Fejezet tartalma
Vissza 286
Tartalomjegyzék
Összefoglaló gyakorlatok és feladatok
V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5.1. Halmazok, relációk, függvények 1. Bizonyítsd be, hogy ha A és B két tetszőleges halmaz, akkor a) P(A) ∪ P(B ) ⊆ P(A ∪ B ) ; b) P(A) ∪ P(B ) pontosan akkor egyenlő P(A ∪ B ) -vel, ha A ⊆ B vagy B ⊆ A ; c) P(A) ∩ P(B ) = P(A ∩ B ) . 2. A racionális számok halmazán értelmezzük az r = ( , ,G ) relációt, ahol G = {(x , y ) x , y ∈ , x − y ∈ } . Bizonyítsd be, hogy az r reláció egy ekvivalencia reláció és az r szerinti ekvivalencia osztályok / r halmaza bijektíven leképezhető a [0, 1) intervallumra. 3. Az E = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} halmazon értelmezzük a ρ relációt a következő
összefüggéssel: x ρy ⇔ x 2 + y 2 − 3x − 5y + 8 = 0 . Határozd meg a reláció grafikonját, az x = 1 elem szerinti metszetét és tanulmányozd a reflexivitást a szimmetriát és a tranzitivitást. 4. Határozd meg az a paraméter értékét úgy, hogy a valós számok halmazán reláció ekvivalencia reláció értelmezett x ρ y ⇔ x 3 − 3x = y 3 − ay , ∀ x , y ∈ legyen. Határozd meg ebben az esetben az ekvivalencia osztályokat is. 5. Hány ekvivalencia reláció értelmezhető egy 4 elemű halmazon? 6. Hány teljes rendezés értelmezhető egy n elemű halmazon? 7. Bizonyítsd be, hogy ha f : → egy függvény, akkor a ρ = ( , ,G ) , G = {(x , y ) ∈
2
f (x ) = f (y )} reláció egy ekvivalencia reláció.
8. Az E = {a, b, c, d } halmaz részhalmazain értelmezzük a következő relációt: X ρY ⇔ X ∪ A = Y ∪ A , ∀ X ,Y ∈ P(E ) , ahol A = {a, b} . Ekvivalencia reláció-e ez a reláció és ha az, akkor határozd meg az ekvivalencia osztályokat. Mit állíthatsz tetszőleges E és A ⊂ E esetén? 9. Az X = (0, 1) ∩ halmazon értelmezzük a ρ = (X , X ,G ) relációt a következő x x ′ összefüggéssel: G = , ∈ X × X x + y = x ′ + y ′, x ≤ x ′ . Bizonyítsd be, y y ′ ρ reláció egy rendezés az X halmazon! hogy a 10. Számítsd ki az X = {1, 2, 3} halmazon értelmezett ρ = (X , X ,G ) és τ = (X , X , H ) relációk összetevését, ahol G = {(1, 2),(2, 1)} és H = {(1, 3),(3, 1)} . Igazold, hogy a két reláció szimmetrikus de az összetett reláció nem szimmetrikus. 11. Számítsd ki az X = {1, 2, 3} halmazon értelmezett ρ = (X , X ,G ) és τ = (X , X , H ) relációk összetevését, ahol G = {(1, 2),(3, 1),(3, 2)} és H = {(1, 2),(1, 3),(2, 3)} . Bizonyítsd be, hogy a két reláció tranzitív de az összetett reláció nem tranzitív.
Fejezet tartalma
Tartalomjegyzék
Összefoglaló gyakorlatok és feladatok
287
12. Az E = {1, 2, 3} és F = {1, 3, 4} halmazokon értelmezzük a ρ = (E , F ,G )
relációt, ahol G = {(1, 1),(1, 4),(2, 1),(2, 3),(3, 3)} . Írd fel a ρ −1 relációt majd számítsd ki a ρ ρ −1 és ρ −1 ρ relációkat. 13. Igaz-e a következő implikáció, ha ρ, τ és φ relációk az E halmazon:
[ρ φ ⇔ τ φ ] ⇒ [ρ ⇔ τ ] . 14. Az természetes számok halmazán értelmezzük a következő relációt: x ρy ⇔ ∃ m ∈ : x = 2m ⋅ y , ∀ x , y ∈ . Bizonyítsd be, hogy a ρ reláció egy ekvivalencia reláció és határozd meg az ekvivalencia osztályokat! 15. Bizonyítsd be, hogy ha M és N két halmaz és f : M → N egy függvény, akkor a következő állítások egyenértékűek: a) ∀ a, b ∈ M esetén a ≠ b ⇒ f (a ) ≠ f (b) ; b) ∀ L halmaz és g, h : L → M különböző függvények esetén f g ≠ f h ; c) Ha A ⊂ M és A ≠ ∅ , akkor f (M \ A) ⊂ N \ f (A) . 16. Bizonyítsd be, hogy ha M és N két halmaz és f : N → M egy függvény, akkor a következő állítások egyenértékűek: a) ∀ b ∈ M esetén ∃ a ∈ N úgy, hogy f (a ) = b ; b) ∀ L halmaz és g, h : M → L különböző függvények esetén g f ≠ h f ; c) Ha A ⊂ N és A ≠ ∅ , akkor M \ f (A) ⊂ f (N \ A) . 17. Bizonyítsd be, hogy tetszőleges A és B halmazok és f : A → B függvény esetén létezik olyan g : B → A függvény, amelyre f = f g f . 18. Bizonyítsd be, hogy ha A egy tetszőleges halmaz és P(A) az A részhalmazainak halmaza, akkor nem létezik f : A → P(A) szürjektív függvény. 19. Ha (X , ≺) egy rendezett halmaz és Y ⊂ X , akkor az s ∈ X elemet az Y
halmaz szuprémumának nevezzük, ha y ≺ s , ∀ y ∈ Y és ∀ s ′ ∈ X esetén, ha y ≺ s ′ , ∀ y ∈ Y , akkor s ≺ s ′ . Vizsgáld meg, hogy az ( , ) rendezett halmaz milyen részhalmazainak létezik szuprémuma ( x | y ⇔ ∃z ∈ : y = z ⋅ x ). 20. Bizonyítsd be, hogy ha (X , ≺) egy olyan rendezett halmaz, hogy minden részhalmazának létezik szuprémuma és f : X → X egy növekvő függvény (ha x ≺ y , akkor f (x ) ≺ f (y ) ), akkor létezik x 0 ∈ X úgy, hogy f (x 0 ) = x 0 .
5.2. Műveletek, csoportok 1. Bizonyítsd be, hogy ha a (G, ⋅) csoport x , y ∈ G elemeire x 5 = y 4 = e , akkor
x 2y = yx és xy 3 = y 3x 2 . 2. Hány különböző módon tölthetjük ki az alábbi művelettáblát, ha az E = {0, 1, 2}
halmazon egy asszociatív műveletet akarunk értelmezni?
Fejezet tartalma 288
Tartalomjegyzék
Összefoglaló gyakorlatok és feladatok
* 0 1 2
0 0 2
1 2 0
2 2 0 1
2 − xy , ∀ x , y ∈ (−∞, 1) 3−x −y összefüggéssel értelmezett művelet jól értelmezett és asszociatív. Tanulmányozd a semleges elem létezését és határozd meg az invertálható elemeket. 3 4. Tanulmányozd az asszociativitását és a semleges elem létezését a G = −∞, − 2 4xy + 3 , ∀ x , y ∈ G műveletre. halmazon értelmezett x ∗ y := 4(x + y + 1) x 2y + xy − x 2 , x ≠ 0 5. A valós számok halmazán értelmezzük az x ∗ y := y, x =0 műveletet. Van-e semleges eleme? 6. A G = {(a, b) ∈ × a ≠ 0} halmazon értelmezzük a ∗ : G ×G → G műveletet az (a, b ) ∗ (c, d ) := (ac, ad + b) , ∀(a, b),(c, d ) ∈ G egyenlőséggel. a) Bizonyítsd be, hogy (G, ∗) nem kommutatív csoport; b) Bizonyítsd be, hogy a H = {(a, b) ∈ G b = 0} halmaz részcsoportja a (G, ∗) csoportnak; c) Bizonyítsd be, hogy a (H , ∗) csoport izomorf az ( *, ⋅) csoporttal. 3xy − 4x − 4y + 6 7. Bizonyítsd be, hogy a G = (1, 2) halmazon az x ∗ y := , 2xy − 3x − 3y + 5 ∀ x , y ∈ G művelet egy csoportstruktúrát határoz meg. Bizonyítsd be, hogy a (G, ∗) 3. Bizonyítsd be, hogy a (−∞, 1) halmazon az x ⊥ y :=
csoport izomorf az
(
* +
, ⋅) és az ( , +) csoporttal!
8. Bizonyítsd be, hogy minden négyelemű csoport izomorf a Klein csoporttal vagy a ( 4, +) csoporttal! 9. Adj példát a lehető legkevesebb elemet tartalmazó nem kommutatív csoportra. 10. Bizonyítsd be, hogy a sík azon forgatásai és (pont illetve egyenes szerinti) szimmetriái, amelyek egy rögzített négyzetet önmagába visznek át egy 8 elemű csoportot alkotnak. 11. Egy kockának 13 szimmetriatengelye van: a négy testátló, három olyan egyenes, amely szembefekvő lapok középpontjait köti össze és hat olyan egyenes, amely a szembefekvő élek felezőpontjait köti össze. Bizonyítsd be, hogy a szimmetriatengelyek szerinti szimmetriák és azon forgatások, amelyek a kockát önmagába viszik át, egy 24 elemű csoportot alkotnak. 12. Hány különböző módon színezhetjük ki egy kocka csúcsait 3 szín segítségével (minden csúcs színét tetszőlegesen megválaszthatjuk) ha a forgatással egymásba vihető színezések nem számítanak különbözőknek?
Fejezet tartalma
Tartalomjegyzék
Összefoglaló gyakorlatok és feladatok
289
13. A metán (CH 4 ) molekula szén atomja egy kocka középpontjában és a hidrogén
atomok a kocka négy csúcsában helyezkednek el úgy, hogy két szembefekvő lapon egymásra merőleges átlókat határozzanak meg. Bizonyítsd be, hogy a kocka szimmetriái és forgásai, amelyek a metánmolekulát önmagába viszik át, egy 12 elemű csoportot alkotnak. 14. Számítsd ki a ∑ nσ összeget, ahol n σ a σ ∈ Sn permutáció inverzióinak száma σ∈Sn
(az (i, j ) pár inverziót alkot, ha i < j és σ(i ) > σ( j ) ). n(n − 1) természetes szám esetén létezik 2 Sn -ben olyan permutáció, amelyben pontosan m darab inverzió van. 16. Milyen hatványra kell felemelni a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 σ = 3 11 9 6 1 8 12 10 2 7 13 4 5 15. Bizonyítsd be, hogy bármely m ≤
permutációt ahhoz, hogy identikus permutációt kapjunk? 17. Oldd meg az S 6 -ban a következő egyenleteket: 1 2 3 4 5 6 a) σ 2 = 6 3 2 4 5 1 ;
1 2 3 4 5 6 b) σ 3 = 6 3 5 4 1 2 .
18. Igaz-e, hogy ha E egy n elemű halmaz, akkor (P(E ), ∆) ∼ (
n 2
, +) ?
2
19. Bizonyítsd be, hogy ha egy véges csoportban x = e , ∀ x ∈ G , akkor a csoport elemeinek száma 2 -nek természetes kitevőjű hatványa. 20. Az x 2 + y 2 = a 2 egyenletű kör pontjainak C halmazán értelmezzük a ∗ műveletet a rögzített A ∈ C pont segítségével: 1. M ∗ A = A ∗ M = M , ∀ M ∈ C ; 2. Ha M1, M 2 ∈ C \ {A} két különböző pont, akkor M1 ∗ M 2 az a pont, ahol az
A -n át az M1M 2 szakaszhoz húzott párhuzamos másodszor metszi a kört; 3. Ha M ∈ C \ {A} , akkor M ∗ M az a pont, ahol az A -n át az M -ben húzott érintővel párhuzamos egyenes másodszor metszi a kört. Bizonyítsd be, hogy az így értelmezett művelettel a kör pontjai csoportot alkotnak és ez a csoport izomorf az egységmodulusú komplex számok multiplikatív csoportjával. (Felvételi feladat, Temesvár)
5.3. Gyűrűk és testek 1. Bizonyítsd be, hogy az R = (0, ∞) halmaz az x ∗ y := xy és x
∀ x , y > 0 műveletekkel egy testet alkot, amely izomorf az ( , +, ⋅) testtel.
(
)
2. Bizonyítsd be, hogy ha a {0, 1, a, b}, +, ⋅ test, akkor a) ab = ba = 1 ;
b) a 2 = b, a 3 = 1, a 2 + a + 1 = 0 .
y := x ln
3y
,
Tartalomjegyzék
Fejezet tartalma 290
Összefoglaló gyakorlatok és feladatok
3. Minden a ∈
esetén tekintjük az
fa :
→
,
ax , x ∈ fa (x ) = 0, x ∈ \ halmaz a függvények
függvényt. Bizonyítsd be, hogy az F = {fa a ∈ } összeadásával és összetevésével test. 4. Bizonyítsd be, hogy a gyűrű értelmezésében az első művelet kommutativitása igazolható a többi axióma segítségével. 5. Bizonyítsd be, hogy ha az (I , +, ⋅) gyűrűben x , y és xy − 1 invertálható elemek, akkor
((x − y
x − y −1
az −1 −1
)
− x −1
6. Oldd meg
6
)
−1
és
−1
(x − y −1 )
− x −1
elemek
is
invertálhatók
és
= xyx − x .
-ban a következő egyenleteket és egyenletrendszert:
a) 2x + 3y = 1 ;
b) x 3 + 2x 2 + 2x + 1 = 0 ;
2x + 3y = 1 . c) 3x + 2y = 0
x + 2y = 1 egyenletrendszert. -ban az 8 3x + 4y = 1 8. Hány megoldása van 15 -ben az x 2 − 1 = 0 egyenletnek? Hát 7. Oldd meg
p
-ben, ahol p
prímszám? 9. Bizonyítsd be, hogy egy kommutatív (K , +, ⋅) testben egy másodfokú egyenletnek legtöbb két megoldása van. 10. Igazold, hogy az 4 halmaz a következő műveletekkel nem kommutatív testet alkot: (a, b, c, d ) + (a ′, b ′, c ′, d ′) := (a + a ′, b + b ′, c + c ′, d + d ′) ; a ′ b ′ c ′ d ′ − b ′ a ′ −d ′ c ′ , (a, b, c, d ) ⋅ (a ′, b ′, c ′, d ′) := (a, b, c, d ) ⋅ ′ −c d ′ a ′ −b ′ −d ′ −c ′ b ′ a ′ ∀ (a, b, c, d ), (a ′, b ′, c ′, d ′) ∈ 4 . Ezt a testet nevezzük a kvaterniók testének. a b c d −b a −d c 11. Bizonyítsd be, hogy a H = −c d a −b a, b, c, d ∈ halmaz a mátrixok −d −c b a összeadásával és szorzásával nem kommutatív testet alkot és a test izomorf a kvaterniók testével. 12. Határozd meg [X ] -ben az f = X 5 + X 3 + X 2 + 3X + 2 és 5 g = X 5 + X 4 + 1 polinomok legkisebb közös többszörösét, legnagyobb közös osztóját és oldd meg az f (x ) = g(x ) egyenletet.
Tartalomjegyzék
Fejezet tartalma Összefoglaló gyakorlatok és feladatok
291
13. Bizonyítsd be, hogy a kvaterniók testében az x 2 + 1 = 0 egyenletnek végtelen sok megoldása van. 14. Az (R, +, ⋅) gyűrű egy x elemét nilpotensnek nevezünk ha létezik n ∈ * úgy, hogy x n = 0 . Bizonyítsd be, hogy n -ben pontosan akkor léteznek nullától különböző nilpotens elemek, ha n osztható valamilyen 1-től különböző teljes négyzettel. 15. Bizonyítsd be, hogy 10 -ben a H = {0, 5} halmaz egy 2 -vel izomorf gyűrű az
indukált műveletekkel, de nem részgyűrűje 16. Határozd meg a
4
×
4
10
-nek.
gyűrű összes részgyűrűjét!
x + 2y 3y halmaz a mátrixok ∈ 17. Bizonyítsd be, hogy a C = x , y 2y x − 2y összeadásával és szorzásával testet alkot és ez a test izomorf a
{
[ 10 ] = a + b 10
a, b ∈
} testtel.
18. Határozd meg a ( , +, ⋅) gyűrű részgyűrűit! 19. Bizonyítsd be, hogy ha (K , +, ⋅) egy test és K i ⊂ K , i = 1, 3 valódi résztestei
(K , +, ⋅) -nak ( K i ≠ K , i = 1, 3 ), akkor K ≠ K1 ∪ K 2 ∪ K 3 . 20. Bizonyítsd be, hogy ha (Qi , +, ⋅) , i = 1, n résztestei a ( , +, ⋅) testnek és n
∪Q
i
i =1
=
, akkor létezik olyan i ∈ {1, 2, ..., n } , amelyre Qi =
(n ∈
*
rögzített).
5.4. Vektorterek 1. Vizsgáld meg a következő vektorrendszer lineáris függetlenségét 4 -ben: v1 = (−1, 0, 2, 3) , v 2 = (0, 2, 1, 0) , v3 = (1, −1, −4, −7) és v 4 = (3, −3, −5, −4) . 2. Az m ∈ paraméter milyen értékeire alkotnak bázist vektorok: v1 = (1, −2, m ) , v 2 = (−3, 0, 2m ) és v3 = (−2, m, 1) . 3. A következő v1, v 2 vektorrendszerek esetén igaz-e a v1, v 2 = a) v1 = (1, 2) , v 2 = (2, 1) ;
3
-ben a következő 2
egyenlőség?
b) v1 = (1, 2) , v 2 = (2, 4) .
1 2 1 3 x1 x 4. Vizsgáld meg az f : 4 → 3 , f ((x1, x 2 , x 3, x 4 )) = −2 −5 2 −1 ⋅ x 2 lineáris 3 0 5 −3 1 x 4 függvény injektivitását, szürjektivitását, határozd meg a képtér dimenzióját és egy bázisát. 5. Bizonyítsd be, hogy a B = {(1, −1, 2), (1, 1, 3), (−2, −1, 0)} rendszer egy bázisa 3
-nek és írd fel az áttérési mátrixot a kanonikus bázisból a B bázisba! 6. Írd fel a B és B ′ bázisok közötti áttérési mátrixot, ha B = {(1, −1, 2), (1, 1, 3), (−2, −1, 0)} és B ′ = {(−1, 0, 2), (−1, 1, 0), (−2, −1, 0)} . 7. Fejezd ki a v = (−2, 4, 1) vektor koordinátáit az előbbi B és B ′ bázisokban!
Fejezet tartalma 292
Tartalomjegyzék
Összefoglaló gyakorlatok és feladatok
8. Bizonyítsd be, hogy az f (a 0 + a1x + a 2x 2 ) = (a 0 − a1, a 0 − a 2 , a1 + a 2 ) függvény
egy lineáris térizomorfizmus ( 2 [x ] = {f ∈ [x ] grf ≤ 2} ). Írd fel ennek a leképezésnek a mátrixát a kanonikus bázisokra vonatkozóan. n
9. A (V , +, ⋅, ) vektortérben adottak a v1, v 2 , v3,..., vn vektorok és w j = ∑ aij ⋅ vi , i =1
ha j ∈ {1, 2, 3,..., m} . Cseréljük ki a vk vektort a wl vektorral (az előbbi egyenlőségek jobb oldalán ne szerepeljen többet a vk és a bal oldalon a wl ) és adjunk valamilyen módszert az új egyenlőségek együtthatóinak generálására! 10. Igazold, hogy ha az ( n , +, ⋅) vektortérben B = {v1, v 2 ,..., vn } bázis, akkor szerkeszthető olyan B ′ = {u1, u 2 ,..., un } bázis, amelyre teljesülnek az alábbi tulajdonságok: a) v1, v 2 ,..., vk = u1, u 2 ,..., uk , k = 1, n ;
0, i ≠ j b) ui ⋅ u j = 1, i = j , ahol x = (x1, x 2 ,..., x n ) és y = (y1, y 2 ,..., yn ) esetén n
x ⋅ y = ∑ x i yi (skalárszorzat
n
-ben).
k =1
5.5. Tesztek 1. Teszt 1. Egy szabályos tízszög csúcsaiban elhelyezzük az 1, 4 , 7 , 10 , 13 , 16 , 19 , 22 , 25 és 28 számokat, valamilyen sorrendben. Tételezzük fel, hogy lerajzoltuk az összes lehetséges sorrendnek megfelelő tízszöget (a számokkal együtt). Minden ilyen tízszög belsejébe beírjuk a legnagyobb olyan összeg értékét, amelyet három szomszédos csúcsába írt szám összeadásával nyerhetünk. Határozd meg a tízszögek belsejében található számok közül a legkisebbet! 2. Egy sakkbajnokságra hat résztvevő jelentkezett ( A , B , C , a , b és c ). A bajnokságon minden résztvevő kell játsszon minden más résztvevővel, és minden résztvevő egy nap csak egy játszmát játszhat. Szervezd meg a játszmákat úgy, hogy a bajnokság öt nap alatt véget érjen. Segítségképpen az első nap játszmáit bejelöltük az alábbi táblázatban: A B C a b c A I. B I. C I. a b c (az első nap A játszik a -val, B játszik b -vel és C játszik c -vel) 3. Egy asztalon n darab pohár áll. Egy lépésben megfordítunk n − 3 poharat. Elérhetjük-e, hogy az eredeti helyzetéhez viszonyítva minden pohár fordítva álljon, ha n 3 és n ≥ 6 ?
Fejezet tartalma Összefoglaló gyakorlatok és feladatok
Tartalomjegyzék 293
4. Egy kerek asztal körül n lovag ül (n ≥ 3) . Minden percben egy tetszőlegesen választott lovag két szomszédja helyet cserélhet egymással. Lehetséges-e, hogy egy idő után minden lovag jobboldali szomszédja éppen az, aki eredetileg a bal oldali szomszédja volt? 5. Régi ismerősöm, Münchausen báró, a következő történetet mesélte: „Egy n × n -es sakktábla bal alsó sarkában levő 2 × 2 -es négyzet minden mezőjére egy-egy bábut állítottam. Ezután a bábukat azon szabály szerint mozgattam, hogy bármely A bábu átugorhat egy másik B bábut, és ekkor az A bábu új helyét a B szerinti szimmetriával kapjuk meg (az ábrán egy 8 × 8 -as táblán mutattunk egy ilyen lépést). Persze csak akkor léphet ide az A bábu, ha ez a mező még nem foglalt.” A báró büszkén újságolta: „Ilyen módon az összes bábut a jobb felső sarok 2 × 2 es négyzetébe vezettem.” Okvetlenkedő kérdésemre: „S mi van akkor, ha a tábla 2n × 2n -es és a bal alsó sarkában levő 3 × 3 -as négyzet minden mezőjére állítunk egy-egy bábut?” azt válaszolta, hogy természetesen akkor is felvezethetjük a bábukat a jobb felső 3 × 3 -as sarokba.” Igazat mondott-e a báró?
C B A
6. A {0, 1} halmazból ketten felváltva választanak egy-egy elemet úgy, hogy minden lépés után az addigi választásaik sorozatából ne lehessen kivágni két azonos, 3 hosszúságú szekvenciát (az összes választások sorozatát értve). Kinek van nyerő stratégiája, ha az veszít aki nem tud lépni? n (n + 1) 7. Elhelyeztünk n sorban darab pénzérmét, háromszög alakban, írást 2 tartalmazó oldalával felfele, az ábra szerint: n=3 n=4
Egyszerre megfordíthatunk három kölcsönösen szomszédos érmét (pl. a fenti ábrán a világos érméket). Ha n = 2000 , elérhető-e, hogy minden érme az írást tartalmazó oldalával lefele legyen? 8. Határozd meg azokat az n ∈ * \ {1, 2} számokat, amelyekre egy tetszőleges n oldalú konvex sokszöget fel lehet bontani, egymást nem metsző átlók segítségével háromszögekre úgy, hogy minden csúcsból páros számú átló induljon ki!
Fejezet tartalma 294
Tartalomjegyzék
Összefoglaló gyakorlatok és feladatok
9. Egy háromszög minden oldalát osszuk fel p egyenlő részre, és az osztópontokat kössük össze a szemben fekvő csúccsal. Ha p prímszám, határozd meg a háromszög belsejében keletkező diszjunkt síkrészek maximális számát! 10. Az ABC háromszög minden oldalán vegyünk fel n pontot. Az AB és AC oldalon felvett pontokat kössük össze a BC oldalon felvett pontokkal. Ha az így kapott szakaszok közt nincs három összefutó szakasz, akkor határozzuk meg a háromszög belsejében keletkező metszéspontok számát. 11. Egy (2n − 1) × (2n − 1) -es tábla középső mezején egy baktérium áll. Minden másodpercben a létező baktériumok mindegyike vagy átköltözik egy szomszédos mezőre, vagy helyben marad és kettéosztódik. Bizonyítsd be, hogy n ≥ 3 esetén 2n + 2 másodperc alatt elérhető az, hogy a tábla minden mezején legyen egy baktérium. (Két mezőt akkor nevezünk szomszédosnak, ha van egy közös oldaluk.) 12. a) Bizonyítsd be, hogy a P ∈ [X ] polinomhoz rendelt polinomfüggvény pontosan akkor páros, ha P -ben a páratlan kitevőjű tagok együtthatója 0 . b) Képezzük az összes
n
∑ε k =1
{
k ∈ 1, 2, ... , n
}
k
k 2 + 1 alakú számot, ahol εk ∈ {−1, 1} minden
esetén. Bizonyítsd be, hogy az így kapott 2n szám szorzata
természetes szám! 2. Teszt 1. Bizonyítsd be, hogy 5 3 + 5 ⋅ 3 2 + 5 + 5 3 + 5 ⋅ 3 2 − 5 ∈ . 2. Határozd meg az a − 2b + c fejezés minimumát és maximumát, ha 2a 2 + b 2 + c 2 = 3 . 1 1 3. Hány megoldása van az x ⋅ 2 x + ⋅ 2x = 4 egyenletnek (x ∈ ) ? x 4. Lehetnek-e a 2 , 7 , 14 számok egy számtani vagy mértani haladvány (nem feltétlenül egymás utáni) tagjai? n p ! 1 (n + 1) ! 1 5. Bizonyítsd be, hogy ∑ k = − . − + C p 1 p ! n p ! ( ) k =1 p +k 2
2
n n 6. Számítsd ki a ∑ 2k C 22nk − 2 ⋅ ∑ 2k C 22nk +1 különbséget! k =0 k =0 7. Oldd meg a loga (a + 1) = logx (x + 1) egyenletet (a > 0, a ≠ 1) . 1 1 1 1 8. Bizonyítsd be, hogy ha x + y + z = a és + + = (a ≠ 0) , akkor az x , x y z a y és z közül legalább az egyik egyenlő a -val. 4
9. Határozd meg az (1 − 2x + 3x 2 − 4x 3 ) kifejezésben x 8 együtthatóját!
Fejezet tartalma Összefoglaló gyakorlatok és feladatok 10. Az x 4 − ax 3 − ax + 1 = 0
Bizonyítsd be, hogy x i ∉ moduluszát, ha a ∈
Tartalomjegyzék 295
egyenlet gyökeit jelöljük x1, x 2 , x 3 , x 4 -gyel.
, i = 1, 4 , ha a ∈
és a < 1 . Számítsd ki a gyökök
és a < 1 .
3. Teszt 1. Bizonyítsd be, hogy ha x > 0 , akkor x +
1 ≥ x
4 3 3
2. Bizonyítsd be, hogy (1 + 2 )(1 + 3 ) (1 + 5 ) ∉
.
.
3. A pozitív valós számok halmazán oldd meg az x + y + z = xyz 1 1 1 3 + + = 2 2 y2 +1 z2 +1 x +1
egyenletrendszert! 4. Jelöljük a, b, c -vel a P (X ) = X 3 + X + 1 polinom gyökeit.
a b c a) Számítsd ki a ∆ = c a b determinánst! b c a b) Bizonyítsd be, hogy a n −3 4 5. Oldd meg az X ⋅ 1 1 −2 −1
+ b n + c n ∈ , ∀n ∈ . 0 2 1 0 −2 = −1 3 −2 egyenletet! 3 ax + y + z =1 6. Oldd meg és tárgyald az x 2 ay z = b egyenletrendszert + + (a + 1) x + y + 2az = 0 (a, b ∈ )! 7. Határozd meg az
2 3 1 4 −1 1 1 2 A = 2 q p 0 1 −1 0 2 mátrix rangját p és q függvényében! −1 −4 2 8. Adott az A = 1 3 −1 mátrix. 0 0 1 a) Bizonyítsd be, hogy A invertálható és A + A−1 = 2I 3 .
Tartalomjegyzék
Fejezet tartalma 296
Összefoglaló gyakorlatok és feladatok
b) Bizonyítsd be, hogy An + A−n = 2I 3 , ∀n ∈
*
.
c) Bizonyítsd be, hogy az L = {kA + lI 3 | k, l ∈
(M3 (
}
halmaz zárt része az
), +, ⋅) gyűrűnek.
d) Vannak-e (L, +, ⋅) -ban zérusosztók?
(Érettségi javaslat, 2001.) 9. Bizonyítsd be, hogy ha N egy pont az F fókuszú parabola vezéregyenesén, akkor az FN szakasz felezőmerőlegese érinti a parabolát. x 2 y2 10. Az 2 + 2 = 1 egyenletű ellipszis P (x , y ) pontjának az Ox és Oy tengelyre a b eső vetületét jelöljük P1 -gyel és P2 -vel. Bizonyítsd be, hogy ha a P -ben húzott érintő az Ox és Oy tengelyt T1 -ben és T2 -ben metszi, akkor OP1 ⋅ OT1 = a 2 és OP2 ⋅ OT2 = b 2 . 4. Teszt
esetén és bármely a ∈ * -ra értelmezzük az fa : → , ax + t − at, x < t ) ( t fa x = x + t − , x ≥ t a a függvényeket. Bizonyítsd be, hogy az F = { fa | a ∈ (0, ∞)} halmaz a függvények összetételével csoportot alkot! 2. Az halmazon értelmezzük az x ∗ y := x 1 + y 2 + y 1 + x 2 , ∀x , y ∈ 1. Rögzített t ∈
műveletet. a) Bizonyítsd be, hogy ( , ∗) csoport és ( , ∗) b) Számítsd ki x n = x ∗ x ∗ ... ∗ x -et.
( , +) .
n
3. Bizonyítsd be, hogy a
{
2n
G = fn : (2, ∞) → (2, ∞) | fn (x ) = 2 + (x − 2) , n ∈
}
halmaz a függvények összetevésével ( , +) -szal izomorf csoportot alkot. (Érettségi, 1995.) 4. Adottak az x ⊥ y := ax + by − 2 és x y := xy − 2x − 2y + c műveletek -en. Határozd meg a, b, c értékét úgy, hogy az ( , ⊥, ) struktúra test legyen, majd igazold, hogy ez a test izomorf az ( , +, ⋅) testtel. 5. Bizonyítsd be, hogy egy véges test nem zérus elemeinek szorzata −1 . 6. Bizonyítsd be, hogy egy legalább kételemű csoport nem írható fel két valódi részcsoportja egyesítéseként!
Tartalomjegyzék
Fejezet tartalma Összefoglaló gyakorlatok és feladatok 7. Rögzített n ∈
*
297
\ {1} esetén tekintjük az An = {x ∈
| (n, x ) ≠ 1} halmazt
( (a, b ) az a és b egész számok legnagyobb közös osztója). Mi a szükséges és elégséges feltétele annak, hogy az An halmaz a zárt része legyen az összeadásra nézve? 8. A (G, ⋅) csoportban létezik n ∈ * \ {1} úgy, hogy x ny n = y n x n x n +1y n +1 = y n +1x n +1 x n +2y n +2 = y n +2x n +2 , ∀x , y ∈ G Bizonyítsd be, hogy (G, ⋅) Ábel-féle csoport. 9. Igaz-e, hogy minden 5 elemű gyűrű kommutatív? 10. Igaz-e, hogy minden n dimenziós vektortér izomorf
n
-nel?
5. Teszt 1. A K =
×
halmazon értelmezzük az (a, b ) + (c, d ) := (a + c, b + d ) , ∀ (a, b ), (c, d ) ∈ K (a, b ) ⋅ (c, d ) := (ac − bd, ad + bc + bd ) , ∀ (a, b ), (c, d ) ∈ K műveleteket. Bizonyítsd be, hogy (K , +, ⋅) kommutatív test. 2. Bizonyítsd be, hogy az x * y := xy , ∀x , y > 0 x
y := x ln
3y
, ∀x , y > 0
műveletekkel az A = (0, ∞) halmaz test és (A, *, ) ( , +, ⋅) . 3. Adott az 1 − x 0 x 1 M = A (x ) = 0 0 0 x ∈ \ 2 − x 0 1 x halmaz. a) Bizonyítsd be, hogy (M,⋅) Ábel-féle csoport.
{}
n
b) Számítsd ki az [A (x )] mátrixot! 4. Az
-en értelmezzük az x * y := xy − 4x − 4y − α , ∀x , y ∈
műveletet.
a) Határozd meg α ∈ értékét úgy, hogy a G = [ 4, ∞) zárt része legyen * -ra nézve. b) Milyen α esetén csoport a ([ 4, ∞), *) struktúra? 5. Hány elem van az f : p prímszám?
p
→
p
-nek
, f (x ) = x + x −1 függvény képtartományában, ha
Tartalomjegyzék
Fejezet tartalma 298
Összefoglaló gyakorlatok és feladatok
6. Használhatjuk-e a Horner sémát n [X ] -ben az X − a elsőfokú polinommal való osztási hányados és maradék meghatározására? 7. Az M halmazon értelmeztük a * műveletet. Bizonyítsd be, hogy ha létezik e ∈ M úgy, hogy x * e = x , ∀x ∈ M és (x * y ) * z = (z * y ) * x , ∀x , y, z ∈ M ,
akkor (M , *) kommutatív monoid. 8. A (G, ⋅) csoportban n
(xy ) = y n x n , n +1
(xy )
= y n +1x n +1 és
{
2n
G = fn : (2, ∞) → (2, ∞) | fn (x ) = 2 + (x − 2) , n ∈
},
∀x , y ∈ G esetén. Bizonyítsd be, hogy (G, ⋅) kommutatív. (Radó Ferenc Emlékverseny, 2001.) 9. Igaz-e, hogy egy gyűrűben minden 0 -tól különböző elem zérusosztó vagy egység? 10. Izomorf-e az ( , +) csoport az ( *+ , ⋅) csoporttal? 6. Teszt 1. Bizonyítsd be, hogy a x + 4y 2y H = −7y x − 4y x ≠ 0, x , y ∈ , x 2 − 2y 2 = 1 halmaz a mátrixok szorzására nézve csoportot alkot. 2. Adj példát olyan P ∈ 6 [X ] polinomra, amelynek több gyöke van, mint amennyi
a fokszáma. (Érettségi javaslat, 2001.) 3. Az A = [0, ∞) halmazon értelmezzük az x +y , x * y := 2y + 1 ∀x , y ∈ A műveletet. a) Bizonyítsd be, hogy a művelet asszociatív. b) Határozd meg a * művelet semleges elemét. c) Bizonyítsd be, hogy a [0, 1) intervallum zárt a * műveletre nézve. 4. Értelmezzük -en az x y := xy + ax + by + c , ∀x , y ∈ (a, b, c ∈
)
műveletet. a) Határozd meg a , b és c értékét úgy, hogy az M = (1, ∞) halmaz a „ ” művelettel csoportot alkosson. b) Bizonyítsd be, hogy az előbbi a, b, c értékek esetén (M , ) ( , +) . 5. Határozd meg a
automorfizmusát!
d = {a + b d | a, b ∈
}
(d ∈
rögzített) gyűrű összes
Fejezet tartalma
Tartalomjegyzék
Összefoglaló gyakorlatok és feladatok
299
6. Határozd meg az f = 3x 5 + x 2 + 2x + 4 polinom osztási hányadosát és
maradékát a g = 2x 3 + 3x 2 + 1 polinommal 7. Bizonyítsd be, hogy ha a, b ∈
x, y ∈
5
[X ] -ben.
akkor (2a − 1, 2b − 1) = 2(a ,b ) −1 , ahol (x , y ) az
számok legnagyobb közös osztója.
8. Az (A, +, ⋅) gyűrűben x 12 = x , bármely x ∈ A esetén. Bizonyítsd be, hogy
x 2 = x , bármely x ∈ A esetén. 9. Létezik-e olyan 7 elemű csoport, amely nem izomorf
7
-tel?
10. Izomorfak-e az ( [X ], +, ⋅) és ( [X ], +, ⋅) polinomgyűrűk? 7. Teszt
2x + y + z = 4 1. 5 -ben oldd meg a x + y − z = 0 egyenletrendszert. 4x + 2y + 2z = 3 2. Bizonyítsd be, hogy ha a (H , +) részcsoportja ( , +) -nak és (H , +) ( , +) , (Érettségi, 2001.) akkor f : p → p . 3. Asszociatív-e -en az x y := xy + x , ∀x , y ∈ művelet? 4. A
halmazon értelmezzük az x
y := xy + a (x + y ) + b , ∀x , y ∈
műveletet
(a, b ∈ ) . a) Mi a szükséges és elégséges feltétele annak, hogy ( , ) kommutatív monoid legyen? b) Ha ( , ) monoid határozzuk meg az invertálható elemeket! a b 5. Milyen d ∈ esetén test a H d = db a a, b ∈ halmaz, a mátrixok összeadására és szorzására nézve? 6. Határozd meg a ( , +, ⋅) test automorfizmusait. 7. Az M halmazon értelmeztünk egy „ ⋅ ” műveletet, amely a következő tulajdonságokkal rendelkezik x 2 = x , ∀x ∈ M (x ⋅ y ) ⋅ z = (y ⋅ z ) ⋅ x , x , y, z ∈ M Bizonyítsd be, hogy a művelet asszociatív és kommutatív. 8. Bizonyítsd be, hogy ha az A gyűrűben 1 ≠ 0 és a, b ∈ A , akkor a következő kijelentések egyenértékűek: 1. aba = a és ba 2b = 1 ; 2. ab = ba = 1 ; 3. aba = a és b az egyetlen ilyen eleme A -nak.
Fejezet tartalma 300
Tartalomjegyzék
Összefoglaló gyakorlatok és feladatok
9. Létezik-e olyan negyedfokú polinom
felett, amely felírható 4 elsőfokú
6
polinom szorzataként úgy, hogy az elsőfokú polinomok közül egyiknek se legyen gyöke, de a negyedfokúnak legyen? 10. Izomorf-e az ( , +) csoport a ( , +) csoporttal? 8. Teszt 1. Oldd meg a 3x 2 − 4x + 1 = 0 egyenletet 2. Az x, y ∈
halmazon értelmezzük az x esetén.
5
,
6
és
11
-ben.
y := 2xy − 2x − 2y + 3 műveletet bármely
a) Bizonyítsd be, hogy a művelet asszociatív. b) Zárt része-e \ -nek a „ ” műveletre nézve?
(Érettségi javaslat, 2001.)
)
3. A G = 1, ∞ halmazon értelmezzük az műveletet bármely x , y ∈ G esetén.
x ∗ y := xy −
(x 2 − 1)(y 2 − 1)
a) Bizonyítsd be, hogy (G, ∗) csoport. b) Számítsd ki x ∗ x ∗ ... ∗ x -et. n
4. A halmazon értelmezzük az (a, b, c ∈ ) .
x ∗ y := axy + b (x + y ) + c
műveletet
a) Bizonyítsd be, hogy a „ ∗ ” művelet pontosan akkor asszociatív, ha b 2 = b + ac ; b) Bizonyítsd be, hogy a „ ∗ ” műveletre nézve pontosan akkor létezik semleges (Felvételi, 1993.) elem, ha b 2 = b + ac és b | c . 5. Bontsd irreducibilis tényezők szorzatára fp (X ) = X p + a p [X ] -ben az polinomot, ha p prímszám. 6. Határozd meg az ( , +, ⋅) test automorfizmusait! 7. A (G, ⋅) csoportban létezik a ∈ G úgy, hogy axa = x 3 bármely x ∈ G esetén. Bizonyítsd be, hogy (G, ⋅) kommutatív. 8. Az (A, +, ⋅) nem kommutatív gyűrűben az 1 − ab elem invertálható. Bizonyítsd be, hogy az 1 − ba is invertálható! 9. Igaz-e, hogy 12 -ben az egységek a Klein csoporttal izomorf csoportot alkotnak? 10. Izomorf-e a ( , +) csoport a ( , +) csoporttal? 9. Teszt 1. Vizsgáld meg 4 -ben a v1 = (1, 0, −1, 2) , v 2 = (1, 3, −2, 1) , v3 = (−3, −2, 4, −1) , v 4 = (1, −1, 1, 2)
vektorok lineáris függetlenségét, majd válassz ki egy maximális elemszámú lineárisan független részrendszert.
Fejezet tartalma
Tartalomjegyzék
Összefoglaló gyakorlatok és feladatok 2. Bázist alkot-e
3
301
-ben a v1 = (−2, 1, 0) , v 2 = (1, 1, 3) és v3 = (3, −2, 4)
vektorokból álló vektorrendszer? Ha igen, határozd meg a v = (−4, 7, 5) vektor koordinátáit ebben a bázisban. 3. Tanulmányozd az f : 3 → 3 , 1 −2 3 x1 f ((x1, x 2 , x 3 )) = −2 0 −2 x 2 3 −2 1 x 3 lineáris leképezés injektivitását és szürjektivitását. Ha f bijektív, akkor számítsd ki az inverzét! 4. Határozd meg az f : 4 → 3 , 1 0 2 −3 x1 x f ((x1, x 2 , x 3 , x 4 )) = −2 1 1 2 x 2 3 1 −1 −3 1 x 4 4 függvény képterének dimenzióját -ben. 3 5. Írd fel az f : → ,
f ((x1, x 2 , x 3 )) = 2x12 + 3x 22 − x 32 + 2x1x 2 + 3x1x 3 − 4x 2x 3 függvényt
x 1 f (x ) = x1 x 2 x 3 ⋅ A ⋅ x 2 x 3
alakban, ahol A ∈ M3 ( ) . 6. Bizonyítsd be, hogy C ( ) -ben az fk , gk :
→
, k = 1, n
fk (x ) = sin kx , gk (x ) = cos kx , ∀x ∈
, k = 1, n függvények lineárisan függetlenek.
7. Bizonyítsd be, hogy ha a (K , +, ⋅) testnek végtelen sok eleme van, akkor minden K feletti vektortérnek is végtelen sok eleme van.
(
)
8. Bizonyítsd be, hogy ha (V , ⊕, , K ) egy n dimenziós vektortér a K , +, ⋅ véges n
test felett, akkor V elemeinek száma K . 9. Bizonyítsd be, hogy ha (K , +, ⋅) egy véges test, akkor létezik olyan p prímszám, hogy K = p n valamilyen n ∈ * esetén. 10. a) Bizonyítsd be, hogy az ( , +, ⋅, ) vektortér nem véges dimenziós. b) Bizonyítsd be, hogy létezik f : → additív függvény ( f (x + y ) = f (x ) + f (y ) , ∀x , y ∈ ), amely nem lineáris.
Fejezet tartalma 302
Tartalomjegyzék
Összefoglaló gyakorlatok és feladatok
10. Teszt 1. Izomorfak-e a
×
× ×
és
csoportok?
(Helyi olimpia, 1995.) 2. A G halmazon a „ ⋅ ” asszociatív művelet rendelkezik a következő tulajdonsággal ∀x ∈ G ∃x ′ ∈ G : xx ′x = x Bizonyítsd be, hogy (G, ⋅) csoport! (Megyei olimpia, 1993.) 2 2 4 2 5 4n + 2 3. A (G, ⋅) csoportban ab a = b a b , a = e és b = e ( a , b rögzített elemek
G -ben és n rögzített természetes szám). Bizonyítsd be, hogy b10 = e . 4. Bizonyítsd be, hogy ha (m, n ) = 1 (m, n ∈ * ) és a (G, ⋅) csoportban x m y m = y m x m , ∀x , y ∈ G x n y n = y n x n , ∀x , y ∈ G , akkor xy = yx , ∀x , y ∈ G . 5. Bizonyítsd be, hogy ha a (G, ⋅) csoport és az f : G → G f (x ) = x 3 függvény injektív morfizmus, akkor (G, ⋅) kommutatív csoport. 6. Bizonyítsd be, hogy ha az (A, +, ⋅) gyűrűben
(x 2 + x + 1) y = y (x 2 + x + 1) ,
∀x , y ∈ A ,
akkor A kommutatív gyűrű. (Helyi olimpia, 1985.) 7. Bizonyítsd be, hogy ha az (A, +, ⋅) gyűrűben értelmezés szerint [x , y ] := xy − yx , ∀x , y ∈ A , akkor [x , [y, z ]] + [y, [z, x ]] + [z , [x , y ]] = 0 . (Jacobi azonosság) 8. A (G, ⋅) Ábel-féle csoportban x n = y m = e , ahol x , y ∈ G és m, n ∈ * . p
Bizonyítsd be, hogy (xy ) = e , ahol p = [m, n ] (az m és n legkisebb közös többszöröse). 9. Bizonyítsd be, hogy minden csoport izomorf egy bijektív függvényekből alkotott csoporttal. (Cayley tétele) 10. Bizonyítsd be, hogy minden véges, zérusosztó mentes gyűrű test.
