VŠB- Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní Katedra pružnosti a pevnosti. Úvod do MKP Napěťová analýza tenzometrického snímače ve tvaru háku

VŠB- Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní Katedra pružnosti a pevnosti

Úvod do MKP Napěťová analýza tenzometrického snímače ve tvaru háku

Autor: Michal Šofer Verze 0 Ostrava 2011

Úvod do MKP

Napěťová analýza tenzometrického snímače ve tvaru háku

Zadání: Proveďte napěťovou analýzu tenzometrického snímače ve tvaru háku v místech A resp. B, vyznačených na obrázku 1 prostřednictvím programu Ansys Workbench. Hák je na pravé straně uchycen do karabiny a na straně druhé je zatěžován závažím o hmotnosti 75 kg. Výsledky MKP výpočtu porovnejte s analytickým řešením a rovněž s výsledky, získanými prostřednictvím tenzometrického měření v daných místech. Dáno: R1 = 20 mm, R2 = 60 mm, R3 = 40 mm, R4 = 10 mm, m = 120 mm, h = 80 mm, k = 40 mm, ϕD = 20 mm, E = 210000 MPa, µ = 0.3, m = 75 kg, t = 25 mm ,

ϕD

Obrázek 1: Rozměry háku

F

Obrázek 2: Fotografie tenzometrického snímače

Obrázek 3: Schematické zobrazení zatížení snímače

2|13

Úvod do MKP


1. Vyhodnocení napětí na základě analytického řešení

Analytické řešení následující úlohy bude provedeno na základě teorie silně zakřivených, nebo-li tlustých křivých prutů [1]. Na rozdíl od slabě zakřivených prutů v tomto případě neutrální osa neprochází těžištěm průřezu. Rovinnost příčných řezů je zachována včetně Bernoulli-Navierových předpokladů [1]. Na základě výrazu (1) stanovíme poloměr neutrální osy, který je nezbytný pro určení ohybových napětí v místech A a B (obr. 4a): R=

∫ (S )

S 1

ρ

(1) dS

Kde S je plocha průřezu, R je poloměr neutrální osy a ρ vyjadřuje obecný poloměr (Obr. 4b). Úpravou dostáváme:

R=

∫ (S )

S 1

ρ

= dS

( R2 − R1 ) ⋅ t ( R2 − R1 ) ( R2 − R1 ) ( R2 − R1 ) = = = = 36,41 mm R2 1 1 60   [ ρ ] ln( ) R1 ln  ∫ ρ t ⋅ dρ (∫S ) ρ dρ  20  (S )

(2)

dρ

R2 ρ t R1

Obrázek 4a

Obrázek 4b

Průřez A-B je namáhán jednak ohybovým napětím od síly F ale také tahovým napětím od téže síly. Vzhledem k tomu, že se pohybujeme v oblasti lineární pružnosti, je možné daný zátěžný stav superponovat do dvou případů (obr. 5).

3|13

Úvod do MKP


+ σtahové

σohybové

F

F

Obrázek 5: Superpozice zátěžného stavu na dva případy

Tahové napětí v průřezu A-B určíme následujícím způsobem:

σ tahové =

F m⋅ g 75 ⋅ 9.81 = = = 0.735 MPa S ( R2 − R1 ) ⋅ t (60 − 20) ⋅ 25

(3)

Ohybové napětí je dle teorie silně zakřivených prutů dáno vztahem:

σo =

Mo ⋅ z Sy ⋅ ρ

(4)

kde Mo vyjadřuje ohybový moment vzhledem k těžišti průřezu, z určuje vzdálenost vyšetřovaného místa od neutrální osy, Sy určuje statický moment průřezu vzhledem k neutrální ose a ρ vyjadřuje poloměr křivosti uvažovaného vlákna, které prochází vyšetřovaným místem. Pro místo A tedy platí:

σ oA

M ⋅z = oA A = Sy ⋅ ρA

( R1 + R2 ) ⋅ ( R − R1 ) 75 ⋅ 9.81 ⋅ 40 ⋅ 16.41 2 = = 6.72 MPa 40 ⋅ 25 ⋅ 3.59 ⋅ 20  ( R1 + R2 )  ( R2 − R1 ) ⋅ t ⋅  − R  ⋅ R1 2   m⋅ g ⋅

4|13

(5)

Úvod do MKP


Obdobně je možné určit ohybové napětí v místě B:

σ oB

M ⋅z = oB B = S y ⋅ ρB

( R1 + R 2 ) ⋅ ( R2 − R ) 75 ⋅ 9.81 ⋅ 40 ⋅ 23.59 2 = = 3.22 MPa 40 ⋅ 25 ⋅ 3.59 ⋅ 60  ( R1 + R2 )  ( R2 − R1 ) ⋅ t ⋅  − R  ⋅ R2 2   m⋅g ⋅

(6)

Napětí σoB je však tlakové, proto: σ oB = −3.22 MPa Výsledné napětí v daných místech bude rovno součtu tahového napětí σ tahové a příslušného ohybového napětí:

σ A = σ tahové + σ oA = 0.735 + 6.72 = 7.45 MPa σ B = σ tahové + σ oB = 0.735 − 3 = −2.48 MPa

(7)

2. Vyhodnocení napětí na základě tenzometrického měření K měření byly použity dva jednoduché fóliové tenzometry, které měří deformaci pouze v jednom směru, a to ve směru své podélné osy [2]. Tento druh tenzometrů je používám v případě, známe-li směr působení hlavního napětí resp. hlavní deformace. Na obrázku 6 jsou zobrazeny nalepené tenzometry v měřících místech A a B.

Obrázek 6: Detail na tenzometry v jednotlivých měřících místech

Následující tabulka obsahuje naměřené hodnoty deformací v jednotlivých měřících místech. 5|13

Úvod do MKP


Tabulka č. 1

Hodnota deformace [µS]*

Měřící místo A 39

měřící místo B -16

*microstrain [2]

Na základě naměřených deformací je možné vypočítat hodnoty napětí v daných místech podle vztahu:

σ = E ⋅ε

(8)

kde E je modul pružnosti v tahu (v našem případě 210000 MPa) a ε je naměřená deformace. Po dosazení:

σ A = E ⋅ ε A = 210000 ⋅ 39 ⋅ 10 −6 = 8.19 MPa σ B = E ⋅ ε B = 210000 ⋅ ( −16 ⋅ 10 − 6 ) = −3.36 MPa

(9)

3. Vyhodnocení napětí na základě MKP výpočtu Pro řešení příkladu prostřednictvím MKP přístupu využijeme software ANSYS Workbench 13. Vzhledem k statickému charakteru úlohy si v nabídce analýz zvolíme položku Static Structural.

Obrázek 7: Detail hlavní nabídky

6|13

Úvod do MKP


Položka Engineering Data obsahuje informace o použitém materiálu. Defaultně je zde nastavena ocel s modulem pružnosti E=210000 MPa, Poissonovým číslem µ=0.3 a hustotou ρ=7850 kg.m-3. Součástí softwaru je rovněž materiálová knihovna, která umožňuje dané materiály jak modifikovat, tak i definovat zcela nové. V našem případě je tenzometrický snímač ve tvaru háku vyroben z oceli, danou položku tudíž necháme beze změny a tlačítkem Return To Project se vrátíme do základní nabídky.

Obrázek 8: Parametry materiálu structural steel

Prostřednictvím položky Geometry definujeme geometrický model. Vzhledem k tomu, že součástí zadání je hotový model v souboru *.x_t, stačí jej pouze importovat tak, jak je to naznačeno na obrázku 9.

Obrázek 9: Importování externí geometrie

7|13

Úvod do MKP


Před samotnou definicí okrajových podmínek je nutné se rozmyslet jakým způsobem je budeme aplikovat na model. Z obrázku 3 je patrné, že síla a kloubová vazba leží na jedné přímce, která zároveň prochází středem kruhového otvoru. Bylo by tedy vhodné v místech působení síly resp. vazby definovat úsečku, na kterou bychom danou okrajovou podmínku aplikovali. Tímto krokem do modelu zavedeme bezesporu singularitu, tj. místo, ve kterém i při postupném zhušťování sítě roste napětí nad všechny meze v důsledku bodové okrajové podmínky (viz přednáška). Vzhledem k dostatečné vzdálenosti vyšetřovaných míst A a B nám tento způsob definice okrajových podmínek nijak výrazně neovlivní konečné výsledky. V rovině XY si vytvoříme skicu, ve které nakreslíme dvě vodorovné úsečky, které budou koincidentní s osou x a zároveň každá z nich bude překrývat okrajovou část háku (obrázek 10).

Obrázek 10: Tvorba úseček

Poté dané úsečky vysuneme do prostoru (operace Extrude), s tím že v položce Operation vybereme možnost Imprint Faces což má za následek rozřezání pouze povrchových ploch. Doplňkové nastavení pro tuto operaci je uvedeno v obrázku 11.

8|13

Úvod do MKP


Obrázek 11: Nastavení operace Imprint Faces

Po dokončení výše uvedené procedury projekt uložíme a přejdeme k položce Model, ve které budeme definovat okrajové podmínky, síť a posléze také parametry samotného výpočtu. V prvním kroku budeme generovat konečnoprvkovou síť. Manuálně nastavíme velikost elementů na hodnotu 2 mm, poté klikneme na položku Mesh pravým tlačítkem myši a zvolíme Generate Mesh (Obrázek 12).

Obrázek 12: Generace síťe

Nyní přistoupíme k definici okrajových podmínek. Jako první budeme definovat sílu, a to na úsečku zobrazenou na obrázku 13. Po kliknutí na položku Static Structural se nám v horní liště objeví menu pro zadávání okrajových podmínek, zvolíme položku Loads a poté Force (Obr. 13a). Vybereme danou úsečku a výběr potvrdíme tlačítkem Apply. Definici síly provedeme prostřednictvím komponentů – v položce Define By zvolíme možnost 9|13

Úvod do MKP


Components (Obr. 13b). Síla bude působit proti směru osy x, do kolonky X Component poté zadáme -735 N (=75.9,81).

Obrázek 13a: Definice síly

Obrázek 13b: Definice síly

10 | 1 3

Úvod do MKP


V následujícím kroku budeme definovat kloubovou vazbu pro přímku zobrazenou na obrázku 14. V položce Supports zvolíme typ vazby Remote Displacement, která nám umožňuje odebrat až 6 stupňů volnosti – 3 posuvy a 3 natočení v jednotlivých osách (Obr. 14).

Obrázek 14: Definice vazby

Po opětovném vybrání geometrie, v našem případě přímky, a jejím potvrzení přejdeme na definici samotné vazby. Přímce bude umožněno pouze natáčení kolem osy x, zbylé stupně volnosti budou odebrány (Obr. 15).

Obrázek 15: Definice vazby

V posledním kroku nastavíme parametry výpočtu. Po kliknutí na Solution se nám zobrazí lišta týkající se této položky (Obr 16). Zde si můžeme vybrat, jaké proměnné chceme zahrnout do výsledků. V našem případě nás bude zajímat minimální a maximální hodnota hlavního normálového napětí (Obr. 16). Tlačítkem Solve poté spustíme výpočet.

11 | 1 3

Úvod do MKP


Obrázek 16: Definice výstupů pro výpočet

4. Výsledky Následující obrázek nám vyobrazuje distribuci minimálního hlavního napětí ve směru osy x. Využijeme-li k určení hodnoty napětí v místě B (Obr. 1) nástroj Probe, obdržíme hodnotu přibližně -2.57 MPa (Obr. 17). V případě analýzy místa A resp. distribuce maximálního hlavního napětí ve směru osy x dojdeme k hodnotě 8 MPa (Obr. 18).

Obrázek 17: Distribuce minimálního hlavního napětí ve směru osy x

12 | 1 3

Úvod do MKP


Obrázek 18: Distribuce maximálního hlavního napětí ve směru osy x

5. Porovnání jednotlivých přístupů

Přístup tenzometricky analyticky MKP

σoA [MPa] 8.19 7.45 8.06

σoB [MPa] -3.36 -2.48 -2.57

6. Literatura [1] LENERT, J.; Pružnost a pevnost II, skriptum VŠB-TUO, 1. vydání, ISBN: 80-7078-572-1, Ostrava (1998), 173 s. [2] MACURA, P.; Experimentální metody v pružnosti a plasticitě, skriptum VŠB-TUO, 1. vydání, ISBN: 80-7078-934-4, 107 s.

13 | 1 3

VŠB- Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní Katedra pružnosti a pevnosti. Úvod do MKP Napěťová analýza tenzometrického snímače ve tvaru háku

Recommend Documents