5 ASO H2 zwak leerboek
25-08-2004
16:09
Pagina 1
2
VEELTERMFUNCTIES 2.1 INLEIDING Vorig jaar maakten we al kennis met een ‘basispakket’ functies :
y h
2
f
a) de constante functies : f (x) = a
1
b) de eerstegraadsfuncties : g (x) = ax + b c) de tweedegraadsfuncties : h (x) =
g
3
ax2+
x
0
bx + c
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
-1 -2 -3 -4
Op dezelfde manier kunnen we spreken over -5 derdegraadsfuncties, vierdegraadsfuncties of n-de graadsfuncties, waarbij n de grootst voorkomende -6 exponent is van de veranderlijke. De verzamel-7 naam voor al die functies is veeltermfuncties. Hun voorschriften zijn opgebouwd uit de bewerkingen -8 + en . (machtsverheffingen met natuurlijke expo-9 nenten zijn ook vermenigvuldigingen). Het rechterlid van het voorschrift van een veeltermfunctie is een veelterm in één veranderlijke. Veeltermfuncties hebben we onder andere nodig voor de beschrijving van oppervlakten en inhouden, processen in de fysica en chemie ... Om beter inzicht te krijgen in deze problematiek is het belangrijk de voornaamste kenmerken van een veeltermfunctie grondig te bestuderen.
2.2 INLEIDEND VOORBEELD Een bedrijf produceert fietscomputertjes. De bedrijfsleiding wil weten hoeveel computertjes per uur geproduceerd moeten worden om winst te maken in de huidige situatie. Het verband tussen de winst W (in euro) en de productie x (= aantal geproduceerde computertjes) per uur is : W x
1 3 x 2
8x 2
24x
Winst kan ook negatieve waarden aannemen, we spreken dan van verlies.
1
Werkblad fietscomputertjes + Applet: fietscomputertjes
5 ASO H2 zwak leerboek
25-08-2004
16:09
Pagina 2
VEELTERMFUNCTIES 90
2.2 INLEIDEND VOORBEELD
Om een beter beeld van de functie te krijgen, hebben we de grafiek van W (x) hier afgebeeld.
W
80 70
GEVRAAGD a) Bij welke productie zal de winst 0 euro bedragen ? b) Bij welke productie wordt er winst gemaakt ? c) Bij welke productie is de winst gelijk aan 36 euro ?
60 50 40 30
20
Door de grafiek goed te bestuderen, kunnen we de meeste vragen oplossen. Toch willen we in de toekomst gelijkaardige problemen kunnen oplossen zonder gebruik te maken van de grafiek. Verder in dit hoofdstuk ontdekken we methoden om zulke problemen op een correcte en exacte wijze op te lossen. We kunnen natuurlijk altijd gebruikmaken van de grafiek om beter te begrijpen hoe de werkwijzen opgebouwd worden.
10
x
0 -3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
-10 -20 -30
90
W
OPLOSSING
80
a) Bij welke productie zal de winst 0 euro bedragen ?
70 60
De grafiek leert ons dat de snijpunten van de grafiek met de x-as aangeven hoe groot de productie moet zijn om 0 euro winst te maken. Dat is het geval bij een productie van 0, 4 en 12 fietscomputertjes. Die waarden zijn de nulwaarden van de functie W (x).
50 40 30 20 10
x
0 -3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
-10 -20 -30
Werkblad nulwaarden van veeltermfuncties
2
5 ASO H2 zwak leerboek
25-08-2004
16:09
2.2 INLEIDEND VOORBEELD
Pagina 3
VEELTERMFUNCTIES
Nulwaarden van veeltermfuncties 1) Stel W (x) gelijk aan nul om de nulwaarden te bepalen. 1 3 x 2
2) Ontbind door de gemeenschappelijke factor af te zonderen.
1 3 x 2
8x 2
24x
8x 2
24x
x.
1 2 x 2
x
3) A . B = 0 ⇔ A = 0 of B = 0.
8x
4) Vermenigvuldig de termen van de vierkantsvergelijking met factor –2.
x
16x
x2
5) Los de vierkantsvergelijking op.
4
1 2 x 2
8x
48
en
8x
24
0
24
1 2 x 2
x1 = 0 of
0
24
0
0
x3
12
0, 4 en 12
6) Geef de nulwaarden van W (x).
Bij een productie van 0 of 4 of 12 fietscomputertjes is de winst 0 euro.
7) Formuleer het antwoord.
ONTHOUD De nulwaarden van een veeltermfunctie f zijn de x-waarden met functiewaarde 0. We berekenen de nulwaarden door de vergelijking f (x) = 0 op te lossen. Of : Als f (a) = 0 dan is a een nulwaarde van de bijbehorende veeltermfunctie f (x). Het punt (a, 0) is een snijpunt van de grafiek van f met de x-as.
b) Bij welke productie wordt er winst gemaakt ?
90
W
80
Er wordt winst gemaakt bij een productie van x eenheden waarvoor W (x) > 0. Van de grafiek lezen we af dat we winst maken wanneer het aantal te produceren computertjes tussen 4 en 12 ligt. Dat deel van de grafiek ligt boven de x-as. Dat bij een negatieve productie de winst ook positief is, heeft in dit voorbeeld geen belang (praktisch domein).
70 60 50 40 30 20 10
x
0 -3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
-10 -20 -30
3
Werkblad ongelijkheden oplossen
5 ASO H2 zwak leerboek
25-08-2004
16:09
Pagina 4
VEELTERMFUNCTIES
2.2 INLEIDEND VOORBEELD
Ongelijkheden oplossen 1) Noteer de ongelijkheid (linker- of rechterlid moet nul zijn).
1 3 x 2
8x 2
24x
0
2) Bepaal de nulwaarden van de winstfunctie.
1 3 x 2
8x 2
24x
0
of
x=4
of
x=0
1 x x 2
3) Ontbind het functievoorschrift. x
4) Maak de tekentabel.
x
4 x 12
0
4
12
1 x 2 4 x 12
+
0
–
–
–
–
–
+
+
+
0
–
0
+
W (x)
+
0
–
0
+
0
–
x<0
5) Lees de x-waarden af waarvoor W (x) > 0.
of
4 < x < 12
4 < x < 12
6) Noteer de praktische oplossing van dit probleem. 7) Formuleer het antwoord.
x = 12
a) Bij een productie van 5, 6, 7, 8, 9, 10 of 11 fietscomputertjes zal het bedrijf winst boeken. b) Als de productie kleiner is dan 4 of groter is dan 12 computertjes is de winst negatief, m.a.w. het bedrijf zal verlies lijden.
ONTHOUD Het tekenonderzoek van een veeltermfunctie f leert ons voor welke x-waarden de functiewaarden positief, negatief of nul zijn.
4
5 ASO H2 zwak leerboek
25-08-2004
16:09
2.2 INLEIDEND 1.1VOORBEELD INLEIDING
Pagina 5
VEELTERMFUNCTIES
c) Bij welke productie is de winst gelijk aan 36 euro ?
90
W
80 70
We construeren de grafieken van
60
1 3 W (x) = x 8x 2 24x en y = 36. We kunnen 2 de snijpunten aflezen of berekenen met behulp van de rekenmachine. Als de grafiek van W (x) boven de horizontale rechte y = 36 ligt, is de winst groter dan 36 euro. We lezen af dat dit het geval is voor een productie die bij benadering tussen 6 en 11 fietscomputertjes ligt.
50 40
y = 36
30 20 10
x
0 -3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
-10 -20 -30
Snijpunten van veeltermfuncties 1) Stel beide functies aan elkaar gelijk.
1 3 x 2
2) Herleid die gelijkheid naar 0 en werk de noemer weg.
8x 2
x 3 16x 2
3) Los de derdegraadsvergelijking op.
24x
36
48x 72 ???
ONTHOUD Uit de grafiek kunnen we afleiden dat die vergelijking drie oplossingen moet hebben. De grafieken snijden elkaar immers in drie punten. Om die te kunnen berekenen moeten we gebruikmaken van nieuwe technieken.
INTERLUDIUM : ALGEBRAÏSCH REKENEN 1) De Euclidische deling ‘De Euclidische deling’ van getallen is de gewone staartdeling bij gehele getallen. 1025 3 341 – 9 12 – 12 5 3 – 2 Dit wil zeggen dat 1 025 = 3 . 341 + 2 Dat leidt tot de ‘eeuwenoude’ formule van de Euclidische deling : Deeltal = deler maal quotiënt plus rest 5
of in symbolen : D = d . q + r met r < d
0
12
13
14
15
16
17
5 ASO H2 zwak leerboek
25-08-2004
16:09
Pagina 6
VEELTERMFUNCTIES
1.1 INLEIDING 2.2 INLEIDEND VOORBEELD
We kunnen dit ‘systeem’ gebruiken om ons inleidend voorbeeld op te lossen. Hiervoor moeten we eerst uitleggen hoe we een veelterm delen door een veelterm. Omdat we veeltermen bij de vermenigvuldiging ‘term per term’ behandelen, proberen we dat bij de deling ook. 3x3 – 6x2 + 2x – 1 x2 + x – 1 – (3x3 + 3x2 – 3x) 3x – 9 –9x2 + 5x – 1 – (–9x2 – 9x + 9)
Stap 1 :
14x – 10
3x 3
x2 Stap 2 : 3x x 2 Stap 3 : 3x 3 Stap 4 :
9x
3x x 1
6x 2
2x 1
x2
x 1
Stap 6 :
9x 2
5x 1
Zodat :
3x
3x 3
3x 2
9x 2
3x
5x 1
9
9 x2
14x x
3x 2
2
Stap 5 :
Stap 7 :
3x 3
2
14 x
9x 2
9x 2
9x
9
9x
9
14x 10
veelterm
3x3 – 6x2 + 2x – 1 = (x2 + x – 1) (3x – 9) + 14x – 10
Opmerkingen a) De graad van de rest is kleiner dan de graad van de deler. b) Bij een opgaande deling is de rest 0. Voorbeeld
2x 4 + 3x 3 + 2x 2 – 3x – 4 – (2x 4 – 2x 2) 3x 3 + 4x 2 – 3x – 4 – (3x 3 – 3x) –4 4x 2 2 – (4x – 4) 0 2x 4
3x 3
2x 2
3x
4
x2
x2 – 1 2x 2 + 3x + 4
1
2x 2
In dit geval hebben we ontbonden in factoren.
6
3x
4
5 ASO H2 zwak leerboek
25-08-2004
16:09
2.2 INLEIDEND 1.1VOORBEELD INLEIDING
Pagina 7
VEELTERMFUNCTIES
2) De rekenregel van Horner Het algoritme van de Euclidische deling wordt heel wat eenvoudiger als we afspreken alleen delingen uit te voeren waarbij de deler van de vorm x – a (a ∈ ¤) is. Let goed op het ontstaan van de coëfficiëntenrij. 3x 3 + 2x 2 + x – 10 x–2 – (3x 3 – 6x 2) 3x 2 + 8x + 17 8x 2 + x – 10 – (8x 2 – 16x) 17x – 10 – (17x – 34) 24 De Engelse wiskundige HORNER vond dit allemaal te ingewikkeld en ontwierp een eenvoudig systeem waarin alleen de coëfficiëntenrij van het deeltal en het getal a van de deler x – a belangrijk is.
Omdat we delen door een veelterm van de vorm x – a, is de eerste coëfficiënt van het quotiënt dezelfde als die van het deeltal !
In plaats van 3 te vermenigvuldigen met – 2 en af te trekken, verkoos Horner 3 te vermenigvuldigen met +2 en op te tellen. Zo ontstaat een eenvoudige rekenregel waarbij we op de onderste rij de coëfficiënten van het quotiënt en de rest van de deling kunnen terugvinden.
3
2
1
–10
3
2 6
1
–10
3
8
3
2 6
1 16
–10 34
3
8
17
24
2 3
2
2
We leiden hieruit af dat het quotiënt 3x2 + 8x + 17 is en de rest 24. Die rest kunnen we ook vinden door de getalwaarde f (2) van de veelterm f (x) te berekenen.
3x ³ 2x ² x 10
f (2) = 3 . 23 + 2 . 22 + 2 – 10 = 24
De reststelling De rest van de deling van een veelterm f (x) door een tweeterm van de vorm x – a wordt gegeven door de getalwaarde f (a).
BEWIJS Bij een deling van veeltermen zijn er twee mogelijkheden. Ofwel is de rest 0, ofwel is de graad van de rest kleiner dan de graad van de deler. Als de deler x – a is, dan moet de rest een constante r zijn.
7
5 ASO H2 zwak leerboek
25-08-2004
16:09
Pagina 8
VEELTERMFUNCTIES
1.1 INLEIDING 2.2 INLEIDEND VOORBEELD
Als de veelterm q (x) het quotiënt voorstelt, dan kunnen we het deeltal als volgt schrijven : f (x) = (x – a) q (x) + r Stel in die gelijkheid x = a. f (a) = (a – a) q (a) + r Na vereenvoudiging krijgen we : f (a) = r Gevolg De veelterm f (x) is deelbaar door een tweeterm van de vorm x – a als en slechts als de getalwaarde f (a) gelijk is aan 0.
3) Eigenschappen a) Opdat een veelterm met gehele coëfficiënten deelbaar zou zijn door x – a, met a een geheel getal, is het nodig dat de constante term van die veelterm deelbaar is door a. b) Stelling van Gauss : Elke veelterm is te ontbinden in factoren van de eerste en/of tweede graad. c) Elke veeltermfunctie van de n-de graad heeft hoogstens n verschillende nulwaarden.
4) Toepassingen a) Ontbind de veelterm x 3
3x 2
4 in factoren. a = 1 want f (1) = 0
1) Bepaal met de reststelling of met de rekenmachine een nulwaarde a van de bijbehorende veeltermfunctie f (x) = x3 + 3x2 – 4 2) Voer de regel van Horner uit met als deler x – 1. Let op ! Voor de ontbrekende termen schrijven we coëfficiënt 0.
5) Door te steunen op de ontbinding van een tweedegraadsveelterm verkrijgen we het eindresultaat.
3 1
0 4
–4 4
1
4
4
0
q (x) = x 2
3) We noteren het quotiënt. 4) De veelterm kan nu al gedeeltelijk ontbonden worden.
1 1
4x
4
x3 + 3x2 – 4 = (x – 1) (x2 + 4x + 4)
x3 + 3x2 – 4 = (x – 1) (x + 2)2
8
5 ASO H2 zwak leerboek
25-08-2004
16:09
2.2 INLEIDEND 1.1VOORBEELD INLEIDING
Pagina 9
VEELTERMFUNCTIES
b) Bepaal de nulwaarden van de veeltermfunctie f (x) = x3 + 3x2 – 4 1) Stel het functievoorschrift gelijk aan 0.
x3 + 3x2 – 4 = 0
2) Ontbind het linkerlid in factoren. Zie a.
(x – 1) (x + 2)2 = 0
3) A . B = 0 als en slechts als A = 0 of B = 0. 4) Schrijf de nulwaarden op.
x–1=0 x=1
of of
(x + 2)2 = 0 x = –2
Werkblad nulwaarden van veeltermfuncties
Opmerking Uit eigenschap 3 volgt dat een veeltermfunctie van de derde graad hoogstens 3 verschillende nulwaarden heeft ! Zijn er 3 verschillende nulwaarden gevonden, dan eindigt de zoektocht.
Voorbeeld f (x) = x3 – 3x2 – x + 3 Met onze rekenmachine vinden we de nulwaarden –1, 1 en 3.
9
5 ASO H2 zwak leerboek
25-08-2004
16:09
Pagina 10
VEELTERMFUNCTIES
1.1 INLEIDING 2.3 UITWERKING
2.3 UITWERKING VAN HET INLEIDEND VOORBEELD We herhalen even. Een bedrijf produceert fietscomputertjes. De bedrijfsleiding wil weten hoeveel computertjes per uur geproduceerd moeten worden om 36 euro winst te maken. Het verband tussen de winst W (in euro) en de productie x (= aantal geproduceerde computertjes) per uur is : W (x) =
1 3 x 2
8x 2
24x
We moeten de gelijkheid 1 3 x 2
8x 2
36 oplossen.
24x
Die vergelijking wordt na omvormen : x 3 16x 2
48x 72
0
Oplossen van vergelijkingen x=6
1) Met de reststelling of de rekenmachine kunnen we een oplossing van de vergelijking x 3 16x 2 48x 72 0 vinden. 1 ↓
3 2 48x 72 door x – 6 met 2) Deel x 16x behulp van de regel van Horner en ontbind de veelterm.
6 1 x 3 16x 2
3) Bereken de twee andere oplossingen van de vergelijking door x lossen.
2
10x 12
4) Formuleer het antwoord.
x1
5
48x 72 37
–16
48
72
6
– 60
–72
–10
–12
0
x
1 en
6 x2
x2
10x 12
5
37
11
0 op te
• De winst zal gelijk zijn aan 36 euro als de productie gelijk is aan 6. • De winst zal 36 euro benaderen als de productie gelijk is aan 11.
10
5 ASO H2 zwak leerboek
25-08-2004
16:09
Pagina 11
VEELTERMFUNCTIES
2.4 1.1 TOEPASSING INLEIDING 1
2.4 TOEPASSING 1 Met een hoekijzer van 3 m moet Tim het geraamte van een balkvormig aquarium bouwen. De lengte van het aquarium moet tweemaal zolang zijn als de breedte. 2x x
x 2x 2x
x
x
2x a) Tim wil weten hoe de inhoud verandert als de afmetingen aangepast worden. 1) Kies een veranderlijke voor de breedte van het aquarium.
Breedte = x (cm)
2) Druk de lengte en de hoogte uit in functie van die veranderlijke.
Lengte = 2x (cm) hoogte =
3) Schrijf de inhoud I(x) op in functie van de veranderlijke.
300 4x 4
8x
75 3x (cm)
I (x) = x . 2x . (75 – 3x) = – 6x3 + 150x2 (cm3) 75 – 3x > 0 ⇔ x < 25 pdom f = ]0, 25[
4) Geef het praktisch domein van deze functie.
b) Voor welke breedte is de inhoud gelijk aan 9 liter ?
1) Kies de juiste inhoudsmaat.
9 l = 9 dm3 = 9 000 cm3 – 6x3 + 150x2 = 9 000
2) Stel de inhoud gelijk aan 9 000.
– 6x3 + 150x2 – 9 000 = 0
3) Los de vergelijking op.
x = 10 4) Formuleer het antwoord, rekening houdend met het praktisch domein.
of
x ≈ – 6,9
of
x ≈ 21,9
• De breedte is 10 cm. De hoogte is 40 cm. De lengte is 20 cm. • De breedte is 21,9 cm. De hoogte is 9,3 cm. De lengte is 43,8 cm.
11
5 ASO H2 zwak leerboek
25-08-2004
16:09
Pagina 12
VEELTERMFUNCTIES
1.1 INLEIDING 2.5 TOEPASSING 2
2.5 TOEPASSING 2 Bepaal het functievoorschrift van de veeltermfunctie f van de 3de graad waarvan de grafiek hieronder gegeven is. 4
y f
3 2 1
x
0 -4
-3
-2
-1
-1
0
1
2
3
4
-2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 -13
Oplossing –2, –1 en 3
1) Lees de nulwaarden van f af. 2) Schrijf alle veeltermfuncties van de derde graad op met de gevonden nulwaarden.
f (x) = a (x + 2) (x + 1) (x – 3)
3) Bepaal de waarde voor a door een extra punt van de grafiek te bepalen, bv. (0, – 6).
f (0) = – 6 a (0 + 2) (0 + 1) (0 – 3) = – 6 a=1
4) Schrijf de veeltermfunctie op.
f (x) = 1 (x + 2) (x + 1) (x – 3) f (x) = x3 – 7x – 6
12
5 ASO H2 zwak leerboek
25-08-2004
16:09
2.5 TOEPASSING 2
Pagina 13
VEELTERMFUNCTIES
Euclides werd ongeveer 365 voor Christus geboren in Alexandrië in Egypte, waar hij gedurende zijn leven ook les gaf. Hij werd beroemd door zijn boeken ‘de Elementen’, waarin hij alle meetkunde die toen bekend was heeft samengevat. Deze ‘Elementen’ bestaan uit 13 delen. In de eerste zes delen wordt de vlakke meetkunde behandeld, deel 7 to 9 behandelen de getallentheorie, deel 10 bevat een verhandeling over irrationale getallen en de laatste drie boeken gaan over ruimtemeetkunde. In het laatste deel gaat Euclides in op vijf regelmatige veelvlakken (de Archimedische lichamen) : het regelmatig viervlak (tetraëder), de kubus (de hexaëder), het regelmatig achtvlak (octaëder), het regelmatig twaalfvlak (dodecaëder) en het regelmatig twintigvlak (icosaëder). Hij bewijst ook dat er niet meer regelmatige veelvlakken bestaan dan deze vijf. De boeken hebben een opbouw die ook in de moderne tijd gebruikelijk is. Euclides begint met axioma’s en definities en bouwt die op formele wijze uit met stellingen. De formulering van zijn redeneringen is erg helder en goed te begrijpen. Het is dan ook niet verwonderlijk dat meer dan 1 000 edities van zijn Elementen zijn gepubliceerd sinds 1482. Euclides heeft ook nog andere werken geschreven, maar die zijn voor het grootste deel verloren gegaan. Hij stierf rond het jaar 300 voor Christus.
‘De school van Euclides’
Fragment uit ‘de Elementen’
Horner was een wonderkind en studeerde reeds op zijn veertiende af als onderwijzer. Vier jaar later was hij schoolhoofd. In 1809 stichtte hij zijn eigen school in Bath. In zijn vrije tijd studeerde hij wiskunde. Hij hield zich vooral bezig met het oplossen van hogeregraadsvergelijkingen.
13
5 ASO H2 zwak leerboek
25-08-2004
16:09
Pagina 14
VEELTERMFUNCTIES
OEFENINGEN
INOEFENEN 1
Voer de volgende Euclidische delingen uit. Deeltal a) 6x 3 b) 8x
5x 2
5
14x
c) x 4
2x + 3
5
18x
3
18x
2
13x
8
2
3
7x
e) 3x 3
x2
d) 3x
2
x2
3x 4
Deler
2
7x
4x 2
3x
x2
x 1
3x + 4
2
x+2
13x 7
Voer de volgende delingen uit door gebruik te maken van de methode van Horner. Deeltal a) 8x 3 b)
3x
c) x 3 d) x
4x 2 4
2x
4x 2
5
5
x+3
x 1
x–3
2
x–1
4x 3
Deler
3x
x+1
1
e) 6x 3
3
5x 2
4x
5
x
3 2
Vergelijk het quotiënt en de rest van de volgende delingen. Wat stellen we vast ? Deeltal 3
Deler
2
5x 3
2x + 4
b) x 3 7x 2
5x 3
x+2
a) x
4
2
7x
Controleer met behulp van de reststelling of de volgende delingen opgaand zijn. Gebruik ICT ter controle. Deeltal a) 4x
3
b) 4x 3 c) x
7
Deler
2
4x
2
x–1
2x 2
4x
2
x+1
28x 1
x–2
2x
2x
3
d) x 4 16 e) x
3
2x
x+2 2x + 1
5
14
5 ASO H2 zwak leerboek
25-08-2004
16:10
Pagina 15
VEELTERMFUNCTIES
OEFENINGEN
5
Bepaal a zodat de volgende delingen opgaand zijn. Deeltal
Deler
a) 3x 2
ax
b) 3x 3
2x 2
c) 3x 5
2ax 2
a
1 3 x+1
3ax
5
x–3
2 2
d) a x
x–2
6 x
a
x
e) 3x4 + (8 – 3a) x3 – (6a + 8a2) x + 24
6
x–a
Gebruik het volgende schema om de gegeven veeltermen te ontbinden. Ontbinden in factoren Methode : 1) Zonder de gemeenschappelijke factor af (buiten de haken brengen). 2) Tel het aantal termen in de veelterm. 2-term • verschil van even machten : a2 – b2 = (a – b) (a + b) • verschil en som van derde machten : a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2 ) a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2 ) 3-term • ax2 + bx + c = a (x – x1) (x – x2) • a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 • a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 4-term • a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 • a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3 3) Regel van Horner
Uitgewerkt voorbeeld
4) Samennemen van termen a) 16x 3 16x 2 b) x 3 c) 8x d)
6x 2 3
6x
60x
e) x 6
4x 4
x2
3x 10
f) x 5
3x 4
16x 3
g) x
125 5
27x
3
6
h) ( x
30x
15
x 4
5
4)
x 2
4
16
4 x
88x 2 2
x 1
144x
80
5 ASO H2 zwak leerboek
25-08-2004
16:10
Pagina 16
VEELTERMFUNCTIES 7
OEFENINGEN
Bereken de nulwaarden van de volgende functies zonder gebruik te maken van Horner. a) f (x) = x3 + 4x2 – 5x b) f (x) = x 4 – 1 c) f (x) = x 4 + 3x3 – x2 – 3x d) f (x) = (x – 1) (x + 2) (3 – 6x) (x + 7) e) f (x) = (x2 – 6x + 9)2 f) f (x) = 6x . (x – 1) (x2 – 3x + 5) g) f (x) = (x3 – 1)2 – (1 + x3)2 h) f (x) = x 4 – 16x2 i) f (x) = – 7x j) f (x) =
8
_ x + 1i_ x + 2i
3
-x
Bepaal de nulwaarden van de volgende veeltermfuncties. a) f (x) = 2x3 – 4x2 – 10x + 12 b) f (x) = – 4x3 + 32x2 – 75x + 54 c) f (x) = x3 – 3x2 + 20 d) f (x) = 2x 4 + 7x3 – 23x2 – 28x + 60 e) f (x) = 2x3 – 8 f) f (x) = 12x 5 + 10x 4 – 76x3 + 10x2 + 12x g) f (x) = x6 – 16x3 + 64 5 2 h) f (x) = - x3 + x2 3 7 i) f (x) = 8x3 + 27 j) f (x) = 6x 4 – 114x3 + 114x – 6
9
Geef de tekentabel van de volgende veeltermfuncties. a) f (x) = 2x (x – 1) (x + 1) (2x – 3)
g) f (x) = (x + 2) (x – 3) + 4
b) f (x) = x3 – 10x2 + 7x + 2 c) f (x) =
(x2
–
1) (x2
+
1) (x2
h) f (x) =
– 4)
d) f (x) = (x2 – 2x + 1) (2x2 + 14x + 24)
i) f (x) = x 4 + 2x2 – 3
e) f (x) = x3 – 6x2 3
4x 3 - 6x 2 + x + 1 3
j) f (x) =
2
f) f (x) = (1 – x) (x + 2)
16
2 4 22 x – 4x3 + 8x2 – x+4 3 3
5 ASO H2 zwak leerboek
25-08-2004
16:10
Pagina 17
OEFENINGEN
10
VEELTERMFUNCTIES
Los de volgende ongelijkheden op en geef de oplossingenverzameling. a) x – 3 < 0 b) 2x2 – 32 > 0 c) x2 . (x – 1) (x + 2) (3x – 4) ⭐ 0 d) x3 + 2x2 – 5x – 6 < 0 e) x2 + 4 < 0 f) (x + 5) (2x – 6) < 4 g)
2x - 3 x+5 艌 3 2
h) (x – 3) (x2 – 5x + 1) 艌 x2 – 9 i) x 4 艌 x2 j) 5 < 3x2 + 5x + 5
11
Bereken de snijpunten van de grafieken van de volgende functies. Eerste functie a) f (x) =
x2
– 4x + 4
Tweede functie g (x) = – x2 + 4x – 2
b) f (x) = x3 – 3x
g (x) = 2x2 + 2x – 6
c) f (x) = x 4 – 4x2 + 4
g (x) = – 2x3 + 2x + 1
d) f (x) = x3 + 2x2 – 4
g (x) = x2 + 4x
e) f (x) = x3 – x2 + x – 1
g (x) = 3x – 1
17
5 ASO H2 zwak leerboek
25-08-2004
16:10
Pagina 18
VEELTERMFUNCTIES
OEFENINGEN
TOEPASSEN 12
Plaats bij elke grafiek het juiste voorschrift. a) f (x) = (x – 1) (x + 1) (x – 3) b) f (x) = (x – 2) (x2 + 1) c) f (x) = (x – 2) (– x2 – 1) d) f (x) = (x + 2) (x – 1) (x + 1) y
1
y
2
y 4
4
4
3
3 3
2
2
11
1
2
x
00 -4
-3−π
-2
00
-1
1
2
π3
x
x
0 -4
4
-3
-2
-1
-1
0
1
2
3
4
1
2
3
4
-1
-1
-2
-2
-2
-3
-3
-3 -4
-4
-4
y
3
-3
-2
4
3
3
2
2
1
1
x
0 -4
y
4
4
-1
0
1
2
3
-3
-2
-1
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
18
x
0 -4
4
5 ASO H2 zwak leerboek
25-08-2004
16:10
Pagina 19
VEELTERMFUNCTIES
OEFENINGEN
13
Plaats bij elke grafiek het juiste voorschrift. a) f (x) = x3 + x b) f (x) = x3 – x c) f (x) = x3 – x2 – 2x d) f (x) = x3 + x2 – 2x y
1
-3
-2
3
2
2
1
1
-1
x 0
1
2
3
4
-3
-2
-2
-1
0 -1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
3
2
2
1
1
x 0
1
2
3
4
3
4
1
2
3
4
x
0 -4
-3
-2
-1
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
19
2
4
3
-1
1
y
4
0 -4
-3
-1
4
x
0 -4
y
3
4
3
0 -4
y
2
4
5 ASO H2 zwak leerboek
25-08-2004
16:10
Pagina 20
VEELTERMFUNCTIES 14
OEFENINGEN
In het volgende assenstelsel staan de grafieken van drie functies afgebeeld. Als we weten dat de absolute waarde van de coëfficiënt van de hoogstegraadsterm telkens 0,5 is, geef dan het voorschrift van elke functie. y f g
x
0 -7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
h
20
1
2
3
4
5
6
7
5 ASO H2 zwak leerboek
25-08-2004
16:10
Pagina 21
VEELTERMFUNCTIES
OEFENINGEN
15
Het gedrag op oneindig kunnen we op verschillende manieren bepalen. Geef dat aan met behulp van de limietnotatie. a) Gegeven : de grafiek van enkele functies. 8
y
7 6 f
5 4 3 2
h
1
x
0 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 g
-8
b) Gegeven : het voorschrift van enkele veeltermfuncties. 1 3 x – 2x2 + 5 2 g (x) = – 6x 4 + x2 – 5
f (x) =
h (x) = (1 – 3x) (1 + x) (x + 5)
16
Geef een voorbeeld van een veeltermfunctie die aan de gegeven voorwaarden voldoet. Gebruik ICT ter controle. a) De graad is 1, de helling is 2 en het snijpunt met de y-as is (0 ; 2,5). b) De graad is 2, de top is (6,5 ; 2,25) en de grafiek is een dalparabool. c) De graad is 2 en alle functiewaarden zijn negatief. d) De graad is 2, de functie heeft één nulwaarde x = 2 en de functiewaarden zijn positief. e) De graad is 6 en de tekentabel is : x f (x)
–2 +
0
–1 +
0
0 –
0
1 –
0
2 +
0
+
f) De graad is 12 en de functie heeft precies één nulwaarde 1. g) De nulwaarden van de functie zijn 1, 2 en 3. Zij hebben respectievelijk als multipliciteit 1, 2 en 3 (dat is het aantal maal dat een nulwaarde als nulwaarde van de functie voorkomt).
21
5 ASO H2 zwak leerboek
25-08-2004
16:10
VEELTERMFUNCTIES
Pagina 22
OEFENINGEN
EXTRA 17
De 6de-jaarsstudenten van het college starten een minionderneming in het kader van de projectweek. Wenskaarten brachten hen op het idee wens-cd’s te ontwerpen en te produceren. Daarvoor hebben ze een grondige kostenbatenanalyse uitgevoerd in samenwerking met de leerkracht economie. Die analyse leverde het volgende resultaat op waarbij de opbrengst O weergegeven wordt in functie van c, het aantal verkochte wens-cd’s. O (c) = 0,1c 3 – 2c 2 + 0,1c – 2 a) b) c) d) e)
Wat is de graad van de bovenstaande functie ? Hoeveel nulwaarden heeft die functie maximaal ? Bepaal met behulp van ICT het werkelijk aantal verschillende nulwaarden van die functie. Bereken de nulwaarde(n) van die functie. Stel de tabel op van die functie voor c ∈ [–10, 60] in stapjes van 10 en teken de overeenkomstige grafiek. f) Geef een betekenis aan de gevonden nulwaarde(n) binnen het kader van deze opgave. g) Kleur het praktisch domein op de grafiek van opgave e. h) Hoeveel cd’s moeten de studenten verkopen om de winst boven 300,00 euro te houden ?
18
De volgende functie toont het traject (T ) afgelegd door een auto om van het centrum van het dorp A tot het centrum van het dorp D te rijden, waarbij x de afstand in km voorstelt. 1 (x 4 – 56x3 + 638x2 + 1 400x – 16 575) T (x) = 15 a) Bepaal de afstand in vogelvlucht tussen de twee dorpen. b) Toon aan dat het dorp C precies in het midden ligt van de afstand in vogelvlucht tussen de centra van de dorpen A en D. y
A -6 -5 -4 -3 -2 -1
B
C
D
0 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41
22
x 43 44
5 ASO H2 zwak leerboek
25-08-2004
16:10
Pagina 23
OEFENINGEN
19
Bij de firma Klop worden dagelijks een aantal kliefhamers geproduceerd. De kostenfunctie (= de gezamenlijke productiekosten) is f(x) = 3x3 – 15x2 + 36x + 24 en de omzetfunctie (= inkomsten) is g (x) = 30x, waarbij x uitgedrukt is in 100 stuks en g (x) en f (x) in 100 euro. a) b) c) d)
20
Teken de grafiek van f en g in een zinvol venster. Bij welke productie bedragen de kosten 57 000 euro ? Bij welke productie is de omzet 33 000 euro ? Wanneer wordt er met winst verkocht (dat wil zeggen omzet groter dan kosten) ?
De bevolking van een Limburgse gemeente is sinds 1980 geëvolueerd volgens de functie f (x) = 5x3 – 85x2 + 80x + 4 000, waarbij x = 0 overeenkomt met het jaar 1980. a) b) c) d)
21
VEELTERMFUNCTIES
Teken de grafiek van f in een zinvol venster. Hoeveel inwoners waren er in 1980 ? Waar vinden we dit punt terug op de grafiek ? Wanneer zullen er 31 000 inwoners zijn ? In welke periode was het aantal inwoners kleiner dan 14 500 ?
De prijs van een video is afhankelijk van verschillende factoren, zoals nieuwe technologieën, verkoopcijfers, concurrentie ... In 1990 bedroeg de prijs nog 1 000 euro. De volgende functie berekent de prijs van de video vanaf 1990. 3 y = – x3 + 10x2 – 59x + 1 000 4
a) Teken de grafiek van de functie in een zinvol venster. b) Wat is de prijs van een video in 2010 ? Is dat realistisch ? c) Wanneer zal de prijs opnieuw 1 000 euro bedragen ?
22
Om de wachttijden aan de kassa van een supermarkt te verkorten, wordt besloten de gemiddelde wachttijd (in minuten) voor elk uur te meten. De volgende veeltermfunctie geeft die metingen weer. De supermarkt sluit om 19 uur. y
0,02x 3
0,3x 2
x 1 (tijdstip 0 = 9 uur)
a) Teken de grafiek van de functie in een zinvol venster. b) Wanneer is de wachttijd het grootst (met ICT)? c) Wanneer is de wachttijd groter dan 1 minuut ?
23
5 ASO H2 zwak leerboek
25-08-2004
16:10
Pagina 24
VEELTERMFUNCTIES 23
OEFENINGEN
Een projectiel wordt afgeschoten met een beginsnelheid van v0 m/s, onder een hoek a in de oorsprong van een orthonormaal assenkruis. De ballistiek probeert aan te tonen dat de baan die het voorwerp onder die voorwaarden volgt, gegeven wordt door y=-
5 v 20
. cos2 a
x2 + x . tan a
Op een mooie dag volgen we het lokaal kampioenschap kleiduifschieten en merken we dat de kleiduif altijd onder een hoek van 45° en met een beginsnelheid van 20 m/s weggeschoten wordt. Een schutter richt zijn geweer onder een hoek van 30° en de kogel verlaat de loop van zijn geweer met een beginsnelheid van 50 m/s.
a) Volgens welke kromme bewegen de kleiduif en de kogel zich voort ? b) Wat is het hoogste punt dat de kleiduif bereikt als de kogel de kleiduif mist ? Hoe ver van het startpunt (oorsprong) komt de kleiduif dan neer ? c) Wat is de grootste hoogte die de kogel onder dezelfde voorwaarde bereikt ? Waar komt de kogel dan neer ? d) Als de schutter op het juiste ogenblik afdrukt, bereken dan de hoogte en de afstand van het punt waar de kogel de kleiduif zal raken.
24
Gegeven de veeltermen x 2 + 1, x 3 + 1, x 4 + 1, x 5 + 1, x 6 + 1. Hoeveel van die veeltermen kunnen ontbonden worden als product van veeltermen met reële coëfficiënten ? A
B
C
D
E
0
1
2
3
4
(bron : Vlaamse Wiskunde-Olympiade)
24
5 ASO H2 zwak leerboek
25-08-2004
16:10
Pagina 25
VEELTERMFUNCTIES
OEFENINGEN
25
Als a en b gehele getallen zijn zodat x 2 – x – 1 een factor is van ax 3 + bx 2 + 1, dan is b gelijk aan A
B
C
D
–2
–1
0
1
(bron : Vlaamse Wiskunde-Olympiade)
26
De som van de kwadraten van de reële oplossingen van x 256 A
B
C
8
128
512
D
25632
0 is
E
65 536 25632
(bron : Vlaamse Wiskunde-Olympiade)
Oefening : voorschrift van veeltermfuncties bepalen Oefening : Euclidische deling Oefening : deelbaarheid van veeltermen Oefening : tekenverloop van veeltermfuncties Oefening : tekenverloop van veeltermfuncties en rationale functies Oefening : snijpunten van veeltermfuncties bepalen Oefening : ongelijkheden oplossen
25
5 ASO H2 zwak leerboek
25-08-2004
16:10
Pagina 26
VEELTERMFUNCTIES
26
OEFENINGEN
