Velká fernetová věta Motto Velká Fermatova věta vznikla z tvrzení, které slavný matematik Pierre de Fermat poznamenal na okraji svého exempláře Diofantovy Aritmetiky: „Je nemožné napsat třetí mocninu jako součet dvou třetích mocnin, nebo čtvrtou mocninu jako součet dvou čtvrtých mocnin, či, obecně, žádné číslo, které samo je mocninou větší než druhou, nelze napsat jako součet dvou stejných mocnin. Mám skutečně nádherný důkaz tohoto tvrzení, avšak tento okraj je příliš úzký na to, abych jej zde uvedl.“
Trvalo staletí, než se podařilo Andrewu Wilesovi nalézt důkaz tohoto tvrzení. Během této dlouhé doby se stala Fermatova věta slavnou a pronikla i do podvědomí lidí, kteří se jinak o matematiku vůbec nestarají. Naproti tomu je Velká věta fernetová zcela neznámá a já sám jsem o její existenci neměl donedávna vůbec tušení, než jsem jednou kolem druhé hodiny ranní vyslechl na společenském večírku jakéhosi vědeckého kongresu vyprávění jednoho pedagoga, jehož obsah zde velmi volně interpretuji. Podplukovník Vomáčka, vyučující matematiky na vysoké škole pozemního vojska v X, začal svoji přednášku z úvodu do teorie nekonečných řad. Vomáčka měl tuto lekci ze základního kurzu matematiky rád a řádně si ji užíval. „Jaký výsledek dostaneme, když zkusíme sečítat nekonečně mnoho kladných čísel?“ Započal obvyklou otázkou. Studenti trochu váhali, ale posléze se dobrali odpovědi, že sčítat do nekonečna nedává smysl a, i kdyby to někdo zkusil, musí dojít k nekonečně velkému výsledku. Ukázat, že tomu tak vždycky není, bylo cílem první části pedagogovy přednášky. K objasnění, že součet nekonečně mnoha čísel může nabývat konečné hodnoty, která má reálný význam,
176
nedaleko nekonecna_blok_imprimatur.indd 176
nedaleko nekonečna
20.3.2016 10:35:24
používal příkladu z populární knihy maďarské matematičky Roszy Peterové „Hra s nekonečnem.“ „Představte si, že se v jednu dobu prodávala v obchodech čokoláda, která měla v sobě přibalený reklamní leták a za deset těchto letáků jste dostali jednu novou čokoládu. Pokud si nyní řekneme, že cena čokolády je jedna, vzniká otázka, jakou cenu má čokoláda s přibaleným letákem. Vzhledem k tomu, že za deset letáků dostaneme novou čokoládu, napadne nás hned, že leták má cenu jedné desetiny čokolády, a tak výsledek bude 1 1⁄10. Věc má však háček, k jedné desetině čokolády patří i jedna setina letáku, vyplývá to z prosté úměry. Když takhle pokračujeme dále a dále, dojdeme k nekonečnému součtu 1+ 1⁄10 + 1⁄100 + 1⁄1000 + … Jak ale určíme jeho skutečnou hodnotu? Je to velmi prosté! Shromáždíme devět příbalových letáků a zajdeme do cukrárny, kde poprosíme o jednu novou čokoládu. Rozbalíme ji, vybereme leták a dáme prodavači všech deset letáků. Tím jsme zaplatili a zároveň vidíme, že za devět letáků jsme dostali čistou tabulku čokolády. To znamená, že leták má cenu jedné devítiny tabulky, tudíž čokoláda s obalem má cenu 1 1⁄9. Tím jsme přesvědčivě ukázali, že nekonečně mnoho čísel lze sčítat s konečným výsledkem.“ Po chvilce na vydechnutí Vomáčka pokračoval: „Otázka však zní, jaké jsou podmínky, aby vyšel konečný součet? Na první pohled vidíme, že sčítaná čísla musí klesat k nule, jinak to prostě nejde. Stačí však tato nutná podmínka?“ A zde Vomáčka jako zkušený pedagog věděl, že musí přijít odlehčení. „Pomohu vám jednoduchou otázkou. Co se stane, když někdo vypije velkého ferneta, pak si dá polovičního ferneta, pokračuje třetinovým, a tak dále?“ Studenti byli na rozpacích a rozzářený Vomáčka zahlaholil: „Upije se k smrti. A to proto, že součet řady čísel 1 + 1⁄2 + 1⁄3 + 1⁄4 + …, říká se mu v matematice harmonická řada, roste nade všechny meze, je nekonečný. To je obsahem takzvané Velké fernetové věty. Vidíte, že i když se sčítaná čísla blíží k nule, výsledek může být nekonečný.“ království matematiky
nedaleko nekonecna_blok_imprimatur.indd 177
177
20.3.2016 10:35:24
V řadách posluchačů náhle vznikl šum následovaný smíchem. „Co je“, otázal se pedagog. „Je to až tak veselé?“ Jeden z posluchačů pohotově odpověděl: „Ale přišli jsme na novou větu, pane profesore.“ „Tak sem s ní.“ „Co se stane, když si dáte malého ferneta, pak polovinu malého ferneta, třetinu, a tak dál? Upijete se k smrti, protože i poloviční součet, to znamená 1⁄2 + 1⁄4 + 1⁄6 + … , je nekonečný. To je obsahem Malé fernetové věty.“ Hodina matematiky se pomalu blížila ke konci a profesor Vomáčka cítil, že se dotknul hlubší pravdy, než je součet harmonické řady, ba dokonce i než samotné Velké Fermatovy věty, napodobeniny jejíhož názvu ve své přednášce ze žertu použil. „Můžete začít sebemenším množstvím, když budete dostatečně dlouho pokračovat, dostane vás to.“
178
nedaleko nekonecna_blok_imprimatur.indd 178
nedaleko nekonečna
20.3.2016 10:35:24
Nepravděpodobnost Zase jsem se s chlapama pohádal. Můžu já za to, že na jejich geniální rozpisy nevěřím? „To byste pánové napřed museli něco vědět vo pravděpodobnosti, a pak byste viděli, že nemáte nárok.“ Ale kdepak, to je, jako by hučel do hluchýho. „Podívej se tady, Franta to má všechno v sešitku. A teď dokonce říkal náš mladej, že na internetu je sázkovej program. Stačí jenom zadat částku, a už to jede; nemůžeš prohrát. Jenom je potřeba se ze začátku nebát!“ Tak to už na mě bylo moc. Zaplatil jsem, sedl na kolo a jel zkratkou domů. Cestou jsem si zavzpomínal. Jo, to bejvaly časy, na škole. Pan profesor Komůrka vydal pětadvacet otázek, pak před adeptem roztáhnul kartičky a dal mu vybrat. Šel jsem tenkrát s kamarádem Petrem na zkoušku z optimalizace. Předem jsme pečlivě vypracovali pomocné texty, ale protože jsme byli sportovního ducha, dali jsme examinátorovi šanci. V našich tahácích chyběla otázka číslo třináct. Vidím se, jak ji vytahuji. Následuje půlhodina přípravy a pak trapné minuty u zkoušky. Dynamika rektifikační kolony je věda, ta se nedá jen tak ošidit. Hned na pondělek si domlouvám náhradní termín. Tentokrát mám otázku třináct mimořádně dobře připravenou. Je přece jasné, že mi ji pan profesor dá. K mému úžasu opět vytahuje kartičky a nechává mě losovat. Třináctka je tu znova! Teď je zkouška za jedna. Jaká je to vlastně pravděpodobnost, že dvakrát vytáhnu to samé číslo z pětadvaceti? Vzpomínám honem na středoškolskou poučku: „Pravděpodobnost se rovná poměru všech případů příznivých danému jevu ku počtu všech případů možných.“ Tak to je v mém případě 1⁄625 neboli 0,0016. Tak hrozně malé číslo. Náraz a tupá bolest mě probudí ze snění. Zaslechnu, jak z auta vylézají dva lidi a jeden říká: „To snad není možný. království matematiky
nedaleko nekonecna_blok_imprimatur.indd 179
179
20.3.2016 10:35:24
Co tady dělal? Dyť tady vůbec nikdo nejezdí.“ Pak jsem se odebral tam, kde už je všechno jisté.
✣
Pravděpodobností se začali matematici zabývat v souvislosti s problémy odhadu šancí při hazardních hrách. Už v roce 1685 vzniklo první souvislé pojednání o této disciplíně, Ars conjectandi z pera Jakoba Bernoulliho. Autor rozebírá takové pojmy jako „jistota, pravděpodobnost, nutnost a nahodilost věcí“. Bernoulli tak objasňuje, že „pravděpodobnost je stupněm jistoty a odlišuje se od této jako část od celku“. V Ars conjectandi je rovněž dokázáno, že při opakování pokusů, například vrhů kostkou, se pravděpodobnost nastání jevu stále více blíží jeho četnosti v řadě pokusů. Tak získali přírodovědci experimentální metodu, jak pravděpodobnost určit. V jednoduchých případech ji můžeme odhadnout. Například při hodu nefalšovanou kostkou je pravděpodobnost, že padne určité číslo, rovna jedné šestině. Představme si však třeba kostku falšovanou tak, že na straně s dvojkou umístíme do vyvrtané dutinky malé olůvko. Je jasné, že nyní bude při házení nejčastěji padat strana protilehlá dvojce, tedy pětka. Spočítat pravděpodobnost však už není vůbec snadné. Bernoulli nám dává návod: „Házejte dostatečně dlouho kostkou a podělte počet případů, kdy padla pětka, počtem všech hodů. Tak dostanete přibližnou hodnotu pravděpodobnosti padnutí pětky.“ Tradiční teorii pravděpodobnosti lze tak nejlépe vyjádřit v povídce uvedenou definicí: „Pravděpodobnost se rovná poměru všech případů příznivých danému jevu ku počtu všech případů možných.“ V tomto klasickém pojetí se dále praví, že „dva jevy se nazývají neslučitelné, pokud nemohou nastat současně, a že pravděpodobnost součtu dvou neslučitelných jevů je dána součtem jejich pravděpodobností“. Takovéto de-
180
nedaleko nekonecna_blok_imprimatur.indd 180
nedaleko nekonečna
20.3.2016 10:35:24
finice mohou vést ke komickým závěrům. Richard von Mises* uvádí následující paradox: Některý tenista může jet na turnaj buď do Berlína, nebo do New Yorku – turnaje se zde konají současně. Pravděpodobnost toho, že se umístí na prvním místě v Berlíně, je 0,8 (pojede-li ovšem tam), a že se umístí na prvním místě v New Yorku, je 0,7. Jaká je pravděpodobnost, že se umístí na prvním místě v kterémkoliv turnaji? Podle výše zmíněných definicí jsou jevy „výhra v Berlíně“ a „výhra v New Yorku“ navzájem neslučitelné, proto je hledaná pravděpodobnost rovna 0,8 + 0,7 = 1,5. Pravděpodobnost je tedy vyšší než jistota! Moderní teorie pravděpodobnosti se samozřejmě dokázala s podobnými paradoxy vypořádat. Je třeba dále říci, že teorie pravděpodobnosti se příliš určováním možnosti nastání jednotlivých jevů nezabývá. Předpokládá prostě, že jsou nějakým způsobem dané, a dále obecně zkoumá vlastnosti souborů jevů podle několika axiomů. Netřeba snad ani dodávat, že nekonečný počet jevů není v této teorii na závadu. Pravděpodobnost, a obzvláště její rodná sestra statistika, bývá jak ve vědě, tak i v běžném životě hojně využívána a ještě častěji zneužívána. Všichni známe kouzelná slůvka průměrná délka života, průměrný plat, průměrný počet pohlavních styků za rok atd. Na druhé straně je třeba uznat, že statistické metody významně přispívají k vyhodnocování experimentů v exaktních vědách a představují i cenné pracovní nástroje pro ekonomii, sociologii a podobné obory. Pravděpodobnost pak už pevně zakotvila přímo v jádru některých fyzikálních teorií, jako příklad můžeme uvést kinetickou teorii plynů nebo kvantovou mechaniku. Příspěvek teorie pravděpodobnosti k modelování povahy hazardních her je neoddiskutovatelný. O to smutnější je fakt, že tvůrci všelijakých „zázračných“ herních systémů, pracujících většinou na principu letadla, nacházejí tak velký a nekritický ohlas mezi lidmi. * R. von Mises, Wahrscheinlichkeit, Statistik und Wahrheit, Julius Springer, Wien 1928.
království matematiky
nedaleko nekonecna_blok_imprimatur.indd 181
181
20.3.2016 10:35:24
O pravděpodobnosti můžeme říci, že je dobrý sluha, avšak zlý pán. Při jejím použití bychom stále měli mít na mysli, zda nebyly porušeny základní předpoklady jejího použití. Špatně provedený statistický průzkum nebo nedbalý experiment nejdou dohnat žádnými výpočty; platí zde to samé, co pro všechna počítačová zpracování dat: Nesmysl dovnitř, nesmysl ven. V této souvislosti se naskýtá zajímavý problém: určení pravděpodobnosti, že v nějakém konkrétním případě je teorie pravděpodobnosti použita nevhodně.
182
nedaleko nekonecna_blok_imprimatur.indd 182
nedaleko nekonečna
20.3.2016 10:35:24
