ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE PRUŽNOST A PEVNOST
Přednáška č. 5 Prof. Ing. Vladislav Laš. CSc.
MECHANIKA PODDAJNÝCH TĚLES Úkolem PP z inženýrského hlediska je navrhnout součásti nebo konstrukce, které splňují svoji funkci a jsou bezpečné. 2 základní úlohy PP - pevnostní úloha - tuhostní úloha Základní pojmy Vnější síly - povrchové (F, M, …) - objemové (vlastní tíha, ….) Vnitřní síly – Vlivem působení vnějších sil se těleso deformuje a v tělese vznikají tzv. vnitřní síly.
Napětí a deformace Intenzitu vnitřních sil lze vyjádřit pomocí napětí Normálová složka napětí σ = Smyková složka napětí
dT [Pa] dA
ɺγ = Zkouška materiálu při smyku tg γ =
Deformace materiálu Zkouška tahem
Poměrné prodloužení
τ=
dN [Nm −2 = Pa] dA
∆x y
γ … zkos
ε=
∆l l
Závislost mezi napětím a deformací Tahový diagram
Hookeův zákon
σ = E ⋅ε E … modul pružnosti v tahu [Pa] ocel
tgα = E
E = (1,9 ÷ 2,2 )⋅1011 Pa
Hookeův zákon pro smyk
τ = G ⋅γ G … modul pružnosti ve smyku
G =ɺ 0,8 ⋅1011 Pa
V zatěžovaném tělese vzniká napjatost Jednoosá napjatost – namáhání prostým tahem
σx =
F A
Rovinná napjatost
Rovinná napjatost je popsána složkami
σ x, σ y, τ
Rovinná napjatost je taková napjatost, kde všechna napětí leží v jedné rovině.
Hookeův zákon pro rovinnou napjatost ~ ~
~
εx =
σx E
σy
−ν
σy E
σx
=
1 [σ x −ν σ y ] E
1 εy = −ν = [σ y −ν σ x ] E E E
γ=
1 ε x E ε = − ν y E γ 0
~
τ G
−
ν
E 1 E 0
0 0 1 G
σ x σ y τ
ε=C σ σ=S ε S = C −1
Namáhání přímého prutu - tah (tlak) - krut jejich kombinace - ohyb Prostý tah
Napětí
σ=
F A
Dovolené napětí σ D =
Poměrné prodloužení ε =
Pevnostní podmínka
σ ≤σD
σ E
=
F ∆l ; ε= ⇒ EA l
∆l =
Tuhostní podmínka
∆l ≤ ∆l D
Fl EA
[m]
σ K σ p k k k p
Prostý krut
Kroutící moment Napětí τ =
Wk =
πd 3 16
Úhel zkroucení ϕ
M l ϕ= k G Jp
M k = F ⋅ a [Nm ]
M k Nm = Pa Wk m 3
Wk [m 3 ] … průřezový modul v krutu Poměrný zkrut ϑ
ϑ=
ϕ l
=
Mk G Jp
J p [m 4 ] …. polární kvadratický moment Pevnostní podmínka
τ ≤τD
Tuhostní podmínka
ϕ ≤ ϕ D (ϑ ≤ ϑD )
Prostý ohyb Prut namáhaný příčnými silami nazýváme nosník. Reakce
R A = RB =
F 2
Max. ohybový moment Maximální napětí Wo [m3 ]
Průběh napětí σ o podél průřezu
M o max =
σ o max =
F l Fl ⋅ = 2 2 4
M o max [Pa] Wo
…průřezový modul v ohybu …
Pevnostní podmínka
σ o max ≤ σ D
Tuhostní podmínka (průhyb)
vmax ≤ vD
INŽENÝRSKÉ VÝPOČTY V TECHNICKÉ PRAXI Přednáška č. 5a
Prof. Ing. Vladislav Laš. CSc.
Inženýrské výpočty v technické praxi Obsah:
• • • • •
Význam výpočtů v technické praxi Druhy výpočtových metod Princip a vývoj MKP MKP systémy Aplikace MKP
Význam výpočtů v technické praxi Při produkci výrobků je nutné znát vlastnosti a chování daného výrobku v reálných (provozních) podmínkách
Simulace provozního procesu („odezva výrobku“ na provozní podmínky)
Analyticky řešitelné úlohy pružnosti: • • • • •
Namáhání přímých prutů (tah, tlak, krut, vzpěr a stabilita, …) Tenkostěnné a silnostěnné rotační nádoby Rotující kotouče Desky kruhové a obdélníkové …
Praktické úlohy většinou podstatněji složitější
Použití přibližných diskrétních výpočtových metod • • • • •
Metoda sítí Metoda konečných objemů Metoda hraničních prvků Metoda konečných prvků (MKP) …
Výhody použití výpočtových metod v kombinaci s CAD systémy: • • • • • •
Zkrácení vývojového času Redukce výrobních nákladů a úspora surovin Inovace a tvořivost Zvyšování kvality Dodržování stále přísnějších norem … Vyšší efektivita výroby
Flexibilita vs. náklady na změnu výroby Náklady na změnu výroby Flexibilita
definování výroby
koncepce výroby
seriová výroba
Princip MKP Zatížené pružné těleso Vlivem zatížení dochází k deformaci tělesa Pole posuvů u = [u x , u y , u z ] T
Pole deformací (přetvoření) ε = [ε x , ε y , ε z , γ yz , γ zx , γ xy ] T
Pole napětí: σ = [σ x , σ y , σ z , τ yz , τ zx , τ xy ] T
Princip MKP Deformační stav pružného tělesa je podle matematické teorie pružnosti popsán 15-ti rovnicemi 3 podmínky rovnováhy (Cauchyho) ∂σ+R = 0
(3 rovnice)
kde ∂ je matice operátorů, R = [ X , Y , Z ] T vektor objemových sil 6 geometrických rovnic
ε = ∂T u 6 fyzikálních rovnic (rozšířený Hookeův zákon)
σ = Dε
Princip MKP Deformační varianta • Hledání neznámých funkcí posunutí u (x, y, z) je nahrazeno hledáním konečného počtu hodnot těchto funkcí, z nichž lze zkonstruovat přibližné řešení. • Hledané neznámé funkce posunutí aproximujeme pomocí bázových polynomických funkcí v diskrétních bodech a s jejich pomocí vyjádříme neznámé posuvy v celém kontinuu. • Matematicky se tak řešení diferenciálních rovnic převádí na řešení soustav algebraických rovnic.
Princip MKP Princip MKP je založen na Lagrangeově principu: Těleso je v rovnováze, jestliže celková potenciální energie deformace soustavy je minimální. Celková potenciální energie Π = Ei + Ee Ei …. potenciální energie deformace vnitřních sil
Ee …. potenciální energie deformace vnějších sil
Minimum
∂Π =0 ∂u Ei
Postup: Oblast A s hranicí Γ nahradíme konečným počtem prvků → diskretizace
Γ A
→
a) Funkce posuvů nahradíme polynomem u ( x, y ) = a1 + a2 x + a3 y v( x, y ) = a4 + a5 x + a6 y
b) Funkce posuvů u,v vyjádříme pomocí hodnot posuvů v uzlových bodech ui , vi ,
i = 1, 2, 3.
c) Sestavení celkové potenciální energie prvků Π ie jako funkce posuvů. d) Sestavení celkové potenciální energie soustavy n
Π = ∑ Π ie , i =1
zavedení okrajových podmínek
e) Minimalizace celkové potenciální energie soustavy ∂Π =0 ∂u
⇒
soustava lineárních algebraických rovnic s neznámými posuvy v uzlových bodech
f) Známe-li vektor neznámých posuvů u, potom lze vyšetřit deformace
ε = ∂T u a napětí
σ=Dε
Získáváme přibližné řešení úlohy
Vývoj MKP a její aplikace rok 2000 1990 -
simulace výrobních procesů (lití, svařování, tváření), mechanika kompozitních a anizotropních materiálů biologie, lékařství, fyzika, geofyzika
1980 1970 1960 -
elektronika, mikromechanika průmysl spotřební, chemický (plasty), strojírenský průmysl automobilový, loďařský, letecký, vesmírný, stavební oblasti použití
MKP systémy Kompaktní systémy • Vznik v 50. a 60. letech • Robustní systémy schopné řešit široké spektrum úloh • Vysoká cena • Např.: MARC, ANSYS, NASTRAN, ABAQUS, COSMOS, SYSTUS, …
Specializované systémy: • Zaměřeny na určitou oblast úloh • Např.: ADAMS, FLUENT, PAM-FLOW, PAMCRASH, DYNA, FORGE, FATIGUE …
Přístupné na ZČU: •
Např.: ANSYS, MARC, ADAMS, SYSTUS, FLUENT, PAM-CRASH, DYNA, FATIGUE
Prostorová diskretizace
Princip MKP • Základním předpokladem MKP je diskretizace spojitého kontinua na prvky - konečné počtem i velikostí
Metodický postup při definování MKP úlohy: • Postavení fyzikálního modelu : - stanovení cíle výpočtu - rozhodnutí o typu úlohy - rozhodnout o dimenzi úlohy - izolace tělesa a nahrazení vlivu okolí vazbami, tj. stanovení okrajových podmínek řešení
Metodický postup při definování MKP úlohy: • Postavení MKP modelu - Volba typu prvku - Volba hustoty sítě - Kontrola sítě
Skladba MKP systémů • Preprocesor • Solver • Postprocesor
Čelist s vedením Cíl řešení: dimenzovat čelist soustruhu - Řešení provedeno v prostoru - Volba okrajových podmínek - Materiál čelisti - Provedena diskretizace s přihlédnutím ke koncentrátorům napětí - Kontakt dotýkajících se ploch
Čelist s vedením • Vyhodnocení chyby výpočtu • Posouzení výsledků • Ověření experimentem
Napěťová analýza rámu lisu
Tahová zkouška
Úlohy pružnosti a pevnosti Simulace tvárného lomu tyčky
Diskretizace úlohy pomocí konečných prvků
Kumulace dutin
•
Vibrační a tuhostní analýza experimentálního fúzního reaktoru Wendelstein 7-X (SRN)
Vtlačování kladky do trubky
Projekty a předdiplomní projekty Bezpečnostní prvek v nárazníku
Bezpečnostní prvek nárazníku
Bezpečnostní prvek nárazníku
Nárazník – absorber energie
