Křivky v promě proměnách věků
Úvod křivka je víceměně intuituvní pojem zájem lidstva už od počátku první zkoumaná křivka – přímka, později kružnice
Přímka zprvu chápána jako úsečka, která lze neomezeně prodlužovat „délka bez šířky“ využití – provazce, měřidla
Kružnice inspirace sluncem a měsícem jednoduché kreslení x2 + y2 = r2 znázornění cyklu, zvěrokruh Eukleidova definice: „Kruh jest rovinný útvar, jež se nazývá obvodem, k níž od jednoho bodu uvnitř útvaru všecky sobě rovny jsou. Středem kruhu se pak zove tento bod.“
Křivky v antice 1 antika – 14.stol. př. Kr. – 476 po Kr. velký význam geometrie (Eukleidés, Pythagoras, Appolonius, Pappos, Thales, Hippokrates) odlišný pohled od dneška (jiné chápání objektů, problém s pohybem a nekonečnem, geometrické chápání veličin, např. násobky) pojetí pohybu – nutnost znát přesnou polohu v každém okamžiku (překonáno až v 17. stol.)
Křivky v antice 2 Eukleidovy základy (kolem r. 300 př. Kr.) lomené čáry – používané v měřičství (úsečky) kružnice a její rektifikace tři starověké úlohy: kvadratura kruhu, zdvojení krychle, trisekce úhlu
Křivky v antice 3 Hippiova kvadratrix: první křivka studovaná po kružnici a přímce definice křivky: Uvažme čtverec ABCD. Nechť se úsečka AB otáčí kolem bodu A a úsečka BC se posouvá ve směru polopřímky CD a nechť jsou oba tyto pohyby rovnoměrné, ve stejný okamžik začínají i končí. Pak bod X, který je průsečíkem pohybujících se úseček opíše křivku, kterou nazýváme Hippiova kvadratrix.
Křivky v antice 4 Hippiova kvadratrix: rovnice: y = x cotg(πx/2a) Hippiova kvadratrix tvoří pouze jednu část (větev této) křivky dá se pomocí ní řešit trisekce úhlu
Křivky v antice 5 - Kuželosečky Elipsa „Množina bodů, které mají od dvou pevných bodů (ohnisek) stejný součet vzdáleností rovný 2a.“ 2 2 ( − ) ( − ) x m y n rovnice: + =1 a
b
Křivky v antice 6 - Kuželosečky Parabola „Množina bodů, které mají od pevného bodu (ohniska) a přímky stejnou vzdálenost.“ rovnice: ( x − m) 2 = 2 p( y − n)
Křivky v antice 7- Kuželosečky Hyperbola „Množina bodů, které mají od dvou pevných bodů (ohnisek) stejný rozdíl vzdáleností rovný 2a.“ 2 2 ( x − m ) ( y − n ) rovnice: − =1 a
b
Křivky v antice 8 - Kuželosečky pravděpodobné objevení díky úloze o zdvojení krychle Hippokrates (5. stol. př. Kr) – problém nalezení dvou středních geometrických proměnných: Nechť a je hrana krychle, najděte x a y tak, aby platilo: a : x = x : y = y : 2a Menaichmos (4. stol. př. Kr) – řeší průsečík dvou parabol a průsečík paraboly s rovnosou hyperbolou
Křivky v antice 9 - Kuželosečky Apollónius (3.stol. př. Kr.) – osmidílný spis „O kuželosečkách“; vychází z libovolného kruhového kužele, řeší řezy na podobných a shodných kuželích, sdruženými průměry, středy křivosti jednotlivých křivek množina všech středů křivosti se nazývá evoluta
Křivky v antice 10 Dioklova kisoida Diokles – současník Apollónia „Nechť k je kružnice nad průměrem o délce |OP|. Veďme bodem P tečnu t ke kružnici k. Z bodu O veďme libovolnou polopřímku p protínající kružnici k. Označme po řadě M, N průsečíky polopřímky p s kružnicí k, resp. tečnou t. Kisoidou potom nazýváme množinu bodů X polopřímky p, jejichž vzdálenost od O je rovna |MN|
Křivky v antice 11 Dioklova kisoida
3 x rovnice: y 2 = 2a − x
(0 ≤ x ≤ 2 a )
konstruvána jako řešení problému dvou středních geometrických úměrných
Křivky v antice 12 Nikomedova konchoida: Nikomedes (2. stol. př. Kr.) – dvě střední geometrické úměrné definice: Nechť p, q jsou dvě navzájem kolmé přímky a bod P náleží přímce p.Veďme bodem P přímku k. Od průsečíku přímky k s přímkou q nanesme vzdálenost b na přímku q. Takto vzniklé body budou body Nikomedovy konchoidy.
Křivky v antice 13 Nikomedova konchoida: prodloužená, zkrácená rovnice: ( x − a ) 2 ( x 2 + y 2 ) − b 2 x 2 = 0 konchoida obecně: místo přímky q se použije libovolná křivka
Křivky v antice 14 Archimédova spirála: Archimédes za Syrakus (3. stol. př. Kr.) – „O spirálách“ – 28 vět, ukazuje například i výpočet plochy vyznačené spirálou definice: „Křivka opisovaná bodem rovnoměrně pohybujícím se po přímce, zatímco se tato přímka otáčí v rovině okolo jednoho bodu.“
Křivky v antice 15 Archimédova spirála: rovnice: r = a ⋅ t r - délka průvodiče, t - příslušný úhel využití spirál na iónských sloupech - křivka nahrazena částmi kruhových oblouků
Středověk 6. - 15. stol. po Kr. v Evropě úpadek zájmu o geometrii (oživení v renesanci) v Indii, Číně a Arábii se žádné nové poznatky neobjevují (v Arabských přepisech se zachovává spousta významných děl), křivky používné ke konkrétním příkladům (řešeí rovnic) gotická architektura (klentby, kružby, …)
Renesance 1 v malířství se objevuje lineární perspektiva (z pokusů o intuitivní zachycovní křivek se začíná pomalu rozvíjet nutnost o křivkách něco vědět) první významnější práce: Albrecht Dürer („Příspěvek k měření s kružítkem a pravítkem v přímkách, rovinách a tělesech“), Daniel Barbaro („Praktická perspektiva“) znovuobjevování křivek (řez kužele)
Renesance 2 - Projektivní geometrie Girard Desargues - zakladatel projektivní geometrie, poprvé použil pro popsání bodu pravoúhlé souřadnice, doplnění roviny o nevlastní přímku (jiné chápání paraboly a hyperboly) Balise Pascal - „Esej o kuželosečkách“, nejdůležitější tzv. Pascalova věta.
Renesance 3 - Projektivní geometrie Pascalova věta: „Průsečíky prodloužených stran šestiúhelníka kuželosečce vepsaného leží na jedné přímce.“ pět bodů pěvně určuje kuželosečku! (další body sestrojíme pomocí Pascalovy věty)
Renesance 4 - René Descartes francouzský filosof největší objevy v teorii křivek od dob antiky „La Géométrie“ (dodatek k fil. dílu „Rozprava o metodě“) - považována za počátek analytické geometrie kartézské souřadnice
Renesance 5 - Descartova La Géométrie Část první: O úlohách, které je možno sestrojit pouhým užitím kružnic a přímek Pappův problém: Nalezení geometrického místa bodů majících určitý poměr vzdáleností ke čtyřem daným přímkám (Pappos - pro čtyři je to kuželosečka) Descartes to řeší i pro více než 4 přímky
Renesance 6 - Descartova La Géométrie Část druhá: O charakteru křivek zabývá se klasifikací křivek opět řešení Pappova problému (kompletní analýza) konstrukce tečny a normály křivky rozdělení křivek na algebraické a transcendentní
Renesance 6 - Descartovy křivky Descartův list: rovnice: x 3 + y 3 = 3axy pouze v korespondenci Descartova (kubická) parabola: 3 y = x rovnice: její vlastnosti jsou zkoumané až později (Bernoulli)
Století křivek 1 1649 (latinské vydání La Géométrie) - 1748 (vydání Úvodu do mat. analýzy nekonečně malých) objevu je spoustu komentovaných překlad a vydání La Géometrie Fermat, Euler, De Witt, Bernoulli, Cassini, l´Hospital,… určena rovnice přímky, paraboly
Století křivek 2 vyšetřování křivek určitého typu (skupiny), v celém rozsahu (v celém def. oboru), nové metody (diferenciální počet)
Století křivek 3 - Johann Bernoulli spolupracoval s l´Hospitalem - první spis diferenciální geometrie bod vratu analytický traktát o kuželosečkách odvozuje jejich vlastnosti pomocí rovnic, algebry a elemetnární geometrie
Století křivek 4 - Johann Bernoulli Cykloida: vzniká kotálením kružnice po přímce rovnice: x = at - h sin t y = a - h cos t
Století křivek 5 - Johann Bernoulli Semikubická parabola: narazil na ni při studiu kubických parabol rovnice: y 3 = ax 2 Bernoulliho lemniskata: specielní případ Cassiniho oválu rovnice: ( x 2 + y 2 ) 2 = a 2 ( x 2 − y 2 )
Století křivek 6 - G.D.Cassini Giovanni Domenic Cassini - francouzský astronom (objev 4 měsíců Saturna) Cassiniho ovál: domníval se, že je to tvar oběžné dráhy Země definice: Nechť F a G jsou dva pevně dané body (ohniska) v rovině. Množina bodů X, pro které platí, že součin vzdáleností |FX| a |GX| je konstatní a je a2, se nazývá Cassiniho ovál
Století křivek 7 - G.D.Cassini rovnice (umístíme body F, G souměrně ve vzdálenosti b od počátku) : ( x 2 + y 2 ) 2 + 2b 2 ( y 2 − x 2 ) + b 4 − a 4 = 0
a=b: lemniskata a>b: souvislá křivka a
Století křivek 8 - Isaac Newton rozšíření poznatků o kuželosečkách na křivky třetího stupně „Výčet křivek třetího řádu“: sedm částí 1. Řády křivek: řídí se stupněm rovnice křivky!, křivky nekonečného řádu (cykloida, kvadratrix,…) 2. „Vlastnosti kuželoseček“: analogie kuželoseček s kubikami, definuje uzel, bod vratu a izolovaný bod
Století křivek 9 - Isaac Newton 3. „Redukce všech křivek …“: Ukázal, že pomocí transformací můžeme všechny kubiky zapsat jedním ze čtyř typů rovnic 4. „Výčet křivek“: nové rozdělení kubických křivek, nákresy, možnosti izolovaných bodů…, zavedení pojmů jako redudantní, defektní, parabolická hyperbola, trojzubec, divergentní parabola, kubická parabola… (celkem 72 křivek)
Století křivek 10 - Isaac Newton kubická parabola:
divergentní parabola:
trojzubec:
Století křivek 11 - Isaac Newton 5. „Generování křivek stíny“: rozvíjení myšlenek projektivní geometrie 6. „O metodickém opisování křivek“: křivky tvořené pomocí pohybu, projektivní vytváření kuželoseček 7. „Konstrukce rovnic popisováním křivek“: využití křivek třetího stupně s sestrojení kořenů rovnic
Století křivek 12 Maupertius a Bragelone zkoumají křivky 4. stupně, vícenásobné body, inflexní body… Jean Paul de Gua de Malves zkoumal algebraické křivky (převážně užíval metod analytické geometrie) Colin Maclaurin dokázal spoustu Newtonových konstrukcí, zkoumal generování křivek, projektivní geometrie,
Století křivek 13 James Stirling: doplnil další důkazy k Newtonovi, analogie mezi křivkami druhého a třetího stupně, Věta: Křivka n-tého stupně je určena n(n2+ 3) body. Alexis Clairaut: důkazy k Newtonovi, hodně se zabýval diferenciální geometrií (Pojednání o křivkých s dvojí křivostí), vyjadřování křivek soustavami rovnic, rovnice kužele
Křivky a funkce zpočátku používal pojem fce je v souvislosti k křivkou a řešení úloh (sestrojení tečny, normály..) - Leibnitz rozvoj matematické analýzy (Lagrange, Euler) funkce se začíná vnímat jako předpis
Diferenciální geometrie 1 - Leonhard Euler funkce se stává ústředním pojmem analýzy rozdělení fcí na spojité a nespojité ale v jiném významu než dnes hledání násobných bodů a tečen v nich transcendentní křivky: epicykloida, hypocykloida, goniometrické křivky
Diferenciální geometrie 2- Leonhard Euler Hypocykloida:
Epicykloida:
Diferenciální geometrie 3 Gaspard Monge: zabývá se dif. geometrií, prostorovými křivkami a jejich evolutami, jednoduchými a dvojnými body Carl Friedrich Gauss: definuje plochy v euklidovských prostorech, křivost plochy, nomálové řezy, geodetické křivky mimo jiné se dálé rozvíjí projektivní geometrie (Poncelet, Brianchon)
Přelom 19. a 20. století zkoumání fraktálních křivek n-rozměrné prostory
