Module 2
Veeltermen
2.1
Definitie en voorbeelden
Een veelterm met re¨ele co¨effici¨enten in ´e´en veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm
a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn met a0 , a1 , a2 , . . . , an ∈
R en n ∈ N.
De re¨ele getallen a0 , a1 , a2 , . . . , an heten de co¨effici¨enten van de veelterm. De uitdrukkingen a0 , a1 x, a2 x2 , . . . , an xn worden de termen van de veelterm genoemd en a0 wordt ook de constante term genoemd. De graad van een veelterm is de exponent van de hoogste macht van x waarvan de co¨effici¨ent verschillend is van nul.
Voorbeelden • −2x3 is een eenterm van de derde graad • 6x4 − 3x + 5 is een drieterm van de vierde graad • x9 − x2 is een tweeterm van de negende graad 12
13
2.2. GELIJKHEID VAN VEELTERMEN
2.2
Gelijkheid van veeltermen
Twee veeltermen heten gelijk als en slechts als ze dezelfde graad hebben en als de co¨effici¨enten van overeenkomstige machten van x twee aan twee gelijk zijn.
2.3
Som van veeltermen
De som van twee veeltermen is de veelterm waarvan de co¨effici¨ent bij elke macht van x gelijk is aan de som van de co¨effici¨enten bij de overeenkomstige macht van x in de oorspronkelijke veeltermen. Voorbeeld 3x4 − 2x3 + x − 1 + x4 + x2 − x + 4
= (3 + 1)x4 + (−2 + 0)x3 + (0 + 1)x2 + (1 − 1)x + (−1 + 4) = 4x4 − 2x3 + x2 + 3.
2.4
Tegengestelde veelterm
De tegengestelde veelterm van een veelterm is de veelterm die, als men hem bij de oorspronkelijke veelterm optelt, nul als resultaat oplevert. M.a.w. het is de veelterm waarvan alle co¨effici¨enten tegengesteld zijn aan de co¨effici¨enten van de oorspronkelijke veelterm. Voorbeeld De tegengestelde veelterm van de veelterm 7x3 + 5x2 − 3x + 2 is −7x3 − 5x2 + 3x − 2.
2.5
Verschil van veeltermen
Het verschil van twee veeltermen is gelijk aan de som van de eerste veelterm met de tegengestelde veelterm van de tweede veelterm. Voorbeeld 3x2 + x − 5 − 7x3 + 5x2 − 3x + 2 = 3x2 + x − 5 + −7x3 − 5x2 + 3x − 2 = −7x3 − 2x2 + 4x − 7.
14
MODULE 2. VEELTERMEN
2.6
Product van veeltermen
Het product van twee veeltermen is de veelterm die men bekomt door elke term van de eerste veelterm te vermenigvuldigen met elke term van de tweede veelterm en de bekomen termen op te tellen. Voorbeeld 3x2 + x − 5 · 7x3 − 5x2 − 3x + 2
= 3x2 · 7x3 + 3x2 · −5x2 + 3x2 · (−3x) + 3x2 · 2 + x · 7x3 + x · −5x2 + x · (−3x) + x · 2 + (−5) · 7x3 + (−5) · −5x2 + (−5) · (−3x) + (−5) · 2 = 21x5 − 15x4 − 9x3 + 6x2 + 7x4 − 5x3 − 3x2 + 2x
− 35x3 + 25x2 + 15x − 10
= 21x5 − 8x4 − 49x3 + 28x2 + 17x − 10
2.7
Macht van een veelterm
N
De n-de macht (n ∈ 0 ) van een veelterm is gelijk aan het product van n factoren die elk gelijk zijn aan de oorspronkelijke veelterm. Voorbeeld 3 5x3 − 2x − 1 = 5x3 − 2x − 1 · 5x3 − 2x − 1 · 5x3 − 2x − 1 = 25x6 − 20x4 − 10x3 + 4x2 + 4x + 1 · 5x3 − 2x − 1
= 125x9 − 150x7 − 75x6 + 60x5 + 60x4 + 7x3 − 12x2 − 6x − 1
2.8
Eigenschappen
Rekening houdend met de hierboven gegeven definities van som, verschil en product van veeltermen kan men voor deze bewerkingen op veeltermen analoge eigenschappen aantonen als voor de overeenkomstige bewerkingen op re¨ele getallen. Meer in het bijzonder gelden de volgende eigenschappen: 1. De optelling van veeltermen is associatief. 2. De optelling van veeltermen is commutatief. 3. De aftrekking van veeltermen is niet associatief. 4. De aftrekking van veeltermen is niet commutatief. 5. De vermenigvuldiging van veeltermen is associatief.
15
2.9. MERKWAARDIGE PRODUCTEN 6. De vermenigvuldiging van veeltermen is commutatief.
7. De vermenigvuldiging van veeltermen is zowel links- als rechtsdistributief ten opzichte van de optelling van veeltermen. 8. De vermenigvuldiging van veeltermen is zowel links- als rechtsdistributief ten opzichte van het verschil van veeltermen.
2.9
Merkwaardige producten
Zijn nu A en B re¨ele getallen of veeltermen, dan gelden, rekening houdend met de hierboven vermelde definities en eigenschappen, de volgende formules die we merkwaardige producten noemen. Deze formules zijn niet alleen handig om sneller het product van bepaalde veeltermen te berekenen maar ook en vooral om veeltermen te ontbinden in factoren (zie later §2.12).
(A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 2
(A − B) = A2 − 2AB + B 2
(A + B)(A − B) = A2 − B 2
(A + B)3 = A3 + 3A2 B + 3AB 2 + B 3
(A + B)(A2 − AB + B 2 ) = A3 + B 3
(A − B)3 = A3 − 3A2 B + 3AB 2 − B 3
(A − B)(A2 + AB + B 2 ) = A3 − B 3
Opgelet! Kwadraat van een som (verschil) 6= som (verschil) van kwadraten. Derdemacht van een som (verschil) 6= som (verschil) van derdemachten. Voorbeelden • (2x − 5y)2 = (2x)2 − 2(2x)(5y) + (5y)2 = 4x2 − 20xy + 25y 2 • (2x + 1)3 = (2x)3 + 3(2x)2 (1) + 3(2x)(1)2 + 13 = 8x3 + 12x2 + 6x + 1 • 2x + 3y 2
2x − 3y 2 = (2x)2 − (3y)2 = 4x2 − 9y 4
• (−x − 5)2 = (−x)2 − 2(−x)(5) + 52 = x2 + 10x + 25 3 3 2 • x2 − 2y = x2 − 3 x2 (2y) + 3(x2 )(2y)2 − (2y)3 = x6 − 6x4 y + 12x2 y 2 − 8y 3 • (x − 1 − y) (x − 1 + y) = (x − 1) − y (x − 1) + y = (x − 1)2 − y 2 = x2 − 2x + 1 − y 2
16
MODULE 2. VEELTERMEN
2.10
Quoti¨ ent van veeltermen
Stelling Zijn T (x) en N (x) twee veeltermen in x, met N (x) verschillend van de nulveelterm, dan bestaan er steeds een veelterm Q(x) en een veelterm R(x) waarvoor geldt dat T (x) = Q(x) · N (x) + R(x) en waarbij ofwel R(x) de nulveelterm is ofwel graad R(x) < graad N (x).
Anders genoteerd geeft bovenstaande vergelijking: T (x) R(x) = Q(x) + N (x) N (x) Dit heet de Euclidische deling van T (x) door N (x). Hierbij heet T (x) het deeltal, N (x) de deler, Q(x) het quoti¨ent en R(x) de rest. Als R(x) gelijk is aan de nulveelterm dan zeggen we dat de deling opgaat of nog dat T (x) deelbaar is door N (x). In dit geval hebben we dan T (x) = Q(x). N (x) Om bij gegeven T (x) en gegeven N (x) het quoti¨ent Q(x) en de rest R(x) te berekenen gaan we te werk zoals bij een staartdeling van natuurlijke getallen. Voorbeeld x5 −x5 +x4 x4 −x4
−3x3 −2x3 −5x3 +x3 −4x3 4x3
+2x2 −x +1 +2x2 −x +1 −2x2 −x +1 2 −4x +8x −4x2 +7x +1 4x2 −4x +8 3x +9 = R(x)
x2 −x +2 x3 +x2 −4x −4 = Q(x)
Bijgevolg, 3x + 9 x5 − 3x3 + 2x2 − x + 1 = x3 + x2 − 4x − 4 + 2 . 2 x −x+2 x −x+2
2.11. REGEL VAN HORNER
2.11
17
Regel van Horner
De Regel van Horner is een verkorte werkwijze van de Euclidische staartdeling waarbij de deler van de vorm x − a is. We beschouwen het volgende voorbeeld met T (x) = 2x3 − 5x2 + x + 3 en N (x) = x − 2. Het vinden van Q(x) en R(x) kan gebeuren a.h.v. het volgende schema: 2 −5 1 3 2 ↓ 4 −2 −2 2 −1 −1
1
De algemene stappen om zo’n schema op te stellen zijn: 1. Plaats in de eerste rij, rechts van de verticale streep, de co¨effici¨enten van de te delen veelterm T (x) volgens dalende machten van x (eventueel met de nodige nulco¨effici¨enten indien bepaalde machten van x niet aanwezig zijn). In dit voorbeeld is dat de rij (2, −5, 1, 3). 2. Plaats op de tweede rij, links van de verticale streep, de waarde a uit de deler N (x) = x−a. In dit voorbeeld is dat 2. 3. Haal de eerste co¨effici¨ent op de eerste rij naar beneden en plaats deze op de derde rij onder de horizontale streep (en onmiddellijk rechts van de verticale streep). We zijn nu klaar om de procedure te starten! 4. Schuif ´e´en kolom naar rechts op en plaats hier op de tweede rij het product van het getal op de derde rij van de kolom ervoor en het nulpunt (uiterst links op de tweede rij). 5. Nu plaats je op de derde rij de som van de twee waarden in dezelfde kolom boven de horizontale streep. 6. Herhaal stappen 4 en 5 tot alle kolommen rechts van de verticale streep ingevuld zijn. De laatst ingevulde waarde uiterst rechts onder de horizontale streep is niets anders dan de rest R(x) bij deling door x − a. In het voorbeeld krijgen we R(x) = 1. 7. Onder de horizontale streep vind je nu, de waarde uiterst rechts niet meegerekend, de lijst met co¨effici¨enten van de quoti¨entveelterm Q(x) volgens dalende machten van x. In ons voorbeeld is dat Q(x) = 2x2 − x − 1. Controleer nu zelf dat 2x3 − 5x2 + x + 3 = (x − 2)(2x2 − x − 1) + 1 door het rechterlid uit te werken.
18
MODULE 2. VEELTERMEN
Opmerking De regel van Horner laat ook toe de waarde T (a) op een handige wijze te berekenen. Deze waarde is niets anders dan het getal uiterst rechts onder de horizontale streep in het schema van Horner. De reden is dat T (a) gelijk is aan de constante rest bij Euclidische deling van T (x) door x − a: T (x) = (x − a)Q(x) + R(x)
⇒ T (a) = (a − a)Q(a) + R(a) = 0 · Q(a) + R(a) = R(a)
Omdat bij deling door x − a de restveelterm R(x) steeds een constante veelterm is (immers, graad R(x) < graad (x − a) = 1), geldt R(x) = R(a) = T (a).
Voorbeeld Bereken V (−6) als V (x) = 2x4 + 3x3 − x − 5. We stellen daartoe het schema van Horner op (let op de nulco¨effici¨ent): 2 3 0 −1 −6 ↓ −12 54 −324 2
−9 54 −325
−5 1950 1945
We vinden dus V (−6) = 1945 en ook 2x4 + 3x3 − x − 5 = (x + 6)(2x3 − 9x2 + 54x − 325) + 1945.
2.12
Ontbinden in factoren
Een veelterm is ontbonden in factoren als en slechts als hij geschreven is als het product van veeltermen die alle een lagere graad hebben dan de oorspronkelijke veelterm. Een veelterm is volledig ontbonden in factoren als en slechts als hij ontbonden is in factoren die zelf niet verder kunnen ontbonden worden. Die factoren zijn dan veeltermen van de 1ste of de 2de graad (volgens een belangrijke stelling uit de Algebra). Voorbeelden • x4 − 2x3 + x2 − 2x = x x3 − 2x2 + x − 2 = x (x − 2) x2 + 1 (in twee stappen) • 2x2 − x − 6 = 2 x + 32 (x − 2) = (2x + 3) (x − 2) (laatste schrijfwijze zonder breuken)
19
2.12. ONTBINDEN IN FACTOREN • x3 − 27 = x3 − 33 = (x − 3) x2 + 3x + 9 (merkwaardig product) 2 • x6 − 1 = x3 − 12 = x3 − 1 x3 + 1 = x3 − 13 x3 + 13 = (x − 1) x2 + x + 1 (x + 1) x2 − x + 1 Opmerking
Bij het laatste voorbeeld vat je best eerst alles als tweedemachten op en daarna pas als derdemachten. Anders gebeurt dit: 3 x6 − 1 = x2 − 13 = x2 − 1 x4 + x2 + 1 = (x − 1) (x + 1) x4 + x2 + 1
Hoe ga je nu de veelterm x4 + x2 + 1 nog verder ontbinden? Een gelijkaardig probleem stelt zich bij het ontbinden van de veelterm x5 − 2x4 + x − 2: x5 − 2x4 + x − 2 = (x − 2) x4 + 1 .
Hoe krijgen we nu de veelterm x4 + 1 nog verder ontbonden? Of is deze niet ontbindbaar? Hierop komen we in §2.12.3 nog terug. Een vast algoritme dat met zekerheid tot de ontbinding van een willekeurige veelterm leidt is er niet. Er kunnen echter wel een aantal technieken gevolgd worden die meestal tot de ontbinding van een veelterm leiden. Deze technieken zetten we hierna uiteen in de volgorde waarin ze uitgeprobeerd dienen te worden.
2.12.1
Gemeenschappelijke factoren buiten haakjes brengen
Voorbeelden • 2x3 − x2 + 7x = x 2x2 − x + 7 • 2x3 − 4x2 = 2x2 (x − 2)
• (x − 3)2 + 5 (x − 3) = (x − 3) (x − 3) + 5 = (x − 3) (x + 2)
2.12.2
Factoren van de vorm x − a zoeken
X Door toepassen van merkwaardige producten:
Voorbeelden • x2 − 6x + 9 = x2 − 2 · x · 3 + 32 = (x − 3)2 • 8x3 + 27 = (2x)3 + 33 = (2x + 3) (2x)2 + (2x) · 3 + 33 = (2x + 3) 4x2 − 6x + 9
20
MODULE 2. VEELTERMEN √ √ 2 5 = 3x − 5 3x + 5 • 3x3 − 24 = 3 x3 − 8 = 3 x3 − 23 = 3 (x − 2) x2 + 2x + 4 1 3 1 • x6 − x5 + 13 x4 − 27 x = x3 x3 − x2 + 13 x − 27 2 3 3 = x3 x3 − 3x2 13 + 3x 13 − 13 = x3 x − 13 • 9x2 − 5 = (3x)2 −
√
X Door toepassen van het criterium van deelbaarheid:
Stelling (Criterium van deelbaarheid) Een veelterm V (x) is deelbaar door x − a als en slechts als V (a) = 0. Men zegt in dit geval dat a een nulpunt is van V (x). Voorbeeld Ontbind x3 + 4x2 − 3x − 18. We proberen eerst een aantal waarden uit om een nulpunt van deze veelterm te vinden: 1? −1 ? 2?
13 + 4 · 12 − 3 · 1 − 18 = −16 6= 0
(−1)3 + 4 · (−1)2 − 3 · (−1) − 18 = −12 6= 0 23 + 4 · 22 − 3 · 2 − 18 = 0
⇒
1 is geen nulpunt
⇒
−1 is geen nulpunt
⇒
2 is een nulpunt
Door het criterium van deelbaarheid weten we nu dat x3 + 4x2 − 3x − 18 deelbaar is door x − 2 of nog, dat er een veelterm Q(x) bestaat waarvoor x3 + 4x2 − 3x − 18 = (x − 2) · Q(x). We kunnen Q(x) vinden door de regel van Horner (zie §2.10): 1 4 −3 −18 2 ↓ 2 12 18 1 6
9
0
Onder de horizontale streep vinden we nu de lijst met co¨effici¨enten van de veelterm Q(x) volgens dalende machten van x, dus Q(x) = x2 + 6x + 9. We vinden dan uiteindelijk x3 + 4x2 − 3x − 18 = (x − 2)(x2 + 6x + 9). Opmerkingen 1. Als a een nulpunt is van de veelterm V (x), dan moet het getal uiterst rechts onder de horizontale streep in het schema van Horner gelijk zijn aan nul! (Verklaar!) 2. In de praktijk kan men zich bij het op zicht bepalen van het nulpunt a meestal beperken tot de delers van de constante term uit V (x).
2.12. ONTBINDEN IN FACTOREN
21
Voorbeeld Ontbind x4 − x − 2. Bij het bepalen van een nulpunt op zicht beperken we ons tot de delers van −2: 1, −1, 2 en −2. We stellen hier vast dat a = −1 een nulpunt is, dus x4 − x − 2 moet deelbaar zijn door x − a = x + 1. Regel van Horner (let op de toevoeging van de nodige nulco¨effici¨enten in de eerste rij): 1 0 0 −1 −2 2 −1 ↓ −1 1 −1 1 −1 1 −2
0
We vinden dus x4 − x − 2 = (x + 1)(x3 − x2 + x − 2).
2.12.3
Groeperen van termen
Voorbeelden • Groeperen om dan gemeenschappelijke factoren buiten haakjes te plaatsen: – 3x3 − 4x2 + 6x − 8 = 3x3 − 4x2 + (6x − 8) = x2 (3x − 4) + 2 (3x − 4) = x2 + 2 (3x − 4)
– 5x2 − 10xy − xz + 2yz = 5x2 − 10xy + (−xz + 2yz) = 5x (x − 2y) + (−z) (x − 2y) = (5x − z) (x − 2y) • Groeperen om een verschil van kwadraten te verkrijgen: −x4 + x2 + 6x + 9 = x2 + 6x + 9 − x4 2 = (x + 3)2 − x2 = x + 3 + x2 x + 3 − x2 • Een term toevoegen en aftrekken (“supertruuk”) om de vorige methode te kunnen toepassen, i.h.b. voor een som van vierdemachten: x4 + 1 = x4 + 1 + 2x2 − 2x2 = x4 + 2x2 + 1 − 2x2 2 √ 2 = x2 + 1 − 2x √ √ 2 2 = x + 1 + 2x x + 1 − 2x
22
MODULE 2. VEELTERMEN
2.12.4
Veeltermen van de tweede graad of kwadratische veeltermen ontbinden
We beschouwen de kwadratische veelterm K(x) = ax2 + bx + c. Afhankelijk van het teken van de discriminant D = b2 − 4ac zal K(x) twee, ´e´en of geen re¨ele nulpunten hebben. Volgens het criterium van deelbaarheid zal de ontbinding van K(x) bijgevolg ook afhangen van het teken van D. Deze situatie wordt samengevat in de volgende tabel (de formules voor de nulpunten worden afgeleid in Module 3 ):
D >0
nulpunten van K(x) √ √ −b − D −b + D x1 = en x2 = 2a 2a
=0
x1 =
<0
−b 2a
a(x − x1 )(x − x2 ) a(x − x1 )2
(= x2 )
geen in
ontbinding van K(x)
R
bestaat niet in
Voorbeelden • 5x2 + 3x − 2 = 5(x + 1) x −
2 5
= (x + 1)(5x − 2)
want D = 32 − 4 · 5 · (−2) = 49 √ −3 − 49 zodat x1 = = −1 en 2·5 • 2x2 − 2x +
1 2
=2 x−
1 2 2
want D = (−2)2 − 4 · 2 · zodat x1 =
√ −3 + 49 2 x2 = = 2·5 5
1 =0 2
1 −(−2) = (= x2 ) 2·2 2
• x2 + x + 1 is niet ontbindbaar in
R want D = 12 − 4 · 1 · 1 = −3 < 0.
R
23
2.13. OEFENINGEN
2.13
Oefeningen
Oefening 2.1. Werk uit: 2
(1) (x + 12)(12 − x)
(2) 5 − 3x3
(3) (x − 6)2
(4) (2x − 3)3 x 2 (6) − 4y 2 4 3 2 u (8) − − 2v 2
(5) 1 − 7y 5
7y 5 − 1
(7) (−3a − 4b)2 (9) x3 − 5 x3 + 5 (11) (−x − 8)2
(10)
1 2x
+ 5y
(12) a2 − 2b
2
3
Oefening 2.2. Ontbind in factoren (m.b.v. merkwaardige producten): √ (1) x2 − 36 (2) x − 2 x + 1 (3) a2 − 8a + 16
(4) 16a16 − 1
(5) 125 + a6
(6) x3 y 6 − 3x2 y 5 + 3xy 4 − y 3
(7) y 3 − 6y
(8)
(9) 9z 2 + 12z + 4
(10)
1 2 4a
− 14 a +
1 16
u2 v2 − u + v2 4
(11) x8 + 14x4 + 49
(12) x3 − 6x2 + 12x − 8
(13) −25 + x4
(14) x2 − 6x + 9
(15) 9x2 − y 2
(16) a2 b2 − 2abc + c2
Oefening 2.3. Ontbind – zo mogelijk – in factoren: x2 −5 5
(1) 2x2 − 5x + 3
(2)
(3) −x2 + 5x − 4
(4) −3 − 18x − 27x2
(5) 2x2 − 2x − 12
(6) 3x2 − 2x + 1
(7)
4 2 9y
− 13 y +
(9) 3x2 − 2x +
1 16 1 3
(8) z 2 + 27 (10)
1 2 5x
+ 2x + 5
(11) x2 + 9x + 20
(12) 8a − 1 − 16a2
(13) a2 − 2a + 4
(14) −z 2 − 4z − 5
24
MODULE 2. VEELTERMEN
Oefening 2.4. Ontbind in factoren: (1) x3 − 6x2 + 12x − 8
(2) 2(1 − x)(2 − x)x2 − 8(x − 1)(x − 2)
(3) z 3 − 6z 2 + 9z
(4) x2 − 4(x − 1)
(5) 2x2 − 7x + 5
(6) 4x2 + 12x + 9 − 9(x − 1)2
(7) 2t3 − 7t2 + 3t
(8) x4 − x3 − 7x2 + 5x + 10
(9) 49 − b2
(10) 3x4 + x3 − x − 3
(11) 125 + 8a3
(12) 5x3 − 4x2 − 8x + 7
(13) x2 − 41 y 2
(14) −6x3 + 7x2 − 13
(15) 4x2 + 12xy + 9y 2
(16) 2x3 − 5x2 + 7x − 4
(17) xy + 3y − 2x − 6
(18) 2x3 + 7x2 + 7x + 2
(19) x2 y − y 3
(20) 5x3 − 2x2 − x − 114
(21) 3ax2 y 2 − 6axy + 3a
(22) 3x3 + 2x2 − 16x + 15
(23) 3a8 − 48b4
(24) x4 − 1
(25) x2 − 2x + 1 − y 6
(26) x6 − 1
(27) 3x − ay − ax + 3y
(28) 5x3 − 2x2 − 4x + 1
(29) 4x2 y 2 − 4x2 z 2 − y 2 + z 2
(30) 2x3 + 5x2 − 7x − 12
(31) a4 − 3a3 + a2 + 3a − 2
(32) 3x3 − 7x2 + 8x − 12
(33) x4 − 2x3 + 2x − 1
(34) x3 + 125
(35) x (x + 2)2 − 9x3
(36) y 4 − 256
(37) 2x4 − 5x3 + 5x − 2
(38) y 6 + 27
