BAB 22
TRANSFORMASI GEOMETRI
Suatu transformasi bidang adalah suatu pemetaan dari bidang Kartesius ke bidang yang lain atau T : R
2
R
2
(x,y)
( x' , y')
Jenis-jenis transformasi antara lain : Transformasi Isometri yaitu transformasi yang tidak mengubah jarak Translasi ( Pergeseran) , Rotasi ( Pemutaran ) , Refleksi ( Pencerminan ). Dilatasi ( Perbesaran) , Stretch ( Regangan ) , Shear ( Gusuran / kecondongan )
1. TRANSLASI ( PERGESERAN) Translasi atau pergeseran adalah transformasi yang memindahkan titik-titik dengan jarak dan arah tertentu. Jarak dan arah ditunjukkan oleh vektor translasi. Vektor translasi dpt ditunjukkan oleh bil. berurutan yang ditulis dlm bentuk matriks kolom Suatu translasi T dengan vektor translasi
a b
a b
.
. Mentransformasikan titik P ke P' secara pemetaan
dapat dituliskan : a
T=
b
: P(x,y)
P' (x + a , y + b)
Jika P'(x' ,y') , secara aljabar dapat dituliskan dengan hubungan : x' = x + a y' = y + b Titik P' disebut bayangan titik P oleh translasi T =
a b
.
Contoh : Tentukan bayangan PQR dengan P(1,1) , Q(2,4) dan R(-1,3) bila dilakukan translasi oleh P(1,1) Q(2,4) R(-1,3)
2 3
.
P' ( 1+2 , 1+3) atau P' (3,4) Q' (2+2 , 4+3) atau Q' (4,7) R' (-1+2 , 3+3) atau R' (1,6)
2. REFLEKSI Refleksi atau pencerminan adalah transformasi yang memindahkan titik-titik dengan menggunakan sifat bayangan oleh suatu cermin yaitu : 1) Garis yang menghubungkan setiap titik dengan bayangannya tegak lurus dengan cermin (sumbu pencerminan) 2) Jarak antara setiap titik dan cermin sama dengan jarak bayangan ke cermin 3) Bangun dan bayangannya adalah kongruen
Pencerminan dilambangkan dengan M a dengan a adalah cermin (sumbu simetri) Beberapa pencerminan yang telah dipelajari antara lain : a. Pencerminan terhadap garis y = x A(x,y) b. Pencerminan terhadap garis y = - x c. Pencerminan terhadap sumbu X d. Pencerminan terhadap sumbu Y e. Pencerminan terhadap garis yang sejajar sumbu Pencerminan terhadap garis y = mx adalah suatu pemetaan T :R
2
R
y=mx A'(x',y')
2
X
0 Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
160
( x, y )
( x ', y ')
dimana x'
1 1
m
2
m
2
2m
y' 1
m
2m
x x
2
1
m
2
1
m
2
1
m
2
y y
Dari difinisi diatas dapat dilihat hal-hal khusus yaitu apabila m=0 ; m = -1 dan m = . a. Jika m = 0, maka pencerminan diatas merupakan pencerminan terhadap sumbu X. akibatnya persamaan pencerminan menjadi : x' = x dan y' = -y Jadi pencerminan terhadap sumbu X adalah pemetaan T : (x,y) ( x , -y ) Matriks Refleksinya
1
0
0
1
b. Jika m , maka pencerminan diatas merupakan pencerminan terhadap sumbu Y. yang mengakibatkan persamaan pencerminan menjadi ; x' = -x dan y' = y Pencerminan terhadap sumbu Y adalah pemetaan T : ( x , y ) ( x , y ) Matriks Refleksinya
1
0
0
1
c. Jika m=1 , maka pencerminan diatas merupakan pencerminan terhadap garis y = x yang mengakibatkan persamaan pencerminan menjadi ; x' = y dan y' = x Pencerminan terhadap garis y = x adalah pemetaan T : ( x , y ) ( y , x ) Matriks Refleksinya
0
1
1
0
d. Jika m=-1, maka pencerminan diatas merupakan pencerminan terhadap garis y = -x . yang mengakibatkan persamaan pencerminan menjadi ; x' = - y dan y' = -x Pencerminan terhadap garis y = x adalah pemetaan T : ( x , y ) ( y , x ) Matriks Refleksinya
0 1
1 0
e. Pencerminan terhadap garis y = k x' = 2k – x dan y' = y f. Pencerminan terhadap garis y = k x' = x dan y' = 2k - y g. Pencerminan terhadap titik (a,b) x' = 2a – x dan y' = 2b – y
Contoh : x Tentukan bayangan lingkaran x 2 y 2 4 x 6 y 10 jika dicerminkan terhadap garis y x adalah x ' Persamaan dari pencerminan terhadap garis y y dan y ' x Dari persamaan tersebut maka x = y' dan y = - x', kemudian substitusikan ke persamaan lingkaran akan didapat : 2 2 2 2 ( y ') ( x ') 4( y ') 6( x ') 10 atau ( x ') ( y ') 6 x ' 4 y ' 10
dengan membuang "aksen" diperoeh bentuk x 2 lingkaran.
y
2
6x
4y
10 yang merupakan bayangan
3. ROTASI Suatu transformasi yang memindahkan titik-titik dengan cara memutar titik-titik sejauh dengan pusat titik P. Jika positip maka arah putaran berlawanan arah putaran jarum jam dan jika negatip akan searah dengan arah putaran jarum jam. disebut dengan sudut rotasi dan P disebut pusat rotasi dan suatu rotasi dengan pusat P dan sudut rotasi ditulis R (P, ) 2
T :R ( x, y )
dimana
(x',y')
(x,y)
2
R ( x ', y ') x'
x cos
P y sin
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
161
y'
x sin
y cos
Jika R(P, ) : ( x , y ) Terdapat hubungan :
( x ', y ') dengan P(a,b)
x'
(x
a ) cos
(y
b ) sin
a
y'
(x
a ) sin
(y
b ) cos
b
Matriks yang bersesuaian dengan rotasi :
Rotasi R900
R
Matriks 0
R (0, 9 0 )
0
90
0
R180 0
R (0, 9 0 )
x'
0
y'
1
x'
1
0
y'
1
x'
1
x
0
y
1
x
0
y
0
R (0,180 )
R (0, )
0
x
y'
0
1
y
x'
cos
sin
x
y'
sin
cos
y
Contoh : Tentukan bayangan dari titik A(2,4) , B(-3, 5) dan C(0, -3) jika dirotasi dengan : a. seperampat putaran b. setengah putaran 0 a. Rotasi seperempat putaran berarti 90 maka 0 0 x ' x cos 90 y sin 90 atau x' = -y 0
0
y' = x Jadi rotasi seperempat putaran adalah T : ( x , y ) Maka A'(-4,2) , B'(5,-3) dan C'(3,0) 0 b. Rotasi setengah putaran berarti 180 maka 0 0 x ' x cos180 y sin 180 atau x' = - x y'
x sin 90
y cos 90
0
0
y' = - y Jadi rotasi setengah putaran adalah T : ( x , y ) Maka A'(-2,-4) , B'(3,-5) dan C'(0,3) y'
x sin 180
y cos180
( y, x)
( x, y )
Contoh : Tentukan peta dari garis y = -x + 2 jika dirotasi seperempat putaran. Persamaan rotasi seperempat putaran x' = -y dan y' = x Maka dari persamaan didapat x = y' dan y = -x' yang selanjutnya disubstitusikan pada persamaan y' = -x' +2 atau –x' = -y' + 2 dengan menghilangkan tanda " aksen" diperoleh -x = -y + 2 atau y = x + 2 yang merupakan peta dari garis y = -x + 2
4. DILATASI Adalah suatu transformasi yang mengubah jarak titik-titik dengan faktor skala (pengali) tertentu dipusat dilatasi tertentu. Dilatasi suatu bangun akan mengubah ukuran tanpa mengubah bentuk bangun tersebut. Y A’ Transformasi Dilatasi dengan faktor saa sebesar k adalah suatu pemetaan yang didefinisikan sbb: 2
T :R ( x, y )
R
2
A
B ’
( kx , ky ) dimana k real.
Suatu dilatasi dengan faktor skala k dan pusat dilatasi P ditulis :
B
P, k
X
O Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
162
Jika P , k : A ( x , y ) x' = a + k (x – a ) y' = b + k (y – b )
A '( x ', y ')
dengan P(a,b) maka terdapat hubungan :
Jika dengan pusat O (0,0) terdapat hubungan : x' = kx y' = ky dengan matriks yang sesuai
k
0
0
k
Pada dilatasi faktor k akan menentukan ukuran dan letak bangun bayangannya. 1) Jika k 1 , maka bangun bayangan diperbesar dan searah terhadap pusat dan bangun semula 2) Jika 0 k 1 , maka bangun bayangan diperkecil dan searah terhadap pusat dan bangun semula 3) Jika 1 k 0 , maka bayangan diperkecil dan berlawanan arah dengan pusat dan bangun semula 1 , maka bangun bayangan diperbesar dan berlawanan arah terhadap pusat dan 4) Jika k bangun semula
Contoh : Diketahui dilatasi dengan pusat (2,1) dan faktor skala 3. Oleh dilatasi tsb tentukan bayangan dari : a. titik A(3,2) dan B9-4,3) b. garis y-2x+5=0 a.
x'
3
0
3
2
4
y'
0
3
2
1
3
2 1
2
2
5
16
1
1
4
7
Bayangan nya adalah :A' (5,4) dan B'(-16,7) b.
x'
3
0
x
2
2
y'
0
3
y
1
1
3x
6
2
3x
4
3y
3
1
3y
2
x'
3x
4
x
x
4 3
y'
3y
2
y
y
2 3
substitusi ke y –2x+5=0 didapatkan : y' 2
2.
3
x
4
3 2x ' 8
y' 2
y ' 2x ' 9
5
0
15
0
0 maka bayangannya adalah : y – 2x +9 = 0
5. TRANSFORMASI GUSURAN ( SHEAR) Transformasi gusuran adalah suatu transformasi yang menggeser suatu titik menurut arah sumbu X atau sumbu Y, jadi ada 2 macam transformasi gusuran, yaitu: 1. Transformasi gusuran arah sumbu X Matriks transformasi yang bersesuaian adalah
1
q
0
1
Matriks transformasi yang bersesuaian adalah p
1
0
p
1
=factor skala
tg
Titik A ( x, y ) ditransformasikan menjadi ( x' , y' ) dengan : x' = x + qy y' = y 2. Transformasi gusuran dengan arah sumbu Y 1
1
dengan q
dengan
A
B
A’
B’
O X
=factor skala
tg
Titik A ( x, y ) ditarnsformasikan menjadi ( x' , y' ) dengan :
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
163
x' = x y' = y + p
Contoh : Diketahui titik (2 , -3 ) . Tentukan bayangan titik itu oleh a. gusuran searah sumbu Y dengan faktor skala – 3 b. gusuran searah sumbu X dengan faktor skala 4 a. b.
x' y'
1 3
0
x
1
y
1
0
3
2
1
x'
1
4
x
1
4
y'
0
1
y
0
1
2
3
9
2
10
3
3
6. REGANGAN ( STRETCHING) Merupakan suatu transformasi yang memetakan himpunan titik pada bidang ke himpunan titik lainnya dengan cara memperbesar/memperkecil jarak titik-titik itu ke garis tertentu ( invariant ) . Perbandingan antara jarak titik peta ke garis invariant dengan jarak titik semula ke garis invariant disebut factor regangan. Arah garis yang tegak lurus dengan garis invariant disebut arah regangan. a. Regangan searah sumbu X Artinya garis searah sumbu Y ( garis invariant) dengan factor regangan k Matriks tarnsformasi yang bersesuaian
k
0
0
1
Titik A ( x, y ) ditransformasikan menjadi ( x' , y' ) dengan : x' = kx y' = y
A
A’
B
B’
b. Regangan searah sumbu Y Artinya garis searah sumbu X ( garis invariant) dengan factor regangan k Matriks tarnsformasi yang bersesuaian
1
0
0
k
Titik A ( x, y ) ditransformasikan menjadi ( x' , y' ) dengan : x' = x y' = k y
Contoh : Carilah persamaan bayangan kurva 3x + y = 9 oleh regangan 2
0
0
1
2
0
0
x
x'
y
y'
1
2
1
0
1
0
x
0
1
y
0
x
1
y
1 2
0
1
1
2 0
0
x'
1
y'
maka
0
2 0
0 1
x'
2
y'
x
1 2
y
y'
x'
diperoleh : 3x + y = 9 3(
1 2
x ')
y'
9
3 x' – 2 y' = - 18 diperoleh bayangannya adalah 3x – 2y = - 18
7. Transformasi Komposisi Dua Transformasi berturutan
, dengan
dapat dinyatakan
dengan translasi tunggal
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
164
T1
x',y'
x,y
x",y"
T3
T2
Dari diagram terlihat bahwa ada suatu transformasi lain yaitu yang dinamakan komposisi dari T1 dan T2
Jika T1 adalah translasi oleh bentuk yang merupakan translasi oleh bentuk
a
dan T 2
b
a
c
b
d
c d
maka komposisi T1 dengan T 2 adalah T3
T2 T1
a. Pencerminan berturut-turut terhadap dua sumbu yang sejajar.
A’
A
A’’ X
X=b X= a Pertama oleh sumbu x=a , dan dilanjutkan oleh sumbu sumbu x = b , maka titik A(x,y) akan ditranslasi ke A’ (2a-x,y) kemudian ke A” ( 2b-2a+x , y) Jadi A(x,y) ke A”(x”,y”) dengan : x"
x
y"
y
2( b
a) 0
Titik bergeser : 1. sejauh 2 kali jarak sumbu pertama dan sumbu kedua 2. arahnya dari sumbu pertama ke sumbu kedua. Jika cermin pertama y = c dan cermin kedua y=d maka titik A(x,y) akan pindah ke A’(x , 2c – y) kemudian ke A” ( x , 2d – 2c + y) x"
x
y"
y
0 2( d
c)
Contoh : Titik B(-2,3) dicerminkan berturut-turut terhadap sumbu Y=-4 kemudian terhadap Y = 2. Tentukan koordinat bayangannya. x" y"
2 3
x"
2
y"
15
0 2(2
( 4)
b. Pencerminan berturut-turut terhadap dua sumbu yang membentuk sudut A” S2 A ’
A(x,y) dicerminkan terhadap S1 kemudian S2 akan menghasilkan bayangan A” (x”,y”) dengan : x"
cos 2
y"
sin 2
sin 2 cos 2
x
a
a
y
b
b
A
S 1 Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
165
Jika S2 sebagai cermin pertama dan S1 sebagai cermin kedua maka : x"
co s( 2 )
y"
sin ( 2 )
sin ( 2 ) co s( 2 )
x
a
a
y
b
b
Pencerminan berturut-turut terhadap dua sumbu yang membentuk sudut sama dengan : pemutaran terhadap titik potong kedua sumbu itu sebesar 2 arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua Contoh : Ditentukan titik A(5,1) , garis k : y= 12 x +2 , garis l : = 3x – 3 Tentukan koordinat titik bayangan yang terjadi jika titik A dicermnkan berturut-turut terhadap a) garis k kemudian garis l b) garis l kemudian garis k a) garis k dan l berpotongan di P(2,3) m k 12 , m l 3 sudut antara k dan l = 1 2
tg
3 1 2
1
1 maka
45
0
.3
x"
cos 90
0
y"
sin 90
0
0
sin 90 cos 90
0
5
2
2
4
1 3
3
6
b.coba sendiri. c. Rotasi berturut-turut terhadap pusat yang sama. Titik A(x,y) diputar sebesar 1 terhadap titik P(a,b) kemudian diputar lagi sebesar terhadap pusat yang sama , maka bayangannya adalah A”(x”,y”) dengan : x"
cos(
1
2
)
y"
sin(
1
2
)
sin( cos(
1 1
2 2
)
)
x
a
a
y
b
b
2
c. Transformasi berturut-turut dengan matriks M1 dilanjutkan dengan M2, memindahkan titik A(x,y) ke titik A”(x”,y”) dengan : x"
M 2 .M 1
y"
x y
8.Perubahan Luas Bangun Karena Transformasi. Jika luas bangun semula = L, kemudian bangun itu ditransformasikan dengan matriks a
b
c
d
, maka luas bangun bayangannya = L’ = ad
bd xL
.
Berikut ini adalah soal – soal transformasi geometri yang saya ambil dari soal Ujian Nasional tahun 2000 s.d. 2007 1. Bayangan kurva y = x² – 3 jika dicerminkan terhadap sumbu x yang dilanjutkan dengan dilatasi pusat O dan factor skala 2 adalah …. a. y = ½ x² + 6 b.y = ½ x² – 6 c.y = ½ x² – 3 d.y = 6 – ½ x² e. y = ½ x² + 6 Soal Ujian Nasional tahun 2007 2. Bayangan garis 4x – y + 5 = 0 oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks
2 1
0 3
dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu y adalah …. a. 3x + 2y – 30 = 0 b. 6x + 12y – 5 = 0 c. 7x + 3y + 30 = 0 d. 11x + 2y – 30 = 0 e. 11x – 2y – 30 = 0 Soal Ujian Nasional tahun 2006 3. Persamaan peta suatu kurva oleh rotasi pusat O bersudut ½ π, dilanjutkan dilatasi [ 0,2 ] adalah x = 2 + y - y². Persamaan kurva semula adalah …. Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
166
a. y = –½ x² – x + 4 b. y = –½ x² + x – 4 c. y = –½ x² + x + 4 d. y = – 2x² + x + 1 e. y = 2x² – x – 1 Soal Ujian Nasional tahun 2005 kurikulum 2004 4. Persamaan bayangan garis 2x + 3y + 1 = 0 karena refleksi terhadap sumbu y dilanjutkan rotasi pusat O sebesar ½ π adalah …. a. 2x – 3y – 1 = 0 b. 2x + 3y – 1 = 0 c. 3x + 2y + 1 = 0 d. 3x – 2y – 1 = 0 e. 3x + 2y – 1 = 0 Soal Ujian Nasional tahun 2005 5. Bayangan garis y = 2x + 2 yang dicerminkan terhadap garis y = x adalah …. a. y = x + 1 b.y = x – 1 c.y = ½ x – 1 d.y = ½ x + 1 e.y = ½ ( x + 1 ) Soal Ujian Nasional tahun 2004 6. Jika titik ( a,b ) dicerminkan terhadap sumbu y, kemudian dilanjutkan dengan transformasi sesuai matriks
2 1
1 2
menghasilkan titik ( 1, – 8 ), maka nilai a + b = ….
a. – 3 b.– 2 c.– 1 d.1 e.2 Soal Ujian Nasional tahun 2003 7. Matriks yang bersesuaian dengan dilatasi pusat ( 0,0 ) dan factor skala 3 dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis y = x adalah …. a.
3 0
0 3
b.
3 0
0 3
c.
3 0
0 3
d.
0
3
3
0
e.
0 3
3 0
Soal Ujian Nasional tahun 2002 8. Bayangan Δ ABC, dengan A ( 2,1 ). B ( 6,1 ), C ( 5,3 ) karena refleksi terhadap sumbu y dilanjutkan rotasi ( 0,90° ) adalah …. a. A˝ ( –1,– 2 ), B˝ ( 1,6 ), C˝ ( – 3,– 5 ) b. A˝ ( –1,– 2 ), B˝ ( 1, – 6 ), C˝ ( – 3,– 5 ) c. A˝ ( 1,– 2 ), B˝ ( –1,6 ), C˝ ( – 3,5 ) d. A˝ ( –1,– 2 ), B˝ ( –1, – 6 ), C˝ ( – 3,– 5 ) e. A˝ ( –1,2 ), B˝ ( –1, – 6 ), C˝ ( – 3,– 5 ) Soal Ujian Nasional tahun 2001 9. Persamaan peta garis x – 2y + 4 = 0 yang dirotasikan dengan pusat ( 0,0 ) sejauh +90° dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y = x adalah …. a. x + 2y + 4 = 0 b. x + 2y – 4 = 0 c. 2x + y + 4 = 0 d. 2x – y – 4 = 0 e. 2x + y – 4 = 0 Soal Ujian Nasional tahun 2000
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
167
