VŠB- Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní Katedra pružnosti a pevnosti
Úvod do MKP Deformační analýza stojanu na kuželky
Autor: Michal Šofer Verze 0 Ostrava 2011
Úvod do MKP
Deformační analýza stojanu na kuželky
Zadání: Určete horizontální a vertikální posun volného konce stojanu na kuželky, kde rovněž působí síla F. Analýzu proveďte jednak analyticky a posléze prostřednictvím programu Ansys Workbench. Výsledky z obou přístupů poté srovnejte. Dáno: L = 1100 mm, R = 60 mm, H = 2300 mm, D1 = 80 mm, D2 = 75 mm, E = 210000 MPa, µ = 0.3, F = 500 N.
F
Příčný průřez
D2
D1
Obrázek 1: Rozměry součásti
2|14
Úvod do MKP
Deformační analýza stojanu na kuželky
1. Vyhodnocení horizontálního a vertikálního posunu volného konce prostřednictvím analytického přístupu Pro stanovení horizontálního a vertikálního posunu volného konce využijeme Castigliánovy věty. Stanovení průhybu ve vertikálním směru Lomený nosník si rozdělíme na dva úseky tak, jak je to zobrazeno na obrázku č. 2. Poté v nich určíme průběh ohybového momentu v závislosti na síle, která způsobuje v daném místě průhyb ve vertikálním směru. Danou závislost posléze parciálně derivujeme podle síly, vyvozující průhyb v daném místě a v daném směru a tento produkt společně s vyjádřením průběhu ohybového momentu pro daný interval dosadíme do Castigliánovy věty [1], která má tvar: ∂M ( x) 1 w= ⋅ ∫ M ( x) ⋅ dx , E⋅J 0 ∂F L
(1)
kde w vyjadřuje průhyb pod silou F, která působí ve vyšetřovaném místě, M(x) vyjadřuje průběh ohybového momentu, E určuje Youngův modul pružnosti a J vyjadřuje moment setrvačnosti vzhledem k ose, kolem které se realizuje ohyb.
F
Obrázek 2: Rozdělení nosníku na úseky
3|14
Úvod do MKP
Deformační analýza stojanu na kuželky
Platí:
x1 ∈ 0, L
x1 ∈ 0, H
M ( x1 ) = F ⋅ x1
M (x 2 ) = F ⋅ L
∂M ( x1 ) = x1 ∂F
∂M ( x 2 ) =L ∂F
Po dosazení do výrazu (1):
wV =
1 E⋅J
1 = E⋅J
H L ∂M ( x1 ) ∂M ( x 2 ) ⋅ ∫ M ( x1 ) ⋅ dx1 + ∫ M ( x 2 ) ⋅ dx 2 = ∂F ∂F 0 0
H L 1 ⋅ ∫ F ⋅ x1 ⋅ x1 ⋅ dx1 + ∫ F ⋅ L ⋅ L ⋅ dx 2 = 0 0 E⋅J
F ⋅ L3 ⋅ + F ⋅ L2 ⋅ H 3
(2)
Pro moment setrvačnosti platí: J=
π 64
(
⋅ D14 − D24
)
(3)
Po číselném dosazení do (2) obdržíme vertikální průhyb o velikosti wV= 16,8 mm Stanovení průhybu v horizontálním směru Postup pro stanovení průhybu v horizontálním směru bude prakticky shodný s výše uvedeným postupem s tím rozdílem, že si ve vyšetřovaném místě musíme definovat doplňkovou sílu FD ve směru horizontálního posuvu, kterou poté v konečném výrazu pro horizontální posuv položíme rovnu nule.
FD F
Obrázek 3: Rozdělení nosníku na úseky
4|14
Úvod do MKP
Deformační analýza stojanu na kuželky
Platí: x1 ∈ 0, L
x1 ∈ 0, H
M ( x1 ) = F ⋅ x1
M ( x 2 ) = F ⋅ L + FD ⋅ x 2
∂M ( x1 ) =0 ∂FD
∂M ( x 2 ) =x 2 ∂FD
Po dosazení do výrazu (1): H ∂M ( x 2 ) 1 wV = ⋅ 0 + ∫ M ( x 2 ) ⋅ dx 2 = E⋅J ∂F 0 H H 1 1 1 F ⋅L⋅H2 = ⋅ ∫ (F ⋅ L + FD ⋅ x 2 ) ⋅ x 2 ⋅ dx 2 = ⋅ ∫ F ⋅ L ⋅ x 2 ⋅ dx 2 = ⋅ E ⋅ J 0 2 E ⋅ J 0 E⋅J
(4)
Po číselném dosazení do (4) obdržíme vertikální průhyb o velikosti wH= 15,15 mm.
2. Vyhodnocení napětí na základě MKP výpočtu Pro řešení příkladu prostřednictvím MKP přístupu využijeme software ANSYS Workbench 13. Uvedená úloha má statický charakter, tudíž si v nabídce analýz zvolíme položku Static Structural. Položka Engineering Data obsahuje informace o použitém materiálu. Defaultně je zde nastavena ocel s modulem pružnosti E=210000 MPa, Poissonovým číslem µ=0.3 a hustotou ρ=7850 kg.m-3. Daný materiál vyhovuje naším požadavkům, ponecháme proto tuto položku beze změny.
Obrázek 4: Detail hlavní nabídky
5|14
Úvod do MKP
Deformační analýza stojanu na kuželky
V následujícím kroku se přesuneme do sekce Geometry, ve které je nutné trubkový stojan namodelovat. Po přesunu do prostředí geometrie klikneme na rovinu XY Plane a zvolíme novou skicu – New Sketch. K nástrojům pro kreslení se dostaneme přes záložku Sketching.
Obrázek 5: Definování skicy v rovině XY
Pomocí nástrojů v záložce Sketching nakreslíme tvar stojanu, jehož strany posléze zakótujeme a upravíme na rozměry, uvedené v zadání (Obr. 6 a 7) . Nezapomeňme vytvořit zaoblení horního rohu o velikosti 60 mm pomocí funkce Fillet, která je uvedena v záložce Modify.
Obrázek 6: Tvorba zaoblení
6|14
Úvod do MKP
Deformační analýza stojanu na kuželky
Obrázek 7: Úprava rozměrů součásti
V této úloze budeme využívat prvky typu BEAM. Před samotným síťováním je však nutné převést hotovou skicu na souvislou čáru, k tomu nám poslouží příkaz Lines From Sketches, který nalezneme v hlavní nabídce pod tlačítkem Concept.
Obrázek 8a: Převedení skicy na souvislou čáru
7|14
Úvod do MKP
Deformační analýza stojanu na kuželky
Po kliknutí na uvedenou položku po nás program vyžaduje výběr skicy (Obr. 8b), vybereme tedy hotovou skicu Sketch1 a výběr potvrdíme tlačítkem Apply, poté klikneme na tlačítko Generate.
Obrázek 8b: Převedení skicy na souvislou čáru
Následně budeme definovat příčný průřez stojanu. V hlavní nabídce opět klikneme na tlačítko Concept a pod položkou Cross Section zvolíme možnost Circular Tube (Obr. 9), kde je nutné uvést vnitřní a vnější poloměr trubkového profilu (Obr. 10).
Obrázek 9: Definice příčného průřezu
8|14
Úvod do MKP
Deformační analýza stojanu na kuželky
Obrázek 10: Definice příčného průřezu
Posledním krokem v této části bude přepnutí se na položku Line Body, ve které přiřadíme námi nakreslenému rámu definovaný příčný průřez (Obr. 11).
Obrázek 11: Přiřazení příčného průřezu k nakreslené součásti
9|14
Úvod do MKP
Deformační analýza stojanu na kuželky
Nyní se přesuneme do položky Model, kde vygenerujeme síť konečných prvků typu BEAM, aplikujeme okrajové podmínky, nadefinujeme požadované výstupy a posléze spustíme výpočet. V prvním kroku je nutné generovat síť konečných prvků, kliknutím na položku Mesh se nám ve spodní části levého sloupce zobrazí nabídka, týkající se nastavení generované sítě. Jedinou položkou, která nás bude zajímat je nastavení velikosti elementu na 30 mm (Obr. 12). Poté klikneme pravým tlačítkem na Mesh a zvolíme možnost Generate Mesh.
Obrázek 12: Generování sítě
Nyní přistoupíme k zadávání okrajových podmínek. Stojan na kuželky je ve většině případů zabetonován do země, tomuto způsobu uchycení odpovídá vetknutí spodního bodu naší součásti. Klikneme-li na položku Static Structural, zobrazí se nám v horní liště nabídka pro definování okrajových podmínek. Klikneme na položku Supports a zvolíme možnost Remote displacement (Obr. 13a).
Obrázek 13a: Definování vetknutí
10 | 1 4
Úvod do MKP
Deformační analýza stojanu na kuželky
Položku Remote Displacement posléze nastavíme dle obrázku 13b. Nezapomeňme rovněž na výběr spodního bodu, na který se má daná vazba definovat.
Obrázek 13b: Definování vetknutí
V následujícím kroku je nutní zadat do koncového bodu horního ramene sílu o velikosti 500 N. V horní liště s nabídkou okrajových podmínek klikneme na položku Loads, kde zvolíme možnost Force (Obr. 14a).
Obrázek 14a: Zadávání síly na koncový bod horního ramene
11 | 1 4
Úvod do MKP
Deformační analýza stojanu na kuželky
Vybereme koncový bod horního ramene a klikneme na tlačítko Apply. Poté zadáme sílu prostřednictvím komponent v jednotlivých osách (Možnost Define by - Components) podle obrázku 14b.
Obrázek 14b: Zadávání síly na koncový bod horního ramene
V posledním kroku zbývá nadefinovat požadované veličiny ve výsledcích. Vzhledem k tomu, že nás zajímá posun v horizontálním a vertikálním směru, klikneme na položku Solution a z horní lišty si vybereme možnost Deformation, kde si zvolíme Directional.
Obrázek 15: Nastavení požadovaných výsledků
Pro případ určení horizontálního posunu musíme ve vlastnostech položky Directional Deformation nastavit v záložce Orientation možnost X Axis (Obr. 16). Obdobně definujeme vertikální posun, s tím rozdíle, že v záložce Orientation zvolíme možnost Y Axis.
12 | 1 4
Úvod do MKP
Deformační analýza stojanu na kuželky
Obrázek 16: Nastavení položky Directional Deformation
Nyní spustíme výpočet tlačítkem Solve.
3. Výsledky Na následujících obrázcích je znázorněn průběh horizontálního (Obr. 17) resp. vertikálního posunu (Obr. 18) v mm po celé délce lomeného nosníku, v našem případě stojanu na kuželky.
Obrázek 17: Průběh horizontálního posunu
Obrázek 18: Průběh vertikálního posunu
13 | 1 4
Úvod do MKP
Deformační analýza stojanu na kuželky
4. Porovnání jednotlivých přístupů
Přístup analyticky MKP
wHorizontální [mm] 15,15 16
wVertikální [mm] (-)16,8 -17,55
5. Literatura [1] HÖSCHL, C.; Pružnost a pevnost ve strojnictví, SNTL, Praha 1971, 375 s.
14 | 1 4
