Úročení a časová hodnota peněz

Modely analýzy a syntézy plánů (MAF/KIV) – Přednáška 1

Úročení a časová hodnota peněz V přednášce budou představeny základní pojmy z finanční matematiky.

1 Jednoduché úročení a diskontování V případě jednoduchého úročení nedochází k připisování úroku k původnímu kapitálu a úrok tedy není dále úročen. U jednoduchého diskontování nedochází k odepisování diskontu od splatné částky. Používá se převážně pro krátké období do jednoho roku (tedy v následujících dvou vzorcích lze předpokládat, že 𝜏 ≤ 1).

1.1 Jednoduché úročení Splatná částka 𝑥 𝑡& + 𝜏 ze základu (kapitálu, jistiny) 𝑥 𝑡& za dobu 𝜏 se vypočte následovně.

(1)

𝑥 𝑡& + 𝜏 = 1 + 𝑖 ⋅ 𝜏 ⋅ 𝑥 𝑡& ,

kde jsou 𝑡& , 𝜏 časové údaje v rocích a 𝑖 roční jednoduchá úroková míra (tj. p. a.). Jednoduché úročení se uplatňuje např. u výpočtu hodnoty naběhlého kupónu u dluhopisů (obligací, bondů), u termínovaných vkladů, kdy je úrok převáděn na jiný účet, pro výpočty uvnitř úročitelného období (tj. mezi připisováním úroku k jistině u složeného úročení).

1.2 Jednoduché diskontování V tomto případě chceme znát základ 𝑥 𝑡& ze známé splatné částky 𝑥 𝑡& + 𝜏 za dobu 𝜏.

𝑥 𝑡& =

𝑥 𝑡& + 𝜏 = 1 − 𝑑 ⋅ 𝜏 ⋅ 𝑥(𝑡& + 𝜏), 1+𝑖⋅𝜏

(2)

kde jsou 𝑡& , 𝜏 časové údaje v rocích, 𝑖 roční jednoduchá úroková míra (tj. p. a.) a 𝑑 roční jednoduchá diskontní míra.

2 Složené úročení a diskontování Na rozdíl od jednoduchého úročení dochází při složeném úročení k připisování úroku k původnímu kapitálu a úrok je tedy dále úročen. Podobně u složeného diskontování dochází k odepisování diskontu od splatné částky.

2.1 Složené úročení Splatná částka 𝑥 𝑡& + 𝜏 ze základu (kapitálu, jistiny) 𝑥 𝑡& za dobu 𝜏 se vypočte následovně.

𝑥 𝑡& + 𝜏 = 1 + 𝑖

0

⋅ 𝑥 𝑡& ,

(3)

kde jsou 𝑡& , 𝜏 časové údaje v celých rocích a 𝑖 roční složená úroková míra (tj. p. a.). Patrice MAREK – KMA – FAV – ZČU (poslední úprava 8. 2. 2016)

Strana 1 z 5

Modely analýzy a syntézy plánů (MAF/KIV) – Přednáška 1 V případě potřeby dopočítat velikost naběhlého úroku i mezi okamžiky připisování úroku je používána lineární aproximace v tomto období. Nechť je období 𝜏 od počátečního vkladu popsáno 𝑅 ukončenými roky, 𝑀 ukončenými měsíci a 𝐷 ukončenými dny. Úročitelné období je jeden rok, stejně tak jako doba připisování. Symbolem 𝜌 budeme označovat počet dnů v roce a 𝑖 znamená stále roční složenou úrokovou míru. Potom je splatná částka vypočtena dle následujícího vzorce.

𝑥 𝑡& + 𝜏 = 1 + 𝑖

5

⋅ 1+𝑀

𝑖 𝑖 +𝐷 ⋅ 𝑥 𝑡& , 12 𝜌

(4)

Při výpočtu počtu dní se používá celá řada standardů. Jako příklad z mnoha metod uvedeme německou (30E/360), francouzskou (ACT/360) a anglickou (ACT/365) metodu. Případně lze metody rozlišovat i z toho pohledu, zda se úrok připisuje ke konci kalendářního roku, nebo po roce uplynulém od vkladu. Obvykle platí, že úročení začíná dnem, kdy jsou peníze připsány na účet a končí dne, který předchází jejich výběru z účtu.

2.1.1 Německá metoda 30E/360 V této metodě má rok 360 dnů (tj. 𝜌 = 360) a každý měsíc má 30 dnů. V případě, že je počáteční, nebo koncový den 31. v měsíci, tak je tato hodnota změněna na 30. V případě, že připadne počáteční, nebo koncový den na poslední den měsíce února, tak žádná změna neproběhne.

2.1.2 Francouzská metoda ACT/360 I v této metodě se předpokládá, že rok má 360 dnů (tj. 𝜌 = 360), ale počty dnů se již počítají přesně, dle kalendáře. Vždy platí, že poslední den není započten. Pokud je první den např. 20. 2. a poslední den 22. 2. v ten samý rok, tak se má za to, že se úročí 2 dny (tj. 22 − 20).

2.1.3 Anglická metoda ACT/365 Na rozdíl od francouzské metody je zde předpokládáno, že rok má 365 dnů (i přestupný), tedy 𝜌 = 365.

2.2 Složené diskontování V tomto případě chceme znát základ 𝑥 𝑡& ze známé splatné částky 𝑥 𝑡& + 𝜏 za dobu 𝜏.

𝑥 𝑡& =

𝑥 𝑡& + 𝜏 = 1−𝑑 1+𝑖 0

0

⋅ 𝑥 𝑡& + 𝜏 = 𝑣 0 ⋅ 𝑥 𝑡& + 𝜏 ,

(5)

kde jsou 𝑡& , 𝜏 časové údaje v celých rocích, 𝑖 roční složená úroková míra, 𝑑 roční složená diskontní míra a 𝑣 roční diskontní faktor.

3 Področní složené úročení a diskontování Běžně dochází k připisování úroku častěji než jednou ročně. Nejběžněji jednou měsíčně (p. m.). V tomto případě je udávána tzv. nominální úroková míra 𝑖 < , která se vztahuje k ročnímu období. Vlastní úročení > ?

probíhá 𝑝krát ročně s úrokovou mírou

<

.

Nechť je úročeno nominální úrokovou mírou 𝑖 < , pak splatná částka 𝑥 𝑡& + 𝜏 ze základu (kapitálu, jistiny) A 𝑥 𝑡& za dobu 𝜏, kterou lze vyjádřit jako 𝜏 = 𝑛 + (𝑛 ∈ ℕ& , 𝑝 ∈ ℕ a 𝑘 ∈ 0,1,2, … , 𝑝 − 1 ), je <

Patrice MAREK – KMA – FAV – ZČU (poslední úprava 8. 2. 2016)

Strana 2 z 5


𝑥 𝑡& + 𝜏 = 1 +

𝑖

<

F⋅
(6)

⋅ 𝑥 𝑡& .

𝑝

Například pokud je nominální úroková míra ve výši 12 % p. a. s měsíčním úročením, tj. 𝑖 (IJ) = 12 % p. a., > MN

tak je každý měsíc připsáno 1 %, tj.

IJ

= 1 % p. m.

V případě področního složeného diskontování se použije obdobný postup, zde je použita nominální diskontní míra 𝑑 < , která se vztahuje k ročnímu období.

𝑥 𝑡& = 1 −

𝑑

<

F⋅
(7)

⋅ 𝑥 𝑡& + 𝜏 .

𝑝

Například pokud je nominální diskontní míra ve výši 12 % p. a. se čtvrtletním diskontováním, tj. 𝑑 (O) = 12 % p. a., tak jsou za každé čtvrtletí odepsána 3 %, tj.

PQ O

= 3 % p. q.

4 Spojité úročení a diskontování Vychází z představy področního úročení, kdy je intenzita připisování neustále zvyšována, tj. ve vzorci (6) roste 𝑝 nade všechny meze. Pro zjednodušení budeme předpokládat, že v (6) je parametr 𝑘 = 0. Pak lze splatnou částku získat pomocí následující limity.

𝑥 𝑡& + 𝜏 = 𝑥 𝑡& ⋅ lim

<→GV

1+

<

𝑖

F⋅<

𝑝

(8)

Po spočtení limity ve výrazu (8) tedy platí v případě spojitého úročení

𝑥 𝑡& + 𝜏 = 𝑥 𝑡& ⋅ 𝑒 F⋅>

Pokud se jedná o spojité úročení, tak se místo 𝑖 Výraz (9) pak přejde do podoby

<

?

.

(9)

, kde 𝑝 → +∞ používá symbol 𝛿, což je intenzita úročení.

𝑥 𝑡& + 𝜏 = 𝑥 𝑡& ⋅ 𝑒 F⋅Z .

(10)

Podobně se dá ukázat pro spojité diskontování, že platí

𝑥 𝑡& = 𝑥 𝑡& + 𝜏 ⋅ 𝑒 [F⋅Z .

(11)

5 Roční efektivní úroková Roční efektivní úroková míra (𝑖\] ) je vhodným nástrojem pro porovnání různých úrokových měr, kde je frekvence připisování úroků různá. Roční efektivní úroková míra je taková míra odpovídající nominální úrokové míře 𝑖 < , která dává za rok stejnou splatnou částku jako při úročení pomocí 𝑖 < . Využijeme tedy rovnosti kapitálu po jednom roce při úročení pomocí obou úrokových měr, tj.


Strana 3 z 5


𝑥 𝑡& ⋅ 1 + 𝑖\] = 𝑥 𝑡& ⋅ 1 +

𝑖

<

𝑝

<

(12)

.

Po vyjádření získáme

𝑖\] = 1 +

𝑖

<

<

(13)

− 1.

𝑝

V případě spojitého úročení postupujeme obdobně a získáme 𝑖\] = 𝑒 Z − 1.

(14)

6 Aproximace úrokové čáry Pro výpočetní postupy je často výhodné použít další aproximaci úrokové čáry v období mezi dvěma okamžiky připisování (obvykle jeden rok)

𝑥 𝑡& + 𝜏 = 1 + 𝑖

0 ^

(15)

⋅ 𝑥 𝑡& ,

kde jsou 𝑡& okamžik připisování úroku, 𝜏 čas v dílčích jednotkách (nejčastěji měřeno ve dnech) od minulého připsání úroku, 𝑖 roční složená úroková míra, 𝜌 počet časových jednotek mezi dvěma okamžiky připisování. Vzorec (15) lze použít i pro diskontování po jednoduché úpravě (případně lze použít obdobu (5))

𝑥 𝑡& = 1 + 𝑖

[

0 ^

⋅ 𝑥 𝑡& + 𝜏 .

(16)

Úkol: Srovnejte způsoby prokládání úroku mezi připisovacími okamžiky a určete jejich vzájemné chyby. Poznámka: Pokud je použita jakákoliv aproximace, tak je nutné vědět, jaké chyby se můžeme dopustit. Zároveň je důležité dát jasně najevo, že uvedený postup je pouze aproximací, z jakého důvodu není použit (případně není možno použít) přímý postup a jaké chyby se můžeme dopustit.

7 Časová hodnota Při výpočtech je nutné uvažovat tzv. časovou hodnotu. Toto neplatí pouze pro investování, nebo zpracování projektů, ale i pro každodenní život. Jednoduše řečeno, 1 Kč dnes nemusí (a velice často není) rovna 1 Kč za rok. V případě, že chceme znát současnou hodnotu (𝑃𝑉, present value) nějaké budoucí hodnoty (𝐹𝑉, future value), tak platí následující přepočet (diskontování)

𝑃𝑉 =

𝐹𝑉 , 1+𝑖 F


(17)

Strana 4 z 5

Modely analýzy a syntézy plánů (MAF/KIV) – Přednáška 1 kde 𝑖 je roční složená úroková míra platná pro celé období a 𝑛 je počet (celých) let, o které je diskontováno. V případě, že známe 𝑃𝑉, 𝐹𝑉 a 𝑛, tedy určujeme 𝑖, tak mluvíme o střední výnosové míře (středním výnosovém procentu). Pro zjištění současné hodnoty 𝑚 výnosů, kdy 𝑣A je výnos v 𝑘tém roce (𝑘 = 1, 2, … , 𝑚) použijeme

c

𝑃𝑉 = AdI

𝑣A . 1+𝑖 A

(18)

Pokud naopak zjišťujeme budoucí hodnotu, tak použijeme

c

𝐹𝑉 =

𝑣A ⋅ 1 + 𝑖

c[A

.

(19)

AdI

Při výpočtu současné hodnoty nebo budoucí hodnoty při známých výnosech je potřeba určit sazbu 𝑖. Zde se často jako srovnávací ekvivalent používá míra „jistého aktiva“, nejčastěji bankovního vkladu (termínovaného na danou dobu). Pokud toto srovnání nelze použít, nebo není logické, tak lze použít míru vyhlašovanou centrální emisní bankou (v ČR jde o ČNB). Pokud známe výnosy na konci jednotlivých období a známe jejich současnou hodnotu nebo jejich budoucí hodnotu, tak řešíme úlohu vzhledem k 𝑖, tj. hledáme střední výnosovou míru (střední výnosové procento). Z výpočetního pohledu jde o komplikovanější problém a je nutné ho řešit numericky, např. metodou půlení intervalu, nebo metodou regula falsi. Problém je i možná existence více kořenů a následná interpretace.


Strana 5 z 5

Úročení a časová hodnota peněz

Recommend Documents