VŠB – Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní Katedra pružnosti a pevnosti (339)
Opakování základních znalostí z pružnosti a pevnosti
Autor: Jaroslav Rojíček Verze: 3 Ostrava 2010
PP1
Souhrn
1 Opakování základní pružnosti: V předmětu Pružnost a pevnost byly probrány základní pojmy (napětí, deformace), způsoby řešení úloh (metoda řezu), zatěžování atd. Základní rovnice pro výpočet napjatosti a změny tvaru pro tah-tlak, ohyb, krut jsou zopakovány v Tab. 1. Normálová síla v řezu je značena N(x), ohybový moment v řezu M(x), krouticí moment v řezu Mk(x), y u ohybu je vzdálenost od neutrální osy, r u kroucení je vzdálenost od středu průřezu Tab. 1. Tah – tlak Ohyb Kroucení (volné)
S=ab L
L F
x
Mk
F
JP
r
Jx
ΔL
x
A
x
A
A
L
φ y
Vnitřní účinky (síly)
x F
Charakteristiky průřezu
Deformace Základní rovnice
x
F +
N(x)=∑Fi= F Napětí
Mk(x)
M(x)
N(x)
+ M(x)=∑Mi= - Fx M ( x) y Jx
N ( x) S Normálové napětí σ [MPa]
Normálové napětí σ [MPa]
S dS
J x y 2 dS
Plocha průřezu [m2]
L L Poměrné prodloužení [1] dx dx V diferenciální formě
Osový kvadratický moment setrvačnosti plochy [m4] L L Poměrné prodloužení [1]
2/25
x Mk
+
Mk(x)=∑Mki=- Mk
Mk ( x) r Jp
Smykové napětí τ [MPa] J P r 2dS
Polární kvadratický moment setrvačnosti plochy [m4] R L Zkos [rad]
PP1
Souhrn
Deformace F L L Rovnice pro ES výpočet: Prodloužení [mm]
v´´
M ( x) E Jx
Mk L G JP
Zkroucení [rad]
Průhyb [mm] v, natočení [rad]
Pro nekonstantní N(x), Znaménko volíme dle S(x). znaménkové konvence. Hookův zákon E - Modul pružnosti E - Modul pružnosti G - Modul pružnosti ve v tahu. v tahu. smyku. Deformace je popsána poměrným prodloužením
, tato rovnice platí vždy. V řadě
případů je možné rovnici zjednodušit do tvaru , kde dx je elementární část délky L. V případě, že při změně polohy elementu dx se nezmění „tvar“ nosníku (průřez, velikost ani tvar), zatížení nosníku ani materiál - nejsou funkcí polohy x – pak můžeme použít zjednodušenou rovnici.
2 Řešené příklady na procvičení – Cv_1_Př_1 Dáno: A=10 mm, B=20 mm, L=200 mm, F= 1000 N, E=200000MPa.
A B L
Obr. 1
F
Urči: (opak statiky a pružnosti – postup řešení) průhyb, natočení, rozložení napětí v nosníku, reakce.
Při řešení příkladů v pružnosti a pevnosti byl u staticky určitých úloh používán jednoduchý postup: Uvolnění tělesa (těles, základní popis úlohy), sestavení statických rovnic rovnováhy (výpočet reakcí), určení řezů a rovnic popisujících hodnoty vnitřních sil a momentů (dle typu úlohy), určení průběhů vnitřních sil a momentů (graficky) a jejich analýza (extrémy), určení charakteristik průřezů (S, Jx, JP), výpočet napětí (průběh, hodnoty a polohy extrémů), výpočet průhybové čáry, posunutí nebo natočení (dle typu úlohy). Tento postup použijeme i u našeho příkladu. Podrobnější popis jednotlivých kroků, vysvětlení a odvození rovnic lze nalézt v přednáškách ze Statiky a Pružnosti a pevnosti, případně v Literatuře [1] – [9]. a/ Uvolnění tělesa: Z úlohy vyjmeme jedno vybrané těleso s veškerým zatížením, které na vybrané těleso působí. Veškeré vazby vybraného tělesa s ostatními tělesy, rámem apod. nahradíme reakcemi (vše překreslíme do nového obrázku). U soustav těles tento postup aplikujeme na všechna tělesa kromě rámu. V našem případě takto získáme Obr. 2 (směry reakcí volíme).
3/25
PP1
Souhrn
RAX
MRA
F
A RAY
L
Obr. 2
b/ Statické rovnice rovnováhy: Vyjadřují, že počítané (uvolněné) těleso se nepohybuje v žádném z možných „směrů pohybu“ – stupňů volnosti (u pohybujícího se tělesa sestavujeme pohybové rovnice, viz [10], [11]). V rovině má jedno těleso tři stupně volnosti. U tahu často uvažujeme pouze jeden stupeň volnosti – pohyb ve směru osy prutu – z toho pak vyplývá prodloužení nebo zkrácení (podobně u kroucení). FiX 0 RAX 0 RAX 0 N ,
F M
iY
0 RAY F 0 RAY F 1000
N ,
0 M RA F L 0 M RA F L 200 N m . c/ Určení řezů a rovnic popisujících hodnoty vnitřních sil a momentů: Každý řez je samostatný a dělí celé těleso na dvě poloviny. U řezů zavádíme také znaménkovou konvenci. Postup je naznačen v Tab. 2. iA
Tab. 2. Příklad_1_ohyb Těleso rozdělíme myšleným řezem
L
Celé těleso RAX
MRA
F
Červeně jsou zatížení
A
Řez tělesem
RAY
Levá část tělesa
Zeleně jsou vnitřní účinky Modře jsou reakce
M(x1) N(x1) T(x1)
F
x1
Znaménková konvence
Znaménková konvence
T(x*1) N(x*1) Pravá část tělesa
+ RAX MRA RAY
+
x*1
M(x*1)
Rovnice rovnováhy platí pro Celé těleso, Levou část tělesa, Pravou část tělesa i pro bod kde se obě části rozdělené myšleným řezem stýkají. Pro osu x Celé těleso RAX 0 Levá část tělesa FiX 0 N ( x1 ) 0 Pravá část tělesa
N ( x1* ) RAX 0 N ( x1* ) RAX 0
Místo řezu
N ( x1 ) N ( x1* ) 0 N ( x1 ) N ( x1* ) 4/25
PP1
Souhrn
Pro osu y FiY 0
RAY F 0
Celé těleso
Pro moment Mi 0
Levá část tělesa
T ( x1 ) F 0 T ( x1 ) F
Pravá část tělesa
T ( x ) RAY 0 T ( x1* ) RAY F
Místo řezu
T ( x1 ) T ( x1* ) 0 T ( x1 ) T ( x1* )
Celé těleso Levá část tělesa
M RA F L 0 M ( x1 ) F x1 0 M ( x1 ) F x1
Pravá část tělesa
M ( x1* ) M RA F x*1 0 M ( x1* ) F L x*1
Místo řezu
M ( x1 ) M ( x ) 0 M ( x1 ) M ( x )
* 1
* 1
* 1
Mezi x1 a x 1 platí vztah x1 L x . Proměnné popisující polohu řezu v tělese se mohou * 1 *
*
pohybovat v oblasti: x1 0; L , x1 0; L .
d/ Určení průběhů vnitřních sil a momentů: Rovnice uvedené v Tab. 2 převedeme do grafické podoby. V jednodušších případech lze z průběhu určit i polohu a hodnoty extrému. Obecně se extrémy hledají pomocí derivace funkce. Průběhy vnitřních sil a momentů pro počítaný příklad jsou uvedeny v Tab. 3. Hodnoty vnitřních účinků jsou shodné, ať jdeme z kterékoliv strany. Tab. 3. Příklad_1_ohyb Celé těleso
MRA
Mezi x1 a x 1 platí vztah x L x1 . Proměnné popisující polohu řezu v tělese se mohou pohybovat v oblasti: x1 0; L , ( x*1 0; L ). *
* 1
Pro osu x průběhy Levá část tělesa Normálových sil N ( x1 ) 0 FMax 0 Pravá část tělesa N ( x1* ) 0
RAX
F
A RAY
x1
+
N
N x1
Pro osu y průběhy Levá část tělesa Posouvajících sil T ( x1 ) F (Tečných) Pravá část tělesa TMax F T ( x1* ) F
+
T
T x1
Průběh ohybového Levá část tělesa momentu M ( x1 ) F x1 M Max F L Pravá část tělesa ( x1 L, x1* 0 ), M ( x* ) F L x* 1 1 kde x1* L x1 , Pomocí substituce získáme: x1 L x1* M ( x1* ) F L x*1 F x1
5/25
M
M x1
+
PP1
Souhrn
e/ Určení charakteristik průřezů: Charakteristiky průřezu reprezentují tvar plochy průřezu. Pro ohyb jsou tři základní charakteristiky průřezu – dva osové momenty setrvačnosti plochy Jz, Jy, (kvadratické) a deviační moment setrvačnosti plochy Jzy (kvadratické). Osové momenty setrvačnosti (kvadratické) plochy vyjadřují „odolnost“ vybraného průřezu při ohybu okolo dané osy. Deviační moment (kvadratický) setrvačnosti plochy vyjadřuje symetrii rozložení plochy vybraného průřezu okolo os z a y. Deviační moment při výpočtu ohybu „musí“ být nulový Jzy=0. Postup při výpočtu momentů setrvačnosti složených ploch je uveden v příkladu Cv_1_Př_4. Momenty setrvačnosti plochy obdélníka k osám procházejícím těžištěm jsou uvedeny v Tab. 4. Tab. 4. Osový moment setrvačnosti A B3 A A=10 mm J 6667 mm4 plochy k ose z z 12 B=20 mm Osový moment setrvačnosti A3 B J 1667 mm4 plochy k ose y y 12 z B Deviační moment setrvačnosti J 0 zy plochy
y
mm 4
f/ Výpočet napětí: Obecně je hodnota napětí funkcí polohy f x1 , y, z . V případě ohybu je možné použít vzorec uvedený v Tab. 1. Napětí je ke každému bodu dáno funkcí x1, y, z . Bod je reprezentován krychličkou, jejíž rozměry se limitně blíží nule (v prostoru dx1, dy, dz, v rovině dx1, dy). Hodnoty ohybového momentu v obecném místě nosníku jsou uvedeny v Tab. 3 a hodnoty osových momentů setrvačnosti plochy jsou uvedeny v Tab. 4. Dosazením získáme obecný vzorec pro hodnotu napětí v obecném místě nosníku: M ( x1 ) F x1 x1 , y, z y y. Jz Jz V našem případě je napjatost nezávislá na ose z. Dosazením hodnoty maximálního ohybového momentu a maximální hodnoty y (vyplývá z rozměrů průřezu) získáme hodnotu maximálního napětí. Poloha maxima vyplývá z polohy maximálního momentu. Kladná hodnota napětí reprezentuje tahovou napjatost σAH, záporná hodnota napětí tlakovou napjatost σAD. Výsledek s jednoduchým popisem napjatosti je uveden v Tab. 5. Tab. 5. Maximální moment je v místě x1=L a má hodnotu M MMax=-F.L.
+y
Nejvzdálenější body plochy průřezu od těžiště (osy z) mají hodnoty y=-B/2 a y=B/2.
Tah 300 MPa
Nosník má pouze jeden průřez, kterému odpovídá moment setrvačnosti JZ.
MMax=-F.L
+
σAH= 300
-
x1=L
y=-B/2 y=B/2
σAD=-300 Tlak 300 MPa
Maximální napětí v horní části nosníku AH : B F L B x1 L, y 300 MPa 2 Jz 2 Maximální napětí v dolní části nosníku AD : B F L B x1 L, y 300 MPa 2 Jz 2
6/25
PP1
Souhrn
g/ Výpočet průhybové čáry, posunutí a natočení: Posledním krokem je výpočet změny tvaru tělesa. Průhybovou čáru vypočteme pomocí Analytické metody, posunutí a natočení určíme ve vybraném místě (bodu) pomocí Castiglianových vět. U analytické metody musíme používat znaménkovou konvenci. Znaménka u základní rovnice můžete odvodit na základě jednoduchého příkladu viz Tab. 6. U tohoto jednoduchého příkladu můžeme jednoduše odhadnout směr natočení a posunutí v koncovém bodě (pod silou F). Z obrázku v Tab. 6 je zřejmé, že posuv musí vyjít ve směru zvolené znaménkové konvence – kladný a natočení musí vyjít proti směru zvolené znaménkové konvence. Dosazením do výsledných rovnic popisujících průhyb a natočení, získáme pro natočení ( v´( x1 ) )kladnou hodnotu a pro posunutí ( v( x1 ) ) zápornou hodnotu. Z toho lze usoudit, že pro výpočet natočení a průhybu pro zvolenou znaménkovou konvenci budeme M ( x1 ) používat rovnici: v´´( x1 ) EJ Tab. 6. M ( x1 ) v´´( x1 ) MRA Analytická metoda: + EJ F RAX A 3 2 F x1 F x1 C1 x1 C2 . v´( x1 ) C1 , v( x1 ) 6 E J 2 E J RAY x1 v(x1) Pomocí okrajových podmínek vyřešíme konstanty C1, C2.
v( x1 L) 0 , v´( x1 L) 0 (vetknutí). F L2 F L3 Po dosazení a úpravě získáme konstanty C1, C2: C1 , C2 . 3 E J 2 E J 3 2 F x1 F L2 F L3 F x1 F L2 v ( x ) x v ´( x ) 1 1 Řešení je tedy: , . 1 6 E J 2 E J 3 E J 2 E J 2 E J Pomocí Castigliánových vět určíme natočení a posunutí ve vybraném bodu. V místě kde počítáme posunutí, musí ležet síla, její směr musí být totožný se směrem počítaného posunutí. V místě kde počítáme natočení, musí ležet moment, jeho směr odpovídá směru počítaného natočení. Hodnoty momentu a síly, které jsou nutné pro výpočet, nejsou podstatné. Proto, v případě, že ve zkoumaném místě není žádná síla (moment), zavedeme sílu (moment) pomocnou, která má nulovou hodnotu. Aplikace Castiglianových vět je naznačena v Tab. 7. Neboť v bodu B není žádný moment, přidáme pro výpočet natočení do úlohy moment MB=0 Nm. Tento moment neovlivní výslednou hodnotu, ale umožní použít k výpočtu Castiglianovy věty. Podobně bychom postupovali při výpočtu posuvu v místě, kde není žádná síla v požadovaném směru. Tab. 7. Castiglianova metoda: MRA F M ( x1 ) 1 RAX A B vB M ( x1 ) dx1 E J ( L) FB RAY 1 M ( x1 ) x1 vB B M ( x1 ) dx1 E J ( L) M B Výpočet posunutí yB: FB F M ( x1 ) M ( x1 ) F x1 , x1 , x1 0; L , FB
7/25
PP1
Souhrn
RAX
MRA A
F MB=0 B
RAY
vB
1 L F L3 ( F x ) ( x ) dx 1 1 1 . EJ 0 3 E J
x1 φ B
Výpočet natočení B : M ( x1 ) F x1 M B ,
M ( x1 ) 1 , x1 0; L , M B
L
1 F L2 B ( F x1 ) (1)dx1 . E J 0 2 E J Porovnáme-li výsledky řešení u Castiglianovy metody (natočení a posunutí v bodě B Tab. 7) s výsledky řešení Analytickou metodou (do rovnic dosadíme natočení v´( x1 0) a posunutí v( x1 0) ) dostaneme shodné výsledky. Rovnice se liší pouze znaménkem, neboť u Analytické metody se znaménka řídí znaménkovou konvencí a u Castiglianovy metody směrem síly (momentu) podle kterého derivujeme.
3 Řešené příklady na procvičení – Cv_1_Př_2 S1
L1 F1
S2 B
F2
L2
Dáno: S1=80 mm2, S2=50 mm2, L1=200 mm, L2=400 mm, F1= 1000 N, F2= 1200 N E=200000MPa,
Urči: (Opak – princip superpozice) Reakce, průběhy vnitřních sil, napětí, posunutí bodu B.
Obr. 3 Princip superpozice platí (jednoduché, často lineární rovnice) v oblasti platnosti Hookova zákona: pro reakce, zatížení, vnitřní účinky, napětí, deformace a posunutí apod. Při řešení příkladů z pružnosti a pevnosti můžeme často využít principu superpozice. Existuje řada (relativně) složitých úloh, které můžeme rozložit na několik částí (úloh jednoduchých), ty samostatně vyřešit a výsledky dílčích řešení znovu sečíst. Výsledkem postupu je stejná hodnota (rovnice) jako v případě přímého řešení složité úlohy. Princip superpozice obvykle neplatí u velkých deformací, plastických deformací (zatížení nad mezí kluzu), creepu (tečení), v únavě apod. (složité, často nelineární rovnice). V tomto příkladu si připomeneme výše uvedené, vybrané případy aplikace superpozice. Tyto postupy mohou být využity při řešení prostorových, tvarově složitých či staticky neurčitých úloh (potrubní sítě), u složených namáhání a teplotních úloh. a/ Reakce a zatížení: Celou úlohu rozdělíme na dvě, z nichž každá bude obsahovat pouze jeden zátěžný stav (sílu). Výsledná reakce je dána součtem dílčích výsledků. Směry reakcí je vhodné volit stejně. Postup a superpozice dílčích řešení je naznačena v Tab. 8.
8/25
PP1
Souhrn Tab. 8. Celá úloha Schéma: uvolnění, rozdělení.
=
Část 1
A RA
F1 S2 B Reakce
A RA1 L1
S1
S1 F1
L2
S2
F2
A RA2 L1
S1
L1
L2
S2
L2
B
B
F2
RA F1 F2 0
RA1 F1 0
R A 2 F2 0
RA F2 F1
RA1 F1
RA2 F2
RA F2 F1
Superpozice
+ Část 2
S
RA RA1 RA2 F1 F2
Kontrola
RA RA
S
b/ Vnitřní účinky: Stejně jako v předchozím bodu můžeme určit také vnitřní síly. Postup s využitím superpozice je ukázán v Tab. 9. Tab. 9. Celá úloha = Část 1 + Část 2 Schéma: rozdělení.
RA
200
A RA1
S1 L1 x1 x2 Rovnice Superpozice
S1 L1 x1
F1 L S2 2 F2 +
A RA2
-1000
1200
x2
F1 L2 S2
+
1200
S1 L 1 x1 S2 L 2 x2
F2 +
N ( x1 ) F 2 F1
N 1 ( x1 ) F1
N 2 ( x1 ) F2
N ( x2 ) F 2
N 1 ( x2 ) 0
N 2 ( x2 ) F2
N ( x1 ) F 1 F2 N 1 ( x1 ) N 2 ( x1 ) N ( x2 ) F 2 N 1 ( x2 ) N 2 ( x2 )
c/ Napětí: Znovu využijeme superpozici, známe řešení jednotlivých částí rozložené úlohy. Napjatost řešíme vždy v bodu, pro zobrazení napjatosti používáme elementární krychli (v rovině obdélník). Kladné znaménko přiřadíme tahovému zatížení. Postup je ukázán v Tab. 10.
9/25
PP1
Souhrn Tab. 10. Celá úloha
Schéma: rozdělení.
=
Část 1
σ(x1)
RA
+ σ1(x1)
RA1
S1 L1 x1
Rovnice
Superpozice
σ2(x1)
RA2
S1 L1 x1
F1 L S2 2
x2
Část 2
x1
F1 L2 S2
x2
F2 + σ(x2)
S1 L 1 S2 L2 x2
σ1(x2)
F2
σ2(x2)
( x1 )
N ( x1 ) F 2 F1 S1 S1
1 ( x1 )
N 1 ( x1 ) F1 S1 S1
2 ( x1 )
N 2 ( x1 ) F2 S1 S1
( x2 )
N ( x2 ) F 2 S2 S2
1 ( x2 )
N 1 ( x2 ) 0 S2
2 ( x2 )
N 2 ( x2 ) F2 S2 S2
( x1 )
F 1 F2 N 1 ( x1 ) N 2 ( x1 ) 1 ( x1 ) 2 ( x1 ) S1 S1 S1 S1
( x2 )
F2 N 1 ( x2 ) N 2 ( x2 ) 1 ( x2 ) 2 ( x2 ) S2 S2 S2
d/ Deformace a posunutí: I zde využijeme superpozici a to při řešení deformací u staticky určitých i staticky neurčitých úloh (přímých, lomených či křivých prutů), kde je větší množství zatížení či vazeb. Postup je demonstrován v Tab. 11 (šrafovaná část není řešena). Tab. 11. Celá úloha = Část 1 + Část 2 Schéma: rozdělení.
S1 L 1 x1 x2 +
Rovnice Superpozice
L1
F1 L S2 2 F2
S1 x1
F1
L1
L 1+ Δ L 1
L2
ΔL
F1 L S2 2
ΔL 1
F2
x2 +
F2
ΔL 2
N ( x1 ) F F1 N ( x2 ) F2 dx1 2 L1 , L2 dx2 L2 . E S1 E S1 E S2 E S2 ( L1 ) ( L2 )
L L1 L2
F2 F1 F L1 2 L2 . E S1 E S2
Z těchto ukázek je zřejmá široká použitelnost principu superpozice v pružnosti a pevnosti.
10/25
PP1
Souhrn
4 Řešené příklady na procvičení – Cv_1_Př_3 S
Mk
L/3 2L/3 Obr. 4
Dáno: S=80 mm2, L=200 mm, Mk= 1000 Nmm, E=200000MPa, Urči: (Opak – Staticky neurčité úlohy) Reakce.
Při řešení příkladů z pružnosti a pevnosti se často setkáváme s úlohami staticky neurčitými. Řešení tohoto typu úloh má jasný postup: Uvolnění, sestavení rovnic rovnováhy, určení stupně statické neurčitosti, nalezení odpovídajícího počtu deformačních podmínek, vyřešení posunů či natočení, řešení soustavy rovnic – stanovení reakcí. vlastní řešení úlohy (napětí, deformace atd.) Hlavní a nejsložitější částí řešení je nalezení deformačních podmínek. Často lze využít rovnice definující chování vazby, podobnosti trojúhelníků, nebo rozdělení tělesa. a/ Uvolnění, sestavení rovnic rovnováhy, stupeň statické neurčitosti: Postup je naznačen v následující Tab. 12. Tab. 12. Uvolnění Mk Mk2 Mk1 S A B 2L/3 Rovnice rovnováhy
Mk 0 Mk
1
L/3
Mk Mk2 0
Získali jsme jednu rovnici rovnováhy a dvě neznámé - reakce Mk1 , Mk2 . Úloha je jednou staticky neurčitá - k řešení potřebujeme ještě jednu rovnici (deformační podmínku). Hledáme jednu rovnici-deformační podmínku. b/ Deformační podmínky: K vytvoření deformační podmínky můžeme často využít vazeb mezi tělesy, případně těleso rozdělit na několik částí viz Tab. 13. Tab. 13. Varianta 1: V místě A, B je vetknutí, které S Mk v tomto případě zachycuje úhel zkroucení. A B Rovnice těchto vazeb můžeme použít přímo jako deformační podmínky. 2L/3 L/3 Deformační podmínky: A 0 , B 0 . Varianta 2: Rozdělíme-li tyč myšleným řezem v místě momentu Mk, pak úhel zkroucení musí být v obou částech stejný (znaménko se řídí dle znaménkové dohody) aby při opětovném sloučení nedošlo k nespojitosti.
Mk1 A
S 2L/3
L/3 Mk2
S
B Deformační podmínka: A B 11/25
PP1
Souhrn
c/ Vyřešení posunů či natočení: V tomto kroku lze s výhodou použít Castigliánových vět. Postup u vybraných deformačních podmínek je naznačen v Tab. 14. Tab. 14. Varianta: Schéma: Varianta 1: S Mk Mk2 Mk2 L Mk2 Mk 2 L , A B B 3G J p 3G J p B
3 Mk2 L Mk 2 L . 3G J p 3G J p
2L/3
L/3
Hledáme natočení: B ? .
Varianta 2:
S
Mk1
2 Mk1 L , Mk2 L . A B 3G J p 3G J p
A
2L/3
L/3 Mk2
S
B Hledáme natočení: A ? , B ? d/ Řešení soustavy rovnic, stanovení reakcí: Nalezené funkce dosadíme zpět do deformačních podmínek a úpravou (řešením soustavy rovnic) získáme hodnoty reakcí. Postup je naznačen v Tab. 15. Tab. 15. Varianta: Reakce: 2 Mk Varianta 1: Mk2
3 Mk2 L Mk 2 L B 0 3 Mk2 2Mk 0 , 3G J p 3G J p
3 Mk Mk1 3
Mk1 Mk Mk2 0 .
Varianta 2:
2 Mk1 L Mk2 L A B 2Mk1 Mk2 , 3 G J p 3 G J p
Mk 3 2 Mk Mk2 3
Mk1
Mk1 Mk Mk2 0 Mk1 2Mk1 Mk 3Mk1 Mk
5 Řešené příklady na procvičení – Cv_1_Př_4 Mohrova kružnice Dáno: ,( Urči:
, ).
,
hlavní napětí, úhel, napětí na obecně skloněné rovině.
Obr. 5
12/25
,
PP1
Souhrn
Mohrova kružnice je odvozena z rovnic rovnováhy v řezu elementu a popisuje napjatost ve vybraném bodu., postup odvození je naznačen v Tab. 16. Tab. 16. Schéma: Vysvětlení: Rovinu, na které jsou napětí a nazveme rovinou x. Rovinu, na které jsou napětí a nazveme rovinou y. Dále provedeme myšlený řez elementární + krychle (obdélníku) rovinou , viz Obr. 6. Mezi rovinou x a rovinou je úhel . V rovině nám pak vznikne trojúhelník ohraničený rovinami x, y a . Délka strany trojúhelníku v rovině x je , v rovině y , v rovině je . Trojúhelník je Obr. 6 pravoúhlý. Délku elementu v ose z položíme rovnu „1“. Použitá znaménková konvence je naznačena modrou barvou. V literatuře lze nalézt i odvození s jinou znaménkovou konvencí. Použitá znaménková konvence nemá vliv na správnost, ale je nutné ji vždy uvést. Z rovnic rovnováhy ve směru napětí určíme: Z rovnic rovnováhy ve směru napětí
určíme:
Rovnice uvedené v Tab. 16 popisují Mohrovu kružnici. V pružnosti a pevnosti obvykle postupujeme z opačné strany, sestavíme kružnici a z ní pak můžeme odvodit všechny potřebné rovnice (i rovnice z Tab. 16), případně odměřením určit všechny potřebné hodnoty. Každá strana - rovina v elementární krychli, tedy spíše napětí straně příslušná, je v kružnici zobrazena jako bod. Při otáčení krychle se napětí „posouvají“ po kružnici, ačkoliv jsme pořád ve stejném bodu tělesa. Mohrova kružnice tedy popisuje napjatost v bodu, nezávisle na natočení souřadného systému. Na natočení souřadného systému závisí hodnoty normálových a smykových napětí, tyto se při natáčení souřadného systému mění. Konkrétní napjatost v bodu tedy můžeme popsat různými hodnotami napětí podle natočení souřadného systému. Mohrovu kružnici můžeme využít pro zjištění jednotlivých napětí v libovolně pootočené rovině. Mohrovu kružnice sestrojíme na základě známých normálových a smykových napětí ve vybraném bodu (obvykle maximálně zatíženém) v libovolně natočeném souřadném systému (elementární krychli). Zadání by tedy mělo obsahovat: elementární krychli s příslušnými napětími případně i znaménkovou konvenci. U složitějších úloh i souřadný systém popisující polohu bodu (elementární krychle) vzhledem k nosníku nebo počítanému tělesu. Dále musíme znát hodnoty normálových ( , ) a smykových ( ) napětí ( rovinná napjatost). V Tab. 17 jsou uvedeny některé příklady. Nulové jsou obvykle také hodnoty, které nejsou v zadání uvedeny. Strojaři obvykle považují tahové namáhání za kladné – tedy, normálové napětí, které způsobí v elementární krychli tah, má kladný směr. Směr kladného smykového napětí se může v různých publikacích lišit.
13/25
PP1
Souhrn Tab. 17. Schéma:
Hodnoty: , , , , +
, . Platí , , (zákon sdruženosti smykových napětí).
+
, , . (Vzhledem k tomu, že smyková napětí jsou nulová, jsou osová napětí také hlavní napětí)
, , . (atd.) +
Při konstrukci Mohrovy kružnice vynášíme na osu x normálová napětí σ, na osy y smyková napětí τ. Každá strana elementární krychle (nebo obdélníku při rovinné napjatosti) reprezentuje jeden bod kružnice. Při konstrukci Mohrovy kružnice se řídíme znaménkovou konvencí. Základní postup při sestrojení kružnice je uveden v Tab. 18.
14/25
PP1
Souhrn Tab. 18. Schéma:
Postup: Zadání: , , ,
+
Vybereme libovolnou stranu krychle (na které jsou napětí), napětí na vybrané rovině – straně odpovídají bodu A v Mohrově kružnici o souřadnicích [ , ]. Normálové napětí je v kladném směru dle konvence, smykové napětí je v záporném směru dle konvence. A Druhý bod kružnice získáme stejným postupem z další roviny – kolmé k předchozí. Znovu použijeme znaménkovou konvenci a otočíme jí o v příslušném směru. Druhý bod B kružnice má souřadnice [ , ].
B
A
B 0 S A
Oba body A, B spojíme přímkou p. V průsečíku přímky p a osy normálových napětí je střed kružnice S. Kružnice prochází oběma body, které reprezentují napjatost v elementární krychli. Mezi rovinami v elementární krychli je mezi body v Mohrově kružnici je dvojnásobek . V Mohrově kružnici budeme tedy měřit vždy dvojnásobky úhlů oproti skutečnosti.
Tímto jsme zkonstruovali Mohrovu kružnici pro zadanou napjatost. Z Mohrovy kružnice můžeme snadno odvodit vzorce popisující kružnici analyticky: Střed kružnice leží ve středu mezi body , : .
Poloměr kružnice R určíme z pravoúhlého trojúhelníku určeného středem kružnice S, bodem na kružnici např. [ , ] a bodem na ose normálových napětí:
.
Mohrovu kružnici často používáme k určení hlavních napětí. Hlavní napětí jsou taková normálová napětí, jejichž smykové složky jsou nulové. Hlavní napětí jsou tři a označují se spodními indexy 1, 2, 3. V rovině (rovinná napjatost) jsou dvě hlavní napětí, třetí hlavní napětí je nulové. Pomocí polohy středu a poloměru kružnice určíme hodnoty hlavních napětí analyticky: 15/25
PP1
Souhrn
. Úhel mezi zadanou rovinou a rovinou ve které jsou hlavní napětí, určíme znovu z pravoúhlého trojúhelníku. Pravoúhlý trojúhelník je určen středem kružnice S, bodem na kružnici např. [ , ] a bodem na ose normálových napětí: . Úhel určíme z Mohrovy kružnice, je to úhel mezi rovinou odpovídající zadané napjatosti a rovinou ve které leží hlavní napětí. Postup v grafické formě je naznačen v Tab. 19. Tab. 19. Schéma: Postup: Zadání: , , , +
[ , ]
0 S
[ ,
]
Nejprve sestrojíme kružnici, viz Tab. 18. Hlavní napětí jsou v průsečíku kružnice s osou normálových napětí. Po natočení stěny elementární krychle o úhel získáme rovinu, na které jsou hlavní napětí. Úhel odměříme z kružnice (nebo spočteme pomocí výše uvedeného vzorce). Při určení napětí na obecně skloněné rovině postupujeme podobným způsobem jako v předchozím případu. Úkolem je určit napětí na rovině pootočené vůči rovině odpovídající zadané napjatosti o úhel . Úhel je zadán předem. Postup je naznačen v Tab. 20. Při použití výše popsané znaménkové konvence směr natočení elementární krychle a bodu v Mohrově kružnici si odpovídají. V Mohrově kružnici jsou znovu dvojnásobky úhlů oproti skutečnému natočení. V pružnosti budeme Mohrovu kružnici nejčastěji využívat pro určení hlavních napětí u hypotéz pevnosti. Mohrova kružnice se využívá často v experimentální mechanice (např. v tenzometrii), lomové mechanice (směr šíření trhliny), atd.
16/25
PP1
Souhrn Tab. 20. Schéma:
Postup:
[ ,
]
0 S [ ,
]
Nejprve sestrojíme kružnici, viz Tab. 18. Vyjdeme z roviny, kterou chceme otočit. Rovina je v kružnici určena souřadnicemi [ , ]. V elementární krychli rovinu otočíme o úhel v Mohrově kružnici o dvojnásobek úhlu . V takto natočené rovině budou napětí [ , ], která můžeme odměřit z kružnice (nebo použít vzorce uvedené v Tab. 16).
6 Řešené příklady na procvičení – Cv_1_Př_5 d Dáno: a=35 mm, b=30 mm, c=15 mm, d=15 mm, b c a
Urči: (Opak – Momenty setrvačnosti plochy) Polohu a hodnotu hlavních centrálních momentů setrvačnosti plochy.
Obr. 6
Celý postup určení hlavních centrálních os a momentů setrvačnosti plochy lze rozdělit do několika bodů: Rozdělíme průřez na elementární plochy (je-li to nutné), určíme jejich těžiště a celkové těžiště průřezu (plochy). Momenty setrvačnosti elementárních ploch jsme schopni spočíst přímo z definice např. moment setrvačnosti plochy vzhledem k ose x: J x y 2 dS . Momenty setrvačnosti
ploch základních i složených lze nalézt v tabulkách (normované profily) nebo literatuře. Zjistíme tedy osové momenty setrvačnosti a deviačních momenty elementárních ploch k jejich těžišti. Určíme momenty setrvačnosti složené plochy k osám procházejícím celkovým těžištěm (Steinerova věta). Určíme hlavní centrální momenty setrvačnosti a hlavních centrálních osy setrvačnosti složené plochy. Složené plochy rozdělujeme tak, aby rozdělené části byly symetrické podle stejných os. Pokud to nelze (jako v našem případě) je postup delší.
17/25
PP1
Souhrn
a/ Rozdělení na elementární plochy, určení jejich těžiště a celkového těžiště + určení momentů setrvačnosti a deviačních momentů elementárních ploch k jejich těžišti: Složenou plochu se snažíme rozdělit na minimální počet elementárních ploch. Složenou plochu lze rozdělit na elementární plochy mnoha způsoby, ale všechny způsoby řešení (rozdělení) dávají jeden, ve všech případech stejný, výsledek. Momenty setrvačnosti obdélníka jsou v Tab. 4. Postup je naznačen v Tab. 21. Tab. 21. Složená plocha Varianta 1: vybereme Varianta 2: Varianta 3: T1 +
T2
+ -
Těleso 1 y d
y
b x
x
Poloha těžiště tělesa 1 v souřadném systému x-y: d b T1 xT 1; yT 1 ; . 2 2 Momenty setrvačnosti plochy tělesa 1 k osám procházejícím těžištěm T1 a rovnoběžným s osami x, y: d b3 d3 b J x1 , J y1 . 12 12
Těleso 2 d a-d
Poloha těžiště tělesa 2 v souřadném systému x-y: c ad y T 2 xT 2 ; yT 2 d; . 2 2 Momenty setrvačnosti plochy tělesa 2 k osám procházejícím těžištěm T2 c 3 3 a d c a d c a rovnoběžným s osami x, y: J x 2 , J y2 . x 12 12 Poloha těžiště složeného tělesa v souřadném systému x, y: S x S2 xT 2 S1 yT 1 S2 yT 2 , T xT ; yT 1 T 1 ; S1 S2 S1 S2 kde S1 a S2 jsou obsahy těles 1 a 2. b/ Určení momentů setrvačnosti složené plochy k osám procházejícím těžištěm (Steinerova věta): Steinerova věta slouží k výpočtu hodnot momentů setrvačnosti plochy u „posunutých“ os. Postup je naznačen v Tab. 22. Tab. 22. Momenty setrvačnosti plochy tělesa 1 k osám procházejícím těžištěm celkovým T a rovnoběžným s osami x, y: 2 J xT 1 J x1 yT yT 1 S1 ,
Těleso 1 y
xT xT1
J yT 1 J y1 xT xT 1 S1 , 2
T T1
yT1
J xyT 1 J xy1 xT xT 1 yT yT 1 S1 .
yT x
18/25
PP1
Souhrn Těleso 2
y
Momenty setrvačnosti plochy tělesa 2 k osám procházejícím těžištěm celkovým T a rovnoběžným s osami x, y: 2 J xT 2 J x 2 yT yT 2 S2 ,
xT2 xT yT
J yT 2 J y 2 xT xT 2 S2 ,
T
2
J xyT 2 J xy 2 xT xT 2 yT yT 2 S2 .
yT2 T2 x
Momenty setrvačnosti plochy složeného tělesa: J x J xT 1 J xT 2 , J y J yT 1 J yT 2 , J xy J xyT 1 J xyT 2 . c/ určení hlavních centrálních momentů setrvačnosti a určení hlavních centrálních os setrvačnosti složené plochy: V případě, že celkový deviační moment setrvačnosti plochy je nulový, pak osové momenty setrvačnosti plochy vypočtené v předchozím bodu jsou hlavní centrální momenty setrvačnosti a osy procházející celkovým těžištěm jsou hlavní centrální osy setrvačnosti. V našem příkladu deviační moment plochy nevyjde nulový. V prvním kroku určíme hodnoty hlavních centrálních momentů setrvačnosti ploch, ve druhém kroku polohu os. Při řešení využijeme Mohrovy kružnice. Osové momenty setrvačnosti ploch jsou vždy větší než nula. Postup je naznačen v Tab. 23. Tab. 23. Z předchozích kroků výpočtu jsme získali 3 hodnoty Mohrova kružnice: centrálních momentů setrvačnosti plochy: J x , J y , J xy . Určíme vzdálenost středu kružnice od počátku a velikost poloměru kružnice: 2
J Jy 2 J xy . , R x OS 2 2 Hodnoty hlavních centrálních momentů setrvačnosti plochy (Jxy=0) odpovídají průsečíku kružnice a osy osových momentů setrvačnosti plochy: J1 O S R , J 2 O S R , hodnotu úhlu určíme z pravoúhlého trojúhelníka: 2 J xy . 2 tg Jx Jy Jx Jy
Jxy Jxy 0 J2
Jy R
2φ
J1
S
Jx, Jy -Jxy Jx
Polohu os určíme na základě jednoduché úvahy. Momenty setrvačnosti ploch jsou charakteristiky průřezu pro ohyb. Mají – li dvě různé plochy průřezu stejné hodnoty hlavních centrálních momentů setrvačnosti, budou se, z hlediska ohybu, „chovat“ stejně. Maximální a minimální moment setrvačnosti můžeme určit z Mohrovy kružnice, úhel φ je mezi Jy a J2 ( J MIN J 2 ) nebo mezi Jx a J1 ( J MAX J1 ). Následující Tab. 24. ukazuje postup určení polohy hlavních centrálních os setrvačnosti. Místo skutečného tvaru průřezu zvolíme náhradní plochy vhodného tvaru, které mají stejné charakteristiky průřezu. U této „náhradní“ plochy známe polohu těžiště xt , yt i velikost plochy
S a můžeme využít zjednodušeného vzorce J xy xt yt S a snadno spočíst znaménko
příslušné tvaru plochy. U vhodně zvolené náhradní plochy takto určíme také polohu (směr natočení) hlavních centrálních os setrvačnosti.
19/25
PP1
Souhrn Tab. 24.
Skutečná plocha
Náhradní plocha 1
y
Náhradní plocha 2 φ
y +
plocha je vždy kladná
S 0.
Schematicky: J xy xt yt S
Vypočteno: J xy .
JMIN
y +
-
x
Platí: J xy xy dS ,
φ
+ - J MAX
φ
x
Deviační moment je dán součinem dvou kladných nebo dvou záporných hodnot (souřadnice těžiště) – bude vždy kladný. Osa, vůči které je osový moment setrvačnosti maximální, prochází II a IV kvadrantem. Platí, je-li J xy 0 .
φ +
-
JMAX
-
x
JMIN
Deviační moment je dán součinem kladné a záporné hodnoty (souřadnice těžiště) – bude vždy záporný. Osa, vůči které je osový moment setrvačnosti maximální, prochází I a III kvadrantem. Platí, je-li J xy 0 .
7 Řešené příklady na procvičení – Cv_1_Př_6 Složené namáhání Mk
ØD B
L
F
Obr. 7
Dáno: L=500 mm, D=20 mm (S, JP), F=1000 N, Mk=100 Nmm, E=200000MPa (G), σD=150 MPa. Urči: Maximální redukované napětí v hřídeli vrtule. Ostatní vlivy (např. vlastní tíha) jsou zanedbány.
Úlohy, ve kterých se vyskytuje více než jeden způsob zatěžování (tah-tlak, ohyb, krut apod.), budeme nazývat úlohy na složené namáhání. Tyto úlohy budeme řešit „rozložením“ na základní zatěžovací způsoby – superpozicí. Je nutné tedy vždy zvážit, zda lze principu superpozice použít. Princip superpozice byl vysvětlen na příkladu 2 (str.8-10). Principu superpozice tedy můžeme využít k „rozkladu“ zátěžných stavů (např. sil a momentů) nebo deformací. Principu superpozice nelze použít v případech s velkými deformacemi (platí předpoklady použité při odvození základních rovnic) či trvalými deformacemi (plastická oblast, creep-tečení), (relaxace, únava) apod. Použití superpozice: např. úlohu obsahující osovou sílu (tah-tlak) a krouticí momenty (krut) rozložíme na dvě úlohy – tah a krut, které samostatně vyřešíme. Výsledy řešení nakonec sloučíme do jednoho výsledku (využitím elementární krychle). Postup při řešení lze rozdělit do následujících kroků: rozdělení úlohy na základní zatěžovací způsoby a řešení těchto rozdělených úloh, sloučení výsledků řešení (elementární krychle), hledání extrémů apod., nalezení hlavních napětí (určení směrů hlavních napětí je-li to nutné) – Mohrova kružnice, aplikace vybrané hypotézy pevnosti,
20/25
PP1
Souhrn
pevnostní kontrola, návrh rozměrů, zatížení atd. (vyhodnocení). První čtyři kroky popisují obecný postup. Může se stát, že některý z bodů vypadne, nebo jej není nutné u dané úlohy uvažovat. Poslední krok se týká konkrétní řešené úlohy - úpravy či vyjádření z rovnic apod. Uvedený postup se týká výpočtu napjatosti těles, při výpočtu změny tvaru (posunutí, natočení, prodloužení, zkroucení atd.) lze postupovat obdobným způsobem. Jednotlivé kroky jsou vysvětleny a ukázány v následujícím příkladu. Další základní případy pro složené namáhání (tah-ohyb, ohyb – krut atd.) jsou řešeny stejným způsobem (viz cvičení, případně vyzkoušejte). a/ Rozdělení úlohy na základní zatěžovací způsoby a řešení těchto rozdělených úloh. Prvním krokem je rozdělení úlohy. Úlohu rozdělíme na dvě části – tah-tlak a kroucení. U obou dílčích částí sestavíme všechny požadované rovnice (nebo vypočteme hodnoty). Postup je naznačen v Tab. 25. Tab. 25. Část 1
Celá úloha
Schéma:
Část 1- kroucení
Část 2
Mk φ
x Vnitřní účinky: Napětí v řezu: Maximální napětí: (extrém)
Část 2 – tah-tlak B F
B
Mk ( x) Mk
x
Δl
N ( x) F
( x)
Mk ( x) Mk r r Jp Jp
( x)
N ( x) F S S
MAX
Mk D Jp 2
MAX
F S
Elementární krychle v místě extrému: b/ Sloučení výsledků řešení (elementární krychle), hledání extrémů. Vycházíme z napjatosti v bodě (elementární krychle viz Tab. 1). Odpovídající napětí „sečteme“ a vyhodnotíme extrémy. U složeného namáhání je často nutné vyhodnocovat více bodů, ve kterých se vyskytují extrémy. Postup je naznačen v Tab. 26. Tab. 26. Maximální smykové napětí MAX je kdekoliv na povrchu hřídele (Krut). Maximální normálové napětí MAX je kdekoliv v hřídeli (Tah). c/ Nalezení hlavních napětí (určení směrů hlavních napětí je-li to nutné) – Mohrova kružnice. Tento bod závisí také na zvolené hypotéze pevnosti (viz následující krok). Nejprve sestrojíme Mohrovu kružnici pro výslednou napjatost. Z výsledné kružnice pak určíme hodnoty hlavních napětí (pro kontrolu graficky i početně). Postup je naznačen v Tab. 27.
21/25
PP1
Souhrn
Tab. 27. Graficky
σ τ
Početně 2
0S , R 2 , 2 2
τ τ
R
σ1 0
σ S
σ2
1 0S R
σ 2 0S R
-τ
2
2
2 , 2 2 2 . 2 2
d/ Aplikace vybrané hypotézy pevnosti: Dle zvolené hypotézy pevnosti spočteme redukované napětí. Rovnice pro výpočet redukovaného napětí u tří vybraných hypotéz jsou uvedeny v Tab. 28. Rankinova hypotéza – redukované napětí odpovídá maximálnímu hlavnímu napětí (v absolutní hodnotě). Rankinovu hypotézu používáme, jsou-li všechny hlavní napětí větší (nebo rovny) než nula, nebo menší (nebo rovny) než nula. V našem případě bychom neměli použít Rankinovu hypotézu, neboť jedno hlavní napětí je větší než nula a druhé je menší než nula, viz Mohrovu kružnici. Guestova hypotéza – redukované smykové napětí odpovídá maximálnímu smykovému napětí (v tomto případě vždy musíme uvažovat prostorovou napjatost, 3 hlavní napětí – tři kružnice a poloměr největší kružnice odpovídá maximálnímu smykovému napětí). Redukované napětí pak odpovídá průměru největší kružnice. Guestovu kružnici používáme, pokud je jedno hlavní napětí kladné a druhé záporné (třetí rovno nule, nebo mezi prvním a druhým) – hlavní napětí se liší ve znaménku. HMH hypotéza je energetická (změna tvaru) hypotéza. Používá se pro tvárné materiály. Tab. 28. Redukované napětí Hypotéza ( ) Rankin (pro 1 0 2 0 nebo 1 0 2 0 ) red 2 Guest (pro 1 0 2 0 nebo 1 0 2 0 )
red 2 1
HMH
red 12 2 2 1 2
e/ Pevnostní kontrola, návrh rozměrů, zatížení atd. (vyhodnocení). V tomto kroku porovnáme výsledné redukované napětí s napětím dovoleným. Z výsledné nerovnice pak zjistíme, zda kontrolovaná konstrukce vyhoví požadavkům na ni kladeným (což v tomto případě reprezentuje dovolené napětí), případně navrhneme rozměry či zatížení (po dosazení všech příslušných rovnic). Jednotlivé varianty jsou naznačeny v Tab. 29. Tab. 29. Cíl výpočtu Pevnostní kontrola Platí – li D red - konstrukce vyhoví Návrh průměru hřídele
D red d
Návrh osové síly
D red F D red Mk
Návrh krouticího momentu
22/25
PP1
Souhrn
8 Řešené příklady na procvičení – Cv_1_Př_7 - Klika a
a
F
ØD L2 Obr. 8
L1
Dáno: L1=150 mm, L2=100 mm, D=20 mm (J, JP), a=15 mm, F=1000 N, E=200000 MPa (G=80000 MPa), σD=150 MPa. Urči: Maximální redukované napětí (HMH) Ostatní vlivy (např. vlastní tíha) jsou zanedbány.
a/ Rozdělení úlohy na základní zatěžovací způsoby a řešení těchto rozdělených úloh. Síla F způsobí v jedné části kliky pouze ohyb, ve druhé části způsobí ohyb a krut. V Tab. 30 je ukázán způsob rozdělení na jednotlivé úseky a dále na základní způsoby zatěžování. Tab. 30. Celé těleso = Část 1 (ohyb) + Část 2 (ohyb + krut) F F MR MR RF RF Část 1
Ohyb: 1/ Řez: M ( x1 ) F x1 , x1 0, L1 .
F
1-1 /Extrém: M max M ( x1 L1 ) F L1 .
MR x1 RF
Část 2
M ( x1 ) F x1 a4 y y, J . J J 12 F L1 a 2-1/ Extrém: 1max J 2 3/ Reakce: M R F L1 , RF F . Ohyb: RF 1/ M ( x2 ) F x2 , x2 0, L2 . MR 2/ Napjatost: ( x1 )
RF
x2
MR x2
1-1/ M max M ( x2 L2 ) F L2 .
M ( x2 ) F x2 D4 y y, J 2/ ( x2 ) . J J 64 F L2 D 2-1/ max J 2 Krut: 1/ Mk ( x2 ) M R , x2 0, L2 . 1-1/ Mkmax Mk ( x2 L2 ) M R .
D4 M ( x2 ) MR r r , JP . 32 JP JP M D R JP 2
2/ ( x2 ) 2-1/ max
23/25
PP1
Souhrn
b/ Sloučení výsledků řešení (elementární krychle), hledání extrémů. Vycházíme z napjatosti v bodě. Odpovídající napětí „sečteme“ a vyhodnotíme extrémy vždy samostatně v části 1 a části 2. V části 1 se vyskytuje pouze jednoosá napjatost a pouze ohyb, body c/ a d/ můžeme shrnout do rovnice 1red 1max . Pro část 2 je postup naznačen v Tab. 31 (postup je prakticky shodný s předchozím příkladem). Tab. 31. Maximální smykové napětí MAX je kdekoliv na povrchu hřídele (Krut). Maximální normálové napětí MAX je v a/ horní (po dosazení znamének Tah) a ve spodní (po dosazení znamének Tlak) části hřídele. b/ c/ Nalezení hlavních napětí (určení směrů hlavních napětí je-li to nutné) – Mohrova kružnice. Tento bod závisí také na zvolené hypotéze pevnosti (viz následující krok). Pro část 1 tento bod nemá smysl (jednoosá napjatost), pro část 2 postup odpovídá předchozímu příkladu. d/ Aplikace vybrané hypotézy pevnosti: Dle zvolené hypotézy pevnosti spočteme redukované napětí. Rovnice pro výpočet redukovaného napětí u tří vybraných hypotéz jsou uvedeny v Tab. 32 (postup je prakticky shodný s předchozím příkladem). Tab. 32. Redukované napětí Hypotéza ( ) Rankin (pro 1 0 2 0 nebo 1 0 2 0 ) red 2 Guest (pro 1 0 2 0 nebo 1 0 2 0 )
red 2 1
HMH
red 12 2 2 1 2
e/ Pevnostní kontrola, návrh rozměrů, zatížení atd. (vyhodnocení). V tomto kroku porovnáme výsledné redukované napětí s napětím dovoleným. Z výsledné nerovnice pak zjistíme, zda kontrolovaná konstrukce vyhoví požadavkům na ni kladeným (což v tomto případě reprezentuje dovolené napětí), případně navrhneme rozměry či zatížení (po dosazení všech příslušných rovnic). Jednotlivé varianty jsou naznačeny v Tab. 33 (postup je znovu shodný s předchozím příkladem). Tab. 33. Cíl výpočtu Pevnostní kontrola Platí – li D red - konstrukce vyhoví Návrh průměru hřídele
D red d
Návrh osové síly
D red F D red Mk
Návrh krouticího momentu
9 Literatura Odvození a příklady na procvičení lze nalézt ve většině skript či učebnic pružnosti a pevnosti, statiky atd. Například: [1] Lenert, J., Pružnost a pevnost 1, 2, VŠB-TU Ostrava.
24/25
PP1
Souhrn
[2] Krčál, O., Sbírka příkladů z pružnosti a pevnosti 1, VŠB-TU Ostrava. [3] Krčál, O., Adámková, L. Sbírka příkladů z pružnosti a pevnosti 2, VŠB-TU Ostrava. [4] Trebuňa, Jurica, Šimčák, Pružnosť a pevnosť I, II, [5] Šmiřák, Pružnost a plasticita I, [6] Miroljubov, I. N. a kol., Řešení úloh z pružnosti a pevnosti, SNTL, 1976. [7] Pěšina, E., Reif, P., Valenta, F., Sbírka příkladů z pružnosti a pevnosti, SNTL, 1964. [8] Juliš, Tepřík, Slavík, Statika, SNTL, 1987 [9] Ondrouch, Šnupárková, Příručka statiky s příklady, 1986 [10] Horyl, Statika a dynamika, 1988 [11] Medvec, A., Stradiot, J., Záhorec, O., Caban, S., Mechanika III - Dynamika, STU v Bratislave, 1996.
25/25
