138 2399 2657 2877 3088 3335 3597 3864 4100 4309 4474 4581 4617 4566 4418 4169 3821 3387 2887

px 0,9854646569 0,9836081820 0,9819673879 0,9802513266 0,9785442263 0,9762699123 0,9721979779 0,9679084371 0,9632717840 0,9587143808 0,9537843132 0,9476708339 0,9404450669 0,9319644685 0,9225380252 0,9117656485 0,8995172780 0,8856035649 0,8698331437 0,8520039413 0,8319065659 0,8093293618 0,7840655344 0,7559227690 0,7247357438

qx Dx 0,0145353431 17194,95 0,0163918180 16547,87 0,0180326121 15895,14 0,0197486734 15242,68 0,0214557737 14591,46 0,0237300877 13943,74 0,0278020221 13293,81 0,0320915629 12621,30 0,0367282160 11929,94 0,0412856192 11222,44 0,0462156868 10506,95 0,0523291661 9786,49 0,0595549331 9057,00 0,0680355315 8317,98 0,0774619748 7570,37 0,0882343515 6820,27 0,1004827220 6072,74 0,1143964351 5334,51 0,1301668563 4613,53 0,1479960587 3918,95 0,1680934341 3260,70 0,1906706382 2649,02 0,2159344656 2093,68 0,2440772310 1603,11 0,2752642562 1183,43

Cx Nx 244,08 227475,04 264,89 210280,09 279,91 193732,22 293,97 177837,08 305,73 162594,40 323,13 148002,94 360,93 134059,20 395,54 120765,39 427,90 108144,09 452,47 96214,15 474,20 84991,71 500,12 74484,76 526,75 64698,28 552,65 55641,28 572,67 47323,30 587,68 39752,93 595,90 32932,66 595,95 26859,91 586,45 21525,41 566,40 16911,87 535,26 12992,92 493,25 9732,22 441,50 7083,19 382,11 4989,51 318,12 3386,40

Mx Sx Rx Lx 11863,51 2087623,02 178546,38 85631 11619,43 1860147,97 166682,87 84307 11354,54 1649867,88 155063,44 82857 11074,63 1456135,66 143708,91 81292 10780,66 1278298,57 132634,28 79618 10474,92 1115704,17 121853,62 77820 10151,79 967701,23 111378,70 75817 9790,86 833642,03 101226,91 73549 9395,32 712876,64 91436,05 71021 8967,42 604732,55 82040,73 68254 8514,95 508518,40 73073,31 65271 8040,75 423526,70 64558,35 62060 7540,63 349041,93 56517,60 58594 7013,89 284343,66 48976,97 54863 6461,23 228702,38 41963,09 50881 5888,56 181379,09 35501,85 46677 5300,88 141626,16 29613,29 42286 4704,98 108693,50 24312,41 37758 4109,03 81833,59 19607,43 33159 3522,58 60308,18 15498,40 28568 2956,18 43396,31 11975,82 24076 2420,93 30403,39 9019,64 19782 1927,67 20671,17 6598,71 15787 1486,17 13587,98 4671,04 12182 1104,06 8598,47 3184,87 9045

Tx ex 1358021 16 1272390 15 1188082 14 1105226 13 1023934 13 944315 12 866495 11 790678 11 717129 10 646109 9 577855 9 512584 8 450525 7 391931 7 337067 6 286186 6 239509 5 197223 5 159465 4 126306 4 97738 4 73662 3 53880 3 38094 3 25911 2

x 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103

lx 7602 5248 3426 2097 1191 621 293 124 46 15 4

dx 2354 1822 1329 905 570 328 170 78 31 11 4

px 0,6903818435 0,6528001848 0,6120137216 0,5681536693 0,5214847420 0,4724287225 0,4215827552 0,3697275988 0,3178202036 0,2669648245 0,0000000000

qx Dx Cx Nx Mx Sx 0,3096181565 837,57 253,25 2202,97 785,94 0,3471998152 564,69 191,47 1365,40 532,69 0,3879862784 359,99 136,40 800,71 341,22 0,4318463307 215,16 90,74 440,72 204,83 0,4785152580 119,38 55,78 225,57 114,09 0,5275712775 60,79 31,32 106,19 58,30 0,5784172448 28,05 15,84 45,40 26,98 0,6302724012 11,55 7,11 17,35 11,14 0,6821797964 4,17 2,78 5,80 4,03 0,7330351755 1,29 0,93 1,63 1,26 1,0000000000 0,34 0,33 0,34 0,33

Rx 5212,07 3009,10 1643,70 842,99 402,27 176,70 70,51 25,12 7,77 1,97 0,34

2080,81 1294,88 762,19 420,96 216,14 102,05 43,74 16,76 5,62 1,59 0,33

Lx Tx ex 6425 16866 2 4337 10441 2 2761 6104 2 1644 3342 2 906 1698 1 457 792 1 209 335 1 85 126 1 30 41 1 9 11 1 2 2 1

VÝPOČET RIZIKA V POJIŠTĚNÍ OSOB Calculation of risk in life insurance

Recommend Documents