Voortplanting van trillingen - lopende golven 1. Het golfverschijnsel Een golf is een trilling die zich voortplant al of niet in een medium. De trillingsfrequentie (bewegingsenergie van de trillende deeltjes) wordt in de ruimte getransporteerd.
in fase in tegenfase f bron = f deeltje van het medium
2. Soorten golven 2.1 Mechanische golven Deze golven hebben een medium nodig om voort te planten.
vg
vd
TRANSVERSALE GOLF: de richting van de deeltjessnelheid staat loodrecht op de richting van de voortplantingssnelheid van de golf. Voorbeeld: een dobber op een wateroppervlak ! Een transversale golf kan zich niet voortplanten in een gasvormig medium omdat de cohesiekrachten in een gas verwaarloosbaar klein zijn.
vd vg
LONGITUDINALE GOLF: de richting van de deeltjessnelheid is gelijk aan de richting van de voortplantingssnelheid van de golf. Voorbeelden: geluid, golf in een snaar Voortplanting van trillingen - lopende golven
1/8
2.2 Elektromagnetische golven Deze golven hebben geen medium nodig om zich voort te planten. Voorbeelden: licht tv- en radiosignalen wisselspanning
3. Dimensies van golven Eendimensionale golven Voorbeeld: trilling in een snaar E =
m ⋅ ω2 ⋅ A2 2
(totale energie EHT!!!)
Tweedimensionale golven Voorbeeld: trilling in een wateroppervlak (dobber)
y
Golffront: deeltjes die op hetzelfde moment beginnen te trillen. Deze deeltjes zijn in fase.
x
Golfstraal: richting waarin het golffront zich voortbeweegt z Driedimensionale golven Voorbeeld: geluid
y
Deze golven hebben een bolsymmetrisch golffront.
x
z
Voortplanting van trillingen - lopende golven
2/8
4. Golfvergelijking van een eendimensionale golf v
D d
x b = A ⋅ sin ωt x D = A ⋅ sin ωt ′ = A ⋅ sin ω ⋅ (t − ∆t ) d = A ⋅ sin ω ⋅ t − v ωd = A ⋅ sin ωt − v 2π ⋅ f ⋅ d = A ⋅ sin 2π ⋅ f ⋅ t − f ⋅λ = A ⋅ sin (ωt − k ⋅ d )
t ′ = t − ∆t d = v ⋅ ∆t
Ax0 v = f ⋅λ
k =
2π
λ
−
2π ⋅ d
λ
Ax D
5. Oefeningen Gegeven zijn de trillingen x1 = 0,05 ⋅ sin ( 250π ⋅ t ) en x 2 = 0,05 ⋅ sin ( 240π ⋅ t ) . Bepaal de vergelijking voor de resulterende trilling x, de maximale en de minimale amplitude, de trillingsfrequentie en de zwevingfrequentie.
x = x1 + x 2 = 0,05 ⋅ sin ( 250π ⋅ t ) + 0,05 ⋅ sin ( 240π ⋅ t ) = 2 ⋅ 0,05 ⋅ cos ( 5π ⋅ t ) ⋅ sin ( 245π ⋅ t ) De amplitude is maximaal als cos ( 5π ⋅ t ) = 1 :
Amax = 2 ⋅ 0,05 ⋅ 1 = 0,1 m
De amplitude is minimaal als cos ( 5π ⋅ t ) = 0 :
Amin = 2 ⋅ 0,05 ⋅ 0 = 0 m
f1 + f 2 125 + 120 = = 122,5 Hz 2 2 f z = f1 − f 2 = 125 − 120 = 5 Hz
ft =
Voortplanting van trillingen - lopende golven
3/8
Bereken de frequentie van een golf met een golfsnelheid van 3,6 m/s als je weet dat B, op 30 cm van A, 270° verschilt in faseverschuiving met A. vg B
A 30 cm
2π ⋅ d 2πd = ∆φ x B = A ⋅ sin ωt − met λ λ ⇒
2π ⋅ d
f =
λ v
λ
=
=
3π 2 ⋅ 2π ⋅ d 4π ⋅ 0,3 ⇒λ = = = 0, 4 m 2 3π 3π
3,6 = 9 Hz 0, 4
Gegeven is een trilling met een frequentie van 4 Hz en een amplitude van 3 cm. Deze gaat door de punten A en P die op 50 cm van elkaar liggen tegen een golfsnelheid van 2,4 m/s. Hoeveel is het punt P steeds achter in fase met het beginpunt A? Welke fase heeft P op het ogenblik dat A 0 rad heeft? Hoe groot is de amplitude op dat moment? vg P
A 50 cm
2π ⋅ d x P = 0,03 ⋅ sin ωt − λ v =λ⋅f ⇒λ = ⇒ ∆φ =
met ∆φ =
2π ⋅ d
λ
v 2, 4 = = 0,6 m f 4
2π ⋅ 0,5 5π = rad 0,6 3
Het punt P is steeds 2π −
5π π = rad achter in fase met het beginpunt A. 3 3
Als A 0 rad als fase heeft is ωt = 0 . De fase van P is dan gelijk aan −
π rad. 3
π x P = 0,03 ⋅ sin 0 − = −0,026 m 3 Als A 0 rad als fase heeft is de amplitude gelijk aan 0,026 m.
Voortplanting van trillingen - lopende golven
4/8
6. Punten in fase/tegenfase met de bron P
O d
Wanneer P in fase is met O, is de het verschil in faseverschuiving ∆φ gelijk 2π ⋅ d = k ⋅ 2π . Na wat vereenvoudigen bekomen we d = k ⋅ λ . Een punt P aan
λ
op een afstand d van de trillingsbron zal in fase meetrillen als aan volgende vergelijking voldaan wordt:
d = 2k ⋅
λ 2
Wanneer P in tegenfase is met O, is het verschil in faseverschuiving ∆φ gelijk 2π ⋅ d = π + k ⋅ 2π = ( 2k + 1) ⋅ π . Na wat vereenvoudigen bekomen we aan
λ
d = ( 2k + 1) ⋅
λ
. Een punt P op een afstand d van de trillingsbron zal in 2 tegenfase meetrillen als aan de volgende vergelijking voldaan wordt:
d = ( 2k + 1) ⋅
λ 2
Betekenis: Een punt trilt in fase (tegenfase) mee als het op een even (oneven) aantal keer de halve golflengte van de trillingsbron ligt. (k ∈ IN ) Voorbeeld: De trilling in punt O plant zich voort tegen een golfsnelheid van 0,8 m/s met een golflengte van 30 cm. Trilt het punt P, dat zich op 2,4 cm van O bevindt, in fase of in tegenfase met O?
Als P in fase meetrilt, moeten we een k vinden zodat de volgende vergelijking klopt: 2, 4 = k ⋅ 15 Aangezien we hier geen k voor kunnen vinden, trilt P niet in fase met O. O
Als P in tegenfase meetrilt, moeten we een k vinden zodat de volgende vergelijking klopt: 2,4 = ( 2k + 1) ⋅ 15
P
2,4 cm
Aangezien we hier geen k voor kunnen vinden, trilt P niet in tegenfase met O.
Voortplanting van trillingen - lopende golven
5/8
7. Eigenschappen van golven • • • •
weerkaatsing breking buiging interferentie
Beginsel van Huygens (p. 41) Elk deel van een golf kan als nieuwe trillingsbron functioneren. Schematisch: storing
elementaire golfjes
golffront
afzonderlijke storingcentra’s
golffront elementaire golfjes
storing
Breking lucht (n = 1)
αb
αi
αi
αb water (n = 1,33)
Hierboven staan 3 situaties getekend waarbij licht gebroken wordt. Links gaat het licht van lucht (een optisch ijl) naar water (optisch dicht medium). In de twee rechtse gevallen gebeurt het omgekeerde. De hoek tussen de
Voortplanting van trillingen - lopende golven
6/8
invallende (uitgaande) straal en de (verticale) neutrale lijn noemen we de invalshoek α i (brekingshoek α b ). Alle media hebben een brekingsindex n. Voor lucht is deze 1. De brekingsindex kun je berekenen door de lichtsnelheid in vacuümlucht te delen door de lichtsnelheid in de middenstof. Als voorbeeld berekenen we de v licht 300 000 brekingsindex van water: n water = = = 1,33 v licht in water 225 408 De brekingsindices verhouden zich als volgt tot te invals- en brekingshoek: sin α i n 2 = . sin α u n1
! Als het licht evenwijdig loopt met de neutrale lijn, is er geen breking (zie middelste geval). GRENSHOEK: dit is de invalshoek waarbij de brekingshoek gelijk wordt aan 90°. Wordt de invalshoek groter dan de grenshoek, dan wordt het licht weerkaatst. Dit principe wordt toegepast bij o.a. zwembadverlichting. Met relatief weinig lampen kun je een heel zwembad verlichten omdat veel licht door het wateroppervlak wordt teruggekaatst. We kunnen de grenshoek van water berekenen met deze formule:
sin α i n 2 = sin α u n1
sin α i n 2 1 1 = = ⇒ α g = Bgsin = 48,75° 1 n1 1,33 1,33
Buiging Een golf buigt rondom een obstakel als de golflengte λ groter is dan de breedte d van het obstakel. Buigt een golf niet om het obstakel, wordt er m.a.w. niet voldaan aan λ > d , dan spreekt men van schaduw.
! d kan ook een opening zijn. Voorbeeld 1: Een man staat in de golven
λ
λ > d ⇒ BUIGING d
Voortplanting van trillingen - lopende golven
De golven buigen om de man heen.
7/8
Voorbeeld 2:
λ
schaduw
λ < d ⇒ SCHADUW Er vormt zich een schaduw achter de doorgang.
d
schaduw
Voorbeeld 3: Geluid bij een loket
λ
λ > d ⇒ BUIGING d
Het geluid gaat door de glazen wand.
Geluid Geluid is een golf en dus een voortplanting van een trilling. Wij kunnen deze trilling waarnemen als de frequentie tussen 16 à 20 Hz en 20 kHz ligt. Als je weet de geluidssnelheid 340 m/s bedraagt, kunnen we bepalen welke golflengte het geluid moet hebben opdat wij het zouden kunnen waarnemen. Lage tonen (grote golflengte): v 340 λlt = geluid = = 17 m f lt 20 Hoge tonen (kleine golflengte): v 340 λht = geluid = = 17 mm f ht 20 000
Voortplanting van trillingen - lopende golven
8/8
