VÝNOSOVÉ KŘIVKY A JEJICH VYUŽITÍ VE FINANČNÍ PRAXI

Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta

VÝNOSOVÉ KŘIVKY A JEJICH VYUŽITÍ VE FINANČNÍ PRAXI Bakalářská práce

Lucie Pečinková

Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Petr ČERVINEK

Brno 2012

Bibliografický záznam Autor:

Název práce:

Lucie Pečinková Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita Ústav matematiky a statistiky Výnosové křivky a jejich využití ve finanční praxi

Studijní program:

Aplikovaná matematika

Studijní obor:

Finanční a pojistná matematika

Vedoucí práce:

Mgr. Petr Červinek

Akademický rok:

2011/2012

Počet stran:

42

Klíčová slova:

Spotová výnosová křivka; Forwardová výnosová křivka; Výnos do splatnosti; Dluhopisy

Bibliographic Entry Author:

Lucie Pečinková Faculty of Science, Masaryk University Department of Mathematics and Statistics

Title of Thesis:

Yield curves and thein use in financial praxis

Degree programme:

Applied Mathematics

Field of Study:

Financial and Insured Mathematics

Supervisor:

Mgr. Petr Červinek

Academic Year:

2011/2012

Number of Pages:

42

Keywords:

Spot yield curve; Forward yield curve; Bonds; Yield to maturity

Abstrakt V této bakalářské práci se věnuji problematice výnosových křivek dluhopisů. První část je věnována vymezení dluhopisů a způsobu jejich oceňování. Hlavní důraz je kladen na samotnou výnosovou křivku, její definici, tvary, typy, metody konstrukce a teoretické přístupy vysvětlující její tvar. Poznatky jsou aplikovaný na konstrukci několika výnosových křivek.

Abstract This bachelor´s thesis is dealing with bond yield curves and the related issues. The first part is concerned with the definition of bonds and methods of their valuation. The main emphasis is put on the yield curve as such, its definition, shape, types, methods of construction and theoretical approaches explaining the shape of yield curve. The findings identified are then applied to the construction of several yield curves.

Poděkování Na tomto místě bych chtěla poděkovat Mgr. Petru Červinkovi za ochotu, cenné připomínky a čas, který mi věnoval v průběhu psaní bakalářské práce.

Prohlášení Prohlašuji, že jsem svoji bakalářskou práci vypracovala samostatně s využitím informačních zdrojů, které jsou v práci citovány. Brno 28. května 2012

……………………………… Jméno Příjmení

OBSAH Úvod.................................................................................................................................. 8 1 Dluhopisy .................................................................................................................. 9 1.1 Charakteristika dluhopisu ................................................................................. 9 1.2 Ohodnocování dluhopisu ................................................................................ 12 1.2.1 Cena dluhopisu ................................................................................... 12 1.2.2 Alikvotní úrokový výnos .................................................................... 13 1.2.3 Měření výnosu dluhopisů ................................................................... 13 2 Výnosová křivka ..................................................................................................... 17 2.1 Definice výnosové křivky ............................................................................... 17 2.2 Tvar výnosové křivky ..................................................................................... 17 2.2.1 Rostoucí výnosová křivka .................................................................. 18 2.2.2 Klesající výnosová křivka .................................................................. 19 2.2.3 Vyboulená výnosová křivka ............................................................... 20 2.2.4 Plochá výnosová křivka ...................................................................... 20 2.3 Teoretické přístupy vysvětlující tvar výnosové křivky................................... 20 2.3.1 Teorie očekávání................................................................................. 21 2.3.2 Teorie preference likvidity ................................................................. 22 2.3.3 Teorie segmentace .............................................................................. 22 2.3.4 Teorie preferovaného umístění ........................................................... 24 2.4 Typy výnosových křivek ................................................................................ 24 2.4.1 Výnosová křivka z výnosů do splatnosti ............................................ 24 2.4.2 Kuponová výnosová křivka ................................................................ 25 2.4.3 Nominální výnosová křivka................................................................ 25 2.4.4 Promptní výnosová křivka .................................................................. 26 2.4.5 Forwardová výnosová křivka ............................................................. 27 2.4.6 Výnosová křivka anuit ........................................................................ 27 2.4.7 Valivá výnosová křivka ...................................................................... 28 3 Konstrukce výnosové křivky .................................................................................. 29 3.1 Interpolace ...................................................................................................... 29 3.1.1 Lineární interpolace ............................................................................ 29 3.1.2 Logaritmická interpolace .................................................................... 30 3.2 Aproximace výnosové křivka polynomem stupně N ...................................... 31 3.3 Konstrukce konkrétních výnosových křivek .................................................. 31 3.3.1 Sestrojení výnosové křivky státních dluhopisů .................................. 32 3.3.2 Výnosová křivka dluhopisů UniCredit Bank ..................................... 34 4 Využití výnosové křivky ......................................................................................... 37 4.1 Využití výnosové křivky centrální bankou ..................................................... 37 4.2 Využití výnosové křivky investory ................................................................. 37 4.3 Využití výnosové křivky pro emitenty ........................................................... 38 Závěr ............................................................................................................................... 39 Použitá literatura ............................................................................................................. 40 Seznam tabulek: .............................................................................................................. 42 Seznam grafů: ................................................................................................................. 42

7

Úvod V podmínkách fungujícího tržního hospodářství hraje významnou roli finanční systém, jehož součástí je finanční trh umožňující alokaci volných prostředků od přebytkových k deficitním subjektům. Důležitou úlohu na tomto trhu hrají dluhopisy určené jednak pro konzervativnější soukromé investory, kteří preferují menší riziko za cenu nižšího výnosu, tak pro větší investory jako jsou pojišťovny, banky či penzijní fondy. Na základě střetu nabídky s poptávkou po penězích a kapitálu je na trhu vytvářena jejich cena - úroková sazba. Stejně tak je ovlivněna trhem cena a výnos dluhopisů. Výnosová křivka je definována jako vztah mezi výnosností dluhopisu a dobou splatnosti. Tato bakalářská práce se zabývá jejich problematikou se zaměřením na využití ve finanční praxi. V práci bude věnována kapitola definici dluhopisů a způsob jejich ocenění. Vlastnosti dluhopisů jsou důležitým faktorem ovlivňujícím výnos a tím výnosovou křivku samotnou. Dále se zaměřím na vymezení výnosové křivky a typickým tvarům, kde mezi nejběžnější patří rostoucí křivka. Dále uvedu různé teorie vysvětlující tento tvar. Pozornost budu věnovat také různým druhům výnosových křivek. Je možné se setkat například se spotovou, YTM, forwardovou, kuponovou, anuitní nebo valivou výnosovou křivkou. Uvedeny budou i některé metody konstrukce. Zkonstruuji výnosové křivky z vládních dluhopisů a dluhopisů emitovaných obchodní bankou. Cílem práce je analýza možností využití výnosových křivek ve finanční praxi. Možnosti využití výnosové křivky jsou široké, budu se zabývat využitím z pohledu investorů i emitentů včetně pohledu státu. Po přečtení bakalářské práce by měl být čtenář seznámen s konstrukcí, kriterii sestrojení a možnostmi aplikace získaných poznatků při svém investičním rozhodování, například srovnávání výnosů. V práci jsou použity metody deskripce, analýzy, komparace, dedukce a matematicko-statistické metody.

8

1 Dluhopisy 1.1 Charakteristika dluhopisu Dluhopis je druhem obchodovatelného cenného papíru, kterým si emitent opatřuje kapitál a oproti tomu investor dobrovolně poskytuje emitentovi výměnou za dluhopis finanční prostředky. Účelem jeho emise je získání dlouhodobých finančních prostředků a emitent se jím zavazuje majiteli splatit k předem stanovenému datu nominální hodnotu a dle dohodnutých podmínek i výnos. „Existuje mnoho různorodých konstrukcí dluhopisů, které mohou být emitovány. Nejběžnější dluhopis je přímý dluhopis (dluhopis s pevným kupónem, straight bond nebo plain vanill), který splácí rovnoměrně po dobu své existence pevně stanovený kupon. Na konci opět předem přesně stanovené doby splatnosti (doby života, doby dospělosti) je vyplacena celá jistina (tj. nominální neboli par hodnota) dluhopisu. Všechny ostatní dluhopisy představují různé obměny tohoto základního typu.“ (Blake, 1995, s. 119-120) Na klasifikaci dluhopisů je možno nahlížet z mnoha pohledů. Následující text se bude věnovat klasifikaci dluhopisů z několika různých pohledů podle specifických vlastností, které jsou spojeny s daným typem dluhopisu. Kriteria pro rozlišení různých typů mohou být: rozdílně stanovená úroková sazba, emitent, doba splatnosti a forma dluhopisu. Budou zmíněny zvláštní druhy dluhopisů. A. Dělení podle úrokové sazby 

Dluhopis s pevným kupónem je nejčastějším typem dluhopisu. „Nejčastěji dluhopisy fungují jako cenné papíry s pevným (fixním) výnosem tím způsobem, že jejich držitel inkasuje v pravidelných termínech (data kupónových plateb na konci jednotlivých kuponových období) pevné úrokové splátky označované jako kupony a nakonec k datu splatnosti dluhopisu (tj. po uplynutí jeho doby do splatnosti) spolu s posledním kuponem také příslušnou nominální hodnotu dluhopisu (nebo obecněji jeho umořovací hodnotu, která může být odlišná od nominální hodnoty). Relativní vyjádření kuponu vůči nominální hodnotě (tj. v procentech z nominální hodnoty) se nazývá kuponová sazba.“ (Cipra, 2000a, s. 7)



Bezkuponový dluhopis nenese žádný kupón, v průběhu se tedy nic nevyplácí. Prodej se uskutečňuje s diskontem, tedy prodejní cena je pod nominální cenou.

9

Patří sem pokladniční poukazy a dluhopisy s nulovým kupónem se splatností obvykle do jednoho roku. 

Dluhopis s pohyblivým kupónem (s pohyblivou úrokovou sazbou, floater) má přizpůsobenou kupónovou sazbu podle aktuálního stavu zvolené referenční sazby (například v ČR mohou být pololetní kupóny stanoveny dle šestiměsíčního Priboru navýšeného o kreditní přirážku).



Indexový dluhopis je případem, kdy je kupónová sazba upravována podle určitého indexu (nejčastěji o míru inflace). Existují i dluhopisy s indexovanou splatnou částkou, u kterých se v době splatnosti mění vyplacená nominální hodnota kupříkladu podle akciového indexu.



Dluhopis se speciálním kupónem (strutured bond) má dán úroky vycházející z vývoje určitých finančních ukazatelů, jako jsou například akcie, podílové listy nebo suroviny.



Hybridní dluhopisy mají kupónovou sazbu složenou ze dvou složek - pevné a pohyblivé, která může být navýšena o prémie.

B. Klasifikace dluhopisů podle emitenta 

Státní dluhopis je emitován státem, jako nástroj používaný k pokrytí deficitního státního rozpočtu nebo na nákladné financování (například na úhradu škod povodní, obnovu a rozšíření dopravní infrastruktury).



Komunální dluhopisy představují formu zdroje příjmů pro orgány místní správy, emitentem je tedy samosprávní celek. V České republice je emitování tohoto druhu dluhopisu podmíněno souhlasem Ministerstva financí ČR. Zdroje pro financování splácení úroků jsou čerpány buď z daní, nebo z konkrétního projektu, kdy jsou přímo z těchto projektů získávány prostředky na vyplácení kuponu, příkladem takového projektu může být mýtné na dálnici.



Firemní dluhopisy (korporátní, podnikový) jsou emitovány firmou nebo bankou. Jsou zařazovány mezi rizikovější dluhopisy, odměnou za vyšší riziko je na druhé straně vyšší výnos. Zvláštním typem tohoto segmentu jsou zaměstnanecké dluhopisy, které jsou vydávané firmou pro své zaměstnance s možností pořídit je za nižší než tržní cenu.

10



Prašivý dluhopis (junk bond, hight yield bond) „je obvykle firemním dluhopisem, který nemá investiční stupeň hodnocení. Důvodem je obvykle špatná finanční situace emitenta, ale také nedostatečná historie v případě nových firem apod. Přes vysokou

rizikovost

nalézají

tyto

dluhopisy investory díky své

značné

výnosnosti.“(Cipra, 2000a, s. 10) 

Zahraniční dluhopisy bývají emitované v dané zemi, v měně této země a upraveny místními právními normami, emitentem je ale zahraniční subjekt. Příkladem může být český emitent vydávající své dluhopisy v eurech na Slovensku.



Eurodluhopisy na rozdíl od zahraničních dluhopisů jsou v jiné měně a zároveň nepodléhají zákonům země, kde jsou vydávány.

C. Dělení podle doby splatnosti 

Krátkodobé dluhopisy jsou dluhopisy se splatností kolem jednoho roku.



Střednědobé dluhopisy jsou typické tím, že trvají déle než jeden rok. Horní hranice je uváděna rozdílně a s tím je spojený nestriktně stanovený přechod na dlouhodobé dluhopisy. Jedním z možných přístupů je nastavení horní meze na pět až deset let.



Dlouhodobé dluhopisy jsou typem dluhopisů se splatností delší než deset let. Věčný dluhopis neboli konzola nemá stanovenou dobu splatnosti. Jde o zvláštní typ, který patří do skupiny dlouhodobých dluhopisů. Majiteli není splacena dlužná částka, dochází ale k neustálému vyplácení kupónů. (Rejnuš, 2007, s. 177)

D. Zvláštní druhy dluhopisů 

Dluhopis s warrantem (opční dluhopis) je spojením dluhopisu s opčním listem (warrantem). K obligaci je připojena opční poukázka. Vlastník může za tuto poukázku získat v předem stanovené době daný počet akcií se stanoveným kurzem. Je zde i možnost warrant s dluhopisem oddělit, mohou tedy existovat odděleně a být předmětem prodeje na trhu odvozených cenných papírů.



Konvertibilní dluhopis (vyměnitelný dluhopis) je z pohledu emitenta většinou odloženou emisí akcií, což je ovlivněno možností volby majitele, který se může

11

v době splatnosti rozhodnout, zda si nechá vyplatit nominální hodnotu či ji vymění za akcii popřípadě obligace téže nebo jiné společnosti. 

Naturální dluhopis je způsob, kterým může majitel získat přednostní právo na nákup určitého zboží nebo služby. Často bývá využíván v případě nedostatkových surovin.

1.2 Ohodnocování dluhopisu 1.2.1 Cena dluhopisu Kromě nominální hodnoty má každý dluhopis svou tržní cenu ovlivněnou střetem nabídky a poptávky po daném instrumentu a mnoha dalšími faktory. Určení vnitřní hodnoty dává možnost porovnat ji s tržní cenou dluhopisu, která obvykle nebývá ve stejné výši. Tímto srovnáním je možné určit, zda je dluhopis na trhu podhodnocený (vnitřní hodnota je vyšší než tržní kurz), nadhodnocený (vnitřní hodnota je nižší než tržní kurz) nebo správně oceněn (vnitřní hodnota přibližně odpovídá tržnímu kurzu). Vnitřní hodnotu dluhopisu lze chápat jako současnou hodnotu budoucích příjmů majitele dluhopisu. Výpočet vnitřní hodnoty neboli spravedlivé ceny, je možné zapsat takto:

P kde

n Cn  NH Ci C1 C2 NH   .........     1 2 n i 1  y  1  y  1  y  1  y n i 1 1  y 

1.1

P je vnitřní hodnota, správná cena dluhopisu,

Cn je roční kupónová platba vyplácená v n-tém roce držby dluhopisu, NH je nominální hodnota dluhopisu vyplácená na konci doby životnosti,

n je počet let do doby splatnosti, y

je tržní úroková míra neboli výnosová míra, kterou investor z investice do daného dluhopisu požaduje.

Uvedený vztah je možné aplikovat pro dluhopisy, z nichž plyne kupónová platba a jmenovitá hodnota je splacena na konci životnosti dluhopisu. Modifikací tohoto vztahu lze získat vzorce pro ostatní případy, kdy je třeba kupónová platba pololetní nebo není nominální hodnota vyplacena jednorázově.

12

1.2.2 Alikvotní úrokový výnos Alikvotní úrokový výnos je pojem nejčastěji spojený s prodejem obligace uskutečněným mezi dvěma kupónovými platbami.

Prodávajícímu přísluší poměrná část kupónové platby za

období, kdy dluhopis držel. Jedná se o část kupónového výnosu příslušejícího období začínající dnem poslední kupónové platby a končící dnem, ke kterému je výnos počítán. Obvykle je výnos počítán za dobu od poslední platby k datu prodeje. Alikvotní úrokový výnos lze zjistit dle Šturce (2002, s. 18) takto: AUV  C  t  NH  yc  t ,

1.2

AUV je alikvotní úrokový výnos,

kde

C

je kupónová platba,

yc

je kupónová sazba dluhopisu,

NH

je nominální hodnota dluhopisu,

t

je doba, pro kterou alikvotní výnos počítáme.

Dobu t je vždy třeba vyjádřit jako poměrnou část období příslušející pro platbu jednoho kupónu. Například je-li kupón vyplácen jednou ročně vždy k 1. lednu, je pro datum 1. července doba t = 0,5. Možné vyjádření t vypadá takto: t

suma dnů od splatnosti poslední kupónové platby délka kuponového období ve dnech

1.3

1.2.3 Měření výnosu dluhopisů Dluhopisy jsou na trhu obchodovány na základě jejich tržní ceny. Dluhopisy se ale mezi sebou významně odlišují, což je dáno jejich specifickými vlastnostmi. Tedy porovnání dluhopisů jen na základě jejich ceny může vést k mylným závěrům. Je třeba porovnávat dluhopisy i na základě jiných parametrů jako riziko, kuponová sazba, doba splatnosti, nominální hodnota apod. Je tedy vhodné při porovnávání sáhnout po jiném ukazateli, než je cena. Většinou dochází k porovnávání na základě výnosnosti. V odborné literatuře dochází často k záměně pojmů výnos a výnosnost, které nereprezentují stejnou věc. K této chybě dochází na základě překladů z angličtiny, kdy pro oba tyto pojmy

13

existuje stejný výraz yield. Výnos lze chápat jako zisk spojený s daným finančním instrumentem vyjádřený v objemu peněz, kdežto výnosnost je poměrovým ukazatelem zhodnocení obvykle vyjádřený v procentech. Ačkoliv je důležité chápat rozdílnost významu těchto pojmů, v rámci bakalářské práce budu pro zjednodušení tyto pojmy považovat za synonyma. Běžný výnos Výhodou určení výnosnosti přes běžný výnos je jednoduchost výpočtu. Není ale brána v úvahu časová hodnota peněz, kapitálová ztráta či zisk, což je způsobeno tím, že je počítáno pouze s kupónovou platbou. Běžný výnos může ukázat, s jakým výnosem je možné v krátké době počítat a umožňuje odhad výnosu do splatnosti. Dochází k poměřování výnosu z kupónové platby s cenou vynaloženou na koupi dluhopisu. Běžný výnos je dán vztahem (Schmied a kol., 1999, s. 49): rc 

kde

C  100% P

1.4

rc je běžný výnos, C je kupón,

P je kupní cena dluhopisu.

Jednoduchý výnos do splatnosti Jednoduchý výnos do splatnosti je na rozdíl od běžného výnosu rozšířen o možnost kapitálového zisku či ztráty. Výpočet vypadá takto:

rs  kde

C NH  P  P n P

1.5

rs je jednoduchý výnos do splatnosti, NH je nominální hodnota,

P je cena dluhopisu při koupi,

n je počet let do splatnosti, C je kupón.

14

I tento výpočet má svá negativa. Opět není zahrnuta časová hodnota peněz a není počítáno s možnosti inkasované kupóny nadále zhodnocovat. Pokud by byly kupóny po vyplacení reinvestovány, docházelo by k jejich dalšímu úročení a celkový výnos by byl vyšší. Jednouchý výnos může být využit pro určení výnosnosti při prodeji či koupi obligace. Výnosnost do splatnosti Při výpočtu výnosnosti do doby splatnosti jsou brány v úvahu i faktory jako rozložení a velikost úrokových plateb, termín splatnosti a kapitálové zisky či ztráty, což hraje významnou roli při určování ceny dluhopisu. Výpočet vypadá takto: Pd 

kde

n C2 C3 Cn Cn C1 NH NH    .....      1 2 3 n n i 1  rm 1  rm 1  rm 1  rm 1  rm i1 1  rm 1  rmn

1.6

Pd je tržní hodnota dluhopisu, NH je nominální hodnota dluhopisu,

n je počet období, kdy se dluhopis úročí, C je kupón,

rm je roční výnos do splatnosti (YTM). Spotová a forwardová úroková míra Spotová (promptní) úroková míra je sazba platná od současnosti pro určité období. Oproti tomu forwardová úroková míra je platná po nějaké budoucí období. Zmeškal a kol. (2004, s. 48-50) definuje forwardovou úrokovou míru jako očekávanou spotovou míru v budoucnosti a je možné ji ze spotových sazeb odvodit za předpokladu stejné výše zápůjční a výpůjční sazby, transakčních nákladů blížících se nule a nemožnosti arbitráže. Vztah platící mezi spotovou a forwardovou úrokovou mírou:

1  st dt t dt 1  f t dt  1  st t kde

sn

1.7

je spotová úroková míra na n let

f t je forwardová úroková míra platná od roku n do roku n+k dt časový interval pro forwardovou sazbu.

15

Z toho je tedy forwardová sazba rovna: 1

 1  st t  dt ft   1 t  dt   1  st dt  

1.8

Chceme-li například vypočítat forwardovou sazbu mezi 2 a 4 rokem, kdy víme, že dvouleté a čtyřleté spotové sazby jsou s2=4% a s4=7,2% bude výpočet dle vzorce 1.8 následující:  1  s 4   f 2, 4   42   1  s 4  2   4

1 42

 1  0,075 1   2  1  0,04

4

1

2   1  11,12% 

16

2 Výnosová křivka 2.1 Definice výnosové křivky „Výnosová křivka je grafickou reprezentací časové struktury sazeb vybraných cenných papírů (dluhopisů). Jedná se o závislost výnosu do doby splatnosti (svislá osa) na době do splatnosti dluhopisu (vodorovná osa). Výnosová křivka se konstruuje vždy pro konkrétní dluhopisy, které se liší pouze dobou splatnosti, ale jinak mají stejné vlastnosti - zejména typ emitenta a kreditní kvalitu.

Nejčastěji

se

publikují

výnosové

křivky

na

bázi

státních

dluhopisů.“

(Kohout, 2008, s. 56) „Závislost mezi mírou výnosu a dobou splatnosti dluhopisu je nazývána výnosovou křivkou (yield curve) (nebo časovou strukturou úrokových sazeb) pro danou míru výnosu. Pro správnou konstrukci výnosové křivky je nutné uvažovat pouze výnosy dluhopisů z homogenní skupiny, homogenní například z pohledu rizika nebo likvidity. Nemůžeme tedy očekávat, že výnosová křivka bude konstruována z výnosů státních a podnikových dluhopisů, protože představují různé rizikové skupiny.“ (Blake, 1995, s. 142) Grafickým znázorněním úročení dluhopisů se stejným rizikem a likviditou pouze na základě rozdílných dob splatnosti je nazýváno výnosovou křivkou. Jejím úkolem je zachytit rozdíly ve výnosech založených pouze na základě různých dob splatnosti. Práce na konstrukci vývoje úrokových měr a s tím spojené výnosové křivky je jedním z významných ekonomických nástrojů, které pomáhají odhadnout vývoj úrokových sazeb, změny hospodářského cyklu či chování investorů.

2.2 Tvar výnosové křivky Posuzování tvaru výnosové křivky z hlediska typologie je možno na základě tří hlavních vlastností: úroveň, sklon a zakřivení. Úroveň je bodem, kde se nachází počátek křivky. Standardně výnosová křivka není znázorněna přímkou, bývá zakřivena, což poukazuje na nelineární závislost mezi výnosem do splatnosti a dobou do splatnosti. Sklon křivky je rozdílem mezi dlouhodobými a krátkodobými sazbami. (Bureš, 2007, s. 5) Mezi základní tvary výnosových křivek řadíme plochou, stoupající (rostoucí, pozitivně skloněnou), klesající (inverzní) a vyboulenou výnosovou křivku.

17

„Má-li výnosová křivka kladný sklon, potom jsou dlouhodobé úrokové sazby vyšší než krátkodobé. Je-li plochá, sazby jsou stejné. Má-li sklon záporný, jsou dlouhodobé sazby nižší než krátkodobé. Sklon výnosových křivek bývá většinou kladný, což však nemusí platit vždy. K zápornému sklonu výnosové křivky někdy dochází v souvislosti s očekáváním snížení úrokových sazeb ze strany centrální banky, nebo např. v souvislosti s očekáváním brzkého přechodu ekonomiky do fáze recese; krátkodobě se však mohou vyskytnout i důvody další.“ (Rejnuš, 2007, s. 186)

Graf č. 1 Tvar výnosové křivky (zdroj: BUREŠ, Jan. Úvod do problematiky výnosových křivek)

2.2.1 Rostoucí výnosová křivka Rostoucí výnosová křivka (pozitivně skleněná výnosová křivka, normal yield curve, positive yield curve) je nejčastějším typem a nastává převážně v situaci, kdy trh neočekává významné změny. Nižším výnosem se vyznačují dluhopisy s krátkou dobou splatnosti, vyšší výnos oproti tomu mají ty s delší dobou splatnosti. Jde o přirozenou reakci trhu na ochotu investorů podstoupit vyšší riziko spojené s dlouhodobou investicí, za což jsou odměněny vyšším výnosem. V případě očekávání růstu sazeb, výnosů či inflace je křivka strmější. Platí, čím je sklon vyšší, tím je vyšší prémie spojená s delší dobou splatnosti.

18

Graf č. 2 Rostoucí výnosová křivka (zdroj: BUREŠ, Jan. Úvod do problematiky výnosových křivek)

2.2.2 Klesající výnosová křivka Období kdy má výnosová křivka klesající (inverzně skloněná, inverted yield curve, negative yield curve), je považováno za poměrně výjimečný stav. Jedná se opačný případ než u rostoucí výnosové křivky, nejvyšším zúročením se vyznačují dluhopisy s nejkratší dobou splatnosti, nižší úrokovou sazbou se úročí naopak dluhopisy s delší dobou splatnosti. Tento případ typicky nastává v situaci, kdy je úroveň úrokových sazeb vysoká a trh očekává jejich pokles. Její výskyt je zpravidla podmíněn zvýšením úrokových sazeb na neobvykle vysokou hodnotu centrální bankou například při boji s inflací. Může se jednat třeba i o signál zpomalení ekonomiky či očekávání poklesu výkonnosti ekonomiky v budoucnu.

Graf č. 3: Klesající výnosová křivka (zdroj: BUREŠ, Jan. Úvod do problematiky výnosových křivek)

19

2.2.3 Vyboulená výnosová křivka Vyboulená výnosová křivka (humped yield curve, humpbacked yield curve) se vyskytuje jen velmi zřídka. Zpravidla jde o přechodnou situaci, kdy je křivka ve tvaru U. To znamená, že dluhopisy se střednědobou dobou splatnosti mají nejvyšší zúročení, a oproti tomu krátkodobé a dlouhodobé mají výnos nižší. Vyskytuje se pouze pří očekávání neobvyklého vývoje trhu, čímž může být růst inflace společně s poklesem úrokových sazeb.

2.2.4 Plochá výnosová křivka V případě, kdy je vývoj úrokové sazby nezávislý na době splatnosti mluvíme o ploché výnosové křivce (flat yield curve). To znamená, že výnosnost je shodná pro všechny doby splatnosti. Vypovídá o jisté nejistotě, jedná se o přechodný tvar mezi rostoucí a klesající výnosovou křivkou, obvykle poukazuje na očekávaný pokles sazeb. Základní tvary výnosových křivek 3 2,5 Vyboulená výnosová křivka

Výnos (%)

2

Plochá výnosová křivka Stoupající výnosová křivka

1,5

Klesající výnosová křivka

1 0,5 0 0

1

2

3

4

5

6

7

Roky do splatnosti

Graf č. 4: Základní tvary výnosových křivek (zdroj: HVOZDECKÁ, Jana. Analýza výnosových křivek dluhopisů s nulovým kuponem)

2.3 Teoretické přístupy vysvětlující tvar výnosové křivky Výnosové křivky mohou mít odlišný tvar, vysvětlení tohoto jevu přináší několik teoretických přístupů. Zmíněné teorie se navzájem nevylučují, jejich částečné působení je možné připouštět zároveň.

20

2.3.1 Teorie očekávání „Hypotéza očekávání (expectations hypothesis) říká, že dlouhodobé úrokové sazby jsou geometrickým průměrem předpokládaných krátkodobých sazeb.“ (Blake, 1995, s. 153) Očekávají-li investoři pokles krátkodobých sazeb, bude mít křivka klesající tvar, a oproti tomu rostoucí křivka ukazuje očekávání růstu krátkodobých sazeb v budoucnu. Vyboulená výnosová křivka

představuje

očekávání

zvyšování

krátkodobých

úrokových

sazeb

a

pokles

dlouhodobých. Významnou složku očekávání tvoří inflace a její předpokládaný vývoj. Pokud je očekáván pokles inflace, bude i výnosová křivka klesat. Je-li investory očekáván růst inflace, bude mít křivka růstovou tendenci. Teorie předpokládá nepreference doby splatnosti ze strany investorů spolu s tím, že jednotlivé dluhopisy jsou dokonalé substituty. Při opakovaných krátkodobých investicích do dluhopisů by měl investor dosáhnout stejného zhodnocení, jako kdyby jednorázově investoval do dluhopisu s delší dobou splatnosti. Dle Tomáše Cipry v Matematice cenných papírů teorie očekávání znamená, že nejvhodnějším odhadem pro budoucí spotovou úrokovou míru připadající na předem dané období v budoucnosti je forwaradová úroková míra. Mezi spotovou a forwardovou úrokovou mírou platí vztah 1.7, kde spotová úroková míra udává úrokovou míru platící od současnosti na specifikovanou dobu. Forwardová úroková míra oproti tomu platí od určité doby v budoucnu po předem sjednanou dobu. Výše zmíněnou teorii Jan Bureš v Úvodu do problematiky výnosových křivek definuje jako čistou hypotézu očekávání. Autor také uvádí rozšířenou rovnici modifikované hypotézy očekávání:

1  sn n 1  f nk k  1  snk nk  rpnk

2.1

kde rpn k je riziková prémie připadající (n+k) let starým dluhopisů. Rizikové prémie představuji prémii investorů za dlouhodobé poskytnutí finančních prostředků. Investoři očekávají neustálý růst úrokových měr v čase. V realitě nedochází ke změnám tak často, jak by se dle sklonu výnosové křivky dalo očekávat. To je důvodem, proč byla přičtena další položka v podobě výše zmíněné rizikové prémie.

21

2.3.2 Teorie preference likvidity Pokud bychom vycházeli z teorie očekávání, musela by být výnosová křivka při konstantní inflaci plochá. V realitě se jedná spíše o rostoucí křivku, což teorie nevysvětluje, ale vysvětluje to teorie preference likvidity. Držení dluhopisů po delší dobu je spojeno s vyšším rizikem, odměnou by měl být vyšší výnos. Rostoucí trend je způsoben preferencí likvidity investory. Důvodem je fakt, že dlužníci se snaží získat prostředky na delší dobu a oproti tomu investoři preferují krátkodobé instrumenty. Za vzdání se likvidity musí investoři obdržet odpovídající prémie zvyšující se s prodlužováním doby splatnosti. Teorie preference říká, že věřitelé očekávají za riziko spojené s delší dobou splatnosti odměnu v podobě vyšších výnosů. Výsledkem kombinace klesající výnosové křivky vycházející z teorie očekávání a rostoucí výnosové křivky dané preferencí likvidity je vyboulená výnosová křivka.

2.3.3 Teorie segmentace Teorie segmentace (teorie oddělených trhů, segmentation theory) se opírá o základní předpoklad, a to že poptávka po dluhopisech je rozdělena do několika segmentů dle preferencí doby splatnosti. Rozdělení do jednotlivých skupin je založeno na rozdílných preferencích, zvycích nebo omezeních ze strany legislativy. Důležitý je předpoklad, že nedochází k přelévání mezi jednotlivými skupinami, které se mezi sebou neovlivňují. Křivka výnosnosti udává střet nabídky a poptávky jednotlivých segmentů. Dle Borise Šturce v Oceňování obligací a obchodování s obligacemi je možné investory rozdělit dle různých potřeb na dobu splatnosti. Například skupinu s preferencí kratší splatnosti (uvádí se splatnost 0-4 roky) tvoří převážně obchodní banky a dlouhodobé obligace preferují zahraniční investoři, pojišťovny a penzijní fondy. Přibližné preference zachycuje graf č. 5. Předpokládá se, že méně významné ekonomické faktory působí vždy jen na jistý segment, nikoliv na celý trh.

22

Graf č. 5: Vyboulená výnosová křivka (zdroj: BUREŠ, Jan. Úvod do problematiky výnosových křivek)

Podobně situaci vidí v publikaci Kapitálové trhy a kolektivní investování Václav Liška a Jan Gazda, kteří investory dělí do tří skupin. První segment preferuje splatnost do 5 let a je prezentován převážně obchodními bankami, druhý upřednostňuje rozsah 5-10 let v čele s hypotečními bankami spolu a stavebními spořitelnami. Poslední skupina dává přednost splatnosti delší než 10 let a reprezentují ji penzijní fondy a pojišťovny.

Graf č. 6: Výnosová křivka jako výsledek segmentační teorie (zdroj: LIŠKA, Václav, GAZDA, Jan. Kapitálové trhy a kolektivní investování)

Vysvětlení pro typicky pozitivní sklon výnosových křivek je skryto za vyšší poptávkou po krátkodobých dluhopisech. Mezi investory jsou preferovány různé doby splatnosti, přednost však dávají krátkodobějším, což má za následek jejich vyšší cenu a nižší výnosy. Banky také preferují kratší dobu splatnosti, naopak však investiční fondy preferují investice do dluhopisů s dlouhou dobou splatnosti. Jenom málo kupujících výrazně preferuje dluhopisy střednědobé splatnosti. Tyto skutečnosti vedou k nízkým výnosům a vysokým cenám na obou krajích výnosové křivky a je možné vysvětlit vznik vyboulené výnosové křivky.

23

Nevýhoda teorie segmentace je předpoklad, že nedochází k přechodům účastníků mezi jednotlivými subjekty.

2.3.4 Teorie preferovaného umístění Hypotéza preferovaného umístění (liquidity theory) je jistým odvozením teorie segmentace trhů a v mnoha aspektech se podobá teorii očekávání. Podobnost s předchozí teorií spočívá v investorově preferenci určitých dob splatnosti. Zároveň ovšem platí fakt, že je ochoten ze svých požadavků ustoupit za prémii. Spojení s teorii očekávání je fakt, že investor považuje prémii za riziko. V těchto teorií je prémie chápana rozdílnými způsoby, v teorii očekávání jde o odměnu za riziko spojené s delším držením dluhopisu, v teorii preferovaného umístění je prémie odměnou investora za vložení prostředků do jiného než preferovaného dluhopisu. „Hypotéza preferovaného umístění dokáže vysvětlit jakýkoliv sklon výnosové křivky a to včetně plochého tvaru. Výnosy jsou tak podél celé křivky identické, což za předpokladu existence prémie interpretujeme jako očekávaný mírný pokles úrokových sazeb. Pokud pro srovnání použijeme příklad čisté hypotézy očekávání, tak ta interpretuje plochou výnosovou křivku jako období stabilních (stejných) sazeb po celé délce výnosové křivky.“ (Bureš, 2007, s. 10)

2.4 Typy výnosových křivek Existuje několik druhů výnosových křivek a v této kapitole budou zmíněny výnosová křivka z výnosů do splatnosti, kuponová výnosová křivka, nominální výnosová křivka, promptní výnosová křivka, forwardová výnosová křivka, výnosová křivka anuit a valivá výnosová křivka.

2.4.1 Výnosová křivka z výnosů do splatnosti Dle Davida Blake (1995, s. 143) je výnosová křivka výnosů do splatnosti (výnosová křivka YTM, yield to maturity) nejznámějším typem výnosové křivky. Její konstrukce je založena na zachycení závislosti mezi výnosem do splatnosti a dobou do splatnosti dluhopisu. Vyskytuje se ve třech typických tvarech: rostoucí, vyboulená a klesající. Konstrukce křivky YTM je provázena několika problémy. Už z definice výnosu do splatnosti musí být kupón ihned reinvestován za stejnou úrokovou míru jako YTM. Na trhu však dochází k neustálým změnám tržní úrokové míry, vzniká nám reinvestiční riziko a je porušen výše

24

zmiňovaný předpoklad. Tomuto problému nepodléhá bezkuponový dluhopis, u kterého nejsou v průběhu vypláceny žádné kupóny a není je nutné reinvestovat. Dalším problémem je skutečnost, že křivka nezohledňuje výši výplaty kupónu, předpokládá se stejný způsob splácení u všech dluhopisů. U dluhopisů se stejnou dobou splatnosti a malým kupónem je splátka soustředěna ke konci splatnosti, kdežto je-li kupón velký, je větší část dluhu splacena před datem splatnosti, nedochází k diskontování kupónu odpovídající úrokovou sazbou. Protože je konstrukce výnosové křivky do splatnosti provázena mnohými problémy, je konstruována celá řada dalších výnosových křivek.

2.4.2 Kuponová výnosová křivka Další křivkou, kterou Blake (1995, s. 143-144) uvádí, je kuponová výnosová křivka (coupon yield curve) zachycující vztah mezi dobou splatnosti a výnosem do doby splatnosti dluhopisů se stejným kupónem. Důvodem pro konstrukci této křivky je fakt, že dluhopisy se stejnou splatností, ale rozdílným kupónem, nebudou mít stejný výnos. Dochází k zohlednění reinvestičního rizika. Dluhopisy s nižším kupónem mají toto riziko menší než dluhopisy s velkým kupónem. Navíc rozdílné vyplácení kupónových plateb může vést k rozdílnému zdanění. Je proto zřejmé, že dochází k jistému zkreslení, pokud není zahrnut kupon.

Graf č. 7: Vztah mezi forwardovými výnosy a výnosovou křivkou kuponového a bezkuponového dluhopisu (zdroj: CIPRA, Tomáš. Matematika cenných papírů)

2.4.3 Nominální výnosová křivka Jak uvádí Blake (1995, s. 144), nominální výnosová křivka (par yield curve) zachycuje závislost výnosu dluhopisu do splatnosti na době do splatnosti v případě dluhopisů

25

obchodovaných za nominální hodnotu. Výnos do splatnosti je tedy reprezentován hodnotou kuponu. Tento typ je využíván v případě prvních emisí, protože dluhopisy jsou emitovány za svou nominální hodnotu.

2.4.4 Promptní výnosová křivka Výnosová křivka dluhopisů s nulovým kupónem (spot yield curve, zero-coupon yield curve, promptní výnosová křivka) je sestavena ze spotových výnosů dluhopisů v závislosti na době splatnosti. Schmied a kol. (1999, s. 52) říkají, že spotová výnosová křivka je tvořena posloupností spotových úrokových měr a spotové úrokové míry r0,t přísluší dluhopisům vydávaným v čase 0 se splatností v čase t. Sjednaná úroková míra platí po celou dobu životnosti dluhopisu. Za předpokladu roční výplaty kuponu a nulového alikvotního úroku Blake (1995, s. 147) říká, že promptní výnosnosti vyhovují následující rovnici: T

Pd   t 1

kde

Ct

1  rst t



T NH  Ct Dt  NHDT 1  rsT T  t 1

2.2

Pd je tržní hodnota dluhopisu, NH je nominální hodnota dluhopisu,

t zachycuje dobu splatnosti, C je kupón,

rst promptní výnos dluhopisu s dobou splatnosti t, Dt 

1 je odpovídající diskontní faktor. (1  rst ) t

Název výnosová křivka dluhopisů s nulovým kuponem je odvozen z faktu, že promptní výnos pro každou dobu splatnosti je ve stejné výši jako výnos bezkuponového dluhopisu se stejnou dobou splatnosti. „V rovnici je diskontováno cash flow (tj. kupon nebo jistina) z roku t odpovídajícím t-letým promptním výnosem. Jinak řečeno rst představuje časově vážený ukazatel výnosu pro dluhopis s dobou splatnosti t let.“ (Blake, 1995, s. 148) Blake (1995, s. 148) ukazuje na výhodu oproti výnosové křivce do splatnosti, kde jsou všechny peněžní toky vztahovány ke stejné sazbě, oproti tomu promptní výnosová křivka používá vhodné diskontní faktory vztahující se k danému kuponu či splátce jistiny.

26

2.4.5 Forwardová výnosová křivka Forwardová výnosová křivka ukazuje závislost forwardových výnosností na době splatnosti dluhopisu. Forwardový výnos lze získat z rovnice 1.7 a představuje úrokovou míru se splatností za n let vydaných v čase t. Spotové a forwardové výnosové křivky zachycuje následující grafy č. 8.

Graf č. 8: Spotová a forwardové výnosové křivky (zdroj: http://econompicdata.blogspot.com/2010/08/swap-curve-whacked.html)

2.4.6 Výnosová křivka anuit Výnosová křivka anuit (anuity yield curve) zachycuje vztah výnosu anuit a dobu do splatnosti. Blake (1996, s. 151) rozkládá dluhopis na anuity (kupón) a bezkuponový dluhopis. Výnosová křivka anuit se zaměřuje na kuponovou část dluhopisu s využitím promptních výnosů. Hodnota anuitní (kuponové) části dluhopisu vychází ze vztahu: T

AT*   t 1

kde

T Ct  Ct Dt  Ct At 1  rst t  t 1

2.3

t zachycuje dobu splatnosti, C je kupón, rst promptní výnos dluhopisu s dobou splatnosti t, 1 je odpovídající diskontní faktor, Dt  (1  rst ) t T

AT   Dt . t 1

27

AT je spravedlivá cena anuity o velikosti 1 na T let a lze ji vyjádřit pomocí rovnice: AT 

 1  1 1  , rat  1  raT T 

2.4

kde raT je výnos T-leté anuity.

2.4.7 Valivá výnosová křivka Valivá výnosová křivka zachycuje závislost valivého výnosu na době splatnosti. Aby mohla být definována valivá výnosová křivka, je třeba vysvětlit pojem valivý výnos. Valivý výnos je možné získat vztahem: rrt 

d  PT 1 1 , Pt

2.5

kde rrt je jednoletá valivá výnosnost T letého dluhopisu, d je velikost kuponu, Pt je hrubá cena T letého dluhopisu, Pt-1 je hrubá cena T-1 letého dluhopisu se stejným kuponem d. (Blake, 1995, s. 152)

28

3 Konstrukce výnosové křivky Při konstrukci výnosové křivky je třeba zanést body, kde osa x udává dobu do splatnosti a osa y výnosnost. Obvykle není vhodné křivku sestrojit z bodů daných trhem. Výnosová křivka by měla být spojitá hladká křivka procházející body danými trhem nebo se k nim blížit. Křivku je třeba vyhladit a tím se zbavit ostrých extrémů. Pro vykreslení výnosových křivek existuje několik metod. Jedna taková metoda je bootstraping neboli metody postupného výpočtu nebo svépomocí. Princip spočívá na přepočítání výnosu z kuponových dluhopisů na odpovídající výnosy z bezkuponových dluhopisů. Obvykle se na trhu vyskytuje dostatečné množství kuponových dluhopisů, ale bezkuponové dluhopisy jsou většinou pouze pro kratší doby splatnosti, tady můžeme vidět uplatnění metody svépomocí. (Bureš, 2007, s. 14). Často užívanou metodou odhadu centrálními bankami, které zajímá hlavně tvar křivky, je Nelsonův-Siegelův model popřípadě jeho rozšíření v podobě Svenssonova modelu. Autoři metody si všimli, že tvary výnosových křivek bývají většinou grafickou podobou řešení diferenčních nebo diferenciálních rovnic. Svenssův model rozšiřuje Nielsův-Siegelův model o další parametry a zlepšuje možnosti modelu při prokládání dat. (Slavík, 2001, str. 597) Existuje mnoho dalších používaných metod, ale rozsah bakalářské práce mi nedovoluje se jim věnovat blíže.

3.1 Interpolace Ne vždy se podaří shromáždit všechna data a je potřeba některá data dopočítat. Často na trhu neexistuje dostatečné množství dluhopisů. Interpolační metody jsou vhodné, máme-li dluhopisy s různou dobou splatnosti, ale pro některé doby splatnosti nemáme potřebné hodnoty.

3.1.1 Lineární interpolace Jednou z nejsnadnějších metod konstrukce výnosové křivky je lineární interpolace. Metodu lze použít v případě, jsou-li známy výnosnosti pro odlišné splatnosti, ale potřebujeme dopočítat některé chybějící splatnosti.

29

Výpočet je podle vzorce: rtt  rt 0 

rtn  rt 0 tt  t0  , t n  t0

3.1

kde rti je výnos s dobou splatnosti i, ti je doba splatnosti. (Bureš, 2007, s. 16) Princip lineární interpolace zachycuje graf č.9.

Graf č. 9: Lineární interpolace (Zdroj: http://cs.wikipedia.org/wiki/Lineární_interpolace)

Například výpočet výnosnosti dluhopisu se splatností za 5 let, známe-li výnosnost pro 4letý dluhopis 5% p. a. a 7,5% p. a. pro 7letý, vypadá dosazením do vzorce 3.1 následovně:

r5  5 

7,5  5 5  4  5,83% 74

Jak je z grafu č. 9 patrné, hodnoty vypočtené touto metodou leží na úsečce spojující dva nejbližší známé body. Z metody vychází to, že je-li křivka rostoucí, pak mají i dopočítané výnosnosti rostoucí charakter a naopak je tomu u klesající křivky, což může vést ke zkreslení výsledku. Metoda se používá převážně pro svou jednoduchost a může být užitečná pro úvodní představu o datech.

3.1.2 Logaritmická interpolace Další interpolační metodou je logaritmická interpolace, kterou lze použít pro výpočet výnosnosti ležící mezi dvěma známými výnosnostmi.

30

Výpočet vypadá následovně: ln( df t )  n(df ni ) 

t  ni (ln(df n1 )  ln( df ni )) , ni 1  ni

3.2

kde df je diskontní faktor. (Choudhry, 2004, s. 108)

3.2 Aproximace výnosové křivka polynomem stupně N Další možností nalezení výnosové křivky je aproximace polynomu v čase. Všeobecná rovnice polynomu stupně N vypadá takto: rmi   0  1Ti   2Ti 2  ...   N Ti N  ui ,

3.3

kde rmi je výnos do splatnosti i-tého dluhopisu, Ti je doba do splatnosti dluhopisu i,

 i jsou koeficienty, u i je reziduální chyba. Koeficienty jsou zjišťovány pomocí minimalizace sumy čtverců reziduí

M

u

2 i

pro M dluhopisů.

i

Jak je patrné, tvar výnosové křivky závisí na stupni polynomu N. Zvolíme-li příliš vysoký stupeň polynomu, křivka bude procházet více body, ale může tomu tak být na úkor hladkosti křivky. (Blake, 1995, s. 157)

3.3 Konstrukce konkrétních výnosových křivek Ve zjednodušené podobě se budu věnovat sestrojení výnosové křivky jednak ze státních dluhopisů a jednak z dluhopisů emitovaných komerční bankou UniCredit Bank. Výnos do splatnosti jsem určila jako vnitřní výnosové procento z finančních toků dle následujícího vzorce:

TC   t

kde

CFt , 1  y t

3.4

TC je tržní cena dluhopisu,

CFt finanční tok v čase t,

t je počet období, kdy se dluhopis úročí, y vnitřní výnosové procento.

31

Pro výpočet hodnoty y jsem použila v Excelu funkci míra.výnosnosti( ; ). (Zmeškal, 2004, s. 48-52)

3.3.1 Sestrojení výnosové křivky státních dluhopisů Pro vytvoření výnosové křivky jsem použila státní dluhopisy obchodované na Pražské burze, kde jsem našla hodnoty potřebné k výpočtu výnosnosti kuponových dluhopisů se splatností od 2 let do 12 let s výjimkou dluhopisu se splatností 11 let. Pro dobu 3, 6, 9 měsíců a 1 rok jsem použila informace z internetových stránek ČNB o bezkuponových dluhopisech. Z těchto stránek jsem pro konstrukci převzala sazby pro počátek křivky a to diskontní a 2T Repo sazbu. Následující tabulka zachycuje požitá vstupní data: Dluhopis

Výnosnost (%)

Diskontní sazba 2T (5/2012) 1M 3M 6M 9M 1Y 2Y 3Y 4Y 5Y 6Y 7Y 8Y 9Y 10Y 11Y 12Y

0,25% 0,75% 0,86% 0,84% 1,05% 1,01% -

Kuponová Průměrná cena sazba (%) (% z nom.hod.) 3,70 2,75 3,40 6,95 4,00 4,60 5,00 3,75 3,85 4,70 5,70

101,00 100,16 100,44 100,00 99,00 99,60 99,70 93,00 100,33 95,00 103,99

Tabulka č. 1: Data pro výnosovou křivku státních dluhopisů

Výpočet výnosnosti dvouletého dluhopisu dle vzorce 3.4: CF1 TC  1  y  103,7 101  1  y  y  2,673% Pomocí vzorce 3.4 a funkce míra.výnosnosti (;) v Excelu jsem dopočítala zbývající výnosnosti. Poté jsem použila lineární interpolaci pro výpočet výnosnosti chybějícího dluhopisu se splatností 11 let.

32

Výpočet pomocí vzorce 3.1 vypadal následovně:

5,244  5,359 11  10  5,301% 12  10 Přehled výsledných výnosností zachycuje tabulka č. 2: r11  5,359 

Splatnost Diskontní sazba 2T (5/2012) 1M 3M 6M 9M 1Y 2Y 3Y 4Y 5Y 6Y 7Y 8Y 9Y 10Y 11Y 12Y

Výnosnost 0,25% 0,75% 0,86% 0,84% 1,05% 1,01% 2,673% 2,667% 3,244% 6,950% 4,226% 4,678% 5,052% 4,825% 3,806% 5,359% 5,301% 5,244%

Tabulka č. 2: Výnosnosti pro konstrukci výnosové křivky vládních dluhopisů

Pro zjištění tvaru křivky jsem použila v Excelu polynomickou spojnici trendu. Krátký konec grafu určují sazby ČNB, a to diskontní sazba 0,25% a 2T Repo sazba 0,75%. Křivka má rostoucí charakter s výjimkou období mezi 6 a 10, kdy je mírně klesající. Křivku výrazně ovlivňují lokální extrémy jako například maximum v 4Y s hodnotou 6,95%.

Výnosnost (%)

Výnosová křivka z vládních dluhopisů 8% 6% 4% 2% 0% 0

2

4

6

8

Splatnost (roky) Graf č. 10: Výnosová křivka vládních dluhopisů (Zdroj: vlastní nákres)

33

10

12

3.3.2 Výnosová křivka dluhopisů UniCredit Bank Komerční banka UniCredit bank v současné době emituje třetí sérii dluhopisu MAXIM. Dluhopisy řady MAXIM III budou emitovány 15. 6. 2012 a zájemci si mohou vybrat dobu splatnosti v rozsahu 2 až 5 let, kuponovou i bezkuponovou variantu. Sestrojení výnosové křivky dluhopisů s kuponem V tabulce č. 3 jsou vstupní data použita pro konstrukci výnosové křivky dluhopisu s kuponem. Splatnost roky roky t 2 3 4 5

Tržní cena Kuponová obligace sazba TC (% p.a.) 100,96 2,5 101,58 3,0 102,17 3,25 102,81 3,5

Tabulka č. 3: Tržní ceny kuponové sazby dluhopisu MAXIM

Pomocí vzorce 3.4 byly dopočítány spotové výnosnosti pro jednotlivé splatnosti a přes vzorec 1.7 okamžité forwardové výnosnosti. Výsledky zachycuje tabulka č. 4. Dvouletou forwardovou výnosnost položíme rovnu spotové. Pro ostatní forwardové výnosnosti je použit vzorec 1.7. Například výpočet sazby platné od druhého do třetího roku vypadá následovně: 3  1  0,0245 ft  1  0,02012

1,02453 1   1  0,03357  3,357% 1,02012

Ostatní sazby byly vypočteny obdobně a jsou zachyceny v tabulce č. 4 a jejich grafické znázornění přes výnosové křivky je v grafu č. 11. Splatnost (roky) 2 3 4 5

Spotová Forwardová výnosnost výnosnost 2,01% 2,01% 2,45% 3,34% 2,67% 3,34% 2,89% 3,76%

Tabulka č. 4 Spotové a forwardové sazby dluhopisu MAXIM

34

Výnosové křivky MAXIM 4,0% 3,5%

Výnosnost

3,0%

Spotová výnosová křivka

2,5% 2,0%

Forwardová výnosová křivka

1,5% 1,0% 0,5% 0,0% 2

2,5

3 3,5 4 Splatnost v letech

4,5

5

Graf č. 11: Výnosové křivky dluhopisů MAXIM (Zdroj: Vlastní nákres)

Z grafu č. 11 je patrné, že spotová i forwardová křivka je rostoucí. Z výsledku je mimo jiné možné vyčíst například to, že spotová sazba 2,67% dává průměrné roční zhodnocení za čtyři roky. Roční výnosnost v budoucnu udává například forwardová sazba 3,34%, která udává výnosnost od třetího do čtvrtého roku. Je taký patrný mnohem větší nárůst sazby mezi 2 a 3 rokem oproti ostatním změnám. Sestrojení výnosové křivky bezkuponových dluhopisů Obchodní banka UniCredit Bank kromě kuponových dluhopisů bude zároveň emitovat i bezkuponové pod názvem MAXIM Zero se splatností dva až pět let. Přehled tržních cen dluhopisů pro jednotlivé splatnosti jsou v tabulce č. 5. Splatnost Roky T 2 3 4 5

Tržní cena Obligace TC 95,79 92,62 89,54 86,24

Tabulka č. 5: Tržní ceny dluhopisů MAXIM Zero

Výpočet spotových a forwardových sazeb je stejný jako v případě kuponové varianty. Výsledky jsou shrnuty v tabulce č. 6 a zachyceny v grafu č. 12. Splatnost 2 3 4 5

Spotová Forwardová výnosnost výnosnost 2,17% 2,17% 2,59% 3,42% 2,80% 3,44% 3,00% 3,83%

Tabulka č. 6: Spotové a forwardové sazby dluhopisu MAXIM Zero

35

Výnosové křivky MAXIM Zero 4,5% 4,0%

Výnosnost

3,5%

Spotový výnosová křivka

3,0% 2,5%

Forwardová výnosová křivka

2,0% 1,5% 1,0% 0,5% 0,0% 2

3 4 Splatnost v letech

5

Graf č. 12: Výnosové křivky dluhopisů MAXIM Zero (Zdroj: Vlastní nákres)

Křivka má opět dle předpokladů rostoucí sklon. Porovnání výnosových křivek Pro porovnání jsem do jednoho grafu č. 13 zanesla spotové výnosové křivky dluhopisů MAXIM a MAXIM Zero. Obě křivky jsou rostoucí a jejich průběh je velice podobný. Bezkuponové dluhopisy nenesou reinvestiční riziko, jejich majitelé jsou odměněni za to, že během životnosti dluhopisu neinkasují kupon. Tento fakt dokládá výše postavená výnosová křivka dluhopisů MAXIM Zero oproti dluhopisům MAXIM. Výnosové křivky MAXIM a MAXIM Zero 3,5%

Výnosnost

3,0% 2,5% 2,0%

MAXIM Zero

1,5%

MAXIM

1,0% 0,5% 0,0% 2

3

4

5

Splatnost (v letech)

Graf č. 13: Spotové výnosové křivky dluhopisů MAXIM a MAXIM Zero (Zdroj: Vlastní nákres)

36

4 Využití výnosové křivky Výnosová křivka v sobě nese spoustu informací. Můžeme z ní vyčíst poznatky o celém trhu a nese v sobě údaje o vztahu mezi výnosností a různými dobami splatnosti v konkrétním okamžiku. Je zní také možné vyčíst profil rizika. Na využití výnosové křivky budu nyní nahlížet z pohledu centrální banky, emitentů a investorů. Mimo jiné z odpovědi na dotaz na stránkách ČNB vyplývá, že výnosové křivky jsou využívány jako nezbytný parametr při oceňování technických rezerv pojišťoven.

4.1 Využití výnosové křivky centrální bankou Centrální banky využívají výnosové křivky jednak při emisích nových státních dluhopisů a zároveň z ní čerpají informace pro stanovení odhadu inflace a úrokových měr. Při emisi nových vládních dluhopisů jako monetárních nástrojů pro získání kapitálů nebo pokud trh nabízí levnou možnost získání peněz. Nové emise státních dluhopisů jsou cíleny obzvláště na splatnosti, které nejsou obsazeny. Tyto hodnoty bývají při konstrukci doplněny pomocí interpolace a na základě zjištěných dat stanoveny parametry nové emise. Obvykle je volena výnosnost vyšší než odhad, aby byla stimulována poptávka tvořená investory, což vede ke stlačení nákladů emise. (Šturc, 2002, str. 31-35) Ve svých zprávách o inflaci ČNB konstruuje a vyhodnocuje několik typů výnosových křivek, hledá příčiny jejich změn a porovnává je s vývojem ve světě. Zkoumá také, jaké vlivy působily na výnosnosti. Pro analýzu vývoje trendu krátkodobých sazeb konstruuje výnosovou křivku sazeb PIBOR. Dále ČNB sleduje i vývoj dlouhodobých úrokových sazeb s pomocí IRS (interest rate swap) a výnosů dluhopisů.

4.2 Využití výnosové křivky investory Investor volí mezi různými splatnostmi. Rozhodne-li se pro krátkodobé dluhopisy, vznikne mu problém v případě poklesu sazeb při reinvestování. Pokud zvolí investor dlouhodobější instrument při vzrůstu sazeb, nese riziko spojené se snížením cen, což sníží jeho celkový výnos, rozhodne-li se dluhopis prodat před splatností. (Dvořák, Radová, Málek, 2011, str. 217)

37

Možnosti využití výnosové křivky pro investory jsou poměrně široké a dobrá aplikace může vést k realizaci vyššího zisku. Při pohledu na výnosovou křivku z horizontálního pohledu je možné porovnat dluhopisy s různou dobou splatnosti. Na základě analýzy jednotlivých hodnot je možné posoudit, která splatnost bude přinášet nejvyšší zisk. Dalším možným využitím je porovnání dluhopisů se stejnou splatností. Pokud jsou dluhopisy podhodnoceny, zjednodušeně pokud leží pod výnosovou křivkou, je třeba zvážit případný prodej a naopak, leží-li nad výnosovou křivkou, jejich koupi. Z výnosové křivky může investor vyčíst i očekávání trhu a mimo jiné i očekávanou inflaci. Například klesající výnosová křivka může poukazovat na to, že poroste výnosnost krátkodobých instrumentů nebo je již v současné době sazba vysoká. Oproti tomu typický rostoucí tvar výnosové křivky v sobě zahrnuje očekávání inflace a rostoucí riziko spojené s delší splatností. Dalším možným využitím je změna tvaru křivky. Pokud se rostoucí výnosová křivka změní nejistotou účastníků trhu na plochou, je hypoteticky možné zvýšit celkový výnos z investice.

4.3 Využití výnosové křivky pro emitenty Na základě výnosové křivky lze odvodit očekávání trhu o ceně peněz do doby splatnosti. Z výnosové křivky státních dluhopisů mohou emitenti vyčíst přibližnou úrokovou sazbu pro nové emise. Obvykle se firemní dluhopisy považují za rizikovější a investoři by tedy měli být za riziko odměněni vyšší úrokovou sazbou. Například je-li výnosnost obchodovaných státních dluhopisů se splatností za 5 let 6% a potřebuje-li podnik získat kapitál na 5 let, měl by nastavit výnosnost na 6% a více. Nové nevládní dluhopisy by se měly v grafu nacházet v oblasti nad výnosovou křivkou státních dluhopisů se stejným kuponem a stejnou dobou splatnosti.

38

Závěr Ústředním tématem mé bakalářské práce byly výnosové křivky, s cílem zanalyzovat možnosti jejich využití a zabývala jsem se i teorii spojenou s výnosovými křivkami. Pro naplnění tohoto cíle jsem nejdříve charakterizovala dluhopisy a některé jejich parametry. Zabývala jsem se způsobem ohodnocování. Vymezila jsem pojmy jako cena dluhopisu, výnosnost a splatnost. Následující kapitola byla již věnována výnosovým křivkám. Kromě definice jsem se zabývala tvary výnosových křivek a jejich zdůvodnění. Základní tvary plochá, rostoucí, klesající a vyboulená, jejichž zdůvodnění je možné najít v teoriích jako teorie očekávání, teorie preference likvidity, teorie segmentace a teorie preferovaného umístění. V praxi se používá hned několik typů výnosových křivek, v této práci jsou stručně popsány výnosová křivka z výnosu do splatnosti, spotová výnosová křivka, forwardová výnosová křivka atd. Existuje mnoho metod konstrukce výnosových křivek, jejichž nastínění jsem zahrnula v rámci třetí kapitoly, kde se taky věnuji konstrukci konkrétních výnosových křivek. Jednak se zabývám výnosovou křivkou vládních dluhopisů, jednak spotovou a forwardovou výnosovou křivkou dluhopisů emitovaných bankou UniCredit Bank. Dále jsem se věnovala možností využití informací výnosových křivek z pohledu emitentů, investorů a státních institucí jako například Ministerstvo financí nebo ČNB.

Mimo jiné

výnosové křivky využívají pojišťovny při oceňování technických rezerv. Nebylo možné se z důvodu rozsahu bakalářské práce hlouběji věnovat tématu a zacházet do hlubších podrobností a podrobněji téma zkoumat z praktického hlediska. Rozšíření by mně zajímalo a chtěla bych se mu i nadále věnovat třeba ve formě diplomové práce.

39

Použitá literatura BLAKE, David, 1995. Analýza finančních trhů. Vyd. 1. Praha: Grada Publishing. ISBN 80-7169-201-8. BORKOVEC, Petr, PTÁČEK, Roman, TOMAN, Petr, 2003. Finanční trhy – cvičení. Vyd. 1. Brno: Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně. ISBN 80-7157-540-2. BROWN, Stephen J., ELTON, Edwin J., GOETZMANN, William N., GRUBER, Martin J., 2011. Modern Portfolio Theory and Investment Analysis. Vyd. 8. Hoboken: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-50584-7. BUDINSKÝ, Petr, ZÁŠKODNÝ, Přemysl, 2003. Finanční a investiční matematika. Vyd. 1. Praha: PrintActive. ISBN 80-86754-11-1. BUREŠ, Jan, Úvod do problematiky výnosových křivek.[online].[cit. 2011-09-02]. Dostupné na http://ksp.vse.cz/KHP/WCMS_KHP.nsf/files/5HP501_vynosove_krivky_pdf_zs07/$file/5HP5 01_vynosove_krivky_pdf_zs07.pdf . CHOUDHRY, Moorad, 2004. Analysing and intepreting the yield curve. Vyd. 1. New York: John While & Sons. ISBN 0-470-82125-6. CIPRA, Tomáš, 2000. Matematika cenných papírů. Vyd. 1. Praha: HZ Praha. ISBN 80-86009-35-1. CIPRA, Tomáš, 2000. Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou. Vyd. 1. Praha: HZ Praha. ISBN 80-9019118-0-0. DVOŘÁK, Petr, RADOVÁ, Jarmila, 1993. Finanční matematika pro každého. Praha: Grada. ISBN 80-85623-27-7. DVOŘÁK, Petr, MÁLEK, Jiří, RADOVÁ, Jarmila, 2009. Finanční matematika pro každého. Vyd. 7. Praha: GRADA Publishing. ISBN 978-80-247-3291-6. GAZDA, Jan, LIŠKA, Václav, 2004. Kapitálové trhy a kolektivní investování. Vyd. 1. Praha: Professional Publishing. ISBN 808-64-196-30. HLADÍK, René, 2003. Trhy cenných papírů. Vyd. 1. Ústí nad Labem: RENECO. ISBN 80-86563-06-5. HVOZDECKÁ, J. Analýza výnosových křivek dluhopisů s nulovým kuponem. Brno, 2010. Diplomová práce. Ekonomicko-správní fakulta Masarykovy univerzity. Vedoucí diplomové práce Boris Šturc. JÍLEK, Josef, 2009. Finanční trhy a investování. Vyd. 1. Praha: GRADA Publishing. ISBN 978-80-247-1653-4. KOHOUT, Pavel, 2008. Investiční strategie pro třetí tisíciletí. 5. přepracované a rozšířené vydání: Praha: Grada. ISBN 978-80-247-2559-8.

40

REJNUŠ, Oldřich, 2007. Peněžní ekonomie. Vyd. 3. Brno: Mendelova zemědělská a lesnická univerzita. ISBN 978-80-214-3466-0. SCHMIED, Radek a kol., 1999. Základy finanční a pojistné matematiky. Vyd. 1. Brno: Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně. ISBN 80-7157-359-0. SHARPE, William ISBN 80-856-0547-3.

F.

1994.

Investici.

Vyd.

4.

Praha:

Victoria

Publishing.

SLAVÍK, Michal, Odhad časové struktury úrokových sazeb z cen domácích dluhopisů. Finance a úvěr 11. Ročník 51. Vydala Univerzita Karlova v Praze [online].[cit. 2011-05-01]. Dostupné na http://journal.fsv.cuni.cz/storage/776_200111ms.pdf. SVOBODOVÁ, M. Durace a její využití při imunizaci dluhopisového portfolia. Olomouc, 2010. Bakalářská práce. Přírodovědecká fakulta Univerzity Palackého v Olomouci. Vedoucí bakalářské práce Eva Bohanesová. ŠTURC, Boris, 2002. Oceňování obligací a obchodování s obligacemi. Vyd. 2. Brno: Masarykova univerzita Brno. ISBN 80-210-3014-3. ZAPLETAL, A. Výnosová křivka s nulovým kuponem. Brno, 2010. Bakalářská práce. Ekonomicko-správní fakulta Masarykovy univerzity. Vedoucí bakalářské práce Boris Šturc. ZMEŠKAL, Zdeněk a kol., 2004. Finanční modely. Vyd. 2. Praha: EKOPRESS. ISBN 80-86119-87-4. Lineární interpolace. In: Wikipedie: otevřená encyklopedie [online], poslední modifikace 6. 2. 2012.[cit. 2012-05-03]. Dostupné na: http://cs.wikipedia.org/wiki/Line%C3%A1rn%C3%AD_interpolace KEJVAL, Daniel. Burza cenných papírů Praha [online]. Poslední modifikace 25. 5. 2012 [cit. 2012-05-25]. Dostupné na: . Kurzovní lístek UCB dluhopisů MAXIM [online]. Poslední modifikace 25. 5. 2012 [cit. 201205-25]. Dostupné na: .

41

Seznam tabulek: Tabulka č. 1: Data pro výnosovou křivku státních dluhopisů…………………………32 Tabulka č. 2: Výnosnosti pro konstrukci výnosové křivky z vládních dluhopisů……..33 Tabulka č. 3: Tržní ceny a kuponové sazby dluhopisů MAXIM………………………34 Tabulka č. 4: Spotové a forwardové sazby dluhopisu MAXIM………………………..34 Tabulka č. 5: Tržní ceny dluhopisů MAXIM Zero ……………………………………35 Tabulka č. 6: Spotové a forwardové sazby dluhopisu MAXIM Zero……...…………..35

Seznam grafů: Graf č. 1: Tvar výnosové křivky……………………………………………………..…18 Graf č. 2: Rostoucí výnosová křivka……………………………………………….......19 Graf č. 3: Klesající výnosová křivka…………………………………………………...19 Graf č. 4: Základní tvary výnosových křivek…………………………………………..20 Graf č. 5: Vyboulená výnosová křivka………………………………………………....23 Graf č. 6: Výnosová křivka jako výsledek segmentační teorie……………...…………23 Graf č. 7: Vztah mezi forwardovou křivkou, výnosovou křivkou kuponového a bezkuponového dluhopisu……………………………………………………………25 Graf č. 8: Spotové a forwardové výnosové křivky……………………………………..27 Graf č. 9: Lineární interpolace………………………………………………………….30 Graf č. 10: Výnosová křivka vládních dluhopisů………………………………………33 Graf č. 11: Výnosové křivky dluhopisů MAXIM……………………………………...35 Graf č. 12: Výnosové křivky dluhopisů MAXIM Zero………………………………...35 Graf č. 12: Výnosová křivku dluhopisu MAXIM Zero………………………………...35

42