VII.Valószínűségszámítási, statisztikai, gráfelméleti alapfogalmak VII.1.A valószínűségszámítás elemei A valószínűségszámítás a véletlen tömegjelenségeket tanulmányozó, kb. 300 éves tudomány. Véletlen jelenség: nem ismerjük a kimenetelét befolyásoló valamennyi tényezőt, nem tudjuk a jelenség kimenetelét befolyásolni. Tömegjelenség: egymás után, azonos körülmények között tetszőlegesen sokszor megfigyelhetők, ill. elvégezhetők (pl. kockadobás, pénzfeldobás, golyó kihúzása egy urnából, stb). 1.Bevezető fogalmak - Egy véletlen tömegjelenség előállítását, vagy megfigyelését kísérletnek nevezzük. (pl. kockadobás). - A kísérlet lehetséges kimenetelét elemi eseménynek nevezzük. (pl. 1-es dobása, „írás” dobása). - Lehetetlen esemény: a kísérlet során soha nem következik be (pl. a kockadobásnál 8-as / dobása). Jele: O - Biztos esemény: az adott kísérletben mindig bekövetkezik (pl. a kockadobásnál 7-esnél kisebb természetes szám dobása). Jele:I. - Komplementer esemény: Egy A esemény komplementer eseménye az, amely akkor és csakis akkor következik be, amikor az A nem következik be (pl. a kockadobásnál ha A: páros szám dobása, akkor A : a nem páros szám dobása). - Egyenlő események: ha egy kísérletnél mindkettő bekövetkezik, vagy egyik sem. (pl. A: páros szám dobása, B: 2, 4 vagy 6 dobása. Tehát A = B). - Az A esemény maga után vonja a B eseményt: ha valahányszor az A bekövetkezik, abból következik, hogy a B is bekövetkezik (pl. A: 2-es dobása, B: páros szám dobása). Jele: A ⊂ B . Műveletek eseményekkel -Két esemény összege az az esemény, amely akkor következik be, ha az A és B események közül legalább az egyik bekövetkezik. Jele: A + B, vagy A ∪ B . Pl. Legyen a kísérlet: kártyalap húzás, 32-es magyar kártyából A: a kártyalap piros B: a kártyalap 10-esnél kisebb számos A ∪ B : a kártyalap piros, vagy 7, 8, 9-esből bármilyen nem piros. -Az A és B események szorzata az az esemény, amely akkor következik be, ha A és B események egyszerre következnek be. Jele: A ⋅ B, vagy A ∩ B . Pl. kockadobásnál A: páros számot dobunk B: 3-mal osztható számot dobunk
1
A ⋅ B , vagy A ∩ B : A dobott szám páros és 3-mal osztható, tehát a 6-os szám dobásáról, az E6 eseményről van szó. -Az A és B események különbsége az az esemény, amely akkor következik be, ha ugyanazon kísérlet folyamán az A bekövetkezik, de a B nem. Jele: A – B. Pl. A: 2-nél nagyobb páratlan szám dobása: {E3 , E5 }
B: 5-nél kisebb szám dobása: {E1 , E 2 , E3 .E 4 } A – B: 2-nél nagyobb páratlan és 5-nél nem kisebb szám. Tehát E5 , vagyis pontosan 5öst dob. -Az A és B egymást kizáró események: ha egyszerre nem következhetnek be. / A∩ B = O Pl. Pénzfeldobásnál A: fej dobása, B: írás dobása. -Az A1 , A2 ,..., An események teljes eseményrendszert alkotnak, ha: - egyik sem a lehetetlen esemény ( Ai ≠ O/ ) - páronként egymást kizáró események alkotják ( Ai ∩ A j = O/ ) - a kísérlet során egyikük biztosan bekövetkezik ( A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = I ) Pl. kockadobásnál az egyes számok dobása. Ezek teljes eseményrendszert alkotnak. -Az A és B független események, ha az egyik bekövetkezése nem befolyásolja a másik bekövetkezését. Pl. Egy csomag kártyából egymás után két lapot húzunk. Ha az első húzás után a kihúzott lapot visszatesszük és azután húzzuk a másodikat, akkor ezek a húzások egymástól független események. Ha az első lapot nem tesszük vissza és úgy húzzuk ki a másodikat, akkor a két lap húzása egymástól nem független esemény. 2.A valószínűség fogalma A valószínűség fogalma kialakításának az az alapja, hogy ha egy véletlen tömegjelenség tanulmányozásában elég nagyszámú kísérlet mellett végzik az adott esemény megfigyelését, akkor ennek bekövetkezése az elvégzett kísérletek közel ugyanannyi %ában történik meg. Pl. Mi a valószínűsége annak, hogy kockadobáskor 6-ost dobjunk? Válasz: 1/6-hoz. (Ismétlés: abszolút gyakoriság: ahányszor egy esemény bekövetkezik, relatív gyakoriság = abszolút gyakoriság/a kísérletek száma.) A nagy számok tapasztalati törvénye Minél nagyobb a kísérletek száma, az esemény bekövetkezésének a relatív gyakorisága annál inkább egy bizonyos érték körül ingadozik. Az ingadozás (eltérés) mértéke a kísérletek számának növelésével csökken. Ezt a számot fogjuk az illető esemény valószínűségének nevezni. Jele: P(A).
2
A valószínűség axiómái (Kolmogorov axiómák) (Kolmogorov, orosz matematikus, sz.1903 - ?) (1) Ha van egy H eseménytér, akkor minden A eseményhez tartozik egy P(A) szám, amelyre 0 ≤ P ( A) ≤ 1 . (2) A biztos esemény valószínűsége 1, vagyis P(I) = 1. / , akkor (3) Ha A és B egymást kizáró események, vagyis A ∩ B = O P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) A klasszikus definíció az ún. klasszikus valószínűségi mezőre igaz, vagyis az elemi események száma véges és minden esemény egyenlően valószínű. Ekkor az A esemény valószínűsége: a kedvezö esetek száma P ( A) = az összes eset száma Pl.Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy kocka dobásakor párost dobjunk? -az összes esetek száma = 6 -kedvező esetek száma = 3 3 1 P ( A) = = 6 2 Tétel (1)Ha az A esemény valószínűsége P(A), akkor a kiegészítőjének valószínűsége P ( A) = 1 − P ( A) . (2)Ha A1 , A2 ,..., An teljes eseményrendszert alkotnak, akkor valószínűségük összege 1. P ( A1 ) + P ( A2 ) + ... + P( An ) = 1 Pl. magyar kártyával való játék a „66”. Esemény: egy kártyalap osztása. Legyenek A1 :" ászt kap." A2 :" számost kap." A3 :" a többi közül kap." Ezek teljes eseményrendszert alkotnak. 4/20 + 4/20 + 12/20 = 20/20 = 1. VII.2.A matematikai statisztika elemei 1.Általánosságok A matematikai statisztika, valamely jelenségre vonatkozó adatok gyűjtésével, csoportosításával, elemzésével, szemléltetésével és értékelésével, valamint a jelenség jövőbeni bekövetkezését felvillantó jóslatokkal foglalkozik. Egy statisztikai felmérés szakaszai: - adatgyűjtés - az adatok csoportosítása, rendezése
3
- a statisztikai mutatók kiszámítása - az eredmények ábrázolása, értelmezése, értékelése, előrejelzések. Statisztikai sokaság: az a halmaz, amelyen a felmérést végezzük. A statisztikai sokaság elemeit egyedeknek nevezzük. A statisztikai felmérés esetén az egyedek valamilyen közös tulajdonsága érdekel. Ezt ismérvnek, vagy karakterisztikának nevezzük, de gyakran használjuk a statisztikai változó megnevezést is. -Ismérv: -minőségi (pl. haj színe, szem színe, foglalkozás, stb), vagyis számokkal nem kifejezhető. -mennyiségi: méréssel kapott, tehát számokkal kifejezhető -diszkrét: különálló, többnyire egész értékeket vesz föl (pl. érdemjegy, életkor, gyerekek száma) -folytonos: egy intervallum bármely értékét felveheti (pl. testmagasság, testsúly) Megjegyzés –Egy statisztikai vizsgálat elvégezhető egy, vagy több ismérvre vonatkozóan. - Lehet, hogy a statisztikai sokaságnak olyan sok eleme van, hogy mindenki nem vehet részt a felmérésben. Ilyenkor csak egy részén végezzük a felmérést: mintavétel, ebből következtetünk az egész sokaságra. A következtetés akkor mérvadó, ha a mintavétel reprezentatív és véletlenszerű. - A felmérés során kapott adatokat táblázatokba rendezzük. Ezeket a táblázatokban található egymáshoz tartozó értékpárokat. nevezzük statisztikai soroknak, vagy statisztikai táblázatnak. A statisztikai sorok visszatérő értékei: - a sokaság összlétszáma (n) - az abszolút gyakoriság: a sokaság hány eleme rendelkezik az illető ismérv értékkel - relatív gyakoriság = (abszolút gyakoriság)/n. Ezt tört formában írjuk, de gyakrabban %ban adjuk meg. A megnevezése gyakran egyszerűen gyakoriság. - felfelé kumulált abszolút/relatív gyakoriság: az összes megelőző osztályok és az illető osztály abszolút/relatív gyakoriságának az összegét értjük. - lefelé kumulált abszolút/relatív gyakoriság: az összes utána következő osztályok és az illető osztály abszolút/relatív gyakoriságának az összegét értjük. -idősorok: ezek is a statisztikai sorok közé tartoznak, valamely mennyiségnek időbeni változását mutatják. Ezért a táblázat első oszlopába időpontok, vagy időtartamok kerülnek (pl. időjárással kapcsolatos kimutatások, lázgörbék, egy intézmény diáklétszámának időbeni változása, stb.) Néhány konkrét példán mutatjuk be a felsorolt fogalmakat. Az 1. táblázat egy 25-ös létszámú osztály tanulóinak megoszlását mutatja be a szemük színe szerint.
4
Szem színe Abszolút gyakoriság Relatív gyakoriság Relatív gyakoriság (a személyek száma) %-ban fekete 4 4/25 = 0,16 16 barna 12 12/25 = 0,48 48 zöld 5 5/25 = 0,20 20 kék 4 4/25 = 0,16 16 táblázat 1
Itt a statisztikai sokaság = az iskolai osztály, az ismérv = a szem színe (ez egy minőségi ismérv), az ismérvnek a megadott példában 4 „értéke” van, a négyféle szemszín. A 2. táblázat két iskolai osztály félévi matematika jegyeit mutatja be. Itt az ismérv mennyiségi (érdemjegy – értéke számmal kifejezhető), mégpedig diszkrét mennyiségi ismérv. Jegy
Absz. gyak.
4 5 6 7 8 9 10
3 4 7 15 6 3 2
Relatív Relatív gyak. gyak. %-ban 0,075 0,100 0,175 0,375 0,150 0,075 0,050
7,5 10 17,5 37,5 15 7,5 5
Felfelé kum. absz. gyak. 3 7 14 29 35 38 40
Lefelé kum. absz. gyak. 40 37 33 26 11 5 2
Felfelé kum. rel. gyak. 7,5 17,5 35 72,5 87,5 95 100
Lefelé kum. rel. gyak 100 92,56 82,5 65 27,5 12,5 5
táblázat 2
Ha a felfelé kumulált abszolút gyakoriságot nézzük pl. kiolvasható, hogy 6-ost, vagy annál kisebb jegyet 14 tanuló kapott (legfeljebb 6-ost), vagy ugyanezt jeleni az ennek megfelelő 35% is (a tanulók 35%-a kapott legfeljebb 6-os jegyet.) Ha a lefelé kumulált oszlopokat nézzük pl. látható, hogy 11 tanulónak (a tanulók 27,5%ának ) van 7-esnél jobb jegye. A 3. táblázat 120 személy testmagasságát fejezi ki cm-ben. cm 158 159 160 161 162 163 164 165
Személyek száma 1 1 1 3 1 23
cm 166 167 168 169 170 171 172 173
Személyek száma 2 2 4 5 5 8 7 8
cm 174 175 176 177 178 179 180 181
táblázat 3
5
Személyek száma 9 10 9 9 7 5 3 3
cm 182 183 184 185 186 187 188 190
Személyek száma 2 2 1 2 2 2 1
Itt az ismérvnek olyan sok értéke van, hogy a táblázat olvasása, adatainak értékelése nehézkessé válik. Ilyenkor (a diszkrét mennyiségi ) ismérv értékeket osztályokba, ismérv intervallumokba soroljuk, kialakítjuk az ún. folytonos ismérv osztályokat. Az ilyen táblázatokban minden osztály jobb oldali határát, megegyezés szerint, nem számítjuk hozzá az osztályhoz (kivéve az utolsóét). Tehát pl. 170-175-ig tartó osztályba a 170 cm magasak beletartoznak, de a 175 cm-esek már nem. A 3. táblázat sűrített, „sávosított” alakját láthatjuk a 4. táblázatban, ezt kiegészítettük a relatív gyakoriság értékeivel. Testmagas. Absz. osztályok gyak. cm-ben <160 160-165 165-170 170-175 175-180 180-185 185-190
2 7 16 37 40 11 7
Rel. gyak ≈
Felfelé kum. rel. gyak
Lefelé kum. rel. gyak.
0,016 0,059 0,133 0,308 0,333 0,092 0,059
0,016 0,075 0,208 0,516 0,849 0,941 1,000
1,000 0,984 0,925 0,792 0,484 0,151 0,059
táblázat 4
Ha a kumulált gyakoriságokat nézzük, látható, hogy a megvizsgált személyek ~ 85%-a 180 cm-nél alacsonyabb, vagy 92,5%-uk legalább 165 cm magas. Idősort kapunk, ha feltüntetjük pl. a csíkszeredai, 14 órakor mért hőmérsékleteket egy héten keresztül (2008 szept. 3-9-ig). Nap/dátum
Hőmérséklet ºC-ban Szerda/IX.3. 27 Csütörtök/IX.4 28 Péntek/IX.5 29 Szombat/IX.6 31 Vasárnap/IX.7 32 Hétfő/IX.8 32 Kedd/IX.9 29 táblázat 5
2.A statisztikai sorok grafikus ábrázolása -A minőségi ismérv alapján készített statisztikai sorokat a gyakoriságukkal arányos magasságú, egyenlő alapú téglalapokkal ábrázoljuk. Ezt nevezzük téglalapdiagramnak. Ha a téglalapok vízszintesen helyezkednek el, a neve sávdiagram.
6
Ha az ábrázolás a gyakoriságukkal arányos középpontú szöggel rendelkező körcikkekkel történik, a diagram neve kördiagram. A következő három diagram az 1. táblázat adatai alapján készült. 60
40
20 16
16
20
zöld
Szem színe
30 20
16
kék
48
50
Relatív gyakoriság %-ban
Relatív gyakoriság %-ban
10
Szem színe
48
barna
16
fekete
0 fekete
barna
zöld
kék
0
20
40
60
Abszolút gyakoriság /a személyek száma/
16%
16% fekete barna
20%
zöld kék 48%
-Mennyiségi ismérvek statisztikai ábrázolása derékszögű koordináta rendszerrel történik. Az abszcissza tengelyen az ismérv értékeit, az ordináta tengelyen pedig a gyakoriság értékeit tüntetjük fel. Diszkrét mennyiségi ismérv esetén használjuk a botdiagramot, főleg, ha az ismérv kevés értéket vesz föl. A következő botdiagram a 2. táblázat alapján készült. A függőleges tengelyen a relatív gyakorisággal arányos szakaszokat is felvehetünk.
7
40
<160
30
160-165 165-170
20
170-175
10
175-180
Egyenlő szélességű osztályokra bontott sor hisztogramja egyenlő alapú, „egymáshoz ragasztott” téglalapok rajzolását jelenti, amelyek magassága arányos az illető osztály abszolút, vagy relatív gyakoriságával. A 4. táblázat hisztogramja a fentiekben látható.
180-185
0 Absz. gyak.
185-190
Ha a hisztogramot alkotó téglalapok felső oldalának felezőpontjait egy törött vonallal összekötjük, a kapott alakzatot gyakorisági poligonnak nevezzük (lásd a mellékelt, baloldali táblázatot.) Ha ezeket a pontokat görbe vonallal kötjük össze, a kapott görbe neve eloszlási görbe. Az utolsó grafikon az 5. táblázatban levő idősor grafikus ábrája. Absz. gyak.
Hőmérséklet ºC-ban
45 40 35 30 25 20 15
cmben
<160
160165
165170
170175
175180
180185
Sz er da . C sü tö rt ö k Pé nt ek Sz om ba Va t sá rn ap
10 5 0 185190
Ke dd
34 32 30 28 26 24
3.Átlagok Átlagokat csak a mennyiségi ismérveknél számítunk, állapítunk meg. Helyzeti középértékek: módusz és medián. Számított középértékek: számtani, mértani, harmonikus, négyzetes közepek. -Valamely statisztikai sor móduszán , vagy legjellemzőbb értékén diszkrét ismérv esetén a legnagyobb gyakoriságú ismérv értéket értjük. Osztályokra bontott folytonos változó esetén a legnagyobb gyakoriságnak megfelelő osztályközepet értjük. A 2. táblázat esetén a módusz a 7 (ez az érdemjegy fordul elő a legtöbbször), a 3. táblázat esetén 175 cm, a 4. táblázat esetén a 177,5 cm (ez 175 cm-180 cm terjedő osztály közepe). Ha előfordul, hogy két osztálynál a gyakoriságok egyenlők, akkor vesszük a két ismérv érték középarányosát. -Valamely statisztikai sor mediánjának nevezzük az ismérvnek azt az értékét, amely azzal a tulajdonsággal rendelkezik, hogy ugyanannyi egyed vesz föl e bizonyos értéknél kisebb értéket, mint ahány ennél az értéknél nagyobb értéket. A 2. táblázat esetén 40 db ismérv érték van. Ha az értékek száma páratlan lenne, akkor a középső értéket vennénk. Jelen esetben két középső érték van a 20. és a 21., tehát az ezeknek megfelelő ismérv értékek középarányosát vesszük.
8
41 ,44 ,44 ,5,54 ,54 ,5,4 6,4 6,2 6,64 ,64 ,6,4 6,74 ,74 ,7,4 73 ,7, 7{ ,7, 71 ,74 ,74 ,7,4 7,74 ,74 ,7,4 8,2 8,84 ,8,4 8,84 ,94 ,9,4 9,10 10 4,3 20. é 21.
19 db
19 db
Tehát a medián is 7. Számtani, vagy aritmetikai középarányos: ma =
x1 + x 2 . 2
x1 + x 2 + ... + x n . n Súlyozott számtani közép: ha x1 érték abszolút gyakorisága k1 , ha x 2 szám abszolút gyakorisága k 2 ,…, ha x n szám abszolút gyakorisága k n , akkor: k ⋅ x + k 2 ⋅ x 2 + ... + k n ⋅ x n ms = 1 1 k1 + k 2 + ... + k n Általánosan: ma =
Mértani, vagy geometriai/ középarányos: m g = x1 ⋅ x 2 , Általánosan: m g = n x1 ⋅ x 2 ⋅ ... ⋅ x n Harmonikus középarányos: mh =
Általánosan: mh =
2 1 1 + x1 x 2
n 1 1 1 + + ... + x1 x 2 xn
Négyzetes középarányos: m p =
x12 + x 22 2
x12 + x 22 + ... + x n2 n A középarányosok tulajdonsága: m h ≤ m g ≤ m a ≤ m p .
Általánosan: m p =
Az éppen kiszámított középértéktől való eltérést az értékek szóródásának nevezzük. A terjedelem: a növekvő sorrendbe rendezett adatok (ismérv értékek) legnagyobb és legkisebb értékének a különbsége: R = x n − x1 . ( x1 − m) 2 ⋅ k1 + ( x 2 − m) 2 ⋅ k 2 + ... + ( x n − m) 2 ⋅ k n , ahol n n = k1 + k 2 + ... + k n , vagyis n a sokaság összlétszáma, m középarányos
Szórásnégyzet: S 2 =
Szórás, vagy négyzetes eltérés: S = ± S 2 . A négyzetes eltérés kis értéke azt jelzi, hogy az értékek kihangsúlyozottan az átlag körül csoportosulnak. S Változási együttható: V = ⋅ 100. Ha V ≤ 35% , akkor a vizsgált sokaságot az illető m ismérv szempontjából homogénnek tekintjük. A 2. táblázatban található példa esetén kiszámítjuk a súlyozott számtani középarányost, a szórásnégyzetet, a szórást és a változási együtthatót. A súlyozott számtani közép: 9
3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 5 + 7 ⋅ 6 + 15 ⋅ 7 + 6 ⋅ 8 + 3 ⋅ 9 + 2 ⋅ 10 274 = = 6,85 40 40 Már abból, hogy a módusz, a medián és a média egymáshoz nagyon közel álló értékek, látszik, hogy a vizsgált sokaság eléggé homogén: 7 = 7 ≈ 6,85. A szórásnégyzet és a szórás: 3 ⋅ (4 − 6,85) 2 + 4 ⋅ (5 − 6,85) 2 + 7 ⋅ (6 − 6,85) 2 + 15 ⋅ (7 − 6,85) 2 + 6 ⋅ (8 − 6,85) 2 + S2 = 40 2 2 + 3 ⋅ (9 − 6,85) + 2 ⋅ (10 − 6,85) 84,7625 = ≈ 2,1190 40 ms = m =
S = ± S 2 ≈ ±1,45
V =
S m
⋅ 100 =
1,45 ⋅ 100 ≈ 21,2% 6,85
VII.3.A gráfelmélet alapjai. Egyvonalas folytonos megrajzolási problémák
Játék: -az alábbi ábrák esetében valamely pontból kiindulva, a ceruza fölemelése nélkül megrajzolható-e az adott ábra, ha minden vonalon csak egyszer szabad végigmenni? -van-e olyan eset, hogy a kiinduló pont egybeessen a végponttal?
A gráfelmélet néhány alapfogalma: A gráf pontokból és ezeket összekötő szakaszokból álló alakzat. (Az angol „graph” = rajz szóból ered.) A gráfon található metszéspontokat csúcsoknak nevezzük. A csúcsokat (pontokat) összekötő vonalakat éleknek nevezzük. Illeszkedő él: ha van olyan csúcs, amelyen az illető él áthalad (a csúcs illeszkedik az élhez). Út: több, egymás után illeszkedő (következő) él. Kör: ha egy útnál a kezdőpont megegyezik a végponttal. Egyszerű út: ha egy útban minden él csak egyszer szerepel. 10
Egyszerű kör: zárt, egyszerű út. Nyílt Euler-vonal: olyan egyszerű út, amely a gráf minden élét tartalmazza (Leonhard Euler, 1707-1783, világhírű svájci matematikus). Zárt Euler-vonal: olyan egyszerű út, amely a gráf minden élét tartalmazza és zárt. Egy csúcs fokszáma: a hozzá illeszkedő (oda összefutó) élek száma. 1.Tétel Egy összefüggő véges gráfnak akkor és csakis akkor van zárt Euler-vonala, ha a gráf minden csúcsának a fokszáma páros. Ez azt jelenti, hogy a gráf végigjárható egy vonallal és visszaérünk a kiinduló pontba. 2.Tétel Egy összefüggő véges gráfnak akkor és csakis akkor van nyílt Euler-vonala, ha pontosan két olyan csúcsa van, amelynek fokszáma páratlan, az összes többi csúcs fokszáma páros. Tehát bejárható egy vonallal, de nem érünk vissza a kiinduló pontba. Ekkor a gráf bejárása az egyik páratlan fokszámú csúcsnál kezdődik, a vége pedig a másik páratlan fokszámúnál van. Megjegyzés Egy csúcs páros fokszáma tulajdonképpen azt fogja jelenteni, hogy ha az egyik vonalon bementem a csúcsba, onnan egy másik vonalon ki is tudok jönni. Ez jelenti, hogy, ha kettőnél több páratlan fokszámú csúcs van, akkor lesz olyan, amelybe be lehet menni, de onnan már nincs egy út, amelyen kijöhetnénk. Most nézzük meg a fent megadott gráfok megrajzolhatóságát. Ehhez megbetűzzük a csúcsokat (minden pontot, ill. metszéspontot) és a könnyebb áttekinthetőség végett egy táblázatba írjuk a csúcsok fokszámát. Az (1) gráf csúcsainak fokszáma: A B C D E F P 4 2 4 4 2 4 4 A (2) gráf csúcsainak fokszáma: G H I J K Q 3 3 4 4 2 4 A (3) gráf csúcsainak fokszáma: L M N O R 3 3 3 3 4
11
Az 1. táblázatban minden csúcs fokszáma páros, tehát az (1) ábra gráfjának van zárt Euler-vonala. A 2. táblázatban pontosan két páratlan fokszámú csúcs van, tehát (2) ábrán látható gráfnak van nyílt Euler-vonala, vagyis megrajzolható egy vonallal, de nem érünk vissza a kiinduló pontba. A 3. táblázatban több, mint 2 páratlan fokszámú csúcs van, tehát a (3) ábra gráfjának nincs sem nyílt, sem zárt Euler-vonala, vagyis nem megrajzolható egy folytonos vonallal.
12
