Hővezetés - alapfogalmak A hőmérsékletmező
t = f ( x, y , z ,τ ) Állandósult állapotban, egy dimenzió esetén:
t = f (x ) Izotermikus felület az azonos hőmérsékletű pontok mértani helye különböző hőmérsékletű izotermikus felületek nem metszik egymást. A hőmérséklet-gradiens
Δt ∂t = = grad t Δn →0 Δn ∂n lim
⎡K ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦
A hőmérséklet-gradiens meghatározása
1
A Fourier-törvény
ϕ = −λ ⋅ grad t
A hőáramsűrűség az egységnyi idő alatt egységnyi felületen továbbadott hőmennyiséget fejezi ki:
ϕ=
⎡W ⎤ ⎢⎣ m2 ⎥⎦
d dQ dA dτ
A hővezetési tényező
λ=−
ϕ grad t
⎡ W ⎤ ⎢⎣ m ⋅ K ⎥⎦
A hővezetési tényező függ az anyag: minőségétől (fajtájától), szerkezetétől, termodinamikai állapotától (hőmérséklet, nyomás, stb.).
2
Gázok hővezetési tényezői:
λ = 0,005 … 0,5 W/(m·K); a hőmérséklet emelkedésével λ értéke növekszik; a nyomástól gyakorlatilag nem függ (P = 3 kPa … 200 MPa esetén).
Gázok hővezetési tényezőinek hőmérséklet függése 1 - vízgőz, 2 - oxigén, 3 - szén-dioxid, 4 - levegő, 5 - nitrogén, 6 - argon.
3
Folyadékok hővezetési tényezői:
λ = 0,09 … 0,7 W/(m·K); a hőmérséklet emelkedésével λ értéke általában csökken; a víz és a glicerin ilyen tekintetben kivétel.
Folyadékok hővezetési tényezőinek hőmérséklet függése 1- vízmentes glicerin, 2 - hangyasav, 3 - metilalkohol, 4 - etilalkohol, 5 - ricinusolaj, 6 - analin, 7 - ecetsav, 8 - aceton, 9 - butilalkohol, 10 - nitrobenzol, 11 - izopropil alkohol, 12 - benzol, 13 - toluol, 14 - xilol, 15 - vazelinolaj, 16 - víz (a mérték jobbra)
4
Építő és hőszigetelő anyagok hővezetési tényezői:
λ = 0,02 … 3,0 W/(m·K); λ < 0,2 W/(m·K) esetén: hőszigetelők; a hőmérséklet emelkedésével λ értéke növekszik; nagy sűrűségű anyagok hővezetési tényezői rendszerint nagyobbak; λ függ az anyag szerkezetétől, porozitásától és nedvességétől; pl. λszáraz tégla = 0,35, λvíz = 0,58, λnedves tégla = 1,0 W/(m·K).
Szigetelő és tűzállóanyagok hővezetési tényezőinek hőmérséklet függése 1 - levegő, 2 - üveggyapot (ρ=160 kg/m3), 3 - salakgyapot (ρ=200 kg/m3), 4 - préselt salakgyapot (ρ=340 kg/m3), 5 - szovelit (ρ=440 kg/m3), 6 - diatomit tégla (ρ=550 kg/m3), 7 - vörös tégla (ρ=1672 kg/m3), 8 - salakbeton tégla (ρ=1373 kg/m3), 9 - samott tégla (ρ=1840 kg/m3)
5
Fémek hővezetési tényezői:
λ = 2 … 420 W/(m·K); λezüst = 419, λvörösréz = 395, λarany = 303, λalumínium = 209 W/(m·K); a hőmérséklet emelkedésével λ értéke általában csökken; tiszta fémeknél a hővezető képesség és az elektromos vezetőképesség arányos egymással (Wiedemann-Frantz törvény); A szennyezés erősen csökkenti a λ értékét, de nincs általános érvényű törvényszerűség; pl. λtiszta vörösréz = 395, de λvörösréz, arzénnyomokkal =142 W/(m·K); pl. λvas, 0,1% C = 52, λvas, 1% C =40, és λvas, 1,5% C =36 W/(m·K); edzett szénacél esetén a hővezetés tényezője 10-25%-kal kisebb, mint lágyacél esetén.
Fémek hővezetési tényezőinek hőmérséklet függése
6
Sík fal hővezetése Homogén fal
Homogén sík fal
dt dx ϕ dt = − dx λ
ϕ = −λ
Integrálás után:
t=−
ϕ x+C λ
Határfeltételek: ha x = 0, akkor t = t1, amiből
C = t1 Ha x = δ, akkor t = t2, ennek alapján:
ϕ λ
t2 = − δ + t1
7
A fentiek alapján:
ϕ=
λ (t1 − t 2 ) = λ Δt δ δ
A sík falon átáramló hőmennyiség:
Q = ϕ ⋅ A ⋅τ =
λ ⋅ Δt ⋅ A ⋅ τ δ
Többrétegű fal
Réteges sík fal Állandósult állapot esetén
ϕ=
λ1 ⋅ (t1 − t2 ) δ1
ϕ=
λ2 ⋅ (t 2 − t 3 ) δ2
ϕ=
λ3 ⋅ (t 3 − t 4 ) δ3 8
Ezekből:
t1 − t 2 = ϕ ⋅
δ1 λ1
t 2 − t3 = ϕ ⋅
δ2 λ2
t3 − t 4 = ϕ ⋅
δ3 λ3
Az egyenletrendszer bal oldalait és jobb oldalait összeadva:
⎛δ δ ⎞ δ t1 − t 4 = ϕ ⎜⎜ 1 + 2 + 3 ⎟⎟ ⋅ ⎝ λ1 λ 2 λ3 ⎠ A hőáramsűrűség tehát:
ϕ=
t1 − t 4
δ1 δ 2 δ 3 + + λ1 λ 2 λ3
n rétegre általánosan:
ϕ=
t1 − t n +1
δi ∑ λ i =1 i n
⎡W ⎤ ⎢⎣ m 2 ⎥⎦
9
Hengeres fal hővezetése Homogén fal
Homogén hengeres fal A Fourier törvényből:
dt dt Q& = −λ ⋅ A ⋅ = −λ. ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ l ⋅ dr dr
[W ]
A változók szétválasztásával:
Q& dr dt = − ⋅ 2 ⋅π ⋅ λ ⋅ l r Ez utóbbi egyenletet integrálva:
Q& t=− ⋅ ln r + C 2 ⋅π ⋅ λ ⋅ l 10
Peremfeltételek (r = r1 esetén t = t1 és r = r2 esetén t = t2):
Q& t1 = − ⋅ ln r1 + C 2 ⋅π ⋅ λ ⋅ l Q& t2 = − ⋅ ln r2 + C 2 ⋅π ⋅ λ ⋅ l A fenti egyenleteket egymásból kivonva:
r Q& Q& t1 − t 2 = ⋅ (ln r2 − ln r1 ) = ⋅ ln 2 2 ⋅π ⋅ λ ⋅l 2 ⋅π ⋅ λ ⋅ l r1 Ebből az ismeretlen Q értéke meghatározható:
2 ⋅π ⋅ λ ⋅ l 2 ⋅π ⋅ λ ⋅ l ⋅ (t1 − t 2 ) = ⋅ (t1 − t 2 ) Q& = d2 r2 ln ln d1 r1
[W ]
A hőmérsékleti görbe egyenlete:
t x = t1 −
d t1 − t 2 ⋅ ln x d d1 ln 2 d1
[ C] o
Hőáramsűrűség (fajlagos hosszra, ill. felületre):
Q& 2 ⋅ π ⋅ λ ⋅ Δt = ϕl = d l ln 2 d1
⎡W ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦
11
Q& 2 ⋅ λ ⋅ Δt = ϕ1 = d π ⋅ d1 ⋅ l d1 ⋅ ln 2 d1
⎡W ⎤ ⎢⎣ m2 ⎥⎦
Réteges fal
Réteges hengeres fal Állandósult állapot esetén az a hőáram, amely az egyes rétegeken áthalad, ugyanakkora és állandó:
⎫ 2 ⋅ π ⋅ (t1 − t 2 ) ⎪ ⎪ ϕl = d2 ⎪ 1 ⋅ ln λ1 d1 ⎪ ⎪ ( ) 2 ⋅ π ⋅ t 2 − t3 ⎪ ϕl = ⎬ d3 ⎪ 1 ⋅ ln λ2 d2 ⎪ ⎪ 2 ⋅ π ⋅ (t 3 − t 4 )⎪ ϕl = d ⎪ 1 ⋅ ln 4 ⎪ λ3 d3 ⎭ 12
Az egyes rétegek hőmérséklet változása:
ϕl 2π ϕ t 2 − t3 = l 2π ϕ t3 − t 4 = l 2π
t1 − t2 =
⋅ ⋅ ⋅
1
λ1 1
λ2 1
λ3
d2 ⎫ ⎪ d1 ⎪ d ⎪ ⋅ ln 3 ⎬ d2 ⎪ d4 ⎪ ⋅ ln ⎪ d3 ⎭
⋅ ln
Összeadva:
t1 − t 4 =
ϕl 2π
⎛1 d d d 1 1 ⋅ ⎜⎜ ⋅ ln 2 + ⋅ ln 3 + ⋅ ln 4 d1 λ 2 d 2 λ3 d3 ⎝ λ1
⎞ ⎟⎟ ⎠
Innen a ϕ1 (egységnyi hosszra vonatkozó) hőáram:
ϕl =
2 ⋅ π ⋅ (t1 − t 4 ) d d d 1 1 1 ⋅ ln 2 + ⋅ ln 3 + ⋅ ln 4 d 1 λ2 d 2 λ3 d3 λ1
⎡W ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦
n rétegű falra, általánosan:
ϕl =
2 ⋅ π ⋅ (t1 − t n+1 ) n
1
∑ λ i 1 i =
⋅ ln
d i +1 di
⎡W ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦
13
