ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE VLNOVÉ JEVY (NEJEN) V TĚLESECH

ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE

VLNOVÉ JEVY (NEJEN) V TĚLESECH Vítězslav Adámek FAV, KME [email protected]

V. Adámek

Vlnové jevy (nejen) v tělesech

KME/UMM

Obsah přednášky: Obsah přednášky: • Studium vlnových jevů – motivace, aplikace • Základní pojmy a vlastnosti vln • Teorie šíření napěťových vln • Typy lineárních elastických vln v neomezeném prostředí • Vlny v elastickém jednorozměrném prostředí • vlnová rovnice v 1D

• postupná a stojatá vlna • fázová rychlost, disperze, grupová rychlost • Akustické vlny • Dopplerův jev • Seznam použité literatury

V. Adámek


KME/UMM

2/32

Motivace Co je to vlna? Kde se lze v praxi setkat s šířením vln? Vlna = rozruch, šířící se časem a prostorem (médiem), který přenáší energii. Tento rozruch se může šířit v libovolném médiu (pevné látky, plyny, kapaliny) a jeho rychlost závisí na vlastnostech daného prostředí. Teorie šíření vln nachází uplatnění v řadě reálných aplikací: • seismologie – zkoumání šíření vln při zemětřesení, lokalizace epicentra, předpovídání účinků zemětřesení,

studium tsunami atd., • geologie – zkoumání vlastností a složení zemské kůry, • důlní průmysl – lokalizace ložisek ropy, uhlí apod. pomocí šíření, odrazu a lomu vln vyvolaných podzemními výbuchy nebo zdroji na zemském povrchu, • stavebnictví – využití znalosti rázových vln při odstřelu, ražení tunelů, odstřel hornin, stavba mostů a budov apod., • zpracování kovů výbuchem – tváření, svařování, zpevňování, lisování aj., • detekce vad materiálů a konstrukcí – nedestruktivní metody (ultrazvukové metody, akustická emise), • studium dynamického porušování materiálů při rázovém zatížení,

V. Adámek


KME/UMM

3/32

Motivace Teorie šíření vln nachází uplatnění v řadě reálných aplikací: • syntetizace výbuchem - výroba syntetických diamantů, syntetických nano-materiálů apod., • studium odezvy materiálů při dopadu elektronových, laserových či rentgenových paprsků, • určování dynamických vlastností materiálů,

• letectví – studium rázových vln u nadzvukových letadel, rázy předmětů na části letadel apod., • zbrojní průmysl – studium účinků výbušnin, stanovení účinnosti a průraznosti střel, návrh pancéřování, studium šíření tlakových vln při detonaci výbušnin či jaderných explozích atd., • výzkum vesmíru – studium sluneční soustavy, předpovídání účinků dopadu meteoritů atd., • optika – studium lomu, odrazu a rozkladu světla atd., • akustika – hudební nástroje, sonar (echolokace ultrazvukem) apod., • lékařství – rentgen, magnetická rezonance, sonografie (zobrazování pomocí ultrazvuku),

odstraňování močových kamenů atd., •…

V. Adámek


KME/UMM

4/32

Základní pojmy a vlastnosti vln Vlna - rozruch, šířící se časem a prostorem; přenáší energii; rychlost rozruchu závisí na vlastnostech prostředí (řádově 102 - 103 m/s) Rozruchem rozumíme změnu jisté fyzikální veličiny, např.: • deformace (elastické, plastické) či napětí (vlny v deformovatelných tělesech),

• tlaku (akustické vlny), • elektrické či magnetické intenzity (šíření vln v silových polích), • elektrického potenciálu (vlny v elektrických obvodech), • teploty (teplotní vlny v libovolném médiu),

• ...

! Při šíření vln daným prostředím nedochází k přenosu hmoty !

V. Adámek


KME/UMM

5/32

Základní pojmy a vlastnosti vln Vlny šířící se v hluboké vodě (hloubka > )

Rayleighovy povrchové vlny v tělese

Animace převzaty z [7].

Při šíření rozruchu daným prostředím dochází pouze k vychylování částic z jejich rovnovážných poloh, nedochází k jejich přesunu  ty následně ovlivňují sousední částice (díky nenulové setrvačnosti částic začíná pohyb sousedních částic vždy o něco později)  rozruch se šíří médiem, ale nedochází k přenosu hmoty. Hranici mezi již pohybujícími se částicemi a částicemi nacházejícími se ve své původní rovnovážné poloze nazýváme čelo vlny a rychlost, kterou se šíří, pak rychlost vlny – jedná se o rychlost šíření rozruchu daným médiem (tato rychlost však není totožná s rychlostí částic, částice kolem své rovnovážné polohy kmitají svojí vlastní rychlostí). V. Adámek


KME/UMM

6/32

Základní pojmy a vlastnosti vln V následujícím se omezíme především na šíření vln v tělesech. V tomto případě hovoříme o tzv. napěťových vlnách, tj. šíření rozruchu odpovídá šíření změn napětí.

Vysvětlení: při vychýlení částic z rovnovážných poloh nastává jejich relativní posuv  vzniká deformace

 zároveň se mezi sousedními částicemi mění silové účinky (interakce)  míra intenzity změny těchto sil = změna napětí, tj. rozruch = změna napětí. Ačkoliv se šíření rozruchu v tělesech odehrává na mikroskopické úrovni (částice = atomy), budeme se zabývat pouze „fyzikou“ šíření napěťových vln, takže vlnové jevy budeme studovat z makroskopického pohledu. Vlastnosti materiálu (kontinua) budou v takovém případě popsány spojitými funkcemi či konstantami (např. E, , , …), které představují průměrné hodnoty mikroskopických veličin.

V. Adámek


KME/UMM

7/32

Teorie šíření napěťových vln Teorie šíření napěťových vln lze rozdělit do dvou skupin: 1.

Teorie neuvažující vliv rychlosti deformace – používají se tehdy, jsou-li fyzikální rovnice popisující vztah mezi složkami napětí a deformace nezávislé na rychlosti deformace nebo lze-li tento vliv zanedbat. Do této skupiny řadíme např. teorii lineárních elastických vln, teorii nelineárních elastických vln, teorii plastických vln aj.)

2.

Teorie zahrnující vliv rychlosti deformace – užívají se při řešení úloh, kdy již vliv rychlosti deformace na fyzikální rovnice nelze zanedbat (např. při řešení rázových úloh). Jedná se o teorii viskoelastických vln, elasto-visko-plastických vln atd.

Rázové zatížení • typické svým velmi krátkým časem působení, řádově v ms, s i ns; obvykle má tvar pulsu, • příklady rázového zatížení: • dopad střely – zatížení o hodnotě 1 – 10GPa způsobené dopadem kulky letící rychlostí 102 – 103m/s trvá několik desítek s, • exploze na povrchu tělesa – tlak vzroste na 10GPa během několika málo s, • jaderná exploze – tlak v centru vzroste na 103 – 104GPa během několika málo s,

• při tomto typu zatížení dochází k velmi rychlým změnám (řádově v s) sledovaných veličin (napětí, deformace, …).

Pozn: 10GPa je tlak, který vznikne při působení tělesa o hmotnosti 1t na plochu 1mm2. V. Adámek


KME/UMM

8/32

Typy lineárních elastických vln v neomezeném prostředí Základní dělení napěťových vln: 1.

Podélné vlny (longitudinal waves) – směr pohybu částic je totožný se směrem šíření vln

2.

Příčné vlny (transverse waves) – směr pohybu částic je kolmý na směr šíření vln

Podle tvaru čela vlny rozlišujeme dále: • rovinné vlny (plane waves) • válcové vlny (cylindrical waves)

• kulové (sférické) vlny (spherical waves) V. Adámek


Animace převzaty z [7]. KME/UMM

9/32

Typy lineárních elastických vln v neomezeném prostředí Základní typy podélných a příčných vln: 1.

Dilatační (nerotační) vlny – jedná se o podélné vlny, při nichž se tělesem šíří dilatace  (dilatace  představuje objemovou změnu), tj. při jejich pohybu dochází k objemovým změnám elementů tělesa; tyto vlny se často označují jako P-vlny (Primární vlny, neboť se šíří největší rychlostí). Pro jejich rychlost platí: je tzv. Laméova konstanta. kde

2.

Rotační (ekvivolumetrické, smykové) vlny – jedná se o příčné vlny, při nichž se tělesem šíří změna složek vektoru rotace , tj. při jejich pohybu dochází k tvarovým změnám elementů tělesa; často se označují jako S-vlny (Sekundární vlny, neboť jejich rychlost je menší než rychlost P-vln). Pro jejich rychlost platí:

S-vlny se dále ještě dělí na: a) SH-vlny – šíří se paralelně s volným povrchem (horizontálně polarizované S-vlny), b) SV-vlny – šíří se ve směru kolmém k volnému povrchu (vertikálně polarizované S-vlny).

V. Adámek


KME/UMM

10/32

Typy lineárních elastických vln v neomezeném prostředí Základní typy podélných a příčných vln: Dilatační vlny (P-vlny)

Rotační vlny (S-vlny)


Detekce čel vln na seismografu:

V. Adámek


KME/UMM

11/32

Typy lineárních elastických vln v neomezeném prostředí Povrchové vlny Všechny dosud uvedené typy vln představovaly vlny šířící se uvnitř těles. Při interakci těchto vln s povrchem těles či s rozhraním mezi dvěma materiály dochází ke vzniku tzv. povrchových vln. Uveďme dva zástupce těchto vln: Rayleighovy vlny

Loveovy vlny


Tyto typy vln hraji významnou roli při zemětřesení. Platí cR = 0.9194 c2. Dalšími typy povrchových vln jsou např. vlny Lambovy, Stoneleyovy aj.

V. Adámek


KME/UMM

12/32

Vlny v elastickém jednorozměrném prostředí Úlohy vln v 1D elastickém kontinuu: • příčné vlnění strun • podélné vlny v tenkých tyčích • torzní vlny v tyčích

Všechny tyto vlnové problémy v 1D lze formálně popsat stejnou rovnicí ve tvaru: … tzv. vlnová rovnice (parciální diferenciální rovnice 2. řádu hyperbolického typu), kde c je rychlost šíření vlny a (x,t) funkce popisující příslušnou výchylku. Typ úlohy

Význam funkce (x,t)

Rychlost vlny

vlnění struny

příčná výchylka struny

S … osové napětí ve struně  … hmotnost jednotky délky

podélné vlny v tenké tyči

osový posuv příčného řezu

E … modul pružnosti v tahu  … hustota materiálu tyče

torzní vlny v tenké tyči

úhel pootočení řezu kolem osy tyče

G … modul pružnosti ve smyku  … hustota materiálu tyče

Pozn: Rychlost podélných vln – ocel c0 = 5200 m/s, hliník c0 = 5100 m/s, sklo c0 = 5300 m/s. V. Adámek


KME/UMM

13/32

Vlny v elastickém jednorozměrném prostředí Postupné vlny a jejich superpozice, stojatá vlna Postupná vlna = vlna, postupující daným prostředím; její rychlost závisí na vlastnostech prostředí; při jejím šíření dochází k přenosu energie. Stojatá vlna = vznikne superpozicí dvou proti sobě šířících se postupných vln stejné frekvence, nešíří se daným prostředím, nepřenáší energii (Pozn: vlastní mód = stojatá vlna).

Animace převzata z [7].

V. Adámek


KME/UMM

14/32

Vlny v elastickém jednorozměrném prostředí Postupné vlny a jejich superpozice, stojatá „vlna“ (stojaté kmitání) Stojatá vlna vznikne také v případě superpozice postupných (primárních) a odražených (sekundárních) vln od volného či pevného konce. Volný konec  odraz se stejnou fází

Stojaté vlny

Pevný konec  odraz se opačnou fází

Animace převzaty z [7]. V. Adámek


KME/UMM

15/32

Vlny v elastickém jednorozměrném prostředí Fázová rychlost, disperze, grupová rychlost Fázová rychlost vlny v = rychlost, kterou se šíří libovolná fáze vlny prostorem (v konkrétním čase t odpovídá dané fázi jeden bod v místě x na křivce popisující tvar vlny, tento bod reprezentuje např. výchylku, napětí apod. v čase t a v místě x). body ve stejné fázi

w

v x

Předpokládáme harmonickou vlnu ve tvaru

body ve stejné fázi

kde A je amplituda,  vlnová délka, k vlnové číslo,  kruhová frekvence vlny, v fázová rychlost a platí: (T – perioda [s], f – frekvence [Hz])

V. Adámek


KME/UMM

16/32

Vlny v elastickém jednorozměrném prostředí Fázová rychlost, disperze, grupová rychlost Disperze = závislost velikosti fázové rychlosti harmonické vlny na její frekvenci; tato závislost se znázorňuje pomocí tzv. disperzní křivky.

Struna, tenká tyč, tenká membrána a neomezené 3D elastické kontinuum jsou bezdisperzní prostředí, tj. fázové rychlosti šíření harmonických vln v těchto prostředích nezávisí na jejich frekvenci.

Jako příklad disperzního prostředí uveďme např. tenký elastický nosník. Šíření ohybových vln v tomto tělese je dle Eulerovy-Bernoulliovy teorie popsáno rovnicí: kde

(k0 poloměr setrvačnosti průřezu)

Uvedená rovnice není vlnová, parametr c nemá dokonce ani rozměr rychlosti, a po dosazení předpokládaného řešení ve tvaru dříve uvedené harmonické vlny, tj.

dostáváme podmínku, za které se bude tato vlna šířit nosníkem, ve tvaru  fázová rychlost závisí na vlnové délce, tj. i na frekvenci (vysokofrekvenční složky rozruchu se šíří v nosníku vyšší rychlostí)  nastává disperze V. Adámek


KME/UMM

17/32

Vlny v elastickém jednorozměrném prostředí Fázová rychlost, disperze, grupová rychlost Důsledek disperze – při šíření vln složených z více frekvenčních složek disperzním prostředím dochází k jejich distorzi (změně tvaru) Distorze pulsu – dochází ke snížení amplitudy a rozšíření pulsu


V. Adámek


KME/UMM

18/32

Vlny v elastickém jednorozměrném prostředí Fázová rychlost, disperze, grupová rychlost Důsledek disperze – při šíření vln složených z více frekvenčních složek disperzním prostředím dochází k jejich distorzi (změně tvaru) Šíření vlnového balíku v bezdisperzním prostředí

Šíření vlnového balíku v disperzním prostředí


Pozn: Rozlišujeme tzv. normální a anomální disperzi. Při normální disperzi se rychlost vln s rostoucí frekvencí, tj. s klesající vlnovou délkou, zmenšuje (např. vlny na hluboké vodě). Při anomální je tomu naopak.

V. Adámek


KME/UMM

19/32

Vlny v elastickém jednorozměrném prostředí Fázová rychlost, disperze, grupová rychlost Kde se v praxi s disperzí setkáme? Rozklad světla pomocí optického hranolu (Snellův zákon + disperze) – skleněný hranol je disperzní prostředí, rychlost vlny odpovídající červené barvě (375 – 480THz) je větší než u barvy modré (700 – 750THz)


Je vzduch disperzní prostředí? Pozn: Dosud jsme mluvili o tzv. geometrické disperzi. Kromě ní existuje i tzv. materiálová disperze (např. viskoelastické materiály) a disperze způsobená prostorovou diskretizací při numerickém řešení vlnových jevů (MKP). V. Adámek


KME/UMM

20/32

Vlny v elastickém jednorozměrném prostředí Fázová rychlost, disperze, grupová rychlost Grupová rychlost vg = rychlost šíření vlnového balíku (grupy), který vznikl superpozicí několika harmonických vln Pro jednoduchost uvažujme, že vlnový balík vznikne superpozicí pouze dvou harmonických vln stejných amplitud A a blízkých kruhových frekvencí 1 a 2 (tj. i blízkých vlnových čísel k1 a k2). Vlny předpokládejme ve tvaru: a kde

Vlnový „balík“ lze potom vyjádřit jako

což lze upravit do tvaru

V. Adámek


KME/UMM

21/32

Vlny v elastickém jednorozměrném prostředí Fázová rychlost, disperze, grupová rychlost pro t = 0.

Znázornění vlnového balíku

obálka šířící se grupovou rychlostí

oscilace šířící se fázovou rychlostí





g

g … V. Adámek

vlnová délka grupy


KME/UMM

22/32

Vlny v elastickém jednorozměrném prostředí Fázová rychlost, disperze, grupová rychlost Pro grupovou rychlost balíku složeného z velkého počtu harmonických vln lze v limitě pro k  0 psát

což po dosazení vztahu mezi  a v vede na

Z tohoto vztahu vyplývá, že mohou nastat následující případy: • vg < v … vlny v balíku mající vyšší frekvenci postupují rychleji (zdánlivě vznikají na konci balíku a zanikají na jeho čele) • vg = v … vlny v balíku a vlnový balík postupují stejnou rychlostí

• vg > v … vlny v balíku mající vyšší frekvenci postupují pomaleji (zdánlivě vznikají na čele balíku a zanikají na jeho konci)

Bezdisperzní prostředí, tj. vg = v (např. struna)

pohybuje se fázovou rychlostí V. Adámek


Disperzní prostředí pro případ vg < v

pohybuje se grupovou rychlostí


KME/UMM

23/32

Vlny v elastickém jednorozměrném prostředí Fázová rychlost, disperze, grupová rychlost Konkrétní příklady grupové rychlosti v disperzním prostředí:

• ohybové vlny v tenkém nosníku  • tzv. gravitační vlny (např. na hluboké vodě nebo v atmosféře)  Snímky gravitačních vln na moři a v atmosféře:

Fotky převzaty z [9].

V. Adámek


KME/UMM

24/32

Akustické vlny Zvuk má vlastnosti vlnového jevu, např.: • při šíření zvuku platí princip superpozice, lze slyšet naráz víc jak jeden zvuk; dochází k odrazu zvuku od překážek,

• při šíření zvuku nedochází k přenosu hmoty média, v němž se zvuk šíří (i když stojíme v těsné blízkosti reproduktoru, který vydává ohlušující zvuk, necítíme žádný vánek),

• rychlost zvuku závisí na médiu, v němž se šíří (cvzduch < cHe < cvoda ); nárůst energie přenášené zvukem způsobí nárůst jeho intenzity, nikoli jeho rychlosti.

Akustické (zvukové) vlny Jedná se o mechanické vlny o malé amplitudě, které se šíří určitým pružným prostředím:

• v plynech (akustické vlny = podélné vlny), • v kapalinách (akustické vlny = podélné vlny), • v pevných látkách (akustické vlny = podélné i příčné vlny).

V. Adámek


KME/UMM

25/32

Akustické vlny Akustické vlny se dělí podle frekvence na:

• infrazvuk  f < 20Hz, • slyšitelný zvuk  20Hz  f  20kHz, • ultrazvuk  f > 20kHz, • hyperzvuk  f > 1GHz. Zvuk = slyšitelné akustické vlny. Pozn: V některé literatuře jsou za hranice slyšitelného zvuku považovány frekvence 16Hz a 16kHz.

Rychlost akustických vln podle typu prostředí:

• plyny 

, kde  … Poissonova adiabatická konstanta (pro vzduch   1.4, cvzduch  340m/s),

R … univerzální plynová konstanta, M … molární hmotnost,

T … absolutní teplota, • kapaliny 

, kde K … objemový modul (popisuje pružné vlastnosti kapalin), cvoda  1500 m/s,

• pevné látky  závisí na typu vln a typu kontinua (c0, c1, c2 … viz dříve). V. Adámek


KME/UMM

26/32

Akustické vlny ve vzduchu Zvuková vlna ve vzduchu = změna akustického tlaku pa šířící se vzduchem.

Výsledný tlak vzduchu lze zapsat jako:

akustický tlak (změna pa odpovídající akustické vlně pa  10-5 - 102Pa) atmosferický (barometrický) tlak (p0  105Pa)

Obrázek převzat z [10].

Druhy zvuku:

• periodické změny tlaku  hudební zvuk; nejjednodušším typem je čistý tón = harmonická vlna, tj. obsahuje jen 1 frekvenci; lze vyvodit jen uměle (PC, syntetizátor); amplituda vlny  hlasitost tónu, frekvence vlny  výška tónu (cvzduch  340m/s  pro nejhlubší tóny je  = 17m, pro nejvyšší tóny je  = 17mm),

• neperiodické změny tlaku  nehudební zvuk (rána, skřípání, …), • neperiodické i periodické změny tlaku  hluk (bílý šum = hluk, v němž jsou zastoupeny všechny frekvence rovnoměrně – analogie bílého světla).

V. Adámek


KME/UMM

27/32

Akustické vlny ve vzduchu Rychlost zvuku = rychlost změny akustického tlaku pa šířící se vzduchem.

 rychlost zvuku nezávisí ani na tlaku ani na hustotě, závisí zejména na teplotě

Platí:

a molární hmotnosti (ta závisí např. na relativní vlhkosti vzduchu – vyšší vlhkost  vyšší rychlost).

Rychlosti zvuku v různých plynech a při různých teplotách:

• vzduch při teplotě 0°C  c  330m/s, • vzduch při teplotě 30°C  c  350m/s, • hélium  c  1000m/s • vodík  c  1300m/s

lehké plyny,

• oxid uhličitý  c  259m/s - těžký plyn. Pozn: Hlasivky + helium  hlas je významně vyšší Vysvětlení – hlasivky uzpůsobeny modulaci zvuku ve vzduchu, jenže helium má přibližně 3x nižší molární hmotnost než vzduch  c zvuku je přibližně 3x vyšší  frekvence f = c/ , která odpovídá výšce tónu, je také přibližně 3x větší. V. Adámek


KME/UMM

28/32

Dopplerův jev Poprvé popsán v roce 1842 rakouským matematikem Christianem Dopplerem.

Pohybuje-li se zdroj zvuku nebo jeho přijímač, zaznamenává přijímač jinou výšku tónu (frekvenci) než v případě, kdy jsou zdroj i přijímač v klidu.

Uvažujme zdroj zvuku Z o frekvenci fZ a dva nehybné přijímače P1 a P2, které přijímají zvuk o frekvenci fP1 a fP2: a) zdroj se nepohybuje  vZ = 0

P2

Z

P1

fP1 = fP2 = fZ … oba přijímače registrují zvuky o stejné frekvenci, jakou vysílá zdroj

b) zdroj se pohybuje  vZ > 0

P2

Z

P1

… přijímače

a

registrují zvuky o jiné frekvenci, než vysílá zdroj Animace převzaty z [7].

V. Adámek


KME/UMM

29/32

Dopplerův jev Pokud se v soustavě zdroj + přijímač pohybuje zdroj rychlostí vZ > 0 a přijímač rychlostí vP > 0 potom platí:

Limitní případy: a) vP = 0 a vZ = c

b) vP = 0 a vZ > c

Všechny vlnoplochy dorazí k přijímači současně, dojde ke skokové změně tlaku  vzniká rázová vlna

Opět vzniká rázová vlna, přijímač (pozorovatel) nejprve zaznamená pohybující se zdroj a teprve potom rázovou vlnu. Dochází ke vzniku tzv. Machova kuželu s vrcholovým úhlem  = arcsin(1/M), kde M = vZ/c je tzv. Machovo číslo Animace převzaty z [7].

V. Adámek


KME/UMM

30/32

Dopplerův jev Dopplerův jev nastává nejen u zvuku, ale také u napěťových vln, světla či rádiových vln.

Kde se s ním v praxi setkáme? • metody přesného bezkontaktního měření rychlosti (vozidel, letadel, ponorek, krve v tepnách),

• vznik rázových vln u nadzvukových letadel, • měnící se zvuk sirény projíždějící sanitky či zvuk motoru závodního automobilu, • policejní radary, • měření rychlosti hvězd či vzdálených galaxií (vzdalující se hvězda  posun zaznamenaného světla k červené barvě, přibližující se hvězda  posun k modré barvě) • netopýři – lokace hmyzu a jeho rychlosti •…

V. Adámek


KME/UMM

31/32

Seznam použité literatury

2/22

Reference: [1] Brepta, R.: Vlny napětí a rázové jevy v lineárně elastických a viskoelastických prostředích, LENAM, Liberec, 1997. [2] Crowell, B.: Vibrations and Waves, Fullerton, 2010 (http://www.lightandmatter.com).

[3] French, A.P.: Vibrations and Waves, The M.I.T. Introductory Physics Series, W. W. Norton & Company, New York, 1971. [4] Graff, K.F.: Wave Motion in Elastic Solids, Clarendon Press, Oxford, 1975. [5] Rao, S.S.: Vibration of Continuous Systems, John Wiley & Sons, Inc., New Jersey, 2007. [6] Wang, L.-L.: Foundations of Stress Waves, Elsevier, Oxford, 2007. [7] Acoustics and Vibration Animations - Dan Russell, Grad. Prog. Acoustics, Penn State (http://www.acs.psu.edu/drussell/demos.html). [8] Michigan Technology University - internetové stránky (http://www.geo.mtu.edu/UPSeis/). [9] Wikipedie (http://en.wikipedia.org/wiki/). [10] Bajer, J.: Mechanika 3, chlup.net, Olomouc, 2012. [11] Kmity, vlny, akustika – učební text VŠTE v Českých Budějovicích.

V. Adámek


KME/UMM

32/32

ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE VLNOVÉ JEVY (NEJEN) V TĚLESECH

Recommend Documents