Werkspoorbrug, Utrecht (2)
Vortex-excitatie trillingen getemd Tijdens de hevige najaarswinden van 2002 bleek dat er ernstige trillingen optraden in de diagonalen van de net ingevaren Werkspoorbrug bij Utrecht. prof. dr. ir. A.C.W.M. Vrouwenvelder Ton Vrouwenvelder is hoogleraar bij de sectie Structural Mechanics aan de Faculteit der Civiele Techniek en Aardwetenschappen van de TU Delft en werkzaam bij TNO Bouw in Delft
prof. ir. W. Hoeckman
Op grond van de bestaande regelgeving was dit niet verwacht. Omdat de trillingen een onaanvaardbare vermoeiingsbelasting veroorzaakten moest zo snel mogelijk een oplossing worden bedacht. Door de diagonalen tijdelijk met touwen af te spannen aan het brugdek kon tijd worden gewonnen voor een uitgebreidere analyse van het probleem. In dit artikel wordt eerst de berekening aan de hand van bestaande regelgeving nagelopen. De resultaten zijn vervolgens vergeleken met proefnemingen in de praktijk. Aangezien de
Wim Hoeckman is werkzaam bij Victor Buyck Steel Construction in Eeklo (B) en de Vrije Universiteit Brussel
uitkomsten een grote discrepantie vertonen, worden vervolgens twee alter-
Op 22 oktober 2002, tijdens hevige najaarswinden en amper twee maanden na het invaren, werd vastgesteld dat met name de langste diagonalen van de Werkspoorbrug aan het trillen waren. Een onderzoek, uitgevoerd door TNO Bouw in Delft, wees uit dat het om Vortexexcitatie trillingen ging, opgewekt door Von Karmanwervels.
bij het KNMI leerde dat de gemiddelde windsnelheid tijdens de najaarswind maximaal ongeveer 10 m/s was, berekend op een hoogte van 30 m met een lokale ruwheidshoogte van 0,1 m. Wegens het zogenaamde lock-in effect kan de loslaatfrequentie de eigenfrequentie blijven volgen tot een windsnelheid die 1,5 à 2 keer zo hoog kan liggen[2, 4, 10]. Hiermee lag de optredende windsnelheid binnen het bereik van de kritieke windsnelheid. De waargenomen trillingen bevestigden dus de theorie.
Bestaande regelgeving
Op grond van de bestaande regelgeving waren die trillingen niet verwacht. De voorschriften DS 804 (2000) van de Deutsche Bahn geven bijvoorbeeld aan dat er geen schadelijke, door wind opgewekte, trillingen van hangers (met cirkelvormige doorsnede) van boogbruggen optreden zolang l/D ≤ 200[1]. Aangezien de langste diagonaal van de Werkspoorbrug een lengte heeft van l = 35 m en een diameter van D = 0,394 m (l/D = 89) is ruimschoots aan die voorwaarde voldaan. Von Karmanwervels en eigenfrequentietrillingen veroorzaakt door Von Karmanwervels treden op wanneer de zogenaamde loslaatfrequentie flos van die wervels overeenstemt met de eigenfrequentie van de buisdiagonaal. Dit gebeurt bij een bepaalde kritieke windsnelheid vkr. In het kader Eigenfrequentie is de berekening van deze waarden uitgebreid beschreven. Hieruit volgt dat de langste diagonaal een eigenfrequentie heeft van 2,48 Hz met een bijbehorende kritieke windsnelheid vkr = 4,9 m/s. Navraag 18
BOUWEN MET STAAL 176 FEBRUARI 2004
natieve methoden voorgesteld om te berekenen of trillingen zullen optreden. Deze blijken veel beter overeen te komen met de proefnemingen.
Dempingsmaat
Er ontstaat vermoeiingsschade aan de constructie wanneer de amplitude van de trillingen te groot wordt. Deze is in belangrijke mate afhankelijk van het getal van Scruton Sc, een maat voor de structurele demping, zie kader. Dit getal staat via (8) in relatie tot de dempingsmaat δs die bij geringe waarden gelijk is aan het logarithmisch decrement Λ gedeeld door 2π. De verschillende normen geven uiteenlopende waarden voor deze grootheden. De NEN 6788 is onduidelijk over de omgang met de dwarse Vortex-excitatie trillingen. Indien de aldaar vermelde dempingsmaat δs = 0,005 bij de berekening van het Scrutongetal wordt toegepast, dan geldt voor de langste diagonaal:
Sc =
2 2π·0,005 244,37 1,25 0,394
2
= 79
Met een dempingsmaat δs zoals die wordt
voorgeschreven door de Europese en Duitse normen van respectievelijk 0,0032 en 0,0025 vindt men Sc = 50 en Sc = 40. Volgens Dyrbye en Hansen treedt geen echte opslingering door wervels meer op indien Sc > 20[2]. Indien Sc < 10, dan is het risico ervan zeer uitgesproken. Dit wordt bevestigd door Cremona en Foucriat[13]. Die stellen overigens ook, weliswaar voor tuien, dat de opgewekte trillingen zo klein zijn dat er geen corrigerende maatregelen nodig zijn zolang Sc > 15[13]. Ook volgens de CICIND model code (voor schoorstenen) zijn de dwarstrillingen klein genoeg om geen maatregelen tegen Vortex-excitatie te nemen indien Sc > 15 à 20[9]. Voor Sc < 5 wordt gesteld dat de dwarse trillingen zeer hevig kunnen zijn en dat daarom dempende maatregelen verplicht zijn. Wanneer 5 < Sc < 15 wordt het gebruik van de draagconstructie toegestaan op voorwaarde dat ze niet zal lijden onder vermoeiingsschade. Alle in de regelgevende literatuur voorgeschreven dempingsmaten leveren dus een voldoende groot getal van Scruton op om te kunnen besluiten dat er geen gevaar voor dwarstrillingen bestaat. Het TNO onderzoek wees tevens uit dat de diagonalen niet via aanstoting van het brugdek konden worden geëxciteerd omdat de eigenfrequenties van brugdek en diagonaal voldoende ver uit elkaar liggen. Ook konden zogenaamde rain-wind induced vibrations worden uitgesloten.
Von Karmanwervels
Eigenfrequentie
De loslaatfrequentie flos van de Von Karman-
De eerste eigenfrequentie f [Hz] van een
wervels wordt gegeven door bijvoorbeeld
aan een normaalkracht onderworpen staaf
Dyrbye en Hansen[2]: vSt f los = D
(of tui) is: (1)
Hierin is: v
de windsnelheid [m/s]
D
de diameter van de buisdiagonaal
St
• in het geval van scharnierende uiteinden: π N EI (3) f= 1+ 2 F eul μ4
(in dit geval 0,394 m)
• in het geval van ingeklemde uiteinden: 22,4 N EI (4) f= 1+ 2π F eul μ4
het getal van Strouhal; voor cirkel-
Hierin is:
vormige doorsneden is St = 0,2[3]
l
de lengte van de staaf [m]
E
de elasticiteitsmodulus van staal (210·106 kN/m2)
Wanneer de loslaatfrequentie overeenstemt met de eigenfrequentie van de buisdiago-
I
het traagheidsmoment [m4]
naal treden trillingen op die dwars op de
µ
de massa van de diagonaal per een-
windrichting staan. Deze worden veroor-
heidslengte [kg/m]
zaakt door Von Karmanwervels en komen
N
de aanwezige trekkracht in diagonaal
overeen met resonantie. Dit gebeurt bij een kritieke windsnelheid vkr, bepaald door: v kr =
(trek is positief) [kN] Feul de kritieke Eulerse knikkracht voor de diagonaal (bij scharnieren π2EI/l2, bij
f losD
inklemmingen 4π2EI/l2)
(2)
St
Indien er geen normaalkracht aanwezig is (N = 0), dan valt de laatste wortelterm weg en worden beide formules vereenvoudigd tot: π EI (5) f= 2 μ4 voor scharnierende uiteinden en 22,4 EI f= 2π μ4
Experimenteel onderzoek
Op 20 december 2002, twee maanden nadat de trillingen voor het eerst werden vastgesteld, werd een serie metingen uitgevoerd met de bedoeling de eigenfrequenties en de demping van de diagonalen experimenteel te bepalen[14]. Daartoe werd excitatie opgewekt door middel van het aanspannen met een trekkabel en het loslaten via een sliphaak. De kabel is in het midden loodrecht op de diagonaal aangebracht en met een kracht van zo’n 2 kN afgespannen aan het brugdek. De uitwijking voor het loslaten was daardoor ongeveer 4 mm. Uit bestudering van het uitdempingsgedrag van de langste diagonaal en het spectrum blijkt dat er hoofdzakelijk sprake is van een beweging met een frequentie van f = 2,5 Hz, wat de theoretische berekening (f = 2,48 Hz) zonder meer bevestigt. Er wordt opgemerkt dat er ook hogere modi van ongeveer 12 Hz en 26 Hz actief zijn, die voor enige ‘verlevendiging’ in het signaal zorgen. Uit het snelheidssignaal kan de werkelijke dempingsmaat worden berekend. In het kader Dempingsmaat is dit nader toegelicht. Deze blijkt ongeveer vijfmaal zo klein te zijn als de waarde die volgens NEN 6788 moet worden toegepast en driemaal zo klein als de ENV 1991 voorschrijft (δs = 0,0011 in plaats van respectievelijke 0,005 en 0,0032). Hierbij hoort ook een veel lager Scrutongetal, namelijk Sc = 17.
(6)
voor ingeklemde uiteinden.
Het getal van Scruton
Als de buigstijfheid verwaarloosbaar is
Het Scrutongetal is een maat voor de struc-
(snaareffect), dan kan men (3) vereenvoudigen
turele demping en is gedefinieerd als:
tot:
Sc =
2 2πδ s ρD
μ
2
f=
(8)
1 2
N μ
(7)
2
De buisdiagonalen zijn aan de boog en
Hierin is:
de hoofdligger verbonden middels stijve,
δs
dempingsmaat constructie [-]
gelaste verbindingen die zich gedragen als
ρ
de dichtheid van lucht (1,25 kg/m3)
inklemmingen. De algemene berekening
De dempingsmaat δs mag niet worden
van de brug bevestigt dit en laat toe de
verward met het eveneens vaak gebruikte
rekenkundige lengte l tussen twee theore-
logaritmisch decrement Λ van de constructie.
tische inklemmingspunten te bepalen. Zo
Voor geringe dempingsmaten is Λ=2πδs.
kunnen we bijvoorbeeld de eerste eigenfrequentie berekenen voor de langste dia-
Volgens NEN 6788 §12.4.2 moet voor stalen
gonaal, waarvan de eigenschappen zijn:
bruggen δs = 0,005 worden aangehouden[5]. Daarentegen bepaalt ENV 1991-2-4 C.4.5
Buisprofiel CHS 394x27 in S355, Lengte
dat voor stalen gelaste bruggen Λ=0,02
l = 35 m, Doorsnede A = 311,30·10-4 m2,
geldt, wat overeenkomt met δs=0,0032[3].
Massa per eenheidslengte μ = 244,37 kg/m,
De Belgische (wind)norm NBN B 03-002-2
Traagheidsmoment I = 5,2695·10-4 m4,
Tabel 3 stelt eveneens Λ=0,02 voor gelaste
Normaalkracht (trek) onder eigen gewicht
staalconstructies, waarbij wordt aangete-
N = 2.148 kN en Feul = 3.566 kN
kend dat die waarde met 50 procent mag
Toepassing van (4) levert dan als eerste
worden verhoogd voor berekeningen in
eigenfrequentie f = 2,48 Hz. Door ook (6)
bezwijkgrenstoestand[6]. De Duitse normen
en (7) te berekenen kan worden aangetoond
DIN 4131 (antennes) en DIN 4133 (schoor-
dat zowel het aandeel van de buigstijfheid
stenen) schrijven bij gelaste buizen Λ=0,015
als dat van de normaalkracht belangrijk zijn.
(of δs=0,0025) voor[7, 8].
Dit is bijvoorbeeld niet het geval bij zeer lange kabels of tuien, waar meestal alleen de normaalkracht bepalend is.
FEBRUARI 2004 BOUWEN MET STAAL 176
19
Figuur 1. Fundamentele
Bepalen van de dempingsmaat
buigingsmode.
Uit praktijkproeven zijn de volgende conclusies te trekken. De uitdempende omhullende van een één-massa-veersysteem wordt gegeven door: (9)
u = u 0exp –2πfδ st
Hierin is: Figuur 2.
t[s]: de tijd vanaf het loslaten
Uitdempingsgedrag van diagonaal 7 (zuid) in de richting van de kracht
De raaklijn vanuit t = 0 wordt gegeven door:
(snelheidssignalen op verschillende
u = u 0 1 – 2πfδ st
(10)
tijdschalen).
De dempingsmaat kan dan worden berekend als: δ s = 1 / 2πft 0
(11)
Hierin is to het tijdstip waarop de raaklijn de nullijn snijdt, met andere woorden het moment waarop de trilling is opgehouden. Uit de praktijkproeven is afgeleid dat to = 58s. Uiteindelijk wordt gevonden (figuur 2): δs = 1/(2π2,5·58) = 0,0011
Dit geeft aan dat de diagonalen zich in de transitiezone bevinden van al dan niet gaan trillen.
dwarsbelasting gelijk aan de bij de kritieke windsnelheid optredende langswindbelasting vermenigvuldigd met een liftcoëfficiënt CL[10]. Hij toont dat voor trillingsamplituden tot circa Analyse 0,1·D de liftcoëfficiënt nagenoeg lineair toeNu is gebleken dat de eigenfrequentie van de neemt met de amplitude en verder afhankelijk diagonalen in een gebied ligt waarbij Vortex is van het getal van Reynolds. Op basis daarexcitatie trillingen ontstaan en de structurele van kan men uit die figuur afleiden dat, voor demping niet voldoende is om dit te stoppen, moet bepaald worden of hierdoor vermoeiings- Re=1,29·105, de best passende rechte gegeven schade kan worden veroorzaakt in de conwordt door : structie. Dit gebeurt aan de hand van de bere- CL = 0,1 + 3 ymax/D (18) kende kracht die de trilling op de constructie uitoefent, die op zijn beurt afhankelijk is van Volgens Rucheweyh kan CL voor kleine waarden de maximale zijdelingse verplaatsing (amplivan ymax/D oplopen tot 0,7 voor Re < 2·105. tude). Voor het geval van aan beide uiteinden Voor hogere waarden van Re is CL kleiner. De verbonden staafvormige constructies, is weinig dwarswindbelasting is dan: literatuur voorhanden om de belasting die met q = 0,5ρv 2krDC L (19) de dwarse verplaatsingen gepaard gaat, te bepalen. Voor uitkragende constructies zoals werkend over een bepaalde effectieve lengte. schoorstenen is er meer informatie beschikMet bijvoorbeeld CL = 0,50 en Le = 0,33l baar. Eurocode 1 geeft een berekeningsmethode vindt men dan qstatisch = 3,0 N/m en ystatisch = voor zowel de amplitude van de trilling als de 6,4·10-2 mm kracht die daardoor op de constructie wordt De amplitude van de dwarstrilling wordt gegeuitgeoefend, zie kader Krachten en verplaatsingen. ven door bijvoorbeeld Petersen[4]: Met de daar gegeven formules vindt men ymax ymax = ydyn = ystatisch/2δs (20) = 5,8 mm. In werkelijkheid werden echter veel grotere waarden geconstateerd, namelijk 25 tot en de daarmee overeenkomende dynamische 50 mm. Er zijn twee mogelijkheden om tot een belasting: betere theoretische benadering te komen. qdyn = qstatisch/2δs (21) Een eerste benadering
Zoals door Rucheweyh is beschreven, is de 20
BOUWEN MET STAAL 176 FEBRUARI 2004
wat tenslotte qdyn = 1.365 N/m en ymax = 29 mm oplevert. Volgens deze gedachtengang
vindt men dus langs theoretische weg een amplitude die zeer goed overeenstemt met de waargenomen amplitude. Tweede benadering
Indien de rekenregels van Eurocode 1 toegepast worden, doch met Le = 0,33l, dan vindt men Kw = 0,61 en daarmee :
y max = 0,61·0,11·0,7·
1 0,2
2
·
1 D = 27,2 mm 17
wat een waarde van dezelfde orde van grootte oplevert. Met (17) wordt de dwarsbelasting dan F = 1.640φ1 N/m. Indien die belasting geplaatst wordt op het middelste derdedeel van de diagonaal (Le = 11,7 m), waarbij φ1 uitgemiddeld wordt over de lengte Le, dan is de uniforme belasting in dat deel q = 1.480 N/m, wat vrij goed overeenkomt met de in de eerste benadering gevonden waarde. Een goede benadering van de amplitude wordt dus gevonden door toepassing van (12) mits Le = 0,33l centrisch is geplaatst. De Belgische norm ondersteunt die aanname[6]. De met die amplitude gepaard gaande belastingseffecten (buigend moment) kunnen met voldoende zekerheid worden bepaald door een equivalente gelijkmatig verdeelde belasting q te laten aangrijpen op dit middelste derdedeel van de overspanning. Dit is in vrij goede overeenstemming met (17).
Krachten en verplaatsingen bij Vortex-excitatie
Vermoeiingsberekening
Eurocode 1 Deel 2.4 Bijlage C is volledig gewijd aan Vortex-excitatie en andere aëro-elastische
Het aantal spanningswisselingen dat voor
effecten[3]. In paragraaf C.2.4 bepaalt formule (C.4) de maximale zijdelingse verplaatsing (ampli-
de vermoeiingsberekening in rekening moet
tude) van de dwarstrilling bij de kritieke windsnelheid vkr: y max 1 (12) = K wK·c lat 2 D St Sc
worden gebracht is volgens Eurocode 1 deel 2.4[3]: 2
7
N = 6,3·10 T·f·ε 0 v kr/v 0 exp – v kr/v 0
2
(22)
Hierin is: D
de diameter [m]
Hierin is:
Kw
de effectieve correlatiefactor voor de lengte [-]
T
K
de vormfactor met betrekking tot de buigingsmodus die bij de trillingsvorm hoort [-]
clat
de zijdelingse liftcoëfficiënt [-]
Sc
het getal van Scruton [-]
de levensduur van de constructie [jaren]
ε0
een factor die rekening houdt met de bandbreedte van de Vortex resonantie (bij benadering stelt
Volgens ENV 1991
[3]
is de zijdelingse liftcoëfficiënt clat enkel afhankelijk van het getal van
v0
Reynolds zolang de kritieke windsnelheid vkr ≤ 0,83 maal de gemiddelde windsnelheid vm
[3]
ε0 = 0,3)
= vm/5 met vm gelijk aan de basiswindsnelheid (hier vm = 31,4 m/s)
(wat hier het geval is), volgens: Voor T = 100 jaar is gelijk aan N = 15,6·108.
(13) Hierin is:
Praktisch gesproken betekent dit dat de
Re
getal van Reynolds
diagonalen gedurende ongeveer 20 procent
ν
de kinematische viscositeit van lucht (1,5·10-5 m2/s)
van de tijd staan te trillen. Voor dergelijk hoog aantal belastingswisselingen dient de span-
Bij de kritieke windsnelheid vkr is, voor de buisdiagonalen, Re = 1,29·105. De dwarsbelasting is, voor constructies met cirkelvormige doorsnede, in grote mate afhankelijk van Re
[2].
Zolang Re
ningswisseling uiteraard beperkt te blijven tot de vermoeiingsgrens van het constructie-
< 3·105, is de liftcoëfficiënt clat=0,7[3]. Daarboven vermindert deze factor. Eurocode 1 Deel 2.4
detail.
gaat ervan uit dat de dwarsbelasting optreedt over een zogenaamde effectieve correlatielengte
Een uniforme belasting q = 1.500 N/m op
Le gelegen in het midden van de staaf. Voor verplaatsingen ymax < 0,1 D geldt Le = 6D. Voor
het middelste derde deel van de buis levert
verplaatsingen ymax > 0,6 D is Le = 12D. Daartussen dient lineair te worden geïnterpoleerd[3].
een inklemmingsmoment Mi = 73,73 kNm.
Kw en K zijn afhankelijk van de fundamentele buigingsmodus φ1(z), die voor de eerste trillings-
De spanningswisseling waaraan de diago-
modus van ingeklemde staven als volgt is gedefinieerd (zie figuur 1):
nalen onderworpen zijn tijdens het trillen is dan Δσ = 2·MiD/(2I) = 2·27,5 N/mm2 = 55
φ1(z) = 0,5 1 – cos
2πz
(14)
Kw =
Le
0
φ1(z)dz
(15) φ1(z)dz
0
K=
N/mm2. Bij de inklemming treedt bovendien
φ1(z)dz
4π 0
(16) φ1 2(z)dz
Uitwerking hiervan leert dat voor de ingeklemde diagonalen: Kw =
Le
Le 1 + sin π 1 – π
een (geometrische) spanningsconcentratiefactor van ongeveer 2 op, zodat de geometrische spanningswisseling uiteindelijk 110 N/mm2 wordt. NEN 2063 is niet geheel duidelijk over de klasse die van toepassing is op het betref-
of Kw = 0,13 indien Le=6D (ymax < 0,1·D), Kw = 0,27 indien Le=12D (ymax > 0,6·D) en K = 0,11
fende constructiedetail[12]. Indien middels geometrische spanningen wordt getoetst,
Die waarden verschillen trouwens niet veel van die voor scharnierend verbonden diagonalen.
geeft §10.2.2 (+ toelichting) aan dat voor het
Indien de maximale zijdelingse uitwijking berekend wordt met Eurocode 1 (12), dan vindt men:
moedermateriaal klasse K80 dient te wor-
y max = 0,13·0,11·0,7·
1 0,2
· 2
den aangehouden. Wanneer de in §5.2 van
1 D = 5,8 mm 17
de norm vermelde belastingsfactor γ = 1,2 wordt toegepast, vindt men een maximum
Eurocode 1 Deel 2.4 geeft ook aan hoe de kracht F [N/m] die met ymax gepaard gaat berekend
toegelaten aantal spanningswisselingen
dient te worden. Voor de eerste trillingsmodus geldt:
N = (80/1,2·110)3·107 = 2,2·106, wat omge-
F = µ (2π f )2 φ1 ymax
rekend 51 dagen betekent. Als deze factor
(17)
niet mee wordt genomen is N = 3,8·106, wat Voor de langste buisdiagonaal is F = 350 φ1 N/m. Bij deze belasting moeten de vermoeiings-
overeenkomt met 88 dagen.
effecten worden getoetst. De belasting veroorzaakt een buigend moment van 23,9 kNm ter plaatse van beide inklemmingen en een van 14,6 kNm in het midden van de diagonaal. Zo’n belasting veroorzaakt overigens een verplaatsing in het midden ymax=10 mm, wat noch met de realiteit, noch met bovenstaande berekening overeenkomt.
FEBRUARI 2004 BOUWEN MET STAAL 176
21
De vereiste dempingsconstante De trillingsleer leert dat de dempingmaat δs gegeven wordt als : δs = d/2m·ω met ω = k / m
(23)
en dus δ s = d / 2 km
(24)
Van lineair naar kwadratisch
Hierin is: m
de modale massa [kg = Ns2/m]
Indien niet een lineaire (F = dv) maar een
k
de modale stijfheid [N/m]
zuiver kwadratische demper (F = d2v2) wordt
d
de modale demping [Ns/m]
geplaatst, moet ervoor worden gezorgd
Δ
de dempingsconstante van de demper loodrecht op de diagonaal [Ns/m]
dat voor bewegingen met een frequentie
φ1(z)
de vorm van de eerste trillingsmodus, gegeven door (14)
van 2,50 Hz en verplaatsingen van ongeveer
zc
het aangrijpingspunt van de demper vanaf het uiteinde [m]
10 mm in het midden van de diagonaal
m=
μAφ1 2(z)dz
dezelfde effectieve dempingskracht wordt 0
ontwikkeld. De omrekening voor een demper die in
2
EI φ1"(z) dz
k=
(25) (26)
0
d = Δφ1 2(z c)
het midden van de diagonaal aangrijpt komt dus (via v = 2πfu) neer op:
(27)
d (2πfu) = d2 (2πfu)2 d2 = d / (2πfu)
Voor demping van de langste diagonaal in de lengterichting van de brug werd gekozen om een
3
d = Δ 2(2πf u)φ1 (z c) = 2δ s km
(29)
demper aan te brengen op zc = 4 m van het uiteinde van de diagonaal. Dit geeft dan: met f = 2,50 Hz en u = 0,010 m.
m = 3.207 kg, k = 4,98·105 N/m, d = 0,0152 Δ, wat uiteindelijk oplevert: δs = 19·10-8 Δ Om een dempingsmaat van 0,003 te verkrijgen dient dus een demper met dempingsconstante
Vermoeiingstoetsing
Δ > 15.800 Ns/m te worden ingezet, loodrecht op de buisdiagonaal. Aangezien de demper niet
Uit het algemene gedrag van de diagonaal kunnen tenslotte het buigend moment en de daarmee gepaard gaande normaalspanningen bepaald worden. Tezamen met het aantal spanningswisselingen kan hieruit de levensduur van de constructie worden bepaald. De berekening is weergegeven in het kader Vermoeiingsberekening. Zo blijkt dat de diagonalen 20 procent van de tijd staan te trillen en de brug dit, afhankelijk van de gekozen toetsingsmethode, slechts 51 of 88 dagen kan weerstaan. Alhoewel het hier een zeer vereenvoudigde berekening betreft, is de ernst van de gevolgen van de trillingen duidelijk. In feite werden de vermoeiingsberekeningen uitgevoerd met inachtneming van het werkelijke windspectrum en de optredende graad van inklemming van de diagonalen. De resultaten waren echter vergelijkbaar.
loodrecht maar onder een hoek α = 48° aansluit op de diagonaal, moet deze waarde nog worden gedeeld door cosα, wat uiteindelijk Δ’ = Δ / cosα > 23.600 Ns/m oplevert. In de gekozen oplossing worden de langsdempers rechtstreeks aan de (stijve) langsligger van de brug bevestigd. De kracht die in een demper ontstaat is : F = Δ’ (2πƒu) = Δ (2πfu) / cosα
(28)
Waarin f de eigenfrequentie is van de trillende diagonaal en u de verplaatsing ter plaatse van de demper; 2πƒu stelt niets anders voor dan de snelheid waarmee de demper ingedrukt wordt. De kracht die loodrecht op de buisdiagonaal wordt uitoefend is F= 15800·2π·2,50·0,0012 = 298 N. Uitgangspunt hierbij is dat de demper reeds in werking moet treden vanaf een zeer kleine uitwijking van de diagonaal, zo’n 10 mm in het midden. Dit correspondeert met 1,2 mm ter plaatse van de demper (0,8 mm in de richting van de demper). In de dwarsrichting van de brug bleek het lastiger om dempers te gebruiken, aangezien er geen bereikbaar vast punt voorhanden was wegens de beperkte dwarsruimte. Daarom is besloten extra dwarsportalen over de sporen te plaatsen, die voldoende stijf moesten zijn om als vast punt te kunnen dienen. De portalen zijn ongeveer 8 m hoog ten opzichte van de onderste aansluiting van de diagonalen, dit geeft : m = 3.207 kg,
Grensgeval
k = 4,98·105 N/m,
De hier beschreven trillingen zijn uiteraard niet aanvaardbaar. Zelfs indien ze mechanisch aanvaardbaar zouden zijn, geven ze een groot gevoel van onveiligheid. Als onmiddellijke maatregel werden alle diagonalen middels touwen afgespannen aan het brugdek, zowel in de dwars- als in de langsrichting. Ondanks z’n eenvoud bleek dit een effectieve ingreep. Hiermee werd bevestigd wat reeds was aangegeven door het getal van Scruton, name-
d = 0,187·Δ, wat uiteindelijk oplevert: δs = 234·10-8 Δ Om ook in deze richting een dempingsmaat van 0,003 te realiseren, is een demper nodig met een dempingsconstante Δ > 1.300 Ns/m. Volgens (28) is F = 1300·2π·2,50·0,0043 = 88 N. Met hetzelfde uitgangspunt moet de demper in werking treden vanaf 4,3 mm ter plaatse en in de richting van de demper.
22
BOUWEN MET STAAL 176 FEBRUARI 2004
De Werkspoorbrug tijdens de proeven, voor oplevering. Met touwen zijn de diagonalen afgespannen.
Dempers in langsrichting.
lijk dat het optredende trillingsfenomeen een grensgeval was.
lijk om een voldoende stijve doorkoppeling te ontwerpen. Tenslotte kunnen maatregelen genomen worden om de demping te vergroten. Ook hier Dempers Om de trillingen te beperken of zelfs helemaal is weer een aantal verschillende oplossingen te elimineren kunnen in eerste aanzet verschil- theoretisch mogelijk. Wrijvingsdempers die werken op het principe van droge wrijving, lende mogelijkheden worden onderscheiden. hebben het nadeel dat hun aanspreekgevoeligAllereerst kan de windstroom worden verstoord zodat de Von Karmanwervels niet kun- heid redelijk hoog is, ongeveer vanaf 50 mm. Ook leveren ze een constante dempingskracht, nen ontstaan. Hiervoor kunnen spiralen of verticale strippen rond de buizen worden aan- wat betekent dat de dempingsmaat afneemt bij toenemende uitwijking. gebracht. Dit gebeurt vaak bij schoorstenen. Vloeistofdempers kunnen worden aangebracht Deze oplossing werd niet gekozen omdat de totale windbelasting dan aanzienlijk toeneemt. als ringvormige constructies rond (het midden van) de diagonalen. Ze zijn vaak ontworpen Bovendien gaf een in-situ uitgevoerde proef voor verticale elementen. De grote afmetingen geen absolute voldoening. Ook heeft een dergelijke aanpassing een nogal grote, ongewenste en de daarmee gepaard gaande esthetische bezwaren verklaren waarom die oplossing niet esthetische impact. Een andere mogelijkheid bestaat uit het onder- verder werd onderzocht. Tuned mass dempers hebben het nadeel dat ze, ling doorkoppelen van de diagonalen, zoals voor de diagonalen in kwestie, nogal zwaar uitbij sommige tuibruggen gedaan is, bijvoorvallen (zo’n 350 kg) en dat hun efficiëntie moeibeeld de Pont de Normandie in Frankrijk en de Faro Brug in Denemarken[16]. Bij koppeling lijk te voorspellen valt. Het vullen van de buizen met een vloeistof of een vaste stof, was een worden de afzonderlijke buizen gedwongen variant met een nóg experimenteler karakter. om een gezamenlijke beweging uit te voeren. Om de ingebruikname van de nieuwe spoorEen voldoende stijve doorkoppeling vergroot verbinding Amsterdam-Utrecht niet in het ook de eigenfrequentie. Omdat de wind in gedrang te brengen moest absoluut een oplosprincipe uit elke richting kan blazen moet de koppeling zowel in de langs- als de dwarsrich- sing worden gevonden binnen de beschikbare bouwtijd. Er was dus geen tijd voor uitgebreid ting worden gemaakt. In de praktijk werden verschillende oplossingen in detail onderzocht. experimenteel onderzoek. Om die redenen Vooral in de dwarsrichting bleek het onmoge- werd tenslotte beslist om de meest gevoelige
diagonalen uit te rusten met hydraulische (visceuze) dempers. Berekening dempers
Allereerst werd beslist dat de gewenste uiteindelijke dempingsmaat 0,003 zou moeten bedragen. Het Scrutongetal, bepaald volgens (8), wordt daarmee ongeveer driemaal zo hoog, namelijk ongeveer 50. Alle literatuur is het erover eens er dat geen trillingen optreden bij zo’n hoge waarde van Sc. Aangezien er bij de eerste twee diagonalen geen trillingen werden vastgesteld (wat trouwens bevestigd wordt door de theorie: een kortere lengte en dus een veel hogere eigenfrequentie), werden daarop geen dempers geplaatst. In het kader Vereiste dempingsconstante is berekend dat de dempers in de langsrichting een dempingsconstante moesten te hebben van Δ’ = Δ / cosα > 23.600 Ns/m, terwijl die in de dwarsrichting moest voldoen aan Δ > 1.300 Ns/m. Voor veel instrumenten is een drempelwaarde bekend: bij lagere waarden houdt de goede werking op. Dat komt omdat ruis, wrijving, speling of andere imperfecties een afwijking veroorzaken van de theoretische werking. De feitelijke werking verdient veel aandacht. Een goed werkend dempersysteem neemt energie op ten koste van de oscillatie. Een demper die (nabij het nulpunt) een te lage kracht genereert heeft geen zin: de trilling komt dan toch op gang. Maar ook een te grote FEBRUARI 2004 BOUWEN MET STAAL 176
23
Bevindingen en aanbevelingen Naar aanleiding van het onderzoek naar de trillingsproblema-
5. ENV 1991-2-4 Bijlage C onderschat de effecten van Vortex-
tiek van de diagonalen van de Werkspoorbrug is het volgende
excitatie trillingen, zelfs indien met de echte dempingsmaat
duidelijk geworden:
rekening wordt gehouden. Het vermoeden rijst dat die onder-
1. NEN 6788 (TGB 1972) is onduidelijk over de toe te passen
schatting voornamelijk optreedt voor waarden van het getal
toetsingsmethode met betrekking tot Vortex-excitatie trillingen.
van Scruton die liggen in het overgangsgebied waar trillingen
2. NEN 6788 (TGB 1972) overschat de dempingsmaat van
net wel of net niet zullen optreden. Dit gebied betreft in ieder
gelaste stalen constructies. In het geval van de gelaste diago-
geval 15 < Sc < 20. Wellicht gaat het over een nog groter
nalen bedraagt die overschatting een factor 5.
gebied, van 5 < Sc < 20.
3. De sinds mei 1995 gepubliceerde nieuwe ENV 1991-2-4
6. Om de effecten in dit overgangsgebied op een veilige manier
overschat de dempingsmaat eveneens. Met betrekking tot de
te bepalen dient de ontwerper zich voldoende te informeren in
gelaste diagonalen is de geschatte dempingsmaat ongeveer
de vakliteratuur. Voor trillingen van staafvormige elementen is
drie maal te hoog.
in deze bijdrage een methode beschreven. Eveneens werd
4. Het is raadzaam om, voor gelaste stalen constructies, voor-
aangetoond dat ENV 1991-2-4 Bijlage C tot een vergelijkbaar
zichtigheid aan de dag te leggen omtrent de dempingsmaat.
resultaat leidt indien de effectieve lengte Le wordt vergroot tot
Aanbevolen wordt een dempingsmaat δs = 0,001 aan te hou-
circa een derde van de lengte.
den (wat overeenkomt met een logaritmisch decrement Δ =
7. Om rekening te houden met de vastgestelde fenomenen en
0,006), tenzij concrete argumenten een hogere demping recht-
met de opgedane ervaring is het (dringend) nodig dat NEN
vaardigen. Het is in elk geval raadzaam om vooraf in situ
6788 en ENV 1991-2-4 worden aangepast.
metingen ter bepaling van de echte demping in te plannen,
8. Ontwerpers van bruggen wordt aanbevolen om reeds vanaf
onmiddellijk na de verwezenlijking van alle constructies waar-
de aanvang van het ontwerp rekening te houden met de
in Vortex-excitatie trillingen zouden kunnen optreden. Tijdens
mogelijkheid dat (eventueel in een later stadium) dempende
die metingen kunnen eveneens de eigenfrequentie(s) van de
toestellen kunnen worden ingebouwd.
constructie bevestigd worden.
kracht kan vervelend zijn omdat het demperuiteinde dan als vast punt gaat fungeren en geen energie opneemt. De bijbehorende zuigerbeweging nadert tot nul. De dwarsdempers zijn bevestigd aan portalen die zijn uitgevoerd in RHS 400x400x12 en ingeklemd op de langsliggers. Als ontwerpcriterium gold een stijfheid van 1000 kN/m, wat overeenkomt met een verplaatsing van 1 mm onder een demperkracht van 1000 N. Overigens bleek de stijfheid niet van enorm groot belang te zijn. Van groter belang is de eigenfrequentie van het portaal. Om te vermijden dat het portaal zelf gaat trillen, dient die beduidend hoger te liggen dan die van de diagonalen. De eigenfrequentie van het portaal bedraagt ongeveer 7 Hz. Het (trillings- en dempings)gedrag van het gecombineerd stelsel diagonaal-demper-portaal werd in detail onderzocht door TNO[14]. Tenslotte is ervoor gekozen om voor alle dempers in de lengterichting dezelfde dempingsconstante aan te houden. Ook voor de dwarsdempers is dit principe gehanteerd. Bij de kortere diagonalen komt de dempingsmaat δs dan hoger te liggen, wat alleen maar gunstig is. Laboratoriumproeven
Als leverancier van de dempers werd gekozen voor het Duitse ACE. Dit bedrijf was als enige in staat op tijd te leveren en tevens bereid de noodzakelijke laboratoriumproeven uit te 24
BOUWEN MET STAAL 176 FEBRUARI 2004
voeren. De bedoeling van die proeven was om zowel voor de langs- als de dwarsdemper de vereiste dempingsconstante te meten en eventueel in te stellen. Tijdens de testen bleek dat de dempers een kwadratische dempingsconstante Δ2, uitgedrukt in N·s2/m2, vertonen in plaats van een lineaire dempingsconstante Δ, waarvoor eerder een vereiste minimale waarde is berekend[15]. Deze moet dan ook omgerekend worden naar een waarde waarbij dezelfde effectieve dempingskracht op de diagonaal wordt uitgeoefend, zie kader Van lineair naar kwadratisch. Om een uiteindelijke minimale dempingsmaat van δs = 0,003 te verkrijgen, is de voorwaarde voor de kwadratische dempingsconstante (steeds ervan uitgaand dat de demper in werking moet treden bij amplitudes vanaf 10 mm in het midden van de diagonalen) : • Δ2 > 1.210.000 Ns2/m2 voor de langsdempers (met F = 38 N) • Δ2 > 17.900 Ns2/m2 voor de dwarsdempers (met F = 38 N) De laboratoriumproeven gaven bovendien aan dat de langsdempers een wrijving van 150 N en de dwarsdempers van 110 N wrijving vertonen, die bij het aanslaan ervan moet overwonnen worden. Een deel van de demping wordt dus door wrijving opgenomen, wat een invloed heeft op de eisen met betrekking tot de kwadratische dempingsconstante.
Voor de langsdemper (overbrengingsfactor φ1 = 0,123) betekent dit dat de vereiste ‘dempingskracht’ van 38 N reeds voor een aandeel van 0,123·150 = 18 N (bijna de helft) geleverd wordt door wrijvingsdemping. Pas op het moment dat die wrijvingsdemping volledig is overwonnen treedt de zuiver kwadratische demping in werking. Op basis hiervan wordt de voorwaarde daarvoor herleid naar Δ2 > 643.000 Ns2/m2. De geïnstalleerde dempers hebben als karakteristiek Δ2 = 1.100.000 Ns2/m2. Theoretisch zou de vereiste ‘dempingskracht’ van 38 N voor de dwarsdemper (overbrengingsfactor φ1 = 0,432) volledig door wrijvingsdemping worden geleverd (0,432·110 = 48 N). Dit zou betekenen dat er verder geen specifieke voorwaarden gesteld behoeven te worden aan de zuiver kwadratische demping. Volledigheidshalve wordt vermeld dat de geïnstalleerde dempers als karakteristiek Δ2 = 6.000 Ns2/m2 hebben. Controleproeven
Met de resultaten van de laboratoriumproeven kan theoretisch de daarmee overeenstemmende dempingsmaat bepaald worden. Voor het trillingsgedrag in langsrichting bedraagt de totale bereikte dempingskracht voor de langste diagonaal F = 18 N (uit wrijving) + 34 N (uit kwadratische demping) = 51 N. Dit komt overeen met een modale demping d = 381 Ns/m en een dempingsmaat δs = 0,0041. In de dwars-
Tabel 1. Tijdens praktijkproeven gevonden dempingsmaten.
diagonaal
dempingsmaat δs langsrichting
dwarsrichting
3
0,0080
0,03
4
0,0085
0,04
5
0,0070
0,03
6
0,0050
0,03
7
0,0065
0,03
Aansluiting langsdemper.
richting bedraagt F = 48 N (uit wrijving) + 12 N (uit kwadratische demping) = 60 N. Dit komt overeen met een modale demping d = 381 Ns/m en een dempingsmaat δs = 0,0048. De dwarse afsteuningsportalen en dwars- en langsdempers (veertig stuks in totaal) werden in een recordtempo vervaardigd en geïnstalleerd in juni en juli 2003. Op 14 augustus 2003 heeft TNO in situ proeven uitgevoerd teneinde de bereikte dempingsmaat vast te stellen[15]. Van elke type diagonaal 3 tot en met 7 werd er één beproefd; zowel in de langs- als in de dwarsrichting. Daartoe werd de diagonaal door een met een sliphaak uitgeruste spankabel in trilling gebracht. Versnellingsmeters registreerden de versnelling als functie van de tijd. Door integratie kunnen daaruit ook de snelheid en de amplitudes worden berekend. De dempingsmaten die op basis van die proeven werden gevonden zijn samengevat in tabel 1. Allereerst valt op dat alle waarden hoger liggen dan het vooropgestelde minimum. Verder komen ze voor de langsdemping vrij goed overeen met de theoretische voorspelling op basis van de proefresultaten in het laboratorium. De invloed van de lengte van de diagonaal op het langstrillingsgedrag is duidelijk doch klein. Dit valt te verklaren door het feit dat de invloed van de langsdempers varieert omdat ze dicht tegen het uiteinde van de diagonaal zijn geplaatst.
Demper in de dwarsrichting.
Literatuur
Verder is de bereikte dempingsmaat beduidend hoger in de dwarsrichting dan in de langsrichting. Dit heeft te maken met het (gunstige) feit dat de dempers in realiteit veel sneller beginnen te werken dan was aangenomen. Indien ze bijvoorbeeld reeds beginnen dempen bij een uitwijking van 3 mm in het midden van de diagonaal, dan bedraagt (steeds voor de dwarsdempers) F = 48 N (uit wrijving) + 1 N (uit kwadratische demping) = 49 N, wat overeenstemt met d = 1.040 Ns/m en een dempingsmaat δs = 0,013. Omgekeerd betekent een dempingsmaat δs = 0,03 in de dwarsrichting dat de (wrijvings-) demping al optreedt vanaf een uitwijking in het midden van de diagonaal van amper 1,3 mm. Dit komt neer op een (aanslag-)gevoeligheid van de dwarse demper van nauwelijks 0,8 mm. Een soortgelijke berekening voor de langsrichting leert dat de demping effectief wordt vanaf een uitwijking in het midden van de diagonaal van ongeveer 2,5 mm. Dit komt overeen met een aanslaggevoeligheid van de langsdemper van 0,3 mm. Beide waarden zijn zonder meer zeer goed. Tenslotte wordt nog opgemerkt dat er op de dag van de proefnemingen een wind stond met kracht 4 (snelheden 5,8 à 8,3 m/s), wat overkomt met de kritieke windsnelheden. De diagonalen trilden op dat ogenblik niet meer. Het trillingsprobleem is dus op een afdoende wijze opgelost. •
[1] “Vorschrift für Eisenbahnbrücken und sonstige Ingenieurbauwerke (VEI)” DS 804, DB Netz, uitgave september 2000. Anlage 27. [2] C. Dyrbye en S.O. Hansen, “Wind Loads on Structures”, John Wiley & Sons, Chichester, June 1999, p. 110-111, p. 117, p. 120. [3] ENV 1991-2-4, “Eurocode 1 : Basis of Design and Actions on Structures - Part 2-4 : Actions on Structures - Wind actions”, CEN, Brussels, May 1995, p. 129-134. [4] C. Petersen, “Schwingungsdämpfer im Ingenieurbau”, Maurer Söhne, München, 2001, p. 18-21. [5] NEN 6788 (VOSB 1995), “Het ontwerpen van stalen bruggen - Basiseisen en eenvoudige rekenregels”, NEN, Delft, december 1995. [6] NBN B 03-002-1 en 2, “Windbelasting op Bouwwerken”, BIN, Brussel, december 1988. [7] DIN 4131, “Antennentragwerke aus Stahl”, Beuth Verlag, Berlin, November 1991. [8] DIN 4133, “Schornsteine aus Stahl”, Beuth Verlag, Berlin, November 1991. [9] CICIND Model Code for Steel Chimneys, Zürich, Revision 1, Amendment A, March 2002. [10] H. Ruscheweyh, “Dynamische Windwirkung an Bauwerken - Band 2 : Praktische Anwendungen”, Bauverlag, Wiesbaden/Berlin, 1982, p. 86-98, figuur 4.39 en 4.40. [11]NEN 6702, “Belastingen en vervormingen - TGB 1990”, NEN, Delft, december 1991. [12]NEN 2063, “Booglassen - Op vermoeiing belaste constructies - Het berekenen van gelaste verbindingen in ongeleerd en zwakgelegeerd staal tot en met Fe 510 (FE 52)”, NEN, Delft, maart 1988. [13]C. Cremona et J.-Cl. Foucriat, “Comportement au vent des ponts”, AFGC, Presses de l’Ecole Nationale des Ponts et Chaussées, Paris, 2002, p. 103, p. 334. [14]A. Vrouwenvelder, C. Geurts, J. Wardenier en J. Reusink, TNO Bouw Rapport Nr. 2003-CI-R0016, “Trillingen diagonalen DEMKA-brug II over het Amsterdam-Rijn kanaal”, juli 2003 (niet verkrijgbaar). [15]J. Oostvogels, TNO Bouw Rapport Nr. 2003CI-R0107, “De dempers van de Demka II brug, een verslag van de afnametests en de test in situ”, september 2003 (niet verkrijgbaar). [16] M. Virlogeux, “Cable vibrations in cable-stayed bridges”, Bridge Aerodynamics, Proceedings of the International Symposium on Advances in Bridge Aerodynamics, Copenhagen, May 1998, A.A. Balkema, Rotterdam, 1998, pp. 213-233. FEBRUARI 2004 BOUWEN MET STAAL 176
25
