S T R O J N IC K Á P Ř ÍR U Č K A
část 7, díl 4, kapitola 1, str. 1
díl 4, Napjatost
7/4.1 TY P Y N A P JA TO S TI A TR A N S FO R M A C E N A P JA TO S TI
Pojmem napjatost rozumíme stav určitého bodu tělesa, který je podroben působení silových účinků. Všechna tělesa se pak z pohledu pružnosti a pevnosti řeší za předpokladu statické rovnováhy. Z hlediska pružnosti a pevnosti si lze stav napjatosti představit pomocí šesti složek napětí, které působí na bod tělesa. Schematické znázornění všech šesti složek napětí, které působí v daném bodě (znázorněném elementární krychlí), je na obrázku.
Složky napětí
prosinec 2002
část 7, díl 4, kapitola 1, str. 2
S T R O J N IC K Á P Ř ÍR U Č K A
díl 4, Napjatost
O
Obrázek znázornûní sloÏek napûtí:
N or m á lov á napětí
T ři z těchto složek jsou normálová napětí, která působí ve směru normál k jednotlivým plochám elementu. O značují se x, y a z podle směrů os, s nimiž jsou rovnoběžné.
T e č ná napětí
D alší tři složky jsou smyková neboli tečná napětí, která působí ve směru tečen k jednotlivým plochám elementu. Značí se x, y a z podle směrů hran, ke kterým míří. Poznámky: 1) Povšimněte si existence vždy dvojic smykových napětí, která směřují k téže hraně elementu. H ovoříme o tzv. sdružených smykových napětích. 2) M atematicky lze obecnou napjatost vyjádřit tenzorem. J eho tvar je možné zapsat pomocí symetrické matice 3 3:
T =
H lav ní napětí
prosinec 2002
!
x z y z y x . y x z
H lavní napětí (normálové) je kolmé k hlavní rovině. H lavní rovina je rovina, v níž neleží žádná složka smykového napětí. K aždá obecná napjatost má tři hlavní
část 7, díl 4, kapitola 1, str. 3
S T R O J N IC K Á P Ř ÍR U Č K A
díl 4, Napjatost
– navzájem kolmé – roviny a tři hlavní napětí 1, 2 a 3, i když některá z nich mohou být nulová. Velikosti hlavních napětí vypočítáme z původního stavu napjatosti. N apjatost vztažená k novým osám, zjištěná výpočtem, je definována trojicí hlavních napětí 1, 2 a 3 a tenzor napětí má tvar: T =
!
1 0 0 0 2 0 0 0 3
T e nz or napětí
Podle počtu nenulových napětí v tenzoru napětí rozdělujeme napjatost na tři základní typy: jednoosou, dvojosou a trojosou.
T ypy napjatos ti
N ejjednodušším případem napjatosti je stav, kdy je pouze jedno normálové napětí nenulové a všechna ostatní napětí jsou rovna nule. V tomto případě hovoříme o jednoosé napjatosti nebo někdy také o napjatosti přímkové, protože všechna napětí mají směr téže přímky. J ediné nenulové napětí je současně prvním hlavním napětím 1. O statní dvě hlavní napětí jsou rovna nule (2 = 3 = 0). T ento stav je příznačný pro jednoduché způsoby namáhání, jako jsou tah, resp. tlak, ohyb a případně jejich vzájemné kombinace. Výsledný stav napjatosti je přímo vyjádřen jedinou hodnotou tahového, resp. tlakového napětí nebo ohybového napětí a v případě kombinace jejich součtem s ohledem na znaménka.
J e d noos á napjatos t
prosinec 2002
část 7, díl 4, kapitola 1, str. 4
S T R O J N IC K Á P Ř ÍR U Č K A
díl 4, Napjatost
O
Obrázek pfiípad Û jed noosé napjatosti: y
y y
y
x z
x
x
z z
D v ojos á napjatos t
prosinec 2002
z
z
D alším možným případem je stav, kdy jsou nenulová dvě normálová napětí a případně ještě smykové napětí, jehož obě složky leží v téže rovině jako nenulová normálová napětí. V tomto případě hovoříme o dvojosé napjatosti nebo někdy také o napjatosti rovinné, protože všechny nenulové složky napětí leží v jedné rovině. Zvláštním stavem rovinné napjatosti může být případ, kdy je nenulová pouze jedna dvojice sdružených smykových napětí a ostatní složky jsou nulové. Pak jde o stav čistého smyku a jeho rovinou je rovina, ve které leží obě složky sdružených smykových napětí. T ento stav je příznačný zejména při namáhání krutem, případně smykem (napjatost se nazývá čistý smyk) a dále pro všechny kombinace těchto namáhání s jednoosou případně rovinnou napjatostí, jejichž rovina je shodná s rovinou sdružených smykových napětí. R ovinná napjatost je příznačná pro volné povrchy těles, kde je napětí ve směru vnější normály nulové.
část 7, díl 4, kapitola 1, str. 5
S T R O J N IC K Á P Ř ÍR U Č K A
díl 4, Napjatost
O
Obrázek pfiípad Û d v ojosé napjatosti: y y
y y z
y
x z
x
x
x x
x
z z
z
z
y y
x
z
J de o nejobecnější stav napjatosti v bodě tělesa, kdy mohou být nenulové všechny složky napětí působících na element nebo kdy nenulové složky neleží v jedné rovině.
T r ojos á napjatos t
V takovém případě hovoříme o trojosé napjatosti nebo někdy také o napjatosti prostorové. T ato napjatost je naprosto obecná a nastává ve většině případů obecně namáhaných těles. Pro získání hlavních napětí je třeba napjatost transformovat. Obrázek trojosé napjatosti:
J de prakticky o výpočet hlavních napětí zadané napjatosti.
O
T r ans for m ac e napjatos ti prosinec 2002
část 7, díl 4, kapitola 1, str. 6
S T R O J N IC K Á P Ř ÍR U Č K A
díl 4, Napjatost
J e d noos á napjatos t
J ak již bylo řečeno dříve, jednoosou napjatost není třeba transformovat, protože výsledná složka je přímo použitelná pro pevnostní kontrolu: 1 = x. T enzor napětí má v tomto případě tvar: T =
D v ojos á napjatos t
!
x 0 0 0 0 0 = 0 0 0
!
1 0 0 0 0 0 . 0 0 0
V případě dvojosé napjatosti definované pouze dvojicí normálových napětí není transformace také třeba, protože tyto dvě složky jsou přímo hlavními napětími: 1 = x a 2 = y. T enzor napětí má v tomto případě tvar: T =
!
!
x 0 0 0 y 0 = 0 0 0
1 0 0 0 2 0 . 0 0 0
V případě dvojosé napjatosti definované smykovým napětím spolu se dvěma normálovými napětími ležícími v téže rovině (mohou mít i nulové hodnoty) je třeba pro získání hlavních napětí provést transformaci takové napjatosti. T enzor napětí má v tomto obecném případě rovinné napjatosti ležící v rovině x-y tvar: T =
prosinec 2002
!
x z 0 z y 0 , 0 0 0
část 7, díl 4, kapitola 1, str. 7
S T R O J N IC K Á P Ř ÍR U Č K A
díl 4, Napjatost
resp. pro rovinu y-z: T =
!
0 0 0 0 y x 0 x z
nebo pro rovinu z-x: T =
!
x 0 y 0 0 0 . y 0 z
T ransformaci složek napjatosti v rovině poprvé matematicky popsal M ohr, proto hovoříme o tzv. M ohrově kružnici. Základní vztahy, které z rovnice M ohrovy kružnice vyplývají, jsou pro výpočet hlavních napětí v rovině x-y (je-li dáno x, y a z): + 1,2 = – – x– – – – y– ± 2
M oh r ov a kr u žnic e
" $##– – –##––2––#– %#+# , x
y
2
2 z
resp. v rovině y-z (je-li dáno y, z a x): + 1,2 = – – y– – – – z– ± 2
" $##– ––##––2––#– %#+# y
z
2
2 x
nebo v rovině z-x (je-li dáno z, x a y): + 1,2 = – – z– – – – x– ± 2
– " $##–– –## – – –#– # +# . 2 % z
x
2
2 y
Pokud bude trojosá napjatost dána pouze třemi nenulovými složkami normálových napětí (všechna smyková napětí jsou nulová), půjde přímo o trojici hlavních napětí:
T r ojos á napjatos t
1 = x, 2 = y a 3 = z.
prosinec 2002
část 7, díl 4, kapitola 1, str. 8
S T R O J N IC K Á P Ř ÍR U Č K A
díl 4, Napjatost
T enzor napětí má v tomto případě tvar:
!
!
x 0 0 1 0 0 0 y 0 = 0 2 0 . 0 0 z 0 0 3
T =
V případě obecné trojosé (prostorové) napjatosti je třeba k výpočtu hlavních napětí provést transformaci (pootočení) souřadnicového systému použitím vztahů odpovídajících transformaci tenzoru napětí, který lze zapsat ve tvaru: T =
!
x z y z y x . y x z
Vlastní výpočtový vztah má tvar kubické rovnice: 3 – I12 + I2 – I3 = 0, I nv ar ianty te nz or u napětí
kde členy I1, I2 a I3 představují tzv. invarianty tenzoru napětí (při pootočení souřadnicového systému se nemění, jsou invariantní) a lze je vyjádřit ve tvaru: I1 = x + y + z ,
I2 =
& & + & & + & & = + + –
I3 =
&
x
z
x
y
y
x
z
y
y
z
x
z
x
y
x
z
y
z
2 z
– y2 – x2,
&
x z y z y x = xyz + 2xyz – x2x – yy2 – zz2. y x z T akto definovaná kubická rovnice má vždy tři reálné kořeny (některý může být násobný anebo některý nulový), které jsou třemi hlavními napětími 1, 2 a 3. Poznámka: T yto vztahy lze použít i v případě dvojosé napjatosti, ale výpočet je zbytečně zdlouhavý.
prosinec 2002
