SaLVO! Kerndocument Rekenvaardigheid en samenhang
WISKUNDE NATUURKUNDE SCHEIKUNDE ECONOMIE INFORMATIEKUNDE KLAS 2 - 3 - 4 - 5 H/V
SaLVO! Dit lesmateriaal is een onderdeel van het samenwerkingsproject SaLVO! dat als doel heeft om meer samenhangend onderwijs te ontwikkelen in de bètavakken.
Overzicht projectmateriaal De leerlijn SaLVO! rond verhoudingen, verbanden, formules en grafieken is opgebouwd uit een aantal delen bij verschillende vakken: biologie = B, economie = E, informatiekunde = I, natuurkunde = N, scheikunde = S en wiskunde = W. deel 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
titel Verhoudingen en evenredigheden Een verband tussen massa en volume Vergroten en verkleinen Omgekeerd evenredig verband Planeten en Leven Economie en procenten Verhoudingen bij scheikundige reacties Formules en evenredigheden Vergelijkingen in de economie Exponentiële verbanden Evenredigheden en machten Verbanden beschrijven Exponentiële functies Periodieke functies
vak(ken) W N N, W W B, N, S, W E, W S N E, W I, N, W W N B, N, S, W N, W
leerjaar 2 HV 2 HV 2HV 2/3 HV 2/3 HV 3 HV 3 HV 3HV 3 HV 3 HV 4 HV 4 HV 5V 5V
Colofon Project SaLVO! (Samenhangend Leren Voortgezet Onderwijs) Auteur Kees Hooyman Versie oktober 2009 M.m.v. St. Bonifatiuscollege, Utrecht Geref. Scholengemeenschap Randstad, Rotterdam Freudenthal Inst. for Science and Mathematics Education, Univ. Utrecht
Copyright Op de onderwijsmaterialen in deze reeks rust copyright. Het materiaal mag worden gebruikt voor nietcommerciële toepassingen. Het is niet toegestaan het materiaal, of delen daarvan, zonder toestemming op een of andere wijze openbaar te maken. Voor zover wij gebruik maken van extern materiaal proberen wij toestemming te verkrijgen van eventuele rechthebbenden. Mocht u desondanks van mening zijn dat u rechten kunt laten gelden op materiaal dat in deze reeks is gebruikt dan verzoeken wij u contact met ons op te nemen:
[email protected]
Kerndocument Het project SaLVO biedt rekenvaardigheden aan in samenhang met andere vakken. Om alle gebruikers, zowel docenten als leerlingen, een overzicht te bieden op de verschillende vaardigheden is het kerndocument samengesteld. Voor docenten, die vaak niet meer dan één of twee delen van SaLVO gebruiken, is het handig om te zien welke rekenvaardigheden bij SaLVO aan bod komen en hoe die vaardigheden gebruikt worden bij andere vakken. Het kerndocument kan voor docenten binnen een school ook het startpunt zijn van een discussie over het aanleren en gebruiken van rekenvaardigheden. Voor de leerlingen is het een groot voordeel dat rekenvaardigheden op vergelijkbare manier worden aangeboden en gebruikt. De samenhang tussen de vakken wordt zichtbaar en de vaardigheden worden veelvuldig herhaald, vaak in een andere context. Voor leerlingen kan het document een blijvende waarde hebben als het wordt aangeboden in een digitale leeromgeving. Daarmee wordt het op elk moment voor elke leerling een herkenbare aanpak. Methodische aanpak Om de samenhang tussen de vakken te versterken is gekozen voor een methode die voor leerlingen herkenbaar en toepasbaar is bij de verschillende vakken. In die methode staan het rekenen in verhoudingen, het gebruik van een verhoudingstabel en het begrip evenredigheid centraal. Dezelfde instrumenten worden gebruikt om andere verbanden te onderzoeken. De methodische aanpak bestaat uit de volgende onderdelen: 1. Rekenen in verhoudingen en met vermenigvuldigingsfactoren 2. Het gebruik van een verhoudingstabel (ook bij het rekenen met procenten) 3. Evenredigheid als een eigenschap van toename of afname, met tabel, grafiek en formule. Evenredigheid als een constante verhouding 4. Omgekeerd evenredigheid als een eigenschap van toe- of afname, met tabel, grafiek en formule. Omgekeerd evenredigheid als een constant product. 5. Formules herkennen en gebruiken als een evenredig of een omgekeerd evenredig verband. 6. Eigenschappen van andere verbanden, machtsfuncties, exponentiële functies en goniometrische functies. Leerlingen leren al in het basisonderwijs werken met de verhoudingstabel. De verhoudingstabel kan een goed hulpmiddel zijn bij het nadenken over evenredigheid. Het is belangrijk dat leerlingen leren wat de mogelijkheden maar ook wat de beperkingen zijn van de verhoudingstabel. Didactische aanpak Centraal in de aanpak staat het belang dat leerlingen bij alle verschillende vakken de rekenvaardigheden snel herkennen en kunnen gebruiken. Daarvoor is het noodzakelijk dat de leerlingen niet alleen het algoritme beheersen maar ook de achterliggende gedachte (concept) begrijpen. Bij het ontwikkelen van de verschillende concepten speelt ervaringsleren en groepswerk een belangrijke rol. De onderliggende theorie wordt niet als eerste centraal uitgelegd, maar de start is een instapvraag waar door de leerlingen in groepjes aan gewerkt kan worden. Bij de nabespreking van de instap zal de docent aandacht besteden aan het door de leerlingen aan elkaar uitleggen van begrippen en concepten, waarbij het de rol van de docent is om deze concepten uit te breiden naar een algemeen toepasbaar principe.
Rekenvaardigheden
A
Vergroten en verkleinen
5
B
Verhoudingstabel
5
C
Rekenen met procenten
6
D
Rekenen met ‘per’-eenheden
6
E
Recht evenredig verband
13
F
Omgekeerd evenredig verband
14
G
Lineair verband
14
H
Lineair verband bij metingen in een ‘puntenwolk’
15
I
Exponentieel verband
15
J
Constante verhouding
21
K
Constant product
21
L
Kwadratisch verband
25
M
Omgekeerd kwadratisch verband
26
N
Wortelverband
26
O
Een machtfit op de GR
27
Rekenvaardigheid en samenhang 1 Rekenen met verhoudingen
Een belangrijke rekenvaardigheid is het rekenen met verhoudingen. Daarmee wordt bedoeld dat als het ene getal groter of kleiner wordt, het andere getal op dezelfde manier groter of kleiner wordt. Dan is de verhouding tussen de twee getallen constant. A
Vergroten en verkleinen Bij vergroten en verkleinen van getallen rekenen we met verhoudingen. Daar mee wordt bedoeld: Als de ene getal k zo groot wordt, dan wordt het andere getal ook k zo groot. Het getal k noemen we de vermenigvuldigingsfactor. Bij elke vergroting of verkleining wordt k bepaald door: vermenigvuldigingsfactor:
k
nieuwe waarde oude waarde
Voorbeeld Je wilt van een foto van 10 bij 15 cm een vergroting laten maken van 24 bij 36 cm. De vermenigvuldigingsfactor k is dan 2,4. De verhouding tussen de lengte en de breedte is constant, steeds geldt dat de lengte 1,5 zo groot is als de breedte. Op de foto staat een boom die op de originele foto 8,0 cm hoog is. Op de vergroting is ook die lengte met hetzelfde getal k = 2,4 vermenigvuldigd. De hoogte op de vergroting is dus 2,4 8,0 = 19,2 cm. Ook bij het verkleinen van getallen geldt de vermenigvuldigingsfactor k. De vermenigvuldigingsfactor wordt dan kleiner dan 1. Bij het maken van de foto werd de boom, die in het echt 7,5 m hoog is, afgebeeld op de beeldchip met een hoogte van 15 mm. Dan geldt:
B
k
nieuwe waarde 0,015 m 0,002 oude waarde 7,5 m
Verhoudingstabel Als twee getallen in dezelfde verhouding groter of kleiner worden dan kun je gebruik maken van een verhoudingstabel. Zo‟n tabel geeft je een beter overzicht en je kunt er makkelijker mee rekenen. 2,4
hoogte foto
10
24
breedte foto
15
36
1,5
Bij een verhoudingstabel kun je zowel horizontaal als verticaal vermenigvuldigen. Het vermenigvuldigingsgetal vind je ook hier weer door de nieuwe waarde vermenigvuldigen met de oude. Verhoudingstabellen kun je niet in elke situatie toepassen, het kan alleen als twee getallen in dezelfde verhouding toenemen. Om een verhoudingstabel te controleren kun je gebruik maken van kruislings vermenigvuldigen. In dit voorbeeld moet 1524 gelijk zijn aan 1036 (en dat is zo).
C
Rekenen met procenten Rekenen met procenten is in feite ook rekenen met verhoudingen en vermenigvuldigingsfactoren. Als het kopieerapparaat ingesteld is op 75% dan worden alle afmetingen vermenigvuldigd met 0,75. Ook als je eerst terugrekent naar 1% gebruik je verhoudingen, je past twee keer een vermenigvuldigingsfactor toe. Ook bij procenten kun je gebruik maken van verhoudingstabellen. Een artikel in de winkel heeft een sticker waarop staat 35% korting. De originele prijs is € 5,74. Om de nieuwe prijs te berekenen zet je eerst alle getallen in een tabel: 0,65
in procenten
100%
65%
prijs in euro
€ 5,74
€ 3,73
0,0574
Ook hier kun je zowel horizontaal als verticaal vermenigvuldigen. Het getal bij verticaal vermenigvuldigen is hetzelfde getal als bij terugrekenen naar 1%. Het is ook mogelijk om de nieuwe prijs te berekenen met kruislings vermenigvuldigen: 65% € 5,74 / 100%. Deze werkt meestal prima, het nadeel is dat niet direct duidelijk is waarom het werkt.
D
Rekenen met ‘per’-eenheden Rekenen met „per‟-eenheden is in feite ook rekenen met verhoudingen en vermenigvuldigingsfactoren. Als de benzineprijs 1,40 euro per liter is, dan moet je voor 35 liter ook 35 zoveel betalen. Ook bij „per‟-eenheden kun je gebruik maken van verhoudingstabellen. 35
aantal liter
1
35
prijs in euro
€ 1,40
€ 49,-
1,40
Ook hier kun je zowel horizontaal als verticaal vermenigvuldigen. Het getal bij verticaal vermenigvuldigen is hetzelfde getal als de literprijs. Verhoudingstabellen zijn ook handig bij het omrekenen naar andere eenheden, bijvoorbeeld van euro/L naar euro/m³, of van km/h naar m/s.
1 Rekenen met verhoudingen Toepassingsopgaven
1
Vergroten Je wilt van een foto van 10 bij 15 cm een vergroting maken van 24 bij 36 cm. a. Bereken de vermenigvuldigingsfactor k. Op de foto staat een boom die op de originele foto 8,0 cm hoog is. b. Bereken hoe hoog de boom op de vergroting is. Op de vergroting is te zien dat in de boom een hartje is gekerfd dat op de vergroting 6,0 mm breed is. c. Hoe breed is het hartje op de originele foto? Laat zien hoe je dat berekend hebt. antwoorden: a. k = nieuw / oud = 24/10 = 2,4 b. 2,4 8,0 = 19,2 cm (zie tabel) hoogte foto 10 cm 24 cm boom
8,0 cm
c. 2,4 maal zo klein: 6,0 / 2,4 = 2,5 mm (zie tabel) hoogte foto
10 cm
hartje 2
Topografische kaart, verkleind weergegeven
24 cm 6,0 mm
Landkaart Een topografische kaart is zeer gedetailleerd. De schaal van de kaart geeft aan dat 1 cm op de kaart in werkelijkheid 250 m is. a. Welke vermenigvuldigingsfactor moet je gebruiken om afstanden op de kaart om te rekenen naar afstanden in werkelijkheid? b. Op de kaart is een raster van lijnen gedrukt die 4 cm uit elkaar liggen. Welke afstand is dat in werkelijkheid? c. De afstand tussen twee dorpen is in werkelijkheid 6,5 km. Bereken hoeveel cm dat is op de kaart. antwoorden a. k = nieuw / oud = 250 / 0,01 = 25 000 b. 4 25 000 = 100 000 cm = 1 000 m (zie tabel) schaal kaart
0,01 m
lijnen
0,04 m
250 m
c. 6 500 m / 25 000 = 0,26 km = 260 m(zie tabel) schaal kaart dorp 3
0,01 m
250 m 6 500 m
Beeldschermen Bij een normale (ouderwetse) televisie is de verhouding tussen de breedte en de hoogte 4:3. Ook de monitor van de PC heeft een verhouding van 4:3. a. Het scherm van de monitor op de foto heeft een breedte van 48 cm. Bereken de hoogte van het scherm. b. Het beeldscherm bestaat uit 1280 bij 960 pixels. Is dat dezelfde verhouding als 4:3?
antwoorden a. k = 48/4 = 12 en 123 = 36 cm (zie tabel) breedte 4 48 cm hoogte
3
b. k = 1280/4 = 320 en 3203 = 960 pix (zie tabel) breedte 4 1280 pix hoogte 4
3
960 pix
Berekeningen met procenten Gebruik zoveel mogelijk een verhoudingstabel. a. Het aantal inwoners van een stad is in 5 jaar gestegen van 128.000 naar 147.800. Hoeveel % bedraagt de groei? b. Tussen 2000 en 2002 zijn de aandelen 40% in waarde gedaald. Iemand had in 2000 voor € 24.000,- aandelen. Hoeveel waren de aandelen nog waarde in 2002? c. De benzine is in twee jaar tijd 18% duurder geworden. Een liter benzine kost nu € 1,37. Hoe duur was een liter benzine twee jaar geleden? d. Hoeveel is 30% van 1200? antwoorden a. k = 147.800/128.000 = 1,155 en 1,155100% = 115,5%. Toename 15,5%. inwonersaantal 128.000 147.800 in procenten
100%
b. k = 60/100 = 0,6 en 24.0000,6 = 14.400 (zie tabel) aandelen 24.000 in procenten
100%
60%
c. k = 118/100 = 1,18 en € 1,37 / 1,18 = € 1,16 (zie tabel) benzineprijs € 1,37 in procenten 5
100%
118%
Koper en aluminium De grondstofprijs voor koper bedraagt € 3.400,- per ton, voor aluminium is de prijs € 1.960,- per ton. a. Bereken hoeveel 1 gram koper en 1 gram aluminium kosten. Een beeldje is gemaakt van 200 cm³ aluminium. b. Bereken uit hoeveel gram aluminium het beeldje bestaat. Men overweegt om een even groot beeldje in koper te maken. c. Bereken uit hoeveel gram koper het beeldje bestaat. d. Bereken hoeveel keer zo duur het koperen beeldje is. antwoorden a. koper: 1 kg = € 3,40; 1 gram = 0,34 cent. Alum: 1 gram = 0,196 cent. b. Gebruik dichtheid 2,7 g/cm³. 2002,7 = 540 gram. volume 1 cm³ 200 cm³ massa
2,7 g
c. Gebruik dichtheid 8,96 g/cm³. 2008,96 = 1792 gram (zie tabel) volume
1 cm³
massa
8,96 g
200 cm³
d. alum: 5400,196 = € 1,06 koper 17920,34 = € 6,09, dus 5,8 zo duur.
6
Een heel hoge bevolkingsdichtheid De gemeente den Haag heeft de grootste bevolkingsdichtheid, met 5.393 inwoners/km². De gemeente den Haag heeft een oppervlakte van 82,1 km². a. Bereken het inwonertal van Den Haag. Nederland heeft een bevolking van meer dan 16 miljoen inwoners, met een gemiddelde bevolkingsdichtheid van 452 inwoners per km². b. Bereken de oppervlakte van Nederland. antwoorden a. 82,1 5.393 = 442.765 (zie tabel). oppervlak 1 km² 82,1 km² inwoners
5.393
b. k = 16.000.000 / 452 = 35.398, dus 35.398 km²
7
oppervlak
1 km²
inwoners
452
In de bioscoop Bij een film in de bioscoop wordt het beeld sterk vergroot. De beeldjes op de filmband zijn slechts 35 mm breed, terwijl het scherm in een grote zaal wel 7 meter breed kan zijn. a. Bereken hoe groot hier de vergrotingsfactor N is. b. In een andere bioscoop is de vergrotingsfactor 150. Het hoofd van een persoon in de film is op het scherm 1,2 m hoog. Bereken hoe hoog het hoofd op de filmstrook is. antwoorden: a. N = 7000/35 = 200 b. 1,2 / 150 =0,008 m = 0,8 cm (zie tabel) op film 1 op scherm
8
16 milj.
150
1,2 m
Letter vergroten en verkleinen In de onderstaande figuur is de letter L getekend op ruitjespapier.
a. Uit hoeveel hokjes bestaat de oppervlakte van de letter L? Het figuur wordt met een kopieerapparaat op 150% vergroot. b. Laat met een berekening zien dat de oppervlakte op het kopie k² keer zo groot is geworden. antwoorden: a. 24 hokjes b. 12 hoog en 9 breed, totaal 54 hokjes k = 1,5 en k² = 2,25. 24 2,25 = 54
9
2,5
1,5
2,0
Snavelfiguur en vergroting Een snavelfiguur bestaat uit twee evenredige driehoeken die wel dezelfde vorm hebben, maar die niet even groot zijn. De twee figuren hiernaast zijn snavelfiguren. In de bovenste figuur is de kleine driehoek gearceerd. a. Meet van de grote driehoek van elke zijde de lengte. b. Laat zien dat alle afmetingen van de kleine driehoek met dezelfde factor zijn vermenigvuldigd. c. Met welke factor is de oppervlakte vermenigvuldigd? antwoorden: a. De afmetingen zijn: basis 4,0 hoogte 3,0 en schuine zijde 5,0 b. Alle afmetingen zijn twee keer zo groot geworden. kleine driehoek 2,0 1,5 2,5 grote driehoek
4,0
3,0
5,0
c. k = 2,0 dus k² = 4,0 (kleine = 1,5 cm², de grote = 6,0 cm² 10
1
Oppervlakte en inhoud van een kubus In de figuur hiernaast zie je dezelfde vijf kubussen. Kubus 1 is de 1-cmkubus: alle ribben zijn precies 1 cm lang. Ook bij de andere kubussen geeft het nummer de lengte van de ribbe aan. Kubus 2 is dus 2 bij 2 bij 2 cm. a. Bereken van elke kubus de oppervlakte van de zes zijkanten bij elkaar. Noteer de antwoorden in de tabel. b. Bereken van elke kubus de inhoud met de formule de antwoorden in de tabel.
2
4
5 3
Kubus nummer
1
Opp. zijvlakken (cm²)
6
Inhoud (cm³)
1
2
3
I l b h . Noteer 4
5
27
Vergelijk kubus 1 met kubus 2. c. Met welke factor is de oppervlakte toegenomen? En met welke factor is de inhoud toegenomen? Verklaar dit met de vergroting van de ribbe (1 2) Vergelijk kubus 2 met kubus 5. d. Met welke factor is de oppervlakte toegenomen? En met welke factor is de inhoud toegenomen? Verklaar dit met de vergroting van de ribbe (2 5) e. Wat zal de regel zijn bij het vergroten van de oppervlakte? Vul aan: Als alle afmetingen van een voorwerp k keer zo groot worden, dan wordt de oppervlakte . . . . . keer zo groot. f. Wat zal de regel zijn bij het vergroten van de inhoud? Vul aan: Als alle afmetingen van een voorwerp k keer zo groot worden, dan wordt de inhoud . . . . . keer zo groot. antwoorden: a. Zie tabel. b. Zie tabel. Kubus nummer
1
2
3
4
5
Opp. zijvlakken (cm²)
6
24
54
96
150
Inhoud (cm³)
1
8
27
64
125
c. Oppervlakte 4 zo groot, inhoud 8 zo groot. 4 = 2² en 8 = 2³ d. Oppervlakte 6,25 zo groot, inhoud 15,625 zo groot. 6,25 = 2,5² en 15,625 = 2,5³ e. k² keer zo groot. f. k³ keer zo groot.
11
BTW berekenen Op alle producten die je in de winkel koopt betaal je belasting. Daar merk je zelf niets van omdat de winkelier de belasting (BTW) afdraagt aan de belastingdienst. De BTW zit dus al verwerkt in de winkelprijs. De BTW wordt niet berekend op basis van de winkelprijs, maar op basis van het bedrag dat de winkelier wil ontvangen, dat noemen we dus 100%. De winkelprijs is in Nederland 19% hoger, dat is dan 119%. In Nederland bedraagt de BTW 19%. a. Met welke factor moet de winkelier zijn prijzen vermenigvuldigen? b. Een blik verf kost € 18,28 zonder BTW. Hoeveel moet het blik kosten inclusief BTW? c. Welk bedrag aan BTW moet de winkelier afdragen aan de belastingdienst? De prijzen in de winkel zijn altijd inclusief BTW. d. Een broodbakmachine kost in de winkel inclusief BTW € 169,-. Wat is de prijs zonder BTW? e. Hoe kun je op een snelle manier de prijs zonder BTW uitrekenen? Je mag maar één vermenigvuldiging of deling gebruiken. Voor de winkelier is het ook belangrijk om snel uit te kunnen rekenen hoeveel BTW hij moet afdragen aan de belasting. Iemand beweert dat je de winkelprijs moet vermenigvuldigen met 0,19. f. Laat zien dat de bewering niet klopt. g. Hoe kun je op een snelle manier vanuit de winkelprijs de BTW berekenen? Gebruik vermenigvuldigingsfactoren of reken terug naar 1%. antwoorden a. van 100% naar 119%, dus met factor 1,19 b. € 18,28 1,19 = € 21,75 (zie tabel). ex. BTW BTW incl. BTW prijs in euro
€ 18,28
in procenten
100%
c. € 18,28 0,19 = € 3,47 (zie tabel). d. € 169,- / 119 100 = € 142,- (zie tabel). ex. BTW
19%
119%
BTW
incl. BTW
prijs in euro in procenten
€ 169,-. 100%
19%
119%
e. Delen door 1,19 f. Bijvoorbeeld: 169 0,19 = € 32,11, het moet € 27,- zijn. g. Delen door 119 en dan keer 19. 12
Kwik en zuurstof De massaverhouding is: kwik:zuurstof = 25:2. a. Hoeveel gram kwik en hoeveel gram zuurstof ontstaan als 40,5 g kwikoxide wordt ontleed? b. Hoeveel gram kwikoxide kun je maken uit 75 gram kwik? antwoorden a. Factor k = 1,5, dus 3 gram zuurstof en 37,5 gram kwik. Massa kwik 25 Massa zuurstof
2
Massa kwikoxide
27
40,5
b. Kwik reageert met 6 gram zuurstof, dus 81 gram.
13
IJzer en zwavel Men verhit 11 gram ijzerpoeder met 5 gram zwavelpoeder. a. Van welke stof is er teveel? b. Hoeveel gram blijft er van die stof onveranderd over? c. Hoeveel gram ijzersulfide ontstaat er? antwoorden a. De massaverhouding ijzer:zwavel = 7:4. IJzer is in overmaat. Massa ijzer
7
Massa zwavel
4
Massa ijzersulfide
11
5
b. Factor k = 1,25, dus is 71,25 = 8,75 gram ijzer nodig. Over blijft dan 2,25 gram. c. Er ontstaat 5+8,75 =13, 75 gram ijzersulfide. 14
10 Ω
27 Ω
56 Ω
15
Serieschakeling van drie weerstanden Drie weerstanden van 10 Ω, 27Ω en 56 Ω worden in serie aangesloten op een spanningbron van 12 V. a. Bereken de vervangingsweerstand van de drie in serie geschakelde weerstanden. b. Bereken de spanning over elk van de drie weerstanden. antwoorden a. De totale weestand is 10+27+56 = 93 Ω. b. De eerste weerstand krijgt 10/93 12 = 1,3 V, de tweede 27/93 12 = 3,5 V, de derde 56/93 12 = 7,2 V. Spanning
12 V
Weerstand
93 Ω
10 Ω
27 Ω
56 Ω
Brandstofverbruik Een auto rijdt op benzine, met een verbrandingswarmte van 33 MJ/L. Bij een bepaalde snelheid moet de motor per km 0,48 MJ arbeid leveren. Het rendement van de automotor is daarbij 23% a. Hoeveel arbeid moet de motor leveren over een afstand van 100 km? b. Bereken de hoeveelheid warmte die de brandstof moet leveren. c. Bereken hoeveel benzine nodig is voor een afstand van 100 km. antwoorden a. 100 0,48 = 48 MJ.(zie tabel) afstand
1 km
arbeid
0,48 MJ
100 km
b. 48 / 23 * 100 = 209 MJ. (zie tabel) energie in procenten
48 MJ 100%
23%
c. 209 MJ / 33 = 6,3 L. (zie tabel) brandstof energie
1L 33 MJ
209 MJ
Rekenvaardigheid en samenhang 2 Verbanden herkennen
Bij de natuurwetenschappelijke vakken worden experimenten en onderzoeken gedaan. Het resultaat daarvan is meestal een serie metingen die in een grafiek weergegeven worden. Bij die metingen wordt soms gezocht naar een verband (een formule of vergelijking) tussen de gemeten grootheden. Verbanden kun je op verschillende manieren herkennen: 1 De vorm van de grafiek laat vaak zien om welk type verband het gaat. Bij een rechte lijn kun je dan kiezen uit een lineair of een evenredig verband, bij een kromme lijn zijn er meerdere mogelijkheden. 2 Aan de getallen in de tabel kun je ook vaak zien om welk type verband het gaat. Daarbij kijk je soms naar de toename en soms naar groeifactoren. Bij bepaalde verbanden kun je met een extra rij of kolom in de tabel het verband onderzoeken. Bij elk verband hoort ook een vergelijking of formule. De belangrijkste verbanden bij onderzoek zijn: recht evenredig, omgekeerd evenredig, lineair en exponentieel. E
Recht evenredig verband Bij een recht evenredig verband tussen twee grootheden geldt: Als de ene grootheid met een getal wordt vermenigvuldigd dan wordt de andere grootheid met hetzelfde getal vermenigvuldigd. Deze eigenschap kun je herkennen aan de getallen in de tabel. 3,0
1,9
grootheid v
13
39
68
128
grootheid A
5,2
15,3
26
51
2,9
2,0
Bij een recht evenredig verband hoort een formule van de vorm:
y c x of
A cv
In deze formules is c de evenredigheidsconstante (een getal). De constante c is gelijk aan de verhouding tussen de twee grootheden. Bij een evenredig verband is de verhouding tussen de twee grootheden constant.
c
y x
of
c
A v
De evenredigheidsconstante c is te bepalen met de tabel. grootheid v
13
39
68
128
grootheid A
5,2
15,3
26
51
0,40
0,39
0,38
0,40
verhouding A/v = constant
De grafiek van een recht evenredig verband is een rechte lijn door de oorsprong. De evenredigheidsconstante c is van die lijn het hellinggetal, ook wel genoemd de richtingscoëfficiënt of de steilheid. In dit voorbeeld wordt de formule voor A en v:
A 0,39 v of
A 0,39 v
F
Omgekeerd evenredig verband Bij een omgekeerd evenredig verband tussen twee grootheden geldt: Als de ene grootheid met een getal wordt vermenigvuldigd dan wordt de andere grootheid door hetzelfde getal gedeeld Deze eigenschap kun je herkennen aan de getallen in de tabel. 2,0
3,0
grootheid r
13
39
65
130
grootheid P
12,6
4,3
2,5
1,3 1,9
2,9
Bij een omgekeerd verband is het product van de twee grootheden constant.
yx c
Pr c
of
De constante c is te bepalen met de tabel.
Een hyperbool is symmetrisch t.o.v. de 45°-lijn door de oorsprong.
grootheid r
13
39
65
130
grootheid P
12,6
4,2
2,5
1,3
product Pr = constant
164
164
163
169
Bij een omgekeerd evenredig verband hoort een formule van de vorm:
y
c x
c r
P
of
In deze formules is de constante c gelijk aan de product van de twee grootheden. De grafiek van een omgekeerd evenredig verband is een dalende kromme lijn die naar de beide assen toe loopt, maar ze niet snijdt. De grafiek is symmetrisch rond de 45°-lijn door de oorsprong. Bij wiskunde heet zo‟n grafiek een hyperbool. In dit voorbeeld wordt de formule voor A en v:
P G
165 r
of
P r 165 .
Lineair verband Bij een lineair verband tussen twee grootheden geldt: Als de ene grootheid met gelijke stappen toeneemt dan neemt de andere grootheid ook met gelijke stappen toe of af. Deze eigenschap kun je herkennen aan de getallen in de tabel. 15
15
15
grootheid f
15
30
45
60
grootheid V
49
77
104
132
28
27
28
Bij een lineair verband hoort een formule van de vorm:
y a xb
of
V c f d
In deze formule is c de toenamesnelheid (een getal dat aangeeft hoeveel V toeneemt als f met één toeneemt). De constante d is de startwaarde van V bij f = 0. In dit voorbeeld is de toenamesnelheid: 27,7/15 = 1,85. De waarde van d is te vinden door het snijpunt van de verticale as af te lezen of door de coördinaten van een punt van de lijn in te vullen in de vergelijking. De formule voor V en f wordt:
V 1,85 f 21
H
Lineair verband bij metingen in een ‘puntenwolk’ In sommige situaties liggen de meetpunten helemaal niet netjes op een rechte lijn, zoals in onderstaand voorbeeld. De metingen horen bij het maximaal vermogen (in watt) dat sporters kunnen leveren, in vergelijking met hun lichaamsgewicht. De verschillen tussen de sporters zijn vrij groot, en natuurlijk hebben sporters met hetzelfde lichaamsgewicht niet allemaal hetzelfde vermogen. Toch laat de grafiek een duidelijke trend zien. Zwaardere sporters leveren door de bank genomen een groter vermogen. Die sporters hebben immers ook meer spiermassa. Door de puntenwolk is een rechte lijn getekend die de trend weergeeft. In dit voorbeeld is de lijn berekend door de computer, maar je zou zelf ongeveer zo‟n lijn kunnen tekenen.
lichaamsgewicht en maximaal vermogen
maximaal vermogen (watt)
460 440 420
Bij de lijn hoort ook een formule die het verband weergeeft. Om die formule te vinden kies je twee duidelijke punten op de lijn, bijvoorbeeld het begin- en eindpunt: (57 kg, 355 watt) en (77 kg, 415 watt).
400 380 360 340
De formule voor de lijn wordt nu: P c m d . De constante c is de toenamesnelheid, in dit voorbeeld hoeveel watt en per kg bij komt. De toename is 60 watt bij 20 kg extra, dus c = 3,0 watt/kg.
320 55,0
65,0
75,0
lichaamsgewicht (kg)
De constante d vind je nu door een punt in te vullen: geeft d = 184. De formule bij dit verband wordt dus:
355 3,0 57 d . Dat
P 3,0 m 184 De formule geldt natuurlijk alleen maar op het meetgebied, en voor deze categorie van sporters.
I
Exponentieel verband Bij een exponentieel verband tussen twee grootheden geldt: Als de ene grootheid met gelijke stappen toeneemt dan neemt de andere grootheid ook met gelijke groeifactoren toe of af. Deze eigenschap kun je herkennen aan de getallen in de tabel. 5
5
5
5
grootheid t
0
5
10
15
20
grootheid d
43
32
20
15
10
0,74
0,63
0,75
0,67
Bij een exponentieel verband hoort een formule van de vorm:
y b gt
of
h c gt
In deze formule is c de startwaarde en g is de groeifactor (een getal dat aangeeft met welk getal bij elke tijdstap V vermenigvuldigd moet worden). Bereken eerst de gemiddelde groei per vijf tijdstappen:
0,74 0,63 0,75 0,67 0,70 4 De groeifactor g is de factor per tijdstap. Daarvoor geldt hier:
g 5 0,70 g 0,93 De formule voor d en t wordt:
d 43 0,93t
2 Verbanden herkennen Toepassingsopgaven
16
Diameter en omtrek van cirkels In de figuur zie je alle euromunten. Elke munt heeft een andere diameter en omtrek. Jesse wil weten of de omtrek van elke munt evenredig is met de diameter. Daarvoor heeft hij van elke munt de omtrek gemeten, en van drie munten de diameter. a. Meet van de andere munten ook de diameter. Verdeel het werk over de klas en noteer de antwoorden in de tabel. euromunt
0,01
0,02
diameter (mm)
16
19
omtrek (mm)
51
59
0,05
0,10
0,20
0,50
1
2 26
67
62
70
76
73
81
b. Meet ook bij twee andere cirkels de diameter en de omtrek. De vraag is nu: “Is de omtrek evenredig met de diameter van de munt? c. Onderzoek of je met de getallen van de tabel deze vraag kunt beantwoorden. d. Hoe groot is de verhouding tussen de omtrek en de diameter? e. Waardoor komt er niet steeds precies hetzelfde getal uit de verhouding? antwoorden: a. Zie tabel. euromunt
0,01
0,02
0,05
0,10
0,20
0,50
1
2
diameter (mm)
16
19
20,5
19,5
22
23,5
23
26
omtrek (mm)
51
59
67
62
70
76
73
81
3,19
3,11
3,27
3,18
3,18
3,23
3,17
3,12
omtrek/diameter
b. Eigen metingen c. Vergelijk b.v. 0,01 en 2 euro, k = 26/16 = 1,625 en 81/51 = 1,59. Dat lijkt ongeveer evenredig. d. De verhouding tussen de omtrek en de diameter staat in de onderste tabelrij. De verhouding is ongeveer gelijk aan . e. De metingen zijn niet heel erg nauwkeurig. 17
Bungeekoord Bij bungeejumpen worden koorden gebruikt die zeer elastisch zijn en tot wel drie keer hun lengte kunnen uitrekken. Als voorbeeld gebruiken we een koord met een lengte van 12 meter. Om te onderzoeken of de uitrekking van het koord evenredig is met het aantal kg dat aan het koord hangt zijn enkele metingen gedaan (zie tabel). aantal kg aan koord lengte koord (m) uitrekking koord (m)
0
2
8
15
20
30
12,0
13,2
16,8
21
24,0
30,0
0
1,2
36,0
a. Leg uit, of laat zien met een berekening, dat de lengte van het koord niet evenredig is met het aantal kg dat aan het koord hangt. b. Bereken bij elke meting de uitrekking en vul de tabel in.
c. De uitrekking van het koord is wel evenredig met het aantal kg dat aan het koord hangt. Laat dat met twee voorbeelden zien. Als het verband evenredig is dan moet er ook een constante verhouding zijn. d. Bereken bij alle metingen de verhouding
uitrekking koord . aantal kg aan koord
e. Wat stelt het getal voor dat je als verhouding hebt uitgerekend? Het koord kan maximaal tot wel drie keer de lengte uitrekken. Het koord is dan 36 m lang. Als er meer gewicht aan het koord hangt kan het breken. f. Hoeveel kg moet er aan het koord hangen om het drie keer zo lang te maken? Noteer het getal in de tabel. antwoorden: a. Als de massa bijvoorbeeld 4 zo groot wordt dan wordt het touw niet 4 zo lang. aantal kg aan koord lengte koord (m) uitrekking koord (m)
0
2
8
15
20
30
12,0
13,2
16,8
21
24,0
30,0
36,0
0
1,2
4,8
7,0
12,0
18,0
24,0
0,60
0,60
0,60
0,60
0,60
uitrekking/massa
b. Zie tabel. c. Als de massa 4 zo groot wordt (van 2 naar 8 kg) dan wordt de uitrekking ook 4 zo groot. Als de massa 10 zo groot wordt (van 2 naar 20 kg) dan wordt de uitrekking ook 10 zo groot. d. zie tabel e. Het getal 0,60 geeft aan dat bij elke kg het touw 0,60 m uitrekt. f. u = 24 m, per kg 0,60 m dus m = 24/0,60 = 40 kg. 18
Evenredig of niet? a. Controleer of in de vier tabellen hieronder sprake is van een evenredig verband. b. Geef bij elke tabel die een evenredig verband weergeeft het hellingsgetal ("evenredigheidsconstante") en de formule. A x 2 4 8 C x 14 28 42 y 4 6 10 y 21 42 63 B
x y
10 0,6
50 3
90 5,4
D
x y
19 20
57 60
247 260
antwoorden a. A = niet evenredig maar lineair, B = evenredig, C = evenredig, D = evenredig. b. A x 2 4 8 C x 14 28 42 y 4 6 10 y 21 42 63 y/x 2 1,5 1,25 y/x -1,5 -1,5 -1,5 B
x 10 50 90 D x 19 57 247 y 0,6 3 5,4 y 20 60 260 y/x 0,06 0,06 0,06 y/x 1,053 1,053 1,053 Formules: A: y = x + 2 B: y = 0,06x C: y = -1,5x D: y = 1,053x.
19
Massa evenredig met het volume? In dit onderzoek gebruiken we twee verschillende stoffen, bijvoorbeeld zout en zand of hout en koper. Elk groepje krijgt van één van deze twee stoffen een bepaalde hoeveelheid en meet daarvan de massa en het volume. a. Noteer jouw metingen in de tabel voor A of B. b. Neem de resultaten van de andere groepjes over in de juiste tabel (A of B). c. Vergelijk de getallen in de tabel met elkaar. Is er nu sprake van een evenredig verband? Hoe zie je dat? massa m (gram) volume V (cm³) verhouding
m V
20 Experiment – De massaverhouding van ijzer en zuurstof Bij dit experiment is de onderzoeksvraag: In welke verhouding reageren ijzer en zuurstof met elkaar? Je krijgt weer een propje staalwol. Pluis het propje staalwol goed uit en leg het in het aluminiumfoliebakje. a. Weeg het bakje met de staalwol met de balans. Noteer de totale massa. b. Haal het bakje van de balans en steek het staalwol aan met een lucifer. Blaas voorzichtig over het staalwol totdat het ophoudt met gloeien. Weeg het bakje met de prop na afloop. Weeg als laatste het aluminiumbakje. c. Bereken hoeveel gram zuurstof heeft gereageerd met het propje staalwol. d. Noteer de resultaten in het schema op het bord. Neem enkele resultaten van je klasgenoten over in de onderstaande tabel. massa ijzer (gram) massa ijzeroxide (gram) massa zuurstof (gram) e. Vergelijk de metingen met elkaar. Is de verhouding waarmee ijzer met zuurstof reageert constant? Hoe groot is die verhouding ongeveer? Noteer het resultaat als 1 : massaverhouding zuurstof : ijzer = 1 : . . . . . In theorie zou er een massaverhouding van ijzer : zuurstof = 7 : 2 moeten uitkomen. Dat blijkt in de praktijk niet altijd zo te zijn. f. Geef redenen waarom de praktische uitkomst anders is dan de theoretische. 21
Evenredig? In welk van de onderstaande situaties kun je bij de berekening geen gebruik maken van een verhoudingstabel en dus niet spreken van een evenredig verband? a. Lisa van 3 jaar is 104 cm lang. Hoe lang is Anneke van 9 jaar? b. Het naar school brengen van 1 kind duurt 15 minuten. Hoe lang duurt het naar school brengen van 4 kinderen? c. Een pak melk van 1 liter bevat 1,5 gram vet. Hoeveel gram vet bevat een pak melk van 1,5 liter? d. Een doosje asperines in een 20-stuks verpakking kost € 1,29. Hoeveel kost een doosje asperines in een 50-stuks verpakking. e. De klusjesman rekent € 38,- per uur en € 25,- voorrijkosten. Hoeveel kost een klus van 6 uur?
antwoorden: a. De lengte is niet evenredig met de leeftijd. b. Niet evenredig. c. Evenredig, een pak melk van 1,5 liter bevat 1,5 zoveel = 2,25 gram vet. d. Als de prijs per aspirinetablet constant is: 2,51,29 = € 3,225 e. 6 38,- + 25,- = 253,22
Konijnenhok Anneke wil een hok maken voor haar konijnen. De konijnen hebben genoeg ruimte als de oppervlakte van de vloer 3,6 m2 is. Anneke heeft verschillende mogelijkheden voor lengte l en breedte b. a. Neem l = 6 meter. Hoe groot wordt b dan? b. Maak een tabel voor lengte en breedte. lengte l in meter breedte b in meter
0,4
1
2
3
4,5
6
Om het verband tussen lengte en breedte aan te geven kun je een formule gebruiken. c. Welke van de formules hieronder kun je gebruiken? A C
3, 6 l 3, 6 l= b
b=
B
l · b = 3,6
D
b = 3,6· l
antwoorden a. 3,6 / 6 = 0,6 m. b. Zie tabel lengte l in meter 0,4 1 2 3 4,5 breedte b in meter 9,0 3,6 1,8 1,2 0,8 c. Het is omgekeerd evenredig, formules A, B en C zijn juist. 23
6 0,6
Afstanden schaatsen voor amateurs Tijdens een schaatswedstrijd rijden sprinters de 500 m. Het gaat natuurlijk om de snelste tijd. De schaatser met de grootste gemiddelde snelheid heeft de minste tijd nodig. a. Bereken de tijd van Marianne die de 500 m rijdt met een gemiddelde snelheid van 10 m/s. b. Jan rijdt 1,2 keer zo snel als Marianne. Wat weet je van zijn tijd op de 500 meter? c. Neem de tabel hieronder over en vul in. tijd in seconden t 35 40 45 50 55 gem. snelheid in m/s v d. Maak voor het verband tussen t en v een formule. antwoorden a. 500 / 10 = 50 s. b. De tijd wordt 1,2 keer zo kort, dus 50 / 1,2 = 41,67 s. c. Zie tabel tijd in seconden t 35 40 45 50 55 gem. snelheid in m/s v 14,29 12,50 11,11 10,00 9,09
60
65
70
60 8,33
65 7,69
70 7,14
d. Omgekeerd evenredig, dus vt = constant = 500. Of: v= 500/t
24
Kamerpalm In een enorme bloempot van 75 cm hoog staat een kamerpalm. Onderin die bloempot staat altijd een laagje water van 5 cm. De aarde boven in de pot is veel droger dan de aarde onder in de pot. Hoe verder van het laagje water af hoe droger de grond. Op een hoogte van 35 cm boven het laagje water is het vochtgehalte ongeveer 8 %. Er bestaat een verband tussen het vochtgehalte p en de hoogte h boven het laagje water. In de tabel hieronder zie je de hoogtes in cm met bijbehorende vochtgehaltes in procenten. vochtgehalte p in % hoogte h in cm boven grondwater
4% 70
14% 20
20% 14
28% 10
40% 7
56% 5
a. Teken met de punten van de tabel een grafiek. Neem op de horizontale as het vochtgehalte p en op de verticale as de hoogte h. b. Aan de vorm van de grafiek kun je zien dat er een verband bestaat tussen p en h. Welk soort verband hoort bij deze grafiek? c. Bij het verband tussen p en h kun je drie formules maken. Maak deze formules. d. Bereken vochtgehalte p bij een hoogte h = 2. Geef commentaar op de uitkomst. e. De wortels van de kamerpalm hebben een vochtgehalte van 30% nodig. Hoe lang moeten de wortels minstens zijn? antwoorden a. Eigen tekening. b. Het lijkt op een omgekeerd evenredig verband. vochtgehalte p in % 4% 14% 20% 28% 40% 56% hoogte h in cm boven grondwater 70 20 14 10 7 5 280 280 280 280 280 280 product ph c. ph = 280; p = 280/h en h = 280/p d. Volgens de formule: p = 140%, maar dat kan niet juist zijn. e. 30 h = 280, dus h = 9,33 cm.
Rekenvaardigheid en samenhang 3 Formules en evenredigheid
De meeste verbanden die je in de natuurkunde tegenkomt zijn evenredig of omgekeerd evenredig. Daarmee bedoelen we dat als de ene grootheid n keer zo groot wordt, dat de andere grootheid dan ook n keer zo groot wordt (evenredig) of juist n keer zo klein wordt (omgekeerd evenredig). J Verhouding Het woord verhouding gebruiken we vaak om twee dingen met elkaar te vergelijken, zoals bij de schaaltekeningen. De schaal is dan b.v. 1:100. Als de verhouding tussen twee grootheden constant is dan zijn de grootheden evenredig met elkaar. Als de verhouding tussen twee grootheden constant is dan is ook de breuk van de twee grootheden constant. Bij 1:100 hoort 1 0,01 100
Constante verhouding Bij een evenredig verband nemen beide grootheden met dezelfde factor toe. Dat betekent dat de verhouding tussen beide grootheden constant is. De formule bij een evenredig verband wordt vaak geschreven als een breuk. Voorbeeld: De massa van een bepaalde stof is evenredig met de hoeveelheid (het volume). Als 20 cm³ een massa heeft van 54 gram, dan heeft 40 cm³ een massa van 108 gram.
massa 54 2,7 volume 20
en
108 2,7 40
De verhouding tussen massa en volume is constant, dat noemen we de dichtheid van de stof. De formule voor de dichtheid is dan ook:
m V
Andere formules met een constante verhouding zijn:
v
s t
C
F u
p
F A
R
U I
Bij een formule horen ook eenheden. Bij een constante verhouding hoort vaak een ‘per’-eenheid, zoals km/h, m/s, g/cm³, N/m², N/m. Het woordje „per‟ in gram per cm³ geeft in feite aan dat elke cm³ dezelfde massa heeft. K
Constant product In sommige situaties is niet de verhouding constant maar het product. Een voorbeeld daarvan is de elektrische huisinstallatie. Alle apparaten zijn in huis aangesloten op een spanning van U = 230 volt. Voor de stroomsterkte I door een apparaat met weerstand R geldt dan:
U I R Omdat de spanning constant is zal de stroomsterkte omgekeerd evenredig zijn met de weerstand van het apparaat. Drie of meer variabelen De meeste formules bevatten drie of meer variabelen. Om een verband tussen grootheden te herkennen is het nodig om te weten welke grootheid constant is. Zo kan de formule voor de snelheid ook geschreven worden als:
s vt
Deze formule kun je op twee manieren lezen: Als de snelheid constant is dan is de afgelegde afstand evenredig met de tijd. Hoe langer je fietst des te groter is de afstand die je aflegt. Als de afstand constant is dan is de tijd omgekeerd evenredig met de snelheid. Hoe harder je fietst des te korter duurt de rit. Formules waarbij je zowel een evenredig als een omgekeerdevenredig verband kunt herkennen zijn:
E Pt
P U I
F C u
De meeste formules zijn op meerdere manieren te schrijven.
3 Formules en evenredigheid Toepassingsopgaven
25
Snelheid, afstand en tijd De formule voor snelheid, afstand en tijd kan op twee manieren geschreven worden:
s v t
of
v
s t
Het zijn dezelfde formules, alleen op een andere manier geschreven. In de formule staan drie grootheden. We kijken eerst naar de situatie waarbij de afstand constant is, bijvoorbeeld als je van school naar huis fietst. a. Met welke formule kun je het makkelijkst de gemiddelde snelheid berekenen? b. Als je harder fietst ben je sneller thuis. Welk soort verband is er tussen de snelheid en de tijd? c. Hoe kun je aan de formules herkennen dat de tijd omgekeerd evenredig is met de snelheid? In een andere situatie is de snelheid constant. d. Hoe kun je aan de formules herkennen dat de afstand evenredig is met de tijd die je fietst? antwoorden: a. Met de formule v = s/t b. Omgekeerd evenredig. c. Bij de eerste formule is het product vt constant. Bij de tweede formule staat de tijd in de noemer, de snelheid wordt dus groter als de tijd kleiner is. In een andere situatie is de snelheid constant. d. Als je in de eerste formule een groter getal voor t invult dan wordt s evenredig groter. Bij de tweede formule zie je een constante verhouding, dus s is evenredig met t. 26
Spanning en stroomsterkte Bij een elektrisch apparaat hangt de stroomsterkte I af van de weerstand R en de spanning U. Voor de weerstand geldt dan:
R
U I
a. Leg uit hoe je aan deze formule kunt zien dat bij een constante weerstand de stroomsterkte evenredig is met de spanning. Deze formule kan ook geschreven worden als: U I R b. Hoe kun je aan deze formule zien dat bij een constante weerstand de stroomsterkte evenredig is met de spanning? c. Welk soort verband krijg je als de spanning U constant is? antwoorden: a. De verhouding is constant. Deze formule kan ook geschreven worden als: U I R b. Als je een grotere waarde voor I invult dan wordt U evenredig groter. c. Het product is dan constant, dus I is omgekeerd evenredig met R.
27
Verbanden herkennen Ilse en Stan sluiten verschillende lampjes parallel aan op een batterij. Hoe meer lampjes ze aansluiten des te groter wordt de stroomsterkte uit de batterij, en des te eerder is de batterij leeg. a. Is het verband tussen de het aantal lampjes dat aangesloten wordt en de tijd waarin de batterij leeg is recht evenredig of omgekeerd evenredig? In een gloeilamp zit een dun draadje dat door de elektrisch stroom warm wordt. Hoe dunner het draadje des te moeilijker wordt het om een stroom door het draadje te laten lopen. b. Is het verband tussen de dikte van het draadje (de oppervlakte van de doorsnede) en de stroom die door het draadje loopt recht evenredig of omgekeerd evenredig ? Bij een expander hangt de kracht waarmee je moet trekken af van de sterkte van de veer en de uitrekking van de veer. c. Is het verband tussen de uitrekking van de veer en de kracht waarmee je trekt recht evenredig of omgekeerd evenredig? Niels verandert het aantal elastieken in de expander, daardoor verandert de veerconstante van de expander. Hij trekt vervolgens steeds met evenveel kracht aan de expander. d. Is het verband tussen de sterkte van de veer (de veerconstante) en de uitrekking evenredig of omgekeerd evenredig? antwoorden: a. Omgekeerd evenredig. Meer lampjes betekent een kortere tijd. b. Evenredig. Een groter oppervlak geeft een grotere stroomsterkte. een expander hangt de kracht waarmee je moet trekken af van de sterkte van de veer en de uitrekking van de veer. c. Evenredig. Een grotere kracht geeft een grotere uitrekking. d. Omgekeerd evenredig. Bij een sterkere veer is de uitrekking kleiner.
28 Band oppompen Om je band hard op te pompen heb je een flinke kracht nodig. De luchtdruk in de band wordt gemeten in bar. Hoe hoger de druk moet zijn, des te meer kracht heb je nodig. a. Welk soort verband (evenredig of omgekeerd evenredig) is er tussen de kracht F en de druk p? Bij de pomp op de foto geldt dat voor een druk van 1,0 bar een kracht van 120 N nodig is. b. Hoe groot is de kracht om de band op te pompen tot 2,5 bar? De grootste kracht die het jongetje op de foto kan uitoefenen is als hij met zijn volle gewicht op de pomp duwt. Hij oefent dan een kracht van 400N uit. c. Bereken de maximale druk die hij met deze pomp kan bereiken. De band van een racefiets moet altijd heel hard opgepompt worden, dat geeft minder rolweerstand. Met een speciale pomp kan een druk van 8 tot 10 bar bereikt worden. Om zo‟n hoge druk te bereiken wordt een andere diameter gebruikt zodat de oppervlakte A van de zuiger verandert. Voor het verband tussen luchtdruk, kracht en oppervlakte geldt:
p
F A
d. Zal de oppervlakte A in de hogedrukpomp groter of kleiner zijn dan in een normale fietspomp? e. Schrijf de formule om naar een constant product. f. Welk soort verband is er tussen de oppervlakte A en de druk p die je kunt bereiken bij een constante kracht op de pomp? g. Welke „per‟-eenheid hoort er bij luchtdruk? Kijk naar de formule.
antwoorden: a. Evenredig. Een grotere kracht geeft een grotere druk. b. 2,5 zoveel, dus 1202,5 = 300 N. c. 400/120 = 3,33 zoveel = 3,3 bar. Zie tabel. kracht
120 N
luchtdruk
1,0 bar
p d. e. f. g. 29
400 N
F A
Voor een grotere p is een kleinere A nodig. F = p A Omgekeerd evenredig. Het product is constant. N/m² of N/cm². 1 bar = 100.000 N/m²
Benzineverbruik Een bepaalde personenauto verbruikt 5,7 liter benzine per 100 km bij een constante snelheid van 90 km/u. Het benzineverbruik is evenredig met de afstand. a. Hoeveel liter benzine is er nodig voor 1000 km? b. Welk getal hoort er in de formule aantal liter benzine = . . . . × aantal km? Het benzineverbruik neemt toe als de auto harder gaat rijden. Het verbruik is (ongeveer) evenredig met de snelheid. c. Met welke factor neemt de snelheid toe als de snelheid 120 km/h wordt? d. Wat wordt de formule bij een snelheid van 120 km/h? aantal liter benzine = . . . . × aantal km? antwoorden: a. 10 zoveel, dus 57 liter. b. 0,057 c. 120/90 = 1,33 d. De factor 0,057 wordt 1,33 maal zo groot, dus: aantal liter benzine = 0,076 × aantal km
Rekenvaardigheid en samenhang 4 Machtsfuncties als verband
Bij een serie metingen past soms een ander soort verband dan een van de standaard verbanden. Vaak kan het verband dan geschreven worden als een machtsfunctie. In feite zijn het evenredig verband en het omgekeerd evenredig verband ook machtsfuncties:
y a xn evenredig: y c x1 1 omgekeerd evenredig: y c x machtsfunctie:
De onderstaande voorbeelden gaan over het kwadratisch evenredig verband, het omgekeerd kwadratisch verband en het wortelverband (er zijn natuurlijk nog veel meer machtsfuncties, dit zijn de meest gebruikte). Verbanden kun je op verschillende manieren herkennen: 1 De vorm van de grafiek laat vaak zien om welk type verband het gaat. 2 Aan de getallen in de tabel kun je soms zien om welk type verband het gaat. 3 Met behulp van functiefit kan de computer het verband zoeken. 4 Met coördinatentransformatie kun je aan de grafiek goed zien of het verband goed past bij de meetpunten. L
Kwadratisch verband Bij een kwadratisch verband tussen twee grootheden geldt: Als de ene grootheid n zo groot wordt dan neemt de andere grootheid met een factor n² toe. Deze eigenschap kun je herkennen aan de getallen in de tabel. 1,25
1,67
1,2
grootheid v
12
15
20
25
30
grootheid s
3,5
5,7
9,7
15
23
1,63
2,63
1,53
Aan de getallen in de tabel is wel een beetje te herkennen om welk type verband het gaat, maar meestal is dat niet eenvoudig. De grafiek laat al iets beter zien dat het een kwadratisch verband is, maar dat wordt pas echt duidelijk als je weet dat de oorsprong ook een punt van de grafiek is. Het resultaat van functiefit is:
s 0,025 v 2
Deze formule kun je ook vinden door de coördinaten van een punt van de lijn in te vullen bij de vergelijking s = cv². Kwadratisch evenredig betekent in feite evenredig met het kwadraat. In dit voorbeeld zou dan s evenredig moeten zijn met v². Dat kun je onderzoeken met de tabel en de grafiek door eerst v² te berekenen. De grafiek krijgt dan een andere as, dat noemen we coördinatentransformatie. grootheid v²
144
225
400
625
900
grootheid s
3,5
5,7
9,7
15
23
De grafiek is duidelijk een rechte lijn, dus het is inderdaad een kwadratisch verband. Daarnaast is de helling van de lijn gelijk aan de constante in de formule.
M
Omgekeerd kwadratisch verband Bij een kwadratisch verband tussen twee grootheden geldt: Als de ene grootheid n zo groot wordt dan neemt de andere grootheid met een factor n² af. Deze eigenschap kun je herkennen aan de getallen in de tabel. 1,5
2,22
1,25
grootheid r
12
18
30
40
50
grootheid I
750
340
120
66
44
2,21
5,2
1,5
Aan de getallen in de tabel is het verband lastig te herkennen. De grafiek laat ook niet heel duidelijk zien dat het een omgekeerd kwadratisch verband is. Het resultaat van functiefit is:
1 r2
I 110.000
Omgekeerd kwadratisch evenredig betekent in feite evenredig met 1/kwadraat. In dit voorbeeld zou dan I evenredig moeten zijn met 1/r². Dat kun je onderzoeken met de tabel en de grafiek door eerst 1/r² te berekenen. De grafiek krijgt dan een andere as, dat noemen we coördinatentransformatie. grootheid
1 r2
grootheid I
0,0069
0,0044
0,0025
0,0016
0,0011
750
340
120
66
44
De grafiek is duidelijk een rechte lijn, het is een omgekeerd kwadratisch verband. Daarnaast is de helling van de lijn gelijk aan de constante in de formule. N
Wortelverband Bij een wortelverband tussen twee grootheden geldt: Als de ene grootheid n zo groot wordt dan neemt de andere grootheid met een factor n toe. Deze eigenschap kun je herkennen aan de getallen in de tabel. 2
2
1,25
grootheid ms
40
80
120
160
200
grootheid v
24,2
34,4
42,0
48,3
54,0
1,42
1,40
1,12
Aan de getallen in de tabel is wel een beetje te herkennen om welk type verband het gaat, maar meestal is dat niet eenvoudig. De grafiek laat al iets beter zien dat het een wortelverband is, maar alleen als de grafiek door de oorsprong gaat.. Het resultaat van functiefit is:
v 3,8 ms
Bij een wortelverband is v evenredig met ms. Dat kun je onderzoeken met de tabel en de grafiek door eerst ms te berekenen. grootheid ms
6,3
8,9
11,0
12,6
14,1
grootheid v
24,2
34,4
42,0
48,3
54,0
De grafiek is duidelijk een rechte lijn, dus het is inderdaad een wortelverband. Daarnaast is de helling van de lijn gelijk aan de constante in de formule.
O
Een machtfit op de GR Het zoeken van de beste functie bij een serie metingen wordt vaak met de computer gedaan, dat wordt functiefit of regressie genoemd. Programma‟s zoals Excel bieden een breed scala aan functies die daarvoor gebruikt kunnen worden. Ook de grafische rekenmachine kent enkele regressiemogelijkheden. Speciaal voor het SaLVO-project is het progamma MACHTFIT geschreven voor een functiefit met een machtsfunctie. Voor het programma machtfit is het noodzakelijk dat de gegevens in lijst L1 en L2 staan. Het programma kiest zelf het best passende window en tekent een plot van de punten.
Daarna vraagt het programma aan de gebruiker om de waarde van de exponent in de machtsfunctie zelf te kiezen: Y = A*X^N geef een schatting voor N In het bovenstaande voorbeeld is voor N de waarde 0,5 ingevuld. Dat blijkt een goed passende waarde te zijn. Wordt N = 0,4 of 0,6 gekozen dan past de lijn duidelijk niet goed bij de meetpunten.
4 Machtsfuncties als verband Toepassingsopgaven
snelheid vb (km/h)
remweg srem (m)
10
1,3
15
3,0
20
5,1
25
8,1
30 Remweg van een fiets Johan en Irene hebben de remmen van hun fiets getest. Dat hebben ze gedaan door bij verschillende snelheden de remweg van de fiets te meten. In de tabel zie je de resultaten van hun metingen. De meetpunten zijn ook getekend in de grafiek. Johan en Irene hadden van tevoren verwacht dat de remweg evenredig zou zijn met de snelheid, maar nu ze de grafiek getekend hebben trekken ze de conclusie dat hun idee niet klopt. a. Welke vorm zou de grafiek gekregen hebben als het een evenredig verband was geweest? b. Welk soort verband past bij deze grafiek? Bedenk daarvoor ook of de grafiek door de oorsprong zou moeten gaan. De buurman van Irene is politieagent. Hij beweert dat de remweg bij grote snelheden veel sterker toeneemt. “Een verdubbeling van de snelheid betekent dat de remweg vier keer zo groot wordt”. c. Past dat bij het verband dat je gekozen hebt? De formule die bij deze grafiek past is
srem c vb
2
d. Welke waarde heeft c ongeveer? Gebruik een van de meetpunten om c te snelheid vb (km/h) berekenen. e. Stel met behulp van functiefit een vergelijking op bij deze metingen. antwoorden: a. Een rechte lijn door de oorsprong. b. De grafiek lijkt een parabool, met de top in de oorsprong. Het is dus een kwadratisch veband. c. Ja. d. Bij v = 20 wordt c = 0,01275 e. srem = 0,013vb²
L (m)
P (W)
2
4,8∙103
5
29,4∙103
8
77,0∙103
15. Windmolen Bij experimenten met een windmolen is onderzocht hoe het door de windmolen geleverde vermogen P afhangt van de lengte L van de wieken. In de tabel hiernaast staan meetresultaten van L en P bij gelijke windsnelheid en dichtheid van de lucht. a. Ga aan de hand van de getallen in de tabel na welk verband hierbij past. b. Zet de metingen in je GR en teken een grafiek. Past de grafiek bij het verband dat je gekozen hebt? c. Stel met functiefit een formule van het verband op. antwoorden: a. L wordt 4 keer zo groot, dan wordt P 16 keer zo groot. Kwadratisch. b. Het lijkt bij een parabool te passen. c. P = 1,20·105×L
r
16. Brandende Lamp De verlichtingssterkte door lamplicht is kleiner naarmate je verder van een lamp zit. Het licht wordt verdeeld over alle plekken op dezelfde afstand van de lamp. Hoe verder weg, hoe groter het boloppervlak waarover het licht verdeeld wordt. Voor de oppervlakte van een bol geldt:
r
A 4 r 2
lamp
r
r
bolvormige verspreiding
De verlichtingssterkte volgt dit principe: als dezelfde hoeveelheid licht verdeeld wordt over een 4 keer zo groot oppervlak, wordt de verlichtingssterkte 4 keer zo klein. Op een afstand van 100 cm m is de verlichtingssterkte 42 lux a. Hoe groot is de verlichtingssterkte op een afstand van 2 meter? b. Hoe groot wordt de verlichtingssterkte als je de afstand 15 meter maakt? c. Op welke afstand is de verlichtingssterkte 64 keer zo klein? d. Op welke afstand is de verlichtingssterkte 100 keer zo groot? e. Stel een formule op voor de verlichtingssterkte I tegen de afstand r. Antwoorden: f. Vier keer zo klein, dus 10,5 lux.
g. h. i. j.
oogpunt
zic
htb aa r
on zic
htb aa r
horizon
aardbol
ooghoogte h (in m) 10,0 13,0 16,0 19,0 22,0 61,0 64,0 67,0
horizonafstand d (in km) 11,0 12,5 14,0 15,2 16,4 27,3 28,0 28,6
15² maal zo klein, dus 42/225 = 0,19 lux. Als de afstand 8 maal zo groot is, dus op 8,0 m. Als de afstand 10 maal zo klein is, dus op 10 cm. I = 42 / r².
45. Uitzicht op de horizon Als je hoog staat, kun je meer zien. Als je vanaf een vuurtoren over zee kijkt, is ook de horizon veel verder weg dan wanneer je op het strand staat. Omdat de aarde een bol is, kun je altijd maar een beperkt stuk van de aarde zien, hoe hoog je ook staat. De horizon geeft de grens aan. In de tabel staat de afstand d (in km) tot de horizon aangegeven bij verschillende ooghoogten boven het aardoppervlak h (in m). De hoogten zijn die van enkele verdiepingen van een hotel op de boulevard met uitzicht op zee. De gegeven afstanden zijn afgeronde getallen. a. Hoe kun je aan de getallen in de tabel zien dat de horizonafstand d niet evenredig is met de ooghoogte h? Licht dat toe met een voorbeeld uit de tabel. b. Op een dubbele hoogte kun je niet twee keer zo ver zien. In de tabel komen de hoogtes 16,0 en 64,0 m voor. Met welke factor neemt de horizonafstand dan toe? c. Hoe groot wordt de horizonafstand op een hoogte die nog eens 4 keer zo groot is, dus op 256 m? d. Wat voor soort verband past hierbij? e. Zoek bij dit verband een passende formule d = ……… antwoorden: f. Als h bijvoorbeeld 6,4 maal zo groot wordt dan wordt d slechts 2,5 keer zo groot. g. Factor 2. h. Twee keer zo groot, dus 56 km. i. Een wortelverband. j. d = 7,0·h.
Planeet
Afstand tot de zon R ( in AE )
Mercurius Venus Aarde Mars Jupiter Saturnus Uranus Netunus Pluto
0,387 0,732 1,000 1,524 5,203 9,539 19,182 30,058 39,439
46. Planetenbanen Johannes Kepler bepaalde in de 17e eeuw van elke planeet de afstand tot de zon en de omlooptijd (zie tebel). Hij zocht naar een verband tussen de afstand van de planeten tot de zon R en de omloopstijd T. In de tabel is de afstand tot de zon genoteerd in de eenheid Astronomische Eenheid, dat is 1,5∙1011 m, gelijk aan de afstand van de aarde tot de zon. Omlooptijd T k. Is de omlooptijd evenredig met de afstand? Ga dat na aan de hand n de getallen in de tabel. ( in dagen ) 1, 5
88 225 365 687 4330 10800 30700 60200 91300
Kepler vond dat de omlooptijd evenredig is met R . In de tabel zie je dat bij Neptunus de afstand R 30 zo groot is als die van de aarde. l. Hoeveel keer zo groot moet dan de omlooptijd worden? m. Controleer in de tabel of dat klopt. n. Ga met functiefit na of de formule T c R1,5 past bij de getallen. o. Bepaal de waarde van c. antwoorden: a. Nee, zo is bij Neptunus R ongeveer 30 zo groot als bij de aarde, T is 165 maal zo groot. 1, 5
Kepler vond dat de omlooptijd evenredig is met R . In de tabel zie je dat bij Neptunus de afstand R 30 zo groot is als die van de aarde. b. 301,5 = 164 c. het is 165 maal zo groot. d. Gebruik machtfit of functiefit. De formule klopt. e. c = 365 (zie b.v. de aarde). 31
spanmassa mspan (g)
golfsnelheid vg (m/s)
40
24,2
50
27,0
60
29,6
70
32,4
80
34,4
90
36,2
100
37,5
110
40,3
120
42,0
130
44,0
140
44,8
150
46,3
160
48,3
170
49,7
180
51,3
190
53,0
200
54,0
Golfsnelheid in een snaar Bij een onderzoek naar de golfsnelheid vg in een snaar wordt de spanning in de snaar bepaald door een gewichtje mspan (de spanmassa) via een katrol.
De resultaten van het onderzoek staan in de tabel hiernaast. Van de metingen is ook een grafiek gemaakt. a. Om wat voor soort verband denk je dat het hier gaat? b. Je gaat nu een coördinatentransformatie toepassen. Welke grootheid moet er op de horizontale as komen? Om het rekenwerk te beperken neem je niet alle meetpunten. Gebruik de onderstaande waarden, noteer de nieuwe grootheid in de tabel en teken de grafiek. mspan (g) vg (m/s) 40 24,2 80 34,4 120 42,0 160 48,3 200 54,0 c. Geef de formule voor het verband. antwoorden. a. Een wortelverband. b. De wortel van de spanmassa.
