Van Newton tot Gauss: maan en wiskunde in de 18e eeuw

Van Newton tot Gauss: maan en wiskunde in de 18e eeuw

DEEL I: Maan en Newton INTERMEZZO DEEL II: Euler en collega’s Mayers tafels

dr. Steven Wepster

DEEL IV: Epiloog

Department of Mathematics Utrecht University

March 31, 2015

1

Outline

DEEL I: Maan en Newton

DEEL I: Maan en Newton INTERMEZZO

INTERMEZZO

DEEL II: Euler en collega’s Mayers tafels

DEEL II: Euler en collega’s

DEEL IV: Epiloog

Mayers tafels DEEL IV: Epiloog

2

Newtons Principia Mathematica Philosophiae Naturalis DEEL I: Maan en Newton INTERMEZZO I

Boodschap: zwaartekracht verantwoordelijk voor waargenomen verschijnselen in zonnestelsel en op aarde

I

Impliciet: verwerpen van Aristotelische fysica

I

Techniek: in hoofdzaak klassieke meetkunde, hier en daar een spoortje infi

DEEL II: Euler en collega’s Mayers tafels DEEL IV: Epiloog

3

Maan in Principia

DEEL I: Maan en Newton INTERMEZZO DEEL II: Euler en collega’s I

Maantest (→ huiswerk)

Mayers tafels

I

Drielichamenprobleem

DEEL IV: Epiloog

I

(verklaring van watergetijden)

4

Drielichamenprobleem I

Zon, aarde maan

I

Op maan: zons gravitatie ca 2x aards gravitatie

I

Zons gravitatie varieert ca 1% tussen volle en nieuwe maan

I

Gevolg: “storingen”, afwijkingen van Keplerse ellipsbaan

I

Groot probleem: Newton kan apogeumbeweging slechts voor de helft verklaren

DEEL I: Maan en Newton INTERMEZZO DEEL II: Euler en collega’s Mayers tafels DEEL IV: Epiloog

5

Newton’s Theory of the Moon’s Motion 1702 I

Kookboek-benadering

I

Gravitatie wordt niet eens genoemd

I

Maanbaan als Form Changing Ellipse:


Aarde in brandpunt, Midden van baan cirkelt rond, met invloed op: • • •

Equation of Centre Richting van de baanas Eccentriciteit

6

Newton leent dat van Horrocks Horrocks 1640

Newton 1702 DEEL I: Maan en Newton INTERMEZZO DEEL II: Euler en collega’s Mayers tafels DEEL IV: Epiloog

7

Conclusie Deel I


Newtons gravitatietheorie is niet in staat om de beweging vna onze naaste buur adequaat te beschrijven! Technische moeilijkheid: klassieke meetkunde leent zich slecht voor dynamische systemen


8

Outline



INTERMEZZO



DEEL IV: Epiloog


9

Royal Greenwich Observatory


opgericht in 1675 voor: ‘rectifying the tables of the motions of the heavens . . . , so as to find out the so much desired longitude of places for the perfecting the art of navigation.’

INTERMEZZO DEEL II: Euler en collega’s Mayers tafels DEEL IV: Epiloog

10

Geografische lengtebepaling op zee

Prijzen uitgeloofd:


I I

door de Staten Generaal de beroemde Longitude Act 1714: •

•

•

£20.000 tot op 30 mijl, £15.000 tot op 40 mijl, £10.000 tot op 60 mijl.


11

Maansafstanden of Lunar Distances (Werner 1514) I

Maan beweegt om de aarde in 27 dagen, dus zij beweegt ≈ 12 ◦ per uur. DEEL I: Maan en Newton INTERMEZZO DEEL II: Euler en collega’s Mayers tafels DEEL IV: Epiloog

12


I

Maan beweegt om de aarde in 27 dagen, dus zij beweegt ≈ 12 ◦ per uur. Metafoor: sterren en zon vormen een wijzerplaat, met de maan als wijzer.


12


I

I

Maan beweegt om de aarde in 27 dagen, dus zij beweegt ≈ 12 ◦ per uur. Metafoor: sterren en zon vormen een wijzerplaat, met de maan als wijzer. Principe: meet maanpositie t.o.v. de sterren/zon, en vind de tijd waarop deze positie zich voordoet.


12

Precisie

Maan Aarde

beweegt ≈ 21 ◦ roteert ≈ 15◦

per uur per uur


∴ fouten blazen op met factor INTERMEZZO 30

Lengte binnen 300 vereist maansafstand binnen 10 .


Deze foutmarge gaat op aan: meetfout, benaderingen, maanbeweging.

13

Outline



INTERMEZZO



DEEL IV: Epiloog


14

Eerste decennia van C18


Leibniz’ infinitesimaalrekening wordt volwassen

INTERMEZZO

I

Euler formuleert wetten van Newton in dv-vorm

DEEL IV: Epiloog

I

Euler, Clairaut, en anderen stellen maantheorieen op

I


15

Clairaut Alexis Clairaut (1713–1765) DEEL I: Maan en Newton

1748: Lost het apogeumprobleem op: na het voortzetten van zijn reeksontwikkelingen tot de 4e orde kreeg hij de waargenomen waarde voor de apogeumbeweging.


Triomf voor Newton’s gravitatie!

16

Leonhard Euler (1707–1783) DEEL I: Maan en Newton I

I

I

Formuleert Newtons wetten als d.v.’s Beschouwt sin, cos als functies (een nieuwigheid!)


Drie (3!) verschillende maantheorieën 1748, 1753, 1777

17

Kwantitatieve maantheorie

σ

Eu ler Ma ye r

Ne wt on

I

I

1700

1750

Ma

pla

ye r/

La

Ma

1’

Ma

ye r

2’

ce

so n

3’

1800

I

approximaties ipv expliciete oplossingen; reeksontwikkelingen resultaten geen moer beter dan TMM (wel theor. vooruitgang, maar geen betere voorspellingen)


Hoe kan dit? Klopt de gravitatiewet niet, of kloppen de approximaties niet?

18

Conclusie deel II


Ruim een halve eeuw na Newton nog steeds geen adequate beschrijving van de maanbaan, wel enige vooruitgang. Twijfel aan gravitatie.


Technische moeilijkheid: optreden van significant grote termen onvoorspel ver in een reeksontwikkeling (veroorzaakt door resonanties in de banen)

19

Outline



INTERMEZZO



DEEL IV: Epiloog


20

Lengte beschikbaar I

1754/1762: Mayer/weduwe stuurt maantafels naar Engeland.

I

1757: Campbell ontwikkelt sextant.

I

1760: Harrison heeft H4 af.

I

1762: Maansafstanden en H4 getest op zee.

I

1765, Feb 9: Board of Longitude besluit: prijs voor Mayer én Harrison, publicatie Nautical Almanac


21

Maansafstanden of Tijdmeters?


Lengtebepaling werd mogelijk door de NA en de sextant. Chronometers werden pas betaalbaar rond 1840. Lunars was DE meest toepasbare methode voor bijna een eeuw.


22

Wat heeft Mayer wat Euler en Clairaut niet hebben? Succes is gevolg van 3 factoren: I

Horrocks en Newton’s Theory of the Moon’s Motion

I

Modelfitten: ≈20 parameters, ≈200 waarnemingen

I

Theorie zelf is minder belangrijk!

DEEL I: Maan en Newton INTERMEZZO DEEL II: Euler en collega’s Mayers tafels

2’

4’

6’

8’ σ DEEL IV: Epiloog

1751 1752 1753 1762

Minimum requirement for Longitude Act

23

Mayer leent van Newton Newton 1702 Mayer 1752


24

Modelfitten: parameters aanpassen aan waarnemingen DEEL I: Maan en Newton INTERMEZZO

What we are talking about:


I

≈ 20 coefficienten

I

≈ 200 geselecteerde waarnemingen over de laatste 200 jaar

I

overbepaald stelsel; hoe los je dat op?

I

een halve eeuw voor uitvinding kleinste kwadratenmethode

DEEL IV: Epiloog

25

Antwoord: ‘spreadsheets’


Every column a change to a table coefficient


Every row an observation Mayers tafels

Every number is a difference between tables and observation

DEEL IV: Epiloog

26

Nog een spreadsheet


27

Het proces van fitten

waarnemingen

“theorie”

DEEL I: Maan en Newton INTERMEZZO DEEL II: Euler en collega’s

@ @ @ R @

Mayers tafels

- vergelijken

coefficients tables

DEEL IV: Epiloog

van posities

I @ @ @ @

‘spreadsheets’

28

Combination of Observations Elke waarneming van een fysische grootheid heeft een (systematische en/of toevals) fout Wat gebeurt er als je meerdere waarnemingen middelt? I

stapelen de fouten zich op?

I

of heffen ze elkaar juist op?


Tot ca. 1750: middelen alleen als de omstandigheden vergelijkbaar zijn. Namen: Tycho, Cotes (largely neglected), Boscovich, Mayer, Simpson, Lambert, Laplace

29

Conclusie deel III


Vooruitgang komt pas door een statistische kijk op data. Astronomen zijn hier relatief vroeg mee bezig.


30

Outline



INTERMEZZO



DEEL IV: Epiloog


31

Data-analyse


Carl Friedrich Gauss (1777–1855)

INTERMEZZO

Voor ca. 1800 was er vrijwel GEEN theorie van statistiek en datagebruik.


32

Data-analyse


Carl Friedrich Gauss (1777–1855)

INTERMEZZO

Voor ca. 1800 was er vrijwel GEEN theorie van statistiek en datagebruik. Gauss, Legendre: Least Squares kleinste kwadratenmethode om een model aan data te fitten.


32

Hemelmechanica


Lagrange, Laplace komen verder met nieuwe technieken: osculerende baan, tijdevolutie van ellips-params, abstractere formuleringen t/m Hamilton


33

Modern

DEEL I: Maan en Newton INTERMEZZO I

I

JPL DE405 numerieke integratie en least squares fit van het hele zonnestelsel ´ eméride Lunaire Parisienne ELP2000: Eph´ “semi-analytische” maantheorie, parameters deels symbolisch en deels numeriek, gefit aan DE405


34

Van Newton tot Gauss: maan en wiskunde in de 18e eeuw

Recommend Documents