Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava Fakulta stavební – katedra konstrukcí
Ing. Karel Kubečka
Využití statistických metod při statickém navrhování a posuzování železobetonových konstrukcí.
Strana č. 1
Obsah : 1. Úvod.................................................................................................................................. 3 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6.
2.
3.
4. 5.
6. 7.
Náhodná proměnnost vlastností materiálu a zatížení............................................. 3 Statistika a metoda mezních stavů ......................................................................... 4 Statistické vyšetřování............................................................................................ 5 Postup z individuálních hodnot .............................................................................. 6 Postup ze skupinového rozdělení četností.............................................................. 7 Teoretický matematicko – statistický model.......................................................... 8 Teorie výpočtu betonových konstrukcí .................................................................. 11 2.1. Návrh betonové konstrukce a jeho teoretické základy......................................... 11 2.2. Mezní stavy stavebních konstrukcí ...................................................................... 12 2.3. Stadia působení a návrhové situace...................................................................... 13 2.4. Náhodná proměnlivost zatížení............................................................................ 14 2.5. Náhodná proměnlivost odporu konstrukce .......................................................... 17 2.6. Metody navrhování betonových konstrukcí a jejich vývoj .................................. 18 2.6.1. Deterministické metody navrhování ................................................................ 18 2.6.2. Pravděpodobnostní metody navrhování ........................................................... 19 2.6.3. Ekonometrické metody navrhování ................................................................. 21 Statistické metody hodnocení betonu (ČSN 73 2404) ....................................... 21 3.1. Hodnocení izolovaného souboru.......................................................................... 23 3.1.1. Velmi malý výběr............................................................................................. 23 3.1.1.1. Testování odlehlých hodnot ......................................................................... 23 3.1.1.2. Posouzení normality rozdělení jednotlivých souborů .................................. 26 3.1.1.3. Testování odlehlých hodnot ......................................................................... 26 3.1.2. Velký výběr ...................................................................................................... 35 3.1.2.1. Hodnocení naměřených hodnot jako velkého souboru ................................ 39 Statistická interpretace výsledků - hodnocení podle ČSN ISO 2602. ............ 41 Praktické určení pevnosti na základě vyhodnocení velmi malého výběru. .. 45 5.1. Hodnocení izolovaného souboru – postup dle ČSN 73 2404............................... 45 5.1.1. Testování odlehlých hodnot: ............................................................................ 45 5.1.2. Odhad souborového podílu hodnot se sníženou jakostí. .................................. 46 5.2. Hodnocení izolovaného souboru – postup dle ČSN ISO 2602 ............................ 47 Literatura ....................................................................................................................... 51 Normy ............................................................................................................................. 51
Strana č. 2
1.
Úvod
Na každé stavbě můžeme zjistit, že vlastnosti použitých materiálů a rozměry provedených konstrukci se liší od předpokládaných údajů v projektu a to místo od místa, takže podrobíme-li některou sledovanou vlastnost zkouškám, ať již přímo na stavbě nebo v laboratoři, obdržíme výsledky vykazující jisté rozptýlení okolo svého průměru. Obdobně jako vlastnosti materiálu a rozměry konstrukce mění se i zatížení. Stálé zatížení, vyvozené vlastní tíhou konstrukcí, mění svou velikost v různých místech následkem nahodilých změn objemové hmotnosti a rozměrů. Nahodilé zatížení, jehož účinkům je nosná konstrukce v provozu vystavena, mění svou velikost v závislosti na čase. Rozdílné výsledky těchto „náhodně proměnných“ veličin spočívají buď v povaze materiálů a zatížení nebo v nemožnosti dokonalého provedení stavby a jejich chování lze postihnout pouze rozborem většího počtu zkoušek, prováděným metodami matematické statistiky.
1.1.
Náhodná proměnnost vlastností materiálu a zatížení.
Uveďme pro ilustraci co do počtu zkoušek silně zjednodušený příklad. Náhodně proměnnou veličinou bude krychelná pevnost betonu zjištěná na dvou stavbách A a B. Zkoušky daly tyto výsledky : •
na stavbě A : 5, 10, 15 MPa
•
na stavbě B : 8, 10, 12 MPa
Průměrná pevnost je tedy R´ = 10 MPa u obou staveb stejná, je však zřejmé, že na stavbě B je výroba betonu kvalitnější, výsledky zde mají menší rozptyl. Z uvedeného vyplývá, že průměr není jediným a rozhodujícím ukazatelem a pro celkové posouzení chování náhodně proměnné veličiny je nutno uvážit ještě další „charakteristiky“ statistického souboru. Objasněme si v dalším důležité pojmy z oboru statistiky : Statistický soubor je definován jako souhrn všech naměřených hodnot vyšetřovaného znaku. Znak Znakem rozumíme měřenou nebo zkouškami zjišťovanou veličinu jako například pevnost betonu, objemovou hmotnost betonu, mez kluzu nebo pevnost oceli, velikost zatížení atp. Rozsah souboru „n“ tvoří počet všech naměřených hodnot souboru. Co do velikosti rozsahu souboru rozeznáváme : •
základní soubor, který nelze obvykle zkouškami celý postihnout;
•
náhodný výběr, který tvoří pouze jistý počet vzorků vybraných ze základního souboru.
Tak například z celkového počtu panelů na skládce tvořícího základní soubor provádíme kontrolu jakosti pouze na menším počtu náhodně vybraných prvků. Při zjišťování
Strana č. 3
krychelné pevnosti betonu na stavbě odebíráme pouze část betonové směsi pro zhotovení jistého počtu zkušebních krychlí. Podle velikosti rozsahu náhodného výběru při posuzování jakosti betonu dělíme výběr na : •
velký náhodný výběr
n > 100
•
malý náhodný výběr
17 < n < 100
•
velmi malý náhodný výběr
(3 ≤ n ≤ 16),
Při menším rozsahu souboru (n < 3) již nelze provádět statistické hodnocení. U náhodných výběrů je nutno postupovat při výběru tak, aby každý vzorek měl stejnou „šanci být vybrán“. Kvantitativní znak. Povaha tohoto znaku je taková, že jeho hodnoty jsou udány čísly, což bude u.převážné většiny případů. Jsou-li důležité nejnižší hodnoty znaku, půjde o tzv. znak prvního druhu (např.pevnost, mez kluzu, ale i objemová hmotnost). Naopak, zajímají-li nás nejvyšší hodnoty, jde o znak druhého druhu (zatížení nahodilé, objemová hmotnost). Některý znak se může současně vyskytovat v obou druzích. Kvalitativní znak U kvalitativního znaku jde v podstatě o zodpovězení otázky, zda zkoumané vzorky z jistého hlediska vyhovují, či ne. I zde se pro hodnocení převážně užívá náhodných výběrů. V praxi se např. stanovuje tzv. „podíl zmetkovitosti“, tj. podíl nevyhovujících výrobků k celkovému počtu kontrolovaných. Charakteristiky souboru Charakteristikami souboru (u kvantitativního znaku) budeme rozumět důležité číselné údaje, podle nichž můžeme hodnotit chování náhodně proměnné veličiny. Jsou to průměr, rozptyl, směrodatná odchylka, variační součinitel a šikmost. Hodnoty těchto charakteristik budeme zjišťovat z numerického souboru experimentálních výsledků (zpravidla vždy půjde o náhodný výběr) podle vztahů uvedených dále. Parametry základního souboru Parametry základního souboru jsou opět průměr, rozptyl atd., avšak jejich hodnoty jsou zpravidla neznámé. Zvětšujeme-li však počet zkoušek u náhodného výběru, blíží se hodnoty vypočtených charakteristik hodnotám neznámých parametrů základního souboru. Při větším počtu zkoušek se zpravidla předpokládá.jejich rovnost, při menším jejich počtu se provádí patřičné korekce.
1.2.
Statistika a metoda mezních stavů
Matematická statistika je jedním ze základů teorie mezních stavů, neboť jedině s její pomocí je možno zajistit z teoretického hlediska bezpečnou únosnost konstrukce. Je možno vysvětlit tento stěžejní problém na jednoduchém příkladu. Byl navržen železobetonový prostý nosník z jistého druhu betonu a oceli. Výpočtem byly stanoveny jeho rozměry „b“, „h“ a potřebné množství tahové výztuže v nebezpečném řezu „I – I“ uprostřed rozpětí (viz následující obrázek). Při správném návrhu a výrobě se dá
Strana č. 4
předpokládat, že vyrobí-li se celá řada takových nosníků, přenesou tyto bezpečně uvažované zatížení. Nejdůležitější otázkou bezpečného návrhu však bude, s jakými hodnotami materiálových konstant a s jakou velikostí zatížení budeme ve výpočtu počítat. V nebezpečném průřezu jsou totiž vlastnosti použitých materiálů, rozměry průřezu i velikost zatížení veličiny náhodně proměnné a bude správné v návrhu předpokládat, že právě v jednom z nosníků se v jeho nebezpečném průřezu vytvoří ty nejnepříznivější okolnosti, totiž, že pevnosti betonu a oceli i rozměry průřezu zde budou právě nejmenší, působící zatíženi však naopak největší. Bude tedy „schopnost odporu“ nebezpečného průřezu, kterou budeme vyjadřovat mezním momentem únosnosti „Mu“, záviset na statisticky minimálních hodnotách vlastností materiálu (znaky l.druhu). Naopak moment od zatíženi „Mr“ bude určen ze statisticky maximálních hodnot zatížení (znaky 2.druhu). Hodnoty těchto statistických extrémů lze stanovit vyšetřením statistických souborů uvedených proměnných veličin, přičemž je nutno předem zvolit značně vysokou spolehlivost jejich určení, jinými slovy : pravděpodobnost „p“ výskytu nižších (u znaku l.druhu) nebo vyšších (u znaku 2.druhu) hodnot než uvedené extrémy musíme stanovit mizivě nízkou (v minulosti v zemích RVHP to bylo např. p=0,0015, v západoevropských zemích p=0,001). Běžně se hodnoty statistických extrémů nazývají výpočtové hodnoty. Pro materiály jako beton a ocel to budou výpočtová namáhání betonu a oceli (Rb, Ra), pro zatížení pak výpočtová zatížení. Jejich teoretické odvozeni je uvedeno v následující stati. Z uvedeného vyplývá, že požadavek bezpečné únosnosti lze formulovat nerovností (v krajním případě rovností) Mu > Mr kde veličina Mu je funkcí výpočtových namáhání betonu a oceli, veličina Mr pak funkcí výpočtového zatížení. Ve skutečnosti je však pravděpodobnost, že nastane případ Mu = Mr ještě podstatně menší, neboť jde o tzv. pravděpodobnost složenou. Kromě zmíněné teoretické úlohy se uplatňuje statistika při kontrole a stanovení jakosti betonu vyráběného na stavbách. Při hodnocení se zde kromě hlediska bezpečnosti uplatňují i další, jako hledisko ekonomické nebo hledisko stupně organizovanosti výroby betonu. Zpravidla se zodpovídá otázka, zda vyrobený beton odpovídá projektované třídě nebo se porovnává kvalita výroby betonu na dvou i více stavbách, nebo v rámci jednoho i více výrobních podniků. Ze skutečností uvedených v předchozím odstavci vyplývá, že kromě statisticky se u metody mezních stavů uplatňuje částečně i počet pravděpodobnosti. Proto se tato metoda také řadí mezi t.zv. metody semiprobabilistické (z franc. probabilité - pravděpodobnost).
1.3.
Statistické vyšetřování
V následujícím budeme statisticky vyšetřovat kvantitativní znak, který označíme obecně X. Z experimentů dostaneme řadu numerických výsledků, které tvoří náhodný výběr.
Strana č. 5
Rozsah tohoto numerického souboru je „n“. Jednotlivé hodnoty souboru jsou označeny xi (pro i = 1,2,...., n). Další vyšetřování se může provádět buď přímo z těchto individuálních hodnot nebo z t. zv. skupinového rozdělení četností.
1.4.
Postup z individuálních hodnot
Při menším rozsahu náhodného výběru (n < 100) je ještě možno vycházet při ručním zpracování výsledků z individuálních hodnot. Základní charakteristiky souboru jsou : • • • • •
průměr x rozptyl s2x směrodatná odchylka variační součinítel šikmost
sx vx ax
Výrazy pro jejich výpočet : průměr x - je střední hodnotou souboru a udává jeho polohu rozptyl s2x - je dán průměrem kvadrátů odchylek hodnot xi od průměru x. Udává jejich rozptýlení okolo průměru. Při numerickém výpočtu je možno často výhodněji použít upraveného vztahu pro rozptyl
směrodatná odchylka sx - je mírou rozptýlení a vypočte se jako kladně vzatá druhá odmocnina rozptylu
x=
1 n ∑ xi n i =1
s x2 =
1 n (xi − x ) 2 ∑ n i =1
s x2 =
1 n 2 xi − x 2 ∑ n i =1
s x = + s x2 n
sx =
variační součinitel vx - je relativní mírou rozptýlení a určí se jako podíl směrodatné odchylky a průměru
šikmost ax - udává nesouměrnost souboru vůči jeho průměru
∑ (x i =1
i
− x )2
n −1
vx =
sx x
ax =
1 n ∑ ( xi − x )3 n ∗ s x3 i =1
Při numerickém výpočtu je možno často výhodněji použít upraveného vztahu 1 1 n 1 n a x = 3 ∑ xi3 − 3 x ∑ xi3 + 2 x 3 s x n i =1 n i =1
Strana č. 6
1.5.
Postup ze skupinového rozdělení četností
Při větším rozsahu souboru (n > 100) je výpočet jeho charakteristik z individuálních hodnot pracný. Pokud zpracováváme výsledky ručně, je lépe uspořádat hodnoty souboru do „k“ tříd nebo-li intervalů stejné velikosti (délky) „h“. Počet tříd k se volí v počtu 7 < k < 20, nejlépe však k = 8 až 12. Rozpětí souboru je rozdíl mezi maximální a minimální hodnotou souboru r = max „x“ - min „x“ Doporučuje se, aby délka intervalu byla volena h = 0,08 „r“ a nutno ji zaokrouhlit na celé číslo. Střed i-té třídy je t. zv. hodnota třídního znaku zi; ( i = 1,2,...., k ). Třídní znak pak zastupuje všechny hodnoty znaku v i-té třídě. Počet hodnot znaku v určité třídě se nazývá četnost třídy ni. Tím dostaneme nový, pro zpracování podstatně menší soubor s numerickými hodnotami zi, jejichž počet je „k“. Při výpočtu charakteristik je nutno respektovat četnosti jednotlivých tříd. Vychází-li se ze skupinového rozdělení četností, pak další výrazy pro charakteristiky numerického souboru jsou : Průměr
Rozptyl
rozptyl (alternativně)
x=
1 k ∑ ni zi n i =1
s x2 =
1 k 2 ni ( zi − x ) ∑ n i =1
s x2 =
1 k ∑ ni zi2 − x 2 n i =1
Pro směrodatnou odchylku sx a variační součinitel vx zůstávají beze změny v platnosti vztahy uvedené výše. s s x = + s x2 vx = x x Šikmost
šikmost (alternativně)
ax =
1 k ∑ ni ( zi − x )3 n ⋅ s x3 i =1 ax =
1 1 k 1 k 3 n z 3 x ni zi2 + 2 x 3 − ∑ ∑ i i 3 s x n i =1 n i =1
Rozdělením hodnot souboru do tříd a jejich nahrazením třídními znaky se dopouštíme jisté chyby, která je však malá a výpočty prakticky neovlivňuje. Početní zpracování výrazů pro průměr, rozptyl a šikmost se provádí nejlépe tabelárně a při případném ručním způsobu zpracování lze dosáhnout dalšího zjednodušení zavedením vhodně zvolené nové proměnné.
Strana č. 7
Často používaným grafickým znázorněním skupinového rozdělení četností je t. zv. histogram četností. Je to sloupcový diagram (viz obr.), jehož sloupce mají stejnou délku „h“ a výšku ni. Zpravidla se do histogramu vyznačí také průměr x, směrodatná odchylka sx a šikmost ax.
1.6.
Teoretický matematicko – statistický model
Doposud jsme dovedli stanovit charakteristiky souboru, který byl náhodným výběrem a výsledky jsme znázornili histogramem četnosti.Máme-li však zjistit chování znaku neznámého základního souboru, budeme k tomu potřebovat teoretický matematickostatistický model vyjádřený spojitou náhodně proměnnou veličinou,definovanou některou z těchto dvou funkcí : • •
hustotou pravděpodobnosti f(x) distribuční funkcí F(x)
Souvislost mezi numerickým souborem a jeho teoretickým modelem si můžeme představit pomoct souboru velkého rozsahu „n“, který je uspořádán do „k“ tříd s četnostmi ni. Relativní četnost je pak poměr fi =
ni n
který současně udává t.zv. experimentální pravděpodobnost výskytu hodnoty „x“ v i-té třídě. k k Pro součet všech relativních četností platí ni f = =1 ∑ ∑ i i =1 n i =1 Pravděpodobnost (experimentální) výskytu hodnoty x v celém souboru je tedy rovna 1,0. Tvar histogramu relativních četností je podobný tím více grafickému vyjádření funkce hustoty pravděpodobnosti f(x), čím větší bude rozsah numerického souboru „n“ a počet tříd „k“. Funkce hustoty pravděpodobnosti je tedy teoretickým modelem relativních četností znaku „x“.
Strana č. 8
Určeme dále tzv. kumulativní relativní četnost Fi danou výrazem : i
Fi = f1 + f 2 + K + f i = ∑ f j j =1
V grafickém vyjádření tvoří kumulativní relativní četnost jistou část plochy histogramu (na předcházejícím obrázku se jedná o vyšrafovanou část), jíž odpovídá teoretická plocha pod křivkou f(x) (na předcházejícím obrázku je obrys této plochy silně vytažen), která určuje distribuční funkci F(x). Distribuční funkce je tedy teoretickým modelem kumulativních relativních četností F(i). Uvedené funkce vystihující modelovou křivku se vztahují k teoretickému základnímu souboru, jehož charakteristiky nazýváme parametry. Jsou to : • • •
Průměr směrodatná odchylka šikmost
µx σx αx
Přesné hodnoty těchto parametrů neznáme, můžeme je však při dostatečném počtu zkoušek odhadovat pomocí vypočtených charakteristik numerického souboru tak, že předpokládáme jejich vzájemnou rovnost. S ohledem na vztah k k ni f = =1 ∑ ∑ i i =1 i =1 n bude dále platit, že obsah plochy vymezené modelovou křivkou a vodorovnou osou x, bude roven jedné. Současně to znamená, že pravděpodobnost „p“ výskytu hodnoty „x“ v intervalu -∝ až +∝ je rovna jedné. Zaveďme ještě některé důležité pojmy : Kvantil xp - je hodnota náhodné proměnné „x“, pro kterou je pravděpodobnost výskytu menších, resp.větších hodnot souboru rovna číslu „p“. U znaku l. druhu je hodnota pravděpodobnosti „p“ dána velikostí vyšrafované p1oohy v následujícím obrázku s indexem „a)“ u znaku 2. druhu v obrázku „b)“. Pravděpodobnost „q“, se kterou se vyskytnou hodnoty znaku X naopak větší, resp. menší než „xp“ se nazývá spolehlivost. Platí vždy
p+q=1
Strana č. 9
Pro velmi malé pravděpodobnosti (p = 0,05 až 0,001) se kvantil „xp“ nazývá kritická hodnota, která je pro zvolenou pravděpodobnost statistickým minimem znaku 1. druhu. Podobně bychom mohli definovat statistické maximum kvantilem xp (zde je xp > µp). Nejčastěji užívaným teoretickým modelem je „Gaussovo normální rozdělení“. Tento model je vhodný pro symetrická rozdělení hodnot znaku „x“. Obsahuje dva parametry: •
průměr
µx
•
směrodatnou odchylku
σx
Funkce hustoty pravděpodobnosti f(x) tvoří v grafickém znázornění zvonovitou symetrickou křivku, jejíž osa symetrie prochází průměrem. Šikmost αx je tedy rovna nule. Analytický výraz pro Gaussovo normální rozděleni má tvar : f( x) =
1
σ x ⋅ 2π
⋅e
−
( x−µ x )2 2σ x2
kde „e“ je základ přirozených logaritmů. Gaussova rozdělení lze použít pro vyhodnocování zkoušek pevnosti betonu i v případě nesouměrného rozdělení výsledku (a > < 0) pokud vykazují malý variační součinitel (vR < 0,1). U nesymetricky rozdělených hodnot souboru (a > < 0) je vhodné volit obecnější rozdělení hustoty pravděpodobnosti. Zde se nejčastěji používá Pearsonovy křivky typu III. Parametry této funkce obsahují kromě průměru µx. a směrodatné odchylky σx ještě navíc šikmost αx, jejíž hodnota se uvažuje v mezích -1 až +1. Grafickým znázorněním hustoty pravděpodobnosti je nesouměrná zvonovitá křivka s šikmostí αx > < 0. Nesouměrnost se zvětšuje s rostoucí absolutní hodnotou αx.. Pro αx = 0 přechází Pearsonova křivka typu III v Gaussovo normální rozdělení. Analytický výraz pro Pearsonovu křivku typu III je dosti složitý a zpravidla jsou hodnoty funkce tabelovány v podobě tzv.·normovaného rozdělení. Pro praktické použití je výhodné zavedení tzv. normované proměnné „t“, která má nulový průměr a směrodatnou odchylku rovnou jedné. Nemá tedy žádný parametr a její rozdělení se jednoduše tabeluje. Nová proměnná „t“ vznikne transformací x − µx t=
σx
Dosazením do výrazu
f( x) =
1
σ x ⋅ 2π
⋅e
−
( x−µ x )2 2σ x2
Strana č. 10
1
obdržíme symetrické rozdělení normované proměnné :
f (t ) =
1 − 2t2 e 2π
Distribuční funkci pak dostaneme integrací předchozího vztahu.
f (t ) =
1 2π
2.
t
∫
e
1 − t2 2
dt
−∞
Teorie výpočtu betonových konstrukcí
Nosné konstrukce stavebních objektů je třeba navrhovat, popř. posuzovat takovým způsobem, aby byly spolehlivé během realizace a obvyklého užívání objektů. Úkolem teorie betonových konstrukcí je proto jednak stanovení postupů, jakými lze určovat silové a přetvárné účinky zatížení s uvážením všech důležitých vlastností betonové konstrukce a dále určení vztahu mezi účinky zatížení a odporem betonové konstrukce proti jejímu porušení.
2.1.
Návrh betonové konstrukce a jeho teoretické základy
Potřebnou spolehlivost betonové a vlastně jakékoli stavební konstrukce však nelze zabezpečit pouze pečlivým návrhem konstrukce v duchu uvedených zásad. Při návrhu je třeba předpokládat, že: • konstrukci realizují osoby s potřebnou odborností a zkušenostmi, • je zajištěna nezbytná kontrola ve výrobnách a na stavbě, • použité stavební materiály mají vlastnosti podle příslušných předpisů, • konstrukce se bude užívat v souladu s předpoklady uvažovanými při návrhu konstrukce, • konstrukce bude náležitě udržována. Uvedené důležité výchozí předpoklady společně s požadavky na kvalifikační předpoklady projektanta statika podmiňují nejen spolehlivé navrhováni betonových konstrukcí podle ČSN 73 1201, ale jsou výslovně uvedeny též v novější normě Evropské organizace pro standardizaci (CEN) pro navrhování betonových konstrukcí Eurokód 2. Část 1-1 Eurokódu 2 již byla v překladu vydána v České republice jako ČSN P ENV 1992-1-1 “Navrhování betonových konstrukcí“. Oba normativní dokumenty jsou založeny na moderní metodě navrhování podle mezních stavů.
Strana č. 11
2.2.
Mezní stavy stavebních konstrukcí
V průběhu zatěžování prochází konstrukce spojitě stavy napjatosti a přetvoření, které můžeme matematicky popsat tzv. stavovou charakteristikou konstrukce, znázorněnou pro zvolený případ na obrázku. Ze spojitých stavů lze vybrat takové, které jsou pro chování zatěžované konstrukce typické a které dokážeme popsat nejlépe. Na obr.1 je to například stav vzniku trhlin při zatížení Fr , stav význačného průhybu, charakterizovaný zatížením Fdef, stav kolapsu při zatížení Fcol apod. Protože tyto stavy značí určité meze na stavové charakteristice, nazýváme je c údržba, d opravy, erekonstrukce, f evakuace, mezními stavy. Během předpokládané g kolaps; I - mezní stavy únosnosti, II - mezní doby životnosti má konstrukce stavy použitelnosti splňovat tyto dva základní požadavky: Obr. 1- Stavová charakteristika dané konstrukce •
nesmí se zřítit nebo jinak porušit, což značí, že musí zůstat únosná,
•
nesmí přestat (ani dočasně) plnit funkce, pro které byla navržena, tj. musí zůstat použitelná.
Obecně je třeba uplatnit při návrhu konstrukce oba požadavky, které nejsou navzájem zaměnitelné. Přitom odpovídají požadavkům na únosnost mezní stavy únosnosti a požadavkům na použitelnost mezní stavy použitelnosti. ČSN 73 1201 používá pro mezní stavy únosnosti též označení mezní stavy první skupiny a pro mezní stavy použitelnosti označení mezní stavy druhé skupiny. Základní rozdíl mezi oběma skupinami mezních stavů lze vidět v povaze následků, které přináší jejich překročení. Při překročení mezního stavu první skupiny dojde k úplné a nevratné ztrátě způsobilosti konstrukce, zatímco překročení mezních stavů druhé skupiny ztěžuje obvyklé užívání objektu, popřípadě zkracuje dobu životnosti objektu. Proto se spolehlivost proti dosažení mezních stavů únosnosti předepisuje podstatně vyšší než proti dosažení mezních stavů použitelnosti. Mezním stavem lze tedy obecně označit stav, kdy stavební konstrukce, základ nebo základová půda (jako nedílná součást nosného systému základová půda - základ nadzákladová konstrukce) přestane vyhovovat předepsaným provozním požadavkům nebo požadavkům na její provádění. Jakým způsobem vyjadřujeme matematicky podmínky spolehlivosti jako vztah mezi silovým účinkem zatížení Sd (setkáme se i s pojmem odezvy konstrukce na účinky zatížení) a mezi přípustnou hodnotou odporu konstrukce Rlim stanovenou s přihlédnutím k rozměrům prvku, použitému materiálu a způsobu vyztužení. Podmínka spolehlivosti pro první skupinu mezních stavů má tvar: Sd ≤ Rlim
Strana č. 12
a podmínka spolehlivosti pro druhou skupinu mezních stavů, tj. matematický vztah mezi přetvárným účinkem zatížení ωs a jeho přípustnou hodnotou ω lim :
ωs ≤ ω lim
2.3.
Stadia působení a návrhové situace
Při ověřování spolehlivosti prvků, částí nebo celých konstrukcí je třeba uvážit všechna stadia působení, která se mohou navzájem lišit: • • • •
uspořádáním a vlastnostmi nosného systému (změny podepření, rozpětí, vzpěrné délky při dopravě, manipulaci, osazování nebo v provozním stadiu), zatížením, kdy se mění druh, sestavy i kombinace zatížení (uvažuje se podle požadavků ČSN 73 0035) stářím konstrukce, kdy se mohou měnit např. vlastnosti materiálu, délkou trvání jednotlivých stadií působení.
Například mostní konstrukce z dílců z dodatečně předpjatého betonu prochází postupně stadiem výroby a dopravy nepředpjatých dílců, jejich předpínáním ve výrobně nebo na staveništi, stadiem osazování, popř. dalšího předpínání, zatěžovacími zkouškami, provozním stadiem, stadii oprav nebo dopínání a konečně stadiem demontáže a demolice. U betonových konstrukcí pozemního stavitelství navrhovaných podle ČSN 73 1201 z praktických důvodů rozlišujeme obvykle jen dvě stadia: • •
výrobní stadium, které trvá pouze zlomek doby životnosti díla a zahrnuje výrobu, montáž, zatěžovací zkoušky, opravy, popř. demontáž, provozní stadium, které trvá převážnou část doby životnosti.
Se stadii působení úzce souvisí návrhové situace, které je třeba rozlišovat při výpočtu konstrukcí podle mezních stavů. Návrhová situace může být: • trvalá, která odpovídá obvyklému užívání objektu v provozním stadiu, trvá po převážnou část doby životnosti a pravděpodobnost jejího výskytu je rovna jedné (nastane s určitostí); • dočasná, odpovídající výrobnímu stadiu (výroba, přeprava, montáž, oprava aj.), trvá krátkou dobu, ale pravděpodobnost jejího výskytu je rovna také jedné (výskyt s určitostí); • nehodová s velmi malou pravděpodobností výskytu i s krátkou dobou trvání, která však může být významná z hlediska možných následků (např. výbuch, náraz, požár, havárie, pád břemene, selhání některé části konstrukce). Návrhové situace se charakterizují jednak výpočetním modelem, dále výčtem mezních stavů, podle kterých se musí konstrukce dimenzovat a hodnotami parametrů dimenzování (viz dále odd.2.4). Návrhové situace, pro které je třeba konstrukce dimenzovat, předepisují normy pro navrhování (v našem případě ČSN 73 1201). Je samozřejmé, že z hlediska spolehlivosti klademe nižší požadavky na návrhové situace, které se vyskytnou krátkodobě nebo které se nemusí během doby životnosti konstrukce vyskytnout vůbec.
Strana č. 13
2.4.
Náhodná proměnlivost zatížení
Spolehlivost navrhované konstrukce je ovlivněna řadou činitelů, většinou nezávislých na projektantovi. Jde o náhodné a nenáhodné činitele. Náhodný charakter má např. kolísání fyzikálně mechanických vlastností materiálu, rozměrů průřezu, nahodilé zatížení ve skladu apod. Nenáhodný charakter mají naopak chyby při návrhu a výrobě konstrukcí, přetížení konstrukce způsobené nedbalostí apod. Ke vlivu hrubých chyb se při navrhování nepřihlíží. Vliv nenáhodných systematických odchylek a chyb, zapříčiněných nedostatkem informací, nedokonalostmi teoretických nástrojů, kontroly při realizaci aj. dovedeme většinou předvídat a v metodě navrhování podle mezních stavů vyjádřit ve formě různých korekčních součinitelů, které najdeme v normách pro navrhování. Patří sem i stupeň společenského a ekonomického významu objektu, který se podle ČSN 73 0031 vystihuje součinitelem účelu γn, uvedeným v tab.1. Tab.1 Třídy významu objektu a součinitel účelu γn Třída objektu
významu Význam objektu
Součinitel účelu
γn
U
Objekty s mimořádným ekonomickým anebo společenským významem
> 1,00
I
Objekty s velkým ekonomickým anebo společenským významem
1,00
II
Objekty se středním ekonomickým anebo společenským významem
0,95
III
Objekty s omezeným ekonomickým anebo společenským významem
0,90
Podle ČSN 73 0031 patří do třídy U podle tab.1 významné objekty dopravních a vodohospodářských celků (mimořádně významné mosty, přehradní hráze a objekty). Do třídy I řadíme inženýrské stavby pro dopravu a vodohospodářské objekty, které jsme nezařadili ve třídě U, těžní věže a strojovny těžních strojů, budovy hlavních ventilátorů plynujících dolů, budovy divadel, kin, nemocnic, škol a předškolních zařízení, obchodních domů, rozhledny, nádražní haly, čekárny, tribuny a kryté sportovní objekty, muzea a státní archivy, hlavní objekty elektráren a distribuční soustavy velmi vysokého napětí, vysoké pece, komíny a anténní stožáry, věžové zásobníky, zásobníky a nádrže na ropu a ropné produkty nebo chemikálie a objekty ozbrojených složek zvláštní důležitosti. Ve třídě II budou objekty obytné a občanské výstavby, objekty pro průmyslovou, rostlinnou a živočišnou výrobu a spoje (nezařazené do tříd I nebo III), objekty ústředních skladů pro zásobování obyvatelstva, třídíren a balíren, skladů cenných technických zařízení a přístrojů, výzbroje a výstroje ozbrojených složek, dočasné nebo přenosné sportovní objekty a objekty místních komunikací III. a IV.tř. a účelových komunikací, vleček a drah zvláštního určení (kromě lanových drah). Konečně do třídy III podle tab.1 zatřídíme objekty skladů nezařazených ve třídě II a skladů zemědělských výrobků a hnojiv (nepatří-li do třídy I), zásobníky (kromě věžových), skleníky, pařeniště, stožáry sítě vysokého a nízkého napětí, osvětlovací stožáry apod. Strana č. 14
Součinitel účelu podle tab.1 se použije při výpočtu extrémních výpočtových hodnot zatížení (viz dále) tak, že se jím násobí hodnoty součinitele zatížení γf >1 nebo dělí hodnoty součinitele zatížení γf <1. Při výpočtu konstrukcí podle 2.skupiny mezních stavů a při výpočtu podle mezního stavu porušení únavou (viz dále) má součinitel účelu hodnotu γn = 1. U dočasných objektů s předpokládanou dobou životnosti pět let a kratší se použije hodnota γn = 0,8. Spolehlivost konstrukce je však ovlivňována i náhodnými činiteli, které vyžadují odlišný přístup. Zatížení je vliv, způsobující změny napjatosti, přetvoření, tvaru nebo i polohy konstrukce. Zatížením jsou jak vnější síly (tíha konstrukce, sněhu, skladovaný materiál), tak fyzikální vlivy (účinek teploty, dotvarování a smršťování betonu). Zatížení lze dále třídit na přírodní (gravitace, hmota, tlak vzduchu nebo vody, klimatické teploty aj.) a technologická (statické nebo dynamické účinky technologických procesů, dopravy apod.) Pro popis zatížení musíme znát jeho intenzitu, trvání a opakování (tzn. jeho průběh v čase). Tyto vlastnosti mají náhodné chování. Ze statistického hlediska jsou nejjednodušší zatížení stálá, která působí na konstrukci trvale. Sem patří např. vlastní tíha konstrukce, zatížení úpravami podlah, stálý zemní tlak, výplňové zdivo, obvodový a střešní plášť aj. Jejich statistické rozdělení má nejčastěji tvar podle obr.2a. V závislosti na čase se buď nemění vůbec nebo jenom málo (viz obr. 3a).
Obr.2 Příklady statistického rozdělení zatížení F
Obr.3 Časový průběh stálého a nahodilého zatížení
Strana č. 15
Zatížení nahodilá jsou dlouhodobá, krátkodobá nebo mimořádná. K dlouhodobým nahodilým zatížením řadíme trvale osazená technologická zařízení, dále tlak plynů, kapalin nebo sypkých hmot v nádržích a zásobnících, dlouhodobé teplotní účinky, účinky nerovnoměrného přetvoření základové půdy a plynulých přetvoření terénu na poddolovaném území, účinky smršťování a dotvarování betonu nebo zdiva, dynamická zatížení periodického charakteru aj. Mezi krátkodobá nahodilá zatížení počítáme užitná zatížení stropů a střech, zatížení sněhem, větrem, námrazou, krátkodobé klimatické teplotní změny, zatížení jeřáby, zatížení vznikající při přepravě a výstavbě konstrukce, neperiodická dynamická zatížení aj. K mimořádným zatížením patří seismická zatížení, účinky výbuchů a tlakových vln, zatížení při poruchách a haváriích, zatížení požárem, od mimořádných přetvoření základové půdy
(např. prosednutí spraše), nespojitých přetvoření poddolovaného území aj. Případy statistického rozdělení těchto zatížení ukazuje obr. 2. Rozdělení podle obr. 2c by patřilo zatížení s vyrovnanou pravděpodobností výskytu všech hodnot. Podle obr.2d by se vyskytovalo zatížení stěny nádrže s náhodnou, ale shora omezenou výškou hladiny. Časový průběh zatížení podle obr.3b odpovídá např. průběžně měřenému zatížení větrem nebo sněhem. Základními parametry zatížení jsou jeho normové hodnoty Fn, které se stanoví takto: •
pro zatížení od vlastní tíhy konstrukcí - na základě projektovaných rozměrů a průměrné objemové hmotnosti;
•
pro klimatická zatížení - na základě největších hodnot zjištěných v pozorovacím období při dané střední době návratu jejich překročení,
•
pro statická užitná zatížení - na základě očekávaných největších hodnot při předpokládaných podmínkách užívání,
•
pro dynamická užitná zatížení - na základě parametrů dynamických zatížení nebo hmot a geometrických rozměrů pohybujících se mechanizmů v souladu s jejich kinematickým schématem a pracovním režimem,
•
pro zatížení od vynucených přetvoření, seismická nebo havarijní zatížení - na základě rozborů nejnepříznivějších projevů daného jevu.
Možné nepříznivé odchylky zatížení (kladné i záporné) od jeho normových hodnot způsobené proměnlivostí zatížení, popřípadě náhodným nedodržením podmínek obvyklého užívání objektu se vyjadřují v metodě podle mezních stavů pomocí součinitelů spolehlivosti zatížení γf (kratčeji též součinitelů zatížení). Vynásobením normových hodnot zatížení součiniteli zatížení obdržíme výpočtové hodnoty zatížení, které mohou být: •
extrémní, vystihující nejnepříznivější možné přetížení nebo odlehčení konstrukce; součinitele γf nabývají hodnot γfu > 1 při nepříznivém působení zatížení nebo γfu < 1 při příznivém působení zatížení a použijí se při výpočtech podle mezních stavů prvé skupiny.
•
provozní, odpovídající běžnému, trvalému nebo opakovanému zatížení a součinitele γf se zavádějí nejčastěji hodnotou γfs = 1 při výpočtech podle mezních stavů druhé skupiny nebo při vyšetřování mezních stavů porušení únavou.
Zatížení se zavádějí do výpočtu v takových hodnotách a uspořádáních, která vyvolají ve vyšetřované konstrukci nebo její části nejnepříznivější možný účinek. Zmenšení pravděpodobnosti současného překročení výpočtových hodnot u několika zatížení se vyjádří součinitelem kombinace zatížení ψc. Normové hodnoty zatížení, součinitele zatížení i součinitele kombinace zatížení uvádí pro většinu případů ČSN 73 0035.
Strana č. 16
2.5.
Náhodná proměnlivost odporu konstrukce
Na pravé straně podmínky spolehlivosti (Sd ≤ Rlim) musíme vyjádřit odpor konstrukce proti dosažení meze porušení, která závisí na mechanických vlastnostech materiálu nosných konstrukcí, jejích geometrických rozměrech a někdy též na umělých stavech napjatosti, záměrně vnesených do konstrukce (např. předpětí). Mechanické vlastnosti stavebních materiálů jsou náhodně proměnné veličiny, které lze popsat vhodnými frekvenčními funkcemi statistického rozdělení, jak ukazuje např. obr.4. Statistická rozdělení vlastností materiálu jsou všechna přibližně stejného typu, mají ale rozdílné statistické parametry, např. proměnlivost meze kluzu oceli je menší (tj. na obr.4 má menší šířku) než pevnost betonu.
Obr.4
a - Statistické rozdělení hodnot pevnosti R; b - stanovení hodnoty Rp jako 1/p.100% kvantilu
Na základě známého statistického rozděleni vlastnosti materiálu můžeme stanovit jednak průměrnou hodnotu této vlastnosti R (obr.4a) a dále např. též hodnotu Rp , jejíž pravděpodobnost výskytu je 1/p.100%, kde Rp je 1/p.100% kvantil (obr.4b). Základními parametry materiálu nosných konstrukcí jsou jejich normové pevnosti Rn . Pravděpodobnostní záruka dosažení normové pevnosti zabudovaného materiálu musí být rovna nejméně 0,95. Hodnoty normových pevností se obvykle považují za kontrolní charakteristiky (podle kterých se provádí kontrola) nebo také za zamítací charakteristiky, tj. za hodnoty, které se nesmí v dodávce vyskytnout. Kromě uvedených normových pevností se na základě statisticky vyhodnoceného rozdělení četností určují i normové hodnoty dalších technicky důležitých vlastností materiálu, pro navrhování konstrukcí např. modulu pružnosti, objemové hmotnosti, součinitelů dotvarování, smršťování aj. Tyto veličiny se nejčastěji kladou rovné střední hodnotě vyšetřované veličiny, poněvadž se v konstrukci uplatní globálně, tj. buď v celé konstrukci nebo v její rozhodující části. Možné nepříznivé odchylky pevnosti nebo jiné charakteristiky materiálu od její normové hodnoty se vystihnou pomocí součinitele spolehlivosti materiálu γm (krátce též Strana č. 17
součinitele materiálu). Velikost součinitele materiálu se liší podle šíře rozdělení četnosti naměřených pevností (viz obr.4). Např. výztuž s přísnou výrobní a výstupní kontrolou má hodnoty součinitele materiálu malé (okolo γm = 1,1), na rozdíl od pevnosti betonu v tlaku s γm = 1,3 a zejména značně proměnlivé pevnosti betonu v tahu, kde bylo třeba zavést ještě podstatně opatrnější hodnotu γm = 1,5. Hodnoty součinitele materiálu γm > 1 použijeme pouze při navrhování podle první skupiny mezních stavů . U druhé skupiny mezních stavů se obvykle zavádí hodnota γm = 1. V normách pro navrhování se uvádí kromě normových pevností materiálu i jeho výpočtová pevnost Rd = Rn /γm. Vlivy na pevnost materiálu, které mají systematickou povahu (např. vliv stupně vyztužení, teploty, mnohokrát opakovaného namáhání) se v metodě podle mezních stavů vyjadřují pomocí součinitelů podmínek působení γr (pro beton se použije značky γb , pro betonářskou výztuž γs a pro předpínací výztuž γp ). Těmito součiniteli násobíme na pravých stranách podmínek spolehlivosti (1) pevnost materiálu (podrobněji viz dále). Podobným statistickým rozdělením lze popisovat i odchylky skutečných od projektovaných rozměrů nosných konstrukcí (viz dále součinitel geometrie) nebo odchylky výpočtového modelu konstrukce od skutečných podmínek působení konstrukce.
2.6.
Metody navrhování betonových konstrukcí a jejich vývoj
Podle způsobu vyjadřování podmínek spolehlivosti lze rozdělit metody navrhování takto: •
Metody deterministické, známé pod názvy metoda dovolených namáhání a metoda stupně bezpečnosti,
•
Metody pravděpodobnostní (probabilistické) jako metoda extrémních hodnot polopravděpodobnostní čili semiprobabilistická - dále metoda funkčních extrémů a metoda exaktní.
•
Metody ekonometrické.
2.6.1. Deterministické metody navrhování V deterministických metodách navrhování se vyjadřuje spolehlivost nosné konstrukce pomocí hodnot zatížení a pevností, které se většinou získaly empiricky. Tyto metody zpravidla nedovolují použít významnějším způsobem hospodárnost jako výchozí kriterium navrhování. Metoda dovolených namáhání jako nejstarší metoda navrhování předepisovala podmínku spolehlivosti ve tvaru: σ ≤ σdov, kde σ je napětí vznikající v konstrukci účinkem provozního (normového) zatížení, σdov dovolené namáhání materiálu získané z jeho průměrné pevnosti R - viz obr.5:
σdov = κ. R , κ
míra bezpečnosti pro určení dovoleného namáhání (κ < 1).
Strana č. 18
Podmínky σ ≤ σdov, byly předepisovány pro všechny typy materiálu, které se mohly v konstrukci vyskytovat a pro všechny způsoby namáhání. Dovolená namáhání tedy nevycházejí z funkce konstrukce (nevyjadřují proto odpor konstrukce), ale vztahují se jen k jejím materiálovým vlastnostem. Proto muselo dovolené namáhání σdov vyjadřovat vliv možného snížení pevnosti proti průměrné pevnosti, vliv možného zvýšení zatížení proti jeho provozním (tj. normovým - viz odd.2.4) hodnotám i vliv možných odchylek od předepsaných rozměrů průřezu. Podmínka použitelnosti - srov. se vztahem ωs ≤ ω lim v odd.2.2 - se zapisovala ve tvaru: f ≤ fdov , kde f je přetvárný účinek zatížení (např. průhyb, pootočení nebo šířka trhliny), fdov dovolená hodnota tohoto účinku. Řada podmínek použitelnosti byla nahrazována dodržením předepsaných konstrukčních ustanovení v tehdy platných normách. Metoda stupně bezpečnosti byla zavedena po 2.světové válce a na rozdíl od metody dovolených namáhání (napětí) již začala s vyjadřováním odporu proti porušení pomocí souhrnných charakteristik průřezu (momentů, normálových a posouvajících sil). Přitom se vycházelo z průměrných pevností betonu a výztuže R a začalo se přihlížet i k jejich plastickým vlastnostem. Tím bylo dosaženo objektivně výstižnějšího vyjádření únosnosti. Odpor R se porovnával s účinkem provozního zatížení S a kontrolovala se podmínka bezpečnosti (viz obr.5): s. S ≤ R , kde s je stupeň bezpečnosti předepisovaný odlišnými hodnotami pro různé způsoby namáhání. Podmínky použitelnosti se formulovaly v této metodě obvykle tak, aby teoreticky stanovené hodnoty (přetvoření, šířky trhlin aj.) byly menší než jejich přípustná hodnota. To podle obr.5 značilo stupeň bezpečnosti nejméně rovný jedné. Při porovnání s modernější metodou podle mezních stavů musel stupeň bezpečnosti γ vystihovat podle obr.5 nejen vliv možného zvýšení velikosti zatížení, ale též z hlediska odporu proti porušení možné nepříznivé odchylky rozměrů průřezu a další podmínky působení nosného prvku. Přes značný pokrok proti metodě dovolených namáhání neobsahovaly ještě normy pro navrhování betonových konstrukcí podle stupně bezpečnosti některé důležité novější poznatky, týkající se například dotvarování (dlouhodobého přetvoření) betonu.
2.6.2. Pravděpodobnostní metody navrhování Výše bylo vysvětleno náhodné chování zatížení i odporu konstrukce proti porušení. To nám dovoluje předpokládat, že účinky zatížení působící na konstrukci lze popsat výrazem: S (x1, x2, ... xm, Cx) , kde xi (i = 1,2, ... m) jsou náhodně proměnné veličiny vyjadřující jednotlivá zatížení působící na konstrukci a Cx značí soubor konstant nebo náhodných funkcí vystihujících idealizaci zatížení, nedostatek informací o zatížení apod. Strana č. 19
Obdobně předpokládejme, že se nám podaří popsat náhodné chování odporu konstrukce výrazem: R (z1, z2, ... zm, Cz) , kde zj (j = 1,2, ... n) jsou náhodně proměnné veličiny popisující mechanické nebo jiné vlastnosti materiálu nosných konstrukcí, rozměry průřezu, předpětí apod. a Cz představuje soubor konstant nebo náhodných funkcí popisujících rozdělení napětí po průřezu a jiné podmínky působení prvku. Metoda extrémních hodnot (polopravděpodobnostní metoda), kterou jsme uvedli v odd.2.2 až 2.5 pod u nás zavedeným názvem metoda mezních stavů.
Obr.5 Vyjádření spolehlivosti konstrukce ve vývoji metod navrhování Pokud známe statistické rozdělení zatížení xi (viz obr.2) a určité vlastnosti materiálu, popř. rozměru konstrukce zj (viz obr.4), dokážeme stanovit jejich výpočtové hodnoty xi,extr, popř. zj,extr, které smějí být u posuzované konstrukce překročeny v nejhorším případě s pravděpodobností p. Na obr.4 je tato výpočtová hodnota označena Rp. Z obr.2, 4 a 5 je zřejmé, že výpočtová hodnota zatížení může být někdy při levém a jindy zase při pravém okraji rozdělení pravděpodobnosti. To záleží na tom, zda definované maximum, popř. minimum veličiny má na posuzovanou spolehlivost příznivý, popř. nepříznivý vliv. Proto nás zajímají u vlastností materiálů většinou minimální hodnoty (pevnost, rozměry) a u zatížení mohou být nepříznivé hodnoty vysoké i nízké (viz obr.2). Např. u zatížení zajišťujícího stabilitu konstrukce budou rozhodovat minimální extrémy výhradně stálého (zaručeného) zatížení. Tvar podmínky spolehlivosti veličin podle obr.5 jsme již vyjádřili pro prvou skupinu mezních stavů pomocí vztahu Sd ≤ Rlim, kde přípustná hodnota odporu Rlim má nyní označení Rd . Nedostatkem metody extrémních hodnot je, že pravděpodobnost dosažení mezního stavu není ve všech případech shodná. Proti uvedeným deterministickým metodám však dovoluje rozlišovat možný rozptyl základních parametrů zatížení i stejnoměrnosti výroby prvků nosných konstrukcí. Zásady současně platné metody navrhování podle mezních stavů obsahuje ČSN 73 0031.
Strana č. 20
Metoda funkčních extrémů je výstižnější než zjednodušená metoda extrémních hodnot. Protože jsou veličiny xi a zj ve výrazech (7) a (8) náhodně proměnné, musí být náhodně proměnnými také výrazy (7) a (8). Známe-li statistické rozdělení obou těchto výrazů, musí existovat při zvolené pravděpodobnosti p hodnoty Smax a Rmin, pro které by měla podmínka spolehlivosti tvar podmínky funkčních extrémů: Smax ≤ Rmin Tato metoda není doposud natolik propracovaná, aby se významněji uplatnila v projekční praxi. Metoda exaktní pracuje s poměrem R/S nebo s rozdílem (R-S) jako s jedinou výslednou, náhodně proměnnou veličinou nebo funkcí. Podmínka spolehlivosti pak nabývá tvaru buď: R min ≥ 1 S
nebo
min [R - S] ≥ 0 .
V uvedených vztazích je třeba považovat jedničku nebo nulu na pravých stranách za symboly, konformně s levými stranami výše uvedených podmínek. Statistická rozdělení pro vystižení podílu R/S nebo rozdílu R-S se mohou případ od případu měnit. V oblasti praktického navrhování se exaktní metoda na své uplatnění začala připravovat - viz např. Prof. P.Marek, (FAST VŠB TU Ostrava) aj.
2.6.3. Ekonometrické metody navrhování Spojením matematicko-statistických metod s ekonomickým pojetím obdržíme ekonometrické metody navrhování. Při návrhu se obvykle vychází z minimalizace celkových nákladů na objekt, jak již bylo uvedeno v odd.2.2 - viz požadavek hospodárnosti. Dnes se nesprávně považují za ekonometrické např. optimalizační metody, u kterých se optimalizuje návrh jen z hlediska vybraných činitelů (vlastní tíha, únosnost, pořizovací cena, pracnost aj.) Propracování ekonometrických metod v širším pojetí si zřejmě ještě vyžádá delší čas.
3.
Statistické metody hodnocení betonu (ČSN 73 2404)
Uplatnění statistických metod v oblasti betonových konstrukcí je nejčetnější u hodnocení betonu a to u určení jeho pevností, zejména pak pevnosti v tlaku. Se vzrůstajícím objemem sanací konstrukcí a tedy i betonových konstrukcí se zvyšuje i podíl těchto sanací na celkovém objemu stavební výroby u nás za posledních patnáct let. S ohledem na současný ekonomický vývoj se nedá očekávat snížení podílu sanací a rekonstrukcí v našem stavebnictví, ale právě naopak. Společně s tím vyvstává i nutnost stavebního průzkumu kde jeden z mnoha požadavků je „zjistit druh a kvalitu betonu“, to je změřit pevnost v tlaku betonové konstrukce. O způsobu zkoušení co do metod provádění zkoušek není účelné se zde zmiňovat. Zde popsaná metoda je komplexně použitelná pro sledování jakosti nejen betonové směsi, betonu a betonových výrobků ze všech druhů betonu, ale i dalších stavebních materiálů. Je to tedy vhodná metoda i pro vyhodnocení zkoušek pevnosti betonu v případě použití nedestruktivní metody zkoušení pomocí Schmidtova kladívka.
Strana č. 21
Dále je třeba předeslat, že uvedené vyhodnocení není jen modelovým příkladem aplikace statistiky ve stavební praxi, ale praktickým použitím, neboť zde uvedené závěry byly v plném rozsahu použity v rámci zakázky – HČ na stavební fakultě VŠB TU Ostrava. V rámci této činnosti byla provedena množina měření na železobetonové konstrukci dna bazénu Městských lázní Vsetín, kde došlo k porušení konstrukce a našim úkolem bylo zjistit příčinu. Součástí bylo i nedestruktivní zkoušení betonu včetně jeho vyhodnocení. Na úvod této kapitoly je nutné zavést některé pojmy, se kterými se bude dále pracovat1. Hodnocení se dělí do skupin podle hodnoceného znaku. Je-li obor dobré jakosti větší, než daná mezní hodnota, jedná se o znak 1.druhu. Tento znak se týká zejména pevnosti v tlaku a v tahu, krychelné pevnosti, atd. Znak 2.druhu je charakterizován vztahem opačným, tedy obor dobré jakosti musí být menší, než daná mezní hodnota. Zde je možné jako příklad uvést velikost zatížení. Znaky 3. a 4.druhu jsou kombinací znaků 1. a 2.druhu, protože vyšetřovaný obor dobré jakosti je omezen intervalem, jehož mezemi jsou nějaké dané mezní hodnoty. Liší se od sebe pouze důsledky porušení jakosti, tedy nedodržením hodnot omezených intervalem. Pro znak 3.druhu jsou důsledky porušení stejné, padne-li hodnota mimo interval vlevo nebo vpravo. U znaku 4.druhu je rozdíl, zda byl interval porušen zleva nebo zprava. Pro statistické hodnocení znaku 3. i 4.druhu se používají stejné metody bez rozlišení těchto znaků. V případě vyhodnocování nedestruktivních zkoušek pevnosti betonu se bude pracovat se znakem 1.druhu. Při statistickém hodnocení se pracuje se statistickým souborem prvků, jejichž znaky náhodně kolísají. Množina hodnot daného znaku tvoří numerický soubor, který je pro umožnění výpočtů nahrazen vhodným matematickým modelem. Vhodnost modelu je možno ověřit testem. U kvantitativního znaku, který lze vyjadřovat číselně, se pracuje s normálním modelem pravděpodobnosti. Konkrétně se jedná o rozdělení Gauss-Laplaceovo nebo o Pearsonovo rozdělení typu III (pokud se charakterizuje šikmost). U kvalitativního znaku, který má podobu výrokově logistickou, se používá rozdělení binomické. Takto nadefinovaný statistický soubor prvků je nazván pojmem dávka a mohou se vyšetřovat buď izolované dávky nebo série dávek.
1
Obecně uvedeno v samém počátku této práce.
Strana č. 22
Statistické vyhodnocení spočívá ve vyšetření, zda se v souboru nevyskytuje větší než předepsaný maximálně přípustný podíl prvků se sníženou jakostí. Je-li k dispozici pouze malý nebo velmi malý náhodný výběr, lze toto zjištění učinit pouze s nějakou předem danou pravděpodobností. Samotné hodnocení jakosti se děje prověřením platnosti nerovnosti pro znak 1. druhu P inf ≤ P inf, cr ,
Pinf,cr
kde Pinf je zjištěný souborový podíl souborových prvků oboru hodnot snížené jakosti a je předepsaný kritický souborový podíl prvků oboru hodnot snížené jakosti.
Pro správné ohodnocení příslušného znaku, musí být předepsány mezní hodnoty xinf, maximální přípustný souborový podíl hodnot se sníženou jakostí Pinf,cr a pravděpodobnost γ, s níž se má prověření platnosti nerovností provést. Podle velikosti se výběry rozlišují na velmi malé (3 ≤ n ≤ 16), malé (17 ≤ n ≤ 99) a velké (n ≥ 100).
3.1. 3.1.1.
Hodnocení izolovaného souboru Velmi malý výběr
Předpokládáme normálně rozdělený soubor velmi malého výběru (3≤n≤16). Musíme posoudit extrémní hodnoty výběru, zda nejsou příliš odlehlé a zda se nápadně neodlišují od ostatních. Jsou-li hodnoty příliš odlehlé od ostatních a je nepochybné, že tato odlehlost je způsobena chybou měření, tyto hodnoty ze souboru vyloučíme. V případě jakýchkoliv pochybností musíme tyto hodnoty testovat, zda z hlediska matematické statistiky do souboru patří.
3.1.1.1. Testování odlehlých hodnot Mějme soubor hodnot x1, x2 ,..., xn , tj. xi , kde i=1, 2, ...,n. Vypočítáme průměr tohoto souboru hodnot x n
x=
∑x i =1
i
n
a výběrovou směrodatnou odchylku s x n
sx =
∑ (x i =1
i
− x)2
n −1
V konkrétním výpočtu je dvacet souborů deseti měření. Nejprve se zhodnotí každá série zvlášť jako velmi malý výběr.
Strana č. 23
Naměřené hodnoty S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 S12 S13 S14 S15 S16 S17 S18 S19 S20
36,52 49,158 45,715 46,23 40,79 45,20 44,18 51,26 43,25 49,72 37,90 18,99 59,47 39,80 56,39 39,80 48,70 51,26 53,31 40,79
48,79 44,176 47,254 47,77 55,36 26,53 45,20 47,77 34,65 55,88 41,30 32,75 56,39 51,26 44,18 52,28 54,85 55,88 59,98 52,28
46,23 52,284 52,284 56,39 35,61 42,79 53,31 50,75 35,14 48,24 46,74 53,31 49,16 46,23 36,52 41,81 58,44 56,39 49,16 51,26
55,36 45,202 48,24 46,23 42,32 28,71 57,41 48,70 48,70 36,52 54,85 59,98 51,77 52,28 47,25 44,18 52,80 55,36 49,72 45,20
40,28 49,158 52,284 40,28 49,72 48,24 51,26 48,24 35,61 29,14 54,34 53,82 59,47 58,95 56,39 49,72 41,30 48,24 53,82 41,81
41,30 40,284 42,324 44,69 55,88 52,80 30,00 47,25 38,36 45,72 50,75 46,74 49,72 48,24 49,16 54,34 55,36 44,69 27,41 47,77
57,41 52,284 37,901 56,90 52,28 39,31 48,24 60,49 41,81 58,44 48,70 41,30 49,16 39,80 57,41 49,72 49,72 52,80 48,24 50,23
46,23 54,336 41,811 46,74 50,75 44,69 50,75 48,70 37,44 56,90 45,20 53,31 49,72 38,36 46,74 50,75 56,39 59,47 43,71 44,69
56,39 48,24 48,699 41,81 33,21 48,24 44,18 55,36 47,77 30,46 34,17 64,70 51,77 54,85 52,28 42,79 58,95 52,80 52,80 45,20
58,44 47,254 43,25 49,72 44,18 36,07 45,72 50,75 29,14 30,92 38,36 49,16 59,98 51,26 48,24 43,25 58,44 49,16 42,32 49,16
Z průměrů a směrodatných odchylek se vypočítají testovací charakteristiky bmax a bmin , což jsou veličiny pro testování odlehlých hodnot bmax =
x max − x sx
;
bmin =
x − x min sx
Testovací charakteristiky bmax a bmin se porovnají s kritickou hodnotou Bcr uvedenou v tabulce 1. Je-li jedna z nerovností bmax ≥ Bcr , bmin ≥ Bcr pravdivá, příslušná maximální nebo minimální hodnota se vyloučí. Platí-li obě nerovnosti současně, obě krajní hodnoty se v souboru ponechají.
Strana č. 24
n
Bcr
n
Bcr
n
Bcr
n
Bcr
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
1,154 1,463 1,672 1,822 1,938 2,032 2,110 2,176 2,234 2,285 2,351 2,371 2,409 2,443 2,475
18 19 20 21 22 23 24 25 30 35 40 45 50 60
2,504 2,532 2,557 2,580 2,603 2,624 2,644 2,663 2,745 2,811 2,866 2,914 2,956 3,025
70 80 90 100 120 140 160 180 200 230 260 290 320 350
3,082 3,130 3,171 3,207 3,269 3,323 3,367 3,402 3,436 3,479 3,519 3,551 3,584 3,605
380 410 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000
3,637 3,659 3,680 3,712 3,744 3,776 3,787 3,808 3,829 3,840 3,861 3,882 3,893 3,903
Tabulka 1 Test konkrétních souborů: x max
b max
bmax>Bcr
x min
b min
bmin>Bcr
výsledek
S1
Půměr 48,70
Směr.odch. 7,49
58,44
1,302
neplatí
36,52
1,6259
neplatí
obě ponechat
S2
48,24
4,02
54,34
1,517
neplatí
40,28
1,9787
neplatí
obě ponechat
S3
45,98
4,44
52,28
1,421
neplatí
37,90
1,8187
neplatí
obě ponechat
S4
47,68
5,18
56,90
1,781
neplatí
40,28
1,4272
neplatí
obě ponechat
S5
46,01
7,59
55,88
1,299
neplatí
33,21
1,6853
neplatí
obě ponechat
S6
41,26
8,16
52,80
1,414
neplatí
26,53
1,8056
neplatí
obě ponechat
S7
47,02
7,01
57,41
1,482
neplatí
30,00
2,4273
platí
xmin vynechat
S8
50,93
3,90
60,49
2,454
platí
47,25
0,942
neplatí
xmax vynechat
S9
39,19
5,85
48,70
1,627
neplatí
29,14
1,7181
neplatí
obě ponechat
S10
44,19
10,96
58,44
1,3
neplatí
29,14
1,3738
neplatí
obě ponechat
S11
45,23
6,77
54,85
1,42
neplatí
34,17
1,6331
neplatí
obě ponechat
S12
47,41
12,77
64,70
1,354
neplatí
18,99
2,2251
platí
xmin vynechat
S13
53,66
4,40
59,98
1,437
neplatí
49,16
1,0233
neplatí
obě ponechat
S14
48,10
6,61
58,95
1,641
neplatí
38,36
1,4737
neplatí
obě ponechat
S15
49,46
6,13
57,41
1,297
neplatí
36,52
2,1082
neplatí
obě ponechat
S16
46,86
4,78
54,34
1,562
neplatí
39,80
1,4766
neplatí
obě ponechat
S17
53,49
5,28
58,95
1,034
neplatí
41,30
2,3095
platí
xmin vynechat
S18
52,60
4,19
59,47
1,64
neplatí
44,69
1,8909
neplatí
obě ponechat
S19
48,05
8,41
59,98
1,419
neplatí
27,41
2,4534
platí
xmin vynechat
S20
46,84
3,73
52,28
1,461
neplatí
40,79
1,6247
neplatí
obě ponechat
Odlehlé hodnoty, které neprošly testem jsou vynechány a je nutné znovu přepočítat průměr souborů a jejich směrodatné odchylky. Přepočítané a upravené hodnoty jednotlivých souborů jsou výchozím stavem pro začátek vyhodnocování pevností.
Strana č. 25
58,44 47,25 43,25 49,72 44,18 36,07
Průměr 48,70 48,24 45,98 47,68 46,01 41,26
Sm.odch. 7,49 4,02 4,44 5,18 7,59 8,16
48,24 50,75 44,18
45,72
48,92
4,34
48,24 35,61 29,14 54,34
47,25 48,70 55,36 38,36 41,81 37,44 47,77 45,72 58,44 56,90 30,46 50,75 48,70 45,20 34,17
50,75 29,14 30,92 38,36
49,86 39,19 44,19 45,23
2,36 5,85 10,96 6,77
53,82 59,47 58,95 56,39 49,72
46,74 49,72 48,24 49,16 54,34
64,70 51,77 54,85 52,28 42,79
49,16 59,98 51,26 48,24 43,25
50,56 53,66 48,10 49,46 46,86
9,03 4,40 6,61 6,13 4,78
55,36 49,72 56,39 58,95 S17 48,70 54,85 58,44 52,80 S18 51,26 55,88 56,39 55,36 48,24 44,69 52,80 59,47 52,80
58,44 49,16
54,85 52,60
3,55 4,19
48,24 43,71 52,80 S19 53,31 59,98 49,16 49,72 53,82 S20 40,79 52,28 51,26 45,20 41,81 47,77 50,23 44,69 45,20
42,32 49,16
45,31 46,84
5,10 3,73
36,52 49,16 45,72 46,23 40,79 45,20
S7
44,18 45,20 53,31 57,41 51,26
S8 S9 S10 S11
51,26 43,25 49,72 37,90
47,77 34,65 55,88 41,30
50,75 35,14 48,24 46,74
48,70 48,70 36,52 54,85
59,47 39,80 56,39 39,80
32,75 56,39 51,26 44,18 52,28
53,31 49,16 46,23 36,52 41,81
59,98 51,77 52,28 47,25 44,18
S12 S13 S14 S15 S16
48,79 44,18 47,25 47,77 55,36 26,53
46,23 52,28 52,28 56,39 35,61 42,79
Upravené hodnoty 55,36 40,28 41,30 45,2 49,16 40,28 48,24 52,28 42,32 46,23 40,28 44,69 42,32 49,72 55,88 28,71 48,24 52,80
S1 S2 S3 S4 S5 S6
57,41 52,28 37,9 56,90 52,28 39,31
41,30 49,16 39,80 57,41 49,72
46,23 54,34 41,81 46,74 50,75 44,69
53,31 49,72 38,36 46,74 50,75
56,39 48,24 48,7 41,81 33,21 48,24
3.1.1.2. Posouzení normality rozdělení jednotlivých souborů Histogramy nově vzniklých souborů ukazují, zda rozdělení vypadá jako GaussLaplaceovo nebo zda je nutné normalitu ověřit testem. Podle přiložených grafů je zřejmé, že W test (ČSN 01 0225) na testování normality souborů by byl vhodný pro soubory 1, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 a 17. W test testovanou hypotézu nemůže potvrdit, pouze zamítnout či nezamítnout. V dalším postupu se nyní bude předpokládat rozdělení normální.
3.1.1.3. Testování odlehlých hodnot Pro odhad souborového podílu hodnot se sníženou jakostí Pinf se použije metoda vydatného bodového odhadu podle norem ČSN 73 2404. Pracujeme s průměrem upraveného souboru x , směrodatnou odchylkou s x , dolní mezí xinf. Vypočítá se testovací veličina Qinf pro souborový podíl jednotek v daném oboru
Qinf =
x − xinf sx
Strana č. 26
V tabulce 2 se přečte pro daný rozsah n a pro vypočítané Q příslušná hodnota P (pravděpodobnost velikosti souborového podílu jednotek se v oboru hodnot snížené jakosti). Q 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5
n=3 50,0 47,2 44,5 41,6 38,7 35,7 32,6 29,3 25,6 21,6 16,7 9,8 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
n=4 50,0 46,7 43,3 40,0 36,7 33,3 30,0 26,7 23,3 20,0 16,7 13,3 10,0 6,7 3,3 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
n=5 50,0 46,6 42,9 39,4 35,9 32,4 29,1 25,7 22,5 19,4 16,4 13,5 10,8 8,2 5,9 3,8 2,0 0,7 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
n=7 50,0 46,3 42,5 38,9 35,3 31,7 28,3 25,0 21,9 18,9 16,1 13,5 11,1 8,9 7,0 5,3 3,8 2,6 1,7 0,9 0,4 0,1 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
n=10
P n=15
n=20
n=30
n=50
50,0 46,2 42,4 38,6 34,9 31,4 27,9 24,7 21,6 18,7 16,0 13,5 11,2 9,2 7,4 5,9 4,5 3,4 2,5 1,7 1,2 0,7 0,4 0,2 0,1 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
50,0 46,1 42,2 38,4 34,7 31,4 27,7 24,5 21,4 18,5 15,9 13,5 11,3 9,4 7,7 6,2 4,9 3,8 2,9 2,2 1,6 1,2 0,8 0,5 0,3 0,2 0,1 0,1 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
50,0 46,1 42,2 38,3 34,6 31,1 27,6 24,4 21,3 18,5 15,9 13,5 11,4 9,5 7,8 6,3 5,1 4,0 3,1 2,4 1,8 1,3 1,0 0,7 0,5 0,3 0,2 0,1 0,1 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
50,0 46,1 42,1 38,3 34,6 31,0 27,6 24,3 21,3 18,5 15,9 13,5 11,4 9,5 7,9 6,5 5,2 4,2 3,3 2,6 2,0 1,5 1,1 0,8 0,6 0,4 0,3 0,2 0,1 0,1 0,1 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
50,0 46,0 42,1 38,3 34,5 30,9 27,5 24,3 21,2 18,4 15,9 13,5 11,5 9,6 8,0 6,6 5,3 4,3 3,4 2,7 2,1 1,6 1,2 0,9 0,7 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,1 0,1 0,0 0,0 0,0 0,0
n=100 n=200 50,0 46,0 42,1 38,2 34,5 30,9 27,5 24,2 21,2 18,4 15,9 13,6 11,5 9,6 8,0 6,6 5,4 4,4 3,5 2,8 2,2 1,7 1,3 1,0 0,8 0,6 0,4 0,3 0,2 0,2 0,1 0,1 0,1 0,0 0,0 0,0
50,0 46,0 42,1 38,2 34,5 30,9 27,4 24,2 21,2 18,4 15,9 13,6 11,5 9,7 8,0 6,6 5,4 4,4 3,6 2,8 2,2 1,7 1,4 1,0 0,8 0,6 0,4 0,3 0,2 0,2 0,1 0,1 0,1 0,0 0,0 0,0
Tabulka 2
Nyní se pro znak 1.druhu položí pinf =(100-Pinf)%. Samotné hodnocení pak proběhne zjišťováním platnosti nerovnosti P inf ≤ P inf, cr . Platí-li nerovnost, hodnotící výrok zní „vyhovuje“.Neplatí-li nerovnost, hodnotící výrok je „nevyhovuje“. V případě statistického vyhodnocení a určení minimální pevnosti se použije obrácený postup. Předpokládejme, že hodnota P inf =4,5. Pro n=10 i n=9 je testovací charakteristika Qinf = 1,6. Hodnota xinf v předcházejících výpočtech reprezentovala dolní mez, tedy pevnost, která je hraniční a hodnoty menší než ona mez jsou již nevyhovující. Vypočítá-li se xinf ze vztahu xinf = x − Qinf ⋅ s x je pravděpodobně tato výsledná pevnost menší než je skutečná pevnost, je však zaručená a může se použít pro další výpočty.
Strana č. 27
Soubor 1 Soubor 1 6 4 2 0 30
35
40
45
50
55
60
65
70
Histogram tohoto souboru naznačuje vhodnost použití W testu na testování normality. Již v úvodu však již byl vysloven předpoklad normálního rozdělení, proto již v dalších úvahách nebude tento problém zmiňován. rovná
Průměr a směrodatná odchylka již byly vypočítané výše. Výsledná pevnost xinf se tedy xinf = 48,70 − 1,6 ⋅ 7,49 = 36,72
Soubor 2 Soubor 2 6 4 2 0 30
35
40
45
50
55
60
65
70
xinf = 48,24 − 1,6 ⋅ 4,02 = 41,81
Soubor 3 Soubor 3 6 4 2 0 30
35
40
45
50
55
60
xinf = 45,98 − 1,6 ⋅ 4,44 = 38,87
Strana č. 28
65
70
Soubor 4 Soubor 4 6 4 2 0 30
35
40
45
50
55
60
65
70
65
70
xinf = 47,68 − 1,6 ⋅ 5,18 = 39,39
Soubor 5 Soubor 5 5 4 3 2 1 0 30
35
40
45
50
55
60
xinf = 46,01 − 1,6 ⋅ 7,59 = 33,86
Soubor 6 Soubor 6 6 4 2 0 30
35
40
45
50
55
60
xinf = 41,26 − 1,6 ⋅ 8,16 = 28,20
Strana č. 29
65
70
Soubor 7 6
Soubor 7
5 4 3 2 1 0 30
35
40
45
50
55
60
65
70
65
70
xinf = 48,92 − 1,6 ⋅ 4,34 = 41,97
Soubor 8 6
Soubor 8
5 4 3 2 1 0 30
35
40
45
50
55
60
xinf = 49,86 − 1,6 ⋅ 2,36 = 46,08
Soubor 9 6
Soubor 9
5 4 3 2 1 0 30
35
40
45
50
55
60
xinf = 39,19 − 1,6 ⋅ 5,85 = 29,83
Strana č. 30
65
70
Soubor 10 5
Soubor 10
4 3 2 1 0 30
35
40
45
50
55
60
65
70
xinf = 44,19 − 1,6 ⋅ 10,96 = 26,66
Soubor 11 6 5 4 3 2 1 0
Soubor 11
30
35
40
45
50
55
60
65
70
xinf = 45,23 − 1,6 ⋅ 6,77 = 34,39
Soubor 12 4
Soubor 12
3 2 1 0 30
35
40
45
50
55
60
xinf = 50,56 − 1,6 ⋅ 9,03 = 36,12
Strana č. 31
65
70
Soubor 13 5
Soubor 13
4 3 2 1 0 30
35
40
45
50
55
60
65
70
xinf = 53,66 − 1,6 ⋅ 4,40 = 46,62
Soubor 14 Soubor 14 6 4 2 0 30
35
40
45
50
55
60
65
70
60
65
70
Soubor 15 5
Soubor 15
4 3 2 1 0 -1 30
35
40
45
50
55
xinf = 49,46 − 1,6 ⋅ 6,13 = 39,64
Strana č. 32
Soubor 16 6
Soubor 16
5 4 3 2 1 0 30
35
40
45
50
55
60
65
70
65
70
65
70
xinf = 46,86 − 1,6 ⋅ 4,78 = 39,21
Soubor 17 6
Soubor 17
5 4 3 2 1 0 30
35
40
45
50
55
60
xinf = 54,85 − 1,6 ⋅ 3,55 = 49,16
Soubor 18 5
Soubor 18
4 3 2 1 0 30
35
40
45
50
55
60
xinf = 52,60 − 1,6 ⋅ 4,19 = 45,91
Strana č. 33
Soubor 19 6
Soubor 19
5 4 3 2 1 0 30
35
40
45
50
55
60
65
70
xinf = 45,31 − 1,6 ⋅ 5,10 = 37,14
Soubor 20 5
Soubor 20
4 3 2 1 0 30
35
40
45
50
55
60
xinf = 46,84 − 1,6 ⋅ 3,73 = 40,88
Strana č. 34
65
70
3.1.2.
Velký výběr
Nyní se vyšetří velký výběr (n≥100). Jako u všech typů výběrů, tak i zde je hodnocení založeno na stanovení souborového podílu hodnot se sníženou jakostí a v porovnání tohoto podílu s předepsaným kritickým maximálně přípustným souborovým podílem jednotek se sníženou jakostí. Znamená to, že prověřujeme platnost nerovnice
Pinf ≤ Pinf,cr . Charakteristiky velkého výběru ztotožníme s odpovídajícími parametry základního souboru, tedy průměr x ztotožníme se souborovou střední hodnotou µx, směrodatnou odchylku sx se směrodatnou odchylkou σx, a šikmost ax s šikmostí αx. Opět platí předpoklad, že typ rozdělení základního souboru, v závislosti na šikmosti, je buď normální nebo rozdělení Pearsonovo typu III. Za tohoto předpokladu se zjišťuje, zda minimální a maximální výběrová hodnota nejsou podezřelé svou odlehlostí od ostatních hodnot. Nemůže-li se pokládat výskyt takových hodnot za omyl, musí se odlehlost testovat. Tak jako u velmi malého se vypočítá průměr x , směrodatná odchylka sx a navíc ještě šikmost ax.
ax =
1 1 n 3 1 n 2 x 3 µ xi + 2µ x3 − ∑ ∑ i x 3 n i =1 σ x n i =1
Dále se vypočítají testovací charakteristiky bmax a bmin podle vztahů bmax =
x max − x sx
,
bmin =
x − x min . sx
Vyjde-li šikmost v absolutní hodnotě menší než 0,1, to je
α x = a x < 0,1 , použije se pro testování přímo kritická tabulková hodnota pro test odlehlosti Bcr z tabulky 1. Vyjde-li šikmost a x ≥ 0,1 , testovací charakteristiky bmax a bmin se porovnávají s upravenou kritickou hodnotou Bcr ,cor takto: Pro xmin
Bcr ,cor = Bcr − a x
Pro xmax
Bcr ,cor = Bcr + a x
Pokud test vyloučí některou z hodnot xmin nebo xmax , zamítnutá hodnota se vyloučí a z redukovaného výběru se vypočítají nové charakteristiky x , sx a ax. V případě, že test vyloučí obě hodnoty současně, obě se ve výběru ponechají. V předchozích výpočtech jsme předpokládali, že rozdělení souboru je normální, v případě, že α x = a x < 0,1 , nebo Pearsonovo rozdělení typu III, v případě, že a x ≥ 0,1 . Potřebné hodnoty distribuční funkce se odečtou v tabulce 5 v případě normálního rozdělení, Strana č. 35
v případě Pearsonova rozdělení typu III se hodonoty odečítají s tabulky 6, popřípadě se v obou případech interpolují podle přímky. Vyskytnou-li se pochybnosti o typu rozdělení, použije se Kolmogorovův test na hladině 5%. Kolmogorovův test je neparametrický test normality, který potřebuje minimálně 60-70 vstupních údajů a je citlivý na chybu 2. druhu, tedy zamítá hypotézu, i když je pravdivá. Zamítne-li test hypotézu o normalitě, vyšetřování přejde z hodnocení kvantitativního na kvalitativní, přičemž se do výběru vrátí eventuálně vyloučená hodnota xmin (xmax). n
Pmin
100 200 300
0,003 0,004 0,004
400 500 600
Pcr=0,01 Pmax
n
Pmin
0,029 0,022 0,019
20 40 60
0,015 0,018 0,022
0,005 0,005 0,006
0,018 0,017 0,016
80 100 120
700 800 900
0,006 0,006 0,006
0,016 0,015 0,015
1 000 2 000 3 000
0,007 0,007 0,008
4 000 5 000 6 000
Pcr=0,05 Pmax
Pcr=0,10 Pmax
n
Pmin
0,145 0,112 0,097
10 20 30
0,03 0,04 0,004
0,29 0,22 0,19
0,026 0,027 0,028
0,090 0,085 0,082
40 50 60
0,05 0,05 0,06
0,18 0,17 0,16
140 160 180
0,030 0,031 0,032
0,079 0,076 0,085
70 80 90
0,06 0,06 0,06
0,16 0,15 0,15
0,014 0,013 0,013
200 400 600
0,033 0,037 0,039
0,072 0,066 0,063
100 200 300
0,07 0,07 0,08
0,14 0,13 0,13
0,008 0,008 0,008
0,012 0,012 0,012
800 1 000 1 200
0,040 0,041 0,042
0,060 0,059 0,058
400 500 600
0,08 0,08 0,08
0,12 0,12 0,12
7 000 8 000 9 000
0,009 0,009 0,009
0,011 0,011 0,011
1 400 1 600 1 800
0,043 0,045 0,047
0,057 0,055 0,053
700 800 900
0,09 0,09 0,09
0,11 0,11 0,11
10 000
0,010
0,010
2 000
0,050
0,050
100 0
0,10
0,10
Tabulka 5
Strana č. 36
Tabulka 6
F(Q).104 při šikmosti
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
-3,9 -3,8 -3,7 -3,6 -3,5
0000 0001 0001 0002 0002
0000 0000 0000 0001 0001
0000 0000 0000 0000 0000
-
-
-
-
-
-
-
-
-3,4 -3,3 -3,2 -3,1 -3,0
0003 0005 0007 0010 0014
0002 0002 0004 0006 0008
0001 0001 0002 0003 0004
0000 0000 0001 0001 0002
0000
-
-
-
-
-
-
-2,9 -2,8 -2,7 -2,6 -2,5
0019 0026 0035 0047 0062
0012 0017 0024 0034 0047
0007 0010 0016 0023 0034
0003 0005 0009 0014 0022
0001 0002 0004 0007 0012
0000 0000 0001 0002 0005
0000 0001
-
-
-
-
-2,4 -2,3 -2,2 -2,1 -2,0
0082 0107 0139 0179 0228
0064 0087 0116 0153 0200
0048 0067 0093 0127 0171
0033 0049 0071 0101 0142
0020 0032 0050 0076 0112
0010 0018 0031 0052 0082
0003 0008 0016 0031 0055
0000 0002 0006 0014 0030
0000 0001 0004 0012
0000 0002
0000
-1,9 -1,8 -1,7 -1,6 -1,5
0287 0359 0446 0548 0668
0258 0329 0415 0518 0639
0227 0296 0381 0484 0607
0194 0261 0344 0447 0572
0160 0223 0304 0406 0532
0125 0184 0262 0362 0487
0091 0144 0217 0314 0438
0059 0103 0169 0262 0384
0030 0065 0121 0206 0324
0010 0031 0075 0148 0259
0001 0008 0034 0091 0190
-1,4 -1,3 -1,2 -1,1 -1,0
0808 0968 1151 1357 1587
0782 0947 1135 1348 1586
0753 0922 1116 1336 1582
0720 0894 1094 1321 1576
0683 0861 1067 1303 1568
0641 0823 1037 1281 1556
0593 0780 1001 1254 1540
0540 0731 0959 1223 1521
0480 0675 0910 1185 1496
0413 0611 0854 1140 1466
0338 0537 0788 1087 1429
-0,9 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5
1841 2119 2420 2743 3085
1848 2135 2446 2778 3129
1854 2151 2471 2813 3174
1858 2165 2496 2848 3218
1860 2178 2520 2883 3262
1860 2190 2544 2917 3306
1856 2199 2566 2951 3351
1850 2207 2586 2984 3395
1840 2212 2606 3017 3439
1826 2214 2624 3049 3484
1806 2213 2640 3081 3528
-0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0,0
3446 3821 4207 4602 5000
3498 ,879 4270 4667 5077
3549 3937 4333 4733 5133
3602 3996 4396 4799 5199
3654 4055 4460 4865 5266
3707 4114 4524 4931 5333
3760 4174 7588 5000 5399
3813 4234 4653 5064 5466
3867 4295 4717 5131 5532
3921 4355 4782 5198 5599
3975 4416 4848 5265 5665
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
5398 5793 6179 6554 6915
5464 5855 6237 6606 6959
5529 5917 6294 6657 7002
5594 5979 6351 6708 7046
5659 6041 6408 6758 7090
5724 6102 6465 6809 7133
5789 6163 6521 6859 7177
5853 6224 6577 6909 7220
5918 6285 6632 6959 7264
5982 6345 6688 7008 7307
6045 6406 6743 7058 7350
0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
7257 7580 7881 8159 8413
7293 7607 7899 8169 8414
7329 7635 7918 8179 7417
7365 7662 7938 8090 8422
7401 7691 7958 8204 8428
7437 7719 7979 8218 8435
7473 7748 8001 8233 8443
7510 7778 8024 8249 8453
7551 7807 8047 8265 8464
7583 7837 8070 8282 8475
7619 7867 8094 8300 8488
Strana č. 37
Pokračování tabulky 6
F(Q).104 při šikmosti Q
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1 1,2 1,3 1,4 1,5
8643 8849 9032 9192 9332
8637 8836 9014 9170 9306
8633 8826 8990 9150 9284
8630 8818 8985 9134 9264
8630 8812 8974 9119 9246
8631 8808 8966 9107 9231
8634 8806 8959 9096 9218
8638 8805 8954 9088 9206
8644 8806 8951 9081 9197
8650 8808 8949 9076 9188
8658 8811 8948 9072 9182
1,6 1,7 1,8 1,9 2,0
9452 9554 9641 9713 9772
9425 9526 9612 9685 9746
9400 9500 9586 9659 9721
9378 9477 9562 9636 9698
9358 9546 9540 9613 9676
9341 9437 9520 9593 9656
9325 9420 9502 9574 9637
9312 9404 9486 9557 9620
9300 9391 9471 9542 9604
9290 9379 9458 9528 9589
9281 9368 9446 9515 9576
2,1 2,2 2,3 2,4 2,5
9821 9861 9893 9918 9938
9797 9838 9873 9900 9922
9773 9817 9853 9882 9906
9751 9796 9833 9864 9890
9730 9776 9814 9847 9874
9710 9756 9796 9830 9858
9692 9738 9779 9813 9843
9674 9722 9762 9798 9828
9658 9706 9747 9783 9814
9644 9691 9733 9769 9801
9630 9677 9719 9756 9788
2,6 2,7 2,8 2,9 3,0
9953 9965 9974 9981 9986
9940 9954 9965 9973 9980
9926 9942 9954 9964 9972
9911 9929 9943 9955 9964
9897 9916 9932 9945 9955
9882 9903 9920 9934 9946
9868 9890 9908 9923 9936
9854 9877 9896 9912 9926
9841 9864 9884 9901 9916
9828 9852 9873 9891 9906
9816 9840 9862 9880 9897
3,1 3,2 3,3 3,4 3,5
9990 9993 9995 9997 9998
9985 9989 9992 9994 9996
9979 9984 9988 9991 9993
9972 9978 9983 9986 9989
9965 9971 9977 9982 9985
9956 9964 9970 9976 9981
9947 9956 9964 9970 9975
9938 9948 9956 9964 9970
9929 9940 9949 9957 9964
9920 9931 9941 9950 9957
9911 9923 9934 9943 9951
3,6 3,7 3,8 3,9 4,0
9998 9999 9999 10000 |
9997 9998 9998 9999
9995 9996 9997 9998 99998
9992 9994 9995 99996 9997
9988 9991 9993 9994 9996
9984 9987 9990 9992 9993
9980 9983 9986 9989 9991
9975 9979 9982 9985 9988
9969 9974 9978 9982 9985
9964 9969 9974 9978 9981
9958 9964 9969 9973 9977
4,1 4,2 4,3 4,4 4,5
| | | | |
9999 10000 | | | |
9999 9999 9999 10000 |
9998 99998 9999 9999 9999
9996 9997 9998 9998 9999
9995 9996 9997 9997 9998
9993 9994 9995 9996 9997
9990 9992 9993 9994 9995
9987 9989 9991 9992 9994
9984 9986 9988 9990 9992
9980 9983 9986 9988 9990
4,6 4,7 4,8 4,9 5,0
| | | | |
| | | | |
| | | | |
9999 10000 | | |
9999 9999 9999 10000 |
9998 9999 9999 9999 9999
9997 9998 9998 9999 9999
9996 9997 9997 9998 9998
9995 9996 9996 9997 9997
9993 9994 9995 9996 9996
9991 9992 9993 9994 9995
5,1 5,2 5,3 5,4 5,5
| | | | |
| | | | |
| | | | |
| | | | |
| | | | |
9999 10000 | | |
9999 9999 9999 10000 |
9999 9999 9999 9999 9999
9998 9998 9999 9999 9999
9997 9997 9998 9998 9999
9996 9997 9997 9997 9998
5,6 5,7 5,8 5,9 6,0
| | | | 10000
| | | | 10000
| | | | 10000
| | | | 10000
| | | | 10000
| | | | 10000
| | | | 10000
9999 10000 | | 10000
9999 9999 9999 10000 10000
9999 9999 9999 9999 9999
9998 9998 9999 9999 9999
Strana č. 38
x − xinf . sx Hodnotu Qinf nalezneme ve sloupci Q v tabulce 6 a k ní se přečte (popřípadě určí interpolací podle přímky) hodnota distribuční funkce F = pinf ( pinf je souborový podíl hodnot dobré jakosti neboli podíl hodnot v levostranném tolerančním intervalu t inf ). Podíl prvků v oboru snížené jakosti je potom Pinf = 1 − pinf, , což je v procentech 100(1 − pinf )% . Dále vyšetříme
Uvažujme normální rozdělení a znak 1. druhu. Vypočítáme hodnotu Qinf =
platnost nerovnice P inf ≤ P inf, cr a vyslovíme hodnotící výrok.
3.1.2.1. Hodnocení naměřených hodnot jako velkého souboru •
Určení charakteristik:
Průměr se ztotožní se souborovou střední hodnotou, směrodatná odchylka se směrodatnou odchylkou základního souboru a šikmost velkého výběru se šikmosti základního souboru. Souborová střední hodnota µx = 47,54 Směrodatná odchylka σx = 7,6745865 Šikmost αx = -0,6967859 •
Vyšetření odlehlých hodnot:
Vzhledem k tomu, že absolutní hodnota šikmosti je větší než 0,1, použije se pro testování odlehlých hodnot upravená kritická hodnota Bcr, cor, která pro testování minimální hodnoty vychází 4,1327859 a pro testování hodnoty maximální vyšla 2,7392141. Porovnáním testovacích hodnot je zjištěno, že obě krajní hodnoty mohou v souboru zůstat. Bmax= 2,2349062 < 2,7392141 Bmin= 3,7208544 < 4,1327859
•
Určení typu rozdělení:
Protože je absolutní hodnota šikmosti větší než 0,1, uvažuje se o Pearsonově rozdělení typu III. Pokud se o této hypotéze vyskytnou nějaké pochybnosti, je nutno ji testovat. K testování se použije Kolmogorovův test na hladině 5%. Strana č. 39
70
Rozdělení výběru
60 50 40 30 20 10 0 0,00
•
20,00
40,00
60,00
80,00
Vyhodnocení pevnosti z velkého výběru:
Narozdíl od postupu uvedeného v normách ČSN 73 2404 je opět nutné vyjádřit dolní mez xinf z předpokladu, že je předem určena hodnota distribuční funkce a tím pádem i možný podíl chybových hodnot. Předpokládá se podíl chybových hodnot 5%, tedy hodnota distribuční funkce by měla být 0,95. Aby bylo možné vypočítat mezní hodnotu xinf, musí se z tabulky 6 určit testovací veličina Q. Protože šikmost vyšla záporná, při vyhledávání hodnot v tabulce 6 je nutné vzít v úvahu, že se vyhledává F (Q) = 0,95 = [1 − F (−Q)] F (−Q) = 0,05
Pro hodnotu distribuční funkce 0,05 se v tabulce 6 nalezne pro kladnou šikmost 0,7 nejbližší hodnota (tedy hodnota 0,0540) a ve sloupci Q se odečte hodnota (-1,4). Protože tato hodnota je podle výše uvedeného vzorce opačná k hledané, je výsledné Q potřebné k určení dolní meze xinf číslo opačné, tedy +1,4. Tato hodnota se dosadí do upraveného vzorce a vypočítá se dolní mez xinf = 36,802.
xinf = x − Qinf ⋅ s x = µ x − Qinf ⋅ σ x = 47,54 − (1,4) ⋅ 7,67 = 36,802
Strana č. 40
4.
Statistická interpretace výsledků - hodnocení podle ČSN ISO 2602.
Zde popsaná metoda stanovuje způsob statistického zpracování výsledků zkoušek podle mezinárodní normy ISO. Tento způsob zpracování popisuje výpočet konfidenčního intervalu (neboli intervalu spolehlivosti) pro průměr souboru pomocí odhadu směrodatné odchylky nebo výběrového rozpětí. Konfidenční interval pro průměr souboru je interval, který s danou pravděpodobností pokrývá průměr souboru výsledků. Výše pravděpodobnosti se nazývá konfidenční úroveň a nejčastěji se pohybuje na hodnotách 90 nebo 95%. Výsledky zkoušek se vyjadřují hodnotami měření, přičemž tyto hodnoty mají spojitý charakter. Z toho vyplývá, že popisovaná metoda je určena pouze pro znak kvantitativní. Pro celý soubor se předpokládá rozdělení normální, jehož parametry, průměr m a směrodatná odchylka σ , jsou neznámé. V případě pochybnosti o normalitě rozdělení je vhodné normalitu testovat. Metodou testování odchýlení od normálního rozdělení se zabývá norma ČSN ISO 5479. Pro zpracování výpočtů se může jevit vhodné měnit počátek nebo jednotky z důvodu zjednodušení. Není ovšem povoleno zaokrouhlovat výsledky zkoušek a výpočtů, ani vypouštět nebo upravovat nějaká pozorování, aniž by se tyto úpravy zdůvodnily podloženými argumenty experimentálními, technickými nebo jinými, a musí být jasně formulovány. •
Odhad průměru
V případě neseskupených výsledků se pracuje přímo s výběrovým souborem jako řadou měření a není nutné jej rozdělovat do tříd. Řada obsahuje n měření xi , kde i = 1, 2, ..., n . Průměr m se odhadne pomocí aritmetického průměru x z n měření. x=
1 n ∑ xi n i =1
V případě rozsáhlejšího výběrového souboru, například n > 50, můžeme pro usnadnění výpočtů pracovat s výsledky seskupenými do tříd. Výsledky seskupíme do tříd (intervalů) o stejné šíři. Do jednotlivých tříd připadne různý počet výsledků měření. Jejich počet v určitém intervalu se nazývá četnost třídy. Tedy, máme-li v i -té třídě ni výsledků měření, a máme-li celkem k tříd, potom pro celkový počet měření n platí k
n = ∑ ni . i =1
Střed intervalu i se bude nazývat střed třídy a označíme jej y i . Střed třídy y i pak zastupuje všechny hodnoty v dané třídě. Při výpočtu charakteristik, tedy i průměru, je třeba vzít v úvahu četnost každé třídy. Strana č. 41
Potom tedy průměru m odhadneme pomocí váženého průměru všech středů tříd
y=
1 k ∑ ni y i . n i =1
Výběrový soubor S1
36,52
48,79
46,23
55,36
40,28
41,30
57,41
46,23
56,39
58,44
S2
49,158
44,176
52,284
45,202
49,158
40,284
52,284
54,336
48,24
47,254
S3
45,715
47,254
52,284
48,24
52,284
42,324
37,901
41,811
48,699
43,25
S4
46,23
47,77
56,39
46,23
40,28
44,69
56,90
46,74
41,81
49,72
S5
40,79
55,36
35,61
42,32
49,72
55,88
52,28
50,75
33,21
44,18
S6
45,20
26,53
42,79
28,71
48,24
52,80
39,31
44,69
48,24
36,07
S7
44,18
45,20
53,31
57,41
51,26
30,00
48,24
50,75
44,18
45,72
S8
51,26
47,77
50,75
48,70
48,24
47,25
60,49
48,70
55,36
50,75
S9
43,25
34,65
35,14
48,70
35,61
38,36
41,81
37,44
47,77
29,14
S10
49,72
55,88
48,24
36,52
29,14
45,72
58,44
56,90
30,46
30,92
S11
37,90
41,30
46,74
54,85
54,34
50,75
48,70
45,20
34,17
38,36
S12
18,99
32,75
53,31
59,98
53,82
46,74
41,30
53,31
64,70
49,16
S13
59,47
56,39
49,16
51,77
59,47
49,72
49,16
49,72
51,77
59,98
S14
39,80
51,26
46,23
52,28
58,95
48,24
39,80
38,36
54,85
51,26
S15
56,39
44,18
36,52
47,25
56,39
49,16
57,41
46,74
52,28
48,24
S16
39,80
52,28
41,81
44,18
49,72
54,34
49,72
50,75
42,79
43,25
S17
48,70
54,85
58,44
52,80
41,30
55,36
49,72
56,39
58,95
58,44
S18
51,26
55,88
56,39
55,36
48,24
44,69
52,80
59,47
52,80
49,16
S19
53,31
59,98
49,16
49,72
53,82
27,41
48,24
43,71
52,80
42,32
S20
40,79
52,28
51,26
45,20
41,81
47,77
50,23
44,69
45,20
49,16
Naměřených hodnot výběrového souboru je sice 200, ale vzhledem k pomocným výpočtům na počítači není zařazování do tříd nutné. Vypočítaná hodnota tohoto výběru je
m= 47,54.
Strana č. 42
•
Odhad směrodatné odchylky „s“
U neseskupených výsledků se odhad směrodatné odchylky souboru σ vypočítá ze čtverců odchylek od aritmetického průměru podle vzorce s=
1 n ( x i − x )2 ∑ n − 1 i =1
n
je celkový počet měření
x
je aritmetický průměr n měření
Pro usnadnění se doporučuje k výpočtům použít vzorec 2 1 n 2 1 n ∑ xi − ∑ xi . n − 1 i =1 n i =1
s=
V případě seskupených výsledků má vzorec pro odhad směrodatné odchylky souboru tvar s=
1 k 2 ∑ ni ( y i − y ) , n − 1 i =1
k usnadnění výpočtů je možné použít vzorec
s=
2 1 k 1 k 2 ∑ ni y i − ∑ ni y i , n − 1 i =1 n i =1
yi
je střed i -té třídy, i =1, 2, ..., n
k
je počet tříd
n
je celkový počet měření
y
je vážený průměr všech středů tříd.
kde
V případě seskupených výsledků by měla být vypočítaná hodnota pro odhad směrodatné odchylky korigována. Ovšem tato korekce má druhořadý význam. Odhad směrodatné odchylky pro konkrétní měření s= 7,67.
Strana č. 43
•
Konfidenční interval pro průměr souboru
Nerovností se určí dvoustranný konfidenční interval. Konfidenční úroveň je 95%. x−
t 0,975 n
s<m<x+
t 0,975 n
s
V případě seskupených výsledků se průměr x nahradí váženým průměrem y . Součinitelé t 0,975 , t 0,995 , t 0,95 , t 0,99 jsou hodnoty Studentova t -rozdělení s v = n − 1 stupni volnosti. Pro hodnoty n větší než 60 je výhodnější vypočítat hodnotu t lineární interpolací ze
n
60 120 ∞
120 n 2 1 0
120 pomocí tabulky 12. n
t 0,975
t 0,995
t 0,95
t 0,99
2,000 1,980 1,960
2,664 2,617 2,576
1,673 1,658 1,645
2,393 2,358 2,326
Tabulka 12
t 0,975 n
⋅s =
1,98 200
⋅ 7,67 = 1,074
Výsledný konfidenční interval pro odhad průměru výběrového souboru:
46,47< m < 48,62.
Strana č. 44
5.
Praktické určení pevnosti na základě vyhodnocení velmi malého výběru.
Jak již bylo uvedeno v kapitole 3, poskytuje statistika praktické využití v oblasti vyhodnocení pevnosti betonu v tlaku. Né však vždy je k dispozici – ač by tomu mělo tak být, „dostatečný“ (dostatečně rozsáhlý) počet měření jak bylo uvedeno výše (velký soubor). V případě velmi malého výběru - jak je uvedeno dále je postup následující. V tomto případě je k dispozici 3 x 3 měření Schmidtovým kladívkem.
5.1.
Hodnocení izolovaného souboru – postup dle ČSN 73 2404
Předpokládáme normálně rozdělený soubor velmi malého výběru (3≤n≤16). Musíme posoudit extrémní hodnoty výběru, zda nejsou příliš odlehlé a zda se nápadně neodlišují od ostatních. Jsou-li hodnoty příliš odlehlé od ostatních a je nepochybné, že tato odlehlost je způsobena chybou měření, tyto hodnoty ze souboru vyloučíme. V případě jakýchkoliv pochybností musíme tyto hodnoty testovat, zda z hlediska matematické statistiky do souboru patří.
5.1.1. Testování odlehlých hodnot: Mějme soubor hodnot x1, x2 ,..., xn , tj. xi , kde i=1, 2, ...,n. Vypočítáme průměr tohoto souboru hodnot x n
x=
∑x i =1
i
n
a výběrovou směrodatnou odchylku s x n
sx =
∑ (x i =1
i
− x)2
n −1
V konkrétním výpočtu jsou tři soubory tří měření. Nejprve se zhodnotí každá série zvlášť jako velmi malý výběr.
Naměřené hodnoty S1 S2 S3
24 22 27,5
24 23,8 37,5
Strana č. 45
22 23 37,5
Z průměrů a směrodatných odchylek se vypočítají testovací charakteristiky bmax a bmin , což jsou veličiny pro testování odlehlých hodnot bmax =
x max − x sx
bmin =
;
x − x min sx
Testovací charakteristiky bmax a bmin se porovnají s kritickou hodnotou Bcr uvedenou v tabulce 1. Je-li jedna z nerovností bmax ≥ Bcr , bmin ≥ Bcr pravdivá, příslušná maximální nebo minimální hodnota se vyloučí. Platí-li obě nerovnosti současně, obě krajní hodnoty se v souboru ponechají.
Test konkrétních souborů: Půměr S1 S2 S3
23,33 22,93 34,17
Směr.odch.
1,154 0,901 5,773
x max b max bmax>Bcr
24,00 23,80 37,50
0,707 neplatí 1,177 neplatí 0,707 neplatí
x min
22,00 22,00 27,50
b min
1,4142 1,2675 1,4142
bmin>Bcr neplatí neplatí neplatí
výsledek obě ponechat obě ponechat obě ponechat
5.1.2. Odhad souborového podílu hodnot se sníženou jakostí. Pro odhad souborového podílu hodnot se sníženou jakostí Pinf se použije metoda vydatného bodového odhadu podle norem ČSN 73 2404. Pracujeme s průměrem upraveného souboru x , směrodatnou odchylkou s x , dolní mezí xinf. Vypočítá se testovací veličina Qinf pro souborový podíl jednotek v daném oboru Qinf =
x − xinf . sx
V tabulce 2 se přečte pro daný rozsah n a pro vypočítané Q příslušná hodnota P (pravděpodobnost velikosti souborového podílu jednotek se v oboru hodnot snížené jakosti). Nyní se pro znak 1.druhu položí pinf =(100-Pinf)%. Samotné hodnocení pak proběhne zjišťováním platnosti nerovnosti P inf ≤ P inf, cr . Platí-li nerovnost, hodnotící výrok zní „vyhovuje“.Neplatí-li nerovnost, hodnotící výrok je „nevyhovuje“. V případě statistického vyhodnocení a určení minimální pevnosti se použije obrácený postup. Předpokládejme, že hodnota P inf =0, tedy nepřipouštíme žádný podíl prvků se sníženou jakostí. Pro n=3 je testovací charakteristika Qinf=1,2. Hodnota xinf v předcházejících výpočtech reprezentovala dolní mez, tedy pevnost, která je hraniční a hodnoty menší než ona mez jsou již nevyhovující. Vypočítá-li se xinf ze vztahu
Strana č. 46
xinf = x − Qinf ⋅ s x ,
je pravděpodobně tato výsledná pevnost menší než je skutečná pevnost, je však zaručená a může se použít pro další výpočty. Soubor 1
Předpokládáme normální rozdělení. Průměr a směrodatná odchylka již byly vypočítané výše. Výsledná pevnost xinf se tedy rovná xinf = 23,33 − 1,2 ⋅ 1,154 = 21,94
Soubor 2 xinf = 22,93 − 1,2 ⋅ 0,901 = 21,85
Soubor 3 xinf = 34,17 − 1,2 ⋅ 5,773 = 27,24
Souhrnně (zpracování 9 vzorků) Půměr Směr.odch. 0,94 Souhrnně 23,33
x max 24,00
b max bmax>Bcr x min b min bmin>Bcr výsledek 0,707neplatí 22,00 1,4142neplatí obě ponechat
Opět můžeme předpokládat, že hodnota P inf =0, tedy nepřipouštíme žádný podíl prvků se sníženou jakostí. Pro n=9 je testovací charakteristika Qinf=2,5. xinf = 23,33 − 2,5 ⋅ 0,94 = 20,98
5.2. •
Hodnocení izolovaného souboru – postup dle ČSN ISO 2602 Odhad průměru
V případě neseskupených výsledků se pracuje přímo s výběrovým souborem jako řadou měření a není nutné jej rozdělovat do tříd. Řada obsahuje n měření xi , kde i = 1, 2, ..., n . Průměr m se odhadne pomocí aritmetického průměru x z n měření. x=
1 n ∑ xi n i =1
Strana č. 47
Výběrový soubor :
S1 S2 S3
24 22 27,5
24 23,8 37,5
22 23 37,5
Vypočítaná hodnota tohoto výběru je m=26,81 m=
1 9 ∑ xi 9 i =1
Odhad směrodatné odchylky „s“
U neseskupených výsledků se odhad směrodatné odchylky souboru σ vypočítá ze čtverců odchylek od aritmetického průměru podle vzorce s=
1 n ( x i − x )2 ∑ n − 1 i =1
n
je celkový počet měření
x
je aritmetický průměr n měření
Pro usnadnění se doporučuje k výpočtům použít vzorec s=
2 1 n 2 1 n ∑ xi − ∑ xi . n − 1 i =1 n i =1
Odhad směrodatné odchylky pro konkrétní měření
•
s= 6,27.
Konfidenční interval pro průměr souboru
Nerovností se určí jednostranný konfidenční interval. Konfidenční úroveň je 95%. x−
t 0,95 n
s<m
Strana č. 48
Pro konfidenční úroveň 99% je jednostranný konfidenční interval x−
t 0,99 n
s<m
Součinitelé t 0,975 , t 0,995 , t 0,95 , t 0,99 jsou hodnoty Studentova t -rozdělení s v = n − 1 stupni volnosti. Konfidenční úroveň Dvoustranný případ
Konfidenční úroveň Jednostranný případ
95 %
99 %
95 %
99 %
n 2 3 4 5 6
t 0,975
t 0,995
t 0,95
t 0,99
12,710 4,303 3,182 2,776 2,571
63,660 9,925 5,841 4,604 4,032
6,314 2,920 2,353 2,132 2,015
31,920 6,965 4,541 3,747 3,365
7 8 9 10 11
2,447 2,365 2,306 2,262 2,228
3,707 3,499 3,355 3,250 3,169
1,943 1,985 1,860 1,833 1,812
3,143 2,998 2,896 2,821 2,764
12 13 14 15 16
2,201 2,179 2,160 2,045 2,131
3,106 3,055 3,012 2,977 2,947
1,796 1,782 1,771 1,761 1,753
2,718 2,681 2,650 2,624 2,602
17 18 19 20 21
2,120 2,110 2,101 2,093 2,086
2,921 2,898 2,878 2,861 2,845
1,746 1,740 1,734 1,729 1,725
2,583 2,567 2,552 2,539 2,528
22 23 24 25 26
2,080 2,074 2,069 2,064 2,060
2,831 2,819 2,807 2,797 2,787
1,721 1,717 1,714 1,711 1,708
2,518 2,508 2,500 2,492 2,485
27 28 29 30 40
2,056 2,052 2,048 2,045 2,024
2,779 2,771 2,763 2,756 2,707
1,706 1,703 1,701 1,699 1,682
2,479 2,473 2,467 2,462 2,430
50 60
2,008 2,000
2,680 2,664
1,676 1,673
2,404 2,393
Strana č. 49
Výsledný konfidenční interval pro odhad průměru výběrového souboru pro konfidenční úroveň 95%: 26,81 −
1,860 9
⋅ 6,271 < m
22,9219 < m
Výsledný konfidenční interval pro odhad průměru výběrového souboru pro konfidenční úroveň 99%: 26,81 −
2,896 9
⋅ 6,271 < m
20,7563 < m
Strana č. 50
6.
Literatura
[1] Gartner, Kuda : 1974.
Technologie betonu, přehled zásad a příklady, VUT Brno
Statistická kontrola a posuzování jakosti betonu podle [2] Vorlíček, Frank, Vladyka : ČSN 73 2404, vydavatelstvo úřadu pro normalizaci a měření Praha, 1974. [3] Juračka, Sedlák, Šanda : VUT Brno 1980.
Betonové konstrukce I. – navrhování betonových prvků,
[4] Bradáč J.
Betonové konstrukce, FAST VŠB TU Ostrava1997.
7.
Normy
[5] ČSN 73 0031 Spolehlivost stavebních konstrukcí a základových půd. Základní ustanovení pro výpočet, 1988 [6] ČSN 73 1201 Navrhování betonových konstrukcí, 1986 [7] ČSN P ENV 1992-1-1 EUROKÓD 2: Navrhování betonových konstrukcí. Část 1.1: Obecná pravidla pro pozemní stavby, 1993 [8] ČSN 73 0035 Zatížení stavebních konstrukcí, 1986
Strana č. 51
