Vedenı´ tepla v MKP • Staciona´rnı´ u´lohy (viz da´le) – Konstantnı´ tepelne´ toky – Analogicke´ u´loha´m statiky v mechanice kontinua
• Nestaciona´rnı´ u´lohy (analogicke´ dynamice stavebnı´ch konstrukcı´)
1
Za´kladnı´ rovnice vedenı´ tepla (1) Ein + Egen = ∆U + Eout
(1)
• Ein . . . teplo vstupujı´cı´ do u´lohy ([W h], [J ]), • Egen . . . teplo generovane´ vnitrˇnı´m zdrojem ([J ]),
• ∆U . . . zmeˇna energie ([J ]),
• Eout . . . vystupujı´cı´ teplo ([J ]).
2
Za´kladnı´ rovnice vedenı´ tepla (2) qx A dt + Q A dx dt = ∆U + qx+dx A dt • qx . . . teplo vstupujı´cı´ do u´lohy na okraji x (tepelny´ tok), ([W/m2]), • qx+dx . . . teplo vstupujı´cı´ do u´lohy q x 2 na okraji x + dx ([W/m ]), • t . . . cˇas ([s]), • Q . . . vnitrˇnı´ zdroj ([W/m3]), • A . . . plocha kolma´ na tepelny´ tok ([m2 ]).
(2)
A
x
A
dx
3
q x+dx
Fourieru˚v za´kon (1) qx = −λx
∂T ∂x
(3)
• qx . . . tepelny´ tok (teplo vstupujı´cı´ do u´lohy), ([W/m2]),
• λx . . . tepelna´ vodivost [W/(m K )]
• T . . . teplota −1 ] • ∂T = g . . . tepelny ´ gradient [ K m x ∂x
4
Fourieru˚v za´kon (2) Tayloru˚v rozvoj (1. cˇlen): dfx fx+dx = fx + dx, dx
(4)
tedy z (4) plyne: dT d dT qx+dx = − λx + λx dx dx dx dx
(5)
5
Zmeˇna energie ∆U ∆U = c (ρ A dx) dT
(6)
• c . . . meˇrna´ tepelna´ kapacita ([(W h)/(kg K )]) • ρ . . . objemova´ hmotnost (kg/m3 )
6
Rovnice nestaciona´rnı´ho vedenı´ tepla Dosazenı´m vy´razu˚
∆U = c (ρ A dx) dT a dT d dT qx + dx = − λx + λx dx dx dx dx do za´kladnı´ rovnice
qx A dt + Q A dx dt = ∆U + qx+dx A dt zı´ska´me rovnici nestaciona´rnı´ho vedenı´ tepla: d dT λx dx dx
+Q=
cρdT dt
(7)
7
Rovnice staciona´rnı´ho vedenı´ tepla
´ pravou prˇedchozı´ rovnice U dT d λx dx dx
cρdT +Q= dt
zı´ska´me rovnici staciona´rnı´ho vedenı´ tepla: d dT λx dx dx
+Q=0
(8) 8
Maticovy´ prˇepis vztahu˚ pro staciona´rnı´ prˇ´ıpad Pro 2D u´lohu mu˚zˇeme napsat vztahy pro teplotnı´ gradienty ve tvaru ε = ∂T: (
gx gy
)
=
h
∂ ∂x
∂ ∂y
in
T
o
,
(9)
cozˇ lze cha´pat jako analogii geometricky´ch rovnic v mechanice. Da´le mu˚zˇeme zrˇejmeˇ Fourieru˚v vztah prˇepsat ve tvaru: q = Dε: (
qx qy
)
= −λ
"
1 0 0 1
#(
gx gy
)
,
(10)
cozˇ je analogiı´ k fyzika´lnı´m rovnicı´m v mechanice. Potencia´lnı´ energie „vnitrˇnı´ch sil“ potom mu˚zˇeme zapsat jako:
1Z T 1Z T Π= ε qdV = ε D εdV 2 V 2 V
(11) 9
Odvozenı´ konecˇne´ho prvku pro staciona´rnı´ proble´m
y
T3
Nezna´me´ parametry deformace: u, v v kazˇde´m uzlu.
3
2 1
(1)
Tj. celkem trˇi nezna´me´ uzlove´ parametry:
T2
T1 x
T = {T1, T2, T3, }T .
10
Odvozenı´ konecˇne´ho prvku pro staciona´rnı´ proble´m
(5)
Aproximace nezna´my´ch teplot: T (x, y ) = a1 x + a2 y + a3
(12)
Maticoveˇ (T = U a): n
T
o
=
h
x y 1
a1 i a2 a 3
(13)
11
Odvozenı´ konecˇne´ho prvku pro staciona´rnı´ proble´m
(2)
Aproximace nezna´my´ch uzlovy´ch teplot v uzlech 1, 2, 3 (r = S a): T1 T2 T 3
=
x1 y 1 x2 y 2 x3 y 3
1 1 1
a1 a2 a 3
(14)
12
Odvozenı´ konecˇne´ho prvku pro staciona´rnı´ proble´m
(3)
Kombinacı´ vztahu˚ ε = ∂ T T a T = U a vznikne ε = B a, kde B = ∂ T U:
(
gx gy
)
0
∂y
gx gy
)
"
=
tedy: (
.
∂ ∂x
=
0 h x y 1 ∂ 1 0 0 0 1 0
a1 i a2 a 3
# a 1 a2 a 3
,
(15)
(16)
13
Odvozenı´ konecˇne´ho prvku pro staciona´rnı´ proble´m
(4)
Z r = S a plyne: a = S−1 r, kde S−1 ma´ tvar:
y2 − y 3 y3 − y 2 y1 − y 3 x3 − x 2 x1 − x 3 x2 − x 1 x2 y 3 − x 3 y 2 x3 y 1 − x 1 y 3 x1 y 2 − x 2 y 1 −1 S = . x1 − (y2 − y3) + x2(y3 − y1) + x3(y1 − y2)
(17)
Pak: ε = B S−1 r.
y2 − y 3 y3 − y 2 y1 − y 3 x3 − x 2 x1 − x 3 x2 − x 1 x2 y 3 − x 3 y 2 x3 y 1 − x 1 y 3 x1 y 2 − x 2 y 1 ε= x1 − ( y 2 − y 3 ) + x 2 ( y 3 − y 1 ) + x 3 ( y 1 − y 2 )
T1 T2 T 3
.
(18)
14
Odvozenı´ konecˇne´ho prvku pro staciona´rnı´ proble´m
(5)
Potencia´lnı´ energie „vnitrˇnı´ch sil“:
1Z T 1Z T Π= ε qdV = ε D εdV 2 V 2 V Po dosazenı´ z jednotlive´ matice je mozˇne´ psa´t:
1 T Z Πi = r S−1T BT DB S−1 d V rT 2 V
(19)
Strucˇneˇ:
Πi =
1 T r Kr 2
(20)
15
Odvozenı´ konecˇne´ho prvku pro staciona´rnı´ proble´m
(6)
Potencia´lnı´ energie „vneˇjsˇ´ıch sil“:
Πe =
Z
V
QT dV,
(21)
kde Q je vektor tepelny´ch toku˚:
Q=
q1 q2 q 3
(22)
16
Odvozenı´ konecˇne´ho prvku pro staciona´rnı´ proble´m
(7)
Mu˚zˇeme napsat zna´my´ vztah
K r = F,
(23)
kde F je vektor zatı´zˇenı´ a K . . . matice tuhosti konecˇne´ho prvku:
K=
Z
V
S−1T BT D B S−1 d V.
(24)
Protozˇe vsˇechny matice v integra´lu obsahujı´ jen konstanty, mu˚zˇeme psa´t:
K = t A S−1T BT D B S−1,
(25)
kde t . . . tlousˇt’ka konecˇne´ho prvku.
17
Prˇevod teplot do statiky Vypocˇı´tane´ rozlozˇenı´ teplot (zmeˇn teplot) mu˚zˇeme vyuzˇ´ıt jako teplotnı´ zatı´zˇenı´ ve staticky´ch vy´pocˇtech. Zrˇejmeˇ platı´:
αT ε= α T , 0
(26)
kde T je zmeˇna teploty oproti vy´chozı´mu nenapjate´mu stavu a α je soucˇinitel teplotnı´ roztazˇnosti ([m/K ]). Potom napeˇtı´ od zmeˇny teploty budou:
σ = D ε,
(27)
a protozˇe ε = B S−1 r, uzlove´ sı´ly prvku F:
F = t A S−1TBTD ε
(28) 18
Prˇ´ıklad: Analy´za steˇny metodou konecˇny´ch prvku˚ (1) ´ lohu ˇresˇte metodou konecˇny´ch Stanovte pru˚beˇhy napeˇtı´ σx a σy na steˇneˇ. U prvku˚, pouzˇijte konecˇny´ prvek odvozeny´ na minule´ prˇedna´sˇce. Tlousˇt’ka steˇny o rozmeˇrech 1 × 0, 5 m je konstantnı´ a ma´ velikost t = 0.1m, modul pruzˇnosti pouzˇite´ho materia´lu je E = 20 GP a, Poissonu˚v soucˇinitel ma´ velikost 0.2, soucˇinitel teplotnı´ roztazˇnosti α = 1 10 −6m/K. Steˇna je zatı´zˇena teplotou −5 K na spodnı´ okraji a +10 K na hornı´m okraji. Vypocˇtene´ rozdeˇlenı´ teplot pouzˇijte jako zatı´zˇenı´ steˇny vetknute´ na leve´m okraji
19
Prˇ´ıklad: Staticka´ analy´za steˇny MKP (2)
20
Prˇ´ıklad: Analy´za steˇny (teplota) (3)
21
Prˇ´ıklad: Analy´za steˇny V dalsˇ´ım vy´pocˇtu vyuzˇijeme vypocˇtene´ rozlozˇenı´ teplot na steˇneˇ jako zatı´zˇenı´ steˇny na leve´m okraji vetknute´.
22
Prˇ´ıklad: Analy´za steˇny (σx)
(5)
23
Prˇ´ıklad: Analy´za steˇny (σy )
(6)
24
Prˇ´ıklad: Analy´za steˇny (τxy )
(7)
25
