Een GeoGebraondersteunde benadering van sinus en cosinus André Heck Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam
[email protected]
Het probleem: De sinusgrafiek
2
De sinusgrafiek via speciale punten
3
De sinusgrafiek via de eenheidscirkel
4
Hoe kun je de sinusfunctie en de sinusgrafiek introduceren? Zijn de volgende standaardmethoden eenvoudig te verrijken? 1. sin en cos bij een rechthoekige driehoek 2. De eenheidscirkel-methode
5
Hoe maken leerlingen goed kennis met representaties bij goniometrie?
6
Inhoudsopgave • • • • • •
Het probleem Traditionele aanpak Leerproblemen bekend uit research Benaderingen die te moeilijk zijn voor op school Een alternatieve leerroute Eerste ervaringen in de klas
7
Traditionele aanpak
1. Meetkundige introductie via driehoeken: • Sinus van een scherpe hoek (0°, 90°) via een rechthoekige driehoek • Uitbreiding naar stompe hoeken (90°, 180°) via sin 𝑥 ≔ sin(180° − 𝑥) • Uitbreiding naar hoeken in (180°, 360°) via sin 𝑥 ≔ −sin(𝑥 − 180°) 8
2. Eenheidscirkel-methode Projectie van eenparige beweging langs de rand van de eenheidscirkel op de coördinaatassen
Driehoeksmeetkunde via de eenheidscirkel: 9
Via radialen naar sinusfunctie en sinusgrafiek
10
Ondersteuning via dynamische wiskunde software
11
Winstpunten ICT-gebruik • Snel en gemakkelijk grafieken maken en exploren • Onderzoek van transformaties van goniometrische functies ondersteund • Dynamische links tussen verschillende goniometrische aspecten • Modellering van experimentele gegevens van periodieke verschijnselen
12
Leerproblemen bekend uit research • Werken met verhoudingen niet gemakkelijk • Moeite met hoeken en hoekmaten: bijv. met negatieve hoeken en hoeken > 360° of met de relatie hoek – cirkelboog • Inschatten van functiewaarden en teken van sinus of cosinus is lastig sin(3) = sin(3°) i.p.v. sin(3) = sin(3 rad) • Te sterke associatie van p met 180° • Onvoldoende ontwikkeld functiebegrip. Reden: sin, cos via een constructie gedefinieerd en niet via een rekenvoorschrift 13 • Sterke voorkeur voor één aanpak
Fragiel netwerk van kennis en vaardigheden
14
Te moeilijke benaderingen • Machtreeksen: sin 𝑥 = 𝑥 −
𝑥3 3!
+
𝑥5 5!
−
𝑥7 7!
+⋯
• Functionaalvergelijking: reële functies c en s zodat c 𝑥 − 𝑦 = 𝑐 𝑥 𝑐 𝑦 + 𝑠 𝑥 𝑠(𝑦) 𝑠(𝑥) lim =1 𝑥→0 𝑥 • Differentiaalvergelijking 𝑠 ′ = 𝑐,𝑐 ′ = −𝑠, 𝑠 0 = 0, 𝑐 0 = 1 15
• Formele definitie van de opwindfunctie 𝜔: 𝑅 → 𝑅 2 , 𝜔 𝑡 = (𝑓(𝑡), 𝑔 𝑡 ) met reële functies f en g zodat 𝜔 0 = 1,0 , 𝑓en 𝑔 glad, 𝑓(𝑡)2 + 𝑔(𝑡)2 = 1 𝑓′(𝑡)2 + 𝑔′(𝑡)2 = 1 (getallenlijn niet oprekken) • Twee functies: 𝜔 𝑡 = (cos 𝑡 , sin 𝑡) en 𝜔 𝑡 = (cos 𝑡 , − sin 𝑡) 16
Alternatieve aanpak in klas 4
Voorstelling via een grafiek is gebaseerd op projectie van een eenparige beweging langs de rand van een regelmatige veelhoek Covariërende grootheden zijn lengtes: padlengte plus horizontale en verticale verplaatsing 17
Volgorde van concept-ontwikkeling • Onderzoek de grafiek van een bewegend punt: padlengte en periodiciteit • Van eenheidsvierkant naar eenheidscirkel: benadering van cirkel met regelmatige veelhoeken • Verbind padlengte met middelpuntshoek
• Ontdek de sinusfunctie op het domein van de reële getallen
18
Wortels in Tall’s theorie van stadia in begripsvorming 1. Functiewaarden via procedures en stap-voor-stap algoritmen met concrete objecten (eenheidsvierhoek) 2. Procedures worden processen die in dit geval op alle regelmatige veelhoeken toepasbaar zijn en leiden tot processen op eenheidscirkel
3. Eenheidscirkel als zgn. procept: redeneren met eenheidscirkel zonder processen daadwerkelijk uit te voeren. Eenheidscirkel is een nuttig object voor denkprocessen 19
Introductie van goniometrische functies
• Start met eenheidscirkel en een draaiende halflijn • Focus op hoeken (in een driehoek of als draaiingshoek) • Gebruik radiaal om te komen tot een reële functie
• Start met “eenheidsvierhoek” door met regelmatige n-hoeken • Focus op padlengte • Focus op reële functie. Voor nverbinden met functies van hoeken
Wandel over de eenheidsvierhoek tegen de wijzers van de klok in. Wat is de grafiek van verticale positie uitgezet tegen afgelegde weg?
21
22
Wandelen langs de rand van de eenheids-vierhoek tegen de wijzers van de klok in
Grafiek van horizontale positie is cosinusachtig
23
Wandelen langs de rand van de eenheidsvierhoek in beide richtingen
Eigenschappen: 𝑠4 heeft periode 8, 𝑠4 −𝑥 = −𝑠4 𝑥 ,𝑠4 𝑥 + 4 = −𝑠4 𝑥 , 𝑠4 𝑥 = 𝑥 voor kleine 𝑥
24
Wandelen langs een regelmatige veelhoek: van eenheidsvierhoek naar eenheidscirkel
25
26
Dynamische wiskunde software illustreert: • De grafiek van 𝑠30 lijkt sterk op de sinusgrafiek • Periode convergeert naar 2p • De reden is dat de regelmatige 30-hoek die de eenheidscirkel omschrijft sterk lijkt op de cirkel • In wiskundige taal: lim sn sin n
27
Wandelen langs de rand van de eenheidscirkel Laat 𝑠 𝑥 de verticale positie van een punt zijn op de eenheidscirkel bij een wandeling over een afstand 𝑥 tegen de wijzers van de klok in. Dan: 𝑠 𝑥 = sin
180°𝑥 𝜋
(opstap naar radiaal)
28
Eerste ervaringen in de klas 2008 Pilot in Wiskunde D klas bij Fons Vitae Lyceum • Succes bij kleine klas met gemotiveerde leerlingen • Zelf aan de slag zijn met GeoGebra inspireerde leerlingen en stelde hen in staat veel zelf uit te zoeken • Leerlingen begrepen radiaal als hoekmaat en sinus als functie veel beter dan voorheen • Docente enthousiast, vooral over de introductie van sinusgrafiek Wat bij een reguliere wiskundeklas? 29
2012 Master research project in Wiskunde B klas • Leerlingen hebben aanvankelijk moeite met niet-gladde functies bij wandelingen over veelhoeken • Bij sommige leerlingen is de link tussen eenheidscirkel en driehoeksmeetkunde nog fragiel tijdens het leerproces 180°𝑥 𝜋
• Zelf vinden van de formule 𝑠 𝑥 = sin is een uitdaging voor leerlingen, maar wel mogelijk • Beter begrip van sinus en cosinus als functies, inclusief domein, bereik, periodiciteit • Meer coherent begrip van drie aspecten van goniometrie en hun onderlinge relatie bij leerlingen • Geen extra tijd of drastische wijzigingen in onderwijs 30 nodig
Hoe verder? Experimenten zijn hoopgevend, maar • Werkt het ook op grotere schaal? • Ook bij leraren die niet bij voorbaat enthousiast zijn? Dit moet nog onderzocht worden! Voor bekijken en/of uitproberen van instructiematerialen: www.science.uva.nl/~heck/goniometrie (NL en EN) Voor onderzoek:
[email protected] 31
