Villamosságtan példatár 1.4 verzió A példatár hibáit a. címeken szíveskedjen mindenki jelenteni!

Veszprémi Egyetem Automatizálás Tanszék

Villamosságtan példatár 1.4 verzió

A példatár hibáit a [email protected] [email protected] email címeken szíveskedjen mindenki jelenteni! TU

TU

UT

UT

Villanytan példatár

2

Bevezetés: U

A Villamosságtan példatár a Veszprémi Egyetemen oktatott Villamosságtan című tárgyhoz készült, és az ahhoz fellelhető jegyzet 1., 2., 3., 4., 5., és 6., fejezetéhez szervesen kapcsolódik. Ezek a fejezetek az alábbi elméleti témaköröket tárgyalják: 1.Egyenáramú hálózatok 2.Általános áramú hálózatok 3.Periodikus áramú hálózatok 4.Lineáris invariáns hálózatok a frekvenciatartományban 5.Lineáris invariáns hálózatok 6.Négypólusok TU

TU

UT

UT

TU

UT

TU

UT

TU

TU

UT

UT

A Villamosságtan példatár is ezen csoportosításban közöl olyan példákat amelyek zárthelyi dolgozatokban illetve vizsga dolgozatokban szerepeltek. A példatárat kitevő 337 példa és azok részletes megoldásai hasznos segédeszközök lehetnek az előadás anyagának kiegészítésében illetve a hallgatók felkészülésének megkönnyítésében. A példatár Jamniczky Árpád és Bognár Endre Tanár Úr segítsége nélkül nem jöhetett volna létre, köszönjük a rengeteg példát ! A példák megoldásához jó munkát kívánunk ! A Szerkesztők: Balogh Attila (feladatok) Tóth Roland (megoldások) Nádasdi Péter (feladatok,megoldások) Szalay Imre Verzió: 1.4 Utoljára módosítva: 2004-09-11 1.3 verzió


3

A példatár hibáit a [email protected] [email protected] email címeken szíveskedjen mindenki jelenteni! TU

UT

TU

UT

1.3 verzió


4

FELADATOK 1-337-ig

1.3 verzió


5

1. Egyenáramú hálózatok Témakörök TU

UT

Feladatok: U

1 2 3 4 5 6 7 8 9 21 22 23 24 25 26 38 39 40 41 42 43 55 56 TU

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

TU

TU

TU

UT

UT

TU

TU

10 27 44 57

UT

UT

TU

11 28 45 58

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

12 29 46 59

13 30 47 60

14 31 48 61

15 32 49 62

16 17 18 19 20 33 34 35 36 37 50 51 52 53 54 63

TU

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

TU

UT

1.3 verzió


6

1.1.feladat: Egyenáramú hálózatok Határozza meg szakaszonként képlettel és ábrázolja a nemlineáris rezisztív kétpólus U1 = f (U) transzfer karakterisztikáját! U

U

TU

UT

Megoldás 1.2.feladat: Határozza meg R értékét úgy, hogy rajta a maximális teljesítmény 60%-a alakuljon hővé! TU

UT

U

Megoldás TU

UT

1.3.feladat: Csillag-háromszög átalakítással és a csomóponti potenciálok módszere alkalmazásával határozza meg az R jelű ellenállások áramának előjeles értékét! R = 3Ω U

Megoldás TU

1.3 verzió

UT


7

1.4.feladat: Egyenáramú hálózatok Határozza meg a 0.8 Ω-os ellenállás áramát és teljesítményét! U

U

TU

UT

Megoldás TU

UT

1.5.feladat: Határozza meg képlettel és rajzolja fel az 1 kΩ-os ellenállás áramára vonatkozó transzfer karakterisztikát , ha a gerjesztés feszültség! I2 = f (U) = ? -∞ < U < ∞ U

B

B

Megoldás TU

UT

1.6.feladat: Határozza meg az ágáramokat és a források teljesítményének előjeles értékét a hurokáramok módszere alkalmazásával! I1, I2, I3, I4, I5, I6 = ? P1, P2, P3, P4 = ? U

Megoldás TU

1.3 verzió

UT


8

1.7.feladat: Egyenáramú hálózatok Határozza meg R2 értékét, ha az abszcissza tengelyen 1cm 2V-nak, az ordináta tengelyen pedig 40mA-nek felel meg! U

U

TU

B

UT

B

Megoldás 1.8.feladat: Határozza meg R értékét úgy, hogy rajta a maximális teljesítmény 50%-a alakuljon hővé! Mekkora ez a teljesítmény? TU

UT

U

Megoldás TU

UT

1.9.feladat: A csomóponti potenciálok módszere alkalmazásával határozza meg az ágáramokat!

Megoldás T

1.3 verzió

T


9

1.10.feladat: Egyenáramú hálózatok Határozza meg az ábrán látható nemlineáris rezisztív egykapu bemeneti karakterisztikáját, illetve az I1=f(I) transzfer karakterisztikát! T

B

T

B

Megoldás T

T

1.11.feladat: Határozza meg az ellenállások és a források teljesítményének előjeles értékét!

Megoldás T

T

1.12.feladat: Határozza meg a lineáris rezisztív hálózat U2 feszültségét! B

B

Megoldás 1.13.feladat: A szuperpozíció tételének alkalmazásával határozza meg a 6Ω-os ellenállás feszültségének és áramának előjeles értékét! T

T

Megoldás T

1.3 verzió

T


10

1.14.feladat: Egyenáramú hálózatok Határozza meg R értékét úgy, hogy rajta a maximális teljesítmény alakuljon hővé! Mekkora ez a teljesítmény? T

T

Megoldás T

T

1.15.feladat: Az ábra szerinti nemlineáris ellenállás karakterisztikája: V U r = 5 2 I 2r ha I r > 0 A Ur = 0 ha I r < 0 Határozza meg a nemlineáris ellenállás munkaponti áramát és feszültségét, valamint az R1 ellenálláson átfolyó áramot! B

Megoldás 1.16.feladat: Az ábrán két lineáris kondenzátor karakterisztikája látható. Határozza meg C2 értékét! T

T

B

Megoldás T

1.3 verzió

T

B

B


11

1.17.feladat: Egyenáramú_hálózatok Kizárólag konduktanciákkal számolva határozza meg az ábra szerinti lineáris rezisztív egykapu bemeneti konduktanciáját! T

T

Megoldás T

T

1.18.feladat: Határozza meg az ábra szerinti lineáris rezisztív kétpólus bemeneti karakterisztikáját!

Megoldás 1.19.feladat: Az ábrán két lineáris tekercs karakterisztikája látható. Határozza meg L2 értékét! T

T

B

Megoldás T

1.3 verzió

T

B


12

1.20.feladat: Egyenáramú hálózatok Határozza meg az ábrán látható nemlineáris rezisztív egykapu bemeneti karakterisztikáját ! T

T

Megoldás T

T

1.21.feladat: Határozza meg az UAB feszültséget ! B

B

Megoldás 1.22.feladat: Írja fel az ábra szerinti hálózatra a Kirchhoff törvények mátrixos alakját (csak a mátrixos formalizmust kell felírnia) ! T

T

Megoldás T

1.3 verzió

T


13

1.23.feladat: Egyenáramú hálózatok Határozza meg R értékét úgy, hogy rajta a maximális teljesítmény alakuljon hővé! Mekkora ez a teljesítmény? T

T

Megoldás 1.24.feladat: Határozza meg R értékét úgy, hogy rajta a maximális teljesítmény alakuljon hővé! Mekkora ez a teljesítmény? T

T

Megoldás T

T

1.25.feladat: Rajzolja meg a nemlineáris rezisztív kétpólus bemeneti karakterisztikáját a törésponti koordináták bejelölésével ! Írja fel a I1=f(U) transzfer karakterisztika egyenletét és rajzolja fel a transzfer karakterisztikát ! B

B

Megoldás T

1.3 verzió

T


14

1.26.feladat: Egyenáramú hálózatok A hurokáramok módszere alkalmazásával határozza meg a hálózat ágáramait ! T

T

Megoldás T

T

1.27.feladat: Határozza meg az alábbi hálózatok bemeneti ellenállását !

Megoldás 1.28.feladat: Az alábbi hálózatban az ellenállásokon hővé alakuló teljesítmény, ha az 1-es generátor üzemel 55W, ha a 2-es üzemel 176W. Határozza meg az ellenállásokon hővé alakuló teljesítményt, ha mindkét generátor üzemel ! T

T

Megoldás T

1.3 verzió

T


15

1.29.feladat: Egyenáramú hálózatok A hurokáramok módszere alkalmazásával határozza meg az UAB feszültséget ! T

T

B

B

Megoldás T

T

1.30.feladat: A csomóponti potenciálok módszere alkalmazásával határozza meg a 20V-os forrás teljesítményét !

Megoldás 1.31.feladat: Határozza meg a kondenzátorok feszültségét ! T

Megoldás T

1.3 verzió

T

T


16

1.32.feladat: Határozza meg az I* áramot !

Egyenáramú hálózatok T

T

P

P

Megoldás T

T

1.33.feladat: Határozza meg az ábrán látható nemlineáris rezisztív hálózatban a nemlineáris elem teljesítménynövekedését, ha a forrás feszültsége 0.1 V-al megnő !

Megoldás 1.34.feladat: Határozza meg az R2 rezisztenciát és az UV2 forrásfeszültséget úgy, hogy a nemlineáris ellenállásnak M legyen az egyetlen munkapontja ! B

T

B

B

T

B

Megoldás T

1.3 verzió

T


17

1.35.feladat: Egyenáramú hálózatok Határozza meg az ábrán látható nemlineáris rezisztív hálózatban a nemlineáris elem teljesítménynövekedését, ha az 1. számú áramforrás árama 40 mA-el csökken, a 2.számú áramforrás árama pedig 0.06 A-el megnő ! T

T

Megoldás T

T

1.36.feladat: Írja fel és rajzolja meg az ábra szerinti nemlineáris rezisztív hálózat U2=f(U1) transzfer karakterisztikáját ! B

B

B

B

Megoldás 1.37.feladat: Határozza meg R értékét úgy, hogy rajta a maximális teljesítmény alakuljon hővé! Mekkora ez a teljesítmény? T

T

Megoldás T

1.3 verzió

T


18

1.38 feladat: Egyenáramú hálózatok Határozza meg az ampermérő belső ellenállását úgy, hogy az árammérés hibája maximum 1% legyen! T

T

Megoldás T

T

1.39 feladat: Írja fel a harmadrendű hálózat állapotegyenletének normál alakját!

⎡u ⎤ ⎢ C⎥ x = ⎢i L 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ i L1 ⎥⎦

c =1 r=2 m=3 b=5

Megoldás T

1.3 verzió

T


19

1.40 feladat: Egyenáramú hálózatok Hat. meg R1 értékét úgy, hogy a forrás által leadott teljesítmény 25% - a R1 - en alakuljon hővé! Mekkorák a bejelölt ágáramok? T

B

T

B

B

B

Megoldás 1.41 feladat: Határozza meg R1 értékét úgy, hogy az I áram értéke nulla legyen! Számítsa ki a reflexiós csillapítást dB-ben! T

T

Megoldás 1.42 feladat: Adja meg szakaszonként képlettel és rajzolja fel az I2 = f (I1 ) transzfer karakterisztikát! T

Megoldás T

T

1.3 verzió

T


20

1.43 feladat: Egyenáramú hálózatok Írja fel a hálózatra a Kirchhoff és Ohm törvények mátrixos formalizmusát! A faágakat vastagon kihúztuk! T

T

Megoldás 1.44 feladat: A csomóponti potenciálok módszere alkalmazásával hat. meg a 2,5 V-os forrás teljesítményének előjeles értékét! T

T

Megoldás T

1.3 verzió

T


21

1.45 feladat: Egyenáramú hálózatok A hurokáramok segítségével hat. meg az ágáramok előjeles értékét! T

T

Megoldás 1.46 feladat: Készítse el az ábra szerinti egyenáramú hálózat teljesítménymérlegét! T

T

Megoldás T

1.3 verzió

T


22

1.47 feladat: Egyenáramú hálózatok Hat. meg tartományonként képlettel és rajzolja fel az i1/i transzfer karakterisztikát! T

T

B

B

Megoldás T

T

1.48 feladat: Hat. meg R értékét úgy, hogy a reflexiós csillapítás 3,88 dB legyen! Mekkora a reflektált teljesítmény?

Megoldás T

1.3 verzió

T


23

1.49 feladat: Egyenáramú hálózatok Számítsa ki a nemlineáris rezisztív kétpólus teljesítmény megváltozásának előjeles értékét! T

T

A nemlineáris kétpólus karakterisztikája: i = 2 mVA * 1/U ∆i5 = -0,1 mA ∆u1 = 0,1 V ∆i3 = 0,2 mA ∆i2 = -0,1 mA ∆u4 = -0,2V ∆u6 = -0,3 V Megoldás 1.50 feladat: Hat. meg a 10. ág teljesítményét! B

B

B

B

B

B

B

B

B

0 < UM < 1 V B

B

B

B

B

T

T

Megoldás 1.51 feladat: Kizárólag konduktanciákkal számolva határozza meg a G konduktancia értékét úgy, hogy rajta max. teljesítmény alakuljon hővé! Mekkora ez a teljesítmény? T

T

Megoldás T

1.3 verzió

T


24

1.52 feladat: Egyenáramú hálózatok A csomóponti potenciálok módszere alkalmazásával hat. meg az UAB feszültséget! T

T

B

Megoldás 1.53 feladat: Hat. meg a homogén induktív kétpólus bemeneti induktivitását! T

T

Megoldás T

1.3 verzió

T

B


25

1.54 feladat: Egyenáramú hálózatok A Norton – Thevenin átalakítás sorozatos alkalmazásával hat. meg R értékét úgy, hogy rajta a maximálisan hővé alakítható teljesítmény 30%-a alakuljon hővé! Mekkora ez a teljesítmény? T

T

Megoldás T

T

1.55 feladat: A csomóponti potenciálok alkalmazásával állítsa fel a hálózat teljesítmény mérlegét! Használja a bejelölt referenciákat!

Megoldás T

1.3 verzió

T


26

1.56 feladat: Egyenáramú hálózatok Hat. meg a kétpólus bemeneti ellenállását! T

T

Megoldás T

T

1.57 feladat: Realizálja a G bemeneti ellenállásával adott kétpólust és hat. meg a G9 konduktancia feszültségének tényleges előjeles értékét, ha az I bemeneti áram értéke 60 mA! B

B

{

}

G = ⎡⎣( ( G11 +G12 ) × G 9 × G10 +G 8 ) × ( G 6 +G 7 ) +G 5 ⎤⎦ × G 3 × G 4 +G 2 × G1 G4 = G5 = G10 = 50 mS G1 = 100 mS =G3 = G9 G6 = 70 mS G7 = 30 mS G2 = 75 mS = G8 Megoldás B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

T

B

B

T

1.58 feladat: R1 × R 3 +R 2 × R 4 = ( R1 +R 2 ) × ( R 3 +R 4 ) hogy Bizonyítsa be, ha R2 : R4 = R1 : R3 ! Megoldás 1.59 feladat: Az ábra szerinti hálózatra bizonyítsa be Tellegen-tételét! B

B

B

B

B

B

B

B

T

T

Megoldás T

1.3 verzió

T

G11 = 80 mS G12 =20 Ms B

B

B

B


27

1.60 feladat: Egyenáramú hálózatok Hat. meg analitikusan és rajzolja fel az U1 = f (U) transzfer karakterisztikát! T

T

B

B

Megoldás 1.61 feladat: A hurokáramok módszere segítségével hat. meg az ágáramok előjeles értékét! Mekkora UA = ? T

T

B

Megoldás T

1.3 verzió

T

B


28

1.62 feladat: Egyenáramú hálózatok A csomóponti potenciálok módszere alkalmazásával hat. meg a bejelölt potenciálok előjeles értékét! T

T

Megoldás T

T

1.63 feladat: A Kirckhoff egyenletek általános mátrixos alakja segítségével hat. meg az ágáramokat! (Csak a mátrixos formalizmust kell felírnia és a szükséges ágtörvényeket!)

Megoldás T

1.3 verzió

T


29

2. Általános áramú hálózatok Témakörök T

T

Feladatok: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

1.3 verzió

T

T

T

T

T

T

T


30

2.1.feladat: Általános áramú hálózatok Hálózatunkban a t = 0 pillanatban zárjuk a kapcsolót. Határozza meg és ábrázolja az áramforrás feszültségének időfüggvényét a (-∞,∞) tartományban! C = 100nF q = 2.4 µC T

T

Megoldás 2.2.feladat: Az ábra szerinti hálózatban határozza meg az áramforrás 0 < t < T időintervallumban leadott energiáját! T

T

Megoldás T

T

2.3.feladat: A dinamikus jellemzők felhasználásával határozza meg a nemlineáris kétpólusok töltésének és fluxusának megváltozását, ha a források feszültsége illetve árama végtelenül lassan 0.5 mV-al illetve 0.5 mA-el megnő! Határozza meg a nemlineáris rezisztiv kétpólus teljesítményének megváltozását!

Megoldás T

1.3 verzió

T


31

2.4.feladat: Általános áramú hálózatok Egy nemlineáris kondenzátor munkaponti statikus kapacitása 0.5 µF. Határozza meg az e munkaponthoz tartozó dinamikus kapacitást! T

T

2

4⎛ U ⎞ q= ⎜ ⎟ [µC] π ⎝ 2V ⎠ Megoldás 2.5.feladat: Hálózatunkban már régen beállt az állandósult állapot , amikor a t = 0 pillanatban zárjuk a kapcsolót. Határozza meg a nemlineáris tekercs energiaváltozását! T

T

Megoldás 2.6.feladat: Hálózatunkban már régen beállt az állandósult állapot , amikor a t=0 pillanatban zárjuk a kapcsolót. A kapcsoló zárása után a 2Ω-os ellenálláson mekkora energia alakul hővé? L1 = 10mH L2 = 20mH M = 2mH T

B

B

B

T

B

Megoldás 2.7.feladat: Határozza meg a nemlineáris tekercs és kondenzátor dinamikus induktivitását és kapacitását! T

T

Megoldás T

1.3 verzió

T


32

2.8.feladat: Általános áramú hálózatok Hálózatunkban már régen beállt az állandósult állapot, amikor a t = 0 pillanatban nyitjuk a kapcsolót. Határozza meg a kapcsoló feszültségének időfüggvényét! T

T

Megoldás 2.9.feladat: Az ábra szerinti hálózatban már régen beállt az állandósult állapot , amikor a t = 0 pillanatban zárjuk a kapcsolót. Határozza meg az 5 kΩ–os ellenállás áramának időfüggvényét ! T

T

Megoldás 2.10.feladat: Az ábra szerinti hálózatban határozza meg a nemlineáris elemek statikus és dinamikus munkaponti jellemzőit ! T

T

Megoldás T

1.3 verzió

T


33

2.11.feladat: Általános áramú hálózatok Az ábra szerinti hálózatban határozza meg a nemlineáris kétpólus feszültség- és áramváltozását! T

T

Megoldás 2.12.feladat: Határozza meg a nemlineáris rezisztív kétpólus termelői és fogyasztói tartományait! T

T

Megoldás 2.13.feladat. Az ábra szerinti hálózatban már régen beállt az állandósult állapot , amikor a t = 0 pillanatban nyitjuk a kapcsolót. Határozza meg a kapcsoló feszültségének időfüggvényét ! T

T

Megoldás T

1.3 verzió

T


34

2.14.feladat: Általános áramú hálózatok Az ábra szerinti hálózatban már régen beállt az állandósult állapot , amikor a t = 0 pillanatban nyitjuk a kapcsolót. Határozza meg az R és 2R ellenállásokon külön-külön hővé alakuló energiát ! T

T

Megoldás 2.15.feladat: Az ábra szerinti hálózatban már régen beállt az állandósult állapot, amikor a t = 0 pillanatban zárjuk a kapcsolót. Határozza meg az induktivitás feszültségének és áramának időfüggvényét! I0 = 10A , R1 = 5Ω , R2 = 15Ω , L = 10mH T

B

B

B

B

B

T

B

Megoldás 2.16.feladat: Az ábra szerinti hálózatban már régen beállt az állandósult állapot , amikor a t = 0 pillanatban a kapcsolót a 2-es állásba kapcsoljuk. Határozza meg a kondenzátor feszültségének és áramának időfüggvényét ! Mekkora az ellenállásokon hővé alakuló energia ? U0 = 10V , R1 = 10Ω , R2 = 10Ω , C = 1µF B

T

B

B

B

B

T

B

Megoldás T

1.3 verzió

T


35

2.17.feladat: Általános áramú hálózatok Az ábra szerinti hálózatban már régen beállt az állandósult állapot , amikor a t = 0 pillanatban nyitjuk a kapcsolót. Határozza meg a kapcsoló feszültségének időfüggvényét ! T

T

Megoldás 2.18.feladat: Az ábra szerinti hálózatban már régen beállt az állandósult állapot , amikor a t = 0 pillanatban nyitjuk a kapcsolót. Határozza meg a nemlineáris tekercs energiaváltozását ! T

T

Megoldás T

T

2.19.feladat: Írja fel az ábra szerinti hálózat állapotegyenletét ha a gerjesztés feszültség !

Megoldás 2.20.feladat: Az ábra szerinti hálózatban már régen beállt az állandósult állapot , amikor a t = 0 pillanatban zárjuk a kapcsolót. Határozza meg és rajzolja fel a kondenzátor áramának időfüggvényét ! T

T

Megoldás T

1.3 verzió

T


36

2.21.feladat: Általános áramú hálózatok Az ábra szerinti hálózatban már régen beállt az állandósult állapot , amikor a t = 0 pillanatban zárjuk a kapcsolót. Határozza meg a kondenzátor és a tekercs energiaváltozását ! T

T

Megoldás T

T

2.22.feladat: Az ábra szerinti hálózatban már régen beállt az állandósult állapot , amikor a t = 0 pillanatban átváltjuk a kapcsolót. Határozza meg az ellenállásokon külön-külön hővé alakuló energiát !

Megoldás 2.23.feladat: Írja fel a hálózat állapotegyenletét ha a gerjesztés feszültség ! T

T

Megoldás T

T

2.24.feladat: Határozza meg a C5 kondenzátor áramának pillanatértékét a t = 3ms pillanatban ! UV(t)=150sin(ωt+70o) B

B

B

B

P

P

Megoldás T

1.3 verzió

T


37

2.25.feladat: Általános áramú hálózatok Határozza meg a kondenzátor töltésének megváltozását ! T

T

Megoldás T

T

2.26.feladat: Egy fémgömb kapacitása arányos a gömb sugarával. Mekkora lesz annak a nagy higanycseppnek a potenciálja , amely 1000 darab , egymással megegyező nagyságú , egyaránt 5V potenciálra töltött gömbalakú cseppecske egyesüléséből származik ? Megoldás T

T

2.27.feladat: Hengeres kondenzátor elektromos terében Q=1µC töltés mozdul el a bejelölt pályán. Számítsa ki az elektromos mező által végzett munkát !

Megoldás 2.28 feladat: Hat. meg és rajzolja fel a kapcsoló feszültségének időfüggvényét a -∞ < t < ∞ tartományban! Mekkora energia alakul hővé a 10 Ω - os ellenálláson a 0 ≤ t < ∞ tartományban? T

T

Megoldás T

1.3 verzió

T


38

2.29 feladat: Általános áramú hálózatok Az árba szerinti két tárolós hálózatban határozza meg a sajátértékeket! Mekkora δ, ω és ω0 ? T

T

Megoldás 2.30 feladat: U b mely értéke mellett áll be rögtön az állandósult állapot? T

T

Megoldás T

T

2.31 feladat: Hálózatunk már állandósult állapotban van amikor a t = 0 pillanatban átbillentjük a kapcsolót. Határozza meg és ábrázolja az áramforrás teljesítményének időfüggvényét a −∞ < t < ∞ tartományban!

Megoldás T

1.3 verzió

T


39

2.32 feladat: Általános áramú hálózatok Határozza meg a kéttárolós hálózat λ1 és λ 2 sajátértékét! T

T

Megoldás 2.33 feladat: Határozza meg és ábrázolja a (−∞; ∞) időtartományban a feszültségforrás teljesítményének előjeles értékét! T

T

Megoldás T

T

2.34 feladat: Az állapotváltozó időfüggvényének ismerete nélkül határozza meg és rajzolja fel a forrás áramának időfüggvényét a −∞ < t < ∞ tartományban, ha alakja −

t T

i(t) = A + B ⋅ e ,

t ≥ +0

Megoldás T

1.3 verzió

T


40

2.35 feladat: Általános áramú hálózatok Határozza meg R értékét úgy, hogy a másodrendű hálózatnál kritikusan csillapított rezgés jöjjön létre! Mekkorára választja R1 értékét? T

T

Megoldás 2.36 feladat: Hat. meg és ábrázolja a bejelölt i(t) áramot! T

T

Megoldás T

T

2.37 feladat: Hat. meg és ábrázolja a (-∞;∞) időintervallumban az áramforrás teljesítményének előjeles értékét!

Megoldás 2.38 feladat: Számítsa ki a variáns kondenzátor energiaváltozását a [ 0 ; 1,4*10-3 s ] tartományban! T

P

40 pF 1 + 0, 4 ⋅ sin ωt rad ω = 2π ⋅103 s C(t) =

Megoldás

1.3 verzió

P


41

2.39 feladat: Általános áramú hálózatok Hat. meg a munkaponti dinamikus kapacitás és induktivitás értékét! 2

⎛ 0,4 V ⎞ q = 6 µC ⎜ ⎟ ⎝ u ⎠ i ⎛ ⎞ Ψ = 0, 6 mVs ⎜ ⎟ ⎝ 0,3 mA ⎠

[u ] = V Megoldás 2.40 feladat: Hat. meg és ábrázolja a (-∞,∞) időtartományban a 4R ellenállás teljesítményének időfüggvényét!

Megoldás 2.41 feladat: Hat. meg és ábrázolja a -∞ < t < ∞ tartományban az u(t) feszültség-időfüggvényt!

Megoldás

1.3 verzió

[i ] = A


42

2.42 feladat: Általános áramú hálózatok A t = 0 időpillanatban a 60 Ω-os ellenállásra rákapcsoljuk a 2*10-5 C töltésre feltöltött kondenzátort. Határozza meg és rajzolja fel a - ∞ < t < ∞ tartományban a feszültségforrás teljesítményének időfüggvényét! P

P

Megoldás 2.43 feladat: A kéttárolós hálózatra hat. meg az alábbi mennyiséget: λ, δ, ω, ω0, ζ, d, Q! B

B

Megoldás 2.44 feladat: Hálózatunkban már régen beállt az állandósult állapot, amikor a t = 0 időpillanatban nyitjuk a kapcsolót. Hat. meg a nemlineáris kondenzátor energiaváltozását!

q = 3 ⋅10−6 As ⋅

Megoldás

1.3 verzió

2V u


43

2.45 feladat: Általános áramú hálózatok Adja meg R azon tartományát, ahol az állapotváltozók tranziens összetevője rezgő jellegű lesz!

Megoldás 2.46 feladat: Hat. meg és ábrázolja a bejelölt i(t) áram időfüggvényt!

Megoldás 2.47 feladat: A C = 10 µF kapacitású kondenzátor töltése a t = 0 pillanatban q(0) = 50 µC. E pillanattól kezdve a kondit iC (t) árammal gerjesztjük. Hat. meg a 0 ≤ t < ∞ intervallumban a) a fesz. időfüggvényét és ábrázolja, b) a telj. időfüggvényét és értelmezze, c) az energia időfüggvényét és értelmezze! B

B

iC (t ) = −40* e Megoldás

1.3 verzió

1 −2*103 *t s

mA

t≥0


44

2.48 feladat: Általános áramú hálózatok Állítsa elő a hálózat állapotegyenletét! Határozza meg a λ sajátértékeket, δ, ω, ω0 értékeket! B

B

Megoldás 2.49 feladat: Hat. meg és rajzolja fel léptékhelyesen a tekercs áramának időfüggvényét a -∞ < t < ∞ tartományban!

Megoldás 2.50 feladat: Hat. meg a nemlineáris elem munkaponti statikus ellenállására vonatkozó reflexiós csillapítást és a munkaponti teljesítmény megváltozásának előjeles értékét!

mA 2 U V2 U M , IM > 0

I = 20

∆U1 = 0,2 V ∆I13 = 0,2 mA Megoldás

1.3 verzió

∆U 6 = -0,3 V ∆I7 = 0,3 mA


45

3. Periodikus áramú hálózatok Témakörök

Feladatok: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66

1.3 verzió


46

3.1.feladat: Periodikus áramú hálózatok Az ábra szerinti szimmetrikus kétfázisú hálózatban S = állandó mellett a teljesítménytényezőt 0.9 -re javítjuk. a, Számítsa ki a kondenzátorok értékét és a ∆ P teljesítménynövekedést ! b, Mekkora lesz a teljesítménytényező, ha csak ∆P/2 teljesítménynövekedést biztosítunk? Uf = 220V B

B

f = 50Hz

Z = (10+j10)Ω

Megoldás 3.2.feladat: Határozza meg a gerjesztések ötödik harmonikusánál a hálózati elemek feszültségének és áramának időfüggvényét!

U1T(t) = 20V[1(t)-1(t-0.25T)+1(t-0.75T)-1(t-T)] U2T(t) = -20V[1(t-0.25T)-1(t-0.75T)] R = 10Ω XL(ω) = 2Ω XC(ω) = 50Ω ω = 1000 rad/s B

B

B

B

B

B

B

B

Megoldás

1.3 verzió


47

3.3.feladat: Periodikus áramú hálózatok Az ábra szerinti szinuszos áramú hálózatnál határozza meg C értékét úgy, hogy a kétpólus meddő teljesítménye maximális legyen! Mekkora ez a meddő teljesítmény? ω = 10 krad/s

Megoldás 3.4.feladat: Határozza meg L2 értékét úgy, hogy U fázisban legyen I1-el! f = 1kHz R1 = 1kΩ R = 500Ω L1 = 100mH B

B

B

B

B

B

B

B

Megoldás 3.5.feladat: Határozza meg a források és a tekercs komplex, hatásos és meddő teljesítményét!

Megoldás 3.6.feladat: Határozza meg az ágáramok és az ágfeszültségek komplex effektív értékét! Rajzolja meg a hálózat fazorábráját!

Megoldás 1.3 verzió


48

3.7.feladat: Periodikus áramú hálózatok Millmann tétele alkalmazásával számítsa ki az L induktivitású tekercs és a C kapacitású kondenzátor feszültségének és áramának komplex effektív értékét!

Megoldás 3.8.feladat: Határozza meg azt az ω körfrekvenciát, melyen Z(ω)=R/1.414 !

Megoldás 3.9.feladat: Határozza meg az ágáramok és az ágfeszültségek értékét! Rajzolja meg a hálózat fazorábráját! U V = −60V, I A = 1A

Megoldás 3.10.feladat: A bejelölt feszültségek és az ellenállás ismeretében határozza meg a szinuszos áramú kétpólus hatásos teljesítményét és teljesítménytényezőjét !



49

3.11.feladat: Periodikus áramú hálózatok Az ábra szerinti hálózatban a Z2 impedancián fellépő hatásos teljesítmény 10 W. Határozza meg a kapocsfeszültség effektív értékét , a hálózat által felvett hatásos teljesítményt , valamint a hálózat teljesítménytényezőjét ! Z1 = (30+j20)Ω , Z2 = (10+j30)Ω , Z3 = (40-j20)Ω B

B

B

B

B

B

B

B

Megoldás 3.12.feladat: Határozza meg az ábra szerinti szinuszos áramú hálózatban az ágáramok komplex effektív értékét. Rajzolja fel a hálózat fazorábráját !

Megoldás 3.13.feladat: Határozza meg az ábra szerinti szinuszos áramú hálózatban az ellenállás áramának valós pillanatértékét !

Megoldás

1.3 verzió


50

3.14.feladat: Periodikus áramú hálózatok A Z4 impedancia meghatározásával biztosítsa a Wheatstone-híd kiegyenlítését ! Realizálja a Z4 impedanciát f= 1kHz esetén ! B

B

B

B

Z1 = (26-j15)Ω , Z2 = 50 e j 60Ω , Z3 = (12-j30)Ω B

B

B

B

P

P

B

B

Megoldás 3.15.feladat: Határozza meg az i áram időfüggvényét és az R ellenálláson hővé alakuló teljesítményt ! ω = 100π rad/s IA(t) = 0.3cos(ωt-70o)A UV1(t) = 13sin(ωt+30o)V UV2(t) = 40cos(ωt+40o)V B

B

B

B

B

P

B

P

P

P

P

P

Megoldás 3.16.feladat: Határozza meg a hálózati elemek hatásos és meddő teljesítményét !

Megoldás

1.3 verzió


51

3.17.feladat: Periodikus áramú hálózatok Az ábra szerinti hálózatban határozza meg R, L, C értékét, ha tudjuk, hogy U és I fázisban van!

Megoldás 3.18.feladat: Az ágáramok és az ellenállás ismeretében határozza meg a Z impedancia hatásos teljesítményét az ábra szerinti szinuszos áramú hálózatban

Megoldás 3.19.feladat: Az alábbi hálózat 100V feszültség mellett 200W teljesítményt vesz fel. Határozza meg a Z2 impedanciát, ha a rajta átfolyó áram 10A, és Z0 = (5 + j2)Ω , Z1 = (− j10)Ω . Ezenkívül realizálja a hálózatot f = 50Hz esetén ! B

Megoldás

1.3 verzió

B


52

3.20.feladat: Periodikus áramú hálózatok Az ábra szerinti periodikus áramú hálózatban határozza meg az alapharmonikus hatásos, meddő és látszólagos teljesítményét ! Határozza meg a periodikus gerjesztés klirr-faktorát !

Megoldás 3.21.feladat: Határozza meg P,Q,S,D értékét ! u(t)=16+5sin(ωt+40o)-2cos(ωt-30o)+6cos(2ωt-70o)-3cos(3ωt-150o)V i(t)=-2-3sin(ωt-30o)+8cos(ωt+70o)+2sin(3ωt-40o)A P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

Megoldás 3.22.feladat: Határozza meg az alábbi periodikus jelalak abszolút középértékének és effektív értékének a változását a bejelölt α függvényében és ábrázolja azokat ! Határozza meg a formatényezőt α függvényében ! u ( t ) = 2 ⋅ U ⋅ sin(ωt )

Megoldás 3.23.feladat: Számítsa ki az alábbi aszimmetrikus háromfázisú feszültség szimmetrikus összetevőit ! UR=120e-j30 V US=200e-j120 V UT=100e-j210 V Megoldás 3.24.feladat: Határozza meg a periodikusan változó feszültség egyenáramú -,abszolút- és négyzetes középértékét, csúcs- és formatényezőjét ! B

B

B

B

P

B

B

P

P

P

P

P

UT(t)=1.414[1(t)-1(t-0.5T)]cos2ωt+1.414[1(t-0.5T)-1(t-T)]sin2ωt ahol ω=50π rad/s Megoldás B

B

1.3 verzió


53

3.25.feladat: Periodikus áramú hálózatok Határozza meg a hálózat áramának időfüggvényét a Fourier-sorbafejtés módszerével, ha: R = 20Ω , L = 1mH , C = 1µF , T = 200 µs B

B

Megoldás 3.26.feladat: Határozza meg a kétpólus hatásos teljesítményét !

Megoldás 3.27.feladat: Határozza meg az ábrán látható szinuszos áramú hálózat feszültségforrásának hatásos és meddő teljesítményét !

Megoldás 3.28.feladat: Határozza meg a feszültségforrás áramának időfüggvényét a Fourier-sorbafejtés módszerével!



54

3.29.feladat: Periodikus áramú hálózatok Az ábra szerinti lineáris invariáns tekercset periodikus feszültségű feszültségforrás gerjeszti. Határozza meg és rajzolja fel a tekercs áramának időfüggvényét a 0 < t < T tartományban !

Megoldás 3.30.feladat: Határozza meg az ábra szerinti periodikus áramhullám egyszerű abszolút és négyzetes középértékét, formatényezőjét !

Megoldás 3.31.feladat: A közvetlen bemenetű Deprez-rendszerű mérőmű skáláján 10V olvasható le. Mi olvasható le a lágyvasas mérőmű skáláján ?

Megoldás

1.3 verzió


55

3.32 feladat: Periodikus áramú hálózatok Az ábra szerinti szinuszos áramú hálózatban határozza meg a reflexiós tényező abszolút értékét, a fogyasztó hatásos teljesítményét, a reflektált teljesítményt és a reflexiós csillapítást!

Megoldás 3.33 feladat: A periodikus áramú hálózatban Hat. meg az 5 Ω-os ellenálláson egy periódus alatt hővé alakuló energiát! R1 = 5 Ω R 2 = R 3 = 10 Ω 1 ⋅10−2 H 2 ⋅π 2 L 2 = ⋅10−2 H L1 =

π

I0 ⋅ ( t − T ) ⋅ ⎡⎣1( t ) − 1( t − T ) ⎤⎦ T I0 = 2 mA

i A ( t )T =

T = 1 ms

1 ⋅10−4 F 2 ⋅π 1 C2 = ⋅10−4 F 8 ⋅π C1 =

Megoldás 3.34 feladat: Határozza meg a csillagpont eltolódást! Rajzolja fel a hálózat fazorábráját!

Megoldás

1.3 verzió


56

3.35 feladat: Periodikus áramú hálózatok A kétpólus A-B kapcsait 50Hz-es szinuszos váltakozó feszültséggel tápláljuk. Határozza meg R és C értékét úgy, hogy a 2. ág árama ugyanakkora legyen, mint az 1. ágé, de ehhez képest fázisban 90 fokkal legyen eltova!

Megoldás 3.36 feladat: Hány darab 5 ohmos ellenállást kell bekapcsolnunk ahhoz hogy rajtuk maximális teljesítmény alakuljon hővé? Mekkora ez a maximális teljesítmény?

i A (t) = 3cos(ω t − 43°)A

ω =300 rad/s

Megoldás 3.37 feladat: Szimmetrikus kétfázisú forrás feszültsége 100V. Határozza meg a fázisáramokat, az U 0 csillagpont eltolódást és az I0 áramot!

Megoldás

1.3 verzió


57

3.38 feladat: Periodikus áramú hálózatok Az ábra szerinti szinuszos áramú hálózatban számítsa ki a P2 P1 hatásfokot!

U1 = 220 ⋅ e j70° V I1 = (30 + j18)A

Megoldás 3.39 feladat: Határozza meg a gerjesztés harmadik harmonikusánál a hálózati elemek feszültségének és áramának időfüggvényét!

R = 20Ω X L (ω ) = 30Ω X C (ω ) = 270Ω rad ω = 103 s ⎧ 3 T ⎤⎫ ⎡ i1T (t) = −2A ⎨ ⎣⎡1(t) + 1(t − T) ⎦⎤ − ⎢1(t − T) + 1(t − ) ⎥ ⎬ 4 4 ⎦⎭ ⎣ ⎩ ⎧⎡ 3 T ⎤ T ⎫ i 2T (t) = −2A ⎨ ⎢1(t − T) + 1(t − ) ⎥ − 2 ⋅1(t − ) ⎬ 4 4 ⎦ 2 ⎭ ⎩⎣ Megoldás 3.40 feladat: Határozza meg és rajzolja fel a kétpólus Norton ekvivalensét!

1 i A (t) = sin(ω t + 80°)A 2 u V (t) = 6sin(ω t − 10°)V rad ω = 105 s

Megoldás

1.3 verzió


58

3.41 feladat: Periodikus áramú hálózatok Határozza meg R, L és C értékét úgy, hogy a kétpólus hatásos teljesítménye és a bekapcsolt ellenállások száma között egyenes arányosság álljon fenn, az arányossági tényező pedig 400W legyen!

Megoldás 3.42 feladat: Egy kétpólus feszültségének és áramának időfüggvénye: u(t) = ⎡⎣30 + 20cos(ω t + 30°) + 10cos(2ω t − 70°) + 12cos3ω t + 6cos(5ω t − 75°) ⎤⎦ V

i(t) = ⎡⎣5 + 4cos(ω t − 60°) + 6cos(2ω t + 50°) + 3sin(3ω t + 150°) ⎤⎦ A

Határozza meg a torzulási teljesítmény értékét! Megoldás 3.43 feladat: A kétfázisú hálózat forrásai szimmetrikusak, a vonali feszültség komplex effektív értéke 440V. Határozza meg a nullavezető áramának időfüggvényét!

U V = 440V f = 50Hz

Megoldás

1.3 verzió


59

3.44 feladat: Periodikus áramú hálózatok Határozza meg az ábra szerinti periodikus feszültség klirr faktorát!

Megoldás 3.45 feladat: Állítsa fel a szinuszos áramú hálózat hatásos és meddő teljesítményének teljesítménymérlegét!

Megoldás 3.46 feladat: Hat. meg R és L értékét úgy, hogy U és I egymással fázisban legyen!

Megoldás

1.3 verzió


60

3.47 feladat: Periodikus áramú hálózatok Határozza meg és rajzolja fel a szinuszos áramú kétpólus Norton ekvivalensét!

I A = 20 ⋅ e − j60° A U V = 10 ⋅ e j210° V

Megoldás 3.48 feladat: Hat. meg a hálózat bejelölt feszültségeinek és áramainak komplex effektív értékét! Számítsa ki a kétpólus hatásos és meddő teljesítményét! Rajzolja fel a fazorábrát!

U = 230 V R1 = R1 = 100 Ω X L = X C = 100 Ω f = 50 Hz

Megoldás 3.49 feladat: Az ábra szerinti szinuszos áramú hálózatban hat. meg a C kondenzátor áramának időfüggvényét!

U V1 = 10 ⋅ e j20° V U V2 = 20 ⋅ e − j25° V rad ω = 106 s

Megoldás

1.3 verzió


61

3.50 feladat: Periodikus áramú hálózatok Mekkora legyen C értéke, hogy az alapharmonikus effektív értéke (feszültség) rajta maximális legyen? Mekkora az alapharmonikus effektív értéke (feszültség) az ellenálláson? Mekkora az alapharmonikus (feszültség) hatásos és meddő teljesítménye?

⎡ ⎛ 3 ⎞ ⎛ T ⎞⎤ u T ( t ) = 5 V ⋅ ⎢1( t ) − 1( t − T ) + 1⎜ t − T ⎟ − 1⎜ t − ⎟ ⎥ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠⎦ ⎣ −6 T = 2π ⋅10 s Megoldás 3.51 feladat: Készítse el a hálózat teljesítmény mérlegét! Rajzolja fel a fazorábrát!

Megoldás 3.52 feladat: Hat. meg C és R értékét úgy, hogy az eredő teljesítménytényező 1 legyen! Hány %-kal nőtt meg a hatásos teljesítmény felvétel?

Megoldás 3.53 feladat: Háromfázisú (szimmetrikus) hálózatot (3 vezetékes) 3 fogyasztó terhel. Adatok: S1 = 27kVA, cosφ1 = 0,44 (ind), P2 = 8,52 kW, Q2 = -8,45 kvar, S3 = 34 kVA, Q3 = 29 kvar.Hat. meg az átlagos teljesítménytényezőt! A teljesítménytényezőt Y-ba kapcsolt kondenzátorokkal 0,9-re akarjuk javítani. Hat. meg C értekét, ha f = 50 Hz, U = 400 V! Rajzolja le a kapcsolást! Megoldás B

B

B

B

B

B

1.3 verzió

B

B

B

B

B

B


62

3.54 feladat: Periodikus áramú hálózatok Hálózatunk komplex impedanciája: __ ⎛ ⎞ 1 Z = ( 200 − j ) × (100 + 12 j ) × ⎜ 35 − 15 ⋅ − 4 j ⎟ Ω j ⎝ ⎠ Rajzolja fel a hálózatot, feltüntetve rajta R, XL, XC értékét! Milyen jellegű a hálózat? (rezisztív, kapacitív, induktív?) Megoldás 3.55 feladat: Állítsa fel a szinuszos áramú hálózat teljesítmény mérlegét! B

B

B

B

Megoldás 3.56 feladat: Az ábra szerinti szinuszos áramú hálózatban hat. meg az i2(t) időfüggvényt! B

Megoldás 3.57 feladat: A szinuszos áramú hálózatban hat. meg a P2/P1 hatásfok! B

B

B

B

Megoldás

1.3 verzió

B


63

3.58 feladat: Periodikus áramú hálózatok Állítsa fel a hálózat teljesítmény mérlegét és rajzolja fel a fazorábrát!

Megoldás 3.59 feladat: Számítsa ki és rajzolja fel a nemszimmetrikus háromfázisú feszültség szimmetrikus összetevőit! U R f = 230 ⋅ e − j40° V

USf = 230 ⋅ e− j160° V U Tf = −100 ⋅ e j40° V Megoldás

3.60 feladat: Az ábra szerinti szimmetrikus 3-fázisú hálózatban hat. meg a bejelölt feszültségek és áramok komplex effektív értékét, a 3-fázisú látszólagos, hatásos és meddő teljesítményt!

Megoldás

1.3 verzió


64

3.61 feladat: Periodikus áramú hálózatok Az ellenállás árama i1(t) + i2(t). Határozza meg a feltüntetett négy estben az ellenállás hatásos teljesítményét! B

B

B

B

Megoldás 3.62 feladat: Határozza meg a kondenzátor feszültségének időfüggvényét!

Megoldás 3.63 feladat: Az ágáramok és ágfeszültségek kiszámítása után rajzolja fel a léptékhelyes fazorábrát!

Megoldás

1.3 verzió


65

3.64 feladat: Periodikus áramú hálózatok Az ábra szerinti szinuszos áramú hálózatban hat. meg a) a C és D pont közé kapcsolt kétpólus és b) az A és B bemenetű kétpólus komplex, látszólagos, hatásós és meddő teljesítményét!

Megoldás 3.65 feladat: Hat. meg a nullvezető áramának időfüggvényét!

Megoldás

1.3 verzió


66

3.66 feladat: Periodikus áramú hálózatok A szimmetrikus összetevők módszere segítségével hat. meg az ellenállásokon hővé alakult teljesítmények összegét!

Megoldás

1.3 verzió


67

4. Lineáris hálózatok a frekvenciatartományban Témakörök

Feladatok: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38

1.3 verzió


68

4.1.feladat: Lineáris invariáns hálózatok a frekvencia tartományban Határozza meg a kétpólus bemeneti impedanciájának frekvencia helygörbéjét, ha R = 20 Ω , C = 0.4µF , L = 200µH !

Megoldás 4.2.feladat: Határozza meg a kétkapu feszültségátviteli karakterisztikájának Bode-diagrammját !

Megoldás 4.3.feladat: Határozza meg az alábbi kétpólus áramra vonatkozó helygörbéjét az R ellenállás függvényében ! Mekkora R értéknél lesz a P maximális és mekkora ez a teljesítmény ? Milyen R értéknél lesz a Q maximális és mekkora lesz ?

Megoldás 4.4.feladat: Határozza meg a feszültségátviteli karakterisztika helygörbéjét !



69

4.5.feladat: Lineáris invariáns hálózatok a frekvencia tartományban Határozza meg az U2/U1 feszültségátviteli karakterisztika Bode-diagrammját ! B

B

B

B

Megoldás 4.6.feladat: Határozza meg az R ellenállásra vonatkozó feszültségátviteli karakterisztika helygörbéjét és adja meg, hogy mely ellenállásnál értéknél lesz maximális, illetve minimális az átvitel, mikor lesz 1.5 az erősítés, és mely ellenállás értéknél maximális a fáziseltérés, és menyi annak értéke fokban? (ω=10 krad/s)

Megoldás 4.7.feladat: Az ábra szerinti szinuszos áramú hálózatnál határozza meg a helygörbe segítségével L értékét úgy , hogy a kétpólus meddő teljesítménye a maximális érték 2 –ed része legyen ! ω = 1000 rad/s, ωe = 1000 rad/s, Re = 100Ω B

B

B

B

Megoldás

1.3 verzió


70

4.8.feladat: Lineáris invariáns hálózatok a frekvencia tartományban Határozza meg az U2 feszültségre vonatkozó átviteli karakterisztikát és rajzolja fel annak helygörbéjét! A helygörbe ismeretében határozza meg U2max –ot és a hozzátartozó L értéket ! U1 = 1V, f = 50Hz, R = 1Ω , ωC = 1S B

B

B

B

B

B

Megoldás 4.9.feladat: Rajzolja fel a W(jω) átviteli karakterisztika Bode-diagrammját ! −ω W ( jω) = − ω + j(1 − ω 2 ) Megoldás 4.10.feladat: Rajzolja fel az ábra szerinti hálózat feszültségátviteli karakterisztikájának Bode-diagrammját ! R = 1kΩ, C = 0.1µF, L = 0.4H, Re = 1000Ω, Ce = 0.1µF B

B

B

B

Megoldás 4.11.feladat: Rajzolja fel a W(jk) átviteli karakterisztika helygörbéjét , ha a „k” valós változó a (-∞ , ∞) tartományban változik . Skálázza a helygörbét ! 4 + j6 + 4k 2 + j2k 2 W ( jk ) = 1+ j B

B

P

P

Megoldás 4.12.feladat: Határozza meg és ábrázolja léptékhelyesen (a jellemző amplitúdók és frekvenciák feltüntetésével ) az I1 áramra vonatkozó átviteli karakterisztika Bode-diagrammját, ha a gerjesztés áram ! B

B

Megoldás

1.3 verzió


71

4.13.feladat: Lineáris invariáns hálózatok a frekvencia tartományban Ábrázolja az alábbi átviteli karakterisztika Bode-diagrammját ! Írja fel a törésponthoz tartozó érintő egyenes egyenletét az amplitúdókarakterisztika logaritmusánál , s határozza meg , hol metszi ez az abszcissza tengelyt ! ω2 W ( jω) = − 1 + ω2 Megoldás 4.14.feladat: Bontsa fel két kör összegére és ábrázolja az alábbi bicirkuláris átviteli karakterisztikát !

W ( jω) =

4 + 2 jω − 3ω 2 + 6 jω − 24

Megoldás 4.15.feladat: Határozza meg az alábbi hálózat I / U áramátviteli helygörbéjét az R ellenállás függvényében! Ábrázolja léptékhelyesen! Határozza meg R milyen értékeinél lesz a látszólagos, a hatásos és a meddő teljesítmény maximális? Mekkorák ezek a teljesítmények? U = 10V

Megoldás 4.16.feladat: Határozza meg és ábrázolja az alábbi hálózat feszültségátviteli karakterisztikájának logaritmikus amplitúdódiagrammját ! (Aszimptotikus és valóságos görbét is ! ) Határozza meg azt a körfrekvenciát ahol az átviteli karakterisztika maximuma van ! Mekkora ez a maximum ? R = 10Ω, L = 100mH, C = 1mF

Megoldás

1.3 verzió


72

4.17.feladat: Lineáris invariáns hálózatok a frekvencia tartományban Határozza meg az I2(t) áramra vonatkozó: B

B

a, átviteli függvényt és ábrázolja pólus-zérus elrendezését b, átviteli karakterisztikát és ábrázolja annak Bode-diagrammját c, átmeneti függvényt és ábrázolja d, súlyfüggvényt és ábrázolja !

Megoldás 4.18.feladat: Határozza meg és rajzolja fel az I1 áramra vonatkozó átviteli karakterisztika helygörbéjét ,ha a gerjesztés áram ! B

B

Megoldás 4.19.feladat: Határozza meg és ábrázolja az I áramra vonatkozó átviteli karakterisztikát . Számítsa ki Pmin , Pmax , Qmin értékeket ! B

B

B

B

B

U = 100V, ω = 1Mrad/s

Megoldás

1.3 verzió

B


73

4.20.feladat: Lineáris invariáns hálózatok a frekvencia tartományban Határozza meg az ábra szerinti hídkapcsolás feszültségátviteli karakterisztikájának Bodediagrammját !

Megoldás 4.21.feladat: Egy hálózat feszültségátviteli karakterisztikájának amplitúdódiagrammját ábrázoltuk . Realizáljon egy valós hálózatot és adja meg a fáziskarakterisztikát is !

Megoldás 4.22.feladat: Határozza meg és ábrázolja az ábra szerinti áramkör feszültségátviteli karakterisztikájának Bode-diagramját ! Határozza meg a nevezetes frekvenciaértékeket abszolút értékben ! L = 0.4 H, C = 25µF B

B

B

B

B

Megoldás

1.3 verzió

B


74

4.23.feladat: Lineáris invariáns hálózatok a frekvencia tartományban Határozza meg és ábrázolja az ábra szerinti áramkör feszültségátviteli karakterisztikájának Bode-diagramját ! R1 = 1kΩ, R2 = 2kΩ, C1 = 1mF, C2 = 0.25mF B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

Megoldás 4.24.feladat: Határozza meg az alábbi átviteli karakterisztika Bode-diagramját ! W(jω)= jω+j(ω) 3 P

P

Megoldás 4.25.feladat: Határozza meg az alábbi átviteli karakterisztika Nyquist-diagramját ! W(jω)=jω(1-jω)(1+jω)+2 Megoldás 4.26.feladat: Határozza meg a kimeneti feszültségre vonatkozó átviteli karakterisztika Bode-diagramját és ábrázolja, ha a gerjesztés áram ! R = 2Ω, L = 100mH, C = 4mF

Megoldás 4.27.feladat: A komplex frekvenciasíkon egy hálózat átviteli karakterisztikájának pólus-zérus eloszlása látható. Határozza meg az átviteli függvényt, ha K = 0.25 ! Az átviteli függvény ismeretében rajzolja fel az átviteli karakterisztika Bode-diagramját !



75

4.28.feladat: Lineáris invariáns hálózatok a frekvencia tartományban Határozza meg az ábra szerinti hálózatban a felvett áram helygörbéjét a kondenzátor kapacitásának függvényében ! (ω=5 krad/s ) a, Imin =? ,milyen kapacitás értéknél ? b, Milyen kapacitás értéknél lesz a legkisebb az áram és feszültség közötti fázisszög ? B

B

Megoldás 4.29.feladat: Határozza meg az ábra szerinti hálózat feszültségátviteli karakterisztikájának Bodediagramját !

Megoldás 4.30.feladat: Határozza meg és rajzolja fel a kétpólus áramára vonatkozó átviteli karakterisztika helygörbéjét az R1 ellenállás függvényében ! B

B

Megoldás

1.3 verzió


76

4.31.feladat: Lineáris invariáns hálózatok a frekvencia tartományban Rajzolja fel az ábra szerinti áthidalt T-tag feszültségátviteli karakterisztikájának Bodediagramját !

Megoldás 4.32.feladat: Kétpólusunkat U=100V állandó feszültségű, ω=100 rad/s körfrekvenciájú szinuszos feszültségforrás táplálja. Határozza meg és rajzolja fel a kétpólus áram helygörbéjét, ha az induktivitás a [0,∞] tartományban változik ! A helygörbe alapján határozza meg: ● a maximális és minimális áramerősséget ● a maximálisan és minimálisan felvett hatásos és meddő teljesítményt ● azt az L értéket, melynél az U és I közötti fázisszög minimális !

Megoldás 4.33.feladat: Ábrázolja az ábrán látható hálózat bemeneti impedanciája pólus-zérus elrendezésének alakulását, ha R a [0,∞] tartományban változik !

Megoldás

1.3 verzió


77

4.34 feladat: Lineáris invariáns hálózatok a frekvencia tartományban Határozza meg az i(t) áram k-adik harmonikusára vonatkozó átviteli karakterisztikát, majd ennek W(3jω ) értékét!

ω L = 100Ω ω C1 = 4*10−3 s ω C2 = 10−2 s

Megoldás 4.35 feladat: Hat. meg és rajzolja fel a kondenzátor áramára vonatkozó logaritmikus amplitúdó és fáziskarakterisztikát a jellemző értékek bejelölésével!

Megoldás 4.36 feladat: Írja fel a tekercs áramára vonatkozó átviteli karakterisztikát C függvényében, ha a gerjesztés áram! Hat. meg a W (∞) pontban az érintő egyenes egyenletét!

Megoldás 4.37 feladat: Rajzolja fel a hálózat Bode-diagramját a nevezetes értékek bejelölésével!

Megoldás

1.3 verzió


78

4.38 feladat: Lineáris invariáns hálózatok a frekvencia tartományban Határozza meg az átviteli karakterisztika fázisszögének maximumához tartozó R értégét!

Megoldás

1.3 verzió


79

5. Lineáris invariáns hálózatok Témakörök

Feladatok: 1 2 3 20 21 36 37 52 53 68 69

4 5 6 22 23 38 39 54 55 70 71

7 8 9 24 25 40 41 56 57 72 73

10 26 42 58 74

11 27 43 59 75

12 28 44 60 76

1.3 verzió

13 29 45 61 77

14 30 46 62 78

15 31 47 63 79

16 32 48 64 80

17 33 49 65 81

18 34 50 66 82

19 35 51 67 83


80

5.1.feladat: Lineáris invariáns hálózatok Adott egy hálózat feszültségátvitelre vonatkozó átmeneti függvénye: h(t)=(e-2t+2e-3t-e-4t)1(t) P

P

P

P

P

P

[t]=s

Határozza meg: a, A hálózat átviteli függvényét ! b, A hálózat súlyfüggvényét ! c, A kimenőjel idő függvényét, ha a bemenőjel: u1(t)=10[1(t)-1(t-4)] [u]=V B

B

Megoldás 5.2.feladat: Határozza meg az ábra szerinti impulzus amplitúdó- és fázisspektrumát ! Ábrázolja az amplitúdó- karakterisztikát !

Megoldás 5.3.feladat: Határozza meg az időfüggvény Laplace-transzformáltját !

Megoldás 5.4.feladat: Határozza meg az alábbi F(p) függvény inverz- Laplace-transzformáltját ! (p + 2) 2 F(p) = 10 (p + 1) 2 (p + 4) Megoldás

1.3 verzió


81

5.5.feladat: Lineáris invariáns hálózatok Határozza meg az alábbi hálózatban a kapcsoló feszültségének időfüggvényét a Laplacetranszformáció alkalmazásával !

Megoldás 5.6.feladat: Az alábbi hálózatban határozza meg az UR / U1 –re vonatkozó átviteli karakterisztikát , átviteli függvényt , a pólus-zérus elrendezést ! Határozza meg az átmeneti és súlyfüggvényt és ábrázolja azokat ! R = 1Ω, L = 100mH, C = 625mF B

B

B

B

Megoldás 5.7.feladat: Az alábbi hálózatban határozza meg a bejelölt időfüggvényeket , ha U1(t) a megadott értékű ! L = 100µH, C = 100µF, U0 = 10V, T = 628.3µs B

B

B

B

Megoldás 5.8.feladat: Határozza meg az alábbi f(t) függvény komplex spektrumát , amplitúdó- és fázisspektrumát , energiaspektrumát és valós spektrumát ! Ábrázolja az amplitúdó- és fázisspektrumot ! f ( t ) = 10

−t

Megoldás

1.3 verzió


82

5.9.feladat: Lineáris invariáns hálózatok Az U0 feszültségre töltött C kondenzátort ellenálláson keresztül kapcsoljuk a szintén C értékű töltetlen kondenzátorra. Az energiaspektrum felhasználásával határozza meg az ellenálláson hővé alakuló energiát ! B

B

Megoldás 5.10.feladat: Egy hálózat súlyfüggvénye : k ( t ) = 1( t ) − 1( t − T) W(p)=? , W(jω)=? , h(t)=? Ábrázolja az amplitúdó- és fáziskarakterisztikát , ábrázolja az átmeneti függvényt ! Realizálható-e a hálózat ? Megoldás 5.11.feladat: Határozza meg az alábbi F(p) függvények inverz- Laplace-transzformáltjait és ábrázolja azokat! 1 (p + 1) 2 F(p) = 2 F(p) = 2 p (p + 1) p + 2.5p + 1 Megoldás 5.12.feladat: Határozza meg az alábbi hálózat feszültségátvitelre vonatkozó Bode-diagrammját és ábrázolja léptékhelyesen ! C1 = 10µF, C2 = 5µF, R1 = 100kΩ, R2 = 200kΩ B

B

B

B

B

B

B

B

Megoldás 5.13.feladat: Az előző példában szereplő határozza meg az átviteli függvényt , átmeneti és súlyfüggvényt ! Ábrázolja az átmeneti és súlyfüggvényt ! Megoldás

1.3 verzió


83

5.14.feladat: Lineáris invariáns hálózatok Mekkora legyen az alábbi hálózat bemenetére adott impulzus időtartama ahhoz , hogy a jelátvitelt alakhűnek tekinthessük ! Oldja meg a feladatot a Fourier-transzformáció segítségével !

Megoldás 5.15.feladat: Az operátoros impedanciák és generátorok segítségével határozza meg a kondenzátor feszültségének időfüggvényét !

Megoldás 5.16.feladat: Határozza meg az alábbi F(p) függvény inverz- Laplace-transzformáltját ! Adja meg f(t) kezdeti- és végértékét ! 2p 3 + 15p 2 + 34p + 21 F(p) = (p 2 + 5p + 4)(p + 3) 3 Megoldás 5.17.feladat: A Laplace-transzformáció segítségével határozza meg az ábra szerinti periodikus függvény Fourier- sorát !

Megoldás

1.3 verzió


84

5.18.feladat: Lineáris invariáns hálózatok Az operátoros impedanciák és generátorok segítségével határozza meg és rajzolja fel az u(t) időfüggvényt !

Megoldás 5.19.feladat: Határozza meg az R2 ellenállás áramára vonatkozó energiatartalmat és az R2 ellenálláson hővé alakuló energiát ! Sorrend εi → WR2 ! I0 = 2A, R1 = R3 = 50Ω, R2 = 100Ω, L = 50mH B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

Megoldás 5.20.feladat: Határozza meg a hálózat elemeinek értékét úgy , hogy a feszültségátvitel gyakorlatilag alakhű legyen !

Megoldás

1.3 verzió


85

5.21.feladat: Lineáris invariáns hálózatok Határozza meg az RL osztó feszültségátviteli karakterisztikájának érzékenységét és toleranciáját ! (k(ω) és φ(ω) érzékenységét és toleranciáját , relatív toleranciáját kell kiszámítania ! R = 7kΩ, L = 70mH (±2%) , ω = 105rad/s P

P

Megoldás 5.22.feladat: Határozza meg az f(t) függvény F(ω) komplex spektrumát FA(ω) és FB(ω) valós spektrumok segítségével ! P

P

P

P

Megoldás 5.23.feladat: Az operátoros impedanciák és generátorok segítségével határozza meg a bejelölt u(t) időfüggvényt ! IA(t)=[1-1(t)] B

B

Megoldás

1.3 verzió


86

5.24.feladat: Lineáris invariáns hálózatok Határozza meg a kétpólus I áramra vonatkozó relatív sávszélességét ! R = 5Ω, L = 1mH, QL = 200, ω = 106rad/s, C = 100nF, QC = 100, ω = 104rad/s B

B

P

P

B

B

P

P

Megoldás 5.25.feladat: Határozza meg és ábrázolja az u2(t) időfüggvényt a súlyfüggvény-tétel segítségével ! B

B

ha u1 (t) = 40 [1(t) − 1(t − T) ]

[V]

Megoldás 5.26.feladat: A hálózat súlyfüggvénye: 1 sec Határozza meg az átmeneti függvényt és realizálja a hálózatot ! k ( t ) = [−0.4e − 2000 t ⋅ 1( t ) + δ( t )]

Megoldás 5.27.feladat: Határozza meg a tekercs áramára vonatkozó átmeneti- és súlyfüggvényt , ha a gerjesztés feszültség ! R = 10Ω, L = 35mH



87

5.28.feladat: Lineáris invariáns hálózatok Határozza meg az i(t) időfüggvényt ! u(t)=[45V +0.6Vs δ(t-2ms)]1(t)

Megoldás 5.29.feladat: Határozza meg és ábrázolja az U1 feszültségre vonatkozó amplitúdó- és fáziskarakterisztikát, ha a gerjesztés feszültség ! Határozza meg a relatív sávszélességet ! Re = 1000Ω , Le = 1mH B

B

B

B

B

B

Megoldás 5.30.feladat: Határozza meg és ábrázolja az i2(t) időfüggvényt ! i(t) = 2.5As·δ(t) B

B

Megoldás

1.3 verzió


88

5.31.feladat: Lineáris invariáns hálózatok Határozza meg az i(t) áramra vonatkozó εi energiatartalmat és segítségével számítsa ki az R2 ellenálláson hővé alakult energiát ! Határozza meg és rajzolja fel az energiaátviteli karakterisztikát ! u(t)=100·1(t)V B

B

B

B

Megoldás 5.32.feladat: Határozza meg R és L értékét úgy , hogy a feszültségátvitel alakhű legyen !

Megoldás 5.33.feladat: Az ábra szerinti hálózatban már régen beállt az állandósult állapot , amikor a t = 0 pillanatban nyitjuk a kapcsolót. Az operátoros impedanciák segítségével határozza meg a kapcsoló pólusai között mérhető feszültség időfüggvényét ! Rajzolja fel ezt a feszültség–időfüggvényt!

Megoldás

1.3 verzió


89

5.34.feladat: Lineáris invariáns hálózatok Határozza meg az alábbi hálózat átmeneti- és súlyfüggvényét és ábrázolja azokat ! A megadott bemeneti jelre adott választ határozza meg a Laplace-transzformáció segítségével és ábrázolja a kimeneti jelalakot léptékhelyesen ! R= 1kΩ, C = 1000µF, U0 = 5V B

B

Megoldás 5.35.feladat: Határozza meg az alábbi operátoros formulák időfüggvényeit és ábrázolja azokat ! F(p) =

1 p(1 + e − p )

F(p) =

1 − e −p p+3

Megoldás 5.36.feladat: Határozza meg az alábbi függvény komplex spektrumát ! Ábrázolja az amplitúdó- és fázisspektrumot !

Megoldás 5.37.feladat: Milyen feltételeknek kell teljesülnie ,hogy a feszültségátvitel alakhű legyen , a megadott gerjesztésre ? U0 = 1V, T = 1s B

B

Megoldás

1.3 verzió


90

5.38.feladat: Lineáris invariáns hálózatok Az ábra szerinti hálózatban már régen beállt az állandósult állapot , amikor a t = 0 pillanatban nyitjuk a kapcsolót. Az operátoros impedanciák segítségével határozza meg és ábrázolja az áramforrás teljesítményének időfüggvényét a (-∞, ∞) tartományban !

Megoldás 5.39.feladat: Egy hálózat bemeneti jele az U1 , kimeneti jele az U2 feszültség .A hálózat súlyfüggvénye: B

B

B

B

k ( t ) = δ( t ) ⋅ [4e −4 t + e − t ] ⋅ 1( t ) Határozza meg: a, a hálózat átmeneti függvényét b, a kimeneti jel kezdeti értékét c, a kimeneti jel végértékét ! Megoldás 5.40.feladat: Határozza meg az ábra szerinti hálózatban : a, az u(t) feszültségre vonatkozó energiaátviteli karakterisztikát és rajzolja fel b, az i(t) áramra vonatkozó energiaátviteli karakterisztikát és rajzolja fel c, az R = 3kΩ-os ellenállásra vonatkozó energiatartalmat d, az R = 3kΩ-os ellenálláson hővé alakuló energiát !

Megoldás

1.3 verzió


91

5.41.feladat: Lineáris invariáns hálózatok Határozza meg az alábbi hálózatra: a, az átviteli függvényt és ábrázolja pólus-zérus elrendezését b, az átviteli karakterisztikát a törésponti frekvenciák feltüntetésével c, a súlyfüggvényt és ábrázolja d, az átmeneti függvényt és ábrázolja !

Megoldás 5.42.feladat: Határozza meg és rajzolja fel a válaszfüggvényt az időtartományban a Laplace-transzformáció alkalmazásával !

Megoldás 5.43.feladat: Veszteséges tekercsből és kondenzátorból soros rezgőkört építünk. Határozza meg a rezgőkör eredő jósági tényezőjét és relatív sávszélességét !

Megoldás

1.3 verzió


92

5.44.feladat: Lineáris invariáns hálózatok Határozza meg az ábra szerinti hálózatban a kondenzátor áramának időfüggvényét , ha a gerjesztőfeszültség : u(t)=25·δ(t) [V]

Megoldás 5.45.feladat: Határozza meg az u(t) feszültségre vonatkozó átmeneti- és súlyfüggvényt, ha a gerjesztés áram!

Megoldás 5.46.feladat: Az ábra szerinti hálózatban már régen beállt az állandósult állapot , amikor a t = 0 pillanatban nyitjuk a kapcsolót. Az operátoros impedanciák segítségével határozza meg az u(t) feszültségidőfüggvényt ! U0 = 12V, R = 1kΩ, C = 4µF B

B

Megoldás 5.47.feladat: Határozza meg az alábbi operátoros feszültség inverz Laplace-transzformáltját ! U ( p) =

U 0β p + 2α ⋅ 2 (p + α)(p + β) 2



93

5.48.feladat: Lineáris invariáns hálózatok Határozza meg a 100Ω-os ellenállás feszültségére vonatkozó h(t)-t, majd ebből W(p)-t ,ebből k(t)-t, majd abból h(t)-t !

Megoldás 5.49.feladat: Határozza meg az ábrán látható hálózat átviteli függvényét, súlyfüggvényét, átmeneti függvényét ! U1(t) ismeretében határozza meg U2(t)-t ! R1 = 50kΩ, R2 = 100kΩ, R3 = 50kΩ, C= 10µF, U1(t)= 500t e -5 t·1(t) B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

P

P

Megoldás 5.50.feladat: A Laplace-transzformáció és az operátoros impedanciák segítségével határozza meg a bejelölt áram időfüggvényét !

Megoldás

1.3 verzió


94

5.51.feladat: Lineáris invariáns hálózatok Határozza meg az ábrán látható hálózat bemeneti feszültségének időfüggvényét, ha ismert a bejelölt áram időfüggvénye !

Megoldás 5.52.feladat: Az ábra szerinti hálózatban már régen beállt az állandósult állapot, amikor a t = 0 pillanatban nyitjuk a kapcsolót. Az operátoros impedanciák segítségével határozza meg a kapcsolón fellépő feszültség időfüggvényét !

Megoldás 5.53.feladat: Határozza meg az f(t)= e -10000 t·1(t-τ) függvény komplex spektrumát, az amplitúdó- és fázisspektrumot ! Ábrázolja az amplitúdóspektrumot ! P

P

Megoldás 5.54.feladat: Határozza meg az ábra szerinti jelalak Laplace-transzformáltját !

Megoldás

1.3 verzió


95

5.55.feladat: Lineáris invariáns hálózatok Határozza meg az alábbi impulzus komplex spektrumát, az amplitúdó- és fázisspektrumot ! Ábrázolja az amplitúdó- és fázisspektrumot !

Megoldás 5.56.feladat: Az előző példában szereplő impulzushoz határozza meg az aluláteresztő szűrő paramétereit úgy, hogy a feszültségátvitel alakhű legyen !

Megoldás 5.57.feladat: Határozza meg az ábra szerinti időfüggvény Laplace-transzformáltját !

Megoldás 5.58.feladat: Határozza meg az ábra szerinti periodikus feszültséghullám Laplace-transzformáltját !



96

5.59.feladat: Lineáris invariáns hálózatok Határozza meg az alábbi W(p) függvény ismeretében f(+0)-t és f(∞)-t ! W ( p) =

4p 3 − 3p 2 + 7p − 2 2p 4 + 4p 3 + 3p 2 − 7p + 1

Megoldás 5.60.feladat: Az ábra szerinti hálózatban már régen beállt az állandósult állapot , amikor a t = 0 pillanatban zárjuk a kapcsolót. Az operátoros impedanciák segítségével határozza meg a kapcsolón átfolyó áram időfüggvényét !

Megoldás 5.61.feladat: Határozza meg az f(t) periodikus függvény Laplace-transzformáltját !

Megoldás 5.62.feladat: Az ábra szerinti hálózatban már régen beállt az állandósult állapot , amikor a t = 0 pillanatban zárjuk a kapcsolót. Az operátoros impedanciák segítségével határozza meg a bejelölt áram időfüggvényét, ha a kondenzátort a kapcsoló zárása előtt U0 = 20V-ra feltöltöttük ! B

Megoldás

1.3 verzió

B


97

5.63.feladat: Lineáris invariáns hálózatok Az ábra szerinti hálózatban már régen beállt az állandósult állapot , amikor a t = 0 pillanatban nyitjuk a kapcsolót. Az operátoros impedanciák segítségével határozza meg a kapcsoló pólusai között mérhető feszültség időfüggvényét !

Megoldás 5.64.feladat: Határozza meg és rajzolja fel a differenciáló kétkapu kimeneti feszültségét !

Megoldás 5.65 feladat: Az operátoros impedanciák segítségével határozza meg és rajzolja fel a −∞ < t < ∞ tartományban az u(t) időfüggvényt!

U 0 = 120V 400 Ω R= 3 C1 = 20nF C2 = 80nF Megoldás 5.66 feladat: Hat. meg az alábbi időfüggvény: a) Komplex spektrumát, az amplitúdósűrűségeket, a fázisspektrumot, b) Amplitúdó spektrumának sávszélességét, ha ρ = 0,1! 1 −104 ⋅t V u(t) = 3 ⋅ t ⋅ e s ⋅1(t) s Megoldás

1.3 verzió


98

5.67.feladat: Lineáris invariáns hálózatok Hat. meg az IR áramra vonatkozó fáziskarakterisztika toleranciáját és annak relatív értékét! B

B

Megoldás 5.68.feladat: Hálózatunkban a t=0 időpillanatban nyitjuk a kapcsolót. Az operátoros impedanciák segítségével hat. meg és rajzolja fel a -∞ < t < ∞ tartományban az áramforrás teljesítményének előjeles időfüggvényét!

Megoldás 5.69.feladat: Hat. meg az u2(t) stacionárius komponensének Fourier-sorát a Laplace-transzformáció segítségével! (Számoljon k = 3-ig). B

B

Megoldás

1.3 verzió


99

5.70.feladat: Lineáris invariáns hálózatok Az ábrán látható hálózatra hat. meg: a) W(p)-t és ábrázolja pólus-és zérushelyeit b) W(p)-ből h(t)-t és ábrázolja c) H(t)-ből Fourier - transzformációval W(jω)-t és ábrázolja Nyquist diagramját! A gerjesztés áram!

Megoldás 5.71.feladat: Hat. meg az i(t) áramra vonatkozó energiatartalmat és ebből az R3 ellenálláson hővé alakuló energiát! B

B

Megoldás 5.72.feladat: A hálózat feszültség átviteli karakterisztikáját bontsa fel két kör összegére!

Megoldás

1.3 verzió


100

5.73.feladat: Lineáris invariáns hálózatok Az operátoros impedanciák segítségével hat. meg az u(t) időfüggvényt iA(t) [-∞ < t < ∞] a jellemző értékek feltüntetésével! Ábrázolja u(t)-t! B

B

Megoldás 5.74.feladat: Hat. meg az alábbi jelalak komplex spektrumát, amplitúdó- és fázisspektrumát, az amplitúdó sűrűségeit! ⎡ ⎛ T ⎞⎤ u(t) = U 0 sin ω0 t ⋅ ⎢1(t ) − 1⎜ − ⎟ ⎥ ⎝ 4 ⎠⎦ ⎣

U 0 = 5V

f 0 = 103 Hz

T = 10−3 s

Megoldás 5.75.feladat: Hat. meg C értékét úgy, hogy a jelátvitel alakhű legyen! Rajzolja fel az amplitúdó spektrumot!

Megoldás 5.76.feladat: A Laplace – transzformáció segítségével hat. meg az u(t) = 2 V * sin103t * cos103t *1(t) feszültség Taylor – sorát! A sorbafejtést csak az első 0–tól eltérő tagig kell elvégeznie! Megoldás 5.77.feladat: Hat. meg a negyed-koszinuszhullám komplex spektrumát, amplitúdó- és fázisspektrumát, az amplitúdó sűrűségeket! ⎡ ⎛ T ⎞⎤ u(t) = U 0 cos ω0 t ⋅ ⎢1(t ) − 1⎜ − ⎟ ⎥ ⎝ 4 ⎠⎦ ⎣

U 0 = 6V Megoldás

1.3 verzió

ω0 = 105

rad s

ω0 ⋅ T = 2π


101

5.78.feladat: Lineáris invariáns hálózatok Hat. meg W(p)-t, ebből h(t)-t, h(t)-ből pedig k(t)-t!

Megoldás 5.79.feladat: Adott a tekercs áramának Laplace-transzformáltja. Számítsa ki a tekercs feszültségének időfüggvényét! A tekercs kezdetben energiamentes!

I(p) =

2A ⎛ 3 1⎞⎛ 2 6 1⎞ ⎜ p + 10 ⎟ ⎜ p + 10 ⎟ s ⎠⎝ s⎠ ⎝

[ I(p)] = As [ p] =

rad s

Megoldás 5.80.feladat: Határozza meg a periodikus gerjesztésre adott u(t) választ! A harmadik harmonikusig (3ω) kell számolnia!

Megoldás 5.81.feladat: Két veszteséges tekercsből és veszteséges kondenzátorból soros rezgőkört alakítunk ki. Határozza meg a rezgőkör relatív sávszélességét!

Megoldás

1.3 verzió


102

5.82.feladat: Lineáris invariáns hálózatok Az ábra szerinti hálózat átviteli karakterisztikáját bontsa fel körök Nyquist-diagramjának összegére! Ábrázolja a köröket!

Megoldás 5.83.feladat: Határozza meg az átviteli karakterisztika sávszélességét!

Megoldás

1.3 verzió


103

6. Négypólusok Témakörök

Feladatok: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37

1.3 verzió


104

6.1.feladat: Négypólusok Határozza meg a generátor belső impedanciáját úgy, hogy a, A generátornál teljesítményillesztés jöjjön létre! B, A generátornál reflexiómentes illesztés jöjjön létre! Z = (1+j)Ω

Megoldás 6.2.feledat: Határozza meg a lineáris rezisztív kétkapu lánc-mátrixát!

Megoldás 6.3.feladat: Határozza meg az ábra szerinti kétkapu kimeneti feszültségét !

Megoldás

1.3 verzió


105

6.4.feladat: Négypólusok Határozza meg az ábra szerinti hálózat ágfeszültségeit és ágáramait !

Megoldás 6.5.feladat: Határozza meg az ábra szerinti kétkapu inverz hibrid paramétereit !

Megoldás 6.6.feladat: Határozza meg az ábra szerinti lineáris rezisztív négypólus bemeneti és kimeneti feszültségeit és áramait !

Megoldás 6.7.feladat: Határozza meg az ábra szerinti négypólus konduktancia paramétereit !

Megoldás

1.3 verzió


106

Négypólusok 6.8.feladat: Az ábra szerinti hálózatban határozza meg a független áramforrás feszültségét !

Megoldás 6.9. feladat: Határozza meg az ábra szerinti kétkapu ellenállás paramétereit !

Megoldás 6.10.feladat: Határozza meg az ábra szerinti kétkapu ellenállás paramétereit !

Megoldás 6.11.feladat: Egy rezisztív elemekből álló kétkapu hibrid paraméterei a következők: h11 = 1Ω , h12 = 1, h21 = -1, h22 = 0 S B

B

B

B

B

B

B

B

Határozza meg annak a négypólusnak a hibrid paramétereit amit két ilyen kétkapu lánc kapcsolásával kapunk ! Megoldás

1.3 verzió


107

6.12.feladat: Négypólusok Határozza meg az ábra szerinti kétkapu ellenállás paramétereit !

Megoldás 6.13.feladat: Határozza meg az ábra szerinti rezisztív kétkapu bemeneti és kimeneti feszültségeit és áramait!

Megoldás 6.14.feladat: Határozza meg az ábra szerinti kétkapu eredő hibrid paramétereit !

Megoldás 6.15.feladat: Határozza meg az alábbi nemlineáris rezisztív kétkapu munkaponti értékeit ! Adja meg a U 1 = I1 + I12 munkaponti kisjelű helyettesítő négypólus paramétereit !

Megoldás

1.3 verzió


108

6.16.feladat: Négypólusok Határozza meg az ábra szerinti rezisztív kétkapu bemeneti ellenállását ! R1 = 2Ω, R = 5Ω, k1 = 0.5S, k2 = 8Ω B

B

B

B

B

B

Megoldás 6.17.feladat: Az ábra szerinti kétkapunál határozza meg a munkaponti jellemzőket és a kisjelű gerjesztésre adott ∆i1, ∆i2, ∆u2 válaszokat ! B

B

B

B

B

B

u ( t ) = 0.01sin(1000t − 40°)V

u 1 = i1 + i12

Megoldás 6.18.feladat: Adott a nemlineáris rezisztív kétkapu karakterisztikája és munkaponti értékei. Rajzolja fel a munkaponti kisjelű helyettesítő négypólust és segítségével számítsa ki ∆U1 és ∆I2 értékét , ha ∆I1 = 0.2mA és ∆U2 = 5mV ! B

B

B

B

B

i1 = 0.2

mA (u 1 + 3u 2 ) 2 V2

i 2 = 40

Megoldás

1.3 verzió

mA V

5u 2 + 20i1

B

B

B


109

6.19.feladat: Négypólusok Határozza meg az eredő kétkapu bemeneti és kimeneti hullámellenállását !

Megoldás 6.20.feladat: Írja fel az ábra szerinti hálózat eredő konduktancia-mátrixát ! Számítsa ki a bemeneti és kimeneti hullámellenállást !

Megoldás 6.21.feladat: Határozza meg és rajzolja fel a hárompólus munkaponti kisjelű helyettesítését ,ha I1 = 2A és U1 > 0 ! B

B

B

B

i1 = 1

A A u 1 + 1 2 u 12 V V

i 2 = −4

1 A 1 A A u 1 + ⋅ (u 2 − 1V) + ⋅ u 2 − 1V V 2 V 2 V

Megoldás 6.22.feladat: Határozza meg az ábra szerinti áthidalt T-tag konduktancia-mátrixát !

Megoldás

1.3 verzió


110

6.23.feladat: Négypólusok Határozza meg az ábra szerinti lánc-kapcsolású két aluláteresztő szűrő eredő láncparamétereit!

Megoldás 6.24.feladat: Határozza meg az ábra szerinti hálózat hibrid paramétereit ! L1 = 1H, L2 = 4H, k = 0.5, R = 1kΩ, ω = 1krad/s B

B

B

B

Megoldás 6.25.feladat: Határozza meg az ábra szerinti kétkapu U2 feszültségét ! B

B

Megoldás 6.26.feladat: Mi a feltétele, hogy az alábbi hálózat villamosan szimmetrikus legyen !

Megoldás

1.3 verzió


111

6.27 feladat: Négypólusok Rajzolja fel a kisjelű helyettesítő inverz hibrid négypólust és segítségével határozza meg a források teljesítményének előjeles megváltozását, ha ∆U V = 2mV és ∆I A = −3mA

i1 = 3 ⋅ 2−3u1 + 2i 1 u 2 = 4sh 2 ( 2 + 3 ⋅ e−2i2 ) u1 2 2

Megoldás 6.28 feladat: Hat. meg a nemlineáris rezisztív kétkapu munkaponti kisjelű hibrid paramétereit!

i1 = −5

mA mA ⋅ u 1 + 2 2 ⋅ u 12 V V

i 2 = 2mA ⋅ e

2

1 V3

⋅u13

+ 2mA ⋅ ln

u1 > 0 1 1 V2 lg 2 u2

u2 > 0

Megoldás 6.29 feladat: ,Hat. meg a négypólus teljesítményének előjeles értékét!

Megoldás

1.3 verzió


112

6.30 feladat: Négypólusok A párhuzamosan kapcsolt négypólusokra érvényes összefüggések felhasználásával hat. meg az eredő négypólus bemeneti ellenállását!

Megoldás 6.31 feladat: Hat. meg az eredő kétkapu inverz hibrid mátrixát!

Megoldás 6.32 feladat: A dinamikus jellemzők segítségével hat. meg a munkaponti feszültségek és áramok kisjelű megváltozását!

i1M > 0

u1 = 1 Megoldás

1.3 verzió

V V i1 + 1 2 i12 A A


113

6.33 feladat: Négypólusok Az ábra szerinti kétkapu karakterisztikája: 1

u1 = 1V *e A u2 = 1

* i1

+ 1Ω *i 2

V *i1 *i 2 + 1Ω *i 2 A2

a,) Határozza meg a munkapontot! b,) A munkapontban adja meg a kétkapu kisjelű hibrid helyettesítését! Megoldás 6.34 feladat: ,Számítsa ki az ábrán látható négypólus átviteli tényezőjét (Γ) és az átviteli csillapítást N-ben!

Megoldás 6.35 feladat: Hat. meg a négypólus ábra szerinti π-helyettesítésének paramétereit!

Megoldás

1.3 verzió


114

6.36 feladat: Négypólusok Hat. meg Zb1 és Zb2 értékét úgy, hogy az illesztés reflexiómentes legyen! B

B

B

B

Megoldás 6.37 feladat: Megoldás

1.3 verzió


115

Megoldások 1-337

1.3 verzió


116

1. Egyenáramú hálózatok

1.3 verzió


1.1.feladat: Bemeneti Karakterisztika:

117

Feladat

Ez alapján: I. szakasz:

− ∞ < u ≤ −1 V

U1=0 B

B

II. szakasz:

− 1V < u ≤ 1V

U1=-1/4U-2·1/2+1·3/4= -1/4·U-1/4 V B

B

1.3 verzió


III. szakasz

118

1 V < u ≤ 2 .2 V

1 +1 2× 2 1 1 5 1 2 = − U− V U 1 = − U⋅ ⋅ + 1⋅ − 2⋅ ⋅ − 2⋅ 1 1 1 1 12 2 12 2 2× 2 + 2× + 2 2× + 2 2× + 2 2 2 2 2 2×

IV. szakasz:

1 2

2×

1 2

2×

2.2 V < u

U1= -0.5·U+0.5 V B

B

Így a kimeneti karakterisztika:

1.3 verzió


119

1.2.feladat: Feladat Először is számoljuk ki az ellenállás kapcsaira nézve a hálózat belső ellenállását:

R1=70/20=3.5Ω R2=30/20=1.5Ω R3=21/20=1.05Ω Rb=R1+(R2+2)×(R3+1)=3.5+3.5×2.05=4.79Ω B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

Ezután helyettesítsük a hálózatot:

U 2AB PR = 0.6 ⋅ 4R b I=

U AB Rb + R 2

⎛ U AB ⎞ U 2AB PR = ⎜ ⎟ ⋅ R = 0.6 ⋅ 4R b ⎝ Rb + R ⎠

4R ⋅ R b = 0.6 ⋅ ( R 2b + 2R ⋅ R b + R 2 ) 3R 2 − 14R ⋅ R b + 3R 2b = 0 ⎛ 14 ± 196 − 36 ⎞ ⎛ 14 ± 160 ⎞ ⎧ 4.44 ⋅ R b = 21.28 Ω R1,2 = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ R b = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ R b = ⎨ 6 6 ⎩0.225 ⋅ R b = 1.078 Ω ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1.3 verzió


120

1.3.feladat:

Feladat

I1=(Ф1-120)/2 I2=(Ф1-140)/1.4 I3=(Ф1-60)/1.5 I1+I2+I3=0 Ф1/2-60+Ф1/1.4-100+Ф1/1.5-40=0 (21Ф1+30Ф1+28Ф1)/42-200=0 Ф1=(200·42)/79= 106.33 V I2= -24.05 A I3= 30.885 A I1= -6 .835A ФA=120-6.835= 113.165 V ФB=140-9.62= 130.38 V ФC=60+15.443= 75.443 V IAB=( ФA- ФB)/3= -5.738 A IAC=( ФA- ФC)/3= 12.574 A IAB=( ФA- ФB)/3= 18.312 A B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

Feladat

1.4.feladat: Rajzoljuk át a kapcsolási rajzot:

Ekkor: I1=15V / 10Ω= 1.5A ФA= -10+6= -4V Rb=4×6+8×2= 4Ω B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

I2=60V / 10Ω= 6A ФB= 48-48= 0V B

B

B

B

B

1.3 verzió


121

I=UAB/(Rb+R)= -4V / 4.8Ω= -0.833A PR=I2·R=(0.833)2·0.8= 0.555W B

B

B

P

B

P

B

B

P

P

Feladat 1.5.feladat: Egyből észrevehetjük, hogy a 2KΩ, 20V és a dióda nem szól bele I2 áramba. B

I2 = -I Kirajzolva a bemeneti karakterisztikát: B

B

1.3 verzió

B


I. szakasz:

122

− ∞ < u < 30V

I2= -U/1kΩ= -U [mA] II. szakasz:

30V < u < ∞

I2=-15mA-U/2kΩ= -15-0.5·U [mA] Feladat 1.6.feladat: Átrajzolva a kapcsolási rajzot (A hálózat gráfját egyszerűsítve kiderül, hogy a 20Ω, 30mA-es ág kiesik a rövid zár miatt):

230J1 − 80J 2 = −4 −80J1 + 145J 2 = 7 J 2 = 0.05 + 2.875J1 416.875J1 − 80J1 + 7.25 = 7 J1 = −0.742 mA J 2 = 47.87 mA I1=J1-20mA= -20.742 mA I2=J1= -0.742 mA I3=J1-J2= -48.612 mA B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

1.3 verzió

I4=J2= 47.87 mA I5=J2-40mA= 7.87 mA I6= 0 mA B

B

B

B

B

B

B

B

B

B


123

P1= -20mA·(100Ω·20.74mA)= -41.48 mW P2= 6V·I3 =6V·(-48.612mA)= -291.672 mW P3= 40mA·(25Ω·7.87mA)= 7.87 mW P4= 0 mW B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

1.7.feladat:

Feladat

G1=40ms → R1=1/0.04=25Ω ha U=2V → I1=U/R1=2V/25Ω=0.08A=80mA tg(3α)=0.5 3α=arctg(0.5)=26.57˚ → α=8.856˚ I2=40mA·tg(2α)=0.040·0.31937=12.7748mA R2=U2/I2=2V/12.7748mA=156.56Ω B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

1.8.feladat:

Feladat

104 = 333.3W 30 Pmax = 166.7W

Pmax =

2 2

104 ⎛ 100 ⎞ ⋅ = ⋅R 166.7 = ⎜ R ⎟ 2 ⎝ 7.5 + R ⎠ ( 7.5 + R ) 166.7 ⋅ ( 7.5 + R ) = 104 R 2

R 2 − 45R + 56.25 = 0 R1,2 =

45 ± 1800 ⎧43.715 Ω =⎨ 2 ⎩ 1.285 Ω

1.3 verzió

→

2cm


124

1.9.feladat:

Feladat

Φ + 20 Φ Φ Φ − 30 + −2+4+ + =0 10 5 8 10 0.525Φ = −1 Ekkor: I2= -1.9/5= 0.38A I1=18.1/10= 1.81A I4= 4A I5= -1.9/8= -0.2375A B

B

B

B

B

B

B

B

1.10.feladat: A bemeneti karakterisztika:

Feladat

1.3 verzió

I3= -2A I6= -31.9/10= -3.19A B

B

B

B


125

A kimeneti karakterisztika pediglen:

1.11.feladat:

Feladat

20 20 =2 = 0.842A 20 + 20 + 30 ×10 47.3 I'2 = 1.158A I1' = 2

10 = 0.21A 40 30 = 0.63A I'4 = I1' 40 I5' = I'2 + I3' = 1.368A

I3' = I1'

1.3 verzió


126

100 100 =− = −3.68A 30 × 40 + 10 27.14 I '4' = 3.68A

I 5'' = −

I1 = I1' + I1'' = 2.422A I 2 = I '2 + I '2' = −0.422A

40 = −2.1A 70 30 I '2' = −3.68 = −1.58A 70 I1'' = 1.58A I 3'' = −3.68

I 3 = I 3' + I 3'' = −1.89A I 4 = I '4 + I '4' = 4.31A I 5 = I 5' + I 5'' = −4.462A

P1 = I12 ⋅ 20 = 117.04 W P2 = 3.56 W P3 = 107.16 W P4 = 185.76 W Pu = −100 ⋅ 2.312 = −231.2 W

Pi = −2A ⋅ U i = −2(100 − 8.44 ) = −183.12 W

Feladat 1.12.feladat: 100 100 200 100 ⎞ × ⎛ U 2 = 100V⎜ + ⋅ ⎟ = 80V ⎝ 100 + 100 × 200 100 + 100 × 200 100 + 100 ⎠ Feladat 1.13.feladat: A 2A-es áramforrás rövidre van zárva így nem szól bele az ellenállás áramába. 6 1 3 6 1⎞ ⎛ ⋅ − 3A ⋅ + 36V ⋅ ⋅ ⎟ = 5A I = ⎜18V ⋅ 3+ 6 6 3+6 3+ 6 6⎠ ⎝ U = I ⋅ R = 5A ⋅ 6Ω = 30 V 1.14.feladat: Feladat Norton-Thevenin átalakításokkal az alábbi kapcsolásra redukálható a probléma:

Ekkor a maximális teljesítményhez R=10Ω, és így P =

1.3 verzió

U 2 36 = = 0.9 W 4R 40


127

1.15.feladat:

Feladat

⎛ 4 2 ⎞ 40 = 6.66V U AB = 20 ⋅ ⎜ − ⎟ = ⎝6 6⎠ 6 R AB = R 1 × R 2 + R 3 × R 4 = 2 × 4 + 4 × 2 =

16 = 2.66Ω 6

6.66 = 2.66 ⋅ I + 5I 2 ⎧0.918 A I1, 2 = −0.266 ± 1.403 = ⎨ ⎩ − U = 5 ⋅ (0.918) = 4.213 V 2

I R1 = 20

2 1 ⋅ = 3.33A 4+2 2

1.16.feladat:

Feladat

Q1 = tg (α) U Q C 2 = 2 = tg (1.5α) U tg (α) = 1 ⇒ α = 45° C 2 = tg (1.5α) = 2.41µF C1 =

1.3 verzió


128

1.17.feladat:

Feladat

→

G= 9.245mS 1.18.feladat:

Feladat

1.3 verzió


1.19.feladat:

129

Feladat

Ψ = L⋅i ⎡ µVs ⎤ ⎢ µA ⎥ ⎦ ⎣ L1 = tg (α) = 1H L=

Ψ i

→ α = 45°

L 2 = tg (1.5α) = 2.42 H Feladat 1 3Ω + 4Ω = 7Ω → S 7 1 1 x+k → ⋅ (− 8V ) + k = −2A → k = −0.85714 7 7 metszéspont az „i” tengelyen: k + 2 = 1.1429A

1.20.feladat:

Feladat 1.21.feladat: ⎛ 200 100 150 ⎞ UA = ⎜ − − ⎟mA ⋅ (5 × 4 × 2)kΩ = 47.368V 4 5 ⎠ ⎝ 2 ⎛ 200 100 150 ⎞ UB = ⎜ − − ⎟mA ⋅ (5 × 4 × 2)kΩ = −50V 2 4 ⎠ ⎝ 5 U AB = U A − U B = 97.368 V

1.3 verzió


1.22.feladat:

130

Feladat −1 ⎡ Q ⎤ ⎡ Q⋅I ⎤ IZ = ⎢ ⎥ ⋅⎢ ⎥ ⎣B ⋅ R ⎦ ⎣B ⋅ U ⎦ ⎡ 3V ⎤ ⎢ 0V ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 0V ⎥ U=⎢ ⎥ ⎢10 V ⎥ ⎢ 0V ⎥ ⎥ ⎢ ⎣⎢ 0V ⎦⎥

0 0⎤ ⎡− 1 1 0 1 ⎢ Q = ⎢ 0 − 1 1 0 − 1 0 ⎥⎥ ⎢⎣ 0 0 0 − 1 1 − 1⎥⎦

1.23.feladat:

⎡0 A ⎤ ⎢0 A ⎥ ⎢ ⎥ ⎢3A ⎥ I=⎢ ⎥ ⎢0A ⎥ ⎢ 2A ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢5A ⎦⎥

⎡1 1 1 0 0 0 ⎤ B = ⎢⎢0 − 1 0 1 1 0⎥⎥ ⎢⎣0 0 1 0 1 1⎥⎦ Feladat

1.3 verzió


131

7 R b = 3.15 × 9 = kΩ 3 2

Pmax

7 ⎛ ⎞ 9× ⎜ ⎟ 3 3 ⎜ ⎟ ⋅ ⋅ 10 −3 Ω = 8.45 mW = 12V 7 ⎜ ⎟ 7 9 × + 3.15 ⎟ ⎜ 3 ⎝ ⎠

1.24.feladat:

Feladat

1.3 verzió


132

2

⎛ 3.253 ⎞ P = I ⋅R = ⎜ ⎟ ⋅ 15.478 = 40.947 W ⎝ 2 ⎠ 2 R

Feladat

1.25.feladat:

4.

szakasz: − ∞ < u < 0

1.3 verzió


I1 =

133

1 U1 + 2 ⋅ 0.5 − = U1 1 1

II. szakasz: 0 ≤ u < 1V

III. szakasz: 1V ≤ u < ∞ Rövidzár mint az előbb!

1.3 verzió


1.26.feladat:

134

Feladat

100 = 2J 1 + 5(J 1 − J 2 ) 360 = 5(J 2 − J 1 ) + 10(J 1 + J 3 ) + 8J 2 J 3 = 80mA 100 = 7 J 1 − 5J 2 360 = −5J 1 + 23J 2 + 800 J 1 = 0.75357 mA J 2 = −18.97 mA I1 = −J 1 = −0,75357 mA I 2 = J 1 − J 2 = 19.7057 mA I 3 = 80mA I 4 = −J 3 + J 2 = −61.03mA I 5 = J 2 = −18.97 mA

Feladat 1.27.feladat: a, lényegében három R ellenállás párhuzamos kapcsolása: R R AB = 3 b, 1 R eR R e = R + 2R × R e = R + =R+ 1 1 R + Re + R Re R e R + R e2 = R 2 + R e R + R e R R AB = R e = 2R c, hasonlóan megoldva mint a b, feladatot: R 5R R AB = + 2 2 d, Rajzoljuk le a kockát síkba, majd csillag-háromszög átalakításokkal kapjuk a megoldást. R = 5 6Ω

1.3 verzió


135

e, ∞

∞ 1 R = R ⋅ = 2R ∑ n n n =1 2 n =1 2

R AB = ∑

1.28.feladat:

Feladat U V1 U = V1 R + 2R × 3R 2.2R UV2 UV2 I2 = = 2R + R × 3R 2.75R 3R 3 U V 2 I'1 = I 2 = ⋅ 4R 4 2.75R 3R 3 U I'2 = I1 = ⋅ V1 2R + 3R 5 2.2R

I1 =

U 2V1 3 U V1 ⋅ U V2 − ⋅ 2.2R 4 2.75R U 2V2 3 U ⋅U PV2R = U V2 (I 2 − I '2 ) = − ⋅ V2 V1 2.75R 5 2.2R 2 2 U V1 U U ⋅U U ⋅U + V2 − 3 ⋅ V 2 V1 − 3 ⋅ V2 V1 ∑ PR = 2.2R 2.75R 11R 11R 2 U V1 = 55W 2.2R PV1R = U V1 (I1 − I '1 ) =

U V1 = 11 R U 2V 2 = 176W 2.75R U V2 = 22 R

∑P

R

=55 + 176 − 6

1.29.feladat:

11 ⋅ 22 ⋅ R = 99W 11R

Feladat 4 = 30J 2 − 8J 1 ⋅ 8 2 = −8J 2 + 26J 1 92 = 7167 J 1

⋅ 30

J 1 = 0.128A J 2 = 0.168A U = 20J 2 + 6J 1 = 3.36 + 0.768 = 4.128V

1.3 verzió


1.30.feladat:

136

Feladat

Az első csomópontra vonatkozó egyenlet: (Φ − Φ 2 ) − 20 Φ1 − 12 Φ1 + −8+ 7 + 4+ 1 =0 6 4 4 Φ1 Φ1 Φ1 Φ 2 + + − −4=0 6 4 4 4 2 1 Φ1 − Φ 2 − 4 = 0 3 4 A második csomópontra vonatkozó egyenlet: Φ2 Φ − 15 Φ − Φ1 + 20 +3+ 2 −2−4+ 2 =0 2 5 4 Φ 19 − 1 + Φ2 −1 = 0 4 20 Ebből: Φ1 = 7.094V Φ 2 = 2.92V Φ − 12 I1 = 1 = −0.818A 6 I 2 = 1.77 A I 3 = − 8A I 4 = 7A I 5 = 4A Φ − Φ 2 − 20 I6 = 1 = −3.96A 4 Φ I 7 = 2 = 1.46A 2 I 8 = 3A Φ 2 − 15 = −2.42A 9 I10 = −2A

I9 =

1.31.feladat: Összevonva a kondenzátorokat:

Feladat

1.3 verzió

Villanytan példatár U AB = 28V − 14

137

28 − 8 = 18V 14 + 3 + 7 + 4

1.36 = 5.625V 4.36 = 6.75V

U 3µF = 18 U 2.5µF

Ebből már számolhatóak a kondenzátorok egyedi feszültségei: U 0.1µF = 6.75V U 4µF = 4.05V U 1.4µF = 5.25V U 2µF = U ( p − p ) 4µF = 2.8125V U 6µF = 2.7 V

1.32.feladat:

Feladat R S = 1.6 × 2.4 = 0.96Ω J = 100A U = I ⋅ R S = 96V I1 = 48A I 2 = 12A I 3 = 16A I 4 = 24A

10 − 48 − J ∗ + 30 − 16 = 0 J ∗ = −24A 48 + 12 − 10 − 20 − J ∗∗ = 0 J ∗∗ = 30A

1.33.feladat: Feladat A felső és az alsó hidat csillag-háromszög átalakítással összevonva: R b = 34.72 + 40.48 + (4.47 + 45 × (90 × 40 + 120 × 270)) × (9.49 + 68) = 100Ω I 2 V + 100I V = 200V I V = 1.9615A P1 = I V ⋅ I V2 = 7.547W ∆P = (1.9625 − 1.9615)3 = 1nW

1.3 verzió


1.34.feladat:

138

Feladat

Tervezzük meg a feszültség generátort ami pont ezt a munkapontot határozza meg (U v , R b ) . A generátor a következő karakterisztikájú, hogy a munkapontot létrehozza: U v − 3V = Rb 15mA Kritériumaink, hogy csupán egyetlen metszéspont legyen: U v − 5V > 15mA ⋅ R b ⇒ U v > 9V, R b > 400Ω U (munkapont határ) 15mA < V < 22.5mA (U v = 9V, R b = 400Ω) Rb Rb = R2 + RV U M = 3V és I M = 15mA U = U V − IR b I=

UV U − Rb Rb

IM =

UV UM − Rb Rb

15 ⋅10−3 =

UV 3 − Rb Rb

15 ⋅10−3 ⋅ R b = U V − 3 Tegyük fel, hogy U V = 18V , ekkor: R b = 1000Ω Tehát: R b = R 2 + 100 × 50 R 2 = 966.67Ω U = R 2 ⋅ I M + U M = 17.5V 17.5V − 12V = −55mA 100Ω I 2 = 15mA + 55mA = 70mA I1 = −

U V2 = −17.5V − 70 ⋅10−3 ⋅ 50 = −21V

1.3 verzió


1.35.feladat: Nem lineáris elem munkaponti adatai: I M = 6A

139

Feladat

6A = 2V 2A ∆P = U M ∆I + I M ∆U + ∆I∆U U M = 2V ⋅ log3

R d = 2V

2A 1 ⋅ = 0.303Ω I ⋅ ln 3 2A M

∆U = R d ⋅ ∆I = 1.8 ⋅ 10− 2 V ∆P = 0.228W 1.36.feladat:

szakasz −20 ≤ U1 < ∞

4.

U2 =

Feladat

1 U1 2

1.3 verzió


140

II. szakasz U1 < 20V

1 10 U 2 = U1 − 3 3

1.37.feladat:

Feladat

30 15 + 0.4 ⋅ 30 = −6V 40 45 = 30 × 15 = 10Ω = R

U AB = −15 R AB P=

U 2AB 36 = = 0.9 W 4R 40

1.3 verzió


141

1.38 feladat:

Feladat

1 1 * 100 200 S = 2 ⋅10−3 S G12 = 1 1 1 + + 100 100 200 R12 = 500Ω R 23 = R12 1 1 * G 31 = 100 100 S = 4 ⋅10−3 S 5 200 R 31 = 250Ω R B = (500 ×100 + 50 × 250) × 500Ω = 100Ω

U0 100 U0 = 100 + R b

Ipontos = Ihibás

h(hiba) =

Ipontos − I hibás Ipontos

100 Ω 99 100 Ω = 1,01Ω Rb ≤ 99

Rb =

1.39 feladat:

Feladat •

i1 = i A i 2 = i L1 i3 = i R

i 4 = iC = C ⋅ u C i5 = i L2 •

⎫

i A − i L1 − C ⋅ u C − i L2 = 0⎪ r = 2 ⎬ −i A + i L1 + i R = 0 ⎪⎭

1.3 verzió

U0 U0 − 100 100 + R b = = 10−2 U0 100


142

•

⎫ ⎪ • • ⎪ L 2 ⋅ i L2 − L1 ⋅ i L1 + R ⋅ i R = 0 ⎬ m = 3 ⎪ −u A + R ⋅ i R + u C = 0 ⎪ ⎪⎭

L 2 ⋅ i L2 − u C = 0

⎡ ⎡ • ⎤ ⎢ 0 ⎢uC ⎥ ⎢ ⎢ • ⎥ ⎢ 1 ⎢i L2 ⎥ = ⎢ ⎢ • ⎥ ⎢ L2 ⎢ i L1 ⎥ ⎢ 1 ⎣⎢ ⎦⎥ ⎢ ⎣⎢ L1

1 1⎤ − ⎥ ⎡1⎤ C C ⎥ ⎡U ⎤ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ C⎥ ⎢C⎥ 0 0 ⎥ ⋅ ⎢ i L2 ⎥ + ⎢ 0 ⎥ ⋅ i A ⎥ ⎢ i ⎥ ⎢R ⎥ L1 R ⎥ ⎣ ⎦ ⎢⎢ ⎥⎥ 0 − ⎥ ⎣L⎦ L ⎦⎥

−

•

x = A ⋅ x + B⋅e 1.40 feladat:

Feladat R e = 30 × 30 × 30 Ω = 10 Ω PR1 P10 Ω

=

R1 10 Ω

R1 =

10 Ω = 2,5 Ω 4

o I 1,6 I1 = − = − A = 0,53 A 3 3

I 2 = −2I1 = −

1.41 feladat:

Feladat

U AB = 0V 4 8 ×17 12 = ⋅ = 0, 249 4 + R1 8 ×17 + 10 17 4 = 0, 249R1 + 0,995 ⇒ R1 = 12,07Ω 248,12 R = 16,07 × (5, 44 + 10) = Ω = 7,87Ω 31,51 7,87 − 2 = 0,594 r= 9,87 a dB r = −20lg 0,549 = 4,51 a r = 4,51dB

1.3 verzió

o 3,2 A = 1, 0 6 A 3


1.42 feladat:

143

Feladat

1.3 verzió


1.43 feladat:

144

Feladat

⎡ −120 ⎤ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ n=4 ⎢ 100 ⎥ r = 3 uV = ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ m=3 ⎢ −30 ⎥ ⎢ ⎥ b=6 ⎢⎣ 0 ⎥⎦

c =1

[u ] = V [i ] = A

⎡ −1 Q = ⎢⎢ −1 ⎣⎢ 0 ⎡1 B = ⎢⎢0 ⎢⎣0

1 0 −1 0 0 ⎤ 0 −1 −1 0 −1⎥⎥ 0 0 1 −1 1 ⎦⎥ 1 −1 0 0 0 ⎤ 0 1 0 −1 −1⎥⎥ −1 1 −1 −1 0 ⎥⎦

⎡ 220 ⎤ B ⋅u V = ⎢⎢130 ⎥⎥ ⎢⎣130 ⎥⎦

⎡ −1⎤ Q ⋅ i A = ⎢⎢ 2 ⎥⎥ ⎢⎣ −2 ⎥⎦ 0 0 ⎤ ⎡5 10 −15 0 ⎢ B ⋅R = ⎢0 0 15 0 −17 −40 ⎥⎥ ⎢⎣0 −10 15 −20 −17 0 ⎥⎦ −1

0 −1 0 0 ⎤ ⎡ −1 ⎤ ⎡ i Z1 ⎤ ⎡ −1 1 ⎢i ⎥ ⎢ −1 0 −1 −1 0 −1 ⎥⎥ ⎢⎢ 2 ⎥⎥ ⎢ Z2 ⎥ ⎢ ⎢i Z3 ⎥ ⎢ 0 0 0 1 −1 0 ⎥ ⎢ −2 ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⋅⎢ ⎥ 0 0 ⎥ ⎢ 220 ⎥ ⎢i Z4 ⎥ ⎢ 5 10 −15 0 ⎢i Z5 ⎥ ⎢ 0 0 15 0 −17 −40 ⎥ ⎢130 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣i Z6 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 −10 15 −20 −17 0 ⎥⎦ ⎢⎣130 ⎥⎦

1.3 verzió

⎡0⎤ ⎢2⎥ ⎢ ⎥ ⎢0⎥ iA = ⎢ ⎥ ⎢3⎥ ⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ −5⎥⎦ R = 5,10,15, 20,17, 40


1.44 feladat:

145

Feladat

[Φ ] = V

[G ] = mS

[ I] = mA

25 ⋅ Φ1 − 2 ⋅ Φ 2 − 5 ⋅ Φ 3 = 8 ⋅ 2,5 + 5 ⋅ 2 −2 ⋅ Φ1 + 7 ⋅ Φ 2 − 2 ⋅ Φ 3 = 0 −5 ⋅ Φ1 − 2 ⋅ Φ 2 + 27 ⋅ Φ 3 = −5 ⋅ 2 − 15 Φ1 = 1,06 V PV = 2,5 V ⋅ 28,48 mA = 71, 2 mW

1.45 feladat: [ U ] = V [ I] = A

J1 = −0,15 A

J1 = −0,15 A = −150 mA J 2 = −6,96 mA J 3 = −23,97 mA J 4 = −89,98 mA

Feladat −1

0 0 ⎤ ⎡UA ⎤ ⎡ J1 ⎤ ⎡ 100 −100 ⎢ J ⎥ ⎢ −100 1270 −370 0 ⎥⎥ ⎢⎢ 50 ⎥⎥ ⎢ 2⎥ = ⎢ ⋅ ⎢ J3 ⎥ ⎢ 0 −370 1070 −500 ⎥ ⎢ -50 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 −500 800 ⎦ ⎣ -60 ⎦ ⎣⎢ J 4 ⎦⎥ ⎣ 0 I1 = J 2 = −6,96 mA I 2 = −150 mA I3 = J1 − J 2 = −143, 04 mA I 4 = J 2 − J 3 = 17, 01 mA I5 = J 3 = −23,97 mA I6 = J 3 − J 4 = 66, 01 mA I7 = − J 4 = 89,98 mA

1.3 verzió

( Fogyasztott )


146

1.46 feladat:

Feladat

∑ I = 0 = −I

1

− 10 A + 8 A − 10 A − 5 A + 2 A = 0

(A)

I1 = −15 A

∑U = 0 = U

1

+ 40 V − 30 V + 60 V − 80 V = 0

(V)

U1 = 10 V

∑ P = 0 = −1500 W + 1000 W + 500 W − 640 W + 600 W − 120 W + + 320 W + 80 W − 240 W = 0 W

1.3 verzió


1.47 feladat: a) -∞ < i ≤ 1 A

147

Feladat

b) 1 A < i ≤ 4 A

c) i > 4 A

1.3 verzió


148

1.3 verzió


149

1.48 feladat: R b = (10 × 40 + 2 ) ×10 × 5 Ω = 2,5 Ω U V = −2 A ⋅

Feladat

5 × ( 2 + 10 × 40 ) 2 10 ⋅ ⋅ 5 Ω + 12 V ⋅ = 2 + 10 × 40 + 10 × 5 15 10 + 5 × ( 2 + 10 × 40 )

10 2 1 1 = −2 A ⋅ ⋅ 5 Ω ⋅ + 12 V ⋅ 3 = − V + 3 V = 2,5 V 10 10 3 2 10 + 10 + 3 3 −20 lg r = 3,88 dB r = 0, 64 0, 64 =

R1 − R b R1 + R b

−0, 64 =

R2 − Rb R2 + Rb

R1 = 11,39 Ω R 2 = 0,55 Ω

UV2 2,52 V 2 = 0, 642 ⋅ = 0, 26 W 4R b 4 ⋅ 2,5 Ω Feladat 1.49 feladat: Pr = 0, 642 ⋅

R b = 800 × 200 + 140 + 200 × ( 80 + 120 ) Ω = 400 Ω

200 − 0,1 A ⋅ 800 × 200 Ω − 0,3 A ⋅140 Ω + 1000 200 120 200 + 40 V ⋅ − 0,1 A ⋅ ⋅ 200 Ω + 17 V ⋅ = 4,5 V 400 400 400

U 0 = 200 V ⋅

1 S = −58, 4 mS R d = −17,1 Ω 0,1852 200 ∆U 0 = 0,1 V ⋅ + 10−4 A ⋅ 800 × 200 Ω − 2 ⋅10−4 A ⋅140 Ω − 1000 200 120 200 − 0, 2 V ⋅ + 10−4 A ⋅ ⋅ 200 Ω − 0,3 V ⋅ = −0, 236 V 400 400 400 ∆U 0 = −0, 236 V ∆I0 = 13,8 mA

G d = −2 ⋅10−3

∆PM = 0,185 V ⋅13,8 ⋅10−3 A + 10,81⋅10−3 A ⋅ ( −0, 236 V ) = = 2,553 mW − 2,553 mW = 0

1.3 verzió


150

1.50 feladat: Feladat 1 1 −1 ⎛ 1 1 ⎞ G = 0,3 S ⋅ ⎜1 + + + ... + n −1 + n + ... ⎟ = 0,3 S ⋅ = 0, 6 S 1 2 2 ⎝ 2 4 ⎠ −1 2 0,3 S 3 29 i10 = 3 A ⋅ = 10 A 0, 6 S 2 2

⎛ 3 ⎞ 2 ⎜ 10 ⎟ A 30 2 ⎠ = 11 W = 14, 6 mW P10 = ⎝ 0,3 2 S 29

1.51 feladat:

Feladat

120 ⋅ 30 mS = 15 mS 240 30 ⋅ 90 90 G 23 = mS = mS 240 8 120 ⋅ 90 G 31 = mS = 45 mS 240

G12 =

90 mS = 36 mS 8 G = G b = 36 mS G b = 55 × 45 +

Ir = 2 A ⋅

0, 452 A 2 = 5, 625 W 36 ⋅10−3 S = 5, 625 W

Pmax = Pmax

1.3 verzió

45 mS = 0,9 A 100 mS


1.52 feladat:

151

Feladat

Φ1 − Φ 2 Φ1 − 14 Φ1 − Φ 2 − 6 = −3 − I1 + = I1 12 2 12 Φ 2 Φ 2 − Φ1 + 6 Φ 2 − Φ1 + + =4 5 12 12 Φ 2 = 6,54 V U AB = −6,54 V

1.53 feladat:

Feladat

L be = ( 75 + 75 ) × 75 mH = 150 × 75 mH = 50 mH

1.3 verzió


1.54 feladat:

36 V 2 Pmax = = 9 ⋅10−2 W 400 Ω R 2, 7 ⋅10−2 = 36 ⋅ 2 (100 + R )

152

Feladat

0,3 ⋅ Pmax = 2, 7 ⋅10−2 W R 1 = 1124 Ω

R 2 = 8,9 Ω

1.3 verzió


153

1.55 feladat: Feladat 1 1 1 ⎛1 1 1 1 ⎞ ⎛1 1⎞ ⎜ + + + ⎟ ⋅ ρ1 − ⋅ ρ 2 − ⎜ + ⎟ ⋅ ρ3 = ⋅120 + ⋅190 15 2 10 ⎝ 2 15 10 15 ⎠ ⎝ 10 15 ⎠ −

1 1 ⎛ 1 1 1⎞ ⋅ ρ1 + ⎜ + + ⎟ ⋅ ρ 2 − ⋅ ρ3 = 15 15 6 ⎝ 15 10 6 ⎠

1 1 1 1⎞ 1 1 ⎛1 1 ⎛1 1⎞ − ⎜ + ⎟ ⋅ ρ1 − ⋅ ρ 2 + ⎜ + + + + ⎟ ⋅ ρ3 = − ⋅150 + ⋅190 6 4 10 ⎝ 15 10 ⎠ ⎝ 6 4 12,5 10 15 ⎠ 1 I1 = (100 V − 120 V ) ⋅ S = −10 A ρ1 = 100 V 2 1 I 2 = (100 V − 40 V ) ⋅ S=4 A ρ 2 = 40 V 15 ⎛ 1⎞ I3 = 40 V ⋅ ⎜ − ⎟ S = −4 A ρ3 = −50 V ⎝ 10 ⎠ I 4 = 15 A 1 S = −15 A 6 1 I6 = ( −50 V + 150 V ) ⋅ S = 25 A 4 1 I7 = 50 V ⋅ S=4 A 12,5 1 I8 = − (100 V + 50 V − 190 V ) ⋅ S=4 A 10 1 I9 = (100 V + 50 V ) ⋅ S = 10 A 15 Fogyasztói referencia! I5 = ( −50 V − 40 V ) ⋅

PV1 = −120 V ⋅10 A = −1200 W PA2 = −40 V ⋅15 A = −600 W

∑ P = − 6310 W

PV3 = −150 V ⋅ 25 A = −3750 W PV4 = −190 V ⋅ 4 A = −760 W P2 Ω = 100 A 2 ⋅ 2 Ω = 200 W

P4 Ω = 625 A 2 ⋅ 4 Ω = 2500 W

P15 Ω = 16 A 2 ⋅15 Ω = 240 W

P12,5 Ω = 16 A 2 ⋅12,5 Ω = 200 W

P10 Ω = 16 A 2 ⋅10 Ω = 160 W

P10 Ω = 16 A 2 ⋅10 Ω = 160 W

P6 Ω = 225 A 2 ⋅ 6 Ω = 1350 W

P15 Ω = 100 A 2 ⋅15 Ω = 1500 W

∑ P =6310 W

1.3 verzió


154

1.56 feladat:

Feladat

R = 5 + 5 + 20 × ⎡⎣8 + 2 + ( 60 × 40 + 6 ) × 15⎤⎦ Ω = 20 Ω Feladat

1.57 feladat:

mA = mV S

Ω ⋅ mA = mV U9 = I ⋅ ⋅

{⎡⎣( G

{⎡⎣( G

11

11

}

+ G12 ) × G 9 × G10 + G 8 ⎤⎦ × ( G 6 + G 7 ) + G 5 × G 3 × G 4

}

+ G12 ) × G 9 × G10 + G 8 ⎤⎦ × ( G 6 + G 7 ) + G 5 × G 3 × G 4 + G 2

⋅

⎡⎣( G11 + G12 ) × G 9 × G10 + G 8 ⎤⎦ × ( G 6 + G 7 ) ⋅ ⎡⎣( G11 + G12 ) × G 9 × G10 + G 8 ⎤⎦ × ( G 6 + G 7 ) + G 5

⋅

( G11 + G12 ) × G 9 × G10 ⋅ 1 ( G11 + G12 ) × G 9 × G10 + G 8 G 9

=

10 mV ⋅ 60 = 18, 75 mV 32

= 60 mA ⋅

25 mS 50 mS 25 mS 1 ⋅ ⋅ ⋅ = 100 mS 100 mS 100 mS 0,1 S

1.3 verzió


155

1.58 feladat: R 2 = k ⋅ R1

Feladat

R4 = k ⋅ R3

( R1 + R 2 ) × ( R 3 + R 4 ) = (1 + k ) R1 × (1 + k ) R 3 = (1 + k ) R1 ⋅ R 3 = = R1 + R 3

= R1 × R 3 +

R2 R4 ⋅ R1 ⋅ R 3 R1 ⋅ R 3 +k⋅ = R1 × R 3 + k ⋅ k k = R2 R4 R1 + R 3 R1 + R 3 + k k

R2 ⋅ R4 = R1 × R 3 + R 2 × R 4 R2 + R4

1.59 feladat:

Feladat

R 2 = 20 + 20 × 100 Ω =

[ UV ] = V [ IA ] = A

U0 = UV ⋅

100 80 5 40 − IA ⋅ ⋅ 20 = ⋅ U V − Ω ⋅ I A 120 120 6 3

" F " referencia − ( U 0 '⋅ I") + U 0 '⋅ I" = 0 − ( U 0 "⋅ I') + U 0 "⋅ I' = 0

1.3 verzió

100 Ω 3


156

1.60 feladat:

a ) U ≤ -19 V

U1 = 0 V

Feladat

b) -19 V < U ≤ 2 V

c) U > 2 V

U1 = 0 V

1 1 = 1× 3 2 2 1 = 2× 5 2 7 1 = 2+ 3 3 12 2 = 2+ 5 5

1.3 verzió


157

1.61 feladat: [ J ] = mA ; [ U ] = V ; [ R ] = kΩ

Feladat

23J1 − 1040 + 5J 3 = 360

J 2 = −80 mA

13J1 − 1440 + 5J 3 = 160 + U A

J1 = 61, 03 mA

5J1 − 400 + 7J 3 = −100

J 3 = −0, 74 mA

J1 = − J 3 = 0, 74 mA J 2 = −J1 − J 2 − J 3 = 19, 71 mA J 3 = − J1 = −61, 03 mA J 4 = −J 2 = 80 mA J 5 = − J1 − J 2 = 18,97 mA U A = −160 + 13J1 − 1440 + 5J 3 = −810,3 V

Feladat

1.62 feladat:

1 1 1 ⎛1 1 1⎞ ⎜ + + ⎟ ⋅ Φ 2 − ⋅ Φ 5 = 12 ⋅ + 8 − 7 + ⋅ 20 − 4 4 5 4 ⎝ 5 10 4 ⎠ 1 1 1 ⎛1 1 1⎞ ⎜ + + ⎟ ⋅ Φ 5 − ⋅ Φ 2 = 4 − ⋅ 20 − 3 − 15 ⋅ + 2 4 4 5 ⎝2 5 4⎠ 11 ⋅ Φ 2 − 5 ⋅ Φ 5 = 88 Φ 2 = 6,37 V 19 ⋅ Φ 5 − 5 ⋅ Φ 2 = −100

Φ 5 = −3,59 V

Φ1 = Φ 2 − 12 V = −5,63 V

Φ 3 = 7 A ⋅ 4 Ω = 28 V

Φ 4 = Φ 5 + 20 V = 16,41 V

Φ 6 = −15 V

1.3 verzió


158

1.63 feladat: c =1 r = 2 b=5 n =3 m=3

[R ] = Ω ⎡1 Q=⎢ ⎣ −1 ⎡0 B = ⎢⎢ −1 ⎢⎣ 0

[ U] = V

Feladat

[ I] = A

−1 1 0 1 ⎤ 1 0 1 0 ⎥⎦ 1 1 −1 0 ⎤ 0 1 −1 0 ⎥⎥ 0 1 0 −1⎥⎦

⎡ −6 ⎤ ⎢ 5 ⎥ ⎢ ⎥ UV = ⎢ 0 ⎥ IA ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢⎣ −20 ⎥⎦ ⎡0 6 6 B ⋅ R = ⎢⎢ −5 0 6 ⎢⎣ 0 0 6

⎡0⎤ ⎢0⎥ ⎢ ⎥ =⎢4⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −7 ⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ −3 0 ⎤ −3 0 ⎥⎥ 0 −8⎥⎦

⎡ I Z1 ⎤ ⎡ 1 −1 ⎢ ⎥ ⎢ −1 1 I ⎢ Z2 ⎥ ⎢ ⎢I ⎥ = − ⎢ 0 6 Z3 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢IZ ⎥ −5 0 ⎢ ⎢ 4⎥ ⎢⎣ 0 0 ⎢⎣ I Z5 ⎥⎦

1

R= 5,6,6,3,8

⎡4⎤ Q ⋅ IA = ⎢ ⎥ ⎣ −7 ⎦

−1

1⎤ ⎡4⎤ 0 1 0 ⎥⎥ ⎢⎢ −7 ⎥⎥ 6 −3 0 ⎥ ⋅ ⎢ 5 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 6 −3 0 ⎥ ⎢ 6 ⎥ 6 0 −8⎥⎦ ⎢⎣ 20 ⎥⎦ 0

1.3 verzió

⎡5⎤ B ⋅ U V = ⎢⎢ 6 ⎥⎥ ⎢⎣ 20 ⎥⎦


159

2. Általános áramú hálózatok

1.3 verzió


160

2.1.feladat: a, Először is vizsgáljuk a -∞
Feladat

UA=4A·60×20Ω+40V·20/80=4A·15Ω+10V=70V B

B

b, Vizsgáljuk t ≥ 0 esetet

uC(-0)=u(+0)=2.4·10-6C / 10-7F=24V uA(t)=uC(t) Ucst=4A·60×20Ω+40V·20/80=70V 24V=M+70V → M= -46V Rb=20×60Ω=15Ω T=CRb=15·10-7s=1.5µs t − ⎛ ⎞ u A ( t ) = ⎜⎜ − 46e T + 70 ⎟⎟ V ⎝ ⎠ B

B

B

P

B

B

B

B

P

B

B

B

B

B

P

P

1.3 verzió


161

2.2.feladat:

Feladat

−t −t −t −t 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 5 −t u ( t ) = 60⎜⎜1 − e T ⎟⎟ + 5⎜⎜1 − e T ⎟⎟ ⋅ ⋅ e T − 6V = 54 + 12440 ⋅ e T − 12500 ⋅ e T ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ T −t −t −t −t −t 2 ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎞ T ⎟ T ⎜ T ⎟ T ⎜ ⎜ p( t ) = u ( t ) ⋅ i( t ) = 270⎜1 − e ⎟ + 62200 ⋅ e ⎜1 − e ⎟ − 62500 ⋅ e ⎜1 − e T ⎟⎟ W ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

p( t ) = 270 + 61930 ⋅ e

−t T

T

T

0

0

− 124700 ⋅ e −t T

2

−t T

+ 62500 ⋅ e T

W = ∫ 270dt + 61930 ⋅ ∫ e dt − 124700 ⋅ ∫ e 0

−t 2 T

3

−t T

W T

dt + 62500 ⋅ ∫ e

3

−t T

dt

0

W = 0.54 − 123.86 ⋅ (0.37 − 1) + 124.7(0.14 − 1) − 41.67(0.05 − 1) = 0.54 + 78.03 − 107.24 + 39.69J W = 10.92 J 2.3.feladat:

Feladat

5 = 0.5 ⋅ I 2 + 10 ⋅ I 0.5 ⋅ I 2 + 10 ⋅ I − 5 = 0 0.5 ⋅ I 2 + 20 ⋅ I − 10 = 0 ⎧ 0.488A I1, 2 = −10 ± 100 + 10 = ⎨ ⎩− 20.488A A -20.488A eredményt elvetjük, mert ellentétes a kialakuló áramiránnyal.

1.3 verzió


162

I R = 0.488A U R = 0.5I 2 = 0.119V Rd = Ld = Cd =

du di dψ di dq du

= i = 0.488Ω IR

= 4 ⋅ 10 − 2 i = 19.52mH IR

= 6 ⋅ 10 −6 u = 0.714µF UR

∆u = 2.75mV

0.488 = 0.1279mV 10.488 ∆q = C d ⋅ ∆u R = 0.09132 ⋅ 10 −9 C ∆u R = 2.75

∆i =

∆u R = 0.2574mA Rd

∆Ψ = L d ⋅ ∆i = 19.52 ⋅ 0.2574 = 5.024µVs ∆P = U R ⋅ ∆i + I R ⋅ ∆u = 0.0306mW + 0.0613mW = 0.0919mW Feladat

2.4.feladat: 2 4⎛ U ⎞ q= ⎜ ⎟ [µC] π ⎝ 2V ⎠ 2

C s = 0.5µF = Cd =

dq du

qM UM

= 4π UM

4⎛U⎞ ⎜ ⎟ U π 2 = ⎝ ⎠ = M µF ⇒ U M = 0.5π [V ] U π 2u 2 = U M = 1µ F 4 π

2.5.feladat: 0.6V i1 = = 30mA 20Ω 600mV 10 i2 = + 10ma = 35mA 20Ω 10 + 10 i [Vs] Ψ = 0.002 5mA

Feladat

2

Ψ2 ⎛ Ψ ⎞ i=⎜ 5mA ⋅ = ⋅ 5 ⋅10−3 = 1250Ψ 2 [A] ⎟ 2 − 3 ⎝ 0.002 ⎠ ( 2 ⋅10 )

1.3 verzió


163

Ψ2

∆W = ∫ i ( Ψ ) dΨ Ψ1

Ψ1 = 0.002 ⋅ 6 [Vs] Ψ2 = 0.002 ⋅ 7 [Vs] 0.002⋅ 7

0.002⋅ 7

⎡ Ψ3 ⎤ ∆W = ∫ 1250 Ψ dΨ = ⎢1250 ⎥ 3 ⎦ 0.002⋅ ⎣ 0.002⋅ 6 2

W=

6

Feladat

2.6.feladat: i L (−0) = 5

= 10 − 2 [6.173 − 4.899] = 12.7 ⋅ 10 −3 Ws

8 = 4A 10

1 L ⋅ i 2L = 0.5 ⋅ 10 ⋅ 10 −3 ⋅ 16 = 80 ⋅ 10 −3 = 80 mWs 2

2.7.feladat:

Feladat

10V = 16.6mA 600Ω 500 300 U c = 10 ⋅ = 5V 600 500

IL =

Cd =

dq du

dΨ Ld = di

= 2⋅6⋅ UC

2.42 ⎛ 1 ⎞ 4.8 1 ⋅⎜ − ⋅ = 0.0153µF ⎟= U c ⎝ U c ⎠ 5 25 2

IL

⎛ IL ⎞ 1 = 0.6 ⋅ 3 ⋅ ⎜ ⋅ = 18370.67H −3 ⎟ ⎝ 0.3 ⋅10 ⎠ 0.3

2.8.feladat:

Feladat

⎛ ⎞ 100 ⎛ 200 × 100 × (100 + 100 + 200) 3 ⎞ ⋅ 140 ⎟⎟ + 40⎜ U C 0 = −0.1⎜⎜ ⋅ ⎟ = 7.727V 100 + 200 × 80 4⎠ ⎝ ⎝ 100 + 200 + 100 + (100 × 100 × 200) ⎠ U Cstat = −0.1 ⋅ 100 = −10V TC = 5µF ⋅ 300Ω = 1.5m sec

1.3 verzió


164

t ⎛ −1.5ms ⎞ u C (t) = −10V + 17.727 ⎜ e ⎟ [V] ⎝ ⎠ 100 100 ⎛ ⎞ ⎛ 200 ×100 × 400 1 ⎞ I L0 = 0.1⎜ ⋅ ⋅ ⎟ = 195.45mA ⎟ + 40 ⎜ ⎝ 100 + 40 + 300 200 ×100 + 100 ⎠ ⎝ 100 + 200 × 80 80 ⎠

1 ⎞ ⎛ 200 × 100 I Lstat = 40 ⎜ ⋅ ⎟ = 160mA ⎝ 200 × 100 + 100 100 ⎠ 3mH TL = = 18µs 100 + 200 × 100 ⎛ − t ⎞ i L (t) = 160 + 35.45 ⎜ e 18µs ⎟ [mA] ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ t ⎛ − ⎞ u R (t) = 16 + 3.545 ⎜ e 18µs ⎟ [V] ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ u(t) = u C (t) − u R (t) = −16 + 17.27e

−

t 1.5m

− 3.545e

−

t 18µ

[V]

Feladat 4 = 0.16A = i(+0) ⇔ u c (−0) = 0.16A ⋅ 5kΩ = 800V = u c (+0) = u(+0) i(−0) = 0.6 11 + 4 4× 2 = 0.0649A istac = 0.6 4 × 2 + 11 T = 2µF ⋅ ( 3 + 5 × ( 6 + 4 × 2 ) ) kΩ = 12msec

2.9.feladat:

i(t) = 0.0649 + 0.0951(e

−

t 12ms

) [A] Feladat

2.10.feladat: I M = 10 −2 A U M = 2V ΨM = LS ⋅ I M Vs ⋅10 − 4 = 3 ⋅10 −7 Vs 2 A ΨM 3 ⋅10 −7 LS = = = 30 ⋅10 −6 H = 30µH −2 IM 10

ΨM = 3 ⋅10 −3

dΨ −3 −5 = 60µH M = 6 ⋅10 ⋅ i = 6 ⋅ 10 di q M = CS ⋅ U M 1 q M = 6 ⋅ 10 −6 ⋅ = 1.5µC 4 q C S = M = 0.75µF UM Ld =

Cd =

dq du

M

=6 ⋅ 10 −6 ⋅ (− 2 ) ⋅

1 = −1.5µF U 3M

1.3 verzió


165

2.11.feladat:

Feladat

U AB = 3 ⋅ 6 − 5 ⋅ 6 = −12V R B = 12 + 6 = 18Ω 12 = U + 3U 2 ⋅18

U 1, 2 = −0.0092529 ±

(0.018518)2 + 4 ⋅ 0.22 2

U M = 0.4622V I M = 3U 2 = 0.64A 1 di = rd du rd =

= 6U M M

1 = 0.36Ω 6U M

6 = 0.3268mA 18.36 ∆U = rd ⋅ ∆I = 0.1176mV ∆I = 1mA ⋅

2.12.feladat: − ∞ < i < −1 ⇒ U + termelői −1 < i < 6 ⇒ U − fogyasztói 6
Feladat

2.13.feladat.

Feladat

15 30 × 20 ⋅ ( 30 × 20 ) + 6 ⋅ = 3.9375V 15 + 5 + 30 × 20 30 × 20 + 20 = 0.3 ⋅15 = 4.5V

u C (−0) = 0.3 u Cstac

TC = C ⋅ R b = 15 ⋅10−6 ⋅ 20 = 0.3 msec t − ⎛ TC u C (t) = ⎜ 4.5 − 0.5625 ⋅ e ⎜ ⎝

⎞ ⎟ [V] ⎟ ⎠

1.3 verzió


i L (−0) = 0.3 ⋅

166

15 30 6 ⋅ − = −0.103125A 15 + 5 + 30 × 20 50 20 + 30 × 20

6 = −0.12A 50 L 6.75 ⋅10−3 TL = = = 0.135msec Rb 50

i Lstac = −

t − ⎛ ⎞ i L (t) = ⎜ 0.016875e TL − 0.12 ⎟ [A] ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ t − ⎛ ⎞ TL u R (t) = −i L (t) ⋅ 30Ω = ⎜ −0.50625e + 3.6 ⎟ [V] ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ t t − − ⎛ ⎞ TC TL u K (t) = u C (t) − u R (t) = ⎜ 0.50625e − 0.5625e + 0.9 ⎟ [V] ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

2.14.feladat: i L (−0) =

Feladat

3 8 3 ⋅ = A 2 + 4×8 8 + 4 7

1 L(i L (−0)) 2 = 2.2mWs 2 WR = 0.73mWs WL =

W2 R = 1.46mWs 2.15.feladat: i L (−0) = 10A

Feladat

i Lstac = 0A TL =

L 10mH = = 2.67 msec R b 5Ω ×15Ω

i L (t) = 10e

−

t TL

[A] t

− di (t) u L (t) = L ⋅ L = −37.45e TL [V] dt

2.16.feladat: u C (−0) = 5V

Feladat

u Cstac = 0V TC = R b ⋅ C = 5µ sec u C ( t ) = 5e

−

t TC

[V] t

− du ( t ) i C ( t ) = C ⋅ C = −1e TC [A] dt

1.3 verzió


167

u R1 ( t ) = u C ( t ) W=

1 2 C ⋅ (u C (−0) ) = 0.0125mWs 2

2.17.feladat:

Feladat

i L (−0) = −2A +

9V = −1.7A 30Ω

u C (−0) = 9

i Lstac = −2A

u Cstac = 9V

L 10mH = = 1 msec TL = Rb 10Ω t − ⎛ TL i L (t) = ⎜ −2 + 0.3 ⋅ e ⎜ ⎝

u L (t) = −3 ⋅ e

−

t TL

10 + 10 = 6V 30

TC = C ⋅ R b = 100µF ⋅10Ω = 1 msec t − ⎛ u C (t) = ⎜ 9 − 3 ⋅ e TC ⎜ ⎝

⎞ ⎟ [A] ⎟ ⎠

⎞ ⎟ [V] ⎟ ⎠

[V]

u K (t) = u C (t) − u L (t) = 9 − 3 ⋅ e

−

t TC

+ 3⋅ e

−

t TL

[V]

Feladat

2.18.feladat:

10 5 5 10 ⎞ ⎛ ⋅ + ⋅ ⎟ = 0.3A i L (−0) = 0.6 ⋅ ⎜ ⎝ 10 + 5 × 10 15 5 + 10 × 10 20 ⎠ 5 i Lstac = 0.6 ⋅ = 0.2A 15 Ψ = 0.2 ln(2i L ( t )) [mVs] Ψ (0) = 0.2 ln(0.6) = −0.1mVs Ψ (∞) = 0.2 ln(0.4) = −0.18mVs Ψ∞

∆W = ∫ i(Ψ )dΨ = Ψ0

Ψ∞

∫

Ψ0

1 2

e

Ψ 0.2 mVs

0.18 − ⎡ − 00..21 ⎤ + e 0.2 ⎥ = −0.02mWs dΨ = 0.1mWs⎢− e ⎣ ⎦

1.3 verzió


168

2.19.feladat:

Feladat

C ⋅ u&C = i C iC + i L = iV u V = R (i C + i L ) + u C •

u C = Li L u&C = −

1 1 • 1 u C − LiL + uV RC C RC

uC L ⎡− 1 ⎡u&C ⎤ ⎢ RC ⎢i• ⎥ = ⎢ 1 ⎣L ⎦ ⎣ L

•

iL =

−

1 C

0

⎤ u ⎡1 ⎤ ⎥ ⋅ ⎡ C ⎤ + ⎢ RC ⎥ ⋅ u V ⎥ ⎢⎣ i L ⎥⎦ ⎢ 0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎦

2.20.feladat:

Feladat

u C (−0) = 200 ⋅ 1.5 − 100 ⋅ 1.5 = 150V ⎛ 4 3⎞ u Cstac = 6 ⋅ ⎜ − ⎟ = 1.2V ⎝ 5 5⎠ T = R b ⋅ C = [(100 × 400) ⋅ (200 × 300)] = (80 + 120) ⋅ 2µF = 400µ sec u C ( t ) = 1.2 + 148.8e

−t T

[V] −t

du ( t ) i C ( t ) = C C = −0.744e T [A ] dt

1.3 verzió


2.21.feladat: kondenzátor: u1 = 0

169

Feladat

q1 = 0 u 2 = 65V q 2 = 650µC ∆WC =

1 C ⋅ u 2 = 5 ⋅ 65 2 = 21125µWs 2

tekercs: i1 = 7.5mA Ψ1 = 37.5µVs i 2 = 7.5mA Ψ2 = 37.5µVs ∆WL = 0µWs 2.22.feladat: i L (−0) = 1A

Feladat

1 L ⋅ i 2 = 0.33Ws 2 W22 Ω = 0.11Ws W=

W44 Ω = 0.22 Ws W66 Ω ( t ) = I 2 R ⋅ t = 264 ⋅ t [ Ws]

1.3 verzió


170

2.23.feladat:

Feladat

di L = u L = u R1 = i R1 ⋅ R1 dt u C 2 + u C1 + u L = u V

L

1 di L 1 1 = − u C1 − u C 2 + u V L dt L L du C1 C1 = i C dt u i C + C1 = i V R2 du C 2 = iV dt du u du L di L 1 1 1 C1 C1 + C1 = C 2 C 2 = i V = i L + i R1 = i L + ⋅ = i L − u C1 − u C 2 + u V dt R2 dt R 1 dt R R R

C2

⎡ ⎢0 ⎡ i• L ⎤ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢1 ⎢ u&C1 ⎥ = ⎢ C ⎢u&C 2 ⎥ ⎢ 1 1 ⎣ ⎦ ⎢ ⎢⎣ C 2

1 L R1 + R 2 − R 1R 2C1 1 − R1C 2 −

⎡ 1 ⎤ 1 ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ L ⎥ ⎡ iL ⎤ ⎢ L ⎥ 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⋅ u C1 + − R 1C1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ R1C1 ⎥ 1 ⎥ ⎢⎣u C 2 ⎥⎦ ⎢ 1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ − R1C 2 ⎥⎦ ⎢⎣ R1C 2 ⎥⎦ −

2.24.feladat: u v ( t ) = 150 sin(ωt + 70°) V

Feladat

ω = 103 rad sec 1 1 1nF → = 3 = 1MΩ ωC 10 ⋅ 10− 9 Az AB pontra helyettesítsük a hálózatot:

1.3 verzió


171

1⎞ ⎛ ⎜ 0.5 ⎟ 1 3 ⎜ U AB = U ⋅ − ⎟ = UV ⎜ 1.5 4 ⎟ 12 ⎜ ⎟ 3⎠ ⎝ ⎛ 1⎞ 7 Zb = (1 × 0.5) + ⎜1 × ⎟ = MΩ ⎝ 3 ⎠ 12 1 1 U U AB = U V ⋅ = V 7 12 19 1+ 12 U 1 U I AB = V ⋅ = V µA 19 1MΩ 19 150 180° i AB ( t = 3ms) = sin(103 ⋅ 3 ⋅ 10 − 3 ⋅ + 70° + 90°) = −3.7µA 19 3.14 Feladat 2.25.feladat: 8 U M = 6 = 4.8V 10 8 q M = 3 ⋅10−6 sh = 1.062µC 4.82 ⎛ 8 ⎞ dq Cd = = 3 ⋅10−6 ch ⎜ 2 ⎟ ⋅ ( −16 ⋅ U −M3 ) = −0.46µF du M ⎝ UM ⎠ 8 = 8mV 10 ∆q M = Cd ⋅ ∆U M = −3.68nC ∆U M = 10mV

2.26.feladat: Q = C⋅U q = k⋅r⋅u Q = 1000q = 1000 ⋅ k ⋅ r ⋅ u = k ⋅ R ⋅ U 1000 ⋅ r ⋅ u 5000r U= = R R 4 3 4 R π = 1000 ⋅ r 3π 3 3 R = 10r U = 500V

Feladat

1.3 verzió


172

2.27.feladat: Feladat Csak az a munka számít amit az erőtér ellenében végzünk. U = 100V r ⋅r C = 4ε ⋅ a b = 8ε rb − ra Q = C ⋅ U = 800ε [C] q = 1µC 1 k= 4πε0 ⎛ kQ kQ ⎞ ε ⎟⎟ = 16.6 ⋅ W = q⎜⎜ − µJ r2 ⎠ 4πε0 ⎝ r1 2.28 feladat:

Feladat R b = 10 Ω T = C ⋅ R b = 2 ⋅10−6 F ⋅10 Ω = 2 ⋅10−5 s

u C ( −0 ) = u C ( +0 ) = 0

0 = M + 40 V

t − ⎞ ⎛ u C ( t ) = 40 ⋅ ⎜1 − e T ⎟ V ⎝ ⎠ t − ⎞ ⎛ u ( t ) = u C ( t ) = 40 ⋅ ⎜1 − e T ⎟ V t≥0 ⎝ ⎠

u C stac = 40 V

1 1 WR = WC = ⋅ C ⋅ U C 2 = ⋅ 2 ⋅10−6 F ⋅1600 V 2 = 1, 6 ⋅10−3 J 2 2

1.3 verzió

t≥0


173

2.29 feladat:

Feladat

⎡• ⎤ iL x tr = ⎢ • ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ u C ⎦⎥ •

i4 = iL •

i2 = C ⋅ u C

−i1 − i3 − i L = 0 −C ⋅ u C + i 3 + i L = 0 −2Ri1 + u C + i3R = 0 •

−2Ri1 + u C + Li L = 0

⎡ 2 ⎢− 3 A=⎢ ⎢ 1 ⎣⎢ 3

1⎤ 2 1 − ⎥ − −λ − 3 ⇒ 3 3 =0 ⎥ 1 1 1 − ⎥ − −λ 3 ⎦⎥ 3 3 2 1 1 1 ( + λ )( + λ ) + = λ 2 + λ + = 0 3 3 9 3 1 −1 ± j 3 λ1,2 = 2 11 1 rad δ =− ω= 2s 2 3 s

ω0 =

1 1 iL − u 3C 3RC C • 2R 1 iL = − iL − u C 3L 3L •

•

1 1 rad + = 0,577 4 12 s

1.3 verzió

uC =


174

2.30 feladat:

Feladat

4 u C (−0) = U b 7 4 u Cst = U a 5 4 4 Ub = Ua 7 5 7 U b = U a = 70V 5 Feladat

2.31 feladat:

30 × 20Ω = 12Ω T = 12Ω ⋅ 3 ⋅10−9 F = 3,6 ⋅10−8 s 30 u C1 (−0) = 80V ⋅ = 60V 40 u C2 (−0) = 3A ⋅ 20Ω = 60V u C1 (−0) = u C2 (−0) u C (−0) = u C (+0) = 60V u Cst = 36V 60 = M + 36 M = 24V u C (t) = (24 ⋅ e p A (t) = (72 ⋅ e

−

t T

t − T

+ 36)V

t≥0

+ 108)W termelt t ≥ 0

p A ( t) = 3 A ⋅ 20Ω = 180W termelt t < 0 2

2

1.3 verzió


175

2.32 feladat:

Feladat •

iC = C ⋅ u C • 1 iR = ⋅ L ⋅ iL R ⎡ ⎡ ⎤ ⎢0 i L ⎢ ⎥=⎢ ⎢• ⎥ ⎢1 ⎣⎢ u C ⎥⎦ ⎢ ⎣C •

1 ⎤ − ⎥ i L ⋅⎡ L ⎤ ⎥ 1 ⎥ ⎢⎣ u C ⎥⎦ − RC ⎥⎦

•

C ⋅ u C = iL +

L • ⋅ iL R

1 1 u C − U0 L L • u U C ⋅ u C = iL − C − 0 R R •

iL = 0 ⋅ iL −

•

u C + L ⋅ i L = U0

1 V = 109 C As 1 A 1 1 A12 = − = − 100 A 22 = − = −106 L Vs RC s A11 = 0

A 21 =

A11 + A 22 ± (A11 + A 22 )2 − 4(A11 ⋅ A 22 − A12 ⋅ A 21 ) 2 6 6 −10 ± 0,77 ⋅10 λ1,2 = 2

λ1,2 =

Feladat

2.33 feladat:

i L (−0) = i L (+0) = 0A 1V 1 i Lst = = mA 30Ω 30 30 R b = 5 × 30 = Ω 7 L 25 ⋅10−3 ⋅ 7 35 T= = s = ⋅10−3 s Rb 30 6 1 M=− A 30 t − 1 i L (t) = (1 − e T )A t ≥ 0 30 1 1 R −t 1 −t i R (t) = ⋅ L ⋅ ⋅ b ⋅ e T = ⋅ e T A 5 30 L 35 t − 1 i(t) = i L + i R = (7 − e T )A t≥0 210 t − 1 p(t) = 1V ⋅ i(t) = (7 − e T )W t ≥ 0 210

1.3 verzió

1 s 1 λ2 = −8,85 ⋅105 s

λ1 = −1,13 ⋅105


176

2.34 feladat:

Feladat

R b = 200 × 800 + 40 = 200Ω T = C ⋅ R b = 200Ω ⋅10−9 F = 2 ⋅10−7 s −

t

i(t) = A + B ⋅ e T t ≥ +0 20V 1 i(−0) = A 200 ×1800 9 1600Ω 160 u C (−0) = 20V = V 1800Ω 9

20V 160 1 1,016 − ⋅ ⋅ 0,8 = A 200 × (200 + 800 × 40)Ω 9 40 + 200 × 800Ω 9 20V i(∞) = = 1, 2A 200 ×1000Ω 1,016 9,784 A+B= A A=1,2A B= − A 9 9 9,784 − Tt i(t) = (1, 2 − e )A t ≥ +0 9 i(+0) =

Feladat

2.35 feladat:

•

U V = 50V IA = 4A L = 0,1H C = 50µ F

−i1 + C u C + i3 = 0 •

i1 − C u C + IA − i L = 0 •

L iL + ua = 0 −u a − u C + U V = 0 R ⋅ i1 + U V − u a = 0 1.3 verzió

i5 = i L i 4 = IA •

i2 = C ⋅ u C •

u a = −L ⋅ i L

Villanytan példatár •

iL = 0 ⋅ iL + •

uC = −

177

1 1 uC − UV L L

1 1 1 iL − u C + IA C RC C

⎡ ⎢ −λ ⎢ ⎢− 1 ⎢⎣ C

1 ⎤ ⎥ L ⎥=0 1 − −λ⎥ ⎥⎦ RC

1 1 )+ =0 RC LC 1 λ 2 + 2 ⋅104 λ ⋅ + 2 ⋅105 = 0 R 1 4 ⋅108 ⋅ 2 − 8 ⋅105 = 0 R R = 10 5Ω = 22,36Ω

λ (λ +

R1 értéke tetszőleges lehet!

1.3 verzió


178

2.36 feladat:

Feladat u C = 1 Ω ⋅ iL + 1 H ⋅ iL •

•

u C = iL + iL •

1 F ⋅ u C + 1 S ⋅ u C + iL = 0 u C = −u C − iL •

i L = −i L + u C •

( −1 − λ ) −1

1 =0 ( −1 − λ )

u C = −i L − u C

λ2 + 2⋅λ + 2 = 0 λ1,2 = −1 ± j

i L ( t ) = M11 ⋅ e λ1 ⋅t + M12 ⋅ e λ 2 ⋅t

u C ( −0 ) = 1 V u C stac = 0 V

i L ( −0 ) = 0 V i L stac = 0 V

u C ( t ) = M 21 ⋅ e λ1 ⋅t + M 22 ⋅ e λ 2 ⋅t

−1 + j + 1 = j ⋅ M11 1 −1 − j + 1 M 21 + M 2 = 1 M 22 = M12 ⋅ = − j ⋅ M12 1 1 1 u C ( t ) = ⋅ e( −1+ j)⋅t + ⋅ e( −1− j)⋅t = e − t ⋅ cos ( t ) A t≥0 2 2 M11 + M12 = 0

M 21 = M11 ⋅

• ⎛ π⎞ i ( t ) = −C ⋅ u C ( t ) = e − t ⋅ ( sin t + cos t ) A = 2 ⋅ e− t ⋅ sin ⎜ t + ⎟ A 4⎠ ⎝

1.3 verzió

ω =1

rad s

T = 2π s


2.37 feladat:

179

Feladat

10 0, 2 − A = 0,104 A 12,5 12,5 10 0, 2 i d ( ∞ ) = 0,15 ⋅ − A = 0,087 A 15 15 t − ⎛ ⎞ i d ( t ) = ⎜17 ⋅ e T + 87 ⎟ mA t ≥ 0 ⎝ ⎠ R b = 12,5 × 2,5 Ω = 2, 08 Ω i d ( +0 ) = 0,15 ⋅

T = C ⋅ R b = 4,17 ⋅10−6 s

A párhuzamosan kapcsolt diódák eredő karakterisztikája: t − ⎞ ⎛ i R = i A − i d = ⎜ 63 − 17 ⋅ e T ⎟ mA t ≥ 0 ⎝ ⎠ t − ⎞ ⎛ u A = ⎜ 0, 63 − 0,17 ⋅ e T ⎟ V t ≥ 0 ⎝ ⎠ t − ⎞ ⎛ p A = ⎜ 94,5 − 25,5 ⋅ e T ⎟ mW t ≥ 0 Termelői! ⎝ ⎠

1.3 verzió


180

2.38 feladat:

Feladat 40 pF 1 + 0, 4 ⋅ sin ωt rad ω = 2π ⋅103 s C(t) =

1 0 ≤ t ≤ ⋅10−3 s 4 •

•

i(t) = U ⋅C(t)

∆W =

1 t 2 = ⋅10−3 s 4

∫

t1 = 0

C ( t1 ) = 40 pF

C ( t2 ) =

p ( t ) = u ( t ) ⋅ i ( t ) = U2 ⋅ C ( t ) C( t

)

2 d U ⋅ C ( t')dt' = U 2 ⋅ ∫ dC = U 2 ⋅ ⎡⎣C ( t 2 ) − C ( t1 ) ⎤⎦ dt' C( t1 )

2

C ( t2 ) =

40 pF rad 1 −3 ⎞ ⎛ ⋅ ⋅10 s ⎟ 1 + 0, 4 ⋅ sin ⎜ 2π ⋅103 s 4 ⎝ ⎠

40 pF = 28,57 pF 1,4

∆W = 102 V 2 ⋅ ( 28,57 ⋅10−12 F − 40 ⋅10−12 F ) = −11, 43 ⋅10−10 J

Feladat 5 1 U CM = 12 V ⋅ + 0,1 A ⋅ ⋅100 Ω = 15 V 6 2 1 1 + 0,1 A ⋅ = 3 ⋅10−2 A I LM = −12 V ⋅ 600 Ω 2 dq 1 = 6 ⋅10−6 As ⋅ 0,16 V 2 ⋅ ( −2 ) ⋅ 3 3 = −569 pF CdM = du M 15 V

2.39 feladat:

Ψ dM =

0, 6 mVs =2H 0,3 mA

1.3 verzió


181

2.40 feladat:

Feladat u C ( −0 ) = 70 V ⋅ u C stac = 50 V ⋅ P=

4 = 40 V 7

4 = 40 V 5

1600 V 2 = 3, 03 W 528 Ω

1.3 verzió


2.41 feladat:

182

Feladat R b = 0,1 kΩ + 1× 9 kΩ = 1 kΩ Tj = Th = T = 10−4 s T = C ⋅ R b = 10−4 s

0≤t<

I.

T 2

u C ( −0 ) = 0 V 9 ⋅150 V = 135 V 10 t − ⎞ ⎛ T u C ( t ) = 135 ⋅ ⎜1 − e ⎟ V ⎝ ⎠ u C stac =

•

i C ( t ) = C ⋅ u C ( t ) = 0,135 ⋅ e

u ( t ) − 102 ⋅ i C − u C + 150 V = 0 u ( t ) = −15 − 121,5 ⋅ e

−

t T

V

u ( +0 ) = −136,5 V

II.

T ≤t
i C ( t ) = C ⋅ u C ( t ) = −0,188 ⋅ e

t − ⎛ ⎞ u C ( t ) = ⎜ 188,1⋅ e T − 135 ⎟ V ⎝ ⎠

−

t T

A

u ( t ) − 102 ⋅ i C − u C − 150 V = 0 u ( t ) = 15 + 169,3 ⋅ e ⎛T⎞ u C ⎜ ⎟ = −20,9 V ⎝2⎠ III.

u ( 0 ) = 184,3 V

V

⎛T⎞ u ⎜ ⎟ = 117, 7 V ⎝2⎠

u C ( −0 ) = −20,9 V

t≥T

u C ( t ) = −20,9 ⋅ e

−

i C ( t ) = 0, 0209 ⋅ e u ( t ) − 2, 09 ⋅ e

t − T

+ 20,9 ⋅ e

u ( t ) = −18,81⋅ e

−

t T

V

t − T

A

⎛T⎞ u C ⎜ ⎟ = 53,1 V ⎝2⎠ ⎛T⎞ u ⎜ ⎟ = −88, 7 V ⎝2⎠

u C stac = −135 V

t T

t T

u ( −0 ) = 0 V

u C ( −0 ) = 53,1 V

−

−

t T

−

t T

u C stac = 0 V V A

=0 u ( 0 ) = −18,81 V

1.3 verzió


183

1.3 verzió


184

2.42 feladat:

Feladat

q = 2 ⋅10−6 C 2 ⋅10−6 C U C (−0) = =1 V 2 ⋅10−6 F

T = C ⋅ R b = 2 ⋅10−6 F ⋅ 24 Ω = 4,8 ⋅10−5 s

R b =60 × 40 Ω=24 Ω U C (−0) = 1 V

U Cstac = 3 A ⋅ 60 × 40 Ω − 60 V ⋅ t − ⎛ ⎞ T U C (t) = ⎜ −35 ⋅ e + 36 ⎟ V ⎝ ⎠

i(t) =

60 = 72 V − 36 V = 36 V 100

1=M + 36 V

t≥0

t • − 1 7 −t 35 T ⋅ = ⋅ U C (t) + C ⋅ u C (t) = − ⋅ e T + 0, 6 + 2 ⋅10−6 F ⋅ e 60Ω 12 4,8 ⋅10−5

⎛ 7 −t ⎞ = ⎜ 0, 6 + ⋅ e T ⎟ A 8 ⎝ ⎠ i1 (t) = i(t) − 0, 6 A = p1 (t) = 52,5 ⋅ e

−

t T

7 − Tt ⋅e A 8

W (F)

t≥0 t≥0

i1 (-0) = 0 A

1.3 verzió


185

2.43 feladat:

Feladat

1 ⋅ uC L • 1 1 ⋅ uC u C = − ⋅ iL − C RC

•

•

i1 − i L − C ⋅ u C = 0

iL =

•

u C − L ⋅ iL = 0 •

− U 0 + R ⋅ i1 + L ⋅ i L = 0 A11 = 0 V As

A 21 = −106 −λ −106

1 A = 100 L Vs 1 A 22 = −103 s

A12 =

100 =0 −103 − λ

λ + 10 ⋅ λ + 10 = 0

λ1 = ( −5 ⋅102 + j19,97 ⋅103 ) δ = 5 ⋅102

1 s

2

1 s

ω = 19,97 ⋅103

ω0 = 25 ⋅104 + 398,8 ⋅106

3

8

λ 2 = ( −5 ⋅102 − j19,97 ⋅103 ) rad s

rad rad = 19,98 ⋅103 s s

1 δ s = 0, 025 = ζ= ω0 19,98 ⋅103 rad s 1 5 ⋅102 δ s = 0,157 d = 2π = 2π ⋅ ω 3 rad 19,97 ⋅10 s 5 ⋅102

Q=

π d

=

π 0,157

λ1,2

−103 ± 106 − 4 ⋅108 = 2

= 20

1.3 verzió

1 s


186

2.44 feladat:

Feladat 5 15 + 0, 6 A ⋅ ⋅ 5 Ω = 3, 75 V 20 20 = 0, 6 A ⋅ 5 Ω = 3 V

u C1 = 6 V ⋅ u C2

u = 18 ⋅10−12 ⋅

1 q2

q C1 = 2,191⋅10−6 As q C2 = 2, 449 ⋅10−6 As

∆WC = 18 ⋅10−12

q C2

∫

q C1

∆WC = 18 ⋅10

−12

⎡1⎤ 1 d q = 18 ⋅10−12 ⋅ 2 ⎢q ⎥ q ⎣ ⎦

2,19110 ⋅ −6 As

2,449⋅10−6 As

⋅ ( 0, 456 − 0, 408 ) ⋅10 J = 8, 64 ⋅10−7 J 6

Feladat

2.45 feladat: i4 = iL •

− I A + i1 + C u C = 0

− u C + R ⋅ i1 + R ⋅ i3 = 0

−i1 + i3 + i L = 0

− R ⋅ i3 + L i L − R ⋅ i5 = 0

•

I A − i5 − i L = 0 1 1 1 ⋅ uC − ⋅ i L + ⋅ IA 2RC 2C C • 1 R 3 R ⋅ u C − ⋅ ⋅ i L + ⋅ IA iL = 2L L 2 L 1 1 ⎛ ⎞ − λ⎟ − ⎜− 2C ⎝ 2RC ⎠ =0 1 ⎛ R 3 ⎞ ⎜− ⋅ −λ⎟ 2L ⎝ L 2 ⎠ •

uC = −

1 2RC 1 A 21 = 2L

A11 = −

R 3⎞ 1 ⎛ 1 + ⋅ ⎟⋅λ + =0 λ2 + ⎜ LC ⎝ 2RC L 2 ⎠ D<0

1 3 ⋅10 Ω < R < 103 Ω 3

1.3 verzió

A12 = −

1 2C

A 22 = −

R 3 ⋅ L 2


187

2.46 feladat:

Feladat

R b = 40 + 40 × 20 Ω = Tj = 10−2 s

I.

e

−

1 2

160 Ω 3 Tj Th

=e

−

L 3 −3 = ⋅10 s Rb 4

Th = 20 3

≈0

i L ( −0 ) = 0 i L stac

50 5 =− A=− A 40 4

t ⎞ 5 ⎛ − Th i L ( t ) = A ⎜ e − 1⎟ ⎟ 4 ⎜⎝ ⎠

t

− 5 t −100 V + ⋅ R b ⋅ e Th − 40 ⋅ i L ( t ) ⎛ 5 5 − Th 4 = ⎜− + ⋅e i(t) = ⎜ 2 6 20 Ω ⎝

i ( +0 ) = −

II.

⎞ ⎟A ⎟ ⎠

⎛ Tj ⎞ 5 i⎜ ⎟ = − A 2 ⎝2⎠

5 A 3

i L ( −0 ) = −

5 A 4

i L stac =

100 V 5 = A 40 Ω 2

⎛ 15 − Tt 5 ⎞ iL ( t ) = ⎜ − ⋅ e h + ⎟ A ⎜ 4 2 ⎟⎠ ⎝ t

− 15 t 200 V + ⋅ R b ⋅ e Th − 40 ⋅ i L ( t ) ⎛ − 4 = ⎜ 5 + 8 ⋅ e Th i(t) = ⎜ 20 Ω ⎝

⎛ Tj ⎞ i⎜ ⎟ = 5 A ⎝2⎠

i ( +0 ) = 13 A

III.

5 A 2

i L ( −0 ) =

i L stac = 0 A

t

5 − i L ( t ) = ⋅ e Th A 2 t

− 5 t ⋅ R b ⋅ e Th − 40 ⋅ i L ( t ) 5 − Th 2 i(t) = = ⋅e A 20 Ω 3

i ( +0 ) =

5 A 3

1.3 verzió

⎞ ⎟A ⎟ ⎠


188

1.3 verzió


189

2.47 feladat:

Feladat −6

50 ⋅10 C =5 V 10−5 F t 3 40 ⋅10−3 A −2⋅103 t' e u C (t) = 5 V − dt ' = 3 + 2 ⋅ e −2⋅10 t V −5 ∫ 10 F 0

a) u C (0) =

3

(

b) p C (t) = u C (t) ⋅ i C (t) = −40 ⋅10−3 A ⋅ e −2⋅10 t ⋅ 3 + 2 ⋅ e −2⋅10

(

3

= −0,12 ⋅ e −2⋅10 t − 0, 08 ⋅ e −4⋅10

3

t

)W

t≥0

Teljesítményt ad le!

(

3 1 1 c) W(t) = C ⋅ u C 2 (t) = ⋅10−5 F ⋅ 3 + 2 ⋅ e −2⋅10 t 2 2

(

3

3

W(t) = 45 + 60 ⋅ e −2⋅10 t + 20 ⋅ e −4⋅10

t

)

2

) µJ

Az energia csökken!

1.3 verzió

V2

t≥0

3

t

) V=


190

2.48 feladat:

Feladat

•

-i A + i 2 + C ⋅ u C + i 4 = 0 •

-i A + i 2 + C ⋅ u C + i5 + i L = 0 L ⋅ i L − 3i5 = 0 •

-2C ⋅ u C − u C + i 4 + 3i5 = 0 -2i 2 + i 4 + 3i5 = 0 u A + i 4 + 3i5 = 0 ⎡• ⎤ ⎢ u C ⎥ = ⎡ −0, 6 −0, 6 ⎤ ⋅ ⎡ u C ⎤ + ⎡ 0,8 ⎤ ⋅ i ⎢ • ⎥ ⎢ 0,3 −1, 2 ⎥⎦ ⎣⎢ i L ⎦⎥ ⎢⎣0, 6 ⎥⎦ A ⎢⎣ i L ⎥⎦ ⎣ ( -0, 6 − λ ) ⋅ ( -1,2 − λ ) + 0, 6 ⋅ 0,3 = 0 λ1,2 = -0,9 ± j0,3

δ = 0,9

1 s

ω0 = ω2 + δ 2 = 0,81 + 0, 09 = 0,949

ω = 0,3

rad s

rad s

1.3 verzió


191

2.49 feladat:

Feladat

R b = 100 × 100 Ω = 50 Ω 2 ⋅10−1 H Th = = 4 ms 50 Ω I. 2V = 20 mA 100 Ω 1 -250 t ⎛ ⎞ i L (t) = ⎜ -20 ⋅ e s + 40 ⎟ mA ⎝ ⎠

i L (-0) = i L ( + 0) =

0≤t≤

i L Stac =

4V = 40 mA 100 Ω 1

⎛T⎞ i L ⎜ ⎟ = -20 ⋅ e 2 + 40 mA = ⎝2⎠

T 2

= 27,87 mA

II. i L (-0) = i L ( + 0) = 27,87 mA

i L Stac = -

1 -250 t ⎛ ⎞ i L (t) = ⎜ 47,87 ⋅ e s − 20 ⎟ mA ⎝ ⎠

2V = -20 mA 100 Ω

0≤t≤

T 2

1

⎛T⎞ i L ⎜ ⎟ = 47,87 ⋅ e 2 − 20 mA = 9, 03 mA ⎝2⎠

III. i L (-0) = i L ( + 0) = 9, 03 mA

i L Stac = 20 mA

1 -250 t ⎛ ⎞ i L (t) = ⎜ -10,97 ⋅ e s + 20 ⎟ mA ⎝ ⎠

1.3 verzió


192

1.3 verzió


193

2.50 feladat:

Feladat

mA 2 U V2 U M , IM > 0

I = 20

∆U1 = 0,2 V ∆I13 = 0,2 mA

∆U 6 = -0,3 V ∆I7 = 0,3 mA

R b = 800 × 200 + 140 + 200 × 200 Ω = 400 Ω 200 200 − 0,1 A ⋅ 200 × 800 Ω − 0,3 A ⋅140 Ω + 40 V ⋅ − 1000 400 120 200 − 0,1 A ⋅ ⋅ 200 Ω + 17 V ⋅ = 4,5 V 400 400 4,5 V 1 I0 = = 11, 25 mA 20 ⋅10-3 u 2 = 11, 25 ⋅10-3 − u 400 Ω 400 0, 69 V U M = 0, 69 V = 72, 48 Ω R sM = 9,52 ⋅10-3 A I M = 9,52 mA U 0 = 200 V ⋅

r =

R b − R sM R b + R sM

=

327,52 Ω = 0, 693 472, 48 Ω

P0 =

0, 692 V 2 = 297,5 µ W 4 ⋅ 400 Ω

Pr = 0, 6932 ⋅ 297,5 µ W = 142,87 µ W ar dB = 10 log

297,5 3,19 142,87

G dM = 40 ⋅ 0, 69 mS R d M = 36, 23 Ω 200 200 + 0, 2 ⋅10-3 A ⋅ 200 × 800 Ω − 0,3 V ⋅ + 1000 400 120 + 0,3 ⋅10-3 A ⋅ ⋅ 200 Ω = −60 mV 400 60 mV ∆I M = − = −0,138 mA 436, 23 Ω ∆U M = −4,98 mV ∆U 0 = 0, 2 V ⋅

∆PM = 0, 69 V ⋅ ( −0,138 mA ) + 9,52 mA ⋅ ( −4,98 mV ) = −47,81 µ W

1.3 verzió


194

3. Periodikus áramú hálózatok

1.3 verzió


3.1.feladat: Ismert adataink: Z=(10+j10)Ω Uf =220V cos(fZ1)= 2 /2 B

Feladat S= állandó f=50Hz fZ1= 45˚

B

B

195

B

B

B

a,

cos(fZ2)=0.9 fZ2= 25.84˚ |S1|=|S2|=S=(220V)2 / ( 2 · 10 Ω) = 3422VA |Qc|=S· ( sin(fZ1) – sin(fZ2) ) = 3422,4 · ( 2 /2 – 0.44) var = 914.1 var C=|Qc| / (ωU2)=(914.1 var) / (2π·50Hz·(220V)2) = 6·10-5 F = 60 µF ∆P=2S( cos(fZ1) – cos(fZ2) )=1321W B

B

B

B

B

B

B

B

P

B

B

B

B

B

B

P

B

B

P

P

B

P

B

B

P

P

P

B

b,

P3=(P1+P2)/2=S/2·(cos(fZ1) + cos(fZ2)=2750W Q3=S·sin(fZ1)–|Qc|=3422.4· 2 /2 – 914.1 var = 1505.9 var tg(fZ3)=Q3/P3=1505.9 var / 2750 W = 0.548 cos(fZ3)=0.877 B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

1.3 verzió


196

3.2.feladat: Feladat A jelet felírva az egyenletekből az alábbi négyszögjelet kapjuk:

Látható, hogy a jel teljesíti mind az I és mind a III szimmetria követelményeit ezért: 3T ⎡ T4 ⎤ T 4 2 ⎢ A ˆ = ⋅ 20 V⋅ cos(5 ωt) dt − cos(5 ωt) dt + cos(5 ωt) dt ⎥ = U 5 ∫T ∫ ⎢∫ ⎥ T 3T ⎢0 ⎥ 4 4 ⎣ ⎦ T 3T 16 4 4 ⎧ T ⎫ = ⋅ ⎨[sin(5 ωt)]04 − [sin(5 ωt)]T4 + [sin(5 ωt ]3 T ⎬ = (2 + 2) = V π π π ⎩ 4 4 ⎭

Ekkor meghatározhatjuk a kért függvényeket: U1(t) = 5.09cos(5·103t) V I1(t) = 0.509cos(5·103t) A 3 U2(t) = 5.09cos(5·10 t-π/2) V I2(t) = 0.509cos(5·103t) A 3 U3(t) = 5.09cos(5·10 t-π/2) V U4(t) = 5.09cos(5·103t+ π/2) V I(t) = I1(t)+I2(t) = 1.18·cos(5·103t) A B

B

P

P

B

B

P

P

B

B

P

P

B

B

P

P

B

B

P

P

B

B

B

B

B

P

B

P

P

P

3.3.feladat: Feladat rad ω = 104 s I 1 1 + 20 jωC (1 + j2 ⋅105 C) ⋅ (30 − j2 ⋅106 C) 30 + 4 ⋅1011 C2 j4 ⋅106 C = = = = + U 10 + 20 × ( 1 ) 30 + 200 jωC 30 + j2 ⋅106 C 4 ⋅1012 C2 + 900 4 ⋅1012 C2 + 900 jω C d ⎛ 4 ⋅104 C ⎞ ? 36 ⋅104 + 16 ⋅1014 C2 − 32 ⋅1014 C2 0 = = ⎜ ⎟ dC ⎝ 9 + 4 ⋅1010 C2 ⎠ (9 + 4 ⋅1010 C2 ) 2 C=

36 ⋅10−5 F = 1.5 ⋅10−5 F = 15 µF 16

1.3 verzió


Q max =

197

4 ⋅106 ⋅1.5 ⋅10−5 12 2 ⋅ 20 var = var = var 12 −10 4 ⋅10 ⋅ 2.25 ⋅10 + 900 18 3

Feladat 3.4.feladat: f = 1kHz, ω = 2πf = 6283.2, R1 = 1kΩ, R = 500Ω, L1 = 100mH, ωL1 = 628.32Ω

tg(α) =

ωL1 = 32.142o R1

β = 90o − α = 57.86o tg(β) =

Im { I2 }

Re { I2 }

= 1.5915

I1 R12 + (ωL1 ) 2 = I 2 ωL 2 I1 1394384 = I 2 ⋅ 6280 ⋅ L 2 1180.84 ⋅ I1 = L 2 ⋅ 6280 ⋅ I 2 L2 =

I 1180.86 I1 ⋅ = 0.188 ⋅ 1 6280 I 2 I2

U R = Re(U R ) + j ⋅ Im(U R ) Im {U R } = Im( I1 ) + Im( I2 ) ⋅ R = Im(I 2 ) ⋅ R { =0

Im( I2 ) ⋅ R = I 2 ⋅ sin(−β) ⋅ R = −423.375 ⋅ I 2 Im(U1 ) + Im(U R ) = 0 ⇒ I1ωL1 = − I 2 ⋅ sin(−β) ⋅ R I1 423.375 = = 0.6738 I2 628.32 L 2 = 0.188 ⋅

I1 = 0.188 ⋅ 0.6738 = 126.68mH I2

1.3 verzió


3.5.feladat: I L = 2 ⋅ e − j120° A

198

Feladat

∗

S L = U ⋅ I = 400e j90° VA PL = 0W Q L = 400 var ∗

S A = U ⋅ I = 400e − j70° VA PA = 136.8W Q A = −375.877 var PF = −136.8W Q F = −24.123 var 3.6.feladat:

Feladat

Z = 100 + [(100 + j ⋅ 100 ) × (− j ⋅ 100 )] = (200 − j ⋅ 100)Ω U = (156 + j ⋅ 156)V U = (0.3012 + j ⋅ 0.936)A Z U R1 = (30.12 + j ⋅ 93.6)V

I=

U c = U − U R1 = (126 + j ⋅ 62)V Ic =

Uc = (−0.62 + j ⋅ 1.26)A − j ⋅ 100Ω

I RC = I − I c = (0.9212 − j ⋅ 0.324)A U R 2 = I RC ⋅ R 2 = (92.12 − j ⋅ 32.4)V U L = I RC ⋅ j ⋅ 100 = (32.4 + j ⋅ 92.12)V

1.3 verzió


199

3.7.feladat:

Feladat

Ebből adódóan Millman képlete alapján: n

U0=

∑G i =1

bi

⋅ U vi

n

∑G i =1

=∞

bi

I0 = ∞ 3.8.feladat:

Feladat

1 R Z(ω) = R × = jωC jRωC + 1 Z(ω) = 1 ha ωRC = 1 1 ω= = 2 ⋅ 10 6 rad s RC 3.9.feladat:

IV = −

Feladat

UV = j ⋅ 0.6A − j100Ω

U = (1A + j ⋅ 0.6A) (100Ω + − j100Ω ) = (160 − j40)V UR = U ⋅

100 = (100 + j60)V 100 − j100

U Cr = (60 − j100)V IL =

U = (−0.4 − j1.6)A j100Ω

IC = (0.4 + j1.6)A

1.3 verzió


200

3.10.feladat: 90V I= = 0.9A 100Ω

Feladat

50 2 = 90 2 + 100 2 − 2 ⋅ 90 ⋅ 100 ⋅ cos ϕ cos ϕ = 0.87 P = U ⋅ I ⋅ cos ϕ = 100V ⋅ 0.9A ⋅ 0.87 = 78W 3.11.feladat:

Feladat

1.3 verzió


201

I 22 ⋅ Re {Z} = I 22 ⋅10 = 10W I 2 = I1

Z3 , Z 2 + Z3

⇒

⇒

I1 = I 2

I 2 = ±1A, rögzitsük ehez a többi szöget

Z 2 + Z3 50 + j10 = ±1A = ±1.14 ⋅ e j37.88° A 40 − j20 Z3

Z = Z1 + Z2 × Z3 = 30 + j20 + (10 + j30) × (40 − j20) = 63.79 ⋅ e j33.69°Ω U = I1 ⋅ Z = ±72.72 ⋅ e j71.57° V U eff = ±72.72V

{}

ϕZ = arc Z = 33.69° cos ϕZ = 0.83 P = 1.14A ⋅ 72.72V ⋅ 0.83 = 68.8W Q = 1.14A ⋅ 72.72V ⋅ 0.55 = 45.99 var 3.12.feladat: 100e − j20° IV = = 7.07e j25° A 14.14e − j45° U R = 10 ⋅ IV = 70.7e j25° V

Feladat

U C 20 = IV ⋅ (− j ⋅ 10 ) = 70.7e j25° V

U C10 = 70.7e − j65° V U C 20 = 3.535e j115° A 20e − j90° 70.7e j25° IL = = 3.535e − j65° A j90° 20e IC 20 =

3.13.feladat:

Feladat 1.3 verzió


202

100 2 Zb = j10 × j10 = j5

Uü =

IR =

Uü 100 2 = = (5.6 − j2.8)A = 6.26e − j26.56° A R + Zb 10 + j5

i R ( t ) = 8.85 sin(ωt − 26.56°) A 3.14.feladat: Z1 = 26 − j15 = 30e − j30°Ω

Feladat

Z2 = 50e j60° Ω Z3 = 12 − j30 = 32.31e − j68.2°Ω Z1 ⋅ Z4 = Z2 ⋅ Z3 Z4 =

Z 2 ⋅ Z3 = 53.85e j21.8° Ω Z1

Z4 = 50 + j20 Ω R 4 = 50Ω ωL 4 = 20Ω ⇒

L=

20 = 3.18mH 2π103

3.15.feladat: ω = 100π rad / sec i A ( t ) = 0.3 cos(ωt − 70°) A

Feladat

u V1 ( t ) = 12 sin(ωt + 30°) V u V 2 ( t ) = 40 cos(ωt + 40°) V

Összevonva az impedanciákat: 1.3 verzió


U I = V1 = Z30

13 2

e j30°

2 ⋅ 30e

45°

203

= 0.216e − j15° A

i( t ) = 2 ⋅ 0.216 ⋅ sin(ωt − 15°) A P = I 2 R = 0.2162 ⋅ 30 = 1.4W 3.16.feladat:

Feladat

kondenzátor: 0.2e − j30° = IC + 0.5e j45° IC = 0.488e − j111.7° A U C = IC ⋅ X C = 0.488e − j111.7° ⋅ 200e − j90° = 97.6e − j201.7° V SC = U C ⋅ IC∗ = 47.62e − j90° VA PC = 0 W QC = −47.62 var tekercs: IL = 0.5e j45° A U L = IL ⋅ X L = 0.5e j45° ⋅100e j90° = 50e j135° V SL = U L ⋅ IL∗ = 25e j90° VA PL = 0 W Q L = 25 var „0.5”-ös áramforrásra: U 0.5 = U C − U L = 55.34e j178.43° V ∗ S0.5 = U 0.5 ⋅ I0.5 = 27.67e j133.43° VA = (−19.02 + j20.09) VA

P0.5 = −19.02W Q0.5 = 20.09 var feszültségforrásra: I U = 0.2e − j30° A SU = U U ⋅ I∗U = −20e − j60° VA = (−10 + j17.32) VA PU = −10W Q U = 17.323 var „0.2”-es áramforrásra: 1.3 verzió


204

U 0.2 = U − U C = 100e − j90° − 97.6e − j201.7° = 164.18e− j56.47° V ∗ S0.2 = U 0.2 ⋅ I0.2 = 32.826e − j26.47° VA = (−29.38 − j14.63) VA

PC = −29.38W QC = −14.63 var 3.17.feladat:

Feladat

J = 20 2 + 10 2 = 2.36A 20R = 10ωL ωL = 2 R Z = − jX C + R × jX L = − jX C +

j2R 2R 4R = − jX C + j + 1+ 2j 5 5

Z -nek valósnak kell lennie így: 2R XC = 5 U I= = 4R 5 500 R= = 5.59Ω 4⋅J ωL = 2 R 2R L= = 3.56mH ω 1 11.16 = ωC 5 C = 142.429µF 3.18.feladat:

Feladat

152 = 92 + 102 − 2 ⋅ 9 ⋅ 10 cos α α = 104.15° β = 180° − α = 75.85° P = U ⋅ I ⋅ cos(ϕ) = 45 ⋅ 10 ⋅ cos(75.85°) = 110W

3.19.feladat:

Feladat

1.3 verzió


205

Z0 = (5 + j2)Ω Z1 = (− j10)Ω Z2 = ?

P = 200W = Re {U ⋅ I0∗ } = 100 Re { I0∗ } Re { I0∗ } = 2 I0 = 2 + j ⋅ b U 0 = (2 + jb) ⋅ (5 + j2) = (10 − 2b) + j(4 + 5b) U12 = U − U 0 = (90 + 2b) − j(4 + 5b) I1 = −

U12 = (0.4 + 0.5b) + j(9 + 0.2b) j10

I 22 = 100 = Re { I0 − I1} = (1.6 − 0.5b) 2 + (0.8b − 9) 2 2

0 = 0.89b 2 − 16b − 16.44 ⎧18.95, túl nagy mivel I02 ⋅ R 0 > 200W b1,2 = 8.99 ± 99.29 = ⎨ ⎩ −0.974 I0 = 2 − j ⋅ 0.974 U 0 = (11.948 − j ⋅ 0.87)V U12 = (88.052 + j ⋅ 0.87) V Z0 =

U12 = (1.753 + j8.63)Ω I0 − U12 ⋅ (1 − j10)

3.20.feladat:

Feladat

A jel elsőfajú szimmetriával rendelkezik, ezért: ⎡ T4 ⎤ T 2 ⎢ ⎥ 40 A ˆ ˆ U1 = ⋅ 20⎢ ∫ cos ωtdt + ∫ sin ωtdt ⎥ = V=U 1 T π 3T ⎢⎣ 0 ⎥ 4 ⎦ T = 5 ⋅10 − 2 s 2π ω= T

1.3 verzió


206

1 = 100Ω ωC Z1 = 100 + 200 × (− j100) = 161.2e − j29.7° Ω

XC =

I1 =

U1 = 5.59 ⋅ 10 − 2 ⋅ e j29.7° A Z1

S1 = U 1 ⋅ I1 = 0.5VA P1 = 0.5 cos(−29.7°) = 0.43W Q1 = 0.5 sin(−29.7°) = −0.25 var T 2

U 2 T = ∫ 20 2 dt = 200T 0

U = 2 ⋅ 10V 2

⎛ 40 ⎞ 200 − ⎜ ⎟ ⎝ 2π ⎠ = 0.77 2 ⋅ 10

k=

3.21.feladat: Feladat u ( t ) = 16 + 5 sin(ωt + 40°) − 2 cos(ωt − 30°) + 6 cos(2ωt − 70°) − 3 cos(3ωt − 150°) V i( t ) = −2 − 3 sin(ωt − 30°) + 8 cos(ωt + 70°) + 2 sin(3ωt − 40°) A P0 = −2 ⋅ 16 = −32W S1 = U1ω ⋅ I1∗ω = (3.83 + 3.21 j − 1 − 1.73 j)(−2.6 + 1.5 j − 7.52 + 2.73 j) = (34.9 + 3 j) VA S3 = U 3ω ⋅ I3∗ω = (−1.5 + 2.6 j)(1.53 + 1.29 j) = (−5.65 + 2.04 j) VA P = P1ω + P2ω = 29.25W Q = 5.04 var S = (34.9) 2 + 32 + (5.65) 2 + (2.04) 2 = 42.05 VA D = S2 − P 2 − Q 2 = 29.53 VA 3.22.feladat: Feladat π T 2π 1 1 2 U a = ∫ u ( t ) dt = u ( ω t ) dω t = 2 U sin ωtdωt = ∫ T0 2π 0 2π ∫α Ua =

2U (1 + cos α) π

U eff =

1 u 2 ( t )dt = T ∫0

T

π

U eff

2π

1 u 2 (ωt )dωt = 2π ∫0

2U 2 2π

π

2π

∫ sin

2

(ωt )dωt

0

2 ⎡1 ⎤ 2 ⎡ sin 2ωt ⎤ π − α sin 2α =U ωt ⎥ − ⎢ =U + ⎢ ⎥ π ⎣2 ⎦α π ⎣ 4 ⎦α π 2π

1.3 verzió

2U [− cos ωt ]απ π


U π F = eff = Ua 2

207

π − α sin 2α + 2π π 1 + cos α

1.3 verzió


208

3.23.feladat: Feladat 1 U a 0 = U R + US + U T 3 1 U a1 = U R + a ⋅ US + a 2 ⋅ U T 3 1 U a 2 = U R + a 2 ⋅ US + a ⋅ U T 3 1⎡ 3 1 1 3 3 1⎤ Ua 0 = ⎢120 − j120 − 200 − j200 − 100 + j100 ⎥ = 67e − j114.3° 3⎣ 2 2 2 2 2 2⎦ 1 Ua1 = 120e − j30° + 200e − j120° ⋅ e j120° + 100e − j210 ⋅ e j240° = 130.22e − j1.5° 3 1 Ua 2 = 120e − j30° + 200e − j120° ⋅ e j240° + 100e − j210 ⋅ e j120° = 4.58e − j75° 3

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

3.24.feladat: Feladat Mivel a teljes periódusokat metsz ki a szinuszoidális függvényekből: T 1 U 0 = ∫ U T ( t )dt = 0V T0 T

5 ms

1 1V 8 2 [sin 2ωt ]50ms = 2 2 V U a = ∫ U T ( t ) dt = ⋅ 8 ∫ 2 cos 2ωtdt = π T0 40ms 0 40 ⋅ 2ω T

U eff

1 = U T2 ( t )dt = ∫ T0

5 ms

1 ⋅ 8V 2 ∫ 2 cos 2 2ωtdt = 40ms 0

5 ms

1 ⋅ 8V 2 ∫ 1 + 2 cos 4ωtdt 40ms 0

U eff = 1V ˆ U = 2 k cs = U eff kf =

U eff π = = 1.11 Ua 2 2

3.25.feladat: 400 sin( kωt ) u V (t) = ∑ k π k =1,3,5, 7...

Feladat

2π = π ⋅10 4 rad sec T 1 jkωC W ( jkω) = = 2 1 ( jkω) LC + jkωRC + 1 R + jkωL + jkωC kωC kωC = W (kω) = = 2 2 2 4 2 2 (1 − (kω) LC) + (kωRC) (kω) L C + (kω) 2 (R 2 C 2 − 2LC) + 1

ω=

1.3 verzió


=

209

10 −2 k k 4 ⋅ 10 − 2 − 16 ⋅ 10 − 2 ⋅ k 2 + 1

ϕ(kω) =

0.1k

=

k 4 − 16k 2 + 100

⎛ kωRC ⎞ π π ⎛ 2k ⎞ ⎟⎟ = − arctg⎜ − arctg⎜⎜ 2 2 ⎟ 2 ⎝ 10 − 1k ⎠ ⎝ 1 − (kω) LC ⎠ 2

⎧ π ⎛ 2k ⎞⎫ sin ⎨kωt + − arctg⎜ 2 ⎟⎬ 2 40 ⎝ 10 − 1k ⎠⎭ ⎩ i( t ) = ∑ π k =1,3,5,7... k 4 − 16k 2 + 100 Feladat 3.26.feladat: ⎛ 6 2 ⎞ 24 48 PT 2 ( t ) = t ⋅ ⎜⎜ 2 − t ⎟⎟ = t − 2 t2 T2 ⎝ T2 ⎠ T T T2 1 1 24 (T 2) 2 1 48 (T 2)3 P= p ( t ) dt = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = 6 − 16 42 = 2W T 2 ∫0 T2 T 2 T 2 T2 3 T T 2

Feladat

3.27.feladat:

ω=

1 −6

= 5 ⋅ 103

rad sec

0.4H ⋅ 0.1 ⋅ 10 F X L = 2 ⋅ 10− 2 H ⋅ 5 ⋅ 103 rad sec = 100Ω

100V 1 − j45° = ⋅e A 2 ⋅ 100Ω 2 1 + j45° 100 − j135° SV = −100 ⋅ ⋅e = e VA 2 2 PV = −50W I=

Q = −50 var Feladat

3.28.feladat: 4⎛ sin kωt ⎞ ⎟ [V] u V ( t ) = 1 + ⎜⎜ ∑ π ⎝ k =1,3,5, 7 ,... k ⎟⎠ 2π 1 4 = ⋅10 rad sec T 3 1 G ( jkω) = 20 + 10 − 2 jkω +

ω=

1 10 jkω −6

= 100 ⋅

jkω (10 − (kω) 2 ) + 2000 jkω 8

1.3 verzió


G ( jkω) = 100 ⋅ G ( jkω) ≈ 100 ⋅

ϕ(ω) =

210

kω (10 8 − (kω) 2 ) 2 + 4 ⋅ 10 6 ⋅ k 2 ω 2 kω 1 2 ⋅ 1016 k 4 − 1016 k 2 + 1016 81 9

⎛ 2000kω π − arctg⎜⎜ 8 2 2 ⎝ 10 − (kω)

k 9 − k2

= 0.03 ⋅

⎞ π ⎛ 6k ⎞ ⎟⎟ = − arctg⎜ 2 ⎟ ⎝9−k ⎠ ⎠ 2

⎛ ⎛ π ⎛ 6k ⎜ sin ⎜⎜ kωt + − arctg⎜ 2 2 1 0.12 ⎜ ⎝9−k ⎝ i v (t) = + ⋅⎜ ∑ 20 π 9 − k2 ⎜ k =1,3,5, 7 ,... ⎜ ⎝

⎞ ⎞ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠⎠ ⎟ ⎟ [A] ⎟ ⎟ ⎠

Feladat 3.29.feladat: 20 20 fT (t ) = ⋅ t ⋅ 1( t ) − 40 ⋅ 1( t − T 4) − 2 ⋅ ⋅ ( t − T 4) ⋅ 1( t − T 4) + 40 ⋅ 1( t − 3T 4) + T4 T4 20 + 2⋅ ⋅ ( t − 3T 4) ⋅ 1( t − 3T 4) T4 3T

3T

T

T

FT (p) =

80 1 40 − 4 p 80 1 − 4 p 40 − 4 p 80 1 − 4 p ⋅ − ⋅e − ⋅ 2 ⋅e + ⋅e + ⋅ 2 ⋅e T p2 p T p p T p T

T

3T

3T

− p − p 8 1 8 1 − p 8 1 − p IT (p) = FT (p) ⋅ pL = ⋅ − 4 ⋅ e 4 − ⋅ ⋅ e 4 + 4 ⋅ e 4 + ⋅ ⋅ e 4 T p T p T p ha 0 ≤ t < T 8 8 8 i( t ) = ⋅ 1( t ) − 4δ( t − T 4) − ⋅ 1( t − T 4) + 4δ( t − 3T 4) + ⋅ 1( t − 3T 4) T T T

1.3 verzió


211

3.30.feladat: Feladat T 1 1⎛ T T T⎞ 4 I 0 = ∫ i( t )dt = ⎜ 0.2 − 0.4 − 0.2 ⎟ = − A T0 T⎝ 3 3 3⎠ 30 1

T

1⎛

T

i( t ) dt = ⎜ 0.2 T∫ T⎝ 3

Ia =

0

1

T

i T∫

I eff =

2

( t )dt =

0

kf =

I eff Ia

+ 0.4

T⎞ 8 A + 0.2 ⎟ = 3 3 ⎠ 30

T

1⎛ T T T⎞ ⎜ 0.04 + 0.16 + 0.04 ⎟ = 0.283A T⎝ 3 3 3⎠

= 1.061

Feladat

3.31.feladat: π ⋅ Ua 10V = 2 2 T

1 1⎛ T 1 T ⎞ 1 U a = ∫ i( t ) dt = ⎜ U ⋅ + ⋅ ⋅ U ⎟ = U 3 2 3 T0 T⎝ ⎠ 2 U=

40 2 V π T ⎛ ⎞ 3 ⎜ 1 2 1 9U 2 t 2 ⎟ 2 T = i ( t )dt = dt ⎟ ⎜U ⋅ + ∫ T ∫0 T⎜ 3 0 T2 ⎟ ⎝ ⎠ T

U lágyvas = U eff

⎛ U2 U2 ⎞ 2 1 ⎛ 2 T 9U 2 9U 2 T 3 ⎞ 20 2 ⎜⎜ U ⋅ − 2 + 2 ⋅ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ = U = + V T⎝ 3 3T 3T 27 ⎠ 9 ⎠ 3 3π ⎝ 3

U eff =

Feladat

3.32 feladat:

Zb = 70 × 50 = 29,17Ω Z = (30 + j30)Ω Zb + Z = (59,17 + j30)Ω Zb − Z = (−0,83 − j30)Ω r=

Zb − Z = 0, 452 Zb + Z

P0 = Pmax = 4A 2

29,17 = 29,17W 4

2

Pr = r *P0 = 0, 4522 *29,17W = 5,96W P = P0 − Pr = 29,17W − 5,96W = 23, 21W P 29,17 = 6,9dB a r = 10lg 0 = 10lg Pr 5,96

1.3 verzió


3.33 feladat:

ω2 =

212

Feladat

4π 2 1 1 = 4π 2 *106 = = 2 T L1C1 L2C2 T

T I02 4 ⋅10−6 A 2 2 WT = ∫ 2 (t − T) ⋅ ⎣⎡ R1 + R 2 × R 3 ⎦⎤ dt = ⋅10Ω ⋅ ∫ (t − T)2 dt = −6 2 T 10 s 0 0 T A 2Ω 1 ⎡ 40 nJ ⋅ ⎣ (t − T)3 ⎤⎦ = 2 0 s 3 3 1 20 WT5Ω = WT = nJ 2 3

= 40

3.34 feladat:

U0 = −

Feladat

10−2 s(230V + j230 ⋅ e− j120° V) = 313,9 ⋅ e j120° V 10−2 s(1 + j)

U Rf + U 0 230V + 313,9 ⋅ e j120° = = 2,82 ⋅ e j75° A R 100Ω − j120° USf + U 0 230 ⋅ e + 313,9 ⋅ e j120° IS = = = 2,82 ⋅ e− j105° A − j100Ω XC IR =

ITf = 0A U1 = IR ⋅ R = 282 ⋅ e j75° V U 2 = IS ⋅ X C = 282 ⋅ e j165° V U3 = U 0 + 230 ⋅ e− j240° = 543 ⋅ e j120° V IR + IS + IT = 0 U1 = U Rf + U 0 U 2 = USf + U 0 U3 = U Tf + U 0 3.35 feladat:

Feladat

X L1 = X L2 = 2π 50Hz ⋅ 0,1H = 10πΩ 10π ϕ Z1 = arctg = 82,74° 4 Z1 = Z2 = (10π )2 + 42 Ω = 31,67Ω 31,67 ⋅ cos 7, 26° = (4 + R)Ω 4 + R = 31, 42Ω R = 27, 42Ω 31,67Ω ⋅ sin 7, 26° = 4Ω X C = 10π + 4Ω = 35, 4Ω 1 C= = 89,9µ F 2π 50Hz ⋅ 35, 4Ω 1.3 verzió


213

3.36 feladat:

IA =

Feladat

2 A 2

IR = IA ⋅

2 × (− j2)

=

j2n 3 ⋅ A j(2n + 5) − 5 2

5 n 9 4n 2 5 n ⋅ = 90 ⋅ P = I2R ⋅ R = ⋅ 2 2 (2n + 5) + 25 n (2n + 5)2 + 25 dP =0 dn 90 ⎡⎣(2n + 5)2 + 25⎤⎦ − 90n ⋅ 4(2n + 5) = 0 2 × (− j2) +

4n 2 + 20n + 50 = 8n 2 + 20n 50 = 3,53 2 3 P(n = 3) = 90 W = 1,985W 136 P(n = 4) = 1,86W n =3 PMAX = 1,99W n=

3.37 feladat:

Feladat

1 1 e− j45° + 100 ⋅ e− j90° ⋅ e j45° 2 ⋅100 2 ⋅100 U0 = V= 1 1 1 e− j45° + e j45° + 100 2 ⋅100 2 ⋅100 − j45° V = 50 ⋅ 2 ⋅ e 100 ⋅

U0 2 − j45° A ⋅e = 100Ω 2 UA − U0 1 I1 = A= A j45° 2 2 ⋅100 ⋅ e U B − U0 I2 = A = 1,12 ⋅ e j153,4° A − j45° 2 ⋅100 ⋅ e U 0 = 2 ⋅ 50V = 70,7V

I0 =

2 A = 0,71A 2 1 I1 = A 2 I2 = 1,12A

I0 =

1.3 verzió


3.38 feladat:

I1 = 35 ⋅ e

214

Feladat

j31° ∗

P1 = Re(U1 ⋅ I1 ) = 5984W U 2 = (U1 − j ⋅ I2 )V = (220 ⋅ e j70° + 35 ⋅ e− j59° )V = 199,8 ⋅ e j62,18° V ∗

P2 = Re(U 2 ⋅ I 2 ) = 5982,8W P η = 2 ≈1 P1 A reaktanciák hatásos teljesítménye 0 így P1 = P2 , tehát a hatásfok 1. 3.39 feladat:

Feladat

T 4 T $I3 = − 8 ⋅ (+2A) ⋅ sin 3ω t dt = + 16 ⎡cos3ω t ⎤ 4 = − 8 A ⎦0 ∫0 T 3ω T ⎣ 3π 8 8 i(t) = − sin 3 ⋅103 t = sin(3 ⋅103 + 180°)A 3π 3π X L (3ω ) = X C (3ω ) = 90Ω j90 × (-j90)=∞ 160 u(t) = R ⋅ i(t) = sin(3 ⋅103 t + 180°)V = 16,98sin(3ω t + 180°)V 3π 16,98V ⋅ sin(3ω t + 90°) = 0,19sin(3ω t + 90°)A i L (t) = 90Ω iC (t) = 0,19sin(3ω t − 90°)A B

i(t) = 0,85sin(3 ⋅103 t + 180°)A u(t) = 16,98sin(3 ⋅103 t + 180°)V i L (t) = 0,19sin(3 ⋅103 t + 90°)A 3.40 feladat:

Feladat

1.3 verzió

R = 20Ω rad ω = 103 s X L (ω ) = 30Ω X C (ω ) = 270Ω


215

3.41 feladat:

Feladat

U R = áll. 1 jω C

R R I = 2 1 R n n − ω LCn + jω RC A + jω L + jω C n 1 1 Ha ω = U R = IA ⋅ = áll. jω C LC U R = IA ⋅

P=n

U 2R R

C = 10µ F

⋅

U 2R 1 = 400W = 4A 2 ⋅ rad R 108 ( )2 ⋅ C2 s

1 = 1mH rad 108 ( )2 ⋅10−5 F s 2A UR = = 20V −5 4 rad 10 ⋅10 F s 400V 2 R= = 1Ω 400W L=

1.3 verzió


216

3.42 feladat:

Feladat

sin(3ω t + 150°) = cos(3ω t + 60°) u(t) = ⎡⎣30 + 20cos(ω t + 30°) + 10cos(2ω t − 70°) + 12cos(3ω t) + 6cos(5ω t − 75°) ⎤⎦ V i(t) = ⎡⎣5 + 4cos(ω t − 60°) + 6cos(2ω t + 50°) + 3cos(3ω t + 150°) ⎤⎦ 1 1 1 S = ⋅ 20 ⋅ 4 + ⋅10 ⋅ 6 + ⋅12 ⋅ 3 VA = 88VA 2 2 2 1 1 1 P = ⋅ 20 ⋅ 4 ⋅ cos90° + ⋅10 ⋅ 6 ⋅ cos(−120°) + ⋅12 ⋅ 3 ⋅ cos(−60°) = −6W 2 2 2 1 1 1 Q = ⋅ 20 ⋅ 4 ⋅ sin 90° + ⋅10 ⋅ 6 ⋅ sin(−120°) + ⋅12 ⋅ 3 ⋅ sin(−60°) = −1,57 var 2 2 2 2 2 2 2 2 S = P +Q +D D = 7744 − 36 − 2, 46 = 7705,54(VA) 2 D = 87,78 VA Feladat

3.43 feladat: U af =

440 − j45°0 e V 2

U bf =

440 − j135° e V 2

U af U bf 4, 4 − j45° (e − =− + je− j135° )A = 100Ω − j100Ω 2 4, 4 − j45° − j45° 8,8 − j45° 8,8 j135° (e )=− *e A = e A =− +e 2 2 2 i 0 (t) = 8,8*sin(100π t + 135°)A I0 = −

Feladat

3.44 feladat: A

µk = U

T 4

µ µ⎡ µ 2µ 2µ U π U π ⎤ 2U π U ∫ cos kω tdt − U cos k ω tdt sin k sin 2k π sin k sin k = − − = ⎢ ⎥ ∫ T 0 T T kπ 2 kπ ⎣ 2 ⎦ kπ 2 T

4 B

µk = U

T 4

µ µ 2µ 2µ U π U π U ∫ sin kω tdt − U sin k ω tdt (1 cos k ) (1 − cos k ) = − + ∫ T 0 T T kπ 2 kπ 2 T

4

µ1A

U =

µ 2U

µ1B

U =

π

U1A = 2

µ U

π

= U1B

µ 2U

π U1 = 2

T 4

T

0

T 4

µ ⋅ dt + U µ2 dt = U µ2 T U T=U ∫ ∫ 2

µ U

π

µ, U=U

1.3 verzió

2

4 µ2 2 U

k = 1− π

2

µ U

= 1−

4

π2

= 0,771


3.45 feladat:

217

Feladat

UV = 2 ⋅ e j45° A 2Ω ⎛ 2 ⎛ 2 2⎞ 2⎞ I1 = −I A + I 2 = −2 ⋅ ⎜⎜ −j −j ⎟⎟ + 2 ⋅ ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ 2 ⎟⎠ ⎝ 2 ⎝ 2 I2 =

I1 = +2 ⋅ 2 ⋅ j A = 2 ⋅ 2 ⋅ e j90° A

SV = − U V ⋅ I1 * = −10 ⋅ e j45° V ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ e − j90° A = 20 ⋅ 2 ⋅ e j135° VA 2 W = −20 W Q V = +20 var 2 SA = − U V ⋅ I A * = −10 ⋅ e j45° V ⋅ 2 ⋅ e j45° A = −20 ⋅ e j90° VA = 20 ⋅ e− j90° VA PA = 0 W QA = −20 var PV = −20 ⋅ 2 ⋅

PR = 4 A 2 ⋅ 5 Ω = 20 W

QL = 4 A 2 ⋅ 2 Ω = +8 var

∑ P = −20 W + 20 W = 0 W ∑ Q = 20 var − 20 var + 8 var − 8 var = 0 var

QC = −8 var

Feladat ( 2 + j10 ) ⋅ j10X L ( 2 + j10 ) × j10X L ⋅ 1 = U ⋅ 2 + j10 + j10X L ⋅ 1 = I = U⋅ ( 2 + j10 ) ⋅ j10X L + R 2 + j10 ( 2 + j10 ) × j10X L + R 2 + j10 2 + j10 + j10X L

3.46 feladat:

=

jX L jX L = j2X L − 10X L + 2R + j10R + jX L R 2R − 10X L + j ( 2X L + 10R + X L R )

2R = 10X L R = 5X L

R = 5ωL

1.3 verzió


3.47 feladat:

218

Feladat

− j2 × j2 = ∞

I A ⋅ ( 2 × j5 ) = 20 ⋅ e − j60° A ⋅ 2900 ⋅ e j21,8° Ω ⋅ 2 × j5 =

1 = 37, 2 ⋅ e− j38,2° V 29

j10 50 20 = + j = 1,86 ⋅ e j21,8° 2 + j5 29 29

Zb = Zb Norton =

50 ⎛ 20 ⎞ 195 125 + 5 + j⎜ − 5 ⎟ = −j = 7,99 ⋅ e − j32,7 ° Ω 29 29 ⎝ 29 ⎠ 29

U 0 = ( 37, 2 ⋅ e − j38,2° V − 10 ⋅ e j210° V ) = ( 37,9 − j18 ) V = 42 ⋅ e − j25,4° V U0 42 ⋅ e − j25,4° V = = 5,3 ⋅ e j7,3° A − j32,7 ° Ω Zb 7,99 ⋅ e 1 = = 0,13 ⋅ e j32,7 ° S Zb Norton

I A Norton = Y b Norton

1.3 verzió


219

3.48 feladat:

Feladat

230 ⋅ e − j45° A = 1, 63 ⋅ e − j45° A 2 ⋅100 230 I2 = ⋅ e j45° A = 1, 63 ⋅ e j45° A 2 ⋅100 230 I = I1 + I 2 = ⋅ 2 A = 2,3 A 2 ⋅100 I1 =

U R1 = 163 ⋅ e − j45° V U R 2 = 163 ⋅ e

j45°

V

U L = 163 ⋅ e j45° V U C = 163 ⋅ e

− j45°

P = 230 V ⋅ 2,3 A = 529 W

V

Q = 0 var

I = I1 + I 2 U = U R1 + U L U = UR2 + UC

1 cm B 0, 2 A 1 cm B 40 V

1.3 verzió


3.49 feladat:

220

Feladat

U V1 = 10 ⋅ e j20° V U V2 = 20 ⋅ e − j25° V rad ω = 106 s

de:

106

rad 1 ⋅ 8 ⋅10−3 H = 1 −9 rad s ⋅10 F ⋅106 8 s

ezért:

U C = U V1 − U V2 = 14, 73 ⋅ e j126,33° V u C ( t ) = 2 ⋅14, 73 ⋅ sin (ω t + 126,33° ) V •

i C ( t ) = C ⋅ u C ( t ) = 2 ⋅14, 73 ⋅ V ⋅ 2 ⋅10−11 F ⋅106

rad ⋅ cos (ω t + 126,33° ) A s

rad ⎛ ⎞ i C ( t ) = 4,17 ⋅10−4 ⋅ cos ⎜106 ⋅ t + 126,33° ⎟ A s ⎝ ⎠

1.3 verzió


3.50 feladat: 2 1 ⎛ 2π ⎞ ⎜ ⎟ = LC ⎝ T ⎠ C = 1 nF

221

Feladat T 1 4π ⋅10 s 2 C= 2 ⋅ = = 10−9 F 2 −3 4π L 4π ⋅10 H 2

2

−12

I. fajú szimmetria:

ˆ U

B k

=0

⎡ T4 ⎤ T T A T ⎫ 2 ˆ ⎢ 2 ˆ ⎧ ⎥ 4 U cos kωt t cos kωt t U sin kωt = ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ d d ⎡ ⎤ ˆ ( ) ( ) ( ) ⎨ ⎣ ⎦ 0 + ⎡⎣sin ( kωt ) ⎤⎦ 3 T ⎬ = ∫3 ⎥ kωT U k T ⎢ ∫0 4 ⎭ ⎩ T ⎢⎣ ⎥⎦ 4 1 ˆ ⎡ π 3 ⎤ = ⋅ U ⋅ ⎢sin k − sin k π ⎥ k⋅π 2 2 ⎦ ⎣ 10 ˆ = 5 V ⋅2 U U1 = V = 2, 25 V 1 π 2 ⋅π 2π ⋅10−6 s 2, 25 V 3 X1C = U1C = = 103 Ω ⋅10 Ω = 22,5 V −9 2π ⋅10 F 100 Ω U1C = 22,5 V U1R = U1 = 2, 25 V

2, 252 V 2 P1 = = 5, 06 ⋅10−2 W 100 Ω

Q1 = 0

1.3 verzió


222

3.51 feladat:

Feladat

U V1 − U V2 200 ⋅ e − j90° V − 100 ⋅ e j60° V = = 2,91⋅ e − j100° A R 100 Ω I1 = I 2 + I A = 4, 06 ⋅ e j107,7° A I2 =

U A = U V1 − I A ⋅ X C = 103,5 ⋅ e − j15° V SA = U A ⋅ I A = 207 ⋅ e j15° VA = ( 200 + j53, 6 ) VA *

SV1 = U V1 ⋅ I1 = 812 ⋅ e j162,3° VA = ( −773, 6 + j246,9 ) VA *

SV2 = U V2 ⋅ I 2 = 291⋅ e j159,9° VA = ( −273,3 + j100 ) VA *

QC = −400 var PR = I 2 2 ⋅ R = 2,912 A 2 ⋅100 Ω = 846,8 W

∑ P = 200 W − 773, 6 W − 273,3 W + 846,8 W = 0 ∑ Q = 53, 6 var + 246,9 var + 100 var − 400 var = 0 1 cm B 50 V 1 cm B1 A

1.3 verzió


223

3.52 feladat:

Feladat 10R + j10R − j10X C + 10X C 10 ( R + X C ) + j10 ( R − X C ) = (10 + j10 ) × ( R − jX C ) = 10 + R + j10 − jX C (10 + R ) + j (10 − X C ) R = 10 Ω X C = 10 Ω 1 = 318,3 µF 2π ⋅ 50 Hz ⋅10 Ω Z1 = 2 ⋅10 ⋅ e j45° Ω 100 + 100 Z2 = Ω = 10 Ω 20 104 V 2 2 P1 = ⋅ = 500 W 2 ⋅10 Ω 2

C=

104 V 2 = 1000 W 10 Ω 100 %-kal nőtt meg! P2 =

1.3 verzió


3.53 feladat: S1 = 27 kVA

224

P1 = S1 ⋅ cos ρ1 = 11,88 kW

Feladat

Q1 = S1 ⋅ sin ρ1 = 24, 25 kvar P2 = 8,52 kW S3 = 34 kVA

Q 2 = −8, 45 kvar Q3 = 29 kvar

∑ P =38,15 kW

P3 = S32 + Q32 = 17, 75 kW

∑ Q =44,8 kvar

44,8 = 1,17 38,15 cosρ a = 0, 648

tgρ a =

ρ a = 49,58°

cosρ = 0,9 tgρ = 0, 48

∑ P =38,15 kW ∑ Q =44,8 kvar Q = ∑ P (1,17-0,48 ) =26,32 kvar C

2

⎛ UV ⎞ QC ⎜⎝ 3 ⎟⎠ 1 = = ω ⋅ C ⋅ UV 2 1 3 3 ωC 26,32 ⋅103 = 2π ⋅ 50 Hz ⋅ C ⋅ 4002 V 2

C = 5, 24 ⋅10−4 F = 524 µ F

1.3 verzió


3.54 feladat:

225

Feladat

ZI = 200 ⋅ e-j0,29° Ω ZII = 100, 7 ⋅ e j6,84° Ω ZIII = 36, 69 ⋅ e j17,45° Ω ρz > 0

tehát,

induktív jellegű a hálózat!

Feladat

3.55 feladat:

I1 = 3 ⋅ e-j60° A U L = 300 ⋅ e j30° V

I 2 = 3 ⋅ e-j60° A ⋅

-j100 1 S + 400 ⋅ e j45° V ⋅ 100 − j100 100 − j100

I 2 = 0,95 ⋅ e j125,2° A I3 = I1 + I 2 = 3,95 ⋅ e-j58,8° A

U R = 95 ⋅ e j125,2° V

U A = U V1 − U R − U L = 329, 2 ⋅ e-j95,6° V PR = 90,3 W QL = 900 var QC = −1560 var *

SA = U A ⋅ I A = 329, 2 ⋅ e-j95,6° V ⋅ 3 ⋅ e j60° A = 803, 4 − j574,2 VA *

SV1 = U V1 ⋅ I A = 200 ⋅ e j150° V ⋅ 3 ⋅ e j60° A = −519, 6 − j300 VA *

SV2 = U V2 ⋅ I3 = 400 ⋅ e j45° V ⋅ 3,95 ⋅ e j58,8° A = −376,9 + j1534,4 VA

∑ P = 90,3 W + 803, 4 W − 519, 6 W − 376,9 W = 0 W ∑ Q = 900 var − 1560 var − 574, 2 var − 300 var + 1534, 4 var = 0 W

1.3 verzió


226

3.56 feladat:

Feladat

Zb = (103 + j104 ) × (104 + j103 ) Ω Zb =

U1 = I1 ⋅

1, 01 ⋅104 ⋅ e j45° Ω 1,1 ⋅ 2

103 ⋅ (1 + j) 1 ⋅ j104 V = I1 ⋅103 ⋅ ⋅ j V 4 1,1⋅10 ⋅ (1 + j) 1,1

U 2 = I1 ⋅

104 ⋅ (1 + j) 103 3 10 V I V ⋅ = 1⋅ 1,1 ⋅104 ⋅ (1 + j) 1,1

U 0 = U1 − U 2 = I1 ⋅

103 2 ⋅ ( j − 1) V = I1 ⋅ ⋅103 ⋅ e j135° V 1,1 1,1

2 ⋅103 ⋅ e j135° V U0 0, 2 1,1 I2 = = = ⋅ I1 ⋅ e j90° A 1, 01 1, 01 4 j45° Zb ⋅10 ⋅ e Ω 1,1 ⋅ 2 0, 4 j60° ⋅e A I2 = 1, 01 0, 4 i 2 (t) = 2 ⋅ ⋅ sin (105 ⋅ t + 60° ) A = 0,56 ⋅ sin (105 ⋅ t + 60° ) A 1, 01 I1 ⋅

1.3 verzió


227

3.57 feladat:

Feladat

*

S1 = U1 ⋅ I1 = 230 ⋅ e j90° V ⋅ 34,99 ⋅ e − j30,96° A

= 8047, 7 ⋅ e j39,04° VA P1 = Re S1 = 6250, 7 W

I1 = 34,99 ⋅ e j30,96° A U 2 = U1 − 1, 2 Ω ⋅ I1 = 199,15 ⋅ e j77,63° V *

S2 = U 2 ⋅ I1 = 199,15 ⋅ e j77,63° V ⋅ 34,99 ⋅ e − j30,96° A = = 6968,3 ⋅ e j46,67° VA P2 = Re S2 = 4781, 6 W

η=

P2 4781, 6 W = = 0, 76 P1 6250, 7 W

1.3 verzió


228

3.58 feladat:

Feladat 230 j30° ⋅ e V = 162, 63 ⋅ e j30° V 2 2,3 j120° ⋅e IA = A = 1, 63 ⋅ e j120° A 2 UV =

U = UV IV = IA

IL =

UV = 1, 63 ⋅ e − j60° A j100 Ω

IL =

UV = 1, 63 ⋅ e j120° A -j100 Ω

UV2 U 2 = 264,5 var QC = − V = −264,5 var 100 Ω 100 Ω * 230 j30° 2,3 − j120° ⋅e V⋅ ⋅e SV = U V ⋅ I A = A = 264,5 ⋅ e − j90° VA 2 2 PV = 0 W Q V = −264,5 var QL =

*

SA = − U V ⋅ I A = 264,5 ⋅ e j90° VA PA = 0 W Q A = 264,5 var

∑P = 0 W ∑Q = 0 W

U = UV = UL = UC = UA

1 cm B16,26 V 1 cm B 0,2 A

I V + I L + IC = I A

1.3 verzió


229

3.59 feladat: Feladat j120° a=e 2 1 230 U a1 = ⋅ ⎡⎢ U R + a ⋅ US + a + U T ⎤⎥ = V ⋅ ( e-j40° + e-j40° + e j100° ) = ⎣ ⎦ 3 3 =

1.3 verzió


230

3.60 feladat:

Feladat

U vR −S = U Rf − USf = 230 V ( e− j120° − e j120° ) = 3 ⋅ 230 ⋅ e− j90° V

3 ⋅ 230 V = 400 V

U vS−T = USf − U Tf = 3 ⋅ 230 ⋅ e j150° V U vT − R = U Tf − U Rf = 3 ⋅ 230 ⋅ e j30° V U Rf 230 − j120° = ⋅e A = 7, 67 ⋅ e − j120° A 30Ω 30 I vS = 7, 67 ⋅ e j120° A I vT = 7, 67 ⋅ e0° A = 7, 67 A

I vR =

(

)

U vR'−S' = ( 20 − j5 ) Ω ⋅ I vR − I vS = ( 20 − j5 ) Ω ⋅ 7, 67 A ⋅ ( e − j120° − e j120° ) = = 20, 62 ⋅ e − j14° ⋅ 7, 67 ⋅ e − j90° ⋅ 3 V = 273,93 ⋅ e− j104° V U vS'−T' = 273,93 ⋅ e j136° V I1 =

U vT'− R' = 273,93 ⋅ e j16° V

U vR'−S' 273,93 ⋅ e − j104° V = = 4, 43 ⋅ e − j90° A − j14° ( 60 − j15 ) Ω 61,85 ⋅ e Ω

I 2 = 4, 43 ⋅ e j150° A

I3 = 4, 43 ⋅ e j30° A

S = 3 ⋅ 230V ⋅ 7, 67A = 5292,3 VA P = 5292,3 W Q = 0 var

1.3 verzió


231

3.61 feladat:

Feladat

a) P = ( 8 A ) ⋅ 20Ω = 1280 W 2

2

⎛ 2 ⎞ 2 b) P = 36 A ⋅ 20Ω + ⎜ ⎟ A ⋅ 20Ω = 720 W + 40 W = 760 W ⎝ 2⎠ c) i(t) = i1 (t) + i 2 (t) = −6 cos100π t ⋅ cos 60° − 6sin100π t ⋅ sin60° + 2sin100π t ⋅ cos40° + 2

+ 2cos100π t ⋅ sin40° = −4, 29 ⋅ cos100π t − 3, 67 ⋅ sin100π t = = 5, 65 ⋅ sin (100π t − 49,5° ) A 2

⎛ 5, 65 ⎞ 2 P=⎜ ⎟ ⋅ A ⋅ 20Ω = 319, 2 W ⎝ 2 ⎠ 2

⎛ 6 ⎞ 2 ⎛ 2 ⎞ 2 d) P = ⎜ ⎟ A ⋅ 20Ω + ⎜ ⎟ A ⋅ 20Ω = 360 W + 40 W = 400 W ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ Feladat

3.62 feladat: u V (t) = 20 V cos (ω t + ρ )

ω = 103

rad s

ρ=

π 3

•

i1 − i 2 − C u C = 0 •

i 2 R + i1R − u V = 0

uC = −

u C − i2R = 0

T=

2 1 uC + uV RC RC

1 RC = 10−3 s 2

u C (-0) = u C (+0) = 0

ˆ ⋅ cos (ω t + ρ ) u C Stac = U 1 ˆ ⋅ cos (ω t + ρ ) + 104 ⋅ cos ⎛ ω t + π ⎞ V ˆ ⋅ sin (ω t + ρ ) = -103 ⋅ U -ω ⋅ U 1 1 ⎜ ⎟ 3⎠ ⎝ ˆ ⋅ cosρ = U ˆ ⋅ sinρ − 5 3 ρ = 15° -U 1

1

ˆ ⋅ sinρ = -U ˆ ⋅ cos ρ + 5 -U 1 1 u C Stac = 7, 07 ⋅ cos (103 t + 15° )

1

ˆ = 7, 07 V U u C Stac (0) = 6,38 V

u C (t) = -6,38 ⋅ e-10 t + 7, 07 ⋅ cos (103 t + 15° ) V 3

1.3 verzió

t≥0


232

3.63 feladat:

Feladat − j10 j10 Z = 10 × ( − j10 ) Ω + j5 Ω + (10 × j10 ) Ω = Ω + j5 Ω + Ω= 1− j 1+ j = (10 + j5 ) Ω = 11,18 ⋅ e j26,6° Ω 100 V = 8,94 ⋅ e-j26,6° A U = 100 V j26,6° 11,18 ⋅ e Ω 10 -j45° U1 = 8,94 ⋅ e-j26,6° A ⋅ ⋅e Ω = 63, 2 ⋅ e-j71,6° V 2

I=

I 2 = 6,32 ⋅ e j18,4° A

I1 = 6,32 ⋅ e-j71,6° A

U 2 = 5 ⋅ e j90° Ω ⋅ 8,94 ⋅ e-j26,6° A = 44, 7 ⋅ e j63,4° V U 3 = 8,94 ⋅ e-j26,6° A ⋅ I3 = 6,32 ⋅ e j18,4° A

10 j45° ⋅ e Ω = 63, 2 ⋅ e j18,4° V 2 I 4 = 6,32 ⋅ e-j71,6° A

I = I1 + I 2 = I3 + I 4

1cm ⇔ 10 V

U = U1 + U 2 + U 3

1cm ⇔ 10 V

1.3 verzió


233

3.64 feladat:

Feladat

a) X L = 10−2 H ⋅105

rad = 103 Ω s

X L ⋅ X C = j103 Ω ⋅ ( -j104 Ω ) = 107 Ω

1 = 104 Ω rad ⋅10−9 F 105 s A híd kiegyenlített! XC =

S = 0 VA

P=0W

S = 0 VA

103 Ω ⋅104 Ω = 107 Ω

Q = 0 var

b) Zbe = 103 × j103 Ω + 104 × ( -j104 ) Ω =

j103 104 −j = 1+ j 1− j

j103 + 103 − j104 + 104 103 = ⋅ (11 − j9 ) Ω = 7,11⋅103 ⋅ e-j39,3° Ω 2 2 15 15 ⋅10−3 ⋅ e-j30° A = ⋅10−3 ⋅ e j150° A I1 = − 2 2 =

U1 = Zbe ⋅ I1 = 75, 4 ⋅ e j110,7° V *

S = U ⋅ I1 = 0,8 ⋅ e-j39,3° VA P = 0, 62 W

S = 0,8 VA

Q = −0,51 var

3.65 feladat:

Feladat

f = 50 Hz U 2 = 230 ⋅ e-j120° V I0 = −4, 6 ⋅ e-j120° A = 4, 6 ⋅ e j60° A rad π⎞ ⎛ i 0 (t) = 2 ⋅ 4, 6 ⋅ sin ⎜ 100π ⋅t + ⎟ A s 3⎠ ⎝ π⎞ ⎛ i 0 (t) = 6,51⋅ sin ⎜ 100π ⋅ t + ⎟ A 3⎠ ⎝

1.3 verzió


234

3.66 feladat: a = e j120°

Feladat

U R + = 150 ⋅ e-j40° V − 200 ⋅ e j150° V + 100 ⋅ e j170° V = 260,82 ⋅ e-j43,36° V U R − = 150 ⋅ e-j40° V − 200 ⋅ e j270° V + 100 ⋅ e j50° V = 254,11⋅ e j45,16° V U R 0 = 150 ⋅ e-j40° V − 200 ⋅ e j30° V + 100 ⋅ e-j70° V = 291,39 ⋅ e-j94,74° V A zérus sorrendűfeszültségek megegyeznek, így a teljesítményük 0!

1 − a = 3 ⋅ e-j30° a − 1 = 3 ⋅ e j150° 2

1 − a = 3 ⋅ e j30° 2

a − 1 = 3 ⋅ e-j150°

(

U VR −S = U R + 1 − a

2

)+ U

R−

(1 − a ) = 260,82 ⋅ e

-j43,36°

V ⋅ 3 ⋅ e j30° +

+ 254,11⋅ e j45,16° V ⋅ 3 ⋅ e-j30° = 864, 4 V ⋅ e j0,71°

(

)

2

(

U VS−T = U R + a − a + U R − a − a

(

)

(

2

2

)

) = 623, 09 V ⋅ e

-j178,33°

U VT−R = U R + a − 1 + U R − a − 1 = 242, 22 V ⋅ e j178,26° P=

864, 42 V 2 ⋅ 623, 092 V 2 ⋅ 242, 222 V 2 1194099 V 2 = = 19901, 65 W 60 Ω 60 Ω

1.3 verzió


235

4. Lineáris hálózatok a frekvenciatartományban

1.3 verzió


236

4.1.feladat: R e = 20Ω

Feladat

C e = 0.4µF ωe =

1 = 125krad / sec R eCe

Le =

Re = 160µH ωe

1 (1 + jω ⋅ 1.25) 1 + jω ⋅ 1.25 1 jω × (1 + jω ⋅ 1.25) = = Z( jω) = 1 jω 1 − 1.25ω 2 + jω + 1 + jω ⋅ 1.25 jω

(

Z(0) = 1 = 20Ω Z( ∞ ) = 0 = 0 Ω Z( jω) =

=

(1 + jω ⋅ 1.25) ⋅ ((1 − 1.25ω2 ) − jω) =

(1 − 1.25ω )

2 2

(1 − 1.25ω ) + 1.25ω (1 − 1.25ω ) + ω 2

2 2

Z(ω0 ) = valós,

2

2

+ j⋅

+ ω2

(

)

1.25ω ⋅ 1 − 1.25ω 2 − ω

(1 − 1.25ω )

2 2

+ ω2

ha Im[Z(ω 0 )] = 0

ω0 ⋅ 1.25 ⋅ (1 − ω02 ⋅ 1.25) − ω 0 = 0 ω0 = 0.4 = 50krad / sec Z(0.4) = 1.25 = 25Ω

1.3 verzió

)


237

4.2.feladat:

Feladat

jωRL R × jω L ( jω) 2 RLC ( jω) 2 LC R + jωL = = = W ( jω) = = 2 1 1 jωLR L 2 + ω + ω R j L ( j ) LRC ( jω ) + jω ⋅ + 1 + R × jωL + jωC jωC R + jωL R 2

2

⎛ ω⎞ ⎛ ω⎞ ⎜j ⎟ ⎜j ⎟ Ω⎠ ⎝ ⎝ Ω⎠ = = 2 2 ω L 1 1 L⎛ ω⎞ ⎛ ω⎞ ⎛ ω⎞ +1 ⎜ j ⎟ + ⋅ ⎜j ⎟ + j ⋅ ⋅ ⎜ j ⎟ +1 Ω R LC R C⎝ Ω⎠ ⎝ Ω⎠ ⎝ Ω⎠ 1 Ω= = 50 krad sec LC 1 L ⋅ = 0.2 R C 2ξ = 0.2 ⇒ ξ = 0.1

Feladat 4.3.feladat: I 1 1 1 1 W ( jR ) = = + + = 0.01 − j0.01 + U 100 j100 R − j50 R − j50 W (0) = 0.01 + j0.01 W (∞) = 0.01 − j0.01 W (R = 50) = 0.02 Pmax ha R = 50Ω , mivel ekkor legnagyobb a valós komponense az áramnak.

1.3 verzió


238

U = 100V I = 100 ⋅ 0.02 = 2A

Pmax = U ⋅ Re{I} = 200W Q max ha R = ∞ , mivel ekkor előjelesen legkisebb a képzetes komponense az áramnak.

I = 100 ⋅ (0.01 − j0.01) = (1 − j)A S = U ⋅ I∗ = 100 + j100 Q = 100 var


Feladat

L e = 10mH ωe =

Re = 5 ⋅103 rad sec Le

Ce =

1 = 4µF R e ωe

⎛ 1 ⎞ 2 2 + ⎜⎜ 2 × ⎟⎟ 2+ jω ⎠ 4 + 4 jω U 1 + 2 jω ⎝ = = W ( jω) = 2 = 2 U1 ⎛ 1 ⎞ + 2 + jω 2 + (4 + jω)(1 + 2 jω) 2 + ⎜⎜ 2 × ⎟⎟ + 2 + jω 2 + 1 + 2 jω jω ⎠ ⎝

1.3 verzió


W ( jω) =

239

4 + 4 jω 1 + jω A B =2 = + 2 2 6 + 9 jω − 2ω ( jω) + 4.5 jω + 3 jω + 0.814 jω + 3.686

A = 0.13 B = 1.87 W ( jω) =

0.13 1.87 + = 0.16 jω + 0.814 jω + 3.686

1 1+ j

ω 0.814

2 3 W (∞ ) = 0 W (ω = 1) = 0.53 − j0.2

W (0) =


Feladat

L e = 2mH ωe =

Re = 40 krad sec Le

Ce =

1 = 0.3125µF R e ωe

W ( jω) =

UC UR + U1 U1

1.3 verzió

1

+ 0.5 1+ j

ω 3.686


240

1 UC 1 1 1 2 + jω jω = ⋅ = = = 1 1 + jω jω(1 + jω) 2 + 2 jω + ( jω) 2 U1 jω 1 + 1 × (1 + jω) + 1+ jω jω 2 + j ω 2 + jω U R ( U1 − U C ) 1 2 + 2 jω + ( jω) 2 − 2 − jω jω = ⋅ = = 2 U1 U1 1 + jω (2 + 2 jω + ( jω) )(1 + jω) 2 + 2 jω + ( jω) 2 ⎛ jω ⎞ 1+ ⎜ ⎟ 2 + 2 jω ⎝ 1 ⎠ W ( jω) = = 2 2 2 + 2 jω + ( jω) 2 ⎛ jω ⎞ ⎛ jω ⎞ ⎜ ⎟ +2 ⎜ ⎟ +1 2 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠

4.6.feladat: ωL = 10Ω 1 = 5Ω ωC

Feladat

j10 + R R + j10 = j10 + R − j5 R + j5 W (0) = 2 W (∞ ) = 1 W (5) = 1.5 + j0.5

W (R ) =

1.3 verzió


241

Wmax (R = 0) = 2 Wmin (R = ∞) = 1 R 2 + 100 ? =1.5 R 2 + 25 R 2 + 100 = 2.25(R 2 + 25) W ( jR ) =

R 2 = 35 R = 35 ϕmax : 5R R + 50 2 5R + 250 − 10R 2

ϕ( jR ) = arctg dϕ( jR ) = dR

2

(R

2

+ 50

)

2

?

=0

R = 50 ϕmax (R = 50 ) = 19.47°

1.3 verzió


4.7.feladat: ωe = 10 3 rad sec

242

Feladat

R e = 100Ω Le =

Re = 0.1H ωe

{

}

Q = Im U ⋅ I ∗ = U ⋅ I ⋅ sin(−ϕ i ) W ( jL) =

1 2 + jL = 2 jL 2 + 3 jL 1+ 2 + jL

W (0) = 1 1 W (∞ ) = 3 ? −1 = Im{W ( jL )} 2 ⋅3 L1 = 1.61 ⋅ 0.1H = 0.161H L 2 = 0.28 ⋅ 0.1H = 0.028H

1.3 verzió


4.8.feladat: 1 + jX L W ( jL) = 1 + jX L − j

243

Feladat

1 j45° e 2 W (∞ ) = 1

W (0) =

W (X L = 1) = 2 ⋅ e j45° X L = 1.62Ω 1.62 = 5.16mH 100π U 2 max = 1.72 ⋅ e j26.6° V

L=

Feladat

4.9.feladat: W ( jω) =

−ω jω = 2 − ω + j(1 − ω ) 1 + jω − ω2

Ω =1 1 ζ= 2 ωm = Ω 1 − 2ζ 2 =

1 2

k (ωm ) = 1.25dB

1.3 verzió


4.10.feladat: R e = 103 Ω

244

Feladat

Ce = 10− 7 F ωe =

1 = 104 rad sec R e Ce

Le =

Re = 0.1H ωe 2

4 jω ⎛ jω ⎞ ⎜ ⎟ 2 1 × 4 jω 4( jω) 1 + 4 jω ⎝ 0.5 ⎠ = = = W ( jω) = 2 1 4 jω j 1 + 4 jω + (2 jω) 2 ⎛ jω ⎞ − 1 × 4 jω − j ⎜1 + ⎟ ω 1 + 4 jω ω ⎝ 0.5 ⎠

1.3 verzió


245

4.11.feladat: Feladat 2 2 2 4 + 6 j + 4 k j 4 + 6 j + 4k + 2k j − 4 j + 6 − 4k 2 j + 2k 2 W ( jω) = = = (5 + j) + k 2 (3 − j) 1+ j 2 v = k2 0≤v≤∞ W ( jv) = (5 + j) + v(3 − j)

1.3 verzió


246

4.12.feladat:

Feladat

1 1 jω C = = W ( jω) = 2 1 1 + RjωC + ( jω) LC 1 + jωRC + ( jω) 2 LC + R + jωL jωC jω C 1 1 = W ( jω) = −4 −8 2 2 1 + 0.5 ⋅ jω ⋅ 10 + ( jω) ⋅ 10 ⎛ ω⎞ ⎛ ω⎞ 1 + 2ζ ⎜ j ⎟ + ⎜ j ⎟ ⎝ Ω⎠ ⎝ Ω⎠ 4 Ω = 10 1 jω C

ζ = 0.25

4.13.feladat: W ( jω) = −

Feladat

ω 1 + ω2 2

k (ω) = 20 lg W ( jω) = 20 lg

ω2 1 + ω2

• ha ω << 1 k (ω) = 40 lg ω • ha ω >> 1 k (ω) = 0 dB dk (ω) 2 ⋅ 20 = lg(ω) 1 + ω

1.3 verzió


247

dB D k (ω = 1) = 6 dB

k ' (ω = 1) = 20

y + 6 = 20 lg(ω1 ) ⇒ ω1 = 2 ϕ(ω) = −180° = +180°

4.14.feladat:

Feladat

4 + 2 jω 4 + 2 jω A B = + = 2 − 3ω + 6 jω − 24 3( jω − 2)( jω + 4) ( jω − 2) ( jω + 4) 8 4 A= = 3⋅6 9 1 −4 2 B= ⋅ = 3 −6 9 4 1 2 1 W ( jω) = ⋅ + ⋅ 9 ( jω − 2) 9 ( jω + 4) W ( jω) =

1.3 verzió


248

Feladat 4.15.feladat: 1 1 1 1 W ( jR ) = + + = 0.1 + j0.1 + 10 − j10 R + j5 R + j5 W (0) = 0.1 − j0.1 W (R = 5) = 0.2 W (∞) = 0.1 + j0.1 R = 5Ω Smax = U ⋅ I max = 10V ⋅ 10 ⋅ 0.2A = 20VA R = 5Ω Pmax = U ⋅ Re{I}max = 10V ⋅ 10 ⋅ 0.2A = 20 W

R =∞

Q max = U ⋅ Im{I}max = 10V ⋅ 10 ⋅ 0.1A = 10 var

1.3 verzió


249

4.16.feladat:

Feladat 1 jωC

W ( jω) =

R + jωL +

1 jωC

=

1 1 = 2 ( jω) LC + jωRC + 1 ⎛ jω ⎞ ⎛ jω ⎞ ⎜ ⎟ + 2ζ ⎜ ⎟ + 1 ⎝Ω⎠ ⎝Ω⎠ 2

1 = 100 rad sec LC 2ζ = ΩRC = 1

Ω=

ζ = 0 .5 2

W ( jω) =

1 2 ⎡ ⎛ω⎞ ⎤ 2⎛ ω ⎞ ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ + 4ζ ⎜ ⎟ ⎝Ω⎠ ⎣⎢ ⎝ Ω ⎠ ⎦⎥ 2

2

d W ( jω) ? =0 dω ⎡ ⎛ ω ⎞2 ⎤ 4 ⎢1 − ⎜ 2 ⎟ ⎥ − 8ζ 2 = 0 ⎢⎣ ⎝ Ω ⎠ ⎥⎦ ω2 1 = Ω 2 2

W ( jω) max = W (ω = 1 K (ω) max = 20 lg

2

2) =

2 3

2 = 1.25dB 3

1.3 verzió


250

4.17.feladat: a, 4 + pL p + 400 = W ( p) = 10 + pL p + 1000 p = −1000 z = −400

Feladat

b, jω jω + 400 400 W ( jω) = = 0.4 jω jω + 1000 1+ 1000 20 lg(0.4) = −7.96dB 1+

1.3 verzió


c, H ( p) =

[

251

1 p + 400 1 1000 W ( p) = = + 0.4 p p(p + 100) p + 1000 p(p + 1000)

]

h ( t ) = e −1000 t + 0.4(1 − e −1000 t ) ⋅ 1( t ) = (0.4 + 0.6e −1000 t ) ⋅ 1( t ) K ( p) = W ( p ) k ( t ) = δ( t ) − 600e −1000 t ⋅ 1( t )

1.3 verzió


4.18.feladat: 2 100 + j0.1ω I − I1 − I =0 3 400 + j0.1ω

252

Feladat

jω I 2 100 + 0.1jω 500 − 0.1 jω 5000 W ( jω) = 1 = − = = 0.416 ⋅ jω I 3 400 + 0.1jω 1200 + 0.3 jω 1+ 4000 5 1 4 W (0) = W (∞ ) = − = − 12 3 12 5 W (ω = 4000) = (0.1 − 0.9 j) 12 1−

1.3 verzió


4.19.feladat: ZC = − j10Ω

253

Feladat

ZL = k ⋅ j20Ω 1 1 + 10 − j10 10 − j(10 − k 20) W (0) = 0.1 + j0.1 W ( jk ) =

W (k = 0.5) = 0.15 + j0.05 W (k = 1) = 0.1 W (∞) = 0.05 + j0.05

Pmax (k = 0.5) = U ⋅ I ⋅ cos ϕ = 100V ⋅ 15A = 1500W Pmin (k = ∞) = 100V ⋅ 5A = 500W Q min (k = 1) = 100V ⋅ 10A = 1000W 4.20.feladat:

Feladat

jω 1+ R 2 + jω L 2 1 R 2 − R 1 + jω(L 2 − L1 ) 22000 = 0.26 W ( jω) = − = jω R 1 + R 2 + jω(L1 + L 2 ) 2 2(R 1 + R 2 ) + jω2(L1 + L 2 ) 1+ 2000 ω1 = 22000 rad sec ω2 = 2000 rad sec K = −11.7dB

1.3 verzió


254

Feladat

4.21.feladat:

jω R2 R2 R 2 (1 + jωR 1C) R2 ω1 = ⋅ = = W ( jω) = 1 R1 R 1 + R 2 + jωR 1R 2C R1 + R 2 1 + jω R 2 + R1 × R2 + ω0 jωC 1 + jωR1C 1+

⎫ 1 = 3.14 ⎪ R 1 × R 2C ⎪ R1 = 1kΩ ⎪ 1 ω1 = = 314 ⎬ ⇒ R 2 = 9kΩ R 1C ⎪ C = 0.354µF ⎪ ⎛ R2 ⎞ ⎟⎟ = −20⎪ 20 lg⎜⎜ ⎝ R1 + R 2 ⎠ ⎭ ω0 =

1.3 verzió


255

4.22.feladat:

Feladat 1 jωC 1 jωL + jω C jω L ⋅

jω L × W ( jω) =

1 jω C

1 1 jω L + + jω L × jω C jωC

=

1 jωL ⋅ 1 jω C jω L + + 1 jωC jωL + jω C

=

jωL jωC 2

⎛ 1 ⎞ jωL ⎟⎟ + ⎜⎜ jωL + jω C ⎠ jω C ⎝

2

⎛ω⎞ ⎜ ⎟ 2 ω LC ⎝Ω⎠ =− 4 2 2 =− W ( jω) = 2 4 2 L L 1 ω L C − 3ω LC + 1 ⎛ω⎞ ⎛ω⎞ − ω 2 L2 + 2 − 2 2 − 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ +1 C C ωC ⎝Ω⎠ ⎝Ω⎠ 1 Ω= = 316.187 rad sec LC L C

2

⎧2.618 ⎛ω⎞ ⎜ ⎟ = 1.5 ± 2.25 − 1 = ⎨ ⎝ Ω ⎠1, 2 ⎩0.382 ω1 = Ω 2 ⋅ 2.618 = 1.618Ω = 511.598 rad sec ω 2 = Ω 2 ⋅ 0.382 = 0.618Ω = 195.423 rad sec

B

2

⎛ω⎞ ⎜ ⎟ ⎝Ω⎠ W ( jω) = − 2 2 ⎞ ⎞⎛ ⎛⎛ ω ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ − 2.618 ⎟⎜ ⎛⎜ ω ⎞⎟ − 0.382 ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎝ Ω ⎠ ⎜⎝ Ω ⎠ ⎠ ⎠⎝ ⎝

1.3 verzió


256

Feladat ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ 1 ⎟ ⎟⎟⎜⎜ R 1 + ⎜⎜ R 2 + R2 + jωC 2 ⎠⎝ jωC1 ⎟⎠ jωC 2 ⎝ W ( jω) = = 1 1 ⎛ 1 1 ⎞⎛ 1 ⎞ R2 + + R1 × ⎟⎟ + R 1 ⎟⎟⎜⎜ R 1 + ⎜⎜ R 2 + jω C 2 jωC1 ⎝ jωC1 jωC 2 ⎠⎝ jωC1 ⎠

4.23.feladat:

W ( jω) =

(1 + jωC1R1 )(1 + jωC2R 2 ) (1 + jωC1R1 )(1 + jωC2R 2 ) + jωR1C2

=

(1 + jω)(1 + 0.5 jω) 0.5( jω) 2 + 1.75 jω + 1

⎧− 0.75 jω1, 2 = −1.75 ± 1.752 − 2 = ⎨ ⎩− 2.75 jω ⎞⎛ jω ⎞ ⎛ ⎜1 + ⎟⎜1 + ⎟ 32 ⎝ 1 ⎠⎝ 2 ⎠ W ( jω) = jω ⎞⎛ jω ⎞ 33 ⎛ ⎜1 + ⎟⎜1 + ⎟ ⎝ 0.75 ⎠⎝ 2.75 ⎠

1.3 verzió


257

Feladat 4.24.feladat: 3 2 W ( jω) = jω + j(ω) = jω(1 + ω ) = jω(1 + jω)(1 − jω)

Feladat 4.25.feladat: 3 W ( jω) = jω(1 − jω)(1 + jω) + 2 = j(ω + ω ) + 2 W ( ju ) = ju + 2 u = ω + ω3

1.3 verzió


258

Feladat 1 ( jω) LC + jωRC + 1 ( jω + 5.05)( jω + 495) W ( jω) = R + jωL + = = jωC jω C jω ⋅ 0.004

4.26.feladat:

2

⎛ jω ⎞⎛ jω ⎞ + 1⎟⎜ + 1⎟ ⎜ 5.05 ⎠⎝ 495 ⎠ W ( jω) = 624937.5 ⋅ ⎝ jω

1.3 verzió


259

4.27.feladat: Feladat 3 3 3 1 (p − 3 ⋅ 10 )(p + 10 + j3 ⋅ 10 )(p + 10 3 − j3 ⋅ 10 3 ) W ( p) = ⋅ 4 (p + 2 ⋅ 10 3 )(p − 2 ⋅ 10 3 − j10 3 )(p − 2 ⋅ 10 3 + j10 3 ) W ( p) =

1 (p − 3 ⋅ 10 3 )((p + 10 3 ) 2 + 9 ⋅ 10 6 ) ⋅ 4 (p + 2 ⋅ 10 3 )((p − 2 ⋅ 10 3 ) 2 + 10 6 )

W ( p) =

1 (p − 3 ⋅ 10 3 )(p 2 + 2p ⋅ 10 3 + 10 ⋅ 10 6 ) ⋅ 4 (p + 2 ⋅ 10 3 )(p 2 − 4p ⋅ 10 3 + 5 ⋅ 10 6 )

W ( jω) =

1 ( jω − 3 ⋅ 10 3 )(( jω) 2 + 2 jω ⋅ 10 3 + 10 ⋅ 10 6 ) ⋅ 4 ( jω + 2 ⋅ 10 3 )(( jω) 2 − 4 jω ⋅ 10 3 + 5 ⋅ 10 6 )

2 jω ⎞ ⎛ jω ⎞⎛⎜ ⎛ ⎟⎟ + − 1⎟ ⎜⎜ ⎜ 3 ⎝ 3 ⋅ 10 ⎠⎜⎝ ⎝ 10 ⋅ 10 3 ⎠ W ( jω) = 0.53 ⋅ 2 ⎛ jω ⎞⎛⎜ ⎛ jω ⎞ ⎟⎟ − + 1⎟ ⎜⎜ ⎜ 3 ⎝ 2 ⋅ 10 ⎠⎜⎝ ⎝ 5 ⋅ 10 3 ⎠

2 ⋅ 10 3 ⎛ jω ⎞ ⎞⎟ ⎟⎟ + 1 ⎜ ⎜ 10 ⋅ 10 3 ⎝ 10 ⋅ 10 3 ⎠ ⎟⎠ 4 ⋅ 10 3 ⎛ jω ⎞ ⎞⎟ ⎟⎟ + 1 ⎜⎜ 5 ⋅ 10 3 ⎝ 5 ⋅ 10 3 ⎠ ⎟⎠

2 ⎛ jω ⎞ jω ⎞ ⎞⎟ ⎛ jω ⎞⎛⎜ ⎛ ⎟ +1 1 0 . 63 ⎟ + ⋅ ⎜ − ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 3 3 ⎟ ⎝ 3 ⋅ 10 ⎠⎜⎝ ⎝ 10 ⋅ 10 3 ⎠ ⎝ 10 ⋅ 10 ⎠ ⎟⎠ W ( jω) = 0.53 ⋅ 2 ⎛ jω ⎞ ⎞⎟ ⎛ jω ⎞⎛⎜ ⎛ jω ⎞ ⎟ +1 ⎟ − ⋅ ⎜⎜ + ⎜ 1 1 . 79 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3 3 ⎟ ⎠⎜⎝ ⎝ 5 ⋅ 10 3 ⎠ ⎝ 2 ⋅ 10 ⎝ 5 ⋅ 10 ⎠ ⎟⎠ ω3 = 3 ⋅ 10 3 rad / sec ω1 = 2 ⋅ 10 3 rad / sec

ω 2 = 5 ⋅ 10 3 rad / sec

ω 4 = 10 ⋅ 10 3 rad / sec

1.3 verzió


260

4.28.feladat:

Feladat

R e = 5.5kΩ = R 1 ,

R2 =

16 Re 11

ωe = 5krad / sec Le =

Re 5.5kΩ = = 1.1H, ω e 5krad / sec

L=

Ce =

1 2 = µF, ωe C e 55

C = kC e

37 Le 22

U e = 7.5V Ie = Ue / R e =

15 mA 11

1 1 jω C I ( C) = U 0 = U0 1 1 1 (R 1 + jωL)(R 2 + ) + R2 R 1 + jωL + R 2 × jω C jω C jωC 1 + jωR 2 C I ( C) = U 0 ⋅ R 1 + R 2 + jωR 1 R 2 C + jωL + ( jω) 2 R 2 LC R2 +

16 k 11 I( k ) = 27 37 ⎛ 296 16 ⎞ + j + k⎜ − +j ⎟ 11 22 11 ⎠ ⎝ 121 I(0) = (0.277 − 0.19 j) I(∞) = (0.2612 − 0.44 j) K = 0.327 − 0.318 j R = 0.1377 1+ j

1.3 verzió


261

a, I min = I(0) b, ?

Im{k}= min 37 256 + k − 3.558k 2 22 121 Im{I} = 2 2 296 ⎞ ⎛ 37 16 ⎞ ⎛ 27 ⎜ −k ⎟ + ⎜ + k⎟ 121 ⎠ ⎝ 22 11 ⎠ ⎝ 11 d Im(k ) ? =0 dk k min f = 0.196 −

C = 0.196 ⋅ C e = 7.127 pF

Feladat

4.29.feladat: R 1 = 10kΩ R 2 = 1kΩ

1 jωC 1 R2 + R2 jω C = W ( jω) = 1 R 2 + ( jωR 2C + 1)(R1 + jωL) R2 ⋅ jωC + R 1 + jωL 1 R2 + jω C R2 1 1 = ⋅ W ( jω) = 2 R 1 + R 2 + jω(R 1R 2C + L) + ( jω) R 2CL LC ⎛R 1 ⎞ R1 + R 2 ⎟⎟ + ( jω) 2 + jω⎜⎜ 1 + L CR LCR 2 2 ⎠ ⎝ ⎧ − 111.252 ( jω)1, 2 = ⎨ ⎩− 988.748 R2 ⋅

ω1 = 111.252 ω2 = 988.748 9.09 ⋅ 10− 2 W ( jω) = ⎛ ⎛ jω ⎞ ⎞⎛ ⎛ jω ⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ + 1⎟⎜ ⎜ ⎟ + 1⎟ ⎜ ⎜ ω ⎟ ⎟⎜ ⎜ ω ⎟ ⎟ ⎝ ⎝ 1 ⎠ ⎠⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠

1.3 verzió


262

Feladat

4.30.feladat: R e = 20Ω,

R 1 = k ⋅ 20Ω

ωe = 1 krad sec

Le =

Re = 20mH ωe

1 j+ k = 1 + k × j j + kj + k W (0) = 1 W (∞) = 0.5 − 05 j

W (k ) =

1.3 verzió


4.31.feladat: R e = 1kΩ

263

Feladat

Ce = 1µF ωe =


⎛ 100 ⎞ 1 ⎟ 1 × ⎜⎜1 + jω ⎟⎠ 1 jω ⎝ ⋅ W ( jω) = + ⎛ 100 ⎞ 1 1 + 100 ⎛ 100 ⎞ 1 ⎟+ ⎟⎟ 1 × ⎜⎜1 + + 1 × ⎜⎜1 + jω jω jω ⎠ jω ⎟⎠ jω ⎝ ⎝ 1 100 100 2+ 2+ ( jω) 2 + 2 jω + 100 jω jω = + W ( jω) = 100 100 ( jω) 2 + 102 jω + 100 + 100 + jω 1 + 2+ 1 jω jω + 100 jω 2+ jω 2

2

⎛ jω ⎞ ⎛ jω ⎞ ⎛ jω ⎞ ⎛ jω ⎞ ⎜ ⎟ + 0.2⎜ ⎟ + 1 ⎜ ⎟ + 0.2⎜ ⎟ + 1 1 ⎝ 10 ⎠ 10 ⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠ ⋅ W ( jω) = = 10− 4 ⋅ ⎝ ⎠ 100 ( jω + 0.99)( jω + 101) ⎛ ⎛ jω ⎞ ⎞⎛ ⎛ jω ⎞ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎟ + 1⎟⎟⎜⎜ ⎜ ⎟ + 1⎟⎟ ⎝ ⎝ 0.99 ⎠ ⎠⎝ ⎝ 101 ⎠ ⎠

1.3 verzió



264

Feladat

Ce = 100µF ωe =


Le =

Re = 10mH ωe

L = k ⋅ Le U e = 100V Ie = 10A Pe = 1000 W Q e = 1000 var

2 + (1 + jk ω) 1 I 1 1 1 + 2 jω W (k ) = = = = = 2 1 2 U Z be ⋅ (1 + jk ω) × (1 + jk ω) × 2 × (1 + jk ω) 1 + 2 jω jω 1 + 2 jω 2 + 1 + 2 jω + jk ω + 2 ( jω) 2 k (3 − 0 .02 k ) + ( 0 .2 j + 0 .1 jk ) = 2 + 2 jk ω 2 + 0 .2 jk W ( 0 ) = 1 .5 + 0 .1 j W ( ∞ ) = 0 .5 + 0 .1 j

W (k ) =

W (10 ) = 1 − 0 .4 j K = 1 + 0 .1 j R = 0 .5

1.3 verzió


265

a, I max = W (0) = 1.503 ⋅ Ie = 15.03A I min = W (∞) = 0.51 ⋅ Ie = 5.1A b, Pmax = Re max {W (k )} = Re{W (0)} = 1.5 ⋅ Pe = 1500 W Pmin = Re min {W (k )} = Re{W (∞)} = 0.5 ⋅ Pe = 500W

Q max = Immax {W (k )} = Im{W (0)} = 0.1 ⋅ Q e = 100 var

Q min = Immin {W (k )} = Im{W (10)} = −0.4 ⋅ Q e = −400 var c, ?

Im{W (k )}= 0 (−0.6 jk + 0.004 jk 2 ) + (0.4 j + 0.2 jk ) =0 2 + 0.02k 2 0.004k 2 − 0.4k + 0.4 = 0 ⎧ k = 1.01 k1, 2 = ⎨ 1 ⎩k 2 = 98.99 L1 = 10.1mH L 2 = 989.9mH

4.33.feladat: Le = 1mH

Feladat

Ce = 1µF ωe =

1 = 10 ⋅ 10 krad sec Le Ce

R e = 10 ⋅ 10Ω R = k ⋅ Re 1 ( jω) 2 + kjω + 1 = jω jω A pólus független R-től: p = 0 rad sec A zérus pedig a diszkrimináns által meghatározott: D = k2 − 4 • ha k > 2 akkor két valós zérus hely van ami az alábbi alakban áll elő: W ( k ) = k + jω +

− k ± k2 − 4 2 ha k = 2 akkor egy zérus hely van: k z=− 2 ha 0 < k < 2 akkor két komplex zérus hely van ami az alábbi alakban áll elő:

z1, 2 =

•

•

z1, 2 =

− k ± j 4 − k2 2

1.3 verzió


266

Feladat

4.34 feladat:

W( jkω ) =

W( jkω ) =

= 10−2 *

200 × (− j*

100 ) k

1 S 100 200 200 200 × (− j ) + 100 + jk100 − j k k j200 j − 2k

*

1 S= j200 200 200 + 100 + jk100 − j j − 2k k *

jk S (2 − 3k ) + j(7k − 2k 3 )

W(3jω ) = −

2

3*10−2 e j90° S = 0,725e− j142,86° mS 25 + j33

1.3 verzió


267

4.35 feladat:

Feladat ωe =

1 rad = 104 s L e ⋅ Ce

R e = ωe ⋅ Ce = 103 Ω 2 × jω

W(jω) =

2 × jω + 1 −4< 0 4 1 Ω =1 ζ = 4 D=

szélsőérték helye: ωm = ? W(jω) = W(ω) = 2 ⋅ ω2 ⋅

1 4 ⋅ ω − 7 ⋅ ω2 + 4

1 jω

=

2 ( jω )

2 + jω + 2 ( jω )

dW(ω) =0 dω 3

1 ⎛ ⎞ −2 ⋅ ω ⋅ ( 7 ⋅ ω − 8 ) ⋅ ⎜ ⎟ = 0 → ωm = 1, 06905 4 2 ⎝ 4⋅ω − 7⋅ω + 4 ⎠ 2

⎡ ⎤ 1 szélsőérték: k (ωm ) = 20 ⋅ log [ W(ωm ) ] = 20 ⋅ log ⎢ 2 ⋅ ωm 2 ⋅ ⎥= 4 ⋅ ωm 4 − 7 ⋅ ωm 2 + 4 ⎦ ⎣ = 6,30089 dB 1 ϕ ' ( Ω ) = −131,9 ° D ⋅ = −131,9 ° D ⋅ 4 = 527, 6 ° D ζ

1.3 verzió

2

=

másodfokú normálalak

4

tengelymetszés: ω1 = 1

2

( jω )

2

1 2 1 + ⋅ jω + ( jω ) 2


268

4.36 feladat: 1 Ce = = 100 µ F ωe ⋅ R e

Feladat

1 1 j ⋅103 ⋅ C W(C) = = 1 1 − 2 ⋅103 ⋅ C + j2 1× j2 + j ⋅103 ⋅ C 1×

W(∞) = 0 1 1 -3 1 1 ⎛ 1 + j2 ⎞ 1 10-3 C W(C) ≈ − ⋅10 ⋅ j = − ⋅10-3 ⋅ ⋅ ⎜1 + = + ⋅ ⎟ 1 + j2 2 2 C ⎝ 2 ⋅103 ⋅ C ⎠ C C 1− 2 ⋅103 ⋅ C 1 =X C W(X) = X (1 + j ⋅10-3 )

4.37 feladat: 1 rad ωe = 3 = 104 −7 10 Ω ⋅10 F s

Feladat Re 103 Ω Le = = = 0,1 H ωe 104 rad s

2

3jω 2 3jω ) ( U2 1× 3jω 1 + 3jω = = = W ( jω ) = 3jω 1 1 + 3jω + ( 3jω )2 U1 1× 3jω + 1 + jω 1 + 3jω jω D = 9 − 12 < 0 másodfokú normálalak! 2ζ 3 =3 ζ = 1 2 3 k ( Ω ) = −20 lg 2ζ = −4, 77 dB ρ ( Ω ) = −90°

Ω=

1 3

ρ' ( Ω ) = −

131, 9°⋅ 2 1 = −152,31 ° dek dek 3 1

Minimum helye: ωm = Ω (1 − 2ζ 2 ) 2 = ? nincs minimum!

1.3 verzió

⎛ ⎞ ⎜ jω ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ 3⎠ ⎝ = 2 ⎛ ⎞ jω ⎟ 1 + 3jω + ⎜ ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ 3⎠ ⎝


4.38 feladat: R + j10 W(R) = 2R + j5 W(0) = 2 tgρ max =

269

Feladat

[W] = −

W(∞) =

3 10 5 = − 4 R R

1 2 R = 10 Ω

1.3 verzió


270

5. Lineáris invariáns hálózatok

1.3 verzió


271

5.1.feladat: Feladat b, Általános deriválással számolható: k ( t ) = 2δ( t ) + − 2e −2 t − 6e −3 t + 4e −4 t ⋅ 1( t ) a, Vegyük a Laplace transzformáltját h(t)-nek: 1 1 1 H ( p) = +2 − p+2 p+3 p+4 1 H ( p) = W ( p) p p p p W ( p) = p ⋅ H ( p) = +2 − p+2 p+3 p+4 c, Most már ha átváltjuk a gerjesztést számolhatjuk a választ: u 1 ( t ) = 10 ⋅ [1( t ) − 1( t − 4)]

(

)

⎡1 1 ⎤ U 1 (p) = 10 ⋅ ⎢ − e − 4 p ⎥ ⎣p p ⎦ U 2 ( p) = W ( p) ⋅ U 1 ( p) =

(

10 − 4 p 20 − 4 p 10 20 10 10 − 4 p + − − e e + e − p+4 p+3 p+2 p+4 p+4 p+2

)

(

)

u 2 ( t ) = 10e − 2 t + 20e −3 t − 10e − 4 t ⋅ 1( t ) − 10e − 2 ( t − 4 ) + 20e −3( t − 4 ) − 10e − 4( t − 4) ⋅ 1( t − 4)

5.2.feladat: f ( t ) = 1( t − T1 ) − 1( t − T2 ) F(p) =

e − pT1 e − pT2 − = −e − pT1 p p

Feladat ⎛ 1 − e − p∆T ⋅ ⎜⎜ p ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

∆T = T2 − T1 ∆T ∆T ∆T jω − jω ⎛ ⎞ ∆T ⎞ 2 sin(ω ⎛ ) ∆T 2 2 ⎟ j T − ω + ⎜ ⎟ − jω ⎜ 1 −e e 2 ⎠ 2 ⎝ = ⋅ F( jω) = −e − jωT1 ⋅ ⎜ e 2 ⋅ e ⎟ ω jω ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∆T ∆T sin(ω ) sin(ω ) 2 2 = F(ω) = F( jω) = 2 ⋅ ∆T ∆T ω ω 2

1.3 verzió


272

5.3.feladat: f ( t ) = t 2 [1( t + 1) − 1( t − 1)]

Feladat

t 2 = (t + 1) − 2t − 1 = ( t + 1) 2 − 2( t + 1) + 2 − 1 = ( t + 1) 2 − 2(t + 1) + 1 2

t 2 = (t − 1) + 2t − 1 = ( t − 1) 2 + 2( t − 1) + 2 − 1 = ( t − 1) 2 + 2(t − 1) + 1 2

[

]

[

]

f ( t ) = 1( t + 1) ( t + 1) 2 − 2( t + 1) + 1 − 1( t − 1) ( t − 1) 2 + 2(t − 1) + 1 ⎡2 ⎡2 2 1⎤ 2 1⎤ F(p) = ⎢ 3 − 2 + ⎥ ⋅ e p − ⎢ 3 + 2 + ⎥ ⋅ e − p p p⎦ p p⎦ ⎣p ⎣p 5.4.feladat: ⎡ A B C ⎤ F(p) = 10 ⎢ + + ⎥ 2 ⎣ (p + 1) (p + 1) p + 4 ⎦

Feladat

A(p + 4) + B(p + 1)(p + 4) + C(p + 1) 2 = p 2 + 4p + 4 Ap + 4A + Bp 2 + 5Bp + 4B + Cp 2 + 2Cp + C = p 2 + 4p + 4

1.3 verzió


273

B+C =1 ⎫ A =1 3 ⎪ A + 5B + 2C = 4 ⎬ ⇒ B = 5 9 4A + 4B + C = 4⎪⎭ C = 4 9 F(p) =

10 1 50 1 40 1 ⋅ + ⋅ + ⋅ 2 3 (p + 1) 9 p +1 9 p + 4

50 40 ⎡10 ⎤ f ( t ) = ⎢ t ⋅ e − t + e − t + e − 4 t ⎥ ⋅ 1( t ) 9 9 ⎣3 ⎦ 5.5.feladat:

Feladat

U C ( 0) = 5V I L ( 0 ) = 2 .5 A TC = RC = 2.5µ sec L = 2.5µ sec R u K (t) = u C (t) − u R (t)

TL =

⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ 1 ⎛ 10 5 ⎞ ⎜ pC ⎟ 5 5 1 5 U C (p) = U'C (p) + u C (0) ⋅ = ⎜⎜ − ⎟⎟ ⋅ + = ⋅ + = p ⎝ p p ⎠ ⎜ R + 1 ⎟ p p 1 + pRC p ⎜ pC ⎟⎠ ⎝ 1 ⎛ 1 1 5 ⋅ 105 ⎞ 5 5 RC ⎟ = + ⋅ = 5⎜⎜ + ⋅ 1 ⎞ p p p + 5 ⋅ 105 ⎟⎠ p p ⎛ ⎝ ⎜p + ⎟ RC ⎠ ⎝ 2.5 pL 1 pLR 1 U R ( p) = − ⋅ ⋅ 2R = −5 ⋅ = −5 p pL + 4R p pL + 4R p + 5 ⋅ 105 5 5 5 ⋅ 105 1 U K ( p) = + ⋅ +5 5 p p p + 5 ⋅ 10 p + 5 ⋅ 105

[ (

(

u K ( t ) = 5 + 5 1 − e − 5⋅10

)

5

t

)+ 5 ⋅ e

− 5⋅10 5 t

]⋅1(t) = 10 ⋅1(t) [V]

1.3 verzió


5.6.feladat:

274

Feladat

jωRC = 2 1 ( jω) LC + ( jω)RC + L R + jωL + jωC pRC R p R p W ( p) = 2 = ⋅ = ⋅ p LC + pRC + L L p 2 + p R + 1 L (p − p1 )(p − p 2 ) L LC zérushely: p=0 R

W ( jω) =

⎧ p = −2 R R2 1 ± − =⎨ 1 2 2L 4L LC ⎩p 2 = −8 p A B = + W (p) = 10 ⋅ (p + 8)(p + 2) p + 2 p + 8 p1, 2 = −

pólusok:

A + B = 10 ⎫ A = − 10 3 ⎬⇒ 8A + 2B = 0⎭ B = + 40 3 K ( p) = W ( p) = −

10 1 40 1 ⋅ + ⋅ 3 p+2 3 p+8

10 ⎛ 40 ⎞ k ( t ) = ⎜ e − 8 t − e − 2 t ⎟ ⋅ 1( t ) 3 ⎝ 3 ⎠ 1 5 2 5 8 H ( p) = W ( p ) = − ⋅ + ⋅ p 3 p(p + 2) 3 p(p + 8)

(

)

5 5 ⎡ 5 ⎤ ⎛5 ⎞ h ( t ) = ⎢− 1 − e − 2 t + (1 − e −8 t )⎥ ⋅ 1( t ) = ⎜ e − 2 t − e −8 t ⎟ ⋅ 1( t ) 3 3 ⎝3 ⎠ ⎣ 3 ⎦

1.3 verzió


275

5.7.feladat: 2π T= LC 1 ω0 = = 10− 4 rad sec LC u 1 ( t ) = U 0 [1( t ) − 1( t − T)]

Feladat

⎡1 1 ⎤ U 1 (p) = U 0 ⎢ − e − pT ⎥ ⎣p p ⎦ U ( p) pC C C I( p) = 1 = U 1 ( p) 2 = U0 2 − U0 2 ⋅ e − pT Z(p) p LC + 1 p LC + 1 p LC + 1 U U 1 1 I( p) = 0 ⋅ − 0⋅ ⋅ e − pT 1 1 L L p2 + p2 + LC LC 1 = ± jω 0 p1, 2 = ± j LC I( p) =

U0 U 1 − e − pT = 0 ⋅ 1 − e − pT ⋅ L (p + jω0 )(p − jω0 ) L

(

)⋅ ⎛⎜⎜ p +Ajω ⎝

+ 0

B p − jω 0

⎞ ⎟⎟ ⎠

1 A+B=0 ⎫ 2 jω 0 ⎬⇒ − Ajω0 + Bjω 0 = 1⎭ B = + 1 2 jω 0 A=−

I( p) =

U0 1 ⎛ 1 1 ⋅ 1 − e − pT ⋅ ⋅ ⎜⎜ + 2 j ⎝ p + jω 0 p − j ω 0 Lω0

i( t ) =

U0 1 U 1 ⋅ ⋅ − e − jω0 t + e jω0 t ⋅ 1( t ) − 0 ⋅ ⋅ − e − jω0 ( t −T ) + e jω0 ( t −T ) ⋅ 1( t ) Lω0 2 j Lω 0 2 j

(

)

(

)

⎞ ⎟⎟ ⎠

(

1.3 verzió

)


276

i( t ) =

U0 U sin ω0 t ⋅ 1( t ) − 0 sin ω0 ( t − T) ⋅ 1( t − T ) [A] Lω0 Lω 0

i( t ) =

U0 sin ω0 t ⋅ (1( t ) − 1( t − T) ) [A] Lω0

di L ( t ) = U 0 cos ω0 t ⋅ (1( t ) − 1( t − T) ) [V] dt u C ( t ) = U 0 [1 − cos ω0 t ] ⋅ (1( t ) − 1( t − T) ) [V]

u L (t) = L

5.8.feladat:

Feladat t

f ( t ) = 10

f (t) = e

− ln(10 ) t +∞

=e

F( jω) = ∫ f ( t )e −∞

−2.3 t

− jωt

0

dt = ∫ e −∞ 0

2.3 t

⋅e

− j ωt

+∞

dt + ∫ e − 2.3t ⋅ e − jωt dt = 0

+∞

⎤ ⎡ ⎤ ⎡ 1 1 1 1 4.6 e − ( jω − 2.3 t ) ⎥ + ⎢− e − ( jω + 2.3t ) ⎥ = − + = 2 = = ⎢− jω − 2.3 jω + 2.3 ω + 2.32 ⎦0 ⎦ − ∞ ⎣ jω + 2.3 ⎣ jω − 2.3 2.3 F( jω) = 2 2 ω + 2.32 Energia spektrum: 2.32 2 F( jω) = 4 2 ( ω + 2 .3 2 ) 2 Valós spektrum: A(ω) B(ω) F( jω) = −j 2 2 2.3 A(ω) = 4 2 ω + 2.32 B(ω) = 0 Fázisspektrum: ϕ(ω) = 0

1.3 verzió


5.9.feladat:

I( p) =

277

Feladat

U0 1 U p U 1 ⋅ = 0⋅ = 0⋅ p R+ 2 p pR C + 1 R p + 2 pC 2 RC

2 RC U 1 I( p) = 0 ⋅ R p+α U 1 I( jω) = 0 ⋅ R jω + α

α=

I( jω) =

U 02 1 ⋅ 2 2 R ω + α2 1.3 verzió


1 W =R⋅ π

278 ∞

+∞

U 02 ⎡ 1 U 02 1 π 1 ⎛ ω ⎞⎤ I ( j ω ) d ω = arctg = ⋅ ⋅ = CU 02 ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ∫0 Rπ ⎣ 2 ⎝ α ⎠ ⎦ 0 Rπ α 2 4 2

5.10.feladat: k ( t ) = 1( t ) − 1( t − T)

Feladat

1 1 − pT 1 − e − pT W ( p) = − e = p p p p = 0 nem pólus p k = 2kπ, k = ±1,±2,... zérushelyek W ( jω) =

− j ωT

1− e jω

⎛ ωT ⎞ ⎛ ωT ⎞ ⎛ ωT ⎞ 2 sin 2 ⎜ ⎟ ⎟ + j2 sin ⎜ ⎟ cos⎜ 1 − cos ωT + j sin ωT 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎝ = = jω jω

⎛ ωT ⎞ ⎛ ωT ⎞ ⎛ ωT ⎞ ⎛ ωT ⎞ sin ⎜ ⎟ sin ⎜ ⎟ + j cos⎜ ⎟ ⎟ ωT sin ⎜ 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ = T ⋅ e− j 2 ⋅ ⎝ 2 ⎠ ⋅ ⎝ W ( jω) = T ⎝ ωT ωT j 2 2 ⎛ ωT ⎞ sin ⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ W (ω) = T ⋅ ωT 2 1 1 − e − pT H ( p) = W ( p) = p p2 h ( t ) = t ⋅ 1( t ) − ( t − T) ⋅ 1( t − T)

1.3 verzió


279

A hálózat nem realizálható mivel W (p) nem racionális törtfüggvény. 5.11.feladat: Feladat a, p 2 + 2p + 1 0 .5 p 0 .5 p (p + 1) 2 = 2 = 1− 2 = 1− = F(p) = 2 (p + 0.5)(p + 2) p + 2 .5 p + 1 p + 2 .5 p + 1 p + 2 .5 p + 1 ⎛ A B ⎞ ⎟⎟ = 1 − ⎜⎜ + p + 0 . 5 p + 2 ⎝ ⎠ A + B = 0 .5 ⎫ A = − 1 6 ⎬⇒ 2 A + 0 .5 B = 0 ⎭ B = + 4 6 1 1 4 1 F(p) = 1 + ⋅ − ⋅ 6 p + 0 .5 6 p + 2 4 ⎞ ⎛1 f ( t ) = δ( t ) + ⎜ e −0.5 t − e − 2 t ⎟ ⋅ 1( t ) 6 ⎠ ⎝6

1.3 verzió


280

f (0) = ∞ f (∞ ) = 0 3 ⎛ 1 −0.5 t 4 − 2 t ⎞ − e ⎟ =− ⎜ e 6 6 ⎝6 ⎠ t =0 ⎛ 1 −0.5 t 4 − 2 t ⎞ − e ⎟ = 0 ⇒ t ∗ = 0.93 ⎜ e ∗ 6 6 ⎝ ⎠ t =?

b, F(p) =

1 A B C = 2+ + p (p + 1) p p p +1 2

A = 1 ⎫ A = +1 ⎪ A + B = 0 ⎬ ⇒ B = −1 B + C = 0 ⎪⎭ C = +1 f ( t ) = ( t − 1 + e − t ) ⋅ 1( t ) f ( 0) = 0 f (1) = 0.5 f ( t → ∞) = t − 1

1.3 verzió


281

5.12.feladat:

Feladat 1 1 R2 + R2 + 1 + jωR 2C 2 jωC 2 jωC 2 = = W ( jω) = 1 1 1 R1 jωR 1C 2 + R1 × + R2 + R2 + 1 + jωR 2C 2 + jωC 2 jωC1 jωC 2 1 + jωR1C1 1 + jωR1C1

W ( jω) =

(1 + jωR1C1 )(1 + jωR 2C 2 ) (1 + jω)(1 + jω) = ( jω) R 1R 2C1C 2 + jω(R 1C1 + R 2C 2 + R 1C 2 ) + 1 ( jω) 2 + 2.5 jω + 1 2

2

ω⎞ ⎛ ⎜1 + j ⎟ 1⎠ ⎝ W ( jω) = ω ⎞⎛ ω⎞ ⎛ ⎜1 + j ⎟⎜1 + j ⎟ 0.5 ⎠⎝ 2⎠ ⎝ W ( jω) ω=1 = 0.8 K (ω = 1) = −1.94dB

5.13.feladat: (p + 1) 2 W ( p) = (p + 0.5)(p + 2) K ( p) = W ( p)

Feladat

H ( p) =

1 (p + 1) 2 1 W ( p) = ⋅ p (p + 0.5)(p + 2) p

K ( p) =

⎛ A p 2 + 2p + 1 0 .5 p 0 .5 p B ⎞ ⎟⎟ = 1− 2 = 1− = 1 − ⎜⎜ + 2 p + 2 .5 p + 1 p + 2 .5 p + 1 (p + 0.5)(p + 2) ⎝ p + 0 .5 p + 2 ⎠

1.3 verzió


282

A + B = 0 .5 ⎫ A = − 1 6 ⎬⇒ 2 A + 0 .5 B = 0 ⎭ B = + 4 6 K ( p) = 1 +

1 1 4 1 ⋅ − ⋅ 6 p + 0 .5 6 p + 2

4 ⎛1 ⎞ k ( t ) = δ( t ) + ⎜ e −0.5 t − e − 2 t ⎟ ⋅ 1( t ) 6 ⎝6 ⎠ k ( 0) = ∞ k (∞ ) = 0

H ( p) =

1 2 0.5 2 2 + ⋅ − ⋅ p 6 p(p + 0.5) 6 p(p + 2)

1 1 ⎧ 1 ⎞ ⎫ ⎛ 1 h ( t ) = ⎨1 + (1 − e −0.5 t ) − (1 − e − 2 t )⎬ ⋅ 1( t ) = ⎜1 − e −0.5 t + e − 2 t ⎟ ⋅ 1( t ) 3 3 ⎠ ⎩ 3 ⎝ 3 ⎭

1.3 verzió


283

5.14.feladat: 1 p W ( p) = = 2 1 p + p +1 1+ p + p jω W ( jω) = 2 ( jω) + jω + 1 ω W ( jω) = (1 − ω2 ) 2 + ω2 Wmax = 1, Wmax 2

Feladat

ω = 1 − nél 1 ω0 = 2 (1 − ω02 ) 2 + ω02

=

(1 − ω02 ) 2 + ω02 = 2ω02 ⎧2.62 ω02 (1, 2 ) = 1.5 ± 2.25 − 1 = ⎨ ⎩0.38 ω01 = 0.62 ω02 = 1.62 ∆ω = 1 u1 ( t ) = U 0 {1( t ) − 1( t − T)} T

U1 (p) =

T

T

−p 1 1 −p p (1 − e − pT ) = e 2 (e 2 − e 2 ) p p

1 ωT − j ⋅ 2 sin ⋅e 2 ω ωT sin 2 U1 ( jω) = T ωT 2 ωT Első zérushely: 2 = π 2 2π ∆ως = T Az átvitel alakhű ha: ∆ω > ∆ως U1 ( jω) =

ωT 2

T > 2π 5.15.feladat:

Feladat

1.3 verzió


284

u C (0) = 1V i L (0) = 1A 1 1 1 p 1 1 1+ p − ⋅ ⋅ =− ⋅ 2 U'C (p) = − ⋅ p 1+ 1 + p p 1+ 1 + p p p p + p +1 p p U C (p) = U'C (p) +

1 1 p2 p = ⋅ 2 = 2 p p p + p +1 p + p +1

1 1 1 3 −1 = − ± j p1, 2 = − ± 2 4 2 2 A B + U C ( p) = p − p1 p − p 2 1 1 +j 2 2 3 1 1 B= − j 2 2 3 1 1 1 1 +j −j 2 2 3 + 2 2 3 U C ( p) = 1 1 1 1 p+ − j p+ + j 2 2 2 31 2 3 A=

⎛ 1

3⎞

⎛ 1

3⎞ ⎟⋅t ⎟ ⎠

1 ⎞ ⎜⎜⎝ − 2 + j 2 ⎟⎟⎠⋅ t ⎛ 1 1 ⎞ ⎜⎜⎝ − 2 − j 2 ⎛1 +⎜ − j u C (t) = ⎜ + j ⎟⋅e ⎟⋅e 2 3⎠ 2 3⎠ ⎝2 ⎝2 1 ⎛ 3 ⎞ 2 −2t u C (t) = e ⋅ cos⎜⎜ t − 30° ⎟⎟ [V] 3 ⎝ 2 ⎠

[V]

5.16.feladat: Feladat 3 2 2p + 15p + 34p + 21 (p + 1)(p + 3)(2p + 7) 2p + 7 F(p) = 2 = = 3 3 (p + 5p + 4)(p + 3) (p + 1)(p + 4)(p + 3) (p + 4)(p + 3) 2 B A A2 F(p) = + 1 + p + 4 p + 3 (p + 3) 2 −8 + 7 B= = −1 (−4 + 3) 2 −6 + 7 A2 = =1 −3 + 4 A1 2p + 7 1 1 1 = + − = ⇒ A1 = 1 2 p + 3 (p + 4)(p + 3) p + 4 p + 3 p + 3 f (t) = (−e −4t + e−3t + t ⋅ e −3 t ) ⋅1(t) f (+0) = lim [ p ⋅ F(p) ] = 0 p →∞

f (+∞) = lim [ p ⋅ F(p) ] = 0 p →0

1.3 verzió


285

Feladat

5.17.feladat: ⎛ T⎞ f T ( t ) = 1⎜ t − ⎟ − 1(t − T ) 2⎠ ⎝ −p

T

−p

T

e 2 − e − pT e 2 F(p) = = p(1 − e − pT ) p(1 + e − pT ) pólusok: p=0 p k = jkπ, k = ±1,±2,... sorfejtés: T T −p T −p N ' ( p) = 1 + e 2 − p e 2 2 N' (0) = 2 N' (p k ) = 1 + e − jkπ − jkπe − jkπ +∞ ⎡1 e − jkπ jkωt ⎤ ⋅ f (t) = ⎢ + ∑ e ⎥ ⋅ 1( t ) − jkπ − jkπe − jkπ ⎣ 2 k = ±1, ±2,... 1 + e ⎦ jk − π +∞ ⎧1 ⎫ ⎡ e e jkπ jkωt − jkωt ⎤ ⋅ + ⋅ f (t) = ⎨ + ∑ ⎢ e e ⎬ ⋅ 1( t ) ⎥ − jkπ − jkπe − jkπ 1 + e jkπ + jkπe + jkπ ⎦⎭ ⎩ 2 k =1,3,5,... ⎣1 + e 1 2 + ∞ sin kωt f (t) = − ∑ 2 π k =1,3,5,... k

5.18.feladat:

Feladat

1.3 verzió


286

4 2 40 20 120 (30 + 10 × 10− 3 p) − (10 × 10− 3 p) − ⋅ = 1 p p p 40 + p −6 2.5 ⋅ 10 p u k ( t ) = 120 ⋅ 1( t ) [V] U k ( p) =

Feladat

5.19.feladat:

W ( p) =

R1 pL R1Lp 2 .5 p ⋅ = = 4 R1 + R 3 + R 2 × pL R 2 + pL R 1R 2 + R 2 R 3 + pL(R 1 + R 2 + R 3 ) 10 + 2 ⋅ 10 2 p

W (p) = 2.5 ⋅ 10− 4 I( p) =

p 1 + 2 ⋅ 10 − 2 p

5 ⋅ 10 − 4 1 + 2 ⋅ 10 − 2 p

I 2 (ω) =

25 ⋅ 10 −8 1 + 4 ⋅ 10− 4 ω2 ∞

εi =

25 1 25 1 dω = ⋅ 10 −8 ∫ ⋅ 10 −8 ⋅ π = 1.25 ⋅ 10− 5 A 2s −2 −2 2 1 + (2 ⋅ 10 ω) π π 2 ⋅ 10 0

W = R 2 ⋅ εi = 1.25 mJ


Feladat

R 2R + jωL

R2 4R 2 + ω 2 L2 1 W 2 max = 4 1 R2 = 8 4R 2 + ω02 L2 W 2 (ω) =

1.3 verzió


287

4R 2 + ω02 L2 = 8R 2 R = ∆ω L u 1 ( t ) = 20[1( t ) − 1( t − T)]

ω0 = 2

T

U 1 ( jω) =

T

T

40 T sin ω ω 2 2π 1 ∆ως = = 2π ⋅ 10 6 T sec Az alakhű jelátvitel feltétele: R 1 ≥ π ⋅ 106 L sec U 1 (ω) =


Feladat

R R + jω L

⎡ ⎛ ωL ⎞ 2 ⎤ k (ω)dB = −10 lg ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ R ⎠ ⎥⎦ ωL ϕ(ω) = −arctg R k (ω) : SkL( ω)

ω2 L dk (ω) dB R2 = = −10 ⋅ = 62.04 2 dL H ⎡ ⎛ ωL ⎞ ⎤ ⎟ ⎥ ⋅ ln 10 ⎢1 + ⎜ ⎣⎢ ⎝ R ⎠ ⎦⎥ 2

dB ⋅ 1.4 ⋅ 10− 3 H = 0.087dB H 0.087dB = = 0.03 3.01dB

∆Q kL( ω) = 62.04 ∆Q kL( ω) Q kL( ω) ϕ(ω) : SϕL( ω) =

T

− jω 20 20 − jω 2 jω 2 20 − jω 2 ⎛ T⎞ ⋅ 2 j sin ⎜ ω ⎟ (1 − e − jωT ) = e (e − e 2 ) = e jω jω jω ⎝ 2⎠

dϕ(ω) = dL

1 2

⋅

ω rad = −7.14 R H

⎛ ωL ⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝ R ⎠ rad ∆Q ϕL( ω) = 7.14 ⋅ 1.4 ⋅ 10− 3 H = 10− 2 rad H ∆QϕL( ω) 10− 2 rad = = 1.27 ⋅ 10− 2 ϕ ( ω) QL π 4rad

1.3 verzió


288

5.22.feladat: A jel páros tehát: FB (ω) = 0 T 4

Feladat

T

T 2

T

⎡ sin ωt ⎤ 4 ⎡ sin ωt ⎤ 2 FA (ω) = 4 ∫ 2 cos ωtdt + 4 ∫ cos ωtdt = 8⎢ + 4⎢ ⎥ ⎣ ω ⎦0 ⎣ ω ⎥⎦ T 0 T 4 4

8 T 4⎡ T T⎤ 4 ⎡ T T⎤ sin ω + ⎢sin ω − sin ω ⎥ = ⎢sin ω + sin ω ⎥ 4 ω⎣ 2 4⎦ ω⎣ 2 4⎦ ω 1 2⎡ T T⎤ F( jω) = FA (ω) = ⎢sin ω + sin ω ⎥ 2 2 4⎦ ω⎣ FA (ω) =

5.23.feladat:

Feladat

i A ( t ) = [1( t ) − 1( t − T)] [A] u C (0) = 1V i L (0) = 1A

⎛1 ⎞ 1 1+ p = U(p) = ⎜⎜ + 1⎟⎟ ⋅ 2 ⎝ p ⎠ 1+ p + 1 1+ p + p p −1+ j 3 2 −1− j 3 p2 = 2 N ' ( p) = 2p + 1 p1 =

−1+ j 3 −1+ j 2 u(t) = e 2 −1+ j 3 +1 1+

u(t) = e

1 − t 2

3

t

−1− j 3 −1− j 2 + e 2 −1− j 3 +1 1+

3

t

1 ⎛ ⎛ 3 ⎞ 3 1 3 ⎞ 2 −2t ⋅ ⎜⎜ cos t+ sin t ⎟⎟ = e ⋅ sin ⎜⎜ t − 60° ⎟⎟ [V] 2 ⎠ 2 3 3 ⎝ ⎝ 2 ⎠

1.3 verzió


289

5.24.feladat: Feladat Mivel két azonos R-L-C kör van párhuzamosan kapcsolva a kétpólus I áramra vonatkozó sávszélessége ugyanaz mit egyetlen R-C-L köré. ωL QL = R SL R SL =

ωL = 5Ω QL

Q C = ωCR CP QC = 105 Ω ωC 1 ω0 = = 105 rad sec LC R 105 R CS = CP2 = = 0.1Ω Q0 (ω0CR CP )2 R CP =

R E = 10.1Ω ∆ω 1 1 R = = = 5 E − 3 = 0.101 ω0 Q0 Q L 10 ⋅ 10 5.25.feladat: TC = (1.1MΩ ×1MΩ) ⋅1µF = 0.52sec

Feladat

ha u1 (t) = U 0 ⋅1(t) u C (0) = 0 u C (∞ ) =

1.1 = 0.5238U 0 1.1 + 1

u C (t) = 0.5238U 0 ⋅ (1 − e

−

t TC

) [V]

t t − − ⎧⎪ ⎫ ⎧⎪ ⎫ ⎧ u C (t) 0.1 ( u1 (t) − u C (t) ) ⎫ TC ⎪ TC ⎪ + ⋅ h(t) = ⎨ ⎬ ⋅1(t) = ⎨0.1 + 0.47(1 − e ) ⎬ ⋅1(t) = ⎨0.57 − 0.47e ⎬ ⋅1(t) 1 U0 ⎩ U0 ⎭ ⎪⎩ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎪⎭

k(t) = 0.9 ⋅ e −1.9t ⋅1(t) − 0.1⋅ δ(t) u1 (t) = 40 [1(t) − 1(t − T) ] [V] t

T

u 2 (t) = ∫ u1 (τ)k(t − τ) = 40 ∫ 0.9e −1.9t ⋅ e +1.9 τ ⋅1(t − τ) − 0.1δ(t − τ)dτ = 0

0

u 2 (t) = (22.8 − 18.8e ) ⋅ {1(t) − 1(t − T)} + 2.93e−1.9(t −T) ⋅1(t − T) [V] Feladat 5.26.feladat: 3 ⎧ 2 ⋅ 10 − 0.4 0.4 − 2⋅10 3 t ⎫ h(t) = ⎨ e + ⎬ ⋅ 1( t ) 3 2 ⋅ 103 ⎭ ⎩ 2 ⋅ 10 −1.9t

(

)

3 0.4 ⎧ ⎫ h ( t ) = ⎨1 − 1 − e − 2⋅10 t ⎬ ⋅ 1( t ) 3 ⎩ 2 ⋅ 10 ⎭

1.3 verzió


T = 0.5 ⋅ 10− 3 = C ⋅

290

R1R 2 R1 + R 2

R 1R 2 0.4 = R1 + R 2 2 ⋅ 103 2 ⋅ 103 − 0.4 R2 = R1 0.4 ha R 1 = 1kΩ R 2 = 4.999MΩ C = 0.5µF 5.27.feladat:

Feladat

2R × 3R = 1.2R 1.2R u ( t ) CD = u ( t ) = 0.375u ( t ) 3.2R 1 u ( t ) AD = u CD ( t ) 2 2 u ( t ) BD = u CD ( t ) 3 1 u ( t ) AB = u ( t ) AD − u ( t ) BD = − u ( t ) 16 R ⎛3 5 ⎞ 19 R AB = + ⎜ R × R ⎟ = R 4 ⎝2 2 ⎠ 16 A hálózatot helyettesítve:

1.3 verzió


291

u ( t ) = U 0 ⋅ 1( t ) −t

(1 − e T ) 1.2 ⋅ 1( t ) U0 i( t ) = 35 19.2 R 16 L = 1.6m sec T= R + R AB h(t) =

1 ⎛ ⎜1 − e T 350 ⎜⎝

k(t) =

100 T e ⋅ 1( t ) 56

−t

⎞ ⎟ ⋅ 1( t ) ⎟ ⎠

−t

5.28.feladat: L = 2m sec T= Re h(t) =

Feladat

t ⎞ 1 ⎛ 6 3 − 2ms − e ⎜ ⎟ ⋅1(t) 45 ⎝ 4 4 ⎠

t ⎡ 45 ⎛ 45 45 ⎞ ⎛ − ⎞⎤ ⎛6 3 − t ⎞ i '(t) = ⎢ + ⎜ − ⎟ ⎜ 1 − e T ⎟ ⎥ ⋅1(t) = ⎜ − e 2ms ⎟ ⋅1(t) [A] ⎠ ⎦⎥ ⎝4 4 ⎠ ⎣⎢ 60 ⎝ 30 60 ⎠ ⎝ t 300 − 2ms 3 ⋅1(t) + δ(t) e 36 180 2ms 300 − t −2ms 3 ⋅1(t − 2ms) + 0.6 ⋅ δ(t − 2ms) [A] i ''(t) = 0.6 ⋅ e 36 180 t − ⎡ − t − 2ms ⎤ i(t) = i '(t) + i ''(t) = (1.5 − 0.75e 2ms ) ⋅1(t) + ⎢5e 2ms + 0.01⋅ δ(t − 2ms) ⎥ ⋅1(t) [A] ⎣ ⎦

k(t) =

5.29.feladat: R e = 103 Ω

Feladat

L e = 10 −3 H ωe =

Re = 106 rad sec Le

jω jω 1 × jω 1 + jω W ( jω) = = = 2 jω 1 × jω + 1 + jω + 1 + jω ( jω) + 3 jω + 1 1 + jω ω W (ω) = (1 − ω2 ) 2 + 9ω2 ϕ(ω) =

3ω π − arctg 2 1 − ω2

1.3 verzió


292

dW (ω) ? =0 dω Wmax (ω0 = 1) =

1 3

?⎛ 1 ω2 1⎞ =⎜ ⋅ ⎟ 2 2 2 (1 − ω ) + 9ω ⎝ 2 3 ⎠ ω1 = 0.3 ⋅ 10 6 rad sec

2

ω 2 = 3.3 ⋅ 10 6 rad sec ∆ω =3 ω0

5.30.feladat:

Feladat

1.3 verzió


293

R b = 10Ω T=

L = 1m sec Rb

i L ( 0) = 0 A 3 i Lstac = I0 5 t − 3 T i L ( t ) = I0 ⋅ (1 − e ) A 5 t 2 3 − i 2 ( t ) = I0 − i L ( t ) = I 0 + I0e T A 5 5 t ⎛2 3 − ⎞ h ( t ) = ⎜⎜ + e T ⎟⎟ ⋅ 1( t ) ⎝5 5 ⎠ k ( t ) = −600e

−

t T

⋅ 1( t ) + δ( t )

i 2 ( t ) = −1.5 ⋅103 ⋅ e

−

t T

⋅1( t ) + 2.5δ( t ) A

Feladat 0.32p −3 1 100 20 × 16 ⋅ 10 ⋅ p 1 5 20 + 16 ⋅ 10− 3 ⋅ p ⋅ ⋅ = ⋅ As I( p) = = 3 −3 0.32p p 10 p 20 × 16 ⋅ 10 ⋅ p + 80 20 p + + 80 20 + 16 ⋅ 10− 3 ⋅ p 1 I 2 (ω) = 2 A 2s 6 ω + 10

5.31.feladat:

∞

∞

⎡ 1 1 1 1 ⎛ ω ⎞⎤ εi = ∫ 2 dω = ⋅ 103 ⋅ ⎢arctg⎜ 3 ⎟⎥ = ⋅ 10− 3 A 2s 6 6 π 0 ω + 10 π ⋅ 10 ⎝ 10 ⎠⎦ 0 2 ⎣ WR 2 = R 2 ⋅ εi = 10− 2 J

1.3 verzió


294

Feladat

5.32.feladat: R W ( jω) = 2 R + jω L R W (ω) = 2 4R + ω2 L2

ω1 = ∆ω 1 2 2

=

R 4R + ω12 L2 2

4R 2 2 R = = ∆ω L2 L ωτ 4 E( jω) = U 0 2 sin 2 ωτ 2

ω1 =

1.3 verzió


295

2π τ 2π 2R ≤ τ L

∆ως =

5.33.feladat:

Feladat

1× 2 1 3 ⋅ = A 1× 2 + 2 2 8 3 (5 × 10 − 2 p + 7) × 1 5 3 (1 × 2 + 7) × 5 5 U ( p) = ⋅ ⋅ + ⋅ 10 − 2 ⋅ ⋅ −2 −2 −2 p (5 × 10 p + 7) × 1 + 2 7 + 5 × 10 p 8 (1 × 2 + 7) × 5 + 10 p 7 + 1 × 2 115 5 3 35 + 12 ⋅ 10− 2 p 25 + 5 ⋅ 10 − 2 p 3 −2 38 U ( p) = ⋅ ⋅ + ⋅ 10 ⋅ ⋅ −2 −2 23 115 p 15 + 38 ⋅ 10 p 35 + 12 ⋅ 10 p 8 + 10− 2 p 38 3 −2 −2 75 + 15 ⋅ 10 p 3 75 ⋅ 10 1 7500 U ( p) = + ⋅ = 15 + −2 −2 p(115 + 38 ⋅ 10 p) 8 (115 + 38 ⋅ 10 p) 38p + 11500 p(11500 + 38p) 1 302.6 U(p) = 1.135 + 0.652 p + 302.6 p(p + 302.6)

i L (0) = 3V

[

]

[

]

u ( t ) = 1.135e − 302.6 t + 0.652(1 − e − 302.6 t ) ⋅ 1( t ) = 0.652 + 0.483e − 302.6 t ⋅ 1( t ) [V]

1.3 verzió


296

Feladat R 1 + pRC p + 1 = = ⋅ = W ( p) = 1 R RC p + 2 2 R 1+ p R +R× R+ 1 + pRC 2 pC K ( p) = W ( p)

5.34.feladat:

R

R

k ( t ) = δ( t ) − e − 2 t ⋅ 1( t ) 1 H ( p) = W ( p) p 1 ⎧ ⎫ h ( t ) = ⎨e − 2 t + (1 − e − 2 t )⎬ ⋅ 1( t ) 2 ⎩ ⎭ ⎧1 1 ⎫ h ( t ) = ⎨ + e − 2 t ⎬ ⋅ 1( t ) ⎩2 2 ⎭

1.3 verzió


297

u1 ( t ) = 5[1( t ) − 1( t − 1)] [V] ⎞ ⎛1 1 U1 (p) = 5⎜⎜ − e − p ⎟⎟ ⎠ ⎝p p U 2 (p) = U1 (p) ⋅ W (p) = 5 ⋅ U 2 ( p) = 5 ⋅

p +1 1 p + 1 1 −p ⋅ −5 ⋅ ⋅e p+2 p p+2 p

⎧ 1 5 2 1 5 2 ⎫ −p + ⋅ − ⎨5 ⋅ + ⋅ ⎬⋅e p + 2 2 (p + 2)p ⎩ p + 2 2 (p + 2)p ⎭

u 2 ( t ) = 2.5(1 + e − 2 t ) ⋅ 1( t ) − 2.5(1 + e − 2 ( t −1) ) ⋅ 1( t − 1) [V]

Feladat 5.35.feladat: a, 1 1 1 − e−p 1 1 F(p) = = ⋅ = (1 − e − p )⋅ −p −2 p p(1 + e ) p 1 − e p 1 − e −2p 1 FT (p) = (1 − e − p ) p T=2

1.3 verzió


298

f T ( t ) = 1( t ) − 1( t − 1)

b, F(p) =

1 − e− p 1 1 −p = − e p+3 p+3 p+3

f ( t ) = e − 3 t ⋅ 1( t ) − e − 3( t −1) ⋅ 1( t − 1)

5.36.feladat: f ( t ) = U 0 ⋅ {1( t + T) − 2 ⋅1( t ) + 1( t − T )}

Feladat

⎧1 ⎫ 1 1 F(p) = U 0 ⋅ ⎨ e pT − 2 + e − pT ⎬ p p ⎩p ⎭ F( jω) =

U 0 j ωT U U ⎧ ⎛ ωT ⎞ ⎫ ⋅ {e − 2 + e − jωT } = 0 ⋅ {2 cos(ωT) − 2} = 2 0 ⋅ ⎨− 2 sin 2 ⎜ ⎟⎬ jω jω jω ⎩ ⎝ 2 ⎠⎭

1.3 verzió


299

⎛ ωT ⎞ sin 2 ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ F(ω) = 2U 0 T ⎛ ωT ⎞ ⎟ ⎜ ⎝ 2 ⎠ π ϕ(ω) = 2

Feladat R 1 R× R 1 1 + jωRC jωC = = = W ( jω) = 2 R 1 2R + jωR C 2 + jωRC R+ R +R× 1 + jωRC jω C 1 1 W ( jω) = ⋅ 2 1 + jω RC 2 1 Wmax = 2

5.37.feladat:

1.3 verzió


Wmax

=

300

1 1 ⋅ 2 2

2 RC ω2 =1 2 2 ω2 = RC 2 ∆ω = RC u 1 ( t ) = 1( t + 2T) − 1( t + T) + 1( t − T) − 1( t − 2T)

[

]

1 2 pT e − e pT + e − pT − e − 2 pT p 1 2 j ωT 1 [2 j ⋅ sin 2ωT − 2 j ⋅ sin ωT] − e jωT + e − jωT − e − 2 jωT = U 1 ( jω) = e jω jω U 1 (p) =

[

]

⎧ sin 2ωT sin ωT ⎫ − U 1 ( jω) = 2⎨ ⎬ ω ⎭ ⎩ ω 4 sin ωT cos ωT − 2 sin ωT 2 sin ωT sin ωT U 1 ( jω) = = ⋅ (2 cos ωT − 1) = 2T ⋅ (2 cos ωT − 1) ω ω ωT Első zérushely: 1 cos ωT = 2 π ∆ως = 3T Alakhű az átvitel: π 2 π ha ∆ω = > = ∆ως ⇒ RC < RC 3T 6 5.38.feladat:

Feladat

300V = 0 .5 A 600Ω i ( + 0 ) = 0 .5 A

i ( − 0) =

U I = 100Ω ⋅ 5.5A = 550V PI = I ⋅ U I = 6A ⋅ 500V = 3300 W Időben állandó (termelő referenciában adott) teljesítmény.

1.3 verzió


301

5.39.feladat: a, k ( t ) = δ( t ) − 4 ⋅ e −4 t + e − t ⋅ 1( t ) 1 1 K ( p) = W ( p) = 1 − 4 − p + 4 p +1 1 1 4 1 H ( p) = W ( p) = − − p p p(p + 4) p(p + 1)

[

Feladat

]

[

]

[

]

h ( t ) = 1 − (1 − e − 4 t ) − (1 − e − t ) ⋅1( t ) = − 1 + e − 4 t + e − t ) ⋅1( t ) b&c ha a gerjesztés δ( t ) : u ki ( t = 0) = lim[p ⋅ K (p)] = ∞ p →∞

u ki ( t = ∞) = lim[p ⋅ K (p)] = 0 p →0

ha a gerjesztés 1( t ) : u ki ( t = 0) = lim[p ⋅ H(p)] = 1 p→∞

u ki ( t = ∞) = lim[p ⋅ H(p)] = −1 p→0

Feladat

5.40.feladat: a,

⎛ 1 ⎞ ⎟ 2R ⎜⎜ R + pC ⎟⎠ ⎝ ⎛ 1 ⎞ 1 2R ⎟⎟ 2R × ⎜⎜ R + 2R + R + 2R 2 + pC ⎠ 10 10 10 pC pC ⎝ U ( p) = ⋅ = ⋅ = ⋅ 3 p p p 5R 2 + R ⎛ ⎛ 1 ⎞ 1 ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ + R 2R × ⎜⎜ R + 2R ⎜⎜ R + pC pC ⎠ pC ⎠ ⎝ ⎝ +R 1 2R + R + pC 10 2 + 2RCp U ( p) = ⋅ p 3 + 5RCp U( jω) =

10 2 + 12 ⋅10− 6 jω ⋅ jω 3 + 30 ⋅10− 6 jω

100 4 + 1,44 ⋅10−10 ω2 U( jω) = 2 ⋅ ω 9 + 9 ⋅10−10 ω2 b, 10 2 + 2RCp 1 10 2 + 2RCp pC 2 + 2RCp I( p) = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = 10C p 3 + 5RCp R + 1 p 3 + 5RCp 1 + pRC 3 + 8RCp + 5p 2 R 2C2 pC 2

2 + 12 ⋅10− 6 jω I( jω) = 2 ⋅10 3 + 48 ⋅10− 6 jω + 1.8 ⋅10−10 ( jω) 2 −8

2

I( jω) =

8 ⋅10−16 + 5.76 ⋅10− 26 ω2

(3 − 1.8 ⋅10

−10

)

2

ω2 + 23.04 ⋅10−10 ω2

1.3 verzió


302

c, ∞

εi =

∞

1 1 8 ⋅ 10 −16 + 5.76 ⋅ 10 −26 ω 2 2 I ( j ω ) d ω = dω = 0.6115 ⋅ 10 -12 A 2 sec 2 ∫ ∫ − − 10 2 10 2 π0 π 0 3 − 1.8 ⋅ 10 ω + 23.04 ⋅ 10 ω

(

)

d, R ⋅ εi = 3000Ω ⋅ 0.6115 ⋅10-12 A 2 sec = 1.8345 ⋅10−9 W 5.41.feladat: a,

Feladat

R R 1 1 + pRC W ( p) = = = = 2 1 R pL + p RLC + R p 2 LC + p L + 1 pL + R × pL + pC 1 + pRC R 1 1 1 W ( p) = ⋅ = 100 ⋅ 2 LC p 2 + p 1 + 1 p + 25p + 100 RC LC ⎧ p = −5 p1, 2 = −12.5 ± 156.25 − 100 = ⎨ 1 ⎩p 2 = −20 R×

1 pC

b, 100 1 = 2 ( jω) + 25 jω + 100 ⎛ jω ⎞ ⎛ jω ⎞ ⎜ ⎟ + 2.5⎜ ⎟ + 1 ⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠ ⎧− 0.5 = −1.25 ± 1.5625 − 1 = ⎨ ⎩ −2

W ( jω) =

2

⎛ jω ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 10 ⎠1, 2 ω1 = 10 ⋅ 0.5 = 5 rad sec ω2 = 10 ⋅ 2 = 20 rad sec

1.3 verzió


303

c, 100 1 100 1 ⋅ − ⋅ 15 p + 5 15 p + 20 20 − 5 t k (t ) = ⋅ e − e − 20 t ⋅ 1( t ) 3 W ( p) =

(

)

d, H ( p) =

1 20 5 5 20 W ( p) = ⋅ − ⋅ p 15 p(p + 5) 15 p(p + 20)

1 ⎫ ⎧4 h ( t ) = ⎨ (1 − e − 5 t ) + (1 − e − 20 t )⎬ ⋅ 1( t ) 3 ⎭ ⎩3

5.42.feladat:

Feladat

1 p+ U1 ( p ) ⋅ R RC U 2 ( p ) = U1 ( p ) = = U1 (p) R 1 2 R +R× R+ p+ pC 1 + pRC RC R

⎞ ⎛1 1 U1 (p) = 5⎜⎜ − e − p ⎟⎟ ⎠ ⎝p p 1.3 verzió


304

1 p +1 1 p + 1 −p −5 ⋅ e U 2 ( p) = 5 ⋅ p p+2 p p+2 1 2 1 −p 2 U 2 ( p) = 5 + 2.5 −5 e − 2.5 e −p p+2 p(p + 2) p+2 p(p + 2)

{

}

{

}

u 2 ( t ) = 5e − 2 t + 2.5(1 − e − 2 t ) ⋅ 1( t ) − 5e − 2( t −1) + 2.5(1 − e − 2( t −1) ) ⋅ 1( t − 1) u 2 ( t ) = (2.5 + 2.5e

−2 t

) ⋅ 1( t ) − (2.5 + 2.5e

− 2 ( t −1)

) ⋅ 1( t − 1) [V]

5.43.feladat: Feladat 1 ω0 = = 106 rad sec LC R 1000 1000 = Q L = LP = 6 −6 ωL 3.14 ⋅ 10 ⋅ 10 π R 1000 2 = ⋅ π = π 2 mΩ = 9.8596 ⋅ 10 − 3 Ω R LS = LP 2 6 QL 10 QC =

1 = 10 4 ωR CSC

R CS =

1 1 = = 3.185 ⋅ 10 − 5 Ω ωQC C π ⋅ 104

R e = 9.89mΩ Qe =

1 Re

L = 101.11 C

∆ω 1 = = R e = 9.89 ⋅ 10 − 3 ω Qe

1.3 verzió


305

5.44.feladat: ha u ( t ) = 1( t ) u C ( 0) = 0 V

Feladat

3 u C (∞ ) = V 8 T = CR b = (300 × 500) ⋅ 103 ⋅ 10 − 6 = 187.5 ⋅ 10 − 3 sec t

− 3 h ( t ) = (1 − e T ) ⋅ 1( t ) 8 t 3T − T k ( t ) = − e ⋅ 1( t ) 8 ha u ( t ) = 25δ( t )

u C ( t ) = 25k ( t ) = 50e

−

t T

⋅ 1( t ) [V]

i C ( t ) = C ⋅ u&C ( t ) = 50 ⋅ 10 δ( t ) − 266.6 ⋅ 10 ⋅ e −6

−6

−

t T

⋅ 1( t ) [A]

Feladat

5.45.feladat: T = 60 ⋅ 10−9 s −

t

h ( t ) = 15 ⋅ (1 − e T ) ⋅ 1( t ) t

k(t) = h' (t) =

t

− − 15 e T ⋅ 1( t ) = 250 ⋅ 106 ⋅ e T ⋅ 1( t ) −9 60 ⋅ 10

1.3 verzió


306

5.46.feladat:

Feladat

R×

1 pC

U0 U R × 3R U 1 U 1 ⋅ + 0⋅ = 0⋅ + 0⋅ p 3R + R × 1 3p R × 3R + 1 p 4 + p3RC 3 p + 4 ⋅ 1 pC pC 3 RC α U 1 U 1 U U 1 + 0⋅ = 0⋅ + 0⋅ U ( p) = 0 ⋅ 3RC p(p + α) 3 p + α 4 p( p + α ) 3 p + α 4 1 α= = ⋅ 106 3RC 3 u ( t ) = 3 ⋅ (1 − e − αt ) + 4e − αt ⋅ 1( t ) [V] U ( p) =

{

}

5.47.feladat: Feladat Uβ p + 2α U ( p) = 0 ⋅ 2 (p + α)(p + β) 2 p + 2α A B C = + + 2 (p + α)(p + β) p + α p + β ( p + β) 2 α A= (β − α ) 2 2α − β C= α −β α Ap 2 + Bp 2 = 0 ⇒ B = − A = − (β − α ) 2

1.3 verzió


U ( p) = u(t) =

307

U 0β ⎡ α 1 1 2α − β 1 ⎤ α ⋅ − ⋅ + ⋅ ⎢ ⎥ 2 2 2 ⎣ (β − α) p + α (β − α) p + β α − β (p + β) 2 ⎦

⎤ U 0β ⎡ α 2α − β ⋅ ( e − α t − e −β t ) + ⋅ t ⋅ e −βt ⎥ ⋅ 1( t ) ⎢ 2 2 ⎣ (β − α) α −β ⎦

Feladat 5.48.feladat: R = 100Ω C = 50nF 1 2R (1 + pRC) = R+ pC 3pRC + 1 2R (1 + pRC) R 2R pRC U ( p) 3pRC + 1 = ⋅ = ⋅ W ( p) = 1 2 2 9pR C + 3R + 2R + pR C 1 U 2 (p) 3R + 2R (1 + pRC) R + 1 3pRC + 1 pC 2pRC 2 p W ( p) = = ⋅ 1 11pRC + 5 11 p + 11 ⋅ 10− 6 1 2 1 H ( p) = W ( p) = ⋅ 1 p 11 p + 11 ⋅ 10− 6 T = 11 ⋅ 10− 6 t

2 − h ( t ) = e T ⋅ 1( t ) 11 t − 2 2 1 T k ( t ) = δ( t ) − ⋅ ⋅ e ⋅ 1( t ) 11 11 11 ⋅ 10− 6 Feladat

5.49.feladat:

1 1 p +1 1⎧ 0 .5 ⎫ p ⋅10 −5 = = ⋅ = ⎨1 + W ( p) = ⎬ 1 1 2 p + 0 . 5 2 p + 0 . 5 5 ⎩ ⎭ 2 ⋅10 + R1 + R 2 + R 3 + p ⋅10 −5 pC 1 1 k ( t ) = δ( t ) + e −0.5 t ⋅1( t ) 2 4 1 1 1 0 .5 H ( p) = W ( p) = ⋅ + p 2 p + 0.5 p(p + 0.5) 1 h ( t ) = e −0.5 t ⋅1( t ) + (1 − e −0.5 t ) ⋅1( t ) = (1 − 0.5e −0.5 t ) ⋅1( t ) 2 1 U1 (p) = 500 (p + 5) 2 p +1 A B C = + + U 2 (p) = U1 (p) ⋅ W (p) = 250 2 (p + 0.5)(p + 5) p + 0.5 p + 5 (p + 5) 2 R2 +

1 pC

105 +

1.3 verzió


308

A+B=0 ⎫ A = +0.025 ⎪ 10A + 5.5B + C = 1⎬ ⇒ B = −0.025 − 4.5B + C = 1 ⎪⎭ C = 0.8875

{

}

u 2 ( t ) = 6.25(e −0.5 t − e −5 t ) + 221.875e −5 t ⋅ 1( t ) [V] Feladat 40 40 u ( t ) = 20 ⋅ 1( t ) + − 3 t ⋅ 1( t ) − 40 ⋅ 1( t − 10 − 3 ) − − 3 ( t − 10− 3 ) ⋅ 1( t − 10− 3 ) 10 10 −3 −3 1 1 1 1 U(p) = 20 + 40 − 3 2 − 40 e −10 p − 40 − 3 2 e −10 p p 10 p p 10 p

5.50.feladat:

I( p) =

U ( p) pL 1 16 ⋅ 10 − 3 p ⋅ = U (p) ⋅ ⋅ Z(p) R + pL 80 + 20 × 16 ⋅ 10 − 3 p 20 + 16 ⋅ 10− 3 p

16 ⋅ 10− 3 p U ( p) p = ⋅ −3 −3 1600 + 1280 ⋅ 10 p + 320 ⋅ 10 p 100 p + 1000 −3 −3 1 p 1000 1 1000 I( p) = ⋅ + 0 .4 − 0 .4 e −10 p − 0.4 e −10 p p p + 1000 p(p + 1000) p + 1000 p(p + 1000) I( p) = U ( p)

{

}

{

i( t ) = 0.2e −1000 t + 0.4(1 − e −1000 t ) ⋅ 1( t ) − 0.4e −1000 ( t −10

5.51.feladat: I i( t ) = 0 ⋅ t ⋅ 1( t ) τ I 1 I( p) = 0 ⋅ 2 τ p I R ( p) = 2I( p) U(p) = 3R ⋅ u(t) =

−3

)

Feladat

2I 0 1 I 1 6I 1 I L 1 ⋅ 2 + pL ⋅ 0 ⋅ 2 = 0 ⋅ 2 + 0 ⋅ 2 τ p τ p τ p τ p

I0 (6Rt + L) ⋅ 1( t ) [V] τ

5.52.feladat:

Feladat

i(0) = 0.12A 1 600 1 p ⋅ 90 ⋅10 −3 U k (p) = 60 ⋅ + 0 . 12 ⋅ ⋅ 600 p 900 + p ⋅ 90 ⋅10 −3 p 900 + p ⋅ 90 ⋅10 −3

1.3 verzió

−3

}

+ 0.4(1 − e −1000( t −10 ) ) ⋅ 1( t − 10 − 3 ) [A]


U k (p) = 40

309

10 4 1 + 72 4 p(p + 10 ) p + 10 4 4

4

u k ( t ) = 40(1 − e −10 t ) ⋅ 1( t ) + 72e −10 t ⋅ 1( t ) [V] 4

u k ( t ) = (40 + 32e −10 t ) ⋅ 1( t ) [V] 5.53.feladat: Feladat −10 4 t −10 4 T −10 4 ( t − T ) f (t) = e 1( t − T) = e ⋅e ⋅ 1( t − T ) 4 1 F(p) = e −10 T ⋅ e − pT 4 p + 10 4 4 1 1 cos ωT − j sin ωT F( jω) = e −10 T ⋅ e − jωT = e −10 T ⋅ 4 4 jω + 10 jω + 10 jω + 104 4 1 F(ω) = e −10 T ω2 + 108 ⎛ − ω cos ωT − 104 sin ωT ⎞ ⎟⎟ ϕ(ω) = arctg⎜⎜ 4 10 cos T sin T ω − ω ω ⎠ ⎝

1.3 verzió


310

5.54.feladat: Feladat t t−T t − 2T ⎫ ⎧ u ( t ) = U 0 ⋅ ⎨1( t ) + ⋅ 1( t ) − 3 ⋅ 1( t − T) − 2 ( t − 2T ) ⎬ ⋅ 1( t − T) + 2 ⋅ 1( t − 2T) + T T T ⎭ ⎩ ⎧1 ⎫ 1 3 2 2 1 U(p) = U 0 ⋅ ⎨ + 2 − e − pT − 2 e − pT + e − 2 pT + 2 e − 2 pT ⎬ pT p pT ⎩p p T p ⎭

[

]

[

]

⎧1 ⎫ 1 U(p) = U 0 ⋅ ⎨ ⋅ 1 − 3e − pT + 2e − 2 pT + 2 ⋅ 1 − 2e − pT + e − 2 pT ⎬ pT ⎩p ⎭

Feladat 5.55.feladat: t t−T ⎡t + T ⎤ f (t ) = U0 ⎢ ⋅ 1( t + T) − 2 ⋅ 1( t ) + ⋅ 1( t − T)⎥ T T ⎣ T ⎦ ⎡ 1 ⎤ 2 1 F(p) = U 0 ⎢ 2 e pT − 2 + 2 e − pT ⎥ p pT ⎣p T ⎦ 1 2 ⎤ ⎡2 ⎤ ⎡2 F( jω) = U 0 ⎢ 2 − 2 (e jωT + e − jωT )⎥ = U 0 ⎢ 2 − 2 cos ωT ⎥ ⎣ω ω T ⎦ ⎣ω ω T ⎦ ωT ωT ⎞ ωT ⎛ sin sin 2 ⎜ sin ⎟ 4U 0 2 U 0 2 = 2 = U T ⋅⎜ 2 ⎟ F( jω) = ⋅ ⋅ 0 ωT ωT ω ω ⎜⎜ ωT ⎟⎟ 2 ⎝ 2 ⎠ 4U ωT F( jω) = 2 0 sin 2 ωT 2 ϕ(ω) = 0 2

1.3 verzió

2


311

5.56.feladat: ∆ωbeT = 2π

Feladat

1 1 + jωRC W (ω1 = 0) max = 1

W ( jω) =

Wmax 1 ⇒ ω2 RC = 1 ⇒ ω2 = RC 2 ∆ωbe < ∆ω 2π 1 < T RC Feladat 5.57.feladat: t − 3T 4 t−T t t−T 4 1( t − 3T 4) − U 0 1( t − T) f (t) = U0 ⋅ 1( t ) − 2U 0 ⋅ 1( t − T 4) + 2U 0 T4 T4 T4 T4 ⎫ ⎧ t t−T 4 t − 3T 4 t−T f (t) = U0 ⎨ 1( t ) − 2 1( t − T 4) + 2 1( t − 3T 4) − 1( t − T)⎬ T4 T4 T4 ⎭ ⎩T 4 T 3T ⎫ U ⎧1 1 − p 1 − p 1 F(p) = 0 ⎨ 2 − 2 2 e 4 + 2 2 e 4 − 2 e − Tp ⎬ T 4 ⎩p p p p ⎭ Feladat

5.58.feladat: f T ( t ) = U 0 ⋅ 1( t ) + +

U0 2U0 ⋅ 1( t ) − ( t − T 4) ⋅ 1( t − T 4) − 2 U 0 ⋅ 1( t − T 2) + T4 T4

2U 0 ( t − 3T 4) ⋅ 1( t − 3T 4) T4 T

3T

U 0 U 0 1 2 U 0 − p 2 2U 0 1 − p 4 2U 0 − pT U 0 1 − pT + ⋅ − e + ⋅ ⋅e + e − ⋅ ⋅e p T 4 p2 p T 4 p2 p T 4 p2 F ( p) F(p) = T − pT 1− e

FT (p) =

1.3 verzió


312

5.59.feladat: f (0) = lim p ⋅ W (p) = 2

Feladat

p →∞

f (+∞) = lim p ⋅ W (p) = 0 p →0

Feladat

5.60.feladat: Q = C⋅U C1 = 1nF C 2 = 2nF U1 (0) ⋅ C1 = U 2 (0) ⋅ C 2

5 U1 (0) = 2 ⋅ V 3 5 U 2 (0) = V 3 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 5 1 1 1 1 + ⋅ I( p) = ⎢ ⋅ ⎥ 1 3 ⎢ p 5 ⋅ 103 + 1 p 5 ⋅ 103 + ⎥ ⎢⎣ p ⋅ 10− 9 p ⋅ 2 ⋅ 10− 9 ⎥⎦ 1 ⎡ 1 ⎤ ⋅ 10− 3 ⋅ 10− 3 ⎥ ⎢ 5 + 5 I( p) = ⎢ 5 ⎥ 1 1 3 ⎢p + ⎥ + p 5 ⋅ 10− 6 10 ⋅ 10− 6 ⎦ ⎣ t − ⎡ − t −6 ⎤ 1 −6 i( t ) = ⋅ 10− 3 ⋅ ⎢e 5⋅10 + e 10⋅10 ⎥ ⋅ 1( t ) [A] 3 ⎣⎢ ⎦⎥ Feladat

5.61.feladat: f T ( t ) = −2 ⋅ 1( t ) +

2 2 (t − T 2) ⋅ 1( t − T 2) t ⋅ 1( t ) − T2 T2 T

2 4 4 − p FT (p) = − + 2 − 2 e 2 p Tp Tp − F(p) =

T − p⎞ 2 4 ⎛ + 2 ⎜⎜1 − e 2 ⎟⎟ p Tp ⎝ ⎠

5.62.feladat:

1 − e − Tp

Feladat

1.3 verzió


313

1 3R + pL + pCR (2R + pL) + R × (2R + pL) = pC(3R + pL) pC U ( p) I C (p) = Z(p) Z(p) =

20 pC(3R + pL) 2R + pL 2 ⋅ 10− 2 + 5 ⋅ 10− 6 p I( p) = − ⋅ ⋅ = −20 p 3R + pL + pCR (2R + pL) 3R + pL 1200 + 8.2p + 2 ⋅ 10− 3 p 0.05p + 200 I( p) = − 2 p + 4100p + 0.6 ⋅ 106 ⎧− 3948 p1, 2 = −2050 ± 20502 − 0.6 ⋅ 106 = ⎨ ⎩ − 152 ⎧ A B ⎫ I( p) = − ⎨ + ⎬ ⎩ p + 3948 p + 152 ⎭ A + B = 0.05 ⎫ A = −684.93 ⋅ 10−6 ⎬⇒ 152A + 3948B = 200⎭ B = 0.0507

{

}

i( t ) = 6.85 ⋅ 10− 4 ⋅ e − 3948 t − 5.07 ⋅ 10 − 2 e −152 t ⋅ 1( t ) [A]

5.63.feladat: i L (0) = 1.5A

Feladat

3 1× (5 + 5 × pL ) 5 1.5 5 × pL ⋅ ⋅ + ⋅5⋅ p 2 + 1× (5 + 5 × pL ) 5 + 5 × pL p 5 × pL + 2 × 1 + 5 1 5pL 15 1 + (5 + 5 × pL ) 7.5 5 + pL U ( p) = ⋅ + ⋅ 5pL p 2 + (5 + 5 × pL ) p + 2 ×1 + 5 1 + (5 + 5 × pL ) 5 + pL 5pL 6+ 15 15 30 + 11pL 37.5L 5pL 5 + pL 7.5 U ( p) = ⋅ + ⋅ = ⋅ + & & & 15 pL p 17 + p 5pL + 28.3 + 5.6pL p 85 + 32pL 10.6pL + 28.3& 5 + pL 37.5 85 & 1 15 ⋅11 1 32L U(p) = 15 ⋅ 30 ⋅ + 10.6 + ⋅ 85 ⎞ 85 ⎞ 85 ⎛ 32 ⎛ 28.3& p⎜ p + ⎜p + ⎟ p+ & ⎟ 32L ⎠ 32L ⎠ 10.6L ⎝ ⎝ 85 α= = 265.625 sec 32L α 1 U(p) = 5.294 ⋅ + 8.672 p( p + α ) p+α U ( p) =

u ( t ) = (5.294 + 3.378e −αt ) ⋅1( t ) [V]

1.3 verzió


314

5.64.feladat: u 2 ( t ) = T ⋅ u '1 ( t )

Feladat

u 2 ( t ) = 2 ⋅ 10 3 ⋅ (1( t ) − 1( t − 1ms))

5.65 feladat:

Feladat

C = C1 + C2 = 100nF U 0 = 120V uC = u 400 R= Ω 3 R U0 = = 40V u C (−0) = U 0 ⋅ 3R 3

R×

1 pC

U0 U U 1 1 R + C ⋅ 0 (R × 3R × ) = 0 ⋅ + CU 0 ⋅ p R × 1 + 3R 3 pC p 4 + 3pRC 4 + 3pRC pC 4 −5 1 + ⋅10 p C C2 1 + pRC 30 10 3 = U0 = = + ⋅ 3 ⋅106 Vs = 1 + 5 5 p(4 + 3pRC) p(p + 10 ) p p + 10 p p + 105

U(p) =

5

u(t) = (30 + 10 ⋅ e−10 t ) ⋅1(t)V 1.3 verzió


315

5.66 feladat: Feladat 4 1 −10 ⋅t V u(t) = 3 ⋅ t ⋅ e s ⋅1(t) [t] = s s d 1 108 − ω 2 − 2 ⋅104 ⋅ jω Vs a ) U(jω ) = 3 ⋅ j ⋅ 4 = 3⋅ 8 2 2 d ω 10 + jω (10 + ω ) U A (ω ) = 6 ⋅

ϕ (ω ) = − b) U(ω ) =

108 − ω 2

(108 + ω 2 )

2

U B (ω ) =

Vs

12 ⋅104 ω

(108 + ω 2 )

2 ⋅104 ω rad 108 − ω 2

3 Vs 10 + ω 2 8

U(ω ) max = 3 ⋅10−8 Vs

3 = 0,1⋅ 3 ⋅10−8 10 + ω12 8

rad s rad ∆ωρ = 3 ⋅104 s

ω1 = 3 ⋅104

5.67 feladat: jω L W(jω ) = R + jω L

ϕ (ω ) =

π 2

− arctg

ωL

Feladat

R

ω ωL ⎛L ⎞ ⋅ ⎜ ⋅ ∆ω + ⋅ ∆ L + 2 ⋅ ∆ R ⎟ = R R ⎠ ⎛ ωL ⎞ ⎝ R 1+ ⎜ ⎟ ⎝ R ⎠ 1 = ⋅ ( 5 ⋅10−2 + 10−1 + 5 ⋅10−2 ) = 0,1 rad 2 1

∆Q =

Q=

2

π

2

− arctg 1 =

π

4

rad

∆Q 40 ( % ) = = 12, 73 π Q

1.3 verzió

2

Vs


316

5.68 feladat:

Feladat 100 300 V 3 − = A 400 400 Ω 4 3 ⎞ ⎛ u A (−0) = ⎜ 6 A − A ⎟ ⋅100 Ω = 525 V 4 ⎠ ⎝ p A (−0) = 525 V ⋅ 6 A = 3150 W ( T )

i L (−0) = 6 A ⋅

6A 100 300 V 100 ⋅ ⎡⎣100 × ( 300 + pL ) ⎤⎦ − L ⋅ i L (−0) ⋅ + ⋅ = p 400 + pL p 400 + pL 525 = p u A (t) = 525 V t>0 U A (p) =

p A (t) = u A (t) ⋅ 6 A = 3150 W

(T)

t>0

Ez látható is, mivel a tekercs rövidzárként viselkedik. Viszont ha ránézésre úgy csináljátok az 0 pontot ér !!!

1.3 verzió


317

5.69 feladat:

Feladat

ωe =

1 rad = 104 s Le Ce

R e = ωe Le = 103 Ω

⎡ ⎛ T ⎞⎤ u1T (t) = ⎢1( t ) − 1⎜ t − ⎟ ⎥ ⋅ U 0 ⎝ 2 ⎠⎦ ⎣ −p

p = 0 pólus

T 2

U0 1− e = U1 (p) = U 0 ⋅ T − pT −p ⎞ ⎛ p (1 − e ) p ⎜1 + e 2 ⎟ ⎝ ⎠ 1 1 pC W(p) = = 1 1 + pRC R+ pC U0 1 U 2 (p) = ⋅ T −p ⎞ 1 + pRC ⎛ p ⎜1 + e 2 ⎟ ⎝ ⎠

e

− pk

T 2

= −1

T = jkπ 2 k = ±1, ±3, ±... p k = jkω pk

2π rad = 200π T s k = ±1, ±3, ±5, ±...

ω=

′ T T T ⎡ ⎛ −p ⎞⎤ −p −p T − p T2 T⎞ ⎛ 2 2 = 1 + e 2 ⋅ ⎜1 − p ⎟ ⎢ p ⎜1 + e ⎟ ⎥ = 1 + e − p ⋅ e 2 2⎠ ⎝ ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎝ N'(0) = 2 u 2 (t) =

∞ ⎡ ⎤ U0 1 1 1 1 + U0 ∑ ⎢ ⋅ ⋅ e jkω t + ⋅ ⋅ e − jkω t ⎥ = jkπ − jkπ ⋅ (1 − jkπ ) 2 1 − jk0, 2π 1 + e ⋅ (1 + jkπ ) k =1,3,5... ⎣1 + jk0, 2π 1 + e ⎦

∞ ∞ k 2 ⋅ π 2 + 0, 04 ⋅ k 4 ⋅ π 4 ⋅ sin ( kω t + ϕ k ) U0 k ⋅ π ⋅ sinkω t − 0,2 ⋅ k 2 ⋅ π 2 ⋅ coskω t U 0 = + U0 ∑ = + U0 ∑ 2 2 k 2 ⋅ π 2 ⋅ (1 + 0, 04 ⋅ k 2 ⋅ π 2 ) k 2 ⋅ π 2 ⋅ (1 + 0, 04 ⋅ k 2 ⋅ π 2 ) k =1,3,5... k =1,3,5...

ϕk = −arctg0,2kπ

u(t) = 30 + 16,17 ⋅ sin ( 200π t − 32,14° ) + 2,99 ⋅ sin ( 600π t − 62, 05° ) + ...

1.3 verzió


318

5.70 feladat:

Feladat 12,8 ⋅108 + 1, 6 ⋅104 p Ω W(p) = 20 ⋅103 × 80 ⋅103 × ( 4 ⋅103 + 5 ⋅10−2 p ) Ω = p + 4 ⋅105

(

)

5 ⎛ 3, 2 ⋅103 12,8 ⋅104 ⎞ ⎡1 ⎤ + = 3, 2 ⋅103 ⋅ 1 + 4 ⋅ e −4⋅10 t ⋅1(t) Ω h(t) = L−1 ⎢ W(p) ⎥ = L−1 ⎜ 5 ⎟ p + 4 ⋅10 ⎠ ⎣p ⎦ ⎝ p

W ( j0 ) = 3, 2 ⋅103 Ω W ( j∞ ) = 1, 6 ⋅104 Ω

W(jω ) = jω ⋅ F [ h(t)] = 3, 2 ⋅103 +

12,8 ⋅103 ⋅ jω 12,8 ⋅104 + 1, 6 ⋅104 ⋅ jω = Ω jω + 4 ⋅105 jω + 4 ⋅105

1.3 verzió


319

5.71 feladat:

Feladat

⎛ 1 ⎞ R2 × ⎜ R3 + pC ⎟⎠ U U0 ⋅ C R2 + R2 ⋅ R3 ⋅ C ⋅ p 1 ⎝ ⋅ = ⋅ = I(p) = 0 ⋅ p ⎛ 1 ⎞ R + 1 1 + p ⋅ R 3 ⋅ C R1 + R 2 + ( R1 ⋅ R 2 + R1 ⋅ R 3 + R 2 ⋅ R 3 ) ⋅ p ⋅ C R1 + R 2 × ⎜ R 3 + 3 pC pC ⎟⎠ ⎝ =

6 ⋅10−3 As 104 + 0,5p

I 2 (ω ) =

36 ⋅10−6 36 ⋅10−14 A 2s 2 = 108 + 0, 25ω 2 1 + ( 5 ⋅10−5 ω )2 −4

ε i = 36 ⋅10 ⋅

1

∞

1

π ∫0 1 + ( 5 ⋅10−5ω )2

= 7, 2 ⋅10−9 ⋅

1

π

⋅ ⎡⎣arctg ( 5 ⋅10−5ω ) ⎤⎦ = 3, 6 ⋅10−9 A 2s ∞

0

ε i = 3, 6 ⋅10−9 A 2s WR 3 = R 3 ⋅ ε i = 3, 6 ⋅10−7 J Feladat 1 Ce = = 10−5 F ωe ⋅ R e

5.72 feladat: R ωe = e = 103 Ω Le W(jω ) =

1 + jω +

( jω ) = 2 1 + jω + ( j ω ) 2

jω 1 jω

= 1−

1 + jω 1 + jω + ( jω )

A B + 1 j 3 1 j 3 jω + − jω + + 2 2 2 2 1 j 3 1− + 1 1 2 2 A=− =− +j 2 2 3 1 1 j 3 j 3 − + + + 2 2 2 2 1 j 3 1− − 1 1 2 2 =− −j B=− 2 2 3 1 1 j 3 j 3 − + − − 2 2 2 2 1 1 1 1 − +j − −j 2 2 3 2 2 3 + W(jω ) = 1 + 1 j 3 1 j 3 jω + − jω + + 2 2 2 2 W(jω ) = 1 +

1.3 verzió

2

( jω )1,2 =

−1 ± j 3 2


320

5.73 feladat:

U(p) = −

⎞ I0 ⎛ 1 1 I pL 1 ⋅⎜ × × pL ⎟ = − 0 ⋅ = − I0 ⋅ L ⋅ = 2 R ⎝ G pC R 1+ p ⋅ G ⋅ L + p ⋅ L ⋅ C 1 + p ⋅ G ⋅ L + p2 ⋅ L ⋅ C ⎠

= −5 ⋅ U(p) = −

Feladat

1 5 A B = + Vs = − 2 2 2 1 + 2p + p ( p + 1) p + 1 ( p + 1) 5

( p + 1)

u(0) = 0 lim u(t) = −0 x →∞

2

1 − ⋅t V u(t) = −5 ⋅ t ⋅ e s s

Vs

t≥0

u'(t) = e − t ⋅ ( −5 + 5 ⋅ t ) = 0 t1 = 1 s

u(t1 ) = −1,84 V

u'(0) = −5

1.3 verzió

A=0

[t] = s

B = −5


321

5.74 feladat: ⎡ ⎛ T ⎞⎤ u(t) = U 0 ⎢1( t ) − 1⎜ t − ⎟ ⎥ ⋅ sin ω0 t 4 ⎠⎦ ⎝ ⎣

Feladat

T = 10−3 s

U0 = 5 V f 0 = 103 Hz

⎛ T⎞ ⎛ T T⎞ u(t) = U 0 ⋅1( t ) ⋅ sin ω0 t − U 0 ⋅1⎜ t − ⎟ ⋅ sin ω0 ⎜ t − + ⎟ = ⎝ 4⎠ ⎝ 4 4⎠ T ⎛ T⎞ ⎛ T⎞ = U 0 ⋅1( t ) ⋅ sin ω0 t − U 0 ⋅1⎜ t − ⎟ ⋅ sin ω0 ⎜ t − ⎟ ⋅ cos ω0 − 4 ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ 0

T ⎛ T⎞ ⎛ T⎞ − U 0 ⋅1⎜ t − ⎟ ⋅ cos ω0 ⎜ t − ⎟ ⋅ sin ω0 4 ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ 1 − jω

ω − jω ⋅ e U(jω ) = U 0 ⋅ 0 2 ω0 − ω 2

T 4

Vs

2π ⋅103 − jω ⋅ e − j2,5⋅10 U(jω ) = 5 ⋅ 4π 2 ⋅106 − ω 2

−4

⋅ω

Vs

2 5 ⋅ ( 2π ⋅103 − ω ⋅ sin 2,5 ⋅10−4 ⋅ ω ) + ω 2 ⋅ cos 2 2,5 ⋅10−4 ⋅ ω = 6 2 4π ⋅10 − ω 5 = 2 6 ⋅ 4π 2 ⋅106 − 4π ⋅103 ω ⋅ sin 2,5 ⋅10−4 ⋅ ω + 1 Vs 2 4π ⋅10 − ω

U(ω ) =

2

ϕ (ω ) = −arctg

ω ⋅ cos 2,5 ⋅10−4 ⋅ ω rad 2π ⋅103 − ω ⋅ sin 2,5 ⋅10−4 ⋅ ω

U A (ω ) = 10 ⋅

2π ⋅103 − ω ⋅ sin 2,5 ⋅10−4 ⋅ ω Vs 4π 2 ⋅106 − ω 2

U B (ω ) = 10 ⋅

ω ⋅ cos 2,5 ⋅10−4 ⋅ ω Vs 4π 2 ⋅106 − ω 2

1.3 verzió


322

5.75 feladat: Feladat u1 (t) = U 0 ⋅ ⎡⎣1( t + Tj) − 2 ⋅1( t ) + 1( t − Tj) ⎤⎦ V U0 = 1 V Tj = 1 mA U 2 ⋅ U0 U1 (jω ) = 0 ⋅ ⎡⎣e − jωTj − 2 + e jωTj ⎤⎦ Vs = ⋅ ( cos ω Tj − 1) Vs jω jω Tj sin 2ω 2 ⋅ U Vs U1 (jω ) = 2 ⋅ Tj ⋅ lim U1 (jω ) = 0 0 ω →0 Tj ω 2

ωTj = 2π

∆ωρ =

2π rad = 2π ⋅103 Tj s

1 R 1 jω C = = W(jω ) = 2 1 2R + jω R C 2 + jω RC R +R× jω C 1 1 W 2 (ω ) = W 2 (ω ) max = 2 2 2 4+ω R C 4 R×

1 1 = 8 4 + ω 2 R 2C2 2 ω0 = = ∆ω0 RC 2 ≥ 2π ⋅103 RC

∆ω0 ≥ ∆ωρ C≤

2 103 Ω ⋅ 2π ⋅103

C ≤ 3,18 ⋅10−7 F

1.3 verzió

1 s


323

5.76 feladat: Feladat 3 3 3 u(t) = 2 V ⋅ sin10 t ⋅ cos10 t ⋅1(t) = sin2 ⋅10 t ⋅1(t) V U(p) =

2 ⋅103 p 2 + 4 ⋅106

U(0) = 0 U'(x) =

1 =x p

U'(x) =

U(x) =

2 ⋅103 ⋅ x 2 1 + 4 ⋅106 ⋅ x 2

4 ⋅103 ⋅ x ⋅ (1 + 4 ⋅106 ⋅ x 2 ) − 2 ⋅103 ⋅ x 2 ⋅ 8 ⋅106 ⋅ x

(1 + 4 ⋅10

4 ⋅103 ⋅ x

(1 + 4 ⋅106 ⋅ x 2 )

2

6

⋅ x2 )

2

U'(0) = 0

4 ⋅103 (1 + 4 ⋅106 ⋅ x 2 ) − 4 ⋅103 ⋅ x ⋅ 2 ⋅ (1 + 4 ⋅106 ⋅ x 2 ) ⋅ 8 ⋅106 ⋅ x 2

U"(x) =

(1 + 4 ⋅10

6

⋅ x2 )

4

??????????????????????????????????????????????? Feladat ⎛ T⎞ ⎛ T T⎞ u(t) = 1(t) ⋅ U 0 ⋅ cos ω0 t − 1⎜ t − ⎟ ⋅ U 0 ⋅ cos ω0 ⎜ t − + ⎟ = ⎝ 4⎠ ⎝ 4 4⎠

5.77 feladat:

⎡ T T⎤ ⎛ T⎞ ⎛ T⎞ ⎛ T⎞ = 1(t) ⋅ U 0 ⋅ cos ω0 t − 1⎜ t − ⎟ ⋅ U 0 ⋅ ⎢cos ω0 ⎜ t − ⎟ ⋅ cos ω0 − sin ω0 ⎜ t − ⎟ ⋅ sin ω0 ⎥ 4 4⎠ 4⎥ ⎝ 4⎠ ⎢⎣ ⎝ 4⎠ ⎝ 0 1 ⎦ ⎡ ⎛ T⎞ ⎛ T⎞ ⎛ T ⎞⎤ u(t) = 1(t) ⋅ U 0 ⋅ cos ω0 t + 1⎜ t − ⎟ ⋅ U 0 ⋅ ⎢sin ω0 ⎜ t − ⎟ − cos ω0 ⎜ t − ⎟ ⎥ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 4 ⎠⎦ ⎣ U(jω ) = U 0 ⋅

T − jω ⎛ ⎞ ω0 jω jω 4 + ⋅ ⋅⎜ − U e 0 2 2 2 2 2 2 ⎟ −ω + ω0 ⎝ −ω + ω0 −ω + ω0 ⎠

U(jω ) = U 0 ⋅

⎞ ω0 jω T T ⎞⎛ jω ⎛ + U 0 ⋅ ⎜ cos ω − jsin ω ⎟ ⎜ − 2 2 2 2 2 ⎟ −ω + ω0 4 4 ⎠ ⎝ −ω + ω0 −ω + ω0 ⎠ ⎝

U(jω ) =

2

U0 ω0 − ω 2 2

⎡⎛ T T⎞ ⎛ T T ⎞⎤ ⎢⎜ ω0 cos ω 4 − ω sin ω 4 ⎟ + j ⎜ ω − ω0 sin ω 4 − ω cos ω 4 ⎟ ⎥ ⎠⎦ ⎠ ⎝ ⎣⎝ 2

U T T⎞ ⎛ T T⎞ ⎛ U(ω ) = 2 0 2 ⋅ ⎜ ω0 cos ω − ω sin ω ⎟ + ⎜ ω − ω0 sin ω − ω cos ω ⎟ 4 4⎠ ⎝ 4 4⎠ ω0 − ω ⎝ T T − ω cos ω 4 4 ϕ (ω ) = arctg T T ω0 cos ω − ω sin ω 4 4 2⋅U ⎛ T T⎞ U A (ω ) = 2 0 2 ⎜ ω0 cos ω − ω sin ω ⎟ ω0 − ω ⎝ 4 4⎠

ω − ω0 sin ω

U B (ω ) =

2 ⋅ U0 ⎛ T T ⎞ ω sin ω + ω cos ω − ω ⎟ 2 2 ⎜ 0 ω0 − ω ⎝ 4 4 ⎠

1.3 verzió

2


324

5.78 feladat:

Feladat

1 p⋅R ⋅L 8⋅ p = = 2 pC R + p ⋅ L + p ⋅ R ⋅ L ⋅ C 80 + 0,1⋅ p + 1,6 ⋅10−5 p 2 8⋅ p Ω W(p) = −5 1,6 ⋅10 ⋅ ( p + 937,5 ) ⋅ ( p + 5312,5 )

W(p) = R × pL ×

5 ⋅105 ⋅ p W(p) = ( p + 937,5 ) ⋅ ( p + 5312,5) H(p) =

C1 C2 5 ⋅105 = + ( p + 937,5 ) ⋅ ( p + 5312,5) p + 937,5 p + 5312,5

5 ⋅105 5 ⋅105 = 114, 28 = −114, 28 C2 = −4375 4375 h(t) = (114, 28 ⋅ e−937,5t + −114, 28 ⋅ e −5312,5t ) ⋅1(t) Ω

C1 =

k(t) = h'(t) = ( −107137,5 ⋅ e−937,5t + 607112,5 ⋅ e −5312,5t ) ⋅1(t)

Feladat 4 ⋅10−3 ⋅ p 4 ⋅10−3 ⋅ p = = U(p) = pL ⋅ I(p) = ( p + 103 ) ⋅ ( p2 + 106 ) ( p + 103 ) ⋅ ( p + j103 ) ⋅ ( p − j103 )

5.79 feladat:

C3 C1 C2 + + 3 3 p + 10 p + j10 p − j103 −4 −4 = = −2 ⋅10−6 C1 = 6 3 3 3 3 ( −10 + j10 ) ⋅ ( −10 − j10 ) 2 ⋅10

=

−4 ⋅ j 2 ⋅ j10−3 2 ⋅10−6 = 3 = = 2 ⋅10−6 ⋅ e j45° C2 = 3 3 3 3 − j45° ( − j10 + 10 ) ⋅ ( −2 ⋅ j10 ) 10 − j10 2 ⋅ e 4⋅ j 2 ⋅10−6 = = 2 ⋅10−6 ⋅ e − j45° C3 = 3 3 3 j45° (10 + j10 ) ⋅ ( 2 ⋅ j10 ) 2 ⋅ e 3

3

3

u(t) = −2 ⋅10−6 ⋅ e −10 t + 2 ⋅10−6 ⋅ e j45° ⋅ e−10 t + 2 ⋅10−6 ⋅ e j45° ⋅ e10 t =

⎛ 2 3 2⎞ 3 3 = −2 ⋅10−6 ⋅ e −10 t + 2 ⋅10−6 ⋅ ⎜⎜ +j ⎟⎟ ⋅ ( cos10 t − j ⋅ sin10 t ) + 2 ⎠ ⎝ 2 ⎛ 2 2⎞ 3 3 + 2 ⋅10−6 ⋅ ⎜⎜ −j ⎟⎟ ⋅ ( cos10 t + j ⋅ sin10 t ) 2 ⎠ ⎝ 2

1.3 verzió


325

5.80 feladat:

Feladat

1

ω0 =

−2

−6

2 ⋅10 H ⋅10 F

=

4

10 rad 2 s

RP 15 ⋅103 Ω = = 100 ω L 104 rad ⋅15 ⋅10−3 H s rad 4 −3 ω L 10 s ⋅15 ⋅10 H Rs = = = 1,5Ω QL 100

L = 15 mH

QL =

1 1 = = 100 rad ω ⋅ C ⋅ R s 2 ⋅104 ⋅10−6 F ⋅ 0,5Ω s QC 100 RP = = = 5 ⋅103 Ω ω ⋅ C 2 ⋅104 rad ⋅10−6 F s 4 10 rad ⋅10−6 F ⋅ 5 ⋅103 Ω = 35,36 QC(ω0 ) = ω0 C ⋅ R P = 2 s 1 =4Ω R Cs(ω0 ) = 104 rad −6 35,36 ⋅10 F ⋅ 2 s R s = 0, 6 Ω + 1,5 Ω + 4 Ω = 6,1 Ω C = 1 µF

QC =

104 rad ⋅ 20 ⋅10−3 H ω0 L s 2 = = 23,18 Q0 = Rs 6,1 Ω ∆ω

ω0

=

1 1 = = 0, 043 Q0 23,18

Feladat

5.81 feladat: Î ( T − t ) [1(t) − 1(t − T)] T v' ˆ T u Î A = 1 ⋅ I ( T − t ) cos ( kωt ) dt = 0 k ∫ T T0

iAT (t) =

ω=

2π rad = 2 ⋅103 T s

v' ˆT u ˆ Î B = 1 ⋅ I ( T − t ) sin ( kωt ) dt = I k ∫ T T0 2kπ

iA ( t ) = 1 +

Î 2π

Î = 2 mA

I0 = 1 mA

sin ( kωt ) mA k k=1 ∞

∑

W ( jk ) = 103 × W ( j0 ) = 103 Ω

103 103 Ω= (1 − jk ) Ω jk 1+ k2 W ( j1) = 707,11⋅ e− j45°Ω

W ( j2 ) = 447, 21⋅ e − j63,43°Ω

W ( j3) = 316, 23 ⋅ e− j71,57 ° Ω

rad rad ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ u(t) = 1 + 0, 225 ⋅ sin ⎜ 2 ⋅103 ⋅ t − 45° ⎟ + 0, 07 ⋅ sin ⎜ 4 ⋅103 ⋅ t − 63, 43° ⎟ + s s ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ rad ⎛ ⎞ + 0, 034 ⋅ sin ⎜ 6 ⋅103 ⋅ t − 71,57° ⎟ + ... V s ⎝ ⎠

1.3 verzió


326

5.82 feladat: ωe =

Feladat

20Ω rad = 105 −4 2 ⋅10 H s

W ( jω ) =

1+

1 jω

1 1 + jω + jω

=

Ce =

1 = 0,5 µF rad 105 ⋅ 20Ω s

1 + jω 1 + jω + ( jω) 2

⎡⎣ W ( jω ) ⎤⎦ = −

1 3 −1 ± −3 =− ±j 2 2 2 1 + jω A B W ( jω ) = = + ⎛ 1 ⎡ ⎛ 1 ⎛ 1 ⎛ 1 3⎞ 3⎞ 3 ⎞⎤ ⎡ 3 ⎞⎤ ⎟ ⎟ jω − ⎜ − − j ⎢ jω − ⎜ − + j ⎟ ⎥ ⋅ ⎢ jω − ⎜ − − j ⎟ ⎥ jω − ⎜ − + j 2 ⎠ 2 ⎠ 2 ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢ 2 ⎠ ⎦⎥ ⎝ 2 ⎝ 2 ⎝ 2 ⎝ 2 ⎣⎢ 1 1 1 1 A= −j B= + j 2 2⋅ 3 2 2⋅ 3 1 1 1 1 −j +j 2 2⋅ 3 2 2⋅ 3 W ( jω ) = W1 ( jω ) + W2 ( jω ) = + 1 3 1 3 jω + − j jω + + j 2 2 2 2 1 3 W1 ( j0 ) = + j W1 ( j∞ ) = 0 2 6

( jω )1,2 =

W2 ( j0 ) =

1 3 −j 2 6

W2 ( j∞ ) = 0

⎛ 3⎞ 1 W1 ⎜⎜ j ⎟⎟ = 1 − j 3 ⎝ 2 ⎠ 5.83 feladat:

W ( jω ) =

W 2 ( ω) =

R× R×

⎛ 3⎞ 1 W2 ⎜⎜ − j ⎟⎟ = 1 + j 2 ⎠ 3 ⎝ Feladat

1 jωC

1 + R × jωL jωC

=

R + jωL R − ω2 RLC + 2 jωL

R 2 + ω2 L2 (R − ω2 RLC) 2 + 4ω2 L2

W 2 ( ω )max = 1

1 R 2 + ω2 L2 = 2 (R − ω2 RLC) 2 + 4ω2 L2 R 2 L2 C2 ω2 + ( 2L2 − 2R 2 LC ) ω2 − R 2 = 0 10−12 ω4 = 104 ∆ω = 104

ω1 = 104

rad s

rad s

1.3 verzió


327

6. Négypólusok

1.3 verzió


328

6.1.feladat:

Feladat

Alap egyenleteink: U1=3/2·I1+1/2U2 U1=Uv-Zb·I1 I2=-1/2·I1+2/3U2 U2= -Z·I2 I2=-1/2·I1+-2/3·Z·I2 I2=-3/2·I1/(3+2·Z) U1=3/2·I1-1/2·Z·I2=3/2·I1+3/4·Z/(3+2·Z)·I1 Z1be=U1/I1=3/2+3/4·Z/(3+2·Z) B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

Uv=10·e-j30˚ V Z=(1+j) Ω

B

B

B

B

B

B

P

P

B

B

B

B

B

B

a, Zb=Z*1be Z1be=3/2+3/4·(1+j)/(5+2j)=3/2+3/4(1+j)·(5-2j)/29=3/2+3/4·(7+3j)/29= (1.68+j·0.078) Ω Zb=(1.68-j·0.078) Ω = 1.68·e-j2.66˚ Ω B

B

B

B

B

B

B

B

P

P

b, Zb=Z1be Zb=(1.68+j·0.078) Ω = 1.68ej266˚ Ω B

B

B

B

B

B

P

P

6.2.feledat: Bontsuk két részre a feladatot

Feladat

Erre a részre határozzuk meg a lánc mátrixot: A’ –t. U1=A11U2+A12I2 I2=A21U2+A22I2 A11=U1/U2|I2=0=U1/(1/3·U1)= 3 A12=U1/I2|U2=0=U1/(-U1/(20+20×10)·( 20×10)/20)= -80 Ω A21=I1/U2|I2=0=I1/10·I1= 0.1 S A22=I1/I2|U2=0= -I1/(1/3·I2)= -3 3 80 − Ω ⎤ ⎡ A' = ⎢ − 3 ⎥⎦ ⎣0.1S A másik részre meghatározhatjuk A’’ –t B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

1.3 verzió

B

B

B

B

B

B

B

B


329

A11= U1/U2|I2=0=U1/(5/7·U1)=1.4 A12= U1/I2|U2=0= -20 Ω A21= I1/U2|I2=0=I1/(I1·50/120·50)=0.48 S A22= I1/I2|U2=0= -I1/(I1·50/70)= -1.4 ⎡ 1.4 −20Ω ⎤ A '' = ⎢ ⎥ ⎣0.48S −1.4 ⎦ Ebből a láncszabály szerint: ⎡ 3 80Ω ⎤ ⎡ 1.4 −20Ω ⎤ ⎡ 42.6 −172Ω ⎤ ⋅ = A=⎢ 3 ⎥⎦ ⎢⎣0.48S −1.4 ⎥⎦ ⎢⎣1.58S −6.2 ⎥⎦ ⎣ 0.1S B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

6.3.feladat:

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

Feladat R I = 1 × 3 + 1 × 3kΩ = 1.5kΩ R II = 3kΩ + 8kΩ + 1kΩ = 12kΩ

1.5 ⎞ ⎛ 12 U2 = ⎜ − ⎟ = 77.7V ⎝ 13.5 13.5 ⎠

6.4.feladat: 10i1 + r ⋅ i1 = 0

Feladat

i1 = 0 i 2 = 2A

αi 2 = 40A U R = 0V

1.3 verzió


330

6.5.feladat: Feladat A középső T tagot átszámolva ∏ tagba, ész összevonva a párhuzamos ellenállásokat kapjuk, hogy:

D11 = D12 = D 21 = D 22 =

I1 U1 I1 I2

= I 2 =0

1 = 0.214S 6 × 21

=− U 2 =0

U2 U1 U2 I2

6 = −0.2857 21

=

6 = 0.2857 21

=

15 ⋅ 6 = 4.2857Ω 21

I 2 =0

U 2 =0

Feladat

6.6.feladat:

200Ω = 5mS

100Ω = 10mS

50Ω = 20mS

80Ω = 12.5mS

60Ω = 16.6mS

40Ω = 25mS

100 = 2.41mS 41.6 333.2 G '2 = = 8.01mS 41.6 83.3 G '3 = = 2.01mS 41.6

G ' '1 =

G '1 =

125 = 2.63mS 47.5 312.5 = 6.579mS G' '2 = 47.5 250 G ' '3 = = 5.26mS 47.5

G1 = G '1 + G ''1 = 5.04mS

R1 = 198.4Ω

G 2 = G '2 + G ''2 = 14.59mS

R 2 = 68.54Ω

G 3 = G '3 + G ''3 = 7.27mS

R1 = 137.55Ω

1.3 verzió


I1 = −0.6 ⋅

331

R 2 × (R 1 + R 3 × 100) R 3 × 100 100 6 ⋅ = −0.31582A + ⋅ 100 + R 3 × (R 1 + R 2 × 50) 100 R 2 × (R 1 + R 3 × 100) + 50 R 3 × 100 + R 1

U 1 = I1 ⋅ (R 3 × (R 1 + R 2 × 50 )) = −27.107V

⎛ R2 ⎞ ⎟⎟ = −6.96V U 2 = U 1 ⋅ ⎜⎜ ⎝ R 2 + R1 ⎠ U + 6V I2 = − 2 = 19.2mA 50Ω 6.7.feladat:

Feladat

R 11 = 2Ω R 12 = −1Ω R 21 = −1Ω R 22 = 2Ω

∆R = 4 − 1 = 3Ω R 22 2 = S 3 3 1 Y12 = S 3

1 Y21 = S 3 2 Y22 = S 3

Y11 =

Feladat

6.8.feladat: 3U 1 + 10 − U 1 + 2 = 0 U 1 = −6V 5kΩ ⋅ I1 = +6V I1 = 1.2mA I 3kΩ = 2.4mA + 5mA = 7.4mA U A = 3kΩ ⋅ 7.4mA = 22.2V

Feladat

6.9. feladat: U R 11 = 1 = 5Ω I1 I =0 2

R 12 = R 21 = R 22 =

U1 I2 U2 I1 U2 I2

= −30Ω I1 = 0

= I 2 =0

= I1 = 0

20 U1 = 100Ω 0 .2 U 1

[10 + 20 ⋅ (−6 ⋅ 5)]⋅ I 2 I2

= −590Ω

1.3 verzió


332

6.10.feladat: Feladat U 100I1 + 0.1 ⋅ (−10 ⋅ 50I1 ) = = 50Ω R 11 = 1 I1 I = 0 I1 2

R 12 = R 21 = R 22 =

U1 I2 I

=

0.1 ⋅ 10 ⋅ I 2 = 1Ω I2

=

− 50I1 ⋅ 10 = 500Ω I1

1 =0

U2 I1

I2 =0

U2 I2

I1 = 0

= 10Ω

Feladat 6.11.feladat: A hibrid karakterisztika egy átmenő ellenállásból álló négypólust definiál:

Két ilyen lánc kapcsolásának hibrid paraméterei: H 11 = 2Ω H 12 = 1 H 21 = −1 H 22 = 0S 6.12.feladat: U = 1.5R R11 = 1 I1 I = 0

Feladat

2

R12 = R 21 = R 22 =

U1 I2 I

= 0.5R 1 =0

U2 I1

I2 =0

U2 I2

I1 = 0

= 0.5R = 1.5R

6.13.feladat: U 1 = R 11 I1 + R 12 I 2

Feladat

U 2 = R 21 I1 + R 22 I 2 U 1 = 1 − 1 ⋅ I1 U 2 = −I 2

1.3 verzió


2 V 3 1 U2 = V 3

333

1 I1 = A 3 1 I2 = − A 3

U1 =

Feladat

6.14.feladat: U (10 + 2) ⋅ I1 H11 = 1 = = 12Ω I1 U =0 I1 2

H12 = H 21 = H 22 =

U1 U2 I2 I1

= I1 = 0

2 ⋅ U2 − U2 =1 U2

= −1 U2 =0

I2 U2

= I1 = 0

1 = 0.125S 20 × 20 × 40

Feladat

6.15.feladat: U1 = I1 + I12 4 − 2I1 = I1 + I12

⎧ + 1A I1(1, 2 ) = −1.5 ± 2.25 + 4 = ⎨ ⎩− 4 A A „-4 A” nem megfelelő megoldás mivel ellentétes a referencia iránnyal és így a fesz generátor fogyasztana ekkor viszont aktívnak kell lennie a kétkapunak. I1 = 1A U 1 = 2V I 2 = 1A U 2 = 2V + 0.5V = 2.5V U 1 = I1 + I12 + 0 ⋅ I 2 U 2 = I1 + I12 + 0.5 ⋅ I 2 r11 = r12 =

dU1 dI1 dU1 dI 2

= 3Ω

r21 =

M

= 0Ω M

6.16.feladat: U 2 = 8I 0

r11 =

dU 2 dI1 dU 2 dI 2

= 3Ω M

= 0.5Ω M

Feladat

I1 = I0 + 0.5 ⋅ 8I0 = 5I0 U1 = 2I0 + U 2 = 10I 0 R be =

U1 10I0 = = 2Ω I1 5I0

1.3 verzió


334

6.17.feladat: I1 + I12 = 4 − 2I 2

Feladat

I12 − 3I1 − 4 = 0 − 3 ± 9 + 16 ⎧ 1A =⎨ 2 ⎩− 4 A = 1A

I11, 2 = I1M

U1M = 4V − 2Ω ⋅ 1A = 2V I 2 M = 1A 1 1 U 2 M = U1M + I 2 M = 2V + Ω ⋅ 1A 2 2 U 2 M = 2 .5 V R d1 =

du1 = 1Ω + 2 ⋅ 1Ω = 3Ω di1 M

10 − 2 sin(103 t − 40°) = 2 ⋅ 10 − 3 ⋅ sin(103 t − 40°) A 5 ∆u1 = 3Ω ⋅ 2 ⋅ 10− 3 ⋅ sin(103 t − 40°)A = 6 ⋅ 10 − 3 ⋅ sin(103 t − 40°) V

∆i1 =

∆i 2 = 0A ∆u 2 = ∆u1 = 6 ⋅ 10 − 3 ⋅ sin(103 t − 40°) V

6.18.feladat: di y11 = 1 du1 M

Feladat

= 0.4(u1 + 3u 2 ) = 6.4mS

u 2 = állandó

y12 =

di1 du 2

y 21 =

di 2 du1 M

= 20 ⋅ 0.4 ⋅ (u1 + 3u 2 ) = 128mS

di 2 du 2

=

M u 1 = állandó

= 0.4(u1 + 3u 2 ) ⋅ 3 = 19.2mS

u 2 = állandó

y 22 =

M u 1 = állandó

1 1 ⋅ 40 ⋅ ⋅ 5 + 20 ⋅ 0.4 ⋅ (u1 + 3u 2 ) ⋅ 3 = 404mS 2 25

1 = 16.25mV 6.4 ⋅ 10 − 3 ∆i1 = 128mS ⋅ ∆u1 + ∆u 2 ⋅ 404mS = 4.1mA ∆u1 = (∆i1 − 19.2mS ⋅ ∆u 2 ) ⋅

1.3 verzió


6.19.feladat: ⎡5Ω 4Ω⎤ ⎡ 5 3 2 3Ω⎤ ⇒ A1 = ⎢ R1 = ⎢ ⎥ ⎥ ⎣3Ω 2Ω⎦ ⎣1 3S − 2 3⎦ ⎡− 1 0Ω ⎤ AX = ⎢ ⎥ ⎣ 0S + 1 ⎦

335

Feladat

1Ω ⎤ ⎡4Ω 3Ω ⎤ ⎡ 2 ⇒ A2 = ⎢ R2 = ⎢ ⎥ ⎥ ⎣2Ω 1Ω ⎦ ⎣0.5S − 0.5⎦ 1Ω ⎤ ⎫ ⎡− 3 − 2⎤ ⎡ 5 3 − 2 3Ω⎤ ⎧⎡ − 1 0Ω⎤ ⎡ 2 Ae = ⎢ ⋅ ⎨⎢ ⋅⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎬ = ⎢ ⎣1 3S + 2 3 ⎦ ⎩⎣0Ω − 1 ⎦ ⎣0.5S − 0.5⎦ ⎭ ⎣ − 1 0 ⎦ R 10 =

A11A12 =∞ A 21A 22

R 20 =

A 22 A12 =0 A 21A11

6.20.feladat: 2Ω ⎤ ⎡20Ω 6Ω ⎤ ⎡ 2 ⇒ A1 = ⎢ R1 = ⎢ ⎥ ⎥ ⎣10Ω 2Ω⎦ ⎣0.1S − 0.2⎦

Feladat

⎡− 1 3 0Ω⎤ AT = ⎢ 3 ⎥⎦ ⎣ 0S − 17Ω⎤ ⎡8Ω 3Ω ⎤ ⎡ 4 ⇒ A2 = ⎢ R2 = ⎢ ⎥ ⎥ ⎣2Ω 5Ω ⎦ ⎣0.5S − 2.5 ⎦ − 2Ω⎤ ⎧⎡− 1 3 0Ω⎤ ⎡ 4 − 17Ω ⎤ ⎫ ⎡ 1 3 − 11 3 Ω ⎤ ⎡ 2 ⋅ ⎨⎢ ⋅⎢ Ae = ⎢ ⎬=⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎣0.1S + 0.2⎦ ⎩⎣ 0S − 3⎦ ⎣0.5S − 2.5 ⎦ ⎭ ⎣− 4.33S 2.066 ⎦ R10 =

A11A12 = 0.37Ω A 21A 22

R 20 =

A 22 A12 = 2.3Ω A 21A11

6.21.feladat: I1 = 2A

Feladat

U1 > 0 I1 = 1U1 + U12 1 1 I 2 = −4U1 + ( U 2 − 1) + U 2 − 1 2 2 2 U1 + U1 − 2 = 0

⎧ 1 U11, 2 = −0.5 ± 0.25 + 2 = ⎨ ⎩− 2

1.3 verzió


336

U 1 = 1V > 0 q 11 =

di1 du 1

= 1 + 2 U 1M = 3 M

A = 3S V

q 12 = 0S a, ha U 2 ≥ 1 1 1 1 1 U 2 − + U 2 − = −4 U1 + U 2 − 1 2 2 2 2

I 2 = −4 U1 + I 2 = −5 + U 2 U 2 = 10 − I 2

I 2 = −5 + 10 − I 2 = 2.5A U 2 = 7 .5 V q 21 =

di 2 A = −4 = 4S du1 M V

q 22 =

di 2 du 2

=1 M

A = 1S V

b, ha U 2 < 1 I 2 = −4 U1 +

1 1 1 1 U 2 − − U 2 + = −4 U1 2 2 2 2

I 2 = −4A U 2 = 10 − I 2 U 2 = 14V q 21 = q 22 =

di 2 du1 di 2 du 2

= −4 M

=1 M

A = 4S V

A = 0S V

1.3 verzió


337

6.22.feladat: Feladat Határozza meg az ábra szerinti áthidalt T-tag konduktancia-mátrixát !

R 11 =

R 12 =

R 21 = R 22 =

U1 I1 I

= 18 × 5 + 2 = 5.913Ω 2 =0

U1 I2 I

=

I2 ⋅ 2 +

1 =0

U2 I1

I2 =0

U2 I2

I1 = 0

=

I1 ⋅ 2 +

8 ⋅ I2 ⋅ 5 8 + 15 = 3.739Ω I2 5 ⋅ I1 ⋅ 8 5 + 18 = 3.739Ω I1

= 15 × 8 + 2 = 7.2174Ω

⎡0.2515S − 0.13S⎤ Y=⎢ ⎥ ⎣ − 0.13S 0.206S ⎦ 6.23.feladat: Az első szűrőre meghatározva: U U1 A11 = 1 = = 1 + jωRC 1 jωC U2 I =0 U 2 1 R + 1 jωC A12 =

A11 =

A11 =

U1 I2 U I1 U2 I1 I2

U1

=

− U1

2 =0

= I2 =0

1 R

Feladat

= −R

I1 = jωC 1 I1 jωC

= −1 U 2 =0

⎡1 + jωRC + R ⎤ ⎡1 + jωRC − R ⎤ ⎡ (1 + jωRC) 2 + jωRC − R (1 + jωRC) − R ⎤ Ae = ⎢ ⋅ =⎢ ⎥ + 1 ⎥⎦ ⎢⎣ jωC − 1 ⎥⎦ ⎣(1 + jωRC) jωC + jωC − jω C − 1 ⎣ jωC ⎦

1.3 verzió


338

6.24.feladat:

H11 = H12 = H 21 = H 22 =

U1 I1

= 103 [(1 + j) × 3 j] = U 2 =0

U1 U2 I2 I1

Feladat

= I1 = 0

1+ j 1+ 4j

=− U 2 =0

I2 U2

= I1 = 0

− 3 + 3j kΩ 1+ 4j

1+ j 1+ 4j

1 1 mS = 3 10 + 4 j ⋅ 10 1 + 4 j 3

6.25.feladat: 10 1 U'1 = U1 '⋅ + 100 U'1⋅ 11 11 11U'1 = 10 U1 + 100 U'1

Feladat

89 U'1 = −10 U1 U'1 = −0.1124V U 2 = 100 U'1 = −11.24V

6.26.feladat: U R 11 = 1 = R1 × (R 2 + R 3 ) I1 I = 0

Feladat

2

R 12 = R 21 = R 22 =

U1 I2 I U2 I1 U2 I2

=

R 3 ⋅ R1 R1 + R 2 + R 3

=

R 3 ⋅ R1 R1 + R 2 + R 3

1 =0

I2 =0

= R 4 + R1 × (R 1 + R 2 ) I1 = 0

R 12 = R 21 R 1R 2 + R1R 3 R R + R 2R 3 = R4 + 1 3 R1 + R 2 + R 3 R1 + R 2 + R 3 R 2 (R1 − R 3 ) R1 + R 2 + R 3 ha R 1 = R 3 ⇒ R 4 = 0 megvalósítható ha R1 > R 3 R4 =

1.3 verzió


6.27 feladat:

339

Feladat

U1M = 2V I1M = 3A U 2M = 0, 49V I2M = 3A

d11 = d12 = d 21 = d 22 =

∂i1 = −6, 24S ∂u1 M ∂i1 ∂i 2 ∂u 2 ∂u1 ∂u 2 ∂i 2

= 14, 41

2 ⋅10−3 ∆i1 = − − 3 ⋅14, 41⋅10−3 A = −43,55 ⋅10−3 A 6, 24 ∆u 2 = 0,558 ⋅ 3 ⋅10−3 − 0,743 ⋅10−3 V = 0,184 ⋅10−3 V

= −0,743

∆PV = I1M ⋅ ∆u 2 + U 2M ⋅ ∆i 2 = −81,1⋅10−3 W

M

∆PA = I2M ⋅ ∆u 2 + U 2M ⋅ ∆i 2 = −1,151⋅10−3 W

M

= −0,558Ω M

1.3 verzió


340

6.28 feladat:

[u ] = V

Feladat

[i ] = mA

2 − 5 ⋅ u1 = −5 ⋅ u1 + 2 ⋅ u12

u1 = 1 V

i1 = ( 2 − 5 ) mA = −3 mA i 2 = 20 mA

20 = 2 ⋅ e 2 + 8 ⋅ ln

1 1 lg 2 u2

u 2 = 0,55 V g11 =

∂i1 ∂u1

= ( −5 + 4 ) mS = −1 mS M

g12 = 0 g 21 =

∂i 2 ∂u1

= 12 ⋅ e 2 mS = 88, 7 ⋅10−3 S = 88, 7 mS M

∂i g 22 = 2 ∂u 2

0,552 1 1 1 ⋅ ⋅ ( −2 ) ⋅ = 24,33 mS = 8 ⋅ lg ⋅ −1) ⋅ 2 ( 1 0,55 ln10 0,553 M lg 2 0,552 h11 = −200 Ω h12 = 0 h 21 = −17, 74 h 22 = −24,3 ⋅10−3 S Feladat

6.29 feladat:

[u ] = V

[i ] = A

3 − 100 ⋅ i1 = ( 0, 6 ⋅ u 2 + 2 ⋅10−3 ) ⋅180 + 120 ⋅ i1 − 59 ⋅ ( 3 − 100 ⋅ i1 )

−10−3 ⋅ i 2 = 50 ⋅ i1 − 50 ⋅ i 2 + ( i 2 − 50 ⋅ i1 ) ⋅ 50 u 2 = 10−3 ⋅ i 2 i1 = −0, 77 mA

u1 = 3, 08 V

i 2 = −1,89 mA

u 2 = 1,89 V

"F" referencia P = −3, 08 V ⋅ 7, 7 ⋅10−4 A − 1,89 V ⋅1,89 ⋅10−3 A =

= ( −2,37 − 3,57 ) mW = −5,94 mW

termelt!

1.3 verzió


341

6.30 feladat: i1 ' = 2 S ⋅ ( u1 + u1 ') = 2 S ⋅ ( u1 + u 2 )

Feladat

⎡2 2⎤ G' = ⎢ ⎥ ⎣ −2 −2 ⎦ i 2 " = 2 S ⋅ ( u 2 − u 2 " ) = 2 S ⋅ ( u 2 − u 1 ) = −2 S ⋅ ( u 1 − u 2 ) i 2 ' = −i1 ' = −2 S ⋅ ( u1 + u 2 )

i1 " = −2 S ⋅ ( u1 − u 2 )

⎡ −2 2 ⎤ G" = ⎢ ⎥ ⎣ −2 2 ⎦

⎡ 0 4⎤ G = G' + G" = ⎢ ⎥ ⎣ −4 0 ⎦ − 4 S ⋅ u1 = −16 S ⋅ u 2 i1 = 4 S ⋅ u 2 i 2 = −4 S ⋅ u 1 u2 =

−1 ⋅ i2 16 S

u2 =

1 ⋅ u1 4

R1be = 1 Ω

1.3 verzió


342

6.31 feladat: 1. négypólus:

Feladat

A11 = −A 22 =

A 21 =

i1 u2

u1 u2

= i1 = 0

= i1 = 0

1 10 3 − 13 13

1 10 3 Ω− Ω 2 2

=

=

13 7 60 ⎤ ⎡ 13 ⎢ 7 − 7 Ω⎥ A1 = ⎢ ⎥ 13 ⎥ ⎢2 S − 7 ⎦⎥ ⎣⎢ 7

2 S 7

1 − A112 60 =− Ω A12 = A 21 7 2. négypólus: ⎡ 1 ⎤ − 0⎥ A2 = ⎢ 3 ⎢ ⎥ ⎣⎢ 0 3⎥⎦ 3. négypólus: RI = 7×

2 21 Ω= Ω ; R II = 13 Ω 3 17

A11 = −A 22 =

A 21 =

A12 =

i1 u2

u1 u2

= i1 = 0

= i1 = 0

1 21 13 − 7 21 21 13 + 13 + 7 7

1 13 21 Ω− Ω 2 34

= 0,17 S

= 1, 21

⎡ 1, 21 −2, 73 Ω ⎤ A3 = ⎢ ⎥ ⎣0,17 S −1, 21 ⎦

1 − A112 = −2, 73 Ω A 21

60 ⎤ ⎡ 13 ⎡ 13 180 ⎤ Ω⎥ ⎢ 7 + 7 Ω ⎥ ⎡ − 1 0 Ω ⎤ ⎢ − 21 7 ⎢ ⎥ A' = ⎢ =⎢ ⎥⋅ 3 ⎥ ⎥ ⎢ 2 39 ⎥ 13 ⎥ ⎢ ⎢2 S S + ⎢⎣0 S 3 ⎥⎦ − ⎢⎣ 7 ⎢⎣ 21 7 ⎥⎦ 7 ⎥⎦ 180 ⎤ ⎡ 13 ⎢ − 21 − 7 Ω ⎥ ⎡ 1, 21 −2, 73 Ω ⎤ ⎡ −5,12 32,8 Ω ⎤ A=⎢ = ⎥⋅ 39 ⎥ ⎢⎣ 0,17 S −1, 21 ⎥⎦ ⎢⎣1, 06 S 7, 0 ⎥⎦ ⎢− 2 − 7 ⎦⎥ ⎣⎢ 21 ⎡ −0, 21 S 13,79 ⎤ D=⎢ 6,41 Ω ⎥⎦ ⎣ -0,2

1.3 verzió


343

6.32 feladat: 4 − 2 ⋅ i1 = i1 + i12 i1M = 1 A R d1 =

Feladat u1M = 1 V

∂u1 ∂i1

=3Ω M

3 ∆u1M = 2 ⋅10−3 V ⋅ sin (ω t − 40° ) ⋅ = 1, 2 ⋅10−3 V ⋅ sin (ω t − 40° ) 5 ∆u1M ∆i1M = = 0, 4 ⋅10−3 A ⋅ sin (ω t − 40° ) R d1 i 2M = 1 A

u 2M = −2 V +

1 V = −1,5 V 2

∆i 2M = −1 mA ⎡ 1 ⎤ ∆u 2M = ⎢ − − 1, 2 ⋅10−3 ⋅ sin (ω t − 40° ) ⎥ mV ⎣ 2 ⎦

Feladat

6.33 feladat: 1 4 u2 = 2 − u2 i2 = A i1 = 0 2 3 4 4 7 u2 = V u1 = 1 + V = V 3 3 3 7 ⎤ ⎡ ⎢ u1M = 3 V ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ i1M = 0 ⎥ ∂u ⎥ =1 Ω M=⎢ r11 = 1 4 ⎢u 2 = V ⎥ ∂i1 M i2 =0 ⎢ M 3 ⎥ ⎢ 4 ⎥ ⎢ i 2M = A ⎥ ⎢⎣ 3 ⎥⎦ r21 =

∂u 2 ∂i1

=0Ω M i2 = 0

h11 = 1 Ω

h 21 = 0

h12 = 1

h 22 = 1 S

r22 =

∂u 2 ∂i 2

r12 =

=1 Ω M i1 = 0

1.3 verzió

∂u1 ∂i 2

=1 Ω M i1 = 0


344

6.34 feladat: Feladat 2 I P1max = A ⋅ 200 W = 50 ⋅ I A 2 W [ IA ] = A 4 200 300 300 I 2 = −I A ⋅ ⋅ ⋅ = 200 + 300 × ( 300 × 140 + 150 ) 300 + 150 + 300 × 140 440 = −0, 22I A P2 = I 2 2 ⋅140 Ω = 6,98I A 2 Γ=

P1max P2

= 7,16 = 2, 67

lnΓ = ln 2, 67 = 0,98 N

6.35 feladat:

átviteli tényező

átviteli csillapítás

Feladat

YA = 0 YB =

1 = 10−4 S R

g=0 Y C = BL = 10−4 S

1.3 verzió


345

6.36 feladat:

Y12 =

Feladat

j ⋅ 5 ⋅10−3 ⋅ ( − j ⋅10−2 )

j ⋅ 5 ⋅10 ⋅ ( − j ⋅10 −3

( − j ⋅10 ) ⋅ j =

−2

) + j ⋅10

−2

= − j ⋅10−2 S

X12 = j100 Ω

−2

Y 23

j ⋅ 5 ⋅10

−3

= − j ⋅ 2 ⋅10−2 S

j ⋅ 5 ⋅10−3 ⋅ j ⋅10−2 Y 31 = = j ⋅10−2 S −3 j ⋅ 5 ⋅10

X 23 = j50 Ω

X 31 = − j100 Ω ⋅10−2

Z1ü = ⎡⎣100 × ( − j100 ) + j50 ⎤⎦ × j100 j ⋅ 5 ⋅102 − 103 Z1ü = 5 + j20 Z2ü = ⎡⎣100 × ( − j100 ) + j100 ⎤⎦ × j50 j250 − 750 100 + j200 Z2ü = Z2r = j50 × ( − j100 ) × 100 = 5 + j20 6 + j4 Z1r = 100 Ω

Zb1 = Z1r ⋅ Z1ü = 730 ⋅ e j38,74° Ω Zb2 = Z2r ⋅ Z2ü = 34, 48 ⋅ e j57,68° Ω 6.37 feladat:

Feladat

1.3 verzió


346

1.3 verzió

Villamosságtan példatár 1.4 verzió A példatár hibáit a. címeken szíveskedjen mindenki jelenteni!

Recommend Documents