V. Mechanika tuh´ eho tˇ elesa Z´ akladn´ı pojmy: Definice tuh´eho tˇelesa, charakteristika ot´ aˇciv´eho a posuvn´eho pohybu, pˇrenos p˚ usobiˇstˇe s´ıly v tuh´em tˇelese, moment s´ıly vzhledem k ose – velikost i smˇer, skl´ad´ an´ı moment˚ u sil, momentov´a vˇeta, p´ aka, kladka – pevn´ a i voln´ a, naklonˇen´a rovina, kolo na hˇr´ıdeli, skl´ad´ an´ı r˚ uznobˇeˇzn´ ych sil p˚ usob´ıc´ıch na tuh´e tˇeleso, skl´ad´ an´ı rovnobˇeˇzn´ ych sil p˚ usob´ıc´ıch v r˚ uzn´ ych bodech tuh´eho tˇelesa, dvojice sil a jej´ı moment, tˇeˇziˇstˇe tˇelesa, rovnov´ aˇzn´a poloha tˇelesa a jej´ı stabilita, moment setrvaˇcnosti tˇelesa vzhledem k ose, kinetick´a energie rotuj´ıc´ıcho tˇelesa
´ Ulohy: Pˇ r´ıklad 1. Urˇcete velikost a polohu v´ yslednice sil (v´ ypoˇctem, pokud um´ıte, zkuste to t´eˇz konstrukc´ı):
5N 2N 10,5 cm / F = 7 N, p˚ usobiˇstˇe 7,5 cm odleva / Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: Oznaˇcme l = 10,5 cm d´elku u ´ seˇcky. V´ ysledn´a s´ıla bude m´ıt velikost (skl´ad´ ame dvˇe s´ıly stejn´eho smˇeru i orientace) F = F1 + F2 = (5 + 2) N = 7 N. Polohu tˇeˇziˇstˇe urˇc´ıme tak, ˇze v´ ysledn´a s´ıla F mus´ı m´ıt vzhledem k libovoln´emu bodu na u ´ seˇcce stejn´ y moment. Oznaˇcme x vzd´alenost tˇeˇziˇstˇe od s´ıly F2 = 5 N a poˇc´ıtejme momenty sil vzhledem k prav´emu krajn´ımu bodu. S´ıla F1 m´a vzhledem k nˇemu moment M1 = F1 · l s´ıla F2 m´a moment
M2 = F2 · 0 = 0 N . m,
nebot’ rameno t´eto s´ıly vzhledem ke zvolen´e ose je nulov´e. Moment v´ ysledn´e s´ıly F je M = Fx Mus´ı platit, ˇze M1 + M2 = M F1 l + 0 = F x F1 l = 3 cm. x= F Vzd´alenost tˇeˇziˇstˇe je tedy 3 cm odprava, resp. 7,5 cm odleva. 1
Pˇ r´ıklad 2. Urˇcete velikost a polohu v´ yslednice sil v´ ypoˇctem (a um´ıte-li, i konstrukc´ı): / F = 3 N, p˚ usobiˇstˇe 2,7 cm odleva /
4N 8,0 cm 1N Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: V´ yslednice bude m´ıt velikost F = F1 − F2 = 3 N. Oznaˇcme x vzd´alenost tˇeˇziˇstˇe odleva a zvolme kladn´ y smˇer ot´aˇcen´ı proti smˇeru hodinov´ ych ruˇciˇcek. Moment v´ yslednice sil vzhledem k libovoln´emu bodu mus´ı b´ yt stejn´ y jako souˇcet moment˚ u sil F1 = 4 N a F2 = 1 N. Zvolme za tento bod lev´ y krajn´ı. Potom M1 + M2 = M 0 − F2 l = F x (znam´enko − odpov´ıd´ a tomu, ˇze s´ıla F2 rozt´aˇc´ı u ´ seˇcku kolem lev´eho krajn´ıho bodu po smˇeru hodinov´ ych ruˇciˇcek, tedy v z´aporn´em smˇeru podle naˇs´ı volby). Odtud F2 x = − l = −2,66 cm F V´ ysledn´a s´ıla m´a tedy p˚ usobiˇstˇe mimo u ´ seˇcku, 2, 66 cm vlevo do jej´ıho lev´eho kraje. Pˇ r´ıklad 3. Hmotnost z´ avaˇz´ı je 12 kg a hmotnost nosn´ıku 1,0 kg. Urˇcete s´ıly p˚ usob´ıc´ı na obˇe podpˇery. 40 cm
60 cm /F1 = 83, 4 N, F2 = 44, 1 N /
2
Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: Oznaˇcme m1 = 12 kg (hmotnost z´ avaˇz´ı), l1 = 40 cm (vzd´alenost z´avaˇz´ı od lev´e podpˇery) a m2 = 1kg (hmotnost nosn´ıku), l2 = 60 cm (d´elku nosn´ıku). S´ıly F1 (podpˇera vlevo) a F2 (podpˇera vpravo) mus´ı vyrovn´avat t´ıhovou s´ılu FG1 p˚ usob´ıc´ı na z´ avaˇz´ı a t´ıhovou s´ılu FG2 p˚ usob´ıc´ı na nosn´ık a to tak, aby v´ yslednice sil byla nulov´ a a nulov´ y byl tak´e moment k libovoln´emu bodu na nosn´ıku. Nosn´ık m´ a tˇeˇziˇstˇe ve sv´em stˇredu, z´ avaˇz´ı povaˇzujeme za hmotn´ y bod. Podm´ınky rovnov´ ahy m˚ uˇzeme ps´at ve tvaru F1 + F2 − FG1 − FG2 = 0 M1 + M2 + MG1 + MG2 = 0 pˇriˇcemˇz bod, ke kter´emu budeme poˇc´ıtat momenty, si m˚ uˇzeme volit libovolnˇe. Vezmˇeme tˇreba lev´ y krajn´ı a jako kladn´ y smˇer ot´aˇcen´ı volme proti smˇeru hodinov´ ych ruˇciˇcek. Potom M1 = 0, M2 = F2 l2 , MG1 = −FG1 l1 a MG2 = −FG2 l2 /2, a tedy l2 F2 l2 − FG1 l1 − FG2 = 0 2 a odtud 2FG1 l1 + FG2 l2 F2 = 2l2 F2 =
2m1 gl1 + m2 gl2 . = 83,4 N. 2l2
S´ılu F1 urˇc´ıme z prvn´ı rovnice . F1 = FG1 + FG2 − F2 = m1 g + m2 g − F2 = 44,1 N. Pˇ r´ıklad 4. Hranol se ˇctvercovou podstavou m´a hmotnost 16 kg a hranu a = 10 cm. Hranol s podstavou tvaru rovnostrann0ho troj´ uheln´ıka m´ a stejnou hmotnost a hranu tak´e 10 cm. Oba chceme pˇrevr´ atit kolem osy o v naznaˇcen´em smˇeru. Kter´ y m´a vˇetˇs´ı stabilitu?
o
o
/W1 =3,25 J, W2 =4,53 J, trojbok´ y hranol je stabilnˇejˇs´ı / Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: Abychom hranoly pˇrevalili, staˇc´ı je postavit na ˇspiˇcku. √ V pˇr´ıpadˇe hranolu zvedneme tˇeˇziˇstˇe z v´ yˇsky a/2 (polovina hrany) do v´ yˇsky a 2/2 (polovina u ´hlopˇr´ıˇcky) a vykon´ ame tak pr´ aci a √ . W1 = mg ( 2 − 1) = 3,25 J. 2
3
√
V druh´em pˇr´ıpadˇe trojbok´eho hranolu mus´ıme zvednout tˇeˇziˇstˇe z v´ yˇsky a 6 3 √ (tˇretina v´ yˇsky tˇeˇznice v rovnostrann´em troj´ uheln´ıku) do v´ yˇsky a 3 3 (dvˇe tˇretiny v´ yˇsky tˇeˇznice v rovnostrann´em troj´ uheln´ıku), vykon´ ame tedy pr´ aci √ a 3 . W2 = mg (2 − 1) = 4,53 J. 6 Na pˇrevalen´ı trojbok´eho hranolu je nutn´ a vˇetˇs´ı pr´ ace, je tedy stabilnˇejˇs´ı. Pˇ r´ıklad 5. Na konci v´alcov´e tyˇce d´elky 0,8 m je pˇripevnˇena koule o polomˇeru 0,1 m tak, ˇze jej´ı stˇred leˇz´ı na pod´eln´e ose tyˇce. Koule m´a dvakr´ at vˇetˇs´ı hmotnost neˇz tyˇc, obˇe tˇelesa jsou ze stejn´eho materi´alu. Urˇcete graficky i v´ ypoˇctem polohu tˇeˇz´ıˇstˇe t´eto soustavy tˇeles.
/ x =0,73 m odleva / Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: Oznaˇcme x vzd´alenost tˇeˇziˇstˇe od lev´eho kraje tyˇce. Tˇeˇziˇstˇe je m´ıstem, kde p˚ usob´ı v´ yslednice t´ıhov´ ych sil p˚ usob´ıc´ıch na tyˇcku a kouli. Na tyˇcku p˚ usob´ı t´ıhov´ a s´ıla FG1 = mg ve vzd´alenosti l/2 = 0,4 m od lev´eho konce tyˇcky, na kouli p˚ usob´ı t´ıhov´ a s´ıla FG2 = 2mg ve vzd´alenosti l + r = (0, 8 + 0, 1) m = 0,9 m od lev´eho konce tyˇcky. V´ yslednice obou sil bude m´ıt velikost F = y moment. Zvolme za FG1 + FG2 = 3mg a mus´ı m´ıt k libovoln´emu bodu stejn´ tento bod lev´ y kraj tyˇcky. Pak M1 + M2 = M FG1
l + FG2 (l + r) = F x 2
po dosazen´ı dostaneme l mg + 2mg (l + r) = 3mgx 2 a po zkr´ acen´ı mg m´ame l + 2l + 2r = 3x 2
/·2
l + 4l + 4r = 6x 5l + 4r . x= = 0,73 m 6 Pˇ r´ıklad 6. V´ alec o polomˇeru 8,0 cm se val´ı bez prokluzov´ an´ı po vodorovn´e podloˇzce rychlost´ı 6,0 m.s−1 . Jeho celkov´ a kinetick´ a energie je 40,5 J. Urˇcete moment setrvaˇcnosti v´alce a dobu jedn´e ot´aˇcky. / J =4,8· 10−3 kg.m2 , 0,084 s/ 4
Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: (Pˇredpokl´ ad´ ame, ˇze v´alec je pln´ y a homogenn´ı.) Plat´ı, ˇze Ek =
1 1 mv 2 + Jω 2 2 2
kde J = 12 mr2 , kde r je polomˇer v´alce a m jeho hmotnost. Po dosazen´ı do pˇredchoz´ıho vztahu m´ ame, ˇze Ek =
1 1 1 mv 2 + · mr2 · ω 2 2 2 2
a protoˇze (rω) = v, m´ame Ek =
1 1 3 mv 2 + mv 2 = mv 2 . 2 4 4
Odtud m˚ uˇzeme vyj´ adˇrit hmotnost v´ alce jako m=
4Ek 3v 2
a pro moment setrvaˇcnosti dostaneme, ˇze J=
1 2 2Ek 2 . mr = r = 0,0048 kg . m2 2 3v 2
Bˇehem jedn´e ot´aˇcky uraz´ı v´ alec dr´ ahu 2πr. Dobu jedn´e ot´aˇcky m˚ uˇzeme tedy vypoˇc´ıst takto: 2πr . = 0,084 s. T = v Pˇ r´ıklad 7. Urˇcete nejmenˇs´ı poˇcet n ot´ aˇcek, na kter´e je tˇreba roztoˇcit setrvaˇcn´ık aval pr˚ umˇern´ y o momentu setrvaˇcnosti 305kg.m2, aby po dobu 10 minut dod´ v´ ykon 25 kW. / n=50 s−1 / Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: Poˇcet ot´aˇcek (za sekundu) n je vlastnˇe tot´eˇz, co frekvence f pˇri pohybu po kruˇznici libovoln´eho bodu na setrvaˇcn´ıku. Po dobu deseti minut setrvaˇcn´ık dod´ a energii E = Pt Jeho energie je kinetickou energi´ı rotaˇcn´ıho pohybu, pro kterou plat´ı E = Ek =
1 2 1 Jω = J(2πf )2 = 2π 2 Jf 2 2 2
Porovn´ an´ım obou vztah˚ u m´ ame 2π 2 Jf 2 = P t f=
Pt . . = 49,9 s−1 = 50 Hz 2π 2 J
5
Pˇ r´ıklad 8. Kladka (povaˇzovan´ a za homogenn´ı v´ alec) m´a polomˇer r = 10 cm a hmotnost m1 = 200 g. Na n´ı je navinuto lano, k nˇemuˇz je pˇriv´ az´ano z´avaˇz´ı ym zrychlen´ım se bude pohybovat z´ avaˇz´ı dol˚ u? o hmotnosti m2 = 800 g. S jak´ Jak´a bude tahov´ a s´ıla na lano? Odpor prostˇred´ı je zanedbateln´ y.
m1
m2 / a =8,7 m.s−2 , F =0,87 N / Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: Potenci´ aln´ı t´ıhov´ a energie z´avaˇz´ı se bude mˇenit na kinetickou energii z´avaˇz´ı a kladky. Pˇri poklesu o v´ yˇsku h z´avaˇz´ı ztrat´ı potenci´ aln´ı energii Ep = m2 gh a z´avaˇz´ı i kladka z´ıskaj´ı energii kinetickou Ek =
v2 1 1 1 11 1 1 m2 v 2 + Jω 2 = m2 v 2 + m1 r 2 2 = m2 v 2 + m1 v 2 2 2 2 22 r 2 4
Protoˇze podle z´ akona zachov´ an´ı mechanick´e energie je Ep = Ek po dosazen´ı m´ame vztah m2 gh =
1 1 m2 v 2 + m1 v 2 2 4
Protoˇze pohyb z´ avaˇz´ı je rovnomˇernˇe zrychlen´ y, plat´ı: h=
1 2 at , 2
v = at
Po dosazen´ı do pˇredchoz´ıho vztahu dostaneme 1 1 1 m2 g · at2 = m2 a2 t2 + m1 a2 t2 2 2 4 odkud po zkr´ acen´ı 12 at2 dostaneme vztah 1 m2 g = m2 a + m1 a 2 6
2m2 g = 2m2 a + m1 a 2m2 g = (2m2 + m1 )a a=
2m2 g . = 8,7 m . s−2 . 2m2 + m1
V´ ysledn´a s´ıla p˚ usob´ıc´ı na z´ avaˇz´ı mus´ı m´ıˇrit svisle dol˚ u a m´ıt velikost F = m1 a S´ıla nap´ınaj´ıc´ı vl´ akno tak m´ a velikost . FG − F = m1 g − m1 a = 0,87 N Pˇ r´ıklad 9. Soustava tˇeles na obr´ azku je v rovnov´aˇzn´e poloze. Tˇeleso o hmotnosti m1 =300 g je zavˇeˇseno na voln´e kladce, jej´ıˇz hmotnost je m2 =250 g je zavˇeˇseno v bodˇe B na homogenn´ı tyˇci d´elky d = |AO| = 80 cm podepˇren´e v bodˇe O. Jej´ı hmotnost je m4 =150 g. Urˇcete vzd´alenost x = |AB|, v n´ıˇz je na tyˇci zavˇeˇseno z´avaˇz´ı m2 .
x B
m3
m4
O
A m2
m1 / x =0,48 m / Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: DOPLNIT
Pˇ r´ıklad 10. Na dvou pruˇzin´ach s tuhostmi k1 = 20 N.cm−1 a k2 = 30 N.cm−1 je vodorovnˇe zavˇeˇsena tyˇcka zanedbateln´e hmotnosti o d´elce l =10 cm. Kam je tˇreba zavˇesit z´avaˇz´ı Z, aby tyˇcka byla opˇet ve vodorovn´e poloze? / x=6 cm od prvn´ı pruˇziny / Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: DOPLNIT Pˇ r´ıklad 11. Po naklonˇen´e rovinˇe, sv´ıraj´ıc´ı s vodorovn´ ym smˇerem u ´ hel α, se zaˇcne z klidu valit bez prokluzov´ an´ı koule o polomˇeru r a hmotnosti m. S jak´ ym se pohybuje zrychlen´ım? Jakou a, jestliˇze jej´ı tˇeˇziˇstˇe klesne o v´ yˇsku rychlost z´ısk´ h?
/ a = 57 g sin α,
v=
10 7 gh
/
7
Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: Moment setrvaˇcnosti pln´e homogenn´ı koule je 2 2 mr 5
J=
Ve chv´ıli, kdy tˇeˇziˇstˇe koule klesne o v´ yˇsku h, uraz´ı koule vzd´ alenost s = ztrat´ı potenci´ aln´ı energii Ep = mgh.
h sin α
a
Naopak z´ısk´ a kinetickou energii (posuvnou i rotaˇcn´ı), pro kterou plat´ı Ek =
1 1 1 12 2 2 1 1 7 mv 2 + Jω 2 = mv 2 + mr ω = mv 2 + mv 2 = mv 2 2 2 2 25 2 5 10
Po dosazen´ı do rovnosti Ep = Ek 7 mv 2 10 7 2 v gh = 10
mgh =
Odtud vypl´ yv´ a, ˇze
(∗)
10 gh. 7 Koule kon´ a pohyb rovnomˇernˇe zrychlen´ y, plat´ı tedy v=
v = at,
h = s sin α =
1 2 at sin α 2
Dosazen´ım do vztahu (∗) dostaneme, ˇze 7 2 2 1 a t g · at2 sin α = 2 10 odkud po zkr´ acen´ı a u ´ pravˇe dostaneme, ˇze a=
5 g sin α. 7
Pˇ r´ıklad 12. Homogenn´ı sloup v´ yˇsky l a hmotnosti m je √ uˇr´ıznut tˇesnˇe nad zem´ı. S jakou rychlost´ı dopadne jeho ˇspiˇcka na zem? / v = 3gl / Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: Pˇri p´ adu jeho tˇeˇziˇstˇe klesne o l/2 (tˇeˇziˇstˇe je v polovinˇe v´ yˇsky sloupu), jeho potenci´ aln´ı energie klesne o hodnotu Ep = mgh = mg
l 2
Naopak z´ısk´ a energii kinetickou (rotaˇcn´ıho pohybu), kter´ a tˇesnˇe pˇred n´ arazem na zem ˇcin´ı (v je rychlost koncov´eho bodu tyˇcky) Ek =
1 2 1 v2 Jω = J 2 2 2 l 8
V˚ uˇci ose ot´aˇcen´ı na konci tyˇce m´a sloup moment setrvaˇcnosti J=
1 2 ml 3
po dosazen´ı do vztahu v´ yˇse m´ame Ek =
1 1 2 v2 1 · ml 2 = mv 2 2 3 l 6
Protoˇze Ep = Ek mg
1 l = mv 2 2 6
dost´av´ ame v=
3gl
Pˇ r´ıklad 13. Na korbˇe n´akladn´ıho auta stoj´ı v´ alec o v´ yˇsce 1, 6 m s kruhovou z´akladnou o pr˚ umˇeru 40 cm. V˚ uz m´a jet po vodorovn´e silnici tak, aby se v´ alec nepˇrevrhl. Podlaha je tak drsn´ a, ˇze v´alec po n´ı neklouˇze. Urˇcete s jak´ ym zrychlen´ım m˚ uˇze ˇridiˇc jet na vodorovn´em u ´ seku silnice. Jakou rychlost´ı m˚ uˇze jet rovnomˇernˇe v kruhov´e zat´aˇcce o polomˇeru 30 m? / a <2,45 m.s−2 , v < 30,9 km.s−1 / Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: 1. Na rovn´e silnici mus´ı jet s takov´ ym maxim´aln´ım zrychlen´ım, aby t´ıhov´ a s´ıla a setrvaˇcn´a s´ıla mˇely vzhledem k ose proch´ azej´ıc´ı krajem podstavy v´ alce stejn´ y moment. Tedy FG
d h = Fs 2 2
FG d = Fs h a po dosazen´ı mgd = mah a=g
d . 1 . = g = 2,45 m . s−2 . h 4
2. Stejn´ y vztah FG d = Fs h a. Po pouˇzijeme i pro v´ ypoˇcet v zat´aˇcce, kde Fs je s´ıla (setrvaˇcn´a) odstˇrediv´ dosazen´ı v2 mgd = m h r odkud vypl´ yv´ a, ˇze rgd . . v= = 8,6 m/s = 30,9 km/h. h 9
Pˇ r´ıklad 14. Vypoˇctˇete, jak mus´ı b´ yt klopena silnice v kruhov´e zat´aˇcce o polomˇeru 100 m, aby pneumatiky automobilu jedouc´ıho st´alou rychlost´ı 54 km.h−1 tlaˇcily na vozovku kolmo. / α = 12,9◦ . / Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: N´ aklon α mus´ı b´ yt roven odklonu v´ yslednice odstˇrediv´e s´ıly a t´ıhov´e s´ıly od svisl´eho smˇeru. Protoˇze jsou to s´ıly na sebe kolm´e, plat´ı, ˇze 2
m vr v2 Fs = tg α = = FG mg rg odtud
. tg α = 0, 229
a tedy
. α = 12, 9◦.
Pˇ r´ıklad 15. Tr´ am m´a d´elku 4, 0 m a hmotnost 40 kg. Urˇcete hodnotu s´ıly F , adejme, kter´a jej udrˇz´ı v rovnov´ aze v situaci podle obr´ azku, je-li α = 40◦ . Pˇredpokl´ ˇze tˇren´ı znemoˇzn ˇ uje podklouznut´ı v bodˇe dotyku s podloˇzkou.
F
α
FG / F =150 N / y momenty Struˇcn´e ˇreˇsen´ı: V˚ uˇci leˇz´ıc´ımu konci mus´ı m´ıt s´ıly FG a F stejnˇe velk´ MG a M . Plat´ı, ˇze M = Fl a
l MG = FG cos α 2
Z rovnosti M = MG vypl´ yv´ a, ˇze l F l = mg cos α 2 a po zkr´ acen´ı l F =
1 mg cos α 2 10
odkud dost´ av´ ame
. F = 150,3 N.
11
